Folien_Dynamik10
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DynamikDynamik
Norbert GurkerNorbert Gurker
Institut f FestkrperphysikInstitut f FestkrperphysikTU WienTU Wien
Vortragsfolien im Rahmen der LV 143.020 und 138.029Vortragsfolien im Rahmen der LV 143.020 und 138.029
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Kinematik:Kinematik:
WieWie bewegt sich ein System ?
Ort (Winkel)
(Winkel)Geschwindigkeit(Winkel)Beschleunigung
Dynamik:Dynamik:
WarumWarum bewegt sich ein System ?
Ursache WirkungMasseMasse (Trgheitsmoment)
ImpulsImpuls (Drehimpuls)
KraftKraft (Drehmoment)
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System ? WasWas bewegt sich ?
Systemkenngre: Masse (m) Stoffmenge Masse (m) Stoffmenge
p m v=
ImpulsImpuls
(engl. momentum)
MasseMasse ist eine (Grund)Eigenschaft von Materie,
die sich inSchwereSchwere und TrgheitTrgheitussert.(andere Eigenschaften von Materie sind zB.:
Ladung, Spin, ... )
Definition
der Grundgre derDynamik:
Systemkenngre Bewegungskenngre
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KausalittsprinzipKausalittsprinzip
Ursache (Aus)Wirkung
Kraft zeitliche nderungder Bewegung(sgre)
,p d p
F Ft dt
d pFdt
=
Diese Gleichunghat den Charakter einesAxioms
(dh. sie kann nichtauf Grundlegendereszurckgefhrt werden)
und
ist gleichzeitig dieDefinition derKraft(engl. force)
Einheit: 1 Newton [N]
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ErhaltungsstzeErhaltungsstze
Ohne Einwirkung von Krften bleibt derImpuls eines Systems erhalten. *)
ImpulserhaltungssatzImpulserhaltungssatz
Ohne Einwirkung von Momenten bleibt derDrehimpuls eines Systems erhalten. *)
DrehimpulserhaltungssatzDrehimpulserhaltungssatz
Ohne Einwirkung von Krften/Momenten bleibtdie Energie eines Systems erhalten;
die an/von einem System verrichtete Arbeiterhht/verringert seine Energie; Umwandlungvon Energieformen innerhalb eines Systems sind
mglich.
EnergieerhaltungssatzEnergieerhaltungssatz
*) in einem Inertialsystem
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In einem abgeschlossenenSystem wirken
keine Krfte von auen ein.
1 2
1 2
1 2
1 2 1 2
0
,
0 , ( ) 0
, 0
A R
dpF
dt
p const p p p
dp dp dp p
dt dt dt
F F F F
F F
= =
= = +
+ = + =
= + =
=
(Innere) Krfte tretenimmer paarweise auf.
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zurSymmetrie von Krften
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Aerodynamischer AuftriebAerodynamischer Auftrieb
AktionskraftAktionskraftauf ein Luftpaket ReaktionskraftReaktionskraftauf den Tragflgel
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dpF
dt=
Vektorgleichung
(1,2,3) Komponentengleichung(en)
x
x
yy
zz
dp
dtF
dpFdt
F dp
dt
=
x
x
dpF
dt=
yy dpF
dt=
z
z
dpF
dt=
2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( ), ,xx y z
dp x t y t z tF m F m
d d d
dt d dm
tF
d tt= = = =
(1,2,3)DifferentialgleichungenDifferentialgleichungen (2.Ordnung)
DieLsungLsungeiner Differentialgleichung isteine FunktionFunktion (und kein Zahlenwert).
( , ) ( )F F r t r t =
( )
( ) , ( ) , ( ) ( ) ( )
( )
x t
x t y t z t y t r t
z t
=
-
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ein einfachesBeispiel:
1
22
2
2
2
( ) sin( ) ;
( ) ( )cos( ) , sin( )
sin( ) sin( ) 0
D=
m
x t t
dx t d x t t t
dt dt
m t D t
m D
=
= =
+ =
=
2 ( ) cos( ) ;x t t =
eine Lsung ist
eine weitere Lsung ist
2
2
2
2
( ), ( )
( )( ) 0
x x
d x tF m F x Dx
dt
d x tm Dx t
dt
= =
+ =
eine DiffGl. lstman mit einemAnsatz
fr dieLsungsfunktion:
die allgemeine Lsung ist danneineLinearkombination der beiden
(Einzel-) Lsungen.
