Grundbegriffe der Schulgeometrie

SS 2006

(M. Hartmann)

Organisatorisches

• Vorlesung (Hartmann)– Dienstags bzw. Freitags zweistündig im Wechsel

• Übungen (Weth)– Zwei Gruppen A und B zur Auswahl– Wöchentliche Übungsaufgaben

www.didmath.ewf.uni-erlangen.de• Abgabe zu Beginn der jeweiligen Übungsgruppe• Rückgabe und Besprechung eine Woche später in den Übungen• Bewertung +, o, -

– Teilweise auch Präsenzübungen• Schein

– Bei Bestehen der Klausur am Ende des Semesters– Voraussetzung zur Klausurteilnahme:

Etwa 75% der Übungsaufgaben mit mindestens o bewertet!– Keine Nachholklausur!

Virtuelle Hochschule Bayern

• Wer hier teilnehmen will, muss sich zusätzlich kostenfrei bei der vhb für den Kurs „Grundbegriffe der Schulgeometrie“ einschreiben!

• Schreiben Sie sich heute noch ein!!• Frage: Wie geht das?• Antwort: ??

Was soll die Vorlesung leisten?

• Vorbereitung auf das Unterrichten von Geometrie in der zweiten Phase– Didaktische Grundideen des Geometrieunterrichts

• Ziele des Geometrieunterrichts aufzeigen• Wege zum Erreichen dieser Ziele vermitteln• Exemplarisch

– Schulmathematisches Wissen • Auffrischen• Elaborierte Sichtweise• Teilweise fachmathematische Hintergründe

• Inhaltliche Vorbereitung fürs Examen

Was kann die Vorlesung nicht leisten?

• Allgemeine Methodik des Unterrichtens• Stoffverteilungsplan• Komplette Stundenbilder• Vollständige Behandlung der Schulgeometrie

– Mathematisch– Didaktisch

• Strategische Vorbereitung fürs Examen – → Seminar zur Examensvorbereitung

Überblick über Vorlesung

I. Ziele des Geometrieunterrichts (1)

II. Bildung geometrischer Begriffe (10)

III. Inhaltslehre (2)

IV. Zeichnen/Konstruieren (2)

V. Geometrische Abbildungen /Symmetrie (2)

VI. Projektionen (2)

VII. Räumliches Vorstellungsvermögen (1)

VIII. Problemlösen/Kreativität (1)

I. Ziele des Geometrieunterrichts

• Erwerb – elaborierten Wissens über Figuren, Körper, geometrische

Operationen sowie deren Beziehungen– handwerklicher und formaler Techniken (Konstruieren,

Zeichnen, Messen, Berechnen,…)• Befähigung zur Anwendung dieses Wissens

– Alltag, Beruf und weiterführende Schulen • Erziehung zu konzentriertem sauberen Arbeiten

– Zeichnen, Basteln, Lösen einer Berechnungsaufgabe• Förderung von Problemlösetechniken

– speziell auf die Geometrie bezogen aber auch allgemein• Sprachschulung

– Beschreiben, Argumentieren, Fachsprache nutzen,…• Förderung kreativen Verhaltens

– Freude am Schaffen und Entdecken – Kreativitätsroutinen

Forderungen aus dem Mathematik-Fachprofil (LP)• Beim Lösen … geometrischer Aufgaben sollen die Schüler … Flexibilität

und problemlösendes Denken entwickeln …• Der Unterricht soll zur Selbstständigkeit ermuntern, den Einfallsreichtum

fördern und Freude am mathematischen Tun wecken …gestalterischer Umgang mit geometrischen Formen können dazu beitragen, dass die Schüler Freude an mathematischem Tun gewinnen.

• Versuche, … Lösungswege zu variieren, sollen den Schülern das Durchdringen und selbstständige Bearbeiten von Aufgaben erleichtern.

• …räumt der Unterricht auch der Entwicklung von Lösungsideen Platz ein.• Zunehmend verwenden die Schüler gängige Begriffe der mathematischen

Fachsprache. Es ist aber darauf zu achten, dass sie mathematische Bezeichnungen und Symbole mit inhaltlichen Vorstellungen und Wissen verbinden.

• Kenntnisse über geometrische Figuren und das Wissen um geometrische Beziehungen können aus der Arbeit mit konkreten Modellen sowie dem zeichnerischen Darstellen erwachsen. Durch häufige und vielfältige kopfgeometrische Aufgaben wird intensiv das räumliche Denken und Vorstellungsvermögen geschult.

