Günther Holzmann/Heinz Meyer/Georg Schumpich

Technische Mechanik Teil 2 Kinematik und Kinetik

Aus dem Programm Grundlagen des Ingenieurstudiums

Technische Mechanik Teill Statik Von G. Schumpich, unter Mitwirkung von H.-J. Dreyer, ergänzt und bearbeitet von H.-J. Dreyer

Technische Mechanik Teil 2 Kinematik und Kinetik Von H. Meyer, unter Mitwirkung von G. Schumpich, ergänzt und bearbeitet von H.-J. Dreyer

Technische Mechanik Teil 3 Festigkeitslehre Von G. Holzmann, unter Mitwirkung von H.-J. Dreyer und H. Faiss

Technische Mechanik computerunterstützt Von H. und J. Dankert

Technisches Zeichnen Herausgegeben vom DIN Deutsches Institut für Normung e. v., bearbeitet von H. W. Geschke, M. Helmetag und W. Wehr

Einführung in die DIN-Normen Herausgegeben vom DIN Deutsches Institut für Normung e. V., bearbeitet von K. G. Krieg

Technische Schwingungslehre Von M. Knaebel

Physik für Ingenieure Von P. Dobrinski

Holzmann/Meyer / Schumpich

Technische Mechanik Teil 2 Kinematik und Kinetik

Von Prof. Dr.-Ing. Heinz Meyert, unter Mitwirkung von Prof. Dr.-Ing. Georg Schumpich

Ergänzt und bearbeitet von Prof. Dr.-Ing. Hans-Joachim Dreyer

8., durchgesehene Auflage Mit 373 Bildern, 147 Beispielen und 179 Aufgaben

B. G. Teubner Stuttgart· Leipzig· Wiesbaden

Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Ein Titeldatensatz für diese Publikation ist bei Der Deutschen Bibliothek erhältlich.

8. Auflage September 2000

Alle Rechte vorbehalten © B . G. Teubner GmbH, Stuttgart . Leipzig· Wiesbaden 2000

Der Verlag Teubner ist ein Unternehmen der Fachverlagsgruppe BertelsmannSpringer.

www.teubner.de

Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages un­zulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielftiltigun­gen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeiche­rung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.

Gedruckt auf säurefreiem Papier Satz und Umschlaggestaltung: Peter Pfitz, Stuttgart

ISBN 978-3-519-26521-4 ISBN 978-3-322-96798-5 (eBook) DOI 10.1007/978-3-322-96798-5

Aus dem Vorwort zur 6. Auflage

Dieses Buch ist - wie die anderen Teile der "Technischen Mechanik" - als einführen­des Lehrbuch für Studenten der Ingenieurwissenschaften und für den im Beruf stehen­den Ingenieur gedacht; es ist von Ingenieuren für Ingenieure geschrieben. Großer Wert wurde auf eine klare Einteilung des Stoffes gelegt. Anschaulichen Darstellungen und Herleitungen galt der Vorzug gegenüber rein formalen.

Der vorliegende Teil 2 der "Technischen Mechanik" behandelt die Kinematik (die Leh­re von der Bewegung ohne Berücksichtigung der Kräfte) und die Kinetik (die Lehre von der Bewegung unter Berücksichtigung der Kräfte).

Das zentrale Problem der Kinetik ... ist dal) Aufstellen von Bewegungsgleichungen. Dem Anfänger bereiten die zweckmäßige Wahl eines Koordinatensystems und die damit verbundene Festlegung der Vorzeichen in den Bewegungsgleichungen oft Schwierigkei­ten. Deshalb werden schon in Abschn. 2 die einzelnen Schritte erläutert, die zum Aufstel­len von Bewegungsgleichungen führen.

