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Strukturgleichungsmodellierung

FoV „Methodenlehre“FSU-Jena

Dipl.-Psych. Norman Rose

Strukturgleichungsmodelle mit latenten Variablen

Forschungsorientierte Vertiefung - Methodenlehre

Dipl.-Psych. Norman Rose

AgendaModelle mit latenten Variablen

Varianzen, Kovarianzen und Erwartungswerte in SEM– Modellspezifikation bei Pfadanalysen

Varianz-Kovarianzmatrix bei PfadanalysenErwartungswertvektoren bei Pfadanalysen

– Modellspezifikation bei Latenten-Variablen-ModellenVarianz-Kovarianzmatrix bei Latenten-Variablen-ModellenErwartungswertvektoren bei Latenten-Variablen-Modellen

Modelle mit latenten VariablenWarum latente Variablen?

– In psychologischen Fragestellungen sind Zusammenhänge, Varianzen, … , bzgl. nicht direkt beobachtbarer Konstrukte von Interesse.

– Korrelationen und Regressionskoeffizienten sind durch Messfehler gemindert!

Seine zwei manifeste Testwertvariablen, die messfehlerbehaftetsind, so folgt nach den Definitionen der klassischen Testtheorie:

1 1 1

2 2 2

YY

τ ετ ε

= += +

Modelle mit latenten Variablen

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )( ) ( )

1 2 1 1 2 21 2

1 2 1 1 2 2

1 21 2

1 2

1 21 2

1 2

1 2

, ,,

, | , 0

,,

Cov Y Y CovKor Y Y

Std Y Std Y Std Std

CovCov

Var Var

CovKor

Va

Var Var

r Var

τ ε τ ετ ε τ ε

τ τε ε

τ τ

τ ττ τ

τ τ

ε ε

+ += =

+ +

= =+ +

=

( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2 1 2

1 2 1 2

1

1 2

2 1 2

, ,

, ,

V

Cov Cov

Var Var Var Var

Kor Kor Y Y

ar Var

τ τ τ τ

τ τ τ τ ε

τ τ

ε+ +≥

≥

Modelle mit latenten VariablenRegressionskoeffizienten und Messfehler:

es folgt:

( )( )

1 2 0 1 2

* *1 2 0 1 2

|

|

E Y Y Y

E

α α

τ τ α α τ

= +

= +

( )( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( )

1 2 1 1 2 2 1 21

1 1 1

*

1

1 21

1

1

, , ,

,

VarCov Y Y Cov CovVar Y Var Var

Co

Va

vV

r

ar

τ ε τ ε τ τα

τ τ

τ τα

ε

τ

ε

+ += = =

+ +

=

*1 1α α≤

Modelle mit latenten VariablenIn Strukturgleichungsmodellen mit latenten Variablen wird zwischen dem Messmodell und dem Strukturmodell unterschieden:

Strukturmodell

Messmodell

Modelle mit latenten VariablenModellgleichungen:

– Messmodell:

In Mplus gibt es keine Variablen ξ, somit entfällt das Messmodell für die latenten exogenen Variablen (nur in LISREL!)

– Strukturmodell:in LISREL :

in Mplus :

Y Y

X X

= + Λ += + Λ +νν

Y η εX ξ δ

= + + +α B Γη η ξ ζ

= + +α Bη η ζ

Modelle mit latenten VariablenParametermatrizen (grau = nur LISREL):

( )( )

Vektor der manifesten Variablen Vektor der manifesten Variablen

Vektor der Intercepts d

Vektor der Intercepts der Regressionen

er Regressionen |

= Matrix der Regressionskoef

|

f

i

Y

X j

j

Y i

E

X

Y

X

Y

E

=

=

=

Λ

=

ν

ν

X

η

ξ

Y

( )( )

( )( )

. der Regressionen |

= Vektor der Residuen der Regressione

= Matrix der Regressionskoeff. der Regressionen |

= Vektor der Residuen der Regression

n |

= Var.-Kov.

en |

-Matrix der Resi

i

i

X j

j

E Y

E Y

E X

E X

ε

Λ

η

ε

Θ

δ

η

ξ

ξ

= Var.-Kov.-Matrix der Resdueni n

due

i

jδ

εδΘ

Modelle mit latenten Variablen

Parametermatrizen (grau = nur LISREL):

( )( )

Vektor der latenten endogenen Variablen

= Vektor der Residuen der Regressionen |

Vekto

Vektor der latenten exogenen Variablen

r der Intercepts der Regressionen |= Matr

,

ix de R,

r

k

l

k

k

E

E

η

η

ξ

η

=

=

=αB

ξξ

ξ

η

ζ η

η

= Matrix der Regressionskoeff. = Var.-Kov.-Matrix der exogenen Variablen

egressionskoeff.