• Berechnungsformeln dürfen nicht zu früh eingeführt, sie müssen schrittweise aus der Anschauung entwickelt werden. Eine wiederholte Rückbesinnung auf ihre Gewinnung erleichtert den Schülern eine flexible Anwendung.

II. Bildung geometrischer Begriffe

Sprech- und Schreibweisen

• Man fasst in der Geometrie Figuren bzw. Körper als Teilmengen und Punkte als Elemente der Ebene bzw. des Raumes auf

• Damit sind spezielle Sprech- bzw. Schreibweisen aus der Mengenlehre verbunden

• Die Ebene (bzw. der Raum) kann mittels eines Koordinatensystems beschrieben werden (Man spricht dann vom R² bzw. R³)

• Es muss generell zwischen Figur und dem ihr zugeordneten Maß unterschieden werden!

Empfohlene Schreibweisen (LP)

A, B, C... PunkteP (x | y) Punkt im Koordinatensystem mit

den Koordinaten x und yAB Gerade durch A und B[AB] Strecke von A nach B

Länge der Strecke ABg, h, k... Geradeng || h g ist parallel zu h

g h g ist senkrecht zu h (ABC) Winkel mit Scheitelpunkt Bα, β, γ, δ... Winkelmaß

AB

VariierenAnalogisieren

Definitionen

Eigenschaften

Naive Vorstellung

FachmathematischerAspekt

Vorkommen

KreativesArbeiten

UnterrichtlicheRepräsentation

GeometrischerBegriff

Fachsprache

Fachsprache

Funktion

Anwendung

Lebensweltlicher AspektAlltag/Beruf

Begriffsumfeld

Beziehungen

Eigenschaften entdeckenMentaler Begriff

Mentales Modell/Proposition

AnalysierenVernetzen

Handeln/Werken

Verbalisieren

Zeichnen

Schüleraktivität

Modell

Text

Bild

Ordnen

Operativ vorgehen

Ungenauigkeit

VariierenAnalogisieren

Definitionen

Eigenschaften

Naive Vorstellung

FachmathematischerAspekt

Vorkommen

KreativesArbeiten

UnterrichtlicheRepräsentation

GeometrischerBegriff

Fachsprache

Fachsprache

Funktion

Anwendung

Lebensweltlicher AspektAlltag/Beruf

Begriffsumfeld

Beziehungen

Eigenschaften entdeckenMentaler Begriff

Mentales Modell/Proposition

AnalysierenVernetzen

Handeln/Werken

Verbalisieren

Zeichnen

Schüleraktivität

Modell

Text

Bild

Ordnen

Operativ vorgehen

Ungenauigkeit

VariierenAnalogisieren

Definitionen

Eigenschaften

Naive Vorstellung

FachmathematischerAspekt

Vorkommen

KreativesArbeiten

UnterrichtlicheRepräsentation

GeometrischerBegriff

Fachsprache

Fachsprache

Funktion

Anwendung

Lebensweltlicher AspektAlltag/Beruf

Begriffsumfeld

Beziehungen

Eigenschaften entdeckenMentaler Begriff

Mentales Modell/Proposition

AnalysierenVernetzen

Handeln/Werken

Verbalisieren

Zeichnen

Schüleraktivität

Modell

Text

Bild

Ordnen

Operativ vorgehen

Ungenauigkeit

Naive Vorstellung• Zu vielen Begriffen existiert eine naive Vorstellung. Sie ist oft

gekennzeichnet durch – Prototypen

• Sonderformen (Rechteck statt Viereck)• Normallagen (Quadrat vs. Raute)• Standardproportionen (Draht ein Zylinder, Blatt Papier ein Quader?)

– Bezug zu bestimmter Sachsituation (Pyramide Cheops)– Unschärfe (Achsensymmetrie …zwei gleiche Teile) – Eigenschaftsarmut (Parallelogramm nur Parallelität)

• An diese naive Vorstellung sollte im Unterricht angeknüpft werden– Teilweise um sie auszumerzen (Raute vs. Quadrat) (da sich diese sonst

auf Dauer wieder festigt!)– Teilweise um sie zu nutzen

• Als Merkhilfe für Bezeichnungen (Pyramide, Trapez, Zylinder…)• Als mentale Prototypen (z.B. bildliche Repräsentation im Gedächtnis:

Normallage, bestimmte Proportion)• Als Ausgangspunkt für eine Verallgemeinerung (

schiefe nichtquadratische Pyramide)

Cheopspyramide

Trapez

Zylinder

Raute

Mentale Modelle beziehen sich auf Prototypen

Satz von Thales?

Fachmathematischer Aspekt

• Begriffe (z.B. Figuren, Relationen, Abbildungen…) werden definiert, d.h. so knapp wie möglich eindeutig beschrieben und mit einem Namen bezeichnet– Definitionen erfolgen oft durch

• Einschränkung bereits definierter Begriffe (bzw. Grundbegriffe) mithilfe definierter Begriffe

• Abstraktionsprozess durch Äquivalenzklassenbildung (→ z.B. Flächeninhalt)

– „Definierende“ Einschränkungen müssen unabhängig sein– Meist existiert eine Vielzahl möglicher äquivalenter Definitionen– Definition im Unterricht

• Begriffe beinhalten meist eine Vielzahl von Eigenschaften– Viereckseigenschaften können sich z.B. beziehen auf

• Seiten (Längen, Lage), Winkel, Symmetrien, Diagonalen (Längen, Lage), Umfang, Flächeninhalt, Inkreis, Umkreis, …

Übersicht

• Die Eigenschaften eines Begriffs stehen meist in engen Beziehungen zueinander – z.B. Aus Längengleichheit der Gegenseiten folgt im Viereck Maßgleichheit

der Gegenwinkel

• Begriffe stehen in Bezug zu anderen Begriffen und sind in ein Begriffsnetz eingebunden– Gemeinsames Auftreten (z.B. Kreise, gleichschenklige Dreiecke)– Analoge Begriffe in anderen Dimensionen (z.B. Strecke, Quadrat, Würfel,

…)– Hierarchische Begriffsbeziehungen

• Unter-, Ober-, bzw. Nachbarbegriff• Lokales Ordnen bekannter Begriffe• Kreatives Ordnen

• Fachmathematische Begriffsbildung ist ein kreativer Prozess– Was macht eine Begriff mathematisch wertvoll?– Begriffsbildung durch Variation, Kombination, Reduktion…– Analogisieren hilft Eigenschaften in variierten Begriffen zu

entdecken

Übersicht

„Definition“ im Unterricht

• Für den Unterricht sind strenge Definitionen manchmal zu kompliziert. Dennoch müssen auch dort Definitionen klar und eindeutig sein!

• Ausgangsbegriff oder einschränkende Eigenschaften können im Unterricht– vorher definiert,– aus Alltag bekannt und eindeutig verwendet oder– an Beispielen und Gegenbeispielen geklärt werden.

• Bsp. für eine schulgerechte „Definition“ von Vieleck:Ein Vieleck ist ein ebener, nicht überschlagener, geschlossener Streckenzug

• Definitionen können „statisch“ oder „dynamisch“ erfolgen– Bsp. Kegel, Parallelogramm…

VieleckeKeine Vielecke

Dreieck, nicht Viereck!

offen

überschlagen

Lokales Ordnen (Haus der Vierecke)• Warum systematisches lokales Ordnen im Unterricht?

– Notwendige Fähigkeit im Alltag (z.B. Ordnerstruktur im Computer)– Propädeutik allgemeinen systematischen wissenschaftlichen

Ordnens (z.B. zoologische Systematik)– Lernerfolgssicherung der Einzelinhalte durch

• Wiederholung• Vernetzung• Reduktion des Lernstoffes (Vererbung der Eigenschaften)

– Klärung korrekter Sprechweisen (z.B. „Das Parallelogramm ist ein Trapez“)

– Einsicht in die Bedeutung solcher hierarchischer Begriffssysteme für die Formulierung mathematischer Sätze (Sätze für Oberbegriffe gelten insbesondere auch für entsprechende Unterbegriffe und müssen dort nicht neu bewiesen werden)

Wie kann geordnet werden?

Begriffe sind bereits erarbeitet, d.h. in all ihren Eigenschaften bekannt!

1) Wähle definierende Eigenschaften für einen Viereckstyp A (z.B. Punktsymmetrie für Parallelogramm)

2) Prüfe, ob diese Eigenschaft auch anderen Typen B zueigen ist:

– Wenn ja, dann ist Typ B Unterbegriff von A (z.B. Rechteck, Raute oder Quadrat)

– Wenn nein, dann ist Typ B• Nachbarbegriff zu A(z.B. Drache, gleichschenkliges

Trapez) oder• Oberbegriff zu A (z.B. Trapez, allgemeines Viