FLUIDERuhende Flüssigkeiten und GaseGrenzflächeneffekteBewegte Flüssigkeiten und Gase

Flü i k it GaseFestkörper

Bestandteile geordnetgebunden um Gleichgewichtslage

FlüssigkeitenNahordnung frei beweglich

i th i h B

Gasekeine Ordnungfrei beweglich

füllen verfügbares Volumen ausgebunden um Gleichgewichtslagegeringe thermische Bewegung

kleiner AbstandGestaltelastizität

geringe thermische Bewegungkleiner Abstand

Volumenelastizitätgeringe Kompressibilität

ggroße thermische Bewegung

großer Abstand (> x10)geringe Wechselwirkung

geringe Kompressibilität komprimierbar

Fluide

Warum Fluide ?Warum Fluide ?

• Blutkreislaufz.B.: Transport der Wirkstoffe

• Grundwasser, Flüsse, Gletscher• Lösungen Emulsionen etcLösungen, Emulsionen etc.• Pumpen, Waagen, Pipette• Erdatmosphäre, Wind, …

2 1 Ruhende Flüssigkeiten und Gase

2 1 1 Hydrostatik

2.1 Ruhende Flüssigkeiten und Gase

2.1.1 Hydrostatik• Druck:

Greift an einem Flächenstück A senkrecht zu ihm

Fp

A

Greift an einem Flächenstück A senkrecht zu ihm eine gleichmäßig über die Fläche verteilte Kraft F an, dann heißt das Verhältnis der Kraft zur Fläche DruckEi h it 1 N 2 1 P (1 P l) 10 5 b Einheit: 1 Nm−2 = 1 Pa (1 Pascal) = 10−5 bar 

(auch atm = 101 325 Pa, Torr = 101 325/760 Pa)

• Kompressibilität   Druckänderung ist verbunden mit Volumenänderung Vp K V

1 Vp V

Kompressibilitätsmodul  :  z.B. Aceton 1,27;  Benzol 0,97;  Wasser 0,46; Glycerin 0,22; 

Quecksilber 0 039 ; ideales Gas 104 (in 10‐9 m2/N; bei 20°C und 105 Pa)

V1K

Quecksilber 0,039 ; ideales Gas 10 (in 10 m /N; bei 20 C und 10 Pa) Flüssigkeiten sind praktisch inkompressibel

• Kolbendruck• Kolbendruckes herrscht überall im Inneren und an den Grenzflächen der Druck p=F/A.   Druck ist skalar!

• Hydraulische Presse 1 1

1 1 2 2F A

F pA F pAF A

Arbeit s1,2: Kolbenhub

lb b

2 2F A1 2

1 1 2 22 1

F sW F s F s

F s

• Kolben‐, Membranpumpen Auf‐ und Abbewegung des Kolbens (1) befördert Flüssigkeit von links nach rechts Bei Membran‐Flüssigkeit von links nach rechts. Bei Membranpumpe Kolben ersetzt durch Membran (weniger diskontinuierlich)H D k S b t ibt 2 K i lä f Herz:  Druck‐Saugpumpe betreibt 2 Kreisläufe

• Schweredruck• Schweredruck Gewicht der höheren Schichten erzeugt 

zusätzlichen Druck für die unteren. (...Dichte)

K i i d G fäß

G mg Vg hAg

hp hg

• Kommunizierende Gefäße an jeder Stelle müssen Kräfte (Drücke)

gleich seingleich sein 

1 1 2 2p h g h g

gleiche Dichten – gleiche Höhen  (h1=h2)unterschiedliche Dichten 

t hi dli h Höh (h ≠h )– unterschiedliche Höhen (h1≠h2)

2 1 2 Ruhende Gase2.1.2 Ruhende Gase

Gase sind leicht komprimierbar (z B : Gasflaschen)Gase sind leicht komprimierbar (z.B.: Gasflaschen), Druck wirkt nach allen Seiten 

in idealen Gasen (Wasserstoff, Helium,k ff ) l b kStickstoff...) gilt bei konst. Temperatur 

beipV const T const

• Atmosphärendruck Gewicht der höheren Luftschichten

Luftdruck Normdruck  h=760 mm Quecksilbersäule≙ 101 325 Pa≙ 101 325 Pa

"Vakuum":  Feinv.: 102‐10‐1 Pa; Hochv.: 10‐4 Pa Dichte der Gase ist druckabhängig 0 0p p g g Barometrische Höhenformel:

0 0 0

00

ghp

hp p e

2 1 3 Auftrieb2.1.3 Auftrieb

• Druck und damit Kraft von Höhe h abhängig• Druck, und damit Kraft, von Höhe hi abhängig

Auftrieb aus Differenz zwischen Kräften von

2 1 2 1 2 1AF F F g h A g h A g h h A g V Auftrieb aus Differenz zwischen Kräften von 

unten (F2) und oben (F1)Auftriebskraft = Gewicht des verdrängten Mediums

(Prinzip von Archimedes) auch in Gasen

bhä i d F (S it k äft h b i h f) unabhängig von der Form (Seitenkräfte heben sich auf)

2 1 3 Auftrieb2.1.3 Auftrieb

• Druck und damit Kraft von Höhe h abhängig• Druck, und damit Kraft, von Höhe hi abhängig

Auftrieb aus Differenz zwischen Kräften von

2 1 2 1 2 1AF F F g h A g h A g h h A g V Auftrieb aus Differenz zwischen Kräften von 

unten (F2) und oben (F1)Auftriebskraft = Gewicht des verdrängten Mediums

(Prinzip von Archimedes) auch in Gasen

bhä i d F (S it k äft h b i h f) unabhängig von der Form (Seitenkräfte heben sich auf)

• SchwimmenSchwimmen abhängig von FG‐FA <0, =0, >0

schwimmt, schwebt, sinkt der Körper Heliumballon in Luft  (=> max. Steighöhe?)

2 1 4 Druckmessung / Dichtebestimmung2.1.4 Druckmessung / Dichtebestimmung

• Druck: Manometer (B t V k t )• Druck: Manometer  (Barometer, Vakuummeter)

Flüssigkeitsmanometer: U‐Rohr, teilweise mit Hg gefüllt. offen: p1‐p2, geschlossen: p1 2

1mm Hg ≙ 1 Torr ≙ 133,3 Pa 1mm H2O ≙ 9,81 Pa    (Hg=13,6 103 kg/m3) Membranmanometer: Verformung einer 

Membran von Druck abhängig mechanische Anzeigeoft auch elektrische Umformung

• Blutdruckmessung Blut fließt, solange Blutdruck+Druck der 

Gefäßwand > Aussendruck mit Stethoskop werden Geräusche beimit Stethoskop werden Geräusche bei 

turbulenter Strömung  registriert

2 1 4 Druckmessung / Dichtebestimmung

• Dichte

2.1.4 Druckmessung / Dichtebestimmung

• Dichte: Mohrsche Waage (Hydrostatische Waage)

bestimme Gewicht in Luft und Wasser ausbestimme Gewicht in Luft und Wasser, aus Verhältnis der Auftriebskräfte  Dichte

Aräometer:  beschwerter Glaskörper taucht in Flüssigkeit, Spindel taucht ein, Skala an der Spindel

Pyknometer: Flasche mit geeichtem Volumen wird mit und ohne Flüssigkeit gewogen Dichtewird mit und ohne Flüssigkeit gewogen  Dichte

2 2 Grenzflächeneffekte2.2 Grenzflächeneffekte

• Oberflächenspannung• Oberflächenspannung Oberflächenenergie                                 ...spezifische Oberflächenergie

prop. Fläche !ObE A

Ursache:  Anziehung zwischen Molekülenim inneren von allen Seiten gleich, an Oberfläche fehlen Bindungen ca 12 Bindungen im innerenfehlen Bindungen, ca. 12 Bindungen im inneren, 9 an Oberfl.

Prinzip minimaler Energie (Minimalflächen)Ob VerdampfungE E

Tropfen: kleinste Oberfläche bei geg. Volumen  Kugel Wasserläufer:  tieferes Einsinken würde Oberflächenen.vergrößern, Gleichgewicht: G ObF h E Tröpfchengröße am Wasserhahn:  Fläche am Hahn r2Änderung der FlächeÄnderung der EnergieKraft= Gewichtskraft      2 r V g für r=1 mm  ergibt sich V~0,043 cm3

2 r V g

• Seifenblase: Überdruck in Innerem• Seifenblase:  Überdruck in Innerem Bestreben zu minimaler Fläche muss Druck in Innerem aufgebaut 

werden 4p r

• Grenzflächenspannung hängt von Wechselwirkung zwischen Festkörper 

p

ik

und Flüssigkeit ab (auch negativ: Festkörper zieht Moleküle stärker an, als diese einander) Haftspannung, Kohäsions‐ Adhäsionskraft bestimmen Winkel Flüssigkeit/Oberfläche

Adhäsion: Kraft zwischen verschiedenen Molekülen   FAKohäsion: Kraft zwischen gleichen Molekülen FKohäsion:  Kraft zwischen gleichen Molekülen  FK

benetzend (Randwinkel               )    allgemeiner:        auch zwischen unterschied‐

90 A KF F

iklichen Flüssigkeiten, z.B.: Fettauge, Emulsion...

ik

• Kapillarität bei benetzender Fläche ist Gewichtbei benetzender Fläche ist Gewicht 

gleich Kraft an Randlinie2h r g

• Bestimmung von  Steighöhenmethode, Tropfengewicht, 

NormaltropfenzählerNormaltropfenzähler

• Adsorption Anreicherung einer flüssige (o gasförmigen) Phase an einer OberflächeAnreicherung einer flüssige (o. gasförmigen) Phase an einer Oberfläche ändert Oberflächenbeschaffenheit Wechselspiel von Oberflächenenergie, Thermodynamik, Chemie

2 2 2 Reibung in Flüssigkeiten2.2.2 Reibung in Flüssigkeiten

bewegte Körper werden abgebremst bewegte Körper werden abgebremst (negative Beschleunigung)  Reibungskraft   FR

äußere Reibung   innere Reibung  (Viskosität)

Strömung zwischen Plattenoberste Schicht: v=v0unterste Schicht: v=0unterste Schicht: v=0

– Kraft: FR= A v0 / d

...Viskosität  (Einheit:   Pa.s   Pascalsekunde)proportional elastischer Deformation in Festkörpern zu GeschwindigkeitsgradientenFestkörpern, zu Geschwindigkeitsgradienten dv/dz  in Flüssigkeiten (innere Reibung)

nimmt stark ab mit T (Temperatur) i lü i k i i i i Gin Flüssigkeiten,   steigt mit T in Gasen

Festkörper (Kugel) in Flüssigkeiten: Festkörper (Kugel) in Flüssigkeiten: Randschicht der Flüssigkeit haftet an Festkörper

in einiger Entfernung ruht Flüssigkeit– Geschwindigkeitsgefälle – Kraft Stokesreibung (prop. Geschwindigkeit)

6F 6RF vr

Newtonreibung:  schnelle Körper v verdrängen Fluid, beschleunigen Fluid auf etwa vf. Bewegte Masse:mf=Avdt , kin. Energie

2 31 12 2fmv Av dtFluid auf etwa vf. Bewegte Masse: mf Avdt , kin. Energie             

prop.  v2!    cw Widerstandskoeffizient  Turbulenz,  bei relativ niedrigen Geschwindigkeiten in Gasen (Fahrrad, Auto)

2 2fmv Av dt21

2R WF c Av

Auto)

Messung der ViskositätMessung der Viskosität

• Viskosimeter:• Viskosimeter:– bewege Flüssigkeit und messe Kraft, die dazu notwendig ist:

• Kugel fällt in Flüssigkeit• Plattenviskosimeter: Becher, bei dem obere Platte rotiert• Rotationsviskosimeter: Becher rotiert relativ zu Stab 

in der Mitte (bestimmem Drehmoment)

– Kapillarviskosimeter:Volumen läuft durch Kapillare mit Länge l und Radius r

• pitch drop Experiment (Univ. Brisbane)Pech tropft aus Glaskolben gestartet 1927Pech  tropft aus Glaskolben, gestartet 1927

Year Event 1930 The stem was cut 1938(Dec) 1st drop fell 1947(Feb) 2nd drop fell 1954(Apr) 3rd drop fell1954(Apr) 3rd drop fell 1962(May) 4th drop fell 1970(Aug) 5th drop fell 1979(Apr) 6th drop fell 1988(Jul) 7th drop fell 2000(28 Nov) 8th drop fell

2 3 Bewegte Flüssigkeiten2.3 Bewegte Flüssigkeiten

2 3 1 Strömung2.3.1 Strömung Beschreibung durch Vektorfeld

Stromlinien,  Stromdichte , , ,v x y z t

Kräfte auf Masse (Volumen) in Flüssigkeit:Schwerkraft, Druckkräfte, Reibungskräfte

S ö i id l Flü i k i• Strömung in idealen Flüssigkeiten Kontinuitätsbedingung:

,m V A x Av t 1 2m m ,

Summe aus kinetischer Energie + 1 1 2 2A v A v

potentielle Energie  (pV) muß konstant sein Bernoulli‐Gleichung

2 21 10 02 2mv pV p V v p const stationärer Druck,  Druck bei v=0

Bunsenbrenner,  Wasserstrahlpumpe

0 02 2mv pV p V v p const

• laminare Strömunglaminare Strömung dünne Flüssigkeitsschichten gleiten 

übereinander  (Stokesreibung) z.B.: an Schicht mit Radius r  (hellblau) wirkt Reibungskraftauf Deckfläche wirkt Druckkraft

2RF rl dv dr 2

1 2pF r p p für stationäre Strömung 

Geschwindigkeitsverteilung im Rohr 2 2 / 4v p p R r l

p

R PF F

im RohrVolumenstrom (im Rohr):

(Ges. v. Hagen‐Poiseuille)

1 2 / 4v p p R r l

41 2 /8V p p R l

Strömungswiderstand       Volumenstrom abhängig von Druckkraft:

48 /SR l R ( / )SV p R g g2

8pRV F l

Druckabfall im Rohr wegen uc ab a o egeStrömungswiderstand

41 2 8Sp p VR lV R

Verzweigte KreisläufeKirchhofsche Gesetze: ‐ Gesamtstrom ist konstant (vor/hinter Verzweigung)‐ Strom in Zweig prop. Widerstand RS

Stromlinien in idealer Flüssigkeitbei P und P' Staugebiet: v=0, max. v am Äquatorin idealer Flüssigkeit (=0) keine Kraft auf gleichförmige bewegte Kugel !?!?!

aber: bei 0 geht kinetische Energie deraber: bei 0 geht kinetische Energie der mitbewegten Flüssigkeitsteilchen nicht wieder auf Körper  Kraft auf Körper:  21

2R WF c Av

• Turbulente Strömung• Turbulente Strömung bei kritischer Geschwindigkeit durchmischen 

sich benachbarte Schichten Wirbel(Schwankungen der Strömungsgeschwindigkeit)

Trägheitseinfluss der kinetischen Energiel b fl

212 v

/geringer als Reibungseinfluss definiere Verhältnis:  Re=Trägheitskraft / Reibungskraft

Reynolds‐Zahl l v lv

/v r

y

kinematische Viskosität

Rel v lv

...kinematische Viskosität

Re < Rekrit ....  laminar                          Re > Rekrit .... turbulent Strömung in Flüssen, hinter Fahrzeug, in Heizungs‐ und Kühlrohren

unterschiedliche Strömungenunterschiedliche Strömungen

v  [m/s] d  [m] [kg/m3] [Ns/m2] Re

Bach 1‐10 1 m 103 10‐3 106..107 turbulent

Wasserleitung 0 1 1 0 01 103 10‐3 103 104 ÜbergangWasserleitung 0,1‐1 0,01 103 10 3 103..104 Übergang

Aorta 0,1 0,015 103 4.10‐3 200 laminar

Atemwege 15 0,005 1,3 2.10‐5 104 turbulentg

Körper cWHalbkugel  offen 1,33  /  0,35

Halbkugel geschlossen 1,17  /  0,4

Platte, eben 1,11

Stromlinienkörper (Tropfenform) 0 05Stromlinienkörper (Tropfenform) 0,05

PKW 0,28 ... 0,4

2 3 2 dynamischer Auftrieb2.3.2 dynamischer Auftrieb

rotierender Zylinder: rotierender Zylinder:    Zirkulationsströmung:

oberhalb                       unterhalb            Zylindererhöhte                         erniedrigte         Strömungsgeschwindigkeitgeringerer                     erhöhter             Druck  (Bernoulli!)

