Grundlagen der Wärmeübertragung

4 Freie Konvektion 1

Freie Konvektion entsteht durch Dichteunterschiede infolge

eines Temperaturgradienten.

4.1 Vertikale Platte

wenn bekannt, dann Ansatz wie überströmte Plattew

Q

W

w

x

w

Wärmeabgabe einer senkrechten beheizten Platte

hydraulische

Grenzschichtdicke

Thermische

Grenzschichtdicke

Grundlagen der Wärmeübertragung

4 Freie Konvektion 2

gePlattenlänLLgEVolumenEnergieePotentiell Wpot ˆ/

2

2

1/ wEVolumenEnergieKinetische kin

wenn vollständig umgesetzt:

2

2

1wLg

in der Realität ist die Umsetzung nicht vollständig, Wirkungsgrad :

2

2

1wLg

durch Erweiterung

2

22

2

3

2

LwLg W

Gr ReL2

2

2

Lmit

= 2,5

(experimentell)

Grundlagen der Wärmeübertragung

4 Freie Konvektion 3

!Konvektionfreierbeiimmer,ZahlGrashofˆGr

5,2Re

Grqa

Damit können Gleichungen für erzwungene Konvektion verwendet werden,

indem oder durch ersetzt wird.LRe

äqRedRe

33,05,0 PrRe664,0 LlamNu

z.B. gilt für überströmte Platte (laminar):

5,22

: W

Messungenaus

(Pohlhausen)

528,0

5,2

664,04/1

Näherung

33,025,0 Pr528,0 Llam GrNu

und für natürliche Konvektion (laminar):

Näherungsgleichung

Grundlagen der Wärmeübertragung

4 Freie Konvektion 4

oder mit Pohlhausen - Gleichung für turbulente Strömung und Pr 1

4,0026,0 Lturb GrNu

8,0Re037,0 LNu

5,2Re

Grqa und

Beste Ergebnisse: Korrelation von Churchill und Chu (VDI-Wärmeatlas)

Typisch: - laminare freie Konvektion: 𝑵𝒖~𝑹𝒂𝟏/𝟒

- turbulente freie Konvektion: 𝑵𝒖~𝑹𝒂𝟏/𝟑

Näherungsgleichung

𝑵𝒖𝑳 = 𝟎, 𝟖𝟐𝟓 + 𝟎, 𝟑𝟖𝟕 𝑹𝒂𝑳 𝒇𝟏(𝑷𝒓)𝟏𝟔

𝟐

mit 𝒇𝟏(𝑷𝒓) = 𝟏 +𝟎,𝟒𝟗𝟐

𝑷𝒓

𝟗

𝟏𝟔

−𝟏𝟔

𝟗

, 𝑹𝒂𝑳 = 𝑮𝒓𝑳 𝑷𝒓: Rayleigh-Zahl

Großer Gültigkeitsbereich: 0,1 < 𝑅𝑎𝐿 < 1012 (laminar und turbulent), 0,001 < 𝑃𝑟 < ∞

Übergang laminar turbulent :910xGr Besser: Rakrit = 2.109

Grundlagen der Wärmeübertragung

4 Freie Konvektion 5

Vertikale Platte: Grenzschichtgleichungen für freie Konvektion

Impuls: 𝑤𝑥𝜕𝑤𝑥

𝜕𝑥+ 𝑤𝑦

𝜕𝑤𝑥

𝜕𝑦= 𝜈

𝜕2𝑤𝑥

𝜕𝑦2+ 𝛽0 𝑔 𝜗 − 𝜗0

Masse:𝜕𝑤𝑥

𝜕𝑥+

𝜕𝑤𝑦

𝜕𝑦= 0

Energie: 𝑤𝑥𝜕𝜗

𝜕𝑥+ 𝑤𝑦

𝜕𝜗

𝜕𝑦= 𝑎0

𝜕2𝜗

𝜕𝑦2

Auftriebsterm:

Boussinesq-Approximation:

Dichteänderung (ausschließlich

durch Temperaturänderung)

erzeugt Auftriebsströmung

Näherungslösung der Grenzschichtgleichungen mit Integralmethode:

Idee (von Karman und Pohlhausen 1921): Bestimmung 𝜹,𝒘𝒙

1.) keine exakte Lösung der Grenzschichtgleichungen, sondern

Näherungslösung durch Integration über Grenzschichtdicke 𝜹

2.) Vorgabe von Verläufen für 𝒘 und 𝝑

Grundlagen der Wärmeübertragung

4 Freie Konvektion 6

Näherungslösung der Grenzschichtgleichungen mit Integralmethode

Annahmen:

- 𝑷𝒓 = 𝟏: 𝜹𝒉 = 𝜹𝒕𝒉- laminare Strömung

- Ansatz für Temperaturverlauf: 𝝑 𝒙, 𝒚 = 𝝑𝒘 − 𝝑𝒂𝒎𝒃 𝟏 −𝒚

𝜹 𝒙

𝟐+ 𝝑𝒂𝒎𝒃

- Ansatz für Geschwindigkeitsverlauf: 𝒘𝒙 𝒙, 𝒚 = 𝒘𝟏(𝒙)𝒚

𝜹(𝒙)𝟏 −

𝒚

𝜹 𝒙

𝟐

mit 𝒘𝟏 𝒙 = 𝑪𝟏 𝒙𝒎 und 𝜹 𝒙 = 𝑪𝟐 𝒙

𝒏

hydraulische

Grenzschichtdicke

Thermische

Grenzschichtdicke

𝝑 𝒙, 𝒚𝒘𝒙 𝒙, 𝒚

𝝑𝒘

𝝑𝒂𝒎𝒃

Grundlagen der Wärmeübertragung

4 Freie Konvektion 7

Als Ergebnis erhält man eine Gleichung für die örtliche Grenzschichtdicke

𝜹 𝒙

𝒙= 𝟑, 𝟗𝟑 𝟎, 𝟗𝟓𝟐 + 𝑷𝒓 𝟏/𝟒 𝑮𝒓𝒙

−𝟏/𝟒𝑷𝒓−𝟏/𝟐

Wärmestrom von Wand an Fluid durch Fourier‘sches Gesetz: Verwendung des Ansatzes für

Temperaturverlauf 𝝑 𝒙, 𝒚 = 𝝑𝒘 − 𝝑𝒂𝒎𝒃 𝟏 −𝒚

𝜹 𝒙

𝟐+ 𝝑𝒂𝒎𝒃

𝒒(𝒙) = −𝝀𝝏𝝑

𝝏𝒚 𝒚=𝟎= 𝟐 𝝀

𝝑𝒘−𝝑𝒂𝒎𝒃

𝜹 𝒙= 𝟐 𝝀

𝝑𝒘−𝝑𝒂𝒎𝒃

𝟑,𝟗𝟑 𝟎,𝟗𝟓𝟐+𝑷𝒓 𝟏/𝟒 𝑮𝒓𝒙−𝟏/𝟒

𝑷𝒓−𝟏/𝟐 𝒙

Mit 𝜶 𝒙 = 𝒒 𝒙

𝝑𝒘−𝝑𝒂𝒎𝒃kann eine Gleichung für die Nusseltzahl berechnet werden

𝑵𝒖𝒙 =𝜶 𝒙 𝒙

𝝀= 𝟎, 𝟓𝟎𝟖 𝐏𝐫𝟏/𝟐 𝟎, 𝟗𝟓𝟐 + 𝑷𝒓 −𝟏/𝟒 𝑮𝒓𝒙

𝟏/𝟒

𝑵𝒖𝒎 =𝜶𝒎 𝑳

𝝀= 𝟎, 𝟔𝟕𝟗 𝐏𝐫𝟏/𝟐 𝟎, 𝟗𝟓𝟐 + 𝑷𝒓 −𝟏/𝟒 𝑮𝒓𝑳

𝟏/𝟒

Für Luft: 𝑷𝒓 = 𝟎, 𝟕:

𝑵𝒖𝒙 = 𝟎, 𝟑𝟕𝟖 𝑮𝒓𝒙𝟏/𝟒

𝑵𝒖𝒎 = 𝟎, 𝟓𝟎𝟒 𝑮𝒓𝑳𝟏/𝟒

Grundlagen der Wärmeübertragung

4 Freie Konvektion 8

𝒘𝒙 𝒙, 𝒚

Geschwindigkeitsverlauf

𝐰𝐱 𝐱, 𝐲 = 𝐰𝟏𝒚

𝜹(𝒙)𝟏 −

𝒚

𝜹 𝒙

𝟐

= 𝟓, 𝟏𝟕 𝝂 𝟎, 𝟗𝟓𝟐 + 𝑷𝒓 −𝟏/𝟐 𝑮𝒓𝒙𝟏/𝟐

𝒙−𝟏𝒚

𝜹(𝒙)𝟏 −

𝒚

𝜹 𝒙

𝟐

Maximale Geschwindigkeit 𝐰𝐱,𝒎𝒂𝒙 durch Extremstellensuche: 𝝏𝐰𝐱

𝝏𝒚= 𝟎: Ergebnis

𝐰𝐱,𝒎𝒂𝒙 =𝟒

𝟐𝟕𝒘𝟏(𝒙) an der Stelle 𝒚 =

𝟏

𝟑𝜹(𝒙)

mittlere Geschwindigkeit an der Stelle 𝒙 :

𝒘𝒙 =𝟏

𝜹 𝒚=𝟎𝜹

𝒘𝒙 𝒙, 𝒚 𝒅𝒚 =𝟏

𝟏𝟐𝒘𝟏(𝒙)

Grundlagen der Wärmeübertragung

4 Freie Konvektion 9

Für andere Geometrien: Berechnung der charakteristischen Länge 𝑳∗

ZahlRayleighRaGr ˆPr

Für die obigen Gleichungen wird benötigt.W

Für Luft (ideales Gasgesetz):TR

p

vTRvp

i

i 1

ˆ

ˆ

*

U

A

U

AL

Ri = individuelle Gaskonstante

Wärmeübertragungsfläche

Umfang der Projektion in Strömungsrichtung

4.2 andere Geometrien

Grundlagen der Wärmeübertragung

4 Freie Konvektion 10

Für andere Gase oder für Flüssigkeiten gilt

T

1β = thermischer Ausdehnungskoeffizient [𝑲−𝟏]

TTWW

und2

3)(

LTTgGr W

Für ideale Gase erhält man

TT

TRp

TRp

i

i

11

Gr = _____________________Auftriebskraft

Zähigkeitskraft

Alle anderen Stoffwerte

bei mittlerer Filmtemperatur (𝝑𝒘 + 𝝑∞) / 2Besser:

aus Stoffwerttabelle bei 𝝑∞

Grundlagen der Wärmeübertragung

4 Freie Konvektion 11

Benard Konvektion

Von unten beheizter, horizontaler Spalt:

- für Ra < 1700 reine Wärmeleitung durch den Spalt

1uN

- für Ra > 1700 bilden sich Konvektionszellen

074,033,0 Pr069,0 RauN

Charakteristische Länge

= Dicke der Fluidschicht s

s

Grundlagen der Wärmeübertragung

4 Freie Konvektion 12

𝒘∞ ≈ 𝟎 𝒘∞ 𝒘∞

Freie Konvektion

dominant

Überlagerung freie +

Erzwungene Konvektion

Erzwungene Konvektion

dominant

Richardson-Zahl 𝑹𝒊 =𝑮𝒓

𝑹𝒆𝟐: - für 𝑹𝒊 ≪ 𝟏: erzwungene Konvektion dominant

- für 𝑹𝒊 ≫ 𝟏: freie Konvektion dominant

4.3 Überlagerung aus freier und erzwungener Konvektion: Mischkonvektion

Grundlagen der Wärmeübertragung

4 Freie Konvektion 13

Überlagerung aus freier und erzwungener Konvektion

.erzww

freiw

22

. ReReRe freierzwres

5,2ReRe 2

.

Grerzwres

2

.

2

..min turblam NuNuNuNu

verwende Reres in:

freiw

Grundlagen der Wärmeübertragung

4 Freie Konvektion 14

Ein waagerecht frei verlegtes Rohr von 250 mm Außendurchmesser wird

von heißem Wasser durchströmt. Die äußere Rohroberfläche habe dabei

eine Temperatur von o = 90 °C.

Berechnen Sie den Verlustwärmestrom pro m Rohrleitung (ohne

Strahlungsverlust).

a) bei ruhender Umgebungsluft

b) bei Windgeschwindigkeiten von 1, 2, 5, 10, 20 m/s und einer

Umgebungstemperatur der Luft von 10 °C.

Stoffwerte: Luft

b = 50 °C m = 18·10-6 m²/s

Pr = 0,69 λm = 0,028 W/mK

𝝑𝒃 =𝝑𝟎 + 𝝑∞

𝟐

Grundlagen der Wärmeübertragung

4 Freie Konvektion 15

oao dl

A

l

Q

Bestimmung des Wärmeübergangskoeffizienten:

Pr,ReLLNuL

(überströmter Einzelkörper)

Überströmlänge:

Charakteristische Länge ächeSchattenflderUmfang

cheragungsfläWärmeübert

U

AL

s

für den waagrechten Zylinder:

(quer angeströmt) aa

aa

a ddLddL

LdL

22/1

1

2

Wärmestrom je Meter Rohrlänge 𝒍:

Grundlagen der Wärmeübertragung

4 Freie Konvektion 16

Allgemein bei freier und erzwungener Strömung:

2

,

2

,

2

,

min

5,2ReRe

turbLlamLLL

erzwungenLL

NuNuNuNu

Gr

1PrRe443,21

PrRe037,0

RePr664,0

)(3,0min

3/21,0

8,0

,

2/13/1

,

L

LturbL

LlamL

L

Nu

Nu

ZylinderNu

oLg

Gr2

3

für ideale Gase:T

1

o

ooo

T

TT

T

TT

/1

/1/1

Grundlagen der Wärmeübertragung

4 Freie Konvektion 17

8

26

3

2

3

1018,53631018

802/25,081,92/

Gr

T

TTdgGr

o

oa

28

,

296,2110073,2Re

2/Re

w

dwwL

L

aerzwL

Grundlagen der Wärmeübertragung

4 Freie Konvektion 18

w / (m/s) 0 1 2 5 10 20

ReL/ 104 1,44 2,61 4,59 11,00 21,86 43,65

NuL/lam 70,4 94,8 125,7 194,6 274,33 387,7

NuL,turb 68,2 108,1 167,6 331,0 565,9 978,9

NuL 98,3 144,1 209,8 384,3 629,2 1046,7

0,44 0,64 0,94 1,72 2,82 4,69

Vorsicht:

Der zusätzliche Wärmeverlust durch Strahlung beträgt hier

(bei 𝜺∗ ≈ 𝟎, 𝟖, Tm = 363 K) etwa gerade soviel wie der durch freien

Auftrieb.

Q/l kW/m