Fourier Analyse von Klängen
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FOURIER ANALYSE VON KLÄNGEN Gymnasium Herkenrath Facharbeit im Grundkurs Physik 1 Schuljahr 2006 / 2007 Bei Herrn Lösch Vorgelegt von Martin Krämer 8.03.2007
Transcript of Fourier Analyse von Klängen
FOURIER ANALYSE VON KLÄNGEN
Gymnasium Herkenrath
Facharbeit im
Grundkurs Physik 1
Schuljahr 2006 / 2007
Bei Herrn Lösch
Vorgelegt von
Martin Krämer
8.03.2007
I. Einleitung ................................................................................................................... 4
II. Hauptteil ................................................................................................................. 4
1. Fourieranalyse ........................................................................................................ 4
1.1 Analyse von Klängen ...................................................................................... 5
1.1.1 Vergleich von verschiedenen Flügeln bzw. Klavieren ............................ 6
1.1.1.1 Vergleich zweier Flügel ....................................................................... 8
1.1.1.2 Vergleich zwischen Flügel und Klavier............................................... 8
1.1.1.3 Das Keyboard im Vergleich ................................................................ 9
1.1.1.4 Das Cembalo im Vergleich ................................................................ 10
1.1.2 Gitarre .................................................................................................... 11
1.1.3 Querflöte ................................................................................................ 12
1.1.4 Klarinette ............................................................................................... 14
1.1.5 Vergleich verschiedener Vokale der menschlichen Stimme ................. 16
III. Schluss ................................................................................................................. 17
IV. Anhang ................................................................................................................. 18
1. Die Fourierreihe ................................................................................................... 18
1.1 Fourierkoeffizienten...................................................................................... 18
1.1.1 a0 ............................................................................................................ 18
1.1.2 an ............................................................................................................ 19
1.1.3 bn ............................................................................................................ 20
1.2 Von den Koeffizienten zu den „Peaks“ ........................................................ 20
2. Die Versuche ........................................................................................................ 21
2.1 Versuchsausrüstung ...................................................................................... 21
2.2 Aufbau .......................................................................................................... 22
2.3 Durchführung ................................................................................................ 23
3. Stehende Wellen................................................................................................... 24
3.1 Reflexion mechanischer Wellen ................................................................... 24
3.1.1 Reflexion an einem festen Ende ............................................................ 24
3.1.2 Reflexion an einem freien Ende ............................................................ 25
3.2 Eigenschwingung und Resonanz .................................................................. 25
3.2.1 Eigenschwingung bei zwei festen Enden .............................................. 25
3.2.2 Eigenschwingung bei zwei freien Enden .............................................. 26
3.2.3 Eigenschwingung bei einem festen und einem freien Ende .................. 26
4. Untersuchte Instrumente ...................................................................................... 27
4.1 Flügel ............................................................................................................ 27
4.1.1 Grotian Steinweg ................................................................................... 27
4.1.2 Thürmer ................................................................................................. 27
4.1.3 Steinway & Sons ................................................................................... 28
4.2 Zimmermann Klavier .................................................................................... 28
4.3 Yamaha Clavinova Keyboard ....................................................................... 28
4.4 Jupiter di Medici Querflöte ........................................................................... 29
4.5 Richard Keilwert Klarinette .......................................................................... 29
4.6 Höfner Gitarre ............................................................................................... 29
4.7 Sassmann Cembalo ....................................................................................... 29
5. Messungen ........................................................................................................... 30
5.1 Grotian Steinweg Flügel ............................................................................... 31
5.2 Thürmer Flügel ............................................................................................. 37
5.3 Steinway and Sons Flügel ............................................................................. 43
5.4 Zimmermann Klavier .................................................................................... 49
5.5 Yamaha Clavinova Keyboard ....................................................................... 52
5.6 Höfner Gitarre ............................................................................................... 54
5.7 Sassmann Cembalo ....................................................................................... 56
5.8 Richard Keilwert Klarinette .......................................................................... 60
5.9 Jupiter di Medici Querflöte ........................................................................... 63
5.10 Stimmen bzw. Vokale ................................................................................... 67
5.10.1 Frau ........................................................................................................ 67
5.10.2 Mann ...................................................................................................... 70
6. Literaturverzeichnis.............................................................................................. 74
4
I. Einleitung
Schon Pythagoras fand heraus, dass zwei gleich stark gespannte Saiten, die sich nur in
der Länge unterscheiden, zusammen angeschlagen einen angenehmen Klang ergeben.
Allerdings nur, wenn die Länge der längeren Saite ein ganzzahliges Vielfaches der kür-
zeren Saite ist. Nahm er dabei eine Saite, die doppelt so lang war wie die andere, so
ergab sich ein wohlklingender Ton, ebenso wenn er die Saitenlängen im Verhältnis 2:3
wählte.
Heute bezeichnen wir die beiden entstandenen Töne im ersten Fall als Oktave und im
zweiten Fall als Quinte. Beide Kombinationen gelten allgemein als wohlklingende
Intervalle.
II. Hauptteil
1. Fourieranalyse
Pythagoras erzeugte, freilich ohne es genau zu wissen, eine stehende Welle1 mit seiner
Saite, die ihrerseits die Luft in Schwingungen versetzte und so einen Ton erzeugte. Das
„wohlklingende“ Intervall wurde von ihm deshalb als solches empfunden, weil die
Obertöne eines C auf dem Klavier mit denen der Quinte zum C, also dem G, harmonie-
ren, d.h. von der Frequenz der Obertöne (Harmonischen) aus betrachtet übereinstim-
men. Pythagoras schuf mit seinen zwei Saiten wahrscheinlich relativ reine Töne, jedoch
muss auch ihm aufgefallen sein, dass sich der Klang seiner Saiten vom Klang anderer
Saiten gleicher Länge aber unterschiedlicher Bauweise (Material, Beschaffenheit…)
unterschied.
