Fuzzy Logic in der Produktionsplanung
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Fuzzy-Logic als Ansatz unscharfe Informationen in scharfeAussagen für die Simulation in der Produktionsplanung zu
überführen
Fachseminar Ausarbeitung
von
Ralf Seemann
HamburgJanuar 2010
INHALTSVERZEICHNIS i
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung und Motivation 1
2 Einführung in die Fuzzy Set Theorie 3
2.1 Fuzzy Logic und Fuzzy Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Fuzzy Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Linguistische Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Anwendungen in der Produktionsplanung 7
3.1 Algorithmische Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.1.1 Algorithmische Methoden zur Entscheidungsunterstüzung . . . . . . . . 7
3.1.1.1 Fuzzy Lineare Programmierung . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.1.1.2 Fuzzy Dynamische Programmierung . . . . . . . . . . . . . . 93.1.1.3 Fuzzy Multiple Criterion Decision Making . . . . . . . . . . . 9
3.1.2 Fuzzy Petri-Netze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.1.3 Fuzzy Datenanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1.3.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.1.3.2 Fuzzy Clusterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Wissensbasierte Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2.1 Expertensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2.1.1 De�nition und Aufbau von Expertensystemen . . . . . . . . . 173.2.1.2 Unschärfe in Expertensystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2.1.3 Beispiel eines einfachen Fuzzy Expertensystems . . . . . . . . 193.2.1.4 Fallbasierte Expertensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.2 Fuzzy Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4 Zusammenfassung und Ausblick 25
Literatur 27
1 EINLEITUNG UND MOTIVATION 1
1 Einleitung und Motivation
Der Erfolg eines Unternehmens hängt in erster Linie von der Qualität, Funktionalität und
Innovation seiner Produkte oder Dienstleistungen ab. Speziell in Industriebetrieben kommt
jedoch zusätzlich die Organisation des Güter�usses als weiterer entscheidender Ein�ussfak-
tor hinzu. Um diesen zu optimieren lassen sich in Bezug auf die Produktionsplanung und
-steuerung (PPS) die folgenden Anforderungen an ein Industrieunternehmen de�nieren [1]:
• maxiamle Ausnutzung der vorhandenen Ressourcen Personal,Material und Betriebsmittel durch simultane und knappe Planung
• Erhöhung der Lieferbereitschaft und Minimierung der Durchlaufzeiten
• Kostenreduzierung durch Minimierung von Lagerbeständen und Rüstzeiten
• weitgehende Automatisierung zur Sicherung einer gleichbleibenden Planungsqualitätsowie zur Entlastung der Mitarbeiter
• Hohe Flexibilität sowie Echtzeitfähigkeit der Planung
Schon mit dem ersten Einsatz von Computern in Produktionsunternehmen in den 60er Jahren
entstanden EDV-Systeme für die Produktionsplanung und -steuerung, um den oben genannten
Anforderungen besser gerecht zu werden [2]. Derartige Systeme haben zu diversen direkten und
indirekten Nutze�ekten, wie zum Beispiel eine Senkung der Auftragsdurchlaufzeit und erhöhte
Termintreue, geführt. Durch die systematische Herangehensweise der computergestützen PPS-
Systeme stellten sich beim praktischen Einsatz jedoch auch einige strukturelle Schwachstellen
heraus. Dazu gehören neben der geringen Aktualität der Pläne auch, eine bisweilen groÿe
Abweichung von Grob- und Feinplanung sowie zu hohe Lagerbestände. Für nähere Informa-
tionen hierzu sei an Kurbel [2] verwiesen. Auch der übertrieben hohe Durchdringungsgrad
der Planung vieler PPS-Systeme hat sich in bestimmten Situationen als Schwachpunkt her-
ausgestellt. Viele Planungsgröÿen sind von Unsicherheiten gekennzeichnet oder nur schwer zu
bestimmen. Bearbeitungs-, Transport- und Liegezeiten können von unvorhergesehenen Stö-
rungen beein�usst werden. Daneben sind auch Terminabweichungen von Zulieferern stets ein
unbeein�ussbarer Unsicherheitsfaktor. In Situationen, die von Zielkon�ikten und knappen Res-
sourcen gekennzeichnet sind, sind menschliches Denkvermögen und Kreativität den starren
Algorithmen eines Programms häu�g überlegen.
Die Theorie der Fuzzy Logic kann Unsicherheiten mathematisch beschreiben und das mensch-
liche Schlussfolgern imitieren. Dadurch gelingt es Planungsverfahren und -methoden realisti-
scher und leistungsfähiger zu gestalten. Ziel dieser Ausarbeitung ist es, einen Überblick über
Anwendungen der Fuzzy Logic in der Produtkionsplanung zu geben. Dabei sollen anschlie-
ÿend an einer kurzen Einführung in die Fuzzy Set Theorie diverse Methoden und Verfahren
der Produtkionsplanung vorgestellt werden, in denen Fuzzy Logic zum Einsatz kommt.
2 EINFÜHRUNG IN DIE FUZZY SET THEORIE 2
2 Einführung in die Fuzzy Set Theorie
Es gibt verschiedene Formen von Unsicherheit. Neben der stochastischen oder zufälligen Unsi-
cherheit existieren zusätzlich die sprachliche Unsicherheit und die informationale Unsicherheit
[3]. Die zufällige Unsicherheit wird gewöhnlich mit Hilfe der uns vertrauten Wahrscheinlich-
keitstheorie modelliert. Dabei wird die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Ereignis ein-
tritt mit einemWert zwischen 0 und 1 angegeben. In diesem Falle unterliegt das möglicherweise
eintre�ende Ereignis jedoch immer noch den Grenzen der dualen Logik. Entweder es tri�t ein
oder nicht. Unter sprachlicher Unsicherheit versteht man die inhaltliche Unde�niertheit von
Aussagen in unserer Sprache. So sind unsere Ausdrücke und Beschreibungen fast immer kon-
textabhängig und relativ. Die Fuzzy Set Theorie (auch Theorie unscharfer Mengen), erstmals
durch L.A. Zadeh in den 60er Jahren beschrieben, versucht derartige vage und unscharfe Be-
gri�e mathematisch auszudrücken. Die folgenden Ausführungen sollen einen kurzen Einblick
in diese Theorie geben und die wichtigsten Begri�e erklären.
2.1 Fuzzy Logic und Fuzzy Mengen
In der zweiwertigen (dualen) Logik sowie in der klassischen Mengenlehre gibt es nur die
zwei Wahrheitswerte WAHR und FALSCH. Ein Objekt gehört entweder einer Menge an
oder nicht. Eine Aussage ist entweder wahr oder falsch. Die Fuzzy Set Theorie ist sowohl
eine Verallgemeinerung der klassischen Mengenlehre als auch eine Verallgemeinerung der
dualen Logik. Dies wird dadurch erreicht, dass anstelle von nur zwei Wahrheitswerten, WAHR
und FALSCH, ein Kontinuum von Wahrheitswerten zwischen �wahr� und �falsch� eingeführt
wird. Dieses Kontinuum wird gewöhnlich durch das geschlossene Intervall reeler Zahlen [0,1]
ausgerückt. Das bedeutet eine Aussage kann zum Beispiel lediglich zu einem gewissen Grad
wahr sein, gleichzeitig wäre sie aber auch zu einem bestimmten Grad unwahr. Diese Verall-
gemeinerung erfordert für logische Verknüpfungen eine Anpassung der bekannten logischen
Operationen Konjunktion, Disjunktion und Negation. Das Ergebnis einer solchen Operation
soll wieder ein unscharfer Wert sein. Allgemein sei an dieser Stelle erwähnt, dass es in der
Fuzzy Logic verschiedene Implementierungen für unscharfe Operatoren gibt. Die Wahl eines
geeigneten Operators ist ein entscheidender Faktor beim Entwerfen von Fuzzy Systemen.
Zimmermann (1993) [3] beschäftigt sich näher mit dieser Problematik. Die ursprünglich von
Zadeh vorgeschlagene De�nition sieht folgendermaÿen aus:
Konjunktion: a UND b = min(a,b)Disjunktion: a ODER b = max(a,b)Negation: NICHT(a) = 1-a
2 EINFÜHRUNG IN DIE FUZZY SET THEORIE 3
Zur Veranschaulichung dieses Prinzips soll folgendes Beispiel dienen. Fertigungsaufträge wer-
den je nach ihrer Schlupfzeit in ihrer Dringlichkeit unterschieden. Die Schlupfzeit ist die Dif-
ferenz zwischen der verbleibenden Zeit zur Fertigstellung des Auftrags und der Restbearbei-
tungszeit für diesen Auftrag[2]. Eine linguistische Aussage wie zum Beispiel �Auftrag A ist sehr
dringlich� ist jedoch nur eingeschränkt in den Grenzen der dualen Logik bewertbar. Ein erfah-
rener Fertigungsplaner könnte beispielsweise festlegen, dass alle Aufträge mit einer Schlupfzeit
von einem Tag auf jeden Fall sehr dringlich sind. Angenommen Auftrag A hat eine Schlupfzeit
von einem Tag, wie würden dann jedoch weitere Aufträge mit geringfügig längeren Schlupfzei-
ten wie 2 oder 3 Tage bezeichnet werden? Wendet man das oben eingeführte Prinzip auf dieses
Beispiel an, so würde man der Aussage �Auftrag A ist sehr dringlich� analog zur dualen Logik
den Wahrheitswert 1 zu ordnen, da dieser mit einer angenommenen Schlupfzeit von einem Tag
auf jeden Fall dringlich ist. Weitere Aufträge mit mehr Tagen Schlupfzeit erhalten entspre-
chend Wahrheitswerte, welche kleiner als 1 sind. Zum Beispiel: Auftrag B (0,8) und Auftrag
C (0,6). Jede unscharfe Aussage enthält demnach Informationen über ihren Wahrheitsgehalt
ausgedrückt durch einen Wahrheitsgrad auf dem Intervall [0,1].