( )ax t
( ) sin( ) cos( )ax tA Bt t + =
-
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( ) sin( ) cos( )ax t A t B t = +
Die beiden noch unbekannten KonstantenA und B werden aus denAnfangsbedingungenbestimmt:
(1) wo ist das System
und
(2) mit welcher Geschwindigkeitbewegt sich dasSystem
zumAnfangszeitpunkt 0 (zB 0)t t t= =
0
0
0
0
0
0
( 0) sin(0) cos(0)
(1)
( )( ) cos( ) sin( )
( 0) cos(0) sin(0)
(2)
( ) sin( ) cos( )
a
a
a
a
a
x t x A B B
B x
dx tv t A t B t
dtv t v A B A
vA
vx t t x t
= = = + =
=
= =
= = = =
=
= +
-
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2
2
( )( ) 0
d x tm Dx t
dt+ =
die allgemeineallgemeine Lsung der DiffGl.
( ) sin( ) cos( )ax t A t B t = +
wird durch dieAnfangsbedingungenAnfangsbedingungen
an ein spezielles Bewegungsproblemangepat und legt die Lsung
eindeutigeindeutigfest.
0
0( ) sin( ) cos( )av
x t t x t = +
DiffGln. knnen (oft) analytisch mit einem
Ansatz oder numerisch mit Solvern gelstwerden.
Ohne DiffGln. geht in der Physik (fast) gar nichts ...
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KausalittKausalittundDeterminismusDeterminismusin der klassischen Physik
mechanisches Planetenmodell:
Sind die Anfangsbedingungen (Positionen& Geschwindigkeiten) fr alle Planeten zueinem Zeitpunkt bekannt, kann man deren Bahn beliebig in die Vergangenheit und indie Zukunft verfolgen.
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Asteroid 99942 "Apophis"Durchmesser ca 300m, Masse ca 3x1010kg
1. Erdtransit am Freitag, 13.April 2029
kleinste Annherung ca 30000km
2. Erdtransit am Sonntag, 13.April 2036kleinste Annherung ???
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Anfangsbedingungen fr
Klassisches System:Klassisches System:praktischepraktische (experimentelle) Grenzen derBestimmbarkeit von Anfangsbedingungen
(zB Orte und Geschwindigkeiten bzw. Impulse
aller Teilchen in einem Gasvolumen);im Prinzip gilt jedoch:
Quantensystem:Quantensystem:
prinzipielleprinzipielle Grenzen der Bestimmbarkeit von
Anfangsbedingungen; es gilt:
( h ... Plancksches Wirkungsquantum )
0x xx p x m v = =
34102
x x
hx p x m v Js
= =
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KausalittsprinzipKausalittsprinzipfr
klassisches (deterministisches) System:klassisches (deterministisches) System:
gleiche (kleinegleiche (kleinenderungen der)Anfangsbedingungen
gleichegleiche (kleine(kleinenderungen der) zeitliche(n)
Entwicklung
chaotisches System:chaotisches System:
kleinekleinenderungen der Anfangsbedingungen
groegroenderungen der zeitlichen Entwicklung
(Mikro)Quantensystem:(Mikro)Quantensystem:gleichegleicheAnfangsbedingungen
statistischerstatistischerVersuchsausgang
(KausalittKausalittwird nicht fr einzelne sondern nur frnur frvielevieleMikrosysteme sichtbar!sichtbar!))
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GalileiGalilei--TransformationTransformation(Transformation zwischen zwei relativ
zueinander bewegten Inertialsystemen)
xy
'y
z
'z
'
'r
r
'v t',0r
'xO
'O
Vektoraddition
'v const =
',0 '
',0 '
',0 ',
',0 ',
',0 ',
( ) '( ) ''( ) ( ) '
'( ) ( )
'( ) ( )
'( ) ( )
x
y
z
r t r t r v t r t r t r v t
x vx t x t
y t y t y v
z t z t z v
= + + =
=
t
-
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',0 '( ) '( )r t r t r v t = + +
:d
dt
:d
dt
'( ) '( ) 0v t v t v= + +
( ) '( ) 0 0a t a t = + +
Transformation vonOrt, Geschwindigkeit, Beschleunigung
DieBeschleunigungen ndern sich bei einer Galilei-Transformation nicht;Beschleunigungen sindBeschleunigungen sind
invariant gegenber einer Galileiinvariant gegenber einer Galilei--Transformation.Transformation.
und damit:
diedieNewton sche Axiomatik ist invariant gegenberNewton sche Axiomatik ist invariant gegenbereiner Galileieiner Galilei--TransformationTransformation
'' '
dp dpF ma ma F
dt dt = = = = =
beide Bezugsysteme (Inertialsysteme) sindphysikalisch gleichwertig
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fr die Transformation derZeitgilt
't t=
dh. es gilt das (Galileische)Prinzip der universellen ZeitPrinzip der universellen Zeit
Die GalileiGalilei--TransformationTransformation ist nur fr kleine fr kleine*)*)
(Relativ)Geschwindigkeiten(Relativ)Geschwindigkeiten von und gltig; fr groe fr groe*)*) (Relativ)Geschwindigkeiten(Relativ)Geschwindigkeiten ist dieLorentzLorentz--TransformationTransformation gltig; dort ist auch die Zeit geeignet zu transformieren; Zeit geeignet zu transformieren; die Lorentz-
Transformation geht fr kleine*)
(Relativ)-Geschwindigkeiten formal in die Galilei-Trans-
formation ber.
*)klein bzw gro im Vergleich mit derLichtgeschwindigkeit
(siehe VorlesungsteilRelativittstheorie).
8 10 3 10c ms
=
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' sei nun kein Inertialsystem:
',0
0
'( ) '( () )
t
r t r t r d v = + +
'
( ) '( ) 0 ( )v t v t v t
= + +
:d
dt
:d
dt
'( ) '( ) 0 ( )t a ta t a += +
''( ) ( ) ( )a t a t a t =
''( ) ( ) ( )
' T
ma t ma t ma t
F F F
=
= +
In beschleunigten Koordinatensystemen tretenzustzlich zu den physikalischen Krften
noch Trgheitskrfte (Scheinkrfte) auf.
'TF ma=
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zur Demonstration der
Trgheitskraft (I)
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zur Demonstration der
Trgheitskraft (II)
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ParabelflugParabelflug(zero(zero--g Experimente)g Experimente)
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Trgheitskraft in
rotierenden Bezugssystemen
C
v
m
2 ( )CF m v = Corioliskraft
Foucault-Pendel
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zur Demonstration der
Corioliskraft
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Rotationsbewegung eines Tiefdruckgebietes
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Drehratensensorauf Grundlage derCorioliskraft (I)
Aktuator
Sensor 1
Sensor 2
zum piezoelektrischenEffekt (zB bei Quarz)
Lngennderung
anliegende elektrischeSpannung
+
-+
-
einachsige Biegeschwingung
-
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Drehratensensorauf Grundlage derCorioliskraft (II)
v+
v
cF+
cF
2 ( )CF m v =
zweiachsige Biegeschwingung
Messgre = Querspannung
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( ) ( )dW F ds F t v t dt = =
i i
ArbeitArbeit(engl. work)(engl. work)
Einheit:Nm, Joule, WattsekundeNm, Joule, Wattsekunde
LeistungLeistung(engl. power)(engl. power)
( ) ( ) ( )dW
t F t v t
dt
= =
i
Momentanleistung (zur Zeit t)
Einheit: WattWatt
( )
T
t dt
P
T
=
gemittelte Leistung imZeitintervall T
-
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y
x
1r 2r
F
js kF
ks
ArbeitArbeit
frPolygonzugmit kleinen geraden Wegstcken
, ,i i i ii
i i i ii i
W F s W W
W F s F v t
= =
= =
i
i i
2 2
1 1
, ,
r t
r t
dW F ds W dW
W F ds F vdt
= =
= =
i
i i (Wegintegral)
frKurve mit infinitesimal kleinen Wegstcken
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Skalarprodukt(Inprodukt / inneres Produkt)
S A B=
(sprich: "A in B " )
cosS A B =
x x
y y x x y y z z
z z
A BS A B A B A B A B
A B
= = + +
S A B B A= =
(vgl. zB.: Tipler "Physik")
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AnalogiebetrachtungzumEnergieEnergiebegriff
Pumpe
Motor
EnergieEnergie(investierte)(investierte)
ArbeitArbeit
(abgegebene)(abgegebene)ArbeitArbeit
Flssigkeit = Arbeit bzw. EnergieFlssigkeit = Arbeit bzw. Energie
Behlter = System
EnergieumwandlungEnergieumwandlunginnerhalb des Systemsinnerhalb des Systems
Energie kann weder aus dem Nichts gewonnenwerden, noch verloren gehen; es gilt das
Prinzip der EnergieerhaltungPrinzip der Energieerhaltung
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ErhaltungsstzeErhaltungsstze
Ohne Einwirkung von Krften bleibt derImpuls eines Systems erhalten. *)
ImpulserhaltungssatzImpulserhaltungssatz
Ohne Einwirkung von Momenten bleibt derDrehimpuls eines Systems erhalten. *)
DrehimpulserhaltungssatzDrehimpulserhaltungssatz
Ohne Einwirkung von Krften bleibt dieEnergie eines Systems erhalten;
die an/von einem System verrichtete Arbeiterhht/verringert seine Energie; Umwandlungvon Energieformen innerhalb eines Systems
sind mglich.
EnergieerhaltungssatzEnergieerhaltungssatz
*) in einem Inertialsystem
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SteSte
sind kurzzeitigesind kurzzeitige
Wechselwirkungen zwischen zweiWechselwirkungen zwischen zweiMassen, bei denen Energie undMassen, bei denen Energie undImpuls ausgetauscht werden.Impuls ausgetauscht werden.
Bei der (einfachen) Beschreibung eines StoesBei der (einfachen) Beschreibung eines Stoeswird die Situationwird die Situation vor und nach dem Stovor und nach dem Stoauf derauf der
Grundlage vonGrundlage vonErhaltungsstzenErhaltungsstzenfrfrEnergie, ImpulsEnergie, Impuls (und Drehimpuls)(und Drehimpuls)
miteinandermiteinanderverglichen.verglichen.
Bleibt dieBleibt diegesamte kinetische Energiegesamte kinetische Energie der beidender beidenMassen beim StossMassen beim Stoss erhaltenerhalten, spricht man von, spricht man von
einemeinem
elastischen Stoelastischen Sto
;;
wird einwird ein Teil derTeil dergesamtengesamten kinetischen Energiekinetischen Energie ininbleibendebleibende VerformungsenergieVerformungsenergie umgewandelt,umgewandelt,spricht man von einemspricht man von einem un/inelastischen Sto.un/inelastischen Sto.
EinEingerader (zentraler) Stogerader (zentraler) Stofindetfindetentlang einerentlang einereinzigen Raumrichtungeinzigen Raumrichtungstatt; einstatt; ein schiefer Stoschiefer Sto
erfolgterfolgtin zwei/drei Raumrichtungenin zwei/drei Raumrichtungen..
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geradergeraderelastischerelastischerStoSto
EnergieerhaltungssatzEnergieerhaltungssatz
m v m v m v m v1 12
2 22
1 12
2 22
2 2 2 2+ = +
' '
1 1 2 2 1 1 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
' '
' '
m v m v m v m v
m v m v m v m v
+ = +
+ = +
ImpulserhaltungssatzImpulserhaltungssatz
nach Zwischenrechnung:nach Zwischenrechnung:
vm v m v v
m m
vm v m v v
m m
11 1 2 2 1
1 2
22 2 1 1 2
1 2
2
2
'( )
'( )
=+
+=
+
+
-
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gerader unelastischer Stogerader unelastischer Sto
EnergieerhaltungssatzEnergieerhaltungssatz
E E E E E kin kin kin kin Verformung , , , ,1 2 1 2+ = + +' ' '
1 2' ' 'v v v= =
es kann nur deres kann nur der
ImpulserhaltungssatzImpulserhaltungssatzfr eine quantitative Betrachtung verwendet und damit auch nurfr eine quantitative Betrachtung verwendet und damit auch nur
eine einzige Gre ( ) berechnet werden;eine einzige Gre ( ) berechnet werden;
notwendigenotwendigeAnnahme:Annahme:beide Massen bewegen sich nach dem Stobeide Massen bewegen sich nach dem Stogemeinsamgemeinsam weiter.weiter.
