FUNÇÃO DO 2º GRAU OU QUADRÁTIC A

- A função do segundo grau é um tópico da matemática que pode ser aplicado em

diversas situações do nosso cotidiano, nas mais variadas áreas. Portanto, saber

identificar e resolver problemas que envolvem este tipo de cálculo é fundamental

para a continuidade dos nossos estudos no campo do cálculo.

1- Definição

- A função quadrática é uma função f : ℝ→ℝ, definida como f(x) = ax2 + bx + c,

com a, b e c números reais e a ≠ 0.

Exemplos

a) f(x) = x2 – 4x + 3 (a = 1, b = -4, c = 3)

b) f(x) = -4x2 – 16 (a = -4, b = 0, c = -16)

c) y = x2 – 3x (a = 1, b = -3, c = 0)

d) f(x) = -3x2 (a = -3, b = c = 0)

2- Raízes ou zeros de uma função do 2º grau

Para calcular as raízes ou os valores de x que anulam uma função do 2º

grau, devemos igualar a zero a mesma transformando-a numa equação do 2º grau

e, em seguida, resolvendo-a através da fórmula de Bháskara.

Exemplo:

1) Encontre as raízes de cada função abaixo:

a) y = 3x2 – 5x + 2 b) y = -x2 + 6x - 9 c) y = 2x2 – 4x + 5

d) f(x) = x2 – 5x e) y = 20x2 – 320 f) f(x) = x2 + 4

Solução:

a) y = 3x2 – 5x + 2

3x2 – 5x + 2 = 0 (a = 3, b = -5, c = 2)

- Cálculo do discriminante (delta).

- Cálculo das raízes.

1 e 2/3 são os únicos números que anulam a função. Logo, V = {1, 2/3}

b) y = -x2 + 6x - 9

-x2 + 6x - 9 = 0 .(-1)

x2 - 6x + 9 = 0 (a = 1, b = -6, c = 9)

326

206"

326

206'

206

1.20)6(

2

036369.1.4)6( 2

x

x

abx

3 é o único número que anula a função. Logo, V = {3}

c) y = 2x2 – 4x + 5

2x2 – 4x + 5 = 0 (a = 2, b = -4, c = 5)

x’ e x”

- Observa-se que não é possível calcular, no campo real, , por ser um

número que faz parte do Conjunto dos Números Complexos, logo, a equação não

apresenta raízes reais, isto é, o conjunto verdade é representado pelo conjunto

vazio V = ou { }.

* O resultado significa dizer que não existe nenhum número real que anula essa

função.

d) f(x) = x2 – 5x

x2 – 5x = 0 (equação incompleta: coloca-se x em evidência)

x(x – 5) = 0

x’ = 0 ou

x – 5 = 0 x” = 5V = {0, 5}

e) y = 20x2 – 320

20x2 – 320 = 0 (:20) (equação incompleta)

x2 – 16 = 0

x2 = 16

x =

x =

V = {4, -4}

f) f(x) = x2 + 4

x2 + 4 = 0 (equação incompleta)

x2 = -4

x = x’ e x”

V = ou { }

Obs.: todas as equações incompletas do 2º grau podem ser resolvidas pela

fórmula de Bháskara. Observe a resolução do exemplo anterior d.

d) f(x) = x2 – 5x

V= {0, 5}

3- Gráfico de uma Função Quadrática.

4- Cálculo do Vértice. - Observamos acima que o vértice de uma parábola é um ponto que pode ser

de mínimo, se o coeficiente de x2 for maior que zero (a > 0) ou de máximo, se for

menor que zero (a < 0). Para calcular esse ponto devemos utilizar as seguintes

fórmulas:

1- Abscissa do vértice: (ponto de mínimo ou de máximo da função)

2- Ordenada do vértice: (valor de mínimo ou de máximo da função)

Logo, o vértice é representado pelo ponto .

Procedimentos para encontrar o vértice.

1º Procedimento

y = ax2 + bx + c fórmula geral da Função Quadrática

Isola-se ax2 + bx

y – c = ax2 + bx

Adiciona-se aos dois membros o termo

y – c + = ax2 + bx +

Resolve-se a potencia do 1º membro e coloca-se a em evidência no 2º

y – c + = a

Simplifica-se e fatorando o 2º membro (quadrado da soma de dois

termos), temos:

y – c + = a

Isola-se y e determina-se o mínimo nos dois últimos termos do 2º membro

y = a + c -

y = a -

y = a -

a) Quando a > 0, a função (y) apresenta um mínimo para = 0.