Auftriebskraft (Magnuseffekt)"Anschneiden, Spin" von Fußbällen, Tennisbällen etc., p ,

Umströmung von TragflächenAuftriebskraft 2 /2a aF c A v

Auftriebsbeiwert  ungefähr  abhängig von Form, AnstellwinkelKorrektur für endl. Länge des Flügels, Randeffekte (Wirbel)

ZusammenfassungZusammenfassung

• Ruhende Flüssigkeiten• Ruhende Flüssigkeiten Druck DichteDichte Auftrieb

• Grenzflächeneffekte Oberflächen‐ Grenzflächenspannung Reibung, Viskosität

• Bewegte Flüssigkeiten Strömungen

Wid t d( b i t) Widerstand(sbeiwert) laminar – turbulent (Reynoldszahl) dynamischer Auftriebdynamischer Auftrieb

SedimentationSedimentation

• Aus dem Ansatz FReibung = FGewicht ‐ FAuftrieb folgt mitus de sa Reibung Gewicht Auftrieb o g• Stokes‐Reibung• Auftriebskraft

6RF vr A f pF g V

• Gravitation

Sinkgeschwindigkeit

G p pF g V

22 p fr g Sinkgeschwindigkeit

vp ‐ SedimentationsgeschwindigkeitVp ‐ Volumen des Partikelsg ‐ Erdbeschleunigung

9

p fpv

g ‐ Erdbeschleunigungr ‐ Radius des sinkenden Gegenstandesρp ‐ Dichte des Partikelsρf ‐ Dichte des Fluidsf

η ‐ Viskosität des Fluids

• in fließenden Gewässern bzwin fließenden Gewässern bzw. Grundwasserströmen Wechselspiel zwischen  vp>vf

Sedimentation, Transport, Erosion (verzögert durch Adhäsion für kleine Teilchen)

• Grundwasserströme:  (Gesetz von Darcy)z B Porengrundwasserleiter (Sand Kies) hV Av k A z.B. Porengrundwasserleiter (Sand, Kies)kf  Durchlässigkeitsbeiwert (abhängig von Porosität  VPoren/VGesamt )

... fV Av k A l

Blut – BlutkreislaufBlut – Blutkreislauf 

• rechte Herzkammer – Lunge –rechte Herzkammer  Lunge linke Herzkammer (Serienschaltung)

• Gefäße in Organen und Gliedmasseng(Parallelschaltung)– Gefäße: R=3 cm – 6 µm– Herz als Pumpe:  2 kPa (Lunge), 13 kPa (Körper)

v  30 … 0.05 cm/s, ca. 5 l/min im Mittel

• Blutviskosität:• Blutviskosität:– Plasma, Blutplättchen, Transportstoffe 

• = 1,06 103 kg/m3, pH‐Wert = 7,41 (basisch)  1,06  10 kg/m , pH Wert   7,41 (basisch)• : gesamtes Blut (bei 37 C): = 4,4…4,7  10‐3 Pa s

Blutplasma: = 1,5  10‐3 Pa s;  t t bhä i (0°C) 2 (37°C)temperaturabhängig:  (0°C) = 2  (37°C)!! abhängig von Querschnitt (Blutzellen im Zentrum) !!

• pulsierende Strömung: Herzschlagpulsierende Strömung: HerzschlagGlättung der Strömung durch Windkesseleffekt (Dehnung der Gefäße [Aorta]

Strömungsgeschwindigkeit d l

Pulswellengeschwindigkeit ( dd f ) Geschwindigkeit der Druckwelledes Blutes (Wanddeformation) Geschwindigkeit der Druckwelle 

0,24 m/s (in der Aorta) 8‐12 m/s Schallgeschwin‐

digkeit in Blut 1500 m/s 

• Pulswellengeschwindigkeit: umso größer, je starrer die Gefäßwand ist (Verkalkung !  + geringe Glättung, spröde Gefäße Gefahr von Bluthochdruck) 

• Blutdruck: maximal während der Austreibung (Systole ~2,6 kPa = 26 mbar im Lungenkreislauf, 16 kPa = 160 mbar im Körperkreislauf) (Diastole: 1,3 kPa = 13 mbar im Lungenkreislauf, 11 kPa = 110 mbar im Körperkreislauf)

• Blutdruck: 125/85 mm Hg = 16,7/11,3 kPa       (Umrechnung: mmHg  0,133 = kPa = 10 mbar)(Überdruck relativ zu Atmosphärendruck)

• laminare – turbulente Strömungenlaminare  turbulente Strömungen– laminar: hoher Volumenstrom (Aorta)

turbulent bei Druck/Geschwindigkeitsspitzen– turbulent: Vermischung für gleichmäßigen Kontakt zu Wand (Lunge)– laminar in Kapillaren: 

wichtig: geringer Strömungswiderstandwichtig: geringer Strömungswiderstand aber: Mikrowirbel – Austausch durch Wand

– turbulente Strömung bei Verengungen (Ablagerungen) höherer Widerstand und Belastung für Herz