Ein wichtiges Anwendungsgebiet der Technischen Mechanik sind die Schwingungen. Die Grundlagen der freien ungedämpften Schwingungen werden bereits in Abschn. 2 erläutert. ... Einfache Schwingungsprobleme ziehen sich wie ein roter Faden durch das ganze Buch. Im Abschn. Mechanische Schwingungen sind zunächst die in den vorher­gehenden Abschnitten gewonnenen Ergebnisse zusammengefaßt und einige wichtige, früher behandelte Beispiele in einer Tafel zusammengestellt. Anschließend werden gedämpfte und erzwungene Schwingungen sowie die für den Ingenieur so wichtigen kri­tischen Drehzahlen von Wellen behandelt.

Der Student gewinnt am ehesten Zugang zum Gebiet der Technischen Mechanik, wenn er eine große Zahl von Aufgaben rechnet. Mein Bestreben war es, den Leser rasch in die Lage zu versetzen, Aufgaben selbständig zu lösen. Der vorliegende Band enthält 147 durchgerechnete Beispiele und 179 Aufgaben mit unterschiedlichem Schwierigkeits­grad. Soweit es der Umfang zuließ, sind in den Beispielen die einzelnen Rechenschritte erläutert. Die Auswahl der Beispiele erfolgte zunächst nach didaktischen Gesichtspunk­ten, dann aber auch im Hinblick auf Anwendungen in der Technik.

Die Formelzeichen wurden im wesentlichen nach DIN 5497 und DIN 1304 gewählt, die Einheiten nach DIN 1301.

Osnabrück, im Sommer 1986 HeinzMeyer

VI Vorwort

Vorwort zur 7. Auflage

Die gute Aufnahme, die dieser Band während mehr als 20 Jahren nach seinem Erscheinen erfahren hat, ist die beste Würdigung der Arbeit von Herrn Professor DrAng. Heinz Meyer, der die Gabe besaß, in hervorragender Weise Theorie und Praxis miteinander zu verbinden, und stets um die Weiterentwicklung dieses Buches bemüht war. Mit tiefer Dankbarkeit denke ich an die vielen Jahre freundschaftlicher und fruchtbarer Zusammen­arbeit mit ihm zurück und hoffe, daß die Gestaltung dieser Auflage in seinem Sinne erfolgt ist. In der vorliegenden 7. Auflage wurde durch Umstellung der Reihenfolge und Überarbei­tung einiger Abschnitte das Ziel verfolgt, die Systematik der Gliederung des Stoffes wei­ter zu erhöhen. Die meisten Änderungen erfuhr die Behandlung der Kinetik des Körpers. Hier wurde u. a. der in den früheren Auflagen selbständige Abschnitt "Drehung eines Körpers um eine feste Achse" in den Abschn. 5 "Kinetik des Körpers" eingearbeitet und die Behandlung der dynamischen Auflagerreaktionen vertieft (Absehn. 5.2.1.8 und 9). Die für das Massenpunktsystem und den Körper geltenden Begriffe und Sätze wurden in Abschn. 5.1 übersichtlich zusammengestellt. Herr Prof. Dr.-Ing. H.-J. Dreyer, Hamburg, hat das Manuskript lektoriert und die Kor­rekturen gelesen. Ihm und Herrn Prof. Dr.-Ing. J. Möhlenkamp, OsnabTÜck, danke ich herzlich für die vielen wertvollen Anregungen und Verbesserungsvorschläge. Mein herz­licher Dank gilt auch dem Teubner-Verlag, insbesondere seiner Herstellungsabteilung, für die harmonische Zusammenarbeit und die gute Ausstattung des Buches. Auch allen Benutzern des Buches, die auf Druckfehler hingewiesen oder Verbesserungs­vorschläge gemacht haben, möchte ich herzlich danken. Anregungen für die Weiterent­wicklung des Buches nehme ich jederzeit gern entgegen.

Hannover, im Sommer 1991 Georg Schumpich

Vorwort zur 8. Auflage

Die siebente Auflage brachte eine gründliche Überarbeitung der Systematik des Stoffes. Deshalb kann man sich in der achten Auflage auf einige textliche Verdeutlichungen sowie Ersetzung von einigen gratisehen Verfahren durch analytische Verfahren beschrän­ken.

Das seit mehr als dreißig Jahren bewährte Lehrbuch wurde auch in seinem Umfang erhal­ten, obwohl der dargebotene Stoff über die Grundvorlesung an manchen Fachhochschu­len hinausgeht. Damit dient es auch dem in der Praxis stehenden Ingenieur als Hilfsmittel zur Vertiefung seiner Kenntnisse und zur Weiterbildung.

Hamburg, im August 2000 Hans-Joachim Dreyer

Inhalt

Formelzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. XI

1 Kinematik des Punktes

1.1 Eindimensionale Kinematik, Bewegung eines Punktes auf gegebener Bahn 1.1.1 Bogenlänge, Bahngeschwindigkeit, Bahnbeschleunigung 1.1.2 Kinematische Diagramme ..... . 1.1.3 Gleichförmige Bewegung ..... . 1.1.4 Gleichförmig beschleunigte Bewegung. 1.1.5 Ungleichförmige Bewegung . 1.1.6 Aufgaben zu Abschnitt 1.1

1.2 Allgemeine Bewegung eines Punktes 1.2.1 Ortsvektor, Bahnkurve . 1.2.2 Geschwindigkeitsvektor . . . 1.2.3 Beschleunigungsvektor . . . 1.2.4 Bahn- und Normalbeschleunigung 1.2.5 Aufgaben zu Abschnitt 1.2

1.3 Bewegung auf kreisförmiger Bahn. . . 1.3.1 Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung 1.3.2 Beschreibung der Kreisbewegung in kartesischen Koordinaten 1.3.3 Gleichförmige Kreisbewegung ..... . 1.3.4 Gleichförmig beschleunigte Kreisbewegung 1.3.5 Anwendungen der Kreisbewegung ... . 1.3.6 Aufgaben zu Abschnitt 1.3 ...... .

1.4 Beschreibung der ebenen Bewegung eines Punktes in Polarkoordinaten

2 Kinetik des Massenpunktes

2.1 Das Newtonsche Grundgesetz ........ . 2.1.1 Das Grundgesetz und die Axiome der Kinetik 2.1.2 Das Grundgesetz in Komponentenform ... 2.1.3 Bemerkungen zum Lösen von Aufgaben der Kinetik 2.1.4 Bewegung bei konstanter Bahnkomponente der Kraft 2.1.5 Prinzip von d'Alembert ............ . 2.1.6 Bahnkomponente der Kraft abhängig vom Ort, freie Schwingungen . 2.1.7 Aufgaben zu Abschnitt 2.1

2.2 Arbeit, Energie, Leistung . 2.2.1 Arbeit einer Kraft 2.2.2 Energie. . . . . .

1 1 4 6 8

15 19

22 22 23 26 33 38

39 39 40 42 45 47 53

55

59 59 63 65 65 69 73 80

82 82 91

VIII Inhalt

2.2.3 Arbeitssatz und Energieerhaltungssatz 2.2.4 Leistung einer Kraft, Wirkungsgrad 2.2.5 Aufgaben zu Abschnitt 2.2 . . . . .

2.3 Bewegung eines Körpers in einem ihn umgebenden Medium 2.3.1 Widerstandsgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Fall eines Körpers in einem ihn umgebenden Medium . 2.3.3 Aufgaben zu Abschnitt 2.3

2.4 Impulssatz, Impulsmomentsatz . . . . 2.4.1 Impuls, Impulssatz . . . . . . . 2.4.2 Impulsmoment, Impulsmomentsatz

3 Kinematik des Körpers

3.1 Ebene Bewegung eines starren Körpers 3.1.1 Momentanpol, Polbahnen .... 3.1.2 Aufgaben zu Abschnitt 3.1

3.2 Geschwindigkeits- und Beschleunigungszustand einer Scheibe 3.2.1 Momentanpol als Geschwindigkeitspol ...... . 3.2.2 Satz von Euler und Satz von Burmester. . . . . . . 3.2.3 Maßstäbe und Konstruktion der Normalbeschleunigung . 3.2.4 Beschleunigungspol 3.2.5 Aufgaben zu Abschnitt 3.2

3.3 Kinematik der Relativbewegung 3.3.1 Führungs- und Relativbewegung 3.3.2 Absolut- und Coriolisbeschleunigung 3.3.3 Aufgaben zu Abschnitt 3.3

4 Kinetik des Massenpunktsystems

4.1 Schwerpunktsatz . . . . .

4.2 Impuls- und Impulserhaltungssatz .

4.3 Impulsmoment, Impulsmomentsatz

4.4 Bewegung bei veränderlicher Masse - Raketenbewegung

4.5 Aufgaben zu Abschnitt 4. . . . . . . . . . . . . .

5 Kinetik des Körpers

94 103 110

112 112 115 118

119 119 122

124 124 129

130 130 134 137 142 145

146 146 147 159

160

162

164

167

172

5.1 Allgemeine Bewegung, Körper als Grenzfall eines Massenpunktsystems . 173

5.2 Drehung eines starren Körpers um eine feste Achse . . . . . . 176 5.2.1 Grundgesetz für die Drehbewegung, Impulsmomentsatz . . 176

5.2.1.1 Grundgesetz für die Drehung um eine feste Achse 176 5.2.1.2 Massenträgheitsmomente einfacher Körper 178 5.2.1.3 Massenträgheitsmomente um parallele Achsen, Satz von Steiner 181 5.2.1.4 Reduzierte Masse, Trägheitsradius . . . . . . . . . 183 5.2.1.5 Anwendungen des Grundgesetzes für die Drehbewegung . . 186 5.2.1.6 Impulsmomentsatz bei Drehung um eine feste Achse 192 5.2.1.7 Zentrifugalmomente, Hauptachsen, Hauptträgheitsmomente 194

5.2.1.8 Anwendungen des Impulsmomentsatzes. Dynamische Auflagerreaktionen, Auswuchten

5.2.1.9 Resultierende Trägheitskraft, Trägheitsmittelpunkt 5.2.1.10 Aufgaben zu Abschnitt 5.2.1 . . . . . . .

5.2.2 Arbeit, Energie und Leistung bei der Drehbewegung 5.2.2.1 Arbeit . . . . . 5.2.2.2 Kinetische Energie . . . . . . . . . . 5.2.2.3 Arbeitssatz . . . . . . . . . . . . . 5.2.2.4 Potentielle Energie, Energieerhaltungssatz 5.2.2.5 Leistung ....... . 5.2.2.6 Aufgaben zu Abschnitt 5.2.2

5.3 Ebene Bewegung eines starren Körpers 5.3.1 Bewegungsgleichungen ... 5.3.2 Impulsmomenterhaltungssatz 5.3.3 Aufgaben zu Abschnitt 5.3

5.4 Kinetik der Relativbewegung . . . 5.4.1 Aufgaben zu Abschnitt 5.4

5.5 Energie, Arbeit und Leistung bei allgemeiner und ebener Bewegung 5.5.1 Kinetische Energie . . . . . . . . . . . . . 5.5.2 Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.3 Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.4 Arbeitssatz, Leistungssatz, Energieerhaltungssatz 5.5.5 Aufgaben zu Abschnitt 5.5 ...... . . .

5.6 Drehung eines starren Körpers um einen festen Punkt 5.6.1 Impulsmomentsatz . . . . . . . 5.6.2 Der geführte symmetrische Kreisel 5.6.3 Aufgaben zu Abschnitt 5.6

6 StoB

Inhalt IX

198 206 213 218 218 219 220 226 229 231 232 232 236 238 241 246

248 248 250 251 252 256 257 257 259 260

6.1 Allgemeines, Definitionen 262 6.2 Gerader zentraler Stoß . 263

6.2.1 Elastischer Stoß 264 6.2.2 Plastischer Stoß . 269 6.2.3 Wirklicher Stoß . 271

6.3 Gerader exzentrischer Stoß gegen einen drehbar gelagerten Körper, Stoßmittelpunkt 275 6.4 Aufgaben zu Abschnitt 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 277

7 Mechanische Schwingungen

7.1 Grundbegriffe . . . . 7.2 Freie ungedämpfte Schwingungen .............. .

7.3 Freie Schwingungen mit geschwindigkeitsproportionaler Dämpfung 7.3.1 Aperiodische Bewegung. . . 7.3.2 Freie gedämpfte Schwingung 7.3.3 Aperiodischer Grenzfall. . .

281 286 290 292 293 300

X Inhalt

7.4 Erzwungene Schwingungen mit geschwindigkeitsproportionaler Dämpfung 7.4.1 Erregung über eine Feder . . . . . . . . . . . . 7.4.2 Erzwungene Schwingungen durch Fliehkrafterregung

7.5 Torsionsschwingungen von Wellen .......... . 7.5.1 Die einfach besetzte Welle. . . . . . . . . . . . 7.5.2 Berechnung der Torsionsschwingungen einer n-fach besetzten Welle

mit Hilfe von Übertragungsmatrizen 7.5.3 Einheitenlose Darstellung . . . . . . . . . . . 7.5.4 Versetzte Systeme . . . . . . . . . . . . . .

7.6 Biegeschwingungen und kritische Drehzahlen von Wellen 7.6.1 Kritische Drehzahl der mit einer Scheibe besetzten Welle 7.6.2 Die mit mehreren Scheiben besetzte Welle ...... . 7.6.3 Berechnung der Biegeschwingungen von Balken mit Hilfe von

Übertragungsmatrizen . . . . . . . 7.6.3.1 Zustandsgrößen, Ersatzsystem . 7.6.3.2 Übertragungsmatrizen .... 7.6.3.3 Durchführung des Verfahrens . 7.6.3.4 Einheitenlose Darstellung. . . 7.6.3.5 Zwischenbedingungen, Erweiterungen

7.7 Aufgaben zu Abschnitt 7 ........... .

Anhang

301 301 309

314 314

315 325 328

330 330 334

339 339 341 346 349 353

355

Lösungen zu den Aufgaben 358

Weiterführendes Schrifttum 382

Sachverzeichnis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 383

Hinweise auf DIN-Normen in diesem Werk entsprechen dem Stande der Normung bei Abschluß des Manuskriptes. Maßgebend sind die jeweils neuesten Ausgaben der Normblätter des DIN Deutsches Institut für Normung e. V. im Format A4, die durch den Beuth-Verlag GmbH, Berlin und Köln, zu beziehen sind. - Sinngemäß gilt das gleiche für alle in diesem Buche angezogenen amtlichen Bestimmungen, Richtlinien, Verordnungen usw.

Formelzeichen (Auswahl) A A,B,C a -+ a -+

~abs.-. aB' ac,···

a. C

Cd

CI Cw d E Ek

Ep

Epf

~Ph -+ -+ er' e., e z

Fläche Integrationskonstanten Beschleunigung Beschleunigungsvektor absolute Beschleunigung Beschleunigung der Punkte B,C, ... Rotationsbeschleunigung des Punktes C bezüglich B Coriolisbeschleunigung Führungsbeschleunigung Normal- oder Zentripetal­beschleunigung Radialbeschleunigung Relativbeschleunigung Schwerpunktbeschleunigung Tangential- oder Bahn­beschleunigung skalare Komponenten des Beschleunigungsvektors Umfangsbeschleunigung Federkonstante Drehfederkonstante Ersatzfederkonstante Widerstandsbeiwert Durchmesser Energie, Elastizitätsmodul kinetische Energie potentielle Energie potentielle Energie der Feder potentielle Energie der Lage Einheitsvektoren des Zylinder­koordinatensystems Einheitsvektoren des natürlichen Koordinatensystems, Tangenten-, Normalen- und Binormalen­Einheitsvektor Einheitsvektoren des kartesischen Koordinatensystems Kraft, Kraftvektor Auftriebskraft Fliehkraft Gewichtskraft Haft-, Gleitreibungskraft Querkraft

Fw F.,r;,F. f.,

G 9 H h I

i i J

Ired -+

M,M

resultierende Kraft SeHkraft Bahn- und Normalkomponente der Kraft Widerstandskraft skalare Komponenten der Kraft statische Auslenkung einer Feder Gleitmodul Fallbeschleunigung Heizwert Höhe axiales Flächenmoment 2. Grades polares Flächenmoment 2. Grades Flächenmoment bezüglich der X-, y- und z-Achse Trägheitsradius Übersetzungsverhältnis Massenträgheitsmoment reduziertes Massenträgheits­moment Massenträgheitsmoment bezogen auf den Schwerpunkt Massenträgheitsmoment bezüglich der X-, y- und z-Achse bzw. der e-, '1- und '-Achse Zentrifugalmoment Zentrifugalmoment imaginäre Einheit (s. DIN 1302) Dämpfungskonstante Impulsmoment Impulsmoment bezüglich eines festen Punktes 0 und bezüglich des Schwerpunktes Länge reduzierte Pendellänge Drehmoment, Drehmoment­vektor

MK Kreiselmoment M., My, Mz Komponenten des

Drehmomentvektors m Masse

XII Formelzeichen (Auswahl)

n = l/T

p

p,p

Beschleunigungsmaßstabsfaktor Längenmaßstabsfaktor reduzierte Masse Geschwindigkeitsmaßstabsfaktor Maßstabsfaktor für die Durchbiegung Drehzahl, Frequenz, Schwingungszahl Leistung effektive und indizierte Leistung Nutz-, Verlust- und zugeführte Leistung Impuls, Impulsvektor

P., Py' pz skalare Komponenten des Impulsvektors Ortsvektor von bewegtem Bezugspunkt aus

R Erdradius r Orts vektor r Radius rs Schwerpunktabstand S., Sv> SI ... Strecke, durch die eine Be­

schleunigung, eine Geschwin­digkeit, eine Länge usw. in der

s T t U u

v, V

Zeichnung dargestellt ist Ortskoordinate Schwingungsdauer Zeit Übertragungsmatrix Geschwindigkeit, Treibstrahl­geschwindigkeit Geschwindigkeit, Geschwindigkeitsvektor Geschwindigkeit am Anfang des ersten Stoßabschnitts

~'bS_ absolute Geschwindigkeit VB' V c , ... Geschwindigkeit der Punkte

B,C, ... Rotationsgeschwindigkeit des Punktes C bezüglich B Führungs- und Relativ­geschwindigkeit

Vp , VE , Vw Geschwindigkeit nach dem plastischen, elastischen und wirklichen Stoß Radial- und Umfangs­geschwindigkeit

-vs, V s

vx' vy' Vz

W ~

u;:,w. W. w

x,y,z z

lX=cp IX,ß,y,h,6 IX = l/c h YI Ylm,Ylth

[) = h/Wo A A. Jl Jlo Jl,

Jlz ~,YI,' Q

Q

QFl, QK' QL

Cl

t

cp

'" w=<jJ

Wo

W d

w,

stationäre Sinkgeschwindigkeit, Schwerpunktgeschwindigkeit skalare Komponenten des Geschwindigkeitsvektors Arbeit Arbeit der Kräfte ohne Potential Nutz- und Verlustarbeit zugeführte Arbeit Durchbiegung, Auslenkung eines Balkens Koordinaten Zustandsvektor

Winkelbeschieunigung Winkel Einflußzahl Abklingkonstante Wirkungsgrad mechanischer, thermischer Wirkungsgrad Dämpfungsgrad logarithmisches Dekrement Schubstangenverhältnis Gleitreibungszahl Haftzahl Roll- bzw. Fahrwiderstands-zahl Zapfenreibungszahl Koordinaten Krümmungsradius Dichte Dichte von Flüssigkeit, Körper, Luft Normalspannung Integrationsvariable Drehwinkel, Nullphasenwinkel Winkel, Neigungswinkel der Biegelinie Winkelgeschwindigkeit, auch kritische konstante Winkelgeschwindigkeit, Kennkreisfrequenz Eigenkreisfrequenz Resonanzfrequenz