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KAPITEL 3 Funktionen mehrerer Veränderlicher 3.1 Beschreibung von Funktionen mehrerer Veränderlicher ...... 54 3.2 Grenzwerte und Stetigkeit ....................... 57 3.3 Zusammenfassung ........................... 67 3.4 Aufgaben ................................. 69 Lernziele 3 Darstellung als explizite bzw. implizite Funktion mehrerer Verän- derlicher, • Graph der Funktion • Niveaumenge bzw. Niveaulinien • Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen 53

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KAPITEL 3

Funktionen mehrerer Veränderlicher

3.1 Beschreibung von Funktionen mehrerer Veränderlicher . . . . . . 543.2 Grenzwerte und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Lernziele 3• Darstellung als explizite bzw. implizite Funktion mehrerer Verän-

derlicher,• Graph der Funktion• Niveaumenge bzw. Niveaulinien• Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen

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3.1 Beschreibung von Funktionen mehrererVeränderlicher

Definition 3.1Es sei D eine Teilmenge des Rn . Eine Abbildung, die jedem Vektor~x = (x1, x2, . . . , xn )T ∈ D den eindeutig bestimmten Funktionswertf (~x) = f (x1, x2 . . . , xn ) ∈ R zuordnet ist eine reelle Funktion von nreellen Veränderlichen: f : Rn ⊇ D →R. Dabei ist D ⊆Rn der Defini-tionsbereich und die Menge der Werte f (~x) der Wertebereich derFunktion f .

Für Funktionen in 2 oder 3 Veränderlichen schreibt man üblicherweise f (x, y)bzw. f (x, y, z).

Die Zuordnung ~x → f (x1, x2, . . . , xn ) kann gegeben sein

1. durch eine explizite Rechenvorschrift:

f (x, y) = 0.15x y +0.2x +0.5y −0.5,

2. durch eine implizite Vorschrift: F (x, y, z) = 0, z.B.

x2 + y2 − z2 = 0,

3. in Parameterform f (x, y) = f (x(t ), y(t )), t ∈ [a,b]. D.h. jedem t ∈ [a,b]wird ein Funktionswert f (x(t ), y(t )) zugeordnet.Beispiel: y(t ) = cos t , x(t ) = sin t , t ∈ [0, π], und f (x, y) = 2x y = 2sin t cos t =sin(2t ).

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Abbildung 3.1: Definitionsbereich.

Beispiel 3.2Die Funktion

f (x, y) =√

4−x2 − y2

x

ist definiert für alle(x, y)T ∈ R2 mit x2 + y2 ≤ 4und x 6= 0. Der Wertebereichist das Intervall (−∞,∞).

Rechenregeln: Für ~x ∈Rn gilt

1. ( f + g )(~x) = f (~x)± g (~x) (Summe und Differenz)

2. ( f g )(~x) = f (~x) · g (~x) (Produkt)

3. fg (~x) = f (~x)

g (~x) , g (~x) 6= 0 (Quotient)

4. g ◦h(~x) = g (h(~x)) (Verkettung)

Als besonders vorteilhaft zur Diskussion einer Funktion f : Rn ⊇ D → R

erweisen sich bestimmte „Hilfsfunktionen“ zu betrachten.

Definition 3.3Unter den Niveaulinien bzw. den Niveaumengen (oder auch Niveauhy-perflächen) von f zum konstanten Niveau c ∈R : versteht man die dieTeilmenge des Definitionsbereichs von f

Nc := {~x ∈ D ⊆Rn : f (~x) = c}.

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Abbildung 3.2: Niveaulinien und Graph der Funktion.

Der Graph der Funktion

Γ f := {(~x, f (~x)); ~x ∈ D} ⊆Rn+1.

ist dagegen die Menge aller (x1, . . . , xn , xn+1)T = (~x, xn+1) ∈ Rn+1 mitxn+1 = f (x1, . . . , xn )

Bemerkung 3.4Wir nennen F (x1, . . . , xn , xn+1) = 0 die implizite und xn+1 = f (x1, . . . , xn ) dieexplizite Darstellung des Graphen Γ f .

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Beispiel 3.5Die Gerade 2x +3y = 5 ist die Niveaukurve der Funktion f (x, y) = 2x +3y

zum Niveau c = 5. Die explizite Darstellung lautet y =− 23 x + 5

3 .

Beispiel 3.6Jeder Graph y = h(x) einer (stetigen) Funktion einer Variablen x kannals Niveaukurve F (x, y) = y − f (x) = 0 einer Funktion zweier Veränderlicherangesehen werden.

3.2 Grenzwerte und Stetigkeit

Der Abstand zweier Punkte ~x,~y ∈Rn ist definiert durch

|~x −~y | =√√√√ n∑

i=1(xi − yi )2.

Zu jedem festen ~a ∈Rn und r > 0 heißt die Punktmenge

Uδ(~a) := {~x ∈Rn : |~x −~a| < r }

δ-Umgebung von ~a.

Beispiel 3.8Für n = 1 ist Uδ(a) das offene Intervall a −δ< x < a +δ.

Für n = 2 besteht Uδ(~a) aus allen Punkten der Kreisscheibe mit dem Mittel-punkt ~a und dem Radius δ ohne Randpunkte.Für n = 3 ist Uδ(~a) eine Kugel mit dem Radius δ um ~a ohne die Punkte derKugeloberfläche.

Da die geometrie zwei- und höherdimensionaler Mengen vielfältiger ist alsdie eindimensionaler Mengen, führen wir weitere Begriffe ein.

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KAPITEL 3. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHER 58

Beispiel 3.7Gegeben ist die Funktion

z = f (x, y) = y2 −x2

4+1 : R2 →R,

Abbildung 3.3: Niveaumengen und Graph der Funktion.Der Graph der Funktion

Γ f := {(x, y, z) ∈R3 : z = f (x, y)}

ist rot dargestellt. Als farbige Kurven sind sichtbar die Niveaulinien:

Nc = {(x, y) ∈R2 : c = y2 −x2

4+1}.

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Definition 3.9Sei D eine Teilmenge des Rn .

1. Ein Punkt ~a ∈ D heißt innerer Punkt von D, wenn es eine r -Umgebung von ~a gibt, die ganz in D enthalten ist.

2. D heißt offen, wenn jeder Punkt von D ein innerer Punkt ist.

3. Ein Punkt~b ∈Rn heißt Randpunkt von D, wenn jede r -Umgebungvon ~b sowohl mindestens einen Punkt aus D als auch mindestenseinen nicht zu D gehörenden Punkt enthält. Die Menge allerRandpunkte von D heißt Rand von D und wird mit ∂D bezeichnet.

4. Eine Menge heißt abgeschlossen, wenn sie alle ihre Randpunkteenthält.

Bemerkung 3.10Ist D eine offenen Menge, dann besitzt jeder Punkt aus D eine(kleine) Umgebung, die vollständig in D liegt. Dies wird wichtig,wenn wir Ableitungen betrachten.Grenzwerte können auch gegen Randpunkte betrachet werden, dienicht zur Menge D selbst gehören, weil für ~b ∈ ∂D der DurchschnittUδ(~b)∩D 6= ; ist.

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Definition 3.11Sei D ⊆Rn eine Teilmenge des Rn und f : Rn ⊇ D →R mit ~a ∈ D∪∂D(~a gehört zur Menge D oder ist Randpunkt von D).

1. f hat in ~a den Grenzwert c ∈R, d.h.

lim~x→~a

f (~x) = c (bzw. f (~x) → c für ~x →~a),

wenn es zu jedem (beliebig kleinen) ε > 0 eine δ-UmgebungUδ(~a) gibt, so dass | f (~x)− c| ≤ ε für alle ~x ∈ D ∩Uδ(~a),~x 6=~a,gilt.

2. f heißt in ~a ∈ D stetig, wenn lim~x→~a f (~x) = f (~a) gilt.

3. f heißt auf D stetig, wenn f in allen ~a ∈ D stetig ist.

Definition 3.12Im Fall n = 2 nennt man die Grenzwerte

limy→y0

(lim

x→x0f (x, y)

)und lim

x→x0

(lim

y→y0f (x, y)

)iterierte Grenzwerte.

Bemerkung 3.13Wenn die iterierten Grenzwerte nicht gleich sind, dann exisitert der Grenzwert

lim(x,y)→(x0,y0)

f (x, y) nicht. Existieren die iterierten Grenzwerte und sind gleich,dann muss der Grenzwert lim

(x,y)→(x0,y0)f (x, y) trotzdem nicht existieren.

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Bemerkung 3.14Bei stetigen Funktionen kann man Grenzwert- und Funktionswertbil-dung vertauschen.

Welche Funktionen sind stetig?1. Alle Funktionen, die Summe, Differenz, Produkt, Quotient (Nenner

ungleich Null) und Verkettung von stetigen Funktionen einer reellenVeränderlichen sind, sind stetig.Bsp. f (x, y) = x2 + x y + sin(x y), oder auch f (x, y, z) = ln(x2 + y2 +1)−x4 y2z.

