Geometry-based and Texture-based Visualization of ... · PDF file 3.2.3 Texture Design and...

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Transcript of Geometry-based and Texture-based Visualization of ... · PDF file 3.2.3 Texture Design and...

  • eingereicht von: Claudia Stripf geb. am 07. Juni 1972 in Karlsruhe

    Geometry-based and Texture-based Visualization of Segmented Tensor Fields

    Diplomarbeit

    Humboldt-Universität zu Berlin Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II

    Institut für Informatik

    Berlin, den 1. August 2011

    Erstgutachter:

    Prof. Dr. Peter Eisert

    Zweitgutachter:

    Dr. Ingrid Hotz

  • Table of Contents

    1 Challenges in Tensor Field Visualization and Related Work 1

    1.1 Introduction 1

    1.2 Mathematical Fundamentals 3 1.2.1 Notation 4 1.2.2 What is a Tensor? 4 1.2.3 Properties of Tensors, their Decomposition and Important Qual-

    ities 4 1.2.4 Tensors and their Application 7 1.2.5 Topology and Singularities 9

    1.3 Topology Extraction and Segmentation 13 1.3.1 Topology Extraction 13 1.3.2 Segmentation 15

    1.4 Related Work 16 1.4.1 Related Visualization Concepts 16 1.4.2 Related Methodological Work 19

    1.5 A System for Visual Data Analysis – Amira 20

    1.6 Preview 21

    2 Conceptual Details and Implementation 23

    2.1 Data Structures and Requirements 24 2.1.1 Data Structure 24 2.1.2 Requirements and Pre-processing 25

    2.2 Transformation of Eigenvalues 26 2.2.1 The Metric 27

    2.3 Topology-based and Segmentation-based Glyph Placement 28 2.3.1 The Algorithm 28 2.3.2 Implementation 32 2.3.3 Parameters 34 2.3.4 Constraints 36

    2.4 Texturization of Segmented Tensor Fields 37

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  • TABLE OF CONTENTS

    2.4.1 Fundamentals 37 2.4.2 The Algorithm 40 2.4.3 Implementation 47 2.4.4 Blur by Fractional Anisotropy or Shear Stress 48 2.4.5 Constraints 48

    3 Analysis of Geometry-based and Texture-based Visualization of Tensor Fields 51

    3.1 Datasets 51

    3.2 Results 52 3.2.1 Geometry-based Visualization of Segmented Tensor Fields 52 3.2.2 Texture-based Visualization of Segmented Tensor Fields 54 3.2.3 Texture Design and Input Pattern Frequency 59

    3.3 Discussion 60 3.3.1 Mutual Agreement and Differences of the Visualization Methods 61 3.3.2 Evaluation of the Visualization Methods 62

    3.4 Conclusion 63

    3.5 Future Work 64

    A Pseudo-Code 67

    A.1 Pre-processing 67

    A.2 Topology-based and Segmentation-based Glyph Placement 69

    B Shaders 70

    B.1 Texturization of Segmented Tensor Fields 70

    References 75

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  • List of Figures

    1.1 Geometry-based and texture-based tensor field visualization 3 1.2 Deformation 8 1.3 Tensor interpolation 9 1.4 Divergence and vorticity 10 1.5 Vector fields 11 1.6 Critical points 11 1.7 Degenerate points 12 1.8 Topology 13 1.9 Half-sectors 14 1.10 Cells defined by topological skeleton 14 1.11 Segmentation 15 1.12 LIC 18 1.13 HyperLIC 19 1.14 Physically-based methods for tensor field visualization 19 1.15 Amira 21

    2.1 Outline of the cells of the segmentation 25 2.2 Pre-processing 26 2.3 Transfer functions 27 2.4 Visualization of the two key steps for computing the center of area 29 2.5 Signed area of triangles 31 2.6 Partitioning of a polygon 31 2.7 Topological graph with barycentroids I 33 2.8 Characteristic cells 34 2.9 Topological graph with barycentroids II 35 2.10 Topological graph with barycentroids III 36 2.11 Potential 37 2.12 OpenGL programmable render pipeline 38 2.13 Texture mapping 39 2.14 Computation of the texture coordinates 41 2.15 Texture mapping for triangles 41 2.16 Two-point load with texture mapping I 43 2.17 Two-point load with texture mapping II 43 2.18 Adaptive pattern scaling II 46 2.19 Adaptively scaled pattern 49

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  • LIST OF FIGURES

    3.1 Outline of two cubic domains with loads applied 52 3.2 Segmentation-based and topology-based glyph placement I 53 3.3 Segmentation-based glyph placement II 54 3.4 Comparison of shaders I 55 3.5 Comparison of shaders II 55 3.6 Two-point load with adaptively scaled pattern 56 3.7 Experimental results I 57 3.8 Blur by fractional anisotropy 58 3.9 Blur by shear 58 3.10 One-point load rendered with two different input pattern. 59 3.11 Two-point load rendered with a bidirectional input pattern. 60 3.12 Experimental results II 61 3.13 Geometry-based and texture-based tensor field visualization 62

