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Niels Lategahn

SeminarFunktionale Datenanalyse

(WS 2014/15 )

10.11.2014

Funktionen mit NebenbedingungenFunktionen mit Nebenbedingungen

Niels Lategahn TU Dortmund

1. Fallstudie und Motivation

2. Nebenbedingungen

- positive Funktionen

- monotone Funktionen

- Wahrscheinlichkeitsfunktionen

- Dichtefunktionen

3. Aufgaben

4. Literatur

InhaltsverzeichnisInhaltsverzeichnis


Daten der Wachstumsstudie:

- Länge des Schienbeins eines Babys

- 40 Tage, tägliche Messung

- Problem: kleine Fehler in der Messung

führen zu nicht monotoner Funktion

Fallstudie und MotivationFallstudie und Motivation


Fallstudie und MotivationFallstudie und Motivation


Welche Nebenbedingungen kann man an eine Funktion stellen?

Wie können diese bei der Anpassung berücksichtigt werden?

NebenbedingungenNebenbedingungen


Mögliche Nebenbedingungen:

- Positive Funktion

- Monotone Funktion (Fallbeispiel)

- Wahrscheinlichkeitsfunktionen

- Dichtefunktionen

NebenbedingungenNebenbedingungen


Positive Funktionen:

Nebenbedingung: x(t) ≥ 0

Beispiel: Wetterdaten

Positive FunktionenPositive Funktionen


Transformation:

x(t) ist positiv, da Exponentialfunkt. positiv ist.

W(t) wird durch Linearkombination der

Basisfunktionen angepasst,

um den Term

zu optimieren (minimieren).



Transformation:

x(t) ist positiv, da Exponentialfunkt. positiv ist.

W(t) wird durch Linearkombination der

Basisfunktionen angepasst,

um den Term mit Korrelationsstruktur K

zu optimieren (minimieren).



Positive FunktionPositive Funktion




Exkurs: Was sind Differentialgleichung?

1. Ordnung:

wird gelöst durch

4. Ordnung:

wird gelöst durch



Herangehensweise durch Differentialgleichung:

Erfüllt durch:

Definiere W(t) so, dass

Monotone Funktionen:

Nebenbedingung: Dx(t) ≥ 0

Beispiel: Wachstumsdaten

Monotone FunktionenMonotone Funktionen




Transformation der Differentialgleichung:

Dx(t) ist positiv und dadurch x(t) monoton steigend

W(u) wird durch Linearkombination der

Basisfunktionen angepasst.



Differentialgleichung 2. Ordnung:

und

so ergibt sich folgendes W(u)

Ist w(t) = 0:

w(t) ≠ 0, const w:



Quelle: Ramsey, J.O., Silverman, B.W.(2005)

Wahrscheinlichkeitsfunktionen:

Nebenbedingung: p(t) > 0 und p(t) < 1

Beispiel: Wahrscheinlichkeit des Lösens einer

Aufgabe (z.B. Raschmodell)

WahrscheinlichkeitsfunktionenWahrscheinlichkeitsfunktionen




Nun:

mit

wird gelöst durch:

Definiere W(t) als

und erhalte:

Dichtefunktionen:

Nebenbedingung: p(t) > 0 und ∫p(t)dt = 1

Beispiel: Dichteschätzung

DichtefunktionenDichtefunktionen




Transformation:

mit

sodass



Maximieren der Log-Likelihood-Funktion

mit Strafterm

AufgabenAufgaben


Aufgabe:

1. Simuliere 50 Daten der mon. steigenden Funktion

y(t) = t + sin(t) + e mit e ~ N(0,4) auf

dem Intervall [0,10] mit homogenem Abstand.

Plotte die Werte und passe eine Funktion

mit und ohne Nebenbedingung (Monotonie) an.

Benutze dazu die R-Funktion smooth.monotone

AufgabenAufgaben


Aufgabe:

2. Ziehe zufällig 60 Werte aus einer

- N(0,1) – Verteilung

- Exp(2) – Verteilung

Passe eine Dichtefunktion zu den Werten an

und variere den Parameter λ des

Starfterms (3. Ordn.). R-Funktion: density.fd

LiteraturLiteratur


Ramsey, J. O., Silverman, B. W. (2005),

Functional Data Analysis, 2. Auflage,Springer, New York.

Ramsay, J.O., Silverman, B. W. (1997),

Funktional Data Analysis, Springer, New York.

Ramsay, J., Hooker, G., Graves, S. (2009)

Functional Data Analysis with R and Matlab, Springer.

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