Betrachtet man eine stehende Welle, bei der man die Frequenz ständig erhöht, so kann
man beobachten, dass die Welle nur bei bestimmten Frequenzen zu einer stehenden
Welle geformt wird. Man nennt diese Frequenzen auch Obertöne oder k-te Harmonische
der Grundfrequenz. Diese Obertöne haben eine Frequenz, die ein ganzzahliges Vielfa-
ches der Grundfrequenz ist. Sie bilden auch wieder stehende Wellen, allerdings mit
mehr Schwingungsbäuchen. Die Anzahl dieser Schwingungsbäuche steigt von Oberton
zu Oberton an.2
Der Klang eines Musikinstrumentes lässt sich jedoch nicht mit einer einfachen Schwin-
gung beschreiben. Genauer gesagt entstehen die Klänge aus verschiedenen Schwingun-
1 Siehe Anhang 3.2.1
2 Vgl. (Wikipedia - Obertöne)
5
gen, die sich überlagern und einen neuen Klang bilden. Es überlagern sich immer
Schwingungen der Grundfrequenz des Wellenträgers mit Schwingungen der Oberton-
frequenzen eines Wellenträgers. Ein stark vereinfachtes Beispiel ist ein Gummiband,
das an beiden Enden befestigt zur Schwingung angeregt werden soll:
Was passiert, wenn man ein Gummiband in die Hand nimmt und daran zupft? Das
Gummiband vollführt nach dem Zupfen scheinbar keine Bewegung, die einer einfachen
Schwingung entspricht. Die Bewegung des Gummibands kann aber durch mehrere
Schwingungen beschrieben werden, die sich überlagern. Dabei gibt es auch hier die
Schwingung der Grundfrequenz (1. Harmonische) und die Obertöne (k-te Harmoni-
sche). Aus diesen Schwingungen lässt sich die Bewegung des Gummibands rekonstruie-
ren.
1.1 Analyse von Klängen
Ebenso ist klar, dass der Klang eines Instrumentes wesentlich komplexer ist, als der
einer Stimmgabel, welcher bei guten Stimmgabeln aus einer einzigen Schwingung be-
steht. Spielt man auf einer b-Klarinette ein D und auf einer C-Querflöte ein C, so hat
man, wenn die zwei Instrumente richtig gestimmt sind, zwei Töne der gleichen Fre-
quenz, die sich aber vom Klang her unterscheiden. Der Unterschied des Klangs rührt
einzig von den Amplituden der einzelnen Harmonischen (Obertöne) her, die bei jedem
Instrument unterschiedlich sind. Die Amplituden der Harmonischen kennzeichnen den
Klang eines Instrumentes. Helmholtz3 und andere Physiker fanden heraus, welche Ober-
tonausprägungen charakteristisch für einen Klang sind:
Bei lauten hohen Obertönen wird der Klang als hell, rau, spitz, scharf, im Extremfall
sogar als schrill empfunden.
Bei hervortretenden tiefen Obertönen wird der Klang eher als dumpf, dunkel, klangvoll,
musikalisch, weich und angenehm empfunden.
Sind die geradzahligen Harmonischen lauter als die ungeraden Harmonischen, so wird
der Klang als angenehm, glatt oder zart empfunden.
Sind die ungeradzahligen Harmonischen lauter, so wird der Klang als aggressiv, unele-
gant, hohl und näselnd empfunden.4
Welche Obertöne mit welcher Amplitude in einem Klang enthalten sind, kann man mit
3 Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz (* 31. August 1821 in Potsdam; † 8. September 1894 in
Charlottenburg) deutscher Physiologe und Physiker 4Vgl. (Stolz & Plüss, 2006)
6
Hilfe der Fourieranalyse ermitteln. Jean Baptiste Fourier5 entwickelte eine Formel
6, mit
deren Hilfe man, ausgehend von der Grundfrequenz, die Amplitude der k-ten Harmoni-
schen ermitteln kann.
Die auf diese Weise errechneten Amplituden werden nun gegen die Frequenzen aufget-
ragen. Man erhält ein Klangspektrum, welches von Instrument zu Instrument verschie-
den ist und den Klang eines Instrumentes beschreiben kann:
Abb. Beispiel eines Klangspektrums
1.1.1 Vergleich von verschiedenen Flügeln bzw. Klavieren
Vergleicht man den Klang zweier Flügel, auch wenn sie vom selben Hersteller sind, so
fällt auf, dass jeder Flügel anders klingt. Dies lässt sich auch weiter ins Detail übertra-
gen. Bekanntlich haben die höheren Töne eines Flügels oder auch Klaviers drei Saiten.
Diese drei Saiten klingen niemals gleich. Dadurch entsteht eine akustische Schwebung,
d. h. es erklingen Töne mit nur gering unterschiedlicher Frequenz. Dies ist aber bei ei-
nem Klavier oder Flügel gewollt, da der Klang deshalb an „Wärme“ dazu gewinnt.7
Als besonders gut klingend werden dabei Flügel mit vielen aber schwach ausgeprägten
Harmonischen empfunden.8 Über diese Tatsache lässt sich vielleicht auch die Qualität
und der Wert eines Flügels oder auch Klaviers festmachen.
Betrachtet man einen einzelnen Ton, so fällt auch auf, dass sich die Frequenzen der
Harmonischen nicht genau als ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz erweisen, son-
dern geringfügig abweichen. Der dadurch entstehende Klang ist ebenfalls charakteris-
5 Jean Baptiste Joseph Fourier (* 21. März 1768 bei Auxerre; † 16. Mai 1830 in Paris) Physiker
6 Siehe Anhang 1
7 Vgl. (Gerdan, 2004)
8 Vgl. (Fiedlschuster, 2006) S. 45
U
V
0
1
2
3
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
7
tisch für ein Klavier bzw. einen Flügel.9 Grund für diesen Effekt ist die Trägheit der
Saiten. Die Wellengeschwindigkeit steigt mit der Frequenz und somit ist die resultie-
rende Frequenz selber auch größer, als man sie als ganzzahliges Vielfaches erwarten
würde.10
Ein Flügel bzw. ein Klavier verändert ebenfalls kurz nach dem Anschlagen die Klang-
farbe (Siehe Abb. 2). Hier ist das Klangspektrum direkt nach dem Anschlagen schwarz
und nach dem Einschwingen rot dargestellt. In diesem Fall liegt die Grundfrequenz bei
rund 260 Hz. Der hörbar spitze Klang beim Anschlagen hat sich also in einen wärmeren
weicheren Klang verwandelt. Dies kann man gut an der dritten Harmonischen sehen,
deren Amplitude nach dem Einschwingen nahezu null ist. Darüber hinaus ist die Ampli-
tude der Grundfrequenz stark zurückgegangen und die Obertöne treten mehr hervor.
Auch kann man erkennen, dass die Lautstärke des Tons mit der Zeit nachlässt, da ihm
keine Energie mehr zugeführt wird.
Abb. Klangspektrum eines Flügels nach dem Anschlagen (schwarz) und Einschwingen (rot)
9 Vgl. (Wikipedia - Obertöne)
10 Vgl. (Bader, 2000) S. 151
U
V
0
1
2
3
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
8
1.1.1.1 Vergleich zweier Flügel
Abb. Vergleich der Klangspektren zweier Flügel, Grotian Steinweg (schwarz) Steinway & Sons (rot)
Bei zumindest theoretisch der selben Grundfrequenz, da der selbe Ton gespielt wurde,
unterscheiden sich die Tonspektren der beiden Flügel sehr stark voneinander. In diesem
Fall ist der Flügel von Steinway & Sons11
rot und der Grotian Steinweg12
Flügel
schwarz dargestellt. Im Frequenzbereich von 100 Hz bis 200 Hz und von 250 Hz bis
350 Hz ist der Unterschied bei dieser Messung gut sichtbar. Man kann erkennen, dass
der Flügel von Grotian Steinweg in diesen Intervallen stärker ausgeprägte Obertöne hat.
Daraus kann man schlussfolgern, dass Steinway & Sons den vermutlich wohlklingende-
ren Flügel produziert hat, da er die niedrigeren Obertöne nicht so stark hervorhebt. So
gibt es von Flügel zu Flügel „Qualitätsunterschiede“, die man nicht nur als geübter In-
strumentenbauer hören, sondern auch auf diese Weise „sichtbar“ machen kann.
1.1.1.2 Vergleich zwischen Flügel und Klavier
Abb. Vergleich der Klangspektren von einem Flügel (rot) und einem Klavier (schwarz)
11
Siehe Anhang 3.1.3 12
Siehe Anhang 3.1.1
U
V
0
0,5
1
f / Hz
0 1000 2000
U
V
0
0,5
1
1,5
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
9
Ein Klavier ist anders aufgebaut, als ein Flügel. Daher sollte es auch einen etwas ande-
ren Klang haben.
Der Thürmer13
Flügel (hier rot dargestellt) hat im Gegensatz zum Klavier14
wesentlich
geringer ausgeprägte Harmonische, hebt dafür aber die Grundfrequenz wesentlich deut-
licher hervor. Beim Klavier treten also die hohen Harmonischen mehr hervor, während
der Klang des Flügels von der Grundfrequenz geprägt wird. Bei der Messung war der
Unterschied auch wahrzunehmen. So wurde der Klang des Flügels im Vergleich zu dem
des Klaviers als „sauberer“ empfunden. Aufgrund der Bauweise eines Klaviers, kann
sich ein Klang in seinem Inneren nicht so entwickeln, wie bei einem offenen Flügel, bei
dem die Saite fast vollständig frei liegt.
1.1.1.3 Das Keyboard im Vergleich
Abb. Klangspektrum des C4 eines Keyboards nach dem Anschlagen
Das Klangspektrum des Keyboards15
ähnelt mehr dem eines Flügels als dem eines Kla-
viers. Hervorgehoben wird auch hier einer der unteren Obertöne, während alle anderen
im Vergleich eine fast verschwindend geringe Amplitude haben. Natürlich kann man
bei modernen Keyboards zwischen Flügel und Klavier wählen. Allerdings ist es nahezu
unmöglich elektronisch den Klang eines Flügels bzw. Klavier nachzubilden. Dies wird
auch beim Anschlagen des Tons deutlich.
Das Bild der Amplituden der Harmonischen beim Anschlagen des Keyboards unter-
scheidet sich wesentlich von dem eines Flügels16
. Noch dazu fällt auf, dass sehr viele
„Peaks17
“ mit sehr geringer Amplitude vorhanden sind. Dies lässt auf das Rauschen des
Lautsprechers des Keyboards schließen. Der Klang ist also „unsauber“. Das Einschwin-
13
Siehe Anhang 3.1.2 14
Siehe Anhang 3.2 15
Siehe Anhang 3.3 16
Siehe Abb. 2 17
Als Peak wird die Spitze der einzelnen „Säulen“ bezeichnet; siehe auch Anhang 1.2
U
V
0
0,5
1
1,5
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
10
gen mit einem Keyboard zu simulieren ist technisch sehr schwer, da dies darüber hinaus
von äußeren Faktoren abhängig ist. Außerdem produziert ein Keyboard wegen der
Lautsprecher wesentlich mehr Nebengeräusche, die den Klang zusätzlich „verwischen“.
Abb. Klangspektrum des C4 eines Keyboards beim Anschlagen
1.1.1.4 Das Cembalo im Vergleich
Der Vorgänger des Flügels bzw. Klaviers ist das Cembalo18
. Hauptsächlich wurde das
Cembalo im Barock19
eingesetzt. Der Klang des Cembalos unterscheidet sich von dem
des Flügels vor allem in der Qualität. Das Cembalo hat einen wesentlich unsaubereren
Klang als ein Flügel.
Beim Cembalo treten die Harmonischen immer in Gruppen auf. So ist gut zu erkennen,
dass der Klang des Cembalos durch viele unterschiedlich stark ausgeprägte Obertöne
gekennzeichnet ist. Nun ist auch verständlich, woher der Klang eines Cembalos kommt,
der sich gänzlich von dem eines Flügels unterscheidet. Die zahlreichen Obertöne sorgen
zwar dafür, dass der Klang „voll“ wird, gleichzeitig machen sie ihn aber auch unsau-
ber20
. Auch fällt auf, dass die Obertöne wiederum keine ganzzahligen Vielfachen der
Grundfrequenz sind, sondern immer weiter von diesem Wert abweichen. Bei 3602 Hz
weicht der errechnete Wert der 54. Harmonischen schon um 38 Hz ab. Dies kann nicht
nur durch Messungenauigkeit erklärt werden.
18
Siehe Anhang 3.7 19
Gemeint ist hier vor Allem der musikalische Frühbarock von 1600-1650 20
Anmerkung: subjektive Wahrnehmung
U
V
0
0,5
1
1,5
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
11
Abb. Klangspektrum des C1 eines Cembalos
Betrachtet man ein Klangspektrum eines Cembalos kurz nach dem Anschlagen und ver-
gleicht es mit dem oberen, so fällt auf, dass nur vereinzelte Obertöne stark ausgeprägt
sind, die Amplituden der anderen Harmonischen aber sehr gering sind. Das Cembalo
klingt zunächst, wie Klavier und Flügel auch, anders und schwingt erst nach einiger Zeit
mit dem für ein Cembalo typischen Klang.
Abb. Klangspektrum des C1 eines Cembalos beim Anschlagen
1.1.2 Gitarre
Bei einer Gitarre21
dient der Korpus als Resonanzkörper. Er soll bei möglichst vielen
Frequenzen eine möglichst große Resonanz ermöglichen. Die Schwingung der Saite
wird über einen Steg auf die Resonanzdecke und von dort aus auf die Luft übertragen.
Der Resonanzkörper der Gitarre verstärkt die Schallwellen.
21
Siehe Anhang 3.6
U
V
0
0,1
0,2
0,3
0,4
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
U
V
0
0,5
1
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
12
Abb. Klangspektrum der E-Saite einer Gitarre
Die wenigen vorhandenen hohen Harmonischen sind nur sehr schwach ausgeprägt und
die niedrigen eher stärker. Folglich erzeugt eine Akustikgitarre einen relativ sauberen,
weichen und angenehmen Klang22
. Im Gegensatz zum Klavier bzw. Flügel sind die
Obertöne ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz.
Beim Anschlagen weist der Klang einer Gitarrensaite noch wesentlich stärker ausgep-
rägte Obertöne auf, als einige Zeit später nach dem Einschwingen. Dieses Phänomen ist
auch hörbar. Der Klang wird „sauberer“.
Abb. Klangspektrum der E-Saite einer Gitarre beim Zupfen
1.1.3 Querflöte
Eine Querflöte kann als Wellenträger mit zwei freien Enden angesehen werden, da ihr
Mundstück im Gegensatz zu dem einer Klarinette ein freies Ende darstellt. Die Luftsäu-
le im Flötenrohr wird durch das Überblasen am Mundstück in Eigenschwingung ver-
setzt. Diese Eigenfrequenz wirkt wieder auf den erzeugten Luftstrom am Mundstück der
Querflöte zurück. Dadurch entsteht dort ein periodischer Über- bzw. Unterdruck, wel-
cher die Eigenschwingung der Querflöte in kurzer Zeit verstärkt. Dies geschieht so lan-
22
Siehe 1.1
U
V
0
0,5
1
f / Hz
0 1000 2000
U
V
0
0,5
1
1,5
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
13
ge, bis sich ein Gleichgewicht zwischen den beiden Energien gebildet hat.23
Jetzt hat
sich der Flötenton gebildet. Bei dieser Messung geschieht dies in etwa 100ms.
Abb. Schallschwingungen des C2 einer Querflöte beim Anblasen
Beim Spielen legt der Spieler die Grundfrequenz durch das Schließen bzw. Öffnen der
einzelnen Löcher fest.
„Eine gut angeblasene Querflöte hat schwach ausgeprägte Obertöne.“24
Diese Behauptung lässt sich leicht mit der Messung bestätigen. Beim Anblasen dieser
Querflöte liegt eine Grundfrequenz von 542 Hz vor. Die Obertöne, in diesem Fall die 1.
bis 5. Harmonische, sind nahezu ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz. Man kann
deutlich erkennen, dass sie wesentlich schwächer ausgeprägt sind.
Abb. Klangspektrum einer Querflöte
Nach kurzer Zeit, etwa 100 ms, haben sich die Amplituden der Obertöne geändert. An-
scheinend werden bei der Querflöte die ungeraden Harmonischen betont. Wenn man
dann die Theorie darauf anwendet, dass Klänge mit ungeraden Harmonischen besonders
aggressiv und unelegant sowie hohl und näselnd klingen, so lässt sich dies meiner Mei-
23
Vergl. (Stolz & Plüss, 2006) 24
Zitat (Bader, 2000) S.152
U
V
0
1
2
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
14
nung nach zumindest auf besonders hohe Flötentöne beziehen. Hinzu kommt, dass der
Klang einer Querflöte von ihrem Material abhängig sein muss, da diese Messungen
theoretisch nicht dem Vergleich mit einer Holz-Querflöte standhalten.
Diese hingegen betont die geraden Harmonischen. Dadurch ergibt sich für sie ein glatter
und zarter Klang. Hinzu kommt noch, dass die Obertöne nicht sehr stark ausgeprägt
sind, was den Klang zusätzlich noch „weich“ erklingen lässt.25
1.1.4 Klarinette
Besonders charakteristisch für den Klang eines Blasinstrumentes ist auch die Ausprä-
gung26
der einzelnen Obertöne beim Anblasen. Eine Klarinette hat auf Grund ihrer
Bauweise ein festes und ein freies Ende. Das Mundstück der Klarinette gilt dabei als
festes Ende, da das Loch, welches es freilässt, durch das „Blättchen“ derartig einge-
schränkt ist, dass Luft zwar in der einen Richtung hinein, aber keinesfalls wieder hinaus
kann. Folglich kann die Klarinette auch mit kürzerem Wellenträger wesentlich tiefere
Klänge erzeugen als die Querflöte bei gleicher Rohrlänge.
Abb. Klangspektrum einer Klarinette nach dem Anblasen
Der Klang einer Klarinette unterscheidet sich wesentlich von dem einer Querflöte. Dass
dies so sein muss, lässt sich wiederum auf die Bedingungen für das Entstehen einer ste-
henden Welle in ihrem Inneren zurückführen. Das Klangspektrum einer Klarinette ver-
rät außerdem auch diese Randbedingungen. Die Klarinette betont die ungeradzahligen
Harmonischen, während die geradzahligen Harmonischen auch wegen ihrer zylindri-
schen Bohrung nicht so stark ausgeprägt sind.27
Dies zeigt sich besonders beim Anbla-
sen. Auch zeigt sich beim Anblasen, dass bei einer Klarinette schon nach 80 ms ein
Klang entstanden ist. Dies muss aber nicht unbedingt mit der Beschaffenheit der Klari-
nette im Vergleich zur Querflöte zu tun haben, sondern kann ebenso gut vom Spieler
25
Vergl. (Stolz & Plüss, 2006) 26
Bzw. Amplitude 27
Vergl. (Wikipedia - Klarinette)
U
V
0
1
2
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
15
abhängen.
Auch bei dieser Messung kann man erkennen, dass oben Genanntes zutrifft. In diesem
Fall wurde ein D2 auf einer Klarinette angespielt.
Die Grundfrequenz liegt bei 528 Hz. Man kann gut erkennen, dass die ungeraden Ober-
töne deutlich betont werden und somit den Klang der Klarinette charakterisieren. In
diesem Fall liegen die wichtigen Harmonischen bei rund 1580 Hz (3te Harmonische)
und 2636 Hz (5te Harmonische). Die geringen Abweichungen von jeweils 4 Hz sind
wiederum charakteristisch für den Klang der Klarinette.
Betrachtet man das Tonspektrum einer Klarinette einige Zeit nach dem Anspielen, so
kann man genau wie bei der Flöte erkennen, dass sich die Amplituden der Obertöne
geändert haben. Jetzt trifft die Theorie, dass eine Klarinette immer die ungeraden Har-
monischen betont, nur noch bedingt zu. Der Klang der Klarinette hat sich also der Theo-
rie nach geändert. Nun scheinen eher die geraden Harmonischen betont zu sein als die
ungeraden. Der Theorie nach müsste sich der Klang nun also hörbar geändert haben:
Beim Anblasen waren die betonten ungeraden Harmonischen Kriterien für den eher
rauen Klang der Klarinette28
. Darüber hinaus sollte der Klang als aggressiv, unelegant
und näselnd empfunden werden.
Abb. Klangspektrum einer Klarinette
Nach einiger Zeit müsste man nun einen eher weichen Klang hören, der glatter und
harmonischer erklingt. 29
Tatsächlich aber kann man kaum einen Unterschied erkennen. Aber auch diese Resulta-
te sind stark vom „Können“ des Klarinettisten abhängig.
Der Unterschied zwischen dem Klang einer Querflöte und einer Klarinette lässt sich
28
Vergl. (Bader, 2000) S. 152 29
Vergl. (Stolz & Plüss, 2006)
U
V
0
1
2
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
16
aber auch am Klangspektrum der beiden Instrumente ablesen. Als Beispiel sind hier das
D1 einer Klarinette und das C1 einer Querflöte übereinander dargestellt. Dabei ist das
C1 rot gefärbt. Die beiden Töne wurden so gewählt, da sie bei richtig gestimmten In-
strumenten die gleiche Frequenz haben müssten, weil die Klarinette eine b-Klarinette ist
und die Querflöte eine C-Querflöte. Das Stimmen ist theoretisch mit Hilfe der Fourier
Analyse möglich.
Abb. Klangspektren einer Klarinette (schwarz) und einer Querflöte (rot)
1.1.5 Vergleich verschiedener Vokale der menschlichen Stimme
Der Mensch kann der Luft in seinem Mund beim Sprechen durch die Verformung des
Mundes bestimmte Eigenschwingungsformen und Frequenzen aufzwingen. Beim Spre-
chen werden dann einige dieser Formen durch die Stimmbänder zum Schwingen ge-
bracht. Die Luft schwingt nun mit der durch den Mund vorgegebenen Eigenfrequenz.
Durch die unterschiedliche Verformung des Mundes kann der Mensch die Amplituden
der harmonischen Oberschwingungen regeln. Durch diese gesteuerten Amplituden un-
terscheiden sich die Vokale. Sie sind verantwortlich für den Unterschied zwischen „a-a-
a“ und „e-e-e“.
Ein Vokal klingt immer gleich, egal in welcher Tonhöhe man ihn ausspricht. Da wir
aber durch die Form unseres Mundes immer nur bestimmte Frequenzen hervorheben
und sich diese Frequenzen auch beim Sprechen mit höherer Stimme nicht ändern, muss
sich die Qualität des Klanges ändern. Das Verhältnis der harmonischen Oberschwin-
gungen zur Grundschwingung ändert sich folglich. Daraus folgt auch, dass wir Vokale
ab einer bestimmten Grundfrequenz nicht mehr unterscheiden können. Bei einem
Opernbesuch kann man dies sehr gut beobachten. Singt die Solistin sehr hoch, können
wir den Text nicht mehr verstehen.
Darüberhinaus kann unser Verfahren, Sprache zu erkennen, also zu hören, folglich nicht
U
V
0
1
2
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
17
auf bestimmten, spezifischen, harmonischen Beziehungen beruhen.30
Beispiel:
Abb. Klangspektren der Vokale A (schwarz) und E (rot)
Bei dieser Messung wurde die FFT-Analyse auf eine männliche Stimme angewandt.
Schwarz ist der Vokal A und rot der Vokal E dargestellt. Die Grundfrequenz liegt bei
etwa 100 Hz. Man kann gut erkennen, dass sich die Vokale nur an der Amplitude ihrer
Obertöne unterscheiden.
III. Schluss
Die Fourieranalyse wird nicht nur in der Physik verwendet, sondern auch in der Kryp-
tographie und in der Signalverbreitung. Beispielsweise ermöglicht die Fourieranalyse
die Übertragung eines Fernsehbildes.
Gezeigt wurde in dieser Facharbeit, dass sich jeder Klang durch die Überlagerung von
einzelnen Schwingungen, die von einer Grundfrequenz abhängig sind, darstellen lässt.
Warum zwei Instrumente völlig unterschiedlich klingen, obwohl sie den „gleichen“ Ton
spielen, lässt sich ebenfalls mit der Fourieranalyse erklären. Allerdings kann ein Klang-
spektrum nur als charakteristisch für einen statischen, sich nicht verändernden Klang,
gelten. Dass statische Klänge in der Realität sehr unrealistisch sind, ist ebenfalls ein-
leuchtend. Darüber hinaus ist gezeigt worden, wie sich Klänge durch ihre Obertöne be-
schreiben lassen und was den Klang eines Instrumentes ausmacht, d. h. welche Obertö-
ne ihn prägen.
30
Vgl. (Feynman, Leighton, & Sands, 1973)
U
V
0
0,1
0,2
0,3
0,4
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
18
IV. Anhang
1. Die Fourierreihe
Dieser Teil der Facharbeit soll erklären, wie die Klangspektren entstehen:
Allgemein lässt sich die Winkelfrequenz mit beschreiben. Die Harmonischen,
sprich die Obertöne, können dann als 2ω, 3ω, 4ω… dargestellt werden. Jede Schwin-
gung kann als Summe von zeitabhängigen, überlagerten Sinus- und Kosinus-
Schwingungen dargestellt werden. Also kann jede Funktion f(t), die zusätzlich perio-
disch zur Periode T verläuft, mathematisch auf folgende Weise beschrieben werden:
3.1
3.2
Dabei sind an und bn numerische Konstanten, die festlegen, zu welchem Anteil die je-
weilige Harmonische in der Schwingung, die untersucht wird, enthalten ist. Die Kons-
tante a0 ist für die Verschiebung des Nullniveaus verantwortlich.
1.1 Fourierkoeffizienten
1.1.1 a0
a0 lässt sich durch Integrieren von f(t) (3.2) über einem periodischen Intervall [0, T]
bestimmen:
3.3
Betrachtet man als Beispiel eine einfache Sinus- und eine einfache Kosinus-Funktion,
so wird klar, dass die Integrale und null sind.
Eine einfache Kosinus-Funktion zur Erklärung:
Das Integral der grauen Flächen dieser Kosinus-Funktion ist dem Betrag nach gleich
dem der gelben. Auf Grund der unterschiedlichen Vorzeichen heben sich die Integrale
also auf.
19
Abb. Einfache Cosinus-Funktion
Daraus folgt:
3.4.1
3.4.2
1.1.2 an
Fourier fand heraus, dass man diese Koeffizienten erhält, indem man die Gleichung
(3.2) mit einer harmonischen Funktion (cos mωt, m є N) multipliziert.
3.5
3.6
Das zweite Integral ergibt null, da es über eine Periode berechnet wird. Ebenso ist
das Integral
20
3.7
Übrig bleiben also nur:
3.8
Da
3.9
gilt, verbleibt aus der Summe folglich nur noch das Glied, dessen n = m ist. Daraus
ergibt sich für an:
3.10
Mit dieser Formel lässt sich die Amplitude an der n-ten Harmonischen bestimmen.
1.1.3 bn
Um diesen Koeffizienten zu bekommen, muss man mit der Gleichung 3.2 genauso
verfahren wie bei an. Nur verwendet man statt cos mωt den sin mωt. Es ergibt sich
für bn:
3.11
.
1.2 Von den Koeffizienten zu den „Peaks“
Als Peaks werden die Erhebungen über den Frequenzen bezeichnet (rot markiert):
U
V
0
1
2
3
4
5
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
21
Beide Koeffizienten an und bn bilden nun den Koeffizienten cn, der die eigentliche Amp-
litude des Peaks n der Frequenz f ist.
Dabei gilt:
Daraus folgt:
Abb. Koeffizient c
2. Die Versuche
2.1 Versuchsausrüstung
Universalmikrofon Leybold Didactic
Batteriebetriebenes Sondenmikrofon für alle akustischen Versuche im Tonfrequenz-
und Ultraschallbereich
22
Sensor Cassy Leybold Didactic
Kaskadierbares Interface zur Messdatenaufnahme; zum Anschluss an die serielle
Schnittstelle RS232 eines Computers, an ein weiteres CASSY-Modul oder an das CAS-
SY-Display
Cassy Lab Leybold Didactic
Zum Aufzeichnen des Klangspektrums und für die Auswertung mittels FFT wurde in
diesem Fall die Software Cassy Lab genommen.
2.2 Aufbau
Die Versuche wurden mit der oben angegeben Software und Hardware durchgeführt.
Um das Sensor Cassy, welches lediglich über eine serielle Schnittstelle verfügt, an den
Computer anzuschließen war ein weiterer Adapter nötig, der den Anschluss an einer
USB Schnittstelle ermöglicht.
Das Universal Mikrofon wird über zwei Kabel mit dem Cassy verbunden, welches sei-
nerseits über einen seriellen Anschluss mit dem Computer verbunden ist. Auf diesem
Computer muss die Software Cassy Lab installiert sein. In Cassy Lab muss dann noch
23
der Anschluss auf die richtige COM-Schnittstelle eingestellt werden, an der das Sensor-
Cassy angeschlossen ist. Danach kann man in Cassy Lab den Messmodus „Automati-
sche Messung“ auswählen. Bei diesen Messungen wurden folgende Einstellungen ge-
wählt, um möglichst genaue Werte zu erhalten:
Es wurde eine automatische Messung im Intervall von 100 µs 4000-mal hintereinander
durchgeführt. So ergibt sich eine Messzeit von insgesamt 400 ms. Diese Einstellungen
liegen allen Messungen zu Grunde, jedoch sind die Diagramme vergrößert, sodass nur
noch eine Messzeit von 50 ms sichtbar ist.
Da das Universal-Mikrofon einen integrierten Messverstärker besitzt, ist es wichtig,
dass man vor allem bei der Aufnahme von Musikinstrumenten genug Abstand nimmt
und den Messbereich so einstellt, dass die Amplitude nicht über den vorgesehenen
Messbereich hinaus gehen kann.
Außerdem muss sich das Mikrofon auf einer möglichst „isolierten“ Fläche befinden, um
die Ergebnisse nicht zu verfälschen. Wegen der stark eingeschränkten Möglichkeiten an
den verschiedenen Messorten, ließen sich keine Bedingungen schaffen, wie sie in einem
richtigen Labor herrschen, daher musste als Unterlage für das Mikrofon oft eine Woll-
decke reichen.
2.3 Durchführung
Um die Versuche zu starten ist jetzt nur noch ein „Klick“ notwendig. Allerdings reichte
es bei den meisten Messungen nicht aus, sie nur einmal durchzuführen. Um ein Gefühl
dafür zu bekommen, wohin die Messung ungefähr gehen müsste, wurden alle Messun-
gen ca. 5-mal durchgeführt, um anschließend das „beste“ Ergebnis auswählen zu kön-
nen.
24
3. Stehende Wellen
Das Prinzip einer stehenden Welle lässt sich am einfachsten an Hand zweier
fortschreitender Wellen, deren Amplitude und Frequenz f gleich ist, die aber
entgegengesetzt laufen, erklären. Wenn man diesen Vorgang an einem Wellenmodell
beobachtet, stellt man fest, dass sich aus den zwei Wellen eine einzige Welle gebildet
hat, die nicht weiter fortschreitend. Die Schwingung der einzelnen Wellen lässt sich als
Zeigermodell darstellen, welches die Elongation der einzelnen Wellen zu jeder Zeit t
darstellt (siehe Abb. 19). Bei der Überlagerung von zwei Wellen, entsteht zu jeder Zeit t
ein Amplitudenparallelogramm, welches die resultierende Amplitude zeigt. Diese steht
stets senkrecht zur t-Achse. Da die Schwingungen die gleiche Amplitude und die
gleiche Frequenz haben, entstehen darüber hinaus Schwingungsknoten Ki – hier ist die
Elongation immer 0 – und Schwingungsbäuche B, die zwischen maximaler und
minimaler Elongation wechseln, also „durchschwingen“. Der Abstand zwischen zwei
Schwingungsknoten beträgt eine halbe Wellenlänge λ/2, alle Teilchen zwischen zwei
Schwingungsknoten schwingen phasengleich.
Abb. Die stehende Welle im Zeigermodell
3.1 Reflexion mechanischer Wellen
Mechanische Wellen laufen ohne feste Begrenzung immer weiter fort. Was passiert
jedoch, wenn der Wellenträger zu Ende ist, oder die Welle auf eine Wand trifft?
Es entsteht in beiden Fälle eine stehende Welle.
3.1.1 Reflexion an einem festen Ende
Bei der Reflexion einer fortschreitenden Welle an einem festen Ende, zum Beispiel ei-
ner Wand, werden Elongation und Schnelle umgekehrt.
Nimmt man zum Beispiel ein Seil, das an einer Wand fixiert ist, und lässt man eine
25
Welle durch dieses Seil laufen, so bildet sich am Ankerpunkt des Seils ein Knoten. Die
Wand ist dann ein stiller Erreger der gleichen Frequenz. Da das Seil dort unbeweglich
ist, ist die Elongation an diesem Punkt K null. Wandert ein Wellental auf die Wand zu,
so wird es von der Wand nach oben gezwungen. Auf Grund seiner Trägheit, schwingt
dieses Tal aber über seine Nullposition hinaus und wird so zu einem Berg.
