Förderung der Raumvorstellung im...
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Förderung der Raumvorstellung
Förderung der Raumvorstellung
im Mathematikunterricht
Reinhard Schmitt-Hartmann
Förderung der Raumvorstellung
Reinhard Schmitt-Hartmann
Förderung der Raumvorstellung
Reinhard Schmitt-Hartmann
Die Raumvorstellung ist …
… die Fähigkeit, in der Vorstellung räumlich zu sehen und räumlich zu denken
Peter H. Maier
„Vorstellung ersetzt erst dann das Handeln, wenn es von diesem ausreichend Erkenntnisse gewonnen hat.“
Piaget
Förderung der Raumvorstellung
Reinhard Schmitt-Hartmann
Die Raumvorstellung ist notwendig für …
die Schule (Mathematik, Naturwissenschaften, Kunst…)
den Alltag (Orientierung, Verpacken…)
Berufe (Medizin, handwerkliche Berufe…)
Förderung der Raumvorstellung
Reinhard Schmitt-Hartmann
1. Räumliche Wahrnehmung
2. Veranschaulichung
3. Mentale Rotation
4. Beziehungen
5. Orientierung
Teilkomponenten der Raumvorstellung
Förderung der Raumvorstellung
Reinhard Schmitt-Hartmann
Entwicklung der Raumvorstellung
Geschätzte Kurven für die Entwicklung der Thurstone‘schen Intelligenzfaktoren
Förderung der Raumvorstellung
Reinhard Schmitt-Hartmann
Kopfgeometrie
Kopfrechnen
Automatisierung von Algorithmen mithilfe von elementaren Aufgaben
Fertigkeiten werden ausgebildet, bei denen Vorstellungen und das Problemlösen nur eine untergeordnete Rolle spielen
… umfasst alle mündlich – im Kopf – zu lösenden geometrischen Aufgaben, die das visuelle Wahrnehmungs - und das räumliche Vorstellungsvermögen schulen.
Marianne Franke
Operationen an Figuren und Körpern werden im Kopf vorgenommen
Wissen und Fähigkeiten werden miteinander in Beziehung gesetzt
Problemlösungen mithilfe von räumlichen Denken
Kopfgeometrie
Förderung der Raumvorstellung
Reinhard Schmitt-Hartmann
Kopfgeometrieaufgaben
… fördert die Prozesskompetenzen
Kommunizieren
Probleme lösen
Argumentieren und Beweisen
Förderung der Raumvorstellung
Reinhard Schmitt-Hartmann
Diagonalen im Würfel
1. Denken Sie sich einen Würfel.
2. Ergänzen Sie in der Deckfläche eine Diagonale.
4. Verbinden Sie alle Diagonalenendpunkte miteinander. Geben Sie an, welcher Körper dadurch entsteht.
3. Ergänzen Sie in der Grundfläche eine Diagonale, die orthogonal zur ersten liegt.
Förderung der Raumvorstellung
Reinhard Schmitt-Hartmann
Veranschaulichung / Visualisierung
Förderung der Raumvorstellung
Reinhard Schmitt-Hartmann
Veranschaulichung / Visualisierung
Förderung der Raumvorstellung
Reinhard Schmitt-Hartmann
Veranschaulichung / Visualisierung
Förderung der Raumvorstellung
Reinhard Schmitt-Hartmann
Schnittflächen
A B C D E
Förderung der Raumvorstellung
Reinhard Schmitt-Hartmann
Würfelnetze
1) 2) 4)
8)
3)
7)
10)
6)
5)
9)
Förderung der Raumvorstellung
Reinhard Schmitt-Hartmann
Würfelnetze
: 11 Möglichkeiten
Förderung der Raumvorstellung
Reinhard Schmitt-Hartmann
Würfelnetze
1)
8)
3)
5)
Förderung der Raumvorstellung
Reinhard Schmitt-Hartmann
Körperrotationen
Förderung der Raumvorstellung
Reinhard Schmitt-Hartmann
Körperrotationen
R S T
E E
D C S
A
1) 2) 3)
4) 5) 6)
7) 8) 9)
D E S C A R T E S
4
Förderung der Raumvorstellung
Reinhard Schmitt-Hartmann
Würfelfelder
1. Welche Zahl zeigt der abgebildete Würfel, wenn er zunächst nach rechts, dann nach vorne und schließlich nach links gekippt wird?
