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FUNKTIONSPRINZIP DES

HARMONISCHEN

ANALYSATORS

Vortragsskript zur Modulprüfung „Seminar Angewandte Mathematik 2“

Verfasser: Dipl.-Ing.(FH) Martin Gollnick [57204]

Prüfer/Mentor: Prof. Dr. rer. nat. Udo Hebisch

Termin: 22.04.2016

I

Inhaltsverzeichnis

1. Aufbau und Verwendungszweck 1

1.1 Allgemeiner Verwendungszweck 1

1.2 Aufbau des harmonischen Analysators nach Mader – Ott 3

2. Sukzessives Herleiten des Funktionsprinzips 6

Literatur – und Quellverzeichnis

10

Abbildungsverzeichnis

Abb. 1 Aufbewahrungskasten mit den Komponenten des harmonischen Analysators nach

Mader – Ott

2

Abb. 2 Polarplanimeter des Analysators 3

Abb. 3 Zahnrad Nummer 1 3

Abb. 4 Zahnradaufnahmen 5

Abb. 5 Ein fertiger Aufbau 5

Abb. 6 Koordinaten von � relativ zu �� 6

Abb. 7 Koordinatensysteme 6

Funktionsprinzip des harmonischen Analysators Aufbau und Verwendungszweck

1

1. Aufbau und Verwendungszweck

1.1 Allgemeiner Verwendungszweck

Im Allgemeinen ist ein harmonischer Analysator ein mechanisches Messinstrument zur Durchführung

einer harmonischen bzw. Fourierschen Analyse. Dies bedeutet, dass ein periodisches Signal bzw. eine

periodische Funktion in die 1. Harmonische Schwingung (Grundschwingung) und weitere Oberschwin-

gungen zerlegt wird, wobei es sich um Sinus- und Cosinusschwingungen handelt, die sich in Amplitude

und Phase unterscheiden, jedoch eine klar festgelegte Frequenz haben. Mit dem harmonischen Analy-

sator werden die Fourierkoeffizienten dieser Schwingungsanteile ermittelt, d.h. zu einer periodischen

Funktion � � mit Periodenlänge , welche nach Fourier in der phasenfreien Form

� � = + ∑ [ � ∙ cos (� � �) + � ∙ sin (� � �)]∞�=

mit

� = ∫ � � ∙ cos (� � �)� �� −→ = ∫ � �� = ∫ � � ∙ sin (� � �)� ��

geschrieben werden kann, können die Koeffizienten �, � für � = , , , … berechnet werden. In der

Praxis kann man sich naturgemäß nur auf endlich viele Koeffizienten beschränken, die Ergebnisse sind

jedoch für praktische Zwecke hinreichend genau. Die Berechnung der Flächenintergrale wird mit Hilfe

eines Planimeters realisiert. Sozusagen ist die harmonische Analyse im Kern ein iteratives Planimetrie-

ren.

Harmonische Analysatoren gibt es in verschiedenen Bauweisen und ihr Einsatz reicht zurück bis zum

Ende des 19. Jahrhundert, bspw. wurde 1890 am physikalischen Institut der Uni Königsberg ein harmo-

nischer Analysator von den Konstrukteuren A. Sommerfeld und E. Wiechert ausgestellt (vgl. [1])1. Eine

kompakte, handliche und hinreichend genaue Variante stellt der harmonische Analysator von Mader-

Ott2 dar, dessen Aufbau und Funktionsprinzip in dieser Ausarbeitung explizit thematisiert wird. Für die

Erläuterung des Aufbaus im Folgekapitel sei die Abbildung 1, welche die Komponenten des harmoni-

schen Analysators zeigt, vorangeschickt. Jene möge der Leser parallel zum Fließtext nutzen.

1 Der interessierte Leser sei an dieser Stelle obendrein auf die Modellsammlung der Uni Göttingen verwiesen,

die einen hamonischen Analysator nach Henrici beherbergt. 2 Dr. Ing. O. Mader, Konstrukteur der Firma A. Ott Messtechnik aus Kempten, Bayern


2

NR KOMPONENTE

1 Polarplanimeter(-etui) mit Tabelle

A Polarm

B Fahrarm (fest) mit Zählwerk

C Kontolllineal

D Metallplatte

2 Winkelhebel mit Fahrstift (bemaßt)

3 Holzpodium (markiert)

4 Gebrauchsanweisung

5 Einstellschiene (bemaßt)

6 Holzblock mit Zahnrädern

7 Wagen (mit Zahnstange und Zahnrad-

aufnahme)

8 Laufschiene (bemaßt)

1

8

7

6

5

4

3

1

2

Abb. 1: Aufbewahrungskasten mit den Komponenten des harmonischen Analysators nach Mader – Ott

A

B C D


3

1.2 Aufbau des harmonischen Analysators nach Mader – Ott

Erläuterungen zu den Komponenten:

(1) Planimeter: Im Allgemeinen ist ein Planimeter ein mechanisches Messinstrument zur Bestimmung

von Flächeninhalten auf Landkarten, Plänen oder Zeichnungen, sowie zur Ermittlung des Flächenin-

halts unterhalb von Graphen. Bei dem Plani-

meter im Aufbewahrungsetui handelt es sich

um ein Polarplanimeter mit Kugelpol und fes-

tem Fahrarm (vgl. Abb. 2). Die Bestimmung ei-

nes Flächeninhalts geschieht, indem der Rand

der konkreten Fläche, vornehmlich im Uhrzei-

gersinn, mit dem Fahrstift umfahren wird und

anschließend der Wert am Zählwerk abgele-

sen und mit den Tabellenwerten, welche die

baulichen Maße des Planimeters berücksich-

tigen, verrechnet wird3.

(2) Winkelhebel mit Fahrstift: Auf dem bemaßten Schenkel des Winkelhebels (Fahrarm) befindet sich

der Fahrstift mit dem die zu analysierende Kurve umfahren wird. Seine Position kann beliebig längs der

bemaßten Teilung verschoben und fixiert werden, was das Einstellen der Basislänge zwischen 20 und

360 mm ermöglicht. Der am Ende des Fahrarms befindliche runde Führungsgriff dient zur Führung des

Fahrstifts entlang der Kurve und hält jenen knapp oberhalb der Kurve. Der Winkelhebel wird beim Auf-

bau formschlüssig mit dem Wagen (7) in zwei Aufnahmepunkten verbunden.

(3) Holzpodium: Auf dem Holzpodium wird das Polarplanimeter (1) platziert, dessen Metallplatte (1D)

an der kreisförmig markierten Stelle positioniert wird. Während der harmonischen Analyse bewegt

sich das Polarplanimeter allzeitig auf dem Holzpodium, d.h. es dient als Lauffläche. Die hervorstehende

Metallzunge am Boden des Holzpodiums dient zur formschlüssigen Verbindung mit der Nut der Lauf-

schiene (8). Zwei an den Seiten befestigte Abstandshalter werden bei der Ermittlung des Koeffizienten

bzw. genutzt, da das zu verwendende Zahnrad Nr. 1 über die Laufschiene (8) hinausragt und da-

durch das Holzpodium nicht unmittelbar über die Metallzunge mit ihr verbunden werden kann.

3 Für genauere Information über die Funktionsweise eines Polarplanimeter sei der interessierte Leser auf [ ] ver-

wiesen.

Abb. 2: Polarplanimeter des Analysators


4

(4) Gebrauchsanweisung: Bei diesem Exemplar handelt es sich um eine Gebrauchsanweisung einer

leicht anderen Bauform (bzgl. Abb. 1) des harmonischen Analysators Mader – Ott. Sie erklärt sowohl

dessen Aufbau, Gebrauch, Behandlung und Pflege, als auch den theoretischen Hintergrund des Funk-

tionsprinzips und gibt abschließend ein Messbeispiel.

(5) Einstellschiene: Die Einstellschiene dient zur Bestimmung der richtigen Lage der Laufschiene (8)

und damit verbunden zur Ausrichtung des Winkelhebels (2) auf die Periodenmitte �

, d.h. der Fahrarm

bildet dort die Mittelsenkrechte. Dazu besitzt die Einstellschiene zwei untereinander parallel verlau-

fende Teilungen: Eine mit dem Nullpunkt in der Mitte, die mit der Periodenmitte in Einklang gebracht

werden muss, und eine übliche cm-Teilung, welche mit der Bemaßung auf dem Fahrarm überein-

stimmt. Die Einstellschiene wird dazu vorher mittels ihrer Metallrippen in die Nut (Führung) der Lauf-

schiene (8) eingesetzt und nach dem Einstellvorgang wieder entfernt.

(6) Holzblock mit Zahnrädern: Für die Ermittlung der Koeffizienten � bzw. � wird jeweils das Zahnrad

mit der Nummer � benötigt (einzige Ausnahme: , dieser Koeffizient wird direkt mittels Planimeter-

einsatz am Signal ermittelt, da dessen Integral keinen Schwingungsanteil enthält). Der Holzblock fasst

somit eine Vielzahl von Zahnrädern mit denen

die Koeffizienten − 5 bzw. − 5 ermit-

telt werden können, wobei jedes Zahnrad eine

Strichmarkierung hat, die beim Einsetzen in den

Wagen (7) mit der Strichmarkierung auf dessen

Zahnstange in Deckung gebracht werden muss

um die richtige Ausgangslage zu haben. Die obe-

re Reihe der Zahnräder sind als Doppelzahn-

räder ausgelegt und dienen als Zwischenrad für

diejenigen Zahnräder, deren Nummern auf ih-

nen eingestanzt sind, z.B. dient das Doppelzahn-

rad in der Mitte der oberen Reihe als Zwischen-

rad für die Zahnräder Nr. 11 und Nr. 17. Die rest-

lichen Zahnräder haben, neben ihrer eingestanzten Nummer, zwei 90° zueinander versetzte, punktför-

mige Vertiefungen zur Aufnahme des Fahrstiftes des Planimeters (1). Diese sind mit � für Cosinus

(sprich: die �) bzw. mit für Sinus (sprich: die �) gekennzeichnet (vgl. Abb.3).

Abb. 3: Zahnrad Nummer 1


5

(7) Wagen: Der Wagen ist das dynamische Verbindungsglied zwischen dem Winkelhebel (2) (und damit

dem Fahrstift) und dem Planimeter (1). Auf ihm befindet sich eine nummerierte Aufnahme für die

Zahnräder (6) und die angeschraubte Zahnstan-

ge, an der sich die Zahnräder abrollen (vgl. Abb.

4). Die beiden unterseitig angebrachten Laufrä-

der des Wagens werden in die Laufschiene (8)

so eingesetzt, dass sie aus dieser nicht heraus-

gleiten. Der Wagen kann nun eine vertikale Auf-

und Abwärtsbewegung durchführen. Der Win-

kelhebel (2) wird mittels seiner Kugelzapfen in

die vorgesehenen Aufnahmen des Wagens ge-

steckt und damit formschlüssig verbunden. Dies

sind der äußerste Aufnahmepunkt (ganz rechts in Abb. 1), bei dem sich dann der Drehpunkt des Win-

kelhebels befindet, und das Langloch neben der Zahnstange.

(8) Laufschiene: Die Laufschiene dient als Führungsschiene für die vertikale Auf- und Abwärtsbewe-

gung des Wagens (7). Sie kann in zwei dafür vorgesehenen Punkten mit der Unterlage (dem Tisch)

fixiert werden und ist mit einer Teilung von 0 – 36cm versehen.

Ein fertiger Aufbau:

Die nebenstehende Abb. 5 zeigt einen

fertigen Aufbau des harmonischen Ana-

lysators. Das Holzpodium (3) und die

Laufschiene (8) wurden verbunden und

der Wagen (7) mit eingesetztem Win-

kelhebel (2) in die Laufschiene einge-

setzt. Das Zahnrad (hier Nr.2) wurde in

die Zahnradaufnahme des Wagens ein-

gesetzt, sodass dessen Markierung mit

der Markierung der Zahnstange fluch-

tet. Das Polarplanimeter (1) wurde auf-

gebaut und in die Vertiefung � des

Zahnrades gesteckt.

Abb. 4: Zahnradaufnahmen

Abb. 5: Ein fertiger Aufbau

Funktionsprinzip des harmonischen Analysators Sukzessives Herleiten des Funktionsprinzips

6

2. Sukzessives Herleiten des Funktionsprinzips

Der Fahrstift des Planimeters steckt entweder in der Vertiefung � oder des aktuell eingelegten Zahn-

rades und wird durch dessen Abrollbewegung geleitet. Dabei wird von dem Planimeter eine bestimmte

Kurve umfahren und somit deren Flächeninhalt ermittelt. Die konkrete Herleitung dieser Kurve erfolgt

u sukzessiv. I achfolge de sei it „Fahrstift“ stets der Fahrstift des A alysators gemeint.

Ausgangslage:

Der harmonische Analysator sei gemäß Gebrauchsanweisung bereits funktionsbereit aufgebaut und

eingestellt und damit zur Ermittlung der Fourierkoeffizienten bzw. bereit. Der Fahrstift stecke in

der Vertiefung �. � sei das Koordinatensystem mit Ursprung in der Startposition der Signalmessung

(vgl. Abb.7). Das Signal sei − periodisch mit der Periodenlänge .

Ziel:

Die Bestimmung der Koordinaten von � in geeigneter Weise in Abhängigkeit von der Position des

Fahrstiftes am Signal.

1. Einführung eines zweiten Koordinatensystems:

Die Koordinaten von � werden bzgl. des festen Koordinatensystems � betrachtet, dessen Ursprung

im Zahnradmittelpunkt � in der Ausgangslage liegt (vgl. Abb.7). Dieser liegt bezüglich � fest bei ( �� , ��) = (−∆ 0 , ∆ 0). Die Koordinaten von � in � relativ zu � sind direkt bestimmbar (siehe

Abb.6) und ergeben sich zu

� , � �� = � ∙ cos � , � ∙ sin � ,

wobei � der Abstand von � zu � ist.

�

� −∆ �

∆ �

�

�

Abb. 7: Koordinatensysteme

�

� . . �

� ∙ cos

� ∙ sin �

Abb. 6: Koordinaten von � relativ zu �

Drehrichtung


7

2. Informationen über den Winkel �:

Aus Abbildung 6 und 7 können noch weitere Informationen entnommen werden:

1. In der Ausgangslage beträgt der Winkel � = � (eingetragen in mathematisch positivem Sin-

ne) oder gleichbedeutend: der Punkt � hat in Ausgangslage die Koordinaten 0, � �� .

2. Die Drehrichtung des Zahnrades ist baulich festgelegt und verläuft im Uhrzeigersinn.

3. In der Ausgangslage befindet sich der Fahrarm am linken Anschlag.

Der Gebrauchsanweisung des Herstellers kann entnommen werden, dass sich, bei der Bewegung des

Fahrarmes vom linken zum rechten Anschlag, das Zahnrad Nr. (zur Ermittlung von bzw. ) längs

der Zahnstange genau − mal abrollt. Da der Analysator gemäß Gebrauchsanweisung eingestellt wur-

de, entspricht der rechte Anschlag des Fahrarmes gerade der Periodenlänge . Dadurch ist es nun

möglich den Winkel � und die − Koordinate ∈ [0, ] des Fahrstifts zu koppeln und es ergibt

sich der folgende Zusammenhang1:

� = −2 ∙ ∙ + 2 ∀ ∈ [0, ]. Ergebnis: Die Koordinaten von � in � können nun in Abhängigkeit von ausgedrückt werden:

� , � �� = � ∙ cos � , � ∙ sin �

= ( � ∙ cos (−2 ∙ ∙ + 2) , � ∙ sin (−2 ∙ ∙ + 2) ).

3. Informationen über die Zahnradmitte � :

Über die Zahnradmitte � ist bisher bekannt, dass sie in der Ausgangslage bzgl. � bei ( �� , ��) =(−∆ 0 , ∆ 0) liegt, jedoch unbekannt ist noch ihre Abhängigkeit zur Position des Fahrstiftes.

Vertikalbewegung des Fahrstiftes:

Festzustellen ist, dass sich � beim Abrollen des Zahnrades an der Zahnstange nur vertikal (sprich:

längs der – Achse von � ) auf und ab bewegt. Dies bedeutet: Bewegt man den Fahrstift vertikal, so

folgt � dieser Vertikalbewegung in gleichem Maße, woraus resultiert, dass die − Koordinate von � der − Koordinate des Fahrstiftes am Signal � entspricht. Aus dieser Betrachtung folgt mit der

Information über die Ausgangslage �� = ∆ 0 + � . 1 Die Abhängigkeit einer Größe von wird beim erstmaligen Eintreten erwähnt, danach zwecks besserer Lesbar-

keit gelegentlich unterdrückt.


8

Horizontalbewegung des Fahrstiftes:

Aufgrund dessen, dass der Fahrstift an einem Winkelhebel befestigt ist und dieser wiederum gelenk-

artig funktioniert, ist eine reine Horizontalbewegung des Fahrstiftes nicht möglich2. Deshalb gibt es bei

einer horizontalen Bewegung neben der Drehung des Zahnrades stets eine vertikale Richtungskom-

ponente die sich auf �� auswirkt und abhängig vom Winkel des Fahrarmes ist. Diesbezüglich ist

es möglich zwei bijektive Funktionen , mit

: [0, ] → [ � , ��] , : [ � , ��] → [ �+ , + ] zu finden, die mittels �+ = ∘ , �+ : [0, ] → [ �+ , + ] diesen Sachverhalt koppeln. Es folgt:

�� = ∆ 0 + � + �+ . − Koordinate von � :

Da sich die Bewegung des Zahnrads nur aus einer Überlagerung von Rotation und vertikaler Translation

zusammensetzt bleibt �� = −∆ 0 konstant.

Ergebnis: Die Koordinaten von � können nun in Abhängigkeit von ausgedrückt werden:

( �� , ��)�� = (0, � + �+ ) ; ( �� , ��)�0 = −∆ 0 , ∆ 0 + � + �+ .

4. Zusammenfügen der Ergebnisse:

Die Verknüpfung der Ergebnisse aus 2. und 3. erlaubt nun die Darstellung der Koordinaten von � in

Abhängigkeit von :

� , � �0 = ( � , � ) = (−∆ 0 + � ∙ cos � , ∆ 0 + � + �+ + � ∙ sin � ). Das zu analysierende Signal wird (von = 0 beginnend) mit dem Fahrstift bis zum Punkt = abge-

fahren. Anschließend wird der Fahrstift horizontal entlang der − Achse zum Ausgangspunkt = 0

zurückgeführt. Somit haben sowohl der Analysator, als auch das Planimeter eine geschlossene Kurve

umfahren.

2 Rein fiktiv: Wäre dies möglich, so würde das Zahnrad Nr. lediglich − mal abrollen und �� wäre nicht

beeinflusst.


9

Diese Kurve setzt sich nun folgendermaßen zusammen:

∫ � ( � ) = ∫∆ 0 + � + �+ + ∙ sin � (−∆ 0 + � ∙ cos � )⏟ ℎ �

+∫∆ 0 + �⏟≡ + �+ + ∙ sin � (−∆ 0 + � ∙ cos � )⏟ ü ℎ � � =.

Mittels ∫ � = −∫ � folgt

∫ � ( � ) = ∫� (−∆ 0 + � ∙ cos � ) = ∫ � (−∆ 0 + � ∙ cos � )′ .

Mit (−∆ 0 + � ∙ cos � )′ = � ∙ � ′ ∙ −sin � und � ′ = − � ∙ ∙ + � ′ = − � ∙ folgt

schlussendlich

∫ � ( � ) = 2 ∙ ∙ � ∙ ∫ � ∙ sin (−2 ∙ ∙ + 2)

= ∙ ∙ �⏟ =: � ∙ 2 ∙ ∫ � ∙ cos (2 ∙ ∙ )⏟ = � ∙ , wobei ausgenutzt wurde, dass sin − + � = cos − = cos ist.

Der Koeffizient � = ∙ ∙ � wird vom jeweiligen Hersteller des Analysators fest gewählt. Dies ist auch

möglich, da � baulich an das wachsende angepasst werden kann, sodass � = ∙ ∙ � = gilt.

Die Anpassung richtet sich nach der Auslegung des Planimeters (bzw. dessen absoluter Noniuszahl)

oder ungekehrt. Unabhängig von den Werten der einzelnen Hersteller wird folgende Taktik verfolgt:

An der Messrolle des Planimeters wird der Wert = � ∙ abgelesen, wobei sich bei einer Nonius-

zahl = � der Flächeninhalt � = ∙ = ergibt.

Abschließender Hinweis: Die sukzessive Herleitung des Funktionsprinzips erfolgt für den Punkt und

der damit verbundenen Ermittlung der analog.

Funktionsprinzip des harmonischen Analysators Literatur- und Quellverzeichnis

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Literatur- und Quellverzeichnis

Literatur: [ ] Dyck, W.: Katalog mathematischer und mathematisch-physikalischer Modelle, Apparate und

Instrumente; Nebst Nachtrag, Georg Olms Verlag, Hildesheim: 1994. [ ] Gollnick, M.: Funktionsprinzip von Planimetern: Schilderung anhand eines Polarplanimeters,

Vortragsskript zur Modulprüfu g „Se i ar A gewa dte Mathe atik 1“, 2015. [ ] Ott, A.: Der harmonische Analysator Mader – Ott, Druckschrift Ad. 341 des Math. – mech.

Instituts A.Ott Kempten Allgäu.

Internetquellen: [ ] https://www.youtube.com/watch?v=nM-UqRQbce4

https://www.youtube.com/watch?v=nM-UqRQbce4

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