Grundbegriffe

der (deskriptiven) Statistik

der Wahrscheinlichkeitstheorie

Beispiel „Haushaltsgröße“

Häufigkeitstabelle für das Jahr 1980(laut Schlittgen)

Verteilungsfunktion

Zufallsvariablen

VerteilungVerteilungsfunktion

WahrscheinlichkeitsfunktionWahrscheinlichkeitsdichte

Verteilung

Die Verteilung einer ZV ist ein Wahr-scheinlichkeitsmaß auf den reellen Zahlen

diskret stetig

diskret

f nennt man Wahrscheinlichkeitsfunktion

von X

stetig

f nennt man Dichtefunktion

von X

Verteilungsfunktion

diskret stetig

diskret

stetig

Erwartungswert und Varianz I

Der endliche Fall

Erwartungswert

Varianz

Gegeben seien n Zufallsvariablen

Dann gilt immer:

Wenn gilt

dann hat man auch

Gleichheit von Bienaymé

Beispiel „Haushaltsgröße“

Häufigkeitstabelle für das Jahr 1980(laut Schlittgen)

Der diskrete unendliche Fall

Dabei nehmen wir an, dass

Erwartungswert

Varianz

Erwartungswert und Varianz II

Der stetige Fall

f ist die Wahrscheinlichkeitsdichte. Dabei nehmen wir an, dass

Erwartungswert

Varianz

Erwartungswert und Varianz III

Gegeben seien n Zufallsvariablen

Dann gilt immer:

Wenn gilt

dann hat man auch

Gleichheit von Bienaymé

Die Binomialverteilung

Erwartungswert

Varianz

Die Poisson-Verteilung

Erwartungswert

Varianz

Die Normalverteilung(Gauß-Verteilung)

(Gaußsche Glockenkurve)

Dichte

Verteilung

Verteilungsfunktion

Erwartungswert

Varianz

Die hypergeometrische Verteilung

Notation

Erwartungswert

Varianz

Die geometrische Verteilung

Erwartungswert

Varianz

Die Exponential-Verteilung

Dichte

Verteilung

Verteilungsfunktion

Erwartungswert

Varianz

InsekteneierN : Anzahl der Eier, die ein bestimmtes Insekt legtM : Anzahl der Eier, die sich entwickelnN - M : Anzahl der Eier, die unentwickeltbleibenAnnahmen

Die Wahrscheinlichkeit, dass dasInsekt genau n Eier legt, beträgt

d. h.

Jedes Ei entwickelt sich mit dergleichen Wahrscheinlichkeit p

Die Eier beeinflussen sich nichtin ihrer Entwicklung

Dann gilt:

1

2

3

Bäckerei BröselBröselX : Anzahl der Kunden in der Bäckerei Brösel zwischen 7.00 Uhr und 7.15 Uhr

n : Anzahl der betrachteten Haushalte

Annahmen

Die Wahrscheinlichkeit p, dassein Haushalt zu der Zeit bei Bröseleinkauft, ist bei allen Haushaltengleich

Die Haushalte entscheiden unab-hängig voneinander, ob sie bei Brösel einkaufen oder nicht

Dann gilt:

d. h.

Nun wird die Anzahl n der betrachtetenHaushalte vergrößert.

Die „Einkaufswahrscheinlichkeit“p hänge dabei so von n ab, dass gilt:

Dann konvergiert die Verteilung von X gegeneine Poisson-Verteilung.Genauer: Man hat im Limes n gegen unendlich: