Folien Zu VL XI Vom 08012015

1/25T. Vossmeyer Mathematik I WS 2014/15

3.8 Mehrfachintegrale

3.8.1 Doppelintegrale

( , ) dA f x yA

2

1

( )

( )

= ( , ) dy dxo

u

y xx

x y x

f x y

2 unabhngigeVariablen

Integrationsbereich:eine Flche!

Flchen-differential

von x abhngigeFunktionen od. Konstanten

Konstanten

1. Integration (innen)

Vorgehen:

1. Innere Integration nach y ausfhren

x als Konstante betrachten!

f(x,y) nach y integrieren!

In ermittelte Stammfunktion fr y die Integrationsgrenzen yo(x) und yu(x) einsetzen und Differenz der resultierenden Funktionen bilden! (Variable y verschwindet aus Integranden!)


( , ) dA f x yA


Integrationsbereich:eine Flche!

Flchen-differential

2. Integration (auen)

2. uere Integration nach x in den festen Grenzen x1 und x2 ausfhren(gewhnliche Integration)

3.8 Mehrfachintegrale


2

1

( )

( )

= ( , ) dy dxo

u

y xx

x y x

f x y

von x abhngigeFunktionen od. Konstanten

Konstanten

1. Integration (innen)


Bsp.:


x1 e 2

x 0 y 1

xdy dx ?

y= =

=

x1 e

2

x 0 y 1

1x dy dx

y= =

1. Innere Integration nach y (x wird als Konstante betrachtet):x1 e

2

x 0 y 1

1x dy dx

y= =

=

( )x

1e2

1x 0

x ln y dx=

= ( ) ( )( )1

2 x

x 0

x ln e ln 1 dx=

= = 0= x

1

3

x 0

x dx=

=

2. uere Integration nach x (gewhnliche Integration, da nur noch eine Variable):

1

3

x 0

x dx=

= 1

4

0

1x

4

=

1 10

4 4= =


Bereich(A)

z

y

x

x

y

Funktionsflche z = f(x,y)

Grundflche Sule: A = y . x

Volumenelement Sule:V = f(xk,yj) . A

f(xk,yj)

m n

k j

k 1 j 1

V f (x , y ) A= =

Das Volumen V zwischen Funktionsflche f(x,y) und x,y-Ebene im Bereich (A) ist nherungsweise

durch die Summe der Volumenelemente V in diesem Bereich gegeben:

Volumen V = ?

3.8.1 Doppelintegrale (geometrische Deutung)


x,y : Integrationsvariablen

f(x,y): Integrand

dA: Flchendifferential, Flchenelement

(A): Integrationsbereich

Weitere Bezeichnungen fr Doppelintegrale:

2-dimensionales Bereichsintegral

zweifaches Integral

Flchenintegral

Definition: Der Grenzwert

wird als Doppelintegral bezeichnet und durch folgendes Symbol

gekennzeichnet:

m n

k jm n

k 1 j 1

lim lim f (x , y ) A

= =

(A) (A)

f (x, y) dA f (x, y) dA

=

( )A 0


x1 x2

y2

y1

Bereich(A)

z

y

x

dx

dy


dy . dx = dA

dV = f(x,y) . dA = f(x,y) . dy dxf(x,y)

Integrationsbereich (A):

1 2x x x

1 2y y y

Volumen V = ?

1. Integrationsschritt:

Summation ( = Integration) aller Sulenvolumina dV einer Schicht in y-Richtung ergibt

das Volumen einer Scheibe mit der infinitesimalen Dicke dx.

Berechnung eines Doppelintegrals (geometrische Deutung)


Bereich(A)

z

y

x

dx

x1 x2

y2

y1


1 2x x x

1 2y y y





2 2

1 1

y y

Scheibe

y y

dV dV f (x, y) dy dx

= =


Summation ( = Integration) aller Scheiben in x-Richtung ergibt das Volumen V, das

zwischen Funktionsflche f(x,y) und der x,y-Ebene im Integrationsbereich (A) liegt.

Volumen V = ?



z

y

xx1 x2

y2

y1


1 2x x x

1 2y y y




2

1

2 2

1 1

x

Scheibe

(A) x

x y

x y

V f (x, y) dA dV

f (x, y) dy dx

= =

=





Volumen V =

Hinweis: Wenn alle Integrationsgrenzen Konstanten

sind (rechteckiger Integrationsbereich!), so ist die

Integrationsreihenfolge vertauschbar!



Hinweis:

Nur wenn alle Integrationsgrenzen konstant sind (rechteckigerIntgrationsbereich!), darf die Integrationsreihenfolge vertauscht werden:

( ) ( )2 2 2 2

1 1 1 1

x y y x

x y y x

f x, y dy dx f x, y dx dy=

Beispiel:

( ) ( )1 /2 1 /2

0 0 0 0

x cos y dy dx x cos y dy dx

=

( )11 1

/2 2

000 0

1 1x sin y dx x 1 dx x

2 2

= = = =


oder andere Reihenfolge:

( ) ( )/2 1 /2 1

0 0 0 0

x cos y dx dy cos y x dx dy

=

( ) ( )1/2 /2

2

0 00

1 1cos y x dy cos y dy

2 2

= =

( ) ( )/2

/2

00

1 1 1cos y dy sin y

2 2 2

= = =


z

y

xx1 x2

y2

y1


1 2x x x

1 2y y y




2

1

2 2

1 1

x

Scheibe

(A) x

x y

x y

V f (x, y) dA dV

f (x, y) dy dx

= =

=





Volumen V =

Hinweis: Wenn alle Integrationsgrenzen Konstanten

sind (rechteckiger Integrationsbereich!), so ist die

Integrationsreihenfolge vertauschbar!



