Formelsammlung Systemtheorie

26
Formelsammlung SYSTEMTHEORIE Wintersemester 2010/2011 Dipl.-Ing. Elias Strigel Prof. Dr.-Ing. Knut Graichen Letzte ¨ Anderung: 10. Februar 2011 Institut f¨ ur Mess–, Regel– und Mikrotechnik Fakult¨ at f¨ ur Ingenieurwissenschaften und Informatik Universit¨ at Ulm

Transcript of Formelsammlung Systemtheorie

Page 1: Formelsammlung Systemtheorie

Formelsammlung

SYSTEMTHEORIE

Wintersemester 2010/2011

Dipl.-Ing. Elias Strigel

Prof. Dr.-Ing. Knut Graichen

Letzte Anderung: 10. Februar 2011

Institut fur Mess–, Regel– und Mikrotechnik

Fakultat fur Ingenieurwissenschaften und Informatik

Universitat Ulm

Page 2: Formelsammlung Systemtheorie

Inhaltsverzeichnis

1 Dynamische Systeme 2

1.1 Linearitat und Zeitinvarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Existenz und Eindeutigkeit der Losung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Linearisierung nichtlinearer Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Beschreibung und Eigenschaften linearer Systeme 4

2.1 Beschreibung im Zustandsraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Zustandstransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3 Berechnung der Transitionsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.4 Ein–/Ausgangsverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.5 Steuerbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.6 Beobachtbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Zustandsregler 9

3.1 Direkte Eigenwertvorgabe (Eingroßenfall) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2 Reglerentwurf in Regelungsnormalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.3 Reglerentwurf durch Ein–/Ausgangsentkopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.4 Optimale Regelung (LQR–Problem) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.5 Behandlung von Storgroßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4 Beobachterentwurf 13

4.1 Vollstandiger Luenberger–Beobachter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.2 Separationsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.3 Behandlung von Storgroßen – Storbeobachter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.4 Reduzierter Beobachter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5 Folgeregelung 15

5.1 Folgeregelung fur den Ausgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5.2 Zwei–Freiheitsgrade–Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

A Bezeichungen im Skript 19

B Mathematische Grundlagen 20

B.1 Determinantenberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

B.2 Lineare Abhangigkeit und Unabhangigkeit von Vektoren . . . . . . . . . . . . . 20

B.3 Inverse einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

B.4 Pseudoinverse rechteckiger Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

B.5 Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

B.6 Algebraische und geometrische Vielfachheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

B.7 Satz von Cayley–Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

C Laplace–Transformation 23

C.1 Eigenschaften der Laplace–Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

C.2 Korrespondenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Page 3: Formelsammlung Systemtheorie

Formelsammlung zur Vorlesung Systemtheorie Seite 2

1 Dynamische Systeme

• Allgemeine Darstellung eines nichtlinearen dynamischen Systems im Zustandsraum

x = f(x,u, t) mit x(t0) = x0

y = h(x,u, t)(1)

Die Großen u, y und x werden einfach als Eingang, Ausgang und Zustand des dynamischenSystems bezeichnet. Man unterscheidet folgende Sonderfalle:

• zeitinvariantes, nichtlineares System:

x = f (x,u) mit x (t0) = x0

y = h (x,u)(2)

• freies, nichtlineares System:

x = f (x, t) mit x (t0) = x0

y = h (x, t)(3)

• autonomes nichtlinares System (frei und zeitinvariant):

x = f (x) mit x (t0) = x0

y = h (x) .(4)

1.1 Linearitat und Zeitinvarianz

• Linearitat: Das System (1) nennt man linear, wenn fur alle (zulassigen) Eingangsgro-ßen u (t) und jeden beliebigen Anfangszeitpunkt t0 ≥ 0 die Ausgangsgroße y (x0,u, t) =h (ϕ (x0,u (t) , t) ,u (t) , t) zu jedem Zeitpunkt t ≥ t0 die folgenden Bedingungen mit α1, α2,β1, β2 ∈ R erfullt:

Superposition bzgl. x0 : y (α1x0,1 + α2x0,2,0, t) = α1y (x0,1,0, t) + α2y (x0,2,0, t)

Superposition bzgl. u : y (0, β1u1 + β2u2, t) = β1y (0,u1, t) + β2y (0,u2, t)

Superposition bzgl. x0 & u : y (x0,u, t) = y (x0,0, t) + y (0,u, t)

• Das System (1) ist genau dann linear und zeitinvariant, wenn es sich in der folgenden Formschreiben lasst:

x = Ax+Bu

y = Cx+Du(5)

1.2 Existenz und Eindeutigkeit der Losung

• Lokale Existenz und Eindeutigkeit: Es sei f (x, t) stuckweise stetig in t und genuge derAbschatzung

‖f (x, t)− f (y, t)‖ ≤ L ‖x− y‖ , 0 < L <∞ (6)

fur alle x, y ∈ B = {z ∈ Rn | ‖z − x0‖ ≤ r} und alle t ∈ [t0, t0 + τ ]. Dann existiert ein δ > 0so, dass

x = f (x, t) mit x(t0) = x0 (7)

genau eine Losung fur t ∈ [t0, t0 + δ] besitzt. Dabei wird (6) auch als Lipschitz-Bedingungund L als Lipschitz-Konstante bezeichnet.

Page 4: Formelsammlung Systemtheorie

Formelsammlung zur Vorlesung Systemtheorie Seite 3

• Im Falle eines linearen autonomen Systems

x = Ax mit x(t0) = x0 . (8)

kann leicht auf die Existenz und Eindeutigkeit der Losung von (8) geschlossen werden. Dazuwird die Abschatzung

‖Ax−Ay‖ = ‖A (x− y)‖ ≤ ‖A‖ ‖x− y‖ (9)

mit ‖A‖ als der induzierten Matrixnorm der MatrixA betrachtet. Es ist somit direkt ersicht-lich, dass das System (8) mit der Lipschitz-Konstanten L = ‖A‖ die Lipschitz-Bedingung(6) erfullt.

1.3 Linearisierung nichtlinearer Systeme

• Linearisierung um die Ruhelage: Es sei xR, yR eine Ruhelage des Systems

x = f (x,u) mit x (t0) = x0

y = h (x,u)(10)

fur u = uR. Die Anderung der Losung ∆x, ∆y bei hinreichend kleinen Abweichungen ∆uvon uR und ∆x0 von xR wird durch das lineare, zeitinvariante System

∆x = A∆x+B∆u mit ∆x (t0) = ∆x0 = x0 − xR∆y = C∆x+D∆u

(11)

mit

A =∂

∂xf (xR,uR) , B =

∂uf (xR,uR) , C =

∂xh (xR,uR) , D =

∂uh (xR,uR)

beschrieben. Das System (11) wird auch als Linearisierung von (10) um die Ruhelage (Ar-beitspunkt) (xR,uR) bezeichnet.

• Linearisierung um eine Trajektorie: Es sei x∗(t) eine Trajektorie des Systems (10) fureine vorgegebene Eingangsgroße u(t) = u∗(t) und einen vorgegebenen Anfangswert x0 = x∗0.Die Anderung der Losung ∆x (t), ∆y (t) bei hinreichend kleinen Abweichungen ∆u (t) vonu∗(t) und ∆x0 von x∗0 wird durch das lineare, zeitvariante System

∆x = A (t) ∆x+B (t) ∆u mit ∆x (t0) = ∆x0 = x0 − x∗0∆y = C (t) ∆x+D (t) ∆u

(12)

mit

A (t) =∂

∂xf (x∗,u∗) , B (t) =

∂uf (x∗,u∗) ,

C (t) =∂

∂xh (x∗,u∗) , D (t) =

∂uh (x∗,u∗)

beschrieben. Das System (12) wird auch als Linearisierung von (10) um die Trajektorie(x∗,u∗) bezeichnet.

Page 5: Formelsammlung Systemtheorie

Formelsammlung zur Vorlesung Systemtheorie Seite 4

2 Beschreibung und Eigenschaften linearer Systeme

• Lineares, zeitinvariantes System im Eingroßenfall (SISO – Single Input Single Output)

x = Ax+ bu , x(t0) = x0

y = cTx+ du(13)

• Lineares, zeitinvariantes System im Mehrgroßenfall (MIMO – Multiple Input Multiple Output)

x = Ax+Bu , x(t0) = x0

y = Cx+Du(14)

2.1 Beschreibung im Zustandsraum

• allgemeine Losung des Systems (14)

x (t) = Φ (t)x0 +

∫ t

0

Φ (t− τ)Bu (τ) dτ

y (t) = Cx (t) +Du (t)

(15)

• Transitionsmatrix

Φ (t) = eAt =∞∑k=0

Ak tk

k!. (16)

• Impulsantwort y(t) = g(t) bzw. Gewichtsfunktion fur einen (vektoriellen) Dirac–Impulsu(t) = [δ(t), . . . , δ(t)]T mit x0 = 0 und D = 0

g(t) = CΦ(t)B bzw. g(t) = cTΦ(t)b (m = p = 1) (17)

• Ausgangsverhalten y(t) fur einen allgemeinen Stellgroßenverlauf u(t) mit x0 = 0 und D = 0

y(t) =

∫ t

0

g(t− τ)u(τ) dτ . (18)

• Sprungantwort y(t) = h(t) auf einen Einheitssprung u(t) = [σ(t), . . . , σ(t)]T

h(t) =

∫ t

0

CΦ(τ)B dτ bzw. h(t) =

∫ t

0

cTΦ(τ)b dτ (m = p = 1) . (19)

fur det(A) 6= 0:

h(t) = CA−1 (Φ(t)− I)B bzw. h(t) = cTA−1(Φ(t)− I)b (m = p = 1). (20)

2.2 Zustandstransformation

• regulare Zustandstransformation mit neuem Zustand x ∈ Rn

x(t) = V x(t) , V ∈ Rn×n – regular (21)

Page 6: Formelsammlung Systemtheorie

Formelsammlung zur Vorlesung Systemtheorie Seite 5

• transformiertes System (14)

˙x = V −1AV︸ ︷︷ ︸A

x+ V −1B︸ ︷︷ ︸B

u , x(0) = x0 = V −1x0

y = CV︸︷︷︸C

x+ D︸︷︷︸D

u(22)

• Losung des transformierten Systems

x(t) = Φ (t) x0 +

∫ t

0

Φ (t− τ) Bu (τ) dτ

y(t) = Cx(t) + Du(t)(23)

• Zusammenhang mit ursprunglicher Transitionsmatrix Φ(t) in (15) und (16)

Φ (t) = V Φ (t)V −1 (24)

2.3 Berechnung der Transitionsmatrix

• Diagonalform: Die Dynamikmatrix A besitze Eigenwerte λi, i = 1, . . . , n fur die gilt, dassdie geometrische Vielfachheit gi gleich der algebraischen Vielfachheit ni gleich sind (z.B. beieinfachen Eigenwerten).

Transformationsmatrix

V = [v1,v2, . . . ,vn] , Avi = λivi , i = 1, . . . , n (25)

transformierte Systemmatrix

A =

λ1 0 · · · 00 λ2 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · λn

(26)

Transformationsmatrix des transformierten Systems

Φ (t) =

eλ1t 0 · · · 0

0 eλ2t · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · eλnt

. (27)

• Nichtdiagonalahnliche Systemmatrizen: Die Dynamikmatrix A besitze genau einenEigenwert λ, fur den gilt, dass die geometrische Vielfachheit g kleiner als die algebraischeVielfachheit n ist (z.B. bei mehrfachen Eigenwerten).

Transformationsmatrix fur g = 1

V = [v1,v2, . . . ,vn] , Av1 = λv1 , (A− λI)vi+1 = vi , i = 1, 2, . . . , n− 1 (28)

transformierte Systemmatrix

A =

λ 1 . . . 00 λ . . . 0...

.... . . 1

0 0 . . . λ

(29)

Page 7: Formelsammlung Systemtheorie

Formelsammlung zur Vorlesung Systemtheorie Seite 6

Transformationsmatrix des transformierten Systems

Φ (t) = eλt

1 tt2

2!· · · tn−1

(n− 1)!

0 1 t · · · tn−2

(n− 2)!...

......

. . ....

0 0 · · · · · · t0 0 · · · · · · 1

(30)

• Konjugiert komplexe Eigenwerte: Die Dynamikmatrix A besitze die konjugiert kom-plexen Eigenwertpaare λi = αi + jβi , λ−i = αi − jβi , i = 1, . . . , r, fur die gilt, dass diegeometrische Vielfachheit gi und die algebraische Vielfachheit ni gleich sind.

Transformationsmatrix

V = [Re(v1), Im(v1), . . . ,Re(vr), Im(vr)] (31)

transformierte Systemmatrix

A =

α1 β1 · · · 0 0−β1 α1 · · · 0 0

......

. . ....

...0 0 · · · αr βr0 0 · · · −βr αr

. (32)

Transformationsmatrix des transformierten Systems

Φ (t) =

eα1t cos (β1t) eα1t sin (β1t) · · · 0 0−eα1t sin (β1t) eα1t cos (β1t) · · · 0 0

......

. . ....

