Fokker-Planck Gleichung - Private...

MotivationHerleitung der Fokker-Planck Gleichung

Eigenschaften des Fokker-Planck-OperatorsBeispiel

Fokker-Planck Gleichung

Fabian Faulstich

03.07.2015

Fabian Faulstich Fokker-Planck Gleichung



1 Motivation

2 Herleitung der Fokker-Planck Gleichung

3 Eigenschaften des Fokker-Planck-Operators

4 Beispiel




Pollenteilchen im Wassertropfen

Klassisch:Auf das Pollenteilchen wirkt die Stoke’sche Reibung

FR = 6π r η v =: −αv .

Mit Newton folgtmv + αv = 0

v(0) = v0

}(1)

eine deterministische DGL mit der Losung

v(t) = v0 e−γt , mit γ = α/m = 1/τ . (2)

Problem: In der statistischen Physik kommt es zu thermischenFluktuationen, welche in der obigen Behandlung nicht berucksichtigtwerden.




Grundlagen der statistische Physik

Ziel:Behandlung von Systemen, welche aus einer großen Anzahl vonTeilsystemen bestehen, aber nur Aussagen uber die Gesamtheit vonInteresse sind.

Idee:Betrachtung von statistischen Ensembles

In der statistischen Physik ist ein Ensemble eine Menge gleichartigpraparierter Systeme von Teilchen im thermodynamischenGleichgewicht

Zentrales Gesetz:Aquipartitionstheorem

〈E 〉 =1

2kBT

1.dim.⇐⇒ 1

2m〈v2〉 =

1

2kBT (3)





In einem Tropfen Wasser sind ∼ 2, 23 1021 H2O-Molekule.→ Zu großes System von gekoppelten DGLn.Statistische Physik:

Teilchen Zahl und Volumen des Systems ist konstant.Energieaustausch zwischen Pollen- und H2O-Teilchen moglich.(Gibbs-Ensemble)

Energieaustausch → Anderung der Kraft, die auf das Pollenteilchenwirkt. Fluktuationskraft Ff (t)

Damit wird (1) zu

F (t) = FR(t) + Ff (t) ⇔ v + γ v = Γ(t) :=Ff (t)

m. (4)

Dies ist eine stochastische DGL, da Γ(t) eine stochastische Kraft(Langevin Kraft) ist.





Was wissen wir uber Γ(t)?

〈Γ(t)〉 = 0

〈Γ(t)Γ(t ′)〉 = 0, fur |t − t ′| ≥ τ0〈Γ(t)Γ(t ′)〉 = qδ(t − t ′)

Die genaue Darstellung der Langevin Kraft ist abhangig des Systems.

Die Geschwindigkeit hangt uber die Ableitung mit der Kraft zusammen→ Geschwindigkeit ist eine stochastische Große.

Wir sind an der Dichtefunktion der Geschwindigkeitsverteilunginteressiert.





Die Gleichung, die die Dichtefunktion beschreibt ist von der Form

∂ W (v , t)

∂t= γ

∂ v W (v , t)

∂v+ γ

kB T

m

∂2 W (v , t)

∂v2. (5)

Gleichung (5) ist eine Fokker-Planck Gleichung.




1 Motivation



4 Beispiel




Markov-Prozess in stetiger Zeit

Markov-Prozess in stetiger Zeit

Xt , t ≥ 0 ist ein Markov-Prozess in stetiger Zeit, falls fur alle0 ≤ s0 < s1... < sn < s und alle moglichen Zustande i0, ..., in, i , j gilt

P(Xt+s = j |Xs = i ,Xsn = in, ...,Xs0 = i0) = P(Xt = j |X0 = i) (6)




Chapman-Kolmogorow-Gleichung

Fur einen Markov-Prozess in stetiger Zeit gilt:

P(Xt3 = i3,Xt2 = i2,Xt1 = i1)

= P(Xt2 = i2,Xt1 = i1)P(Xt3 = i3|Xt2 = i2,Xt1 = i1)

= P(Xt1 = i1)P(Xt2 = i2|Xt1 = i1)P(Xt3 = i3|Xt2 = i2)

⇔ P(Xt3 = i3,Xt1 = i1) =

∫P(Xt3 = i3,Xt2 = i2,Xt1 = i1)di2

= P(Xt1 = i1)

∫P(Xt2 = i2|Xt1 = i1)P(Xt3 = i3|Xt2 = i2)di2

(7)




Chapman-Kolmogorow-Gleichung

Mittels Division der Gleichung (7) durch P(Xt1 = i1) erhalten wir dieChapman-Kolmogorow Gleichung

Chapman-Kolmogorow Gleichung

P(Xt3 = i3|Xt1 = i1) =

∫P(Xt2 = i2|Xt1 = i1)P(Xt3 = i3|Xt2 = i2)di2 .

(8)




Kramers-Moyal-Entwicklung (Ruckwarts)

Wir betrachten drei Zeiten t ≥ t ′ + τ ≥ t ′. Nach Chapman-Kolmogorovgilt:

P(Xt = x |Xt′ = x ′) =

∫P(Xt = x |Xt′+τ = x ′′)P(Xt′+τ = x ′′|Xt′ = x ′)dx ′′ .

(9)

Weiter ist

P(Xt′+τ = x ′′|Xt′ = x ′) =

∫P(Xt′+τ = y |Xt′ = x ′)δ(y − x ′′)dy . (10)

Wir betrachten nun die Taylorentwicklung der δ-Distribution um x ′ − x ′′

δ(y − x ′′) =∞∑n=0

(y − x ′)n

n!

(∂

∂x ′

)n

δ(x ′ − x ′′) . (11)





Setzt man (11) in (10) ein, so erhalt man:

P(Xt′+τ = x ′′|Xt′ = x ′) =

∫P(Xt′+τ = y |Xt′ = x ′)δ(y − x ′′)dy

=

∫P(Xt′+τ = y |Xt′ = x ′)

∞∑n=0

(y − x ′)n

n!

(∂

∂x ′

)n

δ(x ′ − x ′′)dy

=∞∑n=0

1

n!

∫(y − x ′)nP(Xt′+τ = y |Xt′ = x ′)dy

(∂

∂x ′

)n

δ(x ′ − x ′′)

=

(1 +

∞∑n=1

1

n!Mn(x ′, t ′, τ)

(∂

∂x ′

)n)δ(x ′ − x ′′) .





Wir betrachten zunachst (9):

P(Xt = x |Xt′ = x ′)

=

∫P(Xt′+τ = x ′′|Xt′ = x ′)P(Xt = x |Xt′+τ = x ′′)dx ′′

=

∫ (1 +

∞∑n=1

1

n!Mn(x ′, t ′, τ)

(∂

∂x ′

)n)δ(x ′ − x ′′)P(Xt = x |Xt′+τ = x ′′)dx ′′

=P(Xt = x |Xt′+τ = x ′) +∞∑n=1

1

n!Mn(x ′, t ′, τ)

(∂

∂x ′

)n

P(Xt = x |Xt′+τ = x ′)

(12)





Bestimmung des Differenzenquotient. Mit (12) folgt

P(Xt = x |Xt′ = x ′)− P(Xt = x |Xt′+τ = x ′)

= −τ ∂P(Xt = x |Xt′ = x ′)

∂t ′+O(τ 2)

=∞∑n=1

1

n!Mn(x ′, t ′, τ)

(∂

∂x ′

)n

P(Xt = x |Xt′+τ = x ′)

= τ

∞∑n=1

D(n)(x ′, t ′)

(∂

∂x ′

)n

P(Xt = x |Xt′+τ = x ′) +O(τ 2) .

Mit Taylorentwicklung von Mn(x , t, τ)

Mn(x , t, τ)

n!= 0+D(n)(x , t)τ+O(τ 2)⇒ D(n)(x , t) =

1

n!limτ→0〈(Xt+τ−Xt)

n〉∣∣Xt=x

.





Betrachten wir nur die Terme, welche linear in τ sind, so erhalten wir

∂P(Xt = x |Xt′ = x ′)

∂t ′= −L†KM(x ′, t ′)P(Xt = x |Xt′ = x ′) , (13)

wobei

L†KM(x , t) =∞∑n=1

D(n)(x , t)

(∂

∂x

)n

LKM(x , t) =∞∑n=1

(− ∂

∂x

)n

D(n)(x , t)

(14)

LKM(x , t) ist der Kramers-Moyal-Operator. Aquivalent zu (13) findet man

∂fX (x , t)

∂t= LKM fX (x , t), (15)

mit der Dichtefunktion f .Fabian Faulstich Fokker-Planck Gleichung



Satz von Pawula

Satz von Pawula

Fur positive Ubergangswahrscheinlichkeiten P(x , t|x ′, t ′) bricht dieEntwicklung (15) (bzw. (13)) entweder nach dem ersten oder demzweiten Term ab. Ist dies nicht der Fall, so bricht sie niemals ab.




Satz von Pawula

Wir betrachten∫ ∫(f (x)g(y)− f (y)g(x))2P(x)P(y) dxdy ≥ 0 ,

was fur positive Funktionen P richtig ist. Dies ist aquivalent zu

Verallgemeinerte Schwartzsche Ungleichung

(∫f (x)g(x)P(x) dx

)2

≤∫

f 2(x)P(x)dx

∫g2(x)P(x) dx . (16)




Satz von Pawula

Mit f (x) = (x − x ′)n, g(x) = (x − x ′)n+m und P(x) = P(x , t + τ |x ′, t ′),wobei n,m ≥ 1 folgt

M22n+m ≤ M2n M2n+2m . (17)

Eine Taylorentwicklung mit der Annahme n, m ≥ 1 fuhrt auf

(2n + m)!(D(2n+m))2 ≤ (2n)!(2n + 2m)!D(2n)D(2m+2n) (18)

Mit r = m + n geht aus (18) hervor, dass

D(2n) = 0⇒ D(2n+1) = D(2n+2) = ... = 0 (n ≥ 1)

D(2r) = 0⇒ D(r+n) = 0 (n = 1, ..., r − 1)

⇔ D(2r−1) = D(2r−2) = ... = D(r+1) = 0 (r ≥ 2)

(19)

Insgesamt also

D(2r) = 0⇒ 0 = D(3) = D(4) = ...(r ≥ 1) (20)

Damit folgt der Satz von Pawula.Fabian Faulstich Fokker-Planck Gleichung



Fokker-Planck-Gleichung

Bricht die Kramers-Moyal-Entwicklung nach dem zweiten Term ab, soerhalt man die Fokker-Planck-Gleichung

Fokker-Planck-Gleichung

∂W (x , t)

∂t= − ∂

∂xD(1)(x , t)W (x , t)+

∂2

∂x2D(2)(x , t)W (x , t) = LFPW (x , t)

(21)D(1) ist der Drift-Koeffizient und D(2) der Diffusions-Koeffizient.

LFP = − ∂

∂xD(1)(x , t) +

∂2

∂x2D(2)(x , t) (22)

ist der Fokker-Planck-Operator




1 Motivation



4 Beispiel




Settings

Wir betrachten hier die Langevin-Gleichung

dx

dt= −∇V (x)+

√2

γ

dw

dt⇔ x(t) =

∫ t

0

(−∇V (x) +

√2

γ

dw

dt

)dt (23)

w ist hier eine Brown’sche Bewegung. Nun gilt

D(1) = limτ→0

1

τ〈x(t + ∆t)− x(t)〉 = −∇V

D(2) =1

2limτ→0

1

τ〈(x(t + ∆t)− x(t))2〉 =

1

γ

und damit folgt die Fokker-Planck-Gleichung

∂u(x , t)

∂t= ∇ · (u∇V ) +

1

γ∆u




Berechnung der Kramers-Moyal-Koeffizienten

D(1) = limτ→0

1

τ〈x(t + ∆t)− x(t)〉

= limτ→0

1

τ

(∫ t+τ

t

−∇V (x)dt +

√2

γ〈∫ t+τ

t

dw〉

)= −∇V (x)

In obiger Gleichung wurde verwendet, dass die Langevin-Kraft imErwartungswert Null ergeben muss. Alternativ kann uber dieMartingaleigenschft der Brown’schen Bewegung diskutiert werden.




Berechnung der Kramers-Moyal-Koeffizienten

D(2) =1

2limτ→0

1

τ〈(x(t + ∆t)− x(t))2〉

=1

2limτ→0

1

τ〈(∫ t+τ

t

−∇V (x)dt +

√2

γ

∫ t+τ

t

dw)2〉

=1

2limτ→0

1

τ

((

∫ t+τ

t

−∇V (x)dt)2 +2

γ〈(∫ t+τ

t

dw)2〉)

=1

2limτ→0

1

τ

2

γ〈∫ t+τ

t

12dt〉 =1

γ

In der letzten Gleichung wurde die Ito-Isometrie

〈

(∫ T

0

Xt dWt

)2

〉 = 〈∫ T

0

X 2t dt〉,

verwendet.




Eigenschaften

Die Boltzmann-Verteilung ist Eigenfunktion des FPO zum EigenwertNull.

Der FPO ist Symmetrisch bzgl. des Gibbs-Maßes

Folgen fur dem Transferoperator




Eigenfunktion des Fokker-Planck-Operators

Wir betrachten die Dichtefunktion der Boltzmann-Verteilung

φ0(x) = Ce−γV (x) .

Dann gilt:

LFPφ0(x) =C

γ∆e−γV +∇ ·

(Ce−γV∇V

)=

C

γ

(γ2e−γV (∇V )2 − γe−γV ∆V

)+ Ce−γV ∆V − Cγe−γV (∇V )2

= Cγe−γV (∇V )2 − Ce−γV ∆V + Ce−γV ∆V − Cγe−γV (∇V )2

= 0

Also ist die Dichtefunktion der Boltzmann-Verteilung Eigenfunktion vonLFP zum Eigenwert Null.




