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Fourier-Transformations-Holographie - Bildrekonstruktion aus koh ¨ arenten Streudaten Versuch im Fortgeschrittenenpraktikum Betreuer: Bj¨ orn Enders Technische Universit¨ at M¨ unchen Physik Department E17 Lehrstuhl f¨ ur Biomedizinische Physik 2011 Anmerkung: Teile des Skriptes sind der Zulassungsarbeit von Manuela Leyerer mit ihrer Zustimmung entnommen worden.

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Fourier-Transformations-Holographie-

Bildrekonstruktion aus koharenten Streudaten

Versuch im FortgeschrittenenpraktikumBetreuer:

Bjorn Enders

Technische Universitat MunchenPhysik Department

E17 Lehrstuhl fur Biomedizinische Physik

2011

Anmerkung: Teile des Skriptes sind der Zulassungsarbeit von Manuela Leyerer mit ihrerZustimmung entnommen worden.

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Inhaltsverzeichnis

1 Mathematische Grundlagen 11.1 Fouriertransformation in einer Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Beispiel Rechteckfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Beispiel Gauß-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3 Satze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Delta-Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Fouriertransformation in zwei Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Vom Kirchhoff’schen Beugungsintegral zur Fraunhofer-Beugung 92.1 Das Kirchhoff’sche Beugungsintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Fresnel’sche Naherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Fraunhofer’sche Naherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4 Beugungsbilder einfacher Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4.1 Lochblende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4.2 Rechteckblende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4.3 Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Holographie 173.1 Herstellung eines Hologramms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Fourier Transform Holography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4 Beschreibung und Durchfuhrung des Versuches 214.1 Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.2 Arbeitsauftrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.3 Versuchsmaske . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.4 Anleitung fur den Aufbau des Versuches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.5 Durchfuhrung des Versuches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

iii

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1 Mathematische Grundlagen

Fur die Beschreibung und Erklarung der Fourieroptik und ihrer Anwendung sind einige For-meln aus dem Bereich der Distributionentheorie und der Fouriertransformation hilfreich. Zumbesseren Verstandnis sind diese hier zusammengefasst. Das Kapitel basiert vorwiegend auf[Brigola, 1997, S. 93ff.] und [Lauterborn and Kurz, 2003, S.249ff.].

1.1 Fouriertransformation in einer Dimension

In einer Dimension wird die Fouriertransformierte G einer Funktion g durch

G(v) :=

∞∫−∞

g(x)e−2πivxdx (1.1)

definiert. Die Koordinate v ist dabei die zu x reziproke Koordinate. Entsprechend wirkt Gim reziproken Raum. Wird zum Beispiel x in der Einheit [m] gemessen so wird v in der Einheit[m−1] gemessen. Hauptsache ist, dass das Produkt dimensionslos ist. Um deutlich zu machendas G aus einer Fouriertransforamtion hervorgegangen ist (auch um nicht staendig Funktionendefinieren zu muessen) werden auch folgende equivalente Schreibweisen benutzt.

F{g(x)

}(v) ≡ F{g}(v) ≡ Fg(v) ≡ G(v) (1.2)

Erstere Schreibweise in (1.2) ist dabei direkt als Integralersatz zu verstehen (daher das Ar-gument (x)). Das Argument (v) in (1.2) hatte man auch weglassen konnen da es hier keinenanderen funktionellen Zusammenhang als der Identitat impliziert.Die inverse Fouriertransformation oder auch Fourierrucktransformation g einer Funk-tion G hat im Vergleich zu (1.1) ein entgegengesetztes Vorzeichen in der Exponentialfunktion:

g(x) ≡ F−1G(x) ≡ F−1{G(v)

}(x) :=

∞∫−∞

G(v)e2πivxdv. (1.3)

Wie es der Name vermuten lasst, bedeutet die inverse Fouriertrasnformation gerade die Um-kehrabbildung zur Fouriertransformation

F−1{F{g}} = g und F{F−1{G}} = G (1.4)

1.1.1 Beispiel Rechteckfunktion

Als Rechteckfunktion der Breite a bezeichnet man eine Verteilung mit:

rect(xa

)=

{1 , |x| ≤ a

2

0 , sonst, (1.5)

1

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1 Mathematische Grundlagen

Die Fouriertransformierte hiervon bezeichnet man als sinus cardinalis sinc(x) := sin(x)/x.

F{

rect(xa

)}(v) =

a/2∫−a/2

e−2πivxdx

=1

−2πiv

(e−2πiva/2 − e2πiva/2

)=

sin(πva)

πv=: a sinc(πav). (1.6)

Die Extremstellen dieser Funktion befinden sich an den Schnittpunkten der Funktionen πavund tan(πav) und die Nullstellen bei v = n/a, ∀n ∈ N\{0}. Je großer der Wert fur a, das heißtje breiter die Rechteckverteilung ist, desto mehr rucken Null- und Extremstellen zusammen.Umgekehrt gilt, dass mit kleinerem a, also schmalerer Rechteckverteilung, die Extrem- undNullstellen der Fouriertransformierten einen großeren Abstand voneinander haben. 1.1 ver-anschaulicht diesen Zusammenhang. Die Ausdehnungen im realen Raum verhalten sich alsoumgekehrt, i.e. reziprok, zu den Ausdehnungen im Fourierraum.

Abbildung 1.1: Rechteckfunktionen (rechts) und deren Fouriertransformierte (links) fur c = 1mit verschiedenen Werten fur die Breite a.

1.1.2 Beispiel Gauß-Funktion

Eine weitere Funktion, anhand der dieser Zusammenhang anschaulich gezeigt werden kann,ist die Gauß-Funktion

gauss(xa

)= e−

x2

2a2 (1.7)

2

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1.1 Fouriertransformation in einer Dimension

mit Standardabweichung a ∈ R+ [Stoßel, 1993, S.65]. Die Fouriertransformierte dieser Funktionist wiederum eine Gauß-Funktion:

F{

gauss(xa

)}(v) =

∞∫−∞

e−12(xa−2πiav)

2−2(πav)2

dx = e−2(πav)2

∞∫−∞

e−x2

2 dx

=√

2π a · gauss(2πav). (1.8)

Die Standardabweichung hat nun den Wert 12πa

. Somit wird auch hier die Fouriertransformiertemit zunehmender Breite der ursprunglichen Funktion f(x) schmaler und umgekehrt (s. 1.2).

Abbildung 1.2: Gauß-Funktionen (rechts) und deren Fouriertransformierten (links) mit ver-schiedenen Werten fur s.

1.1.3 Satze

Es lassen sich nun einige wichtige Aussagen treffen uber die Fouriertransformation.

• Eine Skalierung der Koordinaten hat eine direkte Auswirkung auf die Fouriertransfor-mierte. Fur eine Skalierung um den Faktor a ergibt sich:

F{g(x/a)

}(v) = aFg(av) . (1.9)

Streckung im Realraum entspricht eine Stauchung im reziproken Raum und umgekehrt

• Eine Verschiebung um den Weg c im Realraum entspricht einer Multiplikation mit einerebenen Welle im reziproken Raum

F{g(x− c)

}(v) = e−2πicvFg(v) . (1.10)

• Als Faltung einer Funktion h mit einer Funktion g bezeichnet man:

(g ∗ h)(x) =

∞∫−∞

g(x)h(x− x)dx. (1.11)

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1 Mathematische Grundlagen

Eine andere Schreibweise wird oft auch gebraucht

{g(x) ∗ h(x)

}(x) =

∞∫−∞

g(x)h(x− x)dx. (1.12)

falls in f und g die Argumente Verschiebungen enthalten. Ein wichtiger Satz hierzu istder Faltungssatz der FT:

F {g ∗ h} = Fg · Fh. (1.13)

Die Fouriertransformierte der Faltung zweier Funktionen ist also das Produkt aus denFouriertransformierten der einzelnen Funktionen.

• Eine weitere wichtige Definition ist die Kreuzkorrelation zweier Funktionen g und h:

(g ⊗ h)(x) =

∞∫−∞

g(x)h∗(x− x)dx. (1.14)

Eine Folgerung aus der Korrelation in Zusammenhang mit der Fouriertransformiertenist folgende Formel:

F {g ⊗ h} = Fg · (Fh)∗. (1.15)

Das bedeutet, dass die Fouriertransformierte der Korrelation zweier Funktionen das Pro-dukt aus der Fouriertransformierten der einen und der komplex konjugierten Fourier-transformierten der anderen Funktion ist. Insbesondere ist die Fouriertransformierte derAutokorrelation von g

F {g ⊗ g} = |Fg|2 (1.16)

gerade das Betragsquadrat der Fouriertransnformierten von g.

