Freie Konvektion entsteht durch Dichteunterschiede infolge ... Boussinesq-Approximation:...

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  • Grundlagen der Wrmebertragung

    4 Freie Konvektion 1

    Freie Konvektion entsteht durch Dichteunterschiede infolge

    eines Temperaturgradienten.

    4.1 Vertikale Platte

    wenn bekannt, dann Ansatz wie berstrmte Plattew

    Q

    W

    w

    x

    w

    Wrmeabgabe einer senkrechten beheizten Platte

    hydraulische

    Grenzschichtdicke

    Thermische

    Grenzschichtdicke

  • Grundlagen der Wrmebertragung

    4 Freie Konvektion 2

    gePlattenlnLLgEVolumenEnergieePotentiell Wpot /

    2

    2

    1/ wEVolumenEnergieKinetische kin

    wenn vollstndig umgesetzt:

    2

    2

    1wLg

    in der Realitt ist die Umsetzung nicht vollstndig, Wirkungsgrad :

    2

    2

    1wLg

    durch Erweiterung

    2

    22

    2

    3

    2

    LwLg W

    Gr ReL2

    2

    2

    Lmit

    = 2,5

    (experimentell)

  • Grundlagen der Wrmebertragung

    4 Freie Konvektion 3

    !Konvektionfreierbeiimmer,ZahlGrashofGr

    5,2Re

    Grqa

    Damit knnen Gleichungen fr erzwungene Konvektion verwendet werden,

    indem oder durch ersetzt wird.LRe qRedRe

    33,05,0 PrRe664,0 LlamNu

    z.B. gilt fr berstrmte Platte (laminar):

    5,22

    : W

    Messungenaus

    (Pohlhausen)

    528,0

    5,2

    664,04/1

    Nherung

    33,025,0 Pr528,0 Llam GrNu

    und fr natrliche Konvektion (laminar):

    Nherungsgleichung

  • Grundlagen der Wrmebertragung

    4 Freie Konvektion 4

    oder mit Pohlhausen - Gleichung fr turbulente Strmung und Pr 1

    4,0026,0 Lturb GrNu

    8,0Re037,0 LNu

    5,2Re

    Grqa und

    Beste Ergebnisse: Korrelation von Churchill und Chu (VDI-Wrmeatlas)

    Typisch: - laminare freie Konvektion: ~/

    - turbulente freie Konvektion: ~/

    Nherungsgleichung

    = , + , ()

    mit () = +,

    , = : Rayleigh-Zahl

    Groer Gltigkeitsbereich: 0,1 < < 1012 (laminar und turbulent), 0,001 < <

    bergang laminar turbulent :910xGr Besser: Rakrit = 2

    .109

  • Grundlagen der Wrmebertragung

    4 Freie Konvektion 5

    Vertikale Platte: Grenzschichtgleichungen fr freie Konvektion

    Impuls:

    +

    =

    2

    2+ 0 0

    Masse:

    +

    = 0

    Energie:

    +

    = 0

    2

    2

    Auftriebsterm:

    Boussinesq-Approximation:

    Dichtenderung (ausschlielich

    durch Temperaturnderung)

    erzeugt Auftriebsstrmung

    Nherungslsung der Grenzschichtgleichungen mit Integralmethode:

    Idee (von Karman und Pohlhausen 1921): Bestimmung ,

    1.) keine exakte Lsung der Grenzschichtgleichungen, sondern

    Nherungslsung durch Integration ber Grenzschichtdicke

    2.) Vorgabe von Verlufen fr und

  • Grundlagen der Wrmebertragung

    4 Freie Konvektion 6

    Nherungslsung der Grenzschichtgleichungen mit Integralmethode

    Annahmen:

    - = : = - laminare Strmung

    - Ansatz fr Temperaturverlauf: , =

    +

    - Ansatz fr Geschwindigkeitsverlauf: , = ()

    ()

    mit = und =

    hydraulische

    Grenzschichtdicke

    Thermische

    Grenzschichtdicke

    , ,

  • Grundlagen der Wrmebertragung

    4 Freie Konvektion 7

    Als Ergebnis erhlt man eine Gleichung fr die rtliche Grenzschichtdicke

    = , , + /

    //

    Wrmestrom von Wand an Fluid durch Fouriersches Gesetz: Verwendung des Ansatzes fr

    Temperaturverlauf , =

    +

    () =

    ==

    =

    , ,+ / /

    /

    Mit =

    kann eine Gleichung fr die Nusseltzahl berechnet werden

    =

    = , / , + /

    /

    =

    = , / , + /

    /

    Fr Luft: = , :

    = , /

    = , /

  • Grundlagen der Wrmebertragung

    4 Freie Konvektion 8

    ,

    Geschwindigkeitsverlauf

    , =

    ()

    = , , + / /

    ()

    Maximale Geschwindigkeit , durch Extremstellensuche:

    = : Ergebnis

    , =

    () an der Stelle =

    ()

    mittlere Geschwindigkeit an der Stelle :

    =

    =

    , =

    ()

