Formelsammlung zur Vorlesung Bodenmechanik I

Version: 05.04.2011

KIT – Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft

INSTITUT FÜR BODENMECHANIK UND FELSMECHANIK

Univ. Prof. Dr. - Ing. habil. Theodoros Triantafyllidis

Formelsammlung zur Vorlesung

Bodenmechanik I SS 2011

Ausgearbeitet von: D. Rebstock

Überarbeitet von: P. Kudella

Alle Rechte der Vervielfältigung vorbehalten !

www.kit.edu

Inhalt SS 2011

Formelsammlung Bodenmechanik I 1

Inhaltsverzeichnis 1. DARSTELLUNG VON BOHRPROFILEN ................................................................................................2 2. BODENKLASSIERUNG ..............................................................................................................................4 3. PORENANTEIL, WASSERGEHALT, WICHTEN...................................................................................5 4. KONSISTENZ, LAGERUNGSDICHTE.....................................................................................................6 5. DURCHSTRÖMUNG, DURCHLÄSSIGKEIT...........................................................................................7 6. VERTIKALE ZUSAMMENDRÜCKUNG..................................................................................................8 7. SPANNUNGSAUSBREITUNG ..................................................................................................................10 8. SETZUNGSBERECHNUNG......................................................................................................................11 9. KONSOLIDIERUNG ..................................................................................................................................12 10. SCHERFESTIGKEIT .................................................................................................................................13 11. ERDDRUCK.................................................................................................................................................14 12. GELÄNDEBRUCH .....................................................................................................................................17 13. GLEITEN UND GRUNDBRUCH..............................................................................................................21 Diese Formelsammlung wurde sorgfältig überprüft. Sie ersetzt aber nicht das sorgfältige Studium der

grundsätzlichen Zusammenhänge !!!

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1. Darstellung von Bohrprofilen SS 2011


1. Darstellung von Bohrprofilen • Vorschriften:

DIN 4023 (Feb. 2006) Baugrund- und Wasserbohrungen, zeichnerische Darstellung der Ergebnisse DIN 18196 (Juni 2006) Bodenklassifikation für bautechnische Zwecke und Methoden zum Erkennen von Bodengruppen

• Symbole und Farben wichtiger Bodenarten

Benennung Kurzzeichen Zeichen Bodenart Beimengung Bodenart Beimengung Bodenart Beimengung

Flächen-farbe

Kies kiesig G g Grobkies grobkiesig gG gg Mittelkies mittelkiesig mG mg Feinkies feinkiesig fG fg

hellgelb

Sand sandig S s Grobsand grobsandig gS gs Mittelsand mittelsandig mS ms Feinsand feinsandig fS fs

orangegelb

Schluff schluffig U u oliv

Ton tonig T t violett

Torf, Humus torfig, humos H h dunkelbraun

- F - helllila Mudde

(Faulschlamm) org. Beimeng. - o

-

Auffüllung - A - -

Steine steinig X x hellgelb

Blöcke mit Blöcken Y y hellgelb

Fels allgemein - Z -

Fels verwittert - Zv -

dunkelgrün

• Symbole geologisch typischer Bodenarten

Benennung Kurzzeichen Zeichen Flächenfarbe Mutterboden Mu hellbraun

Verwitterungslehm, Gehängelehm L grau

Geschiebelehm Lg grau

Geschiebemergel Mg blau

Löß Lö helloliv

Lößlehm Löl oliv

Klei, Schlick Kl lila

Wiesenkalk, Seekalk, Seekreide, Kalkmudde Wk hellblau

Bänderton Bt

violett

Vulkanische Asche V dunkelgrau

Braunkohle Bk schwarzbraun

1. Darstellung von Bohrprofilen SS 2011


• Symbole gemischtkörniger Boden- und Felsarten Benennung Kurzzeichen Zeichen Flächenfarbe

Grobkies, steinig gG, x hellgelb

Feinkies und Sand fG-S orangegelb

Grobsand, mittelkiesig gS, mg orangegelb

Mittelsand, schluffig, schwach humos mS, u, h’ orangegelb

Schluff, stark feinsandig U, -fs kreß (orange)

Torf, feinsandig, schwach schluffig H, fs, u’ dunkelbraun

Seekreide mit organischen Beimengungen Wk, o hellblau

Klei, feinsandig Kl, fs lila

Sandstein, schluffig Sst, u

orangegelb

Salzgestein, tonig Lst, t

hellgrün

Kalkstein, schwach sandig Kst, s’

dunkelblau

• Erläuterungszeichen für Bohrprofile

2. Bodenklassierung SS 2011


2. Bodenklassierung • Benennung von Böden: Korndurchmesser d [mm]

Feinkorn (Schlämmkorn) Grobkorn (Siebkorn) TON SCHLUFF SAND KIES Steine Blöcke

fein mittel Grob fein mittel grob fein mittel grob T fU mU GU fS mS gS fG mG gG X Y

0,002 0,006 0,02 0,06 0,2 0,6 2,0 6,0 20 63 200

• Ungleichförmigkeit: 10

60

ddU =

• Krümmungszahl: 6010

230

dddCC ⋅

=

• Klassifizierung: DIN 18196

Korngrößenverteilung von der Gesamttrockenmasse d < 63 mm sind ≤ 0,06 mm

Merkmal

weniger als 40 % gleich oder mehr als 40 % Haupt-gruppe Kieskorn, Sandkorn Schluff, Ton

Massenanteil des Korns ≤ 2 mm Plastizitätsgrenze Merkmal bis 60 % über 60 % Ip unterhalb A-Linie Ip oberhalb A-Linie

Kies (G) Sand (S) Schluff (U) Ton (T) Korngrößenverteilung

von der Gesamtmasse sind ≤ 0,06 mm Plastizitätsgrenze Merkmal

< 5 % 5 ÷ 15 %

15 ÷ 40 %

< 5 % 5 ÷ 15 %

15 ÷ 40 %

Fließgrenze wl in % Fließgrenze wl in %

Merkmal U < 6 Cc bel.

U ≥ 6 1 ≤ Cc ≤

3

U ≥ 6 Cc < 1 Cc> 3

U < 6 Cc bel.

