FKM_H290_V251_Konstitutive Kriechermüdungsbeschreibung
-
Upload
ludwig-limmer -
Category
Documents
-
view
36 -
download
0
description
Transcript of FKM_H290_V251_Konstitutive Kriechermüdungsbeschreibung
Konstitutive Kriech- und Kriechermüdungsbeschreibung
Vorhaben Nr. 251 _____________________
Konstitutive Werkstoffbeschreibungen für warmfeste Kraftwerksstähle im
Kriech- und Kriechermüdungsbereich _____________________
Abschlussbericht
Kurzfassung:
In diesem Vorhaben wurde das Ziel verfolgt, eine robuste, thermodynamisch konsistente Beschrei-bung des inelastischen Verhaltens am Beispiel eines warmfesten Schmiedestahles vom Typ 28CrMoNiV4-9 in Form eines konstitutiven elastoviskoplastischen Materialmodells zur Lebensdauer-berechnung und Optimierung von Hochtemperaturbauteilen des Kraftwerks- und Anlagenbaues unter praxisnaher Kriech- und Kriechermüdungsbeanspruchung zu erstellen. Das Materialmodell ist in der Lage, Kriechbeanspruchung und Kriechermüdungsbeanspruchung zu erfassen und Verformung sowie Lebensdauer zu beschreiben. Im Vordergrund der theoretischen Arbeiten standen die Anpassung eines Materialmodells an die vor-liegende komplexe Beanspruchung und Fragen der Entwicklung und Erprobung eines geeigneten Verfahrens zur Parameteridentifikation sowie die Entwicklung einer UMAT für Finite-Elemente-Berechnungen. Das konstitutive Materialmodell berücksichtigt die kinematische und isotrope Verfesti-gung sowie isotrope Schädigung und ist für 3D-Simulation konzipiert. Es beruht auf dem Konzept der effektiven Spannung kombiniert mit dem Prinzip der verallgemeinerten Energieäquivalenz. Zur Identifizierung der Materialparameter wurde die Methode der Neuronalen Netze mit anschließen-der Optimierung durch die Nelder-Mead-Methode zugrunde gelegt. Dabei unterstützt ein speziell ent-wickeltes Programmpaket den Anwender bei der simultanen Berücksichtigung unterschiedlicher Ver-suchsarten wie Kriech-, Ermüdungs- und Kriechermüdungsversuche. Die Identifikation der Materialpa-rameter wurde auf der Basis vorhandener 1D-Versuchsdaten durchgeführt. Den Schwerpunkt der experimentellen Arbeiten bildete die Durchführung der Verifikationsversuche an Rundkerbproben und Kreuzproben. Die erzielten Beanspruchungsdauern in den Verifikationsexperi-menten liegen bei 2000 bis 3000 h unter Variation der die Kriechschädigung beeinflussenden Halte-zeit sowie der Beanspruchungshöhe. Hierbei erwies sich insbesondere die dehnungsgeregelte Abbil-dung einer biaxialen Kriechermüdungsbeanspruchung mithilfe von Kreuzproben von Vorteil hinsicht-lich der Nähe zur beheizten Oberfläche von massiven Hochtemperaturbauteilen. Zusammenfassend konnte mit der hier durchgeführten Arbeit das Potenzial dieses fortschrittlichen Materialmodells gezeigt werden. Insgesamt ließen sich mit dem Materialmodell zufriedenstellende Vorhersageergebnisse für mehraxiale Kriech- und Kriechermüdungsbeanspruchung mit einem Para-metersatz erzielen. Zukünftige Erweiterungen betreffen den Schädigungsansatz in Wechselwirkung mit langzeitigen mehrachsigen Kriechermüdungsexperimenten. Der Vorteil für die industrielle Anwen-dung liegt in der vergleichsweise geringen Anzahl von Experimenten zur Bestimmung der Materialpa-rameter und in der höheren Flexibilität dieses Materialmodells für einen weiten Bereich von Beanspru-chungsparametern. Das Ziel des Forschungsvorhabens ist erreicht worden. _________________________________________________________________
Berichtsumfang: 150 S., 84 Abb., 9 Tab., 89 Lit.
Beginn der Arbeiten: 01.07.2001
Ende der Arbeiten: 31.12.2004
Zuschussgeber: AVIF-Nr. A166
Forschungsstelle: Institut für Werkstoffkunde Technische Universität Darmstadt Prof. Dr.-Ing. C. Berger Dr.-Ing. A. Scholz
Bearbeiter und Verfasser: Dipl.-Ing. A. Samir Obmann des Arbeitskreises: Dr.-Ing. C. Richter, Siemens, Power Generation
II
Das im Folgenden dargestellte Forschungsprojekt
Konstitutive Werkstoffbeschreibungen für warmfeste Kraftwerksstähle im Kriech- und Kriechermüdungsbereich
wurde gefördert von der gemeinnützigen Stiftung Stahlanwendungsforschung im Stifterverband für die Deutsche Wissenschaft e.V. Zweck der Stiftung ist die Förderung der Forschung auf dem Gebiet der Stahlverarbeitung und -anwendung in der Bundesrepublik Deutschland. Geprüft wurde das Forschungsvorhaben von einem Gutachtergremium der Forschungsvereinigung der Arbeitsgemeinschaft der Eisen und Metall verarbeitenden Industrie e.V. (AVIF), das sich aus Sachverständigen der Stahl anwendenden Industrie und der Wissenschaft zusammensetzt. Begleitet wurde das Projekt von einem Arbeitskreis des Forschungskuratoriums Maschinenbau e.V. "Konstitutive Kriech- und Kriechermüdungsbeschreibung". Der nachstehende Bericht fasst Zielsetzung und wichtigste Ergebnisse des Forschungs-projektes zusammen.
III
Kurzfassung
In diesem Vorhaben wurde das Ziel verfolgt, eine robuste, thermodynamisch konsistente Beschreibung des inelastischen Verhaltens am Beispiel eines warmfesten Schmiedestahles vom Typ 28CrMoNiV4-9 in Form eines konstitutiven elastoviskoplastischen Materialmodells zur Lebensdauerberechnung und Optimierung von Hochtemperaturbauteilen des Kraftwerks- und Anlagenbaues unter praxisnaher Kriech- und Kriechermüdungsbeanspruchung zu erstel-len. Das Materialmodell ist in der Lage, Kriechbeanspruchung und Kriechermüdungsbean-spruchung zu erfassen und Verformung sowie Lebensdauer zu beschreiben.
Im Vordergrund der theoretischen Arbeiten standen die Anpassung eines Materialmodells an die vorliegende komplexe Beanspruchung und Fragen der Entwicklung und Erprobung eines geeigneten Verfahrens zur Parameteridentifikation sowie die Entwicklung einer UMAT für Finite-Elemente-Berechnungen. Das konstitutive Materialmodell berücksichtigt die kinemati-sche und isotrope Verfestigung sowie isotrope Schädigung und ist für 3D-Simulation konzi-piert. Es beruht auf dem Konzept der effektiven Spannung kombiniert mit dem Prinzip der verallgemeinerten Energieäquivalenz.
Zur Identifizierung der Materialparameter wurde die Methode der Neuronalen Netze mit an-schließender Optimierung durch die Nelder-Mead-Methode zugrunde gelegt. Dabei unter-stützt ein speziell entwickeltes Programmpaket den Anwender bei der simultanen Berück-sichtigung unterschiedlicher Versuchsarten wie Kriech-, Ermüdungs- und Kriechermüdungs-versuche. Die Identifikation der Materialparameter wurde auf der Basis vorhandener 1D-Versuchsdaten durchgeführt.
Den Schwerpunkt der experimentellen Arbeiten bildete die Durchführung der Verifikations-versuche an Rundkerbproben und Kreuzproben. Die erzielten Beanspruchungsdauern in den Verifikationsexperimenten liegen bei 2000 bis 3000 h unter Variation der die Kriechschädi-gung beeinflussenden Haltezeit sowie der Beanspruchungshöhe. Hierbei erwies sich insbe-sondere die dehnungsgeregelte Abbildung einer biaxialen Kriechermüdungsbeanspruchung mithilfe von Kreuzproben von Vorteil hinsichtlich der Nähe zur beheizten Oberfläche von massiven Hochtemperaturbauteilen.
Zusammenfassend konnte mit der hier durchgeführten Arbeit das Potenzial dieses fortschritt-lichen Materialmodells gezeigt werden. Insgesamt ließen sich mit dem Materialmodell zufrie-denstellende Vorhersageergebnisse für mehraxiale Kriech- und Kriechermüdungsbeanspru-chung mit einem Parametersatz erzielen. Zukünftige Erweiterungen betreffen den Schädi-gungsansatz in Wechselwirkung mit langzeitigen mehrachsigen Kriechermüdungsexperimen-ten. Der Vorteil für die industrielle Anwendung liegt in der vergleichsweise geringen Anzahl von Experimenten zur Bestimmung der Materialparameter und in der höheren Flexibilität dieses Materialmodells für einen weiten Bereich von Beanspruchungsparametern.
IV
V
Inhaltsverzeichnis
1 EINLEITUNG .................................................................................................................. 1
2 STAND DER TECHNIK UND WISSENSCHAFT ............................................................ 2
2.1 Konventionelle Werkstoffbeschreibungen................................................................. 2
2.1.1 Bauteilbeanspruchung .................................................................................. 2
2.1.2 Kriechverhalten............................................................................................. 3
2.1.3 Kriechermüdungsverhalten ........................................................................... 6
2.2 Konstitutive Werkstoffbeschreibungen ..................................................................... 9
2.2.1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik .......................................................... 9
2.2.2 Deformation ................................................................................................ 12
2.2.3 Schädigung................................................................................................. 17
2.2.4 Werkstoffmodell mit der verallgemeinerten Energieäquivalenz ................... 21
2.3 Verfahren zur Parameteridentifikation .................................................................... 24
2.4 Verifikation konstitutiver Werkstoffbeschreibungen ................................................ 27
3 AUFGABENSTELLUNG, WISSENSCHAFTLICHE ZIELSETZUNG ............................ 29
4 VERSUCHSPROGRAMM ............................................................................................ 30
4.1 Werkstoffe.............................................................................................................. 30
4.2 Versuche zur Parameteridentifizierung und Verifikation ......................................... 30
5 EXPERIMENTE ............................................................................................................ 33
5.1 Prüftechnik ............................................................................................................. 33
5.2 Ergebnisse der Versuche zur Parameteridentifizierung .......................................... 37
5.3 Kriechversuche an Kerbproben .............................................................................. 38
5.4 Kriechermüdungsversuche an Kerbproben ............................................................ 40
5.5 Kriechermüdungsversuche an Kreuzproben........................................................... 42
VI
6 MATERIALMODELLIERUNG....................................................................................... 44
6.1 Allgemeine Vorgehensweise .................................................................................. 44
6.2 Implementierung des konstitutiven Materialmodells in ABAQUS ............................ 45
6.3 Parameteridentifikation........................................................................................... 48
6.4 Nachrechnung von Verifikationsexperimenten........................................................ 54
6.5 Sensitivitätsuntersuchung des konstitutiven Materialmodells.................................. 62
6.6 Software zur Modellierung und Parameteridentifikation.......................................... 63
7 SCHLUSSFOLGERUNGEN, ZUKÜNFTIGE AUFGABENSTELLUNGEN.................... 66
8 ZUSAMMENFASSUNG................................................................................................ 69
9 LITERATUR.................................................................................................................. 71
10 BILDER UND TABELLEN............................................................................................ 78
VII
Symbolverzeichnis
N Parameter der Funktion g bei verallgemeinerter Energieäquivalenz
ρ Dichte
λ, µ Lame’schen Konstanten, Elastizitätsparameter
E, ν E-Modul und Querkontraktionszahl, )21(2E ν−λ+µ=
M, η Viskositätsparameter
B, c, p, w Materialparameter der kinematischen Verfestigung
K0 Anfangsradius der Fließfläche
r0, β, γ, π, ω Materialparameter der isotropen Verfestigung
ψ freie Energiefunktion
ψe, ψp elastischer und plastischer Anteile der freien Energiefunktion
Dd Dissipationsungleichung
F Vergleichsspannung nach von Mises für )( ξT −
F viskose Überspannung
S akkumulierte plastische Dehnung (plastische Bogenlänge),
dt32
st
0
pp∫ ⋅= EE &&
E Gesamtdehnungstensor, linearisierter Green’scher Verzerrungstensor
Ee, Ep elastischer und plastischer Dehnungstensor
C Elastizitätstensor Vierter Stufe, [ ]eET C=
T Cauchy’scher Spannungstensor
Y Tensor kinematische Verfestigung, Dehnungsgröße
ξ Tensor kinematische Verfestigung, Spannungsgröße
R isotrope Verfestigung, Dehnungsgröße
R isotrope Verfestigung, Spannungsgröße
χ Steuergröße zwischen der Dissipationsleistung des fikiven und realen Materials, dp
(f)d DD ⋅χ=
g Verknüpfungsgröße zwischen Fließfunktion und Vergleichsspannung,
gfF
=∂
∂
D isotrope Schädigungsvariable
α0, α1, α2, q0, q1 Schädigungsparameter
εf Kriechdehnung
εp plastische Dehnung
σn Nennspannung
VIII
Gleichungsverzeichnis Gleichung Nr.
np Kσ=ε& .............................................................................................................................(1)
332
3/11ip tKtKtK +++ε=ε ..............................................................................................(2)
[ ] [ ]1ee1 t3
t1ip
42 −+−+ε=ε − ΘΘΘΘΘΘΘΘ ΘΘΘΘΘΘΘΘ ...............................................................................(3)
( )f
3,23min,pmax,1fip t
tCttH
+ε+ε+ε=ε &
............................................................................(4)
( )1
tt
Li i,effui
it ≤
σ=∑
∆∆∆∆ .......................................................................................................(5)
1A
Li i,krit
i,pv≤
ε= ∑ε
∆∆∆∆ mit
v
ht
t
ui,krit 3F,
FA
Aσ
σ== . ..........................................(6)
1NN
tt
Lj j,Ai i,u
i ≤+= ∑∑∆∆∆∆ ..................................................................................................(7)
σττ
τστ
ττσ
=
=
zzyzx
yzyyx
xzxyx
333231
232221
131211
TTT
TTT
TTT
:T. .......................................................................(8)
σττ
τστ
ττσ
=
zyzxz
yzyxy
xzxyx
T , ......................................................................................................(9)
τ
τ
τ
σ
σ
σ
=
xy
xz
yz
z
y
x
T. ......................................................................................................................(10)
=
τ
τ
τ
σ
σ
σ
=
=
121212121223123312221211
131213131323133313221311
231223132323233323222311
331233133323333333223311
221222132223223322222211
111211131123113311221111
xy
xz
yz
z
y
x
12
13
23
33
22
11
CCCCCC
CCCCCC
CCCCCC
CCCCCC
CCCCCC
CCCCCC
T
T
T
T
T
T
: C ,T
. ......................(11)
IX
=
333231
232221
131211
EEE
EEE
EEE
:E , ..................................................................................................... (12)
εγγ
γεγ
γγε
=
=
zyzxz
yzyxy
xzxyx
332313
232212
131211
EEE
EEE
EEE
:E , ......................................................................... (13)
( )1FFE −= T
21
: . ......................................................................................................... (14)
Xdxdrr
F= , ...................................................................................................................... (15)
( )X
t,Xx: v
rr
∂
∂=F .................................................................................................................... (16)
[ ]eET C= . ........................................................................................................................ (17)
µ
µ
µ
µ+λλλ
λµ+λλ
λλµ+λ
=
00000
00000
00000
0002
0002
0002
C
. .................................... (18)
( )( ) ( )ν+=µ
ν−ν+
ν=λ
12E
,211
E ............................................................................... (19)
pe EEE += .................................................................................................................. (20)
( ) ( ) kf:k,F −= ξT,ξT, ............................................................................................... (21)
( ) ( ) 0k,Fkf =⇒= ξT,ξT, ......................................................................................... (22)
( ) ( ) ( )DD
23
:f ξTξTξT, −⋅−= , .................................................................................. (23)
( ) ( )DD
Mises 23
: AAA ⋅= ............................................................................................ (24)
1TTT )sp(31D −= ..................................................................................................... (25)
1TT )sp(31
H = . .............................................................................................................. (26)
X
( )s
k23 D
p&& ξT
E−
= . ........................................................................................................(27)
sf
p&&
TE
∂
∂= ,.....................................................................................................................(28)
dt32
st
0
pp∫ ⋅= EE && . .................................................................................................(29)
pcEξ && = und .....................................................................................................................(30)
sk && γ= .............................................................................................................................(31)
( ) ( ) 0k,Fkf >⇒> ξT,ξT, ...................................................................................(32)
η=
mF
:s& . ....................................................................................................................(33)
( )s
f23 D
p&& ξT
E−
= ..........................................................................................................(34)
ξEξ sbc p&&& −= ................................................................................................................(35)
( ) skksk 0&&& −β−γ= ......................................................................................................(36)
ξξξEξ1w
p psbc−
−−= &&& ,..............................................................................................(37)
( ) ( )ω−π−−β−γ= 00 kkskksk &&& . .............................................................................(38)
)D1(),(f
eff−
=σξT ...............................................................................................................(39)
)D1)(D1(),(f
KEeff
−−=σ
ξT .................................................................................................(40)
( )k
K
r
K )D1(A
),(fD
−=
ξT& . ......................................................................................................(41)
dN)(M
DdD
m
v
maxu
EE
β
σ
σ
σσ
−=
α
.....................................................................................(42)
XI
( )s
D1
D)D(sD
1
0
q
q
210&&&
−
∂
ψ∂ρ−
α+α+α= , .................................................................. (43)
0)rR(21
D e ≥+⋅+⋅=∂
ψ∂ρ− ξYTE . ................................................................... (44)
1 Einleitung
1
1 Einleitung
In thermischen Maschinen und Anlagen führen Leistungsänderungen zu zyklischen Bean-
spruchungsänderungen in Hochtemperaturbauteilen. Besonders bei einer Kriechermüdungs-
beanspruchung der beheizten Oberfläche massiver Bauteile können überelastische Verfor-
mungen in Verbindung mit einer in Haltephasen auftretenden Relaxation zu einer kritischen
Beanspruchung führen, die die Lebensdauer dieser Bauteile bestimmt. Dehnungskonzentra-
tionen an Kerbstellen und eine zusätzliche statische Belastung können die Wirkung einer
solchen Dehnwechselbeanspruchung verstärken und die Anrissbildung beschleunigen. Au-
ßerdem tritt diese Beanspruchung durch Variationen der Anfahr-, Betrieb- und Abfahrbedin-
gungen meist mehrstufig auf. Ein besonders wichtiges Beispiel ist der Fahrplanbetrieb von
Kraftwerken mit einer meist zyklischen Folge von Volllast-, Teillast- und Stillstandsphasen.
Zur Bauteilauslegung und Lebensdauerüberwachung unter diesen Bedingungen werden
auch im Langzeitbereich von 100.000 bis 300.000 Stunden vielfach noch konventionelle,
einfache Konzepte auf Basis einer rechnerischen Ermittlung und Bewertung von Kriech- und
Ermüdungsschädigung herangezogen. In diesem Konzept gehen rechnerische Schadensan-
teile infolge Kriechen und Ermüdung getrennt ein und es lassen sich auch überlagertes Krie-
chen und mehrstufige Beanspruchung erfassen. In vorangegangenen Vorhaben wurde die
Anwendbarkeit dieser auch in Regelwerken zugrunde gelegten Vorgehensweise für 1%-
CrMoNiV-Stähle und in einem derzeit zu Ende gehenden Vorhaben auch für moderne
10%CrMo(W)VNbN-Stähle nachgewiesen.
Die konventionellen Werkstoffbeschreibungen, die bisher überwiegend zur rechnerischen
Bauteilauslegung und Lebensdauerabschätzung dienen, weisen unter verschiedenen Nähe-
rungsannahmen einen belastungsabhängigen Spannungs- und Verformungszustand aus
und hiervon abhängig eine Versagensgefahr. Der zeitliche Ablauf der Beanspruchungen wird
dabei aber vielfach unvollkommen berücksichtigt. Einen entscheidenden Fortschritt bilden
konstitutive Werkstoffbeschreibungen. Sie erlauben die parallele Evolution von Verformung
und von zum Versagen führender Schädigung für eine beliebige Beanspruchungsgeschichte.
Ein Vorteil ist außerdem die direkte Kopplung mit der Finit-Element-Methode zur Nachbil-
dung komplexer Strukturen. Diese Beschreibungen wurden in den letzten zwei Jahrzehnten
bis an die Schwelle der Anwendungsreife entwickelt. Ihre Erstellung und Anwendung ist aber
wegen des hohen Aufwandes noch auf besonders wichtige Fälle beschränkt. Für ihren Ein-
satz bei langzeitig mehraxial beanspruchten Bauteilen und den hier auftretenden Schädi-
gungs- und Versagensproblemen besteht noch ein erheblicher Forschungsbedarf.
Es war daher Ziel der vorliegenden Arbeit, die konstitutive Werkstoffbeschreibung auf den
Fall einer Kriechermüdungsbeanspruchung anzuwenden und Aussagen zur Anwendbarkeit
auf Basis mehraxialer Verifikationsexperimente zu erarbeiten.
2 Stand der Technik und Wissenschaft
2
2 Stand der Technik und Wissenschaft
Hohe Umweltbelastung und steigender Konkurrenzdruck verlangen nach einer Optimierung
der Energienutzung aus ökologischen und ökonomischen Gründen. Für die Betreiber thermi-
scher Anlagen bedeutet dies unter anderem, die Prozesstemperatur in Energieanlagen mög-
lichst hoch einzustellen, um den Forderungen nach Umweltschutz einerseits und Wirkungs-
gradsteigerung andererseits nachkommen zu können. Mit dieser Entwicklung steigen aber
auch die Anforderungen an die einzusetzenden Werkstoffe. Von besonderem Interesse sind
massive Bauteile, die als Folge von An- und Abfahrvorgängen und Leistungswechseln an
ihrer beheizten Oberfläche einer Überlagerung von Ermüdungs- und Kriechbeanspruchung
unterliegen [1] (Bild 1). Eine solche Kriechermüdungsbeanspruchung stellt häufig die le-
bensdauerbegrenzende Beanspruchungsform dar.
Zur optimalen und damit kostengünstigsten Auslegung unterschiedlicher Hochtemperatur-
bauteile ist deshalb neben der Kenntnis der statischen Kriecheigenschaften und der Ermü-
dungseigenschaften ermittelt aus einfachen Standarddehnwechselversuchen vor allem auch
die Beschreibung des Werkstoffverhaltens unter Kriech- und Kriechermüdungsbeanspru-
chung und des betriebsähnlichen Kriechermüdungsverhaltens von fundamentaler Bedeu-
tung. Wegen der Mehrachsigkeit der Bauteilbeanspruchung sind hier entsprechende mehr-
axiale Experimente und entsprechende numerische Methoden von zunehmendem industriel-
len Interesse.
2.1 Konventionelle Werkstoffbeschreibungen
2.1.1 Bauteilbeanspruchung
Die Abschätzung der Deformation und des Versagens von Hochtemperaturbauteilen der
Kraftwerks- und Anlagentechnik ist eine Aufgabe, die immer neue Herausforderungen stellt.
Dahinter steht das andauernde Bestreben, bei den Anlagen den Energieverbrauch und damit
den CO2-Ausstoß über steigende Prozesstemperaturen zu vermindern und die Wirtschaft-
lichkeit über die Steigerung der Baugrößen und die zunehmende Werkstoffausnutzung zu
erhöhen. Beides verlangt eine Weiterentwicklung der Werkstoffe und auch der Werkstoffbe-
schreibungen. Die Lebensdauer der Bauteile lässt sich nur in Sonderfällen auf direktem We-
ge über die Ergebnisse von idealisierten Versuchen absichern. Ein Beispiel bildet ein gera-
des, dünnwandiges Rohr unter konstantem Innendruck und konstanter Temperatur. Zur Ab-
sicherung gegen kritische Rohraufweitung oder Aufreißen der Rohrwand lässt sich die er-
rechnete Tangentialspannung unmittelbar mit den Kennwerten für Erreichen einer plasti-
schen Dehnung pε oder Bruch vergleichen, wie sie aus dem einaxialen Zeitstandversuch
gewonnen werden. Die meisten Bauteile der Kraftwerks- und Anlagentechnik sind aber kom-
plexer gestaltet und beansprucht. Das erfordert entsprechend komplizierte Berechnungen.
2 Stand der Technik und Wissenschaft
3
Zwar sind die konventionellen Langzeitwerte wie Zeitstandfestigkeit und Zeitdehngrenzen
auch in diesen Fällen noch für die Bauteilbemessung mit entscheidend, aber ihre Anwen-
dung erfolgt teilweise empirisch und teilweise über vereinfachte Berechnungen. Das erfordert
Wanddickenreserven und diese erhöhen ihrerseits die Anrissgefahr, die durch zyklische
Beanspruchungen infolge wechselnden Anlagenbetriebes besteht.
Konventionelle Werkstoffbeschreibungen weisen unter verschiedenen Näherungsannahmen
einen belastungsabhängigen Spannungs- und Verformungszustand aus und hiervon abhän-
gig eine Versagensgefahr. Der zeitliche Ablauf der Beanspruchungen (Belastungs- oder Be-
anspruchungsgeschichte) wird dabei aber höchstens unvollkommen berücksichtigt. Zur Cha-
rakterisierung des Lebensdauerverbrauchs oder auch Erschöpfung genannt, werden in der
Praxis vielfach phänomenologische akkumulative Methoden zur Ermittlung einer rechneri-
schen Schädigung eingesetzt. Dagegen erlauben fortschrittliche konstitutive Werkstoffbe-
schreibungen die parallele Evolution von Verformung und von zum Versagen führender
Schädigung für eine beliebige Beanspruchungsgeschichte. Vorteilhaft lassen sich diese Me-
thoden aber direkt mit der Bauteilberechnung mit der heute in der Regel eingesetzten Finit-
Element-Methode koppeln. Diese Beschreibungen wurden in den letzten zwei Jahrzehnten
bis an die Schwelle der Anwendungsreife entwickelt. Ihre Erstellung und Anwendung ist aber
wegen des hohen Aufwandes noch auf besonders wichtige Fälle beschränkt. Für ihren Ein-
satz bei langzeitbeanspruchten Bauteilen und den hier auftretenden Schädigungs- und
Versagensproblemen besteht noch ein erheblicher Forschungsbedarf. Vor der Vorstellung
der konstitutive Werkstoffbeschreibungen im Abschnitt 2.2 sollen in den Abschnitten 2.1.2
und 2.1.3 zunächst phänomenologisch begründete, konventionelle Werkstoffbeschreibungen
erläutert werden.
2.1.2 Kriechverhalten
Bei statischer und quasistatischer Beanspruchung ohne Vorzeichenwechsel der Spannun-
gen werden zur Deformationsberechnung bisher meist mehr oder weniger einfache, teilweise
aber auch komplizierte phänomenologische numerische Ansätze, im Folgenden als Kriech-
gleichungen bezeichnet, herangezogen, deren Parameter aus den Ergebnissen des Zeit-
standversuchs abgeleitet sind. Der Kriech- bzw. Zeitstandversuch ist definiert durch das
Einwirken einer konstanten Kraft auf die Probe bei konstanter Temperatur. Der typische Ver-
lauf der Kriechdehnung εf bzw. der plastischen Dehnung εp = εi + εf bei Kriechversuchen
besteht aus drei zeitlich aufeinanderfolgenden Primär-, Sekundär- und Tertiärkriechberei-
chen (Bild 2 und 3). Die Unterscheidung dieser Bereiche findet anhand der Dehnungs- oder
Kriechrate statt. Der Primärbereich ist durch eine monoton fallende, der Sekundärbereich
durch eine konstante und der Tertiärbereich durch eine monoton steigende Kriechrate ge-
2 Stand der Technik und Wissenschaft
4
kennzeichnet. Als elementare Kriechgleichung wird zumindest für Näherungsrechungen oft
das Norton'sche Kriechgesetz
np Kσ=ε& (1)
herangezogen mit der Kriechgeschwindigkeit pε& , der Spannung
0σ und Konstanten K und
n , die fast immer von der Spannung und oft auch noch von der Temperatur T abhängen.
Diese Beziehung beschreibt den sekundären Kriechbereich. Dieses empirische Gesetz ist in
Abwandlungen auch in den meisten anderen Kriechbeschreibungen enthalten.
Eine kompliziertere Beziehung ist die Kriechgleichung von Graham und Walles [2]
332
3/11ip tKtKtK +++ε=ε (2)
mit der plastischen Anfangsdehnung iε und den Koeffizienten K1 , K2 , K3 , die von Span-
nung 0σ und Temperatur T abhängen. Weitere Beispiele sind das Theta-Konzept [3]
[ ] [ ]1ee1 t3
t1ip
42 −+−+ε=ε − ΘΘΘΘΘΘΘΘ ΘΘΘΘΘΘΘΘ (3)
mit den spannungs- und temperaturabhängigen Koeffizienten 1ΘΘΘΘ bis
4ΘΘΘΘ und die modifizierte
Garofalo-Gleichung [4, 5, 10, 64]
( )f
3,23min,pmax,1fip t
tCttH
+ε+ε+ε=ε &
(4)
mit einem Maximalbetrag der Primärkriechdehnung max,1fε , der minimalen Kriechgeschwin-
digkeit min,pε& , einer im Primärbereich zwischen den Zeiten 0 und t12 von 0 auf 1 aufklingen-
den Zeitfunktion ( )tH und einem auf die Übergangszeit t23 bezogenen Tertiärkriechanteil. Die
Größen max,1fε und
min,pε& hängen von Spannung und Temperatur ab und die Übergangszei-
ten t12 und t23 von der Größe min,pε& . Die Kriechgleichung (4) wurde mit entsprechenden Sub-
funktionen für die Größen iε ,
max,1fε , ( )tH und min,pε& schon für eine größere Zahl warmfes-
ter Stähle wie 1%CrMoNiV-Stahl in der Schmiede- und Gussvariante [5, 6, 7] und Nickelba-
sislegierungen [8] modelliert. Die entstandenen Gleichungen stehen in einem PC-Programm
KARA und in Finit-Element-(FE) Subroutinen (Programmpaket KARA F) zur Verfügung. Sie
haben sich bei bauteilnahen Berechnungen bewährt, z.B. [9] und werden in der Industrie
insbesondere für Verformungsberechnungen unter quasistatischer Beanspruchung genutzt
[6]. Entsprechende Kriechgleichungen für die neuen 600 °C-Stähle des Typs
10Cr1Mo1(W)NbN ohne und mit Wolfram in der Schmiede und Gussversion entstehen der-
zeit [10].
Bei Finit-Element-Berechnungen mit derartigen konventionellen Kriechgleichungen wird die
Kriechgeschwindigkeit über Dehnungsdifferenzen gebildet. Spannungs- und Temperaturän-
2 Stand der Technik und Wissenschaft
5
derungen werden durch Zusatzregeln wie die Zeit- oder die Dehnungsverfestigungsregel
berücksichtigt. Die Mehraxialität wird bei den aus einaxialen Versuchen abgeleiteten Kriech-
gleichungen über die von Mises-Spannung vσ und Dehnung
v,pε und verallgemeinerte
Fließregeln abgebildet [11], wofür die üblichen Finit-Element-Programmsysteme wie zum
Beispiel ABAQUS [12] eingerichtet sind. Die praktische Anwendung der geschilderten Werk-
stoffmodelle basiert allerdings auf der Annahme, dass ein ursprünglich isotroper Werkstoff
auch im Verlauf der Beanspruchung sein isotropes Verhalten beibehält. Das impliziert die
Koaxialität von Spannungen und Dehngeschwindigkeiten, sodass zur Erfassung der Werk-
stoffeigenschaften einaxiale Versuche ausreichen.
Auf der Basis derartiger Verformungsabschätzungen sind auch Versagensabschätzungen
möglich, wofür es eine Vielzahl von Vorschlägen gibt [13]. Beispiele sind das Erreichen einer
kritischen Dehnung oder Vergleichsdehnung oder einer Lebensdauer, die von einer sich ein-
spielenden stationären Spannung oder Vergleichsspannung abgeleitet wird. Andere Regeln
gehen von der Akkumulation inkrementeller Lebensdaueranteile bis zu einem kritischen Wert
aus [15], so die Lebensdaueranteilregel:
( )1
tt
Li i,effui
it ≤
σ=∑
∆∆∆∆ . (5)
Dabei hängt die Bezugsbruchzeit ut von einer effektiven Spannung
effσ ab, die beispiels-
weise aus Anteilen der von-Mises-Spannung vσ und der maximalen Hauptspannung
1σ
gebildet wird [15]. Eine andere Möglichkeit bieten Dehnungsanteilregeln, z.B.
1A
Li i,krit
i,pv≤
ε= ∑ε
∆∆∆∆ mit
v
ht
t
ui,krit 3F,
FA
Aσ
σ== . (6)
Hier werden Vergleichsdehnungsinkremente pvε∆∆∆∆ auf eine kritische Dehnung
kritA bezogen,
die unter Berücksichtigung der Mehraxialität (hydrostatische Vergleichsspannung hσ ) von
der Zeitbruchdehnung Au abgeleitet werden kann [16, 19]. Bei quasistatischer Beanspru-
chung liefern derartige Anteilregeln, die auch durch biaxiale Versuche gestützt sein können
[17, 19], trotz ihres Näherungscharakters relativ gut vergleichbare Ergebnisse [15, 16].
Generell sind nach dem Stand der Technik (siehe z.B. ISO 6303) zu einer sicheren Bauteil-
bewertung experimentelle Unterlagen bis zu einem Drittel der Auslegungszeit erforderlich,
was bei 200.000 h geplanter Betriebsdauer 70.000 h-Ergebnisse verlangt. Diese Forderung
erschwert einerseits die Entwicklung von Berechnungsunterlagen. Andererseits verlangt sie
aber, Werkstofftheorien kritisch zu hinterfragen, die auf relativ kurzzeitige Versuche gegrün-
det sind. Große Bedeutung kommt auch der Verifikation von Werkstoffbeschreibungen auf
unabhängigen Wegen zu [7, 15].
2 Stand der Technik und Wissenschaft
6
2.1.3 Kriechermüdungsverhalten
Neben der Lebensdauerabschätzung der Hochtemperaturbauteile gegen statische Bean-
spruchung, wie sie im Kraftwerksbereich vor allem durch Innendruck und Fliehkräfte verur-
sacht wird, ist eine Absicherung gegen zyklische oder zeitlich regellos veränderte Beanspru-
chung erforderlich. Im Langzeitbereich liegt das Gewicht weniger auf hochfrequenter Bean-
spruchung (HCF = High Cycle Fatigue) als vielmehr auf niederfrequenter Beanspruchung
(LCF = Low Cycle Fatigue). Sie ist durch die Leistungsänderungen der Maschinen und Anla-
gen bedingt und in vielen Fällen lebensdauerrelevant [18]. Meist handelt es sich um tempe-
raturinduzierte Dehnwechselbeanspruchung [10, 20, 21]. Sie führt schon durch die Relaxati-
on in Haltephasen aber auch durch statische Zusatzbeanspruchungen zu einer Überlage-
rung von Kriech- und Ermüdungsvorgängen. Das führt im Langzeitbereich zu Korngrenzen-
schädigungen, wie sie auch bei reiner Kriechbeanspruchung auftreten [21]. Die Absicherung
der zyklisch beanspruchten Bauteile oder Bauteilstellen gegen Risseinleitung erfolgt in der
Regel auf der Basis einer Kriechermüdungsbeschreibung und einer entsprechenden experi-
mentellen Abbildung [10, 13, 23] (Bild 4). Im einfachsten Fall erfolgt die Nachbildung der
Bauteilbeanspruchung durch einfache, symmetrische Dehnwechselzyklen ohne und mit Hal-
tezeit mit der Dehnungsschwingbreite ε∆∆∆∆ , der Frequenz f oder Haltezeit Ht (Bild 4 a, b).
Betriebsnäher im Hinblick auf die beheizte Oberfläche sind Beanspruchungszyklen nach Art
von Bild 4 c). Hier folgt einer Druckdehnungsausschlag in der Anfahrphase ein Dehnungs-
ausschlag nahe Null in der Betriebsphase bei konstanter oberer Zyklustemperatur und eine
Zugdehnungsausschlag in der Abfahrphase [24, 25, 60]. Entsprechende, von der Dehnungs-
schwingbreite ε∆∆∆∆ und der Zyklusform sowie der Haltezeit abhängige Anrisswechselzahlen
NA (Bild 5) dienen zur Absicherung kritischer Bauteilstellen gegen Anriss und berücksichtigen
die komplexe Wechselwirkung von Kriechen und Ermüden eher als Standardzyklen gemäß
Bild 4 a und b. Die Dehnungsschwingbreite an diesen Stellen wird meist durch Näherungs-
rechnungen abgeschätzt. Deutlich zeigt sich die Wirkung einer Wechselbeanspruchung ü-
berlagerten Kriechbeanspruchung, die zur Beschleunigung der Anrissbildung führt.
Die zyklische Entfestigung, wie sie für derartige warmfeste Stähle gemäß Bild 5 typisch ist,
geht mit abnehmender Dehnungsschwingbreite deutlich zurück (Bild 6). Dieses Beispiel steht
für Langzeitbeanspruchung mit dem komplexen Zyklus gemäß Bild 4 c. Im Kurzzeitfall ist
die Abnahme der Spannung infolge zyklischer Entfestigung deutlicher ausgeprägt [14, 23,
25, 26, 61].
Eine Beschreibung der Langzeitkriechermüdungsschädigung bis zur Risseinleitung erfolgt oft
mit der verallgemeinerten Schadensakkumulationshypothese [14, 23, 25]
1NN
tt
Lj j,Ai i,u
i ≤+= ∑∑∆∆∆∆ (7)
2 Stand der Technik und Wissenschaft
7
In Erweiterung der Gl. (5) wird ein Ermüdungsschaden nach der Miner-Regel hinzugenom-
men und beide Schadensanteile werden näherungsweise als voneinander unabhängig ak-
kumulierbar betrachtet. Als Schadenseintritt gilt die Erreichung einer kennzeichnenden Riss-
länge in der Größenordnung von rd. 0,2 bis 1 mm bei typischen Laborproben. Die Entkopp-
lung von Kriech- und Ermüdungsschädigung in Gl. (7) erscheint erlaubt, solange lokale Be-
anspruchungen lebensdauerrelevant sind, wie es für massive Bauteile, z.B. Turbinenwellen
und –gehäuse meist der Fall ist. Anders ist das bei global hochbeanspruchten Bauteilen wie
beispielsweise Rohrleitungen oder Scheiben, bei denen eine Beanspruchungsüberlagerung
zu Ratchetting, d.h. einer zyklischen Dehnungsakkumulation führen kann [20, 24].
In [23] wurden an zwei konventionellen Kraftwerksstählen vom Typ 28CrMoNiV4-9 und
X21CrMoV12-1 umfangreiche Untersuchungen zur Gültigkeit der Gl. (7) angestellt. In [25]
wurden diese Untersuchungen auf die neuen 600 °C-Stähle vom Typ 10Cr1Mo1WNbN aus-
gedehnt. Umfangreiche Auswertungsarbeiten zeigten, dass zur Ermittlung einer relativen
Kriechermüdungslebensdauer von L = 1 zahlreiche Ergänzungsregeln einzuführen sind. Die-
se betreffen die Annahme einer inneren Spannung zur Beschreibung der kinematischen Ver-
festigung (Bauschinger-Effekt), ferner die Beschreibung der zyklischen (isotropen) Werk-
stoffentfestigung sowie einer Vorbeanspruchungsabhängigkeit der Bezugsgrößen tu,i und NA,j
und außerdem bei unsymmetrischen Zyklen die Berücksichtigung der Mittelspannung. Diese
Beschreibung wurde anhand der Ergebnisse langzeitiger Dehnwechselversuche teilweise bis
zu mehreren 10.000 h nach Art von Bild 4 c an den beiden oben genannten konventionellen
Stählen erstellt.
Ein auf der angeführten Beschreibung gemäß Gl. (7) beruhendes Prognoseverfahren für
betriebsähnliches Dehnwechselverhalten steht als Programm SARA zur Verfügung [23, 64],
wobei auch mehrstufige Zyklen mit einer Nachbildung der komplexen Kalt-, Warm- und
Heißstartzyklen erfassbar sind. Anisotherme Zyklen und mehraxiale Beanspruchungen wer-
den dabei allerdings noch nicht erfasst und das ist mit konventionellen Mitteln auch nur nä-
herungsweise zu realisieren. Oft hilft man sich mit der Berechnung für die höchste Tempera-
tur im Zyklus bzw. mit einer Berücksichtigung von Kerbwirkung durch eine Dehnungsform-
zahl [10, 19]. Als Ergebnis zeigt sich eine akzeptable Übereinstimmung von vorhergesagten
Anrisswechselzahlen NA** mit den experimentell ermittelten Anrisswechselzahlen NA (extra-
polierter Versuch NA’) unter langzeitiger Kriechermüdungsbeanspruchung (Bild 7).
Im Langzeitbereich lässt sich Dehnwechselbeanspruchung bei Dehnungsschwingbreiten von
weniger als rd. 0,4 % durch zyklische Zeitstandbeanspruchung annähern [26, 28, 31]. Auf
der Basis von Gl. (5) und mit einem für zahlreiche Werkstoffe abgesicherten Faktorenkon-
zept zur Berücksichtigung von Spannungs- und/oder Temperaturänderungen ließ sich auf
dieser Grundlage eine einfach anwendbare Rechenvorschrift zur Lebensdauervorhersage
2 Stand der Technik und Wissenschaft
8
gewinnen. In diesem Zusammenhang führten konstitutive Ansätze zu wichtigen Erkenntnis-
sen im Hinblick auf die Anwendbarkeit fortschrittlicher Methoden (Abschnitt 2.2).