...0 0 · · · eαrt cos (βrt) eαrt sin (βrt)0 0 · · · −eαrt sin (βrt) eαrt cos (βrt)

(33)

• Reelle Jordansche Normalform: Es sei die reellwertige (n× n)-Matrix A die Dynamik-matrix eines linearen, zeitinvarianten Systems. Angenommen, A habe k reelle und (n− k) /2konjugiert komplexe Eigenwerte. Dann existiert eine regulare Transformationsmatrix

V = [v1, . . . ,vk,Re (vk+1) , Im (vk+1) , . . . ,Re (vr) , Im (vr)] (34)

bestehend aus linear unabhangigen (komplexwertigen) Eigen- und Hauptvektoren vj, j =1, . . . , r mit r = (n+ k) /2 so, dass die Dynamikmatrix des transformierten Systems folgendeForm

A = V −1AV =

J1 0 · · · 00 J2 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · J l

f (35)

annimmt. Dabei bezeichnen J i, i = 1, . . . , l die so genannten Jordanblocke, deren Strukturfur reelle Eigenwerte λi in der Form

J i =

λi 1 · · · 0 00 λi · · · 0 0...

.... . .

......

0 0 · · · λi 10 0 · · · 0 λi

(36)

Page 8: Formelsammlung Systemtheorie

Formelsammlung zur Vorlesung Systemtheorie Seite 7

bzw. fur konjugiert komplexe Eigenwerte αi ± jβi in der folgenden Form gegeben ist:

J i =

W I2 · · · 0 00 W · · · 0 0...

.... . .

......

0 0 · · · W I20 0 · · · 0 W

mit W =

[αi βi−βi αi

], I2 =

[1 00 1

]. (37)

2.4 Ein–/Ausgangsverhalten

• Ubertragungsfunktion 1 G(s) =Z(s)

N(s)=b0 + b1s+ · · ·+ bn−1s

n−1 + bnsn

a0 + a1s+ · · ·+ an−1sn−1 + sn

G(s) = cT (sI −A)−1 b+ d mit (sI −A)−1 =adj (sI −A)

det (sI −A)

=cT adj (sI −A) b+ d det (sI −A)

det (sI −A)

(38)

• Ubertragungsmatrix (Mehrgroßenfall)

G(s) =

G11(s) . . . G1m(s)... · · ·

Gp1(s) . . . Gpm(s)

mit Gij(s) =Yi(s)

Uj(s)= cTi (sI −A)−1bj (39)

• Realisierungsproblem: Eine Ubertragungsfunktion G(s) = Z(s)N(s)

mit dem Zahler- und Nen-

nerpolynom Z(s) und N(s) ist genau dann realisierbar, wenn grad(Z(s)) ≤ grad(N(s)) oderaquivalent dazu gilt lims→∞ |G(s)| <∞.

• BIBO-Stabilitat: Fur ein lineares, zeitinvariantes Eingroßensystem mit der Eingangsgroßeu und der Ausgangsgroße y gelte x0 = 0. Das System heißt BIBO-stabil, wenn zu jederbeschrankten Eingangsfunktion u (t) eine beschrankte Ausgangsfunktion y (t) gehort, d.h. zujedem finiten a > 0 mit |u (t)| ≤ a existiert ein finites b > 0 so, dass |y (t)| ≤ b gilt.

Ein lineares, zeitinvariantes Eingroßensystem ist genau dann BIBO-stabil, wenn die sich aus(17) ergebende Impulsantwort

g (t) = L−1 {G(s)1} = cTΦ (t) b , t > 0 (40)

absolut integrabel ist, d.h. die folgende Ungleichung gilt∫ ∞0

|g (t)| dt <∞ . (41)

1 Die Elemente Aij der Adjunkten adj(A) = [Aij ] einer Matrix A = [aij ] entsprechen den Subdeterminantender ((n− 1)× (n− 1))-Matrizen von A, die durch Streichen der j-ten Zeile und der i-ten Spalte hervorgehen,

multipliziert mit dem Faktor (−1)i+j

.

Page 9: Formelsammlung Systemtheorie

Formelsammlung zur Vorlesung Systemtheorie Seite 8

2.5 Steuerbarkeit

• Definition der Steuerbarkeit: Man nennt das lineare System (14) vollstandig steuerbar,wenn ausgehend von einem beliebigen Anfangszustand x0 eine stuckweise stetige Eingangs-große u (t), 0 ≤ t ≤ T mit der endlichen Zeit T so existiert, dass gilt x (T ) = 0.

• Steuerbarkeitskriterium nach Kalman Das lineare, zeitinvariante System (14) ist genaudann vollstandig steuerbar, wenn die sogenannte Steuerbarkeitsmatrix

QS =[B,AB, . . . ,An−1B

]bzw. QS =

[b,Ab, . . . ,An−1b

](42)

den Rang n hat.

• Regelungsnormalform – Eingroßenfall (13)

˙x =

0 1 0 · · · 00 0 1 · · · 0... . . . 1

. . ....

0 0 · · · 0 1−a0 −a1 · · · −an−2 −an−1

︸ ︷︷ ︸

A = TAT−1

x+

0...01

︸︷︷︸b = Tb

u

y =[b0 − a0bn . . . bn−1 − an−1bn

]x+ bnu

(43)

• Transformation auf Regelungsnormalform: Das lineare System (13) kann durch dieTransformation x = V x bzw. x = Tx mit der Transformationsmatrix T = V −1

T =

tT

tTA...

tTAn−1

, tT =[0 . . . 0 1

]Q−1S , QS = [b,Ab, . . . ,An−1b] (44)

auf die Regelungsnormalform (43) gebracht werden, wenn die Steuerbarkeitsmatrix QS re-gular ist. Dabei stellt tT die letzte Zeile der inversen Steuerbarkeitsmatrix dar.

2.6 Beobachtbarkeit

• Definition der Beobachtbarkeit: Man nennt das lineare, zeitinvariante System (14) voll-standig beobachtbar, wenn aus der Kenntnis der Eingangs- und Ausgangsgroßen u (t) undy (t) auf dem Intervall 0 ≤ t ≤ T sowie der Systemmatrizen A, B, C und D der Anfangs-zustand x0 errechnet werden kann.

• Beobachtbarkeitskriterium nach Kalman: Das lineare, zeitinvariante System (14) istgenau dann vollstandig beobachtbar, wenn die sogenannte Beobachtbarkeitsmatrix

QB =

CCA

...CAn−1

bzw. QB =

cT

cTA...

cTAn−1

(45)

den Rang n hat.

Page 10: Formelsammlung Systemtheorie

Formelsammlung zur Vorlesung Systemtheorie Seite 9

• Beobachtungsnormalform – Eingroßenfall (13)

x =

0 . . . . . . 0 −a01 0 . . . 0 −a1... 1

. . ....

...

0 0. . . 0 −an−2

0 0 . . . 1 −an−1

︸ ︷︷ ︸

A = V −1AV

x+

b0 − a0bnb1 − a1bn

...bn−2 − an−2bnbn−1 − an−1bn

︸ ︷︷ ︸b = V −1b

u

y =[0 . . . 0 1

]x+ bnu

(46)

• Transformation auf Beobachtungsnormalform: Das lineare System (13) kann durchdie Transformation x = V x mit

V =[v Av . . . An−1v

], v = Q−1B

0...01

, QB =

cT

cTA...

cTAn−1

(47)

auf die Beobachtungsnormalform (46) gebracht werden, wenn die BeobachtbarkeitsmatrixQB regular ist. Dabei stellt v die letzte Spalte der inversen Beobachtbarkeitsmatrix dar.