Symmetrie bzgl. Gibbs-Maß

Mit Hilfe der Eigenfunktion φ0 konnen wir ein SKP 〈·, ·〉φ0 durch

〈f , g〉φ0 =

∫uv

1

φ0dµ(x)

definieren. Das Produkt der Funktionen wird bzgl. des Gibbs-Maßesintegriert. Der Operator LFP ist symmetrisch bzgl. dieses SKP.




Symmetrie bzgl. Gibbs-Maß

〈u, LFPv〉φ0 =

∫uLFPv

1

φ0dµ(x) =

∫u

(∇ · (v∇V ) +

1

γ∆v

)CeγV dµ(x)

=

∫CeγV u ∇ ·

(v∇V +

1

γ∇v)dµ(x)

= −∫ (

CeγV∇u + uCγeγV∇V)(

v∇V +1

γ∇v)dµ(x)

= −∫ (

1

γ∇u + u∇V

)(vCγeγV∇V + CeγV∇v

)dµ(x)

= −∫ (

1

γ∇u + u∇V

)(v∇CeγV + CeγV∇v

)dµ(x)

= −∫ (

1

γ∇u + u∇V

)∇(CeγV v

)dµ(x)

=

∫ (∇ · (u∇V ) +

1

γ∆u

)vCeγV dµ(x) = 〈LFPu, v〉φ0




Transferoperator

Wir betrachten die Anfangsverteilung u(x , 0) =: u0(x)

Ttu0(x) := etLFPu0(x) = P(x , t|u0(x)) = u(x , t) .

Tt ist der Transferoperator. LFP symmetrisch bzgl. 〈·, ·〉φ0 ⇒ Tt

symmetrisch bzgl. 〈·, ·〉φ0 . Mit dem Spektralsatz folgt nun

u(x , t) = Ttu0(x) = etLFPu0(x) =∞∑k=1

e−λk t〈u0(x), φk(x)〉φ0φk(x) ,

wobei φk die Eigenfunktionen von LFP zu den Eigenwerten −λk (λk > 0)sind.




1 Motivation



4 Beispiel




Wir betrachten erneut das Pollenteilchen im Wassertropfen

v(t) + γ v(t) = Γ(t)⇔ v(t) = v0e−γt +

∫ t

0

e−γ(t−t′)Γ(t ′)dt ′

Die Koeffizienten der Kramers-Moyal-Enwicklung sind

D(1)(v , t) = limτ→0

1

τ〈(v(t + τ)− v(t))1〉

∣∣v(t)=v

= −γv

D(2)(v , t) =1

2limτ→0

1

τ〈(v(t + τ)− v(t))2〉

∣∣v(t)=v

=γkBT

m.

Damit erhalten wir die Fokker-Planck-Gleichung

∂ W (v , t)

∂t= γ

∂

∂v(v W (v , t)) + γ

kB T

m

∂2

∂v2W (v , t) .




Wir nehmen anlimt→∞

W (v , t) = W (v) (24)

Dieses Verhalten (24), nennt man ergodisch. Dann gilt die FPG

0 = γ∂

∂v(v W (v , t)) + γ

kB T

m

∂2

∂v2W (v , t) . (25)

Diese DGL besitzt die Losung

W (v) =

√m

2γπkBTe− mv2

2kBT . (26)

Wir erwarten Konvergenz gegen eine Normalverteilung,

unabhangig der Startverteilung.




Losung dieser FPG (γ = 2, Tm = 6

kB) ergibt




Quellen

H. Risken: The Fokker-Planck Equation - Methods of Solution andApplications, 2. Auflage, Springer Verlag

R. Durrett: Essentials of stochastic Processes, 1. Auflage, SpringerVerlag

R.R. COIFMAN, I.G. KEVREKIDIS, S. LAFON, M. MAGGIONI,AND B. NADLER:DIFFUSION MAPS, REDUCTION COORDINATES AND LOWDIMENSIONAL REPRESENTATION OF STOCHASTIC SYSTEMS,August 2008

W. Dieterich: Stochastische Prozesse in der Physik kondensierterMaterie, Vorlesungsmitschrift SS 2000

J. Dreger: Untersuchung des Starkkopplungsverhaltens derFokker-Planck-Gleichung mit anharmonischer Drift, Diplomarbeit




Vielen Dank fur Ihre Aufmerksamkeit


Fokker-Planck Gleichung - Private...

Documents

Transcript of Fokker-Planck Gleichung - Private...