Aus diesen Ausführungen geht hervor, dass es eingeführte konventionelle Werkstoffmodelle
für die Lebensdauerabschätzung im Hochtemperaturbereich gibt, wobei aber zahlreiche Nä-
herungsannahmen herangezogen werden müssen. Diese Modelle werden wegen ihrer meist
noch relativ einfachen Anwendbarkeit auch in Zukunft eine Rolle spielen [27, 31]. Sie sind
aber umso weniger gesichert, je weiter sich das Bauteil in Form und Beanspruchung vom
idealisiert ablaufenden Versuch mit homogener einaxialer Beanspruchung entfernt. Ein spe-
zieller Nachteil ist, dass Veränderungen der Werkstoffeigenschaften wie Ver- oder Entfesti-
gung oder eine im Allgemeinen zu anisotropem Verhalten führende Schädigung höchstens
näherungsweise erfasst werden können. Ferner liefert die Anwendung von Akkumulationsre-
geln keine Berücksichtigung der tatsächlich ablaufenden mikrostrukturellen Änderung des
Werkstoffes unter meist mehraxialer Beanspruchung.
2 Stand der Technik und Wissenschaft
9
2.2 Konstitutive Werkstoffbeschreibungen
Die bisher erläuterten Wege, das Werkstoffverhalten zu beschreiben, beruhen auf experi-
mentelle Beobachtung der rein zeitlichen Abhängigkeit der messbaren Größen, wobei die als
Versuchsbedingung geltenden Größen wie Spannung, Dehnung oder Temperatur in Form
von Parametern den mathematischen Gleichungen berücksichtigt werden. Eine physikali-
sche Begründung der Vorgänge oder eine direkte Abhängigkeit der Größen voneinander
wird nicht angegeben. Hingegen wird bei der konstitutiven Beschreibung des Materialverhal-
tens versucht, zwischen allen sichtbaren physikalischen Größen und weiteren neu definier-
ten inneren Variablen direkte Relationen zu bilden, die physikalisch und thermodynamisch
plausibel sind [32 bis 38, 42 bis 47, 56 bis 58, 60, 63, 65]. Eines der Hauptmerkmale der
konstitutiven Gleichungen ist, dass eine direkte Abhängigkeit der zu berechnenden Größen
von der Zeit nicht mehr in Erscheinung tritt. In diesem Abschnitt wird das in dieser Arbeit
verwendete konstitutive Materialmodell aufbauend auf grundlegenden Kenntnissen der Kon-
tinuumsmechanik vorgestellt (Tabellen 1 und 2). Dabei werden angefangen bei der Deforma-
tion weitere Effekte wie Verfestigung, dynamische und statische Erholung der Verfestigung
sowie Schädigung erörtert.
2.2.1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik
Zur konstitutiven Beschreibung des Werkstoffverhaltens unter mehrachsiger Beanspruchung
wird in der Kontinuumsmechanik [12, 32, 67, 68, 71, 80] von der Tensor-Rechnung
Gebrauch gemacht. Der Grund hierfür ist, dass dadurch die Spannungs- bzw. Dehnungszu-
stände im dreidimensionalen Raum eindeutig definiert werden können. So wird z.B. statt der
im einachsigen gebräuchliche Spannung σ (genauer gesagt σr
, da es sich um einen Vektor
handelt) nunmehr der Spannungstensor T verwendet:
σττ
τστ
ττσ
=
=
zzyzx
yzyyx
xzxyx
333231
232221
131211
TTT
TTT
TTT
:T. (8)
Es sei angemerkt, dass zur eindeutigen Unterscheidung Tensoren durch fette Symbole (T ,
etc.), ihre Komponenten dagegen zwar mit dem gleichen Symbol aber schmal (T , etc.) dar-
gestellt werden. Andere skalarwertige Größen werden ebenfalls durch schmale Symbole
repräsentiert. Bei dieser Definition handelt es sich um die allgemeinste Form des Span-
nungstensors mit 9 unterschiedlichen Komponenten (Tensor 2. Stufe), der auch Span-
nungsmomente berücksichtigt, die z.B. bei Cossera-Kontinuua (granularen Medien) vor-
kommen. In diesem Fall ist der Spannungstensor unsymmetrisch in Bezug auf die Hauptdia-
gonale.
2 Stand der Technik und Wissenschaft
10
Beschränkt man sich jedoch auf metallische Werkstoffe wie Stahl, dann nimmt der Span-
nungstensor folgende symmetrische Form mit 6 unabhängigen Komponenten an (Bild 8):
σττ
τστ
ττσ
=
zyzxz
yzyxy
xzxyx
T , (9)
bzw. in Matrix-Vektor-Schreibweise
τ
τ
τ
σ
σ
σ
=
xy
xz
yz
z
y
x
T. (10)
Hierbei sind die Normalspannungen durch σ und die Scherspannungen durchτ gekenn-
zeichnet.
In der alternativen Form der Matrix-Vektor-Schreibweise (auch die Voigt-Notation genannt)
kann man z.B. Tensoren 2. Stufe als Vektoren und Tensoren 4. Stufe als Matrizen dargestellt
werden.
=
τ
τ
τ
σ
σ
σ
=
=
121212121223123312221211
131213131323133313221311
231223132323233323222311
331233133323333333223311
221222132223223322222211
111211131123113311221111
xy
xz
yz
z
y
x
12
13
23
33
22
11
CCCCCC
CCCCCC
CCCCCC
CCCCCC
CCCCCC
CCCCCC
T
T
T
T
T
T
: C ,T
. (11)
Dabei müssen die Komponenten der Tensoren je nach ihrer Stufe in eine durch Tensoreno-
perationen vorgegebene Reihenfolge umsortiert werden. Danach können die üblichen Matri-
zenoperationen anstelle der Tensor-Operationen angewendet werden. Das hier gezeigte
Beispiel des Tensors 4. Stufe C wird unter anderem im verallgemeinerten Hooke'schen Ge-
setz benutzt, das weiter unten erklärt wird.
Analog zum Spannungstensor wird unter mehrachsiger Beanspruchung anstelle der einach-
sigen Dehnung ε der allgemeine Verzerrungstensor (auch als Dehnungstensor bezeichnet)
E verwendet:
2 Stand der Technik und Wissenschaft
11
=
333231
232221
131211
EEE
EEE
EEE
:E , (12)
oder in der symmetrischen Form für klassische Werkstoffe
εγγ
γεγ
γγε
=
=
zyzxz
yzyxy
xzxyx
332313
232212
131211
EEE
EEE
EEE
:E , (13)
wobei durch ε die Normaldehnungen und durch γ die Scherungen repräsentiert werden.
Der Verzerrungstensor E bildet in der Kontinuumsmechanik die Grundlage bei Betrachtun-
gen der Verformungen, im Folgenden auch als Deformationen bezeichnet, und basiert auf
dem Tensor des Deformationsgradienten F
( )1FFE −= T
21
: . (14)
Der Deformationsgradient beschreibt die allgemeine Bewegung der Punkte eines Körpers im
Raum.
Dieser Sachverhalt lässt sich wie folgt zum Ausdruck bringen (Bild 9):
Xdxdrr
F= , (15)
wobei Xdr
ein Linienelement bestehend aus den Körperpunkten vor der Bewegung (Refe-
renzkonfiguration rR ) und xd
r dasselbe Linienelement nach der Bewegung (Momentankon-
figuration tR ) ist. Davon ausgehend kann der Tensor des Deformationsgradients durch
( )X
t,Xx: v
rr
∂
∂=F (16)
definiert werden.
Die allgemeine Bewegung der Punkte eines Körpers setzt sich aus der Starrkörperbewegung
(Translation und Rotation) und der Verzerrung des Körpers zusammen. Deshalb ist der De-
formationsgradient selbst für die Beschreibung der Spannungszustände ungeeignet, die un-
abhängig von der Starrkörperbewegung sondern nur vom Verzerrungszustand abhängig sind
(in Verbindung mit einem Materialmodell). Durch die Gleichung (14) ist sichergestellt, dass
die Starrkörperbewegung eliminiert ist und keinen Einfluss auf den Spannungszustand aus-
übt. Im folgenden wird also das in diesem Forschungsvorhaben verwendete konstitutive Ma-
terialmodell ausgehend vom Verzerrungstensor E definiert und vorgestellt.
2 Stand der Technik und Wissenschaft
12
2.2.2 Deformation
Die Beschreibung der Elastizität behandelt die einfachste Form des Deformationsverhal-
tens. Hierzu muss die Voraussetzung erfüllt sein, dass die durch die Belastung entstandene
Verformung nach der Entlastung wieder völlig verschwindet. Das elastische Verhalten der
Werkstoffe wird durch das verallgemeinerte Hooke'sche Elastizitätsgesetz für den mehrach-
sigen Spannungszustand beschrieben:
[ ]eET C= . (17)
Hier ist eE der elastische Anteil des Verzerrungstensors und C der Elastizitätstensor. Der
Elastizitätstensor ist ein Tensor 4. Stufe und besitzt 81 Komponenten. Für den Fall der i-
sotropen Werkstoffe sind jedoch nur 12 dieser Komponenten von Null verschieden und las-
sen sich in Abhängigkeit von nur 2 Konstanten λ und µ (Lamésche Konstanten) in der Mat-
rix-Vektor-Schreibweise folgendermaßen darstellen:
µ
µ
µ
µ+λλλ
λµ+λλ
λλµ+λ
=
00000
00000
00000
0002
0002
0002
C
. (18)
Für das elastische Verhalten des Materials werden oft die Größen Elastizitätsmodul E und
Querkontraktionszahl ν verwendet, die durch die Beziehungen:
( )( ) ( )ν+=µ
ν−ν+
ν=λ
12E
,211
E (19)
in die Lamé’schen Konstanten umgerechnet werden können.
Aufbauend auf dem Verzerrungstensor und mit der Einschränkung auf kleine Deformationen
kann für den Fall der Plastizität eine additive Zerlegung des Verzerrungstensors in einen
elastischen und einen plastischen Anteil formuliert werden.
pe EEE += (20)
Auf einen Ansatz des plastischen Verzerrungstensors pE wird im folgenden eingegangen.
Wie bei der Elastizität geht auch bei der Plastizität nur der elastische Anteil des Verzer-
rungstensors eE in das Hooke’sche Gesetz ein, welcher für die Größe der Spannung ver-
2 Stand der Technik und Wissenschaft
13
antwortlich ist. Bei einer zunehmenden Belastung folgt einer elastischen Phase eine plasti-
sche Phase. Dabei tritt Plastizität erst beim Erreichen der Fließgrenze k auf (Bild 9).
Die Bezeichnung Fließgrenze kann man als einen den elastischen Bereich umschließenden
Oberbegriff verstehen. Sie lässt sich experimentell nur sehr schwer bestimmen. Die gängige
Methode zur Bestimmung der Fließgrenze im eindimensionalen Fall ist der Zugversuch.
Hierbei wird in der Regel die Dehngrenze Rp0,2 gemessen. Je nach Genauigkeitsanforde-
rung sind bei kleineren Dehnungen auch wesentlich kleinere Spannungen messbar. Außer-
dem liefert der Zugversuch aufgrund der relativ hohen, für die Anfangsphase des Versuches
festgelegten Dehnungsrate vonε&=0,5% Spannungen, die viskose Anteile beinhalten und viel
höher als die tatsächliche Fließgrenze sind.
Als eine Erweiterung des Begriffes der Fließgrenze im eindimensionalen Fall spricht man im
dreidimensionalen Fall von der Fließfläche. Damit ist im 6-dimensionalen Spannungsraum (je
3 Normal- und Scherspannungen) die 5-dimensionale Hyperfläche gemeint, die den elasti-
schen Bereich umschließt.
Um festzustellen, bei welchem dreidimensionalen Spannungszustand das Fließen des
Werkstoffs stattfindet, ist eine Fließfunktion
( ) ( ) kf:k,F −= ξT,ξT, (21)
sowie eine Fließbedingung
( ) ( ) 0k,Fkf =⇒= ξT,ξT, (22)
zu definieren [35, 38]. Die Funktion f bildet einen mehrdimensionalen tensorwertigen Span-
nungszustand in eine skalarwertige Vergleichsspannung ab, die einen Vergleich mit der ein-
dimensionalen, experimentell ermittelten Fließgrenze k ermöglicht. Dabei ist ξ der Span-
nungstensor der kinematischen Verfestigung, auch Rückspannung genannt. Für die Funktion
f kann man einen Ansatz der folgenden Form machen:
( ) ( ) ( )DD
23
:f ξTξTξT, −⋅−= , (23)
wobei hier die von-Mises-Norm mit der Definition
( ) ( )DD
Mises 23
: AAA ⋅= (24)
zum Einsatz kommt.
Das Symbol ( )D ist der Deviator (kein Exponent sondern als ein Operator zu verstehen)
und, auf Spannungstensor angewendet, liefert er eine Spannung ohne den hydrostatischen
2 Stand der Technik und Wissenschaft
14
Anteil. Die hy-drostatische Spannung bewirkt nämlich lediglich eine elastische Volumenände-
rung aber keine plastische Deformation (1. Axiom der Plastizität). Der Deviator ist definiert
durch
1TTT )sp(31D −= (25)
mit der hydrostatischen Spannung oder dem Kugelanteil des Spannungstensors, also der 2.
Term in Gl. (25)
1TT )sp(31
H = . (26)
Das Symbol ijδ=1 stellt den Einheitstensor 2. Stufe dar.
Das Fließen des Werkstoffes verursacht einen Zuwachs des plastischen Anteils des Verzer-
rungstensors pE . Der Zuwachs des plastischen Verzerrungstensors über die Zeit ist nichts
anderes als die Geschwindigkeit der plastischen Verformung oder die plastische Deh-
nungsrate und kann durch deren erste Ableitung nach der Zeit pE& geschrieben werden. Für
die Modellierung der plastischen Verformung bzw. deren Verlaufes wird eine Entwicklungs-
gleichung für pE& (auch Evolutionsgleichung genannt) verwendet, die in Form einer gewöhnli-
chen Differentialgleichung ausgedrückt werden kann:
( )s
k23 D
p&& ξT
E−
= . (27)
Die Herleitung folgt aus der Beziehung
sf
p &&
TE
∂
∂= , (28)
die Fließregel genannt wird. Dabei entspricht der Ausdruck T∂∂f der Änderung der Span-
nung im 6-dimensionalen Spannungsraum normal zur Fließfläche (assoziierte Normalenre-
gel) gewichtet durch s& als ein Proportionalitätsfaktor. In der obigen Evolutionsgleichung ist
T der Spannungstensor, ξ der (Translations-) Tensor der kinematischen Verfestigung (Bild
10). Diesen Spannungen werden durch entsprechende Abbildungen Dehnungsgrößen zuge-
ordnet werden: Yξ c= bzw. ( )0rrR +γ= , die in den Betrachtungen der thermodynami-
schen Konsistenz des Materialmodells verwendet werden. Durch die Differenz der beiden
Spannungen wird der Einfluss der kinematischen Verfestigung berücksichtigt. Die Fließgren-
ze k beinhaltet auch isotrope Verfestigung.
Die akkumulierte plastische Dehnung s beinhaltet die Deformationsgeschichte mit
2 Stand der Technik und Wissenschaft
15
dt32
st
0
pp∫ ⋅= EE && . (29)
Für die beiden Spannungen der kinematischen Verfestigung ξ (tensorwertig) und der isotro-
pen Verfestigung k (skalarwertig) wird ebenfalls je eine Evolutionsgleichung definiert. Je
nach dem, ob es sich um den Sonderfall der reinen Plastizität (keine Verschiebung der
Fließgrenze in Richtung höherer Spannungen, keine Zunahme der Spannung über die Fließ-
grenze) oder Plastizität mit Verfestigung (Verschiebung der Fließgrenze in Richtung höherer
Spannungen, jedoch keine Zunahme der Spannung über die Fließgrenze) handelt, können
unterschiedliche Ansätze gemacht werden. Im viskoplastischen Fall kann die Spannung die
Fließgrenze überschreiten, was auch als Überspannung bezeichnet wird und weiter unten
erklärt wird. Im letzteren wird noch zwischen linearer und nichtlinearer Verfestigung unter-
schieden. Bei linearer Verfestigung sind Gleichungen folgender Form, Prager'scher Ansatz
genannt, anzusetzen:
pcEξ && = und (30)
sk && γ= (31)
Bei diesem Ansatz wird angenommen, dass sich bei der plastischen Deformation die Fließ-
grenze linear ändert. Darin sind c und γ die Materialparameter zuständig für die Erzeugung
der kinematischen bzw. isotropen Verfestigung. Diese lineare Art von Verfestigung ergibt
jedoch nur eine sehr grobe Näherung des realen Materialverhaltens wieder, da die Verfesti-
gung mit zunehmender plastischen Dehnung ohne Sättigung und unbegrenzt steigt.
Das oben beschriebene plastische Materialmodell kann kein von der Belastungsgeschwin-
digkeit abhängiges Verhalten beschreiben. Es ist jedoch als der Sonderfall des Werkstoff-
verhaltens bei Belastungen mit unendlich langsamer Geschwindigkeit (Gleichgewichtszu-
stand) anzusehen [71] (Bild 11).
Durch die Erweiterung des plastischen Modells um Viskositätsverhalten kommt die Abhän-
gigkeit von der Belastungsgeschwindigkeit, oder kurz Geschwindigkeitsabhängigkeit, zur
Geltung und das Materialmodell kann somit Kriechen und Relaxation ebenfalls wiedergeben.
Unter Kriechen ist eine Änderung der Deformation bei konstanter Spannung zu verstehen,
unter Relaxation dagegen eine Änderung Spannung bei konstanter Deformation.
Die bisher vorgestellten elastischen und plastischen Werkstoffbeschreibungen sind
geschwindigkeitsunabhängig; die Belastungsgeschwindigkeit hat demnach keinen Einfluss
auf die Materialantwort. In der Praxis wird aber beobachtet, dass z.B. bei dehnungsgeregel-
ten Versuchen und hohen Temperaturen die Dehnungsrate einen entscheidenden Einfluss
auf die Spannungsantwort hat. Dieser Einfluss ist ein Kennzeichen für die Abhängigkeit der
2 Stand der Technik und Wissenschaft
16
Materialantwort von der Geschwindigkeit der Belastung. Eine Erweiterung des hier vorge-
stellten plastischen Modells um Viskositätsverhalten kann hier Abhilfe leisten.
Das Viskositätsverhalten kommt durch die Bildung von Überspannung zustande. Sie bildet
sich bei Viskoplastizität, sobald die aktuelle Spannung die Fließfläche und damit den elasti-
schen Bereich verlässt. Somit gilt hier eine andere Fließbedingung, als im Zusammenhang
mit Gl. (21) erwähnt:
( ) ( ) 0k,Fkf >⇒> ξT,ξT, . (32)
Die dabei entstehende Überspannung F kann nun mit Hilfe einer neuen Definition der akku-
mulierten plastischen Dehnung das viskoplastische Verhalten beschreiben:
η=
mF
:s& . (33)
Hier kommen zwei weitere Materialparameter m und η für die Viskosität hinzu. In der Defi-
nition der plastischen Dehnungsgeschwindigkeit pE& in Gl. (27) wird dann statt der Fließ-
spannung k die Überspannung f eingesetzt.
( )s
f23 D
p&& ξT
E−
= (34)
Dieses Modell ist in der Lage entsprechend der Belastungsgeschwindigkeit unterschiedliche
Ergebnisse zu liefern. Das unbegrenzte Verfestigungsverhalten führt zu unrealistische Resul-
taten.
Zum Beispiel würde eine konstante Spannung (beim Kriechen) zu einem asymptotischen
Wert der Kriechdehnung führen und zwar so, dass sich bei der Kriechkurve nach genügend
langer Zeit ein waagerechter Sekundärbereich ausbildet. Mit anderen Worten konvergiert die
Geschwindigkeit der Kriechdehnung gegen null (Bild 12 a).
Der Fall Viskoplastizität mit dynamischer Erholung lässt sich durch einen etwas kompli-
zierteren Ansatz der Viskosität mit nichtlinearer Verfestigung, der nach Armstrong-Frederick
[75] folgendermaßen gewählt wird, beschreiben:
ξEξ sbc p&&& −= (35)
( ) skksk 0&&& −β−γ= (36)
Darin sind die Materialparameter γβ,,c,b und 0k enthalten. 0k ist die Fließgrenze des
Werkstoffs im Neuzustand, c bzw. b sind die Parameter für den erzeugenden bzw. den
begrenzenden Term der kinematischen Verfestigung und γ bzw. β sind die entsprechenden
2 Stand der Technik und Wissenschaft
17
Parameter der isotropen Verfestigung. Die Verfestigungsmechanismen sind sowohl für Plas-
tizität als auch Viskoplastizität gültig.
Dieser Ansatz berücksichtigt die Tatsache, dass bei der plastischen Deformation die Ände-
rung der Fließgrenze in der Regel nichtlinear verläuft. Es wird davon ausgegangen, dass der
Werkstoff während der Deformation zwar verfestigt, aber die Verfestigung sich asymptotisch
einem Sättigungswert annähert.
Im Gegensatz zu dem vorher geschilderten Beispiel der Belastung bei konstanter Spannung
(Bild 12 a) entsteht nunmehr ein Sekundärbereich mit einer Dehnungsgeschwindigkeit von
endlicher Größe (Bild 12 b).
Das Materialmodell mit dynamischer Erholung kann allerdings nur bei genügend großen Ge-
schwindigkeiten der akkumulierten plastischen Dehnung s& gewährleisten, dass der begren-
zende Term ξsb& bzw. ( ) skk 0&−β insgesamt Größenordnungen annimmt, die in ausrei-
chendem Maße für den Abbau der kinematischen bzw. isotropen Verfestigung sorgen. Dies
ist aber z.B. beim Kriechprozess mit kleineren Spannungen nicht zutreffend und das Ergeb-
nis ähnelt dem Fall mit linearer Verfestigung. Dem kann mit einer Erweiterung um die stati-
scher Erholung entgegengewirkt werden.
Durch die Erweiterung des Modells um Viskoplastizität mit statischer Erholung erreicht
man eine Abnahme der isotropen und kinematischen Verfestigungen auch bei einer nahezu
konstanten plastischen akkumulierten Dehnungsgeschwindigkeit s& im Begrenzungsterm (2.
Term)
ξξξEξ1w
p psbc−
−−= &&& , (37)
( ) ( )ω−π−−β−γ= 00 kkskksk &&& . (38)
Durch diese Ansätze kommen weitere 4 Materialparameter π,w,p und ω jeweils für die
statische Erholung der kinematischen bzw. isotropen Verfestigung hinzu.
2.2.3 Schädigung
Für die Lebensdauer von Bauteilen unter Hochtemperaturbeanspruchung ist die Entwicklung
der Schädigung durch mikrostrukturelle, zeitabhängige Vorgänge von zentraler Bedeutung.
Hier sind einerseits langzeitige Experimente und einaxialer aber insbesondere auch mehr-
axialer Beanspruchung erforderlich, andererseits stellen aber auch Methoden zur Detektion
der Schädigung und zu deren Modellierung [29, 33, 36] eine besondere Aufgabe dar.
2 Stand der Technik und Wissenschaft
18
Die Schädigungsbeschreibungen gehen auf mikrostrukturelle Grundvorstellungen ein. Die
Kriechschädigung wird mit der Entstehung und dem Wachstum von Poren an den Korngren-
zen erklärt. Die Porenverteilung hängt von der Beanspruchungsgeschichte ab und führt im
Allgemeinen zu einem anisotropen Materialverhalten. Eine Entwicklungsgleichung für
Kriechschädigung stützt sich auf die Kenntnisse mikromechanischer Details wie Keimbil-
dung, Porenanteil sowie bevorzugte Porenposition und Wachstum der Poren oder sie muss
deren Wirkung zumindest phänomenologisch erfassen können. Ein dementsprechend um
Porenschädigung erweitertes Chaboche-Modell wurde in [39] vorgestellt. Es benutzt das
Modell des dehnungsbehinderten diffusiven Porenwachstums von Rodin und Parks [40]. Die
Ermüdungsschädigung ist mit der Initiierung und dem Wachstum von Oberflächenrissen ver-
bunden, die in das Bauteilinnere wachsen. Ist eine bestimmte Risslänge erreicht, gilt die An-
risslebensdauer als erschöpft. Da es sich hierbei in der Regel um einen einzelnen längsten
Riss handelt, ist eine kontinuumsmechanische Beschreibung nicht mehr selbstverständlich.
Zur Überwindung dieser Schwierigkeit kann man von einer kontinuierlichen Mikrorissvertei-
lung ausgehen [41], die sich unter der herrschenden Beanspruchung weiterentwickelt. Die
unterschiedlichen Mechanismen von Kriechschädigung und Ermüdungsschädigung lassen
demnach die Einführung von zwei Schädigungsvariablen mit entsprechenden Evolutionsglei-
chungen als zweckmäßig erscheinen. Die kontinuumsmechanische Berücksichtigung der
Schädigung erfolgt zumeist über eine Erhöhung der wirksamen Spannung. Für den Fall einer
isotropen, durch einen skalaren Parameter D repräsentierten Schädigung wird das für eine
1D-Beschreibung verdeutlicht.
Ver- und Entfestigungsvorgänge, die im Verlauf monotoner wie zyklischer thermomechani-
scher Beanspruchung auftreten, werden durch innere Spannungen erfasst. Entfestigungs-
vorgänge lassen sich häufig mit thermisch aktivierten Mikrostrukturänderungen, z.B. einem
Teilchenwachstum in Verbindung bringen, das auch die Versetzungsstruktur beeinflusst.
Demgegenüber beschreiben die Schädigungsvariablen einen irreversiblen Entfestigungsvor-
gang durch Poren- und Mikrorisswachstum. Er wird auf andere physikalische Parameter zu-
rückgeführt und bedarf demgemäß einer eigenen Evolutionsgleichung. Auch diese Schädi-
gung ist im Allgemeinen richtungsabhängig und damit tensoriell zu beschreiben. Modellvor-
stellungen über Mikroschadensmechanismen bei Kriechermüdungsbeanspruchung lassen
sich am Beispiel der Methode der Dehnungsschwingbreitenaufteilung beschreiben (Bild 13).
Durch das wechselweise Heraustreten von Gleitbädern aus dem Korninneren sowie durch
Kornverformungen entstehen an der Werkstoffoberfläche Ermüdungsanrisse. Diese wachsen
von der Oberfläche des Bauteils bzw. der Probe in das Werkstoffinnere. Parallel kommt es
infolge der Wirkung einer überlagerten Kriech- bzw. Relaxationsbeanspruchung zum Korn-
grenzengleiten und schließlich zur Bildung von Poren und Keilrissen (Beispiel Bild 14). Irre-
versible Gefügeänderungen vollziehen sich daher durch Kriechen im Werkstoffinneren und
durch Ermüden eher an der Werkstoffoberfläche. Bei einem 1%CrMoNiV-Stahl kann die mit
Kriechporen besetzte Korngrenze unter Wirkung einer diesen Vorgang verstärkenden Oxida-
2 Stand der Technik und Wissenschaft
19
tion als Ausgangspunkt für die Anrissbildung unter Kriechermüdungsbeanspruchung gelten
[29].
Die Schädigung bewirkt eine Entfestigung des Materials, die in der Regel mittels einer Ver-
stärkung der Beanspruchungen in dem ansonsten unveränderten Materialgesetz berücksich-
tigt wird. Dieses Vorgehen entspricht dem sogenannten Konzept der effektiven Spannungen.
Hierunter sind diejenigen Spannungen zu verstehen, welche an einem ungeschädigten Ma-
terialelement die gleichen Deformationen hervorrufen wie die tatsächlich wirkenden Span-
nungen an dem geschädigten Materialelement, was der Hypothese der Verzerrungsäquiva-
lenz von Lemaitre-Chaboche entspricht [35]. Der Einfachheit halber erfolgt hier eine Be-
schränkung auf isotrope Materialschädigung, zu deren Beschreibung eine skalare Schädi-
gungsvariable hinreicht.
Das Ziel einer simultanen Behandlung von Kriech- und Ermüdungsschädigung kann durch
eine entsprechende Zerlegung der (Gesamt-)Schädigungsvariablen in D = Dk + DE mit DK
und DE für die Kriech- und die Ermüdungsschädigung erreicht werden. Den einfachsten Fall
erhält man, wenn für die beiden Anteile die verallgemeinerte Schadensakkumulationshypo-
these, Gl. (7) herangezogen wird.
Die in der Materialgleichung, Gl. (33) bzw. der Fließbedingung, Gl. (32) zu berücksichtigen-
den effektiven Spannungen besitzen die Form
)D1(),(f
eff−
=σξT (39)
mit einem Startwert D = 0 zu Beanspruchungsbeginn. Das entspricht einer Hintereinander-
schaltung von Verfestigung und Schädigung. Eine mögliche Verallgemeinerung dieses Vor-
gehens ergibt sich bereits, wenn berücksichtigt wird, dass zyklische und statische Schädi-
gung zwei voneinander unabhängige Prozesse darstellen, deren Wirkung ebenfalls eher im
Sinne einer Hintereinanderschaltung zustande kommt. Damit ist für die effektive Spannung
)D1)(D1(),(f
KEeff
−−=σ
ξT (40)
anzusetzen. Im Unterschied zu den obigen Ansätzen, z.B. Gl. (40) ist es auch möglich, für
die Kriechschädigung von einer Schädigung im Sinne von Rabotnov [57, 79] auszugehen:
( )k
K
r
K )D1(A
),(fD
−=
ξT& . (41)
2 Stand der Technik und Wissenschaft
20
Dabei sind zwei unabhängige Exponenten r und k zu bestimmen, was zu einer verbesserten
Darstellung des Tertiärkriechens führt. Als alternatives Modell zur Beschreibung einer Ermü-
dungsschädigung kann das von Chaboche [38] vorgestellt Schädigungsgesetz
dN)(M
DdD
m
v
maxu
EE
β
σ
σ
σσ
−=
α
(42)
verwendet werden. Es enthält neben den freien Parametern α und β von der zyklischen Be-
anspruchung abhängige Parameter. Eine Schädigungsfunktion M(σm) beschreibt den Ein-
fluss der Mittelspannung σm im Zyklus. Ferner ist σu eine oberhalb der höchsten Zugspan-
nungsamplitude anzunehmende statische Beanspruchung, σv die tatsächlich angreifende
von-Mises-Vergleichsspannung und σmax die jeweilige maximale Spannungsamplitude. Der
Exponent α kann spannungsabhängig sein. In [38] werden mögliche Modifikationen für die-
ses, auf dem Konzept einer Restlebensdauer aufgebaute Schädigungsgesetz vorgeschla-
gen, die auch für die Beschreibung des Kriechermüdungsverhaltens warmfester Stähle von
Interesse sind.
Besonders bei Bauteilen mit einer größeren Zahl finiter Elemente ist die bei inelastischen
Berechnungen mit konstitutiven Gleichungen erforderliche Rechenzeit prohibitiv. In einem
speziellen, auf zumutbare Rechenzeiten ausgerichteten Verfahren [44] werden nach einer
Einspielperiode der Berechnung in einer quasistationären Periode, die den überwiegenden
Teil der Lebensdauer umfasst, die inneren Variablen eines gekoppelten Ansatzes schrittwei-
se extrapoliert. Nach jedem dieser Schritte wird wieder ein Zyklus durchgerechnet, um die
Gleichgewichtsbedingungen erfüllt zu halten, und die numerische Stabilität der Lösung wird
durch eine empirisch gewonnene Extrapolationsschrittweite sichergestellt. Durch dieses Ver-
fahren wird die für zyklische Beanspruchungen benötigte Rechenzeit entscheidend abge-
kürzt.
Im Hinblick auf die Modellierung der Schädigung wurde von [44] ein alternativer Ansatz vor-
geschlagen. Er basiert auf der Vorstellung eines fiktiven geschädigten Materials (Bild 15).
In der Kontinuumsmechanik gibt es zwei Grundsätze zur Berücksichtigung der Schädigung
im Materialverhalten. Der erste Grundsatz beinhaltet effektive Spannungen kombiniert mit
der Dehnungsäquivalenz und basiert auf Arbeiten von Lemaitre [33, 76] und Chaboche [35,
38]. Der zweite Grundsatz, der zuerst von Cordebois und Sidoroff [74] eingeführt wurde, be-
ruht auf effektiven Spannungen und Dehnungen unter der Forderung von Energieäquivalenz.
Im Rahmen dieser Arbeit wird eine neue Erweiterung dieses Ansatzes, nämlich die verall-
gemeinerte Energieäquivalenz verwendet [67, 68].
Um die Schädigung des Werkstoffes infolge der Deformation zu modellieren, können ver-
schiedene Evolutionsgleichungen verwendet werden (Tabelle 2). Als Grundlage ist hier der
2 Stand der Technik und Wissenschaft
21
Ansatz von Lemaitre mit der verallgemeinerten Formulierung nach Lämmer [72] zu sehen.
Die aus der Literatur entnommenen Ansätze nach Dhar [77], Tai [82] und Saanouni [81] er-
geben sich als Sonderfälle des allgemeinen Lemaitre-Ansatzes nach Lämmer. Der Ansatz
nach Lemaitre ist grundsätzlich in der Lage die Schädigungsentwicklung durch Plastifizie-
rung entweder aus Kriechen oder aus LCF abzubilden.
( )s
D1
D)D(sD
1
0
q
q
210&&&
−
∂
ψ∂ρ−
α+α+α= , (43)
wobei )D
(∂
ψ∂ρ− die Energiefreisetzungsrate ist und sich aus der Dissipationsungleichung zu
0)rR(21
D e ≥+⋅+⋅=∂
ψ∂ρ− ξYTE . (44)
ergibt. An den drei skalaren Produkttermen in den Klammern, die Energieanteile aus der
elastischen Dehnung und Spannung, der kinematisch plastischen sowie der isotrop plasti-
schen Dehnung und Spannung darstellen, geht hervor, dass in dem Schädigungsansatz der
Gleichung (43) der größtmögliche Informationsgehalt der elastischen und plastischen Defor-
mation inklusive Verfestigungseffekte eingeht. Außer dem Einfluss der aktuellen Größe der
Dehnung und Spannung werden unter anderem der Einfluss der Mittelspannungen in der
Form der kinematischen und iso-tropen Spannungsvariablen berücksichtigt.
In der Evolutionsgleichung (43) kann der Parameter 0α sowohl der Neubildung von Poren
und Mikrorissen zugeordnet werden, die zunächst mit der Dehnung linear wächst. Ab einem
bestimmten kritischen Schwellwert ist die Poren- und Mikrorissbildung nicht mehr linear zur
Dehnung, sondern steigt rapide an. Die Parameter 1α und
2α sind für Porenwachstum und –
zusammenlagerung zuständig.
2.2.4 Werkstoffmodell mit der verallgemeinerten Energieäquivalenz
Im Folgenden soll das in dieser Arbeit verwendete Materialmodell, das im Wesentlichen von
Tsakmakis [67, 68] entwickelt wurde, beschrieben werden (Tabelle 1). Wesentliche Bezie-
hungen hierbei sind in Abschnitt 2.2.1 angegeben, jedoch dort in der Formulierung für den
allgemeinen Fall (Gln. (8) bis (38)). Das Modell beruht zunächst auf einer additiven Zerle-
gungen der Deformation in einen elastischen und einen plastischen Anteil, wie es für ver-
gleichsweise kleine Verformungen typisch ist (Zeile 1). Der elastische Anteil der Deformation
lässt sich in eine Spannung T gemäß Gl. (17) überführen (Zeile 2). In der in Tabelle 1 ange-
gebenen Schreibweise handelt es sich bereits um die gemäß der allgemeinen Energieäqui-
2 Stand der Technik und Wissenschaft
22
valenz verwendete Formulierung. Alle entsprechenden Größen sind speziell gekennzeichnet,
z.B. für die Spannung T~ im fiktiven Material (hier in Tensor-Schreibweise).
Im Weiteren werden die kinematische und isotrope Verfestigung durch die innere Variablen
formuliert (Zeile 3). Die kinematische Verfestigung geht zusammen mit der Spannung in die
Definition für die äquivalente Spannung ein. Das fiktive Material wird einerseits durch die
öquivalente Spannung (Zeile 4) und andererseits durch die Fließfunktion (Zeile 5) und die
zugehörige Fließbedingung (Zeile 6) charakterisiert. Dabei steht die Größe ko für die Fließ-
kurve, also den Übergang vom elastischen zum plastischen Materialverhalten.
Die Geschwindigkeit der akkumulierten plastischen Dehnung s&~ ausgedrückt durch die Fließ-
funktion und die Materialkonstanten m und η für die Viskosität des Materials (Zeile 7) wird
auch vielfach als plastische Bogenlänge bezeichnet. Die Geschwindigkeit der plastischen
Dehnung, die mit dem zweiten Term der Ausgangsbeziehung in Zeile 1 zusammenhängt,
wird durch die Evolutionsgleichung mit der Geschwindigkeit der akkumulierten plastischen
Dehnung, der Spannung und der kinematischen Verfestigung sowie der äquivalenten Span-
nung beschrieben (Zeile 8).
Die Evolutionsgleichung für die aus der Zeile 3 stammenden inneren Variablen sind in Zeile
9 und 10 angegeben. Hier wird der Zusammenhang hergestellt zwischen der kinematischen
Verfestigung Y~ , auch als Dehnungsvariable der kinematischen Verfestigung bezeichnet und
der Geschwindigkeit plastischen Dehnung pE
&~ . Diese Evolutionsgleichung in Zeile 9 berück-
sichtigt ferner die dynamische Erholung (2. Term) und die statische Erholung (3. Term). Die
dynamische Erholung charakterisiert die Nichtlinearität des Ansatzes im Sinne einer Begren-
zung der Verfestigung, während die statische Erholung verhindert, dass die Verfestigung
einem konstanten Wert zustrebt. Dieser Term trägt also auch zur Nichtlinearität in der Be-
schreibung des Materialverhaltens bei. Im Fall einer einsinnigen Kriechbeanspruchung be-
schreibt dieser Term die Steigung der Verfestigung, siehe auch Bild 12. Insgesamt kommen
hier 4 Materialparameter zur Anwendung.
In analoger Weise ist die Dehnungsvariable der isotropen Verfestigung formuliert mit den in
Tabelle 1 angegebenen 4 Materialparametern. Zur Prüfung der thermodynamischen Konsis-
tenz wir die Ungleichung gemäß Zeile 11 herangezogen, die negative Werte nicht annehmen
darf. Dazu werden die drei Terme gemäß Zeile 12 (elastische Energie, plastische Energie
aus der kinematischen Verfestigung und plastische Energie aus der isotropen Verfestigung)
durch Ansätze für ψ so formuliert, dass die Beziehungen in Zeile 13 erfüllt sind. Dabei han-
delt es sich um Ableitungen nach der elastischen Dehnung, der Dehnungsvariablen nach der
kinematischen Verfestigung und nach der isotropen Verfestigung (Zeile 13).
Bisher behandelt die Schilderung des Modells ausschließlich den Fall ohne Schädigung. In
Zeile 14 wird zur Berücksichtigung von Schädigung zunächst eine Beziehung zwischen den
2 Stand der Technik und Wissenschaft
23
Funktionen des realen Materials (linke Seite in Zeile 14) und des fiktiven Materials (rechte
Seite) eingeführt. Hierbei wird von der Vorstellung ausgegangen, dass die Energiefunktionen
des realen Materials die gleiche mathematische Form wie die des fiktiven Materials haben.
Diese Vorstellung gilt sowohl für die elastische freie Energiefunktion als auch für die kinema-
tische und die isotrope freie Energiefunktion (Zeile 14). Verwendet man nun diese Formulie-
rung in Verbindung mit den Ableitungen gemäß Zeile 17 lassen sich die Beziehungen gemäß
Zeile 15 für die Spannung, die fiktive Spannung, die kinematische Verfestigung, die isotrope
Verfestigung sowie die entsprechenden Dehnungen eE
~ , Y~ und r~ herstellen. Damit ist jetzt
der Zusammenhang zwischen fiktiven und realem Material hergestellt.
Damit ist der in der Zeilen 1 bis 13 formulierte allgemeine Ansatz auf die verallgemeinerte
Energieäquivalenz erweitert. Dadurch wird die Möglichkeit geschaffen, direkt Schädigung
sowohl in den Spannungen als auch den Dehnungen zu berücksichtigen (Zeile 15). An die-
ser Stelle muss die Fließfunktion des realen Materials ebenfalls in Verbindung mit Schädi-
gung definiert werden. Diese Fließfunktion (Zeile 16) ist ähnlich aufgebaut wie diejenige für
den fiktiven Werkstoff gemäß Zeile 5. Dazu wird zusätzlich die Schädigung D berücksichti-
gende Funktion g(D) eingeführt, in der der Modellparameter n von direktem Einfluss ist, bei
metallischen Werkstoffen aber vielfach den Wert Eins annimmt.
Schließlich ist zur Anwendung des Modells noch eine Evolutionsgleichung für die Schädi-
gung heranzuziehen. Die Formulierung in Zeile 17 nach Lämmer [72] unterscheidet nicht
zwischen Kriech- und Ermüdungsschädigung (Abschnitt 2.1.3, Gl. (4)).
Das hier vorgestellte Materialmodell mit Schädigung berücksichtigt vorteilhaft thermodynami-
sche Konsistenz, den Einfluss der Schädigung sowohl auf Spannungsgrößen als auch auf
Dehnungsgrößen. Durch die Einführung der Energieäquivalenz (Zeilen 14 bis 17) ist es mög-
lich, die Ansätze für ein fiktives Materialmodell gemäß der ursprünglichen Formulierung
durch Chaboche [38] (Zeile 1 bis 13) in eine vergleichbare Formulierung mit Schädigung zu
übertragen. Ein weiterer Vorteil dieses Modells besteht in der Erweiterbarkeit auf anisotrope
Schädigung, wie sie in mehraxial beanspruchten Bauteilen auftritt. Schließlich sei darauf
hingewiesen, dass das Modell auch auf anisotropes Werkstoffverhalten erweiterbar ist.
2 Stand der Technik und Wissenschaft
24
2.3 Verfahren zur Parameteridentifikation
Bei der quantitativen Beschreibung des Werkstoffverhaltens mit wie auch immer gearteten
mathematischen Formulierungen besteht eine wichtige Aufgabe in der Ermittlung der darin
enthaltenen Parameter. Bei bestimmten klassischen Gleichungen, die sogar eine vorher
festgelegte Beanspruchungsart voraussetzen, wie z.B. Kriechbeanspruchung mit der Norton-
Gleichung (Gl. (1)), ist nur ein einachsiger Spannungszustand beschreibbar. Bei komplizier-
teren konstitutiven Materialmodellen mit der Möglichkeit zur räumlichen Definition des Span-
nungszustandes beantwortet sich die Frage nach der Wahl der Probenform zur Erzeugung
von experimentellen Daten nicht von allein.
Bei den Identifikationsversuchen ist also zu klären, welche Probengeometrie zugrunde liegen
soll, also ob einaxiale oder mehraxiale Spannungszustände erzeugt werden sollen oder ob
es sich um homogene oder inhomogene Spannungszustände handelt.
Der Vorteil des einaxialen Versuchstyps liegt in der Einfachheit der Versuchsdurchführung
und in der Tatsache, dass solche Versuchsdaten oft bereits vorliegen. Zumindest ist eine
Anpassung oder Änderung des oft erforderlichen zeitlichen Versuchsverlaufs nicht weiter
schwierig. In der Regel wird bei einachsiger Beanspruchung eine Homogenität des Span-
nungszustandes angenommen. Allerdings trifft diese Annahme selbst bei der einfachsten
Probenform der zylindrischen Zugprobe abhängig von der Größe der Deformation auch nur
in etwa zu. So kann anhand von Finit-Element-Berechnung gewisse Abweichungen nachge-
wiesen werden [84]. Hier ist bereits eine latente Quelle der Ungenauigkeit vorhanden, deren
Beseitigung nur durch in der Regel unverhältnismäßig hohen Aufwand der Finit-Element-
Berechnung unter Berücksichtigung der geometrischen und physikalischen Nichtlinearitäten
möglich ist.
Im Rahmen dieser Arbeit sollen lediglich einachsige Experimente die Basis der Messdaten
zur Parameteridentifikation bilden. Biaxial durchgeführte Experimente an Kreuzproben (Kapi-
tel 5) sind im Anschluss an die Parameteridentifikation zu Verifikationszwecken vorstellbar.
Natürlich wäre es denkbar, biaxiale Experimente zur Identifizierung der Materialparameter zu
verwenden, wie dies bei anderen Forschungsvorhaben durch CT-Probenversuche [84] oder
Kugeleindruckversuche [70] geschehen ist. Aber der auf Langzeitverhalten, insbesondere
auf das Kriech- und Kriechermüdungsverhalten abzielende Schwerpunkt bei der Parameter-
suche spricht für eine Versuchsmethode, bei der auch der Verlauf bzw. die Intensität der
Belastung den Gegebenheiten der Bauteilbelastung nahe sind. In diesem Zusammenhang
sei auf den deutlichen Einfluss der Dehnrate in der Belastungsphase auf maximale Deh-
nungsausschläge gemäß Bild 4 hingewiesen. Untersuchungen an konventionellen warmfes-
ten Stählen [25] sowie an modernen 9-10%Cr-Stählen [26, 55] ergaben eine deutliche Ab-
2 Stand der Technik und Wissenschaft
25
senkungen der ertragbaren Anrisswechselzahl verbunden mit einer deutlichen Verminderung
der ertragbaren Spannungen unter zyklischer Beanspruchung.
Die Entwicklung von Methoden zur Parameteridentifikation auf konstitutive Materialmodelle
ist in vergangenen Jahren verstärkt behandelt worden [46 bis 49, 84]. Dabei wurden ver-
schieden Aspekte der Herangehensweise untersucht und ihre Vor- und Nachteile in Bezug
auf die Praxistauglichkeit und der Erfolg der gelieferten Resultate analysiert worden. Ge-
genstand der Diskussion sind unter anderem die verwendeten Optimierungsverfahren aber
auch der Typ der durchzuführenden Experimente gewesen. Die Optimierungsverfahren wur-
den auf der Basis der mathematischen Algorithmen unterschieden, d.h. hauptsächlich zwi-
schen deterministische gradientenbasierte Verfahren (z.B. Gauß-Newton, Levenberg-
Marquardt) und stochastische gradientenfreie Verfahren (Monte-Carlo, Evolutionsstrategien).
In beiden Verfahren steht die Bildung eines Funktionals meistens in Form der Summe der
Fehlerqudrate, auch Zielfunktion genannt, im Vordergrund. Das Ziel der Optimierungsverfah-
ren ist, den Wert dieses Funktionals in Abhängigkeit der unbekannten Parameter zu minimie-
ren. Gradientenfreie Verfahren haben gegenüber den Gradientenverfahren oft einen Vorteil
im Bezug auf den Rechenaufwand. Die Gradientenverfahren benötigen nämlich die Berech-
nung der Jacobi-Matrix zur Bildung des Gradienten, die quadratisch von der Anzahl der Pa-
rameter abhängt. Ein weiterer Nachteil ist, dass sie sich nur für das Bestimmen lokaler Mini-
ma eignen.
Bei gradientenbasierten Optimierungsverfahren ist das Ziel, bei der Funktion f(x) diejenige
Stelle x zu finden, an der der Funktionswert f ein Minimum annimmt. Dies ist dann der Fall,
wenn die Gradiente ( )0xf∇ verschwindet. Bei diesen Verfahren wird zunächst ein Startpunkt
x0 gewählt und der Gradient ( )0xf∇ an dieser Stelle wird berechnet. Anhand des Gradienten
wird eine Abstiegsrichtung ermittelt und mit einer gewählten Schrittweite wird ein neuer
Punkt x1 berechnet, der im nächsten Schritt als neuer Startwert benutzt wird. Dieser iterative
Vorgang wird bis zur einem vordefinierten Abbruchkriterium wiederholt. Bei gut gewähltem
Startwert x0 konvergieren die Verfahren relativ schnell. Allerdings liefern sie abhängig vom
Startwert nur das nächstgelegene lokale Minimum.
Ein Beispiel für stochastische Verfahren ist die Partikelschwarmmethode. Dem Verhalten
eines Schwarms in der Natur nachempfundener Algorithmus, wie z.B. der Suche eines Vo-
gelschwarms nach der besten Nahrungsquelle. Zu Beginn der Lösungssuche ist der
Schwarm stochastisch über dem Suchgebiet verteilt. Jedes Element des Schwarms besitzt
zusätzlich eine Richtung, mit der er vom momentanen Standpunkt die Suche nach dem Op-
timum fortsetzt. In den folgenden Iterationen wird die Richtung jedes Elements variiert, indem
die ursprüngliche Richtung in die Richtung des „besten“ Elements gewichtet geändert wird.
Die Richtungsänderung wird von Iteration zu Iteration verringert. Ein Nachteil dieses Verfah-
2 Stand der Technik und Wissenschaft
26
rens ist, wie bei allen stochastischen Verfahren, die große Anzahl der Funktionsauswertun-
gen pro Iteration.
Die in dieser Arbeit eingesetzten zwei, von Grund auf unterschiedlichen Verfahren zur Para-
meteridentifikation sind gradientenfrei. Es handelt sich bei dem ersten Verfahren um die Me-
thode der Neuronalen Netze [49, 71, 83] (Bild 16) und bei dem zweiten Verfahren um die
Nelder-Mead-Methode [85]. Auf die Anwendung wird im Abschnitt 6.4 eingegangen.
Die grundsätzliche Funktionsweise der künstlichen Neuronalen Netze basiert auf der biologi-
schen Vorlage, nämlich auf Nervenzellen des Gehirns von Lebewesen, Neuronen genannt
(Bild 16 a). Jedes Neuron besitzt mehrere Synapse als Eingang der Signale. Diese Signale
werden in dem Neuron verarbeitet und anschließend durch einen Ausgang weitergegeben,
der Axon. Das mathematische Modell eines Neurons kann relativ einfach durch eine Funkti-
on mit zwei Vektoren xi des Eingangssignals und einer Gewichtung wi als Argumente erfol-
gen: Die Eingänge sind unterschiedlich sensibel, so dass eine Gewichtung je Eingang erfor-
derlich ist. Der aus dem Skalarprodukt dieser Vektoren entsteht die Intensität wixi eines Ein-
gangs bzw. ihre Summe die Aktivität Σwixi des Neurons. Das Zwischenergebnis z wird an-
schließend als Argument der Aktivierungsfunktion S übergeben (Bild 16 b) und liefert den
Wert für den Ausgang des Neurons. Ein neuronales Netz entsteht durch die Vernetzung von
Neuronenreihen oder -schichten miteinander und zwar so, dass die Neuronen derselben
Schicht keine Verbindung untereinander haben, die Ausgänge einer Schicht aber als Ein-
gänge der nächsten Schicht dienen (Bild 16 c). Somit gilt die erste Schicht als Eingabe-
schicht, die letzte als Ausgabeschicht. Die Schichten zwischen Eingabe- und Ausgabe-
schicht werden als verdeckte Schichten gekennzeichnet. Beim Vorliegen bestimmter Werte
für x können beliebige Werte für y durch das Netz erzeugt werden. Hierzu müssen die Ge-
wichtungen w aller Schichten durch einen Lernalgorithmus festgelegt werden, in dem Bei-
spiel- oder Musterdaten als Eingabe dienen. Dieser Vorgang wird als Training bezeichnet.
Ein trainiertes Netz ist in der Lage, ein generelles Verhalten nachzuahmen, das durch die
Beziehung der Datenpaare (x,y) definiert wird. Mit anderen Worten können Neuronale Netze
"aus Daten Regeln gewinnen" [83]. Ein großer Vorteil der Neuronalen Netze ist, dass sie
fehlertolerant sind. So ist die bei Optimierungsverfahren oft vorhandene Sensitivität im Bezug
auf die vorgegeben Daten, wie dies bei Versuchsdaten der Fall ist, nicht gegeben und das
Verfahren reagiert darauf stabil.
Das zweite hier verwendete Verfahren nach Nelder-Mead ist deterministisch und, wie schon
erwähnt, gradientenfrei. Seine Grundlage ist ein modifiziertes Simplex-Verfahren und stellt
einen direkten Suchalgorithmus dar. Dabei wird im Parameterraum ein Simplex, also ein
mehrdimensionales Vieleck, aufgespannt, dessen Eckpunkte die Werte der zu minimieren-
den Funktion darstellen. Für eine Funktion mit zwei Parametern lässt sich das Simplex als
ein Dreieck darstellen. Das iterative Ersetzen jeweils des Eckpunktes, der den größten Funk-
2 Stand der Technik und Wissenschaft
27
tionswert besitzt, durch einen neuen Eckpunkt mit kleinerem Funktionswert bewirkt das Zu-
sammenziehen des Dreiecks. Bei jeder Iteration entsteht ein neues Dreieck, dessen Eck-
punkte immer kleiner werdende Funktionswerte haben. Die Abmessungen des Dreiecks ver-
ringern sich ständig und ihre Koordinaten nähern sich immer mehr dem Minimum der Funkti-
on. Dieses Verfahren ist effektiv und rechnerisch kompakt.
Wie später im Abschnitt 6.4 erklärt wird, wurde im Rahmen des vorliegenden Forschungs-
vorhabens eine Zwei-Schritt-Methode entwickelt, die zunächst mit Hilfe des Neuronale-
Netze-Verfahrens ein Parametervektor identifiziert, der anschließend durch das Nelder-
Mead-Verfahren optimiert wird. Somit kann durch neuronale Netze aus einem je nach den
Anforderungen beliebig großen Parameterintervall ein bereits akzeptabler Parametervektor
gefunden werden, der als Startwert für das iterativ funktionierende Optimierungsverfahren
nach Nelder und Mead dient und somit ohne rechenzeitintensive Berechnung von Gradien-
ten weitere Verbesserungen erreicht werden.
2.4 Verifikation konstitutiver Werkstoffbeschreibungen
Zur Verifikation konstitutiver 3D-Werkstoffbeschreibungen dienen in der Regel Versuche an
mehraxial beanspruchten bauteilähnlichen Proben. Teilweise schon deren Entwurf, auf jeden
Fall aber ihre Nachrechnung ist nur noch mit FE-Berechnungen durchführbar, wie sie später
auch für die technische Anwendung erforderlich sind. In Frage kommende Verifikations-
experimente sind langzeitige Zug- und Zug-Druck-Versuche an gekerbten Proben [10, 14,
50, 62, 64], Versuche unter Innendruck oder Torsion und zusätzlicher Zug-Druck-Längsbe-
anspruchung an Rohrproben [51, 52], Versuche an durch Temperaturwechsel [53] oder
Fliehkraft [51] beanspruchten Modellkörpern, an biaxial beanspruchten Kreuzproben [54, 86,
87] (Bild 17) oder an einaxial beanspruchten Proben mit wechselnder Beanspruchungsorien-
tierung. Zusätzlich können auch die Ergebnisse extrem langzeitiger, für die Parameteridenti-
fikation nicht herangezogener einaxialer Versuche [23, 25, 26, 55] von Interesse sein. We-
gen der erheblichen Streuungen unterschiedlicher individueller Versuchswerkstoffe eines
Typs ist eine realitätsnahe Verifikation an Modellversuche für den individuellen Werkstoff
gebunden, an dem auch die Experimente zur Parameteridentifikation durchgeführt worden
sind. Das gilt zumindest solange, als noch keine Übertragung einer konstitutiven Gleichung
auf einen gefügeverwandten Werkstoff möglich ist.
Biaxiale Ermüdungsexperimente unter Zug-Druck-Beanspruchung führten zu einem deutli-
chen Einfluss des Beanspruchungsverhältnisses Φε=∆εx/∆εy (Bild 18). Dieses Verhältnis
wird aus dem Quotienten der Dehnungsschwingbreite in den Beanspruchungsrichtungen X
und Y gebildet und kann bei einer Kreuzprobe vorteilhaft Werte zwischen –1 ≤ Φ ≤ 1 an-
nehmen. Untersuchungen an einem 1%Cr-Stahl bei 550°C ergaben für den Fall reiner Er-
2 Stand der Technik und Wissenschaft
28
müdungsbeanspruchung eine Verminderung der Anrisswechselzahl von Faktor 10 für das
Verhältnis Φ=1, also gleichsinniger Beanspruchung der Achsen X und Y gegenüber dem Fall
Φ=-1 mit gegensinniger Belastung [54].
Zusammenfassend sei angemerkt, dass die in dieser Arbeit angestrebte Anwendung eines
fortschrittlichen Werkstoffmodells auf den komplexen Fall der Überlagerung von Ermüdungs-
und Kriechbeanspruchung am Beispiel warmfester Stähle, für die bis auf wenige andere Stel-
len [29, 41, 60] kaum Erfahrungen vorliegen, eine Reihe von Aufgaben erwarten ließ, die es
zu lösen galt. Diese betreffen neben unterschiedlichen komplexen Probengeometrien zur
Nachbildung der Mehrachsigkeit auch die theoretischen Arbeiten, die Programmierarbeiten
für das Modell und die Anwenderroutinen in einem Finit-Element-Code als auch die schwie-
rigen neuen Schritte bei der Parameteridentifizierung für Kriechermüdungsbeanspruchung
unter Berücksichtigung zeit- und zykluszahlabhängiger Werkstoffeigenschaften. Dabei war
es eine wichtige Zielvorgabe Transparenz in den Arbeitsschritten zu dokumentieren.
3 Aufgabenstellung, wissenschaftliche Zielsetzung
29
3 Aufgabenstellung, wissenschaftliche Zielsetzung
Ziel ist die Erstellung einer robusten, thermodynamisch konsistenten Beschreibung des ine-
lastischen Verhaltens ausgewählter warmfester Stähle in Form eines elastoviskoplastischen
Materialmodells zur Lebensdauerberechnung und Optimierung von Hochtemperaturbauteilen
des Kraftwerks- und Anlagenbaues unter praxisnaher Kriech- und Kriechermüdungsbean-
spruchung. Unter einer robusten Beschreibung wird dabei der Einsatz wissenschaftlich ab-
gesicherter und erfolgreich angewandter Methoden und Verfahren verstanden. Das Materi-
almodell soll in der Lage sein, monotone und zyklische Beanspruchungen zu erfassen und
eine isotrope Schädigungsentwicklung zu beschreiben. Es soll eine Erweiterung auf ani-
sotrope Schädigung und anisotherme Beanspruchung zulassen. Im Hinblick auf noch bewäl-
tigbare Rechenzeiten bei zyklischer Bauteilbeanspruchung sind theoretische Extrapolati-
onsmöglichkeiten zu erproben.
Bei den zu untersuchenden Werkstoffen handelt es sich im Schwerpunkt um den Schmiede-
stahl 28CrMoNiV4-9 für Turbinenwellen und stichprobenartig um den Schmiedestahl
X21CrMoV12-1 ebenfalls für große Schmiedestücke jeweils unter Beschränkung auf eine
Temperatur im Bereich der oberen Anwendungstemperatur. Die Identifikation der Materialpa-
rameter der konstitutiven 3D-Beschreibung soll im Wesentlichen auf der Basis vorhandener
1D-Materialdaten durchgeführt werden, für die aus früheren Arbeiten sehr langzeitige Daten
vorliegen. In sehr beschränktem Umfang sind noch ergänzende Versuche durchzuführen,
um die Parameteridentifikation zu unterstützen. Als weiteres Ziel sind die erstellten Material-
gleichungen in ein kommerzielles Finite-Elemente-Programmsystem zu implementieren und
durch die Nachrechnung langzeitiger Verifikationsexperimente zu validieren.
Als einaxiale Verifikationsunterlagen sollen die nicht für die Parameteridentifikation herange-
zogenen längstzeitigen experimentellen Ergebnisse aus Kriech-, zyklischen Kriech- und
Langzeitdehnwechselversuchen herangezogen werden. Mehraxiale Verifikationsunterlagen
sind durch einige gezielte Experimente an den für die Parameteridentifikation herangezoge-
nen Versuchswerkstoffen zu schaffen. Dabei sind isotherme Verifikationsversuche an Kerb-
proben unter Kriech- und Kriechermüdungsbedingungen vorzusehen. Eine wesentliche ex-
perimentelle Aufgabe wird die Einführung einer biaxialen Prüftechnik mit Kreuzproben sein.
Auch in diesem Fall sind Kriechermüdungsversuche durchzuführen. Die Güte der Werkstoff-
beschreibung durch das Materialmodell soll an diesen Verifikationsversuchen bestimmt wer-
den. Schließlich sind Anwendungsrechnungen durch die Industrie vorgesehen.
4 Versuchsprogramm
30
4 Versuchsprogramm
4.1 Werkstoffe
Die Untersuchungen im Rahmen dieser Arbeit sollten an den konventionellen Schmiedestäh-
len 28CrMoNiV4-9 und X21CrMoV12-1 durchgeführt werden. Diese Stähle werden für große
Schmiedestücke in thermischen Maschinen eingesetzt. Im Hinblick auf die Zielsetzung des
Vorhabens, nämlich der Modellierung des Werkstoffverhaltens unter mehrachsiger Kriech-
und Kriechermüdungsbeanspruchung, waren diese seit langem eingesetzten Stähle ausge-
wählt worden, weil hierfür einerseits eine ausreichende Datenbasis aus konventionellen Ex-
perimenten und andererseits Erfahrungen aus Auslegung und Betrieb vorliegen.
Der Versuchswerkstoff 28CrMoNiV4-9 mit der Schmelzenbezeichnung 216e/AAG wird für
größere Schmiedestücke, insbesondere für Turbinenwellen eingesetzt und liegt in Form ei-
nes geschmiedeten und vergüteten, wellenähnlichen Rundstabes (kurz: Welle) vor. Chemi-
sche Zusammensetzung und Wärmebehandlung (Tabelle 3) sowie der Gefügezustand (obe-
rer Bainit) entsprechen den üblichen Anforderungen. Die Proben für die Experimente (Ab-
schnitt 4.2) wurden wegen der abzubildenden Beanspruchungsverhältnisse an der beheizten
Oberfläche einer Welle stets aus der äußersten Lage entnommen und zwar durchweg in
Axialrichtung. Angaben zu den mechanischen Kurzzeiteigenschaften sind in Tabelle 3 mit-
enthalten.
Der hochlegierte martensitische Stahl X21CrMoV12-1, 220m/YV wird für größere Schmiede-
stücke und Turbinenwellen (SEW 555, EN 10 269) eingesetzt (Tabelle 4). Das Versuchsma-
terial liegt in Form gewalzter Stangen mit praxisähnlicher Wärmebehandlung der Festigkeits-
klasse I und einer für diesen Stahl typischen chemischen Zusammensetzung sowie der
Kurzzeiteigenschaften vor.
4.2 Versuche zur Parameteridentifizierung und Verifikation
Das Versuchprogramm umfasst einerseits geeignete Versuche zur Identifizierung der Mate-
rialparameter und andererseits Verifikationsversuche. Bei den Parameteridentifikationsver-
suchen handelt es sich um Zug-Druck-Relaxationsversuche mit Haltezeiten und unterschied-
lichen Rampendehngeschwindigkeiten. Die Ergebnisse dienen zur Bestimmung der Modell-
parameter hinsichtlich des in Abschnitt 2.2.4 beschriebenen Materialmodells, also beispiels-
weise der isotropen und kinematischen Verfestigung, der plastischen Dehnung sowie weite-
rer Materialparameter. Diese Versuche sollten am Werkstoff im Neuzustand durchgeführt
werden. Darüber hinaus liegen Daten aus einachsigen Versuchen früherer Arbeiten [7, 14,
23, 26, 28] zum Kriech- und Kriechermüdungsverhalten vor.
4 Versuchsprogramm
31
Im Folgenden wird auf die Verifikationsversuche für das Materialmodell eingegangen. Dabei
waren zunächst kraftkontrollierte Zug-Druck-Lastwechselversuche mit Haltezeiten (Bild 35)
an Rundkerbproben vorgesehen. Mit diesen Proben lässt sich die zyklische Bauteilbean-
spruchung an Stellen von mehraxialer Spannungskonzentration nachbilden. Eine kritische
integrale Verformung im Kerbbereich sollte mit einem Miniaturdehnungsaufnehmer gemes-
sen werden und dient als Verifikationsgröße für die Verformungsbeschreibung. Das Ver-
suchsprogramm (Tabelle 5) ist im Hinblick auf praxisnahe Verifikationen auf wenige, über-
wiegend langzeitige Versuche konzentriert, die die betriebsähnliche Dehnwechselbeanspru-
chung an der Oberfläche von Dampfturbinenbauteilen isotherm abbilden. Die Zykluszahl ist
auf Werte entsprechend den Bereichen von Kalt- und Warmstarts von Dampfturbinen be-
schränkt und die Rampendehngeschwindigkeiten sollen praxisnahe niedrig gewählt werden.
Weiter sind Kriechversuche an Rundkerbproben vorgesehen (Tabelle 5). Auch hier soll die
integrale Verformung im Kerbbereich als Verifikationssignal erfasst werden.
Von besonderem Interesse sind als weitere Verifikationsversuche biaxiale Kriechermü-
dungsversuche gemäß Beanspruchungszyklus in Bild 4 c an orthogonal belasteten Kreuz-
proben vorgesehen, wodurch sich die biaxiale Dehnwechselbeanspruchung beheizter Bau-
teiloberflächen besonders treffend nachbilden lässt. Als Verifikationsgrößen für die Verfor-
mungsberechnung mit dem Werkstoffmodell stehen Dehnungen εy , εx oder besser ihre
Schwingbreiten ∆εy , ∆εx und die benötigten Prüfkräfte bereit. Als Verifikationsgröße der
Schädigung lassen sich die durch die orthogonalen Dehnungsschwingbreiten ∆εy und ∆εx
bedingte Anzahl der Prüfzyklen bis zur Kriechermüdungsrisseinleitung heranziehen.
Die Verifikationsversuche an den Kreuzproben sind als betriebsähnliche biaxiale Dehnwech-
selversuche (Tabelle 6) mit einem Verlauf der orthogonalen Dehnungen ähnlich Bild 4 c,
Haltezeiten tH1 bis tH4, einer Zyklusdauer tp = 3 h und einer geplanten Anrisswechselzahl von
NA = 1.000 vorgesehen. Das Dehnungsverhältnis Φ = ∆εx / ∆εy der orthogonalen Dehnungs-
schwingbreiten wird bei den Versuchen variiert. Beim Werkstoff 216e sind je ein isothermer
525 °C-Versuch bei Φ = 0,5 und 1 vorgesehen und ein anisothermer Versuch mit Tmax = 550
°C, ∆T = 50 °C und Φ = 0,5. Beim Werkstoff 220m sind ebenfalls je ein isothermer Versuche
bei Φ = 0,5 und 1 vorgesehen und zwar bei T = 550 °C sowie ein anisothermer Versuch bei
Φ = 0,5. Zug- und Druckdehnungen laufen im Fall des Dehnungsverhältnisses Φ = 1 syn-
chron, was den besonders kritischen Fall einer beheizten Bauteiloberfläche abbildet. Das
Dehnungsverhältnis Φ = 0,5 drückt eine Dehnungsschwingbreitenerhöhung in y-Richtung
entsprechend einer geometriebedingten Dehnungsformzahl aus und damit ebenfalls einen
praxisnahen Fall. Eine gleichzeitige Belastung der Kreuzproben durch Zug- und Druckdeh-
nungsanteile (Φ < 0) wäre auch möglich. Damit ließen sich die Verhältnisse bei Überlage-
rung von Torsion oder Krafteinleitung über Oberflächen abbilden, was aber nicht im hier be-
trachteten Problembereich liegt.
4 Versuchsprogramm
32
Schließlich sind einige Verifikationsversuche als isotherme Kriechversuche mit konstanter
biaxialer Belastung an Kreuzproben vorgesehen (Tabelle 6). Als Vorversuche sind jeweils
kurzzeitige, als Hauptversuche jeweils längerzeitige Versuche geplant. Alle Verifikationsver-
suche sollen mit dem zu erstellenden 3D-Materialmodell nachgerechnet werden.
5 Experimente
33
5 Experimente
Bei den experimentellen Arbeiten lag der Schwerpunkt in der Durchführung von speziellen
Versuchen zur Identifizierung der Materialparameter und von Kriech- und Kriechermüdungs-
versuchen an Kerbproben sowie an Kreuzproben zur Gewinnung von Verifikationsdaten un-
ter mehrachsiger Beanspruchung.
Daten aus einachsigen Experimenten Kriech- und Kriechermüdungsverhalten lagen aus vo-
rangegangenen Arbeiten vor [7, 14, 23]. Bevor auf die Schilderung der Versuche zur Para-
meteridentifizierung und der Verifikationsversuche eingegangen wird, soll auf die Arbeiten
zur Bereitstellung der entsprechenden Prüfeinrichtung und die umfangreichen prüftechni-
schen Vorarbeiten eingegangen werden.
5.1 Prüftechnik
Die Versuche zur Parameteridentifizierung betrafen zum Einen gestufte Haltezeitversuche
(Abschnitt 5.2), die an glatten Proben mit einem Durchmesser von 10mm auf einer servo-
hydraulischen Prüfmaschine durchgeführt wurden. Auf Einzelheiten zu diesen Versuchen,
bei denen auch die Rampendehngeschwindigkeiten, im Folgenden auch kurz mit Dehnrate
bezeichnet, variiert wurde, sei auf Abschnitt 5.2 verwiesen.
Zum Anderen handelt es sich um entsprechende gestufte Haltezeitversuche an Kreuzpro-
ben, die auf dem weiter unten beschriebenen Biaxialprüfsystem durchgeführt wurden.
Zur Durchführung der Verifikationskriechversuche an Kerbproben (Bild 19) wurde eine Zeit-
stand-Einzelprüfmaschine mit entsprechender Erwärmungseinrichtung bereitgestellt (Bild
20). Dabei handelt es sich um einen Konvektionsofen in geteilter Ausführung mit 3 Heizzo-
nen. Zur Messung und Regelung der Temperatur wurden Thermoelemente vom Typ S (Pt-
RhPt10) verwendet. Zur Verformungsmessung wurden axial wirkende Miniaturdehnungsauf-
nehmer vom Typ „Hitachi Strain Pecker“ (Bild 19 c) mit einer Messbasis vom 0,4 mm einge-
setzt, für die aus [50] entsprechende experimentelle Erfahrungen vorlagen. Die Messspitzen
dieses Aufnehmers wurden mithilfe einer eigens dafür gebauten Hilfseinrichtung zentrisch im
Kerbgrund positioniert und punktgeschweißt. Die Kalibrierung erfolgte mithilfe einer speziel-
len Kalibriervorrichtung. Auf diese Weise lassen sich axiale Verformungen im Kerbgrund im
Bereich von wenigen Mikrometern erfassen.
Die Kerbprobe wurde mit einer umlaufenden Kerbe mit einer vergleichsweise mittleren Kerb-
formzahl Kt = 2,3 versehen [62]. Die Kerbe wurde mittels eines Spezialwerkzeugs durch Dre-
hen eingebracht. Um zusätzliche Informationen über die einaxialen Verformungen der Kerbe
5 Experimente
34
nach dem Versuch zu gewinnen, wurden die Kerbproben nahe der Kerbe mit keramischen
Messmarken versehen. Hierdurch ließen sich Aussagen über die integrale Verformung der
Kerbe gewinnen, die wiederum als Kontrollwerte bei den Finite-Elemente-Rechnungen Ver-
wendung fanden.
Die Messung von Risseinleitung und Rissfortschrittes in der Kerbe wurde mithilfe einer aus
anderen Mitteln beschaffenen Wechelstrompotenzialsonde vorgenommen (Bild 20 b). Hier-
bei erfolgte der Abgriff des Messsignals über angeschweißte Messelektroden, die unmittel-
bar an beiden Seiten der Kerbe angebracht wurden.
Im Folgenden wird auf prüftechnische Einzelheiten bei der Durchführung von Kriechermü-
dungsversuchen an Kerbproben eingegangen. Für diese Versuche wurde ebenfalls die in
Bild 19 dargestellte Rundkerbprobe verwendet. Wegen der Zug-Druck-Wechselbean-
spruchung waren hier spezielle Einspannteile für die Proben zu bauen. Die Komponenten
der Prüfmaschine (Bild 21) umfassen einen steifen 4-Säulen-Rahmen mit einem 3-Zonen-
Konvektionsofen in geteilter Ausführung. Die Versuche wurden in Kraftregelung durchge-
führt, wofür eigens ein Steuerungsprogramm und ein Messprogramm zu entwickeln waren.
Die Messung der axialen Probenverformung erfolgte wiederum mithilfe eines Miniaturdeh-
nungsaufnehmers (Bild 19 b).
Auf die Ergebnisse der Versuche wird in Abschnitt 5.2 eingegangen. Einen wesentlichen
Umfang der experimentellen Vorarbeiten betraf die Inbetriebnahme eines neuartigen Prüf-
systems (Bild 22) zur biaxialen Prüfung von kreuzförmigen Proben (Bild 23) unter statischen
und wechselnden Belastungen. Dieses Prüfsystem zur bauteilnahen Nachbildung von Ver-
formung und Anriss wurde aus anderen Mitteln [59] beschafft und für die Biaxialversuche in
Rahmen dieser Arbeit bereitgestellt. Die Vorarbeiten umfassten die Auslegung der Kreuz-
probe für Zug-Druckbelastung mithilfe von Finite-Elemente-Rechnung, die Fertigung der
Proben, die Durchführung von Versuchen einschließlich der Entwicklung der Programme zur
Maschinensteuerung und Messdatenerfassung zur Erprobung der Regelung und der entwi-
ckelten Kreuzprobe. Ferner betrafen die Vorarbeiten die Erwärmungseinrichtung (Bild 24)
samt Temperaturmessung und -kontrolle und schließlich Maßnahmen zur Verbesserung der
Dehnungsmessung mit dem speziellen Extensometer. Im Folgenden werden Einzelheiten
der biaxialen Prüftechnik ausführlich geschildert.
Bei der Biaxialprüfmaschine handelt es sich um eine in zwei orthogonalen Achsen arbeiten-
de servohydraulische Prüfmaschine mit einem steifen Rahmen in platzsparender, beidseitige
Zugänglichkeit gewährender vertikaler Bauweise. Zwei Paare jeweils gegenläufig wirkender
Zylinder mit 250 kN Nennkraft sind orthogonal im Rahmen der Maschine angeordnet. Vier
hochwertige Prüfzylinder der Baureihe Hydropuls (Bauart Schenck) mit hydrostatischer La-
gerung zusammen mit hochwertigen Servoventilen garantieren eine hohe Regelgüte, wie sie
insbesondere bei Dehnungsregelung mit niedrigen Frequenzen deutlich unter 0,1 Hz aber
5 Experimente
35
auch bis zu einigen Hz sowie Haltezeiten erforderlich ist. Die Zylinder sind speziell auf hohe
Quersteifigkeit ausgelegt und weisen gute Notlaufeigenschaften auf. Bei Überlast infolge
Bruch eines Probenarmes schützen zusätzliche mechanische Abstützungen Kraftmessdose
und Kolbenstange gegen Querkraft. Auf der Kolbenstange sind jeweils die Kraftmessdose
sowie die sich anschließenden Kühlplatten als Wärmebarriere zum Schutz der Kraftmessdo-
se vor thermischer Überlastung montiert.
Unmittelbar daran schließt sich die eigentliche, knicksteife Probeneinspannung an (Bild
22 b). Kühlplatten und Probeneinspannung wurden in Anpassung an die Prüfaufgabe entwi-
ckelt und gebaut. Die Kreuzprobe ist in allen 4 Armen mit einer Index-Bohrung versehen, um
sowohl bei der Fertigung (Bild 23 c) als auch bei der Probeneinspannung (Bild 22 c) hohe
Präzision und Reproduzierbarkeit der Probeneinspannung zu gewährleisten. Die Geometrie
der Kreuzprobe wurde in elastischen Finit-Element-Rechnungen optimiert. Die Prüfzone
weist eine Durchmesser von rd. 17 mm auf bei einer Dicke von 2 mm. Die Proben wurden in
der Prüfzone feingedreht und die Einspannflächen beidseitig geschliffen.
Die Kontur der gefertigten Probe wurde auf einen 3D-Koordinatenmesswerk ausgemessen.
Dabei zeigte sich eine hohe Qualität der Ebenheit in der Prüfzone als auch des Übergangs-
radius von der Prüfzone zu den Einspannarmen der Probe (Bild 25). Die Dicke der Prüfzone
variiert im Bereich von ±0,03 mm und die Abweichung der Mitte der Prüfzone bezogen auf
die Einspannungsflächen beträgt <±0,02 mm.
Bei dem Biaxial-Prüfsystem bilden je zwei gegenüberliegende Zylinder mit dem zugehörigen
Regelsystem eine Regeleinheit. Diese Regeleinheiten arbeiten in Modalregelung, also einer
überlagerten Regelung von Probenverformung bzw. Prüfkraft und Kolbenweg. Zur Online-
Lagekontrolle des Probenmittelpunktes dient ein speziell entwickelter Messtaster (Eigenbau),
der in zwei Achsen arbeitet. Die digitale Mess-, Steuer- und Regelelektronik (Typ INSTRON
8800) enthält einen speziellen Programmzweig für biaxiale TMF-Versuche. Somit besteht
eine softwaremäßige Verknüpfung mit einem integrierten Temperaturregler als fünftem Re-
gelkreis. Dadurch lassen sich mechanische Dehnung, thermisch induzierte Dehnung und
Temperatur unmittelbar synchronisieren, erfassen und der Versuchsauswertung zuführen.
Die Probenerwärmung erfolgt induktiv mit einer vorerst einseitig an der Probe angeordneten
spiralförmigen Spule (Bild 24). Die Temperaturverteilung in der Prüfzone wurde mittels einer
Kalibrierprozedur und einer speziellen Kalibrierprobe gemessen. Dazu wurde eine Kreuzpro-
be aus einem vergleichbaren Stahl durch Erodieren mit radialen Bohrungen versehen (Bild
26). In diesen Bohrungen wurden insgesamt 4 Mantelthermoelemente vom Typ N auf einem
Kreis entsprechend dem Durchmesser der Messlänge von 13 mm eingesetzt (je 1 Mantel-
thermoelement (MTE) bei 0°, 180° und 270° sowie ein MTE im Zentrum der Probe). Zur Re-
gelung wurde das Temperaturmesssignal eines angepunkteten Regelthermoelements (RTE)
vom Typ S herangezogen. Die Temperaturabweichung lag bei allen unter ±4 °C (Bild 27).
5 Experimente
36
Die Temperaturmesswerte sind mit einer Messunsicherheit von max. ±3 °C behaftet, die alle
Fehler wie Thermoelementfehler, Temperaturabgriffsfehler, Messkreisfehler und die
Temperaturabweichung über die Versuchsdauer beinhaltet. Zusätzlich wurde die Temperatur
an den Oberflächen der Kalibrierprobe in der Prüfzone mittels Thermoelementen gemessen.
Die Temperaturdifferenz zwischen der der Spule zugewandten Probenseite und der der
Spule abgewandten Seite beträgt 3 °C, was angesichts der hier vorliegenden induktiven
Erwärmung als akzeptabel anzusehen ist.
Das Abklingen der Temperatur von der Prüfzone nach außen zu den Stegen hin wurde mit-
hilfe einer digitalen Kamera mit entsprechendem Filter gemessen und mittels einer compu-
tergraphischen Auswertungsmethode visualisiert (Bild 28). Diese Technik stand vor Beginn
der Versuchsreihe noch nicht zur Verfügung. Diese Auswertung zeigt, dass in der Prüfzone
eine Temperaturverteilung im Bereich von ±3 °C zu beobachten ist, wie es sich bereits aus
den Messungen mit der Kalibrierprobe zeigte. Zur Orientierung sei auf die Messlänge der
Probe von 13 mm hingewiesen.
In diesem Zusammenhang wurde bei einer Reihe von Versuchen die thermisch induzierte
Dehnung (Bild 29) infolge Erwärmung gemessen und mit einer Kontrollrechnung über den
thermischen Ausdehnungskoeffizient nachgerechnet. Die Abweichung war in allen Fällen bei
der maximalen Dehnung weniger als 2% und damit akzeptabel. Zur Messung und Regelung
der axialen Verformung in der Prüfzone wurde ein hochauflösendes orthogonales Extenso-
meter (Bild 22) mit einer Messlänge von 13 mm entwickelt.
Zur Rissüberwachung mithilfe der Wechselstrompotenzialsonde stand ein entsprechendes
empfindliches Messsystem zur Verfügung. Bei den Arbeiten zeigt sich aber, dass die Riss-
überwachung in Verbindung mit induktiven Erwärmung gewissen Einschränkungen unter-
liegt, die sich aus der Funktionsweise beider Techniken ergeben. Die Funktion des Wechsel-
strompotenzialsonde basiert auf der Änderung des elektrischen Potenzials bei Rissentste-
hung bzw. -wachstum in der überwachten Zone der Probe. Dabei wird eine Besonderheit des
hochfrequenten elektrischen Stroms, der Skin-Effekt zu Nutze gemacht. Dieser Effekt ent-
steht, wenn der elektrische Strom bei hohen Frequenzen im Bereich von 30 - 100 kHz nur
die äußerste Randschicht des elektrisch leitenden Körpers durchfließt. Dadurch ist es mög-
lich, kleinste Risse an der Oberfläche zu erfassen, wie sie bei der Wechelbelastung zustande
kommen. Die zu messenden Potenzialänderungen liegen bei wenigen Mikro-Volts, was die
Empfindlichkeit und Anfälligkeit des Messverfahrens gegen Umgebungseinflüsse deutlich
macht.
Die Funktionsweise der induktiven Erwärmung beruht ihrerseits ebenfalls auf einer besonde-
ren Eigenschaft des Wechselstroms. Hierbei wird durch eine Induktionsspule ein magneti-
sches Wechselfeld erzeugt. In jedem sich in der Nähe dieses Magnetfelds befindenden e-
lektrisch leitenden Material werden Wirbelströme induziert, die aufgrund des elektrischen
5 Experimente
37
Widerstandes (Impedanz) des Werkstoffs Wärme produzieren. Die Intensität der Wärme
hängt von der Höhe des Stromes und der Frequenz ab, weshalb mit hohen Frequenzen bei
100 kHz gearbeitet wird. Einerseits steht die Empfindlichkeit der Wechselstrompotenzialson-
de und andererseits die induktive Erwärmung mit den elektrischen Wirbelströmen mit ver-
gleichsweise hohem Betrag einen gleichzeitigen Einsatz beider Verfahren entgegen. Auch
die Möglichkeit der kurzzeitigen Unterbrechung der Induktionsheizung zur Messung mit der
Wechselstrompotenzialsonde führt zu großen Messfehlern und einem unvertretbaren Eingriff
im Versuchsverlauf durch den dabei auftretenden starken Temperaturabfall um mehr als
100 °C. Diese Temperaturänderung beeinflusst zum einen den durchzuführenden Versuchs-
zyklus, zum anderen den Messwert des Potenzials ganz erheblich durch Änderung des e-
lektrischen Widerstandes der Probe in Abhängigkeit von der Temperatur. Zusammenfassend
ist zu dieser Fragestellung anzumerken, dass bei der Anwendung der induktiven Erwärmung
noch weitergehende mess- und regelungstechnische Fragestellungen zu klären sind, die
zukünftigen Arbeiten vorbehalten bleiben.
Zur Fertigung der Kreuzproben wurde eine spezielle Technik entwickelt und erfolgreich er-
probt. Diese ermöglicht die Verwendung von knappen Materialvolumen für Kreuzproben. Bei
der Fertigung der Kreuzprobe wird eine quadratische Platte in den Abmessungen 50/50/10
mm (H/B/T) in vier Schenkeln aus artverwandtem Stahl verschweißt. Dabei hat sich das
Schweißen mit dem Elektronenstrahlverfahren als zuverlässig bewährt. Zur Prüfung der
Schweißnahtgüte wurden spezielle Kleinproben aus zusammengeschweißten Teilen herge-
stellt und unter Kriechbeanspruchung untersucht (Bild 30).
5.2 Ergebnisse der Versuche zur Parameteridentifizierung
Motivation für diese Versuche ist die Ermittlung von geeigneten Daten zur Identifizierung der
Modellparameter. Die Vorgehensweise zur Parameteridentifizierung wird ausführlich im Ab-
schnitt 6 geschildert.
Prinzipiell wurden hierbei zwei unterschiedliche Wege verfolgt. Zum einen wurde versucht,
die Wechselwirkung von Kriechen und Ermüden in ihrer komplexen Überlagerung durch ent-
sprechende Kriechermüdungsexperimente zu erfassen. Zum anderen bietet sich der Weg
an, durch einfache Standardexperimente die Materialeigenschaften für Verformung und
Schädigung getrennt zu erfassen. Bei solchen Versuchen handelt es sich um Zugversuche
mit unterschiedlichen Dehnraten, Kriechversuche und Ermüdungsversuche ohne und mit
Haltezeit. Entsprechende Daten waren hierbei aus vorangegangenen Arbeiten [7, 14, 23]
verfügbar. Dieser Weg wurde auch im Rahmen anderer Arbeiten beschritten [39, 60].
5 Experimente
38
Im Folgenden sollen die Ergebnisse der nach dem ersten Weg durchgeführten Zug- Druck-
Relaxationsversuche beschrieben werden. Betrachtet werden soll zunächst ein Beispiel für
den Fall einer einachsigen Beanspruchung an einer glatten Probe (Abschnitt 5.1) (Bild 31)
am Stahl 28CrMoNiV4-9. Hier wurden an einer nicht vorbeanspruchten Probe beginnend mit
der besonders niedrigen Dehnrate 0,06 % / min Zyklen in Dehnungsregelung mit drei unter-
schiedlichen Dehnraten durchgeführt und der Versuch anschließend beendet (Bild 31 a).
Dabei wurden ausgehend von Dehnung ε = 0 drei unterschiedliche Dehnungsniveaus im
Zug- und Druckbereich angefahren, um einen weiten Spannungsbereich abzudecken. Die
Haltezeit wurde einheitlich mit drei Stunden gewählt, um eine vergleichbare Wirkung der Hal-
tezeit wie bei den Verifikationsversuchen zu erzielen. Bei der Betrachtung der Spannungs-
Zeit- Verläufe und der Spannungs- Dehnungs- Hystereseschleifen zeigt sich erwartungsge-
mäß der mit zunehmender Spannung ansteigende Relaxationsbetrag zwischen Spannung zu
Beginn und Ende der Haltezeit. Die Wirkung der unterschiedlichen Dehnraten zeigt sich ei-
nerseits in mit steigender Dehnrate zunehmenden Spannungen (Bild 31 b) und andererseits
in einer entsprechend schmaler werdenden Spannungs- Dehnungs- Hystereseschleife, also
eine Abnahme der plastischen Dehnung. Diese Ergebnisse ließen sich direkt bei der Para-
meteridentifizierung verwenden.
Nicht berücksichtigt wurde bei dieser Vorgehensweise die bei diesem Stahl bekannte Aus-
wirkung der zyklischen Entfestigung. Die Hereinnahme entsprechender Zyklen bleibt zukünf-
tigen Arbeiten vorbehalten. Weiter bleibt in diesem Zusammenhang festzuhalten, dass sich
die Modellierung des Kriechermüdungsverhaltens in Abschnitt 6 und 7 auf die ersten Zyklen
beschränkt, so dass dieser Nachteil vermutlich weniger von Bedeutung sein wird.
Neben den einachsigen Versuchen wurden an Kreuzproben biaxiale gestufte Zug- Druck-
Relaxationsversuche mit Haltezeiten durchgeführt (Bild 32). Der Zyklusablauf mit den drei
unterschiedlichen Dehnraten ist mit dem in Bild 31 a gezeigten Ablauf identisch. Bei der Ana-
lyse der gemessenen Spannungen zeigt sich eine nur schwache Abhängigkeit von der Dehn-
rate hinsichtlich der maximalen Ausschlagsspannungen als auch der Spannungsrelaxations-
beträge.
5.3 Kriechversuche an Kerbproben
Einleitend sei zu diesem und den folgenden Abschnitten darauf hingewiesen, dass sich we-
gen der Konzentration der Modellierungsarbeiten auf den Stahl 28CrMoNiV4-9 dementspre-
chend auch hier die experimentellen Arbeiten einen Schwerpunkt bildeten.
Einen Überblick über die Kriechversuche (ZSV) an Kerbproben an den Stählen 28CrMoNiV4-
9 und X21CrMoV12-1 vermittelt Tabelle 7. Die hier angegebenen Versuche zusammen mit
5 Experimente
39
den in Abschnitt 6.4 ausgewerteten Verifikationsversuchen dienen der Verifikation des in
Abschnitt 2.2 beschriebenen Materialmodells für Kriech- und Kriechermüdungsbeanspru-
chung. Auf den Vergleich der aufgenommen Kriechkurven mit denen der Nachrechnung mit
dem Modell sei auf Kapitel 6 hingewiesen. Angegeben ist die Nennspannung σn im Kerb-
querschnitt zusammen mit der erzielten Laufzeit. Alle Versuche mit der Kerbformzahl Kt =
2,3 wurden vor Probenbruch beendet. Zum Vergleich sei hier die Streckgrenze Rp0,2 = 449
MPa bei 525°C (Tabelle 3) aus dem Warmzugversuch mit angegeben. Damit liegen die kurz-
laufenden Versuche oberhalb und die langlaufenden Kriechversuche unterhalb der Streck-
grenze.
Am Stahl 28CrMoNiV 4-9 wurden längste Laufzeiten von rd. 2.700 h erzielt. Die Laufzeiten
liegen durchweg deutlich über den Laufzeiten an glatten Proben. Die Ergebnisse der Zeit-
standversuche an glatten Proben führten zu der Zeitbruchkurve (Bild 33), die aus früheren
Arbeiten [23] übernommen wurde. Die Bruchzeiten für den kerbschärferen Fall mit Kt = 4,5
liegen vor den Ergebnispunkten für den hier untersuchten Kerbfall.
Bei duktilem Werkstoffverhalten und hohen Spannungsgradienten ist aufgrund des dreiach-
sigen Spannungszustandes in Kerben und durch Spannungsumlagerung bei statischer Zug-
belastung der Betrag der von-Mises-Vergleichsspannung nach langen Beanspruchungszei-
ten im Kerbgrund geringer als der Betrag der Nennspannung. Dies führt dazu, das gekerbte
Proben im Zeitstandversuch längere Beanspruchungsdauern bis zum Bruch zeigen als glatte
Proben, die mit der gleichen Nennspannung geprüft wurden. Die hier gezeigten Ergebnisse
werden auch durch Untersuchungen an modernen 10%Cr-Stählen bestätigt [10, 62].
Ein entsprechender Versuch am Stahl X21CrMoV12-1 ebenfalls mit Kt = 2,3 wurde bis zum
Bruch der Probe durchgeführt. Hier liegt die Bruchzeit bei gleicher Nennspannung wie an der
glatten Probe wieder über dem ungekerbten Fall (Bild 34). Andererseits liegt die Bruchzeit
der Kerbprobe unter der Zeitbruchkurve für den Fall mit der höheren Kerbschärfe Kt = 4,5.
Zusammenfassend ist festzuhalten, dass Zeitstandkerbverfestigung vom Werkstoff und vom
Spannungszustand abhängig sind. Der Spannungszustand wird von der äußeren Belastung
und von der Kerbgeometrie bestimmt.
Für die Lebensdauerabschätzung von Hochtemperaturbauteilen mit Spannungsgradienten
wird in herkömmlichen Auslegungskonzepten oft die maximal auftretende Spannung im Bau-
teil als Basis für die Lebensdauerberechnung herangezogen. Dies führt bei duktilen Werk-
stoffen mit ausgeprägter Kerbzeitstandverfestigung zu sehr konservativen Lebensdauerab-
schätzungen. Für realistische Lebensdauerabschätzungen sind Kenntnisse zum Werkstoff-
verhalten unter Beanspruchung mit Spannungsgradienten notwendig.
5 Experimente
40
5.4 Kriechermüdungsversuche an Kerbproben
Einen Überblick über die Ergebnisse zu den Kriechermüdungsversuchen (LWV) an Kerbpro-
ben an den Stählen 28CrMoNiV4-9 und X21CrMoV12-1 vermittelt Tabelle 7. Aus den im Fol-
genden geschilderten Ergebnissen dieser Versuche werden wichtige Angaben zu den für
den Bauteilbetrieb relevanten zyklischen Vorgängen erwartet. Die Ergebnisse aus den Ver-
formungsmessungen dienen wieder der Verifikation des in Kapitel 6 beschriebenen Materi-
almodells. Diese Versuche wurden in Kraftregelung bei zwei unterschiedlichen Werten der
Nennspannungsschwingbreite (∆σN in Tabelle 7) durchgeführt. Diese lässt sich aus der in
der Probe wirkenden axialen Kraft und dem Kerbquerschnitt errechnen. Alle Versuche mit
Ausnahme des Versuchs an der Probe AAG525kb3 wurden durch Anriss beendet.
Der prinzipielle Verlauf des Beanspruchungszyklus weist in Anlehnung an den betriebsähnli-
chen Dehnwechselzyklus aus vorangegangenen Arbeiten eine Anfahrphase mit Druckbean-
spruchung, eine Abfahrphase mit Zugbeanspruchung und eine Betriebsphase mit langer
Haltezeit ebenfalls unter Zugbeanspruchung auf (Bild 35). Die konkreten Spannungs-
Zeitverläufe zeigen die ausgeprägten Zug- und Druckkraftausschläge und die zwei unter-
schiedlichen Fälle der Zyklusdauer von rd. 1 h und 3 h. Hierdurch sollte die Wirkung der Hal-
tezeit mit untersucht werden. Die Spannungen wurden aus Musterrechnungen mithilfe des
Anwenderprogramms SARA [23] für Kriechermüdungsbeanspruchung abgeleitet. Die zu Be-
ginn der Arbeit vorgenommenen Auswertungen zum Einfluss der Haltezeit ergaben, dass
hinsichtlich der Wirkung von Kriecheffekten in den Haltezeiten zwischen 3 und 10 h ein ver-
gleichbarer Unterschied wie zwischen 1 und 3 h ist. Daher wurde von der ursprünglichen
Vorgehensweise längerer Haltezeiten abgewichen (Tabelle 5). Außerdem zeigte sich durch
die aufwendigen Vorarbeiten bei der Durchführung dieser Versuche, dass die ursprünglich
geplanten Laufzeiten nicht zu erreichen waren. Die Dehnrate wurde einheitlich betriebsnahe
niedrig mit 0,06%/min eingestellt.
Am Stahl 28CrMoNiV4-9 wurden längste Laufzeiten von rd. 2400 h erzielt. Wie aus dem Bei-
spiel eines gemessenen Kraft-Zeitverlaufs (Probe AAG525kb3) und des entsprechenden
Verlaufs der Axialdehnung hervorgeht (Bild 36), ist einerseits die gute Wiederholpräzision
des Kraft-Zeitmesssignals zu erkennen und andererseits die relativ niedrigen Verformungen,
die zu Beginn des Versuchs bei ±2 µm liegen. Außerdem zeigt sich der stetige Anstieg der
im Kerbgrund wirkenden axialen Verformung, der durch die hohen Spannungen zu begrün-
den ist. Zum Vergleich sei hier die bei halber Anrisswechselzahl aus Versuchen an glatten
Proben [23] ermittelte zyklische Fließgrenze Rp0,2 (N/NA=0,5) = 300 MPa bei 525°C mit an-
gegeben.
Einen Überblick über die gemessen Dehnungs-Zeitverläufe aller Versuche gemäß Tabelle 7
zeigt Bild 37. Deutlich zu erkennen ist die starke Zunahme der Gesamtdehnung abhängig
von der Belastungshöhe ausgedrückt durch die Spannungsschwingbreite ∆σn = 756 MPa,
5 Experimente
41
die wesentlich über dem zweifachen der zyklische Fließgrenze liegt (Bild 37 a). Die Ursache
hierfür ist in der für diesen Werkstoff typischen Entfestigung zu suchen. Liegt dagegen die
Belastung unter der zyklischen Fließgrenze schreitet die Dehnung wesentlich langsamer
voran (Probe AAG525kb8), während im Fall kurzer Haltezeit (Probe AAG525kb1) die Deh-
nungszunahme nach etwa 100 h zum Stillstand kommt und anschließend sogar negativ wird.
Hier überwiegt vermutlich die in der Druckphase bei höherer Spannung im Vergleich zur
Zughaltephase verstärkt wirkende Kriechdehnung, die zu einem Driften der Dehnung zu ne-
gativen Dehnungswerten hin führt.
Die Auftragung der Laufzeiten der Versuche im Anrissschaubild erfolgte auf unterschiedliche
Weise (Bild 38). Die Versuche staffeln sich derart, dass zunehmende Haltezeit zu der erwar-
teten Lebensdauerverringerung führt, wie es auch für einaxiale Kriechermüdungsversuche
bei warmfesten Stählen vielfach nachgewiesen wurde [10, 22, 23, 25, 55, 62]. Dabei wurde
so vorgegangen, dass ähnlich wie bei der Anwendung des Lastabfallkriteriums zur Bestim-
mung der Anrisswechselzahl im Standarddehnwechselversuche der näherungsweise lineare
Verlauf der Gesamtdehnung, hier die aus den Dehnungsausschlägen ermittelte Mitteldeh-
nung, zur Definition des Anrisses herangezogen wurde. Die so ermittelten Werte sind in Bild
38 a und Tabelle 7 aufgetragen. Dieses Verfahren lässt Anrisstiefen von etwa 0,2 mm erwar-
ten. Das hier geschilderte Verfahren war bei dem Versuch an der Probe AAG525kb1 nicht
anwendbar. Hier wurde die Anrisswechselzahl aus einer Extrapolation unter Berücksichti-
gung der vorhandenen Daten der vergleichbaren Versuche ermittelt.
Eine weitere Auftragung wurde mithilfe der Nenndehnung vorgenommen (Bild 38 b) mit dem
Ziel, einen Vergleich zur einaxialen Beanspruchung herstellen zu können. Dazu wurde die
Dehnungsschwingbreite mit der Nenndehnung ∆εn aus der Spannungsschwingbreite ∆σn
und dem Elastizitätsmodul E berechnet. Schließlich wurde mithilfe die Neuber-Hyperbel und
unter Heranziehung einer zyklischen Fließkurve [23, 62] eine maximale Dehnung im Kerb-
grund abgeschätzt (Bild 38 c).
Lichtmikroskopische als auch rasterelektronenmikroskopische Aufnahmen zeigen am Bei-
spiel der Probe AAG525kb1 (832 h) symmetrische Anrisse im Kerbgrund (Bild 39). In der
Umgebung der Rissspitzen, sind keine Poren bzw. Mikrorisse zu erkennen. Dies ist aufgrund
der hohen Belastung und der entsprechend kurzen Laufzeit auch nicht zu erwarten.
Am Stahl X21CrMoV12-1 wurde bei 550°C ein langzeitiger Kriechermüdungsversuch an ei-
ner Kerbprobe mit einer Laufzeit von über 4.800 h durchgeführt (Bild 40). Eine Dehnungs-
messung im Kerbgrund konnte mangels eines Miniaturdehnungsaufnehmers nicht durchge-
führt werden. Der Versuch wurde mit der Nenndehnung in das Anrissschaubild der einaxia-
len Kriechermüdungsversuche eingetragen. Es zeigt sich eine deutlich längere Laufzeit im
Vergleich zur einaxialen Beanspruchung.
5 Experimente
42
5.5 Kriechermüdungsversuche an Kreuzproben
In den Bildern 41 bis 47 sind die Ergebnisse aus den teilweise schon längerzeitigen Kriech-
ermüdungsversuchen an Kreuzproben am Stahl 28CrMoNiV4-9 dargestellt. Jeweils zwei
Dehnungsschwingbreiten ∆ε1 = 0,6 % bzw. ∆ε2 = 0,42 % und zwei Haltezeitsummen 1 h
bzw. 3 h bilden bei dem Biaxialitätsverhältnis Φε = 1,0 eine Versuchsmatrix von vier Versu-
chen. Zusätzlich ist ein Versuch bei der größeren Dehnungsschwingbreite ∆ε1 = 0,6 % und
der kleineren Haltezeitsumme 1 h mit dem Biaxialitätsverhältnis Φε = 0,5 durchgeführt wor-
den (Tabelle 8).
Zur Erleichterung des Vergleiches der Versuche untereinander sind in den Bildern 41 bis 45
im Teilbild a bzw. b der Dehnungs- bzw. Kraftverlauf für den ersten Zyklus dargestellt. Durch
die Komplexität der Kreuzprobenform ist es nicht möglich, auf eine einfache Weise, wie dies
bei Kerbproben der Fall ist, eine repräsentative Nennspannung aus der an der Probe wir-
kenden Kraft herzuleiten. Deshalb ist man auf die direkte Darstellung der gemessenen Kraft
angewiesen. Teilbild c zeigt die Kraft-Dehnung-Hystereseschleife in Lebensdauermitte und
Teilbild d das Entfestigungsverhalten in der Form vom Kraftverlauf über Zykluszahl, wobei
die Spitzenwerte Fmax und Fmin sowie ihr Mittelwert Fm bis Anriss aufgetragen sind.
Es zeigt sich durchweg die für diesen Stahl typische zyklische Entfestigung. Weiter zeigt sich
eine deutliche Wirkung der Haltezeit, wie sie aus Versuchen an glatten Proben bei warmfes-
ten Stählen bekannt ist. Zunehmende Haltezeit bewirkt eine wachsende Kriechschädigung
und dadurch Beschleunigung der Anrissbildung, also kürzere Anrisswechselzahlen (Bild
46 a).
Bei der Betrachtung der Anrisskennlinien aus biaxialen Versuchen im Vergleich zu entspre-
chenden Versuchen gleicher Haltezeitsumme zeigt sich zum Einen eine deutlichere Absen-
kung der Anrisswechselzahlen infolge Mehrachsigkeit (Bild 46 b). Zum Anderen bewirkt aber
auch zunehmende Beanspruchungshöhe, hier Dehnungsschwingbreite, eine stärkere Redu-
zierung der Anrisswechselzahl unter biaxialer Beanspruchung.
Bei der größeren Dehnungsschwingbreite ∆ε1 = 0,6 % (Bild 41 und 44) wurden erwartungs-
gemäß größere Kräfte gemessen und die Relaxation in den Haltezeiten ist wesentlich augen-
fälliger als bei den Versuchen mit ∆ε2 = 0,42 % (Bild 42 und 43).
Von besonderem Interesse im Hinblick auf Bauteilbeanspruchung ist der Versuch mit unglei-
cher Belastung in den Kreuzprobenachsen mit dem Biaxialitätsverhältnis Φε = 0,5 (Bild 45).
Hier sind die unterschiedlichen Verläufe der Kraft in Achse A und B deutlich erkennbar. Ver-
glichen mit dem Fall eines Biaxialitätsverhältnisses Φε = 1,0 (Bild 41) lassen sich mit abneh-
mendem Φε-Verhältnis drei wesentliche Schlussfolgerungen ableiten:
5 Experimente
43
1. die Kräfte und entsprechend die Spannungen in der Prüfzone werden kleiner
2. die Relaxationseffekte verringern sich
3. Die plastische Arbeit, die dem Inhalt der Fläche innerhalb der Hystereseschleife ent-
spricht, werden ebenfalls geringer.
Diese Aussage ließe sich verallgemeinern auf noch kleiner werdende Biaxialitätsverhältnis-
se, also Φε = 0, Φε = -ν = -0,3 (einachsige Elastizität), Φε = -0,5 (einachsige Plastizität) und
Φε = -1 (reine Scherung).
Eine Zusammenfassung dieser Kriechermüdungsversuche an Kreuzproben ist in Bild 46 zu
sehen, wo sie in zwei Diagrammen zum einen mit biaxialen Standard-LCF-Versuchen (Teil-
bild a) aus der Literatur [54] und zum anderen mit einachsigen Versuchen (Teilbild b) [23]
verglichen werden. Bild 46 a zeigt, dass die Verhältnisse der Kriechermüdungsversuche un-
tereinander mit den Literaturwerten übereinstimmen, was den Einfluss der Biaxialität betrifft:
gleiche Abstände zwischen den Kurven von Φε = 1 bzw. Φε = 0,5 jeweils bei LCF-Versuchen
bzw. bei den Kriechermüdungsversuchen. Der Einfluss der Haltezeit entspricht tendenziell
den einachsigen Versuche, wie dies aus dem Bild 46 b hervorgeht, da eine längere Haltezeit
von 3h eine kleinere Zykluszahl bis zum Anriss verursacht als bei 1h Haltezeit.
Die Anrissbildung an Kreuzproben mit Kriechermüdungsbelastung von 2.055 h und 2.230 h
Dauer ist anhand von Schliffbildern untersucht worden, wobei sowohl durch Auflichtmikro-
skop als auch Raster-Elektronen-Mikroskop (REM) Aufnahmen gemacht wurden (Bild 47).
Es sind mehrere Anrisse in der Prüfzone ausgehend von der Oberfläche entstanden (Teilbild
a). Die 500-fach vergrößerte Darstellung (Teilbild b) des markantesten Risses zeigt die Um-
gebung der Rissspitze, wo keine Mikrorisse oder Poren zu sehen sind. In der REM-
Aufnahme sind jedoch mehrere Poren zu erkennen. Entsprechende Poren wurden an die-
sem Stahl ebenfalls bei Versuchsdauern von mehreren 1.000 h unter Kriechermüdungsbe-
anspruchung gefunden [61].
Zusätzlich zu den Kriechermüdungsversuchen wurden an Kreuzproben zwei Kriechversuche
mit ΦF = 1 und Lasten von F = 70,0 kN im ersten Versuch und F = 80,5 kN im zweiten Ver-
such durchgeführt (Bild 48). Obwohl die Last im zweiten Versuch lediglich um 15% gesteigert
wurde, änderte sich das Kriechverhalten drastisch. Im Gegenteil zum ersten Versuch, in dem
sich ein sehr flacher Kriechdehnungsverlauf bis 0,139 % einstellte, ergab sich im zweiten
Versuch ein Dehnungsverlauf mit Primär-, Sekundär- und Tertiärbereich bis einer Kriech-
dehnung von 4,91 %.
6 Materialmodellierung
44
6 Materialmodellierung
6.1 Allgemeine Vorgehensweise
Ziel der Modellierungsarbeiten ist, das in Kapitel 2 dargelegte konstitutive Materialmodell in
einem Finite-Elemente-Programm zu implementieren und dadurch der Industrie ein prakti-
sches Werkzeug zur Berechnung von Bauteilen zur Verfügung zu stellen. Ferner ist es not-
wendig, die Materialparameter des Materialmodells für den Stahl 28CrMoNiV4-9 zu bestim-
men, damit Bauteile aus diesem Werkstoff berechnet werden können (Bild 49). Die Modellie-
rung des Stahles X21CrMoV12-1 wurde zugunsten der Arbeiten am 1%Cr-Stahl zurückge-
stellt.
In den folgenden Abschnitten wird zunächst die Vorgehensweise bei der numerischen Im-
plementierung und dann die in diesem Forschungsvorhaben zustandegekommenen Metho-
den zur Identifizierung der Materialparameter behandelt. Am Ende werden die Ergebnisse
der Nachrechnung der Verifikationsversuche vorgestellt.
Bei klassischen Rechenmodellen zur Deformationsberechnung wie z.B. der Garofallo- Glei-
chung handelt es sich in der Regel um Funktionen, die eine Abhängigkeit der zu berechnen-
den Größen, in diesem Fall Dehnung, von der Spannung, Temperatur und insbesondere von
der Zeit als eine explizite Größe abbilden.
Bei konstitutiven Materialmodellen dagegen ist die Abhängigkeit der unbekannten Größen
von der Belastung bzw. Belastungsgeschichte über Evolutionsgleichungen (Entwicklungs-
gleichungen) gegeben, in denen die Zeit als eine implizite Größe agiert. Das bedeutet, dass
die Zeit nicht als unabhängige Größe vorgegeben werden kann, sondern sich bei der Lösung
der Evolutionsgleichungen entwickelt. Dabei ist nur eine numerische Lösung dieser Evoluti-
onsgleichungen möglich, da sie zwar i. d. R. gewöhnliche Differentialgleichungen 1. Ordnung
sind aber deren gegenseitige Kopplung voneinander eine analytische Lösung nicht zulässt.
Sie bilden also ein System von Differenzialgleichungen, die außerdem teilweise tensorwertig
sind. Das heißt z.B. bei einem Tensor 2. Ordnung, dass im allgemeinen Fall 9 Komponenten
zu unterscheiden sind.
Eine oft verwendete Art der Implementierung des Materialmodells in UMAT ist, dass Glei-
chungen mit diesen Tensorkomponenten getrennt in Abhängigkeit von ihren Indizes, ver-
gleichbar mit der Index-Schreibweise der Tensoren zu behandeln. Der so entstehende Pro-
grammcode ist allerdings schwer lesbar und fehleranfällig. Jede mathematische Operation
besteht somit aus zwei verschachtelten Schleifen mit entsprechenden Laufindizes. Etwaige
Änderungen des Materialmodells sind dann nur mühsam möglich.
6 Materialmodellierung
45
In diesem Forschungsvorhaben wurde eine effektive Möglichkeit genützt, die sich der sym-
bolischen Schreibweise der Tensorenausdrücke bedient. Hierbei werden tensorielle Größen
als Matrizen weiterverarbeitet und mathematische Operationen zwischen ihnen erfolgen
durch Funktionen, die in FORTRAN 90 ebenfalls als Operatoren definiert werden. Somit
kann jede Gleichung als eine einzige Zeile programmiert werden. Hierdurch bleibt der Pro-
grammcode sehr übersichtlich.
6.2 Implementierung des konstitutiven Materialmodells in ABAQUS
Bei der Implementierung des Materialmodells in UMAT wurde zu Beginn der Arbeiten ver-
sucht, möglichst vorhandene Programm-Bibliotheken einzusetzen. Die bei dem Fortran-
Compiler für Windows (Compaq-Fortran, jetzt Hewlett Packard) mitgelieferte IMSL-Bibliothek
wurde zunächst favorisiert, zumal sie bei den Unix-Plattformen ebenfalls vorhanden ist. Die
bereitgestellten Operatoren dieser Bibliothek und auch die Differenzialgleichungs-Löser (Dgl.
- Löser) wurden getestet und erste Erfahrungen waren positiv. Leider war dies bei den tat-
sächlichen Differenzialgleichungen des Materialmodells nicht mehr der Fall und Probleme
bezüglich der Handhabung bei größerem Speicherbedarf sprachen für den Einsatz von Al-
ternativen.
Eine andere umfangreiche Programm-Bibliothek ist die von Engeln-Müllges/Reuter („Aache-
ner Bibliothek“). Der große Vorteil ist unter anderem die Verfügbarkeit des Quellcodes dieser
Bibliothek, sodass sie an die besonderen Gegebenheiten angepasst werden könnte. Ein
Nachteil war allerdings, dass fehlen von mathematischen Operatoren für Matrizen, weshalb
sie eigens programmiert werden mussten. Die gelieferten Dgl.-Löser waren zwar sehr viel-
seitig anwendbar, aber die erforderlichen Anpassungen an die später eingeführte Schrittwei-
tenkontrolle machten tiefergehende Eingriffe im Quellcode unumgänglich. Aber die durch die
Vielseitigkeit bedingte Komplexität des vorliegenden Quellcodes des Dgl.-Lösers veranlasste
die Entwicklung von einer eigenen effizienten Dgl.-Bibliothek, die in vorteilhafter Weise auch
die Tensorschreibweise zur Lösung von einem System von Differenzialgleichungen anwen-
det.
Eine nahe liegende Vorgehensweise bei der Umsetzung des konstitutiven Materialmodells
im Programmcode ist die direkte Programmierung der Differenzial-Gleichungen in ihrer 3D-
Form, wie sie letzten Endes als UMAT von ABAQUS aufgerufen wird. Dieser Weg wird im
Folgenden als Verfahren I bezeichnet (Bild 50). Zur Erprobung der Programmteile und der
Gesamtfunktionalität werden simple Finite-Elemente-Modelle hergestellt und durchgerech-
net. Hierbei wird ein 1-Element-Modell bestehend aus einem Würfel generiert, wobei als
Randbedingung die einfache Scherung bzw. der 1-dimensionale Zugversuch simuliert wird.
6 Materialmodellierung
46
Um Programmfehler im Verfahren I auszuschließen und im Hinblick auf die spätere Parame-
teridentifikation bot sich an, ein Verfahren II zu entwickeln und den 1-dimensionalen Sonder-
fall des Materialmodells in einer Programmierumgebung zu realisieren (Bild 50), wo Werk-
zeuge bzw. Bibliotheken zur Identifizierung und Optimierung der Materialparameter bereits
vorhanden sind. MATLAB ist eine solche Programmiersprache mit vielen unterschiedlichen
Möglichkeiten der Optimierung und Visualisierung der Resultate. Auch die Vielzahl der an-
gebotenen Dgl.-Löser sichert eine solide Basis für den Vergleich der verschiedenen Diffe-
renzialgleichungslösungsverfahren.
Durch den Vergleich der Resultate der beiden Verfahren I und II bei äquivalenten Randbe-
dingungen und Zyklusformen sind Unsicherheiten in der Interpretation der Ergebnisse auf-
grund der Wahl von Schrittweiten oder Integrationsverfahren zu beseitigen.
Das Ergebnis von Verfahren I ist ein UMAT die in Verbindung mit ABAQUS sowohl die Be-
rechnung von 1D-Versuchen anhand des Ein-Element-Modells erlaubt als auch komplizierte-
re Simulationen von Proben oder Bauteilen durchführen lässt (Bild 51).
Das im Verfahren II entstandene Programm kann anschließend als eigenständiges Werk-
zeug zur Simulation 1-dimensionalen Versuchen mit dem konstitutiven Materialmodell Ver-
wendung finden, wobei sowohl eine höhere Rechengeschwindigkeit als auch die Integrier-
barkeit in automatisierten Prozessen zu schnelleren Ergebnissen führt.
Wie schon erwähnt, ist bei beiden Verfahren die Lösung des Differenzialgleichungssystems
numerisch durchzuführen. Hierzu existiert eine Fülle von Methoden (Bild 52). Sie beinhalten
alle die gleichen iterativen Schritte: das Zeitintervall [tA, tE] wird mit Hilfe von einer Zeit-
schrittweite hi diskretisiert. Ausgehend von einem Anfangswert Z0 zum Zeitpunkt t0 = tA wird
ein Nährungswert Z1 für den Zeitpunkt t1 = t0 + h0 berechnet. Je kleiner der Zeitschritt hi ge-
wählt wird, umso genauer wird auch der Wert Z1. Hier endet die erste Iteration. In der zwei-
ten Iteration wird als Anfangswert die gerade berechnete Lösung Z1 für den Zeitpunkt t1 ver-
wendet. Diese Schritte werden solange wiederholt, bis der Endwert tA des Zeitintervalls er-
reicht ist.
Die Unterschiede der numerischen Differenzialgleichungslöser besteht hauptsächlich in der
Art und Weise, wie aus dem Wert zi zum Zeitpunkt ti der nächste Wert Zi+1 zum Zeitpunkt ti+1
berechnet wird. Neben den Einzelschrittverfahren, bei denen nur die Kenntnisse der Werte
des letzten Zeitschrittes notwendig sind, gibt es die Mehrschrittverfahren, die nicht Gegens-
tand der hier betrachteten Verfahren sind und Werte von mehreren vergangenen Zeitschrit-
ten bedürfen. Die wesentliche Unterscheidung besteht darin, ob explizit oder implizit gerech-
net wird. Bei expliziten direkten Verfahren können die diskretisierten Gleichungen nach den
unbekannten Größen umgestellt werden und das Ergebnis kann direkt ermittelt werden (di-
rekte Methode). Bei impliziten Verfahren können die diskretisierten Gleichungen nicht nach
6 Materialmodellierung
47
den unbekannten Größen umgestellt werden. Vielmehr ist die Lösung des nächsten Zeit-
schrittes iterativ zu ermitteln, z. B. mit dem Newton - Verfahren.
Es kann gezeigt werden, dass implizierte Verfahren unabhängig von der Schrittweite stabil
sind. D.h. sie liefern immer eine Lösung. Allerdings muss erstens die Lösung bei großen
Schrittweiten nicht unbedingt richtig sein und zweitens ist diese Lösung iterativ und rechen-
zeitintensiv erkauft.
Die einfachste Möglichkeit ist dagegen das explizite Euler-Verfahren. Dieses Verfahren ist
mit relativ kleinen Zeitschritten stabil und liefert wegen seiner kleinen Ordnung von 1 keine
hohe Genauigkeit. Das implizite Gegenstück dazu, Euler-Rückwärts-Verfahren, bietet zwar
Stabilität auf Kosten von Rechenzeit an, ist aber ebenfalls von Ordnung 1 und ebenfalls von
der gleichen geringen Genauigkeit.
Eine sehr flexible Alternative sind die Runge-Kutta-Verfahren (RK-Verfahren). Das hier ver-
wendete RK-Verfahren ist von Ordnung 4 und kann, falls erforderlich auf höhere Ordnungen
umprogrammiert werden. Außerdem wurde dieses RK-Verfahren durch die Einbettungsfor-
mel, d.h. die Kombination zweier RK-Verfahren 2. und 4. Ordnung, um eine für ABAQUS
optimierte automatische Schrittweitenkontrolle erweitert. In der vorliegenden Arbeit stehen im
Rahmen der UMAT sowohl das explizite Euler-Verfahren als auch das explizite RK-
Verfahren zur Verfügung. Die Steuerung erfolgt ausgehend von ABAQUS. Ein Vergleich die-
ser Integrationsverfahren wurde hier nicht vorgenommen. Im Rahmen der hier durchgeführ-
ten FE-Rechnungen wurde die genaueste Methode verwendet, nämlich explizites RK-
Verfahren 4. Ordnung.
Hier ist die Flexibilität von UMAT im Hinblick auf die Ansprüche der Anwender in unter-
schiedlichen Problemfällen sichergestellt worden, in dem auf die Schrittweitenkontrolle über
zweier relativer und absoluter Fehlerschranken Einfluss genommen werden kann. Die ersten
Erfahrungen mit der implementierten UMAT zeigen eine hohe Rechengeschwindigkeit und
eine gute Anpassungsfähigkeit der automatischen Schrittweitenkontrolle an die Belastungs-
formen. Bei zyklischen Lastverläufen reagiert die Schrittweitenkontrolle auf schnellere Belas-
tungsraten mit Verringerung der Zeitschrittweite. Bei kleineren Belastungsraten und bei Hal-
tezeiten dagegen wird die Zeitschrittweite solange erhöht, bis entweder die maximale zuläs-
sige Zeitschrittweite oder die Fehlerschranke erreicht wird, welche der Anwender festgelegt
hat. Insbesondere macht sich die Brauchbarkeit der automatischen Schrittweitenkontrolle bei
der Berechnung von Kriechbelastung bemerkbar, wo bei immer kleiner werdenden Kriechra-
te im Primärbereich die eingestellte Anfangszeitschrittweite bis Ende des Sekundärbereichs
nahezu Monoton anwächst und hierdurch extrem kurze Rechenzeiten erzielt werden.
6 Materialmodellierung
48
Die UMAT ist so programmiert, dass sowohl 3D-Modelle (z.B. Elementtyp C3D8 oder
C3D20) als auch axialsymmetrische 2D-Modelle (z.B. Elementtyp CAX4 oder CAX8) be-
rechnet werden können.
6.3 Parameteridentifikation
Ausgehend von der Zielsetzung des Vorhabens, das Materialmodell zur Berechnung von
Bauteilen, Proben mit inhomogener Spannungsdehnungsverteilung (z.B. Rundkerbproben)
oder Proben mit komplizierter Form (Kreuzproben) aus einem bestimmten Werkstoff, in die-
sem Fall dem Stahl 28CrMoNiV4-9 berechnen zu können, ist es erforderlich, die in dem Ma-
terialmodell eingebauten Materialparameter zu identifizieren.
Wie in Kapitel 2 dargestellt, ist das zugrunde liegende konstitutive Materialmodell im Stande,
mit entsprechender Wahl der Parameter die meisten Aspekte des Deformationsverhaltens
von Hochtemperaturwerkstoffen wiederzugeben. Einen Überblick über die Materialparameter
und die gewonnen Parameterwerte enthält Tabelle 9.
Im Abschnitt 5.2 wurde erwähnt, dass zwei unterschiedliche Prinzipien zur Bereitstellung
einer Datenbasis aus den Experimenten angewendet werden können. In dem ersten führt
man einen speziellen Versuch durch, der in seinem Belastungsverlauf alle physikalisch rele-
vanten Effekte des Werkstoffverhaltens in eindeutiger Form hervorhebt. Dieses Vorgehen sei
im folgenden die Einfachdatenbasis genannt. Das zweite Prinzip der Mehrfachdatenbasis
beruht auf dem Ansprechen der physikalischen Effekte in getrennten Standardexperimenten,
die jedes für sich eine Untermenge der Effekte des Materialverhaltens sichtbar macht. Dabei
betrachtet man die ausgewählten Experimente simultan und bestimmt die Parameter so,
dass möglichst alle Experimente durch das Materialmodell gleichermaßen gut berücksichtigt
werden können. Für beide genannten Prinzipien können entweder alle oder nur eine Gruppe
der Materialparameter bestimmt werden. Als Beispiel sei hier ein LCF-Versuch mit Haltezeit
und ein Kriechversuch als Kombination genannt. Der LCF-Versuch mit Haltezeit würde die
Effekte der Elastizität, Fließen, Verfestigung und Relaxation hervorheben. Der Kriechversuch
würde dagegen hauptsächlich die statische Erholung, Kriechen und Schädigung ansprechen.
Bei der gemeinsamen Bestimmung identifiziert man einen Parametervektor, durch den so-
wohl der LCF-Versuch als auch der Kriechversuch angepasst werden.
Alternativ zu gemeinsamer Bestimmung der Materialparameter wäre noch möglich, in beiden
oben genannten Verfahren die Materialparameter gruppenweise zu bearbeiten. So müsste
für jede Gruppe von zusammenhängenden, für ein bestimmtes physikalisches Einzeleffekt
zuständigen Parametern ein spezieller Versuchstyp durchgeführt oder andere Ausschnitte
eines Versuches betrachtet werden. Folgende physikalische Einzeleffekte mit den jeweiligen
6 Materialmodellierung
49
Parametergruppen kämen dann in Frage: Elastizität, Fließgrenze, Viskosität, Verfestigung,
dynamische und statischer Erholung der Verfestigung und Schädigung. Bei den drei genann-
ten Verfestigungseffekten sind jeweils die isotrope und kinematische Variante zu berücksich-
tigen. Somit wären 10 Versuchstypen durchzuführen. Der Vorteil wäre ein zwar genaueres
Ergebnis, dem aber ein höhere Aufwand gegenüberstünde. Deshalb wird im Rahmen der
vorliegenden Arbeit diese Alternative zur Erzeugung der Datenbasis in einer vereinfachten
Variante angewendet. Die eben erwähnten Eigenschaften werden nur noch in zwei Gruppen
zusammengefasst. Die erste Gruppe soll nur die reine Deformation, die zweite Gruppe soll
nur die Schädigung beinhalten.
Im Laufe dieser Arbeit hat sich zur Parameteridentifikation eine Zwei-Schritt-Prozedur her-
auskristallisiert, die aus der Kombination der Methode der Neuronalen Netze [83, 70] mit
dem Optimierungsverfahren von Nelder-Mead [85] besteht (Abschnitt 2.3). Im ersten Schritt
wurde die Methode der Neuronale Netze zur näherungsweisen Bestimmung des "globalen"
Parametervektors Pid eingesetzt. Hier liegt der Vorteil darin, dass die Lösung Pid in einem
breitgefächerten Bereich gesucht wird, der vom Anwender für völlig unbekannte Größenord-
nungen der Parameter beliebig groß gewählt werden kann.
Im zweiten Schritt wird mit Hilfe des Optimierungsverfahrens von Nelder-Mead versucht,
ausgehend von dem Parametervektor Pid des ersten Schrittes als Startwert einen verbesser-
ten Parametervektor Pid,opt zu finden. Das Nelder-Mead-Verfahren ist ein direkter Suchalgo-
rithmus, der wie neuronale Netze ebenfalls ohne analytische oder numerisch berechnete
Gradienten funktioniert. Es reagiert aber sensitiv auf den vorgegebenen Startwert, so dass
ungünstige Startwerte zu keiner Verbesserung beitragen, weil das Nelder-Mead-Verfahren
beginnend in der Nähe einer lokalen Lösung nur diese liefern kann.
Das Hauptaugenmerk sei also zunächst auf die Identifizierung der Materialparameter durch
neuronale Netze gerichtet (Bild 53). Durch neuronale Netze können eine Vielzahl von Opti-
mierungsproblemen behandelt werden. Dazu gehören Approximation von Funktionen, Klas-
sifikationsaufgaben, Mustererkennung und Lösung diverser Probleme. Die Funktionsweise
der neuronalen Netze besteht in ihrer Lernfähigkeit (Bild 54). Bei allen genannten Problem-
stellungen benötigt man Daten, mit denen das neuronale Netz trainiert werden kann. Bei
Approximation für eine Funktion y = f (x) Beispielsweise, werden bekannte Funktionswerte
(yi, xi) zum Zwecke des Trainings verwendet. Das trainierte Netz lernt anhand der Trainings-
daten den Zusammenhang zwischen den Funktionswerten y und der unabhängigen Variable
x. Es ist nun in der Lage, für unbekannte Werte xj ≠ xi die erwarteten Werte yj der Funktion zu
erzeugen (Bild 53 a).
Bei der Parameteridentifikation ist die Aufgabenstellung anders geartet. Hier liegt vielmehr
ein inverses Problem vor; d.h. für gegebene Kurvenverläufe aus dem Experiment werden
6 Materialmodellierung
50
diejenigen unbekannten Parameterwerte des Materialmodells gesucht, die das Experiment
am besten simulieren lassen.
Zum Trainieren des neuronalen Netzes müssen also im einfachsten Fall entsprechend einem
bestimmten Experiment, das als Identifikationsversuch bezeichnet wird, Simulationen mit
dem gleichen Belastungsverlauf durchgeführt werden. Dabei werden für die unbekannten
Materialparameter beliebige Werte aus einem zuvor festgelegten Intervall angenommen und
für jeden so entstanden Parametervektor der gesamte Verlauf des Experimentes simuliert.
Als Ergebnis entstehen genauso viele simulierte Versuchverläufe (Trainingsmuster) wie Pa-
rametersätze. Wird ein neuronales Netz mit diesen simulierten Versuchsverläufen trainiert,
so wird es in der Lage sein, den Einfluss der Parametervariation auf die Modellantwort auf
den Belastungsverlauf aus dem Experiment zu erkennen. In der Regel wird es nicht der Fall
sein, dass einer der simulierten Verläufe mit den experimentellen Messwerten überein-
stimmt, sonst wäre der zugehörige Parametervektor bereits die gesuchte Lösung des Prob-
lems. Aber die Erkenntnis des neuronalen Netzes über das gelernte Materialverhalten liefert
den passenden Parametervektor anhand des experimentellen Verlaufes, indem dieser in das
Netz eingegeben wird. Als Ausgabe bekommt den Parametervektor des Versuchswerkstof-
fes (Bild 53 b).
Eine generelle Aufgabe bei der Parameteridentifikation ist die Datenaufbereitung, so dass
die Trainingsdaten keine redundanten Informationen beinhalten. Als Beispiel soll die Identifi-
kation der Parameter anhand eines Kriechversuches dienen. Ausgehend von den Rohdaten
des Versuches in Abhängigkeit von der Zeit als freie Variable liegen die Messwerte in tabel-
larischer Form ti, εi, σi, i=[1,...,N] vor, und zwar mit Zeit in der ersten Spalte, Dehnung in der
zweiten sowie Spannung in der dritten Spalte. Die Eingabeschicht des neuronalen Netzes
besteht aus Neuronen mit jeweils einem Eingang. Die Eingabeschicht muss also 3N Neuro-
nen besitzen (Bild 54 a).
Daraus lässt sich erkennen, dass es sich bei den Spannungen σi immer um denselben Wert
σ0 der Versuchsspannung handelt. Um Redundanzen zu beseitigen, können also die N Zei-
len der Spannung durch eine einzige Zeile ersetzt werden. Betrachtet man die Zeiten ti er-
kennt man auch hier, dass die N Zeilen ti durch die Bruchzeit tu ersetzbar wären, da die Zei-
ten ti Formel in der Regel entsprechend der Messwerte äquidistante, monoton steigende
Werte sind. Daraus ergibt sich das in Bild 54 b dargestellte redundanzfreie Schema für die
Datenaufbereitung. Sie gilt gleichermaßen für die Messwerte aus dem Experiment wie für die
Trainingsdaten.
Die ersten, in dieser Art und Weise identifizierten Materialparameter für ein Spannungsni-
veau, lieferten für andere Spannungen völlig unzureichende Resultate. Es lag nahe, dass
man die Parameter für mehrere Kriechversuche simultan identifizieren muss. Die entspre-
chende Datenaufbereitung kann durch einander hängen der einzelnen Datenblöcke erfolgen,
6 Materialmodellierung
51
wie in Bild 54 c veranschaulicht. Nun ergab sich zwar ein Parametervektor, der für ein breites
Spannungsspektrum zufrieden stellende Ergebnisse lieferte, aber die Resultate der Simulati-
on von Dehnwechselversuchen waren unbefriedigend.
Die Umkehrung dieser Vorgehensweise, d.h. die Identifikation der Parameter anhand von
Dehnwechselversuchen und die Erprobung durch anschießende Simulation von Kriechen,
waren ebenfalls begleitet mit mangelhaften Resultaten. Auch hier wurden die Daten aus der
Dehnwechselbeanspruchung redundanzfrei aufgearbeitet. Dabei wurden die Zeiten ti durch
die Zyklusdauer und die Gesamtdehnungen εi für die Stützstelle i durch die Dehnungs-
schwingbreite ∆ε ersetzt. Zur Berücksichtigung von Kriechen und Ermüden wurden letztend-
lich beide Versuchstypen simultan behandelt (Bild 54 d).
Zur besseren Verdeutlichung der prinzipiellen Vorgehensweise soll ein Beispiel einer einfa-
chen Funktion y = f(x) mit zwei Parameter α und β dienen (Bild 55). Für einen einmal festge-
legten Definitionsbereich x ∈ [xA, xE] hängt die Funktion bzw. der Versuchsverlauf nur von
der Wahl der Parameter α und β ab. Die Funktion kann dann als y = g(α, β) umgeschrieben
werden. Durch Variation der Parameterwerte αi ∈ [αA, αE] und βi ∈ [βA, βE] enthält man ver-
schiedene Kurvenverläufe, die im nächsten Schritt zum Trainieren eines neuronalen Netzes
verwendet werden können (Bild 55 a). Ziel ist für einen gemessenen oder anderweitig ermit-
telten Kurvenverlauf, der nicht in den Trainingsdaten enthalten ist, die passenden Parameter
αid, βid zu bestimmen (Bild 55 b). Hier lässt sich erkennen, dass das erzielte Ergebnis mit nur
12 Trainingsmustern bereits akzeptabel ist.
Im folgenden Abschnitt werden die Ergebnisse der Parameteridentifikation am Stahl
28CrMoNiV4-9 (Bild 56) vorgestellt. Ausgehend von den oben erläuterten Verfahren wurden
sowohl unterschiedliche Standardversuche als auch speziell abgestufte Zug-Druck-
Relaxationsversuche herangezogen. Zunächst wurde mit der Identifikation durch einen ein-
zigen LCF-Standardversuch ohne Haltezeit mit eine Dehnungsschwingbreite von ∆ε = 1 %
und Dehnungsrate von dε/dt = 0,06 %/min begonnen, dessen Ergebnis als Parametervektor
PA bezeichnet wird. Weiter ergibt sich ein Parametervektor PB aus dem gestuften Zug-Druck-
Relaxationsversuch. Eine dritte Variation mithilfe gemischter Standardversuche führte zum
Parametervektor PC , bei der ein LCF-Versuch mit Dehnungsschwingbreite von ∆ε = 0,84 %,
Dehnungsrate von dε/dt = 0,06 %/min und Haltezeit tH = 3 min sowie drei Kriechversuche mit
Spannungen von σ = 284 MPa, 317 MPa und 351 MPa die Datenbasis bildeten. Mit dieser
Vorgehensweise soll ein Vergleich der verwendeten Parameteridentifikationsverfahren erfol-
gen.
Zunächst soll aber am Beispiel der Vorgehensweise für die Bestimmung des Parametervek-
tors PB der Arbeitsaufwand verdeutlicht werden (Bild 57). Der zeit- und rechenaufwendige
Teil der Parameteridentifikation besteht im Trainingsschritt, indem die Trainingsdaten durch
Simulation der zu Identifikationsversuche mit dem Materialmodell erzeugt werden und an-
6 Materialmodellierung
52
schließend vom neuronalen Netz bearbeitet werden (Bild 57 a,1). Der Lösungsschritt der
eigentlichen Identifikation (Bild 57 a,2) kostet nur noch Bruchteile an Zeit des Trainingsschrit-
tes.
Ein konkretes Beispiel zu den Lösungsschritten gemäß Bild 57 a ist Bild 57 b (Spannung
über Zeit) bzw. Bild 57 c (Spannung über Dehnung) dargestellt. Man erkennt eine große An-
zahl von Musterdaten, die durch Parametervariation und nachfolgender Simulation durch das
Materialmodell berechnet werden. Zwei ausgewählte Verläufe sind mit dickerer Linienstärke
hervorgehoben, damit die Vielfältigkeit der möglichen Formen durch Parametervariation
deutlich wird. Anhand dieser Trainingsmuster als Datenbasis und der zugrunde liegenden
Parametersätze als Parameterbasis lieferte die Methode der neuronalen Netze einen Para-
metervektor Pid, der nach anschließender Verbesserung durch das Nelder-Mead-Verfahren
ein zufrieden stellendes Ergebnis produziert (Bild 57 d).
Der Vergleich (Bild 57 d) zeigt eine relativ gute Übereinstimmung im Fall des Parametervek-
tors PB im Vergleich zur Messung. Diese Übereinstimmung liefert eine erste Aussage über
die Güte des identifizierten Parametervektors. Eine endgültige Aussage kann von den Nach-
rechnungen der Verifikationsversuche, die allesamt mehrachsige Spannungs- bzw. Deh-
nungszustände beinhalten, erwartet werden.
Im Folgenden soll erörtert werden, welche der Materialparameter bei der Identifikationspro-
zedur als relevant erachtet wurden und welche Gründe dafür sprachen, dass die Identifizie-
rung einer bestimmten Gruppe der Modellparameter nicht notwendig war. Im Zusammen-
hang mit der hier angewendeten Identifikationsprozedur kann man demnach bei der ersten
Gruppe von aktiven Parametern, bei der zweiten Gruppe von inaktiven Parametern spre-
chen. Natürlich ändert sich ihre Bedeutung im Materialmodell nicht, sie werden lediglich wäh-
rend der Identifikation als Konstanten behandelt.
Die elastischen Materialeigenschaften werden durch die Parameter E und ν bestimmt. Der
E-Modul für den Stahl 28CrMoNiV4-9 bei T = 525 °C kann mit E = 159.000 MPa aus Ermü-
dungsversuchen als bekannt angenommen werden [23]. Eine Unsicherheit ergibt sich aber
aus der Ratenabhängigkeit des E-Moduls, die aus experimentellen Beobachtungen herrührt.
Im konstitutivem Materialmodell ist der E-Modul aber geschwindigkeitsunabhängig und die
scheinbare Ratenabhängigkeit wird durch die Viskosität begründet. Der E-Modul kann zwar
aus Warmzugversuchen bestimmt werden, beinhaltet aber den Nachteil durch die wesentlich
höhere Abziehrate. Ein genauerer E-Modul für das konstitutive Materialmodell bedingt eine
unendlich langsame Abziehrate, was aber in der Praxis nicht durchführbar ist. Abhängig von
der jeweiligen Datenbasis kann also auch der E-Modul in die Gruppe der aktiven Parameter
aufgenommen werden. Die Querkontraktionszahl ist mit ν = 0,3 gegeben und gilt als ein rela-
tiv genauer Wert, ist also inaktiv.
6 Materialmodellierung
53
Die Fließgrenze k0 kann aus Warmzugversuchen bestimmt werden. Hier hängt die Genauig-
keit von der Definition der Elastizitätsgrenze ab, also von einer plastischen Dehnung, deren
Überschreitung die Grenze des Fließens festlegt. Die einer plastischen Dehnung von 0,2 %
entsprechende Spannung Rp0,2 ist aber für Modellierungszwecke zu hoch. Je kleiner diese
plastische Dehnung angenommen wird, um so näher kommt die gemessene Spannung an
die wahre Fließgrenze, wie dies z.B. bei Rp0,01 der Fall ist. Eine noch genauere Fließgrenze
für das konstitutive Materialmodell bedingt eine unendlich kleine Dehngrenze, deren Reali-
sierung an messtechnischen Grenzen kommt. Die Fließgrenze muss also auf jeden Fall aktiv
sein. Für die Parameter der Viskosität η und m, der kinematischen Verfestigung b und c,
deren statische Erholung p und w, der isotropen Verfestigung ro, β und γ, deren statische
Erholung π und ω und für die Schädigungskoeffizienten α0, α1 und α2 sowie die Schädi-
gungsexponenten q0 und q1 existieren keinerlei Anhaltspunkte, müssen also auch aktiv sein.
Der Einfluss der isotropen Verfestigung kann aber außer Acht gelassen, weil sie für den vor-
liegenden warmfesten Stahl 28CrMoNiV4-9 bei hohen Temperaturen bereits im anfänglichen
Belastungsbereich eine Sättigung erfährt und einen im Vergleich zu den Belastungsspan-
nungen bzw. den Spannungen der kinematischen Verfestigung geringen Wert annimmt. Die
für diesen Werkstoff relevanten Verfestigungseffekte können ausschließlich durch die kine-
matische Verfestigung beschrieben werden. Allgemein sei an dieser Stelle der Hinweis ge-
geben, dass die isotrope Entfestigung bei langzeitiger einaxialer Beanspruchung an den hier
untersuchtem Stahl vergleichsweise schwach ausgeprägt ist (Bild 6). Diese Überlegungen
werden durch die gemessene zyklische Entfestigung bei den biaxialen Kriechermüdungsver-
suchen bestätigt (Bild 41 d bis 45 d). Bei der Modellierung ist dieser Effekt bei genauer Be-
trachtung aber zu berücksichtigen ist.
Aufbauend auf dieser Grundlage erfolgte die Identifikation der Parametervektoren PA, PB und
PC mit den aktiven Parametern k0, η, m, b, c, p und w. Abhängig von der Art der benutzten
Versuchsdaten, ihren Unsicherheiten oder ihrer Langzeitigkeit wurden die Parameter E, α0,
α1, α2, q0 und q1 von Fall zu Fall aktiv oder inaktiv gesetzt. Für die Parametervektoren PA und
PC wurde der E-Modul deaktiviert, für den Parametervektor PB hingegen aktiviert, da der zu-
gehörige Zug-Druck-Relaxationsversuch eine größere Genauigkeit versprach. Die Aktivie-
rung der Schädigungsparameter ist nur für langzeitige Versuche sinnvoll, bei denen die
Schädigung in messbarer Weise zur Geltung kommt. Zu dieser Kategorie gehören Kriech-
versuche und zyklische Versuche bis zum Anriss. Bei den hier ermittelten Parametervekto-
ren wurde jeweils nur ein Zyklus der dehnungsgeregelten Versuche verwendet und die
Kriechversuche bis Ende des Sekundärbereiches berücksichtigt. Tertiärkriechen wurde
demnach hier nicht berücksichtigt. Hintergrund für diese Vorgehensweise ist die in vielen
Fällen hinreichende Berechnung von Bauteilen bis zu begrenzter Kriechverformung bei-
spielsweise von 2 %. Somit ist kein merklicher Zuwachs der Schädigung vorhanden. Die
Schädigung kann aber, wie später im Abschnitt 6.5 gezeigt wird, unabhängig von der Defor-
mation optimiert werden, so dass die übrigen Parameter der identifizierten Parametervekto-
6 Materialmodellierung
54
ren PA, PB und PC ohne weiteres von einer getrennten Schädigungsidentifikation unberührt
bleiben.
6.4 Nachrechnung von Verifikationsexperimenten
Zunächst soll auf die Ergebnisse zur Simulation der Kriechbeanspruchung an Rundkerb-
proben eingegangen werden (Bild 58, Tabelle 7). Hier ist der Verlauf des gemessenen
Kriechversuchs mit einer Nennspannung 400 MPa dem Ergebnis der Simulation mit dem
Parametervektor PA gegenübergestellt. Um einen Eindruck vom Einfluss der Nennspannung
im Materialmodell zu bekommen, sind außer der Simulation für die Spannung 400 MPa auch
andere Spannungen im Bereich von 340 MPa bis 500 MPa aufgetragen. Für die Parameter-
vektoren PB und PC sind die Ergebnisse der Nachrechnung in Bild 58 b und c dargestellt. Die
Auswahl der hier betrachteten Spannungen beschränkt sich auf das Niveau der Verifikati-
onsversuche.
Der Parametervektor PA führt für die im Versuch AAG525kb6 aufgebrachte Spannung von
400 MPa zu einer um Größenordnungen zu hohen Lösung. Während Parametervektor PA für
kleine Spannungen (340 und 370 MPa) zu niedrige, fast waagerechte Kriechkurven liefert,
sind diese für größere Spannungen (440 und 500 MPa) viel zu steil. Damit sind offensichtlich
die Resultate des Parametervektors PA nicht geeignet.
Hingegen sind die von den Parametervektoren PB und PC (Bild 58 b und c) resultierenden
Kriechkurven diskutabel. Der Parametervektor PB liefert für die Versuchsspannung von
400 MPa zwar Werte, die dem Versuchsverlauf nicht exakt entsprechen. Betrachtet man
jedoch den Primärbereich und den Beginn des Sekundärbereichs, gibt es eine gute Überein-
stimmung. Der restliche Verlauf im Tertiärbereich wird konservativ beschrieben. Die mit dem
Parametervektor PC ermittelte Kriechkurve ist qualitativ akzeptabel, liegt aber im gesamten
Zeitbereich unterhalb der im Versuch gemessenen Dehnung. Somit wäre der Parametervek-
tor PB im Vergleich zu den anderen Parametervektoren PA und PC für die Berechnung der
Kriechversuche an der Rundkerbprobe geeigneter.
Bei der Nachrechnung der Kriechermüdungsbeanspruchung an Rundkerbproben (Bild 59
bis 62) wurden wieder die Parametervektoren PA, PB und PC zugrunde gelegt. Aufgetragen
sind die Ergebnisse der axialen Gesamtdehnung aus der Nachrechnung verglichen mit der
gemessenen axialen Gesamtdehnung (Bild 37). Zusätzlich sind die berechneten axialen
Spannungen σ22 und die Vergleichsspannung σv im Kerbgrund aufgetragen. Die Nachrech-
nung beschränkt sich stets auf den ersten Zyklus.
6 Materialmodellierung
55
Die Ergebnisse der Nachrechnung für den Kriechermüdungsversuch AAG525kb1 mit
∆σn = 504 MPa und tHZ = 1 h (Bild 59) sind für die Parametervektoren PA, PB und PC insge-
samt zufriedenstellend. Das beste Ergebnis stellt die Simulation mit dem Parametervektor PB
dar, wo die Dehnung sowohl in der ersten als auch in der zweiten und der dritten Haltezeit
eine gute Übereinstimmung mit dem Versuch zeigt.
Entsprechende Simulationsergebnisse für den Versuch AAG525kb3 mit einer größeren
Nennspannungsschwingbreite von ∆σn = 756 MPa und der gleichen Haltezeitsumme von
tHZ = 1 h (Bild 60) liefern ungleiche Resultate für die zugrunde liegenden Parametervektoren.
Mangelhafte bzw. mäßige Ergebnisse liefern die Parametervektoren PA bzw. PB , während
das beste Ergebnis unter Betrachtung aller drei Haltezeiten der Parametervektor PC zeigt.
Die Nachrechnung des Versuchs AAG525kb4 mit der hohen Spannungsschwingbreite
∆σn = 756 MPa und der längeren Haltezeitsumme von tHZ = 3 h (Bild 61) mit den Parameter-
vektoren PA bzw. PB ist erwartungsgemäß unbefriedigend. Lediglich mit dem Parametervek-
tor PC wird ein in der Druckhaltephase der ersten Haltezeit gut übereinstimmender Verlauf
der Dehnung erreicht. Die zweite und dritte Haltezeit liegen mit einem Faktor von ca. 2 über
den Messungsergebnissen, was auf die ungenügende Anpassung der Parameter an Kriech-
versuche bei einem großen Spannungsspektrum zurückzuführen ist.
Bei der kleineren Spannungsschwingbreite ∆σn = 504 MPa und der längeren Haltezeitsum-
me von tHZ = 3 h des Versuch AAG525kb8 (Bild 62) zeigen sich wie beim Versuch
AAG525kb1 (Bild 59) in allen drei Fällen ähnlich gute Ergebnisse. In der Reihenfolge PA, PB
und PC wächst wie bei den anderen Versuchen auch die Genauigkeit der Simulation.
Beim Vergleich der vier angeführten Kriechermüdungsversuche an Rundkerbproben gilt zu-
sammenfassend, dass sich bei kleinen Spannungsschwingbreiten bessere Simulationen mit
den identifizierten Parametern ergeben als bei großen Spannungsschwingbreiten. Diese
Einschränkung lässt sich mit den relativ niedrigen Spannungen der Identifikationsversuche
begründen. Andererseits zielte die Identifikationsprozedur darauf, sowohl Kriechen und
Kriechermüdung insbesondere bei kleinen Spannungen modellieren zu können. Um einen
größeren Gültigkeitsbereich für den Parametervektor des Materialmodells zu schaffen, müs-
sen weitere Identifikationsversuche durchgeführt werden. Zum einen sollten sie höhere
Spannungen beinhalten, damit die Verifikationsversuche optimal simuliert werden können.
Zum anderen sollten Spannungen niedrig genug sein, damit die im Betrieb vorhandenen
Belastungszustände realistisch abgebildet werden.
Alternativ zu weiteren Experimenten zur Parameteridentifikation vom Typ Bild 31 wäre die
Berücksichtigung gesamter Kriechkurvenscharen im Spannungsbereich von beispielsweise
100 bis 500 MPa vorstellbar. Dies stellt aber eine spezielle Herausforderung dar, weil die
Konsistenz der Daten hierbei zu erheblichen Schwierigkeiten führen kann. Zur Lösung die-
6 Materialmodellierung
56
ses Problems wird vorgeschlagen, Kriechkurvenscharen zunächst mit einer analytischen
Beschreibung des Kriechverhaltens zu glätten und diese Beschreibung als Eingangsgröße
der Parameteridentifizierung zuzuführen.
In den nachfolgenden Auswertungen soll nur der Parametervektor PB betrachtet werden. Zur
Verdeutlichung des Einflusses unterschiedlicher Haltezeit sind die Ergebnisse zur Simulation
zweier Kriechermüdungsversuche mit der gleichen Nennspannungsschwingbreite von
∆σn = 504 MPa aber mit unterschiedlichen Haltezeitsummen von 1h (Bild 63 a) und 3h (Bild
63 b) liefert mit dem Parametervektor PB gegenüber gestellt. Wie in Bild 59 und 62 sind auch
hier in der oberen Reihe der Verlauf der gemessenen Dehnung im Kerbgrund zusammen mit
dem Simulationsergebnis abgebildet. In jedem Diagramm sind die entsprechenden Berech-
nungswerte der axialen Gesamtdehnung im Kerbgrund mitaufgetragen. In der zweiten Reihe
sind die Verläufe der Axial- und Vergleichsspannung und in der untersten Reihe deren Ver-
teilung über den Probenradius bei gleicher Zeit dargestellt.
Ein Überblick über den Spannungszustand innerhalb der Kerbprobe liefert Bild 64, wobei die
Vergleichsspannung in einem Meridianschnitt der Probe jeweils nach Parameter Sektor PA
und PB abgebildet ist. Es handelt sich um den Zeitpunkt am Ende des ersten Zyklus des Ver-
suchs mit 1 h Haltezeit und betriebsähnlichem Verlauf (Bild 37).
Die Teilbilder 64 d und e zeigen die Schädigungsverteilung beim Modell mit Schädigung am
Ende des Zyklus 1 und nach 20 Zyklen. Der Vergleich zeigt den am Anfang noch linearen
Charakter der Schädigungsentwicklung bezogen auf die Zykluszahl. Der Fall ohne Schädi-
gung ist in Teilbild 64 c dargestellt.
Um den Einfluss der unterschiedlichen Zyklusformen bzw. Haltzeiten auf die Entwicklung der
Schädigung beurteilen zu können, sind die Schädigungsverläufe von 2 Versuchen mit glei-
cher Spannungsschwingbreite von ∆σn = 504 MPa aber unterschiedlichen Haltezeiten von 1
h und 3 h nach 20 Zyklen im Bild 64 f gegenüber gestellt. Die Schädigungsgröße D nach Gl.
43 ist sowohl über der Zeit als auch über der Zykluszahl aufgetragen. Es ist zu erkennen,
dass der Versuch mit 1 h Haltezeit eine höhere mittlere Schädigungsrate vorweist, als der
Versuch mit 3 h Haltezeit, aber der maximal erreichte Wert ist niedriger.
Dieses Ergebnis bezieht sich allerdings auf den zeitlichen Verlauf. Bei der Betrachtung des
Schädigungsverlaufs über die Zykluszahl ergibt sich ein niedrigerer Schädigungszuwachs
pro Zyklus, was für die höhere Schädigung während der längeren Haltezeiten beim 3h-
Versuch spricht. Dieses Resultat wird auch durch die Versuche bestätigt (Bild 38).
Die Nachrechnung der biaxialen Kriechermüdungsbeanspruchung (Bild 65, Tabelle 8)
gestaltet sich etwas komplizierter, da hier eine entsprechende dehnungsgeregelte Simulation
nicht realisiert werden kann. Abhilfe wird dadurch geschaffen, dass die im Versuch gemes-
6 Materialmodellierung
57
sene Kraft (Bilder 41 b bis 45 b) als Belastungsgröße der Simulationen dienen kann, aus
denen die Dehnung in der Prüfzone der modellierten Kreuzprobe abzuleiten ist. Zur Verifika-
tion kann dieses Ergebnis mit dem Verlauf der Dehnungsistwerte (Bilder 41 a bis 45 a) aus
dem Experiment direkt verglichen werden (Bild 65 a).
Zur Finite-Elemente-Simulation der Kreuzprobe wurden verschiedene Vernetzungen gene-
riert und je nach den Belastungsanforderungen eingesetzt. Die Vernetzung der Kreuzprobe
als Ganzes (Bild 65 b) verursacht hohe Element- bzw. Knotenzahlen mit entsprechend lan-
ger Rechenzeit und ist nur für unsymmetrische Belastungen, Biege- oder Torsionsbelastun-
gen oder Anisotropie nötig, was bei den durchgeführten Experimenten nicht der Fall war.
Eine effektive Rechenzeitverkürzung konnte durch Berücksichtigung der Symmetrieebenen
der Kreuzprobe im Bezug auf die Geometrie und Belastung realisiert werden, indem nur ein
Achtel der Kreuzprobe modelliert wurde (Bild 65 c). Außerdem wurden die Probenarme der
Kreuzprobe ebenfalls weggelassen. Somit wird nur noch ein Bruchteil an Rechenzeit benö-
tigt, um die meist langzeitigen Experimente zu berechnen.
Zunächst soll am Beispiel des Versuchs AAG525df1 (∆ε = 0,6 %, tZ rd. 1 h) das Ergebnis der
Simulationen an der Kreuzprobe mit dem Parametervektor PA vorgestellt werden (Bild 66).
Das Resultat ist im Gegensatz der bisher gebrachten Ergebnisse an den Rundkerbproben
mit mehrachsigen Spannungszuständen völlig unzureichend, weil bereits während der ersten
Haltezeit die berechnete Dehnung Werte fernab der gemessenen Dehnung annimmt. Dieser
Fall zeigt die empfindliche Abhängigkeit des identifizierten Parametervektors von der Daten-
basis. Es ist eindeutig festzuhalten, dass sich reine LCF-Standardversuche ohne Berücksich-
tigung andersartiger Versuche zur Identifikation nicht eignen.
Bei der Simulation der biaxialen Kriechermüdungsversuche an der Kreuzprobe mit dem Pa-
rametervektor PB (Bild 67 a bis e) ergibt sich für zwei unterschiedliche Dehnungsschwing-
breiten ∆ε = 0,6 % und ∆ε = 0,42 % mit jeweils zwei Werten für die Haltezeitsumme von 1 h
und 3 h folgendes Bild, alles bei dem Biaxialitätsverhältnis Φε = 1,0 (Bild 67 a bis d). Abwei-
chend davon zeigt Bild 67 e das Ergebnis für den Fall Φε = 0,5. Die Versuche mit der kürze-
ren Haltezeit werden besser wiedergegeben als mit langer Haltezeit. Die Begründung ist,
dass bereits in der ersten Haltezeit die Kriecheffekte eine zu große Verschiebung der Deh-
nung in Belastungsrichtung bewirken und diese Verschiebung bei längerer Haltzeit entspre-
chende Abweichungen erzeugen. Außerhalb der Haltezeiten, also auf den im wesentlichen
durch Deformation gekennzeichneten Bereichen der Belastungsrampen, werden die Deh-
nungsänderungen jedoch in akzeptabler Weise berechnet. Das lässt den Schluss zu, dass
der durch einen gestuften Zug-Druck-Relaxationszyklus identifizierte Parametervektor PB die
Kriecheffekte nur mäßig berücksichtigt.
Bessere Ergebnisse bei der Simulation von Kriechermüdungsversuchen an Kreuzproben
lassen sich bei der Verwendung des Parametervektors PC erzielen (Bild 68). Besonders auf-
6 Materialmodellierung
58
fallend ist der waagerechte Verlauf der Dehnung in den Haltezeiten, wie er sich auch im Ex-
periment zeigt. Dies spricht für die optimale Erfassung von Kriecheffekten, was auf die wenn
auch noch beschränkte Datenbasis mit drei Kriechversuchen zurückzuführen ist.
Neben den bisher behandelten einstufigen Verifikationsversuchen war es auch von Interes-
se, ob sich eine mehrstufige Beanspruchung durch das Materialmodell nachrechnen lässt.
Zu diesem Vergleich wurde der in Bild 32 dargestellte mehrstufige Haltezeitzyklus mit Zug-
und Druckhaltephasen herangezogen (Bild 69). Als Ergebnis führt der Parametervektor PC
zu dem besten Vorhersagergebnis, wenngleich hier zur der Parameteridentifizierung nicht
der gestufte Relaxationsversuch herangezogen wurde. Offensichtlich wirkt sich hier die
Nachbildung der Kriech- bzw. Relaxationsbeanspruchung in den Haltezeiten signifikant aus,
die durch die zur Parameteridentifizierung zugrunde gelegten Kriechexperimente wohl bes-
ser beschrieben wird. Dieser Effekt wird auch durch die nachstehend geschilderte Betrach-
tung der biaxialen Kriechbeanspruchung bestätigt.
Die Simulation der biaxialen Kriechbeanspruchung an der Kreuzprobe (Bild 48) mit den
Parametervektoren PA, PB und PC (Bild 70) liefert eine ähnliche Aussage wie bei den eben
erläuterten Kriechermüdungsversuchen. Während das Ergebnis des Parametervektors PA
völlig unzureichend ist, bekommt man bei dem Parametervektor PB sehr konservative Verläu-
fe. Das beste Ergebnis liegt wieder beim Parametervektor PC vor, wobei der Versuch mit der
größeren Belastung F = 80,5 kN bis einer Gesamtdehnung von 1 % ein vergleichsweise ak-
zeptables Ergebnis zeigt. Allerdings muss berücksichtigt werden, dass bei der Identifikation
des Parametervektor PC die verwendeten Kriechkurven ebenfalls bis ca. 1 % Dehnung in die
Berechnung eingingen. Eine Verbesserung kann erwartet werden, wenn dieser Bereich ver-
größert wird. Um die Ergebnisse bei der kleineren Last von F = 70,0 kN zu verbessern, soll-
ten die zur Identifikation verwendeten Kriechversuche kleineren Spannungen angehören und
entsprechend längere Laufzeiten haben. Außerdem müssten möglichst der tertiäre Kriechbe-
reich involviert sein. Das Ganze erfordert dann wesentlich höheren Zeit- und Berechnungs-
aufwand.
Bei allen durchgeführten Simulationen zum Kriech- und Kriechermüdungsverhalten lässt sich
eine relativ gute Übereinstimmung mit den Experimenten feststellen, wenn die getroffenen
vereinfachenden Annahmen berücksichtigt werden. Im Bezug auf die Randbedingungen des
Finite-Elemente-Modells der Kreuzprobe ist die Verteilung der Temperatur mit gewissen
Vereinfachungen behaftet. Die Temperatur innerhalb der Prüfzone ist mit T = 525 °C als
konstant vorgegeben, was den umfangreichen Messungen mit einer speziell zu diesem
Zweck mit Mantelthermoelementen applizierten Kreuzprobe entspricht. Außerhalb der Prüf-
zone besitzt die Temperatur einen in Richtung der Probenaufnehmer nahezu radial abneh-
menden Charakter (Bild 71), dessen Ursache die Wärmeabfuhr durch die Probenarme ist.
Durch das in der Prüfzone nach außen hin abnehmende Temperaturfeld herrschen Druckei-
6 Materialmodellierung
59
genspannungen, die bei Vernachlässigung das Ergebnis verfälschen würden. Aus Messun-
gen mit einer Wärmebildkamera konnte die genaue Verteilung der Temperatur auch außer-
halb der Prüfzone bis hin zu den Probenarmen ermittelt werden. Diese Temperaturverteilung
wurde dann im Finite-Elemente-Modell durch die benutzterdefinierte Subroutine UTEMP kor-
rigiert. Damit ist aber noch die Temperaturabhängigkeit der Materialeigenschaften nicht be-
rücksichtigt worden, was hauptsächlich am Fehlen weiterer Parametervektoren liegt, die den
Temperaturbereich abdecken würden. Diese Problematik ist insbesondere bei instationären
Vorgängen von Bedeutung, weil hier durch An- und Abfahrvorgänge und der damit verbun-
denen Erwärmungs- und Abkühlvorgänge die Wärmedehnungen des die Prüfzone umge-
benden Probenringes beeinflusst werden. Diese Wärmedehnungen führen zu Druckspan-
nungen, die bei der Nachrechnung der Spannungen und Dehnungen in der Prüfzone zu be-
rücksichtigen sind.
Bei den in dieser Arbeit betrachteten Verifikationsversuchen an Kreuzproben liegt die Tem-
peraturspanne im Bereich von Tmax = 525 °C in der Probenmitte bis zu etwa Tmin = 475 °C im
Bereich des Ringes zum Übergang zu den Probenarmen. Diese Temperaturunterschiede
wurden bei der Parameteridentifizierung wegen der Differenz von maximal 50 °C nicht be-
rücksichtigt, wohl aber bei der FE-Rechnung mit dem Materialmodell.
Als Praxisbeispiel wurde der Abschnitt einer Turbinenwelle mit einer umlaufenden Kerbe
nach der abgebildeten Geometrie und Randbedingungen mit Finiten Elementen modelliert
und berechnet (Bild 72). Die Randbedingungen umfassen Fliehkraft durch die Betriebsdreh-
zahl n = 3000 U/min, Dampfdruck am Wellenmantel p = 25 MPa, fixierte axiale und freie ra-
diale Verschiebung an der einen Stirnseite und eine lineare Spannungsverteilung an der an-
deren Stirnseite. Der Anfahrvorgang wurde durch einen linearen Anstieg der bei null begin-
nenden Drehzahl mitberechnet. Danach wurde die Drehzahl konstant gehalten, wie sie bei
der Betriebsphase einer Dampfturbine zur Stromerzeugung der Fall ist, wobei ein Extremfall
von 27.000 h angenommen wurde. Es handelt sich also um die Berechnung eines monoto-
nen Belastungsverlaufs. Dabei wurde der Parametervektor PB verwendet. Allerdings musste
die Fließgrenze k0 ausgehend vom identifizierten Wert von ca. 95,5 MPa verringert werden,
da die zu niedrige Beanspruchung der Turbinenwelle maximale Spannungen von ca. 50 MPa
verursachte. Aus diesem Grund wurde zum Testen der Materialmodells und zur Erprobung
der Rechengeschwindigkeit mit UMAT ein relativ kleiner Wert für die Fließgrenze k0 von
10 MPa gewählt.
Die berechnete Verteilung der Vergleichsspannung ist in Bild 72 b dargestellt. Links ist das
rein elastische Ergebnis als Vergleich zum in der Mitte abgebildeten Ergebnis mit UMAT
nach dem Anfahrvorgang zu sehen. Sowohl die Verteilung als auch die Größen der Extrem-
werte der Vergleichsspannungen unterscheiden sich kaum voneinander. Anders zeigen sich
die Kriech- bzw. Relaxationseffekte nach einer Belastungsdauer von 27.000 h (Bild 72 b
6 Materialmodellierung
60
rechts), wo die maximale Spannung in der Kerbe von ca. 50 MPa nach dem Anfahrvorgang
auf ca. 16 MPa sinkt (Bild 72 c links). Der Verlauf der axialen Gesamtdehnung steigt nach
27.000 h auf Werte von ca. 0,04 %. Die Rechenzeit zur Berechnung des Finite-Elemente-
Modells mit UMAT und einer Belastungsdauer von 27.000 h beträgt auf einem PC mit
3.000 MHz Taktfrequenz und 2 GByte Arbeitsspeicher ca. 30 Min. Das achsensymmetrische
Finite-Elemente-Netz beinhaltet ca. 600 viereckige Elemente mit quadratischer Ansatzfunkti-
on. Es waren ca. 600 Zeitschritte notwendig, wobei sich eine mittlere Schrittweite von ca.
50 h ergibt. Das Verhältnis von der realen Belastungsdauer zur benötigten Rechenzeit kann
als ein Rechenzeitfaktor zur Beurteilung der Effizienz der numerischen Implementierung des
Materialmodells in UMAT und der Schrittweitenkontrolle aufgefasst werden. Dabei sollten
gleiche Bedingungen vorausgesetzt werden, wie z.B. Rechnerleistung, das zu berechnenden
Finite-Elemente-Modell, u.a. die Anzahl der eingesetzten Elemente (Feinheit des Finite-
Elemente-Netzes) und deren Typ, der Zyklus- bzw. Belastungsverlauf und nicht zuletzt der
Parametervektor für den zu simulierenden Werkstoff. Bei der hier beispielhaft berechneten
Turbinenwelle beträgt der Rechenzeitfaktor einen Wert von über 50.000, d.h. die reale Zeit
um diesen Faktor schneller simuliert werden kann. Bei mehreren An- und Abfahrvorgängen
wie unter realen Umständen wird aber ein niedrigerer Wert zu erwarten sein, da die Schritt-
weitenkontrolle für schnelle Deformationen mit einer Verkleinerung des Zeitschritts reagiert,
so dass die Konvergenz der Lösung gewährleistet ist. Als Faustregel lässt sich festhalten,
dass mit zunehmender Zykluszahl und kürzeren statischen Belastungsphasen der Rechen-
zeitfaktor von dem idealen Wert für monotone Belastung abweicht. Weiter ist an dieser Stelle
anzumerken, dass bei Lebensdauerberechnung Extrapolationsmethoden benötigt werden,
um den Rechenzeitfaktor gerade bei zyklischen Beanspruchungen zu erhöhen mit dem Ziel
einer Rechenzeitbeschleunigung.
Für die oben beschriebene Nachrechnung der Kerbstelle einer Turbinenwellen wurde der
zeitliche Verlauf der Spannungsumlagerung (Vergleichsspannung) und der entsprechende
Verlauf der Gesamtdehnung ε22 aufgetragen. In diesem Zusammenhang wurde auch der
Einfluss der statischen Erholung mit betrachtet. Aus dieser Auswertung lässt sich der
Schluss ziehen, dass die statische Erholung im Materialmodell zu verankern ist. Das Teilbild
für die Gesamtdehnung zeigt nach rd. 10000 h kaum noch einen Anstieg der Dehnung, was
als eher unwahrscheinlich anzusehen ist. Hier besteht bei der Identifizierung der Materialpa-
rameter der Bedarf nach Berücksichtigung geeigneter Versuchsdaten für extrem langzeitige
Beanspruchung bei entsprechend besonders niedrigen Spannungen.
Im Rahmen der Untersuchungen zur Verifikation des Materialmodells wurden auch Fälle von
langzeitiger Kriechermüdungsbeanspruchung mit betriebsähnlichem Beanspruchungsablauf
an einaxial beanspruchten zylindrischen Proben nachgerechnet (Verifikation für 1D-
Beanspruchung). Wegen der Langzeitigkeit der Beanspruchung war die Evolution der Schä-
6 Materialmodellierung
61
digung mit zu berücksichtigen. Die Schädigungsparameter wurden dabei anhand langzeitiger
Identifikationsversuche mit überlagerter Kriech- und Ermüdungsbeanspruchung bestimmt.
Ausgehend vom bereits identifizierten Parametervektor PB wurde dabei vereinfachend nur
der Schädigungsparameter α1 bestimmt, während die weiteren Schädigungsparameter mit
den Werten α0 = 0,0, α2 = 0,0 und q0 = 1,0 als konstant angenommen wurden. Diese An-
nahme entspricht dem einfachen Schädigungsansatz von Lemaitre, wobei zusätzlich der
Schädigungsexponent q1 =1,5 gesetzt wurde, um den exponentiellen Verlauf der Schädigung
zu berücksichtigen.
Als experimentelle Grundlage wurde in diesem Zusammenhang ein isothermer dreistufiger
Versuch mit betriebsähnlichem Teilzyklen gewählt [23] (Bild 73). Dieser Versuch besteht aus
drei Stufen, wie sie bei den An- und Abfahrvorgängen der Dampfturbinen vorliegen und ent-
sprechen den Kalt-, Warm- und Heißstarts im Netzbetrieb. Eine Zyklusfolge beinhaltet einen
Kaltstartzyklus, 3 Warmstart- und 16 Heißstartzyklen, besteht also aus 20 Teilzyklen. Die
Versuchsdauer bis zum Anriss betrug tA = 1648 h entsprechend NA = 452 Teilzyklen.
Die im Parametervektor PB noch nicht identifizierten Werte der Schädigungsparameter wur-
den durch eine iterative Methode bestimmt. Diese Methode führte mit lediglich drei Iteratio-
nen zum gesuchten Wert des Schädigungsparameters α1. In der ersten Iteration wurde ein
Schätzwert für das Parameter α1,1 = 1,0 angesetzt, der eine Anrissdauer von tA1 = 401 h er-
gab. Wegen der sich dabei einstellenden zu kurzen Anrissdauer musste für die zweite Itera-
tion eine korrigierter, kleinerer Wert für das Schädigungsparameter α1,2 = 0,3 angenommen
werden. Das mit diesem Parameterwert errechnete zweite Ergebnis der Anrissdauer von
tA2 = 1347 h lag wesentlich näher an die Versuchsdauer. Der endgültige Wert für das Schä-
digungsparameter α1,3 = 0,246 wurde mit Hilfe einer logarithmischen Extrapolation ermittelt
(Bild 73 f). Bei der Simulation ließ sich mit einer Anrissdauer von tA3 = 1640 h eine optimale
Übereinstimmung mit dem Versuch erzielen.