'v
unbekannt!unbekannt!
21 1 1 2
2
2 ( ) '
0
m v m m vm
v
v = +
=
+
1 1 11
1 2
2
1 2
2'm v m
v vm m m
m
m
v= =
+ +
+(nicht notwendige Annahme!)(nicht notwendige Annahme!)
-
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Dynamik der DrehbewegungDynamik der Drehbewegung
y
z
r
mv
p
x
v r=
Definition der GrundgrederDynamikderDrehbewegung:
DrehimpulsDrehimpuls
(engl. angular momentum)L r p=
( ), ( ) ( )r t p t L t L const = =
Fr einegleichfrmige DrehbewegungistderDrehimpuls zeitlich konstant.
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fr ein rotierendes System ausmehreren Massepunkten gilt:
[ ]2
( )
i i i i i i
i i i
i i
i i i i i
i i
i i i
L L r p r m v
v r
r m r r m I
v r v
L
= = = =
=
= = =
=
( )2
r dm I =
x
z
dmr
fr einen ausgedehnten
starren Krper gilt dannanalog
yx
z
6m
6v
6r
5m 5
v5r
3m3v
3r
2m2v2
r
1
m1r
1v
4m4r
4v
I ... Trgheitsmoment (Drehmasse)I ... Trgheitsmoment (Drehmasse)
-
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( )
( ) 0
d dr dpr p p r
dt dt dt v p r F v
dL
dtmv r F
m v v r F r Fr F
= = + =
+ = +
=
+ = + =
zeitliche nderungdes Drehimpulses:
mit derDefinition des(Dreh)Momentes(Dreh)Momentes
(engl. torque)
T r F
dL
Tdt
=
T
r
F
( )
0
dL d dI d I I
dt dt dt dt
I t
T
d
d
= = = + =
= + =
fr starrenKrper
-
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DerDerDrehimpulsDrehimpuls kannkann nicht nur fr rotierende Krpernicht nur fr rotierende Krpersondernsondernganz allgemeinganz allgemeinfrfrbeliebige Bewegungen (Bahnen)beliebige Bewegungen (Bahnen)
unterunterBezug auf einen frei whlbaren UrsprungBezug auf einen frei whlbaren Ursprungangegebenangegebenwerdenwerden (Bahndrehimpuls)(Bahndrehimpuls)..
zB.: krftefreie (= gleichfrmig geradlinige) Bewegung:zB.: krftefreie (= gleichfrmig geradlinige) Bewegung:
0 0
0 0
d pF p const
dt
dLT r F T L const
dt
= = = =
= = = = =
r
p
y
m
x
rrr0
0
constprr
rrprpprL ===== 0
0sin
L r p=
ist die von und aufgespannteist die von und aufgespannteParallelogrammflcheParallelogrammflche; diese; diese FlcheFlchebleibtbleibtbei einerbei einerkrftekrfte--/momentenfreien/momentenfreienBewegung konstant.Bewegung konstant.
r
p
-
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Experiment: Drehsessel & HantelExperiment: Drehsessel & Hantel
x
y
m1r
1z
1rm
x
y
m2r
2z
2rm
x
y
z
-
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Experiment: Drehsessel & HantelExperiment: Drehsessel & Hantel
x
y
m1r
1z
1rm
x
y
m2r
2z
2rm
0 , 0
z
z
z
dLdLT T
dt dt L const
= = = =
=
2 2
,1 1 1 2 2 ,2
1 2
1 2
( 2 ) ( 2 )
z E E zI mr I mr L
r r
= + = + =
>
Daumenrichtung istAchsenrichtung);
1
2die Response des Kreisels erfolgt umeine um 900 vorauseilende Achse(violette/rechte Pfeile); das Motor-/Fahrrad kippt um die Lngsachsenach links;
durch diese neue Drehung (= neuerInput an den Kreisel) muss eineweitere um 900 vorauseilende
Bewegungs-komponente folgen(blaue/linke Pfeile), die das Rad in
Kurvenrichtung steuert; eineGewichtsverlagerung des Fahrers aufdie Kurveninnenseite hat den gleichen
Dreheffekt zur Folge.
3