Flachheit: Ein neuer Zugang zur Steuerung und Regelung nichtlinearer Systeme Ralf Rothfuß, Stuttgart, Joachim Rudolph, Dresden und Michael Zeitz, Stuttgart

Dr.-Ing. Rdf Rothfuß war zuf Zeit der Entstehung des vorliegenden Aufsatzes wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut fiir Systemdynamik und Regelungstechnik der Universität Stuttgari bei Prof. Dr.-Ing. M. Zeitz. Hauptarbeitsfelder: Regler und Beobachter für nicht- lineare Systeme, rechneninterstützter Entwurf mit Hilfe von Computer-Algebra-Systemen.

Adresse: Bergstraße 23, D-731 19 Zell.

Dr. Joachim Rudolph ist Stipendiat der Deutschen Forschungsgemeinschafi am Institut für Regelungs- und Steumngstheone der Technischen Universittit Dresden bei Prof. Dr.-Ing. K. Reinschke. Hauptarbeitsfelder: Regelung und Beobachter nichtlinearer Systeme, alge- braische Methoden, lineare und nichtlineare unendlich- dimensionale Systeme.

Adresse: Institut für Regelungs- und Steuening~theone, Technische Universität Dresden, Mommsenstr. 13, D- 01062 Dresden.

E-mal: mdolph@erssl I .et-tu-dresden.de

Prof. Dr.-Ing. Michael Zeitz ist Professor arn Institut fur Systemdynamik und Regelungstechnik der Universitat Stuttgart. Hauptarbeitsfelder: nichtlineare Regelung und Beobachtung, Systeme mit verteilten Parametern, Me- thoden und Werkzeuge zur rechneninterstutzten Model- l i e m g und Simulation.

Adresse: ISR-1304, Universität Stuttgart, D-70550 StuttgaIt.

E-mail: zeitz@isr.uni-stuttgari.de

Das 1992 von Fliess, Levine, Martin und Rouchon eingeführte Konzept der Flachheit eröfiet einen neuen Zugang zur Analyse und zum Entwurf nichtlinearer Systeme. Flache nichtlineare Systeme sind eine Verallgemeinerung der linearen steuerbaren Systeme und ermöglichen einen systematischen Entwurf von Steuerungen und Regelungen zur Trajektorienfolge. Zur Realisierung der flachheitsbasierten Folgeregelung können nichtlineare Beobachter mit zeitvarianter Verstärkung verwendet werden. Die Flachhea'tsanalyse und der flachheitsbasierte Entwurf einer ,Steuerung, einer asyrnptotischen Folgeregelung und eines nicht- linearen Folgebeobachters werden erläutert. Dazu wird das Beispiel eines kinematischen Fahrzeugmodells betrachtet.

at - Automatisierungstechnik 45 (1997) 11 O R. Oldenbourg Verlag

Flatness: A new approach to control of nonlinear systems

The flatness concept as introduced by Fliess, Levine, Martin und Rouchon in 1992 ofSers a new approach for the analysis und the design of nonlinear systems. Flut nonlinear systerns are a generalization of the linear controllable ones. They allow a systematic design of a nonlinear tracking control in Open or closed loop. Fora realization of the flatness-based tracking feedback, nonlinear observers with time-varying gain may be used. The flatness analysis und the flatness-based design of an Open loop control, of a feedback tracking control, und of a nonlinear tracking observer are explained. For this, the example of a kinematical car model is considered.

1 Einführende Übersicht

,,Flachheit" ist eine Eigenschaft, die in allen Bereichen vorkommt, und der Begriff ,,flach" wird in unterschiedlichster Weise verwendet. Stets jedoch - wenn auch mitunter im übertragenen Sinne - bezeich- net ,,flach" eine geometrische Eigenschaft und impli- ziert gleichzeitig eine gewisse ,,Einfachheita der betrachteten Struktur. So ist im Management heutzu- tage der Begriff einer ,,flachenc' Hierarchie geläufig, und es gibt hier in der Tat eine gewisse Analogie zu den flachen Systemen: eine ,,flacheu Struktur vereinfacht das Verständnis der funktionalen Zusammenhänge und erleichtert die Steuerung eines Systems.

