FP II Laserspektroskopie -...

Albert-Ludwigs-Universitat FreiburgFakultat fur Mathematik und Physik

FP II

Laserspektroskopie

Inhaltsverzeichnis

1 Laser und Diagnostik 31.1 Der Laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Die Optik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.2 Das Oszilloskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.3 Durchfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2 Physik des Resonators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.1 Frequenzmodulation der Laserdiode . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Spektroskopie 212.1 Eigenschaften von Rubidium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.1 Allgemein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1.2 Energieaufspaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Linienverbreiterung und Absorptionsquerschnitt . . . . . . . . . . . . 242.2.1 Arten der Linienverbreiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.2 Absorptionsquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3 Dopplerverbreiterte Spektroskopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3.1 Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3.2 Mathe-Einheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3.3 Durchfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4 Dopplerfreie Spektroskopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4.1 Lambdips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4.2 Crossover-Resonanzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4.3 Durchfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.5 Frequenzmodulations-Spektroskopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.5.1 Theorie der FM-Spektroskopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.5.2 Durchfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3 Polarisation von Licht 413.1 Der Jones-Formalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.1.1 Jones Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.1.2 Optische Elemente, Verzogerungsoptik . . . . . . . . . . . . . 45

1

2 INHALTSVERZEICHNIS

3.2 Vollstandige Bestimmung von Lichtpolarisation . . . . . . . . . . . . 473.2.1 Linearanalysator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2.2 Vollstandige Messung der Polarisation . . . . . . . . . . . . . 513.2.3 Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4 Quantenkoharenz 554.1 Magneto-optische Effekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.1.1 Die Magnetspule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.1.2 Der Stromtreiber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.1.3 Magneto-optische Effekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.1.4 Die Veranderung der Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . 61

A Beschreibung der Optik 65

B Forster Sonde 69

C Stromtreiber 73

D PBS 77

Kapitel 1

Laser und Diagnostik

1.1 Der Laser

Der LASER (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation) stellt ei-nes der wichtigsten Werkzeuge der modernen Experimentalphysik dar. Seine au-ßergewohnlichen Eigenschaften im Hinblick auf raumliche und zeitliche Koharenzeroffneten eine Vielzahl von moglichen Anwendungen, die nicht nur Grundlagenfor-schung beinhalteten. Das Prinzip und die Funktionsweise eines Lasers, besondersauch des im Versuch zum Einsatz kommenden Halbleiterdiodenlasers, findet manz.B. in [Hak-Wol], [May-Kuck] oder [Dem 3]. Dort findet man Information uberThemen wie z.B. die Laserdiodenstrom- und Temperaturabhangigkeit der emittier-ten Wellenlange, die Existenz der Laserschwelle usw.!

Halbleiterlaserdiode in Littrow-Anordnung

In dieser Anordnung reflektiert man einen Teil des von der Laserdiode emittiertenLichts wieder in sich zuruck. Dies geschieht mit einem Refelexionsgitter und einemKollimator, der zwischen Laserdiode und Reflexionsgitter sitzt (Abb. 1.1). Je nachPosition des Reflexionsgitters wird eine andere Wellenlange in die Laserdiode reflek-tiert und verstarkt. Fur die verstarkte Wellenlange erhalt man in Abhangigkeit desWinkels

2d sin(α) = λ.

Setzt man nun die Werte von 780,2 nm fur die Ubergangswellenlange und α =45 o (Ein- und Ausfallswinkel gleich) ein, so erhalt man als Gitterabstand d = 0,56µm,also 1.800 Linien pro mm. Naheres findet man in [Dem].

Die Laserdiode sitzt in der roten Box in der Ecke des Lasertischs, deren Deckel zumTeil aus Plexiglas besteht (. In ihrem Inneren befindet sich auch eine Platine, diezwei Aufgaben erfullt. Erstens schutzt sie (durch Dioden und Spulen) die Laserdiode

3

4 Laser und Diagnostik

Abbildung 1.1: Halbleiterlaserdiode in Littrow-Anordnung

vor Spannungsspitzen. Zweitens mischt sie den konstanten Stromanteil des Laserdi-odenstromtreibers mit dem hochfrequenten Signal aus dem VCO (siehe Resonator).Diese Aufgabe ubernimmt ein ,,Bias-T“ (der silberne Chip in der Ecke der Platine).Die Position der Frontplatte, in der das Reflexionsgitter sitzt, kann grob durch dreiMikrometerschrauben eingestellt werden. Nach dem Austritt aus der roten Box wirdder Lichtstrahl mit einem Strahlheber (zwei Spiegel) auf eine Hohe gehoben, in dersich besser mit ihm arbeiten laßt.

Abbildung 1.2: Das Lasersystem

Laserdiodenstromtreiber

Die Versorgung der Laserdiode ubernimmt der Konstantstromtreiber LDC 202 derFirma Thorlabs (Abb. 1.4). Der Laserdiodenstrom ILD kann uber ein Drehpotentio-

1.1. DER LASER 5

meter zwischen 0 und 100mA eingestellt werden. Dieser kann auf der Digitalanzeigeabgelesen werden. An der Hinterseite des Gerates befindet sich ein Modulationsein-gang (,,modulation in“), an welchem man z.B. eine Spannungsrampe des Funkti-onsgenerators (Abb. 1.3)mit einer Amplitude von bis zu 10V anlegen kann. Damitkann man den Laserdiodenstrom ILD und somit die Wellenlange des Laserlichtsdurchstimmen.

Abbildung 1.3: Funktionsgenerator

Temperatursteuerung

Die Temperatur der Laserdiode wird vom Temperatur-Controller TED 200 der Fir-ma Thorlabs gesteuert (Abb. 1.4). Dicht unterhalb der Laserdiode sitzt ein Thermofuhlerder Bauart AD 590 (temperaturabhangiger Widerstand), der dem TED 200 sagt,wie groß die momentane Temperatur TACT der Laserdiode ist. Der Temperatur-Controller vergleicht diesen Widerstand mit der eingestellten Temperatur TSET undgibt ein Signal (Spannung) an das Peltier-Element weiter (dieses sitzt unter demAluminium-Block, in welchem sich die Laserdiode befindet). Dieses wird von einemPID-Regler erzeugt. Uber einen Modulationseingang konnte die Temperatur der La-serdiode genauso moduliert werden. Diese Methode der Modulation ware jedoch sehrtrage und wird deshalb im Versuch nicht benutzt.

Steuerung der Position des Gitters

Die Frontplatte, die vor der Laserdiode sitzt und in der sich das Reflexionsgitter be-findet, wird von einem Piezoelement bewegt. Seine Position wird uber einen Single


Abbildung 1.4: Laserdiodenstromtreiber Thorlabs LDC 202 (unten) und Temperatur-Controller Thorlabs TED 200

Channel Piezo Controller MDT694A der Firma Thorlabs durch einen Funktionsge-nerator gesteuert. Der Piezo Controller addiert einen zusatzlichen Offset zwischen0 und 150V, den man an der Digitalanzeige ablesen kann. An seinen Eingang legtman die Rampe des Funktionsgenerators.

Feed-Forward

Wird nun der Laserdiodenstrom ILD bzw. das Reflexionsgitter alleine durchgestimmt(verandert), so treten schon innerhalb kleiner Modulationsamplituden Modensprungeauf, die man naturlich vermeiden mochte. Was ist ein Modensprung? Deshalb stimmtman den Laserdiodenstrom und die Position des Reflexionsgitters gleichzeitig durch.Dieses Prinzip nennt sich ,,Feed-Forward“. Dies muss aufeinander abgestimmt ge-schehen. Im Versuch splittet man uber ein T-Stuck das Signal des Funktionsgene-rators in zwei Teile auf. Ein Teil des Signals moduliert uber den Piezo Controllerdas Reflexionsgitter. Von dem zweiten Signal gibt man mittels eines Drehpotentio-meters nur einen Teil seiner Amplitude auf den Modulationseingang des Stromtrei-bers. Damit kann man einen sehr viel großeren, modensprungfreien Bereich erhalten

1.1. DER LASER 7

Abbildung 1.5: Piezo Controller

(≈ 8GHz, was bei der Ubergangswellenlange von 780,2 nm etwa 0,02 nm entspricht.Man moduliert die Ubergangswellenlange also nur in der Großenordnung von 10−4!).

VCO-System

Fur die Versuchsteile mit der Frequenzmodulation benotigt man einen VCO (VoltageControlled Oscillator), der den konstanten Laserdiodenstrom des Laserdiodenstrom-treibers hochfrequent (≈ 50MHz) modulieren kann. Mit einem spannungsgeregeltenAbschwacher laßt sich die Starke der Modulation (der Modulationsindex) variieren.Der VCO wird mit einer Spannung von +12V betrieben. Beide Bauteile haben einenCON-Eingang. Beim VCO dient dieser der Variation der Modulationsfrequenz, beimAbschwacher der Anderung des Modulationsindex . Der VCO besitzt einen weiterenAusgang AUX, an den man einen Frequenzzahler (Counter) anschließen kann. Da-mit laßt sich die Modulationsfrequenz sehr genau ablesen. Das VCO-System ist ander Umrandung auf einer Aluminiumplatte angebracht (Abb. 1.7).


Abbildung 1.6: VCO-Tune

Abbildung 1.7: VCO-System

1.1.1 Die Optik

Der Versuch benotigt einige optische Elemente:

• Spiegel

• Optischer Isolator

• Prismenpaar

• Halb- und Viertelwellenplattchen

• Polarizing Beam Splitter (PBS)

• Abschwacher verschiedener Transmission

• Linse (zum Fokussieren des Strahls auf eine Photodiode)

1.1. DER LASER 9

• Photodiode (passiv und aktiv)

• Infrarot-Karte

• Fingerkamera

Diese werden im Anhang erklart.

Abbildung 1.8: Optik auf dem Breadboard

1.1.2 Das Oszilloskop

Im Versuch kommt ein digitales Speicheroszilloskop zum Einsatz (Abb. 1.9). Mitihm hat man die Moglichkeit, Messdaten auf eine Compact-Flash-Karte, wie sieheutzutage z.B. auch in Digitalkameras zu finden ist, zu speichern oder sie direktausdrucken zu lassen. Bei der Speicherung auf der Speicherkarte kann man zusatzlichzum Graphen auch die Datensatze speichern. Diese kann man uber einen Cardreadervia USB auslesen. Das Oszilloskop hat zahlreiche Funktionen wie Cursor, Speicherusw. . Die Cursorfunktion erweist sich dabei als besonders hilfreich. Mit ihrer Hilfereduziert sich die Datenauswertung enorm.Die Bedienungsanleitung fur das Tektronix TDS 1002 befindet sich auf der Versuchs-homepage.


Abbildung 1.9: Oszilloskop

Testfragen: Das Lasersystem T1

• Was ist ein Modensprung?

• Was versteht man unter einem Piezo?

• Wie funktioniert ein PID-Regler?

• Warum benutzt man ein Prismenpaar?

1.1.3 Durchfuhrung

Mit der λ/2–Plattchen–PBS-Kombination direkt hinter dem Prismenpaar kann dieIntensitat des Strahls gesteuert werden. Durch Drehen des λ/2–Plattchens andertsich die Polarisationsebene des linear polarisierten Lichts und damit auch die senk-rechte bzw. waagrechte Komponente des Polaristionsvektors. Der PBS spiegelt Lichtder senkrechten Komponente zur Seite weg. Die Kombination fungiert also als einvariabler Strahlteiler.

Aufgaben: Der Laser A1

• Bestimme die Laserschwelle (zunachst grob) mit der Infrarot-Karte!

• Nimm eine Leistung-Strom-Kennlinie fur die drei moglichenWiderstande der Photodiode auf und eiche die Achsen!

1.1. DER LASER 11

Laserschwelle

Ab welcher Stromstarke fangt die Laserdiode an zu ,,lasen“? Da wir das Laserlichtnicht direkt sehen konnen (es ist infrarot) nehmen wir uns optische Sensoren zu Hilfe.Dazu steht erstens eine IR-Karte zur Verfugung. Als zweite Moglichkeit kann manReflexionen von infrarotem (und sichtbarem) Licht auch mit der Fingerkamera aufdem kleinen Monitor sichtbar machen. Diese eignet sich deshalb gut zum Justierendes Strahls z.B. auf eine Photodiode.

Leistung-Laserdiodenstrom-Kennlinie

Wir wollen die passive Photodiode fur die drei Widerstande eichen. Dazu messenwir die Photodioden-Spannung UPD, die , bei konstantem Widerstand, proportionalzur Photodioden-Leistung ist, in Abhangigkeit des Laserdiodenstroms ILD. In demDiagramm UPD gegen ILD laßt sich die Photodiode sehr schon charakterisieren.

Abbildung 1.10: Versuchsaufbau zur Eichung der Photodiode


Wir wollen den Resonator als Frequenzlineal verwenden, deshalb betrachten wir ersteinmal seine Funktionsweise und seine Eigenschaften.

1.2 Physik des Resonators

Ein Spiegel-Resonator (im Englischen ,,cavity“) besteht aus zwei auf der optischenAchse liegenden, teildurchlassigen Spiegeln S1 und S2 im Abstand L (Abb. 1.11).Ein Resonator heißt optisch stabil, wenn ein paraxialer Lichtstrahl im Resonatorauch nach vielen Reflexionen an den Spiegeln den Resonator nicht verlasst. Wirverwenden in diesem Versuch einen konfokalen Resonator, weil er auch bei kleinenLangenanderung stabil bleibt. Die Krummungsradien R1 und R2 der beiden Spiegelentsprechen in diesem Fall genau der Lange L des Resonators, es gilt also: R1 =R2 = L. Der Gangunterschied zwischen durchlaufendem und reflektiertem Strahlbetragt beim konfokalen Resonator 4L.

Abbildung 1.11: Der optische Resonator

Es kommt zu konstruktiver Interferenz, wenn dieser Gangunterschied gerade m · λbetragt:

4L = mλ mit λ =c

fmn(1.1)

fm =mc

4Lnmit Brechungsindex n und m ∈ N. (1.2)

Der Abstand zweier Transmissionslinien heißt freier Spektralbereich ∆fFSR (Abb. 1.12).Es gilt:

∆fFSR = fm+1 − fm =c

4Ln(1.3)

1.2. PHYSIK DES RESONATORS 13

Auf Grund von Reflexionsverlusten an den Spiegeln haben die Transmissionslinieneine endliche Halbwertsbreite δf .Die Finesse F des Resonators ist ein Maß fur die Anzahl der Umlaufe eines Pho-tons im Resonator. Sie hangt also direkt von der Reflektivitat der Spiegel ab undberechnet sich uber den Quotienten von freiem Spektralbereich und Halbwertsbreite:

F =∆fFSR

δf(1.4)

Literaturhinweise: [Dem 3], [Mesch]

Abbildung 1.12: Freier Spektralbereich ∆fFSR und Halbwertsbreite δf

1.2.1 Frequenzmodulation der Laserdiode

Im Folgenden bedeutet c.c. komplex konjugiert. Das Lichtfeld der Laserdiode mitder Kreisfrequenz ω0 lasst sich durch

E(t) = E0 cos (ω0t) (1.5)

=E0

2(eiω0t + e−iω0t) (1.6)

beschreiben. Dabei ist die Kreisfrequenz proportional zum Laserdiodenstrom. Mo-duliert man den Strom periodisch mit der Modulationsfrequenz ωM :

I(t) = I0 + IM sin (ωM t) (1.7)

so bewirkt dies eine Frequenz- bzw. Phasenmodulation des Lasers:

E(t) =E0

2e i (ω0t+M sin(ωM t)) + c.c. (1.8)

Der Modulationsindex M ist eine dimensionslose Große und hier proportional zuIM . Die momentane Phase (das Integral uber die Kreisfrequenz) ist ψ(t) = ω0t +


M sin(ωM t).Betrachten wir eiM sin (ωM t) genauer. Es gilt:

eiM sin(ωM t) = eiMx

2 · e−iM2x (mit x = eiωM t) (1.9)

=∞∑

r=0

(M

2

)rxr

r!

∞∑s=0

(−1)s

(M

2

)sx−s

s!(1.10)

!=

∞∑n=−∞

Jn(M) xn (1.11)

Die Koeffizienten Jn heißen n-te Besselfunktionen und haben folgende Gestalt:

Jn(M) =∞∑

s=0

(−1)s

s!(n+ s)!

(M

2

)n+2s

(1.12)

Somit erhalt man:

E(t) =E0

2eiω0t

∞∑n=−∞

Jn(M) einωM t + c.c. (1.13)

Das Lichtfeld setzt sich also aus Komponenten ω0 ± nωM zusammen (Abb. 1.13):

Abbildung 1.13: Schema des FM-Spektrums bei konstantem ωM und wachsendem M

Man nennt ω0 den Trager und w0 ± nωM das n-te Seitenband. Wir interessieren unsfur die Intensitaten der einzelnen Frequenzkomponenten, welche zu Jn

2 proportionalsind (Abb. 1.15):


Abbildung 1.14: Transmissionspeaks mit Seitenbandern

Abbildung 1.15: Intensitaten der n-ten Besselfunktionen


Durchfuhrung

Abbildung 1.16: Versuchsaufbau fur die Experimente am Resonator

Testfragen: Der Resonator T2

• Wieso braucht man zwei Spiegel, um in den Resonator einzu-koppeln?

• Warum sollte bei einem Resonator die Finesse moglichst großsein?

• Warum werden die Scans mit einem Dreieck- und nicht miteinem sinusformigen Signal durchgefuhrt?

• Welche Scan-Moglichkeiten gibt es, um die Cavity-Peaks zusehen?

Einkoppeln in den Resonator

Zuerst ein paar Tipps zum Einkoppeln des Strahls in den Resonator, falls z.B. malein Spiegel verstellt sein sollte. Dazu musst ihr naturlich die Cavity scannen. Warum(Wie das funktioniert folgt im nachsten Absatz)?Zuerst baut man den Resonator aus. Danach stellt man die beiden Spiegel so ein,dass der Strahl horizontal uber den Lasertisch verlauft. Dieser wird nun auf diePhotodiode, die hinter dem Resonator stehen soll, justiert. Nun bringt man den Re-sonator wieder so in den Strahlengang ein, dass der Strahl die beiden Spiegel mittigtrifft. Als nachstes schaut man sich das Signal der Photodiode auf dem Oszilloskopan. Jetzt geht es an die Feinjustage der beiden Einkoppelspiegel.Die im Folgenden beschriebene Technik nennt man Beamwalk. Optimiert die Hoheder Transmissionspeaks mit den Mikrometerschrauben. Danach verstellt ihr an ei-nem der Einkoppelspiegel die Y-Richtung. Dadurch verringert sich die Hohe der


Transmissionspeaks. Jetzt versucht ihr, die Y-Richtung des anderen Einkoppelspie-gels so nachzujustieren, dass die Peakhohe wieder optimal ist. Ist diese nun groserals vorher, so dreht ihr beim ersten Einkoppelspiegel die Mikrometerschraube furdie Y-Richtung weiter in die gleiche Richtung und versucht erneut, diese Anderungmit dem anderen Einkoppelspiegel zu kompensieren. Das macht ihr so lange, bis diePeakohe nicht mehr zunimmt.Danach die gleiche Prozedur fur die x-Richtung.

Scan des Resonatorpiezos

Die Lange des Resonators laßt sich durch die Lange des Piezos andern, der dieLage eines Resonatorspiegels in Richtung der optischen Achse verandern kann. DieLange ist proportional zur angelegten Spannung. Diese darf nicht negativ werden,um die Polaritat des Piezos nicht aufzuheben. Das macht der Hochvolverstarkerautomatisch, indem er dem Signal einen Offset zwischen +40 und +110 V addiert.Dabei wird die Modulationsamplitude des Funktionsgenerators (maximal 10V) imHochvoltverstarker vervierfacht. Die Spannung wird also auch mit Modulation nichtnegativ.Auf Grund der Tragheit und der Vermeidung von Eigenschwingungen des Piezos, dieim kHz-Breich auftreten, sollte die Modulationsfrequenz nicht großer als 20 Hz sein!Die Amplitude des aufmodulierten Signals am Funktionsgenerator ist am besten soeinzustellen, dass etwa drei Transmissionspeaks zu sehen sind.Man kann die Lange des Resonators andern, indem man ein wenig am Gewindedreht, mit dem man grob die Lange des Resonators verandern kann. Dabei fallt auf,dass die Peaks kleiner und breiter werden. Warum?

Aufgaben: Resonator und Frequenzmodulation A2

1. Zu bestimmen ist

• der freie Spektralbereich ∆fFSR

• aus dem freien Spektralbereich die Lange des Resonators

• die Finesse F des Resonators

2. Miss die Piezo-Frequenz-Charakteristik der Laserdiode!

3. Charakterisiere die Frequenzmodulation!


Freier Spektralbereich, Lange des Resonators und Finesse

Um den freien Spektralbereich bestimmen zu konnen, braucht man eine Referenz-frequenz. Die Idee dabei ist, dem Laser eine Hochfrequenz aufzumodulieren. DerAbstand zwischen Trager und n-tem Seitenband entspricht der n-fachen Modula-tionsfrequenz. Erhohe mit dem Drehpotentiometer ,,Amplitude“ die Leistung desVCOs und beobachte am Signal der hinter dem Resonator stehenden PD die Ent-stehung der Seitenbander. Den Abstand der Seitenbander benutzen wir zur Eichungder Frequenzachse. Die benotigte Hochfrequenz liefert das VCO-System.

Strom-Frequenz-Charakteristik

Wir benutzen nun den Resonator als Spektralanalysator. Verandert man den Stromum ∆I, so kommt es zu einer Frequenzanderung von ∆f . Diese kann man mes-sen, indem man die Transmissionspeaks abzahlt, die eine markierte Stelle passieren.Sind es r Linien, so ist die Frequenzdifferenz ∆f = r∆fFSR. Eleganter ist naturlich,den Strom nicht von Hand zu verandern, sondern ihn mit dem Funktionsgeneratorzu modulieren und die Transmissionspeaks und die Modulation mit Hilfe des Os-zilloskops auszumessen. Zu bestimmen ist ∆f

∆I. Um wieviel Prozent kann man die

Laserfrequenz maximal mit dem Strom verandern?

Charakterisierung der Frequenzmodulation

Zur Charakterisierung der Frequenzmodulation misst man die Intensitaten des Tra-gers und der Seitenbander in Abhangigkeit des Modulationsindex M . Stellt die Am-plitude des Funktionsgenerators so ein, dass ihr nur einen Transmissionspeak seht.An dieser Einstellung sollte wahrend dieser Messung nichts mehr verandert werden.Sonst musste man zusatzliche und uberflussige Umrechnungen durchfuhren.Schaut euch auch das VCO-Signal direkt am Oszilloskop an.Der Modulationsindex M ist zur Amplitude des VCOs proportional. Ist die Ampli-tude des VCOs ganz auf Null gedreht, so sieht man einen Peak (man befindet sichbeim 1. Maximum der 0. Besselfunktion). Wenn man nun die Amplitude langsamvergroßert, so treten die ersten Seitenbander hervor und der Peak 0.Ordnung wirdkleiner.Der Trager (n=0) hat sein erstes Maximum bei M=0, sein erstes Minimum beiM=2,41, usw. In Table 1.1 sind die Modulationsindizes fur die Minima und Maximader Intensitat der Besselfunktionen angegeben. Vergleicht die Amplituden des VCOsund die jeweiligen Peakhohen an den ersten charakteristischen Punkten (Minima undMaxima des Tragers und der Seitenbander) mit den theoretischen Werten (naturlichmuss dazu die Amplitude normiert werden). Druckt euch ein paar charakteristischeBilder aus.


Max Min Max Min Max Min MaxJ2

0 1. 0(1) 3. 2.41 5. 3.83(0.162) 5.52 7.02(0.090) 8.65 10.17(0.062)J2

1 2. 1.84(0.339) 5. 3.83 ... 5.33(0.120) 7.02 8.54(0.075) 10.17J2

2 4. 3.05(0.237) ... 5.14 6.70(0.089) 8.42 9.97(0.065)J2

3 ... 4.20(0.189) 6.38 8.02(0.085) 9.76J2

4 5.32(0.160) 7.59 9.28(0.08)J2

5 6.41(0.140) 8.77

Tabelle 1.1: Modulationsindizes fur die Minima und Maxima der Intensitaten der Bes-selfunktionen bis zur funften Ordnung. In Klammern stehen die jeweiligen Amplituden.

Kapitel 2

Spektroskopie

2.1 Eigenschaften von Rubidium

2.1.1 Allgemein

Rubidium (Rb) ist ein Alkalimetall, d.h. es besitzt ein einzelnes Elektron in seinerAußenschale und hat somit ein wasserstoffahnliches Termschema. Es existieren zweiIsotope (85Rb und 87Rb) und ist außerst reaktiv, kommt also in der Natur nichtungebunden vor. 85Rb ist ein stabiles Isotop, 87Rb zerfallt sehr langsam (seine Halb-wertszeit betragt ca. 4·1010 Jahre) uber β− zu 87Sr (Strontium). Die Aktivitat istallerdings so gering, dass im Versuch keine besonderen Schutzmaßnahmen getroffenwerden mussen. Naturliches Vorkommen: 72% fur 85Rb und 28% fur 87Rb.Im Versuch untersuchen wir die D2-Linie, d.h. den Ubergang 52S1/2 → 52P3/2 [inder spektroskopischen Notation n2S+1LJ , wobei n = Hauptquantenzahl, S = Elektro-nenspin, L = Bahndrehimpuls und J = Gesamtdrehimpuls]. Um diesen zu treiben,muss man Laserlicht mit einer Wellenlange von 780,2 nm einstrahlen [?]. Es trittauch eine Isotopenverschiebung auf, d.h. die beiden Grundzustande 85Rb 52S1/2 und87Rb 52S1/2 liegen nicht auf gleichem Energieniveau.

2.1.2 Energieaufspaltung

Dieser Abschnitt soll nur einen kurzen Uberblick uber das Thema der Energieauf-spaltungen geben. Naheres findet man z.B. in [?] oder auch in [May-Kuck].

Feinstrukturaufspaltung

Die beiden Ubergange 52S1/2 → 52P3/2 und 52S1/2 → 52P1/2 bilden ein Feinstruktur-Dublett. Jeder dieser beiden Ubergange zeigt zusaztlich Hyperfeinstruktur. Die Fein-struktur ist eine Folge der Kopplung des Bahndrehimpulses L des außeren Elektrons

21

22 Spektroskopie

mit seinem intrinsischem Spin S auf Grund der magnetischen Wechselwirkung. Dar-aus resultiert der elektronische Gesamtdrehimpuls zu

J = L + S.

Diese Tatsache hat das Aufreten einer weiteren Quantenzahl J zur Folge, die diehalbzahligen Werte

| L− S |≤ J ≤| L+ S |annehmen kann (hierbei ist

√J(J + 1)~ der Betrag von J und mJ~ der Eigenwert

von Jz).Beide Isotope haben im Grundzustand J = 1/2, da L = 0 und S = 1/2, im erstenangeregten Zustand (L = 1) gilt J = 1/2 oder J = 3/2. Er spaltet also in zwei Kom-ponenten auf (→Feinstruktur!). Bei einem Ubergang von L = 0 nach L = 1 sprichtman von der D-Linie, die demnach auch in eine D1- und eine D2-Linie aufspaltet.Im Versuch untersuchen wir nur die D2-Linie (Abb. 2.1). Fur einen Ubergang giltdie Auswahlregel ∆L = ±1.

Hyperfeinstrukturaufspaltung

Die Hyperfeinstruktur wiederum ist eine Folge der Kopplung zwischen J und demGesamtdrehimpuls des Kerns I. Der resultierende Gesamtdrehimpuls des Atomsergibt sich zu

F = I + J.

Analog zur Feinstruktur kann F die Werte

| I − J |≤ F ≤| I + J |

annehmen. Hier ergeben sich jetzt unterschiedliche Werte fur die beiden Isotope 85Rb(I = 5/2) und 87Rb (I = 3/2), wie sie im Termschema zu erkennen sind (hierbei giltdie Auswahlregel ∆F = 0,±1 fur optische Ubergange):

Im Versuch wollen wir die Hyperfeinstruktur der beiden Isotope bestimmen. Manbeachte das Auflosungsvermogen im MHz-Bereich verglichen mit der Ubergangsfre-quenz von 384,2 THz! Somit erreicht man eine Genauigkeit von ca. 10−6!

Testfragen: Eigenschaften von Rubidium T3

• Welche Auswirkungen hat die Existenz der beiden Isotope aufdas Absorptionsspektrum?

• Warum ist der optische Ubergang von 52P3/2 ←→ 52P1/2 nichterlaubt?

2.1. EIGENSCHAFTEN VON RUBIDIUM 23

Abbildung 2.1: D2-Linien von 85Rb und 87Rb mit allen Fein- und Hyperfeinstrukturkom-ponenten und der Isotopenverschiebung

24 Spektroskopie

2.2 Linienverbreiterung und Absorptionsquerschnitt

2.2.1 Arten der Linienverbreiterung

Naturliche Linienbreite

Die naturliche Linienbreite ∆fN hangt von der mittleren Lebensdauer τ desangeregten Zustands des Atoms ab. Es gilt:

∆fN =∆E

h=

1

2πτ(2.1)

Der Zustand 52P3/2 hat (bei beiden Isotopen) eine Lebensdauer von τ = 26, 5ns.Die naturliche Linienbreite der Rb-Linien betragt demnach ∆fN ≈ 6MHz.

Dopplerverbreiterung

Auf Grund der thermischen Bewegung der Atome sind die Spektrallinien dopp-lerverbreitert. Die Geschwindigkeiten der Atome lassen sich durch die Maxwell-Verteilung beschreiben.Der Erwartungswert der Geschwindigkeit betragt v =

√2kBT/m. Zu einer gege-

benen Temperatur T betragt die Wahrscheinlichkeit P , ein Atom im Geschwindig-keitsintervall [v, v+dv] zu finden

P (v) dv =1√πve−( v

v)2dv. (2.2)

Zusammen mit der Relation von Geschwindigkeit und Frequenzverschiebung

f(v) = f(1− v

c

)ergibt sich die volle Halbwertsbreite der Spektrallinie (FWHM) zu:

∆fD =1

λ

√8kBT ln 2

m(2.3)

Dabei ist kB die Boltzmannkonstante, m die Masse und λ die Ubergangswellenlange.Literaturhinweise: [Dem3], [Mesch]

2.2.2 Absorptionsquerschnitt

Fur eine gegebene Teilchendichte n kann man den Absorptionsquerschnitt aus demLambert-Beer’schen Gesetz bestimmen. Dieses lautet:

I(d) = I(0)e−nσd (2.4)

2.2. LINIENVERBREITERUNG UND ABSORPTIONSQUERSCHNITT 25

wobei n die Teilchendichte, d die Schichtdicke und σ der Absorptionsquerschnitt ist.

Bei einem (einfachen) Zwei-Niveau-System kann man den Absorptionsquerschnittnaherungsweise wie folgt angeben:

σ0 ≈λ2

2π(2.5)

Diese Formel gilt nur, wenn alle Atome Licht mit derselben Frequenz sehen. Wirmussen daher σ0 noch mit einem Faktor (< 1) multiplizieren. Diesen Faktor kannman durch ∆fN

∆fDannahern. Man erhalt:

σ ≈ σ0∆fN

∆fD

≈ λ2

2π

∆fN

∆fD

(2.6)

Nun mussen wir nur noch die Teilchendichte des Rubidiums wissen. Der Dampfdruckvon Rb bei 25oC betragt PV = 3, 0 · 10−7 torr (1 torr = 1, 33322 hPa). Daraus kannman die Teilchendichte bestimmen.

Testfragen: Linienverbreiterungen und Absorptionsquer-schnitt T4

• Welche Arten von Linienbreiten gibt es bei optischenUbergangen zwischen Energieniveaus? Welche dominiert beiRubidium-Dampf bei Zimmertemperatur?

• Leite die Halbwertsbreite der dopplerverbreiterten Linien ausder Maxwell-Boltzmann-Verteilung ab!

• Welche Dopplerbreite erwartet man fur eine Linie bei Zim-mertemperatur (λ = 780,2 nm, mittlere Atommasse: m(Rb)= 85,4678 u)?

• Wie sieht erwartungsgemaß das Absorptionsspektrum in derNahe der Wellenlange 780,2 nm aus?

• Berechne die Teilchendichte n in der Rb-Zelle!

• Wie groß ist der Absorptionsquerschnitt fur Rubidium nachder Naherungsformel?

• Welcher Teil der Intensitat wird also absorbiert?

26 Spektroskopie

2.3 Dopplerverbreiterte Spektroskopie

Viele Eigenschaften von Atomen und Molekulen werden durch spektroskopische Mes-sungen ermittelt. Die Wellenlange der emittierten Strahlung gibt Aufschluss uberdie Energiezustande, die Intensitat uber die Kopplung verschiedener Niveaus. Uberdie Linienbreite kann man die Lebensdauer angeregter Zustande bestimmen. DieHyperfeinstruktur gibt Information uber die Wechselwirkung zwischen dem Atom-kern und den Hullenelektronen. In diesem Versuch macht man sich einige dieserEigenschaften zu Nutze, um die beiden Rubidium-Isotope genauer zu untersuchen.

Abbildung 2.2: Versuchsaufbau fur die dopplerverbreiterte Spektroskopie

2.3.1 Aufbau

Das Ziel der Messung ist, die Absorptionslinien von Rubidium zu untersuchen. Da-bei wird der Resonator zur Frequenzeichung benutzt. Da in diesem Teil die Frequenzdurchgestimmt wird, halt man die Resonatorlange konstant. Das λ/2–Plattchen istso einzustellen, dass nur wenig Lichtintensitat den Resonator erreicht, so dass wirmoglichst viel Intensitat fur die Spektroskopie-Experimente zur Verfugung haben.Was bedeutet hier ,,wenig“? Von dem Strahl, der nicht in den Resonator geht, wirdmit einer weiteren λ/2–Plattchen-PBS-Kombination ein schwacher Referenzstrahlabgezweigt. Der Hauptstrahl durchlauft die Rb-Zelle und wird dahinter mit einerPhotodiode detektiert. Die Zelle ist so in den vorjustierten Laserstrahl zu stellen,

2.3. DOPPLERVERBREITERTE SPEKTROSKOPIE 27

dass dieser die Zelle in der Mitte durchlauft. Um Reflexionen in ungunstige Rich-tungen zu vermeiden, ist es vorteilhaft, die Zelle etwas schief einzubauen. Man er-kennt verringerte Transmission bei den Resonanzfrequenzen. Um diese Resonanzli-nien messen zu konnen, muss die Frequenz des Lasers durchgestimmt werden (sieheFeed-Forward). Mit der auf die Zelle gehaltenen Fingerkamera erkennt man sofort,ob man die Resonanzfrequenz(en) getroffen hat.

2.3.2 Mathe-Einheit

Beim Durchstimmen der Laserfrequenz andert sich die Intensitat auf Grund der Mo-dulation des Laserdiodenstroms ILD. Diese Intensitatsrampe wurde das Absorptions-spektrum verfalschen. Mit dem abgezweigten Referenzstrahl und der Mathe-Einheit(Abb. 2.3) kann man dies beheben.

Abbildung 2.3: Mathe-Einheit

Um die Absorptionssignale von der Intensitatsrampe zu trennen, zieht man dasReferenzsignal vom Spektroskopiesignal ab oder normiert es. Dazu greift man einenReferenzstrahl mit dem Strahlteiler vor der Zelle ab.Das Spektroskopiesignal wird auf den ,,PD1“-Eingang gegeben. ,,Mon1“ ist ein Mo-nitorausgang, uber den man sich das Signal am Oszilloskop ansehen kann. Dieseserscheint invertiert, weil die Schaltung einen invertierenden Verstarker beinhaltet.Das Referenzsignal wird auf den ,,PD2“-Eingang gegeben. Uber den Monitorausgang,,Mon2“ kann man sich das ebenfalls invertierte Signal ansehen und mit dem zusatz-lichen Drehpotentiometer ,,Gain“ die Verstarkung einstellen. Um nun die beiden Si-gnale aufeinander abzustimmen, uberlagert man die beiden Monitorsignale auf demOszilloskop und passt das Referenzsignal uber das λ/2-Plattchen vor dem Strahl-teiler und uber den ,,Gain“-Drehpotentiometer an. Das Differenzsignal, das durch

28 Spektroskopie

Abbildung 2.4: Schaltplan der Mathe-Einheit

eine weitere Invertierung wieder das richtige Vorzeichen hat, kann nun uber denAusgang ,,Out“ an das Oszilloskop angeschlossen und nochmal optimiert werden.Das Gerat hat einen weiteren Eingang ,,PD3“ mit einem Monitorausgang ,,Mon3“.Das Differenzsignal wird durch das an ,,PD3“ anliegende Signal geteilt und dannan ,,OUT“ ausgegeben. Wenn man diesen ,,PD3“-Eingang nicht benutzt, muss derSchalter auf eine uber ,,Gain“ regelbare Spannungsquelle ,,1-5V“ umgestellt werden,damit das angeschlossene Signal nicht durch Null geteilt wird. Mit dem Drehpoten-tiometer ,,Offset“ kann das Endsignal vertikal verschoben werden, indem man ihmeine zusatzliche Spannung von 0 ...+10V aufaddiert.

2.3. DOPPLERVERBREITERTE SPEKTROSKOPIE 29

2.3.3 Durchfuhrung

Aufgaben: Dopplerverbreiterte Laserspektroskopie A3

• Scanne alle vier Linien ohne und mit der Mathe-Einheit (ein-mal als Differenz und einmal als Quotient)! Welches ist dietheoretisch richtige Methode?

• Wie groß sind die Halbwertsbreiten der Linien?

• Wie groß ihr Abstand?

• Vergleiche die gemessene Halbwertsbreite mit dem berechne-ten Wert! Was fallt dabei auf?

• Wie groß ist der Absorptionsquerschnitt der vier Linien?

• Vergleiche das Fluoreszenzsignal mit dem Absorptionssignal!

Absorptionsquerschnitt

Wir wollen den Absorptionsquerschnitt aller vier Linien bestimmen. Dazu benoti-gen wir den Quotienten der Intensitaten vor und hinter der Zelle (I(0) und I(d)).Diese Quotientenbildung kann die Mathe-Einheit fur uns ubernehmen. Gebt also dieentsprechenden Signale an den ,,PD1“- (oder ,,PD2“-) und den ,,PD3“-Eingang derMathe-Einheit. Es ist darauf zu achten, dass der Offset auf 0V eingestellt ist. Wiemacht man das? Daraus ist der Absorptionsquerschnitt zu berechnen.

Fluoreszenz

Stellt die Photodiode neben bzw. uber die Zelle und fuhrt einen Scan durch. Be-obachtet das Fluoreszenzsignal von Rubidium. Vergleicht dieses Fluoreszenzsignalqualitativ mit dem Absorptionssignal.

30 Spektroskopie

2.4 Dopplerfreie Spektroskopie

Die Linienbreite der atomaren Resonanzlinien wird bei Zimmertemperatur durchden Doppler-Effekt dominiert. Man wurde gerne Atome mit der Geschwindigkeit v= 0 spektroskopieren. Das ist mit der Technik der Sattigungsspektroskopie auchmoglich. Dadurch konnen wir die Hyperfeinstruktur messen. Der Trick hierbei ist,einen Sattigungsstrahl und einen entgegenlaufenden Abfragestrahl zu verwenden.

Abbildung 2.5: Sattigungs- und Abfragestrahl

2.4.1 Lambdips

Betrachten wir der Einfachheit halber erst einmal ein Zwei-Niveau-System mit einemGrundzustand |G > und einem angeregten Zustand |A >. Die Atome in der Gaszelleunterliegen der Maxwellschen Geschwindigkeitsverteilung. Uns interessiert nur dieGeschwindigkeit in Richtung des Laserstrahles, die eine Gaußkurve darstellt. Strahltman mit Laserlicht in die Zelle, dessen Frequenz ωL etwas kleiner ist als die atoma-re Resonanzfrequenz ω0, so wird dieser Strahl nur von den Atomen absorbiert, dieihm mit der richtigen Geschwindigkeit −vx entgegenfliegen. Es gilt: ωL = ω0 − kvx.Ein zurucklaufender (gespiegelter) Strahl wird von den Atomen dieser Geschwindig-keitsklasse nicht beeinflusst, sondern von den Atomen der Geschwindigkeitsklasse+vx absorbiert. Strahlt man jedoch in der Resonanzfrequenz ω0 in die Rb-Zelleein, so werden die Atome mit Geschwindigkeitskomponente vx = 0 angeregt. Derreflektierte Abfragestrahl durchlauft das Medium dann mit geringerer Absorption.Man bekommt somit schmale dopplerfreie Resonanzlinien im dopplerverbreitertenUntergrund, die man Lambdips nennt.

2.4.2 Crossover-Resonanzen

Etwas komplexer werden die Verhaltnisse, wenn es zwei (oder mehr) vom gleichenGrundzustand |G > ausgehende Ubergange mit den Frequenzen ω1 und ω2 in an-geregte Zustande |A1 > und |A2 > gibt, deren Frequenzabstand ω2 − ω1 kleiner alsdie Dopplerbreite ist. Dann treten neben den Lambdips zusatzliche Resonanzen auf,sogenannte Crossover-Resonanzen (=Uberkreuzungssignal). Betrachten wir die

2.4. DOPPLERFREIE SPEKTROSKOPIE 31

Abbildung 2.6: Absorptionslinie mit Lambdip

Frequenz ω = ω2+ω1

2, bei der der Sattigungsstrahl Atome mit einer Geschwindigkeits-

komponente −vx auf das untere Niveau anregen kann (ω1) und der Abfragestrahldieselben Atome (die in seinem System die Geschwindigkeit +vx haben) auf das obe-re Niveau anregen kann (ω2) . Es gilt dann: ω1 − kvx = ω2 + kvx bzw. kvx = ω2−ω1

2.

Der Sattigungsstrahl erzeugt eine Abnahme der Besetzungsdichte im gemeinsamenunteren Niveau. Dadurch wird das Medium fur den Abfragestrahl transparent. Daszu erwartende Sattigungsspektrum ist an Hand eines einfachen Beispiels in nachfol-gender Abbildung skizziert.

Literaturhinweise: [Dem], [Hak-Wol], [Dem 3]

2.4.3 Durchfuhrung

Aufbau

Um fur die Sattigungsspektroskopie einen Sattigungsstrahl und einen Abfragestrahlzu bekommen, reflektiert man den Sattigungsstrahl wieder in sich selbst zuruck underhalt so den Abfragestrahl. Man mochte die beiden Strahlen wieder voneinandertrennen, um sie beobachten zu konnen. Dazu nehmen wir uns die Polarisation zuHilfe. Durch den PBS kann man beide Strahlen trennen. Doch dazu mussen wirdie Polarisationsrichtung andern. Dies erreicht man durch zweimaliges Durchlaufeneines λ/4-Plattchens. Die beiden Strahlen sollten genau uberlagert sein, damit manein schones Signal erhalt. Dabei ist die Fingerkamera hilfreich, mit der man dieFluoreszenz der beiden Strahlen sehen und die beiden Strahlen uberlagern kann.Der mit dem PBS ausgekoppelte Strahl wird mit der Linse auf eine Photodiodefokussiert.

32 Spektroskopie

Abbildung 2.7: Entstehung der Lambdips und Crossover-Resonanzen fur einen Grund-zustand und zwei angeregte Zustande |A1 > und |A2 >. Die ruhenden Atome sehen dieResonanzfrequenz und es kommt zu Lambdips. Die Geschwindigkeitsklasse des Abfrage-strahls fur den Ubergang |G > → |A1 > wechselwirkt mit derjenigen des Sattigungsstrahlsfur den Ubergang |G > → |A2 >, wodurch es zu Crossover-Resonanzen kommt.

Aufgaben: Dopplerfreie Spektroskopie A4

• Ordne die Lambdips und Crossover-Resonanzen anhand desTermschemas von Rubidium den optischen Ubergangen zu!

• Bestimme fur beide Isotope die Hyperfeinstruktur des Grund-zustandes!

• Miss, fur 85Rb und 87Rb, die Hyperfeinstruktur des angeregtenZustandes 52P3/2!

Dopplerfreie Scans

Die Scans verlaufen genauso wie im vorherigen Abschnitt. Uberlegt euch, wie ihr dieeinzelnen Crossover-Resonanzen und Lambdips sinnvoll ausmesst.

2.4. DOPPLERFREIE SPEKTROSKOPIE 33

Abbildung 2.8: Versuchsaufbau fur die dopplerfreie Spektroskopie

34 Spektroskopie

2.5 Frequenzmodulations-Spektroskopie

Die Resonanzlinien beschreiben bei der Sattigungsspektroskopie eine Lorentzkurve.Bei Anwenden der Technik der FM-Spektroskopie sehen wir die Ableitung dieserKurve, d.h. bei der Resonanzfrequenz einen Nulldurchgang. Die Messung ist damitempfindlicher.

Das Prinzip der FM-Spektroskopie ist folgendes: Der Laserfrequenz wird eine Hoch-frequenz aufmoduliert. Das gemessene Signal wird mit dem Signal des VCOs, demeine zusatzliche Phasenverschiebung addiert wird, gemischt und durch einen Tiefpassgeleitet, der die hochfrequenten Terme herausfiltert.

2.5.1 Theorie der FM-Spektroskopie

Moduliert man die Laserfrequenz ω0 mit einer Hochfrequenz ωM , so ergibt sich furdas vom Laser emittierte Lichtfeld:

E(t) = E0 · eiω0t+iM sin(ωM t) + c.c. (2.7)

E0 ist die Amplitude der Lichtwelle und M der Modulationsindex. Ist M ≪ 1 (alsoeine kleine Amplitude der Modulation), so kann man folgende Naherung durchfuhren:

E(t) = E0 · eiω0t · eiM sin(ωM t) + c.c.

≈ E0 · eiω0t(1 + iM sin(ωM t)) + c.c.