= 0

x = (abscissa do vértice)

Como = 0, temos.

y = a.0 - y = - (ordenada do vértice)

V =

b) Quando a < 0, a função (y) apresenta um máximo para = 0.

= 0

x = (abscissa do vértice)

Como = 0, temos.

y = a.0 - y = - (ordenada do vértice)

V =

3) Quando a > 0, y = - continua negativo (y < 0), logo, a função apresenta

um mínimo.

4) Quando a < 0, y = - torna-se positivo (y > 0), logo, a função apresenta um

máximo.

2º Procedimento

O vértice da parábola y = ax2 + bx + c pertence ao eixo de simetria (s). Então,

para encontrar sua abscissa deve-se calcular o ponto médio do segmento de

extremos (x’, 0) e (x”, 0) da seguinte maneira:

Para encontrar a ordenada do vértice deve-se substituir o valor da abscissa

do vértice na função y = ax2 + bx + c do seguinte modo:

Então:

Exemplo

1- As funções abaixo são do 2º grau, logo, seus gráficos são representados por

parábolas. Determine o vértice de cada parábola especificando se representa

ponto de máximo ou de mínimo.

a) f(x) = x2 – 9x + 20 b) y = -2x2 + 5x + 1 c) y = 3x – x2

Solução:

a) f(x) = x2 – 9x + 20 (a = 1, b = -9, c = 20)

1) Cálculo da abscissa do vértice:

2) Cálculo da ordenada do vértice:

Logo,

* Como a é positivo (a = 1), dizemos que o vértice representa um ponto de

mínimo.

b) y = -2x2 + 5x + 1 (a = -2, b = 5, c = 1)

1)

2)

Logo,

* Como a é negativo (a = -2), dizemos que o vértice representa um ponto de

máximo.

c) y = 3x – x2 (a = -1, b = 3, c = 0)

1)

2)

Logo,

* Como a é negativo (a = -1), dizemos que o vértice representa um ponto de

máximo.

.

5- Construção de uma Parábola.

Verificou-se que para construir o gráfico de qualquer função deve-se conferir a

x (variável independente) valores arbitrários, em seguida, substituem-se os

mesmos na função achando valores para y (variável dependente),

conseqüentemente, formando pares ordenados (x, y). Porém, para facilitar nossa

tarefa, vamos colocar ordem nos valores de x, da seguinte maneira:

1- Calculam-se as raízes da função (x’ e x”);

2- Determina-se o vértice da parábola ;

3- Construa-se uma tabela acrescentando um valor a x menor que a menor

raiz e outro maior que a maior raiz, em seguida, esboçar o gráfico.

Nota: se a equação apresentar raízes reais e iguais (x’ = x”) ou não apresentar

raízes reais, deve-se atribuir a x dois valores menores e dois maiores que o valor

da abscissa do vértice (xv).

Exemplo:

1- Construir o gráfico de cada função abaixo: a) f(x) = x2 – 3x + 2 b) y = -x2 + 4x - 4 c) y = 2x2 + 4

Solução:

a) f(x) = x2 – 3x + 2 1) Cálculo das raízes.

f(x) = x2 – 3x + 2

x2 – 3x + 2 = 0 (a = 1, b = -3, c = 2)

2) Cálculo do vértice.

c) Construção da Tabela e do gráfico.

x y (x, y) 0 2 (0, 2)1 0 (1, 0)

23

2 0 (2, 0)3 2 (3, 2)

f(x) = x2 – 3x + 2f(0) = 02 – 3.0 + 2 = 2 f(1) = 12 – 3.1 + 2 = 0f(2) = 22 – 3.2 + 2 = 0f(3) = 32 – 3.3 + 2 = 2

b) y = -x2 + 4x - 4 1) Cálculo das raízes. -x2 + 4x – 4 = 0 (-1) x2 – 4x + 4 = 0 (a = 1, b = -4, c = 4)

2) Cálculo do vértice.

3) Construção da Tabela e do gráfico.

x y (x, y) 0 -4 (0, -4)1 -1 (1, -1)2 0 (2, 0)3 -1 (3, -1)4 -4 (4, -4)

y = -x2 + 4x - 4y(0) = 02 + 4.0 -4 = -4 f(1) = -12 + 4.1 - 4 = -1f(2) = -22 + 4.2 - 4 = 0f(3) = -32 + 4.3 - 4 = -1f(4) = -42 + 4.4 – 4 = -4

c) y = 2x2 + 4 1) Cálculo das raízes.

y = 2x2 + 4

2x2 + 4 = 0 (equação incompleta do 2º grau)

2x2 = -4

x2 = -2

2) Cálculo do vértice.

y = 2x2 + 4 (a = 2, b = 0, c = 4)

3) Construção da tabela e do gráfico.

x y (x, y) -2 12 (-2, 12)-1 6 (-1, 6)0 4 (0, 4)1 6 (1, 6)2 12 (2, 12)

y = 2x2 + 4f(-2) = 2.(-2)2 + 4 = 12 f(-1) = 2.(-1)2 + 4 = 6f(1) = 2.12 + 4 = 6f(2) = 2.22 + 4 = 12

Notas:

1ª) É relevante observar que quando as raízes reais x’ e x “ são diferentes (∆

> 0), a parábola intercepta o eixo das abscissas em dois pontos; quando as raízes

reais são iguais (∆ = 0), a parábola intercepta o eixo das abscissas em um ponto

e, quando não existirem raízes reais, a curva não intercepta a parábola.

2ª) Pontos Notáveis da Parábola.

2.1) Intersecção da parábola com o eixo das abscissas (OX): São as raízes e

para calcular deve-se atribuir à variável y o valor nulo (y = 0), em seguida, resolve-

se a equação encontrada.

y = ax2 + bx + c ax2 –bx + c = 02.2) Intersecção da parábola com o eixo das ordenadas (OY): Deve-se

atribuir à variável x o valor nulo (x = 0) encontrando, em seguida, o valor de y.

y = ax2 + bx + c y = a.02 + b.0 + c y = c

2.3) Vértice da parábola: Utiliza-se as fórmulas citadas acima, isto é,

.

3ª) O domínio da função do 2º grau é o conjunto dos Reais e o conjunto

imagem é se a > 0 ou se a < 0.

06- Estudo do sinal da Função do 2º Grau (ou Quadrática).

- Para estudar o sinal da função (valores de x que à torna positiva, negativa

ou nula) do 2º grau f(x) = ax2 + ba + c, utiliza-se o seguinte procedimento:

1) Verifica-se se o valor de a é positivo ou negativo.

2) Calculam-se as raízes.

3) Marcam-se as raízes no eixo das abscissas (0X).

Exemplo:

1- Estudar o sinal de cada função:

a) y = x2 - 2x – 8 b) y = -x2 + 6x – 5 c) y = 4x2 – 4x + 1 d) y = -2x2 – 8

Solução:

a) y = x2 - 2x – 8 1) a = 1 a > 0

2) Iguala-se a zero a função y = x2 - 2x – 8.

x2 - 2x – 8 = 0

Aplicando a fórmula de Bhaskara, temos:

3)

Obs.: Os sinais + e – que aparecem no gráfico acima são sinais da função y e não

de x, isto é, se substituir qualquer valor de x menor que -2 ou maior que 4 na

função y = x2 - 2x – 8, o resultado (valor numérico) será sempre positivo; se

substituir qualquer valor de x compreendido entre -2 e 4, o resultado da

função será sempre negativo e se x assumir valor -2 ou 4 o resultado será

nulo.

b) y = -x2 + 6x – 5 1) a = -1 a < 0

2) -x2 + 6x – 5 = 0 x(-1)

x2 6x + 5 = 0

Aplicando a fórmula de Bhaskara, temos:

c) y = 4x2 – 4x + 1 1) a = 4 a > 0

2) Iguala-se a zero a função y = 4x2 – 4x + 1.

4x2 – 4x + 1 = 0

Aplicando a fórmula de Bhaskara, temos:

Observe que nesse caso não tem nenhum um número que torna negativa a

função.

d) y = -2x2 – 8 1) a = -2 a < 0

2) Iguala-se a zero a função y = -2x2 – 8.

-2x2 – 8 = 0 x(-1)

2x2 + 8 = 0

Resolvendo verificamos que não temos raízes, logo, x’ e x” R.

Observe que nesse caso não tem nenhum um número que torna positiva ou nula a função.

- Em regra geral, a discussão da variação de sinal de uma função quadrática recairá em um dos casos:

07- Inequações do 2º grau

Chama-se inequação do 2º grau toda desigualdade que pode ser escrita nas

seguintes formas:

(a 0).

A resolução de uma inequação do 2º grau pode ser feita da seguinte maneira:

1) Verifica-se se o valor de a é positivo ou negativo.

2) Transforma-se a inequação do 2º grau numa equação (= 0) calculando em

seguida, as raízes.

3) Marcam-se as raízes no eixo das abscissas (0X) escolhendo o intervalo

que satisfaz a inequação.

Exemplo:

1- Resolva as inequações: a) x2 – 8x + 12 > 0 b) -3x2 + 6 0 c) x2 – 6x + 9 < 0

d) -2x2 – 8 0 e) (x2 – 9).(x2 – 4x) 0 f)

Solução:

a) x2 – 8x + 12 > 0

a.1) a = 1 a > 0

a.2) x2 – 8x + 12 = 0

b) -3x2 + 6 0

b.1) a = -3 a < 0

b.2) -3x2 + 6 = 0

c) x2 – 6x + 9 < 0

d) -2x2 – 8 0

d.1) a = -2 a < 0

d.2) -2x2 – 8 = 0

e) (x2 – 9).(x2 – 4x) 0 (Inequação produto)

f(x) = x2 – 9 g(x) = 2x2 – 8x

1) a = 1 a > 0 1) a = 2 a > 0

2) x2 – 9 = 0 2) 2x2 – 8x = 0

- Observa-se que é utilizado o jogo de sinal em relação ao produto.

f)

f(x) = x2 – 4x – 5 g(x) = -x2 + 3x 1) a = 1 a > 0 1) a = -1 a < 0

2) x2 – 4x – 5 = 0 2) -x2 + 3x 0

(raízes do denominador)

- Observa-se que é utilizado o jogo de sinal em relação ao quociente.

EXERCÍCIOS

1- Verifique quais das funções reais abaixo são do segundo grau e, em seguida,

determine os seus coeficientes (a, b,c):

a) f(x) = 4x.(x – 3) b) y = (2x – 3)2 – 4 c) f(x) = x.(x – 2)2

d) y = (x – 4).(4 – x) e) x3 – (x - 1)3

Resposta:

a) (a = 4,, b = -12 e c =0) b) (a = 4, b = -14 e c 5)

d) (a = -1, b = 8 e c = -16) e) (a = 3, b = -3 e c = 1)

2- Dada a função quadrática f(x) = -3x2 + 4x – 3, determine:

a) f(-2) b) f(2) c) f( d) f(t – 2) e) f(2p2)

f) f(0) g) x de modo que f(x) = -3 h) 3f(2) – 4f(-1)

Resposta:

a) -23 b) -7 c) 4(-3 + √3) d) -3t2 + 16.t – 23

d) -12.p4 e) 0, 4/3 f) 19

3) Determine, se existirem, as raízes das funções abaixo:

a) f(x) = x2 -8x + 7 b) y = -x2 - 4x + 5 c) f(x) = (x – 3)2 – 9

d) f(x) = 3x2/5 + 3 e) y = 100x2 + 700x + 1000

Resposta:

a) 7e 1 b) 1, -5 c) 6 e 0 d) { } e) -2 e -5

4) De uma folha de papel retangular de 30 cm por 20 cm são retirados, de seus

quatro cantos, quadrados de lado x. Determine a expressão que indica a área da

parte que sobrou em função de x.

R) S(x) = 600 - 4x²

5- (UfSCar–SP) Uma bola, ao ser chutada num tiro de meta por um goleiro, numa

partida de futebol, teve sua trajetória descrita pela equação h(t) = – 2t² + 8t (t ≥0) , onde t é o tempo medido em segundo e h(t) é a altura em metros da bola no

instante t. Determine, após o chute:

a) o instante em que a bola retornará ao solo. (4 seg)b) a altura atingida pela bola. (8 metros)

6- As raízes da equação 2x2 + bx + c = 0 são 3 e − 4. Nesse caso, qual o valor de b - c?R) 26

7- (Enem – 2017) A igreja de São Francisco de Assis, obra arquitetônica

modernista de Oscar Niemeyer, localizada na Lagoa da Pampulha, em Belo

Horizonte, possui abóbadas parabólicas. A seta na Figura 1 ilustra uma das

abóbadas na entrada principal da capela. A figura 2 fornece uma vista frontal

desta abóbada, com medidas hipotéticas para simplificar os cálculos.

Qual a medida da altura H, em metro, indicada na Figura 2?

SOLUÇÃO

Nesta questão precisamos calcular o valor da altura. Para isso, vamos representar

a parábola no eixo cartesiano, conforme figura abaixo.

Escolhemos o eixo de simetria da parábola coincidindo com o eixo y do plano

cartesiano. Assim, notamos que a altura representa o ponto (0, yH).

Observando o gráfico da parábola, percebemos ainda, que o 5 e o -5 são as duas

raízes da função e que o ponto (4,3) pertence a parábola.

Com base em todas essas informações, vamos utilizar a forma fatorada da

equação do 2º grau, ou seja:

y = a . (x - x1) . (x - x2)

Onde:

a: coeficiente

x1 e x2: raízes da equação

Para o ponto x = 4 e y = 3, temos:

y = a . (x - x1) . (x - x2)

3 = a . (4 + 5) . (4 - 5)

3 = a . (-9) → a = -1/3

Conhecendo o valor de a, podemos calcular o valor da altura (yH) usando

novamente a forma fatorada da equação do 2º grau. Para isso, consideramos x =

0, conforme indicado no gráfico acima:

y = a . (x - x1) . (x - x2)

yh = -1/3.(5).(-5)

yh = 25/3

8) Encontre o vértice da parábola y = -4x2 - 5x + 6.

9) Sabe-se que 8 é o valor mínimmo da função y = x2 - 4x + p. Encontre o valor de

5p.

10- Encontre o valor de k2 - 3k sabendo que a parábola f(x) = kx2 passa pelo vértice da curva f(x) = -x2 + 4x.

11)(UFSM – 2015)- A água é essencial para a vida e está presente na constituição

de todos os alimentos. Em regiões com escassez de água, é comum a utilização

de cisternas para a captação e armazenamento da água da chuva. Ao esvaziar

um tanque contendo água da chuva, a expressão

representa o volume (em m3) de água presente no tanque no instante t (em

minutos)

Qual é o tempo, em horas, necessário para que o tanque seja esvaziado?

a) 360.

b) 180.

c) 120.

d) 6.

e) 3.

O instante que o tanque ficará vazio pode ser calculado, considerando V(t) = 0.

Então, vamos igualar a função dada a zero e calcular o valor de t.

Precisamos ainda passar o valor encontrado para horas. Lembrando que 1 hora é

igual a 60 min, então 360 min será igual a 6 h.

Alternativa: d) 6

12- (FUVEST – 2015) - A trajetória de um projétil, lançado da beira de um penhasco sobre um terreno plano e horizontal, é parte de uma parábola com eixo de simetria vertical, como ilustrado na figura.

O ponto P sobre o terreno, pé da perpendicular traçada a partir do ponto ocupado

pelo projétil, percorre 30 m desde o instante do lançamento até o instante em que

o projétil atinge o solo. A altura máxima do projétil, de 200 m acima do terreno, é

atingida no instante em que a distância percorrida por ܲ�P, a partir do instante do

lançamento, é de 10 m. Quantos metros acima do terreno estava o projétil quando

foi lançado?

a) 60

b) 90

c) 120

d) 150

e) 180

SOLUÇÃO:- Vamos começar representando a situação no plano cartesiano, conforme figura

abaixo:

No gráfico, o ponto de lançamento do projétil pertence ao eixo y. Já o ponto (10,

200) representa o vértice da parábola.

Como o projétil atinge o solo em 30 m, essa será uma das raízes da função. Note

que a distância entre esse ponto e a abscissa do vértice é igual a 20 (30 - 10).

Por simetria, a distância do vértice para a outra raiz também será igual a 20.

Sendo assim, a outra raiz foi assinalada no ponto - 10.

Conhecendo os valores das raízes (- 10 e 30) e um ponto pertencente a parábola

(10, 200), podemos usar a forma fatorada da equação do 2º grau, ou seja:

y = a . (x - x1) . (x - x2)

Substituindo os valores, temos:

Conhecendo o valor de a, podemos agora calcular o valor da altura h de

lançamento do projétil. Para isso, basta identificar que no ponto de lançamento x =

0 e y = h.

Substituindo esses valores na fórmula fatorada, encontramos:

Alternativa: d) 150

13- Enem - 2016 (2ª aplicação)- Para evitar uma epidemia, a Secretaria de Saúde

de uma cidade dedetizou todos os bairros, de modo a evitar a proliferação do

mosquito da dengue. Sabe-se que o número f de infectados é dado pela função

f(t) = - 2t2 + 120t (em que t é expresso em dia e t = 0 é o dia anterior à primeira

infecção) e que tal expressão é válida para os 60 primeiros dias da epidemia.

A Secretaria de Saúde decidiu que uma segunda dedetização deveria ser feita no

dia em que o número de infectados chegasse à marca de 1 600 pessoas, e uma

segunda dedetização precisou acontecer.

A segunda dedetização começou no

a) 19º dia.

b) 20º dia.

c) 29º dia.

d) 30º dia.

e) 60º dia.

A dedetização será feita quando a f(t) = 1600, então substituindo esse valor na

função, encontraremos o valor de t.

1 600 = - 2 . t2 + 120 . t

2 . t2 - 120 . t + 1600 = 0

Podemos dividir toda a equação por 2 para simplificar as contas. Assim, a

equação ficará:

t2 - 60 . t + 800 = 0

Para encontrar as raízes da equação, usaremos a fórmula de Bhaskara:

Portanto, a segunda dedetização ocorrerá no 20º dia, que é quando chegará a

1600 infectados após a primeira dedetização.

Alternativa: b) 20º dia.

14- (Enem – 2013) - A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de uma

parábola em torno de um eixo z, conforme mostra a figura.

A função real que expressa a parábola, no plano cartesiano da figura, é dada pela

lei f(x) = 3/2 x2 – 6x + C, onde C é a medida da altura do líquido contido na taça,

em centímetros. Sabe-se que o ponto V, na figura, representa o vértice da

parábola, localizado sobre o eixo x. Nessas condições, a altura do líquido contido

na taça, em centímetros, é

a) 1.

b) 2.

c) 4.

d) 5.

e) 6.

Pela imagem da questão, observamos que a parábola apresenta apenas um ponto

que corta o eixo x (ponto V), ou seja, ela possui raízes reais e iguais.

Desta forma, sabemos que Δ = 0, ou seja:

Δ = b2 - 4 . a . c =0

Substituindo os valores da equação, temos:

Portanto, a altura de líquido será igual a 6 cm.

Alternativa: e) 6

15- (UERJ – 2016) - Observe a função f, definida por:

Se f(x) ≥ 4, para todo número real x, o valor mínimo da função f é 4.

Assim, o valor positivo do parâmetro k é:

a) 5

b) 6

c) 10

d) 15

Como o coeficiente a da função é positivo (1) seu gráfico será uma parábola com

a concavidade voltada para cima. Logo, o vértice da parábola será o ponto em que

o valor da função é mínimo.

No enunciado é informado que esse valor é igual a 4, ou seja, que o yv = 4. Sendo

assim, usaremos a expressão do yv para calcular o valor do parâmetro k.

Como a questão pede o valor positivo do parâmetro k, então iremos desprezar o

valor de k = - 5

Alternativa: a) 5

TESTES

1. (ANGLO) - O vértice da parábola y = 2x2 - 4x + 5 é o ponto

a) (2, 5)            b) (1, -3)           c) (-1, 11)          d) (3, 1)      e) (1, 3)

 

2. (ANGLO) - A função f(x) = x2 - 4x + k  tem o  valor mínimo igual a 8. O valor de k

é:

a) 8                  b) 10                c)12                 d) 14                e) 16

 

3. (ANGLO) - Se o vértice da parábola dada por y = x2 - 4x + m é o ponto (2, 5),

então o valor de m é:

a) 0                  b) 5                  c) -5                 d) 9                  e) -9

 

4. (VUNESP) - A parábola de equação  y = ax2 passa pelo vértice da parábola  y =

4x - x2.

    Ache o valor de a:

 a) 1                b) 2                   c) 3                             d) -1                             e) nda

 

5.(ANGLO) - Considere a parábola de equação y = x2 - 4x + m. Para que a

abscissa e a ordenada do vértice dessa parábola sejam iguais, então m deve ser

igual a:

a) -14               b) -10               c) 2                d) 4                  e) 6

 

11.(MACK) - O  gráfico da função real definida por y = x2 + mx + (15 - m) tangencia

o eixo das abscissas e corta o eixo das ordenadas no ponto (0, k). Se a abscissa

do vértice da parábola é negativa, k vale:

a) 25              b) 18              c) 12               d) 9              e) 6

 

12.(FUVEST) - Os pontos (0, 0) e (2, 1) estão no gráfico de uma função quadrática

f. O mínimo de f é assumido no ponto de abscissa x = - 1/ 4. Logo, o valor de f(1)

é:

a) 1/10              b) 2/10              c) 3/10              d) 4/10              e) 5/10

 

13. (FATEC) - O gráfico de uma função f, do segundo grau, corta o eixo das

abcissas para x = 1 e x = 5. O ponto de máximo de f coincide com o ponto de

mínimo da função g, de R em R, definida por    g(x) = (2/9) x2 - (4/3)x + 6. A função

f pode ser definida por

a) y = -x² + 6x + 5                b) y = -x² - 6x + 5                 c) y = -x² - 6x - 5              d)

y = -x² + 6x – 5                e) y = x² - 6x + 5

 

15. (UEL) - A função real f, de variável real, dada por f(x) = -x2 + 12x + 20, tem um

valor

a) mínimo, igual a -16, para x = 6                      b) mínimo, igual a 16, para x = -12

c) máximo, igual a 56, para x = 6                       d) máximo, igual a 72, para x = 12

 

16. (UFMG)- Nessa figura, está representada a parábola de vértice V, gráfico da

função de segundo grau cuja expressão é

a) y = (x² /5) - 2x

b) y = x² - 10x

c) y = x² + 10x

d) y = (x²/5) - 10x

e) y = (x² /5) + 10x

 

17. A função f(x) do segundo grau tem raízes -3 e 1. A ordenada do vértice da

parábola, gráfico de f(x), é igual a 8.

