1898. ANNALEN x 10. DER

PHYSIK UND CHEMIE. NEUE FOLGE. BAND 66.

1. Gravitatiocnscocnstacnte ucnd mit t lere Dicht igke i t d e r Erde, hest immt durch Wagumgen;

vorn Pram Richarx umd O t t o X r i g a r - M e m x e l . (Sitzungsbericht der k8nigl. preuss. Akademie der Wissenschaften zu

Berlin, 26. Nov. 1896.)

Die in Spandau im Jahse 1884 auf Kosten der konig- lichen Akademie der Wissenschaften und mit Unterstiitzung des kiiniglich preussischen Kriegsministeriums , welches die Bleimasse und den Beobachtungsraum zur Verfiigung stellte, begonnene Bestimmung der Gravitationsconstante und der mittleren Dichtigkeit der Erde ist nunmehr zu Ende gefiihrt. Nachdem H. v. Helmhol tz in der Sitzung vom 23. Marz 1893 l) bereits die Resultate einer erstsn Reihe von Wagungen, aus denen sich die Abnahme der Schwere mit der Hohe er- gab, der Akademie vorgelegt hat, geben wir im Folgenden einen kurzen Ueberblick iiber die ganze Arbeit und theilen das endgiiltige Resultat derselben mit. In betreff der aus- fiihrlichen Begrundungen und Ableitungen, sowie auch der Mittheilung des gesammten Beobachtungsmateriales muss auf die spater erscheinende vollstandige Veroffentlichung der Arbeit verwiesen werden. (Vgl. Bemerkung am Schluss dieses Rerichtes.)

1. Die bei den maassgebenden Versuchen angewandte Methode.

In unserer erwahnten friiheren Mittheilung l) hatten wir zu Eingang das Princip der urspriinglich geplanten Methode auseinander gesetzt. Ds bei den definitiven Messungen aber eine wesentlich veranderte Methode zur Ausfiihrung gelangte, wollen wir zunachst deren Sinn in Worten angeben.

Den zur Anwendung kommenden Messapparat haben wir

1) F. Richarz u. 0. Krigar-Menzel , Sitzungsber. d. k. Akad. d. Wiss. zu Berlin p. 163. 1893; Wied. Ann. 61. p. 559. 1894.

Ann. d. Phgs. u. Chem. N. F. 66. 12

178 F. Richarz u. 0. Krgar-Menzel.

,,Doppelwaage" genannt; er besteht aus einer gewohnlichen Waage, an deren beiden Schalen vermittelst j e einer Stange von 226 cm Lange noch eine zweite, untere Schale hlngt.

1st diese Doppelwaage zunHchst frei aufgestellt, so kommt fur das Gleichgewicht bei Relastung in Betracht, dass die Be- schleunigung durch die Schwerkraft am Orte der oberen Waage- schalen einen kleineren Werth hat, als am Orte der unteren. An einem ersten Wiigungstage befinden sich die beiden Kilo- grammkugeln auf den Waageschalen links oben und rechts unten; es werden dann gewohnliche G auss'sche Doppel- wagungen mit horizontaler Umsetzung der Massen von rechts nach links und umgekehrt angestellt. Die hieraus als Resultat folgende Gewichtsdifferenz riihrt her yon der Differenz der beiden Massen und von der Differenz der Schwerlrraft oben und unten. Am Schluss eines solchen ersten Wiigungstages wird die oben befindliche Masse nach unten, die unten befind- liche nach oben gebracht, und man fiihrt an einem zweiten Wagungstage wiederum Doppelwagungen mit Vertauschung im gleichen Niveau aus, deren Resultat von demjenigen des ersten Tages verschieden sein muss; denn wiihrend die Differenz der Massen unverandert geblieben ist, hat die Differenz der Schwere durch die verticale Umsetzung der Massen ihr Zeichen ge- wechselt. Subtrahirt man also die Resultate der beiden Tage, so hebt sich die Massendifferenz heraus, und es bleibt tibrig die doppelte Abnahme der Schwere zwischen beiden Niveaus. Dies ist der Sinn der Oleichungen (i), (4'), (5) p. 175 und 176 unserer friiheren Mittheilung in den Sitzungsberichten. z,

Bei den Gravitationsbestimrnungen befindet sich zwischen den oberen und unteren Schalen ein nahezu wurfelformiger Bleiklotz von fast 9 cbm Inhalt und mehr als 100000 Irg Masse, welcher den zwischen dem oberen und unteren Schalen- paar vorhandenen Platz bis auf einen kleinen Spielraum aus- fiillt ; die beiden erwiihnten Verbindungsstangen der Waage- schalen gehen durch rohrenforniige Aussparungen in der Mitte des Klotzes hindurch (naheres folgt weiter unten). Durch die Anwesenheit dieser grossen anziehenden Masse erscheint die Schwere am Orte der oberen Waageschalen um die

1) Vgl. 1. c. p. 171. 1893; Wied. Ann. 61, p. 568. 1894. 2) Wied. Ann. 51, p. 574 u. 575. 1894.

Grauitationsconstante. 179

Attraction der Bleiinasse vermehrt, am Orte der unteren Waage- schalen urn dieselbe vermindert. Die Abnahine der Schwere- beschleunigung von unten nach oben erscheint daher um die doppelte Attraction vermindert ; die Combination zweier Wagungs- tage mit ganz denselben Anfangsstellungen und Vertauschungen der Kilogrammkugeln, wie ohne Bleiklotz, ergiebt daher jetzt statt der doppelten -4bnahme der Schwere mit der H6he ein um die vierfache Attraction des Bleiklotzes vermindertes Resultat. Aus der Vereinigung der Resultate ohne Bleiklotz und mit Bleiklotz findet man also die reine vierfache Attraction des letzteren, befreit von den ungleichen Wirkungen der irdi- schen Schwere uber und unter demselben.

Der Auftrieb der Luf t , welcher am Orte der oberen Waageschalen einen erheblich anderen Werth haben kann als am Orte der unteren, wurde zum grossten Theil compen- sirt durch zwei Hohlkugeln aus Plstin von nahezu demselben Volumen wie die Kilogrammkugeln und einer Masse von j e 53,318g. Diese befanden sich bei den Wagungen immer auf den von den Vollkugeln unuasetzt gebliebenen Waageschalen und blieben wahrend einer combinirbaren Serie von Wagungs- tagen immer denselben Vollkugeln zugeordnet. Da die Vo- lumina nicht vollkommen gleich waren, sondern Differenzen bis zu etwa 0,4 ccm ubrig blieben, war dann noch eine Correction wegen des Auftriebes an dem aus zwei Wagungs- tagen gewonnenen Resultate anzubringen. Diese ist in der fruheren Mittheilung (1. c. p. 17 7) durch @ + (b’ bezeichnet. Diese Summe lasst sich am einfachsten und sichersten bestimmen, indem man nicht erst Ct, fur jeden der beiden Tage aus den Dichtigkeiten der Luft oben und unten einzeln berechnet, vielmehr direct @ + W aus den Thermometer- und Barometerablesungen herleitet; die Luftfeuchtigkeit hat bei den vorliegenden Ver- haltnissen keinen merklichen Einfluss auf diese Correction.

Aus den Wagungen jedes einzelnen Beobachtungstages ergiebt sich eine Grosse, welche wir az genamt haben. Die- selbe ist folgendermaassen zusammengesetzt: (1)1) CI = &. [(zl - zJI- (2, - zr ) I I + ($1 - eI) . w] mg

1) In dem fruheron Sitzungsberioht (1. c. p. 176 u. 177) fehlt der Fac- tor 3 vor der eckigen Klammer.

12*

180 3'. Richarz u. 0. Krigar-Menzel.

Dabei bedeuten z1 und 2,. die kleinen Zulagegewichte links und rechts, e ist die aus den Umkehrpunkten ermittelte Einstellung der Waage (Scalenablesung mit Fernrohr, Spiegel am Waage- balken), w ist der aus der Empfindlichkeit folgende Werth eines Scalentheiles in Milligrammen. Die oberen Indices I und I1 beziehen sich auf die beiden Kugelstellungen bei der 0 auss'schen Doppelwiigung. Nennt man die Beschleunigung der irdischeii Schwere unten und oben g, und g o , und die absoluten Betrage der Beschleunigungen der Attraction des Bleiklotzes k, und ko, und bezeichnet man endlich die auf den zweiten Wagungstag bezogenen Grossen durch ein Hakchen, so erhalt man:

} =0,0,5183. @+a'+ @+ @')ss. Ohne Bleiklotz : 9, -go ( 2 ) Mit Bleiklotz: g,-g,-(t%,+ZL,J

Der Factor 0,035183 ist gleich g / ( 2 m ) , wo g = 981,27 cm. sec-2

die Schwerebeschleunigung fur Spandau und iJX = 946685 mg die Massendifferenz einer Vollkugel und einer Hohlkugel ist. Die o?. und CL, sind in Milligranim anzugeben.

Fur den Fall, dass dem Leser auffallen sollte, dass hier die Summe a + a' in das Resultat eingeht, wahrend bei der wortlichen Auseinandersetzung von der Differenz der beiden Tagesergebnisse die Rede war, moge gesagt sein, dass diese Formel fur diejenigen mit I bezeichneten Anfangsstellungen gilt, wo stets links oben und rechts unten die Kilogramm- kugeln liegen, wahrend bei der Veranschaulichung der Methode ein Verticaltransport am Schluss des ersten Tages angenommen wurde, bei welchem also am zweiten Tage die Kilogramme ihre Anfangsstellurig rechts oben und links unten haben. Wir haben , um Schutz vor einseitigen thermischen Fehlerquellen zu haben, auch mit dieser letzteren Anfangsstellung gearbeitet; dies entspricht aber einer Vertauschung der oberen Indices I' und 11', und a' wechselt dabei sein Vorzeichen.

Urn der geschweiften Klammer der vorstehenden Gleichung mehr Anschaulichkeit zu geben, sei gesagt, dass dieselbe den doppelten Werth der Gewichtszunahme bezeichnet, welche die Mnsse iJX (Vollkugel minus Hohlkugel), befreit vom Auftriebe, beim Transport von oben nach unten erfahrt. Dieser Begriff

Gravitationsconstante. 181

gilt auch bei Anwesenheit des Bleiklotzes, wenn unter Ge- wicht dabei die Superposition der irdischen Schwere und der Attractionswirkung der Bleimasse verstanden wird. Diese doppelte Zunahme betragt ohne Bleiklotz etwa + 1,25 mg, mit Bleiklotz dagegen - 0,12 mg ; d. h. die Zunahme der irdischen Schwere wird durch die Massenanziehung um ein weniges ubercompensirt und in eine geringe Abnahme verwandelt.

11. Ueber die experimentelle Auefuhrung der Versuohe.

In Bezug auf die Einrichtung des Beobachtungsraumes, die Anordnung der Apparate, die Construction der Waage von S t u c k r a t h und die Beschaffenheit der Gewichtsstiicke miissen wir auf die fruhere Mittheilung und auf die kunftige voll- standige Abhandlung (vgl. p. 193) verweisen.

Der Bleiklotz hatte die Gestalt einer quadratischen Saule von 200 cm Hohe und 210 cm horizontaler Kantenlange, und bestand aus einzelnen Stucken von der Form lox 1 0 x 3 0 cm; diese waren in liegender Stellung unter Vermeidung durch- laufender Verticalfugen zu einem schonen, glattwandigen und geradkantigen Bau zusammengefugt, dessen exacte Hegrenzungen bei der genauen Ausmessung des Klotzes sehr zu statten kamen. Wegen der in Schutzrohren eingeschlossenen Verbindungs- stangen der unteren mit den oberen Waageschalen mussten in der Mitte des Klotzes durchschnittene Stucke mit halb- cylindrischen Aussparungen verwendet werden. Urn die saubere Ausfiihrung des Aufbaues hat sich der Mechanikergehulfe H e r m a n n verdient gemacht. Die Bleistiicke wurden von der koniglichen Geschiitzgiesserei in Spandau in zerlegbaren ge- hobelten Eisenformen gegossen, die Schwundflachen nach dem Erkalten besonders bearbeitet. Dem Augenschein nach ist der Guss durchaus blasenfrei, auch ist die Uebereinstimmung der Masse der einzelnen Stucke, welche auf einer empfind- lichen Centnerwaage gewogen wurden, eine sehr sollkommene; bei einem Mittel von 34,2 kg betragen die grossten Abwei- chungen, welche hochst selten sind, nur ri 0,2 kg.

Um die grosse Last dieser Bleimasse zu tragen, wurde ein Fundament gemauert , welches anderthalb Meter tief in der Erde steckt und ein halbes Meter hoch herausragt. Die quadratische Oberflache von 2,5 m Kantenlange ist durch eine

182 F. Richarz u. 0. KrQat.-.Venzel.

eben und horizontal gearbeitete Cementschicht gebildet, welche die Basis fur den Bleiklotz bildete. Die unteren Schalen schweben in der Mitte eines im Fundamente dicht unter dessen OberflSiche ausgesparten Canals, welcher zugleich den Verkehr der Gewichtvkugeln bei den automatischen Vertauschungen er- moglicht. Uebrigens ist dieser Canal zur Vermeidung von Luftstromungen durch eine Langsscheidewand getheilt und dnrch Fallthiiren verschlossen.

Da eine Senkung des Fundamentes unter der grossen Re- lastung zu erwarten war, wurde erstens bei der Aufstellung der Waage und des optischen Beobachtungsapparates jeder directe Zusammenhang der festen Stutzpunkte mit dem Funda- mente vermieden, und zweitens eine Nivellirungseinrichtung angebracht, welche die Lageverinderung des Fundamentes und Bleiklotzes zu messen erlaubt. Es wurden iiamlich drei eiserne Stangeri mit den einen &den auf verschiedene Randpunkte des Fundamentes, mit den anderen auf feste Lager in ent- fernten, festen Nauernischen aufgesetzt, und die Scnltung der betreffenden Randpunkte des Fundamentes aus den Neigungen dieser Stangen mittels einer Rohrenlibelle ermittelt. Die Senkung der Mitte des Fundamentes betrug 8 mm, auch war eine Neigung der verticalen Axe nach rechts vom Beobachter im Betrage yon etwa 8 Bogenminuten nachweisbar Diese nicht unbetrachtlichen LageHnderungen storten indessen die Functionen der verschiedenen Apparattheile in keiner Weise. Nach dem Abbruch des Bleiklotzes zeigte da,s Fundament wieder eine kleine Hebung von etwa 0:7 mm, welche durch Elasticitat des Mauerwerkes oder der unterliegenden Erd- schichten erklarbar ist.

111. Mdathematischer Ausdruck fur die Attractior, des Bleiklotzes.

Die Gestalt des Bleiklotzes ist so gewahlt, dass derselbe bei vorgeschriebener Masse und bei der Form einer quadra- tischen Saule ungefahr das Maximum der Attraction fur die Gegend der Waageschalen liefert.') Dies bietet ausser der

1) Nach L a m p e , Verh. d. Physik. Ges. zu Berlin Nr. 114. p. 60. 1884 ist das Maximum sehr nahe erreicht, wenn das VerhSiltiiiss der Hiihc zur Horizontallsante zwischen 0,885 und 0,966 liegt; bei unserem Bleiklotz ist dasselbe 200 ; 210, also 0,952.

Gravitationsconstante. 183

grosstmoglichen Ausnutzung der verwendeten Masse noch den allen Maximalformen eigenen Vortheil, dass kleine Variationen der Gestalt ohne merklichen Xinfluss auf die Wirkung sind.

Im Folgenden geben wir zuerst das Resultat der analy- tischen Bereclinung der Attraction des homogen und ganz massiv gedachten Bleiklotzes von der Dichtigkeit g auf die in einer Waagschale ruhende Masse illl nach dem Newton'schen Ge- setze. Dabei bedeutet G die zu bestimmende Gravitations- constante. Wir legen durch das Centrum der angezogenen kugeligen Masse illl ein Axensystem, die z-Axe vertical, die x-Axe horizontal und parallel dem Waagebalken , die y-Axe in der iibrigbleibenden Richtung ; der rechtwinkelig-parallel- epipedisclie Bleikorper fiille den Raum von z1 bis x2, von y1 bis yz und von zI bis z2.

Die Verticalbeschleunigung, welche die Attraction auf die Masse illl aussert, ist dann

(3)

In der Summe sind fur a , b, c alle moglichen Zusammen- stellungen der Indices 1, 2 zu bilclen, dieselbe besteht also aus acht Summanden, von denen vier positiv und vier negativ sind. Die zur Abkiirzung eingesetzte Function 'p hat folgende Form :

(3a) sp (x,y, z)=z. log (r-y)+y. log ( T - Z ) + z . arctg "Y - i x.r

.

darin ist T = + Vx2 + y2 + z2 zu setzen. Der vorstehende Ausdruck K bildet die Grundlage fur die

numerische Berechnung. Die Dichtigkeit e wird berechnet aus der durch Aus-

wagung gefundenen und um das berechnete Gewicht der aus- gebohrten Cylinder vermehrten Bleimasse, dividirt durch das Product der drei Kantenlangen. Rei der sehr guten Ueber- einstimmung der Bleistucke giebt dieses Verfahren zu keinerlei Unsicherheit Anlass. Die Attractionen der in den beiden Hohlcylindern fehlenden Massen, welche aus der Wagung der Hohlstiicke ermittelt werden, mussen besonders ermittelt und von der des massiven Klotzes abgezogen werden. Eine analy- tische Discussion ergiebt, class man einen gegen die Genauig- keit des Hauptresultates zu vernachlassigenden Fehler begeht,

184 F. Richarz u. 0. Krigar-Menzel.

wenn man diese Cylinder von etwa 4cm Durchmesser als Massenlinien in den Axen derselben concentrirt denkt. Be- zeichnet il die Iiangendichtigkeit dieser Massenlinien , so hat die Beschleunigung der Attraction derselben auf die in der Verlangerung der Axe befindliche Masse !?J? folgenden Betrag :

(4)

und die Verticalcomponente der Besclileunigung , welche von der seitwarts liegenden Massenlinie herruhrt, ist

Dabei bedeutet h den horizontalen Abstand der beiden Cylinder- axen voneinander oder, was dasselbe ist, die Lange des Waage- balkens von eiiier Seitenschneide bis zur anderen.

Die thatsachliche Attractionsbeschleunigung, welche der zweifach durchbohrte Bleiklotz aussert, ist dann:

Man hat dieselbe fur die oberen und fur die unteren Waage- schalen getrennt zu berechnen, da die Kugelcentra oben und unten nicht gleich weit von dem Bleiklotz abstehen, also ver- schiedene Zahlen fiir zl unrl z2 gelten. Nennen wir, entsprechend der friiheren Bezeichnung, diese beiden Attractionen R, und k,,, so ist:

I n der rechten Seite steckt der gemeinsame Factor G , alle ubrigen Bestandtheile derselben sind der Messung zuganglich : Q und il lassen sich genauer bestimmen, als das Endresultat der Arbeit; die x,, y6, zc folgen aus den Abmessungen an Bleiklotz und Kugelstellungen bei geloster Waage ; diese Messungen wurden theils mit einem stahlernen Randmaass, theils mit einem Kathetometer ausgefuhrt , welches die Ver- suchsstation fur Sprengstoffe in Spandau bereitwilligst zur Verfugung stellte. Da mit dem Fernrohr des letzteren an jeder Kugel nur ein Rand anvisirt werden konnte, war noch der Radius der Kugeln zu bestimmen, welcher aus dem be- kannten Volumen derselben abgeleitet wurde.

Eine analytische Voruntersuchung uber die zulassigen Fehler der nothigen Lhgenmessungen ergab folgende Bestim-

K = K - (f + i?).

(5) KO + Jiu = KO + Ku - (To + 6 + fu + Q.

Gruvitutionsconstunte. 185

mungen: Damit der berechnete Werth von (k , + ku) bis auf 1,6 pro mille (wahrsch. Fehler des Hnuptresultates) genau sei, diirfen die Abmessungen folgende Fehler haben :

Horizontale Kanten des Bleiklotzes

Abstand der Kugelcentra oben bis unten 0,3 ,,

Neigung des Bleiklotzes 2 Winkelgrad. Diese Fehlergrenzen wurden weder von der Lagenanderung des Bleiklotzes, noch von der Unsicherheit der Ausmessungen erreicht.

0,3 cm Verticnle Kanten des Bleiklotzes 110 1 ,

Hohenlage (Senkung) des Bleiklotzes 470 1 ,

Die gefundenen Daten sind folgende :

Horizontale Kanten des Bleiklotzes Verticale Kanten des Bleiklotzes 200,48 ,, Mittlere Hohe der oberen Kugeleentra

iiber dem Bleiklotz 17,051 ,, Mittlere Hohe der unteren Kugelcentra

Abstand der Seitenschneiden der Waage (h) 23,320 ,, Dichtigkeit des Bleies (Q) 11.2526 g/cm3 Langendichtigkeit der Cylinder ( A )

Daraus kann man auf Grund der vorstehend mitgetheilten Formeln (3) bis (5) das numerische Resultat der Attraction aus dem Newt o n'schen Gravitationsgesetze folgendermaassen berechnen :

(6) seca

211,lO cm

unter dem Bleiklotz -8,746 ,,

149,80 g/cm.

k, + ku = 10594,O. G -'! - Wir haben nun die experimentelle Bestimmung von R, + ku

aus . Wagungen zu besprechen.

IV. Resultate. Die einzelnen Wagungsresultate aus je zwei Tagen, welche

nach Formel (2) (p. 174) gefunden werden, zeigen, sowohl ohne wie mit Bleiklotz, einen deutlichen Einfluss der verschiedenen, jeweilig herrschenden Tsmperaturverhaltnisse, dessen Vernach- lassigung bei nicht gleichmassiger Vertheilung der Beobach- tungen iiber alle Jahreszeiten den wahren Werth des Resultates verschieben muss (systematischer Fehler), aber auch bei gleich- massiger Vertheilung die Streuung der Einzelwerthe und damit

186

den wahrscheinlichen Fehler des Resultates vergrossert. Dieser Einfluss ruhrt erstens von der Differenz der Temperatur bei den oberen und den unteren Waageschalen her; wir bezeichnen diese Differenz durch (19~ - 19~). Dieselbe ist in dem benutzten Tdocal zweimal jahrlich fur ejnige Tage im Fruhsommer und Spatherbst unmerklich, erreicht aber im Spatsommer Betrage bis zu + 0,7O und im Spatwinter ebenso grosse negative Be- trage. Wir haben in unserer ersten Mittheilung vom 23. Marz 1893 (p. 172 und 180-lSl)1) schon erwahnt, dass dadurch die Ausfuhrung der ursprdnglich geplanten Nethode der directen Verticalvertauschungen 2, ver eitelt wird. Wir haben zwar jedes- ma1 zu Zeiten der annahernderi Gleichheit von I?,, und aU einige derartige WBgungen angestellt, durfen dieselben jedoch wegen der immerhin wenige Hunderstel Grade betragenden Differenz nicht fur die Resultate beriicksichtigen, weil die ge- fundenen Werthe den Einfluss dieser Differenz in auffalliger und regelmassiger Weise zeigen. Die Wirkung dieser Tempe- raturdifferenzen ist leicht einzusehen : wenn "?, > 19, ist (Sommer), so entsteht nach der Verticalvertauschung um die von oben nach unten transportirte warmere massive Kugel ein auf- steigender Luftstrom uiid lasst die Kugel zu leicht erscheinen, die von unten nach oben transportirte kaltere erscheint zu schwer; die Abnahme des Gewichtes mit der Hohe ergiebt sich also zu kleiii. 1st umgekehrt < 9'u (Winter), so erscheint die Abnahme des Gewichtes mit der Hohe zu gross. Die dunn- wandigen Hohlkugeln nehmen die Temperatur der umgebenden Luft ungleich vie1 schneller an und konnen deshalb diese Wirkung nicht compensiren. Dieser zuerst bei den Wagungen mit verticaler Vertauschung bemerkte stirende Einfluss scheint nun auch bei der oben beschriebenen definitiven Methode, wenn auch in schwacherem Grade hervorzutreten. Die Wagungen verlaufen namlich s o , a19 ob die Vollkugeln nach der am Schlusse eines Wagungstages ausgefiihrten verticalen Umsetzung bis zum nachsten Wligungstage noch nicht vollkommen die Temperatur ihrer vergnderten Umgebung angenomrneii hatten.

F. Richarz 11. 0. Krcqar-Menzel.

1) F. Richarz u. 0. K r i g a r - M e n z e l , Wied. Ann. 61. p 570 u.

2'1 A. KGnig u. F. R i c h a r z , Sitzungsber. d. k. Akad. d. Wiss. zu Berlin 1884. p. 1202; Wied. Ann. 24. p. 664. 1685.

579-580. 1894.

Gravitationsconstante. 187

Die Tendenz zu kleinen Sommerwerthen und grosser1 Winter- werthen ist in der Zusammenstellung der Einzelresultate deut- lich zu erkennen.

Ein zweiter Einfluss ist in der zeitlichen Veranderung der Temperatur zu suchen, deren Grosse durch den Differential- quotienten d 9.1 d t ausgedruckt ist. Auch diese Beeinflussung der Werthe zeigte sich zuerst durch starke Fehler unter Ver- haltnissen, welche spater peinlich vermieden wurden. Sobald namlich Menschen und Licht in dem Zinkkasten gewesen waren, welcher die Waage und den Raum fur den Bleiklotz unischloss, gleicht sich die dndurch herbeigefuhrte Erwarmung namentlich der oberen Schichten erst nach mehreren Tagen geniigend aus, und Wagungen, welche nach einem solchen Be- suche des inneren Raumes ohne etwa funftagige Pause unter- nommen wurden , gaben ein unbrauchbares Resultat. Diese Sttirungen finden ihre Erklarung darin, dass leider durch den nur fur die urspriinglich geplante unverwendbare Methode construirten Vertauschungsmechanismus die Kugeln zur Aus- fuhrung der gewohnlichen Gauss’schen Vertauschung zwischen rechts und links jedesmal anderthalb Meter weit bis vor die vordere Wand des Rleiltlotzes vorgefahren werden miissen, d. h. an einen Ort, welcher bei nicht auqgeglichenen Warme- verhaltnissen andere Temperatur hat als die Waageschalen. Nun kann man zwar wahrend einer glatten Reihe von Wagungs- tagen das Betreten dieses inneren Zinkkastens vermeiden, man kann aber trotz der vielfachen Schutzeinrichtungen, welche in unserer friiheren Mittheilung besprochen sind, nicht verhindern, dass bei unvermitteltem Hintreten andauernd heissen oder kalten Wetters selbst in unserem geschiitzten Locale Temperatur- differenzen vorkommen zwischen dem Orte der Waageschalen und dem im gleichen Niveau gelegenen Orte, wo die Kugeln vertauscht werden.

Die dnraus entspringenden systematischen Fehler der Wagungsresultate haben nun thatsiichlich bemerkt werden konnen, und aussern sich bei den Wagungen ohne und mit Bleiklotz in entgegengesetztem Sinne, wahrend der vorher be- sprochene Einfluss von (??,, - au) stets denselben Sinn hat. Dieses zunachst verwunderliche Verhalten ist erlrl$rlich, wenn man auf die raumlichen Verhaltnisse unserer Versuchsanord-

188 F. Richarz u. 0. Krz$ar-il%nzel.

nung eingeht: die Waage und die oberen Schalen namlich sind in einen engen aus schlecht leitendem Holz und Glas bestehenden Kasten eingeschlossen; dringt nun z. B. bei heissem Wetter Warme in den Zinkkasten ein, so bleibt der Waage- kasten thermisch zuruck, wahrend der leere Raum des Zink- kastens schneller folgt. 1st aber der grosste Theil des Raumes erfiillt mit der thermisch tragen Bleimasse, so kehren sich die Verhaltnisse beim Eindringen der Warme um ; die Waage- schalen, welche der Seite der andringenden ausseren Einfliisse naher liegen als die Vertauschungsstation , eilen dieser dann in der Temperatur voraus. Dass nun dergleichen Temperatur- veranderungen , denen die Gewichtskugeln wahrend der Um- setzung ausgesetzt werden , die Resultate in ahnlicher Weise beeinflussen mussen, wie die Verschiedenheiten von 8, und 7FU,

ist einleuchtend und iiberdies durch das vorliegende Beob- achtungsmaterial bestiitigt.

Um die Resultate von diesen triibenden Einfliissen in einer, jede willkurliche Auswahl vermeidenden, einwurfsfreien Weise zu reinigen, wurde angenommen, dass die einzelnen Wagungs- resultate Functionen von (79, - 8+J, von d I?, / d t und der Voll- standigkeit halber auch von dtFul d t seien; wegen der Klein- heit der Abweichungen vom Hauptmittel geniigte es folgende lineare Function anzusetzen:

p = p o + a . ( ? ? o - 1 9 u ) + b . ~ + c . - . d 4 , (7) d t Dabei bedeutet p das einzelne aus zwei Wagungstagen com- binirte Resultat; als Einheit fur d t wurde ein Tag gewahlt; p o , a, b und c sind Constanten, welche aus sammtlichen voll- giiltigen, bei gutem Zustand der Waage gewonnenen Werthen von p nach der Methode der kleinsten Quadrate berechnet wurden. Die Constante p , giebt dann direct das gereinigte Schlussresultat. Da die thermischen Verhaltnisse ohne und mit Bleiklotz wesentlich verschieden sind, war eine gesonderte Ausgleichsrechnung fur die Werthe von (yu-g0) ohne Blei- klotz und fur (9, -go -(Ao + ku)) mit Bleiklotz von vornherein geboten.

Fur die Wagungen vor Aufbau und nach Abbruch des Bleiklotzes ergeben sich die Constanten der vorstehenden Glei- chungen BUS 52 guten Beobachtungen folgendermaassen :

Gravitationsconstante. 189

p , = + 1.2456mg

Um den wahrscheinlichen Fehler des Hauptresultates p , zu finden, ist jede einzelne Beobachtung von p mit Hiilfe der ab- geleiteten Werthe von a, 6, c fur die speciellen (i?,-8,) und d 6 / d t zu corrigiren. Der wahrscheinliche Fehler des Mittels dieser corrigirten p ist dann derjenige von p , und ihr Mittel- werth ist selbstverstandlich gleich p , selbst. So erhalt man:

p , = (+ 1,2456 f 0,0017) mg und als wahrscheinlichen Fehler der Einzelbestimmung f 0,0120. Hatte man die Beobachtungen ohne Ausgleichung einfach zum arithmetischen Mittel vereinigt, so wiirde man 1,2479 f 0,0020 erhalten haben.

Ausser den soeben verwendeten 52 Einzelwerthen liegen noch eine Anzahl von Bestimmungen vor, welche bei weniger gutem Zustand der Waage angestellt sind; einem Zustande, in dem die Einstellungen der Waage , welche ident,isch sein sollten, recht grosse Unterschiede zeigen. Diese Bestimmungen sind daher als minderwerthige zu bezeichnen. Aus ihnen sind zunachst alle diejenigen auszuschliessen, bei welchen eine ein- seitig wirkende Storung (ausser den in der Ausgleichungs- rechnung beriicksichtigten) vorlag. Die iibrigbleibenden sind mit den oben abgeleiteten Werthen von a, b, c fur den Ein- fluss der Temperaturverhaltnisse zu corrigiren. Diese (2 1 ) minderwerthigen Reihen geben

p , = (+ 1,2431 -t. 0,0045)mg mit einem wahrscheinlichen Fehler der Einzelbestimmung von f 0,0205. Ohne die Ausgleichung wiirden sie den Werth 1,2429 _+ 0,0047 ergeben. Vereinigt man die ausgeglichenen Resultate der besseren und der minderwerthigen Wagungs- reihen nach Maassgabe ihrer wahrscheinlichen Fehler , so er- halt. man als Gesammtresultat fiir die Abnahme der Schwere mit der Hohe (vgl. G1. (2)):

a = - 0,0326 b = + 0,0448 c = + 0,0278.

(8) 9, - go = 0,0,5183. (1,2453 f 0,0016) s. Fur die Attractionswiipnyen mit Bleiklotz berechnen sich

die Constanten der Gleichung (7) aus 69 bei gutem Zustand

190 I? Rieltaw 11. 0. Kr<qar-Menzel.

der Waage gefundenen Einzelwerthen der doppelten Gewichts- abnahme folgendermaassen :

p , = - 0,1207 mg u = - 0,0219 h = - 0,0214 c = - 0,0399. Die wahrscheinlichen Fehler der Einzelwerthe und des

Resultates p , berechnet man ebenso, wie bei dem Resultat ohne Bleiklotz angegeben, und erhBlt:

p , = (-- 0,1207 & 0,001 4) mg mit einem wahrscheinlichen Fehler der Einzelbestimmung von ~r 0,0115. Das arithmetische Mittel aller p ohne Ausgleichung wiirde ergeben haben ( - 0,1222 & 0,0016) mg. Auch bei 12 minderwerthigen Bestimmungen mit Bleiklotz wurden die ge- fundenen a, 8, c in den Correctionen verwendet, man erhielt dann als ihr Resultat:

p , = (- 0,1254 & 0,0053) mg.

Wahrscheinlicher Fehler der Einzelwerthe f 0,0187 ; uncorri- girt wurde man das Mittel (- 0,1252 rt: 0,0061) erhalten haben.

Das gute und das minderwerthige Resultat, nach Maass- gabe der wahrscheinlichen Fehler vereinigt, geben das Schluss- resultat der Wagungen mit Bleiklotz :

(9) g , - g , - ( k , + A,) = - 0 , 0 , 5 1 8 3 . ( 0 , 1 2 1 1 ~ 0 , 0 0 1 4 ) ~ ~

Hieraus und aus dem Schlussresultat fur 9, - go folgt

(10) k, + k , = + 0,0,5183. (1,3664 0 , 0 0 2 1 ) ~ ,

Dies ist der experimentell gefundene We& der Attraction. Der aus dem New ton'schen Gravitationsgesetze berechnete war (GI. (6)):

R, + k, = 10594,O. G.

Die Gleichsetzung beider Ausdrucke giebt folgenden Werth der Gravitationsconstante:

G = (6,685 _+ 0,011)- lO-'plsecB* em8

Alle numerischen Rechnungen , welche zu diesem Resultate fuhren, sind controlirt , theils durch doppelte Berechnung der Einzelresultate aus den Angaben unserer Protocollbucher, theils durch kritische Proben der nach G1. (7) ausgefiihrten

Gravitationsconstante. 191

Ausgleichsrechnung. Bei allen diesen Zahlenrechnungen waren uns die Herren Cand. astron. M a r t i n E b e l l in Berlin und Dr. phil. W a l t e r L e i c k in Greifswald in anerkennenswerther Weise behiilflich.

Um von der Gravitationsconstante auf die mittlere Dichtig- keit der Erde A zu kommen, benutzt man die Verbindung, in welcher diese beiden Grossen durch den theoretischen Aus- druck der Schwerebeschleunigung g stehen. Es ist im Meeres- niveau : (12) y = + z . Ep . A . G . (1 + a - 3 c). 11 + ( + c - a) sin2Bf. Dabei bedeutet Rp den polaren Halbmesser, a die Abplattung der Erde, c das Verhaltniss von Centrifugdkraft zu Schwer- kraft am Aequator und B die geographische Breite. Dieser Ausdruck folgt aus Helmer t ' ) , GI. (12), unter Benutzung des Theorems von C l a i r a u t und indem die Erdmasse gleich + x a2Bp . A gesetzt w id . Es ist nun nicht einwurfsfrei, in diese Gleichung fur g und B die localen Werthe am Beob- achtungsort einzusetzen, wie dies von anderen Autoren ge- schehen ist; denn der specielle Werth von g kann infolge localer Bodenbeschaffenheit einen abnormen Betrag besitzen. Vielmehr muss man mit obiger G1. (12) diejenige verbinden, welche alle sorgfaltigen Pendelmessungen an allen moglichen Orten der Erde (reducirt auf Meereshohe) berucksichtigt und sich denselben am genauesten anschliesst. Diese empirische Formel, welche 9 als Function von B darstellt, lautet:

cm (13)2) sec

Aus der Gleichsetzung dieses empirischen Werthes mit dem vorstehenden theoretischen folgt, frei von dem Einflusse localer Unregelmassigkeiten der Massenvertheilung im Erdinnern :

y = 978,OO. {l + 0,005310. sin2 B]-? .

4 cm 3

Setzt man : Rp = 635608000cm, a = 0,00334162) c = 0,00346723)

1) H e l m e r t , Theorien der haheren Geodlsie 2. p. 96. 2) 1. c. 2. p. 241. 3) 1. c. p. 84. G1. (2*).

192 p. Hicharz ?I.. 0. Krigar-Menzel.

und G gleich dem von uns gefundenen Werthe, so folgt die mittlere Dichtigkeit der Erde:

(14) A = (5,505 & 0,009) &. Wir fiihren schliesslich zum bequemen Vergleich nooh die

durch principiell einwandsfreie Methoden gefundenen Resultate friiherer Beobachter an.

Cavendish Reich Baily Cornu u. Baille Ph. v. Jolly

J. Wilsing Derselbe spater mit Vermeidung gew.Fehlerquel1.

Beobachter I Methode

Drehwaage 9 ’

7,

,, Waage mit langem GehBnge

Pendelapparat

-

A

5,45 ,49 u. 5,5€

5,67 ,56 u. 5,5(

5,692

5,594

5,577

5,4934 5,5270

Yshrsch.Fehler

?r 0,068

f. 0,032

z t 0,013

vgl. die folg. Bemerkungen

Die ersten fiinf der angefuhrten Bestimmungen sind durch den Einfluss sehr starker Fehlerquellen recht unsicher , die- jenigen von Wi l s ing , Poyn t ing und Boys sind betrachtlich sicherer. Poynt ing’s Resultat ist das Mittel zweier Beob- achtungssatze; welche die abgekiirzten Zahlen 5,46 und 5,52 ergeben und jeder in sich eine ausgezeichnete Uebereinstimmung der Einzelwerthe zeigen. Wenn man daher annehmen wiirde, dass die betrachtliche Differenz der beiden Gruppenmittel nur auf unsymmetrische Massenvertheilung im Inneren der ver- wendeten gravitirenden Bleikugeln zuriickzufuhren sei, welch letztere bei beiden Beobachtungssatzen verschiedene Orientirung hatten, und dass in ihrem Mittel sich der Fehler ungleich- massiger Dichtigkeit heraushebe, so wiirde P oyn ting’s End- resultat einen noch kleineren wahrscheinlichen Fehler haben als unsere Bestimmung. Boys endlich hat von neun gewonne- nen Werthen nur zwei ausgewahlt und zum Hauptresultat vereinigt, dessen wahrscheinlichen Fehler er auf & 0,002 schatzt. Waren sammtliche Werthe nach Maassgabe ihrer inneren wahrscheinlichen Fehler verwendet worden, so wiirde sich ein

Gravitationsconstante. 193

kleinerer Werth fur A und ein erheblich grosserer wahrschein- licher Fehler des Hauptresultates ergeben haben.

Der wahrscheinliche Fehler unseres Resultates betragt 1,6 pro mille. Der Genauigkeit unserer Wagungen war eine Grenze gesteckt vornehmlich durch Eigenthiimlichkeiten in der Anordnung des Vertauschungsmechanismus der Gewichtskugeln, durch Mange1 in der Construction der Waage, welche iibrigens nach Maassgabe der zu Beginn unserer Versuche vorliegenden Erfahrungen vortreff lich gebaut war (vgl. den Abschnitt ,,WaagecL p. 166 unserer ersten Mittheilung) l), endlich durch die ortlichen und zeitlichen Differenzen der Temperatur. M e diese Schad- lichkeiten, deren Einfluss sich erst wahrend der Arbeit heraus- stellte, wiirden sich bei einer etwaigen Wiederholung der Ver- suche erheblich herabsetzen lassen, sodass bei einer solchen, unter Benutzung der von uns gewonnenen Erfahrungen, eine betrachtlich vermehrte Sicherheit der Wagungen mit Bestimmt- heit zu erwarten ware.

Die ausfiihrliche Veroffentlichung unserer Arbeit , auf welche in der Einleitung vorliegenden Berichtes hingewiesen wurde, ist inzwischen (September 1898) in den Abhandlungen d. k. preuss. Akad. d. Wissensch. zu Berlin erschienen. -~ -

1) F. Richarz u. 0. Kr igar -Menze l , Wied. Ann. 61, p. 563. 1894. (Eingegangen 22. October 1897.)

Ann. d. Phys. u. Chem. N F. 66. 13