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Die Geometrie des Universums Max Camenzind Akademie Heidelberg November 2014

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Die Geometrie des Universums

Max Camenzind

Akademie Heidelberg

November 2014

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Komet 67P: Perihel: 1,2432 AE Aphel: 5,689 AE a = 3,463 AE e = 0,6412 P = 6,44 a i = 7,04 PRot = 12,4 h

Komet 67P

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67P Kometenbahn 2015

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Zusammenfassung der

5 Axiome Einsteins von 1915 • Einstein1: Flache Minkowski RaumZeit wird durch

Riemann Mannigfaltigkeit ersetzt, jedoch lokal in jedem Punkt Minkowski (EEP) es existiert ein ds² zur Messung der Länge (= Eigenzeit) von Weltlinien.

• Einstein2: Gravitation wird durch den metrischen Transport auf RaumZeit beschrieben ( keine Torsion).

• Einstein3: Testkörper (auch Planeten, Neutronensterne, Schwarze Löcher) bewegen sich auf Geodäten: ds² > 0; Photonen auf Nullgeodäten: ds² = 0 SEP erfüllt.

• Einstein4: Materieverteilung T in der RaumZeit be-stimmt die Krümmung Ricc – R g/2 = k T

• Einstein5: Nicht-gravitative Kräfte (EM, QCD) verhalten sich im frei fallenden System wie in der SRT EEP erf.

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Materie & Energie krümmen

die RaumZeit (Einstein 1915)

G: Newtonsche Konstante

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Energie-Impuls Tensor im

Ruhsystem der Materie Matrix

r: totale Massen-Energiedichte (Baryonen, Phot) p: totaler Druck; Photonen, ns: p = rc²/3

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Riemann-Tensor der RaumZeit

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Ricci-Tensor der RaumZeit

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ikikikik TcGgRgR )/8( 4

2

1

Krümmung Kosmol. Konstante Materie

Rik Ricci Tensor mit Spur R = Rmm:

folgt aus Riemann Tensor

Albert Einstein 1915: Jede Form der Materie erzeugt Krümmung R (auch Photonen, Felder, Vakuum-Energie)

+ Kosmologische Konstante 1917

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Ex1: RaumZeit eines Sterns

Sonne, Erde, Neutronensterne, SL

Symmetrie lässt

nur 2 Funktionen

frei:

F(r): „Gravitations-

potenzial“

B(r): Krümmung

des 3-Raumes

B(r) > 1: Volumen

größer als

Euklidisch

(r,f)-Fläche

ds² = exp(2F(r)) c²dt² - B²(r) dr² - r² (dq² + sin²q df²)]

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Bestätigung im Sonnensystem

• Gravitative Rotverschiebung (30% bei NS).

• Lichtablenkung an Sonne und Jupiter.

• Periheldrehung der Planeten, insbeson-dere von Merkur: 43`` pro Jahrhundert.

• Shapiro-Laufzeitverzögerung.

• Diese Effekte treten verstärkt auch bei Binär-Pulsaren auf.

• Binär-Pulsare zeigen, dass Gravitations-wellen existieren (gibt es in Newtonscher Physik nicht).

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Wie stellen Sie sich

unser Universum vor? Wie groß? Wie alt? Struktur?

Antike Vorstellung

Van Gogh 1889 Das Moderne Universum

Einstein 1917

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H.P. Robertson

Amerikaner

A.G. Walker

Britisch

W. de Sitter

Holländer

Albert Einstein

Deutsch

A. Friedmann

Russe

G. Lemaître

Belgier

Allgemeine Herleitung der Metrik eines

isotropen und homogenen Universums in

ART “Robertson-Walker Metrik” (1935-6)

Allgemeine

Relativität (1915);

Statisches, geschl.

Universum (1917)

Vakuum-Energie-

gefülltes expand.

Universum

“de Sitter” (1917)

Entwicklung eines homogenen,

expandierenden Universums

“Friedmann Modelle”

(1922/1924)

„Ur-Atom“ 1927 / 1931

hat den Big Bang erfunden

Väter des Modernen Universums

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Weder Erde noch Sonne

im Zentrum des Universums !

Kosmologisches Prinzip (Milne 1933)

1. Wir befinden uns an keiner

ausgezeichneten Position des

Universums ( kein Zentrum).

2. Das Universum ist isotrop. Erst von 1990 - 2008 nachgewiesen!

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Iso

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äre

n

1998 –

2007 S

DS

S D

R7

420 M

pc

600 M

pc

Jeder Punkt

ist eine Galaxie

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Isotropie der CMB-Strahlung

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COBE 1993 – T-Anisotropien

2006

Temperaturschwankungen DT = 30 µK in der

Hintergrundstrahlung, auf Skalen > 7 Grad,

aufgenommen durch COBE (Mission 1989–1993)

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WMAP Photosphäre isotrop Auflösung 14´ reicht nicht ; 20´ 80 Mpc

DT < +-100 micro-Kelvin um <T> = 2,725 Kelvin

510T

T

D

Rot: wärmer

Blau: kühler

X

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Konstruktion des Universums Fortsetzung des antiken Modells !

