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Vorlesung

Geomaterialien

2. Doppelstunde

Kristallographische Grundlagen

Prof. Dr. F.E. Brenker

Institut für Geowissenschaften

FE Mineralogie

JWG-Universität Frankfurt

Translation: Verschiebung, Struktur kommt mit sich zur

Deckung

Richtung und Betrag der Verschiebung beibehalten!

Vektor => a und b sind Basisvektoren

Netzebene

Translation in dritte Dimension ergibt das Raumgitter (dreidimensionales Gitter)

Länge der Basisvektoren = Gitterkonstanten

Durch Angabe der Gitterkonstanten sowie der eingeschlossenen Winkel ist das Gitter

bestimmt.

Konzept des Raumgitters enthält Implizit alle

wesentliche Merkmale eines Kristalls

1) Dreidimensionale periodische Abfolge von identischen Punkten gewährleisten seine

Homogenität

2) Alle Bereiche eines Kristalls, egal wie weit sie voneinander entfernt sind, sind in wohldefinierter

Orientierung zueinander = Fernordnung

3) Raumgitter ist stets anisotrop, denn in verschiedene Richtungen folgen identische Punkte in

unterschiedlichen Abständen voneinander.

Elementarzelle – Form eines Parallelepipeds.

t = ua+vb+wc

Kristalle weichen von

Idealgestalt ab =>

Realkristall

Flächen schließen stets

denselben Winkel ein!

Flächen eines Kristalls

entsprechen den

Netzebenen seines Gitters

Ausbildung unterschiedlicher Flächen eins Kristalls

Habitus und Tracht

Gleicher Habitus (isometrisch) – verschiedene Tracht

Habitus und Tracht

Verschiedener Habitus der Kristalle

bei gleicher Flächenkombination (Tracht)

Habitus und Tracht

Tracht gleich – Habitus verschieden Tracht verschieden – Habitus gleich

Gleiche Tracht Gleicher Habitus

Kubische Kristallformen - (verschiedene Trachten) Beachte: In kubischen Kristallen ist der Habitus auch kubisch

Kristallsysteme

• dient der mathematischen Beschreibung von Kristallstrukturen

• sind durch Längenverhältnisse ihrer Haupachsen a, b und c und den

Winkeln zwischen diesen Achsen α, β, γ definiert

• Einteilung beruht auf morphologischen Kriterien

Kristallographische Achsensysteme Koordinatenachsen werden parallel zu den Basisvektoren der Elementarzelle eines

Kristalls gewählt

Millersche Indizes – Kleinste ganzzahlige Vielfache der reziproken

Achsenabschnitte

• Beschreibt die Lage einer Kristallfläche in

bezug auf ein Achsensystem

• Drei ganzzahlige, teilerfremde Indizes (hkl)

• Ebenenkennzeichnung erfolgt durch die

runde Einklammerung!

• Liegt ein Schnittpunkt im Unendlichen, ist

der dazu gehörige Index 0

a

b

c

Herleitung der Millerschen Indizes

1) Schnittpunkt mit a, b oder c ( kristallographische Achsen)

2) Reziproker Wert (Kehrwert)

3) Auf Hauptnenner bringen und teilerfremd machen

5) Die Zähler der Brüche sind die

Millerschen Indizes der Netzebene. a

b

c

a - 1 b - 2 c - 1

(212)

In kubischen Kristallen steht die Richtung [hkl] immer senkrecht auf der Ebene (hkl)

Symmetrie - Spiegelebenen

Spiegelebene – Symbol m

Richtung der Spiegelung ist durch die Normale der

Spiegelebene gegeben

Symmetrie - Spiegelebenen

Spiegelebene – Symbol m

Symmetrie - Spiegelebenen

Gleitspiegelebene – Symbol n

Kopplung von Spiegelung mit Translation

!nur im kristallinen Feinbau (atomare Ebene) zu erkennen!

Symmetrie - Rotationsachsen

1-zählige Achse

Symbol 1

= „Identiät“

(es ist keine Drehachse vorhanden)

Symmetrie - Rotationsachsen

2-zählige Achse

Symbol 2

Drehung um Winkel

180°,

um zum identischen

Punkt zu gelangen

Symmetrie - Rotationsachsen

3-zählige Achse

Symbol 3

Richtung der Rotation ist durch die Achse gegeben

Symmetrie - Rotationsachsen

3-zählige Achse

Symbol 3

Symmetrie - Rotationsachsen

4-zählige Achse

Symbol 4

Symmetrie - Rotationsachsen

5-zählige Achse

?

Es ist nicht möglich, eine Ebene lückenlos mit Polygonen

dieser Zähligkeit zu bedecken

Symmetrie - Rotationsachsen

Raumausfüllung und Symmetrie:

Parkettierung – lückenloses Ausfüllen des Raums durch

Translation

Symmetrie - Rotationsachsen

6-zählige Achse

Symbol 6

Symmetrie - Rotationsachsen

3-zählige Achse

+ Spiegelebene

Symmetrie – Drehinversionsachsen

Inversionszentrum

Symbol 1

Inversion = „Umkehrung“

Kombination aus Drehung und Inversion, an

einer mehrzähligen Drehinversionsachse

Symmetrie - Drehinversionsachse

Symmetrie – Drehinversionsachsen

Symmetrie – Vergleich Rotationsachse vs. Spiegelebene

vs. Inversionszentrum

Symmetrie

Die Blickrichtungen

An einem Kristall können mehrere

Symmetrieelemente vorhanden sein

Aus Kombination von Drehung, Spiegelung, Inversion und

Drehinversion ergeben sich 32 Kristallklassen

(Symmetrie der Morphologie)

Gleitspiegelebene = Translation + Spiegelung

(Schraubenachse = Translation + Drehung)

=> 230 Raumgruppen

32 Kristallklassen +

Blickrichtungen in den Kristallsystemen - geordnet nach abnehmender Symmetrie

Klammersysteme beachten!

32 Kristallklassen (Punktsymmetrie-gruppen)

Symmetrie-elemente der 7 Kristallsysteme

Die 230 Raumgruppen

Raumgruppen können nur mit speziellen

kristallographischen Verfahren

(z.B. Röntgenmethoden)

ermittelt werden und lassen sich nicht durch die

äußere Form bestimmen!

Symmetrie – Beispiele

Orthorhombisch

1. Blickrichtung [100]

2. Blickrichtung [010]

3. Blickrichtung [001]

Tetragonal

1. Blickrichtung [001]

2. Blickrichtung [100]

3. Blickrichtung [110]

c

b

a

1. Blickrichtung [100]

2. Blickrichtung [111]

3. Blickrichtung [110]

Symmetrie – Beispiel Zirkon

Symmetrie – Beispiel Zirkon Drehachsen

Symmetrie – Beispiel Zirkon Spiegelebenen

Symmetrie – Beispiel Zirkon Inversionszentrum

Symmetrie – Beispiel Zirkon Drehinversionachse

Symmetrie – Beispiel Zirkon Ergebnis: 4/mmm

a

c

b

a

c

b

a

c

b a

c

b

Kubus + Oktaeder = Kubooktaeder

Kubus + Rhombendodekaeder

Kubus + Oktaeder = Kubooktaeder