Gegenstände der Geometrie. Objekte der Geometrie © Beutelspacher Dezember 2003 Seite 2 Inhalt...

Gegenstände der GeometrieGegenstände der Geometrie

Objekte der Geometrie © Beutelspacher

Dezember 2003Seite 2

InhaltInhalt

• Quadrat

• Kreis

• Würfel

• Das Pentagramm

• Parkette

• ---

• Quadrat

• Kreis

• Würfel

• Das Pentagramm

• Parkette

• ---



1. Das Quadrat1. Das Quadrat

Gerade Linien in der Natur?

Lichtstrahlen, fallende Körper, Wasseroberfläche, …

Faltkanten.

Rechte Winkel in der Natur?

„Schwerkraft zu Oberfläche“: Fallende Wassertropfen, ruhendes Pendel, … (daher der Name „Lot“ bzw. „lotrecht“).

Spiegelbild, …

auf sich selbst gefaltete gerade Linie

Gerade Linien in der Natur?

Lichtstrahlen, fallende Körper, Wasseroberfläche, …

Faltkanten.

Rechte Winkel in der Natur?

„Schwerkraft zu Oberfläche“: Fallende Wassertropfen, ruhendes Pendel, … (daher der Name „Lot“ bzw. „lotrecht“).

Spiegelbild, …

auf sich selbst gefaltete gerade Linie



Das QuadratDas Quadrat

• Durch Falten erhält man ein Rechteck

• Aus einem Rechteck erhält man durch Falten ein Quadrat, dessen

Seite gleich der kürzeren Seite des Rechtecks ist.

• Durch Falten erhält man ein Rechteck

• Aus einem Rechteck erhält man durch Falten ein Quadrat, dessen

Seite gleich der kürzeren Seite des Rechtecks ist.



Symmetrien eines QuadratsSymmetrien eines Quadrats

• Man kann Spiegelsymmetrie dadurch entdecken, dass man entlang

der Spiegelachse faltet und die Figur mit sich selbst zur Deckung

bringt.

• Ein Quadrat hat 4 Symmetrieachsen: 2 Diagonalen und 2

Verbindungen gegenüberliegender Seitenmitten.

• Man kann Spiegelsymmetrie dadurch entdecken, dass man entlang

der Spiegelachse faltet und die Figur mit sich selbst zur Deckung

bringt.

• Ein Quadrat hat 4 Symmetrieachsen: 2 Diagonalen und 2

Verbindungen gegenüberliegender Seitenmitten.



Aus einem Quadrat ein anderesAus einem Quadrat ein anderes

• Das Quadrat über der Diagonale hat die doppelte Fläche („ist

doppelt so groß“).

• Das Quadrat über der halben Diagonale hat die halbe Fläche („ist

halb so groß“).

• Das Quadrat über der Diagonale hat die doppelte Fläche („ist

doppelt so groß“).

• Das Quadrat über der halben Diagonale hat die halbe Fläche („ist

halb so groß“).



Fact sheet QuadratFact sheet Quadrat

Definition. Ein Quadrat ist ein Viereck mit gleichlangen Seiten und

gleichgroßen Winkeln.

Alle Winkel eines Quadrats sind rechte Winkel.

Wir betrachten ein Quadrat der Seitenlänge a.

• A = a2, U = 4a.

• Länge der Diagonale: a∙2.

Insbesondere: Bei einem Quadrat der Seitenlänge 1 hat die

Diagonale die Länge 2.

Definition. Ein Quadrat ist ein Viereck mit gleichlangen Seiten und

gleichgroßen Winkeln.

Alle Winkel eines Quadrats sind rechte Winkel.

Wir betrachten ein Quadrat der Seitenlänge a.

• A = a2, U = 4a.

• Länge der Diagonale: a∙2.

Insbesondere: Bei einem Quadrat der Seitenlänge 1 hat die

Diagonale die Länge 2.



2. Der Kreis2. Der Kreis

Runde Dinge in der Welt?

Durch Wachsen: Pflanzen, Bäume (Jahresringe), Äpfel, Pilze, …

Durch „Physik“: Stein fällt ins Wasser, Schleuderbewegung, Sonne,

Planeten, …

Durch Abrollen: Rad, Lawine, …

Durch den Herstellungsprozess: Vasen, Teller, Flaschen, Dosen,

Pizzateig, …

Sowie: Pupillen, Brillengläser, Fingerringe, Rundtanz, …

Runde Dinge in der Welt?

Durch Wachsen: Pflanzen, Bäume (Jahresringe), Äpfel, Pilze, …

Durch „Physik“: Stein fällt ins Wasser, Schleuderbewegung, Sonne,

Planeten, …

Durch Abrollen: Rad, Lawine, …

Durch den Herstellungsprozess: Vasen, Teller, Flaschen, Dosen,

Pizzateig, …

Sowie: Pupillen, Brillengläser, Fingerringe, Rundtanz, …



Wie kann man einen Kreis herstellen?Wie kann man einen Kreis herstellen?

• Durch Übertragen eines schon vorhandenen Kreises (Teller, …)

Dazu braucht man den Mittelpunkt nicht zu kennen

• Durch Abrollen (Teig, Knete, …)

• Punkte gleichen Abstands um den Mittelpunkt: Schnur, Zirkel, …,

Hammerwurf, … Mond um Erde, …

• Durch Übertragen eines schon vorhandenen Kreises (Teller, …)

Dazu braucht man den Mittelpunkt nicht zu kennen

• Durch Abrollen (Teig, Knete, …)

• Punkte gleichen Abstands um den Mittelpunkt: Schnur, Zirkel, …,

Hammerwurf, … Mond um Erde, …



DurchmesserDurchmesser

Die längste Strecke, die zwei Punkte einer Kreislinie verbindet, ist

der Durchmesser; er geht durch den Mittelpunkt des Kreises.

Jeder Durchmesser ist eine Symmetrieachse des Kreises.

Der Kreis hat unendlich viele Symmetrieachsen.

Die längste Strecke, die zwei Punkte einer Kreislinie verbindet, ist

der Durchmesser; er geht durch den Mittelpunkt des Kreises.

Jeder Durchmesser ist eine Symmetrieachse des Kreises.

Der Kreis hat unendlich viele Symmetrieachsen.



Fact sheet KreisFact sheet Kreis

Definition. Ein Kreis ist der Ort aller Punkte, die den gleichen

Abstand von einem festen Punkt („Mittelpunkt“) haben.

A = r2,

U = 2r.

ist „transzendent“. Das bedeutet insbesondere, dass man mit

Zirkel und Lineal zu einem Kreis kein flächengleiches Quadrat

konstruieren kann (Unmöglichkeit der „Quadratur des Kreises“).

Definition. Ein Kreis ist der Ort aller Punkte, die den gleichen

Abstand von einem festen Punkt („Mittelpunkt“) haben.

A = r2,

U = 2r.

ist „transzendent“. Das bedeutet insbesondere, dass man mit

Zirkel und Lineal zu einem Kreis kein flächengleiches Quadrat

konstruieren kann (Unmöglichkeit der „Quadratur des Kreises“).



3. Der Würfel3. Der Würfel

• Vorkommen in der Natur: Kristalle

• Vorkommen in der Kultur: Mekka

• Herstellung einer Ebene

• Das Wort „Würfel“ kommt von „würfeln“. Wenn man nur das

entsprechende geometrische Objekt meint, spricht man oft auch von

einem Hexaeder (= Sechsflächner). (Man kann auch mit einem

Tetraeder „würfeln“.)

• Vorkommen in der Natur: Kristalle

• Vorkommen in der Kultur: Mekka

• Herstellung einer Ebene

• Das Wort „Würfel“ kommt von „würfeln“. Wenn man nur das

entsprechende geometrische Objekt meint, spricht man oft auch von

einem Hexaeder (= Sechsflächner). (Man kann auch mit einem

Tetraeder „würfeln“.)



WürfelnetzeWürfelnetze

• Ein Netz ist ein „zusammenhängender Bastelbogen“. D.h. ein Netz

ist eine ebene Figur, deren Teile die Seitenflächen sind, so dass

man sie zu dem räumlichen Objekt (hier: Würfel) zusammenfalten

kann.

• Es gibt genau 11 verschiedene Würfelnetze.

• Wenn man einen Würfel konkret baut, braucht man auch Klebefalze.

Wie viele?

• Ein Netz ist ein „zusammenhängender Bastelbogen“. D.h. ein Netz

ist eine ebene Figur, deren Teile die Seitenflächen sind, so dass

man sie zu dem räumlichen Objekt (hier: Würfel) zusammenfalten

kann.

• Es gibt genau 11 verschiedene Würfelnetze.

• Wenn man einen Würfel konkret baut, braucht man auch Klebefalze.

Wie viele?



Fact sheet WürfelFact sheet Würfel

• Ein Würfel hat 6 Flächen, 8 Ecken, 12 Kanten.

• (Es gilt die Eulersche Polyederformel:

Anz. Ecken – Anz. Kanten + Anz. Flächen = 2.)

• Ein Würfel der Kantenlänge a hat das Volumen V = a3 und die

Oberfläche O = 6a2.

• Ein Würfel hat 3+6 Symmetrieebenen.

• Der Würfel hat eine „dreizählige“ Drehsymmetrie um die

Raumdiagonalen.

• Es gibt 4 Raumdiagonalen; diese haben die Länge a3.

• Ein Würfel hat 6 Flächen, 8 Ecken, 12 Kanten.

• (Es gilt die Eulersche Polyederformel:

Anz. Ecken – Anz. Kanten + Anz. Flächen = 2.)

• Ein Würfel der Kantenlänge a hat das Volumen V = a3 und die

Oberfläche O = 6a2.

• Ein Würfel hat 3+6 Symmetrieebenen.

• Der Würfel hat eine „dreizählige“ Drehsymmetrie um die

Raumdiagonalen.

• Es gibt 4 Raumdiagonalen; diese haben die Länge a3.



Berühmtes Problem: Verdoppelung des WürfelsBerühmtes Problem: Verdoppelung des Würfels

Kann man – nur mit Zirkel und Lineal – zu einem gegebenen Würfel

einen Würfel mit genau doppeltem Volumen konstruieren?

Antwort: Nein! Das kann man mathematisch beweisen!

Kann man – nur mit Zirkel und Lineal – zu einem gegebenen Würfel

einen Würfel mit genau doppeltem Volumen konstruieren?

Antwort: Nein! Das kann man mathematisch beweisen!



Würfel: AufgabenWürfel: Aufgaben

Wenn man einen Würfel mit einem geraden Schnitt durchschneidet,

welche der folgenden Schnittflächen können dann auftreten?

Gleichseitiges Dreieck, Gleichschenkliges, aber nicht gleichseitiges

Dreieck, Quadrat, Rechteck (kein Quadrat), reguläres Sechseck?

Wenn man einen Würfel mit einem geraden Schnitt durchschneidet,

welche der folgenden Schnittflächen können dann auftreten?

Gleichseitiges Dreieck, Gleichschenkliges, aber nicht gleichseitiges

Dreieck, Quadrat, Rechteck (kein Quadrat), reguläres Sechseck?



4. Das Pentagramm4. Das Pentagramm

Pentagramm = 5-zackiger, regelmäßiger Stern

(griech.) penta = fünf

Auftreten:

Weihnachtssterne

Sterne auf Flaggen (U.S.A., …)

Symbol für Pythagoräer, RAF, San Pellegrino, …

Pentagramm = 5-zackiger, regelmäßiger Stern

(griech.) penta = fünf

Auftreten:

Weihnachtssterne

Sterne auf Flaggen (U.S.A., …)

Symbol für Pythagoräer, RAF, San Pellegrino, …



Pentagramm: EigenschaftenPentagramm: Eigenschaften

Zeichnen: Achte auf „durchgehende“ Linien!

Wenn man die Spitzen verbindet, erhält man ein reguläres Fünfeck.

Falten eines Fünfecks

Umgekehrt: Wenn man in ein reguläres Fünfeck seine Diagonalen

zeichnet, erhält man ein Pentagramm.

Im „Innern“ eines Pentagramms erkennt man ein reguläres Fünfeck,

in diesem wieder ein Pentagramm, in diesem wieder ein Fünfeck

usw. usw.

Zeichnen: Achte auf „durchgehende“ Linien!

Wenn man die Spitzen verbindet, erhält man ein reguläres Fünfeck.

Falten eines Fünfecks

Umgekehrt: Wenn man in ein reguläres Fünfeck seine Diagonalen

zeichnet, erhält man ein Pentagramm.

Im „Innern“ eines Pentagramms erkennt man ein reguläres Fünfeck,

in diesem wieder ein Pentagramm, in diesem wieder ein Fünfeck

usw. usw.



Fact sheet PentagrammFact sheet Pentagramm

Das Pentagramm ist in enger Weise mit dem „goldenen Schnitt“

verbunden. (Dieser ist als Zahl etwa gleich 0,618… D.h. ein Punkt

teilt eine Strecke im goldenen Schnitt, wenn er bei etwa 61,8% der

Strecke liegt.)

Die inneren Ecken teilen die Strecke „Spitze zu Spitze“ im goldenen

Schnitt.

Das Verhältnis einer Strecke „Spitze zu Spitze“ zu der

Verbindungsstrecke von zwei nebeneinander liegenden Spitzen ist

der goldene Schnitt.

Usw.

Das Pentagramm ist in enger Weise mit dem „goldenen Schnitt“

verbunden. (Dieser ist als Zahl etwa gleich 0,618… D.h. ein Punkt

teilt eine Strecke im goldenen Schnitt, wenn er bei etwa 61,8% der

Strecke liegt.)

Die inneren Ecken teilen die Strecke „Spitze zu Spitze“ im goldenen

Schnitt.

Das Verhältnis einer Strecke „Spitze zu Spitze“ zu der

Verbindungsstrecke von zwei nebeneinander liegenden Spitzen ist

der goldene Schnitt.

Usw.



5. Parkette5. Parkette

Vorbilder: Bienenwaben, Schachbrett, Fliesen, Pflastersteine, …

Idee: Man möchte die ein beliebig großes Stück der Ebene

überdecken.

Definition: Ein Parkett besteht aus Parkettsteinen, die insgesamt

die gesamte Ebene lückenlos und überschneidungsfrei überdecken.

Vorbilder: Bienenwaben, Schachbrett, Fliesen, Pflastersteine, …

Idee: Man möchte die ein beliebig großes Stück der Ebene

überdecken.

Definition: Ein Parkett besteht aus Parkettsteinen, die insgesamt

die gesamte Ebene lückenlos und überschneidungsfrei überdecken.



Reguläre ParketteReguläre Parkette

Wir betrachten nur Parkette

… aus Vielecken,

… bei denen je zwei Parkettsteine überhaupt nicht, in einer Ecke

oder eine ganzen Kante übereinstimmen.

Definition. Ein Parkett heißt regulär, wenn jeder Parkettstein ein

reguläres n-Ecke ist (jeweils dasselbe n).

Beispiele von regulären Parketten: n = 6 (Typ „Bienenwaben“), n = 4

(Typ „Schachbrett“), n = 3 (Typ „Halmabrett“).

Wir betrachten nur Parkette

… aus Vielecken,

… bei denen je zwei Parkettsteine überhaupt nicht, in einer Ecke

oder eine ganzen Kante übereinstimmen.

Definition. Ein Parkett heißt regulär, wenn jeder Parkettstein ein

reguläres n-Ecke ist (jeweils dasselbe n).

Beispiele von regulären Parketten: n = 6 (Typ „Bienenwaben“), n = 4

(Typ „Schachbrett“), n = 3 (Typ „Halmabrett“).



Charakterisierung regulärer ParketteCharakterisierung regulärer Parkette

Satz (Kepler). Die einzigen regulären Parkette sind die aus

Dreiecken, Quadraten oder Sechsecken.

Beweis. Idee: Betrachte die Situation an einer Ecke. Dort müssen

mindestens 3 Parkettsteine zusammenkommen.

n = 5: Drei Steine sind zu wenig, vier schon zuviel.

n > 6: Schon drei Steine an einer Ecke sind zu viel.

Bemerkung: Im allgemeinen gibt es unglaublich viele verschiedenen

Parkette. Ihre Entdeckung und Beschreibung ist ein blühendes

mathematisches Forschungsgebiet.

Satz (Kepler). Die einzigen regulären Parkette sind die aus

Dreiecken, Quadraten oder Sechsecken.

Beweis. Idee: Betrachte die Situation an einer Ecke. Dort müssen

mindestens 3 Parkettsteine zusammenkommen.

n = 5: Drei Steine sind zu wenig, vier schon zuviel.

n > 6: Schon drei Steine an einer Ecke sind zu viel.

Bemerkung: Im allgemeinen gibt es unglaublich viele verschiedenen

Parkette. Ihre Entdeckung und Beschreibung ist ein blühendes

mathematisches Forschungsgebiet.



4. Die Pyramide4. Die Pyramide

Eine Pyramide hat eine Spitze und eine Grundfläche.

Die Grundfläche ist (meist) ein reguläres n-Eck. Man spricht von

einer n-seitigen Pyramide.

Bei den ägyptischen Pyramiden ist die Grundfläche ein Quadrat.

Die Seitenflächen sind n kongruente gleichschenklige Dreiecke.

Eine Pyramide hat eine Spitze und eine Grundfläche.

Die Grundfläche ist (meist) ein reguläres n-Eck. Man spricht von

einer n-seitigen Pyramide.

Bei den ägyptischen Pyramiden ist die Grundfläche ein Quadrat.

Die Seitenflächen sind n kongruente gleichschenklige Dreiecke.



Daten CheopsyramideDaten Cheopsyramide

• Erbaut ca. 2000 v. Chr.

• Grundseite 230 m, Höhe 146 m (jetzt 137 m)

• 2,5 Millionen m3 Mauerwerk

• Erbaut ca. 2000 v. Chr.

• Grundseite 230 m, Höhe 146 m (jetzt 137 m)

• 2,5 Millionen m3 Mauerwerk



Fact Sheet PyramideFact Sheet Pyramide

Oberfläche = Fläche der Grundseite + n × Fläche der

Seitendreiecke

Volumen = 1/3 × Grundfläche × Höhe

Aufgaben: 1. Welche Maße muss ein gleichschenkliges Dreieck

haben, damit es Seitenfläche einer Pyramide mit gegebener

Grundseite sein kann?

2. Entwerfen Sie einen Bastelbogen für eine 5-seitige Pyramide.

Oberfläche = Fläche der Grundseite + n × Fläche der

Seitendreiecke

Volumen = 1/3 × Grundfläche × Höhe

Aufgaben: 1. Welche Maße muss ein gleichschenkliges Dreieck

haben, damit es Seitenfläche einer Pyramide mit gegebener

Grundseite sein kann?

2. Entwerfen Sie einen Bastelbogen für eine 5-seitige Pyramide.

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