Formelsammlung Biomechanik

Größe Symbol Formel Einheit

Masse m - kg

Frequenz f Zyklen/Zeiteinheit 1/s, Hertz [Hz]

Länge, Weg s - m

Zeit t - s

Geschwindigkeit v v = D!D"

#!

Beschleunigung a a = D$D"

#!%

Winkel j - °, rad

Winkelgeschwindigkeit w w = DjD"

𝑟𝑎𝑑𝑠 ,

°𝑠

Winkelbeschleunigung a a = DwD"

,-.!%

, °!%

Kraft F

Beschleunigung

(kinetisch): F = m*a;

Deformation (statisch): F = k*Dx

Newton [N]

Massenträgheitsmoment J

J=

𝑚0 ∗ 𝑟023

045

J = m * r2

kgm2

Drehmoment M M = F*d; M = J*a

Newtonmeter [Nm]

Impuls p

p = m*v; p = F*t

kgm/s

Drehimpuls L L = J*w kg m2/s

Kraftstoß I

I = 𝐹 𝑡 𝑑𝑡"%"8

; I = p2-p1 = m2*v2-m1*v1;

I = 𝐹 𝑡 𝑑𝑡"%"8

= m*v = p

Ns

Drehmomentenstoß DL

DL = 𝑀 𝑡 𝑑𝑡"%

"8;

DL = 𝑀 𝑡 𝑑𝑡"%

"8 = J*w = L

Nms

Arbeit W W = F ∘s = 𝐹 𝑠 𝑑𝑠!%!8

Nm

Rotationsarbeit Wr

Wr =

𝑀 j 𝑑jj%

j8

Nm

Verformungsarbeit WVerform WVerform = 52∗ 𝐹> ∗ 𝑠

Energie E

Kinetische Energie:

Ekin = mv2/2; Lageenergie: Elage = mgh

Joule [J]

Leistung P P = D?D"

Watt [W]

Rotationsleistung Pr Pr = D@AD"

Watt [W]

Spannung s s = BC Pascal [Pa],

[N/m2]

Dehnung e e = DDDE

[dimensionlos], [%]

Steifigkeit k k = FDG

N/m

E-Modul E E = se Pa

Beim freien Fall aus der Ruheposition heraus

Fallhöhe s s = 52𝑔 ∗ 𝑡2 m

Fallgeschwindigkeit v v = g * t oder: v = 2 ∗ 𝑔 ∗ 𝑠 m/s

Fallzeit t t = 2!J

Senkrechter Wurf/Sprung nach oben

Flughöhe smax smax = $E

%

2J;

v0= Absprunggeschwindigkeit m

Steigzeit bis zum Umkehrpunkt ts ts = $E

J t

Flugzeit tFlug tFlug = 2$EJ

t

Schräger Wurf

Flughöhe sFlughöhe sFlughöhe = $E%∗!0K%aE

2J m

Flugweite sWeite sWeite = $E%∗LMN 2aE

J m

Gesetz/Bezeichnung Formel Anmerkungen

Freier Fall

sz = 5

2𝑔𝑡2;

vz = 2𝑠O𝑔;

t = 2!PJ

sz = (vertikaler) Fallweg; t = Fallzeit; vz = Vertikalgeschwindigkeit; g = Erdbeschleunigung (9,81m/s2)

Gerader Wurf nach oben

szmax = 5

2𝑔𝑡2;

szmax = $PE

%

2J ;

vz = vz0 – gt;

tFlug = 2$PE

J

szmax = maximale Höhe;

vz0 = vertikale Abfluggeschwindigkeit; tFlug = Flugdauer

Schiefer Wurf

tFlug =

$E LMNaEQ $E%!0K%aEQ2JRE

J

W =

𝑣T cosaT(𝑣T𝑠𝑖𝑛aT + 𝑣T2𝑠𝑖𝑛2aT + 2𝑔ℎT𝑔

v0 = Abfluggeschwindigkeit; a0 = Abflugwinkel h0 = Höhendifferenz

Zentriugalkraft (Fliehkraft) FZentr = #$

%

, r = Krümmungsradius

Hydrostatischer Auftrieb FH = −𝑚BD𝑔 = −rBD𝑉𝑔

V = Volumen der verdrängten Flüssigkeit; mFl = Masse der Flüssigkeit; rFl = Dichte der Flüssigkeit

Luftwiderstand FW = 52∗ 𝑐` ∗ rabc" ∗ 𝐴 ∗ 𝑣

2

cw = Luftwiderstandsbeiwert; rLuft = Dichte der Luft; A = Frontfläche des Körpers; v = Geschwindigkeit der Luft

Wasserwiderstand FW = e∗f2∗$%∗gh

A = Frontfläche des Körpers r = Dichte des Wassers cw = Wasseriderstandsbeiwert; v= Strömungsgeschwindigkeit

Aerodynamischer Auftrieb FA = 5

2∗ 𝑐e ∗ rabc" ∗ 𝐴 ∗ 𝑣

2 cA = Auftriebsbeiwert

Reibungskraft

Horizontale Fläche:

FR = µR * FG = µR*m*g;

Geneigte Fläche: FR = µR * FN = µR* FG *cosj;

µR = Haftreibungskoeffizient FG= Gewichtskraft FN = Normalkraft j = Neigungswinkel

Steiner’sche Satz JA = JKSP + å m*r2

Einheit: kgm2

Der Steiner’sche Satz wird zur Berechnung des Massenträgheitsmoments angewendet, wenn die bei einer Rotation die

Drehachse nicht durch den Körperschwerpunkt

verläuft.

Archimedisches Prinzip

Auftrieb eines im Wasser eingetauchten Körpers = Gewicht des Flüssigkeitsvolumens das vom Körper verdrängt wurde

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Erhaltungssätze Energieerhaltungssatz: Die Summe der Gesamtenergie in einem abgeschlossenen System ist konstant. Es gilt: E = 𝐸0 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 Impulserhaltungssatz: Der Gesamtimpuls in einem abgeschlossenen System ist konstant. Nur äußere Kräfte können den Impuls ändern, es gilt: 𝑝 = 𝑝0 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

Drehimpulserhaltungssatz: Der Gesamtdrehimpuls in einem abgeschlossenen System ist konstant. Nur äußere Drehmomente können den Gesamtdrehimpuls ändern, es gilt: L = J*w = 𝐿0 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

Newtonsche Gesetze 1. Newtonsches Gesetz: Trägheitsgesetz Sofern ein Körper nicht durch einwirkende Kräfte zu einer Änderung seines Zustandes gezwungen wird, verharrt er im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen geradlinigen Bewegung.

2. Newtonsches Gesetz: Grundgesetz der Mechanik, Aktionsgesetz F = m * a; Kraft = Masse * Beschleunigung 3. Newtonsches Gesetz: Reaktionsgesetz Übt ein Körper X auf einen Körper Y eine Kraft auf (actio), so wirkt Y auf X eine gleich große, aber entgegen gesetzt gerichtete Kraft aus (reactio).

Biomechanische Prinzipien Prinzip der Gegenwirkung: Basis für das Prinzip der Gegenwirkung ist das 3. Newtonsche Gesetz. Hat der Körper Bodenkontakt, so kann durch eine gegensätzliche Bewegung verschiedener Körperteile der Beschleunigungsweg vergrößert werden und damit auch die Kraftwirkung. Prinzip der optimalen Tendenz im Beschleunigungsverlauf: Die maximale kann immer nur kurzzeitig entwickelt werden. Prinzipiell lassen sich zwei Tendenzen im Beschleunigungsverlauf unterscheiden:

• Ansteigende Tendenz: Soll die maximale Endgeschwindigkeit erreicht werden, so muss auch die größte Kraft am Ende der Beschleunigungsphase wirken. Beispiele: Würfe, Stoßen, Springen

• Abfallende Tendenz: Die größten Beschleunigungskräfte müssen am Anfang der Bewegung wirken, wenn es das Ziel ist den Beschleunigungsweg in kürzest möglicher Zeit zurück zu legen. Beispiele: Boxen, Karate

Prinzip der Impulserhaltung: Bei Rotationen kann über die Veränderung der Körperlage das Massenträgheitsmoment verändert werden. Damit ändert sich auch die Winkelgeschwindigkeit, denn der Gesamtdrehimpuls muss konstant bleiben. Beispiel: Bei einer Pirouette ist das Massenträgheitsmoment größer wenn das Spielbein gestreckt ist, die Winkelgeschwindigkeit ist geringer. Ist das Spielbein gebeugt, so ist das Massenträgheitsmoment geringer und die Winkelgeschwindigkeit damit erhöht. In beiden Fällen ist der Drehimpuls aber konstant. Prinzip der Anfangskraft: Der Kraftstoß während einer Beschleunigung kann durch eine positive Anfangskraft vergrößert werden. Eine solche Anfangskraft entsteht beispielsweise durch das Abbremsen der Beugebewegung zu Beginn einer Streckbewegung (z.B. beim Countermovement-Jump). Prinzip der zeitlichen Koordination von Teilimpulsen: Der Beschleunigungsweg eines Körperschwerpunkts kann verlängert werden, wenn unterschiedliche Körperteile ihr Geschwindigkeitsmaximum hintereinander, also zeitlich gut koordiniert, erreichen. Damit erhöht sich auch die kinetische Energie der Gesamtbewegung.

Prinzip des optimalen Beschleunigungsweges Der Beschleunigungsweg sollte immer möglichst optimal sein. Achtung: Optimal ist nicht gleich maximal. Der Beschleunigungsweg muss daher an die jeweiligen zeitlichen Bedingungen angepasst werden (Gegnerdruck, Sportart, etc.), gleiches gilt für die Winkelstellungen der involvierten Gelenke. Ein optimaler Beschleunigungsweg ist in seinem Verlauf entweder geradlinig oder stetig gekrümmt. Prinzip der Kinetion und Modulation: Dieses Prinzip beschreibt den Zusammenhang zwischen einer dynamischen Bewegung (z.B. Sprungwurf im Handball) und der Abstimmung mit einer präzisen Zielbewegung.