Fraktale DimensionMessen von Komplexität

Sebastian Holtermann

Fraktale Dimension – p. 1

Dimension

Der Begriff Dimension geht zurück auf die EuklidischeGeometrie und soll soviel wie „Anzahl derAusdehnungen“ bedeuten.

Fraktale Dimension – p. 2

Euklidische Geometrien

Beschäftigt sich mit regelmäßigen Gebilden, wie z. B.

Kreisen Dreiecken Wuerfeln

−→ Drastische Abstraktionen−→ Ganzzahlige Dimension

Fraktale Dimension – p. 3

Euklidische Geometrien

Beschäftigt sich mit regelmäßigen Gebilden, wie z. B.

Kreisen

Dreiecken Wuerfeln

−→ Drastische Abstraktionen−→ Ganzzahlige Dimension

Fraktale Dimension – p. 3

Euklidische Geometrien

Beschäftigt sich mit regelmäßigen Gebilden, wie z. B.

Kreisen Dreiecken

Wuerfeln

−→ Drastische Abstraktionen−→ Ganzzahlige Dimension

Fraktale Dimension – p. 3

Euklidische Geometrien

Beschäftigt sich mit regelmäßigen Gebilden, wie z. B.

Kreisen Dreiecken Wuerfeln

−→ Drastische Abstraktionen−→ Ganzzahlige Dimension

Fraktale Dimension – p. 3

Euklidische Geometrien

Beschäftigt sich mit regelmäßigen Gebilden, wie z. B.

Kreisen Dreiecken Wuerfeln

−→ Drastische Abstraktionen

−→ Ganzzahlige Dimension

Fraktale Dimension – p. 3

Euklidische Geometrien

Beschäftigt sich mit regelmäßigen Gebilden, wie z. B.

Kreisen Dreiecken Wuerfeln

−→ Drastische Abstraktionen−→ Ganzzahlige Dimension

Fraktale Dimension – p. 3

Euklidische Geometrien

Geraden und Geradenabschnitte (Strecken)

Erstrecken sich in nur einer Richtung (Dimension).

D = 1

Fraktale Dimension – p. 4

Euklidische Geometrien

Geraden und Geradenabschnitte (Strecken)

Erstrecken sich in nur einer Richtung (Dimension).

D = 1

Fraktale Dimension – p. 4

Euklidische Geometrien

Ebenen und Ebenenstücke (Flächen)

Ebene Dreieck Kreis

Erstrecken sich in zwei Dimensionen.

D = 2

Fraktale Dimension – p. 5

Euklidische Geometrien

Ebenen und Ebenenstücke (Flächen)

Ebene Dreieck Kreis

Erstrecken sich in zwei Dimensionen.

D = 2

Fraktale Dimension – p. 5

Euklidische Geometrien

Raum und Raumteile (Volumen)

Würfel Kugel

Erstrecken sich in drei Dimensionen.

D = 3

Fraktale Dimension – p. 6

Euklidische Geometrien

Raum und Raumteile (Volumen)

Würfel Kugel

Erstrecken sich in drei Dimensionen.

D = 3

Fraktale Dimension – p. 6

Dimension eines Vektorraumes

Sind~a1,~a2, . . . ,~an (1)

linear unabhängige Elemente eines Vektorraumes V undfür jedes weitere Element ~a ∈ V existieren nichtverschwindende Koeffizienten λi, so dass

n∑

i=0

λi~ai + λ~a︸︷︷︸

6=~0

= 0 (2)

Dann bilden die Vektoren ~a1,~a2, . . . ,~an eine Basis von Vund die Dimension D von V ist D = n.

Fraktale Dimension – p. 7

Faltung in höherer Dimensionen

1-D in 2-D: {x|x ∈ [0, 1]} → R2

−→

f1 : G→ R2

2-D in 3-D: {(x, y)|x, y ∈ [0, 1]} → R3

−→

f2 : E → R3

Fraktale Dimension – p. 8

Faltung in höherer Dimensionen

1-D in 2-D: {x|x ∈ [0, 1]} → R2

−→

f1 : G→ R2

2-D in 3-D: {(x, y)|x, y ∈ [0, 1]} → R3

−→

f2 : E → R3

Fraktale Dimension – p. 8

Wie lang ist die Küste von England?

Zirkelmethode

Zirkelweite: ε = 100 kmLänge: 3800 km

Zirkelweite: ε = 50 kmLänge: 5770 km

Fraktale Dimension – p. 9

Wie lang ist die Küste von England?

Zirkelmethode

Zirkelweite: ε = 100 kmLänge: 3800 km

Zirkelweite: ε = 50 kmLänge: 5770 km

Fraktale Dimension – p. 9

Wie lang ist die Küste von England?

Zirkelmethode

Zirkelweite: ε = 100 kmLänge: 3800 km

Zirkelweite: ε = 50 kmLänge: 5770 km

Fraktale Dimension – p. 9

Wie lang ist die Küste von England?

Zirkelmethode

Zirkelweite: ε = 100 kmLänge: 3800 km

Zirkelweite: ε = 50 kmLänge: 5770 km

Fraktale Dimension – p. 9

Wie lang ist die Küste von England?

Feststellungen

Die Länge L der Küstenlinie hängt von der Größedes Maßstabes ε ab: L = L(ε).

