FK WMS: Wirtschaftsmathematik 2, Einheit 7/8

Markus Sinnl1

markus.sinnl@univie.ac.at

http://homepage.univie.ac.at/markus.sinnl

basierend auf Folien von Dr. Ivana Ljubic, Mag. ChristianSpreitzer und Mag. Reinhard Ullrich

1Sprechstunde: MI, 10-11 Uhr [04/343]

FK WMS: Wirtschaftsmathematik 2, Einheit 7/8

I Extremalprobleme mit Ungleichungen als NebenbedingungenI Konvexitat von MengenI Konkave und konvexe ProgrammeI Satz von Karush-Kuhn-Tucker

2/18

Konvexitat

Definition:Eine Menge C im Rn heit konvex, wenn zu je zwei Punkten ~x1, ~x2 C auch dieVerbindungsstrecke zwischen ~x1 und ~x2 ganz in C liegt, d.h.

~x1 + (1 )~x2 C fur alle ~x1, ~x2 C und [0, 1]

Bemerkung:

I Der Durchschnitt von zwei oder mehreren konvexen Mengen ist konvex.

I Die Vereinigung von zwei konvexen Mengen ist im allgemeinen nicht mehrkonvex.

Proposition:Sei g : C R eine auf einer konvexen Teilmenge C des Rn definierte konvexeFunktion. Dann ist fur jedes b R die Menge

Cb = {~x C |g(~x) b} konvex.

3/18

Extremalprobleme mit Ungleichungen alsNebenbedingungen

Der zulassige Bereich eines Optimierungsproblems:Fur das Optimierungsproblem

f (~x) = max!

g1(~x) b1g2(~x) b2

...gm(~x) bm

nennen wir die Menge

C = {~x Rn | gj (~x) bj fur j = 1, 2, . . . ,m}

den zulassigen Bereich des Optimierungsproblems.

4/18

Extremalprobleme mit Ungleichungen alsNebenbedingungen

Bemerkungen:

I Wenn ein Minimierungsproblem F (x) = min! vorliegt, lasst es sich durchAnderung des Vorzeichens in die max!-Form uberfuhren:

f (x) = F (x) = max!.

I Die Ungleichungen der Form h(~x) bj lassen sich in die Form

g(~x) = h(~x) bj

umschreiben.

I Eine Gleichheitsnebenbedingung g(~x) = bj schreiben wir als:

g(~x) bj

undg(~x) bj .

5/18

Extremalprobleme mit Ungleichungen alsNebenbedingungen

(In)Aktive Restriktionen:Eine Restriktion gj (~x) bj heit aktiv im Punkt ~x C , falls gilt:

gj (~x) = bj .

Die Indexmenge der im Punkt ~x C aktiven Nebenbedingungen bezeichnen wir mitJa(~x), jene der inaktiven Nebenbedingungen mit Ji (~x

).

Beispiel:Der zulassige Bereich C eines Optimierungsproblems sei durch folgende Ungleichungenbeschrieben:

g1(x , y) = x2 + y2 25, g2(x , y) = x 4, g3(x , y) = x y 1

Untersuchen Sie fur die angegebenen Punkte Pj , ob Sie im zulassigen Bereich Cliegen. Geben Sie fur Punkte im zulassigen Bereich die Menge der aktiven und dieMenge der inaktiven Nebenbedingungen an!

P1(3| 4), P2(1|2), P3(2|2), P4(4| 3), P5(3|4), P6(0|5)

6/18

Beispiel:

C = {(x , y) R2 : x2 + y2 25 x 4 x y 1}

g1(x , y) = x2 + y2 25, g2(x , y) = x 4, g3(x , y) = x y 1

I P1(3| 4): P1 / C , da g3|P1 = 3 + 4 = 1I P2(1|2): g1|P2 = 5 < 25, g2|P2 = 1 < 4, g3|P2 = 1 Ja(P2) = {3}, Ji (P2) = {1, 2}

I P3(2|2): g1|P3 = 8 < 25, g2|P3 = 4, g3|P3 = 4 < 1 Ja(P3) = {2}, Ji (P3) = {1, 3}

I P4(4| 3): g1|P4 = 25, g2|P4 = 4, g3|P4 = 1 Ja(P4) = {1, 2, 3}, Ji (P4) = {}

I P5(3|4): g1|P5 = 25, g2|P5 = 3 < 4, g3|P5 = 1 Ja(P5) = {1, 3}, Ji (P5) = {2}

I P6(0|5): g1|P6 = 25, g2|P6 = 0 < 4, g3|P6 = 5 < 1 Ja(P6) = {1}, Ji (P6) = {2, 3}

7/18

Konkaves/Konvexes Programm

Konkaves ProgrammEin Optimierungsproblem

f (~x) = max! g1(~x) b1...

gm(~x) bmheit konkaves Programm, wenn die Zielfunktion f eine konkave Funktion und dieNebenbedingungsfunktionen gj konvexe Funktionen sind (letzteres stellt sicher, dassder zulassige Bereich eine konvexe Menge ist).

Konvexes ProgrammEin Optimierungsproblem

f (~x) = min! g1(~x) b1...

gm(~x) bmheit konvexes Programm, wenn die Zielfunktion f eine konvexe Funktion und dieNebenbedingungsfunktionen gj konvexe Funktionen sind (letzteres stellt sicher, dassder zulassige Bereich eine konvexe Menge ist). .

8/18

Satz von Karush-Kuhn-Tucker

Satz von Karush-Kuhn-Tucker:Sei ~x ein lokaler Maximizer fur das Optimierungsproblem

f (~x) = max! g1(~x) b1g2(~x) b2

...gm(~x) bm

1. Dann gibt es nichtnegative Zahlen 1, . . . , m, sodass

gradf (~x) =mj=1

j grad gj (~x)

Auerdem gelten complementary slackness Bedingungen:

gj inaktiv j = 0 bzw. j 6= 0 gj aktiv

2. Wenn ein konkaves Programm vorliegt, dann ist Bedingung (1) hinreichenddafur, dass ~x ein Maximizer des Optimierungsproblems ist.

3. Bemerkung: ~x muss daruberhinaus die constraint qualification erfullen.

9/18

Satz von Karush-Kuhn-Tucker

Satz von Karush-Kuhn-Tucker:Sei ~x ein lokaler Minimizer fur das Optimierungsproblem

f (~x) = min! g1(~x) b1g2(~x) b2

...gm(~x) bm

1. Dann gibt es nichtpositive Zahlen 1, . . . , m, sodass

gradf (~x) =mj=1

j grad gj (~x)

Auerdem gelten complementary slackness Bedingungen:

gj inaktiv j = 0 bzw. j 6= 0 gj aktiv

2. Wenn ein konvexes Programm vorliegt, dann ist Bedingung (1) hinreichend,dass ~x ein Minimizer des Optimierungsproblems ist.

3. Bemerkung: ~x muss daruber hinaus die constraint qualification erfullen.

10/18

Satz von Karush-Kuhn-Tucker

Constraint qualification:Dies sind gewisse Kriterien, die die Nebenbedingungen erfullen mussen, damit der Satzvon Karush-Kuhn-Tucker anwendbar ist. Hinreichend fur die Anwendbarkeit desSatzes ist etwa jede der folgenden Bedingungen:

I Alle Nebenbedingungen (gj )mj=1 sind linear.

I Alle Nebenbedingungen (gj )mj=1 sind konvex, es gilt grad gj (~x) 6= 0 fur alle j undes gibt ein ~x, fur das keine Nebenbedingung aktiv ist, d.h. gj (~x

) < bj fur allej = 1, ...,m.

I Alle Nebenbedingungen sind differenzierbar und die Gradienten grad gj (~x) sindlinear unabhangig, wobei j durch die Menge Ja(~x) der in ~x aktivenNebenbedingungen lauft.

11/18

Satz von Karush-Kuhn-Tucker

Bemerkung:Die KKT-Bedingungen lassen sich aus der Lagrange-Funktion ableiten:

L(x1, x2, . . . , xn, 1, . . . , m) = f (~x)mj=1

j (gj (~x) bj ).

Die folgenden Gleichungen mussen erfullt sein:

L

x1= 0, . . . ,

L

xn= 0

undL

1 0, . . . ,

L

m 0

12/18

Satz von Karush-Kuhn-Tucker - Beispiel

Beispiel:Angenommen, die Kosten der Produktionsfaktoren betragen 1 Euro pro Einheit Arbeitund Kapital in der Cobb-Douglas Funktion:

f (x , y) = x12 y

14 ,

maximiere die Produktion, wenn insgesamt b Euro fur die Produktionsfaktoren zurVerfugung stehen.

Optimierungsproblem:

f (x , y) = x12 y

14 = max!

g(x , y) = x + y b

Bereich fur Optimierung: = {(x , y) R2 : x > 0 y > 0}

13/18

Beispiel:

f (x , y) = x12 y

14 , g(x , y) = x + y b, Df = {(x , y) R2 : x > 0 y > 0}

Hf (x , y) =

( 1

4x

32 y

14 1

8x

12 y

34

18x

12 y

34 3

16x

12 y

74

)

I Hauptminoren:

I 1 = 14x 32 y

14 < 0 auf Df

I 2 =1

32x1y

32 > 0 auf Df

I Somit ist Hf uberall auf negativ definit und f global konkav.

I Da f konkav und g konvex, handelt es sich um ein konkaves Programm.

I Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen:

1

2x

12 y

14 = 0

1

4x

12 y

34 = 0

x + y b

I Fur = 0 ware x + y < b erlaubt, jedoch ist = 0 nicht moglich!

14/18

I Die Substitution x = b y transformiert die ersten beiden Gleichungen in

(b y)12 y

14 = 2

(b y)12 y

34 = 4

I Dies fuhrt zu

2(b y)12 y

14 = (b y)

12 y

34

2y = b y

y =b

3

und somit x =2b

3und =

(3

64b

) 14

.

I Da ein konkaves Programm vorliegt, ist dies der eindeutige Maximizer desProblems.

I Optimale Losung besteht also in einer Aufteilung der Mittel im Verhaltnis 2:1auf die Produktionsfaktoren x und y .

15/18

Satz von Karush-Kuhn-Tucker - Beispiel

Beispiel:Prufe, ob der Punkt P = (4, 3) ein lokaler (der globale) Minimizer des gegebenenProblems ist:

(4x + 3y)2 min!x2 + y2 252x + y 4

Satz:Eine stetige Funktion nimmt auf einem abgeschlossenen und beschrankten Bereichstets ein globales Maximum und ein globales Minimum.

16/18

f (x , y) = (4x + 3y)2 = min!, g1(x , y) = x2 + y2 25, g2(x , y) = 2x y 4

Ist P = (4, 3) ein lokaler Minimizer (der globale Minimizer) des Problems?

I Zeige, dass die KKT-Bedingungen erfullt sind, d.h. dass es nichtpositive Zahlen1 und 2 gibt, sodass

grad f (x , y) = 1grad g1(x , y) + 2grad g2(x , y)

I Bei P ist g1 aktiv und g2 inaktiv, d.h. 2 = 0 (complementary slackness).

I grad f (x , y) =

(8(4x + 3y)6(4x + 3y)

) grad f |P =

(8 256 25

)I grad g1(x , y) =

(2x2y

) grad g1|P =

(86

)I Es ist also grad f |P = 25 grad g1|P KKT-Bedingungen fur Minimizer sind

erfullt.

I Da aber f konkav, g1, g2 konvex und ein Minimizer gesucht wird, ist dies nochnicht hinreichend (kein konvexes Programm). Es ist daher eine nahereUntersuchung des Punktes P notig!

17/18

Die Niveaulinie von f durch P = (4, 3) schneidet den zulassigen Bereich nur im Punkt

P und liegt sonst auerhalb des zulassigen Bereichs. Offenbar ist P jener Punkt im

zulassigen Bereich mit dem kleinsten Funktionswert und damit globaler Minimizer des

Problems.

18/18