Gleichgewicht: Thales, Pythagoras und Archimedes

Hans Walser

www.math.unibas.ch/~walser

Rollt der Kreis ab?

Wo ist der Schwerpunkt?

Rollt der Kreis ab?

Archimedes comes in

Lokale Schwerpunkte

Archimedes comes in

Lokale Schwerpunkte Hebelgesetze

Archimedes comes in

Hebelgesetze

Gleichgewichtsfigur: Punkte auf einem Kreis, Mittelpunkt ist Schwerpunkt

Einfachstes Beispiel: Durchmesser im Thaleskreis

A1

A2

C A1

A2

d2

r

Pythagoras: d1 2 + d2

2 = 4r2

d1

Einfachstes Beispiel: Durchmesser im Thaleskreis

C

Normierung:

A1

A2

Pythagoras:

r = 1

r = 1

d2

d1

d1 2 + d2

2 = 4

Einfachstes Beispiel: Durchmesser im Thaleskreis

Hypotenuse ein Rechteck

A1

A2

d1 2 + d2

2 + d3

2 + d4

2 = 8

A4

4 Punkte:

C

A3

d4

d3

2 Punkte:

(trivial!)

d2

d1

d1 2 + d2

2 = 4

d1 2 + d2

2 = 4

Hypotenuse ein Dreieck

A1

A2

4 Punkte:

C

A3 d3

2 Punkte: 3 Punkte: d1

2 + d2

2 + d3

2 = ?

d2

d1

d1 2 + d2

2 + d3

2 + d4

2 = 8

d1 = 2

d2 = 1

d3 = 1

Sonderfall: Symmetrie

A1

A2

C

d1

d2

A3

d3

d1 2 + d2

2 + d3

2 = 6

A1

A2

= C d1

d2

A3 d3 = 0

Sonderfall: Symmetrie d1 2 + d2

2 + d3

2 = 6

d1 = 3

d2 = 3

d3 = 0

A1

A2

C

A3

Sonderfall: Symmetrie im Raum d1 2 + d2

2 + d3

2 = 6

d1 = 2

d2 = 2

d3 = 2

Und?

A1

A2

C

A3

Vermutung: d1 2 + + dn

2 = 2n

n = Anzahl Punkte

Vermutung:

Symmetrische Beispiele in der Ebene:

Stoeter, Carsten und Wohlrabe, Klaus: Vergessene Längen. Besondere Eigenschaften regulärer Vielecke. MNU 62/1 (15. 1. 2009), S. 10-14

Stoeter, Carsten und Wohlrabe, Klaus: Zu: Vergessene Längen. MNU 64/1 (15. 1. 2011)

d1 2 + + dn

2 = 2n

Voraussetzung: Gleichgewichtsfigur mit n Punkten

Es gilt: Summe der Quadrate der Abstände von C ist 2n

Beweis:

Koordinatenursprung im Mittelpunkt

Punkte auf Kreis:

Schwerpunkt im Mittelpunkt:

Beliebiger Punkt C:

Abstand:

a j = OAj , j 1,…,n{ }

1 n

a j j=1

n = 0

c = OC

a j c

Voraussetzung: Gleichgewichtsfigur mit n Punkten

Es gilt: Summe der Quadrate der Abstände von C ist 2n

Beweis:

Koordinatenursprung im Mittelpunkt

Punkte auf Kreis:

Schwerpunkt im Mittelpunkt:

Beliebiger Punkt C:

Abstand:

a j = OAj , j 1,…,n{ }

1 n

a j j=1

n = 0

c = OC

a j c

Wenn man aufhören würde, Mathematik verstehen zu wollen, könnte man sie genießen wie Musik.

Norbert A Campo

Voraussetzung: Gleichgewichtsfigur mit n Punkten

Es gilt: Summe der Quadrate der Abstände von C ist 2n

Beweis:

Koordinatenursprung im Mittelpunkt

Punkte auf Einheitskreis/ -Kugel:

Schwerpunkt im Mittelpunkt:

Beliebiger Punkt C:

Abstand:

a j = 1

1 n

a j j=1

n = 0

c = MC

d j = a j c

a j = MAj , j 1,…,n{ }

Voraussetzung: Gleichgewichtsfigur mit n Punkten

Es gilt: Summe der Quadrate der Abstände von C ist 2n

Beweis:

Koordinatenursprung im Mittelpunkt

Punkte auf Einheitskreis/ -Kugel:

Schwerpunkt im Mittelpunkt:

Beliebiger Punkt C:

Abstand:

a j = 1

1 n

a j j=1

n = 0

c = MC

d j = a j c

a j = MAj , j 1,…,n{ }

Voraussetzung: Gleichgewichtsfigur mit n Punkten

Es gilt: Summe der Quadrate der Abstände von C ist 2n

Beweis:

Koordinatenursprung im Mittelpunkt

Punkte auf Einheitskreis/ -Kugel:

Schwerpunkt im Mittelpunkt:

Beliebiger Punkt C:

Abstand:

a j = 1

1 n

a j j=1

n = 0

c = MC

d j = a j c

a j = MAj , j 1,…,n{ }

S = d j 2

j=1

n = a j c( )

2

j=1

n = a j

2

j=1

n

=n

2c a j j=1

n

=0

+ nc2 = n 1+ c2( )

c2 = 1 S = 2n

Summe der Quadrate der Abstände

Dimensionsunabhängig

S = d j 2

j=1

n = a j c( )

2

j=1

n = a j

2

j=1

n

=n

2c a j j=1

n

=0

+ nc2 = n 1+ c2( )

c2 = 1 S = 2n

Summe der Quadrate der Abstände

Dimensionsunabhängig

S = d j 2

j=1

n = a j c( )

2

j=1

n = a j

2

j=1

n

=n

2c a j j=1

n

=0

+ nc2 = n 1+ c2( )

c2 = 1 S = 2n

Summe der Quadrate der Abstände

Dimensionsunabhängig

S = d j 2

j=1

n = a j c( )

2

j=1

n = a j

2

j=1

n

=n

2c a j j=1

n

=0

+ nc2 = n 1+ c2( )

c2 = 1 S = 2n

Summe der Quadrate der Abstände

Dimensionsunabhängig

Punkte auf

Einheitskreis

Schwerpunkt im Mittelpunkt

S = d j 2

j=1

n = a j c( )

2

j=1

n = a j

2

j=1

n

=n

2c a j j=1

n

=0

+ nc2 = n 1+ c2( )

c2 = 1 S = 2n

Summe der Quadrate der Abstände

Dimensionsunabhängig

Punkte auf

Einheitskreis

Schwerpunkt im Mittelpunkt

S = d j 2

j=1

n = a j c( )

2

j=1

n = a j

2

j=1

n

=n

2c a j j=1

n

=0

+ nc2 = n 1+ c2( )

c2 = 1 S = 2n

Summe der Quadrate der Abstände

Summe der Quadrate der Abstände von C ist 2n

Kreisbögen („runde Abstände“)

C A1

A2

2

1

1

Kreisbögen

C A1

A2

2

1

1

1 + 2 = cos 2( ) = cos 1( ) cos 1( ) + cos 2( ) = 0

Vermutung:

C A1

A2

2

1

1

cos j( ) j=1

n = 0

1 + 2 = cos 2( ) = cos 1( ) cos 1( ) + cos 2( ) = 0

Vermutung:

C

cos j( ) j=1

n = 0

Die rote Spinne

Vermutung:

C

cos j( ) j=1

n = 0

Die rote Spinne?

Vermutung:

C

cos j( ) j=1

n = 0

Die rote Spinne?

Vermutung:

Beweis:

cos j( ) j=1

n = 0

cos j( ) = a jc

a j c = a jc

cos j( ) j=1

n = a jc j=1

n = c a j

j=1

n

0

= 0

Vermutung:

Beweis:

cos j( ) j=1

n = 0

cos j( ) = a jc

a j c = a jc

cos j( ) j=1

n = a jc j=1

n = c a j

j=1

n

0

= 0

Einheitskreis/ -Kugel

Vermutung:

Beweis:

cos j( ) j=1

n = 0

cos j( ) = a jc

a j c = a jc

cos j( ) j=1

n = a jc j=1

n = c a j

j=1

n

0

= 0

Vermutung:

Beweis:

cos j( ) j=1

n = 0

cos j( ) = a jc

a j c = a jc

cos j( ) j=1

n = a jc j=1

n = c a j

j=1

n

0

= 0

Schwerpunkt im Mittelpunkt

Gleichgewichtsfiguren, Beispiele:

- Regelmäßige Vielecke

- Platonische Körper

- Punktsymmetrische Vielecke / Körper mit Umkreis / -Kugel

- Kombination von Gleichgewichtsfiguren

- Andere?

Gleichgewichtsfiguren: Kombination von Gleichgewichtsfiguren

Gleichgewichtsfiguren: Kombination von Gleichgewichtsfiguren

Gleichgewichtsfiguren: Kombination von Gleichgewichtsfiguren

Gleichgewichtsfiguren: Konstruktion von Gleichgewichtsfiguren

M

Beispiel: n = 5

Gleichgewichtsfiguren: Konstruktion von Gleichgewichtsfiguren

M

A1

Beispiel: n = 5

A1 beliebig

Gleichgewichtsfiguren: Archimedes

M

A1

Beispiel: n = 5

A1 beliebig

Da hängen vier Massen dran.

Gleichgewichtsfigu