Formulierung und Überprüfung von

Hypothesen

Statistische Kennwerte

• z.B.: arithmetisches Mittel beschreibt STICHPROBE hinsichtlich der zentralen Tendenz

mehr oder weniger genaue Beschreibung

Nun aber:

• Eigenschaften einer Population werden zunächst postuliert und dann überprüft

• Überprüfung anhand einer Stichprobe

Stichprobenergebnisse

• Starke Zufallsschwankungen!

• Wie weit darf Stichprobe von der Behauptung (Hypothese) abweichen um noch mit der Theorie über einzustimmen?

zentrale Frage

Beispiel: folgende Behauptung

Die durchschnittliche Unterrichtsleistungen von Schülern, die nach einer herkömmlichen Methode unterrichtet wurden, sind schlechter als die Durchschnittsleistungen von Schülern, die nach einer neuen Methode unterrichtet wurden! (Alternativhypothese – H1)

H0

Nullhypothese:

Die neue Methode ist genauso gut oder schlechter wie die alte Methode!

kein Unterschied

(null und nichtig…)

Das Ergebnis der Untersuchung bezieht sich nur auf die Stichprobe während die Hypothesen die Verhältnisse in der Population beschreiben!

Es besteht immer die Möglichkeit, dass die Stichprobenauswahl ZUFÄLLIG nicht mit der Population übereinstimmt!

Hypothesen

• H0: μ0≥ μ1 Die Unterrichtsmethoden unterscheiden sich nicht oder die neue Methode ist sogar schlechter!

• H1: μ0< μ1 Die neue Methode ist besser als die herkömmliche Methode!

Es gilt:

Nur wenn die Realität „praktisch“ nicht mit der Nullhypothese zu erklären ist, darf sie zugunsten der neuen Alternativhypothese verworfen werden.

Fehlerarten bei statistischen Entscheidungen

Wahrer Sachverhalt:

H0

Wahrer Sachverhalt:

H1

durch einen stat. Test fällt eine Entscheidung für die Nullhypothese H0

Richtige Entscheidung

beta (Fehler 2. Art, falsch negativ)

durch einen stat.Test fällt eine Entscheidung für die alternative Hypothese H1

alpha (Fehler 1. Art, falsch positiv)

Richtige Entscheidung

SIGNIFIKANZAUSSAGENÜberprüfung der neuen Lernmethode anhand einer Stichprobe

Das Ergebnis zeigt, dass tatsächlich im Durchschnitt bessere Leistungen mit der neuen Methode erbracht wurden! (Annahme des Beispiels)

Ist das Ergebnis rein ZUFÄLLIG oder nicht?

ALLGEMEIN lautet die Frage:

Die Wahrscheinlichkeit, mit der das gefundene Ergebnis oder extremere Ergebnisse bei Gültigkeit von H0 eintreten, bezeichnet man als α-Fehlerwahrscheinlichkeit oder Irrtumswahrscheinlichkeit.

Je geringer der Wert desto unwahrscheinlicher die H0!

Bestimmung der Irrtumswahrscheinlichkeit

Die Verteilung der Mittelwerte in einer zufällig gezogenen Stichprobe (nach der alten Methode unterrichtet) hat Normalform. (nach zentralem Grenzwerttheorem…)

Bestimmung der Irrtumswahrscheinlichkeit

Der Lernerfolg der nach der neuen Methode unterrichteten Stichprobe ist durch ein „x quer“ markiert!

… wurde im Bsp. als besser angenommen

Bestimmung der Irrtumswahrscheinlichkeit

graue Fläche P besagt, mit welcher Wahrscheinlichkeit die gleiche oder bessere Durchschnittsleistung auch von der „alten“ Methode erzielt werden könnte!

Bestimmung der Irrtumswahrscheinlichkeit

graue Fläche P gibt daher die Wahrscheinlichkeit an, mit der wir uns bei der Entscheidung für H1 bei einem Ergebnis „x quer“ irren würden.....

die Irrtumswahrscheinlichkeit

Zur Rechnung - ANGABE

herkömmliche Methode - durchschnittlich erzielter Lernerfolg: μ0=40(z.B.: Anzahl der gelösten Aufgaben)Streuung der Leistung: σ=0,8

bei einer Stichprobe von Schülern (n=100), die mit der neuen Methode unterrichtet wurden, ergab sich eine durchschnittliche Leistung von x=42.

Nun ist zu überprüfen:

Mit welcher Wahrscheinlichkeit hätten 100 Schüler auch mit der herkömmlichen Methode eine durchschnittliche Leistung von 42 oder besser erzielen können!

Es besteht nämlich die Möglichkeit, dass die neue Methode nicht besser ist, sondern nur per ZUFALL eine derartige Leistung erbracht wurde.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/a/a8/Normal_density.svg

z-Transformation

Durch die z-Transformation können sämtliche Normalverteilungen standardisiert werden, d.h. auf einen Standard gebracht werden.

Wir bezeichnen deshalb die Normalverteilung mit μ=0 und σ=1 als Standardnormalverteilung.

z-Transformation

Es muss deshalb lediglich ermittelt werden, welcher z-Wert in der Standardnormalverteilung (Mittelwert (Mittelwert = 0 und Streuung = 1)= 0 und Streuung = 1) dem gefundenen x-Wert (bei uns 42) in unserer Verteilung (μ0=40 und σ=0,8)

entspricht!

z-Transformation

0

x

z

Für das Beispiel ergibt sich folgender z-Wert:

50,28,0

40420

xz

Nachschlagen in der Standardnormalverteilungstabelle:

Standardnormalverteilung

z-Wert Φ(-z) Φ(z)

Nach der Tabelle schneidet dieser z-Wert 0,62% von der Normalverteilungsfläche ab!

Ergebnis

… gefärbter Flächenanteil bzw. Wahrscheinlichkeit dafür, dass das gefundene oder ein extremeres Ergebnis auch bei der Gültigkeit der H0 hätte auftreten können beträgt somit P=0,62%

= Wahrscheinlichkeit, dass wir H0 fälschlich verwerfen = Irrtumswahrscheinlichkeit

x=42 ist nur sehr schwer mit H0 in Einklang zu bringen!

Interpretation

P=0,62%

…wenn 10000 Stichproben nach der herkömmlichen Methode unterrichtet werden, können wir nur in ca. 62 Fällen mit einer durchschnittlichen Leistung von 42 rechnen

…schlechter Beleg für H0

Interpretation

P=0,62%

…es bleibt nun dem Forscher überlassen, ob er bereit ist sich für die H1 zu entscheiden und sich dabei mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,62% irrt!

Das Signifikanzniveau

Wegen der Vergleichbarkeit und der Qualität statistisch abgesicherter Entscheidungen hat sich daher folgendes Niveau eingebürgert:

H0 ist erst dann zu verwerfen, wenn die Irrtumswahrscheinlichkeit P kleiner oder gleich 5% ist(Medizin: 1%)

Das Signifikanzniveau• Beträgt die Wahrscheinlichkeit des

gefundenen oder eines extremeren Untersuchungsergebnisses unter der Annahme, die H0 sei richtig, höchstens 5%, so wird dieses Ergebnis als signifikant bezeichnet.

• Beträgt diese Wahrscheinlichkeit höchstens 1%, so ist das Ergebnis sehr signifikant.

ACHTUNG

Eine statistische Hypothesenprüfung führt NICHT zur Wahrheit, sondern nur zu Wahrscheinlichkeiten!

… bei der Entscheidung für die H1 müssen wir immer mit einem -Fehler rechnen!

… einen -Fehler in Kauf nehmen

Einseitige und zweiseitige Tests

Eine Hypothese kann gerichtet oder ungerichtet sein!

Am Beispiel der Unterrichtsmethoden:gerichtet: die eine Methode ist besser als die

andere Methode einseitiger TestUngerichtet: beide Methoden unterscheiden

sich

Einseitiger Test

für die H0

für die H0

Einseitiger TestNun könnte man den Wert, der die 5% - Grenze markiert suchen!

Gesucht: z-Wert, der die 5% - Grenze markiert

z1- = z0,95 = 1,65 ist der Wert, der von der rechten Seite der Standardnormalverteilung genau 5% abschneidet!

z-Wert Φ(-z) Φ(z)

Nach der Tabelle schneidet dieser z-Wert 5% von der Normalverteilungsfläche ab!

xCRIT = μ0 + z1- · σ = 40 + 1,65 · 0,8 = 41,32

Interpretation

Alle Werte, die mindestens so groß sind (x≥41,32) befinden sich im Ablehnungsbereich für H0

xCRIT = μ0 + z1- · σ = 40 + 1,65 · 0,8 = 41,32

Zweiseitiger Test

Die beiden Methoden unterscheiden sich! (ungerichtete Hypothese)

x-Werte, die deutlich kleiner oder größer sind als μ0 deuten auf die Richtigkeit der H1

Zweiseitiger Test

Die Grenzen müssen nun so gewählt werden, dass an beiden Seiten der Verteilung INSGESAMT 5% abgeschnitten werden, also an beiden Seiten jeweils 2,5%.

Zweiseitiger Test

43,388,0)96,1(40

96,1

20

025,02

)2(

zx

zz

CRIT

57,418,096,140

96,1

)21(0

975,021

)21(

zx

zz

CRIT

Interpretation

x-Werte, die kleiner oder gleich 38,43 und größer oder gleich 41,57 sind führen zu einer Ablehnung der H0

Fortsetzung des Beispiels:

Nun ist ein -Fehlerniveau von 1% zu wählen:

Einseitiger Test:

Zweiseitiger Test:

z-Wert Φ(-z) Φ(z)

Einseitiger Test – Lösung:1% - Grenze

1% - Grenze

z-Wert der die 1% - Grenze markiert ist gesucht!

z1- = z0,99 = 2,33

xCRIT = μ0 + z1- · σ = 40 + 2,33 · 0,8 = 41,864

z-Wert Φ(-z) Φ(z)

Zweiseitiger Test – Lösung: 1% - Grenze

936,378,0)58,2(40

58,2

20

005,02

)2(

zx

zz

CRIT

064,428,058,240

58,2

)21(0

995,021

)21(

zx

zz

CRIT

Beispiel 1:Zwei Unterrichtsmethoden werden miteinander verglichen. herkömmliche Methode (A) - durchschnittlich erzielter Lernerfolg: μ0=12(z.B.: Anzahl der gelösten Aufgaben)Streuung der Leistung: σ=1,2

Bei einer Stichprobe von Schülern, die mit der neuen Methode (B) unterrichtet wurden, ergab sich eine durchschnittliche Leistung von x=13.

a) In wie viel Prozent der Fällen erbringen auch Schüler mit Methode A diese Leistung?b) Ist A wirklich schlechter?c) Suche jenen kritischen Wert, der mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% B als die bessere Methode identifiziert.

Beispiel 2:Frau Prof. Katschnig behauptet, dass bei ständiger Anwesenheit in der Übung im durchschnitt nur 10 Studenten die Prüfung nicht schaffen. (Streuung = 3,13)

Nun stellt sich die Frage ab wie vielen durchgefallenen Studenten die Behauptung nicht mehr haltbar ist (bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5%)!

DANKE FÜR IHRE AUFMERKSAMKEIT