1.2 Delta-Distribution

Die Delta-Distribution ist eine besondere Distribution und steht in engem Zusammenhang mitder Fouriertransformation. Zur Einfuhrung erfolgt hier die Beschreibung erstmal fur den ein-dimensionalen Fall. Die Delta-Distribution wird haufig auch als Delta-”Funktion” bezeichnetund beschrieben durch

δ(x) =

{∞ , x = 0

0 , sonstmit

∞∫−∞

δ(x)dx = 1 . (1.17)

Diese Schreibweise kann falschlicherweise zu der Annahme fuhren, dass diese Distribution ei-ne integrierbare Funktion darstellt. In der Tat gibt es jedoch keine Funktion, die die beidenGleichungen (1.17) erfullt. Insbesondere ist δ(x) aus (1.17) nicht Riemann-integrierbar.Stattdessen handelt es sich bei der Delta-”Funktion” um eine Distribution oder verallgemei-nerten Funktion. Eine Distribution ist eine lineare stetige Abbildung von dem Raum der Test-funktionen D := C∞0 (R,C) nach C. Die Testfunktionen f ∈ D sind dabei unendlich oft stetig

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1.2 Delta-Distribution

differenzierbar und verschwinden außerhalb eines beschrankten Intervalls [a, b]. Die Delta-Distribution Tδ ordnet einer Testfunktion f den Wert f(0) zu:

Tδ : D → K, f 7→ Tδ(f) := f(0) (1.18)

Zum Rechnen ist dies noch sehr unpraktisch, da die Delta-Distribution irregular ist. Mitregularen Distributionen lasst sich einfacher verfahren. Eine regulare Distribution Tκ hat einenIntegrationskern κ(x) so dass

Tκ : f 7→ Tκ(f) := 〈κ, f〉 :=

∞∫−∞

κ(x)f(x)dx (1.19)

Oftmals teilen sich Distribution und Integrationskern das gleiche Symbol, da die Distributiondurch diesen identifiziert wird.Man kann nun die Delta-Distribution als Grenzwert eine Folge regularer Distribution konstru-ieren. Man benotigt eine Folge von normalisierten Integrationkernen δε, die die Eigenschaften(1.17) im Limes ε→ 0 erfullen.

Tδ(f) = limε→0

∞∫−∞

δε(x)f(x)dx (1.20)

Es gibt viele Funktionfolgen δε in der Literatur (Friedlander [1998]; Goodman [2005]; Walter[1994]), die fur die Delta-Distribution genutzt werden konnen. Zwei prominente Vertreter sinddabei

• eine Gaussfunktion mit Standardabweichung ε

δε(x) =1

ε√

2πgauss

(xε

)(1.21)

• oder die normalisierte charakteristische Funktion des Intervalls Iε :=[− ε

2, ε

2

]δε(x) =

1

εrect

(xε

)(1.22)

Man kann sofort sehen das die zweite Funktionenfolge (1.22) mit der Rechteckfunktion rect

geeignet ist fur (1.20), da

∞∫−∞

δε(x)f(x)dx =1

ε

∫Iεf(x)dx =: 〈f〉Iε (1.23)

das Mittel von f auf Iε bedeutet. Da sich Iε auf {0} reduziert fur ε→ 0, folgt

Tδ(f) = limε→0

∞∫−∞

δε(x)f(x)dx = limε→0〈f〉Iε = f(0) . (1.24)

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1 Mathematische Grundlagen

Hoher dimensionale δ-Folgen kann man finden durch das direkte Produkt eindimensionalerFolgen. So findet sich fur R2 mit x = (x, y) und

δε(x) = δε(x, y) := δε(x)δε(y) (1.25)

eine δε-Folge fur R2. Es gibt auch Funktionenfolgen fur hohere Dimension die sich nicht ineindimensionale Folgen faktorisieren lassen.Goodman [2005].Von jetzt an, wenn immer δ(x) erscheint, ist ein Element einer Funktionenfolge δε mit hin-reichend kleinem ε gemeint, das ja eine normale Funktion darstellt. Erscheint δ(x) in einemIntegral ist zusatzlich der Limes ε→ 0 außerhalb des Integrals hinzu zu denken. Dieses Kon-strukt lasst sich nun tatsachlich wie eine Funktion handhaben und wird daher ab jetzt alsDeltafunktion bezeichnet.Die Deltafunktion hat einige interessante Eigenschaften.

• Die Faltungs-oder Siebeigenschaft beschreibt die Fahigkeit mit Hilfe einer verscho-benen Deltafunktionen, Werte von f an einem beliebigen Ort c heraus zu ”sieben”:

f(c) =

∞∫−∞

δ(x− c)f(x)dx . (1.26)

• Im Zusammenhang mit der Fouriertransformation ergibt sich

Fδ(v) = limε→0Fδε(v) = 1 , (1.27)

was sich leicht ersieht, wenn man die Fouriertransformierten (2.22) oder (1.8) benutztund den Grenzwert bildet. Die Fouriertransformierte der Deltafunktion ist also die Eins-funktion.Im gleichen Zusammenhang ergibt die Fouriertransformation der verschobenen Delta-funktion gerade eine ebene Welle.

F{δ(x− c)

}(v) = e−2πic·v . (1.28)

1.3 Fouriertransformation in zwei Dimensionen

In zwei Dimensionen ist die Fouriertransformation analog zum eindimensionalen Fall festgelegtdurch:

F{g(x, y)

}(v, w) = G(v, w) =

∞∫∫−∞

g(x, y)e−2πi(vx+wy)dxdy. (1.29)

Fur die Rucktransformation gilt nun:

F−1{G(v, w)

}(x, y) = g(x, y) =

∞∫∫−∞

G(v, w)e2πi(vx+wy)dvdw. (1.30)

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1.3 Fouriertransformation in zwei Dimensionen

Auch lasst sich die zweidimensionale Fouriertransformation als Produkt aus eindimensionalenFourieretransformationen darstellen, wenn dies auch fuer die zu transformierende Funktionzutrifft.

g(x, y) = g1(x) · g2(y) ⇒ F{g(x, y)

}(v, w) = Fg1(v) · Fg2(w) (1.31)

Desweiteren gelten Gleichungen (1.10) bis (1.16) auch fuer den zweidimonsionalen Fall. Manersetze lediglich x und x durch x = (x, y) und x = (x, y)Die zweidimensionale Fouriertransformation ist von grosser Bedeutung bei der koharentenBildgebung, da sich mit ihrer Hilfe die bei der Wellenpropagation auftretenden Beugungsinte-grale vereinfachen lassen.

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2 Vom Kirchhoff’schen Beugungsintegralzur Fraunhofer-Beugung

Ein wesentlicher Bestandteil der Fourieroptik ist die durch Naherungen aus dem Kirchhoff’schenBeugungsintegral hergeleitete Fraunhofer-Beugung. Da diese eine zentrale Bedeutung fur dieFourieroptik hat, soll im folgenden Abschnitt darauf eingegangen werden.

2.1 Das Kirchhoff’sche Beugungsintegral

Das Kirchhoff’sche Beugungsintegral beschreibt allgemein die Beugung einer ebenen, mono-chromatischen, linear polarisierten Lichtwelle mit Wellenlange λ an einer Struktur. Die beu-gende Struktur soll sich nun in der xy-Ebene (z = 0) befinden. Die einlaufende Welle breitetsich in positiver z-Richtung aus und weist das Wellenfeld E(x, y, 0) unmittelbar hinter derxy-Ebene mit dem Objekt auf. Die Feldverteilung E(x, y, z) in einer Ebene (x, y, z), die sichhinter der beugenden Struktur befindet (s. 2.1), erhalt man durch

E(x, y, z) =1

∞∫∫−∞

E(x, y)eikr

rcos(n, r)dxdy (2.1)

mit r =√

(x− x)2 + (y − y)2 + z2 [Lauterborn and Kurz, 2003, S.145ff.]. Dieses Integral be-zeichnet man als Kirchhoff’sches Beugungsintegral. Bei den Verteilungen E(x, y, 0) und

E(x, y, z) handelt es sich hierbei allgemein um komplexe Funktionen. Der Faktor eikr

rist der

Ausdruck fur eine Kugelwelle. Dies entspricht dem Huygens’schen Prinzip, das besagt, dassjeder Punkt einer Wellenfront als Ausgangspunkt einer sich isotrop ausbreitenden Kugelwelle,der sogenannten Elementarwelle, betrachtet werden kann. Zur Beschreibung des Wellenfeldesmussen folglich alle von der xy-Ebene ausgehenden Elementarwellen aufsummiert werden, wasim Grenzfall zu einem Integral fuhrt [Lauterborn and Kurz, 2003, S.146] , [Stoßel, 1993, S.36].Der Ausdruck cos(n, r) ist ein Richtungsfaktor. n ist hierbei der Normalenvektor auf die Ebe-ne, die die Struktur beinhaltet und r der normierte Einheitsvektor von einem Punkt (x, y, 0)in der xy-Ebene zu einem Punkt (x, y, z) in der Beobachtungsebene. Der Richtungsfaktorberechnet also den Cosinus des Winkels zwischen der Flachennormalen und dem Richtungs-vektor zweier Punkte. Anschaulich bewirkt der Faktor, dass sich die Elementarwellen vor allemin Vorwartsrichtung ausbreiten, da dort der Winkel zwischen der Flachennormalen und demRichtungsvektor 0◦ betragt und der Cosinus fur 0◦ seinen maximalen Wert annimmt. Mitzunehmenden Winkel nimmt die Intensitat ab [Stoßel, 1993, S.36ff.].

2.2 Fresnel’sche Naherung

Da das Kirchhoff’sche Beugungsintegral oftmals schwer zu losen ist, gibt es verschiedeneNaherungen zur Vereinfachung des Integrals. In der paraxialen Naherung berucksichtigt man

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2 Vom Kirchhoff’schen Beugungsintegral zur Fraunhofer-Beugung

Abbildung 2.1: Beugung einer ebenen Welle mit Wellenfeld E(x, y) in der Ebene z=0 ent-nommen aus [Lauterborn and Kurz, 2003, S.146].

nur Strahlen, die einen kleinen Winkel zur optischen Achse (hier die z-Achse) haben. Diesfuhrt dazu, dass der Richtungsfakor cos(n, r) im Integral 1 gesetzt wird. Des Weiteren ist derAbstand r zwischen einem Punkt (x, y, 0) in der Ebene der Struktur und (x, y, z) fur einenPunkt in der Beobachtungsebene naherungsweise durch z gegeben. Diese Annahmen fuhrenzu dem Integral [Lauterborn and Kurz, 2003, S.146ff.]

E(x, y, z) =1

iλz

∞∫∫−∞

E(x, y)eikrdxdy. (2.2)

Da die Naherung r ≈ z fur den Exponenten der Exponentialfunktion zu ungenau ist, fuhrtman hier eine Reihenentwicklung des Abstands r durch. Hierbei geht ein, dass |x| , |y| � zund auch |x| , |y| � z [Lauterborn and Kurz, 2003, S.146f.]:

r =√

(x− x)2 + (y − y)2 + z2 = z

√1 +

(x− x)2

z2+

(y − y)2

z2

≈ z +(x− x)2

2z+

(y − y)2

2z. (2.3)

Damit erhalt man

E(x, y, z) =eikz

iλz

∞∫∫−∞

E(x, y)eik2z ((x−x)2+(y−y)2)dxdy. (2.4)

Durch Ausmultiplizieren der Terme in der Exponentialfunktion folgt weiterhin:

E(x, y, z) =eikz

iλzei πλz (x2+y2)

∞∫∫−∞

E(x, y)ei πλz (x2+y2)e−2πi( x

λzx+ y

λzy)dxdy. (2.5)

Betrachtet man das Integral genauer, fallt auf, dass dieses genau die zweidimensionale Fourier-

transformierte der Funktion E(x, y)eiπλz (x2+y2) ist. Fuhrt man zusatzlichA(x, y, z) = eikz

iλzei πλz (x2+y2)

ein, ergibt sich

E(x, y, z) = A(x, y, z)F{E(x, y)e

iπλz (x2+y2)

}( xλz,y

λz

). (2.6)

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2.3 Fraunhofer’sche Naherung

Anstelle der Realraumkoordinaten x und y lassen sich hier auch die reziproken Koordinatenv = x

λzund w = y

λzbenutzen um des Wellenfeld E zu beschreiben

E(v, w, z) := E(λzv, λzw, z) = A(λzv, λzw, z)F{E(x, y)e

iπλz (x2+y2)

}(v, w) (2.7)

2.3 Fraunhofer’sche Naherung

Eine weitere Naherung kann vorgenommen werden, wenn man sehr große Entfernungen zwi-schen der xy-Ebene mit der beugenden Struktur und der Beobachtungsebene annimmt. Zu-gleich ist diese Entfernung sehr viel großer als die Ausdehnungen des Objekts. Fur diesenSpezialfall gilt [Lauterborn and Kurz, 2003, S.148]

z � π

λ

(x2 + y2

). (2.8)

Der Faktor ei πλz (x2+y2) ergibt dadurch naherungsweise 1. Die Feldverteilung, die man in der Ebe-

ne (x, y, z) beobachtet, setzt sich nun aus interferierenden ebenen Wellen zusammen [Stoßel,1993, S.38] und damit folgt

E(x, y, z) = A(x, y, z)

∞∫∫−∞

E(x, y)e−2πi( xλzx+ y

λzy)dxdy = A(x, y, z)FE

( xλz,y

λz

). (2.9)

Oder auch ausgedruckt in reziproken Koordinaten ergibt sich

E(v, w) = A(λzv, λzw, z)FE(v, w) . (2.10)

Das Beugungsbild im Fernfeld hinter der Struktur lasst sich also durch die Fouriertransfor-mierte der ursprunglichen Feldstarke direkt hinter der Struktur berechnen.Umgekehrt ist es dadurch moglich aus dem Beugungsbild mit der inversen Fouriertransformier-ten die ursprungliche Feldstarke und damit die beugende Struktur zu bestimmen. Das Problemhierbei ist jedoch, dass Detektoren in der Regel nur die Intensitat einer elektromagnetischenWelle aufnehmen. Diese ist dabei das Betragsquadrat von E(v, w, z):

I(v, w, z) = |E(v, w, z)|2 =1

λ2z2|FE(v, w)|2 . (2.11)

Der komplexe Phasenfaktor A, der in der Funktion E(v, w, z) enthalten ist, entfallt demzufolgebei einer Aufnahme des Beugungsbildes mit einem Detektor. Um aus dem Beugungsbild dieursprungliche Struktur durch inverse Fouriertransformation zu erhalten, muss folglich eineMethode verwendet werden, die die Amplitude und die Phase der Welle aufzeichnet.

2.4 Beugungsbilder einfacher Strukturen

Mit Hilfe der Fraunhofernaherung wurde das Kirchhoff’sche Beugungsintegral vereinfacht. Ei-ne wichtige Feststellung war, dass das Beugungsbild im Fernfeld mit Hilfe der Fouriertrans-fomierten berechnet werden kann. Im Folgenden soll dies auf einfache Strukturen angewandtwerden.

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2 Vom Kirchhoff’schen Beugungsintegral zur Fraunhofer-Beugung

2.4.1 Lochblende

Eine Lochblende mit Radius R lasst sich mit folgender Funktion beschreiben [Lauterborn andKurz, 2003, S.158]:

E(x, y) =

{E0 , x2 + y2 ≤ R2

0 , sonst.(2.12)

Da es sich hierbei um eine rotationssymmetrische Funktion handelt, empfiehlt sich die Dar-stellung mit Hilfe der Zylinderkoordinaten r und θ:

E(r, θ) =

{E0 , r ≤ R

0 , sonst.(2.13)

Das Beugungsbild ist wiederum durch die Fouriertransformierte dieser Verteilung gegeben:

F{E(r, θ)

}(v, w) =

R∫0

2π∫0

E0e−2πi(r cos(θ)v+r sin(θ)w)rdrdθ

F{E(r, θ)

}(µ, φ) =

R∫0

2π∫0

E0e−2πi(r cos(θ)µ cos(φ)+r sin(θ)µ sin(φ))rdrdθ. (2.14)

Im letzten Schritt wurden die Koordinaten v = µ cos(φ) und w = µ sin(φ) ebenfalls durch Zy-linderkoordinaten ausgedruckt. Verwendet man das Additionstheorem cos(θ−φ) = cos(θ) cos(φ)+sin(θ) sin(φ) vereinfacht sich das Integral zu

FE(µ, φ) =

R∫0

2π∫0

E0e−2πiµr cos(θ−φ)rdrdθ

ξ=θ−φ=

R∫0

rdr

2π∫0

E0e−2πiµr cos(ξ)dξ. (2.15)

Das innere Integral stellt dabei die Bessel-Funktion

J0(s) =1

2π∫0

eis cos(ξ)dξ (2.16)

dar. Die Besselfunktion J0 ist symmetrisch, d. h. es gilt J0(s) = J0(−s). Sie ist mit J1(ω) uberfolgende Beziehung verknupft:

J1(ω) =1

ω

ω∫0

sJ0(s)ds. (2.17)

Setzt man die Beziehung (2.16), die Symmetrie von J0 und (2.17) in die Fouriertransformierteein, folgt daraus:

FE(µ, φ) = 2πE0

R∫0

rJ0(−2πµr)dr =E0R

µJ1(2πµR)

FE(v, w) =E0R√v2 + w2

J1

(2πR√v2 + w2

). (2.18)

12

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2.4 Beugungsbilder einfacher Strukturen

Das daraus entstehende Beugungsbild bezeichnet man als Airy-Profil. Es besteht aus einerhellen Kreisscheibe und konzentrischen dunklen und hellen Ringen um die Kreisscheibe (s.2.2). Fur den ersten Ring ergibt sich mit der Wellenlange λ der beleuchtenden Quelle [Bornand Wolf, 1987, S.442]:

sin(α) = 0.610λ

R. (2.19)

α ist der Winkel zwischen einem Strahl von der Lichtquelle zu einem Punkt innerhalb desersten dunklen Rings und dem Strahl, der in den Mittelpunkt der hellen Kreisscheibe imZentrum zeigt.

Abbildung 2.2: Intensitat des Beugungsbildes einer Lochblende (links) und einer Rechteck-blende (rechts) in logarithmischer Skalierung (am Computer simuliert).

2.4.2 Rechteckblende

Eine Rechteckblende mit Breite a und Lange b wird von einer senkrecht einfallenden, ebenen,monochromatischen Lichtquelle bestrahlt. Fur die Feldverteilung gilt

E(x, y) =

{E0 , |x| ≤ a

2, |y| ≤ b

2

0 , sonst.(2.20)

= E0 rect(xa

)rect

(yb

)(2.21)

Die Berechnung der Fouriertransformierten ergibt unter Berucksichtigung von (1.6) und (1.31)

FE(v, w) = F{E0rect

(xa

)rect

(yb

)}(v, w)

= E0F{

rect(xa

)}(v) · F

{rect

(yb

)}(w)

= E0ab sinc(πbw) sinc(πav). (2.22)

DIe Intensitatsverteilung des Fouriertransformation ist in Abb.2.2 gezeigt.

13

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2 Vom Kirchhoff’schen Beugungsintegral zur Fraunhofer-Beugung

2.4.3 Gitter

Idealisiertes Strichgitter

Ein Strichgitter kann als Summe uber viele Einzelspalte definiert werden. Zur Vereinfachungwerden die Annahmen getroffen, dass die einzelnen Spalte sehr schmal sind und somit durchDelta-Distributionen beschrieben werden konnen. Des Weiteren sollen die Spalte unendlichlang sein. Die Verteilung hierfur lautet [Stoßel, 1993, S.74]:

E(x, y) = E0

N∑m=−N

δ(x−md). (2.23)

Es handelt sich hierbei um ein Gitter mit 2N + 1 = N0 Spalten, die jeweils den Abstand dvoneinander haben. Die Berechnung der Fouriertransformierten fuhrt zunachst zu:

FE(v, w) =

∞∫∫−∞

E0

N∑m=−N

δ(x−md)e−2πi(vx+wy)dxdy

= E0

N∑m=−N

∞∫−∞

e−2πi(vmd+wy)dy

= E0δ(w)N∑

m=−N

e−2πivmd

= E0δ(w)N∑

m=−N

(e−2πivd

)m. (2.24)

Dabei fuhrt die gemass 1.27 ”unendlich weite” Ausdehnung in y-Richtung (Invarianz von Ebzgl. y) zu einer unendlich scharfen Verteilung (Delta-Funktion) in w-Richtung um w = 0. Die

Summe bildet eine geometrische Reihe, deren Wert mit∑N

n=0 pn = pN+1−1

p−1explizit berechnet

werden kann (Ubung). Das Ergebnis ist

FE(v, w) = E0δ(w)sin(N0πvd)

sin(πvd). (2.25)

Das Beugungsbild ist nur bei w = 0 zu finden. Die Intensitat ist direkt proportional zusin2(N0πvd)

sin2(πvd). Die Hauptmaxima mit Hohe N2

0 der Verteilung sind an den Nullstellen der oberen

Sinusfunktion, das heißt bei v = md,m ∈ Z. Dazwischen existieren (N0−2) wesentlich niedrigere

Nebenmaxima [Stoßel, 1993, S.74].

Gitter aus Rechteckblenden

Geht man nicht wie bei Kapitel 2.4.3 von sehr schmalen und unendlich langen Spalten aus,sondern von einem Gitter bestehend aus Rechteckblenden mit Breite a und Lange b, so kanndie Feldverteilung als Faltung mit Delta-Distributionen geschrieben werden [Stoßel, 1993, S.71ff.]:

E(x, y) = f(x, y) ∗N∑

m=−N

δ(x−md, y). (2.26)

14

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2.4 Beugungsbilder einfacher Strukturen

Abbildung 2.3: Fouriertransformierte und Intensitatsverteilung eines Gitters mit 5 Spaltenim Abstand von d=1 Einheiten entlang der w-Achse.

f(x, y) ist hierbei die Funktion f(x, y) =

{E0 , |x| ≤ a

2, |y| ≤ b

2

0 , sonstund entspricht einer Recht-

eckblende. Durch die Faltung mit Deltafunktionen entstehen also 2N+1 = N0 Rechteckblendenim Abstand d voneinander. Dies wird mit folgender Rechnung deutlich:

E(x′, y′) = f(x, y) ∗N∑

m=−N

δ(x−md)

=N∑

m=−N

∞∫∫−∞

f(x, y)δ(x′ − x+md, y′ − y)dxdy

=N∑

m=−N

f(x′ +md, y′). (2.27)

Laut dem Faltungssatz (1.11) ist die Fouriertransformation dieser Verteilung das Produktder Fouriertransformierten der einzelnen Funktionen. In diesem Fall sind die beiden Faktorenalso die Fouriertransformierte der Rechteckblende (2.22), welche man auch als Formfaktorbezeichnet und die Fouriertransformierte der Delta-Distribution. Da diese die Anordnung dereinzelnen Rechtecke bestimmen, nennt man diesen Faktor Strukturfaktor [Stoßel, 1993, S.71ff.]:

F [E](v, w) = E0 ab sinc(bw)sinc(av)︸ ︷︷ ︸Formfaktor

·N0sin(N0πdv)

sin(πdv)︸ ︷︷ ︸Strukturfaktor

. (2.28)

Fur das Beugungsbild in 2.4 wurde dieselbe Rechteckblende wie in 2.2 gitterartig angeordnet.In 2.4 ist das Muster des Beugungsbildes dieser Rechteckblende als Einhullende zu erkennen.

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2 Vom Kirchhoff’schen Beugungsintegral zur Fraunhofer-Beugung

In den einzelnen Bereichen treten nun zusatzlich die einzelnen Minima und Maxima einesGitters auf.

Abbildung 2.4: Intensitat des Beugungsbildes eines Gitters aus vier Rechteckblenden in loga-rithmischer Skalierung (am Computer simuliert).

Kreuzgitter aus Punkten

In einem Punktgitter sollen sich in jeder Spalte und in jeder Reihe jeweils 2N+1 = N0 Punkteim Abstand d bzw. d′ zu den nachsten Punkten befinden. Die Koordinaten der einzelnen Punktesind folglich (md, nd′) mit m,n ∈ Z. Die Feldverteilung lautet hierfur [Stoßel, 1993, S.81ff.]:

E(x, y) = E0

N∑m=−N

N∑n=−N

δ(x−md, y − nd′), (2.29)

Die Fouriertransformation dieser Verteilung ergibt hierbei analog zu den Rechnungen (2.24)und (2.25):

F [E(x, y)] = E0sin(N0πdv)

sin(dπdv)· sin(N0πd

′w)

sin(πd′w). (2.30)

Die Hauptmaxima der einzelnen Faktoren finden sich bei v = md,m ∈ Z, bzw. w = n

d′, n ∈ Z.

Die Punkte im Fourierraum mit (v, w) = (md, nd′

) sind demnach im Beugungsbild am besten zuerkennen. Sie bilden wiederum ein Kreuzgitter mit Gitterkonstanten 1

dund 1

d′.

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3 Holographie

In Kapitel 2 wurde festgestellt, dass mit einem Verfahren, das sowohl die Amplitude als auchdie Phaseninformation einer Welle liefert, die beugende Struktur mit der inversen Fourier-transformation aus dem Beugungsbild bestimmt werden kann. Zur Aufzeichnung der Phasenentwickelte Dennis Gabor die Methode der Holographie. Die Grundidee hierbei ist es, diePhasenstruktur einer Welle in Form einer Amplitudenstruktur zu speichern, da diese durcheinen Detektor aufgezeichnet werden kann [Stoßel, 1993, S.202].Im Folgenden wird zuerst die Vorgehensweise zur Herstellung eines klassischen (

”off-axis“)

Hologramms behandelt. Im Anschluss wird als zentraler Aspekt die spezielle Form der FourierTransform Holography vorgestellt.

3.1 Herstellung eines Hologramms

Die Herstellung eines Hologramms gliedert sich in zwei Schritten: Die Aufzeichnung und dieRekonstruktion des Hologramms.Bei der Aufnahme eines Hologramms wird das abzubildende Objekt mit einer koharentenLichtquelle bestrahlt. Das Objekt reflektiert dabei das Licht. Dieses reflektierte Licht be-zeichnet man als Gegenstandsstrahl oder Gegenstandswelle. Der Gegenstandsstrahl wird mitdem sogenannten Referenzstrahl, der das ungebeugte Licht der gleichen Lichtquelle beinhaltet,uberlagert. Dadurch kommt es zur Interferenz der beiden Lichtstrahlen. Das Interferenzmusterwird zum Beispiel mit einer photographischen Platte aufgenommen [Tipler, 2000, S.1137ff.],[Lauterborn and Kurz, 2003, S.102ff.].Die Verwendung einer koharenten Lichtquelle ist erforderlich, um eine zeitlich konstante Pha-sendifferenz zwischen Referenz- und Gegenstandsstrahl zu gewahrleisten. Durch die Verwen-dung derselben Lichtquelle als Gegenstands- und Referenzstrahl erhalt man eine feste Phasen-beziehung zwischen den beiden Strahlen. Im Interferenzmuster ist die Phase daher durch dieLage der Interferenzstreifen verschlusselt aufgezeichnet. Die Phaseninformation wurde folg-lich in ein Intensitatsbild transformiert. Zwei verschiedene Objektpunkte mit unterschiedli-chen Abstand zur Photoplatte erzeugen dabei unterschiedliche Interferenzmuster [Tipler, 2000,S.1137ff.], [Lauterborn and Kurz, 2003, S.101ff.].Bei der Rekonstruktion des Hologramms wird die photographische Platte zuerst entwickelt.Dabei entsteht das Interferenzbild. Bestrahlt man die entwickelte Platte nun erneut mit einemRekonstruktionsstrahl, der identisch zur Referenzwelle ist, wird der Strahl am Interferenzmus-ter gebeugt. Insgesamt entsteht dadurch ein dreidimensionales Bild des Gegenstands [Tipler,2000, S.1137ff.].

3.2 Fourier Transform Holography

Fur die Fourierholographie ist es wie bei den Annahmen in der Fraunhofernahrung wichtig, dassdie Entfernung zwischen dem beugenden Objekt und der Beobachtungsebene groß gegenuber

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3 Holographie

der Ausdehnung des Objekts ist. Die Kugelwellen des Kirchhoff’schen Beugungsintegrals ge-hen in ebene Wellen uber. Damit kann die raumliche Tiefe des Objekts nicht mehr abgebildetwerden, weswegen in der Fourierholographie zweidimensionale Objekte zum Einsatz kommen[Stoßel, 1993, S.205].Das Objekt befindet sich wiederum in der xy-Ebene und wird mit einer ebenen Welle bestrahlt,die sich in z-Richtung ausbreitet. Das Objekt soll sich vorerst im Koordinatenursprung befin-den. Die Feldverteilung E(x) direkt hinter dem Objekt ist nun eine Superposition der Gegen-standswelle o(x) und der Referenzwelle r(x) [Enders, 2009, S.18] (siehe Abb.3.1b):

E(x) = o(x) + r(x). (3.1)

Nimmt man als Referenz ein kleines Loch an der Stelle x0 = (x0, y0), so kann r(x) naherungsweiseals Delta-Distribution δ aufgefasst werden:

E(x) = o(x) + δ(x− x0). (3.2)

Das bei der Beleuchtung mit einer koharenten Lichtquelle entstehende Interferenzbild wird miteiner Kamera aufgezeichnet. Im Gegensatz zum oben beschriebenen Verfahren der Holographiewird dieses Bild bei der Fourier Transform Holography nicht mit einem Rekonstruktionsstrahlbeleuchtet, um die Abbildung des Gegenstands zu erhalten. Die Rekonstruktion erfolgt beidieser Methode mit inverser Fouriertransformation.Das von der Kamera aufgenommene Bild ()beinhaltet dabei die Intensitatsverteilung, i.e.

Abbildung 3.1: a Intensitat |FE(v)|2 des Beugungsbildes. b Smiley als Objekt mit Refe-renzloch und Verschiebungsvektor x0. c Fourierrucktransformation der Intensitat F−1I(x),abgwandelt aus [Enders, 2009, S. 19]

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3.2 Fourier Transform Holography

Betragsquadrat, der sich uberlagernden Objekt- und Referenzwelle (siehe Abb.3.1a).

I(v) = |FE(v)|2 (3.3)

Der Vorfaktor aus (2.11) wurde hierbei vernachlassigt, da die Skalierung der Intensitat bei derBildaufnahme ohnehin einen Freheitsgrad darstellt. Die inverse Fouriertransformation hiervonstellt nach (1.16) gerade die Autokorrelation des Wellenfeldes (siehe Abb.3.1c) in der Objek-tebene dar,

F−1I(x) = (E ⊗ E)(x) (3.4)

=([o+ r]⊗ [o+ r]

)(x) (3.5)

= (o⊗ o)(x) + (r ⊗ o)(x) + (o⊗ r)(x) + (r ⊗ r)(x) (3.6)

Eine Superposition von r und o bewirkt also, dass sich die Autokorrelation von E in vierTerme aufspaltet, die auch raumlich getrennt sein konnen. Die entstehenden Summandeninterpretieren sich folgendermassen:

• Der Term

(o⊗ o)(x) =

∞∫∫−∞

o(x)o∗(x− x)dx (3.7)

ist die Autokorrelation der Gegenstandswelle. Das entstehende Autokorrelationsbild be-findet sich am Koordinatenursprung und hat etwa den doppelten Durchmesser wie o.

• Der Term r ⊗ r ist die Autokorrelation der Referenzwelle r, welche im Falle einer (ver-schobenen) Deltafunktion wieder eine Deltafunktion darstellt.

(r ⊗ r)(x) =

∞∫∫−∞

δ(x− x0)δ∗(x− x0 − x)dx = δ(x) (3.8)

Diese ist in der Rekonstruktion als heller Punkt (Peak) am Ort (0,0) zu erkennen, liegtauf der Autokorrelation der Objektwelle und fallt daher im Allgemeinen nicht auf.

• Der Term o⊗ r entsteht aus der Interferenz von Objekt- und Referenzwelle auf dem De-tector. Ahnlich wie bei jeder Holographie wird dieser zur Rekonstruktion der Objektwelleo benutzt. Im Falle einer Deltafunktion fur r ergibt sich, dass

(o⊗ r)(x) =

∞∫∫−∞

o(x)δ∗(x− x0 − x)dx = o(x + x0) (3.9)

eine um den Vektor −x0 verschobene Abbildung der Objektwelle ist. Sie stellt also dieholographische Rekonstruktion des Objekts dar. Der Verschiebungsvektor x0 der Objektund Referenz in der Objektebene trennt, trennt auch die holographische Rekonstruktionvon o von der Autokorrelation von o, die um den Koordinatenursprung konzentriert ist.

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3 Holographie

• Auch r⊗o entsteht aus der Interferenz von Objekt- und Referenzwelle auf dem Detector.Im Falle einer Deltafunktion fur r ergibt sich, dass

(r ⊗ o)(x) =

∞∫∫−∞

δ(x− x0)o∗(x− x)dx = o∗(x0 − x) (3.10)

eine um den Vektor +x0 verschobene, komplex konjugierte und am Ursprung gespiegelteAbbildung der Objektwelle ist. Wahrend die Phase der Objektwelle durch komplexeKonjugation das Vorzeichen wechselt, bleibt die Amplitudenstruktur erhalten. Daherstellt auch diese Abbildung eine holographische Rekonstruktion des Objekts dar, undwird als Zwillingsbild bezeichnet.

Insgesamt bekommt man also zwei Rekonstruktionen des ursprunglichen Objekts, die man alsBild und Zwillingsbild bezeichnet.Befindet sich das Objekt nicht wie vorher im Koordinatenursprung, konnen ebenso zwei Rekon-struktionen des Objekts ermittelt werden. Es lasst sich zeigen, dass der Verschiebungsvektorin diesem Fall der Abstandsvektor zwischen dem Referenzloch und dem Objekt ist. In beidenFallen ist zu beachten, dass der Abstand zwischen der Referenz und dem Objekt groß genuggewahlt werden muss, damit die Autokorrelation die rekonstruierten Bilder des ursprunglichenObjekts nicht uberdeckt [Enders, 2009, S.18], [Menzel E., Mirande W., Weingartner I., 1973,S.143].

Der idealisierte Fall, das kleine Loch fur den Referenzstrahl als Delta-Distribution an-zunahern, ist in der Realitat nur unzureichend gegeben. Die zweite Zeile von (3.4) zeigt, dassdie Gegenstandswelle im Fall eines realen Referenzlochs mit einer ausgedehnten Beleuchtungs-funktion gefaltet wird. Die rekonstruierten Bilder verschmieren dementsprechend. Aus diesemGrund ist das Auflosungsvermogen der Fourier Transform Holography unter normalen Labor-bedingungen beschrankt.

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4 Beschreibung und Durchfuhrung desVersuches

4.1 Versuchsaufbau

Abbildung 4.1: Skizze des Versuchsaufbaus.