Für nichtlineare Systeme als Modelle gesteuerter Prozesse steht der Flachheitsbegriff in direktem Zusammenhang mit der geometrischen Interpretation der Lösungen der zugrundeliegenden Differentialglei- chungen. Die flachen Systeme können nämlich in geeigneten Koordinaten wie lineare Systeme in linearen Räumen dargestellt werden. Diese Koordinaten be- schreiben die Zustände und die Eingänge des Systems und zusätzlich alle zeitlichen Ableitungen. Die neuen Koordinaten stehen mit den Originalkoordinaten in einem (formal eindeutig umkehrbaren) nichtlinearen Zusammenhang. Die so eingeführten nichtlinearen Koordinatentransformationen können als dynamische Rückführungen interpretiert werden.

mit dimj = dima gjbt, der die folgenden Bedingungen erfüllt. Di-e Zusmde xh i = 1, . . . , n und die Eing- uss i = I? . . . .I m können als Funktionen d a Komponen- ten yi, i = 1, „, , pn und einer endlichen Anzahl ihrer

(4 Zeitableitungm yi eindeutig ausged&kt werden: I Bild 1: Staxiaae Konzentration CB,~@J des @wtim&ten Produlas B als ~wktiodi der Komponenten des flaeim AUQMS y = tyl, ydT eins% cht?aisch&n Rührke8seIrci&kara [I 21.

r - . . a g > r n a - * - > YM fixS, U,) = 0 eines flachen Spte?m (45, Hierzu be-

Sind diese Bedingungen zumindest lokal emllt, so heil3t der fiktive: Ausgang (.I jkcke-er Awgang.

Wegen dimy = dimu und (6bS sind die Komponen- ten v m y diflerenticll ~nab$ängig, dh. sie erfüllen keine Diffei:renhlgleichuagen der Form

Diese Bedingung wird häufig anstelle der Forderung dimy=dimu in der Definition flacher Systeme benutzt, ihr Nachweis ist jedoch schwieriger. Aufgrund der differentiellen Unabmgigkeit sind die Trajektorien %ur die Komponenten von y voneiaander unabh2ingig.

Da in der oben genannten Definition nur die Existenz ein= flachen Aursgan~ gefordert wird, existiem fur ein flaches System beliebig viele fla~he Aus@nge [SI. Die8e Freiheit h t zur Folgtz, daß es haufig einen flachen Ausgang p gibt, dex nur eine Funktion &(X) des Zustand& x ist oder fiir den die. B ~ & m u n g der Gln. (6) einfach ist. Insbesondere ergibt sich sa auch häufig die Möglichkeit, einen flachen Au~gang mit einer anschau- lichen Bedeutung und einer direkten Rebvanz fur das ZU lcisende &gelpmblem zu w & h h (vgl. hierzu die Beispiel1ir;te in [lQn.

Da mit Hilfe von (6) die Grönen x und u d m h einen fkchen Ausgang y ausgedrückt werden Hnnen, ergibt s i ~ h mit der Dgl. (41, d d w h i als Funktion von y dmtellbar ist, ohne dwß Dgln. integriert werden müssen. Diw bedeutet, d a Ale dyiamislshen Eigen- schaften eines flach~n SysQms durch den flachen Ausgang und eine endliche ItaPil. von dessen Zeitab- leitungen festgdegt wesden. Deshalb spricht man auch von einer (endlichen) FammeYriermg des System6 durch einen flwhen Au~gang. I

Diae Parametrierung erlaubt eine ,einfache Bestim- m n g und Analyse der Ruhelagen @„U,) mit

Diffmtiakleichung wird itn Fulgend~n mit Dgl. abgekiirzt.

(4 trachtet man die iGln. (6) Br y =Y, mit ys = 0, k 2 1

xs =SJlO>slo> ..- 10) =*1dysl, Cs a>

Mit diesen Beziehungen werden die Ruhelagen (X, U,) durch den flachen Ausgang y, vo1lst;Itndig pmetrier t . Im Untetschied hierzu ist eine explizite Darst~llung des Zusammenhangs xs[us] hiufig nicht maglich. Mit Hilfe der parnetriertan Dmtellung (8) von Zustand X, und Eingang u, lassen sich die Ruhelagen des flachen Systems in Plhhbgigkeit von ys einfach berechnen, grafisch verm&haulicht=ri und eventuell auch optimieren.

Diese Yorgehensweise wurde erstmals am Beispiel eines chemischen R*kesselr&tars mit einer Falge- e i n A -+ t2 4 C und eim Parallelreaktian SPI -+ D zu dem erwtlnschten Produkt B angewendet [12], Der Zustand x = [eA, ca, T, T K ] ~ wird durch die Konzentrationen CA und CE wwie die Temperaturen T und T, im ReaMorinnern bzw. im K W m t e l be~chrieben, Die StellgrGbn &CI der normierte Volumenstmm und ilie Kühlleistung (dim = 2). In [I21 wird gezeigt, daß

ein flacher Au3gang für den Reaktor ist, Dabei ist C,

die Konzentration des Re-den A im Zulauf. Die beiden Komponenten des flachen Ausgangs ,s haben falgende anschauliche Bedeutung: neben der Reaktor- ternperakir yl = T ist dies die inverse Selektivität ys = (C, - cA]/cSa die die „Produktivi~'" des Reaktari~i charakterisiert.

Die station&e Komerltr8tidn cBbs(Ys) des gewünsch- ten Produkts 1Ut sich - wie in Bild 1 gezeigt - als gekrümmte H&he aber der 3-Ebene darstellen und analysieren. Bei dem betrachteten, Reaktormodell ist eine explizite Darstellung cB*,@,] nicht möglich. Für jede Temperatur yl*, = T, gibt es eine maximale Produktkomemation cg „ wie dies in Bild 1 giesrrichelt

eingezeichnet ist. Die Gleichung dieser maximalen Konzentrationen erhält man durch Auflösen der Gleichung a ~ ~ , . 4 ( 3 y ~ , ~ = 0 nach y2,s = T(Yi,s) und Ein- Setzen in cB,s(Yl,s, r(Yl,s)).

3 Flachheitsanalyse

Der wichtigste Schritt bei der Anwendung der flachheitsbasierten Analyse- und Entwurfsmethoden ist die Bestimmung eines flachen Ausgangs (5 ) . Da es bisher keine Bedingungen für die Flachheit gibt, die gleichzeitig notwendig und hinreichend sind, kann auch keine allgemein anwendbare Methode zur Bestimmung eines flachen Ausgangs angegeben werden. Eine mögliche Methode basiert auf der Betrachtung von strukturell flachen Systemdarstellungen [13]. Deren Bestimmungsgleichungen sind Systeme linearer par- tieller Dgln. erster Ordnung. Sind diese lösbar, ist das betrachtete System flach, und jede Lösung stellt einen flachen Ausgang dar. Wegen der umfangreichen Literatur zu den Existenzbedingungen für flache Ausgänge wird auf [13] verwiesen.

Alternativ zur systematischen Flachheitsanalyse kann auch durch heuristische Überlegungen ein flacher Ausgang bestimmt werden, was für praktische Auf- gabenstellungen häufig zum Ziel führt (vgl. hierzu die „natürlichen" flachen Ausgänge der Beispiele in [16]). Hierfür wird aufgrund des Prozeßwissens ein Kandidat für einen flachen Ausgang (5) gesucht, der zusammen mit seinen Zeitableitungen ,,möglichst viel Infor- mation" über das dynamische Verhalten des Systems beinhaltet. Die Überprüfung, ob es sich tatsächlich um einen flachen Ausgang handelt, wird mit Hilfe der Gln. (6) vorgenommen. Dazu werden durch sukzessive Zeitableitungen des flachen Ausgangs nichtlineare algebraische Gleichungen zur Bestimmung der Größen x und u hergeleitet. Dies bedeutet, daß die GI. (5) so oft abgeleitet werden muß, bis aus dem resultierenden

(P,+l) . Gleichungssystem für yi, . . . , yi , i = 1, . . . , m alle Unbekannten xj, j = 1, ... , n und ui, ui, . . . ,

Bild 2: Ersatzbild und kinematisches Modell (9) eines zweiachsigen Fahrzeugs. X I = ul cosx3 xZ = u1 sinx3 X3 = ul tanirz (9)

I 4,

I I C

X 1

i = 1 , . . . , m (zumindest lokal) bestimmt werden können. Die dabei auftretenden Eingangsableitungen werden als neue algebraische Unbekannte betrachtet, wodurch sich die Zahl der Unbekannten erhöht. Ein Kandidat für einen flachen Ausgang ist umso erfolgver- sprechender, je höher die Ordnung der Zeitableitungen der Komponenten yi ist, die erstmals von den Ein- gangsgrößen abhängen. In diesem Sinne ist ein flacher Ausgang eines Systems ,,möglichst weit entfernt" von den Eingangsgrößen.

Die Flachheitsanalyse soll nachfolgend am Beispiel des kinematischen Modells (9) eines Fahrzeugs (Bild 2) erläutert werden, für das die flachheitsbasierte Realisie- rung des Einparkvorgangs auch in [7] diskutiert wird. Eingangsgrößen sind die Fahrgeschwindigkeit U, und der Lenkwinkel u2. Zustandsgrößen sind die Koor- dinaten xi und x2 des Hinterachsmittelpunktes P sowie der Winkel x3 der Fahrzeugachse.

Ein Kandidat für einen flachen Ausgang des Fahr- zeugs sind die Koordinaten des Mittelpunkts P der Hinterachse. Dies deckt sich mit der Erfahrung beim Rückwärtseinparken, daß der Einparkvorgang durch die Trajektorie der Hinterachse bestimmt wird. Im folgen- den wird gezeigt, daß die Koordinaten

tatsächlich einen flachen Ausgang für das Modell (9) bilden. Hierfür werden die Zeitableitungen y l , j2 , y i und y2 gebildet und die resultierenden Gleichungen nach X, u und ui aufgelöst:

Auf der linken Seite des Gleichungssystems (1 1) stehen sechs Gleichungen für die sechs Unbekannten XI, x2, x3, u l , U1 und u2. Die rechte Seite entspricht den Gln. (6). Damit ist das Fahrzeugmodell (9) flach. Der Nachweis, daß (10) ein flacher Ausgang ist, wird in [2] mittels kinematischer Überlegungen ohne Zuhilfe- nahme der Gln. (1 1) geführt.

Die Beziehungen für X, u und u1 in (11) sind nur lokal gültig. Außerdem hängen die Gleichungen für x3, ul, ul und u2 von dem Quotienten y2/y1 ab. Wenn die Geschwindigkeit des Fahrzeugs Null wird, d.h. y l = y2 = 0 ist, treten in diesen Ausdrücken Singulari- täten auf. Aus der Anschauung weiß man jedoch, daß das Fahrzeug in jedem Punkt angehalten werden kann, d.h. die genannten Singularitäten stellen in der Praxis keine Einschränkung dar. Bei einer Implementierung der Gln. (1 1) ist es erforderlich, diese Singularitäten zu eliminieren. Hierfür wird in [ 151 eine Zeittransforma- tion, die einer Parametrierung der Trajektorien durch deren Bogenlänge s = o(t) entspricht, verwendet.