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  • Zusammenfassung

    Tensoren werden häufig verwendet um physikalische und mechanische Phä- nomene zu beschreiben. Der Begriff der Tensoren wurde in der Physik eingeführt und später vor allem im Bereich der Tensoralgebra mathema- tisch präzisiert. Tensoren sind in verschiedenen wissenschaftlichen Berei- chen geläufig, z. B. der Medizin, der Geologie, der Physik und der Mecha- nik. Dennoch sind Tensoren aufgrund ihrer Komplexität oft nur schwer zu analysieren und interpretieren, dies hat zur Entwicklung der Tensorfeld- visualisierung geführt. Die Tensorfeldvisualisierung ist ein Teilgebiet der wissenschaftlichen Visualisierung. Deren Methoden konzentrieren sich vor allem auf die Visualisierung skalarer Werte und Vektorfelder. Diese Me- thoden müssen für die Tensorfeldvisualisierung erweitert werden, da Ten- soren mehr Informationen codieren. Die Bedeutung der einzelnen Kompo- nenten eines Tensors ist ohne Kontext nicht offensichtlich. Vielmehr bildet ein Tensor eine Einheit, welche als Ganzes analysiert werden muss. Dies kann durch eine Analyse der Invarianten eines Tensors durchgeführt wer- den, z. B. der Eigenwerte und Eigenvektoren. Der Schwerpunkt in dieser Arbeit liegt auf Spannungstensoren aus der Mechanik.

    In dieser Arbeit wurden zwei verschiedene Visualisierungsmethoden für zweidimensionale segmentierte Tensorfelder entwickelt. Eine diskrete Vi- sualisierungsmethode, welche die Spannungen im Tensorfeld anhand von geometrischen Objekten sichtbar macht, und eine stückweise kontinuier- liche Visualisierungsmethode, welche die Spannungen im Tensorfeld an- hand von Texturen veranschaulicht. Bei der Segmentierung des Tensor- feldes werden Regionen mit ähnlichen Eigenschaften extrahiert. Diese Re- gionen sind als Zellen gegeben und dienen als Grundlage für die Visua- lisierungen. Die Aufgabe der Visualisierung mittels geometrischer Objek- te ist es, lokale Repräsentanten in den Zellen zu platzieren, so dass die Eigenschaften des Tensorfeldes deutlich werden. Um diese Eigenschaften zu visualisieren, werden die Eigenwerte auf ein beschränktes positives In- tervall abgebildet. Dieser Ansatz ist eine Modifikation der in der Tensor- feldvisualisierung bekannten Methode des „glyph placement“. Im Gegensatz zur diskreten Visualisierung des Tensorfeldes mittels geometrischer Ob- jekte liefert der texturbasierte Ansatz eine stückweise kontinuierliche Vi- sualisierung. Die charakteristischen Merkmale wie Druck und Zug werden dabei durch Texturen wider gegeben. Dabei wird einerseits eine Eingabe- textur nach dem zugrunde liegenden Eigenvektorfeld ausgerichtet, anderer- seits durch die transformierten Eigenwerte skaliert und auf die einzelnen Zellen aufgetragen.

    Beide Visualisierungsmethoden werden anhand von zwei simulierten Bei- spielen demonstriert und miteinander verglichen.

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  • Abstract

    Tensors are commonly used to describe physical and mechanical phenom- ena. The concept of tensors was introduced in physics and later refined in mathematics, especially in the field of tensor algebra. Tensors are used in different scientific areas, for example medicine, geology, physics and me- chanics. However, due to the inherent complexity of tensor data, analysis and interpretation is often difficult; this has led to the development of ten- sor data visualization methods. Tensor field visualization is a sub-branch of scientific visualization. Scientific visualization focuses on scalar-based and vector-based methods. For tensor field visualization these methods are extended, as tensors are multivariate by nature and encode more infor- mation. The meaning of individual components of a tensor is not obvious without context; a tensor forms one entity that must be analyzed as a whole. The tensor invariants, e.g. eigenvalues and eigenvectors, provide a useful means of analysis. The focus in this thesis is on stress and strain tensors.

    This work is concerned with two different visualization approaches for 2D segmented tensor fields. Based on a pre-computed segmentation of the orig- inal tensor field, a geometry-based discrete visualization and a piecewise continuous texture-based visualization are presented. The segmentation of the tensor field allows extraction of regions with similar properties. These regions are given as explicit cells and serve as the basis for the visualiza- tion. The task of the geometry-based visualization approach is to place a geometric icon in each extracted cell. The icon represents chosen tensor characteristics for the extracted cell. In order to visualize these charac- teristics, the eigenvalues are transformed to a restricted positive interval. This approach is a modification of glyph placement, which is a well-known in tensor field visualization method. In contrast to discrete visual repre- sentation of the tensor field by glyphs, texture-based visualization provides a piecewise continuous representation. The characteristic features of the tensor field - regions and directions of compressive and expansive forces - are represented by textures. An input texture pattern is aligned according to the eigenvector field, scaled by the transformed eigenvalues and mapped onto each cell.

    As proof of concept, the methods developed in this thesis are applied to synthetic datasets and the visualization approaches are compared.

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  • Chapter 1

    Challenges in Tensor Field Visualization and Related Work

    1.1 Introduction

    The word