3 Zustandsregler

• Blockschaltbild (Mehrgroßenfall m, p ≥ 1)

x = Ax+Bu

Eingangs-

vektor u vektor y

Ausgangs-

x

Zustand

Regler

Strecke

Sgroße w

Fuhrungs-

Vorfilter

K

CuV

uR

• allgemeines Regelgesetz

u = −Kx+ Sw bzw. u = −kTx+ Sw (m = 1) (48)

• Stationares VorfilterS =

[C(BK −A)−1B

]−1(49)

3.1 Direkte Eigenwertvorgabe (Eingroßenfall)

• Geschlossener Kreis

x =

AR︷ ︸︸ ︷(A− bkT)x+ Sbw , x(0) = x0

y = cTx

(50)

Page 11: Formelsammlung Systemtheorie

Formelsammlung zur Vorlesung Systemtheorie Seite 10

• Bestimmung von kT durch Koeffizientenvergleich von dem gewunschtem charakteristischemPolynom

p∗(λ) = p0 + p1λ+ · · ·+ pn−1λn−1 + λn =

n∏i=1

(λ− λ∗i ) (51)

und dem charakteristischem Polynom des geschlossenen Kreises

q(λ,k) = det(λI −A+ bkT)

= q0(k) + q1(k)λ+ · · ·+ qn−1(k)λn−1 + λn(52)

3.2 Reglerentwurf in Regelungsnormalform

• Ackermann–Formel (Eingroßenfall) fur Ruckfuhrung u = −kTx+ Sw:

kT = tT(p0I + p1A+ · · ·+ pn−1A

n−1 +An)

(53)

mit tT – der letzten Zeile der inversen Steuerbarkeitsmatrix (42) – und den Koeffizienten pides gewunschten charakteristischen Polynoms (51).

• Steuerbarindizes im Mehrgroßenfall: Der i–te Steuerbarkeitsindex ρi des linearen steu-erbaren Systems (14) ist die kleinste ganze Zahl, so dass der Spaltenvektor Aρibi von denlinks gelegenen Spalten der Steuerbarkeitsmatrix

QS = [b1 , . . . , bm ,Ab1 , . . . ,Abm , . . . ,An−1b1 , . . . ,A

n−1bm] . (54)

linear abhangig ist. Wenn QS regular ist, das System (14) also vollstandig steuerbar ist, soist auch die reduzierte Steuerbarkeitsmatrix 2

QS =[b1 , . . . ,A

ρ1−1b1 , . . . , bm, , . . . ,Aρm−1bm

],

m∑i=1

ρi = n , (55)

regular.

• Regelungsnormalform (Mehrgroßenfall)

˙xi,1 = xi,2...˙xi,ρi−1 = xi,ρi˙xi,ρi = gTi x+ hT

i u , i = 1, . . . ,m

(56)

mit den Vektoren

gTi = tTi AρiT−1 , hT

i = tTi Aρi−1B , i = 1, . . . ,m (57)

• Transformation auf Regelungsnormalform (Mehrgroßenfall): Das lineare Mehrgro-ßensystem (14) erfulle die Rangbedingung Rang(B) = p und sei vollstandig steuerbar mitden Steuerbarkeitsindizes ρ1, . . . , ρm. Dann kann das System (14) mit Hilfe der Transforma-tion

x = Tx , x =

x1,1...

x1,ρ1...

xm,1...

xm,ρm

, T =

tT1...

tT1Aρ1−1

...

tTm...

tTmAρm−1

. (58)

2 Man beachte, dass die Spalten in QS anders geordnet sind als in QS !

Page 12: Formelsammlung Systemtheorie

Formelsammlung zur Vorlesung Systemtheorie Seite 11

und den Vektoren tTitT1...tTm

=

eT1...eTm

Q−1S , eTi = [ 0 , . . . , 0︸ ︷︷ ︸(∑i

j=1 ρj)−1

, 1, 0, , . . . , 0] ∈ Rn (59)

auf die Regelungsnormalform (56) gebracht werden. Dabei stellt tTi die∑i

j=1 ρj–te Zeile derinversen reduzierten Steuerbarkeitsmatrix (55) dar.

• Ackermann–Formel im Mehrgroßenfall

K = H−1

tT1 (p1,0I + p1,1A+ · · ·+ p1,ρ1−1Aρ1−1 +Aρ1)

...tTm(pm,0I + pm,1A+ · · ·+ pm,ρm−1A

ρm−1 +Aρm)

(Ann.: Rang(B) = m)

(60)mit Kopplungsmatrix H ∈ Rm×m

H =

tT1Aρ1−1

...tTmA

ρm−1

B (61)

und tTi – den∑i

j=1 ρj–ten Zeilen der inversen reduzierten Steuerbarkeitsmatrix (55) sowieden Koeffizienten pi,j der charakteristischen Polynome

p∗i (λ) = pi,0 + pi,1λ+ · · ·+ pi,ρi−1λρi−1 + λρi =

ρi∏j=1

(λ− λ∗i,j) , i = 1, . . . ,m . (62)

3.3 Reglerentwurf durch Ein–/Ausgangsentkopplung

• Vektorieller relativer Grad (Mehrgroßenfall): Das lineare System (14) besitzt denvektoriellen relativen Grad {r1, . . . , rm} falls die folgenden Bedingungen erfullt sind:

(i) cTi Akbj = 0 , i = 1, . . . ,m , j = 1, . . . ,m , k = 0, 1, . . . , ri − 2

(ii) die (m×m)–Kopplungsmatrix

Hy =

cT1Ar1−1b1 · · · cT1Ar1−1bm

......

cTmArm−1b1 · · · cTmA

rm−1bm

(63)

ist nicht singular, d.h. Rang(Hy) = m.