Der hierdurch um die Schädigungsparameterwerte ergänzte Parametervektor PB wurde zur
Verifikationsberechnung eines langzeitigen isothermen einstufigen betriebsähnlichen Versu-
ches einer Haltezeitsumme von 32 h und einer Dehnungschwingbreite von ∆ε = 0,54 % ver-
wendet. Die Versuchsdauer betrug tA = 31.280 h entsprechend einer Anrisswechselzahl
NA = 990 Zyklen. Die Nachrechnung ergab eine Anrisswechselzahl von NA,Sim = 604 Zyklen
(Bild 74). Dieses Ergebnis ist deutlich zu konservativ, lässt aber die Möglichkeiten der Be-
rücksichtigung von Schädigung hinreichend erkennen. Inwieweit bei einer Berücksichtigung
des Parametervektors PC ganz andere Vorhersagergebnisse zu erzielen sind, bleibt zukünf-
tigen Untersuchungen vorbehalten. Ein wichtiger Aspekt wird in diesem Zusammenhang die
Berücksichtigung der isotropen Entfestigung und ebenso die Identifizierung aller Parameter
der Evolutionsgleichung für die Schädigung sein.
6 Materialmodellierung
62
Ferner sind zukünftig auch andere Evolutionsansätze zur Beschreibung der Schädigung un-
ter Komplexbeanspruchung von Kriechen und Ermüden zu entwickeln. Dies hängt ursächlich
mit den völlig verschiedenen Schädigungsmechanismen für Kriechen und Ermüden zusam-
men.
6.5 Sensitivitätsuntersuchung des konstitutiven Materialmodells
Im Hinblick auf die Anwendung des Materialmodells ist es von Interesse, Aussagen über den
Einfluss von Änderungen der Materialparameter auf das Vorhersageergebnis zu gewinnen.
Deshalb wurden anhand verschiedener Simulationsrechnungen die Sensitivität des Modells
auf die Parametervariation untersucht (Bild 75, 76, 77 und 78). Die Vorgehensweise war,
dass ausgehend von einem vordefinierten Parametervektor jeweils ein Materialparameter
geändert und das neue Ergebnis mit dem ursprünglichen Ergebnis grafisch verglichen wur-
de. Gegenstand der Untersuchung waren die Parameter für Elastizität E und ν, Fließgrenze
k0, Viskosität η und m, kinematische Verfestigung b und c, deren statische Erholung p und w,
Schädigungskoeffizienten α0, α1 und α2 sowie Schädigungsexponenten q0 und q1. Der Ein-
fluss der isotropen Verfestigung wurde aus den im Abschnitt 6.3 genannten Gründen außer
Acht gelassen. Auch die Querkontraktionszahl wurde mit ν = 0,3 als konstant angesehen.
Hierdurch ergaben sich 13 Möglichkeiten der Variation. Diese Studie wurde für eine konstan-
te einachsige Belastung durchgeführt. Die Aussagen hiervon lassen sich auf den mehrachsi-
gen Fall zumindest qualitativ übertragen.
Als Grundlage diente der Parametervektor PC, bei dem jeweils ein Parameter eine Änderung
erfuhr und anschließend ein bestimmter Kriechversuch simuliert wurde. Dem Kriechversuch
lag eine Spannung von σ0 = 351 MPa zugrunde, die einem der Identifikationsexperimente
entspricht (Bild 56 c).
Im einfachsten Fall der Elastizität (Bild 75 a) verändert das Variieren des E-Moduls lediglich
das elastische Verhalten der Materials (Gl. (20)) und zwar eine Steigerung des E-Moduls
bewirkt die Verringerung des elastischen Anteils der Dehnung, sodass die Kriechkurve nach
unten verschoben wird. Ein Erhöhung der Fließgrenze k0 verkleinert durch die Reduktion der
viskosen Überspannung F (Gln. (32) und (33)) die Steigung der Kriechkurve (Bild 75 b), die
durch die plastische Dehnungsgeschwindigkeit gegeben ist. Der Einfluss der Viskositätspa-
rameter η und m (Bild 75 c und d) ergibt sich ebenfalls aus Gl. (33). Eine Vergrößerung des
Parameters c (Bild 76 b) im erzeugenden Term bewirkt eine Steigerung der kinematischen
Verfestigung (Gl. (37)), wohingegen der Parameter b des begrenzenden Terms wegen des
negativen Vorzeichens in umgekehrter Weise wirkt (Bild 76 a). Die Steigerung der Parameter
für die statische Erholung der kinematischen Verfestigung p und w (Gl. (37)) bewirken eine
Verringerung der Verfestigung und einen entsprechenden Anstieg der Kriechgeschwindigkeit
6 Materialmodellierung
63
(Bild 76 c und d). Das Fehlen des Terms für statische Erholung für p = 0 führt bei kleineren
Spannungen zum Stagnieren des Kriechvorgangs (Bild 76 c). Der Einfluss der Schädigungs-
parameter α0 und α1 (Gl. (43)) erstreckt sich hauptsächlich ab dem Sekundärbereich (Bild
77 a und b). Der Unterschied ist jedoch, dass die Zuwachsrate der Schädigung mit dem Pro-
portionalitätsfaktor α0 von der Kriechgeschwindigkeit abhängt. Beim Schädigungsparameter
α1 ist diese Abhängigkeit u.a. durch die Energiefreisetzungrate (Gl. (44)) nichtlinear. Das
Schädigungsparameter α2 und die Schädigungsexponenten q0 und q1 wirken sich im Zu-
sammenhang mit der Kriechkurve auf den Beginn des Tertiärbereichs und dessen Verlauf
aus (Bild 77 c bis e). Aus diesen Betrachtungen kann für die Schädigungsentwicklung eine
wichtige Schlussfolgerung gemacht werden, dass Schädigungsansätze unabhängig von der
Modellierung der Deformation stattfinden können. Somit ist es zulässig bei der Identifizierung
der Materialparameter im ersten Schritt ohne Schädigung zu verfahren.
Außerdem wurde in einer weiteren Sensitivitätsstudie ausgehend von konstant gehaltenen
Materialparametern noch der Einfluss der Belastung untersucht. Um einen Eindruck über die
Gesamtheit der Effekte zu schaffen und gleichzeitig einen relativ komplexen Belastungsfall
zu behandeln, wird hier die biaxiale Kriechbeanspruchung an Kreuzproben als Fallbeispiel
genommen. Es stehen die Messdaten zweier biaxialer Kriechversuche an Kreuzproben mit
einer Kraft von F1 = 70 kN und F2 = 1,15 F1 = 80,5 kN zur Verfügung (Bild 48). Die Sensitivi-
tät im Bezug auf die Kraft in der Simulation soll mit 5 % Abweichung nach oben und unten
analysiert werden. So ergeben sich sechs Varianten mit F1Sim = {66,5 kN; 70,0 kN; 73,5 kN }
und F2Sim = {77,0 kN; 80,5 kN; 84,0 kN} (Bild 78, a und b). In beiden Fällen, deren Berech-
nung auf den Parametervektor PC basiert, nähern sich die Verläufe der Gesamtdehnung mit
Verringerung der Kraft an die gemessenen Kurven. Eine qualitative Änderung ergibt sich
aber nicht.
Insgesamt zeigen die Sensitivitätsrechnungen den teilweise deutlichen Einfluss von Parame-
tervariationen auf das Modellierungsergebnis. Daraus lässt sich aber das Potenzial von kon-
stitutiven Werkstoffbeschreibungen erkennen. Andererseits zeigen die Freiheitsgrade aber
auch den Aufwand bei der Parameteridentifizierung.
6.6 Software zur Modellierung und Parameteridentifikation
Während der Bearbeitung dieses Forschungsvorhabens und als Ergebnis weiterer Arbeiten
sind zwei benutzerfreundliche Rechneranwendungen zur Parameteridentifikation ParId (Bild
79) und zur Materialmodellierung MoSim (Bild 80) entstanden, die eine Identifikation der Ma-
terialparameter anhand einachsiger Experimente sowie eine einfache Erzeugung von Simu-
lationsdaten auf der Basis der Differenzialgleichungen des vorliegenden Materialmodells
ermöglichen. Der Entstehung dieser Computerprogramme ist ein innovatives Konzept voran-
6 Materialmodellierung
64
gegangen, dass auf die Automatisierung der Parameteridentifikationsprozedur und zur
Schaffung von einem optimalen Verständnisses des Materialmodells ausgerichtet ist.
Dieses Programm eignet sich im Prinzip auch zu Parameter-Identifikation, da der Benutzer
durch Eingabe geeigneter Parameterwerte den simulierten Verlauf iterativ mit dem Versuch
zur Deckung bringen kann. Allerdings setzt ein erfolgreiches Ergebnis voraus, dass der Be-
nutzer ein grundsätzliches Verständnis des Materialmodells und Erfahrung über den Einfluss
der Parameter besitzt. Zu dem ist dieser Vorgang arbeits- und zeitintensiv, da oft viele Anläu-
fe erforderlich sind. Der wesentliche Nachteil ist außerdem, dass jeweils nur ein Belastungs-
fall simuliert werden kann, so dass eine gleichzeitige Anpassung an mehreren Experimenten
nicht praktikabel ist. Es wäre also praktischer eine Software zu entwickeln, die mehrere Ex-
perimente gleichzeitig verwendet und zusätzlich die meisten zu bewältigten Schritte automa-
tisiert durchführt. Eine solche Software ist das Programm NeuoId, das zuerst Simulationsda-
ten mehrerer Versuche erzeugt und anschließend mit Hilfe der Versuchsdaten und der neu-
ronalen Netze die Parameter identifiziert. Aufbauend auf eine Konfigurationsdatei mit Infor-
mationen der Topologie des Neuronalen Netzes, Typ der Trainingsfunktion und Aktivierungs-
funktion, Trainingsintensität sowie Zyklusdatei und Versuchsdaten verwendet dieses Pro-
gramm verschiedene Module des Programms MoSim zur Erzeugung der Trainingsdaten aus
den Simulationen. Das Programm generiert das vorgegebene neuronale Netz, bereitet die
Trainingsdaten auf, trainiert mit diesen das neuronale Netz, löst die Identifikationsaufgabe
durch die Anwendung des trainierten Netzes auf die Versuchsdaten und liefert den sich als
Lösung ergebenden Parametervektor (Bild 84).
Das Programm MoSim ist eine Benutzeroberfläche zur Simulation des in diesem Vorhaben
verwendeten Materialmodells der verallgemeinerten Energie-Äquivalenz. Es bietet die Mög-
lichkeit, dass Materialmodell durch Simulation von beliebigen Belastungsfällen und Eingaben
von Materialwerten zu erforschen. Es sind die zwei Belastungstypen der Dehnungs- und
Spannungsregelung implementiert worden, so dass sowohl Dehnwechsel- als auch Kriech-
versuche berechnet werden können. Die Parameter können in einem beliebigen Intervall
ausgewählt oder direkt eingegeben werden. Die Zyklusdaten werden mit einem gesonderten
Software-Tool Zyklusgenerator (Bild 81) definiert, das weiter unten erklärt wird. Die berech-
neten Daten werden automatisch in ein Diagrammfenster als Dehnungs-Zeit-, Spannungs-
Zeit- und Spannung-Dehnungskurven dargestellt und können graphisch mit den Versuchser-
gebnissen verglichen werden, in dem die Versuchdaten in das Diagrammfenster hinzugefügt
werden (Bild 82). Die zuletzt erzeugten Daten und zugehörigen Parameter können direkt aus
dem Hauptfenster vom MoSim gespeichert werden. Es gibt aber auch die Möglichkeit alle
bisherigen Simulationen als eine Historie aufzulisten und selektiv zu speichern. Dies ge-
schieht mit der Schaltfläche „Extras“, das ein entsprechendes Fenster öffnet (Bild 83). Auf
diesem Fenster können aus einer Liste ausgewählte Kurven gespeichert oder formatiert
werden, d.h. ihre Linienart geändert werden. Die Kurven können auch ein- bzw. ausgeblen-
6 Materialmodellierung
65
det werden, damit die Änderungen auf Grund der Parametervariation besser nachvollzogen
werden können.
Ein besondere Aufgabe dieser Arbeit betrifft die Simulation von extrem langzeitigen Experi-
menten, die große Datenmengen produzieren würden. Durch Einbettung einer flexiblen Da-
tenreduktionsroutine gelingt es, dass hierdurch kein Verlust relevanter Datenbereiche hinge-
nommen werden muss. Beispiel hierfür ist die Simulation von zyklischen betriebsähnlichen
Versuchen mit sehr langen Haltezeiten, die dehnungsgeregelt durchgeführt werden und zu
Beginn der Haltezeiten starke Spannungsrelaxationen aufweisen. In diesem Bereich muss
relativ zur Zyklusdauer eine sehr kleine Zeitschrittweite gegeben sein, damit der Verlauf des
Relaxationseffektes gut aufgelöst werden kann. Bei langen Haltezeiten ergibt sich nach die-
ser steil abfallenden Phase ein in der Regel sehr flacher Verlauf der Spannung über die Zeit,
der mit wesentlich größeren Zeitschritten dargestellt werden muss und zur Reduktion der
irrrelevanten Daten beitragen kann. Damit der Benutzer die Datenreduktion abhängig von
den jeweiligen Bedürfnissen kontrollieren kann und zur Erleichterung der Programmierung
beliebiger Zyklusformen wurde der spezielle Software-Zyklusgenerator entwickelt, der den
Anforderungen der Praxis gerecht wird (Bild 81). Da es sich in der LCF-Versuchstechnik
meistens um Zyklen mit konstanten Rampendehngeschwindigkeiten handelt, wird beim Pro-
grammieren der Zyklen von der Dehnrate ausgegangen. Ausgehend von einer konstanten
Dehnrate für eine Rampe, ergibt sich die Rampenzeit für die zu erreichende Dehnung aus
dem Verhältnis von Dehnung zu Dehnrate. Die Software ermöglicht aber auch für jede Ram-
pe andere Werte vorzugeben. Durch einfügen von zusätzlichen Punkten in den Haltephasen
kann deren Bedeutung für die Datenreduktion unterstrichen werden. Es müssen nur noch die
Dehnung in jeder Haltezeit und ihre Dauer eingegeben werden. Mit der Eingabe der Auflö-
sung bestimmt man die Anzahl der Datenpunkte zwischen zweier Punkte des programmier-
ten Zyklus, so dass die Feinheit und Menge der produzierten Daten festgelegt werden kann.
Die in dieser Arbeit identifizierten Materialparameter sind mit Hilfe der hier vorgestellten Pro-
gramme in der relativ eingeschränkten Zeit erst ermöglicht worden. Die Anwendung dieser
Programme auf die vorliegenden und weitere Werkstoffe sollte in zukünftigen Arbeiten ver-
stärkt vorgenommen werden.
7 Schlussfolgerungen, Zukünftige Aufgabenstellungen
66
7 Schlussfolgerungen, Zukünftige Aufgabenstellungen
Das aus [67] bekannte Materialmodell wurde zur Anpassung an die in dieser Arbeit vorlie-
gende komplexe Kriechermüdungsbeanspruchung am Beispiel eines warmfesten Schmiede-
stahles vom Typ 1%CrMoNiV angepasst. Eine wichtige Aufgabe bestand in dieser Arbeit in
der Identifizierung der Materialparameter zur Nachrechnung von ein- und mehraxialen
Kriech- und Kriechermüdungsbeanspruchungsfällen. Dabei war ein geeignetes Verfahren
auszuwählen und die Vorgehensweise zur Parameterbestimmung zu entwickeln und zu er-
proben.
Zur Identifizierung der Materialparameter erwies sich ein zweistufiges Verfahren als vorteil-
haft. Hierbei wird zunächst mit der Methode der Neuronalen Netze ein Parametervektor er-
mittelt, der schließlich als Startwert für die Bestimmung eines endgültigen Parametervektors
mithilfe der Nelder-Mead-Methode zugrunde gelegt wird. In diesem Zusammenhang wurde
ein Programmpaket entwickelt, das bei der Parameteridentifizierung vorteilhaft die Berück-
sichtigung unterschiedlicher Versuchsarten simultan ermöglicht.
Mit dem Ziel, die Auswirkungen unterschiedlicher Datensätze auf das Vorhersageergebnis
vor dem Hintergrund der unterschiedlichen Beanspruchungsfälle studieren zu können, wurde
eine systematische Vorgehensweise bei der Parameteridentifizierung erarbeitet. Als Ergeb-
nis dieser Studie lässt sich schließen, dass die simultane Berücksichtigung von Kriech- und
Ermüdungsexperimenten die besten Vorhersageergebnisse insbesondere bei den betriebs-
ähnlichen Beanspruchungsabläufen liefert, wobei längerzeitige Kriechexperimente schon
Berücksichtigung fanden. Ein weniger akzeptables Ergebnis wurde bei der Zugrundelegung
von kurzzeitigen mehrstufigen Zug-Druck-Relaxationsversuchen erzielt. Entsprechende Ver-
suche beinhalten eine Überlagerung von elastisch-plastischer Verformung und Kriecheffek-
ten durch entsprechend lange Haltezeiten und sind insgesamt weniger zeit- und kosteninten-
siv als die o.g. Standardversuche. Der Vorteil liegt hier in der Ermittlung von Daten anhand
einer Probe, wodurch sich naturgemäß Streuungen von Werkstoffeigenschaften deutlich
verringern lassen, wie sie beispielsweise durch inhomogene Werkstoffeigenschaften infolge
Materialentnahme aus Bauteilen vorkommen können aber auch die experimentelle Randbe-
dingungen durch Datenermittlung an mehreren Proben.
Bei der Berücksichtigung von Standardversuchen wie Zug-, Kriech- und Ermüdungs-
versuchen, die üblicherweise aus Arbeiten zur Werkstoffqualifizierung vorliegen, trat aber die
Schwierigkeit auf, dass die vorhandenen Datensätze aus solchen Experimenten nicht hinrei-
chend konsistent waren, also beispielsweise unterschiedliche Werte für den Elastizitätsmo-
dul bzw. Streuungen in den Messdaten aufwiesen. Dieses Problem lässt sich prinzipiell
durch engere Vorgaben bei der Datengenerierung einerseits aber auch durch eine Nach-
auswertung im Sinne eines Abgleichs über alle experimentellen Daten andererseits lösen.
7 Schlussfolgerungen, Zukünftige Aufgabenstellungen
67
Hier wird also vorgeschlagen, eine Glättung der experimentellen Daten durchzuführen und
eine anschließende analytische Beschreibung beispielsweise des Kriechverhaltens vorzu-
nehmen. Diese Arbeiten erwiesen sich aber als zu zeitaufwändig und wurde trotz intensiver
Bemühungen schließlich zurückgestellt.
Im Hinblick auf die Nachrechnung von Beanspruchungsfällen mit betriebsnahe niedrigen
Spannungen unter 100 MPa verbleibt aber eine zukünftige Aufgabe, die statische Erholung
durch Berücksichtigung von langzeitigen Kriechexperimenten besser zu beschreiben. Ferner
ist die isotrope Entfestigung im Materialmodell und bei der Identifikation zu aktivieren, was
bisher wegen der nicht signifikant ausgeprägten zyklischen Entfestigung bei den biaxialen
Kriechermüdungsversuchen zurückgestellt worden war.
Die Parameteridentifizierung für die Schädigungsgrößen α und q des Schädigungsansatzes
nach Lemaitre erfolgte nur in grober Näherung. Eine wichtige Zukunftsaufgabe besteht in der
Entwicklung geeigneter Ansätze für die bei Kriechermüdungsbeanspruchung wirkenden un-
terschiedlichen Schädigungsmechanismen für Ermüdung ausgehend von der Proben- bzw.
Bauteiloberfläche und für Kriechen vom Werkstoffinnern. Hierfür sind Experimente von min-
destens 10.000 h an Kerbproben erforderlich, um Schädigungsmechanismen unter langzeiti-
ger Beanspruchung erzeugen zu können.
Generell ist bei der Parameteridentifikation festzuhalten, dass sich mit einem gemeinsamen
Parametersatz sowohl Kriech- als auch Kriechermüdungsbeanspruchungsfälle nachrechnen
lassen.
Bei der Nachrechnung der einaxialen Verifikationsexperimente konnte bei der Berücksichti-
gung einer einfachen Schädigungsbeschreibung nach Lemaitre bereits eine akzeptable Vor-
hersage für zeitabhängige Rechnungen erzielt werden. Die Nachrechnungen der mehraxia-
len Verifikationsexperimente erfolgte in dieser Arbeit zum Teil ohne Schädigung und be-
schränkt sich auf die Betrachtung der Verformung. Vorteilhaft sei aber angemerkt, dass sich
das Materialmodell schon mit näherungsweise bestimmten Schädigungsparametern auch für
die Lokalisierung kritischer Bauteilstellen einsetzen lässt. Bei der Identifikation von Schädi-
gungsparametern ergeben sich hohe Rechenzeiten. Daher sind hier zukünftig geeignete
Extrapolationsmethoden zu entwickeln und für den vorliegenden Fall von Kriech- und
Kriechermüdungsbeanspruchung zu erproben. Die im Rahmen dieser Arbeit entstandene
Schrittweitensteuerung zur Lösung von Differenzialgleichungen erwies sich als sehr effektiv
hinsichtlich Rechenzeitverkürzung.
Die zur Verifikation eingesetzte biaxiale Prüftechnik an Kreuzproben erwies sich gegenüber
der Verwendung von Kerbproben als besonders vorteilhaft, weil hierbei eine Prüfzone mit
homogenem Spannungs-Dehnungsfeld vorliegt und die Initiierung von Anrissen leicht zu-
7 Schlussfolgerungen, Zukünftige Aufgabenstellungen
68
gänglich detektierbar ist. Ein weiterer bauteilbezogener Vorteil betrifft die Abbildung der
Kriechermüdungsbeanspruchung durch Dehnungsregelung.
Die Erfahrungen mit dem Materialmodell lassen die Anwendung auf andere Werkstoffe in der
Kraftwerkstechnik erwarten. Das Materialmodell eignet sich zur Erweiterung auf anisotrope
Verformung und Schädigung, wie sie beispielsweise bei Einkristallwerkstoffen vorliegt. Eine
wichtige Erweiterung betrifft die Entwicklung von Methoden zur Identifizierung von Material-
parametern für Stahlsorten.
Schließlich sei darauf hingewiesen, dass das vorliegende Materialmodell auch für den
Grenzfall der Kriechbeanspruchung, nämlich der veränderlichen Kriechbeanspruchung, im
Rahmen einer parallelen Forschungsvorhabens am Beispiel des Stahles vom Typ
X12CrMoWVNbN10-1-1 verifiziert wurde.
8 Zusammenfassung
69
8 Zusammenfassung
In diesem Vorhaben wurde das Ziel verfolgt, eine robuste, thermodynamisch konsistente
Beschreibung des inelastischen Verhaltens am Beispiel eines warmfesten Schmiedestahles
vom Typ 28CrMoNiV4-9 in Form eines elastoviskoplastischen Materialmodells zur Le-
bensdauerberechnung und Optimierung von Hochtemperaturbauteilen des Kraftwerks- und
Anlagenbaues unter praxisnaher Kriech- und Kriechermüdungsbeanspruchung zu erstellen.
Das Materialmodell soll in der Lage sein, Kriechbeanspruchung und Kriechermüdungsbean-
spruchung zu erfassen und Verformung sowie Lebensdauer zu beschreiben.
Im Vordergrund der theoretischen Arbeiten standen die Anpassung eines Materialmodells an
die vorliegende komplexe Beanspruchung und Fragen der Entwicklung und Erprobung eines
geeigneten Verfahrens zur Parameteridentifikation sowie die Entwicklung einer UMAT für
Finite-Elemente-Berechnungen. Das Modell berücksichtigt Ansätze über kinematische und
isotrope Verfestigung sowie isotrope Schädigung und ist für 3D-Simulation konzipiert. Im
Einzelnen handelt es sich um ein konstitutives Materialmodell für elastisch-viskoplastische
Deformation und isotrope Schädigung und beruht auf dem Konzept der effektiven Spannung
kombiniert mit dem Prinzip der verallgemeinerten Energieäquivalenz.
Zur Identifizierung der Materialparameter wurde ein zweistufiges Verfahren entwickelt. Hier-
bei wird zunächst mit der Methode der Neuronalen Netze ein Parametervektor ermittelt, der
schließlich als Startwert für die Bestimmung eines endgültigen Parametervektors mithilfe der
Nelder-Mead-Methode zugrunde gelegt wird. Dabei unterstützt ein speziell entwickeltes Pro-
grammpaket den Anwender bei der simultanen Berücksichtigung unterschiedlicher Ver-
suchsarten wie Kriech- und Ermüdungsversuche. Die Identifikation der Materialparameter
wurde im Wesentlichen auf der Basis vorhandener 1D-Materialdaten durchgeführt werden.
Den Schwerpunkt der experimentellen Arbeiten bildete die Durchführung der Verifikations-
versuche an Rundkerbproben und Kreuzproben. Hierfür stand ein servohydraulisches Biaxi-
al-Prüfsystems für Kreuzproben zur Verfügung. Spezielle Herausforderungen bestanden in
der Optimierung der Temperaturverteilung in der Prüfzone.
Bei den nach Vorgaben der Industrie ausgewählten Beanspruchungsmustern handelt es sich
um Kriechermüdungsexperimente mit einem betriebsähnlichen Zyklus, welcher eine Druck-
haltephase entsprechend dem Anfahrvorgang und eine Zughaltephase entsprechende dem
Abfahrvorgang sowie eine Betriebshaltephase entsprechend stationärem Betrieb berücksich-
tigt. Die erzielten Beanspruchungsdauern in den Verifikationsexperimenten liegen bei 2000
bis 3000 h unter Variation der die Kriechschädigung beeinflussenden Haltezeit sowie der
Beanspruchungshöhe. Hierbei erwies sich insbesondere die dehnungsgeregelte Abbildung
8 Zusammenfassung
70
einer biaxialen Kriechermüdungsbeanspruchung mithilfe von Kreuzproben von Vorteil hin-
sichtlich der Nähe zur beheizten Oberfläche von massiven Hochtemperaturbauteilen.
Wegen der beschränkten Abmessungen des Versuchsmaterials wurde eine spezielle Tech-
nik zum Einschweißen von Scheiben aus dem Versuchswerkstoff in Kreuzproben aus ähn-
lichem Werkstoff erfolgreich eingeführt.
Insgesamt ließen sich mit dem Materialmodell zufriedenstellende Vorhersageergebnisse für
mehraxiale Kriech- und Kriechermüdungsbeanspruchung mit einem optimierten Parameter-
satz erzielen. Bei der Parameteridentifizierung konnten aufgrund einer systematischen Vor-
gehensweise wichtige Aussagen und Empfehlungen zur Anwendbarkeit und Vorhersagege-
nauigkeit gewonnen werden. Ferner ergaben Sensitivitätsstudien Hinweise über Unsicher-
heiten in der Vorhersage.
Zusammenfassend konnte mit der hier durchgeführten Arbeit das Potenzial dieses fortschritt-
lichen Materialmodells gezeigt werden. Zukünftige Erweiterungen betreffen den Schädi-
gungsansatz in Wechselwirkung mit langzeitigen mehrachsigen Kriechermüdungsexperimen-
ten. Der Vorteil für die industrielle Anwendung liegt in der vergleichsweise geringen Anzahl
von Experimenten zur Bestimmung der Materialparameter und in der höheren Flexibilität
dieses Materialmodells für einen weiten Bereich von Beanspruchungsparametern.
9 Literatur
71
9 Literatur
[1] Czeratzki, A., P. Kordel und K.H. Mayer: Vorstellung der wesentlichen Turbinen-
bauteile einschließlich der lebensdauerbegrenzenden Kriterien. VGB-Konferenz
„Werkstoff und Schweißtechnik im Kraftwerk“, Essen (1985), Vortrag 1, S: 94/116.
[2] Graham, A., Walles, K.F.A.: Relations between long and short time properties of
commercial alloys, J. Iron and Steel Inst. 179 (1955) S. 205/90.
[3] Evans, R.W., Parker, J.D., und B. Wilshire: An extrapolation procedure for long-term
creep strain and creep life prediction with special reference to ½Cr½Mo¼V ferritic
steel, in: Recent advances in creep and fracture of engineering materials and struc-
tures, Hrsg.: Wilshire, B. und D.R.J. Owen, Swansea (1982) S. 135/67.
[4] Garofalo, F.: Fundamentals of creep and creep-rupture in metals, Macmillan, New
York (1955).
[5] Kloos, K.H., Granacher, J. und M. Oehl: Beschreibung des Zeitdehnverhaltens warm-
fester Stähle, Mat.-wiss. und Werkstofft. 24 (1993) S. 287/295 u. 331/338.
[6] Kloos, K.H., Granacher, J. and M. Monsees: Creep equations for heat resistant
steels, steel research 69 (1998) S. 446/462.
[7] Berger, C., Granacher, J. und Y. Kostenko: Kriechgleichungen für warmfeste Kraft-
werksstähle, Schlussbericht des IfW TU Darmstadt zum Vorhaben AVIF-Nr. A94
(1999).
[8] Kloos, K.H., Granacher, J. and A. Pfenning: Creep equations for high temperature
alloys on the basis of a parametric assessment of multi-heat data, steel research 67
(1996) S. 106/110.
[9] Granacher, J., Tscheuschner, R., Mao, T.S., Maile, K. und J. Bareiß: Numerisch er-
mittelter Parameter C* zur Beschreibung des Kriechrissverhaltens, Mat.-wiss. u.
Werkstofftech. 27 (1996) S. 135/142.
[10] Berger, C., A. Scholz und M. Schwienheer: Erarbeitung und langzeitige Absicherung
von Auslegungsdaten für 600 bis 625°C/700°C-Dampfturbinen, BMWA-PTJ-Verbund-
vorhaben: MARCKO-Dampfturbine, Teilvorhaben "Erweiterte Betrachtung des
Kriech-, Dehnwechsel- und Kerbfestigkeitsverhaltens“, Förderkennzeichen 0327053
A, IfW, TU Darmstadt (2002 bis 2005).
[11] Owen, D.R.J., Hinton, E.: Finite Elements in Plasticity, Pineridge Press Limited,
Swansea, U.K. (1980).
[12] Hibbit, Karlson & Sorensen, Incl., ABAQUS Manual (1999) Rhode Island, NY.
[13] Granacher, J.: Zur Übertragung von Hochtemperaturkennwerten auf Bauteile, VDI
Berichte Nr. 852 (1991) S. 325/52.
9 Literatur
72
[14] Mao, T.S., Granacher, J. und C. Berger: Zeitstandbruchverhalten bauteilähnlicher
Rundkerbproben, 21. Vortragsveranstaltung der Arbeitsgemeinschaften Warmfeste
Stähle und Hochtemperaturwerkstoffe, Düsseldorf (1998), Tagungsband S. 140/152,
siehe auch Schlussbericht des IfW TU Darmstadt zum Vorhaben DFG Kl 300/54-1
und –2 (1999).
[15] Hayhurst, D.R.: On the Role of Continuum Damage in Structural Mechanics, in:
Engineering Approaches to High Temperature Design (Ed.: B. Wilshire and D.R.J.
Owen), Pineridge Press, UK, 1983.
[16] Kloos, K.H., Granacher, J. und W. Schieblich: Ermittlung des Zeitstandverhaltens
einer austenitischen Schweißverbindung, Mat.-wiss. und Werkstofftech. 20 und 21
(1989 und 1990) S. 421/28 und 394/400.
[17] Manjoine, M.J.: Creep rupture behaviour of weldments, Welding Research Supple-
ment (1992) P. 50/57S.
[18] Beech, S. M. and A. D. Batte: An evaluation of the long term creep-fatigue behaviour
of a 0.5 % CrMoV steam turbine casing steel, in: Proc. of the Sec. Int. Conf. on Creep
and Fracture of Engineering Materials and Structures, Ed.: B. Wilshire u. D.R.J.
Owen, Swansea, U.K., Vol. 2 (1984) S. 1043/54.
[19] Kußmaul, K., Maile, K., Bernstein, W. und W. Seifert: Methoden zur Lebensdauervor-
hersage und –ermittlung für mehrachsig beanspruchte Bauteile unter hohen Tempe-
raturen, FVV-Berichte, Heft 652 (1997).
[20] Sörgel, G., Gampe, U., Raddatz, M. und R. Oettel: Thermische Ermüdung moderner
Hochtemperaturbauteile II, FVV-Berichte, Heft 608 (1997).
[21] Soo, W. N., Soo, C.L. and M. L. Je: The effect of creep cavitation on the fatigue life
under creep-fatigue interaction, Nuclear Engineering and Design 153 (1995) P.
213/221.
[22] Kloos, K.H., Granacher, J. und A. Scholz: Langzeitverhalten einiger warmfester Stäh-
le unter betriebsähnlicher Kriechermüdungsbeanspruchung, Mat.-wiss. u. Werkstoff-
tech. 24 (1993) S. 409/417.
[23] Berger, C., J. Granacher und A. Scholz: Rechnergestützte Beschreibung des mehr-
stufigen betriebsähnlichen Langzeitdehnwechselverhaltens warmfester Kraftwerks-
stähle, Forschungsvorhaben AVIF-Nr. A96, FKM-Nr. 052040, Institut für Werkstoff-
kunde, TU Darmstadt (1995 bis 1999).
[24] Fischer, R., Klenk, A., Maile, K. und H. Xu: Beschreibung des Festigkeitsverhaltens
von Komponenten im Kriechbereich unter An- und Abfahrbedingungen, Schlussbe-
richt der MPA Stuttgart zum Vorhaben AVIF Nr. 105 (1999).
[25] Berger, C. und J. Granacher: Mehrstufiges betriebsähnliches Langzeitdehnwechsel-
verhalten der neuen martensitischen Hochleistungsstähle, AiF-Vorhaben Nr. 11200
(1997 bis 2000), IfW, TU Darmstadt; siehe auch Dr.-Ing. Diss. H. Haase, TU Darm-
stadt, D17 (2003).
9 Literatur
73
[26] Granacher, J., Scholz, A., Möhlig, H. and C. Berger: Behaviour of heat resistant
power plant steels under variable long term conditions, 22. Vortragsveranstaltung der
Arbeitsgemeinschaften Warmfeste Stähle und Hochtemperaturwerkstoffe, Düsseldorf
(1999) Tagungsband S. 142/158.
[27] Maile, K.: Fortgeschrittene Verfahren zur Beschreibung des Verformungs- und Schä-
digungsverhaltens von Hochtemperaturbauteilen im Kraftwerksbau, Habil.-Schr. Uni-
versität Stuttgart, D93, Shaker Verlag, Aachen (1999).
[28] Kloos, K.H., Granacher, J. und B. Müller: Zyklisches Zeitstandverhalten warmfester
Kraftwerksstähle im Zugbereich, unter intermittierender Beanspruchung und im Zug-
Druck-Bereich, VGB Kraftwerkstechnik 75 (1995) S. 1059/1064.
[29] El Magd, E., und K.F.W Rix: Konstitutive Gleichungen für metallische Werkstoffe un-
ter zeitveränderlicher Hochtemperatur-Beanspruchung, LFW-Mitteilung Juli 1997,
Diss. von K.F.W. Rix, D82, TH Aachen.
[30] Straub, S., Hennige, T., Polcik, P. and W. Blum: Microstructure and Creep Rate dur-
ing Long-Term Cyclic Creep of the Martensitic Steel X 22 CrMoV 12 1, Steel Re-
search 66 (1995) P. 394/401.
[31] Kerst, C.P., Lindberg, G. und J. Schmidt: Monitoring Modul Restlebensdauer, Vortrag
auf der VDI-Tagung "Ertüchtigung und Lebensdauerverlängerung energietechnischer
Anlagen", Veitshöchheim (1994), VDI-Bericht 1160.
[32] Burth K. und W. Brocks: Plastizität, Vieweg Verlag (1992).
[33] Lemaitre, J. and J.L. Chaboche: Mechanics of solid materials, Cambridge University
Press (1990).
[34] Estrin, Y., Braasch, H. and Y. Brechet: A Dislocation Density Based Constitutive
Model for Cyclic Deformation, Trans. ASME, J. Eng. Mat. and Techn., 118, (1996) P.
441/447.
[35] Chaboche, J.L.: Constitutive Equations for Cyclic Plasticity and Cyclic Viscoplasticity,
Int. J. Plasticity 5 (1989) P. 247/302.
[36] Yao, D. and E. Krempl: Viscoplasticity Theory Based on Overstress. The Prediction of
Monotonic and Cyclic Proportional and Nonproportional Loading Pathes of an Alumin-
ium Alloy, Int. J. of Plasticity 1 (1985) P. 259/274.
[37] Bodner, S.R. and Y. Partom: Constitutive Equations for Elastic Viscoplastic Strain-
Hardening Materials, J. Appl. Mech. 42 (1975) P. 385/389.
[38] Chaboche, J.L.: Thermodynamically founded CDM-Models for Creep and Other Con-
ditions, in: Modelling of Creep and Damage Processes in Materials and Structures,
Eds.: H. Altenbach, J.J. Skrzypck, CISM-lecture Notes, No 399 (1999).
[39] Brocks, W., Mohr, R., Mohrmann, R. und M. Sester: Modellierung von Kriechverfor-
mung und Schädigung mit Hilfe viskoplastischer Stoffgesetze – Parameteridentifikati-
on und Vergleich, 30. Tagung des DVM-Arbeitskreises Bruchvorgänge, Darmstadt
(1998) S. 117/128.
9 Literatur
74
[40] Rodin, G.J. and D. M. Parks: A self consistent analysis of creeping matrix with aligned
cracks, J. Mech. Phys. Solids 36 (1988) P. 237/249
[41] Onat, E.T. and. F. A. Leckie: Representation of mechanical behaviour in the presence
of changing internal structure. J. Appl. Mech. 55 (1987) P. 1/10.
[42] Benallal, A. and A. Ben Cheikh: Constitutive Equations for Anisotropic Elasto-Visco-
plasticity, 2nd Int. Conf. on Constitutive Laws for Engineering Materials: Theory and
Applications, Tucson, Arizona, Desai et al (Eds.), Elsevier, 1987.
[43] Sermage, J.R., Lemaitre, J. and R. Desmorat: Multiaxial creep-fatigue under aniso-
thermal conditions, Blackwell Science Ltd.: Fatigue Fract. Engng. Mater. Struct.
23(2000) P. 241/252.
[44] Kiewel, H., Aktaa, J.and D. Munz: Application of an extrapolation method in thermo-
cyclic failure analysis, Comput. Methods Appl. Mech. Engng. 182 (2000) P. 55/71.
[45] Mahnken, R. and E. Stein: Identification of Parameters for Viscoplastic Models via
Finite Element Method and Gradient Methods, Universität Hannover, IBNM-Bericht
93/5 (1995).
[46] Mohrmann, R. and C. Gantert: User's manual for Fitit version 1.01, Fraunhofer IWM
Freiburg (1999).
[47] Debusmann, C.: Untersuchungen zur Parameteridentifikation für das phänomenologi-
sche Modell nach Nouailhas et al und das metallografische Modell nach Méric et al
am Beispiel der einkristallinen Nickel-Basis-Legierung CMSX-4. Dr.-Ing. Diss. TU
Darmstadt, D17 (2000).
[48] Seibert, T.: Simulationstechniken zur Untersuchung der Streuungen bei der Identifika-
tion der Parameter inelastischer Werkstoffmodelle, Dr.-Ing. Diss. D17, TU Darmstadt
(1996), Shaker Verlag, ISBN 38265-2123-4.
[49] Huber, N. and C. Tsakmakis: Determination of constitutive properties from spherical
identation data using neural networks, Part I and II, Journal of the Mechanics and
Physics of Solids 47 (1999), P. 1569/1588 and 1589/1607.
[50] Holdsworth, S.R., Holt, A. and A. Scholz: Experience with capacitance gauges for the
measurement of local strains at high temperatures, Int. Symp. Local strain and tem-
perature measurements in non-uniform fields at elevated temperatures, Berlin (1996)
Proc. P. 128/137.
[51] Kußmaul, K. and K. Maile: Large scale high temperature testing of specimens and
components - an essential tool for structural integrity engineering, Materials at High
Temperatures 15 (1998) P. 119/124.
[52] Kußmaul, K., Maile, K. and M. Sheng: Anwendung von Festigkeitshypothesen bei
mehr-achsigen Spannung-Formänderungs-Zuständen, FVV-Berichte H. 369 (1990).
[53] Kußmaul, K. und R. Stegmeyer: Modellkörper-Temperaturwechselversuche, FVV-
Berichte H 362 (1985).
9 Literatur
75
[54] Itoh, M., Sakane, M. and M. Ohnami: “High Temperature Multiaxial Low Cycle Fatigue
of Cruciform Specimen,” Trans. ASME, JEMT, Vol.116, No.1, 1994, Jan., pp.90-98.
[55] Berger, C.: "Betriebsähnliches Langzeitdehnwechselverhalten wichtiger Stahlsorten",
AVIF / FKM-Vorhaben, AVIF A165, FKM-Nr. 052500, IfW, TU Darmstadt, Schluss-
bericht (2005).
[56] Tachibana, Y. and E. Krempl: Modeling of High Homologous Temperature Deforma-
tion Behavior Using the Viscoplasticity Theory Based on Overstress (VBO): Part III, A
Simplified Model, J. of Engineering Materials and Technology 120 (1998) P. 193/196.
[57] Rabotnov, Y. N.: Creep Problems in Structural Members, North Holland (1969).
[58] Skrzypek, J.J. and A. Ganczarski: Modeling of Material Damage and Failure of Struc-
tures Theory and Applications, Springer (1999).
[59] Berger, C., Granacher, J. and A. Scholz: Untersuchung des Kriechermüdungsverhal-
tens von Hochtemperaturwerkstoffen unter anisothermer biaxialer Dehnwechselbe-
anspruchung, DFG-Vorhaben BE 1890/16 1 (2000 bis 2002).
[60] Schemmel, J., A. Klenk und E. Roos: Numerische Simulation von Kriechermüdungs-
beanspruchung bei mehrachsiger Beanspruchung von 1%- und 9%Cr-Stählen, Vor-
tragsveranstaltung der Arbeitsgemeinschaften Warmfeste Stähle und Hochtempera-
turwerkstoffe, Tagungsband (2002) S. 52-61.
[61] Scholz, A.: Beschreibung des zyklischen Werkstoffverhaltens bei betriebsähnlicher
Langzeithochtemperaturdehnwechselbeanspruchung, Dr.-Ing. Diss., TU Darmstadt
(1988) D17.
[62] Schwienheer, M.: Statisches und zyklisches Hochtemperaturverhalten der 600°C–
Dampfturbinenstähle (G)X12CrMoWVNbN10-1-1, Dr.-Ing. Diss., TU Darmstadt
(2005) D17.
[63] Schwertel, J.: Modellierung des einachsigen mechanischen Verhaltens von Werkstof-
fen durch viskoplastische Stoffmodelle, Dr.-Ing. Diss., Forschungsberichte VDI / Rei-
ne 5, Grund- und Werkstoffe, VDI-Verlag Düsseldorf (1993), ISBN 3-18-140605-8
[64] Scholz, A and C. Berger: Deformation and life assessement of high temperature ma-
terials under creep fatigue loading, Mat.-Wiss. und Werkstofftechnik, demnächst.
[65] Issler, L., Ruoß, H. und P. Häfele: Festigkeitslehre, Springer-Verlag Berlin Heidelberg
(1995), ISBN 3-540-58166-9
[66] Engeln-Müllges, G., und F. Reuter: Numerik-Algorithmen, 8. erweiterte Auflage -
Düsseldorf, VDI-Verlag (1996), ISBN 3-18-401539-4
[67] Tsakmakis, Ch. And D. Reckwerth: The Principle of Generalized Energy Equivalence
in Continuum Damage Mechanics, Deformation and Failure in Metallic Materials,
Springer Verlag (2003)., Herausgeber: Hutter K., Kirchner N., Baaser H., ISBN: 3-
540-00848-9
9 Literatur
76
[68] Reckwerth, D., Verallgemeinerte Energieäquivalenz zur Modellierung anisotroper
Schädigung bei inelastischem und anisotropem Materialverhalten, Dr.-Ing. Diss.,
TU Darmstadt, D17 (2003).
[69] Harth, T. , Identification of Material Parameters for Inelastic Constitutive Models: Sto-
chastic Simulation and Design of Experiments, Dr.-Ing. Diss., Berichte aus der Ma-
thematik. Aachen: Shaker Verlag; TU Darmstadt, Fachbereich Mathematik. III, 153 p.
(2003). ISBN 3-8322-1495-X
[70] Huber, N., Anwendung der Neuronalen Netze bei nichtlinearen Problemen der Me-
chanik, Habilitationsschrift, FZKA 6504, Forschungszentrum Karlsruhe (2000)
[71] Tsakmakis, Ch. und N. Huber: Einführung in die Materialtheorie und Identifikation von
Materialparametern, Skript, Universität Karlsruhe
[72] Lämmer, Thermoplastizität und Thermoviskoplastizität mit Schädigung bei kleinen
und großen Deformationen, Dr.-Ing. Diss., Forschungszentrum Karlsruhe, wisen-
schaftl. Berichte FZKA 6053 (1998),
[73] ABAQUS, Inc. : ABAQUS Online Documentation: Version 6.4-1 (2003).
[74] Cordebois J.P. and F. Sidoroff : Damage Induced Elastic Anisotropy, Comportement
Mécanique des solides anisotropes, Colloques internationaux du CNRS, Vol. 295,
761-774 (1982).
[75] Armstrong P.J. and C.O. Frederick: A mathematical representation of the Multiaxial
Bauschinger Effect, G.E.G.B. Report RD/B/N 731 (1966).
[76] Lemaitre, L.: A Course on Damage Mechanics, 2. Auflage, Springer-Verlag (1996),
ISBN 3-540-60980-6
[77] Dhar, S., Sethurmann, R. and P.M. Dixit: A continuum damage mechanics model for
void growth and micro crack initiation. Eng. Frac. Mech. 53, 917-928 (1996).
[78] Kachanov, L.M.: On the time to failure under creep conditions. Izv. Akad. Nauk. SSR,
pages 26-31 (1958).
[79] Rabotnov, Y.N.: Creep rapture, In M. Hetenyi and W.G. Vincenti (editor): applied
mechanincs, pp. 342-349 (1968)
[80] Altenbach, J. und H. Altenbach: Einführung in Kontinuumsmechanik, Teubner Stu-
dienbücher Mechanik, Stuttgart (1994)
[81] Saanouni, K., Forster, C. and F. Benhatira: On the Anelastic Flow with Damage, Int.
J. of Damage Mechanics, 3: 141–169 (1994).
[82] Tai, W.H. and B. X. Yang: A new micro void damage model for ductile fracture, Eng.
Fract. Mech., 25, 377-384 (1986).
[83] Adamy, J.: Fuzzy Logik, Neuronale Netze und Evolutionäre Algorithmen, Vorlesungs-
skript, 5. Auflage Institut für Automatisierungstechnik, Fachgebiet Regelungstheorie
und Robotik, TU Darmstadt (2003)
9 Literatur
77
[84] Mahnken, R., Theoretische und numerische Aspekte zur Parameteridentifikation und
Modellierung bei metallischen Werkstoffen, Habilitationsschrift, Forschungs- und Se-
minarberichte aus dem Bereich der Mechanik der Universität Hannover, Bericht-Nr. F
98/2 (1998)
[85] Nelder, J. A. and R. Mead: "A Simplex Method for Function Minimization." Comput. J.
7, 308-313, 1965.
[86] Scholz., A., C. Berger, A. Samir und R. Bardenheier: "Biaxiale TMF-Simulation mit
Kreuzproben zur Untersuchung des Kriechermüdungsverhaltens von Hochtempera-
turwerkstoffen, DVM-Tagung Werkstoffprüfung 2002, „Kennwertermittlung für die
Praxis" am 5. und 6. Dezember 2002, Bad Nauheim, Tagungsband, S. 280-285.
[87] Scholz., A., A. Samir and C. Berger: "Biaxial thermomechanical fatigue experiments
with cruciform testpieces", Proc. of 7th Int. Conf. on Biaxial and Multi-axial Fatigue &
Fracture, Eds. C. M. Sonsino, H. Zenner, P. D. Portella, Berlin (2004), pp. 555-560,
siehe auch Int. Journal of Fatigue, demnächst.
[88] Manson, S.S. und G.R. Halford: Complexities of high temperature metal fatigue:
Some Steps Toward Understanding, Israel Journal of Technology, Vol. 21 (1983)
S. 29/53.
[89] Ohnami, M., Sakane, M., Mukai, S. and T. Tsurui: Fourth Int. Conf. Low Cycle Fatigue
and Elasto-plastic Behaviour of Materials, Elsevier Science Ltd. 1998, 229-234.
10 Bilder und Tabellen
78
10 Bilder und Tabellen
Bild 1. Schematische Darstellung einer Dampfturbinenwelle mit verschiedenen Belastungen und den sich daraus entwickelnden Spannungen [1]
0 t t
A
u
εεεε
Bruch
I II IIITechnische Kriechbereiche
.
u
pmin
1
εεεε
0
εεεεεεεε
=(t=0)+e εεεεi
a)
PrüftemperaturPrüfspannung
T=konst.σσσσ =konst.0
tt12 23
Bild 2. Schematische Darstellung einer Kriechkurve aus dem Zeitstandversuch, Aufteilung in Primär-, Sekundär- und Tertiärkriechbereich, plastische Dehnung εp= εi + εf mit der plasti-schen Anfangsdehnung εi und der Kriechdehnung εf
p-Spannung
SchaufelfliehkraftWärmespannung
Wärmespannung im Schaufelgrund
Fliehkraftspannung
Spannungsfeld in Wellenmitte mit Ungänze
p-Belastung
Temperatur-verteilung
y
Tσ
σ
kr
y
Ti
a
T∆
.σ∆Tkα ∆Tσ
y
a∆a
2a
10 Bilder und Tabellen
79
Zeitstand-Einzelprüfmaschine (EPM) (kontinuierliche Dehnungsmessung)
Gesamtdehnung εt (gemessen bei T)
εεεεt = εεεεe + εεεεi + εεεεf
Zeitstand-Vielprobenprüfmaschine (VPM) εεεεper wird gemessen bei RT
Ermittlung der Kriechdehnung εf aus
der permanenten Dehnung εper
εεεεf = εεεεper - εεεεi + εεεεk
Bild 3. Schematische Darstellung der Dehnungen im Kriechversuch, T = Konst.
Bild 4. Verschiedene Formen der zyklischen Beanspruchung, ohne (a) und mit Haltezeit (b) sowie betriebsähnlicher Zyklus (c), nach [10, 14, 24, 25]
0
σσσσ0
εεεε
εεεεεεεεe εεεεεεεε
i f
p
εεεεt
εεεε εεεε εεεεeper k
σσσσ
t = 0 t = t 1
10 Bilder und Tabellen
80
Bild 5. Anrisskennlinien mit symmetrischer Haltezeit (Haltezeitsumme 0,1h) und für betriebs-ähnliche Dehnwechselbeanspruchung mit Haltezeitsumme 3,2 und 10 h, 28CrMoNiV4-9, T = 525 °C
Bild 6. Einfluss der Beanspruchungshöhe, hier der Dehnungsschwingbreite ∆ε, auf die zykli-sche Entfestigung bei langzeitiger betriebsähnlicher Dehnwechselbeanspruchung, Zyklus-dauer tz = 3,2 h, 28CrMoNiV4-9, T = 525 °C
10 Bilder und Tabellen
81
100
1000
10000
100000
100 1000 10000 100000NA**
NA
NA'
( ) T(oC)500525
Einstufen-versuche
525 Dreistufen-versuche
28 CrMoNiV 4 9, 216e
Bild 7. Gemessene Anrisswechselzahl NA bei isothermer betriebsähnlicher dehnungsgere-gelter Beanspruchung und Nachrechnung mit SARA (berechnete Anrisswechselzahl NA**), 28CrMoNiV4-9, T = 525 °C
Bild 8. Komponenten des Spannungstensors zur eindeutigen Beschreibung des Spannungs-zustandes
σ33
σ22
σ11
τ31
τ32
τ12
τ13 τ23
τ21
x1 x2
x3
10 Bilder und Tabellen
82
F
R
dX dx
r Rt
F
R
dX dx
r Rt
Bild 9. Veranschaulichung der Bewegung der Punkte eines Körpers unter der Wirkung einer Deformation mithilfe des Deformationsgradienten durch Abbildung des Referenzkonfiguration Rr in die Momentankonfiguration Rt
Bild 10. Veranschaulichung der Fließfläche im zweidimensionalen Spannungsraum, wo sie eine Ellipse darstellt, Vergrößerung der Fließfläche bei der isotropen Verfestigung (a) - (d) und ihre Verschiebung bei der kinematischen Verfestigung (e)
a) b)
c) d)
e)
Fließfläche
10 Bilder und Tabellen
83
Bild 11. Materialverhalten ohne Abhängigkeit (elastisch (a), plastisch (b)) und mit Abhängig-keit von der Belastungsgeschwindigkeit (viskoelastisch (c), viskoplastisch (d)) [71]
Bild 12. Grenzfall der Kriechverformung bei Abnahme der Kriechgeschwindigkeit gegen Null (a) und gegen endlichen konstanten Wert (b), schematisch
ε
σ
ε
σ
ε
σ
ε
σ
plastisch elastisch
visko- elastisch
visko- plastisch
Gleichgewichts-
zustand ( 0→ε& )
0>ε&
b) a)
d) c) 0>ε&
a)
εεεε
b)
t
εεεε
t
10 Bilder und Tabellen
84
Bild 13. Modellvorstellungen über Mikroschädigungsmechanismen bei Kriechen und Ermü-den dargestellt an einfachen, der Methode der Dehnungsschwingbreitenaufteilung zugeord-neten Dehnwechselzyklen (schematisch), nach [88]
10 Bilder und Tabellen
85
Bild 14. Poren und Mikrorisse nach isothermer Kriechermü-dungsbeanspruchung von 31300 h Dauer, 28CrMoNiV4-9, 216e, (Tmax = 525°C, ∆ε = 0.54%, tz = 32 h, Zyklus gemäß Bild 4 c), nach [64]
Bild 15. Gegenüberstellung des fik-tiven Materials ohne Schädigung und des realen Materials mit Schä-digung [67, 68]
10 Bilder und Tabellen
86
• n-1 Eingänge des Neurons
= Eingangsaktivitäten
• Gewichtung
• Intensität
• Aktivität
• Aktivierungsfunktion
ixiwiixw
∑−
=
==1n
1i
Tii xwxwz
)z(Sy =
Neuron • n-1 Eingänge des Neurons
= Eingangsaktivitäten
• Gewichtung
• Intensität
• Aktivität
• Aktivierungsfunktion
ixiwiixw
∑−
=
==1n
1i
Tii xwxwz
)z(Sy =
Neuron
Bild 16. Mathematisches Modell eines Neurons (a), Aktivierungsfunktion und Typ des Neu-rons (b) und Verknüpfung von Neuronen zu einem Neuronalen Netz [83]
a)
b)
c)
10 Bilder und Tabellen
87
Bild 17. Übersicht über bauteilähnlichen Proben zur Verifikation konstitutiver 3D-Werk-stoffbeschreibungen
Bild 18. Wirkung unterschiedlicher Dehnungsverhältnisse Φ auf die Anrisswechselzahl in Ermüdungsversuchen, 1%CrMoV, T=550 °C [54]
10 Bilder und Tabellen
88
Rz 6,3
Rz 1
00
Rz 1
00
0
0+0,551
45°
1
-0,1100
R10
-0,1
ø16
,2
ø20
M2
4x2
(~35)
Z
d
0,6
Z 5:1
2R
2R
0d = 12,0 0,01 mm±
±
αk
R = 1,5 0,05 mm 2
= 2,3
1,5 Z 5:1
R 2
0d = 12,0 0,01 mm±
±
αk
R = 1,5 0,05 mm 2
= 2,3
(~223)
120
39
M30
6g
ød 0
Z
(~35)
-0,6 -0,5 0,0 0,5-400
-200
0
200
400
εmeasured
, ε22
(%)
σ22
(MPa)
T=600 °CK
t=2,3
N=2
measured calculated
ε22
sensor
(strain pecker)
ε22
sensor
(strain pecker)
a) b)
c)
Bild 19. Rundkerbproben (Kt = 2,3) für die Verifikationsversuche (a), Probe mit montiertem Miniaturdehnungsaufnehmer (b) und Detailaufnahme mit keramischen Messmarken zur Kon-trollmessung der Verformung am Probenschaft (c)
c)
b)
a)
d)
10 Bilder und Tabellen
89
Bild 20. Einzelprüfmaschine zur Durchführung der Kriechversuche an Kerbproben mit ange-schlossener Wechselstrompotenzialsonde und Miniaturdehnungsaufnehmer (Bild 19 c)
10 Bilder und Tabellen
90
Bild 21. Rechnergesteuerte Einzelprüfmaschine mit Spindelantrieb zur Durchführung der Kriech-ermüdungsversuche an Kerbproben mit Messung der axialen Verformung im Kerbgrund mit Hilfe eines Miniaturdehnungsaufnehmers (Bild 19 c)
10 Bilder und Tabellen
91
Bild 22. Prüfsystem zur Durchführung statischer und zyklischer Experimente an Kreuzproben (a), Bauart INSTRON / IfW Darmstadt, Probe mit Einspannung und Extensometer (b, c)
TE
TE
test zone
extenso- metry εA,εB
B
A
y
x
Bild 23. Kreuzprobe zur Durchführung von biaxialen Kriech- und Kriechermüdungsversuchen (a) und Spannungsverteilung aus elastischer Finit - Element - Rechnung zur Optimierung der Probengeometrie (b) und Kreuzprobe mit Indexbohrung (c)
a) b)
c)
a) b)
c)
10 Bilder und Tabellen
92
Bild 24. Speziell entwickelte Induktionsspule zur Erwärmung der Kreuzprobe
Radius an Prüfzone
R24,26
Bild 25. Beispiel der Kontur einer Kreuzprobe in der Prüfzone (a) und Übergangsradius (b)
b)
a)
10 Bilder und Tabellen
93
ø15
ø36
,8
5
RTE
MTE
Bild 26. Anordnung der Thermelemente an einer Kalibrierprobe, MTE Mantelthermelemente, RTE Regelthermelemente
-3,5 +1,3
-2,3
+4,4
L0=13m
Achse
A1
Achse
B1
Achse
B2
Achse
A2
-0,5
Bild 27. Beispiel einer Temperaturverteilung in der Prüfzone der Kreuzprobe bei 525 °C
10 Bilder und Tabellen
94
Bild 28. Beispiel einer Temperaturverteilung in der Prüfzone und im Übergangsbereich zu den Probenarmen gemessen mit Hilfe einer CCD-Kamera
0,0 0,1 0,20
100
200
300
400
500
600
t [h]
T [°C]
0,0 0,1 0,20,0
0,2
0,4
0,6
0,8
t [h]
εεεε [%]
Achse A Achse B
Bild 29. Erwärmungskurve (a) einer Kreuzprobe und mit Hilfe eines speziellen biaxialen Ex-tensometers (Lo = 13 mm) gemessene thermische Ausdehnung (b)
a) b)
10 Bilder und Tabellen
95
190
50
A
A
8
50
12
M8
R2,5
12
60
22
ø5
~29
Bild 30. Die zur Kreuzprobenfertigung speziell entwickelte und erfolgreich erprobte Technik, Elektronenstrahlschweißen des Versuchswerkstoffs 28CrMoNiV4-9 in vier Schenkeln aus artverwandtem Stahl (a) und Kleinprobe zur Prüfung der Schweißnahtgüte (b)
a) b)
10 Bilder und Tabellen
96
0 36 72 108-0,60
-0,40
-0,20
0,00
0,20
0,40
0,60
t [h]
εεεε
[%]
(dε/dt)1 = 0,06 %/min
(dε/dt)2 = 0,6 %/min
(dε/dt)3 = 6,0 %/min
0 10 20 30 40-40-30-20-10
010203040
F[kN]
t [h]
0 10 20 30 40-500
-250
0
250
500
σσσσ
[MPa]
(dε/dt)1 = 0,06 %/min
(dε/dt)2 = 0,6 %/min
(dε/dt)3 = 6,0 %/min
t [h]
-0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6-500
-250
0
250
500
(dε/dt)1 = 0,06 %/min
(dε/dt)2 = 0,6 %/min
(dε/dt)3 = 6,0 %/min
σσσσ
[MPa]
εεεε [%]
Bild 31. Ergebnis eines gestuften einachsi-gen Zug-Druck-Relaxationsversuchs mit Hal-tezeiten zur Parameteridentifizierung an einer zylindrischen Probe, Dehnung-Zeit-Verlauf mit unterschiedlichen Dehnungsraten (a), Kraft-Zeit-Verlauf (b), entsprechender Spannung-Zeit-Verlauf (c) und Spannung-Dehnung-Hystereseschleifen (d), 28CrMoNiV4-9, T = 525 °C
d)
b) c)
a)
10 Bilder und Tabellen
97
0 36 72 108-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6εεεε
[%]
t [h]
(dε/dt)1=0,06 %/min
(dε/dt)2=0,60 %/min
(dε/dt)3=6,00 %/min
0 10 20 30 40
-100
-50
0
50
100F
[kN]
t [h]
(dε/dt)1=0,06 %/min
(dε/dt)1=0,60 %/min
(dε/dt)1=6,00 %/min
-0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6-100
-50
0
50
100F
[kN]
εεεε [%]
(dε/dt)1=0,06 %/min
(dε/dt)2=0,60 %/min
(dε/dt)3=6,00 %/min
Bild 32. Entsprechend zu Bild 31 durchge-führte gestufte biaxiale Zug- Druckrelaxati-onsversuche mit Haltezeiten an einer Kreuz-probe zur Verifikation, Dehnung-Zeit-Verlauf mit unterschiedlichen Dehnungsraten (a), Kraft-Zeit-Verlauf (b) und Kraft-Zeit- Hyste-reseschleifen (c), 28CrMoNiV4-9, T = 525 °C
100
1000
1 10 100 1.000 10.000 100.000
tu [h]
σ
σ
σ
σ
[MP
a]
���� Kerbprobe Kt = 2,3
AG
AG
AG500
Zeitstandkurve ungekerbt
Zeitstandkurve gekerbt Kt = 4,5
AG
Bild 33. Unter Kriechbeanspruchung an Kerbproben erzielte Laufzeiten, Probe ohne Bruch ausgebaut (AG), 28CrMoNiV4-9, T = 525 °C
c)
a) b)
10 Bilder und Tabellen
98
100
1000
1 10 100 1.000 10.000 100.000
tu [h]
σ
σ
σ
σ
[MP
a]
���� Kerbprobe Kt = 2,3
B500
Zeitstandkurve ungekerbt
Zeitstandkurve gekerbt Kt = 4,5
Bild 34. Unter Kriechbeanspruchung an Kerbproben erzielte Laufzeiten, Probe gebrochen, X21CrMoV12-1, T = 550 °C
10 Bilder und Tabellen
99
T
F
∆T
0
F
F a1F a2
Tmax
F a3
t1 t2
tZ
t3 t4
t
∆F
T
F
∆T
0
F
F a1F a2
Tmax
F a3
t1 t2
tZ
t3 t4
t
∆F
Z4
Z3
Z2
Z1
t0,075 t
t0,15 t
t0,7 t
t0,075 t
⋅=
⋅=
⋅=
⋅=
F& 0,06%/min
0 1 2 3 4-50
-25
0
25
50
t [h]
F[kN]
AAG525kb1 AAG525kb3 AAG525kb4 AAG525kb8
Bild 35. Kraft-Zeit-Verlauf zur Durchführung der kraftgesteuerten isothermen Kriechermü-dungsversuche an Kerbproben, 28CrMoNiV4-9, T = 525 °C, schematischer Verlauf (a) und Vorgabezyklen, Versuchsparameter gemäß Tabelle 7 (b)
a)
b)
10 Bilder und Tabellen
100
0 2 4 6 8 10-50
-25
0
25
50
t [h]
F[kN]
0 2 4 6 8 10-4
-2
0
2
4
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
εεεε [%]
t [h]
∆∆∆∆l [µm]
Bild 36. Beispiel eines gemessenen Kraft- Zeitverlaufs (a), resultierende axiale Gesamtver-längerung (b) und unter Bezugnahme auf die Anfangsmesslänge errechneter Axial-Gesamtdehnung im Kerbgrund, 28CrMoNiV4-9, T = 525 °C
a) b)
10 Bilder und Tabellen
101
-2,00
0,00
2,00
4,00
6,00
8,00
0 500 1000 1500 2000 2500 3000t [h]
εεεεmax
εεεεmin
εεεεm
Nr. Probe N [-] t [h] T [°C] ∆σn [MPa] tHZ [h]
3 AAG525kb3 406 520 525 756 14 AAG525kb4 328 1.706 525 756 3
ε [%]
-2,00
0,00
2,00
4,00
6,00
8,00
0 500 1000 1500 2000 2500 3000t [h]
Nr. Probe N [-] t [h] T [°C] ∆σn [MPa] tHZ [h] ___
1 AAG525kb1 699 832 525 504 18 AAG525kb8 760 2.430 525 504 3
ε [%]
εεεεmax
εεεεmin
εεεεm
NA** = tA** / tZ=2.350 / 3,19=721
tA** = 2.350 h
∆ε = 0,5%
Bild 37. Gemessener zeitlicher Verlauf der maximalen Dehnungsausschläge (εmax, εmin) so-wie der Mitteldehnung (εm) der Kriechermüdungsversuche an Kerbproben, hohe Span-nungsschwingbreite (a) und niedriger Spannungsschwingbreite (b), Werkstoffbezeichnung 28CrMoNiV4-9, T = 525 °C
b)
a)
10 Bilder und Tabellen
102
100 1000 5000100
200
400
600
800
1000
N [-]
∆σ∆σ∆σ∆σ
[MPa]3(B)4(A) 3(A)
1(A)8(A)
tHZ = 1 h tHZ = 3 h
100 1000 50000,1
0,2
0,4
0,6
0,81
2
4
N [-]
∆ε∆ε∆ε∆ε
[%]
tHZ
(h) 3 1
4(A) 3(A)
1(A)8(A)
tHZ = 1 h tHZ = 3 h
100 1000 50000,1
0,2
0,4
0,6
0,8
1
N [-]
∆ε∆ε∆ε∆ε [%]
tHZ
(h) 3 1
4(A) 3(A)
1(A)8(A)
tHZ = 1 h tHZ = 3 h
Bild 38. Ergebnisse der bis Anriss durchge-führten Kriechermüdungsversuche an Kerb-proben gemäß Bild 37, Tabelle 7, 28CrMoNiV4-9, T = 525 °C, Spannungs-schwingbreite über Anrisswechselzahl (a), Dehnungsschwingbreite über Anrisswechsel-zahl elastische Umrechnung (b) und Um-rechnung über Neuber (c)
c)
a) b)
10 Bilder und Tabellen
103
Bild 39. Anrissbefunde nach Kriechermü-dungsbeanspruchung an einer Kerbprobe (AAG525kb1), Laufzeit 832h, (Tabelle 7), Übersichtsaufnahme (a), Rissspitze bei 1000-facher Vergrößerung (b) und bei 5000-facher Vergrößerung (c)
c)
a) b)
10 Bilder und Tabellen
104
Bild 40. Ergebnisse eines bis Anriss durchgeführten Kriechermüdungsversuchs an einer Kerbprobe gemäß Bild 35 a, Tabelle 7, X 21CrMoV12-1, T = 550°C
10 Bilder und Tabellen
105
0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
Achse A Achse B
εεεε [%]
t [h]
0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50-100
-50
0
50
100
Achse A Achse B
F [kN]
t [h]
-0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4-100
-50
0
50
100
Achse A Achse B
F [kN]
εεεε [%]
0 100 200 300 400-100
-50
0
50
100F
[kN]
Fmin
Fm
Fmax
Achse A Achse B
N [-]
Bild 41. Ergebnisse eines Kriechermüdungsversuchs unter Dehnungsregelung an einer Kreuzprobe (AAG525df1) symmetrische Belastung φε = 1, Dehnungs- Zeitverlauf (a), Kraft- Dehnungsverlauf (b), Kraft- Dehnungs-Hysteresisschleifen (c) und Verlauf der zyklischen Entfestigung (d), 28CrMoNiV4-9, T = 525 °C, Versuchsparameter siehe Tabelle 8
c) d)
a) b)
10 Bilder und Tabellen
106
0 1 2 3 4-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
Achse A Achse B
εεεε [%]
t [h]
0 1 2 3 4-100
-50
0
50
100
Achse A Achse B
F [kN]
t [h]
-0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4-100
-50
0
50
100
Achse A Achse B
F [kN]
εεεε [%]
0 100 200 300 400 500 600-100
-50
0
50
100
Achse A Achse B
N [-]
F [kN]
Fmin
Fm
Fmax
Bild 42. Ergebnisse eines Kriechermüdungsversuchs unter Dehnungsregelung an einer Kreuzprobe (AAG525df2) symmetrische Belastung φε = 1, Dehnungs- Zeitverlauf (a), Kraft- Dehnungsverlauf (b), Kraft- Dehnungs-Hysteresisschleifen (c) und Verlauf der zyklischen Entfestigung (d), 28CrMoNiV4-9, T = 525 °C, Versuchsparameter siehe Tabelle 8
c) d)
a) b)
10 Bilder und Tabellen
107
0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
Achse A Achse B
εεεε [%]
t [h]
0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50-100
-50
0
50
100
Achse A Achse B
F [kN]
t [h]
-0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4-100
-50
0
50
100
Achse A Achse B
F [kN]
εεεε [%]
0 500 1000 1500-100
-50
0
50
100
Achse A Achse B
N [-]
F [kN]
Fmin
Fm
Fmax
Bild 43. Ergebnisse eines Kriechermüdungsversuchs unter Dehnungsregelung an einer Kreuzprobe (AAG525df4) symmetrische Belastung φε = 1, Dehnungs- Zeitverlauf (a), Kraft- Dehnungsverlauf (b), Kraft- Dehnungs-Hysteresisschleifen (c) und Verlauf der zyklischen Entfestigung (d), 28CrMoNiV4-9, T = 525 °C, Versuchsparameter siehe Tabelle 8
c) d)
a) b)
10 Bilder und Tabellen
108
0 1 2 3 4-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
Achse A Achse B
εεεε [%]
t [h]
0 1 2 3 4-100
-50
0
50
100
Achse A Achse B
F [kN]
t [h]
-0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4-100
-50
0
50
100
Achse A Achse B
F [kN]
εεεε [%]
0 100 200-100
-50
0
50
100
Achse A Achse B
N [-]
F [kN]
Fmin
Fm
Fmax
Bild 44. Ergebnisse eines Kriechermüdungsversuchs unter Dehnungsregelung an einer Kreuzprobe (AAG525df5) symmetrische Belastung φε = 1, Dehnungs- Zeitverlauf (a), Kraft- Dehnungsverlauf (b), Kraft- Dehnungs-Hysteresisschleifen (c) und Verlauf der zyklischen Entfestigung (d), 28CrMoNiV4-9, T = 525 °C, Versuchsparameter siehe Tabelle 8
c) d)
a) b)
10 Bilder und Tabellen
109
0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
Achse A Achse B
εεεε [%]
t [h]
0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50-100
-50
0
50
100
Achse A Achse B
F [kN]
t [h]
-0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4-100
-50
0
50
100
Achse A Achse B
F [kN]
εεεε [%]
0 100 200 300 400 500 600-100
-50
0
50
100
Achse A Achse B
N [-]
F [kN]
Fmin
Fm
Fmax
Bild 45. Ergebnisse eines Kriechermüdungsversuchs unter Dehnungsregelung an einer Kreuzprobe (AAG525df3) symmetrische Belastung φε = 0,5, Dehnungs- Zeitverlauf (a), Kraft- Dehnungsverlauf (b), Kraft- Dehnungs-Hysteresisschleifen (c) und Verlauf der zyklischen Entfestigung (d), 28CrMoNiV4-9, T = 525 °C, Versuchsparameter siehe Tabelle 8
a) b)
c) d)
10 Bilder und Tabellen
110
102 103 104 1050,1
0,2
0,4
0,6
0,8
1∆ε∆ε∆ε∆εx
[%]
-1,0-0,5 0,0 0,5 1,0
NA
[-]
Ohnami Φ
ε=1,0, t
z = 1,33 h, t
A ≈ 530 h, ∆ε
x=0,60 %
Φε=1,0, t
z = 1,23 h, t
A ≈ 2.055 h, ∆ε
x=0,42 %
Φε=0,5, tz = 1,33 h, tA ≈ 830 h, ∆ε
x=0,60 %
Φε=1,0, tz = 3,53 h, tA ≈ 1.016 h, ∆ε
x=0,60 %
Φε=1,0, tz = 3,43 h, tA ≈ 2.230 h, ∆ε
x=0,42 %
Φε
102 103 104 105
0,1
0,2
0,4
0,6
0,8
1
NA
[-]
∆ε∆ε∆ε∆εx
[%]
einachsig betriebsähnlich, tz=1,0 h
einachsig betriebsähnlich, tz=3,2 h
Φε=1,0, tz = 1,33 h, tA ≈ 530 h, ∆ε
x=0,60 %
Φε=1,0, tz = 1,23 h, tA ≈ 2.055 h, ∆ε
x=0,42 %
Φε=1,0, tz = 3,53 h, tA ≈ 1.016 h, ∆ε
x=0,60 %
Φε=1,0, tz = 3,43 h, tA ≈ 2.230 h, ∆ε
x=0,42 %
Bild 46. Ergebnisse der Kriechermüdungsversuche an Kreuzproben, Vergleich mit Versu-chen ohne Haltezeit nach Ohnami [54] (a) und Vergleich mit einachsigen Kriechermüdungs-versuchen mit vergleichbarer Haltezeitsumme von 1 und 3 h nach [23] (b), 28CrMoNiV4-9, T = 525 °C
a) b)
10 Bilder und Tabellen
111
Bild 47. Anrissbefunde nach Kriechermü-dungsbeanspruchung an einer Kreuzprobe (AAG525df2), Laufzeit 2.230h (Tabelle 8) Übersichtsaufnahme (a) - (b) und Detailauf-nahme im Bereich der Rissspitze (c), 28CrMoNiV4-9, T = 525 °C
c)
a) b)
10 Bilder und Tabellen
112
0 50 100 150 200 250 3000
1
2
3
4
5
t [h]
εεεε
[%] Experiment 70,0 kN 80,5 kN
1 10 100 10000,01
0,1
1
10
t [h]
εεεε
[%]
Experiment 70,0 kN 80,5 kN
0 50 100 150 200 250 3000
1
2
3
4
5
t [h]
εεεεf
[%] Experiment 70,0 kN 80,5 kN
1 10 100 10000,01
0,1
1
10
t [h]
εεεεf
[%] Experiment 70,0 kN 80,5 kN
Bild 48. Ergebnisse der biaxialen Kriechbeanspruchung an der Kreuzprobe mit gleicher Last auf beiden Achsen von F = 70 kN im ersten Versuch und F = 80,5 kN im zweiten Versuch, gemittelte Gesamtdehnung der Achsen A und B, lineare (a) und logarithmische Darstellung (b), gemittelte Kriechdehnung der Achsen A und B, lineare (c) und logarithmische Darstel-lung (d), 28CrMoNiV4-9, T = 525°C
b) a)
d) c)
10 Bilder und Tabellen
113
UMAT
FEMABAQUS
Nachrechnung• Kriechen• Kriechermüdung
Vergleich
Verformungsdaten:
und
Lebensdauerdaten:
Anwender (Industrie):
• Kerbprobe• Kreuzprobe
)t(,εε−σ ExprimentelleDaten
ParameteridentifikationExperiment
UMATFEM
ABAQUS
Berechnung mit
Bauteilfällen
BBA t,N,N
Bild 49. Ablaufplan der Implementierung des Materialmodells als benutzerdefinierte Subrou-tine UMAT im Finite-Elemente-Programm ABAQUS und Anwendung durch die Industrie
Materialmodell (Tabelle 1, Kap. 2)
1D-Dgl., numerische Lösung der Evolutionsgln.
(MATLAB-Bibl.)
"3D-Dgl.", numerische Lösung der Evolutionsgln. (eigene Bibliothek)
Verfahren II
ScherversuchZugversuch
Ermüdungsversuch
1-Element-Simulation für Scherversuch, Zugversuch
Ermüdungsversuch
σ σ σ σ = f(εεεε ,t,P) εεεε = f(σσσσ,t,P)σ σ σ σ = f(εεεε ,t,P)
Vergleich der Modellantworte für die Verfahren I und II
Ergebnis: Bei Übereinstimmung führt UMAT zum gleichen Ergebnis wie
Verfahren I
Verfahren I
Bild 50. Unterschiedliche Verfahren zur Vorgehensweise bei der Erprobung des Material-modells in Verbindung mit der Parameteridentifizierung (Bild 49)
10 Bilder und Tabellen
114
1-Element-Simulation einfacher Versuche (3D):Zugversuch, Scherversuch,
glatte Proben
1-Element-Simulation komplizierter Versucheunter 3D-Beanspruchung:
Kriechversuch, Zyklischer Versuch,
Standardzyklus, Zyklus mit Haltezeit,
betriebsähnlicher Zyklus
Parameteridentifikation
ABAQUS, UMAT, FE-Netzgenerierung
i.O.?
i.O.?
Parameteridentifikation verfeinern
Parameterident. verfeinern
nein
ja
nein
jaProben-, Bauteilberechnung
1-Element-Simulation einfacher Versuche (3D):Zugversuch, Scherversuch,
glatte Proben
1-Element-Simulation komplizierter Versucheunter 3D-Beanspruchung:
Kriechversuch, Zyklischer Versuch,
Standardzyklus, Zyklus mit Haltezeit,
betriebsähnlicher Zyklus
Parameteridentifikation
ABAQUS, UMAT, FE-Netzgenerierung
i.O.?
i.O.?
Parameteridentifikation verfeinern
Parameterident. verfeinern
nein
ja
nein
jaProben-, Bauteilberechnung
Bild 51. Vorgehensweise bei der Simulation einfacher und komplizierter Beanspruchungsfälle anhand eines 1-Element-Modells bei der Parameteridentifzierung
10 Bilder und Tabellen
115
explizit implizit
Euler (vorwärts) Runge-Kutta Euler (rückwärts)
Differenzialgleichungslöser
Stabilität nur mit kleinen Schrittweiten, nur
Ordnung 1
Stabilität nur mit kleinen Schrittweiten, aber hohe Ordnung 4 (genauer!),
höhere Ordnung möglich, Schrittweitensteuerung
Stabilität bei größeren Schrittweiten, nur
Ordnung 1, erfordert itrative Lösung eines
Gleichungssystems (z.B. mit Newton-Verfahren, längere Rechenzeit!)
)z,t( 00
)Z,t( 11
)Z,t( 22
)Z,t( 33
0t 1t 2t 3t t
z
)z,t( 00
)Z,t( 11
)Z,t( 22
)Z,t( 33
0t 1t 2t 3t t
z
]t,t[t EA∈
EN210A tt...tttt =<<<<=
0tt:h i1ii >−= +
iiii )t()t( zzZZ =≈=
))t(z,t(z if=&
),t(h iiii1i ZfZZ ⋅+=+⇒
Beispiel:
explizites Euler-Verfahren
Bild 52. Verfahren zur Lösung von Differenzialgleichungen angewandt auf die Evolutionsglei-chungen des Materialmodells (a) und Abhängigkeit der Lösung und deren Stabilität von der Schrittweite (b)
a)
b)
10 Bilder und Tabellen
116
Lernen des Zusammenhangs zwischen den Daten und
den Materialparametern
Variation der Materialparameter
DatenNeuronales Netz(nicht trainiert)
Ermitteln der Materialparameter aus den Messwerten und dem gelernten Verhalten
Materialparameter für den Werkstoff
MesswerteDas trainierte
Neuronales Netz
Lernen des Zusammenhangs zwischen den Daten und den Materialparametern
Variation der Materialparameter
DatenNeuronales Netz(nicht trainiert)
Ermitteln der Materialparameter aus den Messwerten und dem gelernten Verhalten
Materialparameter für den Werkstoff
MesswerteDas trainierte
Neuronales Netz
Bild 53. Anwendung des Neuronalen Netzes bei der Ermittlung der Modellparameter, Trainie-ren anhand der Musterdaten (a) und Identifikation anhand der Versuchsdaten (b)
a)
b)
10 Bilder und Tabellen
117
σσσσ
00
εεεε
T=const.
t
t
εεεε
σσσσ
x
Parametervektor
Trainingsmuster
NNETxi
xi
ti, εεεεi, σσσσ
Erzeugen von i = 1 ... N Trainingsmuster ti , εεεε iι und σσσσ
für die Parameterkombinationen x1, x2,..., xN
x = [E, k0, η, m, b, c, ...]T
σσσσ
00
εεεε
T=const.
t
σσσσ
00
εεεε
T=const.
t
t
εεεε
σσσσ
x
Parametervektor
Trainingsmuster
NNET
t
εεεε
σσσσ
x
Parametervektor
Trainingsmuster
NNETxi
xi
ti, εεεεi, σσσσ
Erzeugen von i = 1 ... N Trainingsmuster ti , εεεε iι und σσσσ
für die Parameterkombinationen x1, x2,..., xN
x = [E, k0, η, m, b, c, ...]T
σσσσ
00
εεεε
T=const.
t
x
Parametervektor
Trainingsmuster
NNETxi
xi
tu,i, εεεεi, σ
X = [E, k0, η, m, b, c, ...]T
tu
εεεε
σ
Erzeugen von i = 1...N Trainingsmuster tu, i , εεεε i, σ,
für die Parameterkombinationen x1, x2,..., xN
σσσσ
00
εεεε
T=const.
t
σσσσ
00
εεεε
T=const.
t
x
Parametervektor
Trainingsmuster
NNETxi
xi
tu,i, εεεεi, σ
X = [E, k0, η, m, b, c, ...]T
tu
εεεε
σ
Erzeugen von i = 1...N Trainingsmuster tu, i , εεεε i, σ,
für die Parameterkombinationen x1, x2,..., xN
Bild 54. Unterschiedliche Trainingsmuster unter Berücksichtigung von Kriech- bzw. Ermü-dungsexperimenten und Datenaufarbeitungsmöglichkeiten zur Gewinnung des Parameter-vektors
a)
b)
10 Bilder und Tabellen
118
σσσσ2σσσσ1 σσσσ3
00
εεεε
T=const.
t
tu1
εεεε1
σ1
x
Parametervektor
Trainingsmuster
NNET
xi
xi
tu1,i, εεεε1,i, σ1
tu2,i, εεεε2,i, σ2
tu3,i, εεεε3,i, σ3
Erzeugen von i = 1...N Trainingsmuster tu1,i , εεεε1,i, σ1 ,
tu2,i , εεεε2,i, σ2 und tu3,i , εεεε3,i, σ3
für die Parameterkombinationen x1, x2,..., xN
tu2
εεεε2
σ2
tu3
σ3X = [E, k0, η, m, b, c, ...]T
σσσσ2σσσσ1 σσσσ3
00
εεεε
T=const.
t
σσσσ2σσσσ1 σσσσ3
00
εεεε
T=const.
t
tu1
εεεε1
σ1
x
Parametervektor
Trainingsmuster
NNET
xi
xi
tu1,i, εεεε1,i, σ1
tu2,i, εεεε2,i, σ2
tu3,i, εεεε3,i, σ3
Erzeugen von i = 1...N Trainingsmuster tu1,i , εεεε1,i, σ1 ,
tu2,i , εεεε2,i, σ2 und tu3,i , εεεε3,i, σ3
für die Parameterkombinationen x1, x2,..., xN
tu2
εεεε2
σ2
tu3
σ3X = [E, k0, η, m, b, c, ...]T
tu1,i, εεεε1,i, σ1
tu2,i, εεεε2,i, σ2
tu3,i, εεεε3,i, σ3
tu1
εεεε1
σ1
x
Parametervektor
Trainingsmuster
NNET
xi
Erzeugen von i = 1...N Trainingsmuster tu1,i , εεεε1,i, σ1 ,
tu2,i , εεεε2,i, σ2 und tu3,i , εεεε3,i, σ3
für die Parameterkombinationen x1, x2,..., xN
σσσσ2σσσσ1 σσσσ3
00
εεεε
T=const.
t
xi
tu2
εεεε2
σ2
tu3
σ3X = [E, k0, η, m, b, c, ...]T
ε
σ
tu4,i, εεεε4,i, σ4
tu1,i, εεεε1,i, σ1
tu2,i, εεεε2,i, σ2
tu3,i, εεεε3,i, σ3
tu1
εεεε1
σ1
x
Parametervektor
Trainingsmuster
NNET
xi
Erzeugen von i = 1...N Trainingsmuster tu1,i , εεεε1,i, σ1 ,
tu2,i , εεεε2,i, σ2 und tu3,i , εεεε3,i, σ3
für die Parameterkombinationen x1, x2,..., xN
σσσσ2σσσσ1 σσσσ3
00
εεεε
T=const.
t
xi
σσσσ2σσσσ1 σσσσ3
00
εεεε
T=const.
t
σσσσ2σσσσ1 σσσσ3
00
εεεε
T=const.
t
xi
tu2
εεεε2
σ2
tu3
σ3X = [E, k0, η, m, b, c, ...]T
ε
σ
ε
σ
ε
σ
tu4,i, εεεε4,i, σ4
Bild 54ff. Fortsetzung
c)
d)
10 Bilder und Tabellen
119
0 1 2 3-20
-10
0
0 1 2 3-100
-50
0
0 1 2 3-100
-50
0
0 1 2 3-10
-5
0
0 1 2 3-50
0
0 1 2 3-100
-50
0
0 1 2 3-10
0
10
0 1 2 3-40
-20
0
0 1 2 3-100
-50
0
0 1 2 3-20
0
20
0 1 2 3-40
-20
0
0 1 2 3-100
-50
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
ααααvalid
= 2.40, ββββvalid
= 2.30
ααααs im
= 2.41, ββββs im
= 2.23
Bild 55. Prinzipielle Vorgehensweise beim Trainieren eines Neuronalen Netzes anhand einer Beispielfunktion mit zwei Parametern (α, β), erzeugte Trainingdaten anhand der Parameterva-riationen (a) und der mit den identifizierten Parametern (αsim, βsim) gewonnene Verlauf im Ver-gleich zu einem Testverlauf zur Validierung bzw. Verifikation basierend auf (αvalid, β valid) (b)
α
β
a)
b)
10 Bilder und Tabellen
120
a) Parametersatz A PA aus Bild 54
- 1 LCF-Versuch ohne Haltezeit
-0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6-800
-400
0
400
800
Experiment Simulation
σσσσ
[MPa]
εεεε [%]
b) Parametersatz B PB aus Bild 31
- gestufter Zug-Druck-Relaxarions-Versuch
-0,50 -0,25 0,00 0,25 0,50-500
-250
0
250
500
Experiment Simulation
σσσσ
[MPa]
εεεε [%]
c) Parametersatz C PC aus Bild 54
- 1 LCF-Versuch mit Haltezeit
- 3 Kriechversuche
-0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6-800
-400
0
400
800
σσσσ
[MPa]
εεεε [%]
Experiment Simulation
0,01 0,1 1 10 100 10000,1
1
t [h]
εεεε
[%]
Exp. σ = 351 MPa Exp. σ = 317 MPa Exp. σ = 284 MPa Simulation
Bild 56. Unterschiedliche Datenbasis zur Gewinnung von Modellparametern bei der Para-meteridentifizierung
10 Bilder und Tabellen
121
(1)
(2)
Pid
parameter vector for training
NNET
training patterns
εεεε
σσσσ
Pi
Pi
parameter vector identified
(σσσσ,εεεε)i
(1)
(2)experiment
εεεε
σσσσ
(1)
(2)
Pid
parameter vector for training
NNET
training patterns
εεεε
σσσσ
Pi
training patterns
εεεε
σσσσ
Pi
εεεε
σσσσ
εεεε
σσσσ
Pi
Pi
parameter vector identified
(σσσσ,εεεε)i
(1)
(2)experiment
εεεε
σσσσ
experiment
εεεε
σσσσ
εεεε
σσσσ
εεεε
σσσσ
0 5 10 15 20 25 30 35 40-800-600-400-200
0200400600800σσσσ
[MPa]
t [h]
-0,50 -0,25 0,00 0,25 0,50-800-600-400-200
0200400600800σσσσ
[MPa]
εεεε [%]
-0,50 -0,25 0,00 0,25 0,50-500
-250
0
250
500
Experiment Simulation
σσσσ
[MPa]
εεεε [%]
Bild 57. Parameteridentifikation unter Heran-ziehung von Daten aus gestuften Zug-Druck-Relaxationsversuchen (a), Visualisierung von mit dem Materialmodell simulierten Trai-ningsmustern durch Variation der Materialpa-rameter, hier 150 Variationeen (b, c) und Ergebnisse der Nachrechnung eines gestuf-ten Zug-Druck-Relaxationsversuches (d)
b)
d)
a)
c)
10 Bilder und Tabellen
122
PA PB PC
0,1 1 10 100 1000 100000,1
1
10
100
Simulation 500MPa, ka2 440MPa, kb7 400MPa, kb6 370MPa, kb9 340MPa, kb5Experiment 400MPa, kb6
εεεε
[%]
t [h]
0,1 1 10 100 1000 100000,1
1
10
100
Simulation 500MPa, ka2 440MPa, kb7 400MPa, kb6 370MPa, kb9 340MPa, kb5Experiment 400MPa, kb6
εεεε
[%]
t [h]
0,1 1 10 100 1000 100000,1
1
10
100
Simulation 500MPa, ka2 440MPa, kb7 400MPa, kb6 370MPa, kb9 340MPa, kb5Experiment 400MPa, kb6
εεεε
[%]
t [h]
Bild 58. Ergebnisse zur Anwendung des Rechenmodells auf Kriechversuche (axiale Gesamtdehnung ε22 im Kerbgrund) an Kerbproben ausge-hend von Parametervektoren in Bild 56, 28CrMoNiV4-9, 525°C, Versuch AAG525kb6
a) b) c)
10 Bilder und Tabellen
123
PA PB PC
0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50-1,0-0,8-0,6-0,4-0,20,00,20,40,60,81,0
t [h]
Experiment Simulation
εεεε
[%]
0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50-1,0-0,8-0,6-0,4-0,20,00,20,40,60,81,0
εεεε
[%]
t [h]
Experiment Simulation
0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50-1,0-0,8-0,6-0,4-0,20,00,20,40,60,81,0εεεε
[%]
Experiment Simulation
t [h]
0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50-800-600-400-200
0200400600800σσσσ
[MPa]
axial von-Mises
t [h] 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50-800-600-400-200
0200400600800σσσσ
[MPa]
axial von-Mises
t [h] 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50-800-600-400-200
0200400600800
t [h]
axial von-Mises
σσσσ
[MPa]
Bild 59. Ergebnisse der Anwendung des Rechenmodells auf Kriechermüdungsversuche an Kerbproben ausgehend von Parametervektoren in Bild 56, 28CrMoNiV4-9, 525°C, Versuch AAG525kb1, tz = 1,19 h
a) b) c)
10 Bilder und Tabellen
124
PA PB PC
0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50-1,0-0,8-0,6-0,4-0,20,00,20,40,60,81,0
Experiment Simulation
εεεε
[%]
t [h]
0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50-1,0-0,8-0,6-0,4-0,20,00,20,40,60,81,0
εεεε
[%]
t [h]
Experiment Simulation
0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50-1,0-0,8-0,6-0,4-0,20,00,20,40,60,81,0
Experiment Simulation
εεεε
[%]
t [h]
0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50-800-600-400-200
0200400600800
σσσσ
[MPa]
t [h]
axial von-Mises
0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50-800-600-400-200
0200400600800σσσσ
[MPa]
axial von-Mises
t [h] 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50-800-600-400-200
0200400600800σσσσ
[MPa]
t [h]
axial von-Mises
Bild 60. Ergebnisse der Anwendung des Rechenmodells auf Kriechermüdungsversuche an Kerbproben ausgehend von Parametervektoren in Bild 56, 28CrMoNiV4-9, 525°C, Versuch AAG525kb3, tz = 1,28 h
a) b) c)
10 Bilder und Tabellen
125
PA PB PC
0 1 2 3-1,0-0,8-0,6-0,4-0,20,00,20,40,60,81,0
Experiment Simulation
εεεε
[%]
t [h]
0 1 2 3-1,0-0,8-0,6-0,4-0,20,00,20,40,60,81,0
εεεε
[%]
t [h]
Experiment Simulation
0 1 2 3-1,0-0,8-0,6-0,4-0,20,00,20,40,60,81,0
t [h]
εεεε
[%]
Experiment Simulation
0 1 2 3-800-600-400-200
0200400600800σσσσ
[MPa]
axial von-Mises
t [h]
0 1 2 3-800-600-400-200
0200400600800σσσσ
[MPa]
axial von-Mises
t [h]
0 1 2 3-800-600-400-200
0200400600800
t [h]
σσσσ
[MPa]
axial von-Mises
Bild 61. Ergebnisse der Anwendung des Rechenmodells auf Kriechermüdungsversuche an Kerbproben ausgehend von Parametervektoren in Bild 56, 28CrMoNiV4-9, 525°C, Versuch AAG525kb4, tz = 3,28 h
a) b) c)
10 Bilder und Tabellen
126
PA PB PC
0 1 2 3-1,0-0,8-0,6-0,4-0,20,00,20,40,60,81,0
Experiment Simulation
εεεε
[%]
t [h]
0 1 2 3-1,0-0,8-0,6-0,4-0,20,00,20,40,60,81,0
Experiment Simulation
εεεε
[%]
t [h]
0 1 2 3-1,0-0,8-0,6-0,4-0,20,00,20,40,60,81,0
t [h]
εεεε
[%]
Experiment Simulation
0 1 2 3-800-600-400-200
0200400600800
axial von-Mises
σσσσ
[MPa]
t [h]
0 1 2 3-800-600-400-200
0200400600800
t [h]
axial von-Mises
σσσσ
[MPa]
0 1 2 3-800-600-400-200
0200400600800σσσσ
[MPa]
t [h]
axial von-Mises
Bild 62. Ergebnisse der Anwendung des Rechenmodells auf Kriechermüdungsversuche an Kerbproben ausgehend von Parametervektoren in Bild 56, 28CrMoNiV4-9, 525°C, Versuch AAG525kb8, tz = 3,19 h
a) b) c)
10 Bilder und Tabellen
127
0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50-1,0-0,8-0,6-0,4-0,20,00,20,40,60,81,0
εεεε
[%]
t [h]
Experiment Simulation
0 1 2 3-1,0-0,8-0,6-0,4-0,20,00,20,40,60,81,0
Experiment Simulation
εεεε
[%]
t [h]
0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50-800-600-400-200
0200400600800σσσσ
[MPa]
axial von-Mises
t [h] 0 1 2 3-800-600-400-200
0200400600800
t [h]
axial von-Mises
σσσσ
[MPa]
0 1 2 3 4 5 60
200
400
600
800 axial von-Mises nominal
σσσσ
[MPa]
Radius[mm]
0 1 2 3 4 5 60
200
400
600
800
σσσσ
[MPa]
axial von-Mises nominal
Radius[mm]
Bild 63. Nachrechnung der Kriechermüdungsversuche an Kerbproben mit dem Materialmodell und dem Parametervektor PB nach Bild 56 b, 28CrMoNiV4-9, 525°C, Haltezeitsumme 1 h (a) und 3 h (b)
a) b)
10 Bilder und Tabellen
128
0 35 70
0,000
0,002
0,004
0,006
D [-]
tH = 1 h
tH = 3 h
t [h]
0 10 200,000
0,002
0,004
0,006
tH = 1 h
tH = 3 h
D [-]
N [-]
Bild 64. Spannungsverteilung für die Nachrechnung der Kriechermüdungsbeanspruchung (∆σn=504 MPa, tz=1h) für die Fälle ohne (a) und mit Schädigung (b), entsprechende Schädi-gungsverteilung (c, d), Schädigungsverteilung für längere Zyklusdauer (tz=3h, ∆σn=504 MPa) (e) und Vergleich der Schädigungsverläufe über die Dauer von 20 Zyklen (f)
a) b)
c) d)
e) f)
10 Bilder und Tabellen
129
0.0 0.5 1.0 1.5-0.6
-0.3
0.0
0.3
0.6
Experiment
stra
in [%
]
time [h]
0.0 0.5 1.0 1.5-80
-40
0
40
80
Experiment
load
[kN
]
time [h]
0.0 0.5 1.0 1.5-0.6
-0.3
0.0
0.3
0.6
Simulation
stra
in [%
]
time [h]
0.0 0.5 1.0 1.5-0.6
-0.3
0.0
0.3
0.6
Experiment Simulation
stra
in [%
]
time [h]
testing system, material
FEM simulation, material model, parameters
comparison
0.0 0.5 1.0 1.5-0.6
-0.3
0.0
0.3
0.6
Experiment
stra
in [%
]
time [h]0.0 0.5 1.0 1.5
-0.6
-0.3
0.0
0.3
0.6
Experiment
stra
in [%
]
time [h]
0.0 0.5 1.0 1.5-80
-40
0
40
80
Experiment
load
[kN
]
time [h]0.0 0.5 1.0 1.5
-80
-40
0
40
80
Experiment
load
[kN
]
time [h]
0.0 0.5 1.0 1.5-0.6
-0.3
0.0
0.3
0.6
Simulation
stra
in [%
]
time [h]0.0 0.5 1.0 1.5
-0.6
-0.3
0.0
0.3
0.6
Simulation
stra
in [%
]
time [h]
0.0 0.5 1.0 1.5-0.6
-0.3
0.0
0.3
0.6
Experiment Simulation
stra
in [%
]
time [h]
testing system, material
testing system, material
FEM simulation, material model, parameters
FEM simulation, material model, parameters
comparison
Bild 65. Zur Verifikation des Materialmodells am Beispiel einer biaxialen Kriechermüdungs-beanspruchung an Kreuzproben (a), großes FE-Model der Kreuzprobe (b) und kleines, symmetrisch geteiltes FE-Modell mit der Umgebung der Prüfzone (c)
b) c)
a)
10 Bilder und Tabellen
130
0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5εεεε
[%]
t [h]
Φε=1,0, tz = 1,33 h,
∆εx=∆ε
y=0,60 %
Experiment Simulation
0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50-0,6
-0,3
0,0
0,3
0,6εεεε
[%]
t [h]
Φε=1,0, tz = 1,33 h,
∆εx=∆ε
y=0,60 %
Experiment Simulation
Bild 66. Ergebnis der Finit-Element-Simulation für betriebsähnliche Kriechermüdungsbean-spruchung mithilfe der Materialparametervektor PA nach Bild 56 b (a) und Auftragung ent-sprechend der Skalierung im Bild 67 (b), 28CrMoNiV4-9, T= 525°C, exemplarischer Fall für den Biaxialversuch AAG525df1
a) b)
10 Bilder und Tabellen
131
0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50-0,6
-0,3
0,0
0,3
0,6εεεε
[%]
t [h]
Φε=1,0, tz = 1,33 h,
∆εx=∆ε
y=0,60 %
Experiment Simulation
0 1 2 3 4-0,6
-0,3
0,0
0,3
0,6εεεε
[%]
t [h]
Φε=1,0, tz = 3,53 h,
∆εx=∆ε
y=0,60 %
Experiment Simulation
0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50-0,6
-0,3
0,0
0,3
0,6
εεεε [%]
t [h]
Φε=1,0, tz = 1,23 h,
∆εx=∆ε
y=0,42 %
Experiment Simulation
0 1 2 3 4-0,6
-0,3
0,0
0,3
0,6εεεε
[%]
t [h]
Φε=1,0, tz = 3,43 h,
∆εx=∆ε
y=0,42 %
Experiment Simulation
0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50-0,6
-0,3
0,0
0,3
0,6εεεε
[%]
t [h]
Experiment axis A axis B
Simulation axis A axis B
Φε=0,5, tz = 1,33 h,
∆εx=0,60 %, ∆ε
y=0,30 %
Bild 67. Ergebnisse der Finit-Element-Simulation für betriebsähnliche Kriechermüdungsbean-spruchung mithilfe des Materialparametervektors PB nach Bild 56 b, 28CrMoNiV4-9, T = 525°C
e) f)
a) b)
c) d)
10 Bilder und Tabellen
132
0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50-0,6
-0,3
0,0
0,3
0,6
t [h]
εεεε [%]
Φε=1,0, tz = 1,33 h,
∆εx=∆ε
y=0,60 %
Experiment Simulation
0 1 2 3 4-0,6
-0,3
0,0
0,3
0,6
t [h]
εεεε [%]
Φε=1,0, tz = 3,53 h,
∆εx=∆ε
y=0,60 %
Experiment Simulation
0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50-0,6
-0,3
0,0
0,3
0,6
t [h]
εεεε [%]
Φε=1,0, tz = 1,23 h,
∆εx=∆ε
y=0,42 %
Experiment Simulation
0 1 2 3 4-0,6
-0,3
0,0
0,3
0,6
t [h]
εεεε [%]
Φε=1,0, tz = 3,43 h,
∆εx=∆ε
y=0,42 %
Experiment Simulation
0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50-0,6
-0,3
0,0
0,3
0,6
t [h]
εεεε [%]
Experiment Achse A Achse B
Simulation Achse A Achse B
Φε=0,5, tz = 1,33 h,
∆εx=0,60 %, ∆ε
y=0,30 %
Bild 68. Ergebnisse der Finit-Element-Simulation für betriebsähnliche Kriechermüdungsbean-spruchung mithilfe des Materialparametervektors PC nach Bild 56 b, 28CrMoNiV4-9, T = 525°C
e) f)
a) b)
c) d)
10 Bilder und Tabellen
133
0 5 10 15 20 25 30 35 40-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
ε
[%]
t [h]
0 5 10 15 20 25 30 35 40-50-40-30-20-10
01020304050
ε
[%]
t [h]
Experiment P
A
PB
PC
0 5 10 15 20 25 30 35 40-1,0-0,8-0,6-0,4-0,20,00,20,40,60,81,0
ε
[%]
t [h]
Experiment P
A
PB
PC
0 10 20 30 40
-800-600-400-200
0200400600800σ
[MPa]
t [h]
PA
PB
PC
0 10 20 30 40-800
-400
0
400
800σ
[MPa]
t [h]
σ11
σv
Bild 69. Ergebnisse der Finit-Element-Simulation für biaxiale gestufte Zug-Druck-Beanspruchung, Dehnungsverlauf (a) mithilfe des Parametervektors PA, PB und PC (nach Bild 56 b) berechnete Verläufe der Dehnung (b) sowie Detailansicht (c), Vergleich der Axi-alspannungen σ11 (d) und Vergleich der Axial- und Vergleichsspannung am Beispiel des Parametervektors PC (e), 28CrMoNiV4-9, T = 525°C
e)
a) b)
c) d)
10 Bilder und Tabellen
134
0,01 0,1 1 10 100 10000,01
0,1
1
10
t [h]
εεεε
[%]
Simulation P
A
PB
PC
Experiment 70,0 kN
0,01 0,1 1 10 100 10000,01
0,1
1
10
t [h]
εεεε
[%]
Simulation P
A
PB
PC
Experiment 80,5 kN
Bild 70. Ergebnisse der Finit-Element-Simulation für biaxiale Kriechbeanspruchung an der Kreuzprobe ausgehend von Parametervektoren in Bild 56, Kriechversuche mit einer gleich-phasigen Last von F = 70 kN (a) und F = 80,5 kN (b), 28CrMoNiV4-9, T = 525°C (Bild 48)
Bild 71. Messung der Temperaturverteilung in der Kreuzprobe mithilfe einer Wärmebildkame-ra (links) und der Vergleich des im FE-Modell vorgegebenen Temperaturfeldes durch die benutzerdefinierte Subroutine UTEMP (rechts), 28CrMoNiV4-9, Tmax = 525°C
a) b)
10 Bilder und Tabellen
135
R30
350 50
100
100
12
01
50
410
R90
rein elastisch UMAT — t = 0,01 h t = 27.000 h
0 10000 20000 300000
10
20
30
40
50σ
[MPa]
t [h]
mit statischer Erholung ohne statische Erholung
0 10000 20000 300000,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05ε
[%]
t [h]
mit statischer Erholung ohne statische Erholung
Bild 72. Nachrechnung der Kerbstelle einer Turbinenwelle unter Kriechbeanspruchung mit dem Materialmodell, Parametersatz angepasst an einen besonders niedrigen Spannungs-zustand (σ < 50 MPa), Randbedingung und FE-Netz (a), Spannungsverteilung für elastische Rechnung sowie inelastische Rechnung für die Zeitpunkte nach dem Anfahren und nach 27000 h (b) und die Verläufe der Vergleichsspannung und Axialdehnung über die Zeit (c)
a)
b)
c)
ω = 2πn n = 50 Hz
-20 MPa
30 MPa
p = 25 MPa
T = konst.
10 Bilder und Tabellen
136
0 20 40 60 80-1,00
-0,75
-0,50
-0,25
0,00
0,25
0,50
t [h]
εεεε [%]
0 20 40 60 80-600
-300
0
300
600
σσσσ
[MPa]
t [h]
-1,00 -0,75 -0,50 -0,25 0,00 0,25 0,50-600
-300
0
300
600
σσσσ
[MPa]
εεεε [%]
720 740 760 780 800 820
-1,00
-0,75
-0,50
-0,25
0,00
0,25
0,50
Zyklusfolge
K W2 H2.4
t [h]
εεεε [%]
-1,00 -0,75 -0,50 -0,25 0,00 0,25 0,50-500
-250
0
250
500
εεεε [%]
σσσσ
[MPa]
Experiment K W2 H2.4
Simulation K W2 H2.4
100 1000
0,1
1
extrapoliertesErgebnis
2. Iteration
1. Iteration
α1
[-]
tA [h]
Bild 73. Identifikation der Schädigungsparameter anhand eines isothermen dreistufigen Dehnwechselversuchs mit betriebsähnlichem Zyklus, Dehnung-Zeit-Verlauf für die erste Zyk-lusfolge bestehend aus 1 Kaltstartzkylus, 3 Warmstartzyklen und 16 Heißstartzyklen (a), Spannung-Zeit-Verlauf (b), Spannung-Dehnung-Verlauf (c), die für den Vergleich mit der Simulation herangezogenen Teilzyklen des Kaltstarts K bei N = NA/2 und die zugehörigen Teilzyklen des Warmstarts W2 und des Heißstarts H2.4 als Dehnung-Zeit-Verlauf (d) und entsprechende Spannung-Dehnung-Hystereseschleifen (e), Extrapolation des Schädigungs-parameters α1 bei der iterativen Identifikation (f)
e) f)
a) b)
c) d)
10 Bilder und Tabellen
137
0 10 20 30 40-0,4
-0,2
0,0
0,2 εεεε
[%]
t [h]
0 10 20 30 40-600
-300
0
300
600
t [h]
σσσσ
[MPa]
-0,4 -0,2 0,0 0,2-600
-300
0
300
600
εεεε [%]
σσσσ
[MPa]
N = 1 N = N
A/2
-0,4 -0,2 0,0 0,2-600
-300
0
300
600
εεεε [%]
σσσσ
[MPa]
Experiment Simulation
Bild 74. Berechnung der langzeitigen isothermen einstufigen Kriechermüdungsbean-spruchung mit betriebsähnlichem Zyklus, Zyklusdauer tz = 32 h, Dehnungsschwingbreite ∆ε = 0,54 %, Anrisswechselzahl NA = 990 [], Dehnungsverlauf (a), resultierender Span-nungsverlauf (b), Vergleich der Spannung-Dehnung-Hystereseschleifen für N = 1 und N = NA / 2 (c) und Vergleich mit dem Experiment bei N = NA / 2 (d)
a) b)
c) d)
10 Bilder und Tabellen
138
0 20 40 60 80 1000
1
2
t [h]
ε
[%]
Experiment Simulation P
C
0,01 0,1 1 10 100 10000,1
1
10
t [h]
εεεε
[%]
Experiment Simulation P
C
0 20 40 60 80 1000
1
2
t [h]
ε
[%]
PC
E
0 20 40 60 80 1000
1
2
t [h]
εεεε
[%]
k0
PC
0 20 40 60 80 1000
1
2
η
PCεεεε
[%]
t [h]
0 20 40 60 80 1000
1
2
t [h]
ε
[%]
m
PC
Bild 75. Sensitivitätsuntersuchungen zum Materialmodell ausgehend vom identifizierten Pa-rametervektor PC (s. Abschnitt 6.3) bei einem Kriechversuch mit einer Spannung von σ0 = 351 MPa: Vergleich der Simulation mit dem Versuch, lineare (a) und logarithmische Darstellung (b), Einfluss des E-Moduls E (c), Fließgrenze k0 (d), Viskosität η und m (e und f)
e) f)
a) b)
c) d)
10 Bilder und Tabellen
139
0 20 40 60 80 1000
1
2
t [h]
ε
[%]
b
PC
0 20 40 60 80 1000
1
2
t [h]
ε
[%]
c
PC
0 20 40 60 80 1000
1
2
t [h]
ε
[%]
p = 0
p
PC
0 20 40 60 80 1000
1
2
t [h]
ε
[%]
w
PC
Bild 76. Sensitivitätsuntersuchungen zum Materialmodell ausgehend vom identifizierten Pa-rametervektor PC (s. Abschnitt 6.3) bei einem Kriechversuch mit einer Spannung von σ0 = 351 MPa: kinematische Verfestigung b und c (a und b), kinematische statische Erholung p und w (g und h)
a) b)
c) d)
10 Bilder und Tabellen
140
0 20 40 60 80 1000
1
2
εεεε
[%]
t [h]
α0
PC
0 20 40 60 80 1000
1
2
εεεε
[%]
t [h]
α1
PC
0 20 40 60 80 1000
1
2
εεεε
[%]
t [h]
α2
PC
0 20 40 60 80 1000
1
2
εεεε
[%]
t [h]t [h]
q0
PC
0 20 40 60 80 1000
1
2
εεεε
[%]
t [h]
q1
PC
Bild 77. Sensitivitätsuntersuchungen zum Materialmodell ausgehend vom identifizierten Parametervektor PC (s. Abschnitt 6.3) bei einem Kriechversuch mit einer Spannung von σ0 = 351 MPa: Schädigungskoeffizienten α0, α1, α2 (Teilbild a, b und c) sowie Schädi-gunmgsexponenten q0 und q1 (Teilbild d und e)
e)
a) b)
c) d)
10 Bilder und Tabellen
141
0,01 0,1 1 10 100 10000,01
0,1
1
10
t [h]
εεεε
[%]
Experiment 70,0 kN
Simulation PC
66,5 kN 70,0 kN 73,5 kN
0,01 0,1 1 10 100 10000,01
0,1
1
10
t [h]
εεεε
[%]
Experiment 80,5 kN
Simulation PC
77,0 kN 80,5 kN 84,0 kN
Bild 78. Sensitivitätsuntersuchung des Materialmodells ausgehend vom identifizierten Para-metervektor PC (s. Kap. 6.3) für biaxiales Kriechen (Bild 48) mit der Variation der Last um 5 % und Vergleich mit dem Versuch: Experiment F = 70,0 kN a) und F = 80,5 kN b)
Bild 79. Software zur automatischen Parameteridentifikation ParID basierend auf Neurona-len Netzen und Simmulationsdaten aus dem konstitutiven Materialgesetz
a) b)
10 Bilder und Tabellen
142
Bild 80. Modellierungsprogramm MoSim zur Berechnung von beliebigen Belastungsverläufen in Dehnungs- oder Spannungsregelung für eindimensionales konstitutives Materialgesetz
Bild 81. Software Zyklusgenerator zur Programmierung von Belastungszyklen
10 Bilder und Tabellen
143
a)
b)
Bild 82. Ausgabefenster für Berechnungsresultate aus dem Modellierungsprogramm MoSim, Kriechbelastung (a) und zyklische Belastung (b)
10 Bilder und Tabellen
144
Bild 83. Fenster MoSim Extras des Modellierungsprogramms MoSim zum selektiven Spei-chern von Berechnungsergebnissen und zugehörigen Parametern sowie Kurvenoperationen
sim.pab
Material-modell
NeuronalesNetz
{exp.dat}k
{exp.zyk}k
{sim.dat}nk
{sim.par}n
Kombinations-generator
TrainiertesNeuronales
NetzTrainieren id.par
Daten-aufbe-reitung
Daten-Aufbe-reitung
Bild 84. Flussdiagramm zur Parameteridentifikation, Datenaufbereitung s. Bild 54
10 Bilder und Tabellen
145
Gleichung Beschreibung Material- parameter
1 pe~~~ EEE += Additive Zerlegung der Deformation in
elastischen und plastischen Anteil
2 1EEET )~tr(~2~~eee λ+µ== ]C[ verallgemeinertes Elastzitätsgesetz
(Hooke’sche Gesetz) µ, λ
3 Yξ~c~
=
( )0r~r~R~ +γ=
Beziehungen der Spannungen und Dehnungen der kinematischen und isotropen Verfestigung als innere Vari-ablen
r0
4 ( )( ) ( ) ( )DDf ~~~~23
:~~f̂ ξTξTξ,T −⋅−= äquivalente Spannung (Vergleichs-spannung), (f): fiktives Material
5 ( )( ) ( )( ) 0ff kR~~~f̂:R~,~~F̂ −−= ξ,Tξ,T Fließfunktion für das fiktive Material k0
6 ( )( ) 0R~,~~F̂ f >ξ,T Fließbedingung
7 η
=
mF̂
:s~&
Geschwindigkeit der akkumulierten plastischen Dehnung (plastische Bo-genlänge)
η, m
8 ( )s~
f̂
~~
23~
D
p&& ξT
E−
= Geschwindigkeit der plastischen Deh-nung
9 YYYEY ~~cp~s~b~~ 1w
p
−
−−= &&& Dehnungsvariable der nichtlinearen kinematischen Verfestigung mit dyna-mischer und statischer Erholung
c, b, p, w
10 ( )ωγπ−β−= r~s~r~s~r~ &&&
Dehnungsvariable der nichtlinearen isotropen Verfestigung mit dynami-scher und statischer Erholung
γ, β, π, ω
11 0ˆ~~≥ψ−⋅ &&ET
Dissipationsungleichung für die ther-modynamische Konsistenz
12 )r~(ˆ)~(ˆ)~(ˆˆ )is(p
)kin(pee ψ+ψ+ψ=ψ YE
Zerlegung der Funktion der freien E-nergie in einen elastischen Anteil und kinematische und isotrope plastische Anteile
13 e
~ˆ~
ET
∂
ψ∂= ,
Yξ ~
ˆ~∂
ψ∂= ,
r~ˆ
R~∂
ψ∂= Ableitungen der freien Energiefunktio-
nen
14
)~(ˆ)( e)f(
eee EE ψ=ψ
)~(ˆ)( )kin,f(p
)kin(p YY ψ=ψ
)r~(ˆ)r( )is,f(p
)is(p ψ=ψ
verallgemeinerte Energieequivalenz zwischen dem realen geschädigten Material und dem fiktiven ungeschädig-ten Material
15 D1~
−=
TT ,
D1~
−=
ξξ ,
D1
RR~
−=
ee D1~ EE −= , YY D1~−= , rD1r~ −=
Beziehungen zwischen den Variablen des realen geschädigten Materials und des fiktiven ungeschädigten Materials
16 ( ) ( )( ) 0
f kR~g~~f̂gD,R,F̂ −−= ξ,TξT,
( ) ( ) n21D1Dg −−=
Fließfunktion des realen Materials, n = 1 für Metalle
n
17
( )s~
D1
D)D(sD1
0
q
q
210&&&
−
∂
ψ∂ρ−
α+α+α=
Definition der Schädigungsrate (Le-maitre)
α0, α1, α2, q0, q1
Tabelle 1. Übersicht über das konstitutive Materialmodell basierend auf Chaboche erwei-tert von Tsakmakis [67], Schädigungsansatz nach Lemaitre [76]
10 Bilder und Tabellen
146
Referenz Energiefreisetzungsrate Y Vergleichsspannung σσσσv
Evolutionsgleichungen für Schädigung
Anwen-dung
Lämmer (1998) [72] D
Y∂
ψ∂ρ−=−
)D1(
)Y()D(sD
q
n
210&& ⋅
−
−α+α+⋅α=
Lemaitre (1985) [76]
2
2ve
)D1(E2
R
DY
−⋅
⋅σ=
∂
ψ∂ρ−=− ν
2
V
m32 )21(3)1(R
σ
σν−+ν+=ν
D
Ds
0 ss
sss
SY
D0
−
−⋅⋅
−= &&
s)Y(D n1
&& ⋅−⋅α= für 0sD =
Kriechen, LCF
Dhar (1996) [77]
n = 1, q = 0 s)Y()D(sD 210&&& ⋅−⋅α+α+⋅α=
statisch, Stahl
Tai (1986) [82]
n = 1, q = 0, α0 = 0, und α1 = 0 s)Y(DsD
SY
D 20
&&& ⋅−⋅⋅α=⋅⋅−
= statisch, 3 Stähle
Saanouni (1986) [81]
α−α σ⋅σ=− 1V1Y
Vm1V 3 σ⋅γ+σ⋅β⋅+σ⋅α=σ mit 1=γ+β+α
)(k
s
0
)D1(S
YD
0
σ−−⋅
−=&
Kriechen, Stahl
Kachanov (1958) [78]
DDV 2
3TT ⋅=σ r
rV )D1(
AD −−⋅
σ=&
Kriechen
Rabotnov (1968) [79]
DDV 2
3TT ⋅=σ k
rV )D1(
AD −−⋅
σ=&
Kriechen
Tabelle 2. Übersicht über verschiedene Schädigungsansätze
10 Bilder und Tabellen
147
Werkstoffsorte: 28CrMoNiV4-9
Lieferwerk: Kammerich-Reisholz GmbH
Schmelzen-Nr.: 398786
Erschmelzung: Elo-Stahl
Formgebung: geschmiedet
Liefermaße: ∅ 400 x 6 000 mm
Gefüge im Anlieferungszustand: Zwischenstufe
Chemische Zusammensetzung in %
C Si Mn P S Cr Mo Ni V Al Cu Sn
0,28 0,20 0,74 0,007 0,008 1,09 0,82 0,69 0,36 0,003 0,21 0,012
Wärmebehandlung: Austenitisieren 5 h 950 °C/Öl 5', dann Luft bis 300 °C
+ 1. Anlassen 10 h 700 °C/Luft + 2. Anlassen 10 h 710-720 °C/Luft
Temp.
°C
Rp0,2
MPa
Rm
MPa
A
%
Z
%
Z1
%
E
GPa
Rp0,2/Rm
%
20 592-640 742-777 21 66 51 203 80
525 449 507 21 74 69 187 89
Tabelle 3. Chemische Zusammensetzung, Wärmebehandlung und Kurzzeiteigenschaften bei Raumtemperatur und 525 °C, Stahl 28CrMoNiV4-9, nach [61]
Werkstoffsorte: X21CrMoV12-1
Lieferwerk: Thyssen
Schmelzen-Nr.: 14054
Erschmelzung: Elo-Stahl
Formgebung: gewalzt
Liefermaße: Stangen ∅ 23, 2 000 lg
Gefüge im Anlieferungszustand: vergütet
Chemische Zusammensetzung in %
C Si Mn P S Cr Mo Ni V
0,21 0,255 0,51 0,012 0,009 12,02 0,90 0,44 0,29
Wärmebehandlung: 1 050 °C ½ h/Luft + 730 °C 2 h/Luft
Temp.
°C
Rp0,2
MPa
Rm
MPa
A
%
Z
%
Z1
%
E
GPa
Rp0,2/Rm
%
20 669 862 18,7 52,6 203 80
550 447 504 27,4 84 76 132 89
Tabelle 4. Chemische Zusammensetzung, Wärmebehandlung und Kurzzeiteigenschaften bei Raumtemperatur und 550 °C, Stahl X21CrMoV12-1, nach [61]
10 Bilder und Tabellen
148
Werk-
stoff
Versuchs-
art*)
Probe in
Bild 19
Tmax ∆T x)
Zyklus-
dauer tpx)
Zyklus-
zahl NA
Versuchs-
dauer tA
d0 (mm) (°C) (°C) (h) (h)
28CrMo LWV iso 30 525 3 1 000 3 000
NiV 4 9, LWV an 30 550 50 3 1 000 3 000
216e LWV iso 30 525 10 800 8 000
ZSV 25 550 3 000 +)
ZSV 25 550 10 000 +)
X21Cr LWV iso 12 550 3 1 000 3 000
MoV 12 1, LWV an 12 600 100 3 1 000 3 000
220m LWV iso 12 550 10 800 8 000
ZSV 12 600 3 000 +)
ZSV 12 600 10 000 +)
*) LWV: Lastwechselversuch (R=-1), ZSV: Zeitstandversuch (R=0),
+) geplante Bruchzeit tu x) Beanspruchungsablauf nach Bild 4 c
Tabelle 5. Plan der Verifikationsversuche an Rundkerbproben
Werkstoff Versuchs-
art*)
y
x
ε∆
ε∆=ϕ Tmax
(°C)
∆T x)
(°C)
Zyklus-
dauer tpx)
(h)
Zyklus-
zahl NA
Versuchs-
dauer tA
(h)
28CrMo
NiV4-9,
216e
DWV
DWV
DWV
ZSV
ZSV
0,5
1
0,5
+)
+)
525
525
550
550
550
0
0
50
0
0
3
3
3
140
700
1 000
1 000
1 000
7
14
3 000
3 000
3 000
1 000
10 000
X21CrMo
V12-1,
220m
DWV
DWV
DWV
ZSV
ZSV
0,5
1
0,5
+)
+)
550
550
600
600
600
0
0
50
0
0
3
3
3
140
700
1 000
1 000
1 000
7
14
3 000
3 000
3 000
1 000
10 000
*) DWV: Dehnwechselversuch in Biaxialprüfmaschine
x) Beanspruchungsablauf nach Bild 4 c
+) ZSV: Zeitstandversuch mit abwechselnder Orientierung von +90° und –90° je Zyklus
Tabelle 6. Plan der Verifikationsversuche an Kreuzproben
10 Bilder und Tabellen
149
Werkstoff Ver-
suchs-art *)
Nr. T ∆σn σn
Zyklus- dauer
tpx)
Zyklus- zahl NA **)
(N für AG, B)
Versuchs- dauer t
(°C) (MPa) (MPa) (h) (h) 28CrMo LWV +) AAG525kb1 525 504 - 1,19 1.367 (699) 832 AG NiV4-9, LWV +) AAG525kb3 525 756 - 1,28
300
(406)
520 B
216e LWV AAG525kb4 525 756 - 3,28 167 (328) 1.076 AG LWV +) AAG525kb8 525 504 - 3,19 721 (761) 2.430 AG ZSV AAG525kb5 525 - 340 - - 2.728 AG ZSV AAG525kb6 525 - 400 - - 1.631 AG ZSV AAG525kb9 525 - 370 - - 650 AG ZSV AAG525kb7 525 - 440 - - 574 AG ZSV AAG525ka2 525 - 500 - - 64 AG X21Cr MoV12-1, 220m
LWV YV55kb1 550 312 - 3,1 (1.600) 4.800 AG
ZSV YV55kb4 550 258 - - 89 B
*)LWV: Lastwechselversuch (R = -1, Dehnrate 0,06 % / min)
ZSV: Kriechversuch, Probe: Kt = 2,3
x) Beanspruchungsablauf betriebsähnlich (4 Haltezeiten)
AG: ausgebaut B: Bruch +)Schliffbilder **) NA aus Abschätzung nach Bild 37 b
Tabelle 7. Ergebnisse der Verifikationsversuche an Rundkerbproben
Werk-
stoff
Versuchs-
art *)
Nr. Tma
x
∆T
x)
∆ε Zyklus-
dauer tpx)
Zyklus-
zahl
NA
Versuchs-
dauer tA
y
x
ε∆
ε∆=ϕ
(°C) (°C) (%) (h) (h)
28CrMo DWV A AAG525df1 1 525 0 0,60 1,33 400 530 NiV4-9, DWV A+S AAG525df2 1 525 0 0,42 3,43 650 2.230 216e DWV A AAG525df3 0,5 525 0 0,60 1,33 625 830 DWV A+S AAG525df4 1 525 0 0,42 1,23 1.667 2.055 DWV A AAG525df5 1 525 0 0,60 3,53 287 1.016 PARAM E AAG525df7 1 525 0 var. 360 ZSV AG AAG525df6 525 0 0,139
4,910 F=70,0 kN F=80,5 kN
230 209
*) DWV: Dehnwechselversuch in Biaxialprüfmaschine
x) Beanspruchungsablauf betriebsähnlich (4 Haltezeiten)
PARAM: Parameteridentifikation +S: Schliffbilder
Tabelle 8. Ergebnisse der Verifikationsversuche an Kreuzproben, Dehnrate 0,06 % / min
10 Bilder und Tabellen
150
Material-
parameter Beschreibung Wert für PA Wert für PB Wert für PC
E Elastizitätsmodul 159000 174480 159000
ν Querkontraktionszahl 0,3 0,3 0,3
r0 isotopen Verfestigung, Dehnungsvariable
0 0 0
k0 isotopen Verfestigung, Fließgrenze
248 95 246,08
γ isotrope Verfestigung, Erzeugung
0 0 0
β isotrope Verfestigung, Begrenzung
0 0 0
π isotrope Verfestigung, Erholung
0 0 0
ω isotrope Verfestigung, Erholungsexponent
1 1 1
c kinematische Verfestigung, Erzeugung
5,6759 66230 71729
b kinematische Verfestigung, Begrenzung
0,00149 370 1,6797
p kinematische Verfestigung, stat. Erholung
0 1,38E-5 3,8188E-8
w kinematische Verfestigung, Erholungsexponent 1 1 2,679
η Viskosität 7,17E+8 5,08E+15 8,9647E+12
m Viskositätsexponent 2,012 4,666 3,4418
n Modellparameter 1 1 1
α0 Schädigung* 0 0 0
α1 Schädigung* 1 1 1
α2 Schädigung* 0 0 0
q0 Schädigungsexponent* 1 1 1
q1 Schädigungsexponent* 1 1 1
*) Schädigung nach Ansatz Lämmer (Gl. (43) Abschnitt 2.2.3)
Tabelle 9. Übersicht über die identifizierten Materialparameter des konstitutiven Materi-almodell