2. Kann man für das Neunerfeld (oder auch ein größeres Feld) ein Muster erstellen, bei dem jedes Feld eine eindeutige gewürfelte Zahl zeigt?
Welche Vereinbarung müsste man treffen, damit ein solches Zahlenmuster eindeutig existiert?
5 2
1 1 1
6 6 6
3 3
1 1
4 2 3 5 4
6 6
4 2 3 5 4
2 5
1 1
5 2
6 6 6 6 6 6 6
6 6
5 2
1 1 1 1 1 1 1
2 3 5 2 3 5 4
2 3 5 2 3 5 4
1
3
6
6
3
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4
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3
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6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
2
1
6
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6
2
5
1
2
6
5
1
2
6
5
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
5
5
Förderung der Raumvorstellung
Reinhard Schmitt-Hartmann
Würfelfelder
𝟏𝟒
= 𝟏𝟒 + 𝟑 ∙ 𝟔 + 𝟐 ∙ 𝟓
= 𝟒𝟐
+ 𝟑 ∙ 𝒚 + 𝟐 ∙ 𝒛
Ein Würfel, neun Felder: Legen Sie einen Würfel auf das mittlere Feld. Bewegen Sie den Würfel über jedes Feld und addieren Sie die Zahlen, die er anzeigt. Wie muss der Würfel auf dem mittleren Feld liegen, damit die Summe maximal ist.
nach ZEIT ONLINE (28.06.2016)
1
2
3
7
8
9
6
5
4
𝒙
𝟕 − 𝒙
𝒚
𝒛
𝒛
𝟕 − 𝒙
𝒙
𝒚
𝒚
Förderung der Raumvorstellung
Reinhard Schmitt-Hartmann
Würfelfelder
1
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5
Ein Würfel, neun Felder: Legen Sie einen Würfel auf das mittlere Feld. Bewegen Sie den Würfel über jedes Feld und addieren Sie die Zahlen, die er anzeigt. Wie muss der Würfel auf dem mittleren Feld liegen, damit die Summe maximal ist.
nach ZEIT ONLINE (28.06.2016)
Förderung der Raumvorstellung
Reinhard Schmitt-Hartmann
Würfelfelder
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𝒚
𝒚
𝒚
𝒙
𝟕 − 𝒙
𝒛
𝒛
𝟕 − 𝒙
𝒙
𝒚
𝒚
𝒙
𝟕 − 𝒙
𝒛
𝟕 − 𝒛
𝟕 − 𝒙
𝒚
𝒙
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𝒙
𝒚
𝒛
𝒙
𝟕 − 𝒚
𝒛
𝒚
𝟕 − 𝒚
𝒙
𝟏𝟒 + 𝟑 ∙ 𝒚 + 𝟐 ∙ 𝒛 = 𝟒𝟐
𝟏𝟒 + 𝟑 ∙ 𝒚 + 𝟕 = 𝟑𝟗
𝟑 ∙ 𝒙 + 𝟏𝟒 + 𝟐 ∙ 𝒛 = 𝟒𝟐
Ein Würfel, neun Felder: Legen Sie einen Würfel auf das mittlere Feld. Bewegen Sie den Würfel über jedes Feld und addieren Sie die Zahlen, die er anzeigt. Wie muss der Würfel auf dem mittleren Feld liegen, damit die Summe maximal ist.
nach ZEIT ONLINE (28.06.2016)
Förderung der Raumvorstellung
Reinhard Schmitt-Hartmann
Körperrotationen
Lego Digital Designer
Förderung der Raumvorstellung
Reinhard Schmitt-Hartmann
Berührungsflächen
3 3 5 4 3 2
Wie viele andere Bausteine berühren die einzelnen Bausteine?