• Relativer Grad (Eingroßenfall): Im Falle einer skalaren Stellgroße u und einer skalarenAusgangsgroße y (m = p = 1) vereinfachen sich die obigen Bedingung zu

(i) cTAkb = 0 , k = 0, 1, . . . , r − 2

(ii) cTAr−1b 6= 0(64)

• Lineare Ein–/Ausgangsnormalform:

˙xi,1 = xi,2...˙xi,ri−1 = xi,ri

E/A–Dynamik: ˙xi,ri = gTy,i xy + gTη,iη + hTy,iu , i = 1 . . . ,m

Interne Dynamik: η = My xy +Mη η +Nu

(65)

Page 13: Formelsammlung Systemtheorie

Formelsammlung zur Vorlesung Systemtheorie Seite 12

mit den Ausgangsgroßen yi = xi,1, i = 1, . . . ,m und

gTi =[gTy,i gTη,i

]= cTi A

riT−1 , hTy,i = cTi A

ri−1B , i = 1, . . . ,m

M =[My Mη

]= TηAT

−1 , N = TηB .(66)

• Transformation auf Ein–/Ausgangsnormalform: Der Ausgang y = [y1, . . . , ym]T deslinearen Systems (14) besitze den vektoriellen relativen Grad {r1, . . . , rm} mit r =

∑mi=1 ri ≤

n. Dann kann Tη ∈ Rn−r×n stets so gewahlt werden, dass die Transformation

[xyη

]︸ ︷︷ ︸x

=

[TyTη

]︸ ︷︷ ︸T

x mit xy =

x1,1...

x1,r1...

xm,1...

xm,rm

∈ Rr , Ty =

cT1...

cT1Ar1−1

...

cTm...

cTmArm−1

∈ Rr×n . (67)

regular ist und das System (14) in die Ein–/Ausgangsnormalform (65) transformiert werdenkann.

• Nulldynamik:η = Mηη (68)

mit Mη ∈ Rn−r×n−r aus

M =[My Mη

]= M −NH−1y G , G =

cT1Ar1...

cTmArm

T−1 (69)

• Zustandsreglerenwurf durch Ein–/Ausgangsentkopplung: Das lineare System (14)habe den vektoriellen relativen Grad {r1, . . . , rm} und die Nulldynamik (68) sei asymptotischstabil. Dann ist das System (14) mit dem Regelgesetz (48) und der Reglermatrix

K = H−1y

cT1 (p1,0I + p1,1A+ · · ·+ p1,r1−1Ar1−1 +Ar1)

...cTm(pm,0I + pm,1A+ · · ·+ pm,rm−1A

rm−1 +Arm)

(70)

asymptotisch stabilisierbar, wobei Hy die Kopplungsmatrix (63) und pi,j die Koeffizientender gewunschten charakteristischen Polynome

p∗i (λ) = pi,0 + pi,1λ+ · · ·+ pi,ri−1λri−1 + λri =

ri∏j=1

(λ− λ∗i,j) , i = 1, . . . ,m (71)

fur die Ein–/Ausgangsdynamik in (65) darstellen.

3.4 Optimale Regelung (LQR–Problem)

Gegeben sei das steuerbare lineare zeitinvariante System (14) mit dem zu minimierenden Kos-tenfunktional

J(u,x0) =1

2

∫ ∞0

x(t)TQx(t) + u(t)TRu(t) dt , (72)

Page 14: Formelsammlung Systemtheorie

Formelsammlung zur Vorlesung Systemtheorie Seite 13

wobei Q positiv semi–definit und R positiv definit sind und das Paar [A, C] mit Q = CTC

beobachtbar ist. Dann ergibt sich das Minimum von (72) durch das optimale Ruckfuhrgesetz

u = −Kx mit K = R−1BTP (m > 1)

u = −kTx kT =1

RbTP (m = 1)

(73)

zu J(u,x0) = 12xT0 P x0, wobei P die eindeutige positiv semi–definite Losung der algebraischen

Riccati–GleichungPA+ATP − PBR−1BTP +Q = 0 (74)

ist. Des Weiteren besitzen samtliche Eigenwerte der Matrix (A−BR−1BTP ) negative Realteile,so dass der geschlossene Kreis

x =(A−BR−1BTP

)x , x(0) = x0

asymptotisch stabil ist.

3.5 Behandlung von Storgroßen

• Lineares, zeitinvariantes System mit Storung d ∈ Rl und Storeingangsmatrix E ∈ Rn×l

x = Ax+Bu+Ed , x(0) = x0

y = Cx(75)

• Storgroßenaufschaltung

u = −Kx+ Sw − (BTB)−1BTEd (76)

• PI–ZustandsreglerxI = w −Cxu = −Kx+Kp(w −Cx) +KIxI

(77)

mit Reglerverstarkungen

Kp = −(CA−1B)−1 , KI = −K2 , K = K1 −KpC (78)

4 Beobachterentwurf

4.1 Vollstandiger Luenberger–Beobachter

• Luenberger–Beobachter

˙x =

Simulator︷ ︸︸ ︷Ax+Bu+

Korrektur︷ ︸︸ ︷K(y − y) , x(0) = x0

y = Cx

(79)

• Analogie zwischen Regler– und Beobachterentwurf

Page 15: Formelsammlung Systemtheorie

Formelsammlung zur Vorlesung Systemtheorie Seite 14

Zustandsregler ⇔ Beobachter

A AT

B CT

C BT

K KT

QB QTS

QS QTB

• Ackermann–Formel fur Zustandsbeobachter (Eingroßenfall): Die Eigenwerte derFehlerdynamikmatrix Ae = A− kcT des vollstandigen Beobachters

˙x = Ax+ bu+ k(y − y) , x(0) = x0

y = cTx(80)

zum System (13) konnen genau dann durch k beliebig plaziert werden, wenn das System (13)beobachtbar ist. Der Ruckfuhrvektor berechnet sich dann nach der Formel

k =(p0I + p1A+ · · ·+ pn−1A

n−1 +An)t (81)

in Abhangigkeit von t = Q−1B [0, . . . , 0, 1]T – der letzten Spalte der inversen Beobachtbar-keitsmatrix (45) – und den Koeffizienten pi des gewunschten charakteristischen Polynoms

p∗(λ) = p0 + p1λ+ · · ·+ pn−1λn−1 + λn =

n∏i=1

(λ− λ∗i ) .

4.2 Separationsprinzip

• Zustandsregler/Beobachter–Konfiguration

Strecke

˙x = Ax+Bu+ K(y − y)

x0

x

u y

y = Cx

x0

C

K

Sw

x = Ax+Bu

Beobachter

Regler

• Separationsprinzip: Wenn das System (14) vollstandig erreichbar und vollstandig beob-achtbar ist, dann ergibt sich das charakteristische Polynom des geschlossenen Kreises zu

pges(λ) = det(λI −A+BK) det(λI −A+ KC) = p∗(λ)p∗(λ)

mit den gewunschten charakteristischen Polynomen p∗(λ) fur den Zustandsreglerentwurf undp∗(λ) fur den Zustandsbeobachterentwurf.

Page 16: Formelsammlung Systemtheorie

Formelsammlung zur Vorlesung Systemtheorie Seite 15

4.3 Behandlung von Storgroßen – Storbeobachter

• Lineares, zeitinvariantes System mit Storung d ∈ Rl und Storeingangsmatrix E ∈ Rn×l

x = Ax+Bu+Ed , x(0) = x0

y = Cx(82)

• Storgroßenmodellxd = Ad x , xd(0) = xd,0

d = Cd xd(83)

• Beobachterentwurf fur erweitertes Streckenmodell[xxd

]=

[A ECd0 Ad

] [xxd

]+

[B0

]u ,

[x(0)xd(0)

]=

[x0

xd,0

]y =

[C 0

] [ xxd

] (84)

• Storgroßenaufschaltung mit geschatztem Zustand x und geschatzter Storung d

u(t) = −Kx(t) + Sw − (BTB)−1BTE d(t) (85)

4.4 Reduzierter Beobachter

• Annahme: p linear unabhangige Messungen y = Cx mit Rang(C) = p

• Schritt 1: Wahl von Matrix T 2 ∈ R(n−p)×n fur regulare Zustandstransformation

x =

[x1

x2

]=

[CT 2

]x = Tx , (86)

• Schritt 2: Berechnung von Blockmatrizen des transformierten Systems[˙x1

˙x2

]=

[A11 A12

A21 A22

]︸ ︷︷ ︸TAT−1

[x1

x2

]+

[B1

B2

]︸ ︷︷ ︸TB

u , y =[Ip×p 0

]x

(87)

• Schritt 3: Auslegung von K2 so, dass Fehlerdynamik ew = (A22−K2A12)ew des reduziertenBeobachters asymptotisch stabil ist

• reduzierter Beobachter fur w = x2 − K2y ∈ Rn−p

˙w = (A22−K2A12)w + (B2−K2B1)u + (A21−K2A11+A22K2−K2A12K2)y

x2 = w + K2y (Schatzung fur x2)(88)

5 Folgeregelung

• Lineares, zeitinvariantes System

Mehrgroßenfall: x = Ax+Bu (89)

y = Cx bzw. yi = cTi x , i = 1, . . . , p = m

Eingroßenfall: x = Ax+ bu (90)

y = cTx

Page 17: Formelsammlung Systemtheorie

Formelsammlung zur Vorlesung Systemtheorie Seite 16

5.1 Folgeregelung fur den Ausgang

• Folgefehler

ey,i(t) = yi(t)− y∗i (t) , i = 1, . . . ,m bzw. ey(t) = y(t)− y∗(t) (91)

• Asymptotische Ausgangsfolgeregelung: Gegeben sei das lineare System (89) mit demvektoriellen relativen Grad {r1, . . . , rm} und den beschrankten (ri–fach stetig differenzierba-ren) Solltrajektorien y∗i (t) ∈ Cri , t ∈ [0, T ]. 3 Dann ist die Fehlerdynamik

e(ri)y,i + pi,ri−1e

(ri−1)y,i + · · ·+ pi,1ey,i + pi,0ey,i = 0 , i = 1, . . . ,m (92)

durch die Ruckfuhrung

u = −Kx+H−1y

p1,0 y∗1(t) + · · ·+ p1,r1−1y

∗(r1−1)1 (t) + y

∗(r1)1 (t)

...

pm,0 y∗m(t) + · · ·+ pm,rm−1y

∗(rm−1)m (t) + y

∗(rm)m (t)

(93)

asymptotisch stabilisierbar, wobei Hy die Kopplungsmatrix (63), K die Reglerverstarkung(70) und pi,j die Koeffizienten der gewunschten charakteristischen Polynome

p∗i (λ) = pi,0 + pi,1λ+ · · ·+ pi,ri−1λri−1 + λri =

ri∏j=1

(λ− λ∗i,j) , i = 1, . . . ,m . (94)

darstellen. Falls daruberhinaus die Nulldynamik (68) asymptotisch stabil ist, so ist der Zu-stand η(t), t ∈ [0, T ] der internen Dynamik (65) fur alle Zeiten T > 0 beschrankt.

• Folgeregelung mit I–Anteil

xI = y∗ − y , xI(0) = 0

u = −Kx+KIxI +H−1y

p1,0 y∗1(t) + · · ·+ p1,r1−1y

∗(r1−1)1 (t) + y

∗(r1)1 (t)

...

pm,0 y∗m(t) + · · ·+ pm,rm−1y

∗(rm−1)m (t) + y

∗(rm)m (t)

KI =H−1y

[pI,1 0

. . .0 pI,m

] (95)

5.2 Zwei–Freiheitsgrade–Regelung

• Zwei–Freiheitsgrade–Regelungsstruktur (linearer Zustandsregler, lineares System)

x∗A,x

∗B

CVorsteuerunguuR

Strecke

xK

Regler

y(t) → y∗(t)x = Ax+Bu

x∗

u∗

3 Cn beschreibt die Klasse der n–mal stetig differenzierbaren Funktionen.

Page 18: Formelsammlung Systemtheorie

Formelsammlung zur Vorlesung Systemtheorie Seite 17

• Flacher Ausgang fur lineare Systeme – Eingroßenfall: Unter der Annahme, dass daslineare System (90) steuerbar ist, stellt

z = tTx (96)

einen flachen Ausgang von (90) dar, wobei tT die letzte Zeile der inversen Steuerbarkeitsma-trix (42) ist. Durch den flachen Ausgang z und seine Zeitableitungen

x = [z, z, . . . , z(n−1)]T (97)

sowie z(n) lassen sich der Zustand x, die Stellgroße u und der Ausgang y ausdrucken

x = T−1x , u = z(n) − tTAnT−1x , y = cTT−1x , (98)

wobei die Transformationsmatrix T durch (44) gegeben ist.

• Flacher Ausgang fur lineare Systeme – Mehrgroßenfall: Unter der Annahme, dassdas lineare System (89) steuerbar ist, stellt

z =

tT1...tTm

xeinen flachen Ausgang von (90) dar, wobei tTi gemaß (59) die

∑ij=1 ρj–te Zeile der inversen

reduzierten Steuerbarkeitsmatrix (55) ist. Durch den flachen Ausgang z und seine Zeitablei-tungen

x = [z1, z1, . . . , z(ρ1−1)1 , . . . , zm, zm, . . . , z

(ρm−1)m ]T

sowie z(ρ1)1 , . . . , z

(ρm)m lassen sich der Zustand x, die Stellgroße u und der Ausgang y aus-

drucken

x = T−1x , u =

z(ρ1)1...

z(ρm)m

− t

T1A

ρ1

...tTmA

ρm

T−1x , y = CT−1x , (99)

wobei die Transformationsmatrix T durch (58) gegeben ist.

• Folgeregelungsproblem (Eingroßenfall): Arbeitspunktwechsel (x∗A, u∗A) → (x∗B, u

∗B) fur

System (90)0 =Ax∗A + bu∗A , y∗A = cTx∗A0 =Ax∗B + bu∗B , y∗B = cTx∗B

(100)

• Flachheitsbasierte Vorsteuerung (Eingroßenfall)

0 =Ax∗A + bu∗A , y∗A = cTx∗A0 =Ax∗B + bu∗B , y∗B = cTx∗B

(101)

mit 2(n+ 1) Randbedingungen

z∗(0) = z∗A = tTx∗A , z∗(i)(0) = 0 , i = 1, . . . , n

z∗(T ) = z∗B = tTx∗B , z∗(i)(T ) = 0 , i = 1, . . . , n .(102)

Page 19: Formelsammlung Systemtheorie

Formelsammlung zur Vorlesung Systemtheorie Seite 18

• Polynomiale Solltrajektorie fur flachen Ausgang

z∗(t) = z∗A + (z∗B − z∗A)2n+1∑i=n+1

pi

(t

T

)i(103)

mit n+ 1 Koeffizienten

pi =(−1)i−n−1(2n+ 1)!

i n!(i− n− 1)!(2n+ 1− i)! , i = n+ 1, . . . , 2n+ 1 . (104)

Vorsteuerungsentwurf im Mehrgroßenfall analog...

Page 20: Formelsammlung Systemtheorie

Formelsammlung zur Vorlesung Systemtheorie Seite 19

A Bezeichungen im Skript

n = Systemordnung

m = Anzahl der Eingange des Systems

p = Anzahl der Ausgange des Systems

x = Zustandsvektor (x ∈ Rn)

u = Eingangsvektor (u ∈ Rm)

y = Ausgangsvektor (y ∈ Rp)

w = Fuhrungsvektor (w ∈ Rp)

d = Storvektor (d ∈ Rl)

A = Systemmatrix (A ∈ Rn×n)

B = Eingangsmatrix bzw. Stelleingriffsmatrix (B ∈ Rn×m)

b = Stelleingriffsvektor (nur bei SISO-Systemen, b ∈ Rn)

C = Ausgangsmatrix (C ∈ Rp×n)

cT = Ausgangsvektor (nur bei SISO-Systemen, cT ∈ R1×n)

D = Durchgangsmatrix (D ∈ Rp×m)

E = Storeingangsmatrix (E ∈ Rn×l)

S = Vorfiltermatrix (S ∈ Rm×p)

S = Vorfilterwert (nur bei SISO-Systemen, S ∈ R)

K = Reglermatrix (K ∈ Rm×n)

kT = Reglervektor (nur bei SISO-Systemen, kT ∈ R1×n)

K = Beobachtermatrix (K ∈ Rn×p)

k = Beobachtervektor (nur bei SISO-Systemen, (k ∈ Rn×1)

Die meisten Formeln dieser Formelsammlung sind allgemein fur MIMO-Systeme angegeben.Werden diese Formeln fur SISO-Systeme verwendet, muss auf die richtige Ersetzung der Ma-trizen durch Vektoren geachtet werden:

SISO anstatt MIMO

b anstatt B

cT anstatt C

d anstatt D

kT anstatt K

k anstatt K

Page 21: Formelsammlung Systemtheorie

Formelsammlung zur Vorlesung Systemtheorie Seite 20

B Mathematische Grundlagen

B.1 Determinantenberechnung

• (2× 2)-Matrizen

det

[a11 a12a21 a22

]=

∣∣∣∣ a11 a12a21 a22

∣∣∣∣ = a11 · a22 − a12 · a21 (105)

• (3× 3)-Matrizen

det

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

=a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13−a13a22a31 − a11a32a23 − a12a21a33 (106)

• (n× n)-Matrizen: Entwicklung nach der i-ten Zeile

det

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

......

...an1 an2 · · · ann

=n∑j=1

(−1)i+j · aij · det(Aij) (107)

wobei Untermatrix Aij durch Streichung der i-ten Zeile und j-ten Spalte entsteht

• (n× n)-Matrizen: Entwicklung nach der j-ten Spalte

det

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

......

...an1 an2 · · · ann

=n∑i=1

(−1)i+j · aij · det(Aij) (108)

wobei Untermatrix Aij durch Streichung der i-ten Zeile und j-ten Spalte entsteht

• Rechenregeln fur Determinanten

det(R S) = det(R) · det(S) (109)

det

[A1 00 A2

]= det(A1) · det(A2) (110)

B.2 Lineare Abhangigkeit und Unabhangigkeit von Vektoren

n Vektoren v1, ...,vn sind genau dann linear unabhangig, wenn die Determinante der aus ihnengebildeten Matrix

V =

[v1

... · · · ... vn

](111)

ungleich 0 ist.

det(V ) = det

[v1

... · · · ... vn

]6= 0 ⇒ linear unabhangig (112)

det(V ) = det

[v1

... · · · ... vn

]= 0 ⇒ linear abhangig (113)

Page 22: Formelsammlung Systemtheorie

Formelsammlung zur Vorlesung Systemtheorie Seite 21

Dieses Verfahren ist nur dann moglich, wenn die Vektoren v1, ...,vn die Dimension n haben.Andernfalls ist zu prufen, ob das lineare Gleichungssystem

n∑i=1

αi · vi = 0 (114)

eine nicht triviale Losung αi 6= 0 fur mindestens ein i mit vi 6= 0 besitzt. Ist dies der Fall, sinddie Vektoren linear abhangig.

B.3 Inverse einer Matrix

• (2× 2)-Matrizen

A−1 =

[a11 a12a21 a22

]−1=

1

det(A)·[

a22 −a12−a21 a11

](115)

• (3× 3)-Matrizen

A−1 =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

−1 (116)

=1

det(A)·

a22a33 − a23a32 a13a32 − a12a33 a12a23 − a13a22a23a31 − a21a33 a11a33 − a13a31 a13a21 − a11a23a21a32 − a22a31 a12a31 − a11a32 a11a22 − a12a21

• (n× n)-Matrizen: Die Inverse einer (n× n)-Matrix A berechnet sich wie folgt

A−1 =adj(A)

det(A)mit adj(A)ji = (−1)i+jdet(Aij) (117)

wobei Untermatrix Aij durch Streichung der i-ten Zeile und j-ten Spalte entsteht

• Rechenregeln fur Inverse und Transposition

(A ·B)−1 = B−1 ·A−1 (118)

(A ·B)T = BT ·AT (119)(AT)−1

=(A−1

)T(120)

• Inversion von Blockmatrizen

A =

[A11 00 A22

]⇒ A−1 =

[A−111 0

0 A−122

](det(A) 6= 0) (121)

• Determinantenberechnung von Blockmatrizen: Die Matrix A sei in 4 Matrizen parti-tioniert, so dass F und J quadratisch und F bzw. J regular sind

det (A) = det

[F GH J

]= det (F ) · det

(J −HF−1G

)bzw.