2. Sind f , g stetige Funktionen in ~x0 ∈Rn dann sind das skalare Vielfachec f , Summe und Differenz f ± g , Produkt f g und Quotient f

g , wenng (~x0) 6= 0, ebenfalls stetig in ~x0.

Bemerkung 3.16Eine trickreiche Variante Grenzwerte zu berechnen, ergibt sich ausder Verkettung von Funktionen bzw. der Substitution.

Satz 3.17Ist die Funktion h stetig in ~x0 und g ist stetig in h(~x0), dann ist dieverkettete Funktion g ◦h(~x0) = g (h(~x0)) stetig in ~x0. Das bedeutetinsbesondere

lim~x→~x0

g (h(~x)) = g (h(~x0)).

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Bemerkung 3.15 (Graphische Interpretation)

Abbildung 3.4: Stetigkeit.Es gilt

lim(x,y)→Q

f (x, y) = c = f (Q)

und die Funktion ist stetig in Q, weil c = f (Q). In der Abbildung istP = (Q, f (Q)). Die Ebenen haben den Abstand ε und die Bildmengef (Uδ(Q)) = {(x, y, z) ∈R3 : (x, y)T ∈Uδ(Q) und | f (x, y)− f (Q)| < ε} liegtebenfalls zwischen den Ebenen. D.h. es gilt

| f (x, y)− f (Q)| < ε für alle (x, y)T ∈Uδ(Q) ⇐⇒ |(x, y)T −Q| < δ.

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Bemerkung 3.18Für Funktionen zweier Veränderlicher man berechnet den Grenzwert

lim(x;y)→(x0;y0)

f (g (x, y))

indem man zunächst t = g (x, y) setzt und den Grenzwertt0 = lim

(x,y)→(x0;y0)g (x, y) bestimmt. Dann ist

lim(x;y)→(x0;y0)

f (g (x, y)) = limt→t0

f (t ).

Beispiel 3.19Man bestimme den Grenzwert

lim(x;y)→(3;0)

sin(x y)

x y.

Hier ist g (x, y) = x y = t und es gilt lim(x;y)→(3;0)

x y = 0 = t0. Somit ergibtsich

lim(x;y)→(3;0)

sin(x y)

x y= lim

t→0

sin t

t= 1.

Bemerkung 3.20Diese Aussage zur Stetigkeit helfen beim Nachweis der Unstetigkeit wenig.Für den Nachweis der Unstetigkeit benutzen wir, dass der Grenzwert einerFunktion eindeutig bestimmt ist. Betrachtet man Kurven ~x(t ), parametri-siert durch einen Parameter t , die durch den Punkt ~x0 =~x(t0) verlaufen,dann muss gelten

limt→t0

f (~x(t )) = f (~x(t0)) = f (~x0)

für alle möglichen Kurven im Definitionsbereich von f , die durch ~x0 verlau-fen.

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KAPITEL 3. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHER 64

Beispiel 3.21Wo ist die Funktion

f (x, y) ={

x2−y2

x2+y2 für(x, y) 6= (0,0),

0 für(x, y) = (0,0)stetig?Für (x, y) 6= (0,0) ist f als Quotient von stetigen Funktio-nen stetig. Es verbleibt f im Punkt (0,0) zu untersuchen.

Abbildung 3.5: Unstetige Funktion.In den Graphen der Funktion sind die Kurven (x(t ), y(t ), f (x(t ), y(t )))mit

1. x(t ) = y(t ) = t , t ∈R\{0}, dann gilt f (t , t ) = t 2−t 2

t 2+t 2 = 0,

2. x(t ) =−y(t ) = t , t ∈R\{0}, dann gilt f (t , t ) = t 2−t 2

t 2+t 2 = 0,

3. x(t ) = t , y(t ) = 0, t ∈R, dann gilt f (t ,0) = t 2

t 2 = 1,

4. x(t ) = 0, y(t ) = t , t ∈R, dann gilt f (t ,0) = −t 2

t 2 =−1.

eingezeichnet. Da die Grenzwerte für t → 0 verschieden sind, ist dieFunktion f (x, y) in (0,0) unstetig.

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Eine weitere Möglichkeit ist die Parametrisierung durch Polarkoordinaten,d.h. man betrachtet

f (x, y) = f (x(r,ϕ), y(r,ϕ)) = f̃ (r,ϕ)

mit x(r,ϕ) = r cosϕ, y(r,ϕ) = r sinφ, 0 ≤ r <∞, 0 ≤ϕ< 2π.