= E0 · eiω0t(1− M

2e−iωM t +

M

2e+iωM t) + c.c.

= E0(eiω0t − M

2ei(ω0−ωM )t +

M

2ei(ω0+ωM )t) + c.c. (2.8)

Man erhalt also ein Frequenzspektrum mit einem starken Trager bei der FrequenzωT und zwei schwachen Seitenbandern bei den Frequenzen ωT ±ωM (Abb. 2.9). Wirschicken nun das Laserlicht dieses Frequenzspektrums durch den Resonator oderdie Zelle. Der Resonator transmittiert nur die Frequenzen, fur die er resonant ist,wahrend das Rubidium die Frequenzen seiner atomaren Resonanz absorbiert.

Genau genommen werden Trager und Seitenbander unterschiedlich transmittiert,je nachdem ob sie in der Resonanzfrequenz liegen, oder nicht. Auf Grund der Di-spersion, d.h. die Frequenzabhangigkeit des Brechungsindex , haben sie zudem eine,,individuelle“ Phasenverschiebung. Fur die transmittierte Welle gilt daher:

ETrans(t) = E0(T0e−iφ0eiω0t − M

2T−1e

−iφ−1ei(ω0−ωM )t

+M

2T+1e

−iφ+1ei(ω0+ωM )t) + c.c. (2.9)

2.5. FREQUENZMODULATIONS-SPEKTROSKOPIE 35

Abbildung 2.9: Modulierte Laserfrequenz

wobei T0 = e−δ0 der Transmissionskoeffizient fur den Trager und T±1 = e−δ±1 derfur die Seitenbander ist. Dabei ist δj = δj(ω) die frequenzabhangige Dampfung undφj = φj(ω) die frequenzabhangige Phasenverschiebung (j = 0 fur den Trager undj = ±1 fur die Seitenbander).Wir messen mit der schnellen PD die (gemittelte) Intensitat des Lichtes〈I(t)〉 = 〈 c

8π|E(t)|2〉 ∝ UPD. Da M ≪ 1 durfen wir die M2-Terme vernachlassigen.

Alle Terme mit sin(2ω0t) und cos(2ω0t) verschwinden, da die PD uber die hohen Fre-quenzen mittelt. Außerdem durfen wir annehmen, dass |δ0−δ+1|, |δ0−δ−1|, |φ0−φ+1|und |φ0−φ−1| alle ≪ 1 sind. Dann erhalten wir fur die Intensitat [mit der Differenzder Absorption ∆T = T+1 − T−1 und Differenz der relativen Phasenverschiebungen∆φ = (φ+1 − φ0) + (φ−1 − φ0)]:

〈I(t)〉 ∝ 2T 20 −MT0T−1(e

i(φ−1−φ0)eiωM t + e−i(φ−1−φ0)e−iωM t)

+MT0T+1(ei(φ0−φ+1)eiωM t + e−i(φ0−φ+1)e−iωM t) (2.10)

ei(φ0−φ±1) nach Taylor entwickeln:

〈I(t)〉 ∝ T 20 +MT0∆T cos(ωM t)−MT0 sin(ωM t)[T−1(φ0 − φ−1) + T+1(φ0 − φ+1)]

≈ T 20 +MT0∆T cos(ωM t)−MT0 sin(ωM t)[T0(φ0 − φ−1) + T0(φ0 − φ+1)]

= T 20 +MT0∆T cos(ωM t) +MT 2

0 ∆φ sin(ωM t). (2.11)

Nun mochte man das Signal der Photodiode demodulieren, um die cos(ωM t)- und diesin(ωM t)-Abhangigkeit herausfiltern zu konnen. Dazu benutzt man einen Mischer.Dieser multipliziert das Signal der schnellen Photodiode mit dem des VCOs. DasPhotodioden-Signal wird zuvor noch verstarkt. Das VCO-Signal wird noch um einezustatzliche Phase ϕ gegenuber dem Photodioden-Signal verschoben.Man erhalt (T 2

0 gibt nur einen zusatzlichen Offset):

UMisch(t) ∝ UPD(t) · UV CO(t)

∝ [∆TM cos(ωM t) + T0∆φM sin(ωM t)] · cos(ωM t+ ϕ)

= M∆T2

[cosϕ+ cos(2ωM t+ ϕ)]− ∆φ

2[sinϕ− sin(2ωM t+ ϕ)].(2.12)

36 Spektroskopie

Abbildung 2.10: Phasenschieber

Die hochfrequenten 2ωM -Anteile werden durch einen Tiefpass herausgefiltert, so dassman schließlich folgendes Endsignal erhalt:

UEnd ∝∆T

2cos(ϕ)− ∆φ

2sin(ϕ). (2.13)

Das Endsignal ist zeitunabhangig und hangt nur von der Phasenverschiebung zwi-schen den beiden gemischten Signalen ab. Man kann die Phase ϕ so einstellen, dassentweder der Sinus- oder Cosinusterm verschwindend klein ist und der andere Termdominiert.Taylorentwicklung von ∆T liefert:

∆T = T+1 − T−1

= T (ω0 + ωM)− T (ω0 − ωM)

≈ T (ω0) +dT

dω|ω0 ωM +

1

2

d2T

dω2|ω0 ω

2M − T (ω0) +

dT

dω|ω0 ωM −

1

2

d2T

dω2|ω0 ω2

M

=dT

dω|ω0 2ωM . (2.14)

d.h. die Ableitung der Resonanzkurve. Wenn man nun ∆φ taylorentwickelt, erhaltman:

∆φ = φ+1 + φ−1 − 2φ0

= φ(ω0 + ωM) + φ(ω0 − ωM)− 2φ(ω0)

≈ φ(ω0) +dφ

dω|ω0ωM +

1

2

d2φ

dω2|ω0ω

2M + φ(ω0)−

dφ

dω|ω0ωM +

1

2

d2φ

dω2|ω0ω

2M − 2φ(ω0)

=d2φ

dω2|ω0 ω2

M . (2.15)

∆φ ist also proportional zur zweiten Ableitung der Dispersion.


Abbildung 2.11: FM-Signal

Testfragen: FM-Spektroskopie T5

• Man andert die Phase ϕ um 180o. Wie andert sich dabei dasSignal UEnd?

• Welche Zeitverzogerung (in ns) entspricht bei einer Modula-tionsfrequenz von ωM = 50MHz bzw. ωM = 100MHz einerAnderung der Phase von 90o bzw. 180o ?

38 Spektroskopie

Abbildung 2.12: Wird die modulierte Laserfrequenz uber die atomare Resonanzfrequenzgefahren, dann erhalt man transmittierte Intensitaten wie hier dargestellt.


2.5.2 Durchfuhrung

FM-Spektroskopie am Resonator

Abbildung 2.13: Versuchsaufbau fur die FM-Spektroskopie am Resonator

Der Laserfrequenz ω0 wird uber den VCO ein Signal der Frequenz ωM aufmoduliert.Die Frequenz und die Amplitude des VCOs sind einstellbar. Das Signal des VCOslaßt man durch einen Phasenschieber (Abb. 2.10)laufen. Der Phasenschieber bestehtaus unterschiedlich langen Kabeln, durch die das Signal verzogert wird. Pro MeterKabel erfahrt das Signal eine Phasenverschiebung von ≈ 3 ns. Uber die Schalter kannman Kabel zu- oder abschalten und damit die zeitliche Verzogerung einstellen. DiesesSignal wird im Mischer mit dem verstarkten AC-Signal der schnellen Photodiodegemischt. Ein Tiefpass filtert die hochfrequenten Anteile des Mischsignals wiederheraus. Schaut euch das FM-Signal am Oszilloskop an und versucht es zu optimieren,indem ihr die Phasenverschiebung am Phasenschieber und die VCO-Frequenz ωM

verandert.

FM-Spektroskopie an der Zelle

Die schnelle Photodiode ist nun so aufzustellen, dass sie das Abfragesignal empfangt.Hinter den Resonator stellen wir statt dessen eine normale, passive Photodiode.Das Signal des DC-Ausgangs der schnellen Photodiode wird wieder mit der Mathe-Einheit optimiert. Das AC-Signal wird wie im vorigen Abschnitt mit dem VCO-Signal gemischt und man erhalt das FM-Spektroskopiesignal. Vergleicht dieses Signalmit dem nicht frequenzmodulierten dopplerfreien Signal. Man kann bei den Lamb-dips und Crossover-Resonanzen die erwarteten Nulldurchgange im FM-Spektro-skopiesignal erkennen. Dieses Signal kann wieder durch Verandern der Phase und derVCO-Frequenz optimiert werden. Uber die Abstande zwischen den Nulldurchgangenist die Hyperfeinstruktur der beiden Rubidium-Isotope auszumessen. Leider ist dieseMessung mit den im Praktikum zur Verfugung stehenden Geraten nicht unbedingtgenauer als die normale dopplerfreie Messung.

40 Spektroskopie

Abbildung 2.14: Versuchsaufbau fur die FM-Spektroskopie an der Zelle

Aufgaben: FM-Spektroskopie A5

1. Frequenzmodulation des Resonators

• Vergleiche das FM-Signal mit dem DC-Signal aus derschnellen Photodiode!

• Bei welcher Phasenverschiebung erscheint das Signal in-vertiert?

• Finde eine Phasenverschiebung, bei der man die Ablei-tung des Transmissionssignals sieht!

2. FM-Spektroskopie an der Zelle

• Versuche, die Hyperfeinstruktur von Rubidium noch ge-nauer auszumessen!

Kapitel 3

Polarisation von Licht

In diesem Kapitel geht es zunachst um die theoretische Darstellung der Polarisationvon Licht. Wir verwenden dazu einen Formalismus, der 1941 von dem amerikanischenPhysiker R. Clark Jones eingefuhrt wurde. Er ist jedoch nur fur vollstandig polari-siertes Licht anwendbar1. Licht kann man als eine transversale elektromagnetischeWelle auffassen. Eine vollstandige, mathematisch elegante Beschreibung elektroma-gnetischer Wellen gelingt durch die Maxwellschen Gleichungen:

∇ · ~E =ρ

ε0(3.1)

∇ · ~B = 0 (3.2)

∇× ~E = −∂~B∂t

(3.3)

∇× ~B = µ0~j +

1

c2∂ ~E∂t

(3.4)

Dabei ist ~E das elektrische Feld, ~B die magnetische Flussdichte, ρ die Ladungs-dichte, ~j ist die Stromdichte, ε0 = 8, 854 × 10−12 C2

Nm2 die Dielektrizitatskonstante,

µ0 = 4π×10−7 kg mA2ss die Permeabilitatskonstante und c = 3×108 m

sdie Lichtgeschwin-

digkeit

In Vakuum gilt ρ = 0 und ~j = 0. Damit kann man aus den Maxwellschen Gleichun-gen die Wellengleichung (

−4+1

c2∂2

∂t2

)~E = 0 (3.5)

ableiten, deren Losungen sich mit Lichtgeschwindigkeit c fortpflanzen. Eine spezi-elle Losung der Wellengleichung ist eine monochromatische, ebene Welle. Diese hat

1Teilweise polarisiertes Licht, wie es in thermischen Lichtquellen (Sonne, Gluhbirne) vorkommt,kann damit nicht beschrieben werden. Dies ist mit einem von G.G. Stokes 1852 entwickelten all-gemeinerern Formalismus moglich, fur diesen Versuch jedoch unnotig.

41

42 Polarisation von Licht

folgende Form:~E(~r, t) = ~Eei(~k~r−ωt+ϕ)

Aus den Maxwellschen Gleichungen folgt sofort, dass die magnetische Flussdichte

~B(~r, t) = ~Bei(~k~r−ωt+ϕ)

ist. ~B steht senkrecht auf ~E und fur die Betrage der Feldstarken gilt:

| ~E |= c· | ~B |

~E und ~B hangen also auf einfache, eindeutige Art miteinander zusammen. Es genugtdaher eine dieser beiden Funktionen zu betrachten. Wir untersuchen nun weiter dieWelle

~E(~r, t) = ~Eei(~k~r−ωt+ϕ)

~E ist die vektorielle Amplitude der Feldstarke. Der Term ei(~k~r−ωt+ϕ) beschreibt eineharmonische ebene Welle, die sich in Richtung des ~k-Vektors ausbreitet. Die Kreis-frequenz

ω =2π

Tbeschreibt, wie schnell sie an einem festgewahlten Ort z schwingt. Der Betrag desWellenvektors ~k ist ein Maß fur die Wellenlange:

| ~k |= k =2π

λ

Aus den Maxwellschen Gleichungen folgt, dass ~E senkrecht auf ~k steht. Die Ge-schwindigkeit, mit der sich ein ausgewahltes Maximum, oder ein Nulldurchgangbewegt, die sogenannte Phasengeschwindigkeit, hat den festen Wert c. Sie hangtmit ω und k zusammen gemaß

c =ω

kund sie hat den Wert

c =1

√ε0µ0

= 3× 108m

s

Die Richtung von ~E heißt Polarisationsrichtung der Welle.

3.1 Der Jones-Formalismus

Um die Polarisation der Welle zu untersuchen, wahlen wir nun als Ausbreitungs-richtung z. Wir wollen die Polarisation fur einen festen Wert von z betrachten. Dasbedeutet, wir schreiben von nun an die Welle in der Form:

~E(z, t) = ~Eei(kz−ωt+ϕ)

3.1. DER JONES-FORMALISMUS 43

Der allgemeine Fall der Polarisation ist elliptisch polarisiertes Licht. Anschaulichbedeutet das, dass der Endpunkt des Vektors ~E an einem festen Wert fur z konti-nuierlich eine elliptische Bahn durchlauft. Diese Ellipse hat eine bestimmte Form.Spezialfalle sind dabei ein Kreis und eine Gerade. Die Periode, in der die Ellipsedurchlaufen wird, gleicht derjenigen der Lichtwelle (ungefahr 10−15s) und ist daherfur einen direkten Nachweis viel zu kurz. In der Praxis liefern Messungen im allgemei-nen Mittelwerte uber verhaltnismaßig lange Zeitintervalle. Daher ist es vorteilhaft,eine Beschreibung der Polarisation in Abhangigkeit von leicht messbaren Großen zuformulieren. Eine bereits im ersten Teil des Versuchs kennengelernte Große ist dieBestrahlungsstarke. Das Ziel ist es also, einen Formalismus zu entwickeln, so dasswir die Polarisation der Lichtwelle durch Messung der Bestrahlungsstarke mit denPhotodioden messen konnen.

3.1.1 Jones Vektoren

Wir betrachten nun nocheinmal den elektromagnetischen Feldvektor

~E(z, t) =

Exei(kz−ωt+ϕx)

Eyei(kz−ωt+ϕy)

0

=

Exeiϕx

Eyeiϕy

0

ei(kz−ωt) = ~Eei(kz−ωt)

Der komplexe Amplitudenvektor ~E der Welle hangt nicht von z und t ab und bein-haltet die gesamte Information uber die Polarisation, d.h. es ist egal wo wir diePolarisation einer Welle messen und zu welchem Zeitpunkt.Offenbar ist der Amplitudenvektor und damit die Polarisation der Welle durch dieGroßen Ex, Ey und ∆ϕ = ϕy − ϕx eindeutig bestimmt. Man nennt den Vektor ~Eeinen Jones-Vektor und wir schreiben weiter

~E =

(Exe

iϕx

Eyeiϕy

)= eiϕx

(Ex

Eyei∆ϕ

)(3.6)

Der Faktor eiϕx beinhaltet eine globale Phase und ist unseren spateren Messungennicht zuganglich.Wir sprechen von linearem Licht (vgl.Abbildung 3.1), wenn sich der elektrische Feld-vektor auf einer Gerade in der x, y-Ebene, von zirkularem wenn er sich auf einemKreis bewegt.

Zirkulares Licht wird beispielsweise dadurch beschrieben, dass beide Amplituden Ex

und Ey gleich groß sind und der Phasenunterschied ∆ϕ = π2

(vgl.Abbildung 3.2).Zur zusatzlichen Veranschaulichung verschiedener Polarisationszustande gibt es aufder Homepage des Versuchs eine Simulation unter der Adresse:http://quantendynamik.physik.uni-freiburg.de/fp-spektroskopie

http://quantendynamik.physik.uni-freiburg.de/fp-spektroskopie


Abbildung 3.1: Lineares Licht unter einem Winkel γ

Abbildung 3.2: Zirkulares Licht

3.1. DER JONES-FORMALISMUS 45

Abbildung 3.3: Elliptisches Licht

Testfragen: Jones-Vektoren T6

• Wie sehen Jones-Vektoren fur horizontales und vertikales lineares Lichtaus ?

• Wie sehen Jones-Vektoren fur lineares Licht unter einem Winkel γ aus ?

• Wie sehen Jones-Vektoren fur zirkulares Licht aus ?

• Welche anderen Phasenunterschiede ausser π2

fuhren zu zirkularem Licht ?

• Mit welchen 3 Großen kann man den Polarisationszustand eindeutig be-stimmen ? Welche Form hat dieser im allgemeinen ?

3.1.2 Optische Elemente, Verzogerungsoptik

Wenn das Laserlicht auf optische Elemente trifft, andert sich dabei im allgemei-nen seine Polarisation. Im Jones Formalismus lassen sich optische Elemente durch(Jones-) Matrizen beschreiben. Dies liegt daran, dass Anderungen des Polarisati-onszustandes durch optische Elemente lineare Abbildungen sind. Jones Matrizen,die optische Elemente beschreiben, die nur den Polarisationszustand andern, aberdas Licht nicht reflektieren oder absorbieren sind hermitesch, da sie nur Anderungendes Polarisationszustandes beschreiben, aber die Energie stets erhalten bleibt. Wennwir nun den Polarisationsvektor ~Ei der Welle vor einem optischen Element kennen,konnen wir den Polarisationszustand ~Et hinter dem optischen Element durch Anwen-dung der fur das optische Element typischen Matrix T auf den Polarisationsvektor


ausrechnen.

~Et = T ~Ei

Ein einfaches Beispiel fur ein optisches Element ist ein Polarisator, der in x-Richtunglinear polarisiertes Licht erzeugt, also nur die x-Komponente des Lichts durchlaßt.Die Jones Matrix fur einen solchen Polarisator ist

T =

(1 00 0

)(3.7)

Fur diesen Versuch von zentraler Bedeutung sind die Verzogerungsplattchen λ2

undλ4. Wir suchen nun nach den Jones Matrizen fur diese Verzogerungsplattchen.

Aufgabe A6

• Machen sie sich dazu zunachst mit der Funktionsweise von Verzogerungs-plattchen und eines PBS vertraut.Quellen sind beispielsweise : [Hecht], [Mesch]

Fur den Fall, dass die optische Achse des λ2−Plattchens parallel zur x-Achse steht

suchen wir also eine Matrix, die die x-Komponente um π gegen die y-Komponenteverzogert. Diese sieht folgendermaßen aus.

Tλ2

=

(1 00 e−iπ

)(3.8)

Im allgemeinen wird jedoch ein λ2−Plattchen nicht mit seiner optischen Achse par-

allel zur x-Achse stehen. Daher wollen wir einen Ausdruck fur das λ2−Plattchen

finden, wenn seine optische Achse unter einem Winkel α zur x-Achse steht.

3.2. VOLLSTANDIGE BESTIMMUNG VON LICHTPOLARISATION 47

Testfragen: Jones-Matrizen T7

• Uberlegen sie sich dies und verifizieren sie dabei

Tλ2(α) =

(cos 2α sin 2αsin 2α − cos 2α

).

• Wie transformiert sich lineares Licht unter einem Winkel γ zur x-Achsedurch ein solches λ

2−Plattchen ?

• Wie sieht die Jones-Matrix fur ein λ4−Plattchen unter einem Winkel von 0

aus ? Uberlegen Sie sich dies analog zu 3.8.

• Verifizieren Sie, dass ein λ4−Plattchen unter einem Winkel α durch folgende

Matrix beschrieben wird:

Tλ4(α) =

1√2

(1− i cos 2α −i sin 2α−i sin 2α 1 + i cos 2α

)• Wie lauten die Basisvektoren fur horizontales und vertikales lineares Licht

und wie transformieren sie sich durch ein λ4−Plattchen unter 45 ?

3.2 Vollstandige Bestimmung von Lichtpolarisa-

tion

In diesem Kapitel werden die Messungen beschrieben, mit denen die Bestimmungder Komponenten Ex, Ey und ∆ϕ moglich sind. Zunachst geht es dabei um eineMessung, mit der die beiden Amplituden Ex und Ey gemessen werden konnen. Dazubenotigt man den Versuchsaufbau aus Abbildung 3.4:

Die Photodiode misst in Durchlassrichtung die horizontalen Polarisationsanteile unddie in Reflexionsrichtung die vertikalen Polarisationsanteile. Die Begriffe horizontalund vertikal beziehen sich dabei relativ zu den Achsen des PBS. Der PBS laßt inTransmissionsrichtung nur die Anteile der Welle durch, die in seine x-Richtung bzw.horizontal polarisiert sind. Man spricht dabei von p-polarisiertem Licht (parallel zurTischebene). Die Anteile, die reflektiert oder hinausgespiegelt werden, sind geradediejenigen, die entlang der y-Richtung bzw. vertikal polarisert sind. Dieses nenntman s-polarisiertes Licht (senkrecht zur Tischebene).

Mit der Ausbreitung der Welle ist eine Energiestromung verbunden. Die Energie-


Abbildung 3.4: Messung der linearen Anteile

stromdichte (Energiestromstarke pro durchstromte Flache) ist

~S =1

µ0

~E × ~B

Daraus und der Tatsache, dass nur der Realteil des elektrischen Feldes ~E von phy-sikalischer Bedeutung ist, ergibt sich der Zusammenhang zwischen dem Betrag derEnergiestromdichte, also der Intensitat, und elektrischem Feld uber folgende Formel:

I = ε0c0

(Re~E

)2

(3.9)

Die Photodioden mitteln jedoch Intensitaten uber die Zeit, messen also

< I >=

∫ T= 2πω

0

dtI(t) (3.10)

Daher konnen wir mit einer Messung die beiden Intensitaten

< Ix >=1

2· ε0 · c0 · E2

x (3.11)

< Iy >=1

2· ε0 · c0 · E2

y (3.12)

bestimmen und daraus die Komponenten Ex und Ey errechnen.Nun fehlt noch die Information uber die Phase zwischen diesen beiden Komponen-ten. Dazu verwenden wir den Versuchsaufbau aus Abbildung 3.5:


Abbildung 3.5: Messung der zirkularen Anteile

Mit diesem Aufbau messen die beiden Photodioden die zirkularen Polarisationsan-teile und damit die Intensitaten

< I+ >=1

2· ε0 · c0

(E2

x + E2y

2+ ExEy sin ∆ϕ

)(3.13)

< I− >=1

2· ε0 · c0

(E2

x + E2y

2− ExEy sin ∆ϕ

)(3.14)

also:

< I+ > − < I− >= ExEy sin ∆ϕ (3.15)

Damit konnen wir also durch 2 Messungen die Ellipse komplett charakterisieren.