Das Licht des verwendeten He-Ne-Lasers passiert zuerst zwei Polarisatoren. Mit Hilfe dieserlasst sich die Intensitat des Laserlichts steuern. Hierfur ware die Verwendung eines Polarisatorseigentlich ausreichend, es hat sich jedoch gezeigt, dass neben dem Laserlicht auch Licht ausder Helium-Neon Gasentladung entweicht, welches die Messungen negativ beeinflussen kann.Daher muss sichergestellt werden, dass das Verhaltnis von Laserlicht zu Gasentladungslichgross ist.Zwei plankonvexe Linsen fuhren dazu, dass die Laserstrahlen aufgeweitet werden und parallelauf das Objekt treffen. Um dies zu erreichen, stellt man die Linsen so auf, dass der Abstandder Linsen der Summe der Brennweiten entspricht.Um beobachten zu konnen, welche Stelle des Objekts getroffen wird, befindet sich zudem einStrahlteiler auf der optischen Bank. Der ausgekoppelte Teil des Lichts passiert eine Linse undzeigt eine Vergroßerung des Objekts an der Wand an.Das gestreute Licht trifft erneut auf eine Linse, die als Objektiv fur die verwendete CCD-Kamera dient und eine Brennweite vom Chip der Kamera entfernt steht. In der Fokusebeneerhalt man durch diese Anordnung die Fouriertransformierte des die Linse treffenden Wellen-feldes. Im Objektiv befindet sich zusatzlich ein Neutraldichte-Filter, der das Streulicht unter-druckt und eine Uberbelichtung der Bilder verhindert.Im Rahmen des Versuches wird der Aufbau realisiert, sowie von allen Objekten der Maske(Abb.4.2) ein Beugungsbild aufgenommen. Dafur liegt vorort eine Anleitung zum Aufbau undzur Datenaufnahme bereit.

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4 Beschreibung und Durchfuhrung des Versuches

Abbildung 4.2: Gesamtansicht der Maske.

4.2 Arbeitsauftrage

Bei den Arbeitsauftragen ist zu beachten, dass die Einheiten der Skalen auf den Bildern Pixelsind. Ein Pixel hat eine Große von 24µm×24µm. Die Wellenlange des verwendeten Lasers be-tragt 632.618nm. Das matlab-file

”Fortgeschrittenenpraktikum Auswertung.m“ befindet sich

auf dem Desktop und kann fur die Ausarbeitung verwendet werden. Die verwendeten Befehlesind jeweils kommentiert.

1. LochblendeAus den Airy-Profilen der Objekte 1.1, 2.3 und 2.4 soll die Brennweite der Objektivlinse

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4.2 Arbeitsauftrage

bestimmt werden. Hierzu soll Formel (2.19) verwendet werden. Beziehen Sie die Datenaller drei Lochblenden in Ihre Rechnungen mit ein (tatsachlicher Wert: 0.300m). Fallsdas Airy Pattern von Objekt 1.1 nicht stark genug ist, konnen auch die Beugungsbildervon 1.2 bis 1.6 verwendet werden.

2. Rechteckblende und Spalte

• Zu betrachten sind die Beugungsbilder der quadratischen Blende und der Recht-eckblende (3.1 und 3.2). Wie kann man sich das Beugungsbild mit Hilfe des Er-gebnisses aus (2.22) erklaren? Warum sind die Beugungsbilder entlang der Achsenam starksten ausgepragt und warum wird die Intensitat der Maxima mit zuneh-menden Abstand vom Ursprung geringer? Was sind die Unterschiede zwischen derquadratischen und der rechteckigen Blende?

• Weiter soll der Ubergang einer Rechteckblende zu einem Spalt betrachtet werden.Was passiert mit dem Ergebnis von (2.22), wenn man von einem unendlich langenSpalt ausgeht? Geben Sie hierfur den Grenzwert b → ∞ an. Was verandert sich,wenn der Spalt immer schmaler wird? Interpretieren Sie davon ausgehend die Bilder3.3 bis 3.7.

• In 2.5 und 2.6 ist jeweils ein Spalt gegeben. Bestimmen Sie aus den Beugungsbilderndie Breite der Spalte, in dem Sie die Nullstellen vn der Grenzfunktion aus (2.22) furb→∞ aus den Beugungsbildern lokalisieren. Vergleichen Sie mit dem tatsachlichenWert.

3. Gitter

• StrichgitterBetrachten Sie die Anzahl der Nebenmaxima in den vorliegenden Beugungsbildernvon 4.1 bis 4.3. Stimmen diese Ergebnisse mit den theoretischen Befunden aus 2.4.3uberein?Die vorliegenden Gitter haben alle die gleiche Gitterkonstante. Geben Sie diesemit Hilfe der Hauptmaxima an. Vorsicht: Beachten Sie, dass das Gitter aus Spal-ten besteht und die Fouriertransformierte dieses Gitters das Produkt aus der Fou-riertransformierten des Spalts und des Gitters ist. Welche Auswirkungen hat diesim konkreten Fall auf die Nullstellen der Fouriertransformierten der Spaltfunktion(Formfaktor) und auf die Maxima der Fouriertransfomation des Gitters (Struk-turfaktor), wenn man die angegebene Breite des Spalts und die Gitterkonstanteberucksichtigt? Verwenden Sie immer alle drei Gitter fur Ihre Rechnungen und bil-den Sie anschließend den Mittelwert. Vergleichen Sie Ihren ermittelten Wert mitdem realen Wert.

• Kreuzgitter aus PunktenWeisen Sie an Hand der Hauptmaxima des Beugungsbildes von 1.7 nach, dass dasGitter im reziproken Raum die Gitterkonstanten 1

dund 1

d′aufweist.

• Kreuzgitter aus LochblendenLeiten Sie mit Hilfe der Anleitung analog zum Gitter aus Rechteckblenden dieFouriertransformierte eines Kreuzgitters aus Lochblenden her. Interpretieren Sie an-schließend die Beugungsbilder aus 1.1 bis 1.6, in dem Sie angeben, wie die einzelnenAspekte in den Bildern zustande kommen (Anzahl Nebenmaxima, Strukturfaktor,Formfaktor etc.).

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4 Beschreibung und Durchfuhrung des Versuches

• Anwendung in der KristallographieWahrend des Versuches sollen die Beugungsbilder von 5.1 bis 5.5 mit dem Betreueranalysiert werden (Strukturfaktor, Formfaktor etc.). Die Symmetrie des Objekts, indiesem Fall das schiefe Rechteck, ist ungleich der Symmetrie des Gitters, in diesemFall eine Rechteckstruktur. An Hand der Beugungsbilder kann man jedoch sowohldie Gitterstruktur als auch die Struktur des Objekts erkennen. In der Kristallogra-phie wird dies benutzt, um bei Kristallen die Form der Basis und die Gitterstrukturzu bestimmen. Erlautern Sie dieses Vorgehen in der Ausarbeitung an Hand der Beu-gungsbilder zu den Objekten 5.6 und 5.7.

4. Fourier Transform Holography

• Erklaren Sie das Zustandekommen der rekonstruierten Bilder aus 6.1 bis 6.6. WelcheProbleme ergeben sich fur reale Referenzlocher mit endlichen Ausmaßen?

• Aus welchen Referenzlochern ergeben sich jeweils die einzelnen rekonstruierten Bil-der aus 6.7 und 7.7? Ordnen Sie zu.

• Welches Problem ist in den Rekonstruktionen von 7.1 bis 7.3 zu sehen?

• Interpretieren Sie ausgehend von dem Verhaltnis der Referenzlochgroße zur Gitter-konstante, wie gut die Gitter in den Bildern 7.4 bis 7.6 aufgelost werden konnen.

• Rekonstruieren Sie das Objekt aus dem Beugungsbild der zweiten Maske und fugenSie es in Ihre Ausarbeitung ein.

4.3 Versuchsmaske

Im Folgenden soll ein Uberblick uber die Versuchsmaske mit ihren Daten gegeben werden. Aufder Maske befinden sich insgesamt 49 Felder in einem sieben auf sieben Raster mit einer Großevon jeweils 2 auf 2mm. Zwischen diesen Feldern befinden sich Stege von 1cm Breite, die dieBilder raumlich voneinander trennen. Es ist zu beachten, dass die Stege zwischen den Feldernin den Abbildungen nicht massstabsgetreu angegeben sind, sondern durch graue Rahmen an-gedeutet werden. In der ersten Zeile der Maske (s. 4.3) wird ein Kreuzgitter aus Lochblenden

Abbildung 4.3: 1. Zeile der Maske.

schrittweise entwickelt. 1.7 stellt ein Punktgitter dar. In diesem Abschnitt der Maske sindverschieden große Lochblenden enthalten. Zudem sind zwei Spalte unterschiedlicher Breitezu sehen. 2.7 ist eine Dreiecksblende. 4.5 beinhaltet verschieden große Rechteckblenden. Soist unter 3.1 und 3.2 eine quadratische Blende und eine Rechteckblende gegeben. Die Bilder3.3 bis 3.7 sollen den Ubergang von einer Rechteckblende zu einem Spalt symbolisieren. DieStrichgitter unter 4.1 bis 4.3 mit Spaltenzahlen von 3, 5 und 7 haben den Gitterabstand 80µm.

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4.3 Versuchsmaske

Objekt Radius R in µm Abstand in hori-zontaler Richtungin µm

Abstand in verti-kaler Richtung inµm

1.1-1.6 40 400 2401.7 20 80 100

Tabelle 4.1: Werte der ersten Zeile der Maske.

Abbildung 4.4: 2. Zeile der Maske.

Objekt Radius R in µm Ausmaße in µm

2.1 15 -2.2 25 -2.3 50 -2.4 100 -2.5 - 50x10002.6 - 30x1000

Tabelle 4.2: Werte der zweiten Zeile der Maske.

Abbildung 4.5: 3. Zeile der Maske.

Objekt Breite in µm Lange in µm

3.1 200 2003.2 400 2003.3 150 3003.4 100 4003.5 75 6003.6 50 8003.7 25 1200

Tabelle 4.3: Werte der dritten Zeile der Maske.

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4 Beschreibung und Durchfuhrung des Versuches

Abbildung 4.6: 4. Zeile der Maske.

Objekt Große Spalt/Rechtecke in µm

Abstand in hori-zontaler Richtungin µm

Abstand in verti-kaler Richtung inµm

4.1-4.3 40x1000 80 -4.4 100x50 350 1754.5 200x100 400 2004.6 400x200 500 250

Tabelle 4.4: Werte der dritten Zeile der Maske.

4.4 bis 4.6 enthalten Rechteckgitter mit unterschiedlich großen Rechtecken. Unter 4.7 ist einSteggitter gegeben, dessen senkrechte Stege die Ausmaße 100x1050µm im Abstand 500µm unddessen waagrechten Stege die Ausmaße 50x1600µm im Abstand 250µm haben. In der 5. Zeile

Abbildung 4.7: 5. Zeile der Maske.

der Maske sind Gitter dargestellt, in denen die Symmetrie der Basis nicht der Symmetrie desGitters entspricht. Unter 5.1 bis 5.5 wird das Gitter aus einer schiefen Rechteckblende mitAusmaßen 400x200µm schrittweise entwickelt. In 5.6 und 5.7 ist ein Stern und ein Gitter ausdiesem Objekt zu sehen.Die letzten beiden Zeilen befassen sich mit der Fourier Transform Holography. Als Objekt

Abbildung 4.8: 6. Zeile der Maske.

wurde das Logo des E17 Lehrstuhls verwendet. Unter 6.1 bis 6.6 sind die Objekte mit jeweilsunterschiedlich großer Referenz (Durchmesser von links nach rechts 20, 40, 60, 80, 100, 200µm)

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4.3 Versuchsmaske

abgebildet. Auf der Maske sind unter 6.7 und 7.7 zusatzlich Objekte mit zwei und drei Refe-renzlochern mit dem Durchmesser 60µm enthalten. In den Abbildungen 7.1 bis 7.3 wurde der

Abbildung 4.9: 7. Zeile der Maske.

Großen Große der Rechtecke in µm Gitterkonstante in µm

Ausmaß Gitter links oben 20x400 40Ausmaß Gitter rechts oben 400x40 80Ausmaß Gitter links unten 400x60 120Ausmaß Gitter rechts unten 80x400 160

Tabelle 4.5: Maße der Gitter in den Bildern 7.4 bis 7.6.

Abstand zwischen Objekt und Referenzloch (Durchmesser 60µm) verandert. Zuletzt befindensich unter 7.4 bis 7.6 rechts unten vier verschiedene Gitter (Maße s. Tabelle 4.5). Die Großeder Lochblenden nimmt von links nach rechts immer weiter zu (Durchmesser von 40, 80 bzw.120µm). In 4.2 ist zusatzlich eine Gesamtubersicht der Maske gegeben.

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4 Beschreibung und Durchfuhrung des Versuches

4.4 Anleitung fur den Aufbau des Versuches

Der Versuchsaufbau erfolgt in Zusammenarbeit mit dem Betreuer.

Da das verwendete Laserlicht schadlich fur die Augen ist, ist darauf zu achten,beim Aufbau des Versuches nicht direkt in den Strahl zu schauen. Es sollte dahervermieden werden, die Augen auf Hohe des Lasers zu halten. Aussserdem solltenUhren oder anderer Armschmuck abgenommen werden.

Zu Beginn werden die Mitte der Irisblende und die Mitte der”Zielscheibe“ auf eine Hohe

von 24, 3cm vom Tisch aus eingestellt. Dies entspricht der Hohe des Laserstrahls, welche soeingestellt ist, dass die Mitte der Objektivlinse getroffen wird. Die Irisblende wird so weit wiemoglich zugedreht und vorne an der optischen Bank platziert. Die Zielscheibe wird auf dasandere Ende der Bank, an dem sich spater die Kamera befinden soll, gesetzt und ebenso wiedie Irisblende festgeschraubt.Nun wird der Laser angeschaltet. Die drei Polarisatoren werden vor dem Laser so eingesetzt,dass der Laser alle drei in etwa mittig trifft. Hierfur konnen die Polarisatoren nach oben/untenund links/rechts verstellt werden. Die Laserintensitat wird mit den Polarisatoren so weit auf-gedreht, bis der Strahl auf einem Stuck Papier gut sichtbar ist.Der weitere Aufbau des Versuches erfolgt in drei Schritten:

1. Aufsetzen des SpiegelsZunachst wird der Reiter, auf dem der Spiegel aufgesetzt werden soll, auf Hohe derPolarisatoren gestellt. Beim Einsetzen des Spiegels wird dessen Hohe so gewahlt, dassdieser mittig vom Laser getroffen wird. Der Spiegel soll in der Halterung gedreht werden,bis der Strahl die Irisblende passiert. Anschlißend wird er fixiert, sodass er nach obenund unten nicht weiter verstellbar ist.Da dadurch die Mitte der Zielscheibe am Ende der Bank in der Regel noch nicht getroffenwird, muss weiter justiert werden. Hierfur besitzt der Spiegel an der Ruckseite zweiSchrauben. Die untere ist dabei fur eine Verschiebung in Links-/Rechtsrichtung und dieobere fur eine Verschiebung nach oben und unten zustandig. An diesen wird nun so langegedreht, bis der Strahl entweder

• die Mitte der Zielscheibe trifft

oder

• so weit verschoben werden musste, dass der Strahl die Irisblende nicht mehr passiert.

Im ersten Fall ist dieser Teil der Justierung abgeschlossen. Im zweiten Fall wird derReiter, auf dem sich der Spiegel befindet, nach vorne oder hinten geschoben. Eine Ver-schiebung nach vorne bewirkt, dass der Strahl nach rechts wandert, eine Verschiebungnach hinten, dass dieser nach links wandert. Trifft der Strahl dadurch die Offnung derIrisblende wieder, kann weiter mit den Schrauben am Spiegel justiert werden.Diese Schritte werden so lange wiederholt, bis der Strahl die Mitte der Zielscheibe trifft.Anschließend wird die Irisblende entfernt und der Reiter mit der Zielscheibe die kom-plette Bank entlang geschoben. Der Strahl sollte nicht auf der Zielscheibe wandern. Beidiesem Schritt ist es wichtig, den Reiter mit der Zielscheibe zu sich selbst hinzuziehen,um zu gewahrleisten, dass eine Bewegung des Strahls nicht durch ein Hin- und Herschie-ben der Zielscheibe hervorgerufen wird. Falls der Strahl dennoch nicht in der Mitte der

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4.4 Anleitung fur den Aufbau des Versuches

Scheibe bleibt, muss mit den Schrauben am Spiegel weiter feinjustiert werden. Zuletztwird die Zielscheibe wieder ans Ende der optischen Bank gesetzt.

2. Aufsetzen der beiden vorderen Linsen zur Erzeugung paralleler StrahlenNun werden nacheinander die Linsen platziert. Dabei zeigt immer die plane Seite derplan-konvexen Linsen zum Focus und die plane Seite zum parallelen Strahl hin. Es istdarauf zu achten auf keinen Fall in die Linsen zu fassen, da diese fur den Versuch sonstunbrauchbar werden.Die erste Linse hat die Brennweite 50mm und wird in etwa 9cm Abstand zum Spiegelpositioniert. Der Laser soll die Linse moglichst mittig treffen. Aus diesem Grund konnendie Linsen in der Hohe und links/rechts verstellt werden. Wird die Linse in der Mittegetroffen, befindet sich der Laserpunkt nach wie vor in der Mitte der Zielscheibe.Die zweite Linse hat eine Brennweite von 200mm und soll ebenfalls in der Mitte getroffenwerden. Hier gelten dieselben Kriterien wie schon bei der ersten Linse.Fur einen parallelen Strahl muss der Abstand der beiden Linsen die Summe der Brenn-weiten, also 250mm, sein. Um dies zu kontrollieren kann erneut die Zielscheibe verwendetwerden: Schiebt man diese nach vorne oder hinten, sollte die Große des Laserpunkts aufder Zielscheibe stets gleich bleiben. Wird der Punkt großer oder kleiner, muss der Ab-stand zwischen den Linsen so lange verandert werden, bis die Große konstant bleibt.Die Zielscheibe kann nun entfernt werden.