Daraus ergibt sich eine Verschiebung der Phase um π.
3.1.2 Reflexion an einem freien Ende
Bei der Reflexion einer fortschreitenden Welle an einem freien Ende, zum Beispiel,
wenn der Wellenträger endet, werden Elongation und Schnelle reflektiert. Dabei erfah-
ren sie keinen Phasensprung.
Ein Teilchen am Ende eines freischwingenden Wellenträgers schwingt auf Grund seiner
Trägheit und, da es kein weiteres Teilchen mitreißen muss, über seine Ruhelage hinaus
und ist somit der Beginn einer neuen fortschreitenden Welle in entgegengesetzte Rich-
tung.
3.2 Eigenschwingung und Resonanz
3.2.1 Eigenschwingung bei zwei festen Enden
Jedem Wellenträger lässt sich jede Frequenz aufprägen, so lange er nur ein freies Ende
besitzt. Sind nun jedoch beide Enden befestigt, so ergibt sich etwas Neues. Der Wellen-
träger schwingt nur bei bestimmten Frequenzen, sonst bewegt er sich scheinbar sinnlos.
Dieser Vorgang lässt sich am besten mit einem Gummiband erklären, dass zu einer
Schwingung angeregt wird:
Normalerweise müsste durch Reflexion eine stehende Welle entstehen. Dies ist aller-
dings nicht der Fall, da das letzte Teilchen der Welle an der Wand fixiert ist und nicht
weiter schwingen kann. Wäre dieses Ende frei, so würde bei jeder beliebigen Erreger-
frequenz f eine stehende Welle entstehen. Bei einem festen Ende ist dies allerdings nur
möglich, wenn ein Schwingungsknoten genau auf die Verbindung von Wellenträger und
Wand fällt. Die dabei vorhandene Erregerfrequenz wird fo genannt. Bei dieser Frequenz
entsteht eine stehende Welle mit zwei Schwingungsknoten am Anfang und am Ende des
Trägers und einem Schwingungsbauch bzw. Tal. Eine stehende Welle, in diesem Fall
auch Eigenschwingung genannt, kann folglich nur entstehen, wenn die Länge des Trä-
ger l ein Vielfaches k der halben Wellenlänge λ ist ( ). Daraus ergibt sich, dass
diese Eigenschwingungen auch eigene Frequenzen haben müssen:
26
Diese Eigenfrequenzen der Grundschwingung f0, f1… nennt man auch k-te Harmonische
bzw. alle zusammen Oberschwingungen.
Regt man einen Wellenträger mit einer Eigenfrequenz an, so tritt Resonanz auf, d. h. die
Amplitude des Trägers, kann die des Erregers überschreiten. Bei einem Gummiband
führt dies theoretisch zum Zerreißen des Gummibandes.
3.2.2 Eigenschwingung bei zwei freien Enden
Bei zwei freien Enden entsteht, wie oben erklärt, an jedem Ende jeweils ein Schwin-
gungsbauch, an dessen Stelle die Elongation maximal ist. Eine zweimal reflektierte
Welle ist folglich wieder phasengleich mit der Ausgangswelle, nur dann kann eine ste-
hende Welle entstehen und Resonanz hervorgerufen werden. Daher gilt hier die gleiche
Formel wie bei zwei festen Enden.
Abb. Eigenschwingung bei zwei freien Enden
3.2.3 Eigenschwingung bei einem festen und einem freien Ende
Da die Reflexion einer Welle an einem festen Ende immer mit Phasensprung erfolgt,
und an einem freien ohne, ist es so, als wäre die Luftsäule um λ/4 verkürzt worden.
Daraus ergibt sich eine neue Bedingung für die Eigenschwingungen:
Abb. Eigenschwingung bei einem festen Ende
27
4. Untersuchte Instrumente
4.1 Flügel
4.1.1 Grotian Steinweg
Aus Braunschweig
Sankt-Angela Gymnasium Wipperfürth
Abbildung Grotian Steinweg
4.1.2 Thürmer
Aus Bochum
Sankt-Angela Gymnasium Wipperfürth
28
4.1.3 Steinway & Sons
Aus New York
Sankt-Angela Gymnasium Wipperfürth
4.2 Zimmermann Klavier
Aus Strausberg
4.3 Yamaha Clavinova Keyboard
Sankt-Angela Gymnasium Wipperfürth
29
4.4 Jupiter di Medici Querflöte
Krämer
4.5 Richard Keilwert Klarinette
Krämer
4.6 Höfner Gitarre
Krämer
4.7 Sassmann Cembalo
Aus Hückeswagen
Sankt-Angela Gymnasium Wipperfürth
30
5. Messungen
Erläuterung:
Erstes Diagramm:
a1
Zweites Diagramm (Klangspektrum):
Zur Auswahl der Messungen:
Hier befinden sich wesentlich mehr Messungen, als in der Arbeit verwendet wurden.
Aus diesen Messungen wurde dann die „Beste“ ausgewählt. Alle Messungen wurden
selbstständig mit oben angegebenen Instrumenten durchgeführt.