  • Grundlagen der Wrmebertragung

    4 Freie Konvektion 9

    Fr andere Geometrien: Berechnung der charakteristischen Lnge

    ZahlRayleighRaGr Pr

    Fr die obigen Gleichungen wird bentigt.W

    Fr Luft (ideales Gasgesetz):TR

    p

    vTRvp

    i

    i 1

    *

    U

    A

    U

    AL

    Ri = individuelle Gaskonstante

    Wrmebertragungsflche

    Umfang der Projektion in Strmungsrichtung

    4.2 andere Geometrien

  • Grundlagen der Wrmebertragung

    4 Freie Konvektion 10

    Fr andere Gase oder fr Flssigkeiten gilt

    T

    1 = thermischer Ausdehnungskoeffizient []

    TTWW

    und2

    3)(

    LTTgGr W

    Fr ideale Gase erhlt man

    TT

    TRp

    TRp

    i

    i

    11

    Gr = _____________________Auftriebskraft

    Zhigkeitskraft

    Alle anderen Stoffwerte

    bei mittlerer Filmtemperatur ( + ) / 2Besser:

    aus Stoffwerttabelle bei

  • Grundlagen der Wrmebertragung

    4 Freie Konvektion 11

    Benard Konvektion

    Von unten beheizter, horizontaler Spalt:

    - fr Ra < 1700 reine Wrmeleitung durch den Spalt

    1uN

    - fr Ra > 1700 bilden sich Konvektionszellen

    074,033,0 Pr069,0 RauN

    Charakteristische Lnge

    = Dicke der Fluidschicht s

    s

  • Grundlagen der Wrmebertragung

    4 Freie Konvektion 12

    Freie Konvektion

    dominant

    berlagerung freie +

    Erzwungene Konvektion

    Erzwungene Konvektion

    dominant

    Richardson-Zahl =

    : - fr : erzwungene Konvektion dominant

    - fr : freie Konvektion dominant

    4.3 berlagerung aus freier und erzwungener Konvektion: Mischkonvektion

  • Grundlagen der Wrmebertragung

    4 Freie Konvektion 13

    berlagerung aus freier und erzwungener Konvektion

    .erzww

    freiw

    22

    . ReReRe freierzwres

    5,2ReRe 2 .

    Grerzwres

    2

    .

    2

    ..min turblam NuNuNuNu

    verwende Reres in:

    freiw

  • Grundlagen der Wrmebertragung

    4 Freie Konvektion 14

    Ein waagerecht frei verlegtes Rohr von 250 mm Auendurchmesser wird

    von heiem Wasser durchstrmt. Die uere Rohroberflche habe dabei

    eine Temperatur von o = 90 C.

    Berechnen Sie den Verlustwrmestrom pro m Rohrleitung (ohne

    Strahlungsverlust).

    a) bei ruhender Umgebungsluft

    b) bei Windgeschwindigkeiten von 1, 2, 5, 10, 20 m/s und einer

    Umgebungstemperatur der Luft von 10 C.

    Stoffwerte: Luft

    b = 50 C m = 1810-6 m/s

    Pr = 0,69 m = 0,028 W/mK

    = +

  • Grundlagen der Wrmebertragung

    4 Freie Konvektion 15

    oao dl

    A

    l

    Q

    Bestimmung des Wrmebergangskoeffizienten:

    Pr,ReLLNuL

    (berstrmter Einzelkrper)

    berstrmlnge:

    Charakteristische Lnge cheSchattenflderUmfang

    cheragungsflWrmebert

    U

    AL

    s

    fr den waagrechten Zylinder:

    (quer angestrmt) aaaa

    a ddLddL

    LdL

    22/1

    1

    2

    Wrmestrom je Meter Rohrlnge :

  • Grundlagen der Wrmebertragung

    4 Freie Konvektion 16

    Allgemein bei freier und erzwungener Strmung:

    2,2

    ,

    2

    ,

    min

    5,2ReRe

    turbLlamLLL

    erzwungenLL

    NuNuNuNu

    Gr

    1PrRe443,21

    PrRe037,0

    RePr664,0

    )(3,0min

    3/21,0

    8,0

    ,

    2/13/1

    ,

    L

    LturbL

    LlamL

    L

    Nu

    Nu

    ZylinderNu

    oLgGr

    2

    3

    fr ideale Gase:T

    1

    o

    ooo

    T

    TT

    T

    TT

    /1

    /1/1

  • Grundlagen der Wrmebertragung

    4 Freie Konvektion 17

    8

    26

    3

    2

    3

    1018,53631018

    802/25,081,92/

    Gr

    T

    TTdgGr

    o

    oa

    28

    ,

    296,2110073,2Re

    2/Re

    w

    dwwL

    L

    aerzwL

  • Grundlagen der Wrmebertragung

    4 Freie Konvektion 18

    w / (m/s) 0 1 2 5 10 20

    ReL/ 104 1,44 2,61 4,59 11,00 21,86 43,65

    NuL/lam 70,4 94,8 125,7 194,6 274,33 387,7

    NuL,turb 68,2 108,1 167,6 331,0 565,9 978,9

    NuL 98,3 144,1 209,8 384,3 629,2 1046,7

    0,44 0,64 0,94 1,72 2,82 4,69

    Vorsicht:

    Der zustzliche Wrmeverlust durch Strahlung betrgt hier

    (bei , , Tm = 363 K) etwa gerade soviel wie der durch freien

    Auftrieb.

    Q/l kW/m