Die Geometrie des Universums

Max Camenzind

Senioren Uni

Würzburg @WS2012

Mike Turner 2009

Wie stellen Sie sich

unser Universum vor? Wie groß? Wie alt? Struktur?

Antike Vorstellung

Van Gogh 1889 Das Moderne Universum

Einstein 1917

• Der Blick ins Universum bestimmt das Weltmodell

Galaxien als Bausteine sichtbaren Universums

& CMB bestätigen das Kosmologische Prinzip.

• 1915: Ohne Einstein kein modernes Universum Gravitation ist Raumkrümmung.

• Wie konstruiere ich ein Universum ? expandierende Kosmische Sphären.

• Das Universum ist nicht statisch, expandiert Alexander Friedmann 1922, G. Lemaître 1927.

• In jedem expandierenden Universum gilt das Hubble-Gesetz, jedoch nur für z < 0,1 !

Unsere Themen

Raum und Zeit bilden eine Einheit Der Mensch ist ein 4-dimensionales Wesen

(ct,x,y,z) :

Ereignis

Ohne Gravitation

Welt 4-dimensional und flach Hermann Minkowski 1908

222222222 sin drdrdrdtcds

22222222 dzdydxdtcdcds

Abstand zwischen Ereignissen: (kartesisch oder Kugelkoordinaten)

3-Raum

Zeitartig

Raumartig

Lichtartig, Null

In jedem Ereignis

ist ein Lichtkegel

definiert.

Kausale Struktur der RaumZeit

Beobachtungen

sind nur längs

Lichtkegel

möglich !

1915 zeigt Albert Einstein Mit Gravitation wird die

Geometrie des Minkowski-Raumes verallgemeinert.

Allgemeine Relativitätstheorie

(ART) Gravitation ist keine Kraft -

Gravitation ist Raumkrümmung

Albert Einstein

Einstein revolutioniert die Physik

Massen krümmen Raum

Auch die Erde krümmt den Raum

gemessen mit Gravity Probe B

ds2 giji, j 0

n

dx idx j

• Ein Riemannscher Raum ist eine Punktmenge, auf der man

messen kann. Einstein: ein Punkt (t,x,y,z) = Ereignis, n=4.

• gij ist der Metrische Tensor (symm. Tensor 2. Stufe) : 10 Funktionen für den 4-dimensionalen Raum n = 4 S² • Vorschrift, den Abstand zwischen zwei Punkten zu berechnen. • Aus metrischem Tensor folgen Riemann und Ricci Tensoren . Der metrische Tensor bestimmt auch die Geodäten (Trajektorien der frei fallenden Körper) mittels Christoffel-Symbole.

Gravitation RaumZeit =

Riemann lokal Minkowski

Winkel df(Rektaszension)rd

Großkreise Winkel

(Deklination)

r sin() df

Nach Pythagoras:

ds² = r² d² + r²sin² df²

ds² = g11

d² + g22

df²

g11

= r² , g22

= r²sin²

Geometrie der Kugelflächen S²

Sphäre mit Radius r

Die

Sp

häre

S²

ist

ein

e 2

-dim

en

sio

nale

Rie

ma

nn

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Kart

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Win

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Dre

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k >

18

0 G

rad

.

ikikikik TcGgRgR )/8( 4

2

1

Krümmung Kosmol. Konstante Materie

Rik Ricci Tensor mit Spur R = Rmm:

folgt aus Riemann Tensor

Albert Einstein 1915: Jede Form der Materie erzeugt Krümmung R (auch Photonen, Felder, Vakuum-Energie?)

Krümmung der RaumZeit 1915

Bestätigung im Sonnensystem

• Gravitative Rotverschiebung (30% bei NS).

• Lichtablenkung an Sonne und Jupiter.

• Periheldrehung der Planeten, insbeson-dere von Merkur: 43`` pro Jahrhundert.

• Shapiro-Laufzeitverzögerung.

• Diese Effekte treten verstärkt auch bei Binär-Pulsaren auf.

• Binär-Pulsare zeigen, dass Gravitations-wellen existieren (gibt es in Newtonscher Physik nicht).

H.P. Robertson

Amerikaner

A.G. Walker

Britisch

W. de Sitter

Holländer

Albert Einstein

Deutsch

A. Friedmann

Russe

G. Lemaître

Belgier

Allgemeine Herleitung der Metrik eines

isotropen und homogenen Universums in

ART “Robertson-Walker Metrik” (1935-6)

Allgemeine

Relativität (1915);

Statisches, geschl.

Universum (1917)

Vakuum-Energie-

gefülltes expand.

Universum

“de Sitter” (1917)

Entwicklung eines homogenen,

expandierenden Universums

“Friedmann Modelle”

(1922/1924)

„Ur-Atom“ 1927 / 1931

hat den Big Bang erfunden

Väter des Modernen Universums

Weder Erde noch Sonne

im Zentrum des Universums !

Kosmologisches Prinzip (Milne 1933)

1. Wir befinden uns an keiner

ausgezeichneten Position des

Universums ( kein Zentrum).

2. Das Universum ist isotrop. Erst von 1990 - 2008 nachgewiesen!

Iso

tro

pie

de

r G

ala

xie

n-

ve

rte

ilu

ng

au

f S

ph

äre

n

1998 –

2007 S

DS

S D

R7

420 M

pc

600 M

pc

Jeder Punkt

ist eine Galaxie

Isotropie der CMB-Strahlung

Isotropie der

Photosphäre Penzias & Wilson 1965

COBE 1989-1993 (NASA)

BOOMERanG, Maxima 1998

WMAP 2001-2010 (NASA)

Planck 2009-2012 (ESA)

1978 2006 ????

COBE 1993 – T-Anisotropien

2006

Temperaturschwankungen DT = 30 µK in der

Hintergrundstrahlung, auf Skalen > 7 Grad,

aufgenommen durch COBE (Mission 1989–1993)

WMAP Photosphäre isotrop Auflösung 14´ reicht nicht ; 20´ 80 Mpc

DT < +-100 micro-Kelvin um <T> = 2,725 Kelvin

510T

T

D

Rot: wärmer

Blau: kühler

X

Konstruktion des Universums Fortsetzung des antiken Modells !

Jeder Beobachter sieht einen andern Teil

Galaxien-

Sphären

Kuiper-Gürtel

Planeten-Sphären

Photo-

Sphäre

Fixstern-

Sphären

Wir sind

scheinbar

im Zentrum

des

Universums

r = 0

Jede

Kugel-

Schale:

r = const

Dr = 100 Mpc

Kugel-

schalen

expandieren

mit der Zeit

r a(t) r

Photosphäre des

Universums

3000 K

2,725 K

Galaxien-

Sphären

Big Bang Kosmische Sphären

Ph

oto

sph

äre

Un

iversu

m

C

MB

1965

Alter des Universums in Mrd. Jahren

Stra

hlu

ngs-S

ph

äre

381000 a 0

r = 0

? Modernes Universum

Kosmische Sphären je tiefer umso jünger

• Wie sieht der Raum aus ds2 ?

• Aus Kosmologischen Prinzip

(Isotropie um jeden Punkt)

räumliche Krümmung

überall konstant.

• Nur 3 Möglichkeiten: • 3-Sattel – negative

Krümmung: K < 0

• 3-Sphäre – positive

Krümmung: K > 0

• Flacher E3 – keine

Krümmung: K = 0

Welche Geometrie hat Kosmos?

Die Geometrie des Universums

r,,f sind co-moving Koordinaten (“Labels” für Galaxien).

t: ausgezeichnete kosmische Zeit (gemessen von Atomuhren

im Zentrum von Galaxienhaufen – Virgo, Coma, …).

dx = a(t) dr : Distanzen gestreckt (isotrope Expansion).

a(t) ist eine Funktion der Zeit und r bleibt konstant.

a(t) ist als Skalenfaktor des Universums bekannt und mißt

die universelle Expansionsrate des Universums.

a(t0) = 1 normiert, wobei t0 die heutige Zeit (Alter d. Univ.).

Räumliche Krümmung {+1,0,-1}

Kugelschalen mit Radius a(t)r Abstand der Kugelschalen

FLRW Geometrie des Universums

Lemaître Ansatz

Einstein-de-Sitter

• Dieses Friedmann-Modell des expandier-enden Universums erklärt folgendes:

• 1. wie Photonen im Universum propagieren globale Lichtkegelstruktur;

• 2. die kosmische Rotverschiebung z;

• 3. das Hubble-Gesetz und seine nicht-lineare Erweiterung für z > 0,1;

• 4. Distanzen im Universum als Func(z);

• 5. Winkeldurchmesser als Func(z).

• 6. Alter des Universums als Func(z).

Das Friedmann-Universum erklärt

1. Lichtausbreitung: längs Null-Geodäten

• Wie propagieren Photonen im expandierenden Universum ?

• Betrachte Photon emittiert bei

(re) längs einer Linie mit konst

Länge und Breite (d= 0 = df).

• Die Trajektorie ist eine

Null-Geodäte (Eigenzeit = 0):

0)( 222222 drtRdtcdc k = 0

Lichtausbreitung unter Expansion

• Bewegungsgleichung eines Photons (a = R):

“Comoving distance”

= mitbewegte Distanz

nimmt ab.

t

tR

cdttr

drtRdtc

0

2222

)()(

)(

2. Kosmologische Rotverschiebung

Da rechte Seiten identisch

Der erste Term hebt sich gegen letzten weg

Wellenlängen werden durch die Expansion gestreckt !

X X

Kosmische Rotverschiebung

= Expansion des Raumes Universum war früher kleiner / Lemaître 1927

Zeit

Zei te

Zeit t0

Ko

sm

isch

e S

ph

äre

n

we

rde

n d

urc

h z

nu

mm

eri

ert

Lichtlaufzeit in Mrd. Jahren

Wir sind hier

Interessant ist es,

Verteilung für z > 1

zu bestimmen !

Mrd. von Galaxien

Ro

tve

rsc

hie

bu

ng

z

Strukturen wachsen

durch Selbstgravitation

Herleitung des Hubble-Gesetzes

Pfeile geben an, um

wieviel die Emis-

sionslinie nach rot

verschoben ist.

Frage: Rotverschiebung z = 0,158 welche Distanz D?

Quasar 3C 273

z = (lB – l0)/l0

Hubble-Gesetz

& Bedeutung H0

=

• Falsch: „Hubble hat die Expansion des

Raumes 1929 gefunden.“ Hubble hat nur die

Rotverschiebungen von Vesto Slipher, die er nicht

mal zitierte, mit seinen Cepheiden-Distanzen von

Galaxien zufällig korreliert! Hubble glaubte nie an

die Expansion des Raumes.

• Wahr: Lemaître hat die Expansion des Raumes

theoretisch 1927 postuliert und daraus den

Ursprung der kosmischen Rotverschiebung von

Galaxien erklärt, sowie das Hubble-Gesetz theo-

retisch hergeleitet und empirisch untermauert.

Das war absolut genial! De Sitter hat dies verpasst

• Vorschlag: E-ELT als Lemaître-Telescope

Was ist wahr ? Was ist falsch ?

Wer war Georges Lemaître ? *1894 in Belgien / 1920 / 1927 / 1933 / 1951

• „According to the theory of relativity, a

homogeneous universe may exist, …;“

• „There is no centre of gravity.“

• „Space is elliptic, i.e. of uniform positive curvature

1/R².“ Metrik Ansatz: ds² = c²dt² - R²(t)ds² (1)

• „The volume of space has a finite value ²R³.“

• „When a light source is near enough, we have the

approximate formula ( heute: „Hubble-Gesetz“)

(23) cz = (R´/R) r | z + 1 = dt0/dt1 = R0/R1

where r is the distance of the source.“

“Homogeneous Universe of Constant

Mass and Increasing Radius” k=1 G. Lemaître 1927 / übersetzt in MNRAS 1931

Emission Obs |

David L. Block 2012: Hubble-Konstante in der Übersetzung 1931 unterschlagen.

„Uratom“

Lemaître 1931: “The Beginning of the World

from the Point of View of Quantum Theory”

• “SIR ARTHUR EDDINGTON1 states that,

philosophically, the notion of a beginning of the present

order of Nature is repugnant to him. I would rather be

inclined to think that the present state of quantum theory

suggests a beginning of the world very different from the

present order of Nature. Thermodynamical principles

from the point of view of quantum theory may be stated

as follows: (1) Energy of constant total amount is

distributed in discrete quanta. (2) The number of distinct

quanta is ever increasing. If we go back in the course of

time we must find fewer and fewer quanta, until we find

all the energy of the universe packed in a few or even in

a unique quantum.”