UA1V
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
t / ms
0 10 20 30 40 50
U
V
0
1
2
3
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
Jeweiliger Ton
y-Achse: Messsignal
y-Achse: Amplitude
x-Achse: Zeit t (meistens 50 ms)
x-Achse: Frequenz in Hz
31
5.1 Grotian Steinweg Flügel
C1
C2
UA1V
-5
0
5
t / ms
0 10 20 30 40 50
U
V
0
1
2
f / Hz
0 1000 2000
UA1V
-5
0
5
t / ms
0 10 20 30 40 50
32
C3
U
V
0
1
2
f / Hz
0 1000 2000
UA1V
-5
0
5
t / ms
0 10 20 30 40 50
U
V
0
1
2
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
33
C4
C5
UA1V
-5
0
5
t / ms
0 10 20 30 40 50
U
V
0
1
2
3
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
UA1V
-5
0
5
t / ms
0 10 20 30 40 50
34
C6
U
V
0
1
2
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
UA1V
-5
0
5
t / ms
0 10 20 30 40 50
U
V
0
0,5
1
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
35
C7
C4 Einschwingen
UA1V
-5
0
5
t / ms
50 60 70 80 90 100
U
V
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
UA1V
-5
0
5
t / ms
120 130 140 150 160 170 180 190 200
36
U
V
0
1
2
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
37
5.2 Thürmer Flügel C1
C2
UA1V
-5
0
5
t / ms
0 10 20 30 40 50
U
V
0
0,5
1
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
UA1V
-5
0
5
t / ms
0 10 20 30 40 50
38
C3
U
V
0
0,5
1
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
UA1V
-5
0
5
t / ms
0 10 20 30 40 50
U
V
0
0,5
1
1,5
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
39
C4
C5
UA1V
-5
0
5
t / ms
0 10 20 30 40 50
U
V
0
1
2
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
UA1V
-5
0
5
t / ms
0 10 20 30 40 50
40
C6
U
V
0
0,5
1
1,5
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
UA1V
-5
0
5
t / ms
20 30 40 50 60 70
U
V
0
0,5
1
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
41
C7
C4 Einschwingen
UA1V
-5
0
5
t / ms
100 110 120 130 140 150
U
V
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
UA1V
-10
-5
0
5
10
t / ms
50 100 150
42
U
V
0
1
2
3
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
43
5.3 Steinway and Sons Flügel C1
C2
UA1V
-5
0
5
t / ms
0 10 20 30 40 50
U
V
0
0,5
1
1,5
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
UA1V
-5
0
5
t / ms
0 10 20 30 40 50
44
C3
U
V
0
0,5
1
1,5
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
UA1V
-5
0
5
t / ms
0 10 20 30 40 50
U
V
0
0,5
1
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
45
C4
C5
UA1V
-5
0
5
t / ms
0 10 20 30 40 50
U
V
0
0,5
1
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
UA1V
-5
0
5
t / ms
0 10 20 30 40 50
46
C6
U
V
0
0,5
1
1,5
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
UA1V
-5
0
5
t / ms
0 10 20 30 40 50
U
V
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
47
C4 und E4
C4-Dur
UA1V
-5
0
5
t / ms
0 10 20 30 40 50
U
V
0
0,5
1
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
UA1V
-5
0
5
t / ms
0 10 20 30 40 50
48
C4 Einschwingen
U
V
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
UA1V
-5
0
5
t / ms
50 100 150
U
V
0
1
2
3
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
49
5.4 Zimmermann Klavier C4
C4 C5 C6
UA1V
-5
0
5
t / ms
0 10 20 30 40 50
U
V
0
0,5
1
1,5
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
UA1V
-5
0
5
t / ms
0 10 20 30 40 50
50
C4 Einschwingen
U
V
0
1
2
3
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
UA1V
-5
0
5
t / ms
220 230 240 250 260 270 280 290 300
U
V
0
1
2
3
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
51
E6
U
V
0
0,5
1
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
52
5.5 Yamaha Clavinova Keyboard C1, C2, C3, C4
C4
UA1V
-5
0
5
t / ms
0 10 20 30 40 50
U
V
0
1
2
3
f / Hz
0 1000 2000
UA1V
-5
0
5
t / ms
0 10 20 30 40 50
53
C4 Einschwingen
U
V
0
0,5
1
1,5
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
UA1V
-5
0
5
t / ms
150 200 250
U
V
0
1
2
3
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
54
5.6 Höfner Gitarre E-Saite
E-Saite Anschlagen
UA1V
-5
0
5
t / ms
0 10 20 30 40 50
U
V
0
0,5
1
1,5
f / Hz
0 1000 2000
UA1V
-5
0
5
t / ms
200 250 300
55
U
V
0
1
2
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
56
5.7 Sassmann Cembalo C1
C2
UA1V
-5
0
5
t / ms
0 10 20 30 40 50
U
V
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
UA1V
-5
0
5
t / ms
0 10 20 30 40 50
57
C3
U
V
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
UA1V
-5
0
5
t / ms
0 10 20 30 40 50
U
V
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
58
C3 Einschwingen
C4
UA1V
-5
0
5
t / ms
20 30 40 50 60
U
V
0
0,5
1
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
UA1V
-2
-1
0
1
2
t / ms
0 10 20 30 40 50
59
C5
U
V
0
0,05
0,1
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
UA1V
-1
0
1
t / ms
0 10 20 30 40 50
U
V
0
0,05
0,1
0,15
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
60
5.8 Richard Keilwert Klarinette D1
D2
UA1V
-5
0
5
t / ms
0 10 20 30 40 50
U
V
0
1
2
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
UA1V
-5
0
5
t / ms
0 10 20 30 40 50
61
D2 Anblasen
U
V
0
1
2
3
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
UA1V
-5
0
5
t / ms
30 40 50 60 70 80 90 100
U
V
0
1
2
3
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
62
D3
UA1V
-5
0
5
t / ms
0 10 20 30 40 50
U
V
0
1
2
3
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
63
5.9 Jupiter di Medici Querflöte Mundstück
C1
UA1V
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
t / ms
0 10 20 30 40 50
U
V
0
1
2
3
4
5
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
UA1V
-5
0
5
t / ms
0 10 20 30 40 50
64
C2
U
V
0
0,5
1
1,5
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
UA1V
-5
0
5
t / ms
0 10 20 30 40 50
U
V
0
1
2
3
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
65
C2 Anblasen
C3
UA1V
-10
-5
0
5
10
t / ms
100 200 300
U
V
0
1
2
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
UA1V
-5
0
5
t / ms
0 10 20 30 40 50
66
C4
U
V
0
1
2
3
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
UA1V
-5
0
5
t / ms
0 10 20 30 40 50
U
V
0
1
2
3
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
67
5.10 Stimmen bzw. Vokale
5.10.1 Frau
A
E
UA1V
-5
0
5
t / ms
0 10 20 30 40 50
U
V
0
1
2
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
UA1V
-5
0
5
t / ms
0 10 20 30 40 50
68
I
U
V
0
1
2
3
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
UA1V
-5
0
5
t / ms
0 10 20 30 40 50
U
V
0
1
2
3
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
69
O
U
UA1V
-5
0
5
t / ms
0 10 20 30 40 50
U
V
0
1
2
3
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
UA1V
-5
0
5
t / ms
0 10 20 30 40 50
70
5.10.2 Mann A
U
V
0
1
2
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
UA1V
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
t / ms
0 10 20 30 40 50
U
V
0
0,1
0,2
0,3
0,4
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
71
E
I
UA1V
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
t / ms
0 10 20 30 40 50
U
V
0
0,5
1
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
UA1V
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
t / ms
0 10 20 30 40 50
72
O
U
V
0
0,5
1
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
UA1V
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
t / ms
0 10 20 30 40 50
U
V
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
73
U
UA1V
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
t / ms
0 10 20 30 40 50
U
V
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
f / Hz
0 1000 2000 3000 4000 5000
74
6. Literaturverzeichnis
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http://de.wikipedia.org/wiki/Obert%C3%B6ne
Zitiert als: (Wikipedia - Obertöne)
Ich versichere, dass ich die vorliegende Facharbeit ohne fremde Hilfe angefertigt und
nur die im Literaturverzeichnis angeführten Quellen Hilfsmittel benutzt habe.
