Fuzzy Logic & Control - Lab4Inf · Prof. Dr. D. Danziger und Prof. Dr. N. Wulff Fuzzy Logic &...

Prof. Dr.-Ing. Doris DanzigerProf. Dr. rer. nat. Nikolaus Wulff

Fuzzy Logic & Control

Warum einfach, wenn es auch schwer geht?

2Prof. Dr. D. Danziger und Prof. Dr. N. Wulff Fuzzy Logic & Control

Fuzzy Prädikatenlogik

• Die Prädikatenlogik erweitert die Aussagenlogik mit den Junktoren ∧,∨ und ¬ um den Existenz-quantor ∃ und den „Für Alle“-Quantor ∀.

• Dies gestattet Aussagen der Form „es gibt ein x mit der Eigenschaft P(x)“ oder „für alle x gilt P(x)“.

• Wahrheitswerte τ (truth values) von Aussagen die Quantoren enthalten lassen sich üblicherweise bestimmen als:

∀ x : P x = infx∈

{P x }

∃ x : P x = supx∈

{P x }


Fuzzy Relationen

• Es seien Ω und Ψ zwei Mengen. Das Kreuzprodukt ΩΨ ist die Menge aller geordneten Tupel (x,y) mit x ∈ Ω und y ∈ Ψ . Eine fuzzy Relation R(x,y) ist eine Teilmenge R ⊆ ΩΨ mit Werten in [0,1], welche die Beziehung zwischen x und y beschreibt. – Für diskrete Mengen lässt sich R als fuzzy Matrix

schreiben.

• Relationen lassen sich verketten. Sei Ξ eine weitere Menge und U(y,z) eine Relation auf ΨΞ dann gilt für die Relation V = R°U mit V(x,z) ⊆ ΩΞ:

V x , z = supy∈

R x , y∧U y , z


Bemerkungen: Fuzzy Relationen

• Bei diskreten Mengen kann die Verkettung durch die Matrizenmultiplikation abgebildet werden.– Die Elemente ajk sind Wahrheitswerte. Die Multi-

plikation wird per AND- und die Addition per OR- Verknüpfung berechnet. Meistens max-min...

• Der Fuzzy Vergleich ist ein Beispiel für eine Equivalenzrelation ≃ R(Ω,Ω). Ähnliche Relationen sind


Fuzzy Vergleich als Relation

• Wie groß ist der Wahrheitsgehalt der Aussage A ist (ungefähr) gleich B, d.h. τ(A≃B)?

• Nach dem Zadehschen Erweiterungsprinzip ist dies gleich dem Wert der maximalen Übereinstimmung von A und B.

• Der Wahrheitsgehalt von W(A≃B) ist bei dem Wert x0 mit der größtmöglichen Übereinstimmung von A und B gegeben, z. B mit dem Min-Operator bei dem größten Wert für den A(x0)=B(x0) gilt.

A≃B = supx∈

A x∧B x


Fuzzy Logik• Ein Objekt x gehört nicht nur eindeutig zu einer

Menge A, sondern kann auch zugleich zu deren Komplement gehören, falls

••

• Dies bedeutet in der Fuzzy-Logik gilt kein Satz vom Widerspruch (dies hängt von der T-Norm ab!):

••

• Auch der Satz vom ausgeschlossenem Dritten ist nicht mehr uneingeschränkt gültig:

A x ∉ {0,1 }

∃ x∈ : ¬A x∧ A x ≠0

∃ x∈ : ¬A x ∨ A x ≠1


Unscharfe Logik

• Klassische Logik kennt nur die Werte 0 oder 1.• Fuzzy Logik definiert Wahrheitsgehalt als Menge mit

einer Zugehörigkeit μw(x) ∈[0,1] mit μf = ¬μw = 1 - μw• Epimenides: μw = μf 1 - μw μw = 0.5

wahrfalsch

1.0

wahrfalsch

1.0

wf

0.5

„jein“

Klassische Logik Fuzzy Logik


Vergleich Fuzzy Logik & Control

• Wodrin liegt der wesentliche Unterschied zwischen logischen Aussagen und Fuzzy Reglern?

• Regler arbeiten meist auf einer Strecke mit scharfen Eingängen und Rückführung der defuzzifizieren Ausgangs.

• Fuzzy Logik benötigt Algorithmen, die mit Fuzzy Mengen Mehrfachverkettungen ermöglichen, ohnesofortiger Defuzzifizierung und Rückführung.

• Logik System müssen daher mit unscharfen Fuzzy Mengen und nicht nur auf scharfen Eingangswerten operieren können!


Kühlung mit „scharfer Regelung“Das Beispiel einer Kühlung soll den Vorteil von Fuzzy Regeln erläutern.• Häufig sind scharfe Regeln unangemessen:

R1 if (temp


Scharfe Laptop Kühlung

30 60 90 120 T /°C

off

low

high

veryhigh

Fan current

AC/DC

• 59°C „low“ jedoch 61°C „high“ unstetig.• Kühlung wird bei 60°mit „low-high“ oszillieren.

0 mA

50 mA

100 mA

150 mA


Regeln mit linguistischen Variablen

• Die Regeln werden „unscharf“ formuliert:

• „off“, „low“, „high“ etc. bezeichnen linguistische Variablen, die durch Fuzzy Mengen beschrieben werden.

R1 if „very cold“ then „fan off“ R2 if „cold“ then „fan low“ R3 if „warm or hot“ then „fan high“ R4 if „hot“ then „fan very high“


• 59°C • 61°C

Linguistische Variablen

30 60 90 120 T /°C

off

0.5

1.0

( )Tvery hot hot warm cold

Fuzzyfizierung

Zuordnung der Temperaturzu den Fuzzy Mengen...


Fuzzy Fan Status

• 59°C low high = 98 mA• 61°Chigh very =102 mA

Dieselben „sprunghaften Regeln“erlauben unscharf formuliert eine stetige Regelung!

Defuzzifizierung

50 100 150 Fan current I/mAoff

0.5

1.0

(I)

200

very high high lowoff


Truth Value

• Der Wahrheitswert τ(A) wird in der Fuzzy Logik mit dem Grad an Zugehörigkeit τ(A)(x) = μA(x) zur Fuzzy Menge A identifiziert. Kleinbuchstaben stehen häufig für den jeweiligen Wahrheitswert.

• In einer Regel „if x ∈ P then y ∈ Q“, wird der Implikationsoperator I(p, q) nur aus den Wahrheits-werten p und q der Prämisse und Implikation für eine gewählte Belegung (x,y) berechnet:

PQ = I p , qp :=P xq :=Q y


Fuzzy Implikation

• Die Übersetzung der klassischen Implikation in eine Fuzzy Logik ist nicht eineindeutig. Es gibt mehrere Vorschläge für die Implikation P → Q:

• Obige Formeln, sind abgeleitet mit Min-Max als t- und s-Norm, auch dies ist frei wählbar! Allgemein wird P → Q mit einer Funktion I(p,q) berechnet.

PQ ⇔ ¬P∨Q ⇔ ¬P∨P∧Q

PQ = max 1− p ,q

PQ = max 1− p ,min p , q

„klassisch wahr“

0 0 10 1 11 0 01 1 1

P→QP Q


Implikationsoperatoren

• Bereits bei der klassischen Implikation, gibt es verschiedene Definitionen, entsprechend existieren unterschiedliche Varianten des fuzzifizierten Implikationsoperators, z.B. Gödel, Łukasiewicz.

• Für den Schluss P∧(P → Q), mit approximativer Prämisse , soll als Konklusion erfolgen:

• Mamdani ersetzt (P → Q) durch min(P,Q) und • Larsen wählt das Produkt (P → Q) = P*Q.• Beide sind für P=0 falsch(!) da klassisch I(0,Q)=1.

PQ = min 1,1− pq

Q = P∧PQQ≃QP≃P


Mamdani Approximation

• Die Rechtfertigung für die Vereinfachung nach Mamdani/Larsen lautet, in einem Expertensystem wird eine Regel mit τ(P)=0 nicht feuern und der „falsche Implikationsoperator“ trägt nichts zum Ergebniss bei...

• Hierdurch „vereinfacht“ sich der Ausdruck für die Implikation

auf Grund der Assoziativität von ∧ zu:Q ≈ P∧P

=: q

∧Q = q∧Q

Q = P∧PQ


Der generalisierte Modus Ponens

• Die klassische Implikation in fuzzyfizierter Version lautet:

–––

• Im Fall der vereinfachten Mamdani Implikation mit MinMax Norm ergibt dies:

Q y = min p ,Q y

p = supx∈

min P x , P x

Q y = supx∈

min P x , min P x ,Q y

Q y = supx∈

T P x , I P x ,Q y

D.h. der Träger von Q bleibt er-halten!

Q = P∧PQ


Übung

Berechnen Sie das Ausgabe Fuzzy Set zur Regel if A then B, wenn das Eingabedatum gegen A, um eine Konstante c verschoben ist, für die Fälle:

• Mamdani Implikation mit I(x,y)=T(x,y)= min(x,y).• Wie lautet der Algorithmus falls der Wenn-Teil aus

einer Konjunktion if A1 ∧ A2 then B besteht?

• Larsen Implikation mit I(x,y)=T(x,y)=x*y.– Tip: Wählen Sie für A(x) eine Dreiecksfunktion.– Machen Sie gegebenenfalls Fallunterscheidungen für

Kern/Träger in Abhängigkeit von c.

BA x=A xc


Fuzzy Inferenz• Für eine gegebene Fuzzy Regel

• mit Fuzzy Mengen A und B, und einer Eingabe lautet der verallgemeinerte fuzzy modus ponens

• Die Ausgabe wird berechnet mit Hilfe einer T-Norm und dem Implikationsoperator

B y = supx∈

T Ax , I A x , B y

A x

p q=: I p ,q

B = A°A B

R: if x is A then y is B


Fuzzy RegelbasisEine fuzzy Regelbasis mit n Regeln

wird bestimmt als System von Relationsgleichungen

und die Lösung ist gegeben, wenn die Konjunktion

nicht leer und eine Lösung für jede Regel Rj ist.

R j : A j B j j=1, , n

C= ∩j=1

n

A jGö B j

B j=A j °R j=1, , n


• Zu gegebener (fuzzy) Eingabe lautet die Lösung

• Ein Expertensystem führt die Regeln unabhängig aus und eine approximative Obermenge der Lösung ist:

• Fuzzy Control erweitert(!) meistens die Lösungs-menge durch eine disjunktive Verknüpfung:

Fuzzy ApproximationsA

B = ∩j=1

nA°A jB j ⊇ B

B = A° ∩j=1n

A jGö B j

C = ∪j=1

nA°A jXY B j ⊇ B Zadeh's compositionalrule of inference


Offene Fragen• Die OR Aggregation der Ergebnisse hat sich in

zahlreichen Anwendungen der Fuzzy Control bewährt, meistens mit Mamdani Inferenz...

• Die Wahl AND oder OR Aggregation zu verwenden hängt vom Anwendungsfall ab: Sind die Regeln unabhängige Aussagen oder sind sie streng gekoppelt? Letzteres ist vermutlich der Fall für Anwendungen von Fuzzy Logic, wo die AND Aggregation erforderlich ist.

•

• Zur Illustration dient das fuzzy computer experiment der Lab4Jefis Site...


Fuzzy Experiment• Wir wollen y = 1 – x mit Fuzzy Logik regelbasiert

berechnen. Hierzu nehmen wir eine Fuzzy Partition mit drei Mengen und der Regelbasis:

Rule Base for y = 1 – x

R1: if x is „low“ than y is „high“R2: if x is „med“ than y is „med“R3: if x is „high“ than y is „low“


Fuzzy Partition• Eine natural fuzzy partition ist eine Menge von n

eindeutig überlappenden Mengen Aj , mit:

• In unserem Beispiel ist n=3 und die Regeln erfüllen

– Korrelar: Mindestens n-2 Regeln haben kein Match egal welchen Wert x annimmt.

0≡ A j∩Ak x ∀ x∈ ,∣ j−k∣1

1≡ ∑j=1

n

A j x ∀ x∈

Rk : if x is Ak then y is An-k+1


Mamdani sup-Min ∪ - Inference

OR-aggregation:

Die Ausgabe passtgut zu y =1- x

I(p,q)=min(p,q)

inputvalue

outputsets

final resultwith COG


Larsen sup-Prod ∪- Inference

OR-aggregation:

Auch die sup-*Interferenz funktioniert...

I(p,q)= p·q


Łukasiewicz ∪ - Inference

OR-aggregation:

Falls eine Regelkeinen Match hat,so wird die beiFuzzy Logik dieuniverselle Mengegeschlussfolgert.

min(1,1-p+q)


Łukasiewicz ∪ - Inference

OR-aggregation:

Auch das Aus-Schließen nichterfüllter Regelnin einer REhilft nicht...

min(1,1-p+q)


Was ist passiert...?• Die Mamdani Min-/Larsen Produkt Implikationen

sind keine „richtigen Inferenz“ Operatoren, da sie beide eine (falsche) Implikation liefern:

• Genau deshalb sind sie geeignet für die OR Aggre-gation, da sich eine nicht feuernde Regel nicht bemerkbar macht.

• Implikationsoperatoren mit I(0,q)=1 werden im Fall einer OR-Aggregation überall eine „1“ liefern.

• Daher ist AND-Aggregation für diese Operatoren die einzig mögliche Wahl...

I(0,q) = 0 falls die Premise p Null ist.


Łukasiewicz ∩ - Inference

AND-aggregation:

Für „logische Implikation“ ist ∩ Aggregationdie richtige Wahl.

min(1,1-p+q)


Gougen ∩ - Inference

AND-aggregation:

Die Form derLösungsmengeändert sich jenach dem ge-Wählten I(p,q)...

min(1,q/p)


Gödel ∩ - Inference

AND-aggregation:

Gödel bietet diekleinste Lösungs-menge

I={ 1 p≤qq else


Vorläufiges ResultatObgleich dies keine mathematisch schwierige und aus-sagekräftige Demonstration ist, stellt sich die Frage• Wie sind regelbasierte Systeme, die logische

Entscheidungen treffen, zu entwerfen?– Für eine OR-Aggregation von Regeln sind nur die

Mamdani- und Larsen Implikationen brauchbar.– AND-Aggregation funktioniert am Besten mit I(0,q)=1

Operatoren, selbst wenn Rule-Engines für p=0 nicht feuern.

• Gibt es noch weitere Möglichkeiten der Inferenz? • Die Antwort ist: Ja, aber dies ist abhängig vom

gewählten Wahrheitsbegriff!

Fuzzy LogicFolie 2Folie 3Folie 4Folie 5Folie 6Folie 7Folie 8Folie 9Folie 10Folie 11Folie 12Folie 13Truth ValueImplikationsfunktionFolie 16Folie 17Fuzzy ImplikationFolie 19Fuzzy InferenceFuzzy Rule BaseFuzzy ApproximationOpen QuestionsFuzzy ExperimentFolie 25Mamdani sup-MinLarsen ProdLuca-ORLuca-OR-MatchOr or ANDLuca-ANDGougen ANDGodel-ANDFolie 34

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