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Geometrie

Darstellende Geometrie

Darstellende Geometrie ist der Teilbereich der Geometrie, der sich mit den geometrisch-konstruktiven Verfahren von Projektionen dreidimensionaler Objekte auf eine zweidimensionale Darstellungsebene befasst. Die Anwendungsbereiche ihrer Methoden sind breit gefächert und erstrecken sich neben den heute bekanntesten Anwendungen in der Technik- und Architekturdarstellung auch auf Kunst, Malerei, Kartenwesen und Computergraphik. Die Darstellende Geometrie beschränkt sich nicht nur auf das Darstellen von räumlichen Objekten, sondern bietet auch Möglichkeiten raumgeometrische Probleme zeich-nerisch zu lösen: z. B. die Bestimmung des Schnitt-punktes einer Gerade mit einer Ebene oder die Schnittkurve zweier Flächen oder den Schatten eines Objektes.1

Darstellung des Raums

Wir leben in einer dreidimensionalen Welt. Wenn wir die Gegenstände unserer Lebenswelt abbilden, so tun wir das (aus praktischen Gründen) meist mit einem zweidimensionalen Bild, sei es ein Foto, ein Bildschirm, ein Gemälde oder ein Plan.

Normalprojektion

Bei der Normalprojektion wird das Objekt, d.h. jeder Punkt P(x|y|z) normal (senkrecht) zu den Koordinatenebenen projiziert. Die drei wichtigsten Ansichten sind:

Vorderansicht (Aufriss) yz-Ebene, d.h. P(0|y|z)

Draufsicht (Grundriss) xy-Ebene, d.h. P(x|y|0)

Seitenansicht (Seitenriss) xz-Ebene, d.h. P(x|0|z)

1 aus „Darstellende Geometrie“. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. 17. August 2017


Grundriss Aufriss

Axonometrie (Schrägbilder)

Zentralprojektion Parallelprojektion

Alle Projektionsstrahlen (Sehstrahlen) gehen von einem (zentralen) Punkt P aus.

Alle Projektionsstrahlen (Sehstrahlen) sind parallel, d.h. ihr Zentrum liegt im Unendlichen.


Aufgabe 1: Zeichne einen Würfel im Grundriss, Aufriss und Schrägbild (Parallelprojektion): a) Der Würfel steht auf einer Seitenfläche. b) Der Würfel steht auf einer Kante.

Aufgabe 2: Betrachte das neben-stehend abgebildete Haus. a) Zeichne wie das Haus von oben

aussehen könnte (Grundriss). b) Zeichne wie das Haus frontal von

vorn aussieht (Aufriss). c) Zeichne wie das Haus von der rech-

ten Seite aus aussieht (Seitenriss).

Aufgabe 3: Erstelle je zwei Schrägbilder folgender Objekte, deren Grund- (unten) und Aufriss (oben) bekannt sind. a) b)

Aufgabe 4: Zeichne einen möglichen Fassadenaufriss zu diesem Grundriss.

Aufgabe 5: Löse die Zusatz-aufgaben zu der Riss-darstellung.


Dreitafelprojektion

In der Dreitafelprojektion wird zusätzlich auch der Seitenriss dargestellt. Der Seitenriss lässt sich direkt aus dem bestehenden Aufriss und Grundriss konstruieren. Der Seitenriss wird direkt dem Aufriss zugeordnet. Eine Zuordnung des Seitenrisses zum Grundriss erhält man durch konzentrische Kreisbögen als Ordner (siehe Bild). Man kann jetzt Informationen aus irgendeinem Riss in die anderen beiden Risse übertragen.

Aufgabe 6: Ergänze den Grundriss!

Aufgabe 7: Ergänze den Aufriss!


Zweitafelprojektion

Definition: Die Zweitafelprojektion ist eine grundlegende Methode der Darstellenden Geo-metrie. Dabei wird ein Punkt P mit Hilfe zweier senkrechter Parallelprojektionen auf zwei zueinander senkrechte Ebenen (Bildtafel) π1 und π2 projiziert. Üblicherweise ist die Ebene π1 horizontal und heisst Grundrisstafel und π2 vertikal, die Aufrisstafel. Die Schnittgerade k12 heisst Risskante. Die entstehenden Bilder P’, P’’ sind Grundriss bzw. Aufriss von P.

Darstellung von Punkten

Aufgabe 8: Wo im Raum liegen die folgenden Punkte (oben/unten, vorne/hinten, links/rechts)?

Aufgabe 9: Zeichne im Zweitafelsystem folgende Punkte (Einheit 1cm): A(801), B(4.58.51), C(–451), D(–0.5–3.51), E(22.57.5), F(22.5–5.5)

Aufgabe 10: Löse die Konstruktionsaufgabe „Bestimmung der wahren Länge einer Strecke“.

Aufgabe 11: Bestimme konstruktiv den Abstand der zwei Punkte P und Q: a) P(516), Q(652) b) P(4–3–2), Q(425) Kontrolliere dein Resultat durch Rechnung.

Aufgabe 12: Gegeben sind der Punkt A(246) und der Grundriss B‘ von B‘(580). Die Strecke AB misst 7 cm. Bestimme B‘‘.

A'=A''

B'

B'' E'

E''

C'

C''

D''

D'


Darstellung von Geraden

Die Projektionen von Raumgeraden sind wieder Geraden, ausser die Gerade steht senkrecht auf der Projektionsebene. Die projizierten Strahlen sämtlicher Punkte einer Geraden bilden eine erst- und zweitprojizierende Ebene, deren Schnitte mit den Bildebenen die Grundrissprojektion g' und die Aufrissprojektion g" ergeben

Definition: Die Durchstosspunkte der Geraden durch die Rissebenen nennt man Spurpunkte.

Als 1. Spurpunkt S1 = Sxy einer Geraden g wird der Schnittpunkt von g mit der Grundrissebene bezeichnet. Der Aufriss S1‘‘ eines 1. Spurpunktes S1 liegt immer auf der y-Achse. Das Bild g‘ der Geraden g im Grundriss erhält man als Verbindungslinie der beiden Spurpunkteprojektionen S1‘ und S2‘ im Grundriss.

Als 2. Spurpunkt S2 = Syz einer Geraden g wird der Schnittpunkt von g mit der Aufrissebene bezeichnet. Der Grundriss S2‘ eines 2. Spurpunktes S2 liegt immer auf der y-Achse. Das Bild g" der Geraden g im Aufriss erhält man als Verbindungslinie der beiden Spurpunkteprojektionen S1‘‘ und S2‘‘ im Aufriss.


Spezielle Lagen von Geraden

Projizierende Geraden: Eine erstprojizierende Gerade p1 ist eine Gerade, die senkrecht zur Ebene π1 steht. Ihr Grundriss p1’ besteht aus einem Punkt. Ihr Aufriss p1 ist eine Gerade, die senkrecht zur Rissachse steht. Eine zweitprojizierende Gerade p2 ist eine Gerade, die senkrecht zur Ebene π2 steht. Ihr Grundriss p2’ ist eine Gerade, die senkrecht zur Rissachse steht. Ihr Aufriss p2’’ besteht aus einem Punkt.

Hauptgeraden: Eine 1. Hauptgerade h1 (Höhenlinie) ist eine Gerade, die parallel zur Grundrissebene π1 liegt. Ihr Aufriss h1’’ ist parallel zur y-Achse. Eine 2. Hauptgerade h2 (Frontlinie) ist eine Gerade, die parallel zur Aufrissebene π2 liegt. Ihr Grundriss h2’ ist parallel zur y-Achse.

Aufgabe 13: Die Geraden f, g, h, k, und l sind jeweils durch ihren Grund- und Aufriss gegeben. Beschreibe ihre räumliche Lage.


Aufgabe 14: Zeichne eine quadratische, gerade Pyramide, deren Grundfläche parallel zu π1 liegt mit Hilfe der Zweitafelprojektion. Beschrifte alle Punkte korrekt.

Aufgabe 15: Löse die Konstruktionsaufgabe „Bestimmung der Spurpunkte von Geraden“.

Aufgabe 16: Wo durchstösst die Gerade g die drei Koordi-natenebenen? Trage diese drei Spurpunkte in die Zeichnung ein und besch-reibe ihre Lage mit Worten. Zeige die Lage der Gerade im Raum mit einem Bleistift.

Aufgabe 17: Gegeben sind die Punkte A(147) und B(3–2|2). Zeichne die beiden Punkte in der Zweitafelprojektion. Trage in beiden Zeichnungen die Gerade g(A, B) ein und markiere deren Spurpunkte.

Aufgabe 18: Die Geraden g geht durch die Punkte A(684) und B(–2–4–2). a) Konstruiere die ersten und zweiten Spurpunkte von g.

b) Konstruiere den Punkt P ∈ g, dessen z-Koordinate 3 ist.