Aufgabe A7

• Verifizieren Sie die Ergebnisse 3.13,3.14 , indem Sie den allgemeinen Jones-

Vektor

(Ex

Eyei∆ϕ

)auf das λ

4−Plattchen unter 45 anwenden und danach

jeweils die Intensitaten der x und y- Komponenten berechnen !

3.2.1 Linearanalysator

Die Frage, die wir noch beantworten wollen, ist, wie genau diese theoretischen Mo-delle auch die realen optischen Elemente beschreiben. Dazu betrachten wir zunachstden Versuchsaufbau aus Abbildung 3.6.


Abbildung 3.6: Testaufbau zum Einstellen des Linear-Analysators

Theoretisch sollte es dabei gelingen, durch Drehen des λ2−Plattchens, die gesamte

Lichtintensitat des linearen Laserlichts auf eine der beiden Photodioden zu lenken.Wenn man danach das λ

2−Plattchen um 90 dreht, sollte die Gesamtintensitat auf

der anderen Photodiode sein.

Aufgaben A8

• Verwenden Sie Versuchsaufbau aus Abbildung 3.6 und bestimmen sie denQuotienten aus x- und y-Komponente im elektrischen Feld !

• Woran liegt es, dass es nicht gelingt, den Quotienten auf 0 bzw. 1 einzustel-len ?TIPP: Informieren Sie sich beim Assistenten genau uber die technischenSpezifikationen des PBS ! (siehe auch Anhang D)

• Was andert sich theoretisch und experimentell, wenn man statt desλ2−Plattchens ein PBS vor den Spiegel stellt ?


3.2.2 Vollstandige Messung der Polarisation

Fur die beiden Messungen des Polarisationszustandes mussen wir ein λ4−Plattchen

unter einem Winkel von 45 zwischen seiner optischen Achse und der y-Achse, diedurch den PBS vorgegeben wird, einstellen. Um unnotige Schrauberei und damiteine Quelle fur Ungenauigkeiten zwischen den beiden Messungen zu vermeiden, istein λ

4−Plattchen auf einem klappbaren Post befestigt.

Aufgaben A9

• Bauen Sie den Versuchsaufbau aus Abbildung 3.7 zur Polarimetrie auf !

• Bestimmen Sie zunachst die optische Achse des λ4−Plattchens !

• Stellen Sie danach das λ4−Plattchen in einem Winkel von 45 ein !

• Welche Kriterien gibt es, dass diese Einstellung erreicht ist ?

• Verwenden Sie nun das Polarimeter, um damit ein zweites λ4−Plattchen, das

Sie als Polarisator unter einigen verschiedenen Winkeleinstellungen verwen-den, zu vermessen !

• Vermessen Sie schließlich noch unter verschiedenen Winkeleinstellungen einλ2−Plattchen !

3.2.3 Auswertung

Um die gemessenen Werte Ex, Ey und ∆ϕ sinnvoll darzustellen, gibt es mehrereMoglichkeiten. Wir wollen an dieser Stelle zwei nennen. Fur welche Sie sich in IhrerAuswertung entscheiden, bleibt Ihnen uberlassen.

1. Sie konnen die gemessene Ellipse mit einem geeigneten Programm wie etwaMathematica (”ParametricPlot”) plotten und sie mit der ebenfalls geplottetentheoretischen Ellipse vergleichen.

2. Sie konnen mit den Meßwerten Ex, Ey und ∆ϕ die Elliptizitat χ und denAzimuthwinkel Θ der Ellipse berechnen.

• Der Azimuthwinkel Θ gibt die Lage der großen Hauptachse der Ellipse inBezug auf die x-Achse an.

Θ =1

2arctan

(2ExEy cos ∆ϕ

E2x − E2

y

)(3.16)


Abbildung 3.7: Vollstandiges Polarimeter mit einem klappbaren λ4−Plattchen


• Das Achsenverhaltnis von kleiner zu großer Halbachse ba

ist ein Maß furdie Elliptizitat | tanχ |= b

a.

χ =1

2arcsin

(2ExEy sin ∆ϕ

E2x + E2

y

)(3.17)

Abbildung 3.8: Zur Veranschaulichung der Parameter von elliptisch polarisiertem Licht

Bonusaufgabe B1

• Verifizieren Sie die Gleichungen 3.16 und 3.17!

Kapitel 4

Quantenkoharenz

4.1 Magneto-optische Effekte

Wenn Licht Materie durchquert, findet eine Wechselwirkung zwischen Licht undMaterie statt. Der Einfluß von Materie auf Licht wird leicht uberschaubar, wennman sich das Licht in monochromatische, ebene, polarisierte Wellen zerlegt denkt.Die Materie wirkt auf jede der Komponenten auf charakteristische Art und Weise.Den Komponenten des Lichts passieren auf dem Weg durch Materie im Allgemeinenzwei Dinge:

1. Ihre Phasengeschwindigkeit hat je nach Polarisation einen anderen Wert.

2. Ihre Amplitude nimmt in Ausbreitungsrichtung ab, die Welle wird absorbiert.

Als Konsequenz ergibt sich fur die gesamte Lichtwelle, dass sich auch ihre Polarisa-tionsrichtung verandern kann. Im folgenden Abschnitt werden diese Eigenschaftengenauer untersucht. Das Medium, um das es sich hierbei handelt, ist das bereitsim ersten Teil des Versuchs kennengelernte dampfformige Rubidium. Die Wechsel-wirkung wird in diesem Versuch besonders durch die Prasenz eines Magnetfeldesbeeinflußt. Zunachst wird daher die Magnetspule zur Erzeugung des Magnetfeldesbeschrieben.

4.1.1 Die Magnetspule

Die Spule wurde so konzipiert, dass sie bei einer Stromstarke von 0, 5A ein Ma-gnetfeld der Große 20 Gauss erzeugt. Sie wurde mit einem 1mm dicken Lackdrahtvierschichtig umwickelt. Die Lange der Spule betragt 18cm.Eine 4-Punkt Widerstandsmessung mit dem KEITHLEY Model 2010 Multimeterergab eine Windungszahl von (172±6) Windungen1. Danach wurde das Magnetfeld

1Die Messung fur einen Referenzdraht der Lange (97, 0 ± 0, 3)cm ergab einen Widerstand von(0, 0213 ± 0, 0002)Ω. Die Messung fur die unbekannte Lange der Spulenwicklung einen Wert von

55

56 Quantenkoharenz

Abbildung 4.1: Die Magnetspule

an mehrern Positionen mit Hilfe einer Forster Sonde (Model Bartington Mag-03MC) vermessen. Details zur Sonde finden Sie in Anhang B. Abbildung 4.2 zeigt dieVermessung des Magnetfelds an der Stelle, an der die Rubidiumzelle spater einge-klemmt wird. Dazu wurde die Stromstarke des Stromtreibers variiert und wiederummit dem Keithley Multimeter gemessen, um sicherzustellen, dass die Umrechnungder Stromwerte auf Magnetfeldgroße auch mit anderen Stromtreibern moglich seinwird. Details zu dem Stromtreiber findet man in Anhang C.Die Ausgleichsgerade liefert einen Wert von (4, 31± 0, 04)mT

A= (43, 1± 0, 4)G

A.

Dieser Wert entspricht einer Wicklungszahl von (155± 2) Windungen.2

(3, 5193± 0, 0005)Ω. Daraus ergibt sich eine Lange von (l = 160, 27± 5, 18)m. Da die Durchmesserder 4 Wicklungsschichten zwischen 71 und 77 mm liegen, ist die durchschnittliche Wicklungszahl(172± 6).

2Dies zeigt, dass in den beiden Messungen der Windungszahlen systematische Fehler sind, dieunberucksichtigt bleiben. Dies konnte zum Beispiel die tatsachliche Wicklungsgeometrie der Spulesein. Experimentell wichtig ist fur den Versuch nur der Wert von 43, 1G

A fur die Umrechnung desStroms in Magnetfeldstarke.

4.1. MAGNETO-OPTISCHE EFFEKTE 57

Abbildung 4.2: Das Magnetfeld innerhalb der Spule am Ort der Rubidiumdampfzelle inAbhangigkeit von der Stromstarke der Spule

58 Quantenkoharenz

Abbildung 4.3: Bipolarer Stromtreiber fur die Magnetspule

4.1.2 Der Stromtreiber

Der Stromtreiber wurde in der elektronischen Werkstatt des physikalischen Institutsder Albert-Ludwigs-Universitat Freiburg hergstellt (interne Bezeichnung M1610). Erstellt eine bipolare Stromquelle dar, die einen Strom von −0, 5 bis +0, 5 A liefernkann. Daruberhinaus verfugt der Treiber uber einen externen Eingang uber dennochmals mit einer Steuerspannung von −10V bis +10V eine Stromstarke von −0, 5bis +0, 5 A addiert werden kann. Ein Bild des Stromtreibers zeigt Abbildung 4.3,Schaltplane finden Sie im Anhang C.

4.1.3 Magneto-optische Effekte

Unter Magneto-Optik versteht man die Wechselwirkung von Licht mit Materie un-ter Einfluss eines Magnetfeldes. Solche Effekte kann man auch in Rubidiumdampfmessen. Beim Anlegen eines Magnetfeldes an das atomare Rubidium spielen zweiEffekte in der Nahe der Resonanz eine Rolle: Faradayeffekt und zirkularer Dichro-ismus. Nach Durchlaufen der vom Magnetfeld durchsetzten Rubidiumzelle andertsich deshalb die Polarisation des Lichtes. Das Ziel ist es, diese Veranderung zu be-stimmen.

Zirkularer Dichroismus

Der Begriff des Dichroismus kommt aus der Optik und bedeutet die Abhangigkeitder Lichtabsorption von der Polarisation des Lichtes. Die Ursache des Dichroismus -die polarisationsselektive Absorption - beruht auf der anisotropen Struktur des ab-sorbierenden Mediums und bewirkt so z. B. die unterschiedliche Farbe eines Kristalls


in Abhangigkeit von der Beleuchtungsrichtung (z. B.: Turmalin oder Hypersthen).Dichroismus tritt bei einer Vielzahl von Materialien und fur Wellenlangen bis in denRontgenbereich auf.Zirkularer Dichroismus ist der Effekt, dass links- und rechtszirkulares Licht unterEinfluss eines Magnetfeldes unterschiedlich stark absorbiert wird. Wir messen hierden zirkularen Dichroismus, der von dem vom Magnetfeld durchsetzten Rubidium-dampf verursacht wird. An dem einfachen F = 0 → F ′ = 1–Ubergang kann mansich diesen Effekt leicht veranschaulichen. Wie man an Abbildung 4.4 sieht, hat σ+

und σ−–Licht bei unterschiedlichen Frequenzen sein Absorptionsmaximum.

Abbildung 4.4: Ein F = 1 → F = 0–Ubergang. Die Zeeman Aufspaltung fuhrt beiAnlegen eines Magnetfeldes zu einer unterschiedlichen Resonanzfrequenz und damit zueiner unterschiedlichen Absorption von links- und rechtszirkularem Licht (Zirkularer Di-chroismus). Unterschiedliche Brechungsindices fur links- und rechtszirkulares Licht ru-fen den Faradayeffekt hervor. Der Zusammenhang zwischen Absorption und Dispersionwird durch die Kramers-Kronig-Relation beschrieben, aus der insbesondere folgt, dass derBrechungsindex (n − 1) beim Absorptionsmaximum einen Nulldurchgang hat (siehe auchAbbildung 4.5). Naheres zum Zusammenhang zwischen Absorption und Dispersion findenSie in der Literatur unter Kramers-Kronig-Relation. (z.B. bei [Luca])

Faradayeffekt

Der Faradayeffekt wurde von Michael Faraday 1845 bei der Suche nach einer Wech-selwirkung zwischen Licht und dem magnetischen Feld entdeckt. Er beobachtete dieDrehung der Polarisationsebene linear polarisierten Lichts beim Durchlaufen vonMedien, an denen ein Magnetfeld parallel zur Einfallsrichtung des Lichts anliegt.Der Faradayeffekt ist somit ein magneto-optischer Effekt, der in Transmission beob-achtet wird. Der Betrag des Drehwinkels ist proportional zur durchstrahlten Langedes Mediums und zur Starke des Magnetfeldes.