U ≥ 6 1 ≤ Cc ≤

3

U ≥ 6 Cc < 1 Cc> 3

< 35 35 ÷ 50

> 50 < 35 35 ÷ 50

> 50

Kies eng-gestuft

Kies weit gestuft

Kies intermit-tierend gestuft

Kies tonig oder

schluffig

Kies stark tonig oder

schluffig

Sand eng-

gestuft

Sand weit

gestuft

Sand intermit-tierend gestuft

Sand tonig oder

schluffig

Sand stark tonig oder

schluffig

Schluff leicht

plastisch

Schluff mittel

plastisch

Schluff ausge-prägt

plastisch

Ton leicht plastisch

Ton mittel

plastisch

Ton ausge-prägt

plastisch

Kurzzei-chen

GE GW GI GU GT

GU* GT*

SE SW SI SU ST

SU* ST*

UL UM UA TL TM TA

Die Zuordnung zu T bzw. T bei G und S erfolgt anhand der Zustandsgrenzen des Feinkorns OU, OT Schluffe / Tone mit organischen Beimengungen OH grob- bis gemischtkörnige Böden mit Beimengungen humoser Art OK grob- bis gemischtkörnige Böden mit kalkhaltigen, kieseligen Bildungen HN nicht bis mäßig zersetzte Torfe (Humus) HZ zersetzte Torfe F Schlamm als Sammelbegriff für Faulschlamm, Mudde etc.

Organische und organogene Böden:

A Auffüllung aus Fremdstoffen

3. Porenanteil, Wassergehalt, Wichten SS 2011


3. Porenanteil, Wassergehalt, Wichten

⇒Vk

V0

V

VL

VWn

1

Kornvolumen: Vk = const ! Gesamtvolumen: V Porenvolumen: V0 • Kornwichte:

nKornvolumeseTrockenmas

=sγ ( ) ( ) nwnnVG

wd

k

d

−′

+=+⋅−

=−

==1111

γγγγ

• Trockenwichte: menGesamtvolu

seTrockenmas=dγ ( )

wrs

swr

ws

wrs

wrsd

SwS

nw

nVG

γγγγ

γγγγγ

γγγγ

⋅+⋅⋅⋅

=−−

⋅=

⋅−=+

=⋅−==1

1

• Feuchtwichte: Sättigung Sr < 1 menGesamtvolu

eGesamtmass=γ ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )wrwrs

swr

sd

nwSw

Sw

nwwVG

γγγγ

γγ

γγ

⋅−⋅+=⋅+⋅

⋅⋅⋅+=

⋅−⋅+=⋅+==

11

111

• Sättigungswichte Sättigung Sr = 1

( )1== rr Sγγ

( )

ws

wswd

s

w

wwswdr

w

nnnVG

γγγγγγγ

γγ

γγγγγγ

+⋅+−

=+⋅

−=

+′=⋅+⋅−=⋅+==

11

1

• Auftriebswichte: ( ) ( )wsn γγγ −⋅−=′ 1

• Porenzahl: olumenFeststoffv

lumenHohlraumvo=e ( )

wr

rs

wr

s

s

d

s

k

Sw

wn

nVV

γγγγ

γγ

γγ

γγ

−−

=⋅⋅

=

−+=−=−

== 1111

0

• Porenanteil: menGesamtvolu

lumenHohlraumvo=n ( )

ws

rs

wrs

s

ss

d

Sww

wee

VV

γγγγ

γγγ

γγ

γγ

−−

=⋅+⋅

⋅=

⋅+−=−=

+==

111

10

• Wassergehalt: Teilsättigung ewichtFeststoffg

chtWassergewi=w ( )

( )( )

−⋅=

⋅⋅−⋅⋅−

=

−⋅−

=−==

s

w

d

wr

swr

wrs

sdd

w

SS

S

nGG

γγ

γγ

γγγγγγ

γγ

γγ 1

11

• Maximaler Wassergehalt:

gesättigt ! Sr = 1

( )( ) s

w

d

w

swr

wrs

d

r

s

w

d

w

s

w enn

nwγγ

γγ

γγγγγγ

γγ

γγ

γγ

γγ

−=⋅−⋅−

=−=⋅=⋅=⋅−

= 11max

• Sättigungszahl: ( )( )[ ] ( )dsw

sd

sw

s

w

s

w

dr

ww

wee

nwwS

γγγγγ

γγγγγ

γγγ

γγγ

−⋅⋅⋅

=−⋅+

⋅⋅=

⋅−⋅+

=⋅−

==1

1

max

4. Konsistenz, Lagerungsdichte SS 2011


4. Konsistenz, Lagerungsdichte Konsistenz bindige Böden: • Fließgrenze: wL Schließen einer Furche nach 25 Schlägen –

Interpolation aus mind. 4 Versuchen (Wassergehalt über log Schlagzahl) schwachbindig: 0 – 30 % bindig: 30 – 100 %

• Ausrollgrenze: wP wenn keine 2 (3) mm Röllchen mehr möglich schwachbindig: 0 – 20 % bindig: 20 – 40 %

• Plastizitätszahl PLp wwI −= schwachbindig: 0 – 10 % bindig: 10 – 90 %

• Konsistenzzahl PL

Lc ww

wwI−−

= 0,25 - 0,50 breiig cu = 10 – 15 0,50 - 0,75 weichplastisch cu = 15 – 50 0,75 - 1,00 steifplastisch cu = 100 – 200 1,00 - 1,25 halbfest cu = 100 – 400

Flüssig-breiig: Ic → 0: natürlicher Wassergehalt gleich Fließgrenze: w = wL Steif-plastisch: Ic = 1: natürlicher Wassergehalt gleich Ausrollgrenze: w = wp Anmerkung: sowohl Ic < 0, als auch Ic > 1 kommen in der Natur vor. Lagerungsdichte nichtbindige Böden:

• Lagerungsdichte: minmax

max

nnnnD

−−

= 0 ≤ sehr locker ≤ 0,15 < locker ≤ 0,3 < mitteldicht ≤ 0,5 < dicht ≤ 1,0

• Bezogene Lagerungsdichte:minmax

max

eeeeID −

−= 0 ≤ locker < 1/3 ≤ mitteldicht < 2/3 < dicht

• Proktorkennwert: Mit vorgegebener Verdichtungsenergie maximal erreichbare Trockendichte in Abhängigkeit vom

Wassergehalt: %100Pr

Pr ⋅=ρρdD → Diagramm: γd über w

Trockendichte bei Sättigung: ws

sd w γγ

γγ/1 ⋅+

=

Luftanteil:

+−=

wsda

wnγγ

γ 11 (waagrechter Abstand Sättigung / Proctotkurve)

5. Durchströmung, Durchlässigkeit SS 2011


5. Durchströmung, Durchlässigkeit • Durchfluß:

AQv

∆∆

=

• Filtergeschwindigkeit: ikv ⋅= Gradient: shi ∆

∆=

• Spezifische Strömungskraft: if ws ⋅= γ

• Porenwasserdruck: hu w ⋅= γ

• Durchlässigkeit: ( ) νν

gn

nddgck w ⋅−

⋅⋅≈⋅⋅= −2

323

2

1105 ν ≈ 10-6 m²/s

Näherung: Hazen [ ] [ ]mm01,0 210s

m dk ⋅=

Terzaghi [ ] [ ]mm1

05,0 2102

2

sm D

nnk ⋅−

⋅=

• mittlere Durchlässigkeit mehrerer Schichten:

horizontal (Permissivität) ∑

∑ ⋅=

i

iim d

dkk → Parallelschaltung

vertikel (Transmissivität)

∑∑=

i

i

im

kdd

k → Reihenschaltung

• Hydraulisches Gefälle je Schicht:

mittel

Stromliniei

n

ni

i

klk

H

kdk

Hi⋅

∆=

⋅

∆=

∑

lStromlinie: gesamte Länge der Stromlinie entlang des umflossenen Gebiets kmittel: mittlere vertikale Durchlässigkeit

• Wasserdrücke: ( )∑ ⋅∆−∆⋅=∆ iiwi ilhw γ Wenn Verhältnis der k-Werte bei vertikaler Durchströmung > 100, wird der gesamte Druck in der praktisch undurchlässigen Schicht abgebaut. Wegen der Schichtung ist die horizontale Durchlässigkeit im Boden größer als die vertikale. Druckabbau innerhalb einer Schicht verläuft näherungsweise linear.

• Strömungsnetz: → Stromlinien, Potentiallinien

Energiesatz: const=+= zpHγ

Durchströmung: Hknnq

p

s ∆⋅⋅= Quadratnetz ! Potentialstufen: np

Stromröhren: ns

• Durchlässigkeitsversuche: - Spiegelhöhe konstant

AQikv =⋅= → A

shkq ⋅

∆∆

⋅=

kritisches Gefälle bei vertikaler Durchströmung – Boden gewichtslos

( ) ( )

w

ws

wkrit

niγ

γγγγ −⋅−

=′

=1

- Spiegelhöhe veränderlich mit der Zeit

⋅⋅−=

01

2 lnhh

kd

AAt

A1: Probenfläche A2: Pipettenfläche h ist Differenz der Spiegelhöhen Probe – Pipette h < h0

6. Vertikale Zusammendrückung SS 2011


6. Vertikale Zusammendrückung • Änderung der Porenzahl e bei Zusammendrückung:

( ) 11 00

* −+= ehhe

Vk = konst, V0 = variabel Ansatz: e = V0/Vk V0+Vk=h0 → Vk=h0/(1+e) e0: Anfangsporenzahl h0: Anfangshöhe h: Endhöhe

• Setzung bei Änderung der Porenzahl e:

0

*

0 11

eehh

++

= → 0

0*

00 1 eeehhhs

+−

=−=

• Relative Zusammendrückung und wirksame Spannung:

Zusammendrückungsgeschwindigkeit: dd

∆∆

=&

&ε ∆d : momentane Dicke

d&∆ : Verringerung der Dicke je Zeiteinheit

Relative Zusammendrückung: 0

0

0

0

0V

VVd

dddtt

t

−≈

∆∆−∆

≈≈ ∫εε &

Porenzahl: ( )00 1 eee +−≈ ε

Wirksame Spannung: u−=′ σσ σ = ∆F / ∆A → normalkonsolidiert: wird eine Bodenschicht genannt, wenn sie in jeder Tiefe diejenige Porenzahl aufweist, die zu der in-situ vorhandenen Vertikalspannung gehört. → überkonsolidiert: ein vorbelasteter und teilweise wieder entlasteter Boden

• Erstbelastung:

Kompressionsbeiwert: Tangentenneigung im ln(σ'/σ0) – e – Diagr. ( )

σσ

ε

σσ

′′

+=′−= d

edeC c1

lnd

d

0

Steifemodul: Tangentenneigung im σ' – ε – Diagramm

c

s CeE +′=

′=

1dd σ

εσ

e

ln σ/σ0

CC

CS

CC

σe

1

Porenzahl:

′⋅−=

00 ln σ

σcCee

Diagramm: ln(σ'/σ0) über e: körniger Erdstoff: je nach ID nahezu horizontale Gerade bindiger Erdstoff: Gerade mit abweichenden Rändern

Äquivalente Spannung:

−=

ce C

eeexp 00σσ

• Entlastung:

Schwellbeiwert: CS Tangentenneigung im ln(σ'/σ0) – e – Diagramm bei Entlastung

Geradengleichung:

′

′−=

0σσ

lnCee Sv

Steifemodul: S

s CeE +′=

1σ größer als bei Erstbelastung!

• Wiederbelastung: Vorspannung: σv Übergangspunkt von Wiederbelastung zur Erstbelastung

Porenzahl:

′

′−

′′

−=e

Ce

S lnClnCeeσσ

σσ

00

6. Vertikale Zusammendrückung SS 2011


Äquivalente Spannung: c

S

CC

vv

c

vs

vc

e C''lnC'lnC

exp

′′

′=

+

=σσσ

σσ

σσ

σσ 00

Setzung:

∆++

+

=e

vC

v

es

plnClnCe

Hsσ

σσσ

1

7. Spannungsausbreitung SS 2011


7. Spannungsausbreitung • Eigengewichtsspannung:

zzz ⋅=′= γσσ oberhalb des GW

iiiziz d⋅′+′=′ − γσσ 1,, allgemein; unter GW → Abschnittsweise linear mit Knicken an Schichtgrenzen, Grundwasserspiegel

• Spannungen infolge Auflasten: - Boussinesq; Einzellast q, bzw. kreisförmige Lastfläche mit pi und Ai

ϑπ

σ 52 cos

23

zF

p = 22

cosrz

z+

=ϑ r: Abstand auf Oberfläche

Verteilte Lasten: Superposition

( )∑∑−

+⋅== 25223

, 23

iiiipp rzApzπ

σσ

- Druckausbreitung unter 45° bei örtlich begrenzter Oberflächenlast

( )( )bz

azzp

⋅+⋅+=

2121σ z: Tiefe a, b: Abmessungen der Auflast p

- Steinbrenner: Spannung im Randpunkt einer rechteckförmigen, schlaffen Lastfläche piz ⋅=σ Fläche: a ≥ b

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

12,0

14,0

16,0

18,0

20,0

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,250,00

0,50

1,00

1,50

2,00z/b z/b

σzσz = i ⋅ p

z

a ≥ b

pa

b

a/b = 1a/b = 1,5

Beiwert i

a/b = 2,0a/b = 3,0a/b = 5,0a/b = 10 bis ∞

a/b = 1,0a/b = 1,5a/b = 2,0

a/b = 3,0

a/b = 10a/b = 5,0

a/b = ∞

- Beliebige Punkte durch vorzeichengerechte Superposition von Teilflächen zu erreichen. Formel für i:

( ) ( )( )

⋅+⋅⋅

+⋅⋅⋅+

++

⋅== 2222

22

2222arcsin

21;

bazrrzrzba

zbzaba

bz

bafi

π

222 zbar ++=

8. Setzungsberechnung SS 2011


8. Setzungsberechnung • Steifemodul ES → Verformungsmodul Ev

Erste Näherung: Ev = ES oder Korrekturfaktor nach DIN 4019 • Direkte Setzungsberechnung (Für schichtweise konstantes Ev)

( )∫=

=t

zv

dzzE

s0

1 σ

Nach Steinbrenner: v

os

Epbfs ⋅⋅

= Ev = Verformungsmodul po = Oberflächenlast

Setzungsbeiwert ( )bz

baffs ;= a = Fundamentlänge

b = Fundamentbreite z = Tiefe

in Tafeln oder Diagrammen, hier für ν = 0,5 und Setzung des Eckpunktes (vgl. Bild 7.6 AfBM) z/b a/b 1,0 1,5 2,0 3,0 5,0 10,0 ∞

0,25 0,0622 0,0623 0,0623 0,0623 0,0623 0,0623 0,0623 0,5 0,1222 0,1232 0,1232 0,1233 0,1234 0,1234 0,1234 0,75 0,1770 0,1799 0,1806 0,1812 0,1814 0,1814 0,1814 1,0 0,2247 0,2314 0,2333 0,2346 0,2349 0,2350 0,2350 1,5 0,2988 0,3161 0,3223 0,3264 0,3276 0,3279 0,3279 2,0 0,3500 0,3792 0,3914 0,4003 0,4033 0,404 0,4040 3,0 0,4143 0,4634 0,4880 0,5091 0,5194 0,5221 0,5222 4,0 0,4501 0,5137 0,5484 0,5823 0,6029 0,6094 0,6099 6,0 0,4897 0,5705 0,6196 0,6751 0,7173 0,7358 0,7383 8,0 0,5097 0,5997 0,6574 0,7269 0,7887 0,8232 0,8297 10 0,5217 0,6175 0,6806 0,7593 0,8367 0,8878 0,9007 12 0,5297 0,6295 0,6964 0,7817 0,8711 0,9376 0,9587 15 0,5378 0,6415 0,7126 0,8051 0,9074 0,9923 1,0298 18 0,5432 0,6496 0,7231 0,8207 0,9323 1,0337 1,0880 ∞ 0,5460 0,6536 0,7283 0,8285 0,9449 1,0553 1,1216

• Bei geschichteten Untergrundaufbau:

−+⋅=+=

2

00

1

021

121

v

bz

sb

z

s

v

bz

sop E

ffEf

pbsss

a

b p0

zz1

z2

Ev1

Ev2 • Mittelwert bei verschiedenen Ev (z.B. dünnbankig geschichteter Boden)

( )1221

2121

xExEEExxE

vv

vvv ⋅+⋅

⋅⋅+= Mittelung über Kehrwerte !

• Indirekte Setzungsberechnung 1. Einteilung Untergrund in Schichten 2. Vorlastzustand σvj in Schichtmitten (Eigengewicht – GW!, Nachbargebäude, ...) 3. Zusatzspannung infolge Baumaßnahme an Schichtgrenzen (evtl. Aushub berücksichtigen) 4. Mittlere Zusatzspannung ∆σj – Mittelwert der Werte an den Schichtgrenzen 5. Mit σvj und ∆σj kann direkt aus dem Drucksetzungsversuch das zugehörige ∆εj ermittelt werden 6. Gesamtsetzung – Summe der Setzungen der einzelnen Schichten:

∑∑==

∆⋅∆

=∆⋅∆=n

jj

sj

jn

jjj z

Ezs

11

σε

Grenztiefe: zg: wenn ∆σg = 20% ⋅ σvg • Starr – schlaff: schlaffstarr ss ⋅≈ 75,0

9. Konsolidierung SS 2011


z

umax

9. Konsolidierung Konsolidierungsbeiwert:

w

sv

Ekcγ

=

∆p: aufgebrachte Belastung ∆u: Porenwasserüberdruck ∆σ': effektive Zusatzspannung H. Schichtdicke d: Entwässerungslänge, das bedeutet rechnerische Schichtdicke H bei einseitiger Entwässerung, halbe Schichtdicke H/2 bei beidseitiger Entwässerung µ: Konsolidierungsgrad

( ) ( ) ( )p

tzup

tztz∆

∆−=

∆′∆

=,1,, σµ ( ) ( ) ( )∫==

∞

d

dztzds

tst0

,1 µµ

Abschätzung: 222dtcT vv

⋅⋅

⋅=⋅≈ππ

µ bzw. 2

4µπ

⋅≈vT für 0 ≤ µ ≤ 0,5

( ))ln(,,Tv µ−+⋅−≈ 12104050 für 0,5 ≤ µ ≤ 0,9

ACHTUNG: d = H, wenn einseitig d = H/2, wenn beidseitig entwässert

Zeitfaktor: tdcT v

v ⋅= 2

TV,98 = 4 Konsolidationsdauer:

vcdt

2

984 ⋅

=

Modellgesetz (Terzaghi): 2

=

M

p

M

p

dd

tt

Momentane Setzung: ∑ ∞⋅= ii ss µ Isochronen des Porenwasserüberdruckes näherungsweise Parabeln 2. Ordnung (ACHTUNG: obere Grenze beachten → Max der Parabel nicht größer als Belastungsdruck ∆p) Beziehungen: ( ) ( )zzup σ ′∆+∆=∆ totale Zusatzspannung = Porenwasserüberdruck + effektive

Zusatzspannung ( ) pu ∆⋅−=∆ µ12

3max ( ) p∆⋅−=′∆ 132

1min µσ

p∆⋅=′∆ µσ mittlere effektive Zusatzspannung

( ) max321 upu ∆⋅=−∆=∆ µ mittlerer Porenwasserüberdruck

( )

−⋅∆=∆

2

max 1dzuzu ( ) ( )zupz ∆−∆=′∆σ

p

u∆

∆−= max

321µ

10. Scherfestigkeit SS 2011


10. Scherfestigkeit Maßgebende Vorschrift: DIN 18137, T1 u. 2 • Rahmenschergerät:

Meßgrößen: Schubkraft T, Horizontalverschiebung s, Auflast p (vorgegeben) Breite des quadratischen Scherkastens: b

Schubspannung: ( )sbbT

f −⋅=τ Normalspannung: 2b

Pa =σ

Schergesetz: - Coulomb ϕστ ′⋅′+′= tanaf c

τf

σ'ac'

ϕ'

- Krey-Tiedemann – bindiger Boden

ϕσϕστ ′⋅′+′⋅′= tantan avf

cs ϕϕϕ tantantan +′=′ σ'v: effektive Spannung vor Versuchsbeginn σ'a: e.S. während des Versuchs ϕc: Winkel der Kohäsion ϕ': Winkel der inneren Reibung ϕ's: Winkel der Gesamtscherfestigkeit suc ϕσ ′⋅′= tan

τf

σ'a

c'

ϕ'

ϕc'

ϕs'

σ'v

1

23

1: normalkonsolidiert 2: überkonsolidiert 3: unterkonsolidiert

• Triaxialversuch: Meßgrößen: Stempelkraft P1, Stempelverschiebung ∆h, ggf. Volumenänderung ∆V, ggf. Porenwasserdruck u, Seitendruck σ3 (i.d.R. vorgegeben)

aFP1

31 += σσ 0

1 hh∆

=ε Fa: aktuelle Probenfläche h0: Anfangsprobenhöhe

Schergesetz: - Mohr-Coulomb:

Auftragung der effektiven Hauptspannungen σ1' und σ3' beim Bruch → ϕ' und c': Endstandsicherheit

( ) ϕϕσσσσ ′⋅′⋅+′⋅′+′=′−′ cos2sin3131 c

24φπα ′+=f

τ

c'ϕ'

σ'1σ'3σ'

σf

τf

ϕ'

2αf

σf

τf αf

- Tresca:

Auftragung der totalen Spannungen σ1 und σ3 beim Bruchzustand → cu: Anfangsstandsicherheit

231 σστ −

==uc

τ

σ1, σ3

cu

11. Erddruck SS 2011


11. Erddruck • aktiv: Wandbewegung vom Boden weg • passiv: Wandbewegung zum Boden hin

+α

+β

ϕ+δ

ϑa

Q

Ea

G

C

q

+α

+β

ϕ-δ

ϑp

Q

Ep

G

C

q

• Erddruck: ( )δασ −⋅⋅⋅−⋅′= cos2 ahahzah KcKe

∫=z

ahah dzeE

• Erdruhedruck: ( α = β = δ = 0 ) ϕsin10 −=K

• Erhöhter aktiver Erddruck:

20 ahKKK +

=

• Bei vorgegebener Gleitfuge ϑ (z.B. ansteigender Fels hinter Wand)

[ ])tan()tan(cos)cos()sin(

2)cos()sin(

,2

,

,2

,

,, βααϑαδαϕϑ

ϕϑγδαϕϑ

ϕϑ+−+⋅⋅−+

⋅⋅

=−+

⋅=papa

pa

pa

papa

hGEm

m

m

m

• Evtl. zusammengesetzte Mechanismen → BM II/III • Einseitig begrenzte Auflast:

Normaler Erddruckbeiwert, Spannungsverlauf ab Reibungswinkel ansteigend bis Gleitfugenneigung zunehmend, dann konstant.

• Erddruck auf eine Stützwand Lastausbreitung (Verkehrslasten – Streifenlasten)

einfach – rechteckförmig: oben: ≤ ϕ unten: ϑa

erweiterte, z.B. trapezförmig: oben und unten je ϕ und ϑa

Umverteilung in Ersatzlastfigur abhängig von der Wandart → EAB • Freie Standhöhe:

Ea = 0: γγ

qKch

a

⋅−

⋅⋅

=24

2

ea = 0: γγq

Kch

a

−⋅

⋅=

21



• Erddruckbeiwerte – Aktiv

- Fall 1 α = 0 β = 0 δ = 0 a k t i v

−=

24tan2 ϕπ

ahK π/4 = 45° !

24ϕπϑ +=a

[ ] ahahah KcKqhe ⋅⋅−⋅+⋅= 2γ

ahahah KhcKhqhE ⋅⋅⋅−⋅

⋅+⋅⋅= 221 2γ

0=avE aha EE = - Fall 2 α = 0 β = 0 δ ≠ 0 a k t i v

( ) 2

2

cossinsin1

cos

⋅++

=

δϕδϕ

ϕahK

+++=

ϕϕϕϑ ϕ

δ

cos

1tanarccot tan

tan

a [ ] [ ]LL arctan90arccot −°=

[ ] δγ cos2 ⋅⋅⋅−⋅+⋅= ahahah KcKqhe

δγ cos221 2 ⋅⋅⋅⋅−⋅

⋅+⋅⋅= ahahah KhcKhqhE

δtan⋅= ahav EE δcos

aha

EE =

- Fall 3 α ≠ 0 β ≠ 0 δ ≠ 0 a k t i v

( )( ) ( )( ) ( )

2

2

2

coscossinsin1cos

cos

+⋅−−⋅+

+⋅

+=

βαδαβϕδϕα

αϕahK

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

−⋅−+⋅+

++++=

αδβϕβαδϕ

ϕαϕαϕϑ

cossincossin

cos1tanarccota

[ ] ( )αδγ −⋅⋅⋅−⋅+⋅= cos2 ahahah KcKqhe

( )αδγ −⋅⋅⋅⋅−⋅

⋅+⋅⋅= cos221 2

ahahah KhcKhqhE

αδ −⋅= tanahav EE αδ −

=cos

aha

EE



• Erddruckbeiwerte – Passiv

- Fall 1 α = 0 β = 0 δ = 0 p a s s i v

+=

24tan2 ϕπ

phK π/4 = 45° !

24ϕπϑ −=p

phphph KhcKhqhE ⋅⋅⋅+⋅

⋅+⋅⋅= 221 2γ

0=pvE php EE = - Fall 2 α = 0 β = 0 δ ≠ 0 p a s s i v

( ) 2

2

cossinsin1

cos

⋅−−

=

δϕδϕ

ϕphK

( ) ( )

( )

−

++−+−= −

ϕϕϕϑ ϕ

δ

cos

1tanarccot tan

tan

p [ ] [ ]LL arctan90arccot −°=

δγ cos221 2 ⋅⋅⋅⋅+⋅

⋅+⋅⋅= phphph KhcKhqhE

δtan⋅= phpv EE δcos

php

EE =

- Fall 3 α ≠ 0 β ≠ 0 δ ≠ 0 p a s s i v

Formelle Bestimmung nach Coulomb nicht üblich → Erddruckbeiwert aus gekrümmter Gleitfuge oder zusammengesetztem Bruchmechansimus.

12. Geländebruch SS 2011


12. Geländebruch • Ebene Gleitfläche:

Unendlich ausgedehnte Böschung: 1

tantan

≥==β

ϕd

d

fd

d

d

TT

ER

Td = Gd ·sin β = Gk ⋅ γG ·sin β Nd = Gd ·cos β = Gk ⋅ γG ⋅ cos β Tfd = Nd ⋅ tan ϕd = Nd ⋅ tan ϕk /γϕ'

Hangparallel durchström-te Böschung:

11

1tantan

≥

′+

⋅=

d

w

d

d

d

ER

γγβ

ϕ

Td = V ⋅ (γ'k ⋅ γG ⋅ sin β + γw ⋅ sin β ) Nd = G'd ⋅ cos β = V ⋅ γ'k ⋅ γG ⋅ cos β Tfd = Nd ⋅ tan ϕd = Nd ⋅ tan ϕk /γϕ'

Begrenzte Böschung (kohäsiver Boden, β > 60°): ( ) ( )βϑγγβϑγ cotcotcotcot 2

212

21 −⋅⋅=−⋅= hhG Gkdd

ϑγϑ sinsin ⋅⋅=⋅= Gkdd GGT ϑcos⋅= dd GN

( ) ddddddfd tancoscotcothsin

hctanNCT ϕϑβϑγϑ

ϕ ⋅⋅−⋅+⋅=⋅+= 2

21

Maximalwert: d

d

ck

k

d

d

hc

hc

ϕβ

ϕβ

γγγ cossin2

sin22

2

maxmax⋅

−

=

⋅⋅

⋅=

⋅

⋅ für

20βϕ

ϑ+

= d

Oder GEO-3 Gleiten: 1sin

tan

sintan

,

, ≥⋅

⋅+

=⋅

⋅+==

βγ

ϕγ

βϕ ϕ

d

kd

c

k

d

ddd

vorhandend

möglichd

d

d

G

NC

GNC

TT

ER

• Gekrümmte Gleitfläche – homogener Boden

Rein kohäsiver Boden: zu G ggf. noch veränderliche Lasten P mit Gd + Pd = Gk · γG + Pk · γQ

Ausnutzungsgrad: 0

2,

,

ψτµ

⋅⋅

⋅+⋅=

⋅

⋅+⋅==

∫ d

QdGd

fd

QdGd

haltendd

treibendd

crrPrG

dsr

rPrGMM

bzw.

Teilsicherheitsfaktor: QdGd

k'c rPrG

cr⋅+⋅⋅⋅⋅

=µψγ 0

2

Böden mit Reibung: Kohäsion: C hat Richtung der Sekante des Gleitkreises.

( )2/sin2 0ψ⋅⋅⋅= rcC dd ( )2/sin2 0

0

ψψ⋅

=rrc

Resultierende Q (nach DIN 4084 - inzwischen ist das Zeichen Q für veränderliche Einwirkungen reserviert !) aus Reibung und Normalkraft:

Differenzielle Resultierende dQ berührt den Reibungskreis mit Radius ϕsin⋅= rrQ Standsicherheitsnachweis:

1. Ermittlung von G (zuzüglich veränd. Lasten P wie oben) nach Größe, Lage und Richtung 2. Zusammenfassung zu einer Resultierenden der treibenden Kräfte R mit Hebelarm rR 3. Aus Krafteck ergibt sich eine Kraft Q, die mit R und C im Kräftegleichgewicht ist. 4. Momentengleichgewicht erfüllt, wenn Kraft Q durch den Schnittpunkt von R und C geht 5. Ausnutzungsgrad:

⋅⋅+⋅⋅

⋅=

⋅⋅+⋅⋅⋅

≈=

ϕγϕ

ψγ

ϕψµ

k

c

k

R

dd

R

haltendd

treibendd

rQc

r

rRrQcr

rRMM

tanarctansin

sin0

202

,

,

6. oder Teilsicherheitsfaktor (bei bekanntem, festem γc’):



)tan()tan(

d

k

ϕϕ

γ ϕ = mit

=

rrrCRr RcQ

d

),,,(arcsinϕ

• Gekrümmte Gleitfläche – inhomogener Boden (Fellenius) Gleitkörper in Lamellen unterteilen (bessere Abschätzung der Druckverteilung, Berücksichtigung der Schichtung). Lamellenbreite bi, Neigung der Gleitfläche jeweils ϑi. An jeder Lamelle wirken: - Resultierende der äußeren Kräfte (Gewichte Gi, Auflast Pi,) mit Hebelarm r.:

( ) iidid PG ϑsin,, ⋅+∑

- Porenwasserdruck ui auf die Gleitfläche der Länge li = bi/cos ϑi (gleichwertig ersetzbar durch Strömungskräfte in den Lamellen mit errechneten Hebelarmen Zusatzmoment)

- Ei und Ei+1: Erddrücke an den Lamellengrenzen links und rechts unter den Winkeln δi - Normalkraft Ni in der Gleitfuge je nach Annahme für δi:

δi = ϑi → ( ) iiiididid luPGN ⋅−⋅+= ϑcos,,, (nach Fellenius, nur für Voruntersuchungen)

δi = 0 → idii

iiidiiiididid

lcluPGN

,

,,,, tansincos

sincosϕϑµϑ

ϑµϑ⋅⋅+

⋅⋅⋅−⋅⋅−+= (Krey-Bishop vereinfacht)

δi = εi → idiiii

iiiidiiiiiididid

lcluPGN

,

,,,, 'tan)sin()cos(

)sin()cos(cos)(ϕεϑµεϑ

εϑµεϑε⋅−⋅+−

−⋅⋅⋅−−⋅⋅−⋅+=

(Bishop erweitert) - Ti: Schubkraft in der Gleitfuge

ididiidid NlcT ,,,, tanϕ⋅+⋅= (Fellenius, nur für Voruntersuchungen)

( )ididiidid NlcT ,,,, tanϕµ ⋅+⋅⋅= (Krey-Bishop)

Nachzuweisen: Ausnutzungsgrad ( )

( ) 1tansin

,,,

,,

,

, ≤⋅+⋅⋅

⋅+⋅==

∑∑

ididiid

iidid

dR

dE

NlcrPGr

MM

ϕϑ

µ

( )

( )∑

∑

⋅

⋅−⋅++⋅⋅

⋅+⋅=

ϕγϕ

ϑϑ

ϑγ

ϑµ

ik

i

iiiidid

i

i

c

ik

iidid

buPG

bcr

PGr

,,,

,

,,

tancos

coscos

sin (Fellenius)

( )

( )[ ]∑

∑

⋅⋅+

⋅⋅−++⋅

⋅

⋅+⋅=

ϕ

ϕ

γϕ

ϑµϑ

γϕ

ϑγ

ϑµ

ikii

ikiiidid

i

i

c

ik

iidid

buPGbc

r

PGr

,

,,,

,

,,

tansincos

tancos

sin (Krey-Bishop vereinfacht)

iterativ durch Annahme von µ und Einsetzen (DIN 4084)

• Vereinfachte Gleitkreisberechnung c = cu, ϕ = 0

kleinster Sicherheitsfaktor

hK

c

dc

ukcu ⋅⋅

=γ

γ bei 0ϑϑ = und 0ψψ =

Gestrichelt: Lösung bei 0=ψ (Gleitebene)



c > 0, ϕ > 0 (Ablesung für ϕ = ϕd) mit Reibungskreisannahme

kleinster Sicherheitsfaktor mit den Koordinaten xm und hm des Kreismittelpunkts (Ablesung für ϕ = ϕd):

hK

c

dc

kc ⋅⋅

=γ

γ

Damm (c = 0, ϕ > 0, Ablesung für ϕ = ϕd) auf cu-Boden



kleinster Sicherheitsfaktor mit dem Radius rm und der Mittelpunktshöhe hm

(Ablesung für ϕ = ϕd):

hK

c

dc

ukc ⋅⋅

=γ

γ

• Gewichtete Parameter – Auflast → Zusätzliche Höhe

Bedingung: Q

Gdk

hp

γγγ

⋅⋅

≤3

entspricht zusätzlicher Böschungshöhe: G

Q

d

kp

ph

γγ

γ⋅=

• Boden aus mehreren verschiedenen Schichten:

Gerade Gleitfuge: entweder Annahme des kleineren der beiden (wenn fast gleich), oder Gewichtung

Kohäsion: 21

2211

hhhchcc

+⋅+⋅

=

• Reibungswinkel:

+−⋅+

+⋅= 2

21

21

2221

21

1 )(1

)( hhh

hhh

ϕϕϕ

Gekrümmte Gleitfuge:

Kohäsion: L

L

+++⋅+⋅

=21

2211

ψψψψ ccc

Reibungswinkel: L

L

+⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅

=2211

222111

ψψψϕψϕϕ

zzzz

• Teilsicherheitsbeiwerte (DIN 1054:2010):

Bemess.-situation BS-P BS-T BS-A Ständige Einwirkung γG 1,00 1,00 1,00 Ungünst. Veränderl. Einwirkung γQ 1,30 1,20 1,00 Scherfestigkeit Reibungsbeiwert γϕ' 1,25 1,15 1,10

GEO-3 Verlust der Gesamt-standsicherheit

Scherfestigkeit Kohäsion γc', γcu 1,25 1,15 1,10

13. Gleiten und Grundbruch SS 2011


13. Gleiten und Grundbruch

• Sicherheitsmodell: Bezugsgröße Kraft: Gleiten

d,pdd RRH +≤ Bemessungswert der Beanspruchung in Richtung der Fundamentsohle ≤ Bemessungswert des Gleitwiderstands + Erdwiderstand

Grundbruch dd RV ≤ Bemessungswert der Beanspruchung

senkrecht zur Fundamentsohle ≤ Bemessungswert des Grundbruchwiderstands

• Teilsicherheitsbeiwerte (DIN 1054:2010): Bemessungssituation BS-P BS-T BS-A Ständige Einwirkung γG 1,35 1,20 1,10 Ungünst. Veränderl. Einwirkung γQ 1,50 1,30 1,10 Erd- und Grundbruchwiderstand γR,e , γR,v 1,40 1,30 1,20

GEO-2 Versagen von Bauwerken

Gleitwiderstand γR,h 1,10 1,10 1,10 • Einwirkung und Widerstand Gleiten: Hd = HG,k · γG + HQ,k · γQ (Bemessungsbeanspruchung) Rp,d = Rp,k / γR,e (Bodenreakton an der Stirnseite des Fundamentkörpers) Rd = Rt,k / γR,h (Bemessungs-Gleitwiderstand) mit k,uk,t cAR ⋅= (Anf.-zustand cu-Fall)

bzw. kkk,t tanVR δ⋅= (Endzustand nach Konsolidierung)

bzw. kkkk,t 'cA'tanVR ⋅+⋅= ϕ (Bruchfläche im Boden) • Einwirkung und Widerstand Grundbruch: Vd = VG,k · γG + VQ,k · γQ (Bemessungsbeanspruchung) Rd = Rn,k / γR,v (Bemessungs-Grundbruchwiderstand)

γ1

γ2, ϕ, c

db

lotrechte mittigeBelastung (Resultierende) b

a a > b

Form der Grundbruchfigurabhängig von ϕ

• Grundbruchlast (lotrecht mittig belastetes Fundament): )(

reiteGründungsb

02

iefeGründungst

01

Kohäsion

0 44 344 2144 344 2143421 bbkddkccknk NbNdNcabR νγνγν ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=

d = geringste Gründungstiefe unter GOK b = Breite, a = Länge b ≤ a γ1k: Wichte Boden oberhalb Gründungssohle γ2k: Wichte Boden unterhalb Gründungssohle Nx0: Tragfähigkeitsbeiwerte:

ϕk 0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 22,5 25,0 27,5 30,0 32,5 35,0 37,5 40,0 42,5 Nc0 5,0 6,5 8,5 11,0 15,0 17,5 20,5 25,0 30,0 37,0 46,0 53,0 75,0 99,0 Nd0 1,0 1,5 2,5 4,0 6,5 8,0 10,5 14,0 18,0 25,0 33,0 46,0 64,0 92,0 Nb0 0,0 0,0 0,5 1,0 2,0 3,0 4,5 7,0 10,0 15,0 23,0 34,0 53,0 83,0

( )

°+⋅⋅= 45

2tantanexp 2

0k

kdN ϕϕπ k

dc

NNϕtan

100

−= ( ) kdb NN ϕtan100 ⋅−=



νx: Formbeiwerte: Grundrißform νc (ϕ ≠ 0) νc (ϕ = 0) νd νb Streifen 1,0 1,0 1,0 1,0 Rechteck 1 + 0,2 ⋅ b / a 1 + b / a ⋅ sin ϕk 1 – 0,3 ⋅ b / a Quadrat / Kreis 1

1

0

0

−−⋅

d

dd

NNν

1,2 1 + sin ϕk 0,7

• Grundbruchlast (schräg und außermittig belastete Fundamente):

)'(''reiteGründungsb

2

iefeGründungst

1

Kohäsion4342143421321 bkdkcknk NbNdNcabR ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅= γγ mit

Nb = Nb0 · νb · ib · λb · ξb

Nd = Nd0 · νd · id · λd · ξd

Nc = Nc0 · νc · ic · λc · ξc

Tragfähigkeitsbeiwerte für den Einfluss der Grundrissform (ν) und der Neigungen der Einwirkung (i), des Geländes (λ) und der Sohlfläche (ξ)

a', b': rechnerische Länge, bzw. Breite des Gründungskörpers a' > b'

xexx ⋅−=′ 2 a,b → x!

VMe xx = (M auf Mittelpunkt Sohle bezogen) Nx: Tragfähigkeitsbeiwerte (wie oben) νx': Formbeiwerte (mit a' und b' wie oben)

γ1

γ2, ϕ, c

bb'

a

a'eb

ea

2 ea

Resultierende aus Lastund Erdwiderstand Ep

V

H

ix: Neigungsbeiwerte: abhängig von der Lastneigung δ = arctan( Tk/Nk) gegen das Lot auf die Sohlfläche und ggf. von ω im Grundriss (Winkel von H gegen die Richtung von a’)

δ > 0°: ib = (1 - tan δ)m+1 id = (1 - tan δ)m ic = (id Nd0 - 1) / (Nd0 - 1) δ < 0°: ib = kϕδ ⋅+⋅− 028,064,0)04,01(

id = kϕδ ⋅+⋅− 04,003,0)0244,01(

ϕk> 0° und ck ≥ 0 kN/m2

ic = (id Nd0 - 1) / (Nd0 - 1)

mit

m = ''''

12

baba

++

cos2ω + ''''

12

abab

++

sin2ω

id = 1

ick

k

cAT⋅

−+= 15,05,0

ϕk= 0° und ck > 0 kN/m2

ib entfällt λx: Neigungsbeiwerte: abhängig von Geländeneigung β < ϕk (quer zum Gründungskörper,λx =1 für β =0)

λb = (1 - 0,5 tan β)6 λd = (1 - tan β)1,9

ϕk> 0° und ck ≥ 0 kN/m2, β ≤ ϕk

λc = 1

1

0

tan0349,00

−−⋅ ⋅⋅−

d

d

NeN kϕβ

λc = 1 - 0,4 tan β λd = (1 - tan β)1,9

ϕk = 0° und ck > 0 kN/m2

λb entfällt wegen Nb = Nb0 = tan(ϕk) = 0 ξx: Neigungsbeiwerte: abhängig von der Sohlflächenneigung α (positiv bei in Verschiebungsrichtung ansteigender Sohle, ξx =1 für α =0)

ϕk> 0° und ck ≥ 0 kN/m2

ξb = ξd = ξc = ke ϕα tan045,0 ⋅⋅−

ξd = 1,0 ξc = 1 - 0,0068 α

ϕk = 0° und ck > 0 kN/m2 ξb entfällt wegen Nb = Nb0 = tan(ϕk) = 0

Formelsammlung zur Vorlesung Bodenmechanik I

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