Selbiges lässt sich auf für Fuzzy Mengen de�nieren. Analog zum vorigen Beispiel sei de�-
niert, dass alle Aufträge mit einer Schlupfzeit von s ≤ 5d der Menge der dringlichen Aufträge
angehören. Die Menge aller Aufträge M sei gegeben mit:
M = {AA(1 Tag), AB(3 Tage), AC(4 Tage), AD(6 Tage), AE(10 Tage), AF (20 Tage)}
In der klassischen Mengenlehre sähe die Menge der dringlichen Aufträge Md nach obiger De-
�nition wie folgt aus:
Md = {AA, AB, AC}
Nun ist jedoch o�ensichtlich, dass Auftrag D (6 Tage) gerade verglichen mit Auftrag E und
F immer noch recht dringlich ist. Ein Disponent würde diesen Auftrag also eher der Menge
der dringlichen Aufträge als der Menge der nicht Dringlichen zuordnen. Das Konzept der
Fuzzy Mengen erlaubt dieses. Während in der Fuzzy Logic Aussagen mit Wahrheitsgraden
versehen werden, erhalten die Objekte von Fuzzy Mengen Zugehörigkeitsgrade, welche angeben
zu welchem Grad ein Objekt dieser unscharfen Menge angehört. Im Beispiel sähe die unscharfe
Menge der dringlichen Aufträge folgendermaÿen aus:
Md = {AA(1), AB(1), AC(1), AD(0,8), AE(0), AF (0)}
In den Klammern hinter den Elementen der Menge ist dabei der jeweilige Zugehörigkeitsgrad
angegeben. Die Aufträge E und F erhalten demnach den Zugehörigkeitsgrad 0. Im Gegensatz
zu den anderen Aufträgen gehören sie der Menge der dringlichen Aufträge nicht einmal zu
einem gewissen Grad an. Sie wurden hier zur Erläuterung des Prinzips dennoch mit aufgeführt.
2 EINFÜHRUNG IN DIE FUZZY SET THEORIE 4
Anders als bei der scharfen Betrachtung wurde nun also auch Auftrag D mit einer Schlupfzeit
von 6 Tagen zumindest zu einem gewissen Grad (0,8) in die Menge der dringlichen Aufträge
mit aufgenommen. Formal kann eine unscharfe Menge folgendermaÿen de�niert werden[3]:
Ist X eine Menge von Objekten, welche hinsichtlich einer unscharfen Aussage zu bewerten
sind, so ist A die unscharfe Menge auf X:
A := {(x, µA(x)); x ∈ X} (2.1)
Hierbei bezeichnet µA(x) die reelwertige Zugehörigkeitsfunktion. Sie gibt Auskunft über den
Zugehörigkeitsgrad eines jeden Objektes der unscharfen Menge (siehe auch Abbildung 2.2).
Analog zu den unscharfen logischen Operatoren können auch für unscharfe Mengen verschie-
dene Operatoren für Vereinigung, Durchschnitt und Komplement de�niert werden. Die De�-
nition der Operatoren ist eine zusätzliche Variable beim Anpassen eines Fuzzy Modells an die
Problemstellung. Zimmermann (1991) [4] bietet weiterführende Informationen hierzu.
2.2 Fuzzy Zahlen
Eine Fuzzy Zahl kann folgendermaÿen de�niert werden: �Sie ist eine konvexe, auf das Intervall
[0,1] normierte unscharfe Menge, die auf der Menge der reelen Zahlen de�niert ist. Auÿerdem
existiert genau ein Element mit dem Zugehörigkeitsgrad 1. Die Zugehörigkeitsfunktion µ(x)
dieser unscharfen Menge ist stückweise stetig�[4]. Abbildung 2.1 zeigt die fuzzy Zahl �ungefähr
10�. Sind Planungsgröÿen nicht genau bekannt, können sie durch Fuzzy Zahlen unscharf aus-
Abbildung 2.1: Fuzzy Zahl „ungefähr 10“
gedrückt werden. Abschnitt 3.1.1 geht näher auf die Erweiterung bestehender algorithmischer
Methoden durch Fuzzy Zahlen und deren Auswertung durch herkömmliche Lösungsverfahren
ein.
2 EINFÜHRUNG IN DIE FUZZY SET THEORIE 5
2.3 Linguistische Variablen
Linguistische Variablen zeichnen sich dadurch aus, dass ihre Werte keine Zahlen sondern
sprachliche Terme sind. Diese Terme werden inhaltlich durch unscharfe Mengen de�niert [3].
Allgemein werden linguistische Variablen durch die folgenden 5 Gröÿen charakterisiert [4]: Zur
x Name der Variable
T (x) Menge der linguistischen Werte von x
U Menge über der die fuzzy Mengen de�niert sind
G syntaktische Regel zur Generierung der Namen der linguistischen Werte
M semantische Regel, die jedem linguistischen Wert eine fuzzy Menge über U zuordnet
Veranschaulichung soll nun das aus 2.1 bekannte Beispiel der Auftragspriorität herangezogen
werden. Abbildung 2.2 stellt die linguistische Variable �Auftragspriorität� gra�sch dar. In die-
Abbildung 2.2: linguistische Variable „Auftragspriorität“
sem Beispiel ist �Auftragspriorität� der Name der Variable (x), während T (x) die Terme �sehr
dringlich� , �dringlich� und �wenig dringlich� umfasst. U entspricht der x-Achse und stellt
die Menge der Tage Schlupfzeit dar. M ist schlieÿlich die Zuordnung der linguistischen Terme
zur Grundmenge dargestellt durch den Graphen. Die syntaktische Regel G kann lediglich als
Festlegung der Grammatik der linguistischen Terme verstanden werden.
Expertenwissen erfahrener Produtktionsplaner liegt häu�g nur in natürlicher Sprache vor. Eine
Einschätzung wie �die Kapazitätsauslastung ist hoch� ist damit nur schwer in ein Produkti-
onsplanungssystem implementierbar. Das Konzept der linguistischen Variablen jedoch erlaubt
dieses durch die De�nition von Zugehörigkeitsfunktionen.
3 ANWENDUNGEN IN DER PRODUKTIONSPLANUNG 6
3 Anwendungen in der Produktionsplanung
Am häu�gsten wird die Fuzzy Set Theorie in algorithmischen oder wissensbasierten Ansätzen
angewandt [3]. Diese unterscheiden sich in ihrem Wesen deutlich und so wurde diese Untertei-
lung im Folgenden als Grundlage für die vorgenommene Gliederung gewählt. Es soll versucht
werden einen groben Überblick über Fuzzy Verfahren und Methoden aus beiden Bereichen
zu geben. Um den Bezug zur Produktionsplanung herzustellen, werden jeweils entsprechende
Anwendungen kurz beschrieben.
3.1 Algorithmische Methoden
Der Einsatz von mathematischen Methoden oder Modellen zur Entscheidungsunterstützung
in der Produktionsplanung ist nicht neu und so wurden bereits vor der Verbreitung der Fuz-
zy Technologien Planungsoptimierungsverfahren basierend auf der dualen Logik eingesetzt
[2]. Besonders bei Planungsproblemen gibt es jedoch eine Reihe von Gröÿen und Variablen,
welche einer numerisch nicht beschreibaren Unsicherheit unterliegen (siehe Abschnitt2). Her-
kömmliche Verfahren beachten dies nicht, da sie lediglich scharf zwischen Zulässigkeit und
Unzulässigkeit unterscheiden. Mithilfe der Theorie der unscharfen Mengen kann jedoch eine
Anpassung des Modells an die jeweilige Problemstruktur erzielt und damit ein realistischeres
Modell erstellt werden. Zimmermann (1993) [3] fasst das prinzipielle Vorgehen bei algorithmi-
schen Anwendungen der Fuzzy Set Theorie folgendermaÿen zusammen:
Ein Ausgangsmodell enthält die Unschärfe, die der Entscheidungsträger in seiner Problemvor-
stellung wahrnimmt. Durch die Einführung von Zugehörigkeitsfunktionen wird diese Unschärfe
in einem scharfen Modell modelliert. Auf dieses transformierte Modell können daraufhin vor-
handene scharfe Algorithmen angewendet werden. Im Folgenden werden Beispiele für um Fuzzy
Logic erweiterte algorithmische Methoden vorgestellt und deren Anwendung in der Produkti-
onsplanung aufgezeigt.
3.1.1 Algorithmische Methoden zur Entscheidungsunterstüzung
Entscheidungsträger in der Produktionsplanung stehen häu�g vor dem Problem eine Vielzahl
von Alternativen bewerten zu müssen, um dann die beste Option hinsichtlich widersprechender
Gütekriterien mit unterschiedlichen Gewichtungen auszuwählen. Die beein�ussenden Faktoren
können dabei sowohl technologische und ökonomische als auch politische, ethische, soziale oder
ökologische Aspekte beinhalten.
Das Lineare- und das Dynamische Programmieren sowie das Fuzzy Multiple Criterion De-
cision Making sind drei weitverbreitete Ansätze zur Entscheidungsunterstützung. Sie sollen
3 ANWENDUNGEN IN DER PRODUKTIONSPLANUNG 7
anschlieÿend im Hinblick auf ihre Anwendung in der Produktionsplanung kurz beschrieben
werden.
3.1.1.1 Fuzzy Lineare Programmierung Nach Zimmermann (2008)[5] hat ein scharfes
lineares Programm allgemein die folgende Form:
maximiere z = cT x so dass Ax ≤ b sowie x ≥ 0
c,x ∈ R, b ∈ Rm, A ∈ Rm×x (3.1)
Dabei ist z die zu maximierende Zielfunktion, c der Vektor der Zielkoe�zienten, A beschreibt
die Koe�zienten-Matrix der Restriktionen und b steht für den entsprechenden Kapazitäten-
vektor. Die Nichtnegativitätsbedingung x ≥ 0 verhindert negative Lösungen.
Dieses scharfe Modell hat jedoch einige Schwachstellen [3]. Häu�g möchte der Entscheidungs-
träger gar nicht maximieren oder minimieren. Vielmehr möchte er ein bestimmtes Zielniveau
(z.B. Budget) erreichen. Weiterhin sind die Koe�zienten A, c und b oft nicht eindeutig bekannt
oder bestimmbar und können nur unscharf ausgedrückt werden. Schlieÿlich sind die Restrik-
tionen gewöhnlich von unterschiedlicher Wichtigkeit und nicht immer durch klare Grenzen
gekennzeichnet. Das heiÿt es ist häu�g zulässig die Restriktionen zu einem gewissen Grad zu
verletzen. Die Fuzzy Lineare Programmierung bietet eine Reihe von Möglichkeiten alle ange-
sprochenen Unsicherheiten zu berücksichtigen. Allgemein sei jedoch darauf hingewiesen, dass
kein eindeutig de�niertes Modell zur Fuzzy Linearen Programmierung existiert. Abhängig von
den gemachten Annahmen und den Eigenschaften der abzubildenden Situation ist eine Viel-
zahl von Fuzzy Modellen denkbar.
Das oben beschriebene Modell kann wie in Zimmermann (1991)[4] allgemein wie folgt fuzzy-
�ziert werden:
cT x . z
Ax . b
x ≥ 0 (3.2)
An dieser Stelle steht . für die unscharfe Variante von ≤ und kann linguistisch als �möglichst
kleiner gleich� verstanden werden. Dieses ist ein symmetrisches Modell der Fuzzy-Linearen
Programmierung, da die Zielfunktion die gleiche Form wie die Nebenbedingungen hat. In
Zimmermann(1991) [4] Kapitel 12 ist eine ausführliche Erklärung zur Herleitung gegeben. So
kann das Modell aus 3.2 nach einigen Umformungen und der Einführung entsprechender Zuge-
hörigkeitsfunktionen für die Koe�zienten von A und b auf eine scharfe Form gebracht werden,
welche beispielsweise durch den Simplex Algorithmus gelöst werden kann (vgl. Kapitel 3 Zim-
mermann (2008)[5]. Auf diese Weise erhält man wieder eine scharfe Lösung.
3 ANWENDUNGEN IN DER PRODUKTIONSPLANUNG 8
In der Literatur ist eine Vielzahl von beschriebenen Anwendungen im Bereich der Produktions-
planung zu �nden. So beschreibt Hintz (1987) [6] ausführlich ein simultanes Fuzzy Modell zur
Terminplanung für �exible Fertigungssysteme. Daneben werden Fuzzy Lineare Programme
auch für logistische Probleme, wie die Material�ussplanung eingesetzt (Kapitel 13 Zimmer-
mann (1991)[4]).
3.1.1.2 Fuzzy Dynamische Programmierung Neben der Linearen Programmierung
kann auch die Dynamische Programmierung um Fuzzy Sets erweitert und mithilfe bekannter
Algorithmen gelöst werden. Dynamische Programme sind ebenfalls weit verbreitet und wer-
den zur Lösung von Planungsproblemen eingesetzt, welche sich in Teilprobleme mit jeweils
einer Entscheidungsvariable aufteilen lassen. Dabei wird das Problem als ein Mehrphasen-
Entscheidungsprozess aufgefasst. Es soll an dieser Stelle jedoch nicht näher darauf eingegangen
werden, für eine detaillierte Beschreibung sei hier an Zimmermann(1984) [7] verwiesen.
Singh und Mohanty (1991) [8] schlagen beispielsweise ein Dynamisches Programmierungsmo-
dell zur optimierten Auswahl von Fertigungsprozessplänen vor.
3.1.1.3 Fuzzy Multiple Criterion Decision Making Wie unter 3.1.1 angesprochen
zeichnen sich viele Probleme in der Produktionsplanung dadurch aus, dass es nicht nur ein-
zelne unabhängige und gleich gewichtete Gütekriterien und Zielfunktionen gibt. Zur Lösung
derartiger Probleme haben sich eine Reihe von Verfahren auf dem Gebiet des Multiple Crite-
rion Decision Making entwickelt (MCDM). Allgemein lässt sich hierbei in zwei Hauptbereiche
unterteilen [9]. Beim Multi Attribute Decision Making (MADM) wird versucht die beste Kom-
promisslösung aus einer endlichen Anzahl von möglichen Alternativen zu �nden (Auswahl-
problem mit diskretem Entscheidungsraum). Die Alternativen werden dabei hinsichtlich ihrer
Attribute sowohl qualitativ als auch quantitativ bewertet und untereinander vergleichen. Mul-
ti Objective Descision Making (MODM) Probleme zeichnen sich hingegen durch eine groÿe
bis unendliche Zahl von Lösungen unter Einbeziehung mehrerer Zielfunktionen aus (Desi-
gnproblem mit kontinuierlichem Lösungsraum). Letztere basieren wie die vorangegangenen
Methoden auf der mathematischen Programmierung und werden auch als Vektor-Maximum
Probleme bezeichnet. Dabei wird anders als bei der Linearen Programmierung auf mehrere
Ziele hin optimiert. Aufgrund der vielen Parallelen sowohl beim Vorgehen als auch bei den
Anwendungen des MODM mit den oben beschriebenen Verfahren liegt der Fokus im Folgenden
auf den MADM Methoden. Zimmermann (1991)[4] bietet jedoch auch zum MODM weiterfüh-
rende Erläuterungen.
Umfassende Informationen zu den verschiedenen MADM Methoden auch unter Einbeziehung
von Aspekten der Fuzzy Logic sowie möglichen Anwendungen �nden sich in Rao (2007) [10].
Dabei ist allen Methoden die sogenannte Entscheidungsmatrix (Tabelle 3.1) bestehend aus
3 ANWENDUNGEN IN DER PRODUKTIONSPLANUNG 9
Alternativen, Ai (mit i = 1, 2, ... , N), Attributen, Bj (mit j = 1, 2, ... , M), Gewichtungen der
Attribute, wj (mit j = 1, 2, ..., M) und dem Maÿ für die Leistung der Alternativen mij (mit i =
1, 2, ..., N; j=1, 2, ..., M) als Grundlage gemein. Mit den Informationen der Entscheidungsma-
Alternativen AttributeB1 B2 B3 − − BM
(w1) w2 w3 (−) (−) (wM)A1 m11 m12 m13 − − m1M
A2 m21 m22 m23 − − m2M
A3 m31 m32 m33 − − m3M
− − − − − − −− − − − − − −AN mN1 mN2 mN3 − − mNM
Tabelle 3.1: Entscheidungsmatrix in MADM Methoden
trix kann unter Anwendung von MADM Methoden die vorteilhafteste Alternative und/oder
eine Rangliste der Möglichkeiten hinsichtlich ihres Nutzens ermittelt werden.
Bei der einfachen aber weit verbreiteten Simple Additive Weighting Methode (SAW) wird je-
dem Attribut ein Gewicht zugeordnet, wobei die Summe aller Gewichtungen 1 sein muss. Jede
Alternative wird dann in Bezug auf jedes Attribut bewertet. Der sich ergebende Gesamtnutzen
jeder Alternative ergibt sich mit:
Pi =M∑j=i
wj ·mij (3.3)
Wobei alle Elemente der Matrix auf gleiche Einheiten normiert sein müssen, damit alle Attri-
bute bei dem Entscheidungs�ndung berücksichtigt werden können. Daneben stellt Rao (2006)
auch komplexere Methoden wie etwa die Analytic Hierarchy Process Methode (AHP) vor.
Wie schon zuvor kann nur linguistisch vorhandenes Expertenwissen mit geeigneten Transfor-
mationen in scharfe Werte für die Entscheidungsmatrix umgewandelt werden. Die Ermittlung
der besten Alternative erfolgt daraufhin erneut durch die bewährten scharfen Methoden.
Rao (2006) [10] zeigt zusätzlich eine ganze Reihe von Anwendungen des MADM zur Entschei-
dungs�ndung in der Produktionsplanung auf. Die Bewertung der Zerspanbarkeit von Werk-
stückmaterialien ist eine wichtige Grundvoraussetzung für die Fertigungsplanung. Die darauf
aufbauende Entscheidung über den Einsatz von Werkzeugen, Kühlschmiersto�en oder allge-
mein von Fertigungsmitteln hat maÿgeblichen Ein�uss sowohl auf die Fertigungskosten und
die Produktivität als auch auf die Werkstückqualität. Kapitel 7 in [10] beschreibt ausgehend
von der Problemformulierung anhand von konkreten Beispielen die Herangehensweise zur Be-
wertung der Zerspanbarkeit von Materialien mit verschiedenen MADM Methoden. Zusätzlich
�nden sich in den Folgekapiteln weitere interessante Anwendungsbeispiele aus der Produkti-
onsplanung, wie zum Beispiel die Auswahl eines geeigneten Kühlschmiersto�es bei gegebener
Anwendung oder die Auswahl des optimalen Fertigungsverfahrens bei gegebener Anwendung.