3. Einsetzen des Probenhalters und Aufstellen des StrahlteilersIn etwa 17cm Abstand hinter den Linsen wird die Halterung fur die Versuchsmaskeplatziert. Direkt dahinter wird der Strahlteiler so aufgestellt, dass er mittig getroffenwird. Eine Linse (Brennweite 150mm) soll daneben so montiert werden, dass sie mit derplanen Seite zum Strahlteiler zeigt und der vom Strahlteiler abgelenkte Strahl diese trifftund an der Wand abgebildet wird.

Zum Schluss wird die Kamera mit dem Objektiv auf die Bank gesetzt und so nah wie moglichan den Stahlteiler heran geschoben.Um sicherzustellen, dass der Strahl wirklich mittig ausgerichtet ist und der Kamerachip zen-tral getroffen wird, wird eine Probeaufnahme aufgenommen. Dazu wird nun die Abdeckungvom Objektiv entfernt. Im Terminal SPEC wird mit dem Befehl

”ct 0.1“ ein Bild bei einer

Belichtungszeit von 0.1s aufgenommen. Gibt man in matlab den Befehl”image spec(5)“ ein,

wird dieses direkt angezeigt. Befindet sich der Lichtpunkt des Lasers in der Mitte des Bildes,ist der Aufbau abgeschlossen. Sollte dies nicht der Fall sein, kann die Objektivlinse ein wenigverschoben werden. Eine Verschiebung nach oben und unten bewirkt jedoch eine Verschiebungauf dem Bild am Computer nach links und rechts und umgekehrt, da die Kamera die Bilderum 90° dreht. Mit Hilfe weiterer Probeaufnahmen kann sichergestellt werden, dass der Strahlden Chip wirklich mittig trifft. Ist dies abgeschlossen, wird der Befehl

”image spec(5)“ durch

ein Drucken von”Strg+C“ im Eingabefeld von matlab beendet.

Die Intensitat des Lasers muss mit den Polarisatoren so weit heruntergedrehtwerden, dass dieser nach dem Ausschalten des Lichts auf einem weißen Papiernur sehr schwach zu sehen ist! Ansonsten kann der Chip in der Kamera zerstortwerden.Nun werden bei einer Belichtungszeit von 0, 1s Bilder des Strahls aufgenommen. Die Positi-on der Linse ist dann passend, wenn die Abbildung des Lasers auf den Bildern am kleinsten ist.

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4 Beschreibung und Durchfuhrung des Versuches

4.5 Durchfuhrung des Versuches

Ist der Versuch wie oben angegeben aufgebaut, kann die Versuchsmaske in den Halter einge-setzt werden. Diese soll dabei nur am Rahmen angefasst werden, um eine Verschmutzung derMaske zu verhindern. Sie wird so wie in 4.1 gezeigt, also um 90° gedreht, eingespannt, umBilder zu erhalten, die der ursprunglichen Ausrichtung der Maske entsprechen. Die Aufschrift

”Optiklabor E17 Objektmaske1“ muss von der Seite, auf der sich der Spiegel befindet, les-

bar sein, da dies die chrombeschichtete Seite der Maske ist, die bewirkt, dass das Objekt derdurchsichtige Teil und die Beschichtung der undurchsichtige Teil der Maske ist.Zuerst werden Dunkelbilder bei ausgeschaltetem Laser aufgenommen. Wahrend der Mes-sungen wird zudem immer die Raumbeleuchtung ausgeschaltet. Fur die Messung wird derBefehl

”ct all“ in das Terminal SPEC eingetippt. Die Kamera nimmt nun sechs Bilder zu

verschiedenen Belichtungszeiten auf, was insgesamt ein wenig langer als eine Minute dau-ert. Anschließend wird im matlab Programm

”combine images.m“, das zuvor vom Betreuer

geoffnet und startbereit gemacht wurde, die Bildnummer des ersten Dunkelbildes, welche imTerminal SPEC ersichtlich ist, in die entsprechende Zeile (vgl. 4.10) eingegeben. Diese bleibtfur den Rest des Versuches bestehen.Die eigentlichen Messungen werden mit der ersten Zeile der Maske begonnen. Um diese rich-tig einzustellen, wird das Licht vorerst wieder eingeschaltet. Ist der Laserstrahl stark genugaufgedreht, so ist dieser auf der Maske sichtbar und die Maske kann so eingeschraubt werden,dass der Laserstrahl das Objekt 1.1 trifft. Nun wird das Licht wieder ausgeschaltet. Mit denSchrauben unten am Halter kann die Maske nach links und rechts verschoben werden. Im Hal-ter ist die Maske nach oben und unten verstellbar. Ist die Abbildung des Objekts, die durchden Strahlteiler an der Wand verursacht wird, gut sichtbar, kann die Aufnahme genauso wiebei den Dunkelbildern gestartet werden.In matlab wird nun die Bildnummer des ersten Beugungsbildes angepasst. Zu jedem Bild wirdeine matlab-Datei gespeichert. Hierzu muss in die entsprechende Zeile nur der Zielordner undder Name der neuen Datei eingegeben werden. Zusatzlich empfiehlt es sich, die Beugungsbilderdirekt abzuspeichern. Nun muss die erste Zelle nur noch ausgefuhrt werden, in dem auf dasSymbol, welches unter 4.10 zu sehen ist, geklickt wird. Die entsprechende Zelle muss dabeimarkiert sein. Das Programm skaliert die einzelnen Beugungsbilder nun gemaß ihrer Belich-tungszeit, legt diese ubereinander und zieht die Dunkelbilder ab.Nach und nach werden so Bilder von den einzelnen Objekten in den Zeilen 1 bis 5 der Maskeaufgenommen. Diese wird dabei immer so verschoben, dass das erwunschte Objekt getroffenwird. Dazu muss die Maske gegebenenfalls neu eingespannt und um 180° gedreht werden. Aufeine Aufnahme der Beugungsbilder 2.1 und 2.2 kann verzichtet werden, da die Lochblendendort schwer zu treffen und auszuwerten sind. Ebenso kann auf eine Aufnahme des Objekts 2.7verzichtet werden.

Abbildung 4.11: Symbol fur den Data Cursor.

Bei den Bildern der Fourier TransformHolography ist zu beachten, dass Ob-jekt UND Referenzloch bei der Aufnah-me vom Laserstrahl erfasst werden. Ne-ben der ersten Zelle wird auch die zwei-te Zelle des Programms ausgefuhrt. Da-zu wird zuerst das Beugungsbild derersten Zelle untersucht, in dem mit dem

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4.5 Durchfuhrung des Versuches

Abbildung 4.10: 1. (oben) und 2. (unten) Zelle des Auswertungsprogramms; die Pfeile gebenjeweils die Zeilen an, die fur den Versuch geandert werden mussen.

Lupen-Symbol die Mitte des Bildes ver-großert wird. Mit dem Data Cursor

(vgl. 4.11) werden die Koordinaten des Mittelpunktes des Beugungsbildes bestimmt. Diesewerden in der zweiten Zelle an der entsprechenden Stelle ebenso wie der Radius (fur die Re-konstruktion des Lehrstuhllogos etwa 10, fur die Gitter etwa 20) eingetragen. Dieser Kreisbewirkt, dass die Beleuchtungsfunktion aus dem Beugungsbild herausgeschnitten wird. Somitwird die Qualitat der rekonstruierten Bilder verbessert. In 4.10 sind die entsprechenden Zeilender 2. Zelle, welche verandert werden mussen, mit Pfeilen markiert. Fuhrt man die Zelle aus,werden das Beugungsbild mit dem rekonstruierten Kreis und die Rucktransformation mit derAutokorrelation und den rekonstruierten Bildern angezeigt. Das Bild kann unter

”Edit→ Co-

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4 Beschreibung und Durchfuhrung des Versuches

lormap“ durch die Eingabe anderer Werte neu skaliert werden, sodass die Rekonstruktionengut zu erkennen sind.Am Versuchsaufbau liegt eine zweite Maske aus. Der Betreuer wahlt aus dieser ein Objekt, des-sen Beugungsbild aufgenommen wird. Die Rekonstruktion soll in der Ausarbeitung erfolgen.Lassen Sie sich uberraschen!

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Literaturverzeichnis

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