Fluiddynamik von Gas-Flussigkeits-Gemischen in˜ Kugelh ... · Lehrstuhl f˜ur Thermodynamik...

Lehrstuhl fur ThermodynamikTechnische Universitat Munchen

Fluiddynamik von Gas-Flussigkeits-Gemischen inKugelhahnen

Thomas Lex

Vollstandiger Abdruck der von der Fakultat fur Maschinenwesender Technischen Universitat Munchen

zur Erlangung des akademischen Grades einesDOKTOR – INGENIEURSgenehmigten Dissertation.

Vorsitzender: Univ.-Prof. Dr.-Ing. Dr.-Ing. habil. Johann StichlmairPrufer der Dissertation: 1. Univ.-Prof. Dr.-Ing. Thomas Sattelmayer

2. Univ.-Prof.(komm.L.) Dr.-Ing. Dietmar Hein, i.R.

Die Dissertation wurde am 29.04.2004 bei der TechnischenUniversitat Munchen eingereicht und durch die Fakultat fur

Maschinenwesen am 09.07.2004 angenommen.

Es ist nicht genug zu wissen,man muss auch anwenden;

es ist nicht genug zu wollen,man muss auch tun.

Johann Wolfgang von Goethe

v

Vorwort

Die vorliegende Arbeit entstand wahrend meiner Tatigkeit als wis-senschaftlicher Assistent am Lehrstuhl fur Thermodynamik der Tech-nischen Universitat Munchen. Allen, die zu ihrem Gelingen beigetra-gen haben, danke ich an dieser Stelle ganz herzlich.

Besonderer Dank gilt Herrn Professor Dr.-Ing. Thomas Sattelmayer,der ein stets interessierter und wohlwollender Doktorvater war undmir viele wertvolle und richtungsweisende Hinweise gab, die mir einewertvolle Hilfe waren. Daruber hinaus mochte ich mich fur das mirentgegengebrachte Vertrauen sowie fur die Freiheit bei meiner wis-senschaftlichen Arbeit wie auch bei meiner Lehrtatigkeit bedanken.Herrn Professor Dr.-Ing. Dietmar Hein danke ich fur die freundli-che Ubernahme des Koreferates und Herrn Professor Dr.-Ing. habilJohann Stichlmair fur den Vorsitz bei der mundlichen Prufung.

Fur die kollegiale Kommunikation sowie fur die freundlichen Leih-gaben von Wiremesh-Messtechnik mochte ich Herrn Dr.-Ing. H.M.Prasser vom Forschungszentrum Rossendorf herzlich danken. MeinDank gilt auch Herrn Dr.-Ing. H. Austregesilo von der GRS, der mirbei den Simulationen hilfreich zur Seite stand.

Den Damen des Sekretariats Frau Helga Bassett und Frau SigridSchulz-Reichwald gebuhrt ebenfalls besonderer Dank. Ihre freundli-che und hilfsbereite Art waren mir eine große Hilfe bei der Erledigungvon Verwaltungsangelegenheiten. Weiterhin danke ich den Mitarbei-tern der Lehrstuhlwerkstatten, ohne die experimentelles Arbeitennicht moglich gewesen ware. Den Studenten und wissenschaftlichenHilfskraften sei fur ihren Einsatz und die tatkraftige Unterstutzungebenfalls herzlich gedankt.

Besonderer Dank geht auch an meine Kolleginnen und Kollegen,zum einen fur die fachliche Unterstutzung, zum anderen aber auchfur die freundschaftliche Atmosphare am Lehrstuhl, die sich insbe-sondere in den wissenschaftlichen und auch nicht-wissenschaftlichenGesprachen in der Kaffeekuche zeigte. Dabei mochte ich insbesonde-re meinen beiden Burokollegen, Frau Edurne Carpintero und Herrn

vi

Rene Schneider, sowie den Damen und Herren Dr. Christoph Bart-scher, Dr. Jassin Fritz, Emad Gharaibah, Dr. Annett Hartmann, Fa-bian Hoseit, Dr. Martin Kroner, Stephan Pettinger, Marcus Poschlund Dr. Markus Rothenwohrer danken. Die gemeinsame Zeit amLehrstuhl machte uns zu Freunden. Unsere fachlichen und insbeson-dere freundschaftlichen Gesprache sind fur mich unvergesslich.

Zu guter Letzt mochte ich mich bei meiner Mutter Monika, Fred,Sebastian und Elisa bedanken, die mir durch ihre Zuneigung undihren Zuspruch eine große Stutze wahrend der Arbeit waren.

Munchen, im August 2004 Thomas Lex

INHALTSVERZEICHNIS vii

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 1

1.1 Ausgangssituation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Grundlagen 5

2.1 Adiabate Flussigkeitsstromung . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1 Erhaltungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.2 Reibungs- und Formverluste . . . . . . . . . . . . 7

2.1.3 Grundlagen der Armaturenstromung . . . . . . . 12

2.1.3.1 Druckverlustbeiwert eines Kugelhahns . . . . 14

2.1.3.2 Armatur im Stellbetrieb . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Adiabate Gas-Flussigkeits-Gemische . . . . . . . . . . 19

2.2.1 Allgemeine Definitionen . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.2 Erhaltungsgleichungen der Zweiphasenstromung . 21

2.2.2.1 Homogener Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.2.2 Heterogener gemischter Ansatz . . . . . . . . 23

2.2.2.3 Heterogener separierter Ansatz . . . . . . . . 24

2.2.3 Stromungsformen der horizontalen Gas-Flussig-keitsstromung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.4 Lokaler volumetrischer Gasgehalt ε und Schlupf s 29

2.2.5 Druckverlust der Zweiphasenstromung . . . . . . 30

2.2.5.1 Zweiphasenmultiplikator Φ . . . . . . . . . . 31

2.2.5.2 Reibungsdruckverlust . . . . . . . . . . . . . 34

2.2.5.3 Formverlust an einer stufenartigen Erweite-rung und Verengung . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2.6 Ausbreitung von Druckwellen . . . . . . . . . . . 38

2.2.7 Fazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3 Versuchsanlage und Messtechnik 41

3.1 Aufbau der Versuchsanlage . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2 Messstrecke und Armatur (Kugelhahn) . . . . . . . . 43

3.3 Messtechnik und Messdatenerfassung . . . . . . . . . 45

3.3.1 Flussigkeits- und Luftmengenstrome . . . . . . . 45

3.3.2 Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

viii INHALTSVERZEICHNIS

3.3.3 Absolut- und Differenzdrucke . . . . . . . . . . . 47

3.3.4 Lokaler Gasgehalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3.5 Messdatenerfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4 Feste Ventilstellungen 52

4.1 Flussigkeitsstromung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.1.1 Druckverlust in Abhangigkeit vom Offnungs-verhaltnis und der Geschwindigkeit . . . . . . . . 53

4.1.2 Druckverlauf entlang der Messstrecke . . . . . . . 54

4.1.3 Bestimmung des Druckverlustbeiwertes ζ . . . . . 57

4.1.4 Modellierung des einphasigen Druckverlusts . . . 58

4.1.4.1 Beschreibung des Modells . . . . . . . . . . . 58

4.1.4.2 Einfluss der Einschnurung . . . . . . . . . . . 64

4.2 Gas-Flussigkeitsstromung . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.2.1 Phasenverteilung am Kugelhahn . . . . . . . . . . 71

4.2.1.1 Virtuelle Seitenansicht der Zweiphasenstromung 71

4.2.1.2 Lokaler volumetrischer Gasgehalt . . . . . . . 75

4.2.1.3 Lokale mittlere Geschwindigkeiten . . . . . . 83

4.2.1.4 Phasenschlupf . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.2.2 Modellierung des zweiphasigen Druckverlustes . . 90

4.2.3 Druckverluste des Kugelhahns . . . . . . . . . . . 95

4.2.3.1 Druckverlauf entlang der Messstrecke . . . . . 95

4.2.3.2 Druckverluste – Experiment und Modell – . . 96

4.2.3.3 Zweiphasen-Multiplikator des Kugelhahns . . 101

5 Dynamischer Stellbetrieb 108

5.1 Simulation mit ATHLET . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.1.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.1.2 Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.1.3 Diskretisierung und Randbedingungen . . . . . . 114

5.2 Ergebnisse von Experiment und Simulation . . . . . . 115

5.2.1 Versuchsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.2.2 Versuchsergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.2.3 Simulationsergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . 127

6 Zusammenfassung 132

INHALTSVERZEICHNIS ix

Literatur 135

A Bemaßung des Kugelhahns 143

B Berechnung des Offnungsverhaltnisses ω 143

x Nomenklatur

Nomenklatur

Lateinische Buchstaben

a m/s SchallgeschwindigkeitA m2 FlacheB – Chisholm-KoeffizientD m RohrdurchmesserI kgm/s Impuls

I N Impulsstromj m/s LeerrohrgeschwindigkeitK – StromungsfaktorL m Rohrlangem kg/(m2· s) MassenstromdichteM kg Masse

M kg/s Massenstromp N/m2 DruckR – Modifizierter Zweiphasen-Multiplikators – Schlupft s Zeit∆tS s Schließzeit∆tW s DruckwellenlaufzeitU m Umfangu J/kg spezifische innere EnergieV m3 Volumen

V m3/s Volumenstromv m3/kg Spezifisches Volumenw m/s Geschwindigkeit in Stromungsrichtungx – Massenbezogener lokaler Gasgehaltx – Massenbezogener Stromungsgasgehaltz m Langskoordinatez – Dimensionslose Langskoordinate L/Dz∗ m Virtuelle Langskoordinatez∗ – Virtuelle dimensionslose Langskoordinate L/D

Nomenklatur xi

Griechische Buchstaben

ε – Volumetrischer lokaler Gasgehaltε – Volumetrischer Stromungsgasgehaltη Pa · s Dynamische Viskositatλ – Rohrreibungsbeiwertκ – Isentropenexponentµ – Kontraktionskoeffizientν m2/s Kinematische Viskositatρ kg/m3 Dichte

ω – Offnungsverhaltnis der ArmaturΦ – Zweiphasenmultiplikatorτ N/m2 SchubspannungτS – Dimensionslose Schließzeit

Indices

1ph Einphasig2ph ZweiphasigA ArmaturDF Drift-Fluxe VerengungExp ExperimentF FlussigkeitFo Gas-Flussigkeits-Gemisch stromt als FlussigkeitG Gash,hom Homogenhet HeterogenJOU JoukowskyKV KontrollvolumenS Schließen bzw. Stellen des VentilsR RelativV VerlustVC Vena ContractaW WandreibungZR Zwischenphasenreibung

1

1 Einleitung

1.1 Ausgangssituation

Rohrleitungsarmaturen (lat. Armatura) sind unverzichtbareAusrustungen in Anlagen, in denen fluide Stoffe transportiertwerden. Zu den wesentlichen Aufgaben der Armaturen gehort nebendem Absperren und dem Regeln und Stellen von Fluidstromen dieBewaltigung von Sicherheitsaufgaben, wie beispielsweise der Schutztechnischer Systeme vor Uberdruck. Um diesen Aufgaben gerechtzu werden, steht daher fur jeden Einsatzzweck eine Vielzahl vonunterschiedlichen Armaturen bzw. Ventiltypen zur Verfugung, derenkonstruktive Gestaltung hinsichtlich der Stromungsfuhrung ihrerspezifischen Aufgabe angepasst ist.

Hahne im Allgemeinen und Kugelhahne im Speziellen werden dabei,wie Abbildung 1 zeigt, zum Absperren und Regeln von Stromungeneingesetzt. Aufgrund vielfaltiger Vorteile [1], wie beispielsweise derMolchbarkeit, dem geringen Wartungsaufwand sowie den geringenStellkraften bei hohem Dichtvermogen, sind Kugelhahne bewahrte

Abbildung 1: Aufgabenstellung verschiedener Armaturen

2 1 Einleitung

und zuverlassige Stell- und Absperrarmaturen, insbesondere in An-lagen der Energie- und Verfahrenstechnik sowie bei der Forderungund dem Transport von Erdol und Erdgas. Jedoch treten gerade inAnlagen dieser Industriezweige vorwiegend Stromungsgemische auf,die sich aus einem flussigen und einem gasformigen Anteil zusam-men setzen. So werden beispielsweise bei der Off-Shore Erdolforde-rung zur Ausbeutung kleinerer Olfelder, deren Druck im Vorkom-men nicht ausreicht, um das Erdol und Erdgas an die Oberflachezu fordern, unterstutzende Pumpstationen auf dem Meeresboden in-stalliert [3]. Diese Pumpen fordern das Gemisch aus Ol, Seewasserund Gas [4] zur nachsten Verarbeitungsplattform bzw. zur Kuste,wo das Gemisch gereinigt und in seine Bestandteile zerlegt wird. Inder gesamten Forderkette liegt bis zur endgultigen Verarbeitung einGas-Flussigkeitsgemisch vor. Die Kette setzt sich neben der Pumpeund den Rohren aus den verschiedensten Rohrleitungskomponentenzusammen.

Der Einfluss solcher Gas-Flussigkeits-Gemische auf Anlagen und ihreintegrierten Komponenten, wie Formstucke und Armaturen, ist so-wohl quantitativ – hinsichtlich der Druckverluste sowie unterschied-licher Phasengeschwindigkeiten – wie auch qualitativ – im Hinblickauf die Ausbildung von Stromungsformen – unterschiedlich zur rei-nen Flussigkeits- oder reinen Gasstromung. Fur die korrekte Ausle-gung und den sicheren Betrieb der Anlagen ist daher die Kenntnisder auftretenden Krafte wie auch der zu erwartenden Druckverlu-ste erforderlich. Vor allem Letztere gehen in die Bestimmung derAnlagenkennlinie ein, die wiederum zur exakten Dimensionierungvon Pumpen und anderen Hilfsaggregaten benotigt wird. Zu großausgelegte Pumpen verursachen hohe Anschaffungskosten und einenungunstigen Teillastbetrieb. Zu kleine Pumpen limitieren die Forder-kapazitat.

Der umfassenden und moglichst exakten Bestimmung der Anlagen-kennlinie kommt daher eine besondere Bedeutung zu. Das charak-teristische Verhalten einer Anlage, das durch die Anlagenkennli-nie beschrieben wird, wird wesentlich durch die auftretenden Ver-

1.2 Aufgabenstellung 3

luste in Form von Rohrreibungs- und Umlenkverlusten gekennzeich-net. Fur einphasige Stromungen ist das Verlustverhalten der wich-tigsten Rohrleitungskomponenten, wenn nicht physikalisch fundiert,dann aufgrund empirischer Untersuchungen weitestgehend bekannt[5]. Fur zweiphasige Stromungen dagegen sind sowohl die Modelle alsauch die Datenbasis, auf die sich diese stutzen, außerst luckenhaft[1][6]. Um jedoch eine Anlage fur einen wirtschaftlichen zweiphasi-gen Betrieb auslegen zu konnen, sind entsprechende Methoden zurexakten Abschatzung des qualitativen wie quantitativen Verhaltensdes Gas-Flussigkeits-Gemisches bei Stromung durch Rohrleitungs-komponenten unverzichtbar. Insbesondere fur Kugelhahne sind dabeigenaue Prognosen uber die zu erwartenden Druckverluste notwen-dig. Wobei ihre Verlustcharakteristik nicht allein von der jeweiligenVentilstellung, sondern auch von der vorherrschenden Stromungs-form des Gas-Flussigkeits-Gemisches gepragt ist. Dabei spielen je-doch nicht nur feste Ventilstellungen eine Rolle. Auch der Einflussder dynamischen Stellbewegung des Ventils ist fur die Auslegung vonRohrleitungssystemen von Interesse. Vor allem das moderate, lang-same Schließen bzw. Stellen des Kugelhahns wurde im Gegensatzzum Schnellschluss fur Gas-Flussigkeits-Gemische bisher noch nichtuntersucht.

1.2 Aufgabenstellung

Zu den wesentlichen Zielen dieser Arbeit gehort einerseits die aufexperimentellen Untersuchungen basierende, physikalisch fundierteEntwicklung eines neuen Ansatzes zu Berechnung des Druckverlu-stes an einem zweiphasig durchstromten Kugelhahn. Andererseitssoll die Ubertragbarkeit diese Ansatzes auf dynamische Stellbewe-gungen sowohl theoretisch mit Hilfe des Systemcodes ATHLET alsauch experimentell untersucht und uberpruft werden.

Hierfur wird zunachst mittels einphasiger Experimente bei reineradiabater Flussigkeitsstromung (Modellfluid: Wasser) das Verlust-verhalten des Kugelhahns studiert, um in einem nachsten Schritt ein

4 1 Einleitung

auf den Erhaltungsgleichungen basierendes eindimensionales Modellzu entwickeln. Aufbauend auf den einphasigen Untersuchungen undunterstutzt durch geeignete Experimente bei adiabater Gas-Flussig-keitsstromung (Modellfluide: Wasser/Luft) wird im Anschluss daseinphasige Modell auf zweiphasige Stromungen erweitert. Uberdieswird der Einfluss des Kugelhahns auf die Phasenverteilung und so-mit auf die Phasengeschwindigkeiten veranschaulicht. In einem weite-ren Schritt wird das entwickelte zweiphasige Druckverlustmodell desKugelhahns in den Systemcode ATHLET implementiert, um die An-wendbarkeit dieses statischen Modells auf dynamische Stellvorgangemittels Simulation zu untersuchen. Die Ergebnisse der Rechnungenwerden durch geeignete Experimente uberpruft.

Fur das allgemeine Verstandnis der im Folgenden aufgefuhrten Be-arbeitungsschritte werden zunachst die wesentlichen Grundlagen deradiabaten Flussigkeitsstromung sowie der Gas-Flussigkeitsstromungim Kapitel 2 erlautert . Ferner wird der experimentelle Versuchsauf-bau samt der eingesetzten Messtechnik zusammenfassend in Kapi-tel 3 beschrieben. Die experimentellen Ergebnisse sowie die theoreti-schen Uberlegungen teilen sich auf in die festen Ventilstellungen, diein Kapitel 4 diskutiert werden, und in den dynamischen Stellbetrieb,der im Kapitel 5 dargestellt wird.

5

2 Grundlagen

Die theoretische Betrachtung der adiabaten Gas-Flussigkeits-stromung basiert stets auf den physikalischen Grundlagen der kon-tinuierlichen Phase, welche, je nach Gasanteil, entweder die Flussig-keit oder das Gas sein kann. Daher werden in den nachsten Kapi-teln zunachst die wesentlichen Erkenntnisse der adiabaten Flussig-keitsstromung dargestellt, die fur das Verstandnis der Theorie derGas-Flussigkeitsgemische und deren Anwendung auf durchstromteArmaturen von Bedeutung sind. Die Grundlagen der adiabaten Gas-Flussigkeits-Gemische werden im Kapitel 2.2 diskutiert.

2.1 Adiabate Flussigkeitsstromung

Unter einer adiabaten Flussigkeitsstromung versteht man eine ein-phasige Stromung, deren Temperatur im betrachteten Zeitraum kon-stant bleibt, da keine Warme ubertragen wird. Aufgrund von Dissipa-tionseffekten wird die innere Energie zwar erhoht, ihre Großenordungist aber vernachlassigbar gering und wird daher nicht berucksichtigt.Ferner kommt es bei einer adiabaten Flussigkeitsstromung zu keinerAnderung des Aggregatzustands, so dass das betrachtete Fluid stetsim flussigen Zustand vorliegt. Die adiabate Flussigkeitsstromung un-terliegt in ihrem Verhalten, wie alle anderen Stromungen auch, denErhaltungssatzen fur Masse, Impuls und Energie. Aufbauend auf die-sen Gleichungen lassen sich Formulierungen zur mathematischen Be-schreibung unterschiedlicher Stromungsphanomene ableiten.

2.1.1 Erhaltungsgleichungen

Allgemein formuliert besagt ein Erhaltungssatz, dass die Differenzder ein- und austretenden Quantitatsstrome gleich der im Bilanzge-

6 2 Grundlagen

biet gespeicherten Quantitat sein muss.

∂Q

∂t= − ∂Q

∂zdz (1)

Setzt man als Quantitat die Masse M bzw. als Quantitatsstrom denMassenstrom M ein und stellt die Massenbilanz an einem differenzi-ellen Rohrelement auf,

∂(ρA dz)

∂t+

∂(ρA w)

∂zdz = 0

so fuhrt dies unter der Voraussetzung einer konstanten Querschnitts-flache A zur bekannten Darstellung der eindimensionalen instati-onaren Kontinuitatsgleichung.

∂ρ

∂t+

∂(ρw)

∂z= 0 (2)

Fur den stationaren Fall ist diese Gleichung zu integrieren, was zurBeschreibung der Gleichung fur die Massenerhaltung fuhrt:

m = ρw = const. bzw. M = ρw A = const. (3)

Analog lasst sich mittels einer Kraftebilanz an einem differen-ziellen Rohrelement die Erhaltungsgleichung fur den Impuls inStromungsrichtung herleiten. Die Berucksichtigung der Differenz derein- und austretenden Impulsstrome, der Speicherung des Impul-ses, der an den freien Systemgrenzen wirkenden Druckkrafte undder Wandreibungskrafte fuhrt zur Impulsgleichung der horizontalenRohrstromung:

∂w

∂t+ w

∂w

∂z= − 1

ρ

∂p

∂z− τ

U

ρA(4)

Wird die Wandschubspannung vernachlassigt und von dem Fall einerstationaren Stromung ausgegangen, so vereinfacht sich die Gleichungzu

w∂w

∂z+

1

ρ

∂p

∂z= 0 (5)

2.1 Adiabate Flussigkeitsstromung 7

Stellt man die Energiebilanz an einem horizontalen Rohrelement auf,wobei die am Volumenelement geleistete spezifische Verschiebearbeitp v und die spezifische innere Energie u zur spezifischen Enthalpieh = u+pv zusammengefasst sind, so leitet sich daraus die Beziehung

∂

∂t

u +

w2

2

+ w

∂

∂z

h +

w2

2

= q

U

ρA(6)

ab, wenn davon ausgegangen werden darf, dass das System keine Ar-beit leistet und Warme nur uber die Rohrwand ubertragen wird.Fur den Fall der stationaren adiabaten Flussigkeitsstromung, bei derkeine Warme ubertragen wird und somit keine Temperaturanderun-gen zustande kommen, vereinfacht sich obige Gleichung zu

∂

∂z

p

ρ+

w2

2

= 0, (7)

die durch Integration zur allgemeinen Form der Bernoulli-Druckgleichung fuhrt.

p

ρ+

w2

2= const. (8)

Die dargelegten einphasigen Erhaltungsgleichungen sind als grund-legende Beziehungen zu betrachten, die die Ausgangsbasis fur dieGleichungen zur Beschreibung fluiddynamischer Vorgange darstel-len.

2.1.2 Reibungs- und Formverluste

Mit Gleichung (8) lassen sich Druck bzw. Geschwindigkeit entlangeiner Stromrohre 1 -2 berechnen. Etwaige Verluste, die entlang desStromungsweges auftreten, werden durch Anhangen eines Druckver-lustterms ∆pV auf der rechten Seite der Gleichung quantifiziert:

p1 +ρ

2w2

1 = p2 +ρ

2w2

2 + ∆pV . (9)

Mit diesem Term werden sowohl Reibungs- als auch Formverluste,die infolge von Armaturen, Rohrkrummern usw. auftreten, erfasst.

8 2 Grundlagen

Die Druckverluste sind proportional zum dynamischen Druck undeinem dimensionslosen Druckverlustkoeffizienten ζ.

∆pV =ρ

2

∑

i

ζi w2i (10)

Mit Kenntnis der einzelnen Druckverlustbeiwerte ζi konnen die ent-lang des Stromungsweges auftretenden Verluste quantifiziert undzum Gesamtdruckverlust aufsummiert werden. Die Druckverlustko-effizienten gerader Rohrleitungen und zahlreicher Formstucke sindweitestgehend bekannt und tabellarisiert oder durch Gleichungen be-stimmbar (vgl. z.B. VDI-Warmeatlas [7], Idelchik [5] oder Trucken-brodt [8]). Die beiden folgenden Abschnitte beschreiben die Berech-nung des Reibungsverlustes und des Formverlustes eines Stufendif-fusors und einer Stufenduse. Gerade die theoretische Betrachtungdieser Formverluste bildet die Grundlage fur die Modellierung deseinphasigen Druckverlustes am Kugelhahn, die im Kapitel 4.1.4 ein-gehend diskutiert wird.

Reibungsverluste

Die Bestimmung des Reibungsdruckverlustes erfolgt gemaß Glei-chung (10), wobei nur der Verlust infolge Reibung mit dem dimen-sionslosen Druckbeiwert ζR berucksichtigt wird. Der Verlustbeiwertbeinhaltet die Rohrreibungszahl λ, die von der Stromungsart (la-minar/turbulent), also der Reynolds-Zahl und der Rohrrauhigkeitabhangig ist. Ferner berucksichtigt er die Reiblange ∆L, die propor-tional zum Druckverlust ist.

ζR = λ∆L

D(11)

Je nach Stromungszustand wird der Reibbeiwert unterschiedlich be-rechnet. Bei laminarer Stromung (Re < 2300) folgt er dem Ansatznach Hagen-Poiseuille:

λ =64

Re(12)

Die Rohrrauhigkeit ubt auf den Reibbeiwert λ keinen nennenswertenEinfluss [8] aus und wird daher nicht berucksichtigt.


Fur den Fall der turbulenten Stromung existieren verschiedeneAnsatze, deren Anwendbarkeit von der entsprechenden Rohrrauhig-keit und dem Reynolds-Zahl Bereich abhangt. Im vorliegenden Fall,bei dem von hydraulisch glatten Rohren und einem Reynolds-ZahlBereich von 3000 < Re < 106 ausgegangen werden kann, genugtder halbempirische Ansatz von Blasius zur Berechnung der Rohrrei-bungszahl [8].

λ =0.3164

4√

Re(13)

Formverluste

Formverluste beschreiben den Druckabfall bzw. -verlust in Rohrlei-tungskomponenten, der infolge von Umlenkungen, Vermischung, Ein-schnurung etc. entsteht. Aus einer Vielzahl existierender Formstuckewerden beispielhaft eine Stufenduse und ein Stufendiffusor naher be-schrieben. Die Gleichungen finden spater im Kap. 4.1.4 Anwendung,in dem die Modellierung des einphasigen Druckverlustes an einemKugelhahn erortert wird.

Bei einer unstetigen Erweiterung vom Querschnitt A1 auf den Quer-schnitt A2, die man auch Stufendiffusor nennt, tritt das stromendeFluid zunachst als geschlossener Strahl in den weiten Querschnittein und vermischt sich weiter stromabwarts unter Wirbelbildung mitdem umgebenden Fluid (siehe Abbildung 2(a)). Die kinetische Ener-gie der Stromung kann nur unter Verlusten durch Verzogerung inDruckenergie umgewandelt werden.Fur die Berechnung des fluidmechanischen Energieverlustes werdendie Kontinuitats-, Impuls- und Energiegleichungen herangezogen,wobei auf die Berucksichtigung der Wandreibung verzichtet wird.Fur die stationare Stromung liefern die uber den Bilanzraum 1-2integrierten Erhaltungsgleichungen (2), (5) und (7) die Beziehungen

w1 A1 = w2 A2 (14)

p1 A2 + ρw21 A1 = p2 A2 + ρw2

2 A2 (15)

p1 +1

2ρw2

1 = p2 +1

2ρw2

2. (16)

10 2 Grundlagen

p1

p1

p2

p2

v2v1 A1

A2

(1)(2)

(a) Stufendiffusor

v2 v1 A1

A2

AV

C

(1)

(2)

(b) Stufenduse

Abbildung 2: Stufendiffusor und Stufenduse einphasig durchstromt

Mit dem Querschnittsverhaltnis ω = A1/A2 erhalt man mit Glei-chung (14) und Gleichung (15)

(p2 − p1)Impuls = ρw21

(ω − ω2

)(17)

den Druckaufbau stromabwarts des Stufendiffusors. Dieser ist gerin-ger als der maximal mogliche Druckruckgewinn bei voll reversiblemVerhalten der Stromung,

(p2 − p1)reversibel =1

2ρw2

1

(1− ω2

)(18)

den die Energieerhaltung nach Gl. (16) voraussagt. Der Druckverlusteines Stufendiffusors bestimmt sich schließlich aus der Differenz zwi-schen der reversiblen Druckanderung nach Gl. (18) und dem Ergebnisdes Impulssatzes Gl. (17).

∆pV =1

2ρw2

1 (1− ω)2 (19)

In einer Stufenduse kommt es infolge der Verkleinerung desStromungsquerschnitts A1 auf den Querschnitt A2 zu einer Beschleu-nigung des Fluids (siehe Abbildung 2(b)). Dabei sinkt der Druck ent-lang des Stromfadens. Zudem erzwingt die scharfkantige Geometriedes Formstucks eine Einschnurung der ankommenden Stromung aufden Querschnitt AV C , die als Vena Contracta bezeichnet wird. Diesezunachst verengte Stromung erfahrt dann stromabwarts eine Erwei-terung auf den Querschnitt A2. Zwischen dem eingeschnurten Strahlund der Rohrwand entsteht ein Totwassergebiet mit Wirbelbildung,was einen Druckverlust zur Folge hat.


Der Druckabfall zwischen den Bilanzgrenzen (1-2) wird vereinfachtmit

∆p12 = ∆pBeschleunigung + ∆pV,Einschunrung

angesetzt. Wahrend der Beschleunigungsdruckabfall mit der Ande-rung des dynamischen Drucks zwischen den Bilanzgrenzen beschrie-ben werden kann, geht die Berechnung des Einschnurungsverlustsvon einem fluidmechanischen System – bestehend aus Duse und Stu-fendiffusor – aus. Der Verlust wird somit mit der Verlustbeziehungeines Stufendiffusors wiedergegeben (s.o.). Als wirksames Flachen-verhaltnis wird hierbei das Verhaltnis aus eingeschnurter zu offenerQuerschnittsflache angesetzt und als Kontraktionskoeffizient µ be-zeichnet.

µ =AV C

A2(20)

Der Druckabfall an einer Stufenduse wird z.B. bei Mayinger [9] mitfolgender Gleichung angegeben:

∆p12 =ρ

2w2

2

1−

(A2

A1

)2 +

ρ

2w2

2

(1− µ

µ

)2(21)

Diese Gleichung enthalt einen reversiblen und einen irreversiblenDruckanteil. Der irreversible Druckverlust

∆pV =ρ

2w2

2

(1− µ

µ

)2(22)

ist dabei vom Kontraktionsverhaltnis µ abhangig, das wiederum einevom Flachenverhaltnis A2/A1 abhangige empirische Große darstellt,die nach Perry [10] in Tab. 1 angegeben ist.

Tabelle 1: Einschnurungskoeffizienten nach Perry [10]

A2/A1 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

µ 0,586 0,598 0,625 0,686 0,790 1,0

12 2 Grundlagen

2.1.3 Grundlagen der Armaturenstromung

Rohrleitungsarmaturen beeinflussen den Durchfluss generell ubereine variable Einschnurung des Stromungskanals. Dabei sind zweiWirkprinzipien zu unterscheiden. Fur den Fall einer Ausflussarma-tur am Ende einer Rohrleitung, bei der die Ausstromgeschwindigkeitbei gleichbleibenden Druckgefalle nahezu konstant ist, wie beispiels-weise bei verstellbaren Dusen einer Peltonturbine, fuhrt die Quer-schnittsanderung unmittelbar zu einer Massenstrombeeinflussung.Fur eine Armatur dagegen, die in ein Rohrleitungssystem integriertist, wird die Beeinflussung des Durchflusses durch Energieumwand-lungen hervorgerufen, die die Exergie der Stromung verringern. DerWiderstand bei der Durchstromung der Anlage wird erhoht. Diesgeschieht durch die Erhohung des Druckverlustes mittels Energiedis-sipation, die durch Wirbelbildung und Reibungseffekte hervorgerufenwird. Dieser Zusammenhang wird mit

∆pV = ζAρ

2w2 (23)

mathematisch beschrieben. Der Verlustkennwert ζA der Armaturist dabei wesentlich von der Stromungsfuhrung und der Stellungdes jeweiligen Ventils abhangig. Abbildung 3 zeigt den Verlauf desDrucks uber eine beliebige Armatur. Aufgrund von Einschnurungdes Stromungskanals kommt es in der Armatur, infolge der Umwand-lung von statischem Druck in dynamischen Druck, zu einem starken

Abbildung 3: Druckverlauf uber eine Armatur


Druckabfall, der stromabwarts nur zu einem geringen Anteil durchVerzogerung der Stromung wieder zuruckgewonnen werden kann. Dieim System zur Verfugung stehende nutzbare Energie wird daher umden Anteil ∆pV /ρ verringert.

Fur alle Armaturen gilt der gleiche grundsatzliche Zusammenhangzwischen Druckverlust und Durchfluss.

∆pV = f(V ) ↔ V = f(∆pV )

Davon ausgehend wurden verschiedene, jedoch leicht ineinander um-rechenbare charakteristische Ventilkennwerte eingefuhrt, die einefunktionale Beschreibung des obengenannten Zusammenhangs lie-fern. Die beiden wichtigsten Kennwerte sollen im Folgenden erlautertwerden:

Tabelle 2: Armaturenkennwerte

Kennwert Definitionsgleichung

ζ ∆pV = ζρ

2w2

kv V = N0 kv

√2∆pV

ρ

N0 = 1/(5.09 · 104)

• Der Druckverlustbeiwert ζA [–] beschreibt den Verlust an derArmatur. Er wird insbesondere zur Berechnung der Rohrlei-tungskennlinie genutzt, wobei alle Rohreinbauten durch einenζ-Wert charakterisiert werden.