Aufgabe 19: Die Gerade g geht durch die Punkte A(556) und B(0–8–2). Die Gerade h geht durch den Punkt G(–46–1) und H. Der Grundriss des Punktes H ist H‘(4–20). g und h schneiden sich im Schnittpunkt S. Konstruiere S und H’’.

Aufgabe 20: Löse die Konstruktionsaufgabe „Schattenwurf einer Pyramide“.

Aufgabe 21: Gegeben ist das Dreieck A(608)B(436)C(1012) sowie die Gerade g durch P(300) und Q(655). Konstruiere den Schatten A1B1C1, den das Dreieck bei gegebener Lichtrichtung g, d.h. das Licht ist parallel zu g, auf die Grundrissebene wirft. Einheit 1 cm. Lege den Ursprung des Koordinatensystems in die Mitte des Zeichnungsblattes.

Aufgabe 22: Gegeben ist eine 2. Hauptgerade durch die Punkte A und B (vgl. neben-stehende Figur). Gesucht ist der Abstand von A zu B.

Aufgabe 23: Zeichne in Zweitafel-projektion zwei Geraden, die a) sich schneiden. b) windschief sind. c) parallel sind.

A'

A''

B'

B''

h1'

h1''


Aufgabe 24: Wie liegen die zwei Geraden zueinander?

Aufgabe 25: Untersuche die gegenseitige Lage der Geraden AB und CD. Eine Einheit entspricht 0.5 cm. a) A(4|–6|3), B(6|0|7) C(3|7|3), D(9|1|12) b) A(5|3|1), B(2|3|3) C(1|1|2), D(3|1|–2)

Merke: Im dreidimensionalen Raum gibt es für zwei Geraden vier mögliche gegenseitige Lagen: Die Geraden... sind identisch (deckungsgleich). sind parallel. schneiden sich. sind windschief.

Neigungswinkel einer Gerade

Der Neigungswinkel γ1 zu der ersten Rissebene π1 ist definiert als der spitze Winkel zwischen der Geraden g und ihrer ersten Projektion g‘. Entsprechend sind die Neigungswinkel γ2 zu der zweiten und γ3 zu der dritten Rissebene definiert.

Aufgabe 26: Löse die Konstruktions-aufgabe „Bestimmung des Neigungswinkels einer Geraden“.

Aufgabe 27: Zeichne in der Zweitafelprojektion a) eine 2. Hauptgerade (Frontlinie) und ihren ersten Neigungswinkel b) eine 1. Hauptgerade (Höhenlinie) und ihren zweiten Neigungswinkel

Aufgabe 28: Neigungswinkel: Gegeben: g(A, B) mit A(1|2|4), B(3|–1|–2) Gesucht: 2. Neigungswinkel γ2 von g.

g

g'α

S2

S1


Darstellung von Ebenen

Eine Ebene wird in der darstellenden Geometrie in der Regel durch ein Dreieck oder zwei sich schneidender Geraden in Grund- und Aufriss beschrieben. Im zweiten Fall wählt man hierfür möglichst Hauptgeraden (Höhenlinien, Frontlinien) oder Spurgeraden (Schnittgeraden der Ebene mit den Risstafeln, siehe Bild).

Spuren einer Ebene: Als 1. Spur s1 (oder e1) einer Ebene E wird die Schnittgerade der Ebene mit der Grundrissebene bezeichnet. Als 2. Spur s2 (oder e2) einer Ebene E wird die Schnittgerade der Ebene mit der Aufrissebene bezeichnet. Die beiden Spuren einer Ebene schneiden sich auf der y-Achse.

Durchstosspunkt: Den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene bezeichnet man auch als Durchstosspunkt.

Umklappen einer Ebene: Als Umklappen einer Ebene wird die Drehung einer Ebene in Grund- oder Aufrissebene bezeichnet. Dabei wird die Ebene E um eine ihrer Spuren s1 oder s2 und um den ersten oder zweiten Neigungswinkel der Ebene gedreht.

Umlegen einer projizierende Ebene: Das Umklappen einer projizierenden Ebene in eine Rissebene, d.h. das Umklappen um 90° wird umlegen genannt. Zur Bestimmung der wahren Länge einer Strecke bzw. des Neigungswinkels einer Geraden wird die Ebene die die Strecke bzw. die Gerade enthält umgelegt.