3 ANWENDUNGEN IN DER PRODUKTIONSPLANUNG 10
3.1.2 Fuzzy Petri-Netze
Das in den 1960'er Jahren von Carl Adam Petri entwickelte Modell der Petri Netze eignet sich
hervorragend um mehrere parallel und zueinander asynchron ablaufende Teilprozesse kompakt
und strukturiert zu einem Gesamtsystem zusammenzufassen. Damit lässt sich auch für komple-
xe industrielle Produktionsprozesse ein anschauliches Modell erstellen, welches als Grundlage
für Prozesssteuerungssysteme dient. In �exiblen Produktionssystemen müssen parallel zu be-
arbeitende Fertigungsaufträge so aufeinander abgestimmt werden, dass bei möglichst geringen
Lagerbeständen und unter bestmöglichem Einsatz aller zur Verfügung stehenden Ressourcen
der Fertigungss�uss auch bei möglichen Störungen termingerecht gewährleistet wird. Die An-
forderungen an die Flexibilität von Fertigungssystemen sind in der Vergangenheit mit der
Entwicklung hin zur kundenspezi�schen Einzel- und Kleinserienfertigung immer weiter gestie-
gen [11]. Durch vermehrte Integration des Menschen und seines pragmatischen Lösungsver-
haltens kann die Anpassungsfähigkeit automatisierter Systeme erhöht werden. Das Konzept
der Fuzzy-Petri Netze bietet die Möglichkeit Expertenwissen in die Modellierung von Pro-
duktionsführungssystemen zu integrieren. Im Folgenden soll gezeigt werden wie ein scharfes
Petri Netz fuzzy�ziert werden kann. Dabei wird nur kurz auf die Grundlagen der Petri Netze
eingegangen, eine ausführliche Beschreibung be�ndet sich beispielsweise in König (1988)[12].
Unschärfe in Petri Netzen
Im Anschluss werden die drei Hauptbestandteile des klassischen Petri Netz Konzeptes sowie
deren Fuzzy�zierung kurz erläutert.
• Plätze
Systemzustände oder Systembedingungen werden in einem Petri Netz durch Plätze (Krei-
se) dargestellt. Plätze können Marken enthalten, welche die Erfüllung der Zustände be-
schreiben und somit die Arbeitsfähigkeit von nachgelagerten Prozessen anzeigen.
Um die Güte von Arbeitsbedingungen oder -zuständen zu signalisieren, besitzt ein Fuz-
zy Petri-Netz unscharfe Plätze. Der Zugehörigkeitswert eines Platzes gibt Auskunft über
den Erfüllungsgrad der jeweiligen Arbeitsbedingung. Dadurch wird eine Stufung zwi-
schen guten und unzulässigen Zuständen erreicht.
• Transitionen
Transitionen entsprechen in einem Petri Netz Aktionen oder Ereignisse, wie zum Bei-
spiel Fertigungsoperationen. Sie werden durch Striche oder Balken gekennzeichnet und
besitzen Verbindungen (Kanten) zum vor- und zum nachgelagerten Platz.
Gewöhnlich ermöglichen Prozesse unterschiedliche Lasteinstellungen oder Intensitäten.
So ist beispielsweise denkbar, dass eine Maschine je nach Einstellung mehr oder weni-
ger Werkstücke in einem Arbeitsschritt bearbeiten kann. Die entsprechende Zugehörig-
3 ANWENDUNGEN IN DER PRODUKTIONSPLANUNG 11
keitsfunktion einer unscharfen Transition ist damit ein Maÿ für die Steuerbarkeit eines
Teilprozesses.
• Kanten
Kanten, oder auch Flussrelationen, sind die gerichteten Verbindungen zwischen Transi-
tion und Platz und werden üblicherweise als Pfeile dargestellt. Ist eine Kante vorhanden
so kann ein Markenstrom zwischen Transition und Platz �ieÿen, fehlt die Kante ist dies
nicht möglich. Weiterhin können Kanten Bewertungen haben, welche angeben wieviele
Marken beim Schalten aus einem Platz (oder Transition) herausgenommen werden und
wieviele in der nachgelagerten Transition (oder Platz) ein�ieÿen. Der beim Schalten einer
Transition hervorgerufene Markenstrom beschreibt den Werkstück- oder Objektstrom in
einem Produktionssystem.
Da der Markenstrom in einem Fuzzy Petri-Netz von der Einstellung der Transition ab-
hängt, kann eine Kante alle von der Transition einstellbaren Markenströme leiten. Dies
wird als unscharfes Schalten verstanden.
Durch die Erhöhung der Unschärfe des ansonsten starren Petri Netz Konzeptes gelingt nicht
nur eine erhöhte Flexibilität sondern im Ganzen betrachtet auch eine Reduktion der Komple-
xität des Gesamtmodells. Zur Modellierung eines Fertigungsprozesses müsste für jede mögliche
Betriebssituation jeweils ein scharfes Petri Netz erstellt werden. Die unscharfe Bewertung der
Teilkomponenten in einem Fuzzy Petri-Netz erlaubt es jedoch mehrere scharfe Netze in ei-
nem Modell zusammenzufassen, was die Struktur des Gesamtmodells erheblich vereinfacht.
Weiterhin gelingt es unvollständige Informationen sowie subjektives Expertenwissen bei der
Modellierung von Entscheidungssituationen zu berücksichtigen [3].
Zur Veranschaulichung dieses Prinzips ist nachfolgend in Abbildung 3.1 ein einfaches Fuzzy
Petri-Netz eins Beispielprozesses dargestellt. Eine ganz ähnliche Abbildung mit zusätzlichen
Erläuterungen ist in Zimmermann (1993)[3] zu �nden. Die Maschine (Transition) besitzt drei
Abbildung 3.1: Fuzzy Petri-Netz
Betriebszustände. Sie kann entweder ein, zwei oder drei Werkstücke gleichzeitig bearbeiten.
Die Zugehörigkeitsfunktion über der Maschine zeigt an, dass der Betriebszustand 2 dem Opti-
3 ANWENDUNGEN IN DER PRODUKTIONSPLANUNG 12
mum entspricht, während die Stufen 1 und 3 Ausnahmezustände darstellen. Die beiden Lager
vor und hinter dem Prozess entsprechen Plätzen und haben entsprechend der dargestellten
Zugehörigkeitsfunktion eine Lagerkapazität von 6 Werkstücken, wobei der Gesamtprozess ab-
geschlossen ist wenn Lager 1 geleert und Lager 2 gefüllt wurde. Die Kantenbewertungen Kante
1 und Kante 2 sind abhängig von der Einstellung der Maschine.
Bisher wurden keinerlei Zeitkriterien berücksichtigt. Gewöhnlich besitzen jedoch nicht alle
Bearbeitungsoperationen die gleiche Bearbeitungszeit. Um eine hohe Terminsicherheit sowie
Maschinenauslastung zu erzielen, müssen zur Koordinierung des Produktionsablaufs zeitab-
hängige Kriterien eingeführt werden. In einem zeitbewerteten Fuzzy Petri-Netz werden Bear-
beitungsschritte daher durch unscharf zeitbewertete Transitionen beschrieben. Jeder Produk-
tionsschritt wird als variabler Zeitvorgang angesehen, in dem bestimmte Ressourcen gebunden
sind und nicht für Operationen zur Verfügung stehen. Detailliertere Ausführungen zum Thema
zeitbewertete Fuzzy Petri Netze �nden sich in Lipp (1992)[13].
Eines der Hauptanwendungsgebiete der Fuzzy Petri-Netze ist die Modellerstellung für den Ent-
wurf von Belegungs- oder Arbeitsplänen in der Fertigung und Montage (Vgl. Lipp(1993)[11]).
Eine weitere beschriebene Anwendung ist zum Beispiel die Modellierung von Prozessen zur
Stahlerzeugung (Zimmermann (1995)[14].
3.1.3 Fuzzy Datenanalyse
In Abschnitt 1 wurde bereits kurz auf die Unsicherheit vieler Eingangsdaten der Planung hin-
gewiesen. Daneben stellt auch die enorme Vielzahl der Eingangsdaten ein generelles Problem
dar. Die Summe aller Teilstammdaten, Betriebsmitteldaten sowie Arbeitsplandaten führen zu
einem komplexen Planungssystem. Unter diesen Umständen können Datenanalyseverfahren
der Entscheidungs�ndung vorgeschaltet werden. Dabei kann allgemein zwischen zwei Berei-
chen unterschieden werden. Zum einem möchte man gerade bei sehr groÿen Datenmengen
auch ohne Wissen über Zusammenhänge der vorliegenden Daten Strukturen erkennen und
de�nieren (Struktur�ndung). In einem nächsten Schritt können dann neu hinzukommende
Daten den bekannten Strukturen zugeordnet werden. Ziel soll es sein unüberschaubare Da-
tenbestände zu nutzbaren Informationen zu verdichten sowie Erfahrungswissen über Ursache-
Wirkungszusammenhänge zu erwerben und einem computergestützten System zugänglich zu
machen.
Es existieren sowohl wissensbasierte als auch algorithmische Methoden zur Datenanalyse. Al-
gorithmische Verfahren setzen, anders als Wissensbasierte, keinerlei explizites oder implizites
Expertenwissen voraus. Vielmehr generieren diese Verfahren nicht vorhandenes Wissen aus
den vorliegenden Daten. Die Einbeziehung von Fuzzy Aspekten ermöglicht es Datenanalyse-
verfahren durch Modellierung von Unsicherheit realistischer zu gestalten. Im Folgenden wird
das Prinzip der Datenanalyse kurz allgemein beschrieben. Dabei wird auch darauf eingegangen
3 ANWENDUNGEN IN DER PRODUKTIONSPLANUNG 13
wie die auftretende Unschärfe modelliert werden kann. Anschlieÿend werden Clusterverfahren
als Vertreter der algorithmischen Methoden und deren Anwendungen näher beschrieben.
3.1.3.1 Grundlagen Bei einer Datenanalyse werden Objekte betrachtet, welche durch be-
stimmte Merkmale/Attribute beschrieben sind. Die Ausprägungen dieser Merkmale sind die
zu untersuchenden Daten. Nach [15] kann ein allgemein gültiger Prozess zur Datenanalyse wie
folgt beschrieben werden. Nach einer Problemanalyse erfolgt die sogenannteMerkmalsauswahl,
bei der zunächst alle Objekteigenschaften erfasst werden um dann jene heraus zu �ltern, welche
die betrachteten Objekte in Abhängigkeit von der Problemstellung am besten beschreiben. Im
nächsten Schritt erfolgt zur weiteren Komplexitätsreduktion die Klassenbildung. Alle Objekte
werden dabei einer verhältnismäÿig geringen Anzahl von Klassen zugeordnet. Abschlieÿend
erfolgt die Klassi�zierung. Werden nach der Klassenbildung neue bisher nicht verwendete
Objekte in die Betrachtung einbezogen, so werden sie in diesem Schritt entsprechend ihrer
Attribute den bestehenden Klassen zugewiesen.
Datenanalyseverfahren im engeren Sinn dienen zur Klassenbildung und zur Klassi�kation und
setzen eine Datenvorverarbeitung zur Erleichterung der Merkmalsauswahl voraus. Zimmer-
mann (1993) [3] listet diverse Verfahren zur Datenvorbereitung, wie etwa die Filterung der
Eingangssignale zur Reduktion von störendem Rauschen oder die Fouriertransformation zur
Übertragung von zeitabhängigen Signalen in den Frequenzbereich, auf.
Zur Modellierung der Fuzzyness können bei der Datenanalyse sowohl Objektmerkmale als auch
Klassen unscharf beschrieben werden [3]. Ein Objekt gilt dabei als unscharf, wenn mindestens
eines seiner Merkmale unscharf formuliert ist. Als Beispiel eines unscharfen Objektes sei ein
Prozesszustand gegeben, dessen Eigenschaften (z.B. Druck, Temperatur, ect.) aufgrund von
Messungenauigkeiten nicht deterministisch angegeben werden können. Unscharfe Klassen �n-
den sich zum Beispiel immer dann wenn ein kontinuierlicher Übergang zwischen zwei Klassen
vorhanden ist. Angenommen es existieren in einem Instandhaltungsprozess die beiden Klassen
�funktionsfähig� und �verschlissen�. Denkbar ist, dass ein noch funktionsfähiges Objekt auf-
grund von starker Abnutzung auch schon zu einem gewissen Grad als verschlissen angesehen
werden kann.
Zusätzlich kann auch die Zuweisung von Objekten zu Klassen scharf oder unscharf sein. Wenn
ein Objekt einer Klasse zugeordnet wird, obwohl nur ein bestimmter Teil seiner Merkmale
eindeutig auf diese Klasse hinweisen, dann handelt es sich hierbei um eine unscharfe Klassen-
zugehörigkeit.
3.1.3.2 Fuzzy Clusterung Clustermethoden sind mathematische Verfahren zur Klassen-
bildung. Dabei werden Merkmale von Objekten als Koordinaten im Merkmalsraum ausge-
drückt. Jede Klasse wird durch ein geometrisches Konstrukt (Cluster) im Merkmalsraum re-
3 ANWENDUNGEN IN DER PRODUKTIONSPLANUNG 14
präsentiert. Es kann zwischen hierarchischen Methoden, graphentheoretischen Ansätzen und
Verfahren mit Zielfunktion unterschieden werden [4].
Hierarchische Methoden erzeugen sukzessive eine Hierarchie möglicher Klasseneinteilungen.
Ein mögliches Vorgehen ist dabei ausgehend von einer übergeordneten Klasse der alle Objekte
angehören sukzessiv neue Teilklassen, die zu einer �sinnvollen �Klassenbildung� führen, zu
erzeugen. Es werden also bestehende Klassen in neue Klassen geteilt. Diese Verfahren können
u.A. zur Bestimmung einer geeigneten Klassenzahl dienen. Als weiterführende Literatur sei
hier auf Deimer (1986) [16] oder Bezdek (1992) [15] verwiesen. Graphentheoretische Ansätze
bilden die Zusammenhänge zwischen Objekten in Form eines Graphen ab [4]. Der Fokus dieser
Arbeit soll jedoch auf den Verfahren mit Zielfunktion liegen. Jene Verfahren erzeugen Klassen,
die eine geeignete Zielfunktion minimieren. Dabei können unterschiedliche Kriterien, wie zum
Beispiel der Abstand der Objektdarstellungen im Merkmalsraum, berücksichtigt werden. Eine
solche Methode ist zum Beispiel das Fuzzy C-Means Verfahren (FCM) [15]. Der iterative FCM
Algorithmus ermittelt in einer vorhandenen Datenmenge zu einer vorgegebenen Anzahl von
Clustern die Clusterzentren (Prototypen). Clusterzentren können als Punkte im Merkmals-
raum, um die herum sich die Daten konzentrieren, verstanden werden. Ferner ordnet der FCM
Algorithmus jedem Objekt einen Zugehörigkeitswert zwischen null und eins zu jedem Clus-
terzentrum zu. Auf diese Weise können Objekte zu einem gewissen Grad mehreren Klassen
angehören und erlauben somit eine realistischere Zuordnung der Objekte. Ein hoher Zugehö-
rigkeitswert zeigt an, dass das Objekt sehr nah an einem Clusterzentrum liegt, ein niedriger
Wert deutet auf eine unklare Klassi�zierung hin.
Neben dem Einsatz zur Vorbereitung von Entscheidungen in der Planung, �ndet die Fuzzy
Datenanalyse auch in der Produktionssteuerung Anwendung. Ludwig (2000) [17] beschreibt
ausführlich die Umsetzung eines Prozessüberwachungssystems basierend auf Datenanalysever-
fahren an einem konkreten Beispiel. Der untersuchte Prozess ist das spanlose Formen von
Gewinden von Leitungsverbindern. Ziel ist es den Einsatz falscher oder verschlissener Form-
werkzeuge oder Kühlschmiermittel, während eines Formprozesses zu erkennen und somit die
Herstellung qualitativ schlechter Halbzeuge zu vermeiden. Ausgehend von den gemessenen Da-
ten zur Prozessüberwachung werden alle Überlegungen erläutert, die letztlich zur Mermalsaus-
wahl führen. Daraufhin werden diverse Datenanalyseverfahren, darunter das FCM Verfahren,
auf das gegebene Beispiel angewendet und gegenübergestellt.
3.2 Wissensbasierte Methoden
Wissensbasierte Ansätze nutzen die Theorie der unscharfen Mengen zur Abbildung menschli-
chen Erfahrungswissens. Dadurch gelingt es Expertenwissen einem elektronischen Datenverar-
beitungssystem zugänglich zu machen. Es wird versucht nicht vorhandene oder nur ine�ektive
3 ANWENDUNGEN IN DER PRODUKTIONSPLANUNG 15
algorithmische Methoden durch menschliches Wissen zu ersetzen. Wissensbasierte Methoden
müssen im wesentlichen die folgenden Funktionen erfüllen [3]:
Sie müssen in der Lage sein Wissen aufzubauen (Wissensakquisition) und dieses Wissen in
einer Wissensbasis in geeigneter Form festzuhalten (Wissensdokumentation). In der sogenann-
ten Inferenzmaschine (Problemlöser) erfolgt die Wissensverarbeitung. Ziel ist es linguistisch
vorhandenes Expertenwissen inhaltserhaltend zu verarbeiten und zu einer Lösung zu kommen.
Weiterhin müssen entsprechende Systeme eine Übersetzung von numerischen Informationen
in linguistische Ausdrücke ermöglichen (Fuzzy�zierung) und umgekehrt Zugehörigkeitsfunk-
tionen in scharfe Werte oder linguistische Informationen übersetzen können.
Im Folgenden werden mit den Expertensystemen und der Fuzzy Regelung vom Prinzip her
zwei sehr ähnliche Umsetzungen der wissensbasierenden Methoden vorgestellt. Sie unterschei-
den sich jedoch deutlich in ihren Anwendungsgebieten. Da sich die Expertensysteme aufgrund
ihres Charakters sehr viel besser zur Entscheidungsunterstützung in der Planung eignen, liegen
sie im Folgenden im Fokus. Die Fuzzy Regelung als allgemein am weitesten verbreite Anwen-
dung der der Fuzzy Logic [14] wird im Anschluss zur Vollständigkeit kurz erläutert. Wie in
Abschnitt 3.1.3 erwähnt existieren auch wissensbasierte Datenanalyseverfahren. An dieser Stel-
le wird jedoch nicht weiter darauf eingegangen. Der interessierte Leser sei an Zimmermann
(1993) [3] verwiesen.
3.2.1 Expertensysteme
Anders als typische Verfahren der Planungslehre dienen Expertensysteme nicht der Unterstüt-
zung von Experten bei der Entscheidungs�ndung. Vielmehr modellieren sie das Wissen und
die Herangehensweise zur Problemlösung von Experten und machen somit dessen Erfahrungs-
wissen auch unerfahrenen Anwendern zugänglich. Im Folgenden wird zunächst versucht eine
De�nition für Expertensysteme zu �nden um dann anhand eines schematischen Diagramms
die Struktur zu erklären. Nachdem kurz auf die Unschärfemodellierung in Expertensystemen
eingegangen worden ist, wird abschlieÿend an einem einfachen Beispiel aus der Produktions-
planung die Funktionsweise von Expertensystemen erläutert.
3.2.1.1 De�nition und Aufbau von Expertensystemen Da es schwierig ist eine klare
und prägnante De�nition für Expertensysteme anzugeben, soll ihre Charakteristik im An-
schluss durch eine Au�istung von Eigenschaften und Anforderungen erläutert werden [4]:
• Das Wissen sowie die Problemlösungsmethodik von Expertensystemen sind streng an-
wendungsspezi�sch.
• Expertensysteme greifen auf die Konzepte von Wissensbasis und Inferenzmaschine zu-
rück und sollten die Denkweise eines menschlichen Experten simulieren.
3 ANWENDUNGEN IN DER PRODUKTIONSPLANUNG 16
• Die Wissensübertragung auf die Wissensbasis sollte schnell und direkt möglich sein.
Weiterhin sollte die Wissensbasis eine einfache Erweiterbarkeit sowie Modi�kation er-
möglichen.
• Nach Möglichkeit ist die Schlussfolgerung eines Expertensystems für den Nutzer nach-
zuvollziehen.
• Ein Expertensystem sollte auch bei Vorhandensein von Unschärfe oder unvollständigen
Informationen in der Lage sein Schlüsse zu ziehen.
Es existiert eine Vielzahl von schematischen Darstellung zur Struktur von Expertensystemen.
Die nachfolgende Abbildung (Abb. 3.2) hat das Strukturdiagramm für Expertensysteme aus
Zimmermann (1991) [4] zum Vorbild.
Die 5 Hauptbestandteile des Expertensystem sind im Einzelnen:
Abbildung 3.2: Struktur Expertensystem
Wissensakquisitionsmodul
Die Wissensakquisitionskomponente unterstützt den Aufbau einer bereichsbezogenen Wissens-
basis. Durch weitreichende Interaktion von Experte und Wissensingenieur wird versucht das
relevante Wissen zu extrahieren und geeignet im System zu repräsentieren. Eine gute Einfüh-
rung zum Thema Wissensakquisition in einem Expertensystem bietet der Seminarband [18].
Wissensbasis
Die Wissensbasis enthält das über das Wissensakquisitionsmodul eingegebene anwendungsbe-
zogene Fachwissen. Generell besteht die Möglichkeit das Expertensystem so zu gestalten, dass
die Wissensbasis austauschbar ist. Das bedeutet, dass es mehrere Wissensbasen mit verschiede-
3 ANWENDUNGEN IN DER PRODUKTIONSPLANUNG 17
nen Anwendungsbereichen geben kann, welche dann je nach Bedarf in das Expertensystem im-
plementiert werden. Es haben sich eine Reihe von Repräsentationsformen zur Darstellung des
aufgebauten Wissens entwickelt. Am weitesten verbreitet sind dabei die sogenannten Produk-
tionsregeln. Wissen wird hierbei durch Handlungsanweisungen in Form von Regeln abgebildet.
Einer oder mehreren Vorbedingungen (WENN ...) folgt entsprechend die Aktion (DANN ...)
wie zum Beispiel in: WENN (Priorität IST dringlich) UND (Auslastung IST niedrig) DANN
Auftrag einplanen. Weitere Formen der Wissensrepräsentation sind semantische Netze und
Frames. Der Seminarband [18] der Universität Dortmund bietet auch zur Wissensbasen und
Wissensrepräsentation weiterführende Informationen.
Inferenzmaschine
Die Inferenzmaschine (auch Problemlösungskomponente) nutzt das repräsentierte Wissen um
zu einer Schlussfolgerung zu kommen. Sie enthält das allgemeine Problemlösungswissen des
Systems und steuert den Lösungsprozess. Je nach Anwendung und Art der Wissensrepräsen-
tation gibt es verschiedene implementierbare Inferenzverfahren. Dabei ist die Auswahl eines
geeigneten Verfahrens keine triviale Aufgabe. Vielmehr erfolgt sie überwiegend normativ [3].
Erklärungsmodul
Das Erklärungsmodul dient dem Endnutzer eines Expertensystems die gefundene Problemlö-
sung nachzuvollziehen. Es muss also eine Analyse der Inferenzverfahrensschritte durchführen,
die zur Lösung geführt haben. In einem regelbasierten System, könnten beispielsweise die be-
nutzten Regeln in aufbereiteter Form mit ausgegeben werden.
Dialogmodul
Die Dialogkomponente stellt die angepasste Schnittstelle zwischen Benutzer und System dar.
Hier gibt der Nutzer seine Anfragen ein und kann so interaktiv zu einer Problemlösung kom-
men.
3.2.1.2 Unschärfe in Expertensystemen Der Einsatz der Fuzzy Set Theorie verspricht
gerade bei Expertensystemen, aufgrund ihrer Funktion der Modellierung menschlicher Pro-
blemlösungsmethodik, zu einer gesteigerten Leistungsfähigkeit zu führen [4]:
1. Das Expertenwissen der Wissensbasis liegt gewöhnlich nur in Gestalt von verbalen Aus-
sagen in natürlicher Sprache vor. Die Kommunikation zwischen Experte und System
sowie zwischen Nutzer und System sollte ebenfalls in natürlicher Sprache erfolgen. Dies
führt zu einem e�ektiven und direkten Transfer des Expertenwissens in die Wissensbasis
sowie zu einer erhöhten Akzeptanz des Nutzers. Durch den Einsatz von linguistischen
Variablen kann diese Anforderung erfüllt werden.
2. Die Wissensbasis von Expertensystemen ist ein Quelle menschlichen Wissens. Da
3 ANWENDUNGEN IN DER PRODUKTIONSPLANUNG 18
menschliches Wissen meistens von Natur aus unpräzise ist, ist die Wissensbasis gewöhn-
lich eine Ansammlung von Regeln und Fakten, die zum überwiegenden Teil weder absolut
bestimmt noch einheitlich sind. Unscharf formulierte Regeln sind zum Beispiel ein Weg
derartiges unscharfes Wissen abzubilden.
3. In dem Versuch menschliches Problemlösungsverhalten zu simulieren muss ebenso be-
rücksichtigt werden, dass sich menschliche Schlussfolgerungsmethoden von den Schlieÿ-
verfahren der dualen Logik unterscheiden. Um menschliche Denkweisen nachemp�nden
zu können muss die Inferenzmaschine demnach in der Lage sein, die Übertragung der
Unschärfe von den Voraussetzungen (Prämisse) zu den Schlussfolgerungen (Konklusi-
on) einer Regel auszuwerten und die Schlussfolgerung mit einem verständlichen Unsi-
cherheitsgrad zu versehen. Dies gelingt durch die Auswahl geeigneter Operatoren zur
Auswertung unscharfer Mengen. Weiterhin werden in einem regelbasierten Fuzzy Ex-
ptertensystem anders als in klassischen Systemen alle vorhandenen Regeln ausgewertet
(siehe Abschnitt 2.1).
3.2.1.3 Beispiel eines einfachen Fuzzy Expertensystems Zum besseren Verständnis
ist es ausgesprochen hilfreich sich die Funktionsweise eines Fuzzy Expertensystems an einem
einfachen Beispiel anzusehen. Der Kern eines Expertensystem besteht aus Wissensbasis, Infe-
renzmaschine und Dialogmodul. In der nachfolgenden Abbildung 3.3 ist dieser Kern dargestellt,
wobei die Funktion der Inferenzmaschine zusätzlich um die Vorgänge der Fuzzy�zierung und
der Defuzzy�zierung erweitert wurde. Im Folgenden wird zur Veranschaulichung der Arbeits-
Abbildung 3.3: Expertensystemkern
weise von Expertensystemen auf dieses reduzierte System zurückgegri�en. Bei dem gewählten
Beispiel handelt es sich um ein System zur Unterstützung der Produktionsauftragsplanung.
Die Wissensbasis soll dabei regelbasiert sein. Sie enthält zwei Produktionsregeln:
1. Regel: WENN Auftragspriorität sehr dringlich UND Kapazitätsauslastung niedrig
DANN Auftrag sofort einplanen
2. Regel: WENN Auftragspriorität dringlich UND Kapazitätsauslastung mittel DANN Auf-
trag bald einplanen
3 ANWENDUNGEN IN DER PRODUKTIONSPLANUNG 19
Die Auftragspriorität wird üblicherweise in Tagen Schlupfzeit angegeben, während die Kapazi-
tätsauslastung hier einfach in Prozent angenommen wird. Das Einplanungsdatum des Auftrags
soll schlieÿlich ebenfalls in Tagen vom Ausgangszeitpunkt angenommen werden.
Die Zugehörigkeitsfunktionen für die linguistischen Variablen der Regeln wurden festgelegt
und sind in der Wissensbasis abgelegt (siehe auch Abb.3.4). Über das Dialogmodul erfolgt die
Eingabe von konkreten Werten für die Vorbedingung der Regeln. Mithilfe der entsprechenden
Zugehörigkeitsfunktionen werden diese scharfen Werte fuzzy�ziert und in Zugehörigkeitsgrade
transformiert. Daran anschlieÿend wird die Inferenz durchgeführt. Nach Adamy (2007) [19]
kann der Inferenzvorgang in 3 drei Teilschritte aufgespalten werden.
1. Aggregation: Ausführung aller logischen Verknüpfungen der Vorbedingung (Prämisse)
2. Implikation: Ausführung der WENN-DANN-Verknüpfung (Schlussfolgerung)
3. Akkumulation: Zusammenfassung der einzelnen Implikationsergebnisse
In unseren Beispielregeln sind die linguistischen Werte der Vorbedingung UND-verknüpft.
Wie in Abschnitt 2.1 beschrieben ist der Minimum-Operator (min(a,b)) eine mögliche un-
scharfe Äquivalenz zur logischen UND-Verknüpfung der dualen Logik. Um das Beispiel ein-
fach zu halten, wird an dieser Stelle der Minimum-Operator zur UND-Verknüpfung gewählt.
Der Grad der Vorbedingung wird daher durch das Minimum der Zugehörigkeitsgrade der bei-
den Eingangsgröÿen Auftragspriorität und Kapazitätsauslastung bestimmt (Aggregation). Der
gewählte minimale Zugehörigkeitsgrad der Vorbedingung muss dann im nächsten Schritt (Im-
plikation) auf den linguistischen Wert der Aktion der Regel übertragen werden. Der dafür
notwendige Implikations-Operator wird je nach Anwendung ausgewählt. In diesem Beispiel
soll erneut der Minimum-Operator Anwendung �nden. Das bedeutet es wird das Minimum
zwischen dem Grad der Vorbedingung und der Zugehörigkeitsfunktion der Aktion gebildet.
Bildlich kann man sich diesen Vorgang als �Abschneiden� der Zugehörigkeitsfunktion der Ak-
tion auf Höhe des Grades der Vorbedingung vorstellen.
Abbildung 3.4 stellt den gesamten Inferenzvorgang gra�sch dar. Im gewählten Beispiel wurde
eine Auftragspriorität von 4,5Tagen und eine Kapazitätsauslastung von 30% angenommen.
Diese Werte gehören jeweils zu einem gewissen Grad zwei linguistischen Variablen an. Im be-
trachteten Fall sind damit beide Regeln zutre�end und so müssen sie auch beide ausgewertet
werden. Da sich die Regeln auf die gleiche Implikationsgröÿe �Auftrag einplanen� beziehen,
müssen die Implikationergebnisse beider Regeln zusammengefasst werden, um die Gesamtzu-
gehörigkeitsfunktion von �Auftrag einplanen� zu bestimmen. Dieser Vorgang heiÿt Akkumu-
lation. Für diese Verknüpfung wird gewöhnlich der Maximum-Operator (max(a,b)) verwendet
[19]. Die rechte Spalte in Abbildung 3.4 stellt diesen Vorgang gra�sch dar. Die Inferenzbildung
ist damit abgeschlossen. Das erhaltene Ergebnis hat nun jedoch die Form einer Zugehörig-
keitsfunktion. Es können also keine direkten Schlüsse aus diesem Ergebnis gezogen werden.
Im letzten Schritt der Defuzzy�zierung muss das Ergebnis demnach noch in eine konkrete
3 ANWENDUNGEN IN DER PRODUKTIONSPLANUNG 20
Abbildung 3.4: Inferenz eines Expertensystms zur Auftragsplanung
Ausgangsgröÿe transfomiert werden. Auch hier können je nach Anwendungsfall wieder ver-
schiedene Methoden mit unterschiedlichen Eigenschaften zum Einsatz kommen. Häu�g wird
die sogenannte Schwerpunkt-Methode gewählt. Dabei wird der Schwerpunkt der Fläche un-
ter der Gesamtzugehörigkeitsfunktion gebildet und der Abzissenwert der Schwerpunktslage
als Ergebnis abgelesen. Das nun diskrete Lösung wird über das Dialogmodul an den Benutz-
ter ausgegeben. Soll das Ergebnis der Inferenz in natürlicher Sprache ausgegeben werden,
so können die Zugehörigkeitsfunktionen der Lösung in das Vokabular des Benutzers übersetzt
werden. Unter linguistischer Approximation versthet man die Übersetzung der errechneten Zu-
gehörigkeitsfunktionen in Terme der linguistischen Variablen, in denen die Ausgabe angegeben
werden soll [3]. Das gewählte Beispiel stellt bereits einen Bezug zur Produktionsplanung her.
In der Realität ist die Auftragsplanung jedoch bei weitem komplexer und von wesentlich mehr
Ein�ussfaktoren abhängig. Problemstellungen dieser Art werden auch mit dem englisch Term
�Scheduling� umschrieben. Unter dem Scheduling von Arbeitsprozessen werden allgemein Tä-
tigkeiten verstanden, bei denen, ausgehend von einer Menge von Aufträgen, ein zeitlicher Plan
aufgestellt wird, der angibt wann und in welcher Reihenfolge die Aufträge bzw. die auszufüh-
renden Aktivitäten (z.B. Operationen und Aktionen) unter Verwendung welcher Ressourcen
3 ANWENDUNGEN IN DER PRODUKTIONSPLANUNG 21
durchgeführt werden sollen. Ziel ist es unter optimaler Ressourcenausnutzung, alle Aufträge
adäquat und rechtzeitig zu bearbeiten. Expertensysteme in Kombination mit der Fuzzy Set
Theorie ermöglichen es Scheduling-Probleme realitätsnah und verständlich zu modellieren. In
der Literatur sind eine Vielzahl von Verö�entlichungen zum diesem Thema zu �nden. Eiden
(2003) [20] zeigt beispielsweise die Vorteile von Fuzzy Expertensystemen gegenüber klassischen
Verfahren auf. Zimmermann (1991) [4] beschreibt in Kapitel 13 allgemein die Anwendung ent-
sprechender Expertensysteme für das Job-Shop Scheduling, sowie im Weiteren den Einsatz
derartiger Systeme am konkreten Beispiel des releasing scheduling und des machine schedu-
ling. In einem weiteren Anwendungsbeispiel beschreiben Thomas und Dollmann (2008) [21]
ein Modellkonzept zur Entscheidungsunterstüzung beim Kapazitätsabgleich.
3.2.1.4 Fallbasierte Expertensysteme Einer der Kernbestandteile der Produktionspla-
nung ist die sogenannte Produktionsprogrammplanung. Hier werden die herzustellenden Er-
zeugnisse nach Art, Menge und Termin für einen de�nierten periodischen Zeitraum (z.B. mo-
natlich) festgelegt. Ziel ist ein verbindlicher Produktionsplan, der festlegt welche Leistungen in
welchen Mengen zu welchen Zeitpunkten produziert werden sollen [1]. Eine Grundvorausset-
zung eines solchen Planes ist die Vorkalkulation des Primärbedarfs an Fertigungsmitteln. Die
Bedarfsplanung in einem Unternehmen ist sehr stark von Erfahrungen und Ähnlichkeiten mit
vorangegangenen Aufträgen oder Produkten gekennzeichnet. Häu�g wird eine solche Vorkal-
kulation eher gefühlsmäÿig oder intuitiv durchgeführt. Dabei bezieht ein erfahrener Disponent
oder Fertigungsplaner Kenntnisse aus früheren ähnlichen Aufträgen (Ergebnisse der Nachkal-
kulation, aufgetretene Probleme) in die Kalkulation für neue Produkte mit ein [2].
Wie unter 3.2.1 angesprochen versuchen Expertensysteme allgemein menschliches Problemö-
sungsverhalten zu simulieren. Es liegt demnach nahe die gerade angesprochene Herangehens-
weise in einem Expertensystem umzusetzen. Aus diesen Überlegungen sind diverse Konzepte
der fallbasierten Wissensverarbeitung entstanden. Kurbel (1999) [2] bietet hierzu weiterfüh-
rende Überlegungen mit Hintergrund der Primärbedarfsplanung. Ein System zur fallbasierten
Unterstützung der Entscheidungs�ndung in der Produktionsplanung müsste in einer Wissens-
basis Informationen von abgeschlossenen Aufträgen festhalten sowie geeignet repräsentieren
und den Anwender darin unterstützen, die Fälle zu �nden, die für gegenwärtige Problem-
situation relevant sind. Fälle der Vergangenheit können beispielsweise mittels ausgewählter
Merkmale (Produktbeschreibung, Form, Gröÿe, Material) beschrieben werden. Um im nächs-
ten Schritt die Fallwissensbasis nach relevanten Fällen durchsuchen zu können, bietet sich der
Einsatz von Fuzzy Datenanalyseverfahren (siehe Abschnitt 3.1.3) an. Sie ermöglichen eine e�-
ziente Klassenbildung sowie eine realistische Klassi�ziertung von abgeschlossenen Fällen unter
Einbeziehung von unscharfem Expertenwissen.
3 ANWENDUNGEN IN DER PRODUKTIONSPLANUNG 22
3.2.2 Fuzzy Regelung
Das Konzept der Fuzzy Regelung (Control) ist der Versuch Expertensysteme auf den Com-
puter zu übertragen. Der in Abbildung 3.3 dargestellte Expertensystemkern bestehend aus
Wissensbasis und Inferenzmaschine stellt dabei den Regler dar. Das Dialogmodul entfällt im
Falle der Regelungsanwendung, da die Eingangsdaten nicht vom Nutzer eingegeben werden
und auch keine Ausgabe erforderlich ist. Stattdessen werden die Eingangsgröÿen von der Re-
gelstrecke abgeleitet und nach der Inferenz als Stellgröÿen wieder der Regelstrecke zugeführt.
Abbildung 3.5 aus [22] stellt diese Grundstruktur des Fuzzy Reglers dar. Die Wissensbasis eines
10 1 Introduction
proposition might assume three values: 1 (true), 2(false), and 1/2 (neuter). Gray
areas were introduced in logic, and finally in 1965, Lotfi Zadeh launched fuzzy
logic by assuming that there are propositions with an infinite number of truth val-
ues in infinitely varying degrees. Any logic then is just a subset of fuzzy logic.
There are two extreme values, 1 (totally true) and 0 (totally false), and a continuum
in between that justifies the term “fuzzy.”
Fuzzy logic, like probability theory, deals with uncertainty, but unlike probabil-
ity, this uncertainty is masked in semantic and subjective ambiguity. Different
people, for instance, judge and evaluate reality differently. Fuzzy logic, again
unlike probability theory, deals with degrees of occurrence, whereas the latter deals
only with occurrence. Take, for example, the sentence “there is a 0.15 probability
to get a good grade in queuing control.” The number 0.15 is a probability, but the
event “good grade” is fuzzy; it is not black or white.
As Zadeh said, fuzzy logic is computation with words and
Fuzzy logic’s primary aim is to provide a formal, computationally-oriented system of
concepts and techniques for dealing with modes of reasoning which are approximate rather
than exact.
Thus, fuzzy logic deals with degrees of truth that are provided in the context of
fuzzy sets by what is called membership functions. To be able to perform logical,
albeit fuzzy, reasoning, fuzzy operators such as OR, AND, IF, and THEN ought to
be defined.
Fuzzy control systems are rule-based systems in which a set of rules, called
fuzzy rules, define a control mechanism to adjust the system. Figure 1.1 shows the
block diagram of a fuzzy logic controller for queues that comprises four principal
components: a fuzzification interface, a knowledge base, an inference engine, and a
defuzzification interface.
The output of the fuzzy logic controller in Figure 1.1 is used to tune the system
parameters according to some predefined program based on the state of the system.
This control mechanism is adaptive.
System under Control Arrivals Departures
non-fuzzy
Fuzzi-fication
Inference
Engine
Defuzzi-fication
Knowledge Base
non-fuzzy fuzzyfuzzy
Fuzzy Controller
Figure 1.1. Block diagram of a fuzzy logic controller for queues.
The aim of fuzzy control systems is normally to substitute for or replace a
skilled human operator with a fuzzy rule-based system. Greater details on fuzzy
Abbildung 3.5: Grundstruktur eines Fuzzy Reglers
Fuzzy Reglers ist in den meisten Fällen regelbasiert. Das in 3.2.1.3 beschriebene Inferenzver-
fahren könnte in ähnlicher Form auch für die Inferenz eines Fuzzy Reglers zur Anwendung
kommen. Generell kommt der Fuzzy Regelung in der Produktionsplanung jedoch kaum eine
Bedeutung zu, weshalb hier auch nicht weiter darauf eingegangen wird. Entscheidungen die
bei Planungsproblemen getro�en werden, sind gewöhnlich nicht nachregelbar. Bei der Planung
handelt sich nicht um einen kontinuierlichen Vorgang, der fortlaufend Messdaten zur Korrektur
der gemachten Entscheidung ausgibt. Das bedeutet einmal gemachte Entscheidungen in der
Planung sind tragend und müssen nach Möglichkeit das Optimum darstellen. Anwendungen
sind jedoch in der Produktionssteuerung denkbar. Zhang (2005) [22] beschäftigt sich ausgiebig
mit dem Fuzzy Queuing Control und beschreibt dabei unter anderem dessen Anwendung in
einer Produktionslinie.
4 ZUSAMMENFASSUNG UND AUSBLICK 23
4 Zusammenfassung und Ausblick
Die Erweiterung der Methoden und Verfahren der Produktionsplanung um die Fuzzy Logic
birgt ein groÿes Potential zur Bewältigung von Unsicherheit. Die Fuzzy Locic kann insbe-
sondere den Kon�ikt zwischen dem hohen Genauigkeitsanspruch der Planung einerseits und
der ungenügenden Qualität der Eingangsdaten anderseits au�ösen. Dies gelingt durch den
expliziten Einbezug der Unsicherheit der Planungsdaten. Die unscharfe Modellierung von Pla-
nungsystemen durch linguistische Variablen sowie unscharfe Operatoren ermöglicht eine bes-
sere Planungssicherheit sowie eine erhöhte E�zienz der Planung.
Im Einzelnen kann bei der Verwendung von wissensbasierten Methoden mit Hilfe der Fuzzy
Set Theorie nur linguistisch vorliegendes menschliches Erfahrungswissen inhaltlich so de�niert
werden, dass es auf EDV-Systemen auch als Wissen (und nicht in veränderter Symbolik) verar-
beitet werden kann. Bei algorithmischen Methoden wie z. B. den unscharfen mathematischen
Programmieren können klassische auf der dualen Logik basierenden Modelle und Verfahren
realen Strukturen angepasst werden.
Die Vielzahl der existierenden Operatoren sowie Arten von Zugehörigkeitsfunktionen können
zu sehr viel realistischeren Modellen führen als das ohne Fuzzy Logic erreichbar ist. Dabei soll
jedoch nicht vergessen werden, dass auch diverse Nachteile erkennbar sind. Die Vielzahl der
vorhandenen Operatoren und möglichen Zugehörigkeitsfunktionen setzt gleichzeitig eine grö-
ÿere Anwendungserfahrung oder aber eine umfangreichere empirische Untersuchung voraus,
die dann zusätzliche Kosten verursacht. Der Einsatz der Fuzzy Logic ergibt also besonders
dann Sinn, wenn das nötige Erfahrungswissen genauso wie das entsprechende Know-How zur
Wissensrepräsentation bereits vorhanden ist.
Ein weiterer Nachteil ist der generell erhöhte Informationsverarbeitungsaufwand hervorgeru-
fen durch die Fuzzy Logic. Die Verwendung von Zugehörigkeitsfunktionen an der Stelle von
Zahlen erhöht automatisch die zu verbeitenden Informationsmenge. Um die Menge der zu
verarbeitenden Informationen auf ein akzeptables Maÿ zu reduzieren bedarf es zusätzlicher
Anstrengungen und gezielter Vereinfachungen [3].
Man darf erwarten, dass gerade der Fuzzy Datenanalyse in Zukunft in besonderem Maÿe mehr
Bedeutung zukommt. Aufgrund der groÿen unscharfen Datenmengen welche bei der Produt-
kionsplanung anfallen, ist eine e�ziente Klassenbildung sowie Klassi�zierung der Daten als
Vorstufe von Expertensystemen oder Entscheidungsunterstützungsystemen notwendig. Fuzzy
Datenanalyseverfahren können dies bewerkstelligen. Weiterhin sind besonders Expertensys-
teme vielversprechend, wenn es darum geht menschliche Problemlösungsmethodiken für die
Produktionsplanung zu simulieren. Hierbei besteht jedoch immer noch Nachholbedarf auf dem
Gebiet der Wissensakquisition, linguistischen Approximation sowie der Fuzzy Inferenzverfah-
ren und deren Erklärungskomponenten.
LITERATUR 24
Literatur
[1] Holger Luczak, Martin S.: Produktionsplanung und -steuerung. Berlin, Heidelberg,New York, Tokio : Springer Verlag, 1998
[2] Kurbel, Karl: Produktionsplanung und -steuerung. München : Oldenbourg Verlag, 1993
[3] Zimmermann, H.-J.: Fuzzy Technologien. Düsseldorf : VDI-Verlag GmbH, 1993
[4] Zimmermann, H.-J.: Fuzzy Set Theory - and Its Applications. 2. Bo-ston,Dordrecht,London : Kulwer Academic Publishers, 1991
[5] Zimmermann, H.-J.: Operations Research. 2. Wiesbaden : Vieweg, 2008
[6] Hintz, Gerd-Wolfgang: Ein Wissensbasiertes System zur Produktionsplanung und -Steuerung für �exible Fertigungssysteme. Reihe 2: Fertigungstechnik Nr.128. Düsseldorf: VDI Verlag, 1987
[7] H.-J. Zimmermann, B.R. G.: Fuzzy Sets and Decision Analysis. 20. Amsterdam : NorthHolland, 1984
[8] N. Singh, B.K. M.: A fuzzy approach to multi-objective routing problem with applicationsto process planning in manufacturing systems. Vol., 29 No., 6 1161-1170. InternationalJournal of Production Research, 1991
[9] Kahraman, Cengiz: Fuzzy Applications in Industrial Engineering. 1. Berlin, Heidelberg,New York, Tokio : Springer Verlag, 2006
[10] Rao, R. V.: Decision Making in the Manufacturing Environment. Berlin, Heidelberg,New York, Tokio : Springer Verlag, 2007
[11] Lipp, H.-P.: Ein Fuzzy-Konzept für die Produktionssteuerung in Fertigungs- und Monta-gesystemen. VDI Berichte 1084. Düsseldorf : VDI Verlag, 1993
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