Die rechentechnische Flachheitsanalyse ist in Bild 3 als Schema dargestellt: aus dem flachen Ausgang (10) können durch Zeitableitungen (dicke Pfeile) und algebraische Umformungen (gestrichelte Pfeile) alle

Bidh Sehema der F%cMieitsanalyse fiir das kinemtitiehe E h - zeugmodeU (9). DaM stehen die g&cheiltea Pfeife - -+ für die Bestimmmg der SY*- xt. X= ~3~ ~ 1 ~ 6 1 und %aus yl, y ~ , yi, y2, yi und j%.

anderen SystemgrQhn (xj, MI, Ui , W) bsitimmt wer- den. D i w Seher& mprlbentiert au& die ~~~ des inversen F&mw&Hs zwischen den Auagg~en Y1,z B & i w F @i,2. Die fiir die knalym der Flachbit t&kmkr~chen

symboliahen Rechnungen sind teilweise mh t 'winfaag- reich. Sie künnen jedwh mit Hilfe eines Computer- AIgebra-Sy&ems, wie z.B. MATHEmTICA oder MAPLE, rmhnemterstützt durchgeführt werden. Hier- für wird in [13] eine in M A m n U implemen- tierte Fk&donsb&liothek für die Anwendung der flachheitsbasierten Methode vorgestellt.

4 Flachheitsbasierte Steuerung

Für flache System ist es leicht möglich, das nichtlineare TfaJektorienfolgeproblem enimdtx durch eine Steuern (im offenen Kreis) oder durch eine Regelung zu lösen. Bei der Vorgab bm. Planung der Cofltrajektorkn Mnnm die hlgenden drei FUe uqter- schieden werden:

Büd 5% S&@&fim X&) und y&t] in &XI ufspt%hglich.en bm. den flatehm Koordinaten. Die & & ~ n 'Lifi'tm ba;i y&O) und deuten an, &J$ die Vogabe von 1&0] und x&"J auoh &s Werte

W einer endlishm W von Zdtabieitungen k 2 1 für d = 0 bm. t = X f ~ ~ e l q g t sind.

Diese Beziehung stellt eine (implizite) Dgl. für die Soiltrajektorie ydt) dar, die symbolisch oder numerisch (stabil) integriert werden muß. Gibt man für das Fahrzeugmodell (9) beispielsweise die Jolltrajek- torien wl,At) und wz,At) für die Koordinaten (X, + cos X$ 112 + sin x3) des VaPderac&smitte1punkts vor, so erhält man mit (12) die beiden folgenden impliziten Dgln. nu Bestimmung den Solltmjektorien yl,At) und w2,At)

(i) Die SoWlraj.e.bx-orien werden Tüs den flachen h g m g 2 als binreichend oft diEmn~ierbarer Zeimerlauf gtd(Q, t E [U, Z'l vorgegiben.

(ii) Die Soiltrs~jektorien werden Tür die Regelgrtjßen W = q(x), dirn w = m als hinreichend oft Bifferen- zierbmr ZeItverIauf w;Xt), t E [0, T] v~rgegeben, wobei mindestens eine R e wk i E (1, . . . , m) keine Komponente des flachen Ausgangs y ist.

(iii) Die Solltmjebrien sind nur durch den Anfangs- zustand xa(0")d den Endzustand festgelegt. Das hieraus resuhierende Folgeprob1em KZgt eng mit der Frage nach der Steuerbarkeit zusammen.

Die B e s b w g ber Steuerfunktion B&) ZU1: Lösung

Darau& ervtnimmt man, da@ die Mooadfnaten des V a r d ~ m B ~ d ~ ~ l p u n ~ s flr die Tmjahärieiplmung wenlgex 8wipe-t sind.

F& &P F&zeugmodeIl(9] gehlirt das Ehparken in eine PrnHa~b zu dem Fall (Iii), waki nxh Bild 4 der Anfairgsmtzu3d xA0) und der Endzinstmd xAT) vorgegeben sind. Aus diesen körnen mit Elfe von (1 1) die Anfangs- und Endwerte yA0) und yAT) der Solltrajaktorien und deren =tableitungen bis zur zweiten Ordnung für den Bachen Ausgang (10) bestimmt werden. Diese beiden Positionen werden dann maer Bde3rsichtigung eventireller Hindernisse durch himeichend oft differenzierbare Kurven (Splines, Polynome, etc.) miteinander verbundmi, wie dies in Bild 4 dargestellt ist.

des Folgepmblem ist dann leicht möghch, w m die Soll-je]Rtoien Bftd 4: Eirip*jeMe Y&, t 6 Ca, T1 fiir das FahneuS (93. wie im Fall (i) in den Koordinaten des flachen Ausgangs y vorgegeben sind. Dphdb & ~ e n die Problem- @eliufigen (G) und (iii) zuerst auf dieme F& z u ~ c l e g e m werden.

Zur Wm~buw d ~ r Trajekts- den W&) kann man in ~ " d = q[xd) den Z U M xd Hilfe vm (6a) durch gd und &in6 2ki~ble;ltungen ersetzen

entspmhea: In Block 1 werden die S~ l l~ek toden >At) fur die Komponetl@n des flachen Ausgang& - wie in Abschnitt 4 beschrieben - aus den Solltgjektorien wAt) für die Regel@h bereshrret und fiir die Führwgs- gMknouifschaltung in dem Folgeregler (B1mk 3) ver- wendet, In Blwk 2 wircl die Dynamik des Folgefehlen durch die &stmxtlsrii- (15) ex& ürtearisiert. In ~1@3 prird dmh den FoIgeregler (18) das Ein- schwingverhalte~~ dt.s PolgefeNem vorPIegebsn. In Block 4 wrrd der flache Awgangy aus x und a beos-tt

Anstelle der qmsi-staeiscbn Zu8tandsrüc-g (15), (18) kam auch eine & ~ u $ ~ s c k ZustzzndMck- Rhnrng h v m [I91 (~81. &U& 13; 41) * das Fitlwzeugmadell P) mg~ge'ben werden. E ~ r z u führt man mit

Die ZusEandwc-g (15) hängt von der Ehganpbleitung .Jl ab. In der asymptotischen Folgere- gelung (15), (18) wird diese Ablei- tung jedoch mit Hilf& von (18c) d m h Zeitableitung der Solltrqjek- torie yl,d ausgxl&c?& Es handelt sich dm um ein sbatishes Regel- gesetz. Da der Zwtand des ge- schiossenen Irlre?isc:s durch db Riick- fXhung nicht em~itefi wir4 spricht mim I& Cl3 von h e r q w i - statischRn Swmddc-m.

Ras B l i o e b m W des flach- hsütsbasiertm F eh*a I I r I Tr Bfmbh&bad Qs flshhei-&n FommeiseU fuf das F*mp@doEl P),

Dick W+k Meuten, C$& neben &I angemigten CMiBe @.B, F()i zueh alie &r die dss ('3 ist in ld 7mcanUngen erforderlichen &itaHGtuqgen dlem CWBs ein-gw~hloscn sind. dargestellt, Dabei wird davon aus- gegangen, daß aUe Z m W e X @-

den neuen Zuxtmd x4 und die aeueu Elamge ÜI? @2

ein. WWt man analog zu (14) die Eingänge

messen werden. Das Blwkhaltbild U&& die folgen- den vier Bl&b. dic d@n ehzehen Schntrcn des &twwfs einer fiachheit-en mymptotischen Folgmegelung

y V 2 = j 2 ,

so erhält man durch Auflasen der Gleichungen für yl und y 2 in (11) nach iil und & die djnrcunische Zustandsrüc-g der Form

6 Ni~btHnearer Folgebeobachter mit z&va*m VerSmkung

Im Unterschied zur quasi-statkhen ZilstanMck- Mmmg (15)-), (181, bei dw der Zuszand dw geschlos- senen Wm die Dimension drei hat, ist diese bei der d~amischen Zumhdgacmmng gleich ,vIm.

Die a.m B E ~ c ~ B I deus F&x=:up&lla erHä.r-t.e Vorgehensmia him Entwurf einer asmpb~sehen F t i l p e g d m ~ @t meh allgemein Rir flach nicht- lineare, System Dabei sind &e vier anhmd von Bild 7 diskutiertem Entdmhr i t t e ausmflih-en [B].