Die Funktion f ist nicht die gleiche Funktion wie f̃ !

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KAPITEL 3. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHER 66

Beispiel 3.22Wo ist die Funktion

f (x, y) ={ 2x y

x2+y2 für(x, y) 6= (0,0),

0 für(x, y) = (0,0)

stetig?Für (x, y) 6= (0,0) ist f als Quotient von stetigen Funktionen stetig. Esverbleibt f im Punkt (0,0) zu untersuchen: Übergang zu Polarkoordinaten:x = r cosϕ, y = r sinϕ, r ∈R, ϕ ∈ [0, 2π).

f (x, y) = f̃ (r,ϕ) = r 22cosϕsinϕ

r 2 cos2ϕ+ r 2 sin2ϕ= 2cosϕsinϕ= sin(2ϕ) ∀ϕ ∈ [0, 2π).

Abbildung 3.6: Unstetige Funktion.Rot ist die Funktion dargestellt und die schwarzen Kuven entsprechen f̃ (r,ϕ)für r = 0,25, r = 1, 2, 3 und 0 ≤ϕ< 2π. D.h., dass der Grenzwert

lim(x,y)→(0,0)

f (x, y) = limr→0

sin(2ϕ) = sin(2ϕ)

nicht existiert.

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Bemerkung 3.23Alternativ könnte man auch hier wieder Parametrisierungen betrachten, esgilt

1. für x(t ) = y(t ) = t , dass f (t , t ) = 2t 2

2t 2 = 1, (t 6= 0),

2. für x(t ) =−y(t ) = t , dass f (t ,−t ) = −2t 2

2t 2 =−1, (t 6= 0),

deshalb existiert der Grenzwert für t → 0 nicht.

Beispiel 3.24Eine wesentliche Eigenschaft stetiger Funktionen besteht darin, dassman Grenzwertbildung und Funktionswertbildung vertauschen kann:

lim(x;y)→(0;0)

ln(x y +2x − y +1) = ln( lim(x;y)→(0;0)

(x y +2x − y +1)) = ln1 = 0.

3.3 Zusammenfassung

(1) Funktionen mehrerer reeller Veränderlicher

(a) Darstellung als explizite Funktion y = f (~x), als implizite FunktionF (~x, y) = 0 oder in Parameterform f (~x) = f (~x(t )), t ∈ [a, b].

(b) Definitionsbereich D f = Menge aller ~x ∈Rn für die die Funktiondefiniert ist, nicht definiert sind insbesondere die Division durchNull, Wurzeln aus negativen Zahlen. Der Logarithmus ist nur fürpositive Argumente definiert.

(c) Wertebereich W f = Menge alle y ∈R für die es einen Vektor ~xim Definitionsbereich von f gibt mit y = f (~x)

(2) Niveaumengen bzw. Niveaulinien

Nc := {~x ∈ D f ⊆Rn : f (~x) = c}

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(3) Graph der Funktion

Γ f := {(~x, xn+1) ∈Rn+1 : xn+1 = f (~x), ~x ∈ D f ⊆Rn }

(4) GrenzwertWenn es für alle ε > 0 ein δ = δ(ε) > 0 gibt mit | f (~x)− c| < ε für alle~x ∈Uδ(~x0)∩D f (und ggf. nicht in ~x0 selbst), dann gilt

lim~x→~x0

f (~x) = c.

(5) StetigkeitDie Funktion f (~x) ist in ~x0 ∈ D f stetig, wenn lim

~x→~x0f (~x) = f (~x0) gilt. In

Stetigkeitspunkten kann man Grenzwert- und Funktionswertbildungvertauschen.

(6) Grenzwerte verketterer Funktionen mit stetiger inner FunktionIst die Funktion h stetig in ~x0 und g ist stetig in h(~x0), dann ist dieverkettete Funktion g ◦h(~x0) = g (h(~x0)) stetig in ~x0. Das bedeutetinsbesondere

lim~x→~x0

g (h(~x)) = g (h(~x0)).

(7) Nachweis der UnstetigkeitIst f (~x) in ~x0 ∈ D f stetig, dann muss der Grenzwert entlang allerKurven ~x(t), t ∈ [a,b] gleich dem Grenzwert sein, da der Grenzwerteindeutig bestimmt. Gibt es zwei Kurven, entlang derer es verschiedeneGrenzwerte gibt, dann ist die Funktion unstetig.

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3.4 Aufgaben

Aufgabe 3.1Gegeben sei die Funktion f (x, y) = x2−1

y .

Wie lautet der maximale Definitionsbereich?Bestimmen und Skizzieren Sie die Niveaulinien zu den Niveaus c =−1,− 1

2 , 12 ,1.

Existiert der Grenzwert lim(x;y)→(1;0)

f (x, y) ? Begründen Sie die Antwort.

Lösung: Die Funktion ist für alle (x, y) ∈R2 definiert mit Ausnahme von y = 0,da nicht durch Nulldividiert werden darf. Der maximale Definitionsbereichist deshalb R2\{(x,0)} mit x ∈R. Oder anders gesagt der R2 ohne x-Achse.Die Niveaumengen ergeben sich aus

f (x, y) = x2 −1

y= c = const ⇐⇒ y = 1

c(x2 −1), c 6= 0,

Fall c = 0 dann besteht die Niveaumenge aus den Geraden x = 1 und x =−1(mit Ausnahme aller Punkte mit y = 0).

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Abbildung 3.7: Verschiedene Niveaulinien

Der Grenzwert existiert nicht, da verschiedene Niveaulinien durch denPunkt (1,0) verlaufen und entlang der Niveaulinie die Funktionswerte konstantsind.

Aufgabe 3.2Berechnen Sie die Grenzwerte lim

y→0

(limx→0

f (x, y)

)und lim

x→0

(limy→0

f (x, y)

)und überprüfen Sie ob der Grenzwert lim

(x,y)→(0;0)existiert für

(a) f (x, y) = x2−y2

x2+y2 ,

(b) f (x, y) = x yx2+y2 .

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Lösung: (a) Für f (x, y) = x2−y2

x2+y2 gilt

limx→0

x2 − y2

x2 + y2= −y2

y2=−1, y 6= 0, lim

y→0

x2 − y2

x2 + y2= x2

x2= 1, x 6= 0,

limy→0

(limx→0

x2 − y2

x2 + y2

)= lim

y→0(−1) =−1 und lim

x→0

(limy→0

x2 − y2

x2 + y2

)= lim

x→01 = 1.

Folglich sind beide Grenzwerte voneinander verschieden. Dass der Grenzwertlimx→0

(limy→0

f (x, y)

)nicht exisitert, zeigen wir durch zwei verschiedene Parame-

trisierungen.(a) Für x(t ) = t und y(t ) = 0 (entlang der x-Achse) ergibt sich

limt→0

t 2 −0

t 2 +0= 1,

(b) dagegen erhält man für x(t ) = 0 und y(t ) = t (entlang der y-Achse), dass

limt→0

0− t 2

0+ t 2=−1.

(b) Mit f (x, y) = x yx2+y2 ergibt sich

limx→0

x y

x2 + y2= lim

y→0

x y

x2 + y2= 0

folgt, dass die iterierten Grenzwerte gleich und gleich Null sind

limy→0

(limx→0

x y

x2 + y2

)= lim

x→0

(limy→0

x y

x2 + y2

)= 0.

Trotzdem existiert der Grenzwert lim(x,y)→(0,0)

x yx2+y2 nicht, weil bei Annäherung

entlang der Geraden y = x, also y(t ) = x(t ) = t gilt

limt→0

t 2

t 2 + t 2= 1

2,

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KAPITEL 3. FUNKTIONEN MEHRERER VERÄNDERLICHER 72

dagegen erhält man entlang der Geraden y(t ) =−x(t ) = t

limt→0

−t 2

t 2 + t 2=−1

2.

Aufgabe 3.3Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf die Existenz von Grenz-werten an der Stelle (0; 0) und berechnen Sie diese gegebenenfalls.

(a)sin(ax y)

x y, a ∈R\{0}, (b)

ax+y −1

x + y, a ∈R\{0}.

Lösung: (a) Wegen a 6= 0 gilt

sin(ax y)

x y= a sin(ax y)

ax y.

Die Funktion h(x, y) = ax y ist in (0,0) stetig und lim(x,y)→(0,0)(ax y) = 0,dadurch erhalten wir mit t = ax y

lim(x,y)→(0,0)

sin(ax y)

x y= lim

t→0

a sin t

t= a.

(b) Die Funktion h(x, y) = x + y ist in (0,0) stetig und es gilt h(0,0) = 0. Mitt = x + y folgt deshalb

lim(x,y)→(0,0)

ax+y −1

x + y= lim

t→0

at −1

t= at ln a

1= ln a,

wobei für den letzten Schritt die l’Hospitalsche Regel angewandt wurde.