60 Quantenkoharenz

Der Faradayeffekt lasst sich qualitativ einfach in einem klassischen Bild erklaren,wenn man die linear polarisierte Lichtwelle als Uberlagerung einer rechts- (R) undeiner linkszirkular (L) (bzw. σ+ und σ−) polarisierten Welle beschreibt. Die zirkula-

ren Anteile besitzen dann eine Helizitat parallel bzw. antiparallel zu ~B. Der rotieren-de elektrische Feldvektor zwingt die elastisch gebundenen Elektronen des Mediumsauf eine Kreisbahn. Senkrecht zur Kreisbahn liegt aber das magnetische Feld anund ruft eine Radialkraft hervor, die den Umlaufradius verkleinert oder vergroßert.Hieraus ergeben sich zwei Einstellmoglichkeiten fur das elektrische Dipolmoment, jenach Richtung des Magnetfeldes - oder je nach Umlaufrichtung der Elektronen unddamit der Helizitat des einfallenden Lichtes. Dies erklart die Existenz von unter-schiedlichen Brechungsindizes n+ und n− fur σ+- und σ−–Licht: Die beiden Wellenbreiten sich unterschiedlich schnell aus und konnen außerhalb des Mediums (wo ih-re Ausbreitungsgeschwindigkeit gleich ist) wieder zu einer linear polarisierten Wellezusammengesetzt werden - aber mit einer anderen Phasenlage! Diese Anderung derPhasenbeziehung der beiden zirkular polarisierten Wellen bewirkt die beobachteteDrehung der Polarisationsebene.

1898 beobachteten Macaluso und Corbino Absorptionsspektren von Alkalimetallenim Magnetfeld. Sie entdeckten, dass der Faraday-Effekt in der Umgebung der Re-sonanz besonders ausgepragt ist. Man spricht deshalb hier vom Macaluso-Corbino-Effekt.Betrachten wir zur Vereinfachung noch einmal das System: F = 0→ F ′ = 1 (sieheAbbildung 4.4).

Fur dieses System ist der Unterschied zwischen den Brechungsindices n+ und n− inAbbildung 4.5 noch einmal vergroßert dargestellt. Dieser Unterschied fuhrt zu einerDrehung des linear polarisierten Lichtes um einen Winkel

ϕ = π(n+ − n−)l

λ(4.1)

wobei l die Lange des Mediums ist. Fur monochromatisches Licht bei der Resonanz-frequenz kann man Gleichung 4.1 annahern, wenn man ein Lorentzmodell fur dieLinienverbreiterung annimmt.

ϕ =2gFµBB/~Γ

1 + (2gFµBB/~Γ)2

l

l0(4.2)

Hier ist l0 die Absorptionslange und Γ die Breite der Linie.Die Abhangigkeit der optischen Drehung von der Starke des Magnetfeldes hat einecharakteristische dispersionsahnliche Gestalt: ϕ ist linear mit B bei kleinen Wertenvon B, ist bei 2gFµBB ≈ ±~Γ maximal, und sinkt wieder bei großen Werten von B.


Abbildung 4.5: Abhangigkeit des Brechungsindex von der Frequenz in der Nahe der Re-sonanz bei Anwesenheit eines magnetischen Feldes, hier bei 2gµBB = ~Γ und bei einemangenommenen Lorentz-Modell der Linienbreite. Die untere Kurve zeigt die Differenz derBrechungindizes der beiden zirkularen Komponenten. Das ist das charakteristische Ausse-hen der Macaluso-Corbino-Drehung.

4.1.4 Die Veranderung der Polarisation

Um sich diese Veranderung von linear zu elliptisch polarisiertem Licht besser vor-stellen zu konnen, betrachten Sie die Abbildungen 4.6, 4.7 und 4.8. Ausserdemgibt es auf der Homepage des Versuchs unter http://quantendynamik.physik.

uni-freiburg.de/fp-spektroskopie eine Computersimulation, die diese Verande-rungen darstellt.



62 Quantenkoharenz

Abbildung 4.6: Drehung der Polarisationsebene wegen der unterschiedlichen Brechungs-indices von σ+- und σ−-Licht (Faraday-Effekt)

Abbildung 4.7: Lineares Licht wird zu elliptisch polarisiertem Licht wegen unterschied-licher Absorption von σ+- und σ−-Licht (zirkularer Dichroismus)

Abbildung 4.8: Beide Effekte (Faradayeffekt und zirkularer Dichroismus) zusammen er-geben eine gedrehte Ellipse


Aufgaben Magneto-optische Effekte A10

• Verwenden Sie den Versuchsaufbau aus Abbildung 4.9. Das Laserlicht solltelinear polarisiert sein d.h. auf einer der beiden Photodioden sollte maxi-male Intensitat sein und auf der anderen minimale. Erzeugen sie nun dasdopplerverbreiterte Spektroskopiesignal auf der Photodiode mit maximalerIntensitat !

• Was sehen Sie, wenn Sie das Magnetfeld einschalten und dabei langsam denSpulenstrom variieren ? Bei welchen Stromen ist der Einfluß maximal ?

• Welcher Effekt ist dafur verantwortlich ?

• Bestimmen Sie so den Strom, bei dem das Magnetfeld verschwindet ! Warumverschwindet es nicht bei 0A ?

• Vermessen Sie vollstandig den Polarisationszustand des Lichts bei ver-schwindendem Magnetfeld und bei dem Magnetfeld mit maximalemEinfluß ! Veranschaulichen Sie dabei die Polarisationszustande graphisch !

• Berechnen Sie jeweils das Magnetfeld, das anliegt und mit diesen Wertenmit der Formel 4.2 den Landeschen g-Faktor gF !

• Woran liegt es, dass der somit gemessene Wert von gF großer ist als dertheortische Wert von 1

2?

64 Quantenkoharenz

Abbildung 4.9: Versuchsaufbau zur Vermessung von Faradayeffekt und Dichroismus

Anhang A

Beschreibung der Optik

Optischer Isolator Der optische Isolator (Abb. A.1) setzt sich aus einem Polarisa-tor, einem Faraday-Dreher und einem Analysator zusammen. Die vom Polari-sator vorgegebene Polarisationsebene wird durch den Faraday-Dreher vom Po-larisator aus gesehen um 45o gegen den Uhrzeigersinn gedreht und durchlauftden Analysator ohne Verluste. Ruckreflexe hingegen werden erst vom Ana-lysator polarisiert, durchlaufen den Faraday-Dreher und werden im gleichenDrehsinn vom Polarisator aus gesehen wieder um 45o gedreht, d.h. die Polari-sationsebene der Ruckreflexe ist um 90o gegenuber der der Durchlassrichtungdes Polarisators gedreht. Somit werden sie von ihm nicht durchgelassen.

Abbildung A.1: Optischer Isolator

Prismenpaar Das Strahlprofil der Laserdiode ist ellipsenformig. Fur den Versuchist es aber vorteilhaft, wenn es symmetrisch, d.h. kreisformig aussieht. Diesgeschieht durch ein Prismenpaar, das die Ellipse in der Richtng der großenHablbachse zusammenstaucht.

λ/2–Plattchen Ein λ/2–Plattchen ist ein optisches Verzogerungselement, mit demman die Polarisationsrichtung von linear polarisiertem Licht drehen kann. Die

65

66 ANHANG A. BESCHREIBUNG DER OPTIK

Funktionsweise beruht auf dem Effekt der Doppelbrechung. Der Grund hierfurist die unterschiedliche Ausbreitungsgeschwindigkeit von der Komponente, dieparallel zur optischen Achse polarisiert ist, und der Komponente senkrecht da-zu. Bei einem λ/2–Plattchen ist der Phasenunterschied zwischen diesen beidenKomponenten π.

λ/4–Plattchen Mit einem λ/4–Plattchen kann man aus linear polarisiertem Lichtelliptisches machen und umgekehrt. Die relative Phasenverschiebung zwischender orthogonalen und parallelen Komponente bezuglich der optischen Ach-se des λ/4–Plattchens ist π/2. Wenn man mit linear polarisiertem Licht un-ter 45o zur optischen Achse des λ/4–Plattchen auf das λ/4–Plattchen strahlt,erhalt man hinter dem Plattchen zirkular polarisiertes Licht.

Polarizing Beam Splitter Ein PBS besteht aus zwei Glasprismen, die uber ei-ne dielektrische Schicht miteinander verbunden sind. Der PBS lasst Licht derhorizontalen Polarisationsrichtung durch, wahrend er dazu senkrechte Kom-ponenten zur Seite (weg-) spiegelt.

Passive, ,,langsame“ Photodiode Eine passive Photodiode besteht aus einer Pho-todiode (Halbleiter) und einem Widerstand (Abb. A.2). Durch das auf dieaktive Flache der Photodiode treffende Licht werden durch Photoeffekt Elek-tronen ausgelost, die einen Strom erzeugen. Beim Abfließen dieses Stroms ubereinen Widerstand fallt eine messbare Spannung ab. Durch Hinzunahme wei-terer Widerstande (50Ω, 1 kΩ und 10 kΩ) lasst sich der Sattigungsbereich derPhotodiode verschieben.

Abbildung A.2: Schaltbild der passiven Photodiode

Aktive, ,,schnelle“ Photodiode Im Gegensatz zur passiven Photodiode wird beider aktiven Photodiode eine Spannung in Sperrrichtung angelegt (Abb. A.4).So beschaltet stellt die Sperrrschicht des pn-Ubergangs eine Kapazitat dar,die zusammen mit dem Widerstand R die zeitliche Auflosung der Photodiode

67

Abbildung A.3: Photoempfindlichkeit

uber τ = RC begrenzt. Die Ladungstrager werden durch die angelegte Gegen-spannung schnell abgefuhrt, wobei ein Strom I fließt. Da dieser Strom sehrklein ist, muss er verstarkt werden, um nachgewiesen werden zu konnen. Beiunserer aktiven Photodiode wird eine Gegenspannung von +12V angelegt.

Abbildung A.4: Schaltbild der aktiven Photodiode

Infrarot-Karte Mit der Infrarot-Karte kann man infrarotes Licht sichtbar machen.Zuvor muss sie mit UV-Licht ,,aufgeladen“ werden. Diese Aufgabe ubernimmtdas Tages- bzw. Raumlicht.

Fingerkamera Die Fingerkamera hat einen CCD, der auch fur Licht im infrarotenBereich sensitiv ist.

68 ANHANG A. BESCHREIBUNG DER OPTIK

Anhang B

Forster Sonde

Abbildung B.1: Forster Sonde Bartington Mag-03 MC

69

72 ANHANG B. FORSTER SONDE

Anhang C

Stromtreiber

Im folgenden sind die Frontplatte, der Schaltplan des Stromtreibers, wie er in derE-Werkstatt(M1610) gebaut wurde, sowie der dazugehorige Bestuckungsplan abge-bildet.

Abbildung C.1: Frontplatte

73

74 ANHANG C. STROMTREIBER

Abbildung C.2: Schaltplan

75

Abbildung C.3: Bestuckungsplan

76 ANHANG C. STROMTREIBER

Anhang D

PBS

Abbildung D.1: In diesem Versuch wir das Model PBC12-780/852 verwendet

77

78 ANHANG D. PBS

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