z

y

x

dxdy


dy . dx = dA

dV = f(x,y) . dA = f(x,y) . dy dxf(x,y)

x1 x2


1 2x x x

u oy (x) y y (x)

Volumen V = ?




yu=yu(x)

yo=yo(x)

Bereich(A)



z

y

x

dx


x1 x2

Volumen V = ?




yu=yu(x)

yo=yo(x)

Bereich(A)

o

u

o

u

y (x)

Scheibe

y (x)

y (x)

y (x)

dV dV

f (x, y) dy dx

=

=





1 2x x x

u of (x) y f (x)



z

y

xx1 x2

yu=fu(x)

2

1

o2

1 u

x

Scheibe

(A) x

y (x)x

x y (x)

V f (x, y) dA dV

f (x, y) dy dx

= =

=

Volumen V = ?



1 2x x x

u of (x) y f (x)







Integrationsreihenfolge nicht

vertauschbar!



z

x

y

z = 4

y = 2

x = 2

Funktionsflche:2 2z(x, y) 4 (x y )= +

Integrations-bereich (A)

Volumen = ?

Beispiel: Volumen eines Rotationskrper

Integrationsbereich: y

x

x2=2x1=-2

2

oy 4 x=

2

uy 4 x=

( )2

2

2 4 x

2 2

x 2 y 4 x

4 x y dy dx ???

= =

= Lsungsweg zu aufwendig!

Bei rotationssymmetrischen Problemen: Polarkoordinaten verwenden!!!


x

y

x

y

yr

xP(x,y)

r 0

0 2

<

mit

x, y = kartesische Koordinaten

r, = Polarkoordinaten

x r cos( )=

y r sin( )=

2 2 2

2 2

r x y

r x y

= +

= +

Polarkoordinaten

mit diesen Angaben lsst sich die Funktion f(x,y) in die Funktion f(r,)transformieren.


(A)y1

y2

r2

r1

x

y

(A)

x

y

x1 x2

Integrationsbereiche in kartesischen Koordinaten und Polarkoordinaten

Kartesische Koordinaten: Polarkoordinaten:

1

2


1

2

(A)

y1

y2

x

y

(A)

x

y

x1 x2

Flchendifferential dA in kartesischen Koordinaten und Polarkoordinaten

dxdy

dA=dy.dx

dx

dy

d

dr

dA = r.d.dr

r


bei Integration inPolarkoordinatenzu verwenden!


z

x

y

z = 4

y = 2

x = 2



Volumen = ?

1. Transformation von z(x,y) in Polarkoordinaten:


x und y durch r und ersetzen


x

y

x

y

yr

xP(x,y)

r 0

0 2

<

mit

x, y = kartesische Koordinaten

r, = Polarkoordinaten

x r cos( )=

y r sin( )=

2 2 2

2 2

r x y

r x y

= +

= +

Polarkoordinaten


z

x

y

z = 4

y = 2

x = 2



Volumen = ?

1. Transformation von z(x,y) in Polarkoordinaten:

( )2 2z(r, ) 4 (r cos ) (r sin ) = + ( )2 2 2 24 r cos r sin= +

2 2 2

2

4 r (cos sin )

4 r

= +

=

3. Integrationsformel in Polarkoordinaten aufschreiben:

( )2 2

2

(A) 0 r 0

V z dA 4 r r dr d

= =

= =

dAz(r,)


2. Integrationsbereich in Polarkoordinaten: , 0 r 2 0 2 <

2

y

x2


1

2

(A)

y1

y2

x

y

(A)

x

y

x1 x2

Flchendifferential dA in kartesischen Koordinaten und Polarkoordinaten

dxdy

dA=dy.dx

dx

dy

d

dr

dA = r.d.dr

r



( ) ( )22 2 2 2 2

2 3 2 4

00 r 0 0 r 0 0

4 1V 4 r r dr d 4r r dr d r r d

2 4

= = = = =

= = =

und Integral von innen nach auen berechnen:

( )2 2 2

2 4

0 0 0

12 2 2 d 8 4 d 4d

4

= = =

= = = =

[ ]2

2

0

0

4 d 4 8

=

= = = (Volumen des Rotationskrpers)


8.3.2 Dreifachintegrale

Integration von Funktionen mit drei unabhngigen Variablen x, y, z:

Graphische Darstellung solcher Funktionen:

Jedem Punkt im Raum ist ein Funktionswert zuzuordnen

darstellbar z.B. als Farbintensitt oder Punktdichte

Beispiel: Atomorbitale reprsentiert als Elektronendichteverteilung um Raum:


3.8.2 Dreifachintegrale

( ) ( )( )

( )

( )

( )o o2

1 u u

y x z x,yx

(V) x y x z x,y

f x, y,z dV f x, y,z dz dy dx=

1. Integration (innen)(Variable z fllt raus!)

2. Integration (mitte)(Variable y fllt raus!)

3. Integration (auen)(gewhnliche Integration)

Integrationsbereich:ein Volumen!

(Umschliesst Funktionswertedie integriert werden)

Volumen-differential


Konstanteni Allg. von x und y abhngige

Funktionen

i. Allg. von x abhngigeFunktionen

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