Förderung der Raumvorstellung
Reinhard Schmitt-Hartmann
Räumliche Orientierung
Förderung der Raumvorstellung
Reinhard Schmitt-Hartmann
Räumliche Orientierung
aus Mathematik Neue Wege, Klasse 5
Förderung der Raumvorstellung
Reinhard Schmitt-Hartmann
Veranschaulichung / Visualisierung
Wie viele Ecken hat ein Würfel, bei dem alle Ecken „abgeschnitten“ worden sind?
Wie verändert sich die Oberfläche und der Rauminhalt, wenn man alle „Ecken“ wegnimmt?
Wie verändert sich die Oberfläche und der Rauminhalt, wenn man alle „Kanten“ wegnimmt?
Beschreiben Sie den Würfel ohne „Ecken“ bzw. ohne „Kanten“.
Förderung der Raumvorstellung
Reinhard Schmitt-Hartmann
Körper aus Papier
http://www.papierfalten.de/documents/faltanleitungen/kalender_2019_de.pdf
Förderung der Raumvorstellung
Reinhard Schmitt-Hartmann
Tetraeder
Förderung der Raumvorstellung
Reinhard Schmitt-Hartmann
Tetraeder
A B
Förderung der Raumvorstellung
Reinhard Schmitt-Hartmann
Tetraeder
B
D
B
C
Förderung der Raumvorstellung
Reinhard Schmitt-Hartmann
Tetraeder
Förderung der Raumvorstellung
Reinhard Schmitt-Hartmann
Tetraeder
Förderung der Raumvorstellung
Reinhard Schmitt-Hartmann
Tetraeder
E F
G
Förderung der Raumvorstellung
Reinhard Schmitt-Hartmann
Tetraeder
Förderung der Raumvorstellung
Reinhard Schmitt-Hartmann
Tetraeder
G
E
E F
G
Förderung der Raumvorstellung
Reinhard Schmitt-Hartmann
A B
60°
60° M
Tetraeder
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Reinhard Schmitt-Hartmann
Papiermuster
B A C D E
Förderung der Raumvorstellung
Reinhard Schmitt-Hartmann
Papiermuster
Förderung der Raumvorstellung
Reinhard Schmitt-Hartmann
Soma-Würfel
2 2 2 2 2
2 1 1 1 2
2 2 2 2 2
3 3 3
2 2 2
1 1 1
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
Förderung der Raumvorstellung
Reinhard Schmitt-Hartmann
Soma-Würfel
Welche Farbe hat der mittlere Würfel, den man nicht von außen sehen kann?
Wie sehen die drei Seiten des Würfels aus, die man zurzeit nicht sieht?
Förderung der Raumvorstellung
Reinhard Schmitt-Hartmann
Soma-Würfel
rechts hinten links
unten
Welche Farbe hat der mittlere Würfel, den man nicht von außen sehen kann?
Wie sehen die drei Seiten des Würfels aus, die man zurzeit nicht sieht?
Förderung der Raumvorstellung
Reinhard Schmitt-Hartmann
Soma-Würfel
rechts hinten links
unten
E1 E2 E3
E4 E5 E6
E7 E8 E9
D1 D2 D3
D4 D5 D6
D7 D8 D9
C1 C2 C3
C4 C5 C6
C7 C8 C9
A1 A2 A3
A4 A5 A6
A7 A8 A9
B1 B2 B3
B4 B5 B6
B7 B8 B9
Förderung der Raumvorstellung
Reinhard Schmitt-Hartmann
Soma-Würfel
Welche Farbe hat der Würfel, den man nicht von außen sehen kann?
Förderung der Raumvorstellung
Reinhard Schmitt-Hartmann
Räumliche Beziehungen: Schattenspiel
Ein Körper wird in einer Raumecke von drei Lampen so angeleuchtet, dass drei Schattenfiguren entstehen.
1. Beschreiben Sie einen Körper, sodass die drei Schattenfiguren jeweils einen Kreis darstellen.
2. Überlegen Sie, welche Schattenkombinationen (Kreis, Dreieck und Viereck) entstehen können.