• Der Einheitsdurchfluss kv [m3/h] kennzeichnet den Volumen-strom in m3/h, der sich bei einem Druckverlust von ∆pV =1 bar, einer Dichte von ρ = 1000 kg/m3 und einer kinemati-schen Viskositat von ν = 1 · 10−6 m2/s einstellt. Der kV -Wertliefert eine sehr anschauliche Beschreibung der Durchflussbeein-flussung durch das Ventil.

14 2 Grundlagen

Tabelle 3: Kennwert-Umrechnungen

ζ kV

ζ –(

A

No kv

)2

kvA

N0

√ζ

–

2.1.3.1 Druckverlustbeiwert eines Kugelhahns

Kennzeichnend fur einen Kugelhahn ist der spharische Schließkorper,der gegenuber anderen Ventilbauarten den Stromungskanal anders-artig einschnurt. Demzufolge weichen die Druckverlustbeiwerte ei-nes Kugelhahns von denen herkommlicher Bauarten ab. Entspre-chende Verlustbeiwerte in Abhangigkeit der Ventilstellung bzw. desStellwinkels finden sich bei Idelchik [5]. Grundsatzlich ist jedoch dieBeeinflussung der Stromung vom Stellwinkel ϕ des Schließkorperssowie den geometrischen Verhaltnissen des jeweiligen Kugelhahnsabhangig. Eine dimensionslose Große, die sowohl den Einfluss desStellwinkels ϕ als auch den Einfluss des Rohr- zu KugeldurchmessersDRohr/DKugel berucksichtigt, stellt das Offnungsverhaltnis ω dar.

ω =Ae

A= f(ϕ,DRohr, DKugel) (24)

Es bezieht die fur die Stromung offene, jedoch verengte Querschnitts-flache Ae auf die Rohrquerschnittsflache A und gibt daher sehr an-schaulich Auskunft uber den Zusammenhang zwischen versperrtemund geoffnetem Stromungsquerschnitt. Der entsprechende funktiona-le Zusammenhang wird mit Gleichung (123) beschrieben. Die Herlei-tung dieser Gleichung ist im Anhang B zu finden.

Abbildung 4 stellt die tabellarischen Werte nach Idelchik [5] samteiner Ausgleichskurve dar. Daraus geht hervor, dass die Drosselwir-kung des Ventils erst ab einem Offnungsverhaltnis von ca. 60% si-gnifikant zunimmt. Mit zunehmender Versperrung des Stromungs-querschnitts, also abnehmendem Offnungsverhaltnis ω, wachst derDruckverlustbeiwert und damit der Druckabfall an der Armatur ex-ponentiell an. Der in der Darstellung gezeigte funktionale Zusam-


0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

20

40

60

80

100

Öffnungsverhältnis ω [−]

Dru

ckve

rlust

beiw

ert ζ

[−]

Abbildung 4: Druckverlustbeiwerte eines Kugelhahns nach Idelchik[5]

menhang zwischen dem Druckverlustbeiwert ζ und dem Offnungs-verhaltnis ω bzw. dem Stellwinkel ϕ des Kugelhahns basiert auf em-pirischen Werten. Eine physikalisch fundierte, analytische Gleichungfur die Berechnung des Druckverlustbeiwertes ist nicht bekannt.

2.1.3.2 Armatur im Stellbetrieb

Zu den grundlegenden Aufgaben einer Armatur gehort das Dros-seln bzw. Regeln oder das Absperren von stromenden Fluiden. Umdiesen Aufgaben gerecht zu werden, muss der Schließkorper des ent-sprechenden Ventils bewegt werden, um in seine finale Position zugelangen. Die Stellbewegung der Armatur bewirkt stets eine Ge-schwindigkeitsanderung der Stromung und damit einhergehend ei-ne Druckanderung im Rohrleitungssystem, die je nach Kompressi-bilitat des Fluids und je nach Geschwindigkeit der Stellbewegungsehr ausgepragt sein kann. Ob nun eine Flussigkeit naherungswei-se als inkompressibel betrachtet werden kann oder nicht, hangt vonden jeweiligen Verhaltnissen ab. Wird beispielsweise eine Rohrlei-tung plotzlich (∆tS → 0) geschlossen, wird auch bei Flussigkeiten,die annahernd inkompressibel sind, diese Naherung nicht zulassigsein. Dabei ist stets die Elastizitat des Fluids zu berucksichtigen,wobei sich jede Druckanderung mit Schallgeschwindigkeit sowohl inStromungsrichtung als auch entgegen der Stromungsrichtung aus-breitet. Damit wird die Druckanderung an jeder beliebigen Stelle

16 2 Grundlagen

des Systems durch Uberlagerung von zwei hin- und herlaufendenDruckwellen bestimmt. Bei relativ langsamer Schließbewegung dage-gen kann die Flussigkeit als inkompressibel betrachtet werden, da dieDruckwellen wahrend der Stellbewegung so oft hin- und herlaufen,dass naherungsweise von einer unendlich großen Schallgeschwindig-keit ausgegangen werden kann.

Fur den Fall einer inkompressiblen Stromung bzw. einer Flussigkeits-stromung bei langsamen Stellbetrieb kann der interessierende Druck-anstieg aufgrund der Verzogerung der Flussigkeitssaule der Dichteρ in einem Rohr der Lange ÃL mit dem Impulssatz Gleichung (4)unter Vernachlassigung des Reibungseinflusses folgendermaßen be-schrieben werden:

∆p = ρLdw

dt(25)

Die im Rohr enthaltene Flussigkeit der Lange L wird dabei wie einstarrer Korper behandelt.

Bei einem kompressiblen Fluid und sehr kurzer Schließzeit (∆tS → 0)wird der Druckanstieg mit der Gleichung nach Joukowsky beschrie-ben [12][14]. Die Geschwindigkeit w0 wird dabei auf w = 0 verzogert.Es tritt ein Druckstoß der Große

∆p = ±a ρ w0 (26)

auf. Mit a wird die Schallgeschwindigkeit bzw. die Druckwellenaus-breitungsgeschwindigkeit bezeichnet, die sich fur stromende Flussig-keiten in elastischen Rohren zu

a =

√√√√√EF

ρ

1

1 + Ds

EF

ER

(27)

berechnet. Es bedeuten dabei EF bzw. ER das Elastizitatsmodul derFlussigkeit bzw. des Rohres, D der Rohrdurchmesser und s die Rohr-wandstarke.

Gleichung (26) leitet sich aus der Impulsgleichung (5) und der mit

a2 =∂p

∂ρ(28)


modifizierten Kontinuitatsgleichung (2) ab. Unter Voraussetzung derReibungsfreiheit erhalt man die Druckstoßgleichungen [14].

∂w

∂t+ w

∂w

∂z+

1

ρ

∂p

∂z= 0 (29)

∂w

∂z+

1

ρ a

(∂p

∂t+ w

∂p

∂z

)= 0 (30)

Grundsatzlich wird bei der Phanomenologie des instationarenSchließvorgangs nach zwei Zeitraumen unterschieden, innerhalb de-rer das Ventil schließt. Das Kriterium ist die Laufzeit der Druckwelle2 L

a .

∆tS < 2 La :

Wird das Ventil geschlossen, so lauft eine unmittelbar stromauf derArmatur entstandene Druckwelle mit der Geschwindigkeit a zunachststromaufwarts bis zum Ende der Rohrleitung der Lange L bzw. zumersten Verzweigungspunkt, wo diese Welle im Falle eines offenen Roh-rendes vollstandig, im Falle einer Verzeigung teilweise negativ reflek-tiert wird und sich als Druckentlastungswelle stromab ausbreitet. Istdie Schließzeit ∆tS geringer als die Laufzeit 2L/a der stromauf undstromab laufenden Druck- bzw. Druckentlastungswelle, ist das Ventilbereits geschlossen, wenn die Welle wieder an der Armatur ankommt.Es kommt zum so genannten direkten Flussigkeitsstoß, der mit Glei-chung (26) berechnet werden kann.

∆tS > 2 La :

Trifft dagegen die reflektierte Wellenfront wieder am Ventil ein,wahrend sich dessen Querschnitt noch verandert, also ∆tS > 2L/aist, kommt es zu einer Uberlagerung der durch die Schließbewe-gung entstehenden Druckwelle und der negativ zuruckgeworfenenDruckentlastungswelle. Man spricht vom Stoß und Gegenstoß. DieDruckhohe vor dem Absperrorgan nimmt also nur bis zum Eintreffender zuruckgeworfenen Druckentlastungswelle genauso zu wie beimunendlich langem Rohr. Nach Eintreffen der Unterdruckwelle ist derDruckanstieg wesentlich geringer.

18 2 Grundlagen

Diese Phanomene werden mit Abbildung 5 verdeutlicht. Bei Schließ-zeiten ∆tS < 2 L

a tritt der maximale Druckanstieg auf, der mit Glei-chung (26) berechnet wird. Bei zunehmender Schließzeit wird derDruckanstieg wesentlich geringer und wird von den Randbedingun-gen gepragt.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 240

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

∆p /

ρ a

w0

∆tS a / L

Abbildung 5: Abhangigkeit des Druckanstiegs von der Schließzeit

Die Ergebnisse der Abbildung 5 wurden mittels numerischer Berech-nung der Druckstoßgleichungen (29) und (30) erzielt. Die Beschrei-bung des Verfahrens ist bei Thielen [14] und Liou [15] erklart.

2.2 Adiabate Gas-Flussigkeits-Gemische 19

2.2 Adiabate Gas-Flussigkeits-Gemische

Zweiphasige Rohrstromungen sind Stromungen, in denen Fluidezwei verschiedener Aggregatzustande im Gemisch vorhanden sind.Meist handelt es sich dabei um Gas-Flussigkeits-Gemische, wobeidie beiden Fluide entweder aus demselben Stoff, wie bei einemWasser-Wasserdampf-Gemisch, oder aber aus unterschiedlichen Stof-fen bestehen konnen, wie beispielsweise ein Wasser-Luft-Gemisch.Bei Flussigkeits-Dampf-Gemischen kann durch Druck oder Tem-peraturanderungen Dampf kondensieren oder Flussigkeit verdamp-fen, wodurch sich der Massenanteil der Komponenten verandert. Inzweiphasigen Stromungen mit nicht kondensierbaren Gasen fuhrenDruckanderungen zu einer Expansion oder Kompression der Gas-phase, wodurch sich deren Volumenanteil zwar andert, der Massen-anteil jedoch konstant bleibt. Deshalb konnen Gemische aus nichtkondensierbaren Gasen und Flussigkeiten meist ohne Berucksichti-gung des thermodynamischen Gleichgewichts behandelt werden. Dadie Stromung eines Wasser-Luft-Gemisches Gegenstand der vorlie-genden Untersuchung ist, beschranken sich die folgenden Betrach-tungen auf adiabate Gas-Flussigkeits-Gemische.

2.2.1 Allgemeine Definitionen

In diesem Kapitel werden die wesentlichen dimensionslosen Kenn-großen und Bezeichnungen erlautert, die der Beschreibung der Zwei-phasenstromung dienen und die Grundlage fur das Verstandnis derweiteren Erklarungen und Beschreibungen darstellen. Um unterschei-den zu konnen, ob sich eine Große auf die flussige oder gasformigePhase bezieht, werden diese mit den Indizes F (Flussigkeit) und G

(Gas) versehen. So wird der Gesamtmassenstrom M als die Summeder Teilmassenstrome des Gases MG und der Flussigkeit MF bezeich-net,

M = MG + MF (31)

20 2 Grundlagen

wobei der Massenstrom jeder Phase k mit folgender Beziehung an-gesetzt wird:

Mk = ρk wk Ak k = G,F (32)

Demgemaß entspricht der Gesamtvolumenstrom V der Summe dereinzelnen Teilvolumenstrome.

V = VG + VF (33)

Mit diesen beiden Gleichungen lassen sich Bezugsgroßen bilden, dieden Anteil des Gasstroms am gesamten Mengenstrom entweder mas-senbezogen oder volumetrisch darstellen. Fur den massenbezogenenStromungsgasgehalt x, der das Verhaltnis aus Gas- und Gesamtmas-senstrom bildet, gilt:

x =MG

M. (34)

Entsprechend wird das Verhaltnis aus Gasvolumenstrom VG und Ge-samtvolumenstrom V als volumetrischer Stromungsgasgehalt ε be-zeichnet:

ε =VG

V(35)

In der Literatur findet sich haufig die Massenstromdichte m, worun-ter der Massenstrom der jeweiligen Phase pro Querschnittsflache zuverstehen ist.

mG =MG

A(36)

mF =MF

A(37)

m =M

A(38)

Sind die Dichten der Phasen bekannt, konnen mit den eben genann-ten Beziehungen die Leerrohr-Geschwindigkeiten, die auch als Volu-menstromdichten bekannt sind, berechnet werden:

jG =mG

ρG=

MG

ρG A(39)

jF =mF

ρF=

MF

ρF A(40)


Darunter versteht man diejenigen Geschwindigkeiten, die das Gasbzw. die Flussigkeit annehmen wurde, wenn sie alleine undgleichmaßig uber den Querschnitt verteilt im Rohr stromen wurden.Diese Geschwindigkeiten stellen keine physikalische Große im eigent-lichen Sinne dar, sie sind vielmehr fiktive Hilfsgroßen.

Statt der durch das Bilanzgebiet stromenden Phasen werden auchdie momentan in einem Bilanzvolumen vorhandenen Quantitatenbetrachtet. Dies fuhrt zur Beschreibung des lokalen volumetrischenGasgehalts:

ε =VG

V≡ AG

A(41)

Dieser ist bei gleicher Lange der einzelnen Volumina aquivalent derPhasenverteilung im Rohrquerschnitt. Analog dazu bezieht der loka-le massenbezogene Gasgehalt die im Bilanzvolumen befindliche Gas-masse auf die Gesamtmasse, bestehend aus Gas und Flussigkeit:

x =MG

M(42)

Mit Kenntnis der lokalen Großen der Gleichung (41) sind die mittle-ren Stromungsgeschwindigkeiten aus den Massenstromen der jewei-ligen Phase zu ermitteln:

MG = ρG wG AG = ρG wG εA

MF = ρF wF AF = ρF wF (1− ε) A

⇒ wG =MG

ρG εA=

jG

ε(43)

⇒ wF =MF

ρF (1− ε) A=

jF

1− ε(44)

2.2.2 Erhaltungsgleichungen der Zweiphasenstromung

Analog zur Flussigkeitsstromung folgen auch die Gas-Flussigkeits-Gemische den Gesetzmaßigkeiten der Erhaltungsgleichungen furMasse, Impuls und Energie. Je nach gewahlter Betrachtungswei-se stellen sich jedoch die entsprechenden Gleichungen unterschied-

22 2 Grundlagen

lich dar. Grundsatzlich wird nach dem homogenen und heteroge-nen Modell unterschieden. Wobei sich letzteres in einen gemischtenund einen separierten Ansatz untergliedert. Im Folgenden werdendie drei Ansatze vorgestellt. Der homogene und der heterogene ge-mischte Ansatz werden im Wesentlichen fur das Verstandnis der Ka-pitel 2.2.5 und 4.2 benotigt. Daher wurde aufgrund der dort durch-gefuhrten stationaren Betrachtungen des Gas-Flussigkeits-Gemischesauf die instationare Form dieser beiden Satze an Erhaltungsgleichun-gen verzichtet. Der dritte Ansatz, der auf einer heterogenen Modell-vorstellung, bei der beide Phasen separiert stromen, basiert, wirddagegen in seiner instationaren Form vorgestellt. Diese Gleichungenstellen insbesondere die Grundlagen fur die Ausfuhrungen des Kapi-tels 5 dar, in dem der dynamische Ventilbetrieb untersucht wird.

2.2.2.1 Homogener Ansatz

Der einfachste und mathematisch am leichtesten zu handhabendeAnsatz ist die Vorstellung einer homogenen eindimensionalen Zwei-phasenstromung. Bei diesem Modell stromen Flussigkeit und Gasmit derselben und daruberhinaus im gesamten Querschnitt konstan-ten Geschwindigkeit. Mathematisch wird das Zweiphasen-Gemischals ein einphasiges Fluid mit der Gemisch-Dichte ρh behandelt.

1

ρh=

x

ρG+

1− x

ρF(45)

Die fiktive Transportgeschwindigkeit des Gas-Flussigkeit-Gemischeswh wird mit dem Gesamtmassenstrom M und der Gemisch-Dichteρh wie folgt bestimmt:

wh =M

ρh A=

(x

ρF

ρG+ 1− x

)M

ρF A(46)

Ersetzt man die Dichte ρ und die Geschwindigkeit w der einphasi-gen Erhaltungsgleichungen nach Gleichung (2)-(8) durch diese Bezie-hungen, erhalt man damit die Kontinuitats-, Impuls- und Energie-gleichung fur ein homogen verteiltes, stationar stromendes adiabatesGas-Flussigkeits-Gemisch.


∂(ρh wh)

∂z= 0 (47)

wh∂wh

∂z= − ∂p

∂z− τ

U

A(48)

∂

∂z

p

ρh+

w2h

2

= 0 (49)

Obwohl, wie oben erwahnt, die Betrachtung der Zweiphasenstromungals ein Pseudofluid mit phasengewichteten Stoffgroßen eine extremeVereinfachung der physikalischen Realitat darstellt, zeigt sich den-noch, dass gerade bei annahernd gleichen Transportgeschwindigkei-ten der beiden Phasen – wie dies beispielsweise bei einer feindispersenBlasenstromung der Fall ist – die Nutzung der homogenen Erhal-tungsgleichungen zu guten Ergebnissen fuhrt (vgl. Wallis [20]).

2.2.2.2 Heterogener gemischter Ansatz

Eine detailliertere Betrachtung der Zweiphasenstromung liefert dieModellvorstellung eines heterogenen Gemisches, bei dem die un-terschiedlichen Geschwindigkeiten der einzelnen Phasen nicht zueiner Gemisch-Geschwindigkeit gemittelt, sondern anteilsmaßig inden Erhaltungsgleichungen berucksichtigt werden. Die anteilsmaßigeBerucksichtigung wird mit dem lokalen volumetrischen Gasgehalt ε(Gleichung(41)) ausgedruckt, da dieser per Definition die Phasenver-teilung im Stromungsquerschnitt beschreibt. Jedoch werden diesemMischungsansatz Phasenkopplungsterme, wie beispielsweise der Im-pulsaustausch an der Phasengrenze, nicht berucksichtigt.

Die folgenden Gleichungen sind die Erhaltungsgleichungen fur Masse,Impuls und Energie der stationaren, adiabaten Zweiphasenstromung.

∂

∂z(ε ρG wG + (1− ε) ρF wF ) = 0 (50)

∂

∂z

(ε ρG w2

G + (1− ε) ρF w2F

)= − ∂p

∂z− τ

U

A(51)

24 2 Grundlagen

∂

∂z

ε ρG wG

p

ρG+

w2G

2

+ (1− ε) ρF wF

p

ρF+

w2F

2

= 0 (52)

2.2.2.3 Heterogener separierter Ansatz

Im Gegensatz zum homogenen wie auch zum heterogenen Mischungs-ansatz, bei denen die Phasenkopplung an der Phasengrenzflache un-berucksichtigt bleibt, werden beim separierten Stromungsmodell so-wohl die Gasphase als auch die Flussigphase als getrennt vonein-ander fließend betrachtet. Dies hat zur Folge, dass fur jede Phaseein Satz von Erhaltungsgleichungen aufgestellt wird und die Pha-senkopplung, also der Austausch von Masse, Impuls und Energie ander Phasengrenze, uber Quell- und Senkenterme beschrieben wird.Dieses Modell der Zweiphasenstromung kommt vor allem in nume-rischen Stromungs-Codes zur Anwendung, wie beispielsweise ATH-LET, auf den im Kapitel 5 naher eingegangen wird. Die folgendenGleichungen geben die Erhaltungsgleichungen fur den Fall der ein-dimensionalen adiabaten Gas-Flussigkeitsstromung wieder. Da kei-ne Phasenubergange stattfinden, kann der damit zusammenhangen-de Austausch von Masse und Energie aufgrund von Kondensationund Verdampfung an der Phasengrenze unberucksichtigt bleiben. ImFolgenden wird zur Vereinfachung der Darstellung der Erhaltungs-gleichungen fur Masse, Energie und Impuls der volumetrische Gas-bzw. Flussigkeitsanteil mit εk k = G,F bezeichnet. Komponentenbezogene Großen, wie die Geschwindigkeit w, werden ebenfalls mitk = G,F indiziert.

∂

∂t(εk ρk) +∇ (εk ρk ~wk) = 0 (53)

∂

∂t

(εkρk

(hk +

1

2~wk ~wk − p

ρk

))+ (54)

∇(εkρk

(hk +

1

2~wk ~wk

))= − p

∂εk

∂tQuellenterme + SE,k


∂

∂t(εkρk ~wk) +∇ (εkρk ~wk ~wk) +∇(εk p) = (55)

Zwischenphasenreibung ∓ ~τi

Wandreibung + εk~fW

Quellenterme ,z.B. Pumpe,Ventil + SI,k

Die aufgefuhrten Gleichungen sind das 6-Gleichungsmodell. Alterna-tiv konnen die zwei separierten Impulsgleichungen zu einer gesamtenImpulsgleichung des Zweiphasen-Gemisches kombiniert werden. Manerhalt so das 5-Gleichungsmodell. Dabei werden die einzelnen Pha-sengeschwindigkeiten und -dichten zur homogenen Geschwindigkeitwh (Gleichung (46))und homogenen Dichte ρh (Gleichung (45)) zu-sammengefasst. Im Gegensatz zum 6-Gleichungsmodell, bei dem ei-ne detaillierte Modellierung der Phasenkopplung erfolgen muss, kannbeim 5-Gleichungsmodell mit einer homogenen Masse gerechnet wer-den. Die Phasen werden uber das sog. Drift-Flux Modell [20][22] ge-koppelt.

∂ (ρh ~wh)

∂t− ~wh

∂ρh

∂t+ ρh ~wh∇ ~wh+ (56)

∇(ε(1− ε)

ρGρF

ρh~wR ~wR

)+∇p =

Wandreibung + ~fW

Sonstige Quellterme + SI,h

Die Modifikation der Gleichungen des 6- wie auch des 5-Gleichungsmodells wird hinsichtlich ihrer Implementation in den Sy-stemcode ATHLET im Kapitel 5.1 im Zusammenhang mit der Simu-lation des dynamischen Schließvorgangs naher beschrieben.

Fur die Losung der Gleichungen, die mit dem heterogenen Modellformuliert sind, ist insbesondere die Kenntnis der lokalen Phasen-verteilung von Bedeutung, da mit dieser nicht nur der Anteil derjeweiligen Phase im Stromungsquerschnitt festgelegt wird, sondernauch die lokalen mittleren Geschwindigkeiten wG sowie wF aus denMassenstromen zu bestimmen sind. Der lokale Gasgehalt ε = f(x, t)ist jedoch von Ort und Zeit und somit vor allem von der auftretenden

26 2 Grundlagen

Stromungsform abhangig. Daher muss der Losung der Gleichungenimmer eine detaillierte Analyse der Stromungsformen der horizon-talen Rohrstromung und deren Abhangigkeit von den zustromendenQuantitaten vorausgehen.

2.2.3 Stromungsformen der horizontalen Gas-Flussigkeits-stromung

Die Ausbildung der Phasengrenzen und die Verteilung der Phasenim Gemisch wird von verschiedenen Kraften beeinflusst. Dabei istnach vertikaler und horizontaler Stromungsfuhrung zu unterschei-den. Je nach Verhaltnis der an den Phasen angreifenden Druck-,Gravitations- und Oberflachenspannungskrafte stellen sich unter-schiedliche Stromungsregimes ein. Diese Krafte werden insbesonderedurch den Gasgehalt sowie die Stromungsgeschwindigkeiten beein-flusst.

Bei geringem Gasgehalt und kleinen Stromungsgeschwindigkeitenentsteht die so genannte Blasenstromung, bei der sich die Gasphasein diskontinuierlich verteilten Blasen im oberen Bereich des Rohresbefindet.

Abbildung 6: Blasenstromung

Erhoht man den Gasgehalt, koalieren die Gasblasen zu Kolbenblasen,es entsteht eine Kolbenblasenstromung.

Abbildung 7: Kolbenblasenstromung

Durch eine weitere Erhohung des Gasanteils erreicht man bei weiter-


hin geringen Stromungsgeschwindigkeiten eine nahezu vollstandigeTrennung der beiden Phasen, die dann in zwei ubereinander lie-genden Schichten stromen. Diese Stromungsform wird Schichten-stromung genannt.

Abbildung 8: Schichtenstromung

Wird bei konstantem Gasgehalt die Stromungsgeschwindigkeiterhoht, beginnen sich aufgrund der Schubspannungskrafte an derPhasengrenzflache Wellen auszubilden.

Abbildung 9: wellige Schichtenstromung

Bei weiterer Vergroßerung der Geschwindigkeit stellt sich einePfropfen- bzw. Schwallstromung ein. Dabei bauen sich die Wellenzu einem Flussigkeitsschwall auf, der den gesamten Rohrquerschnitteinnehmen kann.

Abbildung 10: Pfropfen-/Schwallstromung

Bei hohen Stromungsgeschwindigkeiten der Gasphase uberwiegen dieStromungskrafte die Schwerkraft, und die flussige Phase bildet einenringformigen Flussigkeitsfilm an der Rohrwand aus.

Abbildung 11: Ringstromung

28 2 Grundlagen

Bei noch geringerem Flussigkeitsanteil und sehr hohen Stromungsge-schwindigkeiten des Gases lost sich der Flussigkeitsfilm auf, und dieflussige Phase befindet sich in Form von sehr feinen Nebeltropfchenin der Gasphase. Es wird dann von einer Nebel- oder Spruhstromunggesprochen.

Die Kenntnis der Phasenverteilung und der Stromungsform einesZweiphasen-Gemisches ist nicht nur fur theoretische Analysen vonBedeutung, fur die insbesondere Informationen uber die Großender Phasengrenzflachen zur Modellierung des Massen-, Impuls- undEnergieaustausches der Phasen benotigt werden. Auch fur die Aus-legung von Apparaten und Anlagen spielt die Vorhersage der zu er-wartenden Phasenverteilung eine Rolle, da vor allem diskontinuier-liche Stromungsformen wie die Pfropfen- oder Schwallstromung einegroße mechanische Belastung fur Armaturen und Rohrleitungskom-ponenten darstellen. Wissenschaftliche Arbeiten, die die horizontaleGas-Flussigkeits-Stromung in Abhangigkeit von den zustromendenQuantitaten in sog. Stromungsbilderkarten einordnen, wurden unter

0.1 1.0 10 1000.01

0.1

1.0

10

Leerrohr Geschwindigkeit jG

[m/s]

Leerr

ohr

Geschw

indig

keit j

F [m

/s]

Blasenströmung

Kolbenblasen-

strömung

Pfropfen-, Schwallströmung

,

Schichtenströmung wellige

Schichten-

strömung

Ring-,

Sprühströmung

Abbildung 12: Stromungsbilderkarte nach Mandhane [24] fur hori-zontale Rohrstromung


anderem von Baker [23], Mandhane [24] und Taitel [25] veroffent-licht. Abbildung 12 zeigt die Stromungsbilderkarte nach Mandhane,in der die Leerrohr-Geschwindigkeit der Flussigkeit der des Gases ge-genuber gestellt ist. Durch Auftragen der jeweiligen Phasengeschwin-digkeit lassen sich die zu erwartenden Stromungsformen bestimmen.

2.2.4 Lokaler volumetrischer Gasgehalt ε und Schlupf s

Die vorausgegangenen Ausfuhrungen machen deutlich, dass der Be-stimmung des ortlichen volumetrischen Gasgehalts ε eine besondereBedeutung zukommt. Eines der ersten Rechenmodelle zur Bestim-mung von ε, basierend auf analytischen Uberlegungen, stammt vonBankhoff [32]. Die Modellvorstellung geht von einer homogenen Ge-schwindigkeit des Gas-Flussigkeits-Gemisches aus, dessen Gemisch-dichte von der Mitte zur Wand zunimmt. Bankhoff legt daher eineradiale Verteilung der Gemischgeschwindigkeit zugrunde.

w(r)

wmax=

(r

R

) 1m

(57)

Analog dazu wird angenommen, dass die radiale Verteilung des volu-metrischen Gasgehalts ε(r) durch eine ahnliche Funktion dargestelltwerden kann.

ε(r)

εmax=

(r

R

) 1n

(58)

Die Geschwindigkeit w(r) und der Gasgehalt ε(r) sind uber die Kon-tinuitatsgleichung miteinander verknupft. Integriert man diese Glei-chung uber den Querschnitt, mundet dies in den Querschnitt gemit-telten Gasgehalt ε der mit der Beziehung

ε =K

1 + 1−xx

ρG

ρF

= K ε (59)

ausgedruckt werden kann. Der so genannte Stromungsfaktor K kannuber die in Gleichung (57) und (58) getroffenen Annahmen zu

K =2 (m + n + mn) (m + n + 2 mn)

(n + 1) (2 n + 1) (m + 1) (2 m + 1)(60)

30 2 Grundlagen

berechnet werden. Abhangig vom zugrunde gelegten Stromungsprofilbewegt sich dieser Parameter zwischen 0.5 und 1.

Die Aussagekraft dieses Modells hangt ganz wesentlich von der rich-tigen Charakterisierung des Stromungsprofils ab. Nach Bankhoff be-wegt sich der Parameter K fur die horizontale Zweiphasenstromungzwischen 0.6 und 0.95. Wallis [20] und Chisholm [21] grenzten die-sen Bereich ein und setzten den Stromungsfaktor K zu 0.84. DieGultigkeit dieses Faktors besteht in einem weiten Bereich des volu-metrischen Stromungsgasgehalts ε (K = 0.84 fur 0 < ε ≤ 0.9). DieGleichung zur Berechnung des lokalen volumetrischen Gasgehalts ε

einer horizontalen Kolbenblasen-, Pfropfen- oder Schwallstromunggibt Wallis [20] und Chisholm [21] daher an mit

ε = 0.84 ε. (61)

Fur hohere Stromungsgasgehalte (ε > 0.9) wird von Chisholm dieGleichung nach Massena [35] angegeben:

ε = (K + (1−K) x) ε (62)

Anstelle des volumetrischen Gasgehalts ε wird haufig eine Beziehungverwendet, die den Schlupf, also das Verhaltnis der Gas- und derFlussigkeitsgeschwindigkeit,

s =wG

wF(63)

beschreibt und mit dem Gasgehalt ε verknupft ist.

s =x

1− x

1− ε

ε

ρF

ρG(64)

2.2.5 Druckverlust der Zweiphasenstromung

Der Druckverlust wird nicht alleine durch die Schubspannung an derRohrwand, sondern, vor allem in zweiphasigen Stromungen, auchdurch Reibungsverluste innerhalb der Stromung verursacht. Durchdie teils unterschiedlichen Stromungsgeschwindigkeiten der beiden


Phasen werden feine Tropfen der flussigen Phase in der Gasstromungkurzzeitig beschleunigt. Die dabei aufgenommene Energie wird durchDissipation in Form von Warme abgegeben, und fuhrt so zu ei-nem bleibenden Druckverlust. In einer Ringstromung fuhrt auch diestandige Kompression und anschließende Expansion der Gasphase,die durch die Welligkeit des Flussigkeitsfilms verursacht wird, zu ei-ner Beschleunigung mit anschließender Energiedissipation und damitzu einem Druckverlust.

2.2.5.1 Zweiphasenmultiplikator Φ

Fur diese außerst komplexen Phanomene gibt es keine analyti-schen Beschreibungen. Die meisten Modelle zur Beschreibung desDruckverlustes in Zweiphasenstromungen beruhen auf dem von Mar-tinelli und Nelson eingefuhrten Zweiphasenmultiplikator Φ. DerZweiphasenmultiplikator bezieht den Druckverlust der zweiphasigenStromung auf den einer einphasigen Vergleichsstromung. Dabei wirdzwischen einem auf eine Gasstromung bezogenen Multiplikator ΦG

und einem auf eine Flussigkeit bezogenen Multiplikator ΦF unter-schieden.

∆p2ph = ∆p1ph,G · Φ2G (65)

∆p2ph = ∆p1ph,F · Φ2F (66)

Die Bezugsgroße, der einphasige Druckverlust, wird jeweils mit demMassenstrom des stromenden Gases oder der Flussigkeit berechnet.Durch die quadratische Form des Zweiphasen-Multiplikators wird dieexponentielle Zunahme des zweiphasigen Druckverlustes mit steigen-dem Gasgehalt berucksichtigt.

In der Praxis ist es jedoch oft zweckmaßiger, den Druckabfall desGemisches mit Hilfe des gesamten Massenstroms auszudrucken.

∆p2ph = ∆p1ph,Fo · Φ2Fo (67)

Fur die Berechnung des einphasigen Druckverlustes wird davonausgegangen, dass der Gesamtmassenstrom des Gas-Flussigkeits-Gemisches vollstandig flussig stromen wurde. Der dieser Betrach-

32 2 Grundlagen

tungsweise zugrunde liegende modifizierte Zweiphasen-MultiplikatorΦ2

Fo wird haufig mit dem Formelzeichen R (vgl. [36][9]) dargestellt.

Auf Basis der homogenen oder der heterogenen Betrachtung derZweiphasenstromung lassen sich Beziehungen fur den Zweiphasen-Multiplikator eines beliebigen fluiddynamischen Hindernisses ablei-ten. Der Zweiphasen-Multiplikator steht stets im Zusammenhangmit dem fiktiven einphasigen Druckabfall ∆p1ph,Fo an einem Hin-dernis, der sich ergeben wurde, wenn die Masse des stromenden Gas-Flussigkeits-Gemisches – hier angesetzt mit der Massenstromdichtem – als reine Flussigkeit vorliegen wurde.

∆p1ph,Fo = ζρF

2

(m

ρF

)2

(68)

Ausgehend von einer homogenen Zweiphasenstromung ist der zwei-phasige Druckabfall an einem Hindernis mit folgender Gleichung zuberechnen. Die homogene Gemischdichte ρh bestimmt sich nach Glei-chung (45).

∆p2ph,h = ζρh

2

(m

ρh

)2

(69)

Unter der Voraussetzung, dass der Druckverlustbeiwert ζ des ent-sprechenden Hindernisses bei einphasiger wie zweiphasiger Stromungden gleichen Wert aufweist, ergibt sich nach Umstellung von Glei-chung (67) basierend auf der homogenen Modellvorstellung der ho-mogene Zweiphasen-Multiplikator.

Φ2Fo,h =

ρF

ρh= 1 + x

(ρF

ρG− 1

)(70)

Es fallt auf, dass der Multiplikator mit zunehmendem Gasgehaltx steigt. Bei der Grenzwertbetrachtung fur x → 1, also reinerGasstromung, nahert sich der homogene Zweiphasen-Multiplikatorasymptotisch dem Dichteverhaltnis ρF/ρG.

limx→1

Φ2Fo,h =

ρF

ρG


Eingesetzt in Gleichung (67) wird aus dem zweiphasigen Druckver-lust ∆p2ph,h der einphasige Druckverlust bei reiner Gasstromung.Die Formulierung des homogenen Zweiphasen-Multiplikators Φ2

Fo,h

ist daher schlussig, da gilt:

limx→0

∆p2ph,h = ∆p1ph,F

limx→1

∆p2ph,h = ∆p1ph,G

Die Herleitung des modifizierten Zweiphasen-Multiplikators auf derGrundlage der heterogenen Betrachtung der Zweiphasenstromung ge-staltet sich ahnlich. Der einphasige Druckverlust wird analog zurHerleitung des homogenen Zweiphasen-Multiplikators gemaß Glei-chung (68) definiert. Fur den zweiphasigen Druckabfall wird der Ein-fluss der Gas- und Flussigkeitsphase getrennt betrachtet und uberden volumetrischen Gasgehalt ε gemaß des Anteils am Stromungs-querschnitt gekoppelt. Umformungen mit den Gleichungen (34) und(38) fuhren zum Ansatz nach Gleichung (71).

∆p2ph,het =ζ

2

(ε ρG w2

G + (1− ε) ρF w2F

)(71)

= ζρF

2

(m

ρF

)2 x2

ε

ρF

ρG+

(1− x)2

1− ε

Nach Umstellung von Gleichung (67) folgt mit den Gleichungen (68)und (71) der heterogene Zweiphasen-Multiplikator fur ein beliebigesHindernis. Auch hierbei wird von gleichen Druckverlustbeiwerten ζ

fur die einphasige als auch fur die zweiphasige Stromung ausgegan-gen.

Φ2Fo,het =

x2

ε

ρF

ρG+

(1− x)2

1− ε(72)

Auch dieser Mulitplikator steigt mit zunehmendem Gasgehalt. Je-doch im Gegensatz zum homogenen Zweiphasen-Multiplikator ΦFo,h

entzieht sich der heterogene Zweiphasen-Multiplikator ΦFo,het deranalytischen Grenzwertbetrachtung, da eine gegenseitige Abhangig-keit des volumetrischen Gasgehalts ε und des massenbezogenen

34 2 Grundlagen

Stromungsgasgehalts x vorliegt. Ein allgemein gultiger expliziter Zu-sammenhang dieser beiden Großen ist nicht bekannt. Betrachtet mandagegen Gleichung (71), so ist mit zunehmendem Gasgehalt (ε → 1)der zweiphasige heterogene Druckverlust ∆p2ph,het gleich dem einpha-sigen bei reiner Gasstromung. Es gilt:

limε→0

∆p2ph,het = ∆p1ph,F

limε→1

∆p2ph,het = ∆p1ph,G

2.2.5.2 Reibungsdruckverlust

In der Literatur finden sich viele Ansatze zur Berechnung des Rei-bungsdruckverlustes einer adiabaten Zweiphasenstromung. Das ersteund nach wie vor gebrauchlichste und einfachste Verfahren beruht aufden Arbeiten von Martinelli et al. [38] [39].

(∆p

∆L

)

2ph=

Φ2G,Martinelli

( ∆p∆L

)1ph,G

Φ2F,Martinelli

( ∆p∆L

)1ph,F

Dabei wird der einphasige Reibungsdruckverlust nach den bekanntenMethoden gemaß Kapitel 2.1.2 mit den Stromungsgroßen der jewei-ligen kontinuierlichen Phase berechnet. Die Multiplikation mit demZweiphasen-Multiplikator nach Lockhardt-Martinelli fuhrt zum Rei-bungsdruckabfall einer adiabaten Zweiphasenstromung. Bei der Be-stimmung des entsprechenden Zweiphasen-Multiplikators unterschei-det Martinelli nach der Flussigkeit oder dem Gas als kontinuierlichePhase des Gemisches und gibt folgende Gleichungen an:

Φ2G,Martinelli = 1 + C X + X2 (73)

Φ2F,Martinelli = 1 +

C

X+

1

X2 (74)

Der Parameter C ist eine Konstante, die vom Charakter derStromung – laminar oder turbulent – abhangt. Der jeweilige


Stromungszustand wird durch Reynolds-Zahl charakterisiert, die sichbei alleiniger Stromung jeder Phase im Rohr ergeben wurde. Die un-terschiedlichen Werte von C sind in Tabelle 4 dargestellt.

Tabelle 4: Werte der Konstante C

Flussigkeit Gas C

turbulent turbulent 20

laminar turbulent 12

turbulent laminar 10

laminar laminar 5

Der Parameter X bezeichnet die nach Martinelli benannte Kennzahl,die er durch Ahnlichkeitsbetrachtungen und Dimensionsanalyse de-finierte. Fur den vollturbulenten Fall – Gas und Flussigkeit stromenturbulent – gibt Martinelli folgende Beziehung fur seinen Parameteran.

Xtt =

(ρG

ρG

)0.5 (ηF

ηG

)0.1 (1− x

x

)0.9

(75)

Der Index tt weist auf den vollturbulenten Charakter des Gas-Flussigkeits-Gemisches hin. Die Exponenten der Gleichung wurdenempirisch ermittelt.

2.2.5.3 Formverlust an einer stufenartigen Erweiterungund Verengung

Bei der Berechnung des zweiphasigen Druckverlustes an einem Stu-fendiffusor bzw. einer Stufenduse [42][43][44] geht man davon aus,dass die dabei auftretenden physikalischen Phanomene der Einpha-senstromung ahnlich sind. Die Aufstellung der homogenen bzw. he-terogenen zweiphasigen Impuls- und Energiegleichung erfolgt daheranalog der einphasigen Vorgehensweise, die bereits im Kapitel 2.1.2phanomenologisch eingehend erlautert wurde. Die im Folgenden her-geleiteten Gleichungen werden im Kapitel 4.2.2 fur die Modellierungdes zweiphasigen Druckverlustes am Kugelhahn benotigt.

36 2 Grundlagen

Fur den Stufendiffusor werden die heterogene Impuls- und Ener-gieerhaltungsgleichung (51) und (52) uber den Bilanzraum gemaßAbbildung 13(a) zu Differenzengleichungen integriert. Dabei wirdvon einer inkompressiblen, reibungsfreien Zweiphasenstromung aus-gegangen, deren Phasenverteilung ε = ε1 = ε2 am Ein- und Aus-tritt des Bilanzraums als identisch angenommen wird. Das Flachen-verhaltnis wird mit ω = A1/A beschrieben.

(p2 − p1)I = ερG

(w2

G,1ω − w2G,2

)+ (1− ε) ρF

(w2

F,1ω − w2F,2

)(76)

(p2 − p1)E =1

2

x(w2

G,1 − w2G,2

)+ (1− x)

(w2

F,1 − w2F,2

)

xρG

+ 1−xρF

(77)

Bei vollreversiblem Verhalten der Stromung wird der theoretischemaximale Druckruckgewinn mit der Energiegleichung Gleichung (77)beschrieben. Der reale Druckruckgewinn wird durch die Impulsbezie-hung Gleichung (76) ausgedruckt. Die Differenz von idealem und rea-lem Druckruckgewinn fuhrt letztendlich zum Druckverlust des Stu-fendiffusors.

∆pV = ∆pE −∆pI

Ersetzt man die mittleren Phasengeschwindigkeiten in den Erhal-tungsgleichungen durch die jeweiligen Massenstrome

wk =Mk

ρk Akk = G,F

und vereinfacht diese unter Verwendung der Gleichungen (34) und(41), so fuhrt dies zur zweiphasigen heterogenen Druckverlustbezie-hung fur den Stufendiffusor.

∆pV,het =ρF

2

M

ρF A

2 1− ω2

ω2

(xρF

ρG+ 1− x

)−1x3

ε2

(ρF

ρF

)2+

+(1− x)3

(1− ε)2

− 2

ω

1 + ω

x2

ε

ρF

ρG+

(1− x)2

1− ε

(78)

Die zweiphasige Durchstromung der Stufenduse wird mit dem ho-mogenen Modell beschrieben. Aufgrund des scharfkantigen Einlaufs


p1

p1

p2

p2

vF,2

vG,2

vF,1

vG,1 A1 A

(1) (2)

(a) Stufendiffusor

vF,2

vG,2

vF,1

vG,1

A A2

AV

C

(1)

(2)

(b) Stufenduse

Abbildung 13: Stufendiffusor und Stufenduse zweiphasig durch-stromt

wird davon ausgegangen, dass sich das Gas-Flussigkeits-Gemisch imEinschnurbereich gut durchmischt und daher mit gleicher, homoge-ner Geschwindigkeit wh stromt. Der Druckabfall setzt sich daher,analog zur einphasigen Stromung, aus dem reversiblen Beschleuni-gungsdruckabfall und einem homogenen Verlustterm zusammen, derdie durch den scharfkantigen Einlauf hervorgerufene Einschnurungder Stromung auf die Flache AV C berucksichtigt.

p1 − p2 = ∆pBeschl. + ∆pV,Einschn.

∆p12 =ρh

2

(w2

h,1 − w2h,2

)+ ζE

ρh

2w2

h,1

Den zweiphasigen reversiblen Beschleunigungsdruckabfall erhalt mandurch Integration und Umformung der homogenen Energieglei-chung (49) uber die Bilanzgrenzen der Stufenduse nach Abbil-dung 13(b). Das entsprechende Flachenverhaltnis wird mit ω = A2/A

wiedergegeben.

∆pBeschl. =ρF

2

M

ρF A

2 (xρF

ρG+ (1− x)

) 1− ω2

ω2

(79)

Der Berechnung des Einschnurungsdruckverlustes erfolgt durch dieMultiplikation des zweiphasigen dynamischen Drucks mit dem ent-sprechendem Verlustkoeffizienten ζE. Dabei wird angenommen, dassdas Gemisch hinter der Querschnittsanderung wie eine einphasige

38 2 Grundlagen

Stromung eingeschnurt wird.

∆pEinschn. =ρF

2

M

ρF A

2 (xρF

ρG+ (1− x)

) 1− µ2

µ2

1

ω2︸︷︷︸

ζE

(80)

Der Einschnurungskoeffizient µ beschreibt das FlachenverhaltnisAV C/A2, er ist damit vom Flachenverhaltnis ω abhangig. Die ent-sprechenden empirischen Koeffizienten sind in Tabelle 1 Seite 11aufgelistet. Die Anwendbarkeit dieser Gleichungen ist experimentellmehrfach bestatigt und wird in der Literatur wiederholt empfohlen[44][9].

2.2.6 Ausbreitung von Druckwellen

Unter der Schallgeschwindigkeit versteht man die Ausbreitungsge-schwindigkeit einer Druckwelle. Mit der damit isentropen Dich-teanderung des ubertragenden Mediums lasst sie sich aus den Er-haltungssatzen ableiten:

a2 =dp

dρ(81)

Mit der mittleren Dichte eines Zweiphasen-Gemisches

ρ2ph = ε ρG + (1− ε) ρF (82)

und der Gleichung fur stromende Fluide, die den ortlichen volumetri-schen Gasgehalt ε durch den massenbezogenen Stromungsgasgehaltx ausdruckt, wobei beide Gasgehalte nach Gleichung (63) uber denSchlupf s verknupft sind,

ε =x ρF

(1− x) s ρG + x ρF(83)

lasst sich, eingesetzt in Gleichung (81), eine allgemeine Beziehung furdie Schallgeschwindigkeit in Gas-Flussigkeits-Gemischen ableiten.

a22ph =

[(ε2 + ε (1− ε)

ρF

ρG

)dρG

dp+

((1− ε)2 + ε (1− ε)

ρG

ρF

)dρF

dp


+(ρG − ρF )1− ε

x (1− x)

dx

dp− ε (1− ε) (ρG − ρF )

ds

dp

−1

(84)

In den meisten Anwendungsfallen kann die Kompressibilitat derFlussigkeit sowie druckabhangige Anderung des massenbezogenenStromungsgasgehalts vernachlassigt werden.

dρF

dp=

dx

dp= 0

Das Differenzial, das die Gasdichte nach dem Druck ableitet, wirddurch den reziproken Wert der Schallgeschwindigkeit in Gasen aus-gedruckt.

dρG

dp=

1

a2G

=1

κ

ρG

p(85)

Das Differenzial dsdp beschreibt die Impulsubertragung zwischen den

Phasen und ist daher wesentlich von der Stromungsform bzw. Pha-senverteilung abhangig. Fur den Fall einer homogenen Zweiphasen-stromung, bei der der Einfluss des Schlupfs s vernachlassigt wird,kann Gleichung (84) weiter vereinfacht werden und fuhrt zur Be-schreibung der Druckwellenausbreitungsgeschwindigkeit eines homo-genen Gas-Flussigkeits-Gemisches.

a22ph =

(ε2 + ε (1− ε)

ρF

ρG

)−1a2

G (86)

2.2.7 Fazit

Die in Kapitel 2 zusammengestellten Gleichungen zur Theorie deradiabaten Flussigkeits- und Gas-Flussigkeitsstromung der vorange-gangenen Abschnitte sollen dem Leser ermoglichen, den Ausfuhrun-gen der nun folgenden Kapitel zu folgen. Es stehen die wesentlichenGleichungen der Zweiphasenstromung inklusive der Charakterisie-rung der Stromungsformen zur Verfugung, so dass die Ergebnisseder durchgefuhrten Messungen zu diesen in Bezug gesetzt werden

40 2 Grundlagen

konnen. Uberdies bauen die Kapitel 4.1.4 und 4.2.2, die sich mit derModellierung des einphasigen und des zweiphasigen Druckverlustesbeschaftigen, insbesondere auf den Beziehungen der Stufendusen undStufendiffusoren auf. Die Grundlage dieser Beziehungen sind die Er-haltungsgleichungen. Fur die im Kapitel 5 behandelten Themen wer-den die zweiphasigen Erhaltungsgleichungen (Kapitel 2.2.2) sowie dieTheorie zur Ausbreitung von Druckwellen (Kapitel 2.2.6) benotigt.Zudem wird dabei auf die Ausfuhrungen des Kapitels 2.1.3.2 zuruck-gegriffen.

41

3 Versuchsanlage und Messtechnik

3.1 Aufbau der Versuchsanlage

Abbildung 14 zeigt eine schematische Darstellung der Versuchs-anlage. Aus dem Wasservorratsbehalter wird durch eine Kreisel-pumpe Wasser angesaugt. Der in die Messstrecke geforderte Mas-senstrom kann uber einen Bypass-Strang stufenlos eingestellt wer-den. Dazu steht ein motorgetriebener 3-Wege-Differenzialmischer zurVerfugung. Der verbleibende Massenstrom wird nach dem Durch-stromen eines induktiven Durchflussmessers (IDM) zum Zweipha-senmischer gefordert. Zur Erzeugung der gewunschten Stromungs-form wird entweder ein einfaches T-Stuck (Schichten- oder Schwall-stromung) bzw. ein spezieller Mischer (Ringstromung) verwendet,der die Flussigkeit uber den gesamten Umfang in die Luftstromungeinspritzt. Mit Hilfe dieses Mischers konnte bereits nach einer kurz-en Anlaufstrecke eine stabile Ringstromung erzeugt werden, wie mit-tels visueller Beobachtungen bestatigt wurde. Das Gas-Flussigkeits-Gemisch wird nach Durchstromen der Armatur dem Abscheider, derdie flussige Phase von der gasformigen trennt, zugefuhrt. Die flussi-ge Phase kann in den Wasservorratsbehalter, der ca. 2 m unterhalbdes Abscheiders angeordnet ist, abfließen. Im Vorratsbehalter kanndas Wasser mit Hilfe eines eingebauten Warmeubertragers zuruck-gekuhlt werden. Somit ist es moglich, die Zuflusstemperatur kon-stant zu halten bzw. die gewunschte Flussigkeitstemperatur einzu-stellen. Wahrend der meisten Versuche wurde die Zuflusstempera-tur auf zwischen 20 ◦C und 40 ◦C eingestellt und mit Hilfe einesPT100-Widerstandsthermometers im Ansaugbereich uberwacht. Diegasformige Phase entweicht aus dem Abscheider nach dem Durch-gang durch einen Tropfenabscheider und einen Filter in die Umge-bung.

Im Gegensatz zum Flussigkeitskreislauf ist der Gaskreislauf nicht ge-schlossen augefuhrt. Der Kompressor saugt Umgebungsluft an undverdichtet sie auf ca. 15 bar. Anschließend wird die Luft im Druck-

42 3 Versuchsanlage und Messtechnik

p

T

Kreiselpumpe3-Wege-Mischer

InduktiverDurchfluß-messer(IDM)

Roots-Gebläse

Bypass

Wärme-übertrager

Dralldurch-flußmesser(Swirl)

Wärme-übertrager

Mischer

a) b)

Flüssigkeitskreislauf

Messstrecke

Gaskreislauf

Gasgehalts-sensor(Wire-Mesh)

Durchfluß-messung Luft:a)Vortexb)Blende

Abscheider

Tropfenabscheider

Kompressor

Druckluft-behälter

Wasservor-ratsbehälter

M

M

T

ppT

pT

Kugelhahn

Abbildung 14: Schematische Darstellung der Versuchsanlage

luftbehalter zwischengespeichert. Dieser Vorratsbehalter erlaubt dieEntnahme eines konstanten Volumenstroms uber einen langeren Zeit-raum, da der Kompressor bei einem Kesseldruck von ca. 12 bar au-

3.2 Messstrecke und Armatur (Kugelhahn) 43

tomatisch wieder zugeschaltet wird. Die Luft wird zunachst durcheinen Druckminderer geleitet, der in Abhangigkeit des Systemdruckszur Einstellung des gewunschten Luftmengenstroms in der Anlagedient. Der Luftmengenstrom kann danach uber zwei verschiedene,parallel angeordnete Messstrecken geleitet werden. Je nach gefor-dertem Luftmengenstrom wird dieser entweder mit einem Vortex-Durchflussmessgerat oder einer Messblende bestimmt. Nach der Mes-sung der Durchflussmenge wird die Luft zu dem Mischer der Mess-strecke geleitet und dort mit der Flussigkeit zum Zweiphasengemischzusammengefuhrt.

An die Messstrecke kann zur Erzeugung einer Ringstromung alterna-tiv ein Roots-Geblase angeschlossen werden. Da aufgrund der hohenForderleistung nur ein Teilstrom des Geblases genutzt werden kann,wird der Forderstrom uber einen Bypass aufgeteilt. Der in die Anla-ge geforderte Teil wird uber einen Warmetauscher ruckgekuhlt unddurch einen Drall-Durchflussmesser zum Zweiphasenmischer geleitet.

Auf die Ausfuhrung und den Betrieb der Durchflußmessgerate wirdim Kapitel 3.3 naher eingegangen werden.

Tabelle 5: Ubersicht der verwendeten Pumpen und Kompressoren

Medium Komponente Fabrikat Typ max. V max. Druck

Wasser Kreiselpumpe KSB ETA 40-26 K 10 m3/h 9 bar

Luft Kompressor Kaeser AS 35/13 30 m3/h 16 bar

Luft Roots-Geblase Aerzen GMa 13.6 900 m3/h 1 bar

3.2 Messstrecke und Armatur (Kugelhahn)

Zur Messung der Druckanderungen uber das Ventil steht eine voll-transparente Messstrecke zur Verfugung, die sich vom Mischer biszum Ablauf in den Abscheider erstreckt. Der Zulauf hat eine Langevon ca. 4 m (≈ L/D = 80 bei D = 0.054 m), der Ablauf eineLange von ca. 4 m. Die Strecken bestehen aus Acrylglas-Rohren,


die exakt horizontal ausgerichtet wurden, um eine Beeinflussungder Stromungsform auszuschließen. Der Kugelhahn ist ebenfalls ausAcrylglas und wurde aus einem Block herausgearbeitet. Fur die Ver-bindung zwischen den Rohrleitungen und der Armatur wurde einemit doppelten O-Ringen abgedichtete Steckverbindung gewahlt, dadie sproden PMMA-Rohre keine Flansch- oder Schraubverbindungzulassen. Bei der Montage wurde besonders auf die exakte Passungder Rohre in das Ventil geachtet, um eine moglichst ubergangsfreieVerbindung zu gewahrleisten.

Abbildung 15: Verwendeter Kugelhahn

Die verwendete Armatur zeigt Abbildung 15. Die vollstandige Zeich-nung samt Bemaßung des Kugelhahns findet sich im Anhang A. Dievolltransparente Ausfuhrung ermoglicht die visuelle Beobachtung derStromung wahrend der Messungen. Zur Dokumentation der Messungwurden sowohl Videoaufnahmen wie auch Hochgeschwindigkeitsauf-nahmen angefertigt.

Die Messstrecke ist mit insgesamt vier Absolutdruckaufnehmern aus-gerustet. Davon befinden sich zwei am Zu- und am Ablauf beiL/D=± 70 relativ zur Armatur gemessen. Zwei weitere Absolut-druckaufnehmer sind stromauf und stromab der Armatur im AbstandL/D=± 10 angebracht.

Die Messung der Druckunterschiede erfolgt mit insgesamt funfDifferenzdruckaufnehmern, die im Bereich des Kugelhahns in den

3.3 Messtechnik und Messdatenerfassung 45

-70D -10D

-1D +1D+10D +50D +70D

Dp-70

p-10

p10

∆p-1

∆p50

∆p10

∆p1

∆p0

Ventil

Sensorposition 1 Sensorposition 2 Sensorposition 3

D = 0.054 m p70

z=L/D 0 10-10 50 70~

Abbildung 16: Lage der Absolut- und Differenzdruckmessstellen inder Messstrecke

Abstanden L/D=± 1 und L/D=± 10 montiert sind. Ferner steht einDifferenzdruckaufnehmer zur Verfugung, der im Ablauf bis L/D = 50misst.

Fur die Untersuchung der Zweiphasenstromung am Ventil, sowohlin diskreten Ventilstellungen als auch im langsamen Schließbetrieb,wurde ein Antrieb konzipiert. Die exakte Positionierung wie auchdie Einstellung einer definierten Schließgeschwindigkeit wird mittelsdes Schrittmotors MS300 der Firma Isel gewahrleistet. Da Schritt-motoren nur kleine Drehmomente haben, wird das spielarme Plane-tengetriebe PLE 80 der Firma Neugart mit einer Untersetzung von1:80 eingesetzt. Neben dem Verstellen des Ventils bei hohen Mo-menten, die besonders bei hohen Stromungsgeschwindigkeiten auf-treten konnen, ermoglicht das Getriebe unter anderem eine feinereAuflosung der Schrittweite des Motors.

3.3 Messtechnik und Messdatenerfassung

3.3.1 Flussigkeits- und Luftmengenstrome

Der Flussigkeitsmengenstrom wird mit Hilfe eines magnetisch-induktiven Durchflussmesser (IDM) der Firma Fischer & Porter


durchgefuhrt. Fur die Luftmassenstrommessung stehen zwei un-abhangige Messgerate zur Verfugung, deren Messbereiche sich etwasuberschneiden (siehe Tabelle 6). Neben einer einfachen Messblen-de wurden Vortex-Durchflussmesser verwendet, die nach dem Prin-zip der Karmanschen Wirbelstraße arbeiten und als Messgroße de-ren Wirbelfrequenz erfassen. Im Bereich der beiden Durchflussmessersind außerdem Absolutdruck- (DMS P8A, 0-10 bar) und Tempera-turmessstellen (PT100) angebracht, deren Messwerte uber die Zu-standsgleichung idealer Gase zur Berechnung des Luftmassenstromsverwendet werden.

Tabelle 6: Ubersicht der verwendeten Durchflußmessgerate

Messprinzip Messbereich Genauigkeit

Flussigkeitsvolumenstrom

Induktiver Durchflussmesser 0,4 - 42 m3/h ±1%

Gasvolumenstrom

Wirbel-Durchflussmesser max 33 m3/h ±5%

Drall-Durchflussmesser 18 - 350 m3/h ±2%

Blende max. 11 m3/h ±5%

3.3.2 Temperatur

Die Temperaturen des gasformigen und flussigen Volumenstromswerden mit PT-100-Widerstandsthermometern gemessen. Die Mess-stellen fur jede Phase befinden sich stromauf des Zweiphasenmi-schers. Die entsprechenden Positionen sind der Abbildung 14 zu ent-nehmen.


3.3.3 Absolut- und Differenzdrucke

Die Druckanderungen uber das Ventil wurden durch die Messung desstatischen Drucks vor und nach dem Ventil ermittelt. Um die im Ver-gleich zum Systemdruck sehr geringen Druckdifferenzen genau mes-sen zu konnen, kamen keine Absolutdruckaufnehmer, sondern Dif-ferenzdruckaufnehmer zum Einsatz. Samtliche Differenzdrucke wer-den auf den Absolutdruck vor dem Ventil bezogen. Zusatzlich mus-ste aber auch der absolute Systemdruck in der Messstrecke bekanntsein. Dieser wurde uber mehrere Absolutdruckaufnehmer am Ein-und Austritt der Messstrecke sowie im Bereich des Ventils gemessen.Die genaue Anordnung der Druckmessstellen ist der Abbildung 16 zuentnehmen. Tabelle 7 listet alle verwendeten Druckaufnehmer samtMessbereich und Genauigkeit gemaß der Hersteller-Spezifikation auf.

Tabelle 7: Ubersicht der verwendeten Druckaufnehmer zur Messungder Absolut- und Differenzdrucke

Anzahl Messprinzip Messbereich Genauigkeit

Absolutdrucke

1 Dehnmessstreifen 0-20 bar ±0, 5% v.E.

3 Dehnmessstreifen 0-10 bar ±0, 5% v.E.

Differenzdrucke

2 induktives Prinzip ±0, 5 bar ±0, 5% v.E.



3.3.4 Lokaler Gasgehalt

Die Formulierung eines Modells zur Bestimmung des Druckverlustsbei zweiphasiger Durchstromung von Armaturen erfordert die genaueKenntnis der Phasenverteilung stromauf und stromab der Armatur.


(a) Sensor mit Anschlussplatinen (b) Stromungsquerschnitt des Sensors

Abbildung 17: Drahtgittersensor

Dies kann nur uber eine lokale Gasgehaltsmessung, d.h. eine zeit-lich und ortlich aufgeloste Messung in einem bestimmten Rohrquer-schnitt untersucht werden. Dabei haben sich in der Vergangenheitverschiedenartige Messmethoden etabliert, die sich zunachst in inva-sive und nicht-invasive Methoden unterteilen lassen. Der großte Vor-teil einer nicht-invasiven Messmethode liegt darin, dass die Stromungnicht durch Einbauten beeinflusst wird, d.h., dass die Messung vonaußen erfolgen muss, wie z.B. durch radiometrische, optische, sono-graphische oder kapazitive Verfahren. Damit ist allerdings die genaueortliche Auflosung des Gasgehalts nur uber tomographische Metho-den mit anschließender sehr aufwandiger Rekonstruktion der Pha-senverteilung moglich. Die Messung kann daher nicht online erfolgen,und die Ergebnisse konnen erst nachtraglich betrachtet werden.

Zur Bestimmung des lokalen Gasgehalts sowie der Phasenverteilungkam daher ein invasiver Drahtgittersensor zum Einsatz, der vom For-schungszentrum Rossendorf entwickelt wurde [48]. Eine Ansicht desverwendeten Sensors zeigt Abbildung 17.

Der Sensor arbeitet nach dem Prinzip der Messung der ortlichen elek-trischen Leitfahigkeit des Zweiphasengemisches. Dazu werden zwei


Elektrodengitter zu jeweils 16 Drahten in die Stromung gebracht,die im Abstand von 1,5 mm senkrecht zueinander angebracht sind.Dadurch ergibt sich ein Raster von 16 × 16 Messpunkten, diegleichmaßig uber den Rohrquerschnitt verteilt sind. Nach Abzug deraußerhalb des Rohrquerschnitts gelegenen und damit nicht nutzbarenKreuzungspunkte verbleiben 242 Messpunkte. Die Leitfahigkeitsmes-sung erfolgt zwischen zwei senkrecht zueinander stehenden Drahtender beiden Drahtebenen. Damit steht der Ort der Messung fest undmuss nicht nach der Messung aufwandig rekonstruiert werden. DieDrahte haben nur eine Dicke von 120 µm und uben keinen nennens-werten Einfluss auf die Stromung aus. Die zeitliche Auflosung betragtbis zu 1,2 kHz.

Zur Messung wird eine Drahtgitterebene als Sender und die zwei-te Ebene als Empfanger genutzt. Wahrend eines Messzyklus werdendie Drahte fortlaufend uber eine Multiplexerschaltung aktiviert, sodass das gesamte Gitter zeilen- und spaltenweise abgetastet wird.Die gemessenen Leitfahigkeiten werden anschließend von der Aus-werteeinheit uber einen Messbus an einen PC ubertragen und dortgespeichert. Die Messdauer ist bei Verwendung eines Intel-PentiumPC nur von der Große des installierten Arbeitsspeichers abhangig,da die Daten erst nach Abschluss der Messung gewandelt und ab-gespeichert werden. Bei 64 MB Arbeitsspeicher lassen sich bei einerBildrate von 1 kHz Messungen von ca. 5 s Dauer durchfuhren.

A

C

C

A

Schnitt A-A

Schnitt B-BSchnitt C-C

B

B

B

B

Zeit

Strömungsrichtung

Abbildung 18: Beispiel einer Gasgehaltsmessung. Darstellung einesQuerschnitts (unten) sowie einer Pseudo-Seitenansicht (oben)


Abbildung 18 zeigt beispielhaft das Ergebnis einer Messung in der ho-rizontalen Rohrleitung bei Schwallstromung. Die Aneinanderreihungvon Einzelmessungen ermoglicht eine virtuelle Seitenansicht (sieheAbschnitt 4.2.1.1 Seite 71), bei der die zeitliche Information in einevirtuelle Langsachse umgewandelt wird. Man erhalt damit eine zeit-lich aufgeloste Darstellung der Stromung durch den Messquerschnitt.

Um die Charakterisierung der Zweiphasenstromung entlang derMessstrecke zu ermoglichen, wurde der Sensor an insgesamt dreiverschiedene Positionen eingebaut. Die ortliche und zeitliche Pha-senverteilung des zulaufenden Gas-Flussigkeits-Gemisches wurde beiL/D = − 6 (D = 0.054 m) stromauf der Armatur bestimmt. DieAusbildung des Ruckstromgebiets nach dem Schließkorper konntedurch den Einbau des Sensors bei L/D = 1 nach dem Ventil ge-nauer untersucht werden. Die dritte Sensorposition befand sich beiL/D = 70 stromab der Armatur. An dieser Stelle sollte die Reho-mogenisierung der durch den Schließkorper beeinflussten Zweipha-senstromung untersucht werden (siehe Abbildung 16).

3.3.5 Messdatenerfassung

Die Erfassung und Speicherung der Messdaten erfolgt mit Hilfe ei-nes Systems, das auf zwei getrennten Intel Pentium PCs basiert.Wahrend das eine System die Prozessgroßen wie Temperatur, Druckund Massenstrom der Stromung misst, erfasst das andere den zeit-lich und ortlich aufgelosten Gasgehalt. Im Einzelnen bestehen dieSysteme aus folgenden Hauptkomponenten:

• Intel Pentium PC zur Steuerung der Anlage und Erfassung derProzessgroßen

• HewlettPackard Data Acquisition Unit HP 3852A mit je einemschnellen und einem integrierenden Voltmeter

• Hottinger Baldwin Messtechnik (HBM) Messsignalverstarkermit Spannungsversorgung fur die Messaufnehmer


• Intel Pentium PC zur Verarbeitung der Gasgehaltsdaten

• Teletronics Elektronikeinheit fur den Betrieb des Gasgehaltssen-sors.

Die von den Messaufnehmern gelieferten Prozesssignale mussen, so-fern der Aufnehmer nicht uber einen integrierten Verstarker verfugt,zuerst verstarkt werden. Die Umsetzung der analogen Spannungs-signale in digitale Daten erfolgt uber einen Hochgeschwindigkeits-AD-Wandler, der in Data Acquisition Unit eingebaut ist. Die so di-gitalisierten Werte werden schließlich uber den HP-IB Bus an denMessrechner ubertragen. Zur Steuerung der Messung und zur for-matierten Datenabspeicherung wurde ein Programm erstellt, das aufder graphischen Programmierumgebung HP-VEE aufbaut.

Die Bestimmung des Gasgehalts des Zweiphasen-Gemisches basiertauf der Messung der Leitfahigkeit an den Kreuzungspunkten desElektrodengitters des Sensors. Die Ansteuerung, die Multiplexer-schaltung und die Messung erfolgen mit der Elektronikeinheit, diedie Daten mittels einer im PC integrierten Karte fur die Weiterver-arbeitung zur Verfugung stellt. Ein hierfur vom ForschungszentrumRossendorf entwickeltes Programm steuert die Anzeige und die Mes-sung des Gasgehalts.

52 4 Feste Ventilstellungen

4 Feste Ventilstellungen

Dieser Abschnitt befasst sich mit der Darstellung, der Beschrei-bung und der Diskussion sowohl der Referenzversuche bei einpha-siger Flussigkeitsstromung als auch der Ergebnisse bei Wasser/Luft-Stromung.

Im Gegensatz zu Kapitel 5 handelt es sich hier um Experimente beikonstant eingestelltem Armaturenoffnungverhaltnis ω. Das Offnungs-verhaltnis ist die dimensionslose Stellgroße des Ventils und wurde mitGleichung (24) bereits in Kapitel 2.1.3.1 eingefuhrt

ω =Ae

A

Es stellt zugleich ein Maß fur die Beeinflussung der Stromung durchdie Armatur dar. Das Offnungsverhaltnis, im Folgenden auch als Off-nungsgrad bezeichnet, ist zudem eine Funktion des Ventilstellwinkels,der jedoch abhangig von der verwendeten Armatur ist und somit kei-ne allgemein gultige, maßgebende Große darstellt. Die Ableitung derfunktionalen Abhangigkeit des Offnungsverhaltnisses vom Stellwin-kel und von der Geometrie eines Kugelhahns findet sich im AnhangB.

Fur die Experimente wurden bis zu acht verschiedene Offnungsgra-de eingestellt, die wahrend einer Messung konstant blieben. An-schließend konnten die Massenstrome der jeweiligen Phasen gemaßdes gewunschten Parameterbereichs justiert werden, bevor mit derDurchfuhrung der Messung begonnen wurde.

4.1 Flussigkeitsstromung

Die nachfolgend beschriebenen Versuche mit Wasser dienen im We-sentlichen als Referenz, auf die die Ergebnisse der Gas-Flussigkeits-stromung bezogen werden. Die Verwendung der Flussigkeit als Re-ferenzfluid ist nicht zwingend erforderlich, ebenso konnte das Gas

4.1 Flussigkeitsstromung 53

herangezogen werden. Da jedoch in der vorliegenden Arbeit insbeson-dere die Flussigkeit die kontinuierliche Phase des Gas-Flussigkeits-Gemisches darstellt, ist die Verwendung von Wasser nahe liegend.Daruberhinaus ermoglichen die einphasigen Versuche eine anschau-liche Darstellung der Physik der Stromung, welche mit bekanntenGleichungen theoretisch nachvollzogen werden kann. Der Vergleichder experimentell ermittelten mit in der Literatur vorhandenen Da-ten liefert zudem Aussagen uber die Gute der Messungen und dieQualitat des gesamten Messaufbaus.

Da bei inkompressibler Flussigkeitsstromung von einem konstantenRohrquerschnitt A und einer konstanten Dichte ρ ausgegangen wer-den kann, stellen neben den Offnungsverhaltnissen des Kugelhahnsdie konstanten mittleren Geschwindigkeiten der Massenstrome diewesentlichen Versuchsparameter dar. Im Rahmen der Moglichkeitender Versuchsanlage konnte ein Parameterfeld je Offnungsgrad ver-messen werden, das sich von 0.5 m/s bis 2.5 m/s in Schritten von 0.5m/s erstreckte.

4.1.1 Druckverlust in Abhangigkeit vom Offnungsverhalt-nis und der Geschwindigkeit

Zunachst wird die Abhangigkeit des Druckverlustes von den Mes-sparametern der Einphasenstromung, dem Offnungsverhaltnis undder Geschwindigkeit des stromenden Fluids dargestellt. Den beidenDiagrammen der Abbildung 19 konnen die eingestellten Parameter-bereiche entnommen werden. Im linken Bild ist der Druckverlustuber dem Offnungsverhaltnis ω bei unterschiedlichen Geschwindig-keiten aufgetragen. Der Massenstrom bzw. die Geschwindigkeit derFlussigkeit variiert hierbei zwischen 0.5 m/s und 2.5 m/s. Der fureinen Kugelhahn typische exponentielle Anstieg des Druckverlustsmit kleiner werdender Offnung ist klar erkennbar. Ebenfalls typischfur das Verhalten des Kugelhahns ist das, gegenuber einer Armaturmit linearem Kennlinienverlauf, sehr spate Einsetzen der Drossel-wirkung, die im vorliegenden Fall erst bei einem Offnungsverhaltnis


0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Öffnungsverhältnis ω [-]

Dru

ckve

rlust

∆ p

[b

ar]

w = 0.5 m/sw = 1.0 m/sw = 1.5 m/sw = 2.0 m/sw = 2.5 m/s

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Geschwindigkeit w [m/s]

Dru

ckve

rlust

∆ p

[b

ar]

ω = 0.19

ω = 0.30

ω = 0.42

ω = 0.55

ω = 0.68

ω = 0.81

Abbildung 19: Einphasiger Druckverlust ∆p in Abhangigkeit vomOffnungsverhaltnis ω und der Geschwindigkeit w

von ca. 70% beginnt. Das rechte Diagramm stellt den Druckverlustuber der Stromungsgeschwindigkeit v bei unterschiedlichen Offnungs-zustanden dar. Die parabelformigen Verlaufe der Kurven bestatigendie Abhangigkeit des Druckverlusts vom Quadrat der Geschwindig-keit und damit vom dynamischen Druck.

4.1.2 Druckverlauf entlang der Messstrecke

Abbildung 20 kennzeichnet den Absolutdruckverlauf entlang derMessstrecke, der uber dem dimensionslosen Langenparameter L/Ddargestellt ist. Das Ventiloffnungsverhaltnis betragt bei dieser Mes-sung 55%. Der Druckabfall zwischen den Messstellen L/D = -70 und-1 ist auf den Reibungsdruckverlust ∆pV,Reibung im Rohr zuruck-zufuhren. Wohingegen der Druckabfall zwischen L/D = -1 und 0durch eine Kombination von Beschleunigung und verlustbehafteterVerzogerung des Fluids an der ersten Engstelle des Schließkorpers


hervorgerufen wird. Demgemaß wird zwischen den MessstellenL/D = 0 und 1 ebenfalls ein Beschleunigungsdruckabfall an der zwei-ten Verengung registriert. Der dynamische Druck kann jedoch auf-grund von Verzogerung und Rehomogeniesierung der Stromung zwi-schen den Messstellen L/D = 1 und 10 verlustbehaftet in einenstatischen Druck umgewandelt werden, der durch den Druckaufbau∆pRuck gekennzeichnet ist. Die Rehomogenisierung der Stromung istnach einer Lange von ca. L/D = 10 (D = 0.054 m) stromab desVentils abgeschlossen (vgl. [1] und [11]). Ubrig bleibt der irreversibleDruckverlust der Armatur ∆pV,Armatur. Fur den weiteren Druckabfallvon L/D = 10 bis 70 ist nun wieder die Rohrreibung verantwortlich.

Um den Einfluss des Offnungsverhaltnisses auf den Druckverlauf zucharakterisieren, wird auf eine dimensionslose Darstellung des Drucksmit dem dimensionslosen Druckbeiwert ζ(z) zuruckgegriffen. Der Pa-rameter z bezeichnet die dimensionslose Langskoordinate L/D.

-70 -10 0 10 70

0.96

0.97

0.98

0.99

Dru

ck p

[b

ar]

Ventilöffnung 55%

w = 1.0 m/s

-10 -1 0 1 10

0.96

0.97

0.98

0.99

L/D [-]

Dru

ck p

[b

ar]

∆p

Rü

ck

∆p

V,A

rmatu

r

∆p

V,R

eib

un

g

Abbildung 20: Druckverlauf entlang der Messstrecke


-1 0 1 10-10

-5

0

5

10

15

20

L/D [-]

ζ(z

) [-

]

w = 1.0 m/sw = 1.5 m/sw = 2.0 m/sw = 2.5 m/s

ω = 0,30

ω = 0,42

ω = 0,55

ω = 0,68

~

z~

Abbildung 21: Dimensionsloser Druckverlauf entlang der Mess-strecke

ζ(z) =∆p(z)

ρ/2 w2 =p(z)− p(L/D = 10)

ρ/2 w2 (87)

Der Referenzdruck, der von allen Drucken p(z) subtrahiert wird, istder Druck p(z = 10) an der Stelle L/D=10. An dieser Stelle kannbei der Einphasenstromung, wie bereits erwahnt, wieder von einerhomogenisierten Stromung ausgegangen werden. Die in Abbildung21 dargestellten positiven ζ-Werte konnen somit als dimensionsloserDruckverlust, die negativen als dimensionsloser Druckruckgewinn be-trachtet werden. Es zeigt sich, dass der Druckverlust insbesondereeine Funktion des Offnungswinkels der Armatur ist, da mittels derdimensionslosen Darstellung durch Division mit der Geschwindig-keit deren Einfluss nicht mehr erkennbar ist. Idelchik [5] berichtetzwar von der Abhangigkeit des Druckverlustbeiwertes ζ von der Ge-schwindigkeit bzw. der Reynolds-Zahl, er zeigt jedoch, dass diesenur fur Bereiche von Re < 104 auftritt. Da samtliche Untersuchun-gen in Bereichen oberhalb dieser Grenze durchgefuhrt wurden, wirddiese Abhangigkeit im Folgenden nicht berucksichtigt. Wie Abbil-


dung 21 weiter deutlich macht, wird der Druckverlust der Armaturim Wesentlichen durch das Einstromen (L/D = -1 bis 0) des Fluidsin den kugelformigen Schließkorper hervorgerufen. Der Druckabfallwahrend des Ausstromens (L/D = 0 bis 1) wird großtenteils durcheinen Druckruckgewinn (L/D = 1 bis 10) kompensiert.

4.1.3 Bestimmung des Druckverlustbeiwertes ζ

Die vorangegangene Diskussion fuhrt zur Bestimmung des Druck-verlustbeiwertes ζ, der fur die vorliegende Armatur mit der Glei-chung (88) bestimmt wird.

ζ =∆pV

ρ/2 w2 =p(L/D = −10)− p(L/D = +10)

8 ρ

VF

D2 π

2 (88)

Die Werte fur den Druckverlust ∆pV sind der Differenzdruckmessung∆p10 entnommen (siehe Abbildung 16), deren Druckentnahmestellen

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

20

40

60

80

100

Öffnungsverhältnis ω [ ]

Dru

ckve

rlu

stb

eiw

ert

ζ [

]

ζ Messung

ζ Idelchik

ζ Modell

Abbildung 22: Druckverlustbeiwerte ζ in Abhangigkeit vom Off-nungsverhaltnis


sich jeweils in einer Entfernung von L/D=10 stromauf und stromabder Armatur befinden. Die Geschwindigkeit w wird mit dem gemes-senen Wasservolumenstrom VF berechnet.

Aufgetragen uber dem Offnungsverhaltnis ω zeigt Abbildung 22den anhand der Messungen bestimmten Verlauf des dimensionslo-sen Druckverlustbeiwertes ζ des Kugelhahns. Analog zur Abbildung21 ist die Zunahme von ζ mit abnehmendem Offnungsverhaltnis ωerkennbar.

Die weiteren Kurven der Abbildung 22 stellen den Verlauf des model-lierten Druckverlustbeiwertes, auf den im folgenden Abschnitt ein-gegangen wird, und den Verlauf des Beiwerts aus dem Standardwerkfur hydraulische Widerstandsbeiwerte von Idelchik [5] dar (siehe Ka-pitel 2.1.3.1).

Der Vergleich der gemessenen Werte mit den Literaturdaten zeigt,dass die Verlaufe zwar qualitativ ubereinstimmen, sich jedoch quan-titativ geringfugig unterscheiden. Sowohl der Druckverlustbeiwertnach Idelchik als auch der gemessene Verlustkoeffizient unterliegeneinem gemeinsamen physikalischen Zusammenhang. Die quantitativeAbweichung des Koeffizienten ist vermutlich auf geringfugige Unter-schiede in der Stromungsfuhrung (Kanten des Schließkorpers) derbetrachteten Kugelhahne zuruckzufuhren.

4.1.4 Modellierung des einphasigen Druckverlusts

4.1.4.1 Beschreibung des Modells

Die Modellierung erfordert die Aufteilung der charakteristischen Be-reiche des Ventils in vier Bilanzgebiete, so dass diese mit einfachenund bekannten Formulierungen nachgebildet werden konnen. DieEinteilung der einzelnen Bilanzgebiete verdeutlicht Abbildung 23.Sie lassen sich folgendermaßen einordnen:


1 - 2 Das Fluid stromt mit der mittleren Geschwindigkeit w1 demSchließkorper entgegen. Aufgrund der Verengung kommt es zurBeschleunigung der Flussigkeit auf die Geschwindigkeit w2, waseinen Druckabfall zur Folge hat. Da das Fluid dem Verlauf derEinlaufkante an der Engstelle nicht exakt folgen kann, wird dieStromung eingeschnurt. Der effektive Stromungsquerschnitt ander Engstelle wird dadurch weiter verringert.

∆p12 =ρ

2

(w2

2 − w21

)+ ∆pV,Einschnurung (89)

Die Einschnurung fuhrt zur einer weiteren Beschleunigung derStromung und dadurch zu einer weiteren Absenkung des Drucks.Diese ist jedoch verlustbehaftet und im Gegensatz zum vor-her genannten Beschleunigungsdruckabfall nicht reversibel. DerDruckabfall dieses Bereiches kann mit dem Modell der Stu-fenduse (vgl. Kapitel 2.1.2) angenahert werden.

1

w2

2 3 4 5

∆ p

12

∆ p

23

∆ p

34

∆ p

45

∆ p

15

p

w1 w3 w4 w5

Wirbel

Einschnürung

Stufendiffusor

Abbildung 23: Modell der Stromung durch den Kugelhahn


2 - 3 Nach der Engstelle weitet sich der Stromungsquerschnitt. DieStromung wird auf die Geschwindigkeit w3 verzogert, wobeiAbrisskanten und Umlenkungen in der Stromungsfuhrung desSchließkorpers Verwirbelungen hervorrufen, die dazu fuhren,dass, trotz der Verzogerung der Stromung, kein nennenswerterDruckaufbau entsteht.

∆p23 =ρ

2

(w2

3 − w22

)+ ∆pV,Wirbelbildung (90)

3 - 4 Die Stromung in diesem Bilanzgebiet wird auf die Geschwin-digkeit w4 beschleunigt und wird analog dem Bereich, der inner-halb der Grenzen (1 - 2) liegt, beschrieben und mit dem Modelleiner Stufenduse nachgebildet.

∆p34 =ρ

2

(w2

4 − w23

)+ ∆pV,Einschnurung (91)

4 - 5 Ahnlich dem Bereich (2 - 3) weitet sich hier der Stromungs-querschnitt, wobei das Fluid auf die Geschwindigkeit w5

verzogert wird. Im Gegensatz zum Bereich (2 - 3) gibt es nachder Engstelle keine extremen Umlenkungen, die eine starke Wir-belbildung begunstigen, so dass die Beschreibung des Druck-aufbaus nach der Engstelle dem Modell eines Stufendiffusorsgenugt.

∆p45 =ρ

2

(w2

5 − w24

)+ ∆pV, Stufendiffusor (92)

Unter Verwendung der Kontinuitatsgleichung Gl. (3) reduziert sichdie Anzahl der Geschwindigkeiten an den Bilanzgrenzen fur den Fallder inkompressiblen Stromung auf die mittlere Stromungsgeschwin-digkeit im offenen Rohr w und auf die Geschwindigkeit in der Ver-engung we

w = w1 = w3 = w5 (93)

we = w2 = w4 (94)


Letztere ist nur vom Offnungsverhaltnis abhangig und wird mit derBeziehung

Aw = Ae we mit ω =Ae

Aw = ω we (95)

als Funktion von w beschrieben. Setzt man die Geschwindigkeitenaus den Gleichungen (93) - (95) in die Gleichungen (89) - (92) derentsprechenden Bilanzgebiete ein und summiert die einzelnen Druck-differenzen, so folgt daraus die Formulierung fur den Druckverlust derArmatur. Die reversiblen Beschleunigungs- und Verzogerungstermewerden durch die Addition eliminiert, so dass lediglich die Verlust-terme ubrig bleiben.

∆p15 = ∆pV,A = ∆pV,Wirbelbildung + ∆pV,Stufendiffusor +

+2 ·∆pV,Einschnurung (96)

Die Beobachtung der Stromung, die Analyse der Messdaten oderauch bekannte Gleichungen fur Formverluste fuhren zur Beschrei-bung der einzelnen Druckverluste. So wird unter anderem aus den Ex-perimenten deutlich, dass nach dem Einstromen in den Schließkorper(2 - 3) starke Verwirbelungen entstehen. Fur die Modellierung desDruckverlusts dieses Bereichs wird daher davon ausgegangen, dassdie in den Wirbeln gespeicherte kinetische Energie trotz Verzogerungder Stromung nicht zuruckgewonnen wird. Der Verlust ist folglichmit dem Betrag des Druckaufbaus, der aufgrund von Verzogerungentsteht, anzusetzen

∆pV,Wirbelbildung =

∣∣∣∣∣ρ

2(w2

3 − w22)

∣∣∣∣∣ =ρ

2w2 1− ω2

ω2 . (97)

Im Abstrombereich des Kugelhahns beschreibt das Modell des Stu-fendiffusors, welches ausfuhrlich im Kapitel 2.1.2 diskutiert wurde,den entstehenden Druckverlust. Die folgende Formulierung entsprichtder in diesem Kapitel aufgefuhrten Gleichung (19):

∆pV,Stufendiffusor =ρ

2w2 (1− ω)2

ω2 . (98)


Die verlustbehaftete Einschnurung der Stromung wird mit dem Bei-wert ζE wiedergegeben, der gemaß Gl. (22) ausgedruckt werden kann.

∆pV,Einschnurung = ζEρ

2w2 =

(1− µ

µ

)2 1

ω2

ρ

2w2

Der Kontraktionskoeffizient µ ist armaturenspezifisch und daher em-pirisch. Addiert man nun die einzelnen Verlustgleichungen, so fuhrtdies zu den folgenden Formulierungen, mit denen der einphasigeDruckverlust bzw. der dimensionslose Druckbeiwert des Kugelhahnsberechnet werden kann.

∆pV,A =ρ

2w2

1− ω2

ω2 +(1− ω)2

ω2 +2

ω2

(1− µ

µ

)2 (99)

ζ =2

ω2

1− ω +

(1− µ

µ

)2 (100)

Die Beschreibung des Druckverlusts basiert im Wesentlichen auf phy-sikalischen Uberlegungen, lediglich der Kontraktionskoeffizient µ, derdie armaturenspezifische Einschnurung berucksichtigt, ist empirischermittelt und in Tabelle 8 in Abhangigkeit vom Offnungsverhalt-nis ω dargestellt. Diese Werte wurden durch Anwendung der Glei-chung (99) aus den Messdaten extrahiert.

Tabelle 8: Empirische Kontraktionskoeffizienten µExp.

ω 0.19 0.30 0.42 0.55 0.68 0.81 0.93 1.0

µExp. 0.7 0.715 0.73 0.77 0.82 0.88 0.95 1.0

Die Gleichungen verdeutlichen, dass der modellierte Druckverlust-koeffizient ζ der Armatur vom Offnungsverhaltnis ω abhangig ist.Dieser Sachverhalt ist in Abbildung 22 auf Seite 57 ersichtlich. DerVergleich der gemessenen Druckverlustbeiwerte mit dem Verlauf dermit Gl. (100) modellierten Koeffizienten liefert eine sehr gute Uber-einstimmung. Dies wird ebenso in Abbildung 24 deutlich. In dieserDarstellung sind sowohl die gemessenen als auch die mit Gleichung


0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Dru

ckverlu

st

∆ p

[b

ar]

w = 0.5 m/s Messungw = 0.5 m/s Modellw = 1.0 m/s Messungw = 1.0 m/s Modellw = 1.5 m/s Messungw = 1.5 m/s Modellw = 2.0 m/s Messungw = 2.0 m/s Modell

Abbildung 24: Modellierte und gemessene Druckverluste uber demOffnungsverhaltnis ω

(99) berechneten Druckverluste uber dem Offnungsverhaltnis aufge-tragen. Die Messdaten stimmen mit den berechneten Werten sehrgut uberein. Eine signifikante Abweichung ist nicht erkennbar.

Zusammenfassend kann dies mit Abbildung 25 nachgewiesen wer-den, in der die berechneten Druckverluste den gemessenen di-rekt gegenubergestellt sind. Die doppelt logarithmische Darstellungermoglicht eine gute Auflosung der Daten in einem weiten Wertebe-reich. Die Diagonale teilt die Abbildung in zwei Bereiche. Liegen dieDatenpunkte oberhalb der Diagonalen, so sagt das Modell einen ge-genuber den Messungen hoheren Druckverlust voraus. Liegen sie un-terhalb, ist der modellierte Druckverlust geringer als der gemessene.Die Datenpunkte befinden sich großtenteils innerhalb eines Bereichesvon ± 10% Abweichung. Einige Ausreißer zeigen sich insbesonderebei sehr geringen Drucken. Dies ist uberwiegend auf die immanen-te Auflosungsungenauigkeit des Messaufnehmers zuruckzufuhren, diegerade bei kleineren Messwerten sehr stark zum Tragen kommt.


0.01 0.1 10.01

0.1

1

∆ p Messung [bar]

∆ p

Mo

de

ll [b

ar]

+10%

10%

Abbildung 25: Druckverlust des Modells gegenuber gemessenenDruckverlusten

4.1.4.2 Einfluss der Einschnurung

Wie im vorherigen Abschnitt beschrieben, ist im einphasigen Mo-dell der empirische Kontraktionskoeffizient µ enthalten. Hinsicht-lich der Anwendung des Modells auf andere Kugelhahne, deren Ein-schnurungsverhalten unbekannt ist, erscheint die Analyse des Ein-flusses von µ auf den Gesamtdruckverlust und den dimensionslosenDruckverlustkoeffizienten ζ der Armatur als sinnvoll.

Nach Truckenbrodt [8] bewegt sich der theoretische Kontraktionsko-effizient innerhalb der sinnvollen Grenzen 0.5 < µ < 1.0. Die experi-mentell ermittelten Einschnurungskoeffizienten liegen laut Tabelle 8ebenfalls innerhalb dieses Bereichs.

In der Diskussion uber den Einfluss von µ soll zunachst die Kontrakti-on außer Acht gelassen und µ = 1 gesetzt werden. Fur diesen Extrem-fall geben Gl.(99) und Gl.(100) den Druckverlust wieder, der auf denphysikalischen Uberlegungen mit Hilfe der Erhaltungsgleichungenbasiert und somit ohne Verwendung jeglicher empirischer Werte aus-


kommt. Die entsprechende Auswirkung auf den theoretischen Druck-verlust zeigt Abbildung 26. Hinsichtlich einer besseren Vergleichbar-keit sind neben den theoretischen auch die gemessenen Druckverlustebei zwei unterschiedlichen Geschwindigkeiten dargestellt. In diesemDiagramm sind insbesondere die theoretischen Druckverlaufe unterBerucksichtigung der empirisch ermittelten Kontraktion (durchgezo-gene Linie) und unter Vernachlassigung der Kontraktion (gestrichelteLinie) hervorgehoben. Aus ihnen wird deutlich, dass die Vernachlassi-gung der Einschnurung bekanntermaßen zu einem geringeren Druck-verlust fuhrt. Die entsprechende, vom Offnungsverhaltnis abhangige,prozentuale Abweichung des dimensionslosen Druckverlusts bei Ver-nachlassigung der Einschnurung ζ(µ = 1) von dem mit angepassterKontraktion ζ(µ = µExp.) kann mittels folgender Gleichung quantifi-ziert werden:

∆ζ =ζ(µ = 1)− ζ(µ = µExp)

ζ(µ = µExp)(101)

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Öffnungsverhältnis ω [ ]

∆ p

[b

ar]

µ = 1 (keine Einschnürung)µ = µ

Exp + 10% (geringere Einschnürung)

µ = µExp

(angepasste Einschnürung)

µ = µExp

- 10% (stärkere Einschnürung)

Messung v = 1.0 m/sMessung v = 2.0 m/s

µ > µExp

µ < µExp

Abbildung 26: Einfluss des Kontraktionskoeffizienten µ auf denDruckverlust des Kugelhahns


Tabelle 9: Prozentuale Abweichung des Druckverlustkoeffizienten ζbei Vernachlassigung der Kontraktion

ω 0.19 0.30 0.42 0.55 0.68 0.81 0.93

∆ζ -18 % -19 % -19 % -17 % -13 % -9 % -3 %

Die berechneten Werte sind in Tabelle 9 zu finden. Aus diesen Wer-ten geht hervor, dass die großte Abweichung bei kleinen Offnungs-verhaltnissen auftritt. In Anbetracht der extremen Einschnurung derStromung, die insbesondere bei kleinen Offnungsgraden auftritt, istdie Abweichung des Druckverlustbeiwertes ∆ζ von ca. -19% bei Ver-nachlassigung der Kontraktion durchaus verstandlich.

In Abbildung 26 befinden sich ferner zwei weitere berechnete Druck-verluste je Geschwindigkeit, deren Verlaufe uber ω durch eine Auslen-kung des empirischen Kontraktionskoeffizienten µExp um ±10% be-stimmt wurden. Aus diesen Kurven geht hervor, dass eine Erhohungdes Kontraktionskoeffizienten um +10 %, was einer zunehmendenVernachlassigung der Einschnurung gleichkommt, einen geringerenEinfluss auf den Druckverlust hat, als das die Verkleinerung von µ

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

20

40

60

80

100


Dru

ckve

rlu

stb

eiw

ert

ζ [-]

ζ Messung

ζ Idelchikζ(µ = µExp)

ζ(µ = 1)

ζ(µ = 0.5)

ζ(µ = 0.5)

ζ(µ = 1.0)

Abbildung 27: Bereich moglicher Druckverlustbeiwerte


zur Folge hatte. Uberdies geht sowohl aus der Abbildung 26 als auchaus den Werten fur ∆ζ der Tabelle 9 hervor, dass die Einschnurunggerade bei sehr kleinen Offnungsverhaltnissen zum Tragen kommt.

Der andere Extremfall, bei dem die Stromung auf die Halfte desverengten Querschnitts (µ = 0.5) eingeschnurt wird, soll nicht un-berucksichtigt bleiben. Hierbei entstehen sehr hohe Druckverluste,was auf die extreme Einschnurung zuruckzufuhren ist. Dieser Sach-verhalt wird in Abbildung 27 verdeutlicht. In diesem Diagramm sindneben den gemessenen Druckverlustbeiwerten, dem angepassten Mo-dell und den Druckverlustbeiwerten nach Idelchik [5] ebenso die bei-den Extremfalle – keine Kontraktion µ = 1 und extreme Kontraktionµ = 0.5 – dargestellt, die den Bereich der moglichen Druckverlust-beiwerte des Kugelhahns in Abhangigkeit vom Offnungsverhaltnisaufspannen. In diesem Bereich liegt auch der Verlauf des Druckver-lustbeiwertes nach Idelchik, womit die in Kapitel 4.1.3 aufgestellteThese, dass die quantitative Abweichung der gemessenen Werte vonden Literaturdaten in der unterschiedlichen Einschnurung an denEngstellen begrundet ist, bestatigt werden konnte.

Zum Abschluss des Kapitels 4.1 kann zusammenfassend gesagt wer-den, dass die Experimente bei Flussigkeitsstromung eine gute Aus-gangsbasis fur die Untersuchung der Armaturenstromung mit Gas-Flussigkeits-Gemischen darstellen. Die Gute des experimentellenAufbaus konnte verifiziert werden. Die gemessenen Ventilkennwer-te halten einem Vergleich mit bekannten einphasigen Druckverlust-beiwerten der Literatur stand. Die Physik der Stromung durch denKugelhahn wird durch das entwickelte Modell sehr genau beschrie-ben. Auf den gewonnenen Erkenntnissen baut insbesondere das Ka-pitel 4.2.2 des nachsten Abschnitts auf, das sich mit der Modellierungdes zweiphasigen Druckverlusts beschaftigt.


4.2 Gas-Flussigkeitsstromung

In diesem Abschnitt werden die Ergebnisse der Untersuchungenam zweiphasig durchstromten Kugelhahn bei konstanten Offnungs-verhaltnissen diskutiert. Bevor jedoch im Folgenden mit der Dar-stellung der jeweiligen Erkenntnisse begonnen wird, soll zunachstnoch die Art der Zweiphasenstromung und die daraus abgeleitetenKonsequenzen fur die Zustrombedingungen erlautert werden. Zudemwerden die Messbereiche der beiden Stromungsparameter, Volumen-stromdichte Flussigkeit jF und volumetrischer Stromungsgasgehaltε, und die dabei entstehenden Stromungsformen, die mit diesen un-mittelbar zusammenhangen, aufgezeigt. Dabei sollen insbesonderedie Stromungsformen (Propfen-, Schwall- und Ringstromung), diein industriellen Anwendungen des Mehrphasentransports auftreten,erzeugt werden. Ferner wird die Durchfuhrung einer Messung be-schrieben. In Anschluss daran werden die einzelnen Ergebnisse dis-kutiert und das Modell zur Berechnung des zweiphasigen Druckver-lustes uber den Kugelhahn vorgestellt.

Zustrombedingungen

Die in den folgenden Kapiteln dargestellten Diagramme geben dieMessergebnisse einer Zweiphasenstromung wieder, die aus zwei un-terschiedlichen Komponenten – Luft und Wasser – besteht. Da Luftunter den vorliegenden Messbedingungen als nicht kondensierbaresGas keinen Phasenwechsel gasformig-flussig vollzieht, und das Wassernicht verdampft, weil sowohl der Systemdruck als auch die System-temperatur sich auf einem Niveau nahe der Umgebungsbedingun-gen befindet, bleiben die Massenstrome MG und MF jeder einzelnenKomponente und damit der massenbezogene Stromungsgasgehalt x

entlang der Messstrecke im zeitlichen Mittel konstant. Die Zustands-großen Druck und Temperatur beider Komponenten stromauf desKugelhahns sind ebenfalls konstant. Der volumetrische Stromungs-gasgehalt ε, der sich zwar mit der Gasdichte ρG aufgrund des Druck-abfalls entlang der Messstrecke verringert, kann zumindest strom-auf der Armatur als eine Konstante definiert werden, da hierbei der

4.2 Gas-Flussigkeitsstromung 69

Druckabfall nur durch die Rohrreibung gepragt und derart gering ist,dass der Einfluss auf die Gasdichte vernachlassigbar ist.

Messbereiche

Der Messbereich der durchgefuhrten Experimente erstreckt sichvon 0.25 m/s bis 2.0 m/s Leerrohr-Geschwindigkeit jF , was ei-nem Massenstrom MF von 0.56 kg/s - 4.8 kg/s gleichkommt. Da-bei wird ein Bereich von 0.2 bis 0.6, teilweise sogar bis 0.98, desvolumetrischen Stromungsgasgehaltes ε uberstrichen. Umgerechnetentspricht dies einem Gasmassenstrom MG von ca. 0.4 g/s bis160 g/s. Mit diesen Stromungsparametern konnten, angefangen mitder Kolbenblasenstromung uber die Pfropfen- und Schwallstromungsowie die Ringstromung die geforderten Stromungsformen erfolg-reich erzeugt werden, wie Abbildung 28, die Stromungsbilderkar-te nach Mandhane [24], anschaulich verdeutlicht. Hierin sind dieLeerrohr-Geschwindigkeit jF der flussigen Phase uber den Leerrohr-Geschwindigkeit jG der gasformigen Phase der in dieser Arbeit durch-

0.1 1.0 10 1000.01

0.1

1.0

10

Leerrohr Geschwindigkeit jG

[m/s]

Le

err

oh

rG

esch

win

dig

ke

it j

F [

m/s

]

Blasenströmung

Kolbenblasen-strömung

Pfropfen-, Schwallströmung

Ring-,Tropfen-strömung

Schichtenströmung welligeSchichten-strömung

Abbildung 28: Einordnung der Messpunkte in die Stromungsbil-derkarte nach Mandhane [24]


gefuhrten Messungen aufgetragen. Die Markierungen zeigen somitdie Stromungsform, die bei dem entsprechendem Experiment auf-trat. Die Aussagen dieser Karte stimmen ubrigens sehr genau mitden beobachteten Stromungsformen uberein.

Durchfuhrung der Messung

Besonders im Bereich der intermittierenden Stromungsformen, wiez.B. der Pfropfen- bzw. Schwallstromung, treten aufgrund der pe-riodisch stromenden Flussigkeitsschwalle besonders hohe Druck-schwankungen auf. Abb 29(a) zeigt beispielhaft den Verlauf desDrucks uber der Zeit stromauf des Ventils. Die Visualisierung derentsprechenden Schwallstromung wird mit den Daten der Gasge-haltsmessung ermoglicht, wie Abbildung 29(c) deutlich macht. Indieser Darstellung kennzeichnet Rot die Gaspfropfen und Blau dieFlussigkeit.

20 20.5 21 21.5 22 22.5 23 23.5 24 24.5 251.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

Zeit t [sec]

Dru

ck p

[bar

]

(a) Transienter Verlauf des Drucksignals

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.80

100

200

300

400

500

600

Druck p [bar]

An

za

hl N

[-]

(b) Histogramm des Drucksignals

20 20.5 21 21.5 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25Zeit t [s]

(c) Pseudo-Seitenansicht der Stromung

Abbildung 29: Messdaten einer Pfropfen- bzw. Schwallstromung

Diese Periodizitat macht es erforderlich, uber einen ausreichend lan-


gen Zeitraum eine große Anzahl von Messwerten zu registrieren, sodass der daraus bestimmte Mittelwert gegen den wahren Wert kon-vergiert und der mittlere Fehler des Mittelwerts moglichst geringgehalten wird. Daher wurden fur samtliche Experimente bei stati-onarer Zweiphasenstromung eine Messzeit von tMess = 60 s undeine Messfrequenz fMess = 100 Hz zugrunde gelegt (6000 Samp-les/Messung).

4.2.1 Phasenverteilung am Kugelhahn

Zu den wesentlichen Funktionsmerkmalen einer Armatur gehorendas Absperren bzw. die Drosselung der Stromung. Letztere wirdinsbesondere durch die gezielte Beeinflussung des Drucks bzw. desDruckverlustes der Armatur realisiert. Die wesentliche Fragestellungbei Armaturen bezieht sich daher auf die funktionale Abhangigkeitdes Druckverlustes von der Stellung der jeweiligen Armatur. Im Ge-gensatz zur einphasigen Stromung muss jedoch bei der Zweiphasen-stromung noch die Beeinflussung der Phasenverteilung durch die ent-sprechende Armatur berucksichtigt werden. Mit der Phasenvertei-lung werden die lokal vorherrschenden Geschwindigkeiten der Pha-sen beeinflusst, daher ist die Kenntnis der Phasenverteilung nichtnur zum Zwecke der Modellierung des Druckverlustes von besonde-rer Bedeutung, sondern spielt daruberhinaus eine wichtige Rolle beider Betrachtung der Armatur im Zusammenhang mit verfahrenstech-nischen Apparaten und Anlagen.

4.2.1.1 Virtuelle Seitenansicht der Zweiphasenstromung

Ein sehr anschauliches Verfahren zur Darstellung der Struktur derPhasenverteilung ist die Erstellung von virtuellen Ansichten. Sievermitteln einen qualitativen Eindruck der Zweiphasenstromung.Daruberhinaus geben sie Aufschluss uber die Beeinflussung derStromung durch den Kugelhahn. Bei diesem Verfahren werden dieim Rohrquerschnitt in Form einer Matrix ermittelten lokalen Gas-gehalte in der Tiefe der jeweiligen Ansicht (vgl. Abbildung 30), al-


Seitenansicht

Draufsicht

Abbildung 30: Mittlere Seitenansicht und Draufsicht der Zweipha-senstromung

so spalten- oder zeilenweise pro Zeitschritt gemittelt. Durch zeitli-che Aneinanderreihung der Spalten- oder Zeilenvektoren lassen sichvirtuelle Schnittbilder der Stromung erzeugen, wie die Abbildungen31(a) - 32(b) beispielhaft zeigen. Diese Schnittbilder sind uber derZeit aufgetragen, die jedoch mit Kenntnis der mittleren lokalen Gas-geschwindigkeit in eine virtuelle Langsachse ∆z∗ ubergefuhrt werdenkann.

∆z∗ = wG ·∆t

Dies bedeutet, dass die lokale Phasenverteilung, die uber einen Zeit-raum ∆t registriert wurde, die beobachtete Stromung der Lange ∆z∗

reprasentiert.

Einen qualitativen Eindruck der Zweiphasenstromung durch den Ku-gelhahn bei einer Leerrohrgeschwindigkeit von jF = 1.5 m/s und ei-nem volumetrischen Stromungsgasgehalt von ε = 0.4 vermitteln dieumseitigen Abbildungen, die als virtuelle Seitenansicht und Drauf-sicht dargestellt sind. Abbildung 31 zeigt dabei die Entwicklung derStromung bei einem Offnungsverhaltnis von ω = 0.81, Abbildung32 bei ω = 0.55. Innerhalb jeder dieser Abbildungen werden diejeweiligen virtuellen Ansichten zu unterschiedlichen Zeitpunkten in


Schritten von ∆t = 0.2 s gezeigt. Dadurch lasst sich die axiale Bewe-gung eines Gaspfropfens und dessen Beeinflussung durch die Armaturnachvollziehen.

Betrachtet man die Abbildung 31(a), die die virtuellen Seitenansich-ten bei ω = 0.81 zeigt, so ist daraus ersichtlich, dass die integraleStruktur eines Gaspfropfens sowie der dazwischen liegenden Flussig-keitsbrucke erhalten bleibt. Der Einfluss des Ventils zeigt sich dabeiim Wesentlichen in der Beeinflussung der Struktur der Phasengrenz-

L/D = 47.7

0% 20% 40% 60% 80% 100%

Strömungsrichtung

(a) Virtuelle Seitenansicht

L/D = 47.7

0% 20% 40% 60% 80% 100%

Strömungsrichtung

(b) Virtuelle Draufsicht

Abbildung 31: Virtuelle Schnittbilder bei ω = 0.81


flache, die sich gegenuber dem Zustand stromauf des Ventils zuneh-mend welliger darstellt, wie Abbildung 31(a) verdeutlicht. Die glei-che Erkenntnis liefert nach Abbildung 31(b) die virtuelle Draufsicht.Aus dieser Darstellung geht insbesondere der Einfluss der Kantendes Schließkorpers hervor. Im Nachlauf dieser Kanten ist im Mittelein erhohter Gasanteil festzustellen, der durch Abloseerscheinungenan den Kanten des Schließkorpers hervorgerufen wird. Die darge-stellte Stromung vor dem Kugelhahn entspricht einer dimensions-losen Lange von L/D = 47.7, was bei einem Rohrdurchmesser vonD = 0.054 m einer Lange von 2.58 m gleichkommt.

L/D = 49.4

0% 20% 40% 60% 80% 100%

Strömungsrichtung

(a) Virtuelle Seitenansicht

L/D = 49.4

0% 20% 40% 60% 80% 100%

Strömungsrichtung

(b) Virtuelle Draufsicht

Abbildung 32: Virtuelle Schnittbilder bei ω = 0.55


Die Abbildungen 32(a) und 32(b) zeigen die virtuelle Seitenansichtbzw. Draufsicht der Zweiphasenstromung bei identischen Stromungs-parametern, jedoch bei einem Offnungsverhaltnis von ω = 0.55. Diedimensionslose Lange der Zweiphasenstromung stromauf der Arma-tur entspricht mit einem Wert von L/D = 49.4 annahernd der dimen-sionslosen Lange ∆z∗ der in Abbildung 31 dargestellten Stromung.Der qualitative Vergleich der Abbildungen 31 und 32 hebt die zu-nehmende Beeinflussung der Zweiphasenstromung mit abnehmen-dem Offnungsverhaltnis deutlich hervor. Die Struktur der stromen-den Gaspfropfen, wie in Abbildung 32(a) dargestellt, ist stromab derArmatur nicht mehr großraumig abgegrenzt, wie dies bei einem Off-nungsverhaltnis von ω = 0.81 der Fall ist (vgl. Abbildung 31(a)). DieFlussigkeitsbrucke zwischen den einzelnen Pfropfen wird in der Sei-tenansicht kaum beeinflusst. Sie wandert nahezu unverandert durchden Kugelhahn. In der Draufsicht dagegen ist eine geringfugige Be-einflussung der Flussigkeitsbrucke in Form eines Versatzes erkenn-bar. D.h. die Flussigkeit ist anfangs nicht gleichmaßig uber denQuerschnitt verteilt, sondern stromt deutlich separiert neben demGas. Betrachtet man ferner die stromabwarts liegende Kante desSchließkorpers, so ist festzustellen, dass diese in Stromungsrichtunggesehen auf einer Linie mit der Phasengrenze liegt. Dies fuhrt zurVermutung, dass der Ort der Phasengrenze stromab der Armaturmaßgeblich von deren Offnungsverhaltnis beeinflusst wird. Uberdiesist bei einem Vergleich der Abbildungen 31(a) und 32(a) ein Un-terschied in der Lange und Frequenz der Gaspfropfen vor dem Ku-gelhahn erkennbar. Bei annahernd gleicher virtueller dimensionsloserLange sind die Gaspfropfen der Abbildung 32(a) bei ω = 0.55 schein-bar kurzer als die der Abbildung 31(a), obwohl die Stromungspara-meter jF und ε bei beiden Messungen identisch sind. Dies ist aufeinen hoheren Druck vor dem Kugelhahn zuruckzufuhren, der sichanlagenbedingt bei geringerem Offnungsverhaltnis einstellt.

4.2.1.2 Lokaler volumetrischer Gasgehalt

Das quantitative Maß fur die Phasenverteilung ist der lokale volume-trische Gasgehalt, der die vom Gas belegte Querschnittsflache auf die


gesamte Rohrquerschnittsflache bezieht und durch Gl. (41) eingangsdefiniert wurde

ε =AG

A.

Diese Große kann herangezogen werden, um den Einfluss der Ven-tilstellung auf die Struktur der Zweiphasenstromung zu bewerten.

Beispielhaft soll zunachst der Verlauf des Gasgehalts an drei Stellenentlang der Messstrecke bei konstanten Stromungsgroßen jF und ε,aber unterschiedlichen Ventilstellungen ω dargestellt werden. Abbil-dung 33 zeigt den mittleren volumetrischen Gasgehalt ε kurz vor demKugelhahn bei L/D = -6, unmittelbar stromab des Kugelhahns beiL/D = +1 und am Ende der Messstrecke bei L/D = +75. Insgesamtwerden vier Offnungsgrade ω unterschieden. Die Leerrohrgeschwin-digkeit und der volumetrische Stromungsgasgehalt sind wahrend die-ser Messreihe konstant bei jF = 1.5 m/s und ε = 0.4. Die uber derAbszisse aufgetragene dimensionslose Lange der Messstrecke hat ih-ren Nullpunkt im Mittelpunkt des Kugelhahns.

Festzustellen ist, dass die Ventilstellung, also das Offnungsverhaltnisω, keinen Einfluss auf den Gasgehalt unmittelbar vor und genugendweit stromab des Kugelhahns hat. Es kann damit gezeigt werden,dass die Rehomogenisierung der durch die Geometrie des Kugel-

10 0 10 20 30 40 50 60 70 800.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Messstrecke L/D [-]

lok.

vo

l. G

asg

eh

alt ε

[-]

ω = 0.30

ω = 0.42

ω = 0.55

ω = 0.68

Abbildung 33: Lokaler volumetrischer Gasgehalt ε entlang derMessstrecke


Lee

rro

hrg

esch

win

dig

keit jF

[m

/s]

1,0

1,5

2,0

Strömungsgasgehalt ε [-].0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

100%

0%

20%

40%

60%

80%

Abbildung 34: Lokale mittlere Phasenverteilung bei L/D = -6 beiunterschiedlichen Zustrombedingungen

hahns beeinflussten Zweiphasenstromung innerhalb der dimensions-losen Lange L/D = 75 weitestgehend abgeschlossen ist. Die Stromunghat nahezu die gleiche Form wie vor dem Ventil. Unmittelbar nachder Armatur dagegen wird der Gasgehalt ganz wesentlich durch dieVentilstellung beeinflusst. Befindet sich die Ventilstellung in einerPosition mit starker Drosselwirkung, wird das Offnungsverhaltnis ω

also sehr gering, steigt der Anteil des Gases im Rohrquerschnitt un-mittelbar hinter dem Kugelhahn. Bei nur geringer Drosselung, alsogroßem Offnungsverhaltnis, nimmt dagegen der Anteil der Flussig-keit im Querschnitt zu.

Die Phanomenologie der Zweiphasenstromung bei Durchstromen desKugelhahns sollen die Abbildungen 34 - 35 verdeutlichen. Die Bilderzeigen bei unterschiedlichen Zustrombedingungen die Phasenvertei-lungen unmittelbar stromauf und stromab der Armatur, d.h. unter-schiedlicher Leerrohrgeschwindigkeit jF und unterschiedlichem vol.Stromungsgasgehalt ε. Die Schnittpunkte von Zeile (jF ) und Spal-te (ε) kennzeichnen die zeitlich gemittelte lokale Phasenverteilung


an der jeweiligen Messstelle. Dabei werden die Gasgehalte von 0%bis 100% in Schritten von 10% durch unterschiedliche Farben mar-kiert. Die Farbe Blau grenzt den Bereich des Stromungsquerschnittsab, der im zeitlichen Mittel im Wesentlichen nur von Wasser belegtwird (ε < 10%), wohingegen Rot den Bereich reiner Gasstromung(ε > 90%) kennzeichnet.

Es wird deutlich, dass mit zunehmendem vol. Stromungsgasgehalt εder lokale Gasgehalt ε in jedem Querschnitt der genannten Messstel-len ebenfalls zunimmt. Die Erhohung der LeerrohrgeschwindigkeitjF , die die Bilder in jeder Spalte darstellen, weisen dagegen keineZunahme des Flussigkeitanteils auf, da bei konstantem Stromungs-gasgehalt mit der Erhohung der Leerrohrgeschwindigkeit der Gasvo-lumenstrom ebenso zunimmt. Die lokale Phasenverteilung in jederSpalte sollte daher nahezu konstant sein. Dennoch sind Unterschiedein jeder Spalte bei der Phasenverteilung zu erkennen. Diese beziehensich jedoch auf die Struktur Phasengrenze und sind besonders signi-fikant bei den Ergebnissen der Abbildung 35 unmittelbar stromabdes Kugelhahns.

Abbildung 34 stellt die noch ungestorte Phasenverteilung stromaufdes Ventils dar. Setzt man die mittlere Phasengrenze bei einem Gas-gehalt von ε = 20%− 30% an, so zeigt sich die Zunahme des lokalenGasanteils im Rohrquerschnitt mit steigendem Stromungsgasgehalt εinsbesondere durch das Absenken der Phasengrenze. Alle Abbildun-gen haben gemein, dass sich im Bereich unterhalb der Phasengrenzeausschließlich Flussigkeit befindet. Oberhalb der Phasengrenze lasstsich ein vorwiegend mit Gas belegter Bereich nicht abgrenzen, wasbedeutet, dass sich Gas und Flussigkeit abwechselnd im oberen Quer-schnitt befinden. Die Abbildungen geben daher die lokalen mittlerenPhasenverteilungen einer intermittierenden Stromungsform, wie bei-spielsweise der Kolbenblasen- oder Schwallstromung wieder. Sie lie-fern ferner die Aussage, dass die Phasenverteilung und damit dieStromungsform stromauf der Armatur trotz der extremen Ventilstel-lung bei einem Offnungsverhaltnis von ω = 0.30 nicht beeinflusstwird. Die Phasengrenze weist stets eine horizontale Struktur auf.


Lee

rro

hrg

esch

win

dig

keit jF

[m

/s]

1,0

1,5

2,0


100%

0%

20%

40%

60%

80%

Abbildung 35: Lokale mittlere Phasenverteilung bei L/D = +1 beiunterschiedlichen Zustrombedingungen

Anders verhalt es sich mit der Phasenverteilung unmittelbar stromabder Armatur. Abbildung 35 verdeutlicht den Einfluss der Ventilstel-lung auf die Struktur der Zweiphasenstromung. Der in den einzelnenAbbildungen sichtbare Kreisbogen reprasentiert den Schließkorperder Armatur, der den Rohrquerschnitt in Offnung und Blockade un-terteilt. Aufgrund der Verengung des Stromungsquerschnitts wirddie Stromung derart beschleunigt, so dass diese bei Austritt aus demSchließkorper durch Gravitation nicht beeinflusst wird. Die Tragheitder Flussigkeit fuhrt dazu, dass diese im Wesentlichen uber denlinsenformigen Offnungsquerschnitt verteilt an der seitlichen Rohr-wand entlang stromt, anstatt sich im unteren Bereich des Rohrquer-schnitts anzuordnen. Die Phasengrenze passt sich der Kontur desSchließkorpers an. Ein weiterer Anteil der Flussigkeit befindet sichim linken Bereich des Querschnitts. Die deutliche Abgrenzung derFlussigkeit vom Gas ist hier nur bei geringen Gasgehalten zu beob-achten. Dieser Flussigkeitsanteil wird vermutlich durch das Gas unddie Kante des Schließkorpers bei Austritt aus demselben in Form


von Tropfen herausgerissen. Es entsteht eine Art Spruhstromung,die einen Teil der Flussigkeit in den linken, durch den Schließkorperverdeckten Bereich des Rohrquerschnitts fordert. Die vertikale Ver-teilung dieses Anteils wird wesentlich durch die Geschwindigkeit be-einflusst. Mit Zunahme der Leerrohrgeschwindigkeit wandert der An-teil vom linken unteren in den linken mittleren Bereich des Quer-schnitts, was insbesondere bei mittleren bis hohen Gasgehalten zuerkennen ist. Dies bedeutet, dass die Tragheitskomponente der Tropf-chen großer ist als ihre Gravitationskomponente. Dies fuhrt insbe-sondere bei sehr hohem Gasgehalt dazu, dass sich oben und untenBereiche ausbilden, die im zeitlichen Mittel uberwiegend mit Gasbelegt sind und den flussigen Anteil in der Mitte eingrenzen.

Aus dieser Darstellung und den Erklarungen lasst sich schlussfolgern,dass der bei abnehmenden Offnungsverhaltnissen vorkommende ho-he Gasgehalt, wie in Abbildung 33 gezeigt, durch die Geometrie desSchließkorpers hervorgerufen wird. Es konnte gezeigt werden, dassdie Flussigkeit, bis auf einen geringen Anteil herausgerissener Trop-fen, aufgrund ihrer Tragheit als Strahl aus der Armatur stromt. Dasich der Strahl der Geometrie der Offnung anpasst, wird dem Gas derverbleibende Querschnitt zur Verfugung gestellt, der logischerweisemit abnehmenden Offnungsverhaltnis ω zunimmt.

Leerr

ohrg

eschw

indig

keit jF

[m

/s]

1,0

1,5

2,0


100%

0%

20%

40%

60%

80%

(a) Position L/D = -6

Leerr

ohrg

eschw

indig

keit jF

[m

/s]

1,0

1,5

2,0


100%

0%

20%

40%

60%

80%

(b) Position L/D = +1

Abbildung 36: Lokale mittlere Phasenverteilungen unterschiedli-cher Zustrombedingungen bei einem Offnungsverhaltnis von ω =0.81


Demgemaß verringert sich bei zunehmendem Offnungsverhaltnis derlokale volumetrische Gasgehalt ε stromab der Armatur geringfugig,wie beispielhaft in Abbildung 33 fur ω = 0.81 dargestellt ist. Derlokale Gasgehalt ist hierbei sogar geringer als der stromauf der Ar-matur. Dieser Sachverhalt wird mit den Abbildungen 36(a) und 36(b)verdeutlicht, die die Phasenbilder vor und nach dem Kugelhahn zei-gen. Die aus dem Kugelhahn austretende Flussigkeit passt sich derOffnung des Schließkorpers an und belegt großtenteils die freigegebe-ne Querschnittsflache. Wohingegen sich das kompressible Gas auf dieubrig bleibende Querschnittsflache verteilt, die jedoch geringer ist alsvor dem Kugelhahn. Auch hier ist die Anpassung der Phasengrenzean die Geometrie des Schließkorpers zu erkennen.

Eine zusammenfassende Darstellung der ortlichen volumetrischenGasgehalte, die sowohl die unterschiedlichen Zustrombedingungen alsauch die verschiedenen Ventilstellungen berucksichtigt, zeigt Abbil-dung 37. Die Diagramme geben die integralen Gasgehalte an den dreigenannten Positionen entlang der Messstrecke wieder. Der ortlicheGasgehalt ε ist dabei uber dem Stromungsgasgehalt ε aufgetragen,um seine im Allgemeinen lineare Abhangigkeit zu demonstrieren, diefur Stromungsgasgehalte von ε < 0.9 bei ungestorter Stromung mitGleichung (61), einer einfachen Proportionalitat, beschrieben werdenkann.

Die ortlichen Gasgehalte vor dem Kugelhahn ordnen sich trotz unter-schiedlicher Leerrohrgeschwindigkeiten jF und Offnungsgrade ω line-ar uber dem Stromungsgasgehalt an. Dies bedeutet, dass mit steigen-dem Gasvolumenstrom der mit Gas belegte Stromungsquerschnittzunimmt, wie bereits die Abbildungen 34 und 36(a) deutlich mach-ten. Uberdies bestatigt das obere Diagramm der Abbildung 37, dassdie lokalen Gasgehalte stromauf der Armatur in Abhangigkeit vonder Stromungsgroße ε mit Gleichung (61) berechnet werden konnen.Dies wird durch die Gerade, die dem grafischen Verlauf dieser Glei-chung uber ε entspricht, angedeutet.


Das mittlere Diagramm der Abbildung 37 hebt erneut die Abhangig-keit des lokalen Gasgehalts unmittelbar stromab der Armatur vonderen Offnungsgrad hervor. Auch hier kann von einem linearen Zu-sammenhang des lokalen Gasgehalts ε und des Stromungsgasgehaltsε ausgegangen werden. Jedoch, wie man sehen kann, sortieren sichdie Werte dieser Darstellung nach dem Offnungsverhaltnis ω. Je ge-ringer also das Offnungsverhaltnis ist, desto großer ist der Gasge-halt. Innerhalb einer Messreihe konstanter Ventilstellung ist unmit-

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70

0.2

0.4

0.6

0.8

ört

l. v

ol. G

asg

eh

alt ε

[-]

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70

0.2

0.4

0.6

0.8

ört

l. v

ol. G

asg

eh

alt ε

[-]

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70

0.2

0.4

0.6

0.8

vol. Strömungsgasgehalt ε [-]

ört

l. v

ol. G

asg

eh

alt ε

[-]

+75 D

+1 D

-6 D

Strö

mungsric

htu

ng

ω = 0.30

ω = 0.55

ω = 0.81

Modell

2.0 /1.5 /1.0 m/s

Abbildung 37: Lokaler volumetrischer Gasgehalt ε an verschiede-nen Messstellen entlang der Messstrecke


telbar stromab der Armatur kein quantitativer Einfluss der Leerrohr-geschwindigkeit auf den Gasgehalt erkennbar.

Nach einer dimensionslosen Lange von L/D = +75 liegen wiederZustrombedingungen vor, wie das untere Bild der Abbildung 37 ver-deutlicht. Fur den Bereich der experimentellen Daten kann daher ge-folgert werden, dass die Rehomogenisierung der Stromung nach die-ser Lange abgeschlossen ist. Diese Erkenntnis spielt insbesondere furdie im Kapitel 4.2.2 vorgestellte Modellierung des Druckverlust einebedeutende Rolle. Uberdies zeigt die Abbildung, dass auch hier derlokale volumetrische Gasgehalt ε mit Gleichung (61) in Abhangigkeitvom Stromungsgasgehalt beschrieben werden kann, wie beispielhaftdurch die im Diagramm befindliche Gerade angedeutet wird.

4.2.1.3 Lokale mittlere Geschwindigkeiten

Parallel zur Diskussion des lokalen Gasgehalts sind die lokalen mitt-leren Geschwindigkeiten der beiden Phasen zu nennen, die mittelsdes lokalen Gasgehalts ε und der jeweiligen Massenstrome berechnetwerden konnen

wk =Mk

ρk εk Ak = F,G.

Die Große εk bezeichnet hierbei den Flussigkeits- bzw. den Gasanteilbezogen auf die Querschnittsflache des Rohres.

Die Abbildungen 38(a) und 38(b) zeigen beispielhaft die Entwick-lung der lokalen mittleren Geschwindigkeit der Flussigkeit wF unddes Gases wG entlang der Messstrecke bei konstanten Zustrombedin-gungen, aber unterschiedlichen Offnungsgraden. Die Werte reprasen-tieren Messreihen, bei denen die Leerrohrgeschwindigkeit zu jF = 1.5m/s und der Stromungsgasgehalt zu ε = 0.3 eingestellt wurde. Fest-zustellen ist, dass vor und ausreichend weit stromab der Armaturwiederum die gleiche Stromungsgeschwindigkeit der Flussigkeit vor-liegt. Die des Gases nimmt stromab der Armatur anscheinend ge-ringfugig zu. Unmittelbar hinter dem Kugelhahn jedoch steigt die


Geschwindigkeit der Flussigkeit wF mit sinkendem Offnungsverhalt-nis, wahrend die Gasgeschwindigkeit wG dagegen sinkt. Dies ist wie-derum auf die sich unmittelbar stromab des Kugelhahns ausbilden-de Phasenverteilung zuruckzufuhren. Wie im vorherigen Kapitel be-reits anhand der Diskussion des volumetrischen ortlichen Gasgehaltsbeschrieben, kommt es am Austritt des Kugelhahns – insbesonderebei sehr kleinen Offnungsverhaltnissen – zur Bildung eines Flussig-keitsstrahls, der mit Geschwindigkeiten bis zu 8 m/s (vgl. Abbil-dung 39) aus dem Schließkorper heraus schießt. Das Gas dagegenverhalt sich bei geringem Offnungsgrad umgekehrt, es wird durchdie Aufweitung des zur Verfugung stehenden Stromungsquerschnittsgegenuber den Zustrombedingungen verzogert. Im Gegensatz dazuwird bei moderaten Offnungsverhaltnissen das Gas beschleunigt unddie Flussigkeit verzogert. Dieser Zusammenhang geht insbesonde-re aus der Abbildung 39 hervor, die die lokalen mittleren Phasenge-schwindigkeiten uber den untersuchten Bereich der experimentell de-finierten Stromungsgroßen jF und ε sowie des Offnungsverhaltnissesω darstellt. Die Diagramme kennzeichnen wiederum die Ergebnis-se an den drei unterschiedlichen Messpositionen L/D = -6/+1/+75.Die links der skizzierten Rohrleitung befindlichen Diagramme gebendie mittlere Flussigkeitsgeschwindigkeit wF wieder, die rechts da-von angeordneten Diagramme zeigen die mittlere Gasgeschwindig-keit wG. Samtliche Geschwindigkeiten sind uber dem volumetrischen

20 0 20 40 60 800

2

4

6

L/D [-]

wF [

m/s

]

(a) Mittlere Geschwindigkeit Flussigkeit

20 0 20 40 60 800

2

4

6

L/D [-]

wG

[m

/s]

ω = 0.19 ω = 0.30ω = 0.42 ω = 0.55

ω = 0.81

(b) Mittlere Geschwindigkeit Gas

Abbildung 38: Mittlere Phasengeschwindigkeiten an verschiedenenPositionen entlang der Messstrecke


0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

2

4

6

8w

F [m

/s]

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

2

4

6

8

wG

[m

/s]

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60

2

4

6

8

wF[m

/s]

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60

2

4

6

8

wG

[m

/s]

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

2

4

6

8


wF[m

/s]

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

2

4

6

8


wG

[m

/s]

+75 D

+1 D

-6 D

ω = 0.30

ω = 0.55

ω = 0.81

1.0 /1.5/ 2.0 m/sjF =

ω = 0.30

ω = 0.55

ω = 0.81

1.0 /1.5/ 2.0 m/sjF =

Strö

mungsric

htu

ng

Abbildung 39: Lokale mittlere Phasengeschwindigkeiten wF undwG

Stromungsgasgehalt ε aufgetragen. Innerhalb eines Diagramms wirdnach der Leerrohrgeschwindigkeit jF und dem Offnungsverhaltnis ωunterschieden.

Erwartungsgemaß verhalten sich die Geschwindigkeiten stromaufdes Kugelhahns entsprechend der definierenden Stromungsgroßen jF

und ε. D.h. die Erhohung der Leerrohrgeschwindigkeit jF hat eineErhohung der lokalen mittleren Flussigkeitsgeschwindigkeit wF zurFolge, wie die Abbildung 39 links oben erkennen lasst. Innerhalbeiner Messreihe konstanter Leerrohrgeschwindigkeit ist, wie zu er-warten war, kein Einfluss der Ventilstellung erkennbar. Dies wird


durch die unterschiedlichen Formen (Dreiecke, Quadrat) gleicher Far-be angedeutet. Der lineare Verlauf der FlussigkeitsgeschwindigkeitwF uber dem Stromungsgasgehalt ε ist mit der einhergehenden Ande-rung des lokalen Gasgehalts erklarbar, die im vorherigen Kapiteleingehend diskutiert wurde. Wie dargelegt, weitet sich mit zuneh-mendem Stromungsgasgehalt der dem Gas zur Verfugung stehendeStromungsquerschnitt stetig. Dies fuhrt zu einer Verringerung desStromungsquerschnitts der Flussigkeit, was nach der Kontinuitats-bedingung eine Geschwindigkeitserhohung mit sich bringt. Eine ahn-liche Charakteristik weisen die lokalen Gasgeschwindigkeiten strom-auf der Armatur auf (vgl. Abbildung 39 rechts oben). Auch hier istkein Einfluss der Ventilstellung auf die lokale Geschwindigkeit zuerkennen. Ferner ist festzustellen, dass die Gasgeschwindigkeit so-wohl mit steigender Leerrohrgeschwindigkeit jF als auch steigendemStromungsgasgehalt ε zunimmt.

Im Stromungsquerschnitt unmittelbar stromab des Kugelhahns, wiedie beiden mittleren Diagramme der Abbildung 39 beispielhaft zei-gen, zeichnet sich das bereits bekannte Verhalten der Flussigkeits-und Gasgeschwindigkeiten ab. Die lokale mittlere Geschwindigkeitder flussigen Phase steigt mit abnehmendem Offnungsverhaltnisstark an, wahrend die Geschwindigkeit der Gasphase abnimmt. Dasumgekehrte Verhalten tritt bei großen Offnungsverhaltnissen auf,hierbei wird die Gasphase infolge des verringerten Stromungsquer-schnitts beschleunigt. Zu erkennen ist dies im rechten der beidenmittleren Diagramme, da hier insbesondere die Geschwindigkeitenbei ω = 0.81 große Werte annehmen.

Die beiden unteren Diagramme der Abbildung 39 geben die Ge-schwindigkeiten wF und wG am Ende der Messstrecke wieder. Wie be-reits im vorherigen Kapitel gezeigt wurde, sind die lokalen Gasgehal-te stromauf und ausreichend weit stromab identisch. Fur die flussigePhase bedeutet dies, dass bei konstanter Dichte und gleichbleiben-dem Stromungsquerschnitt die Geschwindigkeiten die gleichen Wer-te annehmen wie unmittelbar vor der Armatur. Diesen Sachverhaltbestatigt der Vergleich des linken oberen und des linken unteren Dia-


gramms der Abbildung 39. Trotz des nahezu identischen Gasgehaltsbei L/D = -6 und L/D = +75 (vgl. Abbildung 37), zeigt der Vergleichder Gasgeschwindigkeiten an diesen Positionen keine exakte Uberein-stimmung. Insbesondere Geschwindigkeiten, die zu Messreihen mitkleinem Offnungsverhaltnis gehoren weisen im Allgemeinen großereGasgeschwindigkeitswerte auf als das bei moderaten Ventilstellungender Fall ist. Dies ist auf den Dichteunterschied des Gases vor und nachder Armatur zuruckzufuhren. Bei gleichbleibendem Stromungsquer-schnitt des Gases vor und nach der Armatur fuhrt die Verringerungder Gasdichte konsequenterweise zur Erhohung der Gasgeschwindig-keit wG. Dies wird durch Abbildung 40 bestatigt, die das Verhaltnisder Gasdichten vor und nach dem Kugelhahn uber dem Stromungs-gasgehalt ε zeigt. Wahrend die Dichteverhaltnisse bei Offnungsgra-den ω > 0.55 nahezu identisch sind und mit Werten nahe eins aufannahernd gleiche Gasdichten stromauf und stromab der Armaturhinweisen, sind die Dichteverhaltnisse kleiner Offnungsverhaltnissedeutlich großer. Dies wird in der Abbildung 40 durch die Dreieckeverdeutlicht, die den Offnungsgrad ω = 0.30 reprasentieren.

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.71

1.2

1.4

1.6

1.8

2

volumetrischer Strömungsgasgehalt ε

Dic

hte

ve

rhä

ltn

is G

as ρ

G1/ρ

G2 ω = 0.30

ω = 0.55

ω = 0.81

1.0 /1.5/ 2.0 m/sjF =

Abbildung 40: Verhaltnis der Gasdichten vor und nach der Arma-tur

4.2.1.4 Phasenschlupf

In der Literatur wird haufig der Phasenschlupf s als dimensionsloseGroße zur Betrachtung der lokalen Geschwindigkeiten herangezogen.


Er wurde bereits mit Gleichung (63) im Kapitel 2.2.4 eingefuhrt unddefiniert das Verhaltnis von lokaler Gasgeschwindigkeit zu lokalerFlussigkeitsgeschwindigkeit.

s =wG

wF

Diese Große erlaubt eine dimensionslose Betrachtung der Phasen-geschwindigkeiten. Abbildung 41 zeigt den Schlupf an drei Positio-

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70

1

2

3


Sch

lup

f s [

-]

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70

1

2

3

Sch

lup

f s [

-]

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70

1

2

3

Sch

lup

f s [

-]

ω = 0.30

ω = 0.55

ω = 0.81

1.0 /1.5/ 2.0 m/sjF =

+75 D

+1 D

-6 D

Strö

mungsric

htu

ng

Abbildung 41: Phasenschlupf s an verschiedenen Messpositionenentlang der Messstrecke


nen entlang der Messstrecke als Funktion der StromungsparameterjF und ε sowie dem Offnungsverhaltnis ω. In einem Messquerschnittstromauf der Armatur ist eine Zunahme des Schlupfs mit steigendemStromungsgasgehalt festzustellen. Die anderen Messparameter, wieLeerrohrgeschwindigkeit und Ventilstellung, haben scheinbar keinenEinfluss. Alle dargestellten Schlupfwerte haben gemein, dass sie Wer-te großer eins aufweisen, was auf eine gegenuber der Flussigkeit imzeitlichen Mittel schneller stromende Gasphase schließen lasst. Die-ses Verhalten verandert sich unmittelbar stromab des Kugelhahnsdeutlich. So ist zunachst fur alle Werte des Schlupfs erkennbar, dasssie im Wesentlichen vom Offnungsverhaltnis ω beeinflusst sind. DieseErkenntnis wurde bereits bei der Diskussion des lokalen Gasgehaltsε gewonnen. Neu dagegen ist die Unabhangigkeit des Schlupfs vonder Leerrohrgeschwindigkeit und die nur geringfugige Beeinflussungdesselben durch den volumetrischen Stromungsgasgehalt. D.h. un-abhangig von den Stromungsgroßen wird das Verhaltnis der Phasen-geschwindigkeiten immer nahezu identische Werte annehmen, die imWesentlichen nur noch vom Offnungsgrad der Armatur abhangen.Dieser Zusammenhang geht aus dem mittleren Diagramm der Ab-bildung 41 hervor. Dabei wird ebenso gezeigt, dass bei geringen Off-nungsgraden der Schlupf einen Wert kleiner eins annehmen kann,was auf eine gegenuber der Gasphase schneller stromende flussigePhase hindeutet. Das Verhalten des Phasenschlupfs weiter stromabder Armatur gleicht sich dem stromauf des Kugelhahns an. Im Allge-meinen stromt die Gasphase nun wieder schneller als die Flussigkeit.Unterschiede in den Gasdichten vor und nach dem Kugelhahn sowiedie Rehomogenisierung der Stromung auf einen Zustand, der nichtvollstandig identisch mit dem vor der Armatur ist, machen sich in derunteren Darstellung der Abbildung 41 durch unterschiedliche Wertegeringfugig bemerkbar.


4.2.2 Modellierung des zweiphasigen Druckverlustes

Bevor die Messergebnisse hinsichtlich des Druckverlustes diskutiertwerden, soll mit diesem Kapitel zunachst der Modellierungsansatzvorgestellt werden.

Die Modellierung des Druckabfalls der adiabaten Zweiphasen-stromung basiert auf den Erkenntnissen des Kapitels 4.1.4. Insbe-sondere die in diesem Abschnitt vorgestellte Untergliederung desKugelhahns in charakteristische Bilanzgebiete kommt hier zur An-wendung. Mit dieser Unterteilung lassen sich auch im zweiphasigenFall die jeweiligen Druckverluste der einzelnen Gebiete durch Verlu-ste bekannter Rohrleitungskomponenten modellieren. Hierfur werdendie Beziehungen fur die Stufenduse und den Stufendiffusor herange-zogen. Die Herleitung der entsprechenden zweiphasigen Gleichungenwurde im Kapitel 2.2.5.3 erlautert. Zudem wird von einer homogenenModellvorstellung ausgegangen, deren Eigenschaften und Gleichun-gen im Kapitel 2.2.2.3 erklart wurden.

In Abbildung 42 ist die Untergliederung der Kugelhahngeometrieschematisch dargestellt. Wie in dieser Darstellung ersichtlich, istdie Armatur in zwei aufeinander folgende Kombinationen von Stu-fenduse und Stufendiffusor unterteilt. Das Flachenverhaltnis derDuse bzw. des Diffusors entspricht dem Offnungsverhaltnis des Ven-tils, das uber

ω =Ae

A

ausgedruckt wird. Mit Hilfe dieser Vereinfachung konnen die realenVerhaltnisse im Kugelhahn modelliert und mit bekannten Gleichun-gen berechnet werden.

Die Modellvorstellung geht davon aus, dass das zunachst separiertzustromende Gas-Flussigkeits-Gemisch, beispielsweise in Form einerPfropfenstromung, an der ersten Engstelle, ahnlich der Einphasen-stromung, beschleunigt und verlustbehaftet eingeschnurt wird. Die-ser Gewinn an kinetischer Energie hat einen Druckabbau zur Fol-ge. Nach dem Durchstromen dieser Engstelle tritt das Gemisch in


Wirbel

Einschnürung

StufendiffusorAe

AeA

A

Abbildung 42: Schematisches Modell des Kugelhahns

den erweiterten Querschnitt ein, wo es sich aufgrund starker Um-lenkungen und Verwirbelungszonen derart durchmischt, dass in die-sem Gebiet trotz unterschiedlicher Phasengeschwindigkeiten, die vorEintritt in die Kombination aus Stufenduse und -diffusor herrsch-ten, von einem vernachlassigbaren Phasenschlupf ausgegangen wer-den kann. Ferner ruft der Eintritt in den erweiterten Querschnitteine Verzogerung der Stromung in axialer Richtung hervor, die ana-log eines Stufendiffusors bei genugend langer Homogenisierungszo-ne zu einem Druckruckgewinn fuhren wurde. Da diese jedoch nurwenige Zentimeter betragt, kann die in den Wirbeln gespeichertekinetische Energie vor der nachsten Engstelle nicht mehr in Druckumgewandelt, sondern muss als Verlust betrachtet werden. An derfolgenden zweiten Engstelle wird das Gemisch erneut beschleunigtund eingeschnurt, was wiederum eine Erhohung der kinetischen undVerringerung der Druckenergie nach sich zieht. Im folgenden zweitenStufendiffusor, der im Gegensatz zum ersten eine ausreichend langeRehomogenisierungsstrecke zur Verfugung hat, erfahrt die Zweipha-senstromung bei Verzogerung einen Druckaufbau, der mit den Glei-chungen des Stufendiffusors beschrieben werden kann.

Geht man davon aus, dass sich die Phasengeschwindigkeiten stromabder aneinander gereihten Stufenkomponenten wieder den zustromen-den Phasengeschwindigkeiten angleichen (vgl. Kapitel 4.2.1), alsodie reversiblen Beschleunigungs- und Verzogerungsdruckunterschie-de sich gegenseitig aufheben, konnen die jeweiligen Druckverluste


der einzelnen Komponenten zum gesamten Druckverlust addiert wer-den. Der gesamte Druckverlust setzt sich zusammen aus den Ein-schnurungsverlusten ∆pEinschn. an den beiden Engstellen, dem Ver-lust der in den Wirbeln enthaltenen kinetischen Energie ∆pWirbel

und dem Verlust, der durch den nicht idealen Druckaufbau im Stu-fendiffusor ∆pStufendiff. entsteht. Die Addition dieser Terme fuhrtzur Gleichung

∆pV,A = ∆pV,Wirbel + ∆pV,Stufendiff. + 2 ·∆pV,Einschn.,

die auf Seite 61 mit Gleichung (96) im Zusammenhang mit dem ein-phasigen Druckverlust des Kugelhahns bereits eingefuhrt wurde. Dieeinzelnen Druckverlustterme konnen nun mit geeigneten Modellenbeschrieben werden.

Der Ansatz des”Wirbelverlustes“ ∆pWirbel verfolgt die Vorstellung,

dass die kinetische Energie, die auf Kosten des Drucks durch dieBeschleunigung an der ersten Engstelle zunimmt, in der folgendenQuerschnittserweiterung vollstandig verloren wird. Wie bereits ange-deutet, ist dies auf die Wirbelbildung zuruckzufuhren. Der Druckver-lust wird dem durch die Beschleunigung hervorgerufenen Druckabfallgleichgesetzt und mit dem Modell einer konvergenten Duse darge-stellt, die das Gas-Flussigkeits-Gemisch durch die Querschnittsande-rung beschleunigt. In diesem Segment wird von einem vernachlassig-bar geringem Phasenschlupf ausgegangen, daher kann der Druck-verlust mit der Vorstellung der homogenen Zweiphasenstromungbestimmt werden. Die Anwendung der entsprechenden Gleichun-gen (45) und (46) sowie der Gleichung (97), die den Druckverlustfur den einphasigen Fall wiedergibt, fuhren zur Gleichung

∆pWirbel =ρF

2

M

ρF A

2 (1 + x

(ρF

ρG− 1

)) 1− ω2

ω2

. (102)

Sie entspricht damit der Gleichung (79), die den Beschleunigungs-druckabfall einer zweiphasig durchstromten Duse wiedergibt. Sie be-schreibt den Druckverlust in Abhangigkeit der konstanten und imAllgemeinen bekannten Großen, wie dem Gesamtmassenstrom M ,


dem massenbezogenen Stromungsgasgehalt x, der Rohrquerschnitts-flache A, den Dichten ρF und ρG sowie dem Offnungsverhaltnis ω.

Der Verlust durch den nicht idealen Druckruckgewinn eines Stufen-diffusors ∆pStufendiff. wird mit dem heterogenen Modell beschrieben.Die Herleitung der entsprechenden Gleichung ist Kapitel 2.2.5.3 zuentnehmen und wird an dieser Stelle nicht mehr diskutiert. Die hierangefuhrte Gleichung (103) entspricht der dort beschriebenen Glei-chung (78) fur den Druckverlust. Die Beziehung ist, bis auf den vo-lumetrischen Gasgehalt ε, nur von den oben genannten bekanntenund konstanten Großen abhangig. Fur die Große ε wird der volu-metrische Gasgehalt stromauf der Armatur eingesetzt, der, soferner nicht experimentell bestimmbar ist, mit bekannten Modellen undGleichungen, wie beispielsweise Gl. (61) und (62), berechnet werdenkann.

∆pStufendiff. =ρF

2

M

ρF A

2 1− ω2

ω2

(xρF

ρG+ 1− x

)−1. . .

. . .

x3

ε2

ρ2F

ρ2G

+(1− x)3

(1− ε)2

− 2

ω

1 + ω

x2

ε

ρF

ρG+

(1− x)2

1− ε

(103)

Die Einschnurungsverluste an den Engstellen werden mit den be-kannten, bei einphasiger Stromung quantifizierten Kontraktionskoef-fizienten µ berechnet. Hierfur wird, analog der Berechnung einphasi-ger Druckverluste, bei denen der dynamische Druck ρ/2 w2 mit einemVerlustkoeffizienten ζ multipliziert wird, das Produkt aus dem Ver-lustkoeffizienten aufgrund der Kontraktion an den Engstellen unddem zweiphasigen homogenen dynamischen Druck gebildet.

∆p =ρh

2w2

h · ζEinschn.

Nach Umformung dieser Gleichung und Eliminierung der lokalen Ge-schwindigkeiten durch die korrespondierenden Massenstrome mit denGleichungen (32) (45) (46) sowie der Verwendung des einphasigenKontaktionsdruckverlustkoeffizienten,

ζEinschn. =

(1− µ

µ

)2 1

ω2


der in Gleichung (100) enthalten ist, erhalt man die Beziehungfur den Druckverlust aufgrund der Kontraktion der zweiphasigenStromung an einer Engstelle. Da zwei Einschnurungsstellen vorhan-den sind, muss diese Beziehung lediglich mit zwei multipliziert wer-den. Folgende Gleichung beschreibt den zweiphasigen Druckverlust,der durch die beiden Kontraktionsstellen hervorgerufen wird.

2 ∆pEinschn. = 2ρF

2

M

ρF A

2 (1 + x

(ρF

ρG− 1

)) (1− µ

µ

)2 1

ω2 (104)

Auch diese Gleichung ist im Wesentlichen von konstanten und be-kannten Stromungsgroßen abhangig.

Addiert man die einzelnen Verluste und formt die resultierende Glei-chung um, erhalt man eine Beziehung, die die Bestimmung desDruckverlustes eines zweiphasig durchstromten Kugelhahns erlaubt.Dies ist, wie die dargelegten Ausfuhrungen deutlich machen, auf so-liden physikalischen Uberlegungen und Modellvorstellungen aufge-baut. Lediglich der Kontraktionskoeffizient µ erweitert die Gleichungum eine empirische Große. Die Bestimmung der Großen x, ε und s

sind Kapitel 2.2 zu entnehmen.

∆pgesamt =ρF

2

M

ρF A

2 1− ω2

ω2

(1 + x

(ρF

ρG− 1

))

1 +

(1− x

1− ε

)2 1 + x (s2 − 1)(1 + x

(ρF

ρG− 1

))2 −2 ω

1 + ω(105)

(1− x

1− ε

)1 + x (s− 1)

1 + x (ρF

ρG− 1)

+2

1− ω2

(1− µ

µ

)2


4.2.3 Druckverluste des Kugelhahns

Gegenstand dieses Kapitels ist die Untersuchung des Einflusses un-terschiedlicher Offnungsgrade des Kugelhahns auf den Druck in derMessstrecke und den Druckverlust uber die Armatur sowie der Ver-gleich mit den berechneten Werten gemaß des Modells.

4.2.3.1 Druckverlauf entlang der Messstrecke

Der zweiphasige Druckverlauf entlang der Messstrecke ahnelt demVerlauf bei einphasiger Stromung, nur dass, wie zu erwarten, ne-ben der Flussigkeitsgeschwindigkeit und dem Offnungsverhaltnis einweiterer, den Druckverlauf beeinflussender Parameter – der volume-trische Stromungsgasgehalt ε – hinzu kommt. Dargestellt in Ab-bildung 43 ist der Druckverlauf bei einer LeerrohrgeschwindigkeitjF von 1.0 m/s und einem Offnungsverhaltnis ω von 42 %. DerStromungsgasgehalt ε variiert dabei von 0.2 bis 0.6 in Schritten von0.2. Bei allen drei Messungen ist zu erkennen, dass im Streckenab-schnitt L/D=-70...-1 der Druckverlust aufgrund des monoton fallen-den Verlaufs der Kurve von Reibungsverlusten gepragt ist, wohinge-gen im Bereich von L/D=-1...10 der Verlust durch das Ventil her-vorgerufen wird. Im Abschnitt L/D=10...70 ist erneut die Reibungdie Ursache fur den weiteren Druckabbau. Analog zum einphasigenDruckverlauf (siehe Seite 55) ist auch beim Verlauf des zweiphasigenDruckverlustes im Bereich L/D=1...10 nach dem Ventil ein Druck-

-70 -10 0 10 701

1.05

1.1

1.15

1.2

ω = 0.42

jF = 1.0 m/s

ε 0.20.40.6

ε

Abbildung 43: Zweiphasiger Druckverlauf entlang der Messstrecke


aufbau zu sehen. Der Einfluss des Gasgehalts auf den Druckverlaufaußert sich im hoheren Vordruck am Eintritt in die Messstrecke. AmAustritt der Messstrecke herrschen Umgebungsbedingungen, dahermuss zur Uberwindung des durch den Kugelhahn hervorgerufenenDruckabfalls, der mit steigendem Gasgehalt der Stromung zunimmt,das Druckniveau am Eintritt ebenfalls steigen.

4.2.3.2 Druckverluste – Experiment und Modell –

Der Druckverlust uber den Kugelhahn ist von drei Parameternabhangig, dem Offnungsverhaltnis ω und den Massenstromen derFlussigkeit und des Gases, die uber die Leerrohrgeschwindigkeit jF

und den volumetrischen ε bzw. massenbezogenen x Stromungsgas-gehalt ausgedruckt werden. Mit den nun folgenden Abbildungenwird dieser Zusammenhang verdeutlicht. Zudem werden die mit Glei-chung (105) berechneten theoretischen Druckverluste den experimen-tellen Werten gegenubergestellt.

Abbildung 44 zeigt die berechneten und gemessenen Druckverluste

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


Dru

ckve

rlu

st

∆ p

[b

ar]

jF = 2.0 m/s

jF = 1.0 m/s Modell

ε = 0.2 0.5

Abbildung 44: Gemessener und modellierter Druckverlust ∆p uberdem Offnungsverhaltnis ω


in Abhangigkeit vom Offnungsverhaltnis ω bei zwei unterschiedlichenLeerrohrgeschwindigkeiten und zwei unterschiedlichen Stromungs-gasgehalten. Es wird deutlich, dass das Offnungsverhaltnis der domi-nierendste Parameter ist. In einem Bereich von 19% bis 93% Offnungdes Ventils unterscheiden sich die Druckverluste einer Messreihe beigleichen Zustrombedingungen – jF und ε sind konstant – um meh-rere Großenordnungen. Jedoch sind auch die Einflusse der anderenParameter nicht zu vernachlassigen. Die Verdopplung der Stromungs-geschwindigkeit des Wassers fuhrt ebenfalls zu einer Erhohung desDruckverlustes. Die Steigerung des volumetrischen Stromungsgas-gehalts ε zieht ebenso eine signifikante Steigerung des Druckver-lustes ∆p nach sich. Sowohl die experimentellen Daten als auchdie berechneten Druckverlaufe folgen dem bereits aus den einpha-sigen Versuchen bekannten exponentiellen Anstieg mit kleiner wer-denden Offnungsverhaltnis. Dabei kann das Modell nach verschiede-nen Leerrohrgeschwindigkeiten und Offnungsverhaltnissen deutlichunterscheiden. Messung und Modell stimmen sehr gut uberein.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.50.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

Leerrohrgeschwindigkeit jF [m/s]

Dru

ckve

rlu

st

∆ p

[b

ar]

Modell ω = 0.55

ω = 0.30

ω = 0.19

ε = 0.2 0.5Modell ω = 0.55

ω = 0.30

ω = 0.19

ε = 0.2 0.5

Abbildung 45: Gemessener und modellierter Druckverlust ∆p uberder Leerrohrgeschwindigkeit jF


Abbildung 45 zeigt die Abhangigkeit der Druckverluste uber derLeerrohrgeschwindigkeit jF . Beispielhaft wurden die Messwerte beidrei unterschiedlichen Offnungsverhaltnissen (ω = 0.55/0.30/0.19)und zwei unterschiedlichen Gasgehalten (ε = 0.2/0.5) zur Illustrati-on herangezogen und den mittels Modellgleichung (105) berechnetenDruckverlaufen gegenubergestellt. Der in dieser Gleichung enthalteneTerm

M

ρF A

2

=

(jF

1− x

)2

kann als Leerrohrgeschwindigkeit ausgedruckt werden. Die Abbil-dung bestatigt die im vorherigen Diagramm gezeigte Zunahme desDruckverlustes mit steigender Leerrohrgeschwindigkeit. Der quadra-tische Einfluss dieser Große, die zusammen mit der Dichte ρF/2einen dynamischen Druck reprasentiert, geht aus den berechnetenund in Abbildung 45 dargestellten Druckverlaufen deutlich hervor.Die Verlaufe bei unterschiedlichen Offnungsgraden und Gasgehaltenordnen sich sinnvoll an, so dass davon ausgegangen werden kann, dassdas Modell den Druckverlust richtig wiedergibt. Gestutzt wird die-ser Sachverhalt durch Messwerte, die die berechneten Druckverlaufebestatigen und die Fahigkeit des Modells, die Druckverluste exaktzu bestimmen, untermauern.

Abbildung 46 stellt die Druckverluste und Modellverlaufe uber einerweiteren Stromungsgroße, dem vol. Stromungsgasgehalt ε, dar. DasDiagramm zeigt berechnete Druckverlaufe und gemessene Druck-verlustwerte bei zwei unterschiedlichen Leerrohrgeschwindigkeiten(jF = 1.0/1.5 m/s) und drei unterschiedlichen Offnungsverhaltnis-sen (ω = 0.55/0.30/0.19). Die Datenpunkte bei einem Stromungs-gasgehalt von ε = 0 kennzeichnen die Druckverluste der einphasigenFlussigkeitsstromung bei entsprechender Fluidgeschwindigkeit undentsprechendem Offnungsgrad. Erwartungsgemaß steigt der Druck-verlust mit zunehmendem Gasgehalt. Im Bereich der Kolbenblasen-stromung (ε < 0.5) wie auch im Bereich der Pfropfen- bzw. Schwall-stromung (0.4 < ε < 0.8) ist eine stetige und gleichmaßige Zunah-me des Druckverlustes zu beobachten. Diese Tendenz wird jedoch


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.01

0.1

1.0

volumetrischer Strömungsgasgehalt ε [-]

Dru

ckverlu

st

∆ p

[b

ar]

Modell ω = 0.55

ω = 0.30

ω = 0.19

jF = 1.0 1.5 m/s

Abbildung 46: Gemessener und modellierter Druckverlust ∆p uberdem volumetrischen Stromungsgasgehalt ε

im Ubergangsgebiet Schwallstromung → Ringstromung (ε > 0.8)durchbrochen. Der Druckverlust nimmt hier mit nur geringfugigerErhohung des Gasgehalts sprunghaft zu.

Der Verlauf des Druckverlustes uber dem Gasgehalt ist folgenderma-ßen erklarbar. Der Grund fur die stetige, nahezu lineare, Zunahmedes Druckverlustes mit steigendem Stromungsgasgehalt ε ist – imBereich der Kolbenblasen- und Schwallstromung – auf die stetigeVergroßerung der Gasblasen zuruckzufuhren. Die kleineren Kolben-blasen wachsen an zu Gaspfropfen, die Flussigkeitsbrucken zwischenden Pfropfen werden immer kleiner, es kommt zur Schwallstromung.Dieser Ubergang von der einen Stromungsform zur anderen voll-zieht sich mehr oder weniger kontinuierlich. Diese intermittierendenStromungsregimes sind trotz des Ventils, das die Stromung naturli-cherweise beeinflusst, stromab des Kugelhahns nach wie vor zu be-obachten. Im Gegensatz dazu wird die Ringstromung, bei der beideFluide bestrebt sind, die Energiedissipation [9] gering zu halten, vonder Armatur zerstort.


Auch in dieser Darstellung werden die berechneten Druckverlaufeeindeutig durch die entsprechenden Messwerte bestatigt. Es ist keinesignifikante Abweichung des Modells vom Experiment zu beobach-ten. Uberdies ist das Modell anscheinend in der Lage, die Druckver-luste am zweiphasig durchstromten Kugelhahn uber den gesamtenBereich des Gasgehalts vorauszusagen. Der Verlauf des theoretischenDruckverlustes folgt den Messwerten. Ausgehend von der Einphasen-stromung bei ε = 0 bis zu einem Wert bei ε ≈ 0.8, der den Ubergangzur Ringstromung kennzeichnet, steigt der Verlauf nahezu linear an.Im Ubergangsgebiet zwischen Schwall- und Ringstromung bzw. beireiner Ringstromung ist ein exponentielles Ansteigen des Druckverlu-stes sowohl bei den experimentellen als auch den berechneten Datenzu beobachten.

Abbildung 47 zeigt die grundsatzliche Leistungsfahigkeit des Mo-dells. Die doppelt logarithmische Skalierung der Diagrammachsenermoglicht die Darstellung der Druckverluste uber einen Wertebe-reich, der sich uber drei Großenordnungen erstreckt. Wie die Abbil-dung zeigt, gibt das Modell den zweiphasigen Druckverlust eines Ku-

0.01 0.1 1.0

0.01

0.1

1.0

Druckverlust gemessen ∆ p [bar]

Dru

ckve

rlu

st

Mo

de

ll ∆

p [

ba

r]

+ 20%

- 20%

ω = 0.93

ω = 0.81

ω = 0.68

ω = 0.55

ω = 0.42

ω = 0.30

ω = 0.19

jF = 0.5 1.0 1.5 2.0 m/s

Abbildung 47: Gegenuberstellung von berechneten und gemesse-nen Druckverlusten ∆p


gelhahns innerhalb einer Abweichung von ±20% sehr genau wieder.Berucksichtigt man, dass im Allgemeinen Abweichungen von ±30%bei der Berechnung des zweiphasigen Reibungsdruckverlustes tole-riert werden[36], so ist die Ubereinstimmung von Modell und Expe-riment fur die zweiphasigen Druckverluste eines Kugelhahns beacht-lich.

Auffallend dabei ist, dass insbesondere hohere Druckverluste einebessere Ubereinstimmung mit dem Modell aufweisen, als das bei ge-ringeren Druckverlusten der Fall ist. Dies bedeutet jedoch nicht, dassdas Modell bei der Vorhersage von geringeren Druckverlusten ver-sagt. Betrachtet man die einzelnen Datenpunkte, die außerhalb desBereichs von ±20% Abweichung liegen, so ist festzustellen, dass die-se Punkte vor allem Messungen reprasentieren, die bei sehr geringerAnstellung des Schließkorpers, also bei sehr großen Offnungsverhalt-nissen (ω = 0.93 bzw. ω = 0.81) durchgefuhrt wurden. Dementspre-chend gering ist der durch die Armatur hervorgerufene Druckverlust.Da die gemessenen Druckdifferenzen sowohl Reibungs- als auch Ar-maturendruckverluste beinhalten, uberwiegt insbesondere bei großenOffnungsverhaltnissen der Druckabfall infolge Reibung, der, wie inAbbildung 47 deutlich wird, in diesem Fall zu einer Uberbewertungdes Armaturenverlusts fuhrt. Auf eine Korrektur des gemessenenDruckabfalls um den entsprechenden Reibungsverlust wurde bei allenMessungen verzichtet, da im Allgemeinen der durch den Kugelhahnhervorgerufene Verlust den Reibungsverlust um ein Vielfaches uber-steigt.

4.2.3.3 Zweiphasen-Multiplikator des Kugelhahns

Der Zweiphasen-Multiplikator Φ ist eine dimensionslose Große, dieim Wesentlichen den Einfluss des Gasgehalts auf den Druckverlustbeschreibt. Nach Gl. (66) wird der zweiphasige Druckverlust am Ku-gelhahn auf den einphasigen bezogen, um den Zweiphasenmultipli-kator Φ2

A der Armatur zu ermitteln.


ΦA =

√√√√√∆p2ph(jF , ε, ω)

∆p1ph(w, ω)

Die Leerrohrgeschwindigkeit jF der Zweiphasen-Stromung und diemittlere Stromungsgeschwindigkeit w der Einphasen-Stromung sindbei beiden Messungen identisch. Auch die eingestellten Offnungs-verhaltnisse sind in beiden Fallen gleich. Sowohl die Fluidge-schwindigkeit als auch der Druckverlustbeiwert werden somit be-reits durch den einphasigen Druckverlust berucksichtigt. Tragtman den Zweiphasen-Multiplikator ΦA uber dem massenbezogenenStromungsgasgehalt x auf, ergibt sich eine eindeutige Abhangigkeitdes Multiplikators vom Gasgehalt.

Abbildung 48 stellt die ermittelten Zweiphasen-Multiplikatoren ΦA

der einzelnen Messungen uber dem massenbezogenen Stromungsgas-gehalt x dar. Die jeweiligen Leerrohrgeschwindigkeiten jF , respekti-ve die mittleren Fluidgeschwindigkeiten w, sind mit verschiedenar-

0.001 0.01 0.11.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

massenbezogener Strömungsgasgehalt x [-]

Zw

eip

ha

se

n-M

multip

lika

tor

ΦΑ

[-]

ρG steigt

ω = 0.30 0.55 0.81 [-]

0.5

1.0

1.5

2.0

j F [

m/s

]

Abbildung 48: Zweiphasen-Multiplikator Φ in Abhangigkeit vommassenbezogenen Stromungsgasgehalt x


tigen Symbolen gekennzeichnet. Die Zweiphasen-Multiplikatoren beiden drei Offnungsverhaltnissen 81%, 55% und 30% werden farblichunterschieden. Die berechneten Multiplikatoren werden mit steigen-dem Gasgehalt großer. Weiterhin hangen die Messwerte scheinbarvom Offnungsverhaltnis ab. Der Einfluss der Fluidgeschwindigkeitverschwindet dagegen bei gleicher Offnung des Kugelhahns.

Aus Abbildung 48 geht deutlich hervor, dass der Einfluss derGeschwindigkeit der kontinuierlichen Phase auf den Zweiphasen-Multiplikator bereits mit dem einphasigen Druckverlust beschriebenwird. Im Gegensatz dazu zeigt die Spreizung der Messwerte mit demOffnungsverhaltnis ω, dass der Einfluss der durch den Kugelhahnhervorgerufenen Blockade der Stromung nicht allein durch die imeinphasigen Druckverlust berucksichtigten Ventilkennwerte beschrie-ben werden kann. Jedoch ist die Ventilstellung nur indirekt fur dieSpreizung verantwortlich. Da mit sinkendem Offnungsverhaltnis derDruck stromauf der Armatur steigt, nimmt die Dichte des Gasesebenso zu.

Um nun den in Kapitel 4.2.2 vorgestellten Modellierungsansatz in Be-zug zu bekannten Modellen zu setzen, mussen die Gleichung (99), dieden einphasigen Druckverlust beschreibt, und die Gleichung (105),die den zweiphasigen Druckverlust wiedergibt, zum Zweiphasen-Multiplikator zusammengefasst werden:

Φ2A =

(1 + x

(ρF

ρG− 1

))1 +

(1− x

1− ε

)2 1 + x(s2 − 1

)

(1 + x

(ρF

ρG− 1

))2 +

2 ω

1 + ω

1− 1− x

1− e

1 + x (s− 1)

1 + x(

ρF

ρG− 1

)

− 1

2

1 + ω

1 +

1

1− ω

(1− µ

µ

)2

−1

(106)

Dabei ist der volumetrische Gasgehalt ε mit Gleichung (61) bzw. (62)


Tabelle 10: Auflistung der wichtigsten Berechnungsanstatze

Autor Zweiphasen-Multiplikator Φ2Fo

Homogenes Modell

siehe Gl.(70) 1 + x(

ρF

ρG− 1

)allg. gultig

Trembley P.E. [52] 1.025(1 + x

(ρF

ρG− 1

))Absperrarmatur

Heterogenes Modell

siehe Gl. (72) x2

ερF

ρG+ (1−x)2

1−εallg. gultig

Simpson H.C. [54](1 + x

((ρF

ρG

)1/6 − 1)) (

1 + x((

ρF

ρG

)5/6 − 1))

Beattie D.R.H. [53](1 + x

(ρF ηG

ρG ηF− 1

))0.2 (1 + x

(ρF

ρG− 1

))0.8

Chisholm D. [21] 1 +(

ρF

ρG− 1

)(B x (1− x) + x2)

B = 0.5: Schieber (gr. Ø), Drosselklappe

B = 1.5: Schieber (kl. Ø), Kukenhahn

B = 2.3: Absperrventil

Morris S.D. [58][x ρF

ρG+ s(1− x)

]x + 1−x

s

1 + (s−1)2(

ρFρG

)0.5

−1

Schlupfansatz s =(1 + x

(ρF

ρG− 1

))0.5

und der Schlupf s mit Gleichung (63) zu bestimmen.

Fur die Berechnung des Druckabfalls uber Armaturen stehen empi-rische und halbempirische Beziehungen zur Verfugung. Mit diesenAnsatzen ist man in der Lage, den Zweiphasen-Multiplikator zu be-rechnen, der bei Kenntnis des einphasigen Druckverlustes zur Be-stimmung des Druckabfalls an zweiphasig durchstromten Armaturenfuhrt. Die den Berechnungsmethoden zugrunde liegenden Modellebauen in der Regel auf der homogenen oder heterogenen Betrach-


tungsweise der Zweiphasenstromung auf. Friedel [36] liefert eine sehrubersichtliche Zusammenfassung und Bewertung der Modelle und derbisher durchgefuhrten Experimente. Er stellt fest, dass die ca. 1300bisher veroffentlichten Messwerte, die er bewertete, uberwiegend anSchiebern und Stellventilen registriert wurden. Lediglich 30% derWerte beziehen sich auf Untersuchungen an Absperrarmaturen oderKlappen, Kugelhahne werden dabei nicht erwahnt. Es wird daraufhingewiesen, dass die Armaturen großtenteils im vollgeoffneten Zu-stand untersucht wurden, Untersuchungen verschiedener teilgeoffne-ter Zustande wurden nur ansatzweise durchgefuhrt. In 95% aller Fallesind die Versuche mit einer Wasser/Luft-Stromung durchgefuhrtworden, der Rest erfolgte bei Wasser/Dampf-Stromung. Messdatenmit hoherviskosen Fluidpaarungen sind bisher kaum vorhanden. DerAutor teilt die unterschiedlichen Berechnungsverfahren nach empi-rischen und theoretischen bzw. halbempirischen Beziehungen ein.Letztere gliedert er nach homogener (schlupfloser) und heteroge-ner Betrachtungsweise der Zweiphasenstromung. Er zeigt auf, dassdie auf heterogenen Stromungsbedingungen basierenden Druckabfall-gleichungen die gunstigsten Voraussetzungen fur Allgemeingultigkeitund Zuverlassigkeit bieten. Unter diesem Aspekt hebt er insbeson-dere die Modelle von Morris [58], Simpson [54] und das rein theore-tische Modell nach Gl. (72) hervor. Fur rasche Abschatzungen emp-fiehlt Friedel das homogene Modell, obwohl es im Durchschnitt zuhoheren Druckverlusten fuhrt. Jedoch bemangelte er bei allen gete-steten Modellen die unzufriedenstellende Qualitat. Im Verhaltnis zuder allgemein akzeptierten Großenordnung von ± 30% Abweichungfur die Berechnung des Reibungsdruckabfalls bei adiabater Zweipha-senstromung, traten bei den Armaturen teilweise Abweichungen von± 60% zwischen Rechnung und Experiment auf. Eine ubersichtlicheZusammenfassung der wichtigsten Modelle im Hinblick auf die An-wendbarkeit fur den Kugelhahn findet sich in Tabelle 10. Auf dieAuflistung der rein empirischen Modelle wurde aufgrund ihrer be-grenzten Allgemeingultigkeit und Zuverlassigkeit verzichtet.

Fur den Vergleich der Messwerte mit den Berechnungsmethoden wer-den das Modell nach Simpson, das homogene Modell und die Glei-


chung (106) herangezogen. Letztere basiert auf dem im Kapitel 4.2.2beschriebenen Modellansatz. Das Modell nach Simpson wird ins-besondere von der kommerziellen Organisation EDSU (EngineeringScience Data Unit) [6] fur Kugelhahne empfohlen, obwohl dieses Mo-dell anhand von Experimenten an Schiebern entwickelt wurde.

Abbildung 49 zeigt die Gegenuberstellung der Zweiphasen-Multiplikatoren, die auf den Messdaten basieren, und die Verlaufeder Multiplikatoren gemaß der eben genannten Berechnungsverfah-ren. Aus beiden Darstellungen geht hervor, dass fur Werte des Gasge-halts x ≤ 0.4 das homogene wie das vorgeschlagene Modell nach Glei-chung (106) den Werten des Experiments sehr gut entsprechen, wo-bei das letztgenannte Modell exakter ist. Das Modell nach Simpsonweicht jedoch erheblich von den Messwerten ab. Die Leistungsfahig-keit des neuen Modells zeigt sich insbesondere bei hohen Gasgehal-ten. Wahrend hier das homogene Modell aufgrund einer Uberbewer-tung des zweiphasigen Druckverlustes versagt, kann das Modell nachGleichung (106) den Ergebnissen der Experimente folgen.

Sowohl aus der Auflistung nach Tabelle 10 als auch aus der Ab-bildung 49 wird deutlich, dass der Einfluss des Offnungsverhaltnis-ses auf den Zweiphasen-Multiplikator von den genannten Modellennicht berucksichtigt wird. Vielmehr wird bei allen Modellen davonausgegangen, dass der Druckverlustbeiwert ζ, der bei der Einphasen-Stromung seine Gultigkeit besitzt, den gleichen Wert bei der zwei-phasigen Betrachtung – sei es homogen oder heterogen – aufweist(vgl. dazu Gl.(70) und Gl.(72) auf Seite 32). Bei dieser Betrachtungwird jedoch der Einfluss der Ventilstellung auf die Phasenverteilungvollstandig vernachlassigt. Die fehlende Berucksichtigung der Stel-lung der Armatur bei den jeweiligen Modellen liegt vermutlich anden nur sparlichen Daten bei teilgeoffneten zweiphasigen Stromungs-zustanden.


0.001 0.01 0.11.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0


Zw

eip

ha

se

n-M

ultip

lika

tor

ΦΑ

[-] ω = 0.30 [-]

jF = 1.0 [m/s]

jF = 1.5 [m/s]

jF = 2.0 [m/s]

jF = 0.5 [m/s]

SimpsonGleichung (97)

Homogenes Modell

(a) Modelle und Messwerte bei ω = 0.30

0.001 0.01 0.11.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0


Zw

eip

ha

se

n-M

ultip

lika

tor

ΦΑ

[-] ω = 0.55 [-]

jF = 1.0 [m/s]

jF = 1.5 [m/s]

jF = 2.0 [m/s]

jF = 0.5 [m/s]

SimpsonGleichung (97)

Homogenes Modell

(b) Modelle und Messwerte bei ω = 0.55

Abbildung 49: Zweiphasen-Multiplikatoren und Berechnungsmo-delle

108 5 Dynamischer Stellbetrieb

5 Dynamischer Stellbetrieb

Da Ventile und insbesondere Absperrarmaturen nicht nur in festenVentilstellungen betrieben werden, sondern sich oft in Bewegungbefinden, widmet sich dieses Kapitel der Untersuchung des dyna-mischen Verhaltens des Kugelhahns bei Gas-Flussigkeitsstromung.Im Vordergrund der Untersuchungen steht nicht der Schnellschlussvon Ventilen, da dieser Extremfall bereits mehrfach und umfassendsowohl bei einphasiger [12] - [19] als auch bei zweiphasiger Rohr-stromung [59] - [67] untersucht wurde. Von Interesse ist vielmehr daslangsame, moderate Verstellen des Ventils und dessen Auswirkungenauf das Gas-Flussigkeits-Gemisch. Dabei ist das Kriterium, das dieSchließzeit des Ventils in

”langsam“ und

”schnell“ einteilt, die Lauf-

zeit der durch den Schließvorgang ausgelosten Druckwelle. Ist dieArmatur geschlossen, bevor die vollstandig oder nur teilweise reflek-tierte Druckentlastungswelle wieder am Ventil eintrifft, spricht manvon einem Schnellschluss. Ein langsamer Schließvorgang ist dadurchcharakterisiert, dass die Druckentlastungswelle an der Armatur ein-trifft, wahrend diese sich noch im Schließbetrieb befindet. Es kommtzu Stoß und Gegenstoß. Der maximale Druckanstieg ist dabei wesent-lich geringer als beim Schnellschluss. Die theoretischen Grundlagendazu sind im Kapitel 2.1.3.2 zu finden.

Die Untersuchung des dynamischen Verhaltens erfolgte sowohl theo-retisch als auch experimentell. Zur theoretischen Untersuchung wur-de der von der Gesellschaft fur Reaktor- und Anlagensicherheit(GRS) entwickelte Thermohydraulik Code ATHLET verwendet. Ob-wohl dieser Systemcode geschaffen wurde, um komplexe thermo-hydraulische Systeme dynamisch simulieren zu konnen, wie beispiels-weise die Wasser/Dampf-Stromung im Primarkreislauf von Kern-kraftwerken, eignet sich dieser Code sehr gut fur die eindimensionaleModellierung der Gas-Flussigkeitsstromung in einem Rohr mit einemVentil. Die regularen Fluidkomponenten des Codes sind Wasser undDampf. Ein spezielles Multikomponenten Modell ermoglicht jedochauch die Simulation einer Wasser/Luft-Stromung. Ein Vorteil von

5.1 Simulation mit ATHLET 109

ATHLET ist die Moglichkeit, das eindimensionale Ventilmodell nachGleichung (105) zu implementieren, um seine Anwendbarkeit fur dendynamischen Stellbetrieb zu demonstrieren. Zur Verifikation der Re-chenergebnisse werden dynamische Messungen zu den theoretischenErgebnissen herangezogen.

In den folgenden Abschnitten wird zunachst der ATHLET Codeerklart. Die dann folgenden Differenzialgleichungen wurden bereitsfur die horizontale adiabate Gas-Flussigkeitsstromung vereinfacht,sie stellen nicht die allgemein gultigen Differenzialgleichungen vonATHLET dar. Im Anschluss daran folgt die Beschreibung der Versu-che. Im letzten Abschnitt dieses Kapitels werden die Ergebnisse derSimulationen mit den Experimenten verglichen.

5.1 Simulation mit ATHLET

5.1.1 Grundlagen

Die Grundlage des Simulationsprogramms ATHLET (Analysis ofTHermal-hydraulics of LEaks and Transients) sind die heteroge-nen separierten Erhaltungsgleichungen. Diese Gleichungen wurden– vereinfacht auf das vorliegende Problem der horizontalen adiaba-ten Gas-Flussigkeitsstromung – bereits in Kapitel 2.2.2.3 vorgestellt.Die umfassende Beschreibung der in ATHLET verwendeten Erhal-tungsgleichungen inklusive aller Quellen- und Senkenterme zur Be-schreibung der Phasenkopplung sind dem ATHLET Handbuch [22]zu entnehmen.

Um ein komplettes thermo-hydraulisches System zu simulieren,verwendet das Programm zur Darstellung von Systemkomponen-ten, wie beispielsweise einer Rohrleitung, so genannte Thermo-Fluiddynamsiche Objekte (TFO). Diese bestehen aus zwei Elemen-ten, den Kontrollvolumina (KV) und ihren Verknupfungen, die dieMittelpunkte der Kontrollvolumina miteinander verbinden (Abbil-dung 50). Dies fuhrt zu einem versetzten Gitter (Staggered Grid), bei


pTFTGx

i

pTFTGx

i+1

KV i KV i+1

wF AwG A j

Mj

Verknüpfung

Zentrum i

Zentrum i+1

DLDL

A

Staggered Grid

Abbildung 50: Kontrollvolumina und ihre Verknupfung in ATH-LET

dem die Massen- und Energieerhaltungsgleichungen uber die raum-liche Ausdehnung der Kontrollvolumina integriert werden, wohinge-gen die Verknupfung den Integrationsbereich der Impulserhaltungreprasentiert. Dies fuhrt zu einem so genannten Lumped ParameterCode, bei dem die volumen- bzw. verknupfungsbezogenen physikali-schen Großen raumlich gemittelt und nur von der Zeit abhangig sind.Die entsprechenden physikalischen Großen, die Losungsvariablen,sind der massenbezogene lokale Gasgehalt x, die Temperaturen derbeiden Phasen TG und TF und der Druck p je Volumenelement. DieseGroßen werden durch Umformungen aus den Massen- und Energie-bilanzen jeder Phase erhalten. Die Produkte aus Rohrquerschnitts-flache A und jeweiliger Phasengeschwindigkeit wF bzw. wG stellendie Losungsvariablen der Impulsbilanz nach dem 6-Gleichungsmodelldar. Fur das 5-Gleichungsmodell ist der Gesamtmassenstrom M dieentsprechende Losungsvariable.

5.1.2 Differenzialgleichungen

Mittels des Integralsatzes von Gauss konnen die Erhaltungsgleichun-gen (53) - (56) uber das Kontrollvolumen integriert werden. Damitlassen sich die Differenzialgleichungen der Losungsvariablen wie folgtansetzen. Den zeitlichen Verlauf des lokalen massenbezogenen Gas-


gehalts x eines Kontrollvolumens erhalt man durch Integration von:

dx

dt=

MFdMF

dt −MGdMG

dt

(MF + MG)2 (107)

dMF

dt=

∑

in

MF −∑

outMF (108)

dMG

dt=

∑

in

MG −∑

outMG (109)

Dabei wird die zeitliche Anderung der in einem Kontrollvolumenbefindlichen Masse mittels der Massenbilanz berechnet.

Die Differenzialgleichung der Temperaturen Tk (k = G,F ) werdendurch Umformung der Energieerhaltungsgleichung der flussigen undgasformigen Phase hergeleitet:

dTk

dt=

1

cp,k

Ek

Mk+

1

cp,k

1

ρk− ∂hk

∂p

∣∣∣∣∣Tk

dp

dt(110)

mit

Ek =∑

in

Mk

hk +

w2k

2

−∑

outMk

hk +

w2k

2

−dMk

dt

hk +

w2i

2

−Mk wi

dwi

dt

(111)

Die Differenzialgleichung fur den Druck p wird mittels einer Line-arkombination der Kontinuitatsgleichung hergeleitet, bei der von ei-nem konstanten Kontrollvolumen ausgegangen wird, was nach Um-formung zur folgenden Gleichung fuhrt:

dp

dt= −

dMG

dt vG + MG∂vG

∂TG

∣∣∣∣p

dTG

dt + dMF

dt vF + MF∂vF

∂TF

∣∣∣∣p

dTF

dt

MG∂vG

∂p

∣∣∣∣TG

+ MF∂vF

∂p

∣∣∣∣TF

(112)

Bei Aufstellung der Differenzialgleichungen der noch fehlendenLosungsvariablen wird nach dem 5- bzw. 6-Gleichungsmodell unter-schieden. Letzteres stellt mit zwei getrennten Impulsgleichungen eine


weitere Gleichung je Phase zur Bestimmung der zeitlichen Abhangig-keit von wkA (k = G,F ) zur Verfugung.

d(wk A)

dt= A

(∆pKV + ∆pI + ∆pW,k + ∆pV entil ∓∆pZR)

∆L(ρk,i1 + ρk,i+1)(113)

Da mit dem 5-Gleichungsmodell nur eine Impulsgleichung zu losenist, stellt sich die Differenzialgleichung fur den Massenstrom M wiefolgt dar:

dM

dt=

A

∆L(∆pKV + ∆pI + ∆pDF + ∆pW + ∆pV entil) (114)

Die beiden oben genannten Gleichungen (113) und (114) beruck-sichtigen mit ∆pKV die am Kontrollvolumen angreifenden Druck-krafte und mit ∆pI die Anderung des Impulsstroms entlang der Ver-knupfung jeder Phase G,F beim 6-Gleichungsmodell bzw. des Ge-misches h beim 5-Gleichungsmodell.

∆pKV = pi − pi+1

∆pI = −∫

ρk ~wk∂ ~wk

∂zdz

Zusatzlich zur Impulsanderung ∆pI des Zweiphasen-Gemisches mussbeim 5-Gleichungsmodell noch ∆pDF , die Anderung des Driftstromsbzw. des Drift-Flux berucksichtigt werden.

∆pDF = −∫ ∂

∂z

(ε(1− ε)

ρG ρF

ρh~wR ~wR

)dz

Damit wird der Tatsache Rechnung getragen, dass die fur die Im-pulsanderung verantwortliche Gemischgeschwindigkeit wh eine fikti-ve Geschwindigkeit ist und aufgrund ihrer Mittelung stets geringerausfallt als die entsprechenden Phasengeschwindigkeiten wF bzw.wG. Eine Anderung dieser Geschwindigkeit respektive des entspre-chenden Impulsstroms ist folglich ebenfalls geringer als die Anderungder Impulsstrome beider Phasen. Der zusatzliche Term ∆pDF beruck-sichtigt dies. Die Relativgeschwindigkeit wR wird mit dem Drift-FluxAnsatz wiedergegeben, der beispielhaft bei Wallis [20] erlautert wird.


Der Term ∆pW bzw. ∆pW,k beschreibt die Rohrwandreibung gemaßder Ausfuhrungen des Kapitels 2.2.5.2 und wird hier nicht weitererlautert. Mit ∆pV entil wird der durch den Kugelhahn hervorgeru-fene Druckverlust berechnet. Die Ermittlung dieser Druckdifferenzwird mit der entwickelten Modellgleichung (105) durchgefuhrt. Zu-dem geht fur den Fall des 6-Gleichungsmodells der mit der Modell-gleichung berechnete Verlust phasengewichtet mit εk, k = G,F indie jeweilige Impulsbeziehung ein.

Die Impulskopplung in Form der Zwischenphasenreibung wird inGleichung(113) mit dem Term ∆pZR wiedergegeben und nur beim6-Gleichungsmodell berucksichtigt.

∆pZR =∫

L

τ

εkdz =

1

εkτ∆L

Die Große τ reprasentiert dabei die an der Phasengrenze angrei-fenden Schubspannungskrafte. Diese werden jedoch sehr stark vonder jeweiligen Stromungsform beeinflusst. Vor Berechnung der ei-gentlichen Schubspannungskrafte muss ATHLET daher die vorlie-gende Stromungsform identifizieren. Die Abgrenzung der jeweiligenStromungsform wird mit Hilfe der von Taitel und Dukler [25] ent-wickelten Modelle berechnet. Fur diese Modelle ist insbesondere dieGasgeschwindigkeit wG der informationstragende Parameter, nachdem die vorliegende Stromungsform klassifiziert wird. Nach der Be-stimmung der Stromungsform kann die Schubspannung mit folgen-dem Ansatz berechnet werden:

τ ∆L = C w2R A

Der Parameter C bezeichnet den Zwischenphasenreibungskoeffizien-ten. Dieser wird in Abhangigkeit der jeweiligen Stromungsformenmittels geeigneter Korrelationen berechnet. Die Gleichung fur denKoeffizient bei Schwallstromung, die von Ishii [68] entwickelt wurde,lautet beispielsweise:

C = 9.8 ε (1− ε)3 ρL

DDie Korrelationen fur andere Stromungsformen finden sich im ATH-LET Handbuch [22].


5.1.3 Diskretisierung und Randbedingungen

Vor Durchfuhrung der Simulation muss ein entsprechendes Rechenge-biet definiert werden. Da nur in der Messstecke (siehe Abbildung 14)das Gas-Flussigkeits-Gemisch vorhanden ist, wurde diese als Rechen-gebiet bestimmt. Die Strecke wurde hierfur in 24 unterschiedlichlange Volumenelemente unterteilt. Dabei wurden die Langen teil-weise so gewahlt, dass die Druckmessstellen der Versuchsanlage aufden Mittelpunkten der Kontrollvolumen liegen. Außerdem wurden inder Nahe des Ventils kleinere Kontrollvolumen verwendet, um einehohere raumliche Auflosung und damit hohere Genauigkeit in diesemStreckenabschnitt zu erzielen.

MF

MG

p

Druckmessstellen

KontrollvolumenEintritt AustrittVentil

L/D= 75

Abbildung 51: Schematische Darstellung der Diskretisierung undder Randbedingungen

Da nicht die komplette Anlage, sondern nur die Messstrecke simuliertwird, mussen an den Systemgrenzen, am Eintritt und am Austrittder Messstrecke, Randbedingungen definiert werden. Da weder diePumpe noch der Kompressor mit simuliert werden, stellen die zu-stromenden Massenstrome die Eintrittsrandbedingung dar. Als Aus-trittsrandbedingung wird der Druck am Ende der Messstrecke fest-gelegt, da dieser nahezu konstant bei Umgebungsdruck bleibt.

Die fur die Simulation notwendigen Werte fur die Massenstrom-verlaufe des Gases und der Flussigkeit sowie die Druckverlaufe amEnde der Messstrecken werden vor Beginn der Rechnung durch Ver-suche bestimmt. Dabei befindet sich der Kugelhahn im dynamischen

5.2 Ergebnisse von Experiment und Simulation 115

Stellbetrieb. Die Durchfuhrungen der einzelnen Messungen und dieentsprechenden Parameterbereiche werden im folgenden Abschnittbeschrieben.

5.2 Ergebnisse von Experiment und Simulation

Bevor die jeweiligen Ergebnisse des Experiments und der Simulationvorgestellt und diskutiert werden, mussen noch die Vorgehenswei-se bei Versuchsdurchfuhrung und die Versuchsbedingungen erlautertwerden.

5.2.1 Versuchsbedingungen

Samtliche Versuche wurden mit dem experimentellen Aufbau durch-gefuhrt, der im Kapitel 3 beschrieben ist. Wahrend der Messungenwurde zur Vermeidung unnotiger Druckspitzen, die die transparentePlexiglasmessstrecke moglicherweise beschadigt hatten, der zunachstvollstandig geoffnete Kugelhahn nur auf ein Offnungsverhaltnis vonω = 0.15 zugefahren. Hierbei wurden insgesamt drei verschiede-ne Stellzeiten ∆tS = 2/10/50 s realisiert. Vor Beginn der Mes-sung wurden die Massenstrome bzw. die Leerrohrgeschwindigkeit derFlussigkeit jF und der volumetrische Stromungsgasgehalt ε auf diegewunschten Werte eingestellt. Die Leerrohrgeschwindigkeit variiertedabei zwischen 1.0 m/s und 2.0 m/s. Der volumetrische Stromungs-gasgehalt wurde auf die Werte 0.3, 0.5 und 0.7 eingestellt. Wird je-der der Parameter jF , ε und ∆tS variiert, erhalt man insgesamt 18unterschiedliche Messungen, die damit einen weiten Bereich mogli-cher Parameter abdecken. Jede Parameterkombination wurde sechs-mal gemessen, um eine Ensemblemittelung vornehmen zu konnen.Diese Mittelung hat den Vorteil, statistische Schwankungsgroßen imMesssignal zu glatten.

Zur besseren Abgrenzung der Offnungszustande des Kugelhahns wur-de die gesamte Versuchsdauer in drei Zeitperioden untergliedert. Ab-


bildung 52 verdeutlicht diese Aufteilung. Dabei betragt fur alle Mes-sungen der Zeitraum vor Beginn des Stellvorgangs 5 s. Nach En-de des Stellvorgangs werden fur weitere 10 s Messwerte registriert.Die Messdauer vor Beginn des Ventilbetriebs ermoglicht die Unter-suchung der unbeeinflussten Zweiphasenstromung. Damit lasst sichdie durch den dynamischen Stellbetrieb hervorgerufene Veranderungder Stromung besser von der ungestorten Stromung abgrenzen. Diezusatzliche Messdauer nach Erreichen der Kugelhahnendposition hatden Vorteil, Relaxationseffekte registrieren zu konnen.

0 2 4 6 8 10 12 14 160

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Zeit [s]

Öff

nu

ng

sve

rhä

ltnis

ω [

-]

∆tS

Vormesszeit

Nachmesszeit

ω(t)

Abbildung 52: Zeitlicher Verlauf des Offnungsverhaltnisses ω

5.2.2 Versuchsergebnisse

Zunachst werden die Versuchsergebnisse vorgestellt und die wesent-lichen physikalischen Zusammenhange basierend auf den Messungenerklart. Anschließend werden die Ergebnisse der Simulation den Ver-suchsergebnissen gegenubergestellt.

Abbildung 53 zeigt ein vereinfachtes Schema der Versuchsanlage. Zu-dem sind in dieser Darstellung die zeitlichen Druckverlaufe sowiedie Volumenstromverlaufe der Flussigkeit und des Gases aufgezeigt.Die jeweiligen Verlaufe stellen die Messwerte an den entsprechendenMessstellen der Versuchsanlage dar. Die Messschriebe reprasentiereneine Messung mit einer kurzen Stellzeit von ∆tS = 2 s. Der zeitli-che Verlauf des Offnungsverhaltnisses entspricht Abbildung 52. Die


Kreiselpumpe

3-Wege-Mischer

(IDM)

Wärme-

übertrager

Mischer

Messstrecke

Abscheider

Kompressor

Druckluft-

behälter

Wasservor-

ratsbehälter

M

T

Messblende

0 5 10 151

1.5

2

2.5D

ruck [

ba

r]

0 5 10 150.9

1

1.1

1.2

1.3

Dru

ck [

ba

r]

Vo

lum

en

str

om

[l/s]

4

3

2

1

00 5 7 17

Gas

Flüssigkeit

Druckverlauf stromauf Druckverlauf stromab

p-10 p 10

Druckhalter

0 5 7 173

4

5

Vo

lum

en

str

om

[l/s]

Abbildung 53: Zeitlicher Verlauf von Druck und Volumenstrom inder Versuchsanlage

Leerrohrgeschwindigkeit bei dieser Messung betragt vor dem Stellendes Kugelhahns jF = 2.0 m/s, der volumetrische Stromungsgasgehaltweist dabei einen Wert von ε = 0.5 auf.


Aus dem Druckverlauf stromauf des Kugelhahns (Abbildung 53)geht hervor, dass es aufgrund der Verzogerung der Stromung undder Tragheit der bewegten Masse zu einem starken Ansteigen desDrucks stromauf der Armatur kommt, wohingegen die Rohrleitungstromab des Kugelhahns eine geringfugige Druckentlastung erfahrt.Diese Druckanderungen pflanzen sich sich sowohl stromauf wie auchstromab der Armatur fort. Der Anstieg des Drucks wirkt sich ins-besondere auf die stromauf gelegene Pumpe und die Gasforderan-lage aus. Sowohl die Pumpe als auch die Gasforderanlage sehendie Druckerhohung sehr schnell. Diese fuhrt zu einer Abnahme desFlussigkeits- bzw. Gasvolumenstroms noch wahrend des Schließvor-gangs. Wie sensibel die Forderung des Gasvolumenstroms reagiert,macht das lokale Maximum des Gasvolumenstroms nach Beendigungdes Stellvorgangs deutlich. Dieser Peak kommt aufgrund einer strom-aufwarts laufenden Unterdruckwelle zustande, die ein ausreichendgroßes Druckgefalle erzeugt, um den Gasvolumenstrom wieder zuerhohen. Die Saugwelle entsteht, weil ein Teil der aufgestauten Massestromauf des Kugelhahns aufgrund des noch geoffneten Kugelhahnsund des großen Druckgefalles von uber 1 bar (siehe Abbildung 54),das uber dem Ventil herrscht, plotzlich abfließen kann.

Abbildung 54 zeigt die Verlaufe der transienten Drucksignale strom-auf (z = -10) und stromab (z = 10) der Armatur. Aus dieser Dar-stellung ist ersichtlich, dass der Druckanstieg bei Erreichen der End-position des Kugelhahns noch nicht abgeschlossen ist. Bei der ex-emplarisch dargestellten Messung dauert es ca. 1 s, bis der Maxi-malwert von ca. 2 bar erreicht ist. Der in Abbildung 54 zu beob-achtende verzogerte Druckanstieg ist mit der gegenuber der Einpha-senstromung erhohten Kompressibilitat der Zweiphasenstromung er-klarbar. Dabei verhalt sich das Gas-Flussigkeits-Gemisch mit seinerkompressiblen Gasphase und seiner nahezu inkompressiblen Flussig-keit ahnlich einem Feder-Masse-Schwinger.

Durch das Schließen des Kugelhahns wird das unmittelbar stromaufder Armatur befindliche Zweiphasengemisch verzogert, wohingegendie weiter stromaufwartige Stromung noch in Bewegung ist und wei-


0 2 4 6 8 10 12 14 16

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

Zeit [s]

Dru

ck [

ba

r]

p 10

p 10

Saugwelle

Abbildung 54: Zeitliche Druckverlaufe an den stromauf (z = -10)und stromab (z = 10) des Kugelhahns gelegenen Messstellen

w4 w3 w2 w1> > >

Kugelhahn

Abbildung 55: Modell des Feder-Masse-Schwingers

ter Masse in das System fordert, obwohl der Kugelhahn bereits seineEndposition erreicht hat. Erst wenn eine genugend hohe Druckdiffe-renz aufgebaut ist, um den bei Endposition hohen Druckverlust desKugelhahns zu uberwinden, kommt es wieder zu einem Abfließendes Gas-Flussigkeits-Gemisches. Durch den plotzlichen Fluss kommtes zu einer starken Druckentlastung, die sich als Unterdruckwellestromauf der Armatur ausbreitet. Dass es sich hierbei, wie bei derDruckstoßtheorie (siehe Kapitel 2.1.3.2), nicht um die negativ re-flektierte Druckentlastungswelle handelt, die als Saugwelle stromablauft, verdeutlicht der Vergleich der transienten Drucksignale der


Messtellen bei z = -70 und z = -10. Die letztgenannte Messstellebefindet sich unmittelbar am Kugelhahn und die erstgenannte miteinem Abstand von L/D = 70 stromauf der Armatur. Abbildung56 untermauert die Vermutung, dass es sich hierbei nicht um einestromab, sondern stromauf wandernde Druckentlastungswelle han-delt. Die zeitliche Differenz der lokalen Minima der Darstellung zeigt,dass das Drucksignal p(z = -10) der naher bei der Armatur gelegenenMessstelle sein lokales Minimum schneller erreicht als das der weiterstromauf gelegenen Messstelle bei z = -70.

Den Einfluss unterschiedlicher volumetrischer Stromungsgasgehalteauf den Druckverlauf stromauf des Kugelhahns zeigt Abbildung 58.In dieser Darstellung finden sich die Drucksignale der Einphasen-stromung sowie der Zweiphasenstromung mit unterschiedlichen volu-metrischen Stromungsgasgehalten. Die Kurven reprasentieren Mes-sungen bei einer Leerrrohrgeschwindigkeit von jF = 2.0 m/s undeiner Stellzeit von ∆tS = 2 s. Aus dieser Darstellung geht insbeson-

6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 111.6

1.65

1.7

1.75

1.8

1.85

1.9

1.95

2

2.05

Leerrohrgeschwindigkeit jF = 2.0 m/s

Zeit [s]

Dru

ck [

ba

r]

p(z = -70)~

p(z = -10)~

Abbildung 56: Vergleich der Drucksignale der Messstellen p(z = -70) und p(z = -10)


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

100

200

300

400

500

volumetrischer Gasgehalt ε [-]

Scha

llge

sch

win

dig

keit a

2p

h [

m/s

]

Abbildung 57: Schallgeschwindigkeit eines Gas-Flussigkeit-Gemisches

dere hervor, dass das ausgepragte Druck- und Saugverhalten nur beiZweiphasenstromung zu beobachten ist. Betrachtet man den tran-sienten Verlauf des Drucks der Einphasenstromung, ist weder diemarkante Druckerhohung nach Beendigung des Stellvorgangs nochdie anschließende Saugwelle erkennbar. Da die Flussigkeit als in-kompressibel betrachtet werden kann, breiten sich Druckanderungenund die damit einhergehenden Geschwindigkeitsanderungen um einVielfaches schneller aus als bei Zweiphasenstromung. Dieser Sachver-halt wird durch Abbildung 57 verdeutlicht, die die Abhangigkeit derzweiphasigen Druckwellenausbreitungsgeschwindigkeit a vom Gasge-halt zeigt. Der Verlauf der Kurve wurde mit Gleichung (86) berech-net. Die dargestellten Einzelwerte wurden mittels einer Analyse derLaufzeitunterschiede zweier Drucksignale gewonnen, die im Abstandvon L/D = 60 registriert wurden. Die Druckwellenausbreitungsge-schwindigkeit einer Zweiphasenstromung ist um ein Vielfaches ge-ringer als bei einphasiger Gas- oder Flussigkeitsstromung. Ein ein-phasiges System nahert sich daher zugiger einem ausgeglichenen Zu-stand als ein Gas-Flussigkeits-Gemisch. Obwohl dadurch bei einem


Druckstoß, der beispielsweise durch einen Ventilschnellschluss her-vorgerufen wird, das einphasige System aufgrund seiner fehlendenElastizitat eindeutig im Nachteil ist, sind je nach Lange und Ge-schwindigkeit der stromauf der Armatur befindlichen Gas-Flussig-keitssaule die auftretenden hohen Druckpulsationen, die sogar schonim moderaten Stellbetrieb auftreten konnen, im zweiphasigen Fallnicht zu unterschatzen, wie Abbildung 58 verdeutlicht. Dass insbe-sondere die Masse des Gas-Flussigkeits-Gemisch fur das ausgepragteDruckprofil verantwortlich ist, macht der Vergleich von Abbildung 58und 59 deutlich. Abbildung 58 zeigt die transienten Druckverlaufe,die bei einer Leerrohrgeschwindigkeit von jF = 2.0 m/s registriertwurden, Abbildung 59 dagegen bildet die Druckverlaufe der gleichenMessstelle stromauf der Armatur bei einer Leerrohrgeschwindigkeitvon lediglich 1.0 m/s ab. Neben dem erwartungsgemaß quantitativen

0 2 4 6 8 10 12 14 161

1.5

2

2.5


Zeit [s]

Dru

ck [b

ar]

ε = 0.3

ε = 0.5

ε = 0.7

1ph

Abbildung 58: Zeitliche Verlaufe des Drucks stromauf des Kugel-hahns (Messstelle z = -10) bei Einphasenstromung sowie bei dreiverschiedenen volumetrischen Stromungsgasgehalten ε


0 2 4 6 8 10 12 14 161

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7


Zeit [s]

Dru

ck [b

ar]

ε = 0.3

ε = 0.5

ε = 0.7

1ph

Abbildung 59: Zeitliche Verlaufe des Drucks stromauf des Kugel-hahns (Messstelle z = -10) bei Einphasenstromung sowie drei ver-schiedenen volumetrischen Stromungsgasgehalten ε

Unterschied fallt vor allem die qualitative Abweichung der zweipha-sigen Drucksignale auf. Eine derart ausgepragte Druck- und Saug-welle, wie dies bei Abbildung 58 mit einer Leerrohrgeschwindigkeitvon jF = 2.0 m/s ersichtlich ist, kann bei Leerrohrgeschwindigkeitenvon jF = 1.0 m/s nur naherungsweise beobachtet werden.

Um den Einfluss der Stellzeit auf den Druckverlauf bewerten zukonnen, wurden deshalb Versuche bei Schließzeiten von 10 s und 50 sdurchgefuhrt. Die dazugehorigen transienten Drucksignale der Mess-stelle z = -10, die sich unmittelbar stromauf der Armatur befindet,zeigen die Abbildungen 60 und 61. Das obere Diagramm kennzeich-net die Druckverlaufe von Messungen bei Leerrohrgeschwindigkeitenvon 1.0 m/s, das untere die bei 2.0 m/s. In jeder Darstellung werdendie Verlaufe bei Einphasenstromung sowie bei Zweiphasenstromungmit drei unterschiedlichen volumetrischen Stromungsgasgehalten ε


gezeigt.

Bei allen Diagrammen (Abbildungen 58, 59, 60 und 61) ist zunachstfestzustellen, dass der Druck vor Beginn des Schließvorgangs im zeit-lichen Mittel erwartungsgemaß konstant ist und fur jede Schließzeitbei gleichen Stromungsgroßen jF und ε gleiche Drucke aufweist. Diesist auch nicht weiter verwunderlich, da in diesem Zeitraum von ei-ner stationaren Stromung ausgegangen werden kann. Unterschiedein den Druckverlaufen sind vor allem wahrend des Stellvorgangs undfur den Fall der Stellzeit von ∆tS = 2 s zu beobachten. Wahrendbei der kurzen Stellzeit (siehe Abbildungen 58 und 59) das Druck-signal keine Schwankungen zeigt und sehr geradlinig ansteigt, sind

0 5 10 15 20 251

1.2

1.4

1.6

1.8

jF = 1.0 m/s

Zeit [s]

Dru

ck [

ba

r]

ε = 0.3

ε = 0.5

ε = 0.7

1ph

(a) Transientes Drucksignal bei z = -10 mit jF = 1.0 m/s

0 5 10 15 20 251

1.5

2

2.5jF = 2.0 m/s

Zeit [s]

Dru

ck [

ba

r]

ε = 0.3

ε = 0.5

ε = 0.7

1ph

(b) Transientes Drucksignal bei z = -10 mit jF = 2.0 m/s

Abbildung 60: Stellzeit ∆tS = 10 s


0 10 20 30 40 50 601

1.2

1.4

1.6

1.8

jF = 1.0 m/s

Zeit [s]

Dru

ck [

ba

r]

ε = 0.3

ε = 0.5

ε = 0.7

1ph

(a) Transientes Drucksignal bei z = -10 mit jF = 1.0 m/s

0 10 20 30 40 50 601

1.5

2

2.5

jF = 2.0 m/s

Zeit [s]

Dru

ck [

ba

r]

ε = 0.3

ε = 0.5

ε = 0.7

1ph

(b) Transientes Drucksignal bei z = -10 mit jF = 2.0 m/s

Abbildung 61: Stellzeit ∆tS = 50 s

bei langeren Schließzeiten (Abbildungen 60 und 61) bereits Druck-schwankungen wahrend des Stellvorgangs zu beobachten. Verant-wortlich hierfur sind wiederum die Elastizitat des Gas-Flussigkeits-Gemisches und die teilgeoffnete Ventilstellung bzw. der dadurch her-vorgerufene Druckverlust des Kugelhahns. Bei einer Schließzeit von2 s wird die teilgeoffnete Endposition des Kugelhahns sehr schnellerreicht. Die Stromung muss daher eine hohe Druckdifferenz uberdas Ventil aufbauen, um den Widerstand, der durch das kleine Off-nungsverhaltnis hervorgerufen wird, uberwinden zu konnen. Folglichkann es wahrend dieser Phase nur zu einem stetigen Druckanstiegkommen. Bei langeren Stellzeiten dagegen kann der Druckaufbaustromauf des Kugelhahns dem zu uberwindenden Widerstand der


allmahlich schließenden Armatur folgen. Durch die allmahlich zuneh-mende Versperrung wird die Stromung unter Druckaufbau verzogert.Das Ventil ruft einen Druckverlust hervor, den es zu uberwindengilt. Sobald sich ein ausreichend großes Druckgefalle uber den Ku-gelhahn einstellt, wird das Gas-Flussigkeits-Gemisch leicht beschleu-nigt. Der Druck stromauf der Armatur nimmt daher wieder ge-ringfugig ab. Aufgrund des weiter schließenden Ventils nimmt derzu uberwindende Widerstand weiter zu, und es kommt wiederumzu einer Verzogerung der Stromung. Lange Stellzeiten sind dahervon regelmaßigen Verzogerungen und Beschleunigungen des Gas-Flussigkeits-Gemisches gepragt, die sich in Form von periodischenDruckerhohungen und Druckentlastungen im Messsignal zeigen.

Um die Schließzeiten von ∆tS = 2/10/50 s einem langsamen odereinem schnellen Ventilschluss zuordnen zu konnen, wird die Mess-strecke gemaß Kapitel 2.1.3.2 hinsichtlich moglicher Stellen, an de-nen Druckwellen reflektiert werden konnen, untersucht. Da die imAbstand von L = 5.0 m stromaufwarts gelegene Gaseinspeisung eine

τS

∆p

/ ∆

pJO

U,2

ph

maximaler Druckanstieggemäß Druckstoßgleichungen

1 12 60 3000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Abbildung 62: Maximaler Druckanstieg in Abhangigkeit von derSchließzeit


Verzweiung ist, stellt sie eine mogliche Reflextionstelle fur Druck-wellen dar. Legt man eine Druckwellenausbreitungsgeschwindigkeitvon a2ph = 60 m/s (siehe Abbildung 57) zugrunde, so ergibt sichfur die Experimente die Laufzeit einer stromauf und stromabwartslaufenden Druckwelle.

∆tW = 2L

a2ph≈ 0.17s

Werden die Schließzeiten ∆tS auf die Reflexionszeit ∆tW bezogen,

τS =∆tS∆tW

ergeben sich dimensionslose Schliezeiten von τS = 12/60/300. UnterVerwendung der Druckstoßgleichungen (29) und (30) sowie der zwei-phasigen Druckverlustgleichung (105), kann der Verlauf des maxi-malen Druckanstiegs ∆p/∆pJOU bei unterschiedlichen SchließzeitenτS fur den zweiphasigen Fall abgeschatzt werden. Die entsprechendeKurve ist in Abbildung 62 ersichtlich. Setzt man die Schließzeitendes Experiments dazu in Bezug, zeigt sich, dass diese sich in einemBereich geringen Druckanstiegs befinden und daher dem langsamen,moderaten Schließen zuzuordnen sind.

Sowohl eigene Untersuchungen als auch die Arbeiten anderer Au-toren zeigen, dass die Dynamik der Stromung, also die Verande-rung der zeitlichen Verlaufe von Druck und Geschwindigkeit, zwardurch das Stellen des Kugelhahns hervorgerufen, jedoch im Wesentli-chen durch die Eigendynamik der Rohrleitung gepragt werden. Diesbedeutet, dass zur Modellierung der Druckverlaufe in der Rohrlei-tung der Druckverlust des Ventils nicht dynamisch modelliert werdenmuss. Das Ventil kann als statisches Element betrachtet werden, dasaufgrund seiner Stellung einen Druckverlust hervorruft und nur sodie Fluiddynamik beeinflusst.

5.2.3 Simulationsergebnisse

Im Folgenden werden die mit dem 5-Gleichungsmodell erzielten Si-mulationsergebnisse diskutiert sowie mit den dazugehorigen Messun-


gen verglichen. Beispielhaft werden die Ergebnisse bei drei unter-schiedlichen Schließzeiten gezeigt, die jeweils die gleichen Zustrombe-dingungen von jF = 2 m/s und ε = 0.7 bei vollstandig geoffnetemKugelhahn aufweisen.

Aufgrund der isobaren Austrittsrandbedingung andert sich der be-rechnete Druck an der Messstelle z = 10 stromab des Kugelhahnsnur geringfugig, wie Abbildung 63 zeigt. Das Augenmerk der folgen-den Diskussion liegt daher im Wesentlichen auf der Bewertung desDruckverlaufs der stromaufwartigen Messstelle bei z = − 10, dasich hier der Einfluss des Stellvorgangs besonders deutlich zeigt.

Die Simulation eines Stellvorgangs mit einer Stellzeit von ∆tS = 50 szeigt Abbildung 63. Das Diagramm macht deutlich, dass der berech-nete Druckverlauf, der auf dem Modell nach Gleichung (105) ba-siert, dem Verlauf der experimentell bestimmten Druckwerte folgenkann. Die periodischen Druckerhohungen und Druckentlastungen,

0 10 20 30 40 50 601

1.5

2

2.5


Zeit [s]

Dru

ck [

ba

r]

ExperimentSimulation

p(z=-10)~

p(z=10)~

Abbildung 63: Messung und Simulation bei Stellzeit ∆tS = 50 s


0 5 10 15 20 250

0.5

1

1.5

2

2.5

Zeit [s]

Dru

ck p

[ba

r]

Druckverlauf bei z=-10D vor dem Ventil


~


wie im vorherigen Abschnitt beschrieben, werden von der Simula-tion naturlich nicht reproduziert. Auch nach Ende des Stellvorgangsfolgen die berechneten Werte den Messwerten.

Abbildung 64 zeigt die berechneten und gemessenen Druckverlaufebei gleichen Zustrombedingungen, jedoch kurzer Stellzeit. Auch hierist festzustellen, dass die Simulation dem Experiment wahrend desSchließvorgangs folgen kann. Es kommt nur zu geringen Abweichun-gen. Betrachtliche Unterschiede zeigen sich jedoch wahrend der An-laufphase. Die Schwingung des simulierten Druckverlaufs zu Beginnder Rechnung ist auf die Einspeisung des Luftmassenstroms zuruck-zufuhren. Bei Simulationen von Gas-Flussigkeits-Gemischen, bei de-nen die gasformige Phase nicht aus Dampf besteht, verwendet ATH-LET zur Berechnung der Stoffeigenschaften das so genannte MUL-TICOMP Modul. Die Verwendung dieses Moduls lasst jedoch keinezeitgleiche Einspeisung des Luft- und des Wassermassenstroms zu.Der Luftmassenstrom kann erst einen Zeitschritt spater in das Sy-


stem geleitet werden. Dieser abrupte Anstieg der Gasmasse fuhrt zuDruckschwankungen, die nach ca. 3 s abgeklungen sind. Die zeitlichversetzte Einspeisung des Luftmassenstroms zeigt Abbildung 65, mitder der plotzliche Anstieg des Luftvolumenstrom deutlich wird.

0 5 10 15 20 250

2

4

6

Vol

umen

stro

m [l

/s]

Zeit [s]

Luft Wasser

Abbildung 65: Verlauf des Luft- und Wassermassenstroms beiStellzeit ∆tS = 10 s

So verhalt sich die Simulation bei einer Schließzeit von ∆tS = 2 s(Abbildung 66) ahnlich wie das Ergebnis bei 10 Sekunden Stellzeit.

0 2 4 6 8 10 12 14 160

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Zeit [s]

Dru

ck p

[b

ar]


Druckverlauf bei z=-10D vor dem Ventil ~



Auch hier wird der Druckverlauf wahrend der Stellzeit durch dieBerechnung richtig wiedergegeben. Die offenkundigen Abweichungender Simulation gegenuber dem Experiment, vor Beginn der Stellzeitdagegen, haben dieselbe Ursache, die vorangehend erklart wurde.

132 6 Zusammenfassung

6 Zusammenfassung

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der horizontalen und adiaba-ten Gas-Flussigkeits-Stromung durch Kugelhahne. Sie gliedert sichdabei in zwei wesentliche Abschnitte, in denen der qualitative so-wie quantitative Einfluss der Armatur auf die Zweiphasenstromungeinerseits bei unterschiedlichen konstanten Offnungsgraden und an-dererseits im dynamischen Stellbetrieb untersucht wurde.

Die Ergebnisse basieren auf Experimenten, die mit einemWasser/Luft-Gemisch bei Umgebungsbedingungen durchgefuhrtwurden. Hierfur kam eine Versuchsanlage mit transparenter Test-strecke zum Einsatz, deren Rohrdurchmesser D = 0.054 mbetragt. Der untersuchte Parameterbereich der Gas-Flussigkeits-Stromung erstreckte sich fur die Leerrohrgeschwindigkeit der Flussig-keit uber einen Bereich von jF = 0.5 − 2.0 m/s. Der volumetrischeStromungsgasgehaltε variierte dabei zwischen 20 % und 95 %. Da-mit konnten, ausgehend von der Kolbenblasenstromung bis hin zurRingstromung, eine Vielzahl von moglichen Stromungsformen der ho-rizontalen Gas-Flussigkeitsstromung erzeugt werden.

Den zweiphasigen Experimenten und Untersuchungen gehen einpha-sige Versuche bei reiner Flussigkeitsstromung voraus. Mit diesen wur-de zunachst der einphasige Druckverlust am Kugelhahn bei verschie-denen Offnungsgraden bestimmt und daraus im Anschluss die di-mensionslose Druckverlustcharakteristik des Kugelhahns abgeleitet.Aufbauend auf diesen Untersuchungen und mit Hilfe der bekannteneinphasigen Theorie wurde der Druckverlust am Kugelhahn beschrie-ben. Dazu wurde die Geometrie der Armatur in einzelne Bilanzge-biete zerlegt. Die einzelnen Bereiche konnten durch Stufendiffusorenund Stufendusen angenahert werden. Es stellte sich heraus, dass dieModellierung mit bekannten Rohrleitungskomponenten zu einer phy-sikalisch fundierten Gleichung zur Beschreibung des Druckverlustbei-wertes eines Kugelhahns fuhrt. Der Vergleich von gemessenen undberechneten einphasigen Druckverlusten bestatigte diese Modellvor-stellung.

133

Im Anschluss an die grundlegenden einphasigen Untersuchungenwurden die Ergebnisse der Gas-Flussigkeitsstromung bei festen Off-nungsgraden des Kugelhahns prasentiert. Dabei wurde das Verhaltender Zweiphasenstromung bei insgesamt sieben unterschiedlichen Ven-tiloffnungsgraden hinsichtlich des Drucks, des volumetrischen Gas-gehalts und der mittleren Phasengeschwindigkeiten sowohl stromabals auch stromauf der Armatur untersucht. Mit Hilfe eines spezi-ellen Gasgehaltssensors, dessen Messprinzip auf der unterschiedli-chen elektrischen Leitfahigkeit des Gas-Flussigkeits-Gemisches ba-siert, konnte die Phasenverteilung unmittelbar am Kugelhahns so-wohl ortlich wie zeitlich hochauflosend gemessen werden. Mit die-sen Ergebnissen war es moglich, sowohl den ortlichen volumetrischenGasgehalt als auch die mittleren Geschwindigkeiten der Flussigkeitund des Gases an drei verschiedenen Positionen entlang der Mess-strecke zu quantifizieren. Dadurch konnte der Einfluss der Arma-tur auf das Verhalten des Gas-Flussigkeits-Gemisch charakterisiertwerden. Daneben wurde der zweiphasige Druckverlust am Kugel-hahn in Abhangigkeit von den klassifizierenden Stromungsparame-tern des Gas-Flussigkeits-Gemisches sowie bei unterschiedlichen Ven-tilstellungen ermittelt. Es konnte, aufbauend auf den einphasigen Er-gebnissen, die Modellvorstellung des Druckverlustes am Kugelhahnum den Einfluss der Gasphase physikalisch fundiert erweitert wer-den. Die berechneten zweiphasigen Druckverluste stimmen mit dengemessenen Druckverlusten fur den gesamten Bereich der untersuch-ten Stromungsgasgehalte bzw. Stromungsformen sehr gut uberein.

Der zweite Abschnitt der Arbeit befasste sich mit der Untersuchungdes dynamischen Stellbetriebs. Hierfur wurden sowohl Messungen alsauch Simulationen durchgefuhrt. Ziel dieser Tatigkeiten war es einer-seits, das Verhalten der Zweiphasenstromung wahrend eines lang-samen Stellvorgangs des Kugelhahns experimentell zu untersuchen.Dazu wurden die Druckverlaufe entlang der Messstrecke bei drei un-terschiedliche Schließzeiten ∆tS = 2/10/50 s sowie unterschiedlichenLeerrohrgeschwindigkeiten des Gases und der Flussigkeit registriert.Andererseits sollte das im vorangegangen Abschnitt entwickelte sta-tische, zweiphasige Druckverlustmodell hinsichtlich seiner Verwend-

134 6 Zusammenfassung

barkeit bei einem moderanten dynamischen Ventilbetrieb getestetwerden. Das Modell wurde hierfur in den Systemcode ATHLET im-plementiert.

Zur Diskussion der Ergebnisse wurde im Wesentlichen auf die tran-sienten Druckverlaufe stromauf des Kugelhahns zuruckgegriffen, dadiese die Auswirkungen des dynamischen Stellbetriebs am bestenbeschreiben. Je nach Stellzeit kam es zu unterschiedlichen Druck-verlaufen. Der Vergleich der Messergebnisse mit den Ergebnissen derSimulation bestatigte eindrucklich die Verwendbarkeit des entwickel-ten zweiphasigen Druckverlustmodells fur den dynamischen Stellbe-trieb.

LITERATUR 135

Literatur

[1] Kecke, Hans J. ; Kleinschmidt, Paul: Industrie - Rohrlei-tungsarmaturen. VDI - Verlag, 1994. – ISBN 3–18–401149–6

[2] Kiederle, G. ; Hoseit, F. ; Mayinger, F.: Verhal-ten stromender Gas-Flussigkeitsgemische in Armaturen undFomstucken: Stromungsformen und Druckstoß / Lehrstuhl Afur Thermodynamik. 1994 ( Band 1). – Forschungsbericht

[3] Kiederle, G. ; Hoseit, F. ; Mayinger, F.: Verhal-ten stromender Gas-Flussigkeitsgemische in Armaturen undFomstucken: Druckverlust in Armaturen und Formstucken /Lehrstuhl A fur Thermodynamik. 1994 ( Band 2). – Forschungs-bericht

[4] Giuggiolli, A. ; Villa, M. ; Ghetto, G. D. ; Colombi, P.:Multiphase Pumping of heavy oil: results of a field campaign.In: SPE Journal (2000). – SPE Paper 56464

[5] Idelchik, I.E. ; Shteinberg, M.O. (Hrsg.): Handbook of Hy-draulic resistance. Begell House, Inc., 1996. – ISBN 1–56700–074–6

[6] EDSU: Two-phase flow pressure losses in pipeline fittings. June1989. – EDSU 89012

[7] Verein-Deutscher Ingenieure: VDI-Warmeatlas. 7. Auflage. 1994

[8] Truckenbrodt, Erich: Fluidmechanik I. 4. Auflage. Springer-Verlag, 1996

[9] Mayinger, Franz: Stromung und Warmeubergang in Gas-Flussigkeits-Gemischen. Springer-Verlag, 1982

[10] Perry: Chemical Engineers Handbook. 4. Auflage. McGrawHill, 1963

136 LITERATUR

[11] Verein Deutscher Ingenieure: Stromungstechnische Kenngroßenvon Stellventilen und deren Bestimmung. 1962. – VDI/VDERichtlinie 2173

[12] Zoebl, Heinz ; Kruschik, Julius: Stromung durch Rohre undVentile. Springer-Verlag, 1982

[13] Zoebl, Heinz: Olhydraulik. Springer-Verlag, 1963

[14] Thielen, H.: Darstellung Berechnung ovn Druckstoßen. In:Krass (Hrsg.) ; Knittel (Hrsg.) ; Uhde (Hrsg.): Pipeline-Technik Mineralolfernleitungen. Verlag TUV Rheinland, Koln,1979, S. 195–226

[15] Liou, C. P.: Maximum pressure head due to valve closure. In:Power Plant Transients Bd. FED-104. Dallas, Texas, USA, No-vember 1990, S. 37–43

[16] Contractor, D. N.: Minimizing Waterhammer Transients ina Series. In: Forum on Unsteady Flow Bd. Fed-39. Anaheim,CA, USA, Dezember 1986, S. 16–18

[17] Contractor, D. N.: Valve Stroking to Control Water HammerTransients Using Dynamic Programming. In: Transactions of theASME 109 (1987), Februar, S. 94–100

[18] Meder, G. ; Nguyen-Tuong, B.: Strukturdynamische Me-thoden der Druckstossberechnung von Rohrleitungen. In: Rohr-leitungstechnik 3 (1988), S. 30–43

[19] Kap. – In: Kistenmacher, G.: Simplified ’structural’ hammer-blow analysis for pipelines. Bd. 3. Vulkan Verlag, Essen, 1988,S. 44–47

[20] Wallis, Graham B.: One-Dimensional Two-Phase Flow.McGraw-Hill, Inc., 1975

[21] Chisholm, D.: Two-Phase Flow in Pipelines and Heatexchan-gers. New York: Longman Inc., 1983. – ISBN 0–7114–5748–4

LITERATUR 137

[22] GRS: ATHLET: Models and Methods. – GRS-P-1/Vol.4

[23] Baker, O.: Simultaneous flow of oil and gas. In: Oil Gas J. 53(1954), S. 185

[24] Mandhane, J. M. ; Gregory, G.A. ; Aziz, K.: A flow patternmap for gas-liquid flow in horizontal pipes. In: Int. J. MultiphaseFlow 1 (1974), S. 537 – 553

[25] Taitel, Y. ; Dukler, A.E.: A model for predicting flow regimetransitions in horizontal and near horizontal gas-liquid flow. In:AIChE Journal 22 (1976), Nr. 1, S. 47–55

[26] Taitel, Y. ; Dukler, A.E.: Flow regime transition for verticalupward gas-liquid flow: a preliminary approach through physi-cal modelling AIChE 10th Annual Meeting New York, 1977. –Session on Fundamental Research in Fluid Mechanics

[27] Taitel, Y. ; Barnea, D. ; Dukler, A.E.: Modelling flowpattern transitions for steady upward gas-liquid flow in verticaltubes. In: AIChE Journal 26 (1980), S. 345–354

[28] Barnea, D. ; Shoham, O. ; Taitel, Y. ; Dukler, A.E.: FlowPattern Transition of Gas-Liquid in Horizontal and Inclined Pi-pes, Comparison of Experimental Data with Theory. In: Int.J.Multiphase Flow 6 (1980), S. 217–226

[29] Barnea, Dvora: A unified model for predicting flow patterntransitions for the whole range of pipe inclinations. In: Int.J.Multiphase Flow 13 (1987), Nr. 1, S. 1–12

[30] Taitel, Y. ; Barnea, D.: Two-Phase Slug Flow. In: Advancesin Heat Transfer 20 (1990)

[31] Zuber, N. ; Findlay, J.A.: Average volumetric concentrationin two-phase flow systems. In: Trans. ASME, J. Heat Transfer87 (1965), S. 265–276

[32] Bankoff, S.G.: A variable density singel-fluid model for two-phase flow with particular reference to steam-water-flow. In:Trans. ASME, Ser.C, J. Heat Transfer 82 (1960), S. 265–276

138 LITERATUR

[33] Nabizadeh-Araghi, H.: Modellgesetzt und Parameteruntersu-chungen fur den volumetrischen Dampfgehalt in einer Zweipha-senstromung, Technische Universitat Hannover, Diss., 1977

[34] Andreussi, P. ; Bendiksen, H. ; Nydal, O.J.: Void distribu-tion in slug flow. In: International Journal of Multiphase Flow19 (1993), Nr. 5, S. 817–828

[35] Massena, W.A.: Steam-water critical flow using the separtedflow model. / Hanford Atomic Products Operation. 1960 (HW-65739). – Forschungsbericht

[36] Friedel, L.: Druckabfall in Armaturen bei Zweiphasen-stromung. In: GVC-Tagung, 1984, S. 101–135

[37] Friedel, L.: Zweiphasenstromung durch Absperrarmaturen.In: Technische Mitteilungen Heft 6/7 (1985), Nr. 78.Jahrg, S.328–330

[38] R.C., Martinelli ; D.B., Nelson: Prediction of pressure dropduring forced-circulation boiling of water. In: Trans. ASME(1948), S. 695–702

[39] R.W, Lockhart ; R.C., Martinelli: Proposed correlation of da-ta for isothermal two-phase, two-component flow in pipes. In:Chem.Engng.Progr. 25 (1949), S. 39–48

[40] Friedel, L.: Druckabfall bei der Stromung von Gas/Dampf-Flussigkeitsgemischen in Rohren. In: Chem.Ing.Tech. 50 (1978),S. 167ff

[41] Lombardi, C. ; Ceresa, I.: A Generalized Prssure Drop Cor-relation in Two-Phase Flow. In: Energia Nucleare 25 (1978),Nr. 4

[42] Romie, F. Private Communication to P. Lottes. American Stan-dard Co. 1958

[43] Lottes, P.A.: Expansion losses in two-phase flow. In: NuclearScience and Engineering vol. 9 (1961), S. 26–31

LITERATUR 139

[44] Kap. Single-Phase and Two-Phase Behaviour in Primary CircuitComponents. In: Collier, J.G.: Two-Phase Flows and HeatTransfer. Bd. 1. Hemisphere Publishing Corporation, 1976, S.313–355

[45] Nguyen, D.L. ; Winter, E.R.F. ; Greiner, M.: Sonic Velocityin Two-Phase Flow. In: Int. J. Multiphase Flow Vol. 7 (1981),S. 311–320

[46] Falk, Kristin ; Hervieu, Eric ; Gudmundsson, Jon S.: Pres-sure Pulse and Void Fraction Propagation in Two-Phase Flow:Experiments for Different Flow Regimes. In: Two-Phase FlowModelling and Experimentation (1999), S. 629–636

[47] Henry, R.E. ; Grolmes, M.A. ; Fauske, H.K.: Pressure PulsePropagation in a Two-Phase One- and Two-Component Mixtu-res. In: ANL-7792 (1971)

[48] Prasser, H.M. ; Boettger, A. ; Zschau, J.: A new electrode-mesh tomograph for gas-liquid flow. In: Flow Measurement andInstrumentation Vol. 9 (1998), S. 111–119

[49] Prasser, H.M.: Measurement of Gas Fraction, Gas Velocityand Volume Flow by Electrode Mesh Sensors. In: ECCE-SecondEuropean Congress of Chemical Engineering, Montpellier, 1999

[50] Prasser, H.-M. ; et al.: Stromungskarten und Modelle furtransiente Zweiphasenstromungen. / Forschungszentrum Ros-sendorf e.V. Institute of Safty Research. 2003. – Forschungsbe-richt. Report FZR-379

[51] Fitzsimmons, D.E.: Two-Phase Pressure Drop in Piping Com-ponents / Hanford Atomic Operation Richland, Washington.1964 ( HW-80970 Rev.1). – Forschungsbericht

[52] Tremblay, P.E. ; Andrews, D.G.: Hydraulic Characteristicsof a Valve in Two-Phase Flow. In: The Canadian Journal ofChemical Engineering Vol. 52 (1974), S. 433–437

140 LITERATUR

[53] Beattie, D.R.H.: A noten on the calculation of two-phase pres-sure drop losses. In: Nuc.Eng.Design 25 (1973), S. 395–402

[54] Simpson, H.C. ; Rooney, D.H. ; Grattan, E.: Two-PhaseFlow through Gate Valves and Orifice Plates. In: Int. Conf.Physical Modelling of Multi-Phase Flow, 1983

[55] Kiederle, Gunter ; Mayinger, Franz: Pressure Loss in Valvesat Horizontal Two-Phase Flow. In: Nat. Heat Transfer Confe-rence, Atlanta, 1993

[56] Kißner, Hanns-Michael: Modell fur den Druckabfall uberfederbelastete Sicherheitsventile bei unterkritischer und quasi-kritischer Gas/Flussigkeitsstromung, Technische -UniversitatHamburg-Harburg, Diss., 1995

[57] Lex, T. ; Hoseit, F. ; Sattelmayer, T.: Pressure loss andvoid fraction of gas/liquid flow through pipeline fittings. In: Mi-

chaelides, E.M. (Hrsg.): ICMF International Conf. on Multi-phase Flow, New Orleans, LA, USA, 2001. – Paper 470

[58] Morris, S.D.: Two-Phase Pressure Drop across Valves andOrifice Plates. In: European Two-Phase Flow Group Meeting,Southhampton, U.K., 1985

[59] Akagawa, K. ; Sakaguchi, T. ; Fujii, T. ; Fujioka, S. ;Sugiyama, M. ; Yamaguchi, T. ; Ito, Y.: Shock Phenomena inBubble and Slug Flow Regimes. In: Two-Phase Flow Dynamics,Hemisphere Pub. Corp., Washington (1979), S. 217 – 238

[60] Akagawa, K. ; Sakaguchi, T. ; Fujii, T. ; Fujioka, S. ; Su-

giyama, M.: Shock Phenomena in Air-Water Two Phase Flow.In: Mulitphase Transport, Hemisphere Pub. Corp., WashingtonVol. 3 (1980), S. 1673 – 1693

[61] Akagawa, Koji ; Fujii, Terushige ; Ito, Yutaka ; Fukuhara,Toshiaki Yamaguchi K.: Studies on Shock Phenomena in TwoPhase Flow. In: Bulletin of the JSME 25 (1982), Marz, Nr.

LITERATUR 141

201-12, S. 387–394. – 2nd Report, Characteristics in Slug FlowRegion

[62] Akagawa, K. ; Fujii, T. ; Ito, Y.: Analyses of Shock Phenome-na in a Bubbly Flow by Two-Velocity Model and homogeneousModel. In: Advances in Two-Phase Flow and Heat Transfer I(1983), S. 79–92

[63] Akagawa, Koji ; Fujii, Terushige ; Tsubokura, Sadao ; Mat-

sushita, Hajime ; Hiraoka, Yoichi: Prediction of Pressure Sur-ge in a One-Component Two-Phase Bubbly Flow. In: NuclearEngineering and Design 95 (1986), Nr. 0029-5493, S. 329–341

[64] Fujii, Terushige ; Akagawa, Koji ; Takenaka, Nobuyuki; Tsubokura, Sadao ; Hiraoka, Yoichi ; Kobayashi, Jun:Shock Phenomena in a One-Component Two-Phase BubblyFlow. In: Bulletin of the JSME 29 (1986), Dezember, Nr.85-0543, S. 4235–4240. – 1st Report, Experimental Results onTransient Pressure Profiles

[65] Fujii, Terushige ; Akagawa, Koji: An Analysis of Water Ham-mering in Bubbly Flows. In: Bulletin of the JSME 29 (1986),November, Nr. 85-0268, S. 3744–3749. – 2nd Report, TransientPressure Profiles in One-Component Flows

[66] Chohan, R. K. ; Thorley, A. R. D.: An Experimental Studyof Transient Two-Phase Horizontal Air-Water Flow. In: JointSymposium on Design and Operation of Fluid Machinery. FortCollins, Colorado, USA, Juni 1987

[67] Chun, Moon-Hyun ; Nam, Ho-Yun: Analysis of WaterhammerInduced by Steam-Water Counterflow in a Long Horizontal Pipe.In: Int. Comm. Heat Mass Transfer 19 (1992), Nr. 0735-1933,S. 507–518

[68] Ishii, M. ; Chawla, T.C.: Local Drag laws in dispersed two-phase flow. In: ANl Report, NUREG-1230, Argonne, 1979

142 LITERATUR

[69] Schrufer, Elmar: Signalverarbeitung: numerische Verarbei-tung digitaler Signale. Hanser, 1992

[70] Kuchling, Horst: Taschenbuch der Physik. FachbuchverlagLeipzig - Koln, 1991. – ISBN 3–343–00759–5

[71] Bronstein, I.N. ; Semendjajew, K.A.: Taschenbuch der Ma-thematik. 25.Auflage. B.G. Teubner Verlagsgesellschaft Stutt-gart Leipzig, 1991

143

A Bemaßung des Kugelhahns

Ø80

10

1 x 45˚

Ø66.3

10

Ø61

45˚

160

130

35 90

15

25

Ø10 H

7

Schnitt A - A

Ø47.1

160

Ø34.6 H9

Ø30.4

A -

A

Ø54

±0

.1

Ø185

3 x

90˚

( =

270˚)

54

13

10

42.1

M5

60

45

Ø1.2

48.2

4 x Ø11

148

5.2+0.2 0

3.9

+0

.2

0

2 7

Kugel

Abbildung 67: Linkes bzw. rechtes Ventilgehause

Ø5

4±

0.1

30

0,014 A 0,07

A

A

0,105 A

89

0-0

.1

98

Kugel Ø100

15

8

1 x

45

˚

Ø28.6

Ø6

1.6

±0

.1

20

Ø1.2

10 13

M5

Abbildung 68: Spharischer Schließkorper

B Berechnung des Offnungsverhaltnis-ses ω

Das Offnungsverhaltnis ω bezieht die freie Druckflussflache AF auf die Quer-schnittsflache A des Rohres.

ω =AF

A=

A1 + A2

A(115)

144 B Berechnung des Offnungsverhaltnisses ω

Die Strecke z wird mit Radius r1 der Zylinderbohrung und dem Radius r2 derKugel berechnet:

z =√

r22 − r2

1 (116)

Wird die Kugel um den Winkel ϕ gedreht, bilden die beiden Kreise die SchnittachseBC. Ihr Abstand von der Gehauseachse ist a, der mit

a = z tan(

ϕ

2

)=

√r22 − r2

1 tan(

ϕ

2

)(117)

berechnet wird. Damit kann man die Flache des Kreissektors bestimmen, der durchdie Strecke OB, den Kreisbogen s und die Stecke CO aufgespannt ist.

ASektor,OBC = 2∫ 180◦−ξ

ξ

∫ r1

0r dr dξ =

∫ 180◦−ξ

ξ

1

2r21 dξ =

1

2r21(π − 2ξ) (118)

Der Winkel ξ wird durch den Radius r1 und den Abstand a festgelegt:

ξ = arcsin(

a

r1

)(119)

Subtrahiert man von der Flache des Kreissektor die Flache des Dreiecks OBC

ADreieck,OBC = 2a c

2= a c mit c =

√r21 − a2 (120)

erhalt man die Flache A1

A1 = ASektor,OBC − ADreieck,OBC . (121)

Die Flache A2 entspricht der um den Winkel ϕ projizierten Flache A1.

A2 = A1 cos ϕ (122)

r1

r1r2

ϕ

ϕ

ϕ/2

z ξ

a acc

Schnitt A -A

A

A

O

BC

O

s

B,C A1

A2

Kugelachse

Gehäuseachse

Abbildung 69: Schnittbild des Kugelhahns

145

Nach Zusammenfassung der obigen Gleichungen erhalt man die Bestimmungsglei-chung fur das Offnungsverhaltnis, das vom Drehwinkel ϕ des Kugelhahns, demRadius r1 des Rohres und dem Radius r2 der Kugel abhangt:

ω(ϕ) =1 + cos ϕ

r21 π

[r21

2

(π − 2 arcsin

(1

r1

tan(

ϕ

2

) √r22 − r2

1

))−

tan(

ϕ

2

) √r22 − r2

1

√r21 −

(tan

(ϕ

2

) √r22 − r2

1

)2 (123)

ϕ Offnungswinkel des Ventils

r1 Innenradius des Rohres

r2 Radius der Kugel des Schließkorpers

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