Geometrische Struktur und FreiformarchitekturJohannes Wallner, TU Graz Helmut Pottmann, KAUST und TU Wien

Die Realisierung von freien Formen in der Archi-tektur mit Hilfe der zur Verfugung stehenden Hilfs-mittel und unter Berucksichtigung von asthetischenVorgaben zieht seit geraumer Zeit die Aufmerksam-keit nicht nur von Architekten, sondern auch vonIngenieuren und Mathematikern auf sich. Wahrendes vom Prinzip her einfach ist, eine beliebige Formdurch ein Dreiecksnetz zu ersetzen und als Stahl-Glas-Konstruktion zu realisieren, will man sich oftnicht darauf beschranken und einigen dort auftreten-den Detailproblemen ausweichen, und ist daher be-strebt, freie Formen auch in Vierecksnetze mit ebe-nen Facetten, Sechsecksnetze, oder in eine Folgevon abwickelbaren Blechstreifen aufzulosen – allediese Aufgaben sind schwieriger. Fur einen effizi-enten Zugang zu all diesen Problembereichen sindgeometrische Uberlegungen in Verbindung mit Me-thoden des Computer Aided Geometric Design undmathematischer Optimierung notwendig, bevor dieubliche Auslegung und Berechnung nach den Re-geln der Ingenieurskunst durchgefuhrt werden kann.

Es ist besonders interessant vom Standpunkt derTradition der Darstellenden Geometrie in Osterreich,dass die elementare Raumgeometrie einen ent-scheidenen Beitrag zur Durchdringung dieses Pro-blemkreises und zum Ausbau von systematischenLosungsmethoden liefert. Letztere verdrangen lang-sam den traditionellen Zugang, der hauptsachlichauf Versuchen, Irrtum und Beharrlichkeit beruht undnur aufgrund des bei solchen Projekten enormenAufwandes gerechtfertigt war. Die Vorarbeiten ausdem Bereich der Geometrie uber Eigenschaftenvon Dreiecks- und Vierecksnetzen (ohne Bezug zuFragestellungen der Architektur) begannen in den1950er Jahren mit Robert Sauer in Munchen (siehesein 1970 erschienes Werk ‘Differenzengeometrie’)und anderen Autoren, zum Beispiel Walter Wunder-lich. Die jungeren Beitrage, auch die in diesem Ar-tikel diskutierte Arbeit uber Freiformarchitektur, beidenen die TU Wien federfuhrend ist, sind in dem Ge-biet der Diskreten Differentialgeometrie zusammen-gefasst. Dieses hat in den letzten Jahren einen enor-men Aufschwung genommen, was an der Schonheitder Theorie und seiner Relevanz sowohl fur die klas-sische Differentialgeometrie als auch fur die geome-trische Datenverarbeitung liegt.

Abbildung 1: Das Yas Island Hotel in Abu Dhabi, durchwelches die Formel 1-Rennstrecke fuhrt (Asymptote Ar-chitecture; Computermodell).

Abbildung 2: Yas Island Hotel. Links: Testaufbau amWerksgelande von Waagner-Biro Stahlbau, Wien. Rechts:Montage.

Abbildung 3: Das dem Yas Island Hotel zugrundeliegendeVierecksnetz (oben) wurde durch einen Unterteilungsal-gorithmus und Ubergang zu Diagonalen erzeugt (EvoluteGmbH).

Effizientes Modellieren und Optimieren

Ein haufig verwendetes Prinzip fur das effizienteModellieren von freien Formen besteht darin, letz-tere von wenigen interaktiv steuerbaren Elementenabhangig zu machen. Diese Prozedur kennt manzum Beispiel von Splineflachen. Im Zusammenhangmit der Optimierung von Netzen benutzt man je-doch eher die bekannten Unterteilungsalgorithmenaus der Computergraphik (z.B. die Algorithmen vonDoo-Sabin oder von Catmull-Clark). Mit ihrer Hilfekann ein grobes Netz, sei es ein Dreiecksnetz oderein Vierecksnetz, verfeinert werden – falls gewuscht,im Limes bis hin zu einer glatten Flache. Zur Illustra-tion siehe Abb. 3: Variable bei der Formoptimierungsind die Knoten eines groben Vierecksnetzes, vondem das dem Bauwerk zugrundliegende Netz erstabgeleitet wird; siehe auch Abbildung 10.

Raumliche Kreispackungen

Als konkrete geometrische Struktur erwahnen wirDreiecksnetze mit der Eigenschaft, dass die Inkrei-se benachbarter Dreiecke einander beruhren. Es istnicht schwer zu sehen, dass dies genau dann ge-schieht, wenn die Summen der Langen gegenuber-liegender Seiten in dem hier entstehenden wind-schiefen Viereck gleich sind, und dass dann dievier restlichen Beruhrpunkte Inkreis—Seite auf ei-nem gemeinsamen Kreis liegen. Es stellt sich her-aus, dass jedes einfach geschlossene Dreiecksnetzmit Rand und ohne Locher auf diese Eigenschaft hinoptimierbar ist. Die spezielle geometrische Konfigu-ration benachbarter Elemente erlaubt die Konstruk-tion abgeleiter Strukturen, von denen Abbildungen 4und 5 Beispiele zeigen. Wir gehen nicht ins Detail,sondern verweisen auf den Artikel von A. Schiftneret al. [2009].

Die Losungstheorie des zugrundeliegenden Opti-mierungsproblems ist eng mit der komplexen Funk-tionentheorie und den winkeltreuen Abbildungenzwischen Flachen verknupft und scheint mathema-tisch schwierig zu sein. Es zeigt sich hier wie auch

Abbildung 4: Dreiecksnetz mit der Eigenschaft, dassdie Inkreise (orange) benachbarter Dreiecke einanderberuhren und zwei davon abgeleitete Strukturen: Packungvon Kugeln (blau) und Sechseckswabenstruktur (rot). Je-des planare Teil der letzteren beruhrt 2 Kugeln und schnei-det 2 Inkreise orthogonal.

Abbildung 5: Auflosung einer Freiformflache in eine ap-proximative Kreispackung, deren Kombinatorik regularsechszahlig ist. Diese Konstruktion beruht auf einem Drei-ecksnetz analog zu Abbildung 4 (Figur: H. Schmiedhofer).

an anderen Stellen ganz deutlich, dass raumgeome-trisches Wissen die Grundlage fur das Verstandnisder lokalen Beziehungen zwischen den einzelnenElementen in großraumigen geometrischen Struktu-ren darstellt, dass aber das effiziente Arbeiten mitletzteren die vereinten Krafte von reiner Mathema-tik, angewandter Mathematik und Informatik erfor-dert: um die prinzipielle Losbarkeit zu entscheiden,um ein Losungsverfahren zu finden, und um schließ-lich das Verfahren tatsachlich durchzufuhren. Trotz-dem ist es keine Ubertreibung, der Raumgeometrieeine Schlusselrolle zuzuschreiben.

Ebene Vierecksnetze

Fur die Ausfuhrung von Stahl-Glas-Konstruktionenist die Problemstellung wichtig, ein Netz aus drei-und viereckigen Facetten durch moglichst kleine Be-wegungen der Knoten so zu optimieren, dass alle

Abbildung 6: Das Krummungsschwein aus [Liu et al.2006]. Oben: Zwei Scharen von konjugierten Kurven aufeiner Freiformflache – hier sind die Hauptkrummungs-linien gewahlt worden. Mitte: Netz, dessen Facettenhauptsachlich aus Vierecken bestehen und das dem kon-jugierten Kurvennetz folgt. Unten: Optimiertes Netz mitplanaren Facetten. Es gibt keinen offensichtlichen Unter-schied zur vorigen Figur.

Facetten, auch die viereckigen, eben werden. DieZielfunktion fur die Optimierung ist leicht gefunden:Es ist bekannt, dass ein raumliches n-Eck genaudann eben und konvex ist, wenn die Winkel zwi-schen den Kanten (im Intervall zwischen 0 und 180Grad gemessen) eine Winkelsumme von 180 (n–2)Grad ergeben. Ansonsten ist die Winkelsumme echtkleiner. Die Optimierung besteht folglich in der Maxi-mierung der Summe aller auftretenden Winkel zwi-schen Nachbarkanten.

Leider zeigt sich diese Zielfunktion recht wider-spenstig gegenuber Optimierungsversuchen, undeine mathematische Analyse (siehe die Arbeit vonLiu et al. [2006]) zeigt, dass dieses Problem ein we-nig anders geartet ist als das vorige, das Dreiecks-netze betraf. Es ist mathematisch leichter zu durch-schauen, dafur algorithmisch schwerer zu losen.

Die Optimierung ist im allgemeinen nur dannmoglich, wenn das Ausgangsnetz bereits fast plana-re Facetten besitzt. Es stellt sich also die grundsatz-liche Frage nach der Segmentierung einer Freiform-

flache in ein Vierecksnetz mit (fast) ebenen Facet-ten. Die Antwort ist in der diskreten Differentialgeo-metrie seit langer Zeit bekannt: Eine solche Zerle-gung muss einem sogenannten konjugierten Kur-vennetz auf der gegebenen Freiformflache folgen.Abbildung 6 illustriert dieses Verfahren an einem derin der Computergraphik so gerne verwendeten Da-tensatze aus dem tierischen Bereich.

Um zu erklaren, was ein konjugiertes Kurvennetzist, bemuhen wir wieder die Darstellende Geome-trie: Zwei Scharen von Kurven (wie die gelbe und dieblaue Schar in Abbildung 6) sind konjugiert, wenn injedem Punkt wo zwei Kurven einander treffen, dieTangenten zueinander konjugiert sind. Dabei sindzwei Tangenten einer Flache konjugiert, wenn mandie eine als Lichtstrahl und die andere als Tangentean eine Schattengrenze auffassen kann. Die konju-gierten Kurvennetze auf einer Flache sind ein ma-thematisches Objekt, das man gut versteht.

Abbildung 7: Auflosung einer Freiformflache in eine Folgeaus abwickelbaren, einfach gekrummten Streifen.

Einfach gekrummte Streifenmodelle

Seit Frank O. Gehry abwickelbare Flachen promi-nent in der Architektur eingesetzt hat (die DisneyConcert Hall in Los Angeles, 1989–2004, ist hierein Hohepunkt), stehen Freiformgeometrien, die ausgebogenem Blech erzeugt werden, im Zentrum derAufmerksamkeit. Es ist deshalb sehr interessant,

Abbildung 8: Links: Zlote Tarasy, Warschau (Design Jerde Partnership International, Ausfuhrung Waagner-Biro Stahlbau).Stahl-Glas-Konstruktion, die einem Dreiecksnetz folgt. Mitte: Detailansicht. Rechts: Ein Knoten, der mehrere Trager ver-bindet, wird aus Tragerteilen und einem zentralen durch Plasmaschneiden aus einer dicken Stahlplatte erzeugten Stuckvorgefertigt. Man kann deutlich erkennen, dass die Symmetrieebenen der an dem Knoten beteiligten Trager keine eindeu-tige Knotenachse definieren (d.h. der Knoten ist nicht torsionsfrei).

dass zwischen der Auflosung einer Freiformflachein eine Folge von abwickelbaren, einfach gekrumm-ten Blechstreifen (Abbildung 7) und der vorhin ange-sprochenen Segmentierung einer Flache in ebeneVierecke ein direkter Zusammenhang besteht:

Man kann eine Abfolge von Streifen als teilweisenLimes eines regularen Vierecksnetzes mit planarenFacetten ansehen. Deshalb ist das Ersetzen einerglatten Flache durch ein abwickelbares Streifenmo-dell konzeptuell nicht sehr verschieden vom Findeneines Vierecksnetzes mit planaren Facetten fur die-se Flache. Fur Details siehe Pottmann et al. [2008].

Mehrschichtkonstruktionen

Bei Freiformarchitektur geht es nicht nur um ei-ne Segmentierung der gegebenen Form in bau-bare Einzelteile nach asthetischen Gesichtspunk-ten, sondern auch um die effiziente Verbindung die-ser Teile und um deren Funktion. Zum Beispiel istes sehr wunschenswert, dass bei einer Stahl-Glas-Konstruktion die Stahltrager, die den Kanten einesNetzes folgen, in einem Knoten nicht ganz belie-big zusammenstoßen, sondern dass die Symmetrie-ebenen der Trager einander in einer gemeinsamenKnotenachse schneiden. Es stellt sich jedoch her-aus, dass diese Forderung fur Dreiecksnetze außerfur Spezialfalle unerfullbar ist (Abbildung 8).

Abbildung 9: Detail einer Mehrschichtkonstruktion, die aufeinem konischen Netz basiert. Eine Schicht folgt demNetz, eine zweite folgt einem dazu parallelen Netz in kon-stantem Flache-Flache-Abstand.

Die meisten dieser funktionellen Eigenschaften las-sen sich dem Begriff ‘Mehrschichtkonstruktionen’unterordnen. Fur Details verweisen wir auf die Ar-beiten von Liu et al. [2006] und Pottmann et al.[2007]. Es soll hier nur exemplarisch auf die ‘koni-schen Netze’ eingegangen werden: Das sind Vier-ecksnetze, mit vier Kanten und vier Facetten proKnoten, die die Eigenschaft haben, dass Parallelver-schieben jeder Facetten-Ebene um dieselbe Schieb-strecke in Richtung der jeweils eigenen Ebennorma-le vier neue Ebenen erzeugt, die einander nach wievor in einem gemeinsamen Punkt schneiden. SolcheVierecksnetze haben dann ein außeres Parallelnetzin konstantem Flache-Flache-Abstand (siehe Abbil-dungen 9 und 10).

Es ist nicht schwer, sich zu uberlegen, dass die-se Eigenschaft, ein Parallelnetz zu besitzen, aqui-valent zur Existenz von Drehkegeln mit Spitzen in

Abbildung 10: Links: Das konisches Netz im Vordergrund ist aus dem groben Netz im Hintergrund durch abwechselndesUnterteilen und Optimieren (auf Planaritat der Facetten und die konische Eigenschaft) erzeugt worden. Rechts: Architek-turentwurf, der auf dem diesem konischen Netz beruht (B. Schneider).

den Netzknoten ist, die die angrenzenden Facet-ten beruhren. Interessanterweise ist diese Eigen-schaft weiter aquivalent dazu, dass fur jeden Kno-ten die Summen von einander gegenuberliegendenWinkeln zwischen Kanten gleich groß ist. Das ist furdie Optimierung von Netzen hin zur konischen Ei-genschaft ein großer Vorteil, weil auch die Planaritatvon Netzen uber diese Winkel ausdruckbar ist.

Ausblick

In CAD-Systemen sind eine Fulle von Ent-wurfsmoglichkeiten fur Freiformflachen implemen-tiert. Methoden, die auf die Anforderungen in der Ar-chitektur abgestimmt sind, fehlen jedoch fast ganz-lich. Diese mussten verbunden sein mit einer Auftei-lung in Paneele, Auslegung der Unterkonstruktion,Einbeziehung von Materialien, und so fort, und ge-hen mit jeweils spezifischen geometrischen Proble-men einher. Die angesprochene Auslegung von tor-sionsfreien Knoten ware ein wichtiger Bestandteil,genauso wie die Kombination aus Unterteilungsal-gorithmen mit Optimierung. Jede Realisierung vonFreiformarchitektur muss eine Balance finden zwi-schen getreuer Wiedergabe der Form, der Komple-xitat der Einzelteile, dem gewunschten Material, undden vertretbaren Kosten. Hilfskonstruktionen spie-len eine große Rolle, wie zum Beispiel das lokaleErsetzen einer Freiformflache durch Regelflachen,

damit auf dem Umweg uber Heizdrahtschneidenvon Styroporformen dann glasfaserverstarkte Be-tonpaneele hergestellt werden konnen. Geometri-sche Losungen fur Probleme dieser Art sind derzeitdie Domane von Spezialisten und noch weit von ei-ner Einbindung in kommerzielle CAD-Systeme ent-fernt.

Danksagung

Die hier angesprochenen Forschungsergebnissewurden zum Großteil im Rahmen des vom Oster-reichischen Forschungsforderungsfonds (FWF)geforderten Nationalen Forschungsnetzwerks S92‘Industrial Geometry’ an TU Wien und TU Grazerzielt. Die Autoren bedanken sich herzlich beiAlexander Schiftner und Heinz Schmiedhofer (TUWien), sowie bei der Fa. Waagner Biro Stahlbau(Wien) und Evolute GmbH (Perchtoldsdorf) fur dasfreundliche Uberlassen von Daten und Bildmaterial.

Literatur

Y. Liu, H. Pottmann, J. Wallner, Y.-L. Yang, W. Wang: Geometricmodeling with conical meshes and developable surfaces. SIG-GRAPH 2006. www.geometrie.tugraz.at/wallner/quad06.pdf

H. Pottmann, Y. Liu, J. Wallner, A. Bobenko, W. Wang: Geome-try of multi-layer freeform structures for architecture. SIGGRAPH2007. www.geometrie.tugraz.at/wallner/parallel.pdf

H. Pottmann, A. Schiftner, P. Bo, H. Schmiedhofer, W. Wang, N.Baldassini, J. Wallner: Freeform surfaces from single curved pa-nels. SIGGRAPH 2008.www.geometrie.tugraz.at/wallner/strip.pdf

R. Sauer: Differenzengeometrie. Springer, 1970.

A. Schiftner, M. Hobinger, J. Wallner, H. Pottmann. Packing circlesand spheres on surfaces. SIGGRAPH Asia 2009.www.geometrie.tugraz.at/wallner/packing.pdf

LEHRBUCH: H. Pottmann, A. Asperl, M. Hofer, A. Kilian: Archi-tekturgeometrie. Bentley Institute Press / Springer Wien, 2009.www.architecturalgeometry.at