Jeder Beobachter sieht einen andern Teil

Galaxien-

Sphären

Kuiper-Gürtel

Planeten-Sphären

Photo-

Sphäre

Fixstern-

Sphären

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Wir sind

scheinbar

im Zentrum

des

Universums

r = 0

Jede

Kugel-

Schale:

r = const

Dr = 100 Mpc

Kugel-

schalen

expandieren

mit der Zeit

r a(t) r

Photosphäre des

Universums

3000 K

2,725 K

Galaxien-

Sphären

Big Bang Kosmische Sphären

r

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Ph

oto

sph

äre

Un

iversu

m

C

MB

1965

Alter des Universums in Mrd. Jahren

Stra

hlu

ngs-S

ph

äre

381000 a 0

r = 0

? Modernes Universum

Kosmische Sphären je tiefer umso jünger

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• Wie sieht der Raum aus ds2 ?

• Aus Kosmologischen Prinzip

(Isotropie um jeden Punkt)

räumliche Krümmung

überall konstant.

• Nur 3 Möglichkeiten: • 3-Sattel – negative

Krümmung: K < 0

• 3-Sphäre – positive

Krümmung: K > 0

• Flacher E3 – keine

Krümmung: K = 0

Welche Geometrie hat Kosmos?

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RaumZeit expandierendes Universum

3 Friedmann-Lemaître Weltmodelle

Metrik ist diagonal (aus Symmetriegründen)!

a(t) : Expansionsfaktor Streckung des 3-Raumes

R(t) : Radius des Universums zeitabhängig

Streckung des 3-Raumes in der Minkowski RaumZeit: r a(t) r ;

ds² = c²dt² - R²(t) [dc² + sin²c (dq² + sin²q df²)]

Expansion der 3-Sphäre + Erweiterung auf RaumZeit / Friedmann 1922

ds² = c²dt² - a²(t) [dr² + r²(dq² + sin²q df²)]

Expansion der 3-Hyperboloid-RaumZeit / Friedmann 1924

ds² = c²dt² - R²(t) [dc² + sinh²c (dq² + sin²q df²)]

k = +1

k = -1

k = 0

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Die Geometrie des Universums

r,q,f sind co-moving Koordinaten (“Labels” für Galaxien).

t: ausgezeichnete kosmische Zeit (gemessen von Atomuhren

im Zentrum von Galaxienhaufen – Virgo, Coma, …).

dr = a(t) dr : Distanzen gestreckt (isotrope Expansion).

a(t) ist eine Funktion der Zeit und r bleibt konstant.

a(t) ist als Skalenfaktor des Universums bekannt und mißt

die universelle Expansionsrate des Universums.

a(t0) = 1 normiert, wobei t0 die heutige Zeit (Alter d. Univ.).

Räumliche Krümmung {+1,0,-1}

Kugelschalen mit Radius a(t)r Abstand der Kugelschalen

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Der Krümmungsparameter

Wk = - kc²/(H0²R0²)

c/H0: Hubble Radius Falls R0 >> c/H0 Wk ~ 0

so erscheint das Universum fast flach! Konsequenz aus Inflation

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• Dieses Friedmann-Modell des expandier-enden Universums erklärt folgendes:

• 1. wie Photonen im Universum propagieren globale Lichtkegelstruktur;

• 2. die kosmische Rotverschiebung z;

• 3. das Hubble-Gesetz und seine nicht-lineare Erweiterung für z > 0,1;

• 4. Distanzen im Universum als Func(z);

• 5. Winkeldurchmesser als Func(z).

• 6. Alter des Universums als Func(z).

Das Friedmann-Universum erklärt

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• Das Universum ist eine 4 dim. Mannigfaltigkeit, sprich RaumZeit, salopp „eine 4D Fläche“.

• Die Isotropie der Materieverteilung lässt nur 3 Modelle zu: E³, 3-Sphäre & 3-Hyperboloid. Dies kann mathematisch genau erschlossen werden.

• zum sog. Krümmungsparameter k = 0,+1,-1.

• Es existiert eine ausgezeichnete Zeit t, eine sog. geodätische Zeit.

• Galaxien werden durch ihren Abstand r und 2 Winkel bestimmt: Rektaszension und Deklination.

• Der einzige Freiheitsgrad: Expansionsskalar a(t)

Fazit