A única afirmativa VERDADEIRA sobre f(x) é

a) f(x) = -2(x - 1)(x + 3)              b) f(x) = -(x - 1)(x + 3)              c) f(x) = -2(x + 1)(x -

3)            

d) f(x) = (x - 1)(x + 3)                  e) f(x) = 2(x + 1)(x - 3)

 

18. (UFMG) - Nessa figura, a reta r intercepta a parábola nos pontos (-4, -24) e (2,

0).

a) Determine a equação da reta r.

b) Determine a equação dessa parábola.

c) Seja f(x) a diferença entre as ordenadas de pontos de mesma abscissas x,

nesta ordem: um sobre a parábola e o outro sobre a reta r.

Determine x para que f(x) seja a maior possível.

 

19. (UFPE) - O gráfico da função y = ax² + bx + c é a parábola da figura a seguir.

Os valores de a, b e c são, respectivamente:

a) 1, - 6 e 0       b) - 5, 30 e 0     c) -1, 3 e 0       d) -1, 6 e 0       e) -2, 9 e 0

 

20. (UFSC) - A figura a seguir representa o gráfico de uma parábola cujo vértice é

o ponto V.

A equação da reta r é:

a) y = -2x + 2    b) y = x + 2.      c) y = 2x + 1     d) y = 2x + 2.    e) y = -2x – 2

 

21. (MACK) - Se a função real definida por f(x) = -x²+ (4 – k²) possui um máximo

positivo, então a soma dos possíveis valores inteiros do real k é:

a) -2.           b) -1.            c) 0.             d) 1.            e) 2.

 

22. (GV) - A função f, de R em R, dada por f(x) = ax² - 4x + a tem um valor máximo

e admite duas raízes reais e iguais. Nessas condições, f(-2) é igual a

a) 4             b) 2             c) 0             d) -1/2             e) –2

 

23. (UFPE) - Qual o maior valor assumido pela função  f:[-7.10] ® R definida por

f(x) = x² - 5x + 9?

 

24. O gráfico de f(x) = x² + bx + c, onde b e c são constantes, passa pelos pontos

(0, 0) e (1, 2). Então f(-2/3) vale

a) -2/9             b) 2/9               c) -1/4             d) 1/4               e) 4

 

25. (PUCMG) - Na parábola y = 2x² - (m - 3)x + 5, o vértice tem abscissa 1.

A ordenada do vértice é:

a) 3              b) 4               c) 5               d) 6               e) 7

 

26. (UFMG) - O ponto de coordenadas (3, 4) pertence à parábola de equação y =

ax² + bx + 4. A abscissa do vértice dessa parábola é:

a) 1/2               b) 1                  c) 3/2               d) 2

 

27. (UEL) - Uma função f, do 2°grau, admite as raízes -1/3 e 2 e seu gráfico

intercepta o eixo y no ponto (0; -4). É correto afirmar que o valor

a) mínimo de f é -5/6                 b) máximo de f é -5/6                c) mínimo de f é -

13/3

d) máximo de f é -49/9               e) mínimo de f é -49/6

 

28. (CESGRANRIO) - O ponto de maior ordenada, pertence ao gráfico da função

real definida por f(x) = (2x - 1)(3 - x), é o par ordenado (a, b). Então a -b é igual a:

a) -39/8             b) -11/8             c) 3/8               d) 11/8              e) 39/8

 

29. (UEL) - Seja x um número real estritamente positivo. Sejam as funções f e g

tais que f associa a cada x o comprimento da circunferência de raio x centímetros

e g associa a cada x a área do círculo de raio x centímetros. Nessas condições, é

verdade que

a) f(x) > g(x) para 0 < x < 2.       b) f(x) = g(x) para x = 4.             c) g(x) > f(x) para 0

< x < 1.

d) f(x) > g(x) para x > 10.           e) f(x) > g(x) para qualquer valor de x.

 

30. (PUCCAMP) - A soma e o produto das raízes de uma função do 2° grau são,

respectivamente, 6 e 5. Se o valor mínimo dessa função é -4, então seu vértice é o

ponto

a) (3, -4)           b) (11/2, -4)       c) (0, -4)           d) (-4; 3)           e) (-4, 6)

 

31. (PUCRIO) - O número de pontos de intersecção das duas parábolas y = x²  e y

= 2x² - 1 é:

a) 0.                 b) 1.                 c) 2.                 d) 3.                 e) 4.

 

32. (UFV) - O gráfico da função real f definida por f(x) = ax² + bx + c, com  a < 0,

passa pelos pontos (-1, 10) e (0, 5). Logo o conjunto de todos os valores possíveis

de b é:

a) {b ÎIR / b £ -4}                      b) {b Î IR / b < -5}         c) {b Î IR / b £ -3}

d) {b ÎIR / b £ -2}                       e) {b Î IR / b £ -1}

 

33. (UFMG) - Nessa figura, estão representados os gráficos das funções

 

f(x) = x²/2 e g(x) = 3x - 5.

Considere os segmentos paralelos ao eixo y, com uma das extremidades sobre o

gráfico da função f e a outra extremidade sobre o gráfico da função g. Entre esses

segmentos, seja S o que tem o menor comprimento. Assim sendo, o comprimento

do segmento S é

a) 1/2               b) 3/4               c) 1                  d) 5/4

 

34. (UNIFESP) - O gráfico da função f(x) = ax² + bx + c (a, b, c números reais)

contém os pontos (-1, -1), (0, -3) e  (1, -1).

O valor de b é:

a) -2.                b) -1.                c) 0.                 d) 1                  e) 2.

 

35. (PUCCAMP) - Considere a função dada por y = 3t² - 6t + 24, na qual y

representa a altura, em metros, de um móvel, no instante t, em segundos.

O valor mínimo dessa função ocorre para t igual a

a) -2                 b) -1                 c) 0                  d) 1                  e) 2

 

36. (PUCCAMP) - (Considere a função dada por y = 3t² - 6t + 24, na qual y

representa a altura, em metros, de um móvel, no instante t, em segundos.

O ponto de mínimo da função corresponde ao instante em que

a) a velocidade do móvel é nula.

b) a velocidade assume valor máximo.

c) a aceleração é nula.

d) a aceleração assume valor máximo.

e) o móvel se encontra no ponto mais distante da origem.

 

37. (PUCPR) - O gráfico da função definida por f(x) = x² + bx + cos 8π/7, x Î R:

a) intercepta o eixo das abscissas em exatamente 2 pontos positivos.

b) intercepta o eixo das abscissas em exatamente 2 pontos negativos.

c) intercepta o eixo das abscissas em 2 pontos de sinais diferentes.

d) intercepta o eixo das abscissas na origem.

e) não intercepta o eixo das abscissas.

 

38. (UFAL) - O gráfico da função quadrática definida por f(x)= 4x² + 5x + 1 é uma

parábola de vértice V e intercepta o eixo das abscissas nos pontos A e B. A área

do triângulo AVB é

a) 27/8          b) 27/16            c) 27/32             d) 27/64           e) 27/128

 

39. (UFES) - O gráfico da função y = x² - 1 é transladado de 3 unidades na direção

e sentido do eixo x e de 1 unidade na direção e sentido do eixo y. Em seguida, é

refletido em torno do eixo x. A figura resultante é o gráfico da função

a) y = -(x + 3)²   b) y = -(x - 3)²    c) y = -(x + 3)² - 2           d) y = (x - 3)² - 2          e)

y = (x + 3)²

Resposta:

1) E 2) C 3) D 4) A 5) B 6) A 7) E 8)D 9) C 10) A 11) D 12) C 13) D 14) C 15) C 16)

A 17) A 18) a) 4x + y + 8 = 0 b) y = - x² + 2x c) x = -1 19) D 20) D 21) C 22) E 23)

93 24) A 25) A 26) C 27) E 28) B 29) A 30) A 31) C 32) B 33) A 34) C 35) D 36) A

37) C 38) E 39) B

- DANTE, L. R. (2005) Matemática. São Paulo: Editora Ática.

- GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JR., José Rui.

Matemática Fundamental, 2º grau. Volume Único. São Paulo: FTD, 1994.

- EZZI, G. et AL. (2004) Matemática: Ciência e Aplicações. 2a Ed. São Paulo:Atual

- IEZZI, Gelson; Murakami, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar,1:

conjuntos, funções. 8. ed. São Paulo: Atual, 2004.

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