Für die Reaaisiening der flachheipsbnsierten Folgere- gelung ist die Kmtnis aller Zustände erforderlich. Aus diesem Grund müsm die nicht gemessenen Zustands- variablen aus den MeBgrdkn

mit Hilfe eines Beobachters geschm werden. Für beobachtbsre f l d e Systeme kann ehe nichtlineare Zus tandsschl i~ auf der Basis der um die SoUtra- jebrien kin&s.igtrten Gleichungen eatwoden wea&n [12; 13; 21)1. Dies soll ebenfaI1s an Beispiel des Fafiraw&lls (9) @wi@ W&& wobei die K o r n ~ a ~ a dw Hhterachsrriittelpu&"s

gemessen werdtzn. In diesem Fall stimmen die Meß- gr2ißen % mit den Kompanmten yl , yz des flachen Ausgangs (18) überein. Diese spezielle Annahe ist nicht erforderlich bzw. im allgemeinen auch nicht erfüllt, ~ ~ g s ist im Fall der Messung des flachen Ausgangs wegen der Beziehung (Ga) das flache System beobachtbar.

Für den Entwurf des Beobachters wird angenommen, daß das Fakuzeug durch die quasi-statische Zustands- rückfühaong (15), (18) geregelt wird

Dabei dmtean die GröEien 9, &, 8 und an, daß die Zushde x bf5 der Bildung & geh-6x3 Grafien durch die Seh3itmverte X erse&t werden.

B e b Entwarf des ni ~A~%&M~IT Falg&hM&m nrr w * m g i i l a c b m Po~~B* gelung d d m cllie b1&n fioi$enden J3gew-n ausgmttm (a) Aufgmnd dm F$&itsoXmM (13) kQmm

ttl l i3 3-i;- &S S & t f % i m m ~ d ~ f ~ ~ d r ) Bie I%cdlvWk 3.) für di.e 2kmkWb sowie $ie iiitilgxbh a&) k&f W&. Rweh a3a h 1P-n PLEpgPtnLa er,Eum Falge- i llhna das Tmj*WoW& @ =Y -3% c-b ab, dh, &G rn &&m &xi Sanw&~n ydgj nnd ritdi;rm tat&&- li-U j,Wa rf~) &̂& (W&@ irl~in. B&& W weh &e Plrb~Wm

W@* *&] und aaa.iq A(O* JKdI d

Dbm M d e m g jst &ur @W& w m &wh &G W d (24) kbx MmgsfeIkJ~1: &fQ hxm&&&ad H& ist

mi&a&m&nfl (mcp>-Vm- aMmgmW i;-Ct) kam mit Hilfe d a z ~ ~ m t ; e n beaM&$-Nm&&rn 231. Ekma wi-rii aitiedi- F e ~ ~ y s p i (27) durch

z&M&ngip Tm~faTrndoft 8f=T(t) Sx in diese N o d a m tnmsf-ert tPnd &B V e m h n g ~ maiax L*(t) = ~ ( t ) t (t) ihm& Eipnwmkvix abc be- stimmt, Die&& S e e an. Butdnrnng mtl l[fj sLid io

Hzitf~Is Eigenwxtvargabe fe8tgelegt werden. Die V ~ ~ k n n g s ~ C(t) in riexn O n g i & m r m n %~@bt B21S &%X Rf. i~b8~1SfQ~ati0n L@) = T-I [ r ) L"f8').

l%t &n in Almhnitt2 m8hntm dwmich~n RiWke werden &'(s h c h h e h b d e FaSge- mgeZmg mit Fo@Mwhter in 112; 131 dmcl von Simda"rlanen amfdbriizrh untersucht.

Die Edkhmgm fnit den fla&heiEsM%:~n M@- &&Je& migm, W &ins fie,h&l wari dc4iWiibwm BMsrnodelb igt. Mtliah hh@ &B Flach-

NiZiglickitm zm &U- eines Frowsm durch gwigmte Wabi der 9 ~ e i ~ e ai v ~ s s e r n .

Bet flncW&&erte F@maf eiaa nilehanearen FUlga-egcfmg gernhiebt in zwei doii-gt ehe P1amg d a T*&oPie

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