Gleichgewicht: Thales, Pythagoras und · PDF file...

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  • Gleichgewicht: Thales, Pythagoras und Archimedes

    Hans Walser

    www.math.unibas.ch/~walser

  • Rollt der Kreis ab?

  • Wo ist der Schwerpunkt?

    Rollt der Kreis ab?

  • Archimedes comes in

    Lokale Schwerpunkte

  • Archimedes comes in

    Lokale Schwerpunkte Hebelgesetze

  • Archimedes comes in

    Hebelgesetze

  • Gleichgewichtsfigur: Punkte auf einem Kreis, Mittelpunkt ist Schwerpunkt

  • Einfachstes Beispiel: Durchmesser im Thaleskreis

    A1

    A2

  • C A1

    A2

    d2

    r

    Pythagoras: d1 2 + d2

    2 = 4r2

    d1

    Einfachstes Beispiel: Durchmesser im Thaleskreis

  • C

    Normierung:

    A1

    A2

    Pythagoras:

    r = 1

    r = 1

    d2

    d1

    d1 2 + d2

    2 = 4

    Einfachstes Beispiel: Durchmesser im Thaleskreis

  • Hypotenuse ein Rechteck

    A1

    A2

    d1 2 + d2

    2 + d3

    2 + d4

    2 = 8

    A4

    4 Punkte:

    C

    A3

    d4

    d3

    2 Punkte:

    (trivial!)

    d2

    d1

    d1 2 + d2

    2 = 4

  • d1 2 + d2

    2 = 4

    Hypotenuse ein Dreieck

    A1

    A2

    4 Punkte:

    C

    A3 d3

    2 Punkte: 3 Punkte: d1

    2 + d2

    2 + d3

    2 = ?

    d2

    d1

    d1 2 + d2

    2 + d3

    2 + d4

    2 = 8

  • d1 = 2

    d2 = 1

    d3 = 1

    Sonderfall: Symmetrie

    A1

    A2

    C

    d1

    d2

    A3

    d3

    d1 2 + d2

    2 + d3

    2 = 6

  • A1

    A2

    = C d1

    d2

    A3 d3 = 0

    Sonderfall: Symmetrie d1 2 + d2

    2 + d3

    2 = 6

    d1 = 3

    d2 = 3

    d3 = 0

  • A1

    A2

    C

    A3

    Sonderfall: Symmetrie im Raum d1 2 + d2

    2 + d3

    2 = 6

    d1 = 2

    d2 = 2

    d3 = 2

  • Und?

    A1

    A2

    C

    A3

  • Vermutung: d1 2 + + dn

    2 = 2n

    n = Anzahl Punkte

  • Vermutung:

    Symmetrische Beispiele in der Ebene:

    Stoeter, Carsten und Wohlrabe, Klaus: Vergessene Längen. Besondere Eigenschaften regulärer Vielecke. MNU 62/1 (15. 1. 2009), S. 10-14

    Stoeter, Carsten und Wohlrabe, Klaus: Zu: Vergessene Längen. MNU 64/1 (15. 1. 2011)

    d1 2 + + dn

    2 = 2n

  • Voraussetzung: Gleichgewichtsfigur mit n Punkten

    Es gilt: Summe der Quadrate der Abstände von C ist 2n

    Beweis:

    Koordinatenursprung im Mittelpunkt

    Punkte auf Kreis:

    Schwerpunkt im Mittelpunkt:

    Beliebiger Punkt C:

    Abstand:

    a j = OAj , j 1,…,n{ }

    1 n

    a j j=1

    n = 0

    c = OC

    a j c

  • Voraussetzung: Gleichgewichtsfigur mit n Punkten

    Es gilt: Summe der Quadrate der Abstände von C ist 2n

    Beweis:

    Koordinatenursprung im Mittelpunkt

    Punkte auf Kreis:

    Schwerpunkt im Mittelpunkt:

    Beliebiger Punkt C:

    Abstand:

    a j = OAj , j 1,…,n{ }

    1 n

    a j j=1

    n = 0

    c = OC

    a j c

    Wenn man aufhören würde, Mathematik verstehen zu wollen, könnte man sie genießen wie Musik.

    Norbert A Campo

  • Voraussetzung: Gleichgewichtsfigur mit n Punkten

    Es gilt: Summe der Quadrate der Abstände von C ist 2n

    Beweis:

    Koordinatenursprung im Mittelpunkt

    Punkte auf Einheitskreis/ -Kugel:

    Schwerpunkt im Mittelpunkt:

    Beliebiger Punkt C:

    Abstand:

    a j = 1

    1 n

    a j j=1

    n = 0

    c = MC

    d j = a j c

    a j = MAj , j 1,…,n{ }

  • Voraussetzung: Gleichgewichtsfigur mit n Punkten

    Es gilt: Summe der Quadrate der Abstände von C ist 2n

    Beweis:

    Koordinatenursprung im Mittelpunkt

    Punkte auf Einheitskreis/ -Kugel:

    Schwerpunkt im Mittelpunkt:

    Beliebiger Punkt C:

    Abstand:

    a j = 1

    1 n

    a j j=1

    n = 0

    c = MC

    d j = a j c

    a j = MAj , j 1,…,n{ }

  • Voraussetzung: Gleichgewichtsfigur mit n Punkten

    Es gilt: Summe der Quadrate der Abstände von C ist 2n

    Beweis:

    Koordinatenursprung im Mittelpunkt

    Punkte auf Einheitskreis/ -Kugel:

    Schwerpunkt im Mittelpunkt:

    Beliebiger Punkt C:

    Abstand:

    a j = 1

    1 n

    a j j=1

    n = 0

    c = MC

    d j = a j c

    a j = MAj , j 1,…,n{ }

  • S = d j 2

    j=1

    n = a j c( )

    2

    j=1

    n = a j

    2

    j=1

    n

    =n

    2c a j j=1

    n

    =0

    + nc2 = n 1+ c2( )

    c2 = 1 S = 2n

    Summe der Quadrate der Abstände

    Dimensionsunabhängig

  • S = d j 2

    j=1

    n = a j c( )

    2

    j=1

    n = a j

    2

    j=1

    n

    =n

    2c a j j=1

    n

    =0

    + nc2 = n 1+ c2( )

    c2 = 1 S = 2n

    Summe der Quadrate der Abstände

    Dimensionsunabhängig

  • S = d j 2

    j=1

    n = a j c( )

    2

    j=1

    n = a j

    2

    j=1

    n

    =n

    2c a j j=1

    n

    =0

    + nc2 = n 1+ c2( )

    c2 = 1 S = 2n

    Summe der Quadrate der Abstände

    Dimensionsunabhängig

  • S = d j 2

    j=1

    n = a j c( )

    2

    j=1

    n = a j

    2

    j=1

    n

    =n

    2c a j j=1

    n

    =0

    + nc2 = n 1+ c2( )

    c2 = 1 S = 2n

    Summe der Quadrate der Abstände

    Dimensionsunabhängig

    Punkte auf

    Einheitskreis

    Schwerpunkt im Mittelpunkt

  • S = d j 2

    j=1

    n = a j c( )

    2

    j=1

    n = a j

    2

    j=1

    n

    =n

    2c a j j=1

    n

    =0

    + nc2 = n 1+ c2( )

    c2 = 1 S = 2n

    Summe der Quadrate der Abstände

    Dimensionsunabhängig

    Punkte auf

    Einheitskreis

    Schwerpunkt im Mittelpunkt

  • S = d j 2

    j=1

    n = a j c( )

    2

    j=1

    n = a j

    2

    j=1

    n

    =n

    2c a j j=1

    n

    =0

    + nc2 = n 1+ c2( )

    c2 = 1 S = 2n

    Summe der Quadrate der Abstände

    Summe der Quadrate der Abstände von C ist 2n

  • Kreisbögen („runde Abstände“)

    C A1

    A2

    2

    1

    1

  • Kreisbögen

    C A1

    A2

    2

    1

    1

    1 + 2 = cos 2( ) = cos 1( ) cos 1( ) + cos 2( ) = 0

  • Vermutung:

    C A1

    A2

    2

    1

    1

    cos j( ) j=1

    n = 0

    1 + 2 = cos 2( ) = cos 1( ) cos 1( ) + cos 2( ) = 0

  • Vermutung:

    C

    cos j( ) j=1

    n = 0

    Die rote Spinne

  • Vermutung:

    C

    cos j( ) j=1

    n = 0

    Die rote Spinne?

  • Vermutung:

    C

    cos j( ) j=1

    n = 0

    Die rote Spinne?

  • Vermutung:

    Beweis:

    cos j( ) j=1

    n = 0

    cos j( ) = a jc

    a j c = a jc

    cos j( ) j=1

    n = a jc j=1

    n = c a j

    j=1

    n

    0

    = 0

  • Vermutung:

    Beweis:

    cos j( ) j=1

    n = 0

    cos j( ) = a jc

    a j c = a jc

    cos j( ) j=1

    n = a jc j=1

    n = c a j

    j=1

    n

    0

    = 0

    Einheitskreis/ -Kugel

  • Vermutung:

    Beweis:

    cos j( ) j=1

    n = 0

    cos j( ) = a jc

    a j c = a jc

    cos j( ) j=1

    n = a jc j=1

    n = c a j

    j=1

    n

    0

    = 0

  • Vermutung:

    Beweis:

    cos j( ) j=1

    n = 0

    cos j( ) = a jc

    a j c = a jc

    cos j( ) j=1

    n = a jc j=1

    n = c a j

    j=1

    n

    0

    = 0

    Schwerpunkt im Mittelpunkt

  • Gleichgewichtsfiguren, Beispiele:

    - Regelmäßige Vielecke

    - Platonische Körper

    - Punktsymmetrische Vielecke / Körper mit Umkreis / -Kugel

    - Kombination von Gleichgewichtsfiguren

    - Andere?

  • Gleichgewichtsfiguren: Kombination von Gleichgewichtsfiguren

  • Gleichgewichtsfiguren: Kombination von Gleichgewichtsfiguren

  • Gleichgewichtsfiguren: Kombination von Gleichgewichtsfiguren

  • Gleichgewichtsfiguren: Konstruktion von Gleichgewichtsfiguren

    M

    Beispiel: n = 5

  • Gleichgewichtsfiguren: Konstruktion von Gleichgewichtsfiguren

    M

    A1

    Beispiel: n = 5

    A1 beliebig

  • Gleichgewichtsfiguren: Archimedes

    M

    A1

    Beispiel: n = 5

    A1 beliebig

    Da hängen vier Massen dran.

  • Gleichgewichtsfigu