= Var.-Kov.-Matrix der Resid

uen

m

l

l k

k

kη ηξ

ξ η

ζ

→

→ΓΦΨ

Vorläufige ZusammenfassungStrukturgleichungsmodelle mit latenten Variablen sind eine Verbindung von Faktorenanalyse und Pfadanalyse

Entsprechend gibt es zwei Modellgleichungen. Eine für das Messmodell („faktorenanalytischer Anteil“) und eine zweite für das Strukturmodell („pfadanalytischer Anteil“)

Die Strukturgleichungsmodellierung mit latenten Variablen erlaubt die Schätzung von Varianzen, Kovarianzen, Regressionskoeffizienten, etc. von/zwischen messfehlerbereinigten Variablen.

Datengrundlage in SEMDie Parameterschätzung und Modellgeltungkontrolle erfolgt auf der Basis der Varianz-Kovarianzmatrix S der manifesten Variablen, sowie deren Mittelwerte M in der Stichprobe.

Stichprobe Population

S ΣM µ

Schätzer

Schätzer

Datengrundlage in SEMWahre Varianz-Kovarianzmatrix Σ am Bsp. der multiplen Regression:

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1

1 1 1

1 2 1 2 2

1 3 1 3 2 3 3

,Σ =

, ,, , ,

Var YCov Y X Var XCov Y X Cov X X Var XCov Y X Cov X X Cov X X Var X

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Datengrundlage in SEMAufgrund der Modellgleichung folgt die Modellimplizierte Varianz-Kovarianzmatrix Σ(θ):

Elemente aus Σ(θ):

( )( )( )( )

1 2 3 1 2 1 3 2 3

1 1 2 1 3

1 2 2 3 2

1 3 2 3 3

2 2 2 2 2 21 1 2 3 1 2 , 1 3 , 2 3 ,

21 1 1 2 , 3 ,

21 2 1 , 2 3 ,

21 3 1 , 2 , 3

,

,

,

X X X X X X X X X

X X X X X

X X X X X

X X X X X

Var Y

Cov Y X

Cov Y X

Cov Y X

εβ σ β σ β σ β β σ β β σ β β σ σ

β σ β σ β σ

β σ β σ β σ

β σ β σ β σ

= + + + + + +

= + +

= + +

= + +

0 1 1 2 2 3 3Modellgleichung: Y X X Xβ β β β ε= + + + +

Datengrundlage in SEM

Wahre Erwartungswertstruktur am Bsp. der multiplen Regression:

modellimplizierte Erwartungswertstruktur:

( )( )( )( )

2

3

1

1E XE X

E

E X

Y⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( ) ( )( )( )( )

1

0 1 1 2

2

3

3

2 3

E XE XE

E X E X E X

X

β β β β+⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢

⎦

+

⎣

+

⎥

ModellspezifikationDie Modellimplizierte Varianz-Kovarianzmatrix als auch die modellimplizierte Erwartungswertstruktur ergibt sich aus der Modellspezifikation!

Nach der Modellspezifikation kann jedes Element der Varianz-Kovarianzmatrix und des Erwartungswertvektors mit gegebenen und/oder zu schätzenden Modellparametern dargestellt werden!

Die Modellspezifikation ist Resultat der Übersetzung inhaltlicher Hypothesen in Regressionsgleichungen und Parameterrestriktionen.

Modellspezifikation bei SEM mit latenten Variablen

Beispiel:


Varianz-Kovarianzmatrixam Beispiel:

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( )

( )( ) ( )

1

1 2 2

1 3 2 3 3

3 41 4 2 4 4

1 1 2 1 3 1 4 1 1

1 2 21 2 2

1

2 22

1

43

,, ,

Σ = ,, ,

, , , ,

,, , ,,

Var YCov Y Y Var YCov Y Y Cov Y Y Var Y

Cov Y YCov Y Y Cov Y Y Var Y

Cov Y X Cov Y X Cov Y X Cov Y X Var XCov X X Var XCov Y X Cov Y X Cov Y XCov Y X

Var Y

Var Y

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Die Varianz-Kovarianzmatrix enthält auch bei latenten Variablenmodellen wiederum nur die Varianzen und Kovarianzen der manifesten Variablen X und Y!


Messmodell am Beispiel:

Strukturmodell am Beispiel:

1 1 1 1

2 2 2 1 2

3 3 3 2 3

4 4 4 4

1 1 1 11

2 2 2 2

00

00

Y Y

Y Y

Y Y

Y Y

X X

X X

YYYY

XX

ν λ εν λ η εν λ η εν λ ε

ν λ δξ

ν λ δ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + × +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= + × +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 1 1 11 11

2 2 21 2 21 2

0 00

η α η γ ζξ

η α β η γ ζ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= + × + × +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠



Elemente aus

( ) ( )( )( )

( ) ( )

1 2 1 1 1 1 2 2 1 2

1 2 1

1 2 1 11 1 1

21 2 11 1 1

, ,Y Y Y Y

Y Y

Y Y

Y Y

Cov Y Y Cov

Var

Var

Var Var

ν λ η ε ν λ η ε

λ λ η

λ λ α γ ξ ζ

λ λ γ ξ ζ

= + + + +

=

= + +

⎡ ⎤= +⎣ ⎦

ΣYY


Varianz-Kovarianzmatrixam Beispiel:Elemente aus

( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 3 1 1 1 1 3 3 2 3

1 3 1 2

1 3 1 11 1 1 2 21 1 21 1 2

1 3 11 21 1 11 21 1 2

1 3 11 21 1 11 21 1 2

1

1

1 11 1

3 11 21

1

, ,

,

,

,

,

Y Y Y Y

Y Y

Y Y

Y Y

Y Y

Y Y

Cov Y Y Cov

Cov

Cov

Var Cov Var

Var Cov Var

ν λ η ε ν λ η ε

λ λ η η

λ λ α γ ξ ζ α γ ξ β η ζ

λ λ γ γ ξ γ β ξ ζ

λ λ γ γ ξ γ β ξ ζ

λ λ γ γ

η

α γ ξ ζ

= + + + +

=

= + + + + +

⎡ ⎤= + +⎣ ⎦⎡ ⎤= + +⎣ ⎦

=

+ +

+( ) ( ) ( ) ( )211 21 1 11 21 1 2Var Var Varγ β ξ γ β ζ ζ⎡ ⎤+ +⎣ ⎦

ΣYY



( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( )

( )( ) ( )

1

1 2 2

1 3 2 3 3

3 41 4 2 4 4

1 1 2 1 3 1 4 1 1

1 2 21 2 2

1

2 22

1

43

,, ,

Σ = ,, ,

, , , ,

,, , ,,

Var YCov Y Y Var YCov Y Y Cov Y Y Var Y

Cov Y YCov Y Y Cov Y Y Var Y

Cov Y X Cov Y X Cov Y X Cov Y X Var XCov X X Var XCov Y X Cov Y X Cov Y XCov Y X

Var Y

Var Y

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

ΣYX

ΣYY

ΣXX

ΣXY



Die Gesamte Varianz-Kovarianzmatrix kann als Zusammensetzung mehrerer Varianz-Kovarianzmatrizendargestellt werden:

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Σ ΣΣ

Σ ΣYY XY

YX XX


Modellimplizierte Varianz-Kovarianzmatrix – Allgemein:

Beachte:

( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

-1 -1

-1 -1 -1 -1

-1 -1

,

,

, ' ,

,

, , '

'

Y Y Y Y

Y Y

Y Y

Y Y

Y Y

Cov

Cov Cov

Cov

Cov Cov

ε

ε

ε

=

= + + + +

=

⎡ ⎤ ′= − + − +⎣ ⎦⎡ ⎤′ ′⎡ ⎤ ⎡ ⎤′= − − + − −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎡ ⎤′⎡ ⎤′= − + −⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

Σ

ν Λ ν Λ

Λ Λ

Λ I B Γ I B Γ Λ Θ

Λ I B Γ Γ I B I B I B Λ Θ

Λ I B ΓΦΓ Ψ I B Λ Θ

YY Cov Y Y

η ε η ε

η η + ε ε

ξ ζ ξ ζ +

ξ ξ ζ ζ +

+

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )-1 -1

, ,

,

Cov Cov

Cov

= + + + + + +

⎡ ⎤= − + − +⎣ ⎦

α B Γ α B Γ

I B Γ I B Γ

η η η ξ ζ η ξ ζ

ξ ζ ξ ζ

Modellspezifikation bei SEM mit latenten Variablen• Modellimplizierte Varianz-Kovarianzmatrix – Allgemein:

( )( )

( )( ) ( )

( )

( )

-1

-1

-1

,

,

, '

, '

'

Y Y X X

Y X

Y X

Y X

X Y

Cov

Cov

Cov

Cov

=

= + + + Λ +

=

⎡ ⎤= − +⎣ ⎦

= −

′=

′⎡ ⎤′ ′= −⎣ ⎦

Σ

ν Λ ν

Λ Λ

Λ I B Γ Λ

Λ I B ΓΦΛ

Σ Σ

Λ ΦΓ I B Λ

YX

XY YX

Y X

η ε ξ δ

η ξ

ξ ζ ξ



( )( )

( ) ( )

,

,

, ,X X X X

X X

X X

Cov

Cov

Cov Cov

δ

=

= + + + +

′= +

′= +

Σ

ν Λ ν Λ

Λ ΛΛ ΦΛ Θ

XX X X

ξ δ ξ δ

ξ ξ δ δ



( ) ( ) ( ) ( )

( )

-1 -1 -1

-1

'

'

Y Y X Y

Y X X X

ε

δ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎡ ⎤′ ′⎡ ⎤ ⎡ ⎤′ ′ ′− + − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦= ⎣ ⎦⎜ ⎟⎜ ⎟′− +⎝ ⎠

Σ ΣΣ

Σ Σ

Λ I B ΓΦΓ Ψ I B Λ Θ Λ ΦΓ I B ΛΣ

Λ I B ΓΦΛ Λ ΦΛ Θ

YY XY

YX XX

+

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