= det (J) · det(F −GJ−1H

) (122)

Page 23: Formelsammlung Systemtheorie

Formelsammlung zur Vorlesung Systemtheorie Seite 22

• Matrix-Inversionslemma: A invertierbar, u und v Spaltenvektoren und A+ uvT inver-tierbar: (

A+ uvT)−1

= A−1 −(A−1u

) (vTA−1

)1 + vTA−1u

(123)

bzw. allgemein fur A ∈ Rm×m, C ∈ Rn×n

(A+BCD)−1 = A−1 −A−1B(DA−1B +C−1

)−1DA−1 (124)

B.4 Pseudoinverse rechteckiger Matrizen

Fur rechteckige MatrizenA ist die Berechnung vonA−1 nicht moglich. Es gelten jedoch folgendeDefinitionen fur die Berechnung einer Pseudoinversen:

• Fur A ∈ Rm×n, m < n, Rang (A) = m: Moore-Penrose- oder Rechts-Pseudoinverse

A# = AT(AAT

)−1es gilt A ·A# = Im (125)

• Fur A ∈ Rm×n, m > n, Rang (A) = n: Links-Pseudoinverse

A� =(ATA

)−1AT es gilt A� ·A = In (126)

Dabei sind Im bzw. In Einheitsmatrizen der Dimension m×m bzw. n× n.

B.5 Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix

• Eigenwerte einer Matrix: Losung der charakteristischen Gleichung

p(λ) = det(A− λI)!

= 0 (127)

• Rechtsseitige Eigenvektoren: Zu jedem Eigenwert λi ergibt sich der zugehorige rechts-seitige Eigenvektor vi aus dem Gleichungssystem

(A− λiI) · vi = 0 mit vi 6= 0 (128)

• Linksseitige Eigenvektoren Zu jedem Eigenwert λi ergibt sich der zugehorige linksseitigeEigenvektor wi aus dem Gleichungssystem

wTi · (A− λiI) = 0T mit wi 6= 0 (129)

B.6 Algebraische und geometrische Vielfachheit

Das charakteristische Polynom det (A− λI) = 0 der Matrix A habe m verschiedene Wur-zeln λ1, . . . , λm ∈ C mit den entsprechenden Vielfachheiten n1, . . . , nm. Dann gelten folgendeBezeichnungen:

• ni ist die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes λi, i = 1, . . . ,m,

• gi ist die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes λi, i = 1, . . . ,m, die als die Dimensiondes Eigenraumes zum Eigenwert λi definiert ist, d.h.

gi = dim (Kern (A− λiI)) .

Einfacher ausgedruckt stellt gi die Anzahl der linear unabhangigen Eigenvektoren v dar, dieλiA = λiv erfullen. Fur die geometrische Vielfachheit gi eines Eigenwertes λi gilt 1 ≤ gi ≤ ni.

Page 24: Formelsammlung Systemtheorie

Formelsammlung zur Vorlesung Systemtheorie Seite 23

B.7 Satz von Cayley–Hamilton

Bezeichnetp(λ) = p0 + p1λ+ · · ·+ pn−1λ

n−1 + λn

das charakteristische Polynom der Matrix A ∈ Rn×n, so genugt A der Beziehung

p(A) = a0I + a1A+ . . .+ an−1An−1 +An = 0 . (130)

Der Satz von Cayley–Hamilton besagt, dass die Matrix An durch eine Linearkombination derniedrigeren Potenzen ausgedruckt werden kann, bei der die Koeffizienten denen des charakte-ristischen Polynoms entsprechen.

C Laplace–Transformation

Definition C.1 (Laplace-Transformation) Es sei angenommen, dass die Zeitfunktion f (t)kausal und auf jedem finiten Zeitintervall t ≥ 0 stuckweise stetig ist sowie der Ungleichung

|f (t)| ≤Meγt (131)

fur geeignete positive Konstanten γ und M genugt. Dann ist das Integral

F (s) = L (f (t)) =

∫ ∞0

e−stf (t) dt mit s = α + jω (132)

fur alle Re (s) = α > γ absolut konvergent. Man nennt die Funktion F (s) auch die Laplace-Transformierte der kausalen Zeitfunktion f (t) und das Gebiet Cγ = {s ∈ C| Re (s) > γ} denExistenzbereich von F (s).

C.1 Eigenschaften der Laplace–Transformation

• I. Linearitat:

Zeitbereich: c1f1 (t) + c2f2 (t) , c1, c2 ∈ C

Bildbereich: c1F1 (s) + c2F2 (s)

• II. Ahnlichkeitssatz:

Zeitbereich: f (at) , a > 0

Bildbereich:1

aF(sa

)• III. Erster Verschiebungssatz:

Zeitbereich: f (t− a)σ (t− a) , a > 0

Bildbereich: e−asF (s)

• IV. Zweiter Verschiebungssatz:

Zeitbereich: f (t+ a) , a > 0

Bildbereich: eas(F (s)−

∫ a

0

f (t) e−stdt

)

Page 25: Formelsammlung Systemtheorie

Formelsammlung zur Vorlesung Systemtheorie Seite 24

• V. Dampfungssatz:

Zeitbereich: e−ctf (t) , c ∈ C

Bildbereich: F (s+ c)

• VI. Differentiation:

Zeitbereich:d

dtf (t) = f (t)

Bildbereich: sF (s)− f (0+)

bzw.

Zeitbereich:dn

dtnf (t) = f (n) (t)

Bildbereich: snF (s)− f (0+) sn−1 − f (1) (0+) sn−2 − . . .− f (n−1) (0+)

• VII. Integration:

Zeitbereich:

∫ t

0

f (τ) dτ

Bildbereich:1

sF (s)

• VIII. Umkehrung zu VI:

Zeitbereich: (−t)n f (t)

Bildbereich:dn

dsnF (s)

• IX. Umkehrung zu VII:

Zeitbereich:1

tf (t)

Bildbereich:

∫ ∞s

F (σ) dσ

• X. Faltungssatz:

Zeitbereich: (f1 ∗ f2) (t) =

∫ t

0

f1 (τ) f2 (t− τ) dτ =

∫ t

0

f1 (t− τ) f2 (τ) dτ

Bildbereich: F1 (s)F2 (s)

• XI. Periodische Funktionen:

Zeitbereich: f (t+ T ) = f (t)

Bildbereich:1

1− e−sT∫ T

0

e−stf (t) dt

• XII. Grenzwertsatze: (nur anwendbar, wenn die Grenzwerte auch existieren)

Anfangswertsatz: limt→0+ f (t) = lims→∞ sF (s)

Endwertsatz: limt→+∞ f (t) = lims→0 sF (s)

Page 26: Formelsammlung Systemtheorie

Formelsammlung zur Vorlesung Systemtheorie Seite 25

C.2 Korrespondenzen

Nummer Zeitbereich Bildbereichf (t) , t ≥ 0 F (s)

I. δ (t) 1

II. σ (t)1

s

III. t1

s2

IV. eat1

s− a

V. tneatn!

(s− a)n+1

VI. sin (bt)b

s2 + b2

VII. cos (bt)s

s2 + b2

VIII. eat sin (bt)b

(s− a)2 + b2

IX. eat cos (bt)s− a

(s− a)2 + b2