Mit kleiner werdendem Maßstab ε divergiert dieLänge L(ε) der Küste.

An keinem Punkt der Küste ist Differenzierbarkeitgewährleistet.

→ Paradox←

Fraktale Dimension – p. 10

Wie lang ist die Küste von England?

Feststellungen

Die Länge L der Küstenlinie hängt von der Größedes Maßstabes ε ab: L = L(ε).

Mit kleiner werdendem Maßstab ε divergiert dieLänge L(ε) der Küste.

An keinem Punkt der Küste ist Differenzierbarkeitgewährleistet.

→ Paradox←

Fraktale Dimension – p. 10

Wie lang ist die Küste von England?

Feststellungen

Die Länge L der Küstenlinie hängt von der Größedes Maßstabes ε ab: L = L(ε).

Mit kleiner werdendem Maßstab ε divergiert dieLänge L(ε) der Küste.

An keinem Punkt der Küste ist Differenzierbarkeitgewährleistet.

→ Paradox←

Fraktale Dimension – p. 10

Wie lang ist die Küste von England?

Feststellungen

Die Länge L der Küstenlinie hängt von der Größedes Maßstabes ε ab: L = L(ε).

Mit kleiner werdendem Maßstab ε divergiert dieLänge L(ε) der Küste.

An keinem Punkt der Küste ist Differenzierbarkeitgewährleistet.

→ Paradox←

Fraktale Dimension – p. 10

Wie lang ist die Küste von England?

Feststellungen

Die Länge L der Küstenlinie hängt von der Größedes Maßstabes ε ab: L = L(ε).

Mit kleiner werdendem Maßstab ε divergiert dieLänge L(ε) der Küste.

An keinem Punkt der Küste ist Differenzierbarkeitgewährleistet.

→ Paradox←

Fraktale Dimension – p. 10

Mandelbrot’s Lösung: Fraktale

Die Küste ist ein Mittelding zwischen Linie undFläche, ein „Monstrum“ mit nicht ganzahligerDimensionalität.

Ein Fraktal ist eine Menge, derenHausdorff-Besicowitch-Dimension echt dietopologische Dimension übersteigt.

Fraktale Dimension – p. 11

Mandelbrot’s Lösung: Fraktale

Die Küste ist ein Mittelding zwischen Linie undFläche, ein „Monstrum“ mit nicht ganzahligerDimensionalität.

Ein Fraktal ist eine Menge, derenHausdorff-Besicowitch-Dimension echt dietopologische Dimension übersteigt.

Fraktale Dimension – p. 11

Volumenbestimmung

Flächenbestimmung eines Quadrates.

ε = 12

N(ε) = 4

ε = 14

N(ε) = 16

ε = 18

N(ε) = 32

V (ε) = N(ε) · ε2 (3)

Fraktale Dimension – p. 12

Volumenbestimmung

Flächenbestimmung eines Quadrates.

ε = 12

N(ε) = 4

ε = 14

N(ε) = 16

ε = 18

N(ε) = 32

V (ε) = N(ε) · ε2 (4)

Fraktale Dimension – p. 12

Volumenbestimmung

Strecke

V (ε) = n ·

(C

n

)1

= C

Quadrat

V (ε) = n2 ·

(C

n

)2

= C2

Wurfel

V (ε) = n3 ·

(C

n

)3

= C3

Fraktale Dimension – p. 13

Kapazitätsdimension DC

Allgemein

V (ε) = N(ε) · εDC ← Kapazitätsdimension

DC = limε→0

(ln(V (ε))

ln(ε) −ln(N(ε))

ln(ε)

)

Ergebnisse nur interessant, wenn V (ε) konvergiert.

DC = −ln(N(ε))

ln(ε)

Fraktale Dimension – p. 14

Kapazitätsdimension DC

Allgemein

V (ε) = N(ε) · εDC ← Kapazitätsdimension

DC = limε→0

(ln(V (ε))

ln(ε) −ln(N(ε))

ln(ε)

)

Ergebnisse nur interessant, wenn V (ε) konvergiert.

DC = −ln(N(ε))

ln(ε)

Fraktale Dimension – p. 14

Kapazitätsdimension DC

Allgemein

V (ε) = N(ε) · εDC ← Kapazitätsdimension

DC = limε→0

(ln(V (ε))

ln(ε) −ln(N(ε))

ln(ε)

)

Ergebnisse nur interessant, wenn V (ε) konvergiert.

DC = −ln(N(ε))

ln(ε)

Fraktale Dimension – p. 14

Kapazitätsdimension DC

Allgemein

V (ε) = N(ε) · εDC ← Kapazitätsdimension

DC = limε→0

(ln(V (ε))

ln(ε) −ln(N(ε))

ln(ε)

)

Ergebnisse nur interessant, wenn V (ε) konvergiert.

DC = −ln(N(ε))

ln(ε)

Fraktale Dimension – p. 14

Beispiel: Koch’s Kurve

Fraktale Dimension – p. 15

Literatur

John Argyris, Gunter Faust, Maria Haase DieErforschung des Chaos

Benoît B. Mandelbrot Die fraktale Geometrie derNatur

H. Peitgen, H. Jürgens, D. Saupe Bausteine desChaos - Fraktale

Jänich Lineare Algebra

Fraktale Dimension – p. 16