• Als der lange Vortrag seines Gegenübers endete, erhob

sich der Mann mit dem struppigen Haar und dem grauen

Anzug (Albert Einstein) feierlich und klatschte in die

Hände. "Das ist die wundervollste und

befriedigendste Erklärung der Entstehung der Welt,

die ich je gehört habe", sagte er zu seinem

Gegenüber. Schwer zu sagen, was erstaunlicher war:

dass der Applaudierende kein geringerer war als Albert

Einstein. Oder, dass der berühmte Physiker einem Mann

gratulierte, der einen Priesterkragen trug. Der Belgier

erhielt dieses Kompliment von niemand Geringerem als

Albert Einstein. Es war der Beginn einer Wissen-

schaftsrevolution. Das Universum entstand im Bruch-

teil einer Sekunde aus einem winzigen „Uratom“.

Georges Lemaître am CalTech erklärt im Januar 1933 AE den Big Bang

Hubble-Gesetz mit Supernovae

• H0 ist die “Hubble Konstante”,

• H0 = 63 +/- 10

km/s/Mpc

Calán/Tololo Daten 1989 - 1995

Hubble-Gesetz ist global falsch

Camenzind 2011

Lichtkegel im statischen Universum Zeitartige Weltlinie

Raumartige

Weltlinie

Lichtkegel in der Gödel RaumZeit

Die Hubble-Sphäre RH = c/H(t)

Einstein-de-Sitter a(t) ~ t2/3 RH = 3ct/2

Rückwärts-

Lichtkegel

„birnenförmig“

wächst mit der Zeit

Heute

Mit

de

r Z

eit

ist

ein

im

mer

grö

ßere

r B

ere

ich

üb

erb

lickb

ar

Das ganze

Universum

Unsere Weltlinie

Lichtkegel ist

birnenförmig

Beobachtbares

Universum

füllt den Lichtkegel

Materieverteilung im Rückwärtslichtkegel

Computer Simulation

Äquatorebene d = 0

Strukturen werden

immer jünger,

je weiter entfernt.

BOSS Survey

Rückblickzeit in Mrd. Jahren R

otv

ers

ch

ieb

un

g z

Quasar Sphäre

HS wird entleert

LCDM Hubble-Sphäre RH = c/H(t)

Rückwärts-

Lichtkegel

Heute

Die

Hu

bb

le-S

ph

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c/H

(t)

~ c

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ch

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M

B

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ich

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ie b

eo

bach

tbar

Distanz in Mrd. LJ

Zeit

in

Mrd

. Jah

ren

Unsere Weltlinie

Nie

be

ob

ach

tba

r

Ho

rizo

nt

LCDM Ereignishorizont

& Teilchenhorizont

Der Rückwärts-Lichtkegel ist birnenförmig (light cone).

Teilchenhorizont (particle horizon) markiert die max. Distanz,

die Photonen von t=0 bis zu einer Zeit t zurücklegen können.

Ereignishorizont (event horizon): Wieviel vom Universum kann

ich überblicken, wenn ich unendlich lange warte?

Alle Galaxien werden aus dem Ereignishorizont entschwinden!

Beobachter

Rotverschiebung z

Unser Platz

Q

Beobachtbares Universum endlich

Photosphäre

Universum

2,725 K

380.000 LJ

Strahlungssphäre:

Photon-dominiertes

neutrales Plasma

1 e- auf 2 Mrd. Phot

Big Bang

t = 0:

Rand des

Universums

. .

. .

. .

. . . .

.

.

. .

. . . Temperatur

nimmt zu

T 1032 K

… löst Olbers Paradoxon Warum ist der Nachthimmel dunkel?

Nur 100 Mrd. Galaxien sichtbar!

• in jedem expandierenden Universum

tritt die kosmische Rotverschiebung auf

1+z = 1/a Maß für die Expansion;

• Wellenlängen werden durch die

Expansion gestreckt: lBeob = lem(1+z);

• kosmische Rotverschiebung ist kein

Dopplereffekt (Lemaître 1927);

• in jedem expandierenden Universum

ist Hubble-Relation cz = H0d erfüllt, z<0,1

• beobachtbares Universum endlich!

Fazit: Expansion