Aufgabe 29: Löse die Konstruktionsaufgabe „Ebene durch zwei Hauptgeraden“.

Aufgabe 30: Löse die Konstruktionsaufgabe „Spuren einer Ebene durch drei Punkte“.

Aufgabe 31: Gegeben sind Raumpunkte P1(3|3|1.5), P2(2|5.5|4) und P3(6|7|2.5). Gesucht sind die Spurgeraden s1 und s2 der Ebene E durch die drei Punkte.


Spezielle Lagen von Ebenen

Projizierende Ebenen: Eine erstprojizierende Ebene steht senkrecht auf der Grundrissebene. Ihre zweite Spur s2 steht senkrecht zur y-Achse. Eine zweitprojizierende Ebene steht senkrecht auf der Aufrissebene. Ihre erste Spur s1 steht senkrecht zur y-Achse.

Hauptebenen: Eine 1. Hauptebene H ist eine Ebene, die parallel zur Grundrissebene ist. Sie besitzt keine 1. Spur. Ihre 2. Spur ist parallel zur y-Achse. Eine 2. Hauptebene H ist eine Ebene, parallel zur Aufrissebene ist. Sie besitzt keine 2. Spur. Ihre 1. Spur ist parallel zur y-Achse.

Aufgabe 32: Löse die Konstruktionsaufgabe „Spezielle Lagen von Ebenen“.

Darstellende Geometrie: Risse Seite 1 www.mathema.ch

Geometrie

Darstellende Geometrie: Risse

Aufgabe 1: Zeichnen Sie von den folgenden Linien und Figuren jeweils den Grundriss und den Aufriss. Nicht angegebene Masse sind halbe oder drittel Kantenlängen.


Aufgabe 2: Zeichnen Sie die durch Auf- und Grundriss gegebene Figur in den Würfel. Nicht angegebene Masse sind halbe oder drittel Kantenlängen.


Aufgabe 3: Die folgenden Körper sind aus einem Würfel herausgeschnitten. Zeichnen Sie Auf-, Grund- und Seitenriss.


Aufgabe 4: Die folgenden Körper sind Grund-, Auf- und Seitenriss gegeben. Zeichnen Sie den Körper.

Darstellende Geometrie: Konstruktionsaufgaben Seite 1 www.mathema.ch

Bestimmen der wahren Länge einer Strecke

Gegeben ist die Strecke AB in Grund- und Aufriss. a) Bestimme ihre wahre Länge durch Umklappen der erstprojizierenden Ebene,

die A und B enthält. b) Bestimme ihre wahre Länge durch Umklappen der zweitprojizierenden Ebene,

die A und B enthält. Kontrolliere das Ergebnis durch Vergleichen der zwei Streckenlängen.

y

A‘‘

B‘‘

B‘

A‘


Bestimmung der Spurpunkte von Geraden

Gegeben sind die Geraden g, h und j in Grund- und Aufriss. Bestimme die ersten und zweiten Spurpunkte von g, h und j.

y

g‘‘

g‘

h‘‘

h‘

j‘‘

j‘


Schattenwurf einer Pyramide

Gegeben: Lichtquelle Q, Pyramide ABCDS. Gesucht: Schatten der Pyramide auf p1.

Q''

Q'

S''

S'A' C'

B'

D'

D''A'' C''

y


Neigungswinkel einer Geraden

Gegeben ist die Gerade g in Grund- und Aufriss. a) Bestimme ihren 1. Neigungswinkel durch Umlegen der erstprojizierenden

Ebene, die g enthält. b) Bestimme ihren 2. Neigungswinkel durch Umlegen der zweitprojizierenden

Ebene, die g enthält.

y

g‘‘

g‘


Ebene durch zwei Hauptgeraden

Gegeben sind zwei sich schneidende Hauptgeraden: Höhenlinie und Frontlinie. Konstruiere die Spur derjenigen Ebene, welche die zwei Hauptgeraden enthält.

y

h1‘‘

h2‘‘

h2‘

h1‘


Spuren einer Ebene durch drei Punkte

Gegeben sind die drei Punkte A, B und C. Bestimme die Spuren der Eben die A, B und C enthält.

y

A‘

B‘

C‘‘

B‘‘A‘‘

C‘


Spuren einer Ebene durch drei Punkte (Situation 2)

Gegeben sind die drei Punkte A, B und C. Bestimme die Spuren der Eben die A, B und C enthält.

y

A‘ C‘

B‘‘

A‘‘

B‘

C‘‘


Spezielle Lagen von Ebenen

Zeichne die Spuren einer Ebene, die a) senkrecht zur Grundrissebene π1 steht und P und Q enthält. b) senkrecht zur Aufrissebene π2 steht und P und Q enthält. c) parallel zur Grundrissebene π1 steht und P enthält. d) parallel zur Aufrissebene π2 steht und Q enthält.

y


Punkte und Geraden in einer Ebene

Gegeben ist die Ebene E durch ihre Spuren e1 und e2 sowie a) der Grundriss A‘ des Punktes A ∈ E. b) der Aufriss B‘‘ des Punktes B ∈ E. c) der Grundriss h‘ der Geraden g ∈ E. d) der Aufriss h‘‘ der Geraden h ∈ E. Bestimme A‘‘, B‘, g‘‘, h‘.

y

e1

e2

B‘‘

A‘

g‘

h‘‘


Hauptgeraden einer Ebene

Gegeben ist die Ebene E durch ihre Spuren s1 und s2. Konstruiere a) eine 1. Hauptgerade, welche den Abstand 5 cm von der Grundrissebene hat. b) eine 2. Hauptgerade, welche den Abstand 3 cm von der Aufrissebene hat.

y

s2

s1


Ebene durch Gerade und Punkt

Gegeben sind je eine Gerade g und ein Punkt P in Grund- und Aufriss. Bestimme die Spuren der Ebene E, die g und P enthält.

yy

g‘‘

g‘

P‘‘

P‘


Ebene durch zwei sich schneidende Geraden

Gegeben sind zwei sich schneidende Geraden f und g in Grund- und Aufriss. Bestimme die Spuren der Ebene E, die f und g enthält.

y

f‘‘

g‘

g‘‘

f‘


Schnittgerade zweier Ebenen

Gegeben sind die Ebenen E und F durch ihre Spuren e1 und e2 bzw. f1 und f2. Bestimme die Schnittgerade von E und F (in Grund- und Aufriss).

y

e2

e1

f2

f1


Schnitt einer Hauptgerade mit einer Ebene

Gegeben: 3. Hauptgerade g(A, B), Ebene E(e1, e2) Gesucht: Schnittpunkt g … E

B'

A'

B''

A''

e1

e2

y


Schnitt einer Gerade mit einer Ebene

Gegeben ist die Ebene E durch ihre Spuren e1 und e2 sowie die Gerade g in Grund- und Aufriss. Bestimme den Durchstosspunkt D von g mit E.

y

e2

e1

g‘‘

g‘


Schnittpunkt dreier Ebenen

Gegeben sind die Ebenen E, F und G durch ihre Spuren. Bestimme deren Schnittpunkt S.

y

e1

e2f2

g2

g1

f1


Bestimmen der wahren Grösse eines Dreiecks

Gegeben ist das Dreieck ABC. Bestimme seine wahre Grösse. Vorgehen 1. Bestimme die Spuren der Ebene E, welche das Dreieck enthält. 2. Klappe das Dreieck um seine erste Spur in die Grundrissebene um.

y


Senkrechte (Lot) auf eine Ebene

Gegeben ist die Ebene E durch ihre Spuren. A' ist der Grundriss des Punktes A, welcher in E liegt. B ist ein Punkt ausserhalb der Ebene. Bestimme durch A und B je das Lot (d.h. die Senkrechte) auf die Ebene E. Vorgehen: Verwende Fallgeraden und klappe diese um.

y


Abstand eines Punktes P von einer Ebene E

Gegeben ist die Ebene E durch ihre Spuren e1 und e2 sowie der Punkt P in Grund- und Aufriss. Bestimme den Abstand von P zu E.

y


Schnitt Ebene – Pyramide

Gegeben: Ebene E(e1, e2), Pyramide ABCDS Gesucht. Schnittfläche in beiden Rissen und wahrer Grösse.

S''

S'A' C'

B'

D'

D''A'' C''

y


Schnitt Zylinder / Ebene

Gegeben: Ebene E (e1, e2), Zylinder Gesucht. Schnittfläche in beiden Rissen und wahrer Grösse (konstruiere je 8 Punkte).


Schnitt Quader - Ebene

Gegeben: Ebene E (e1, e2), Zylinder Gesucht. Schnittfläche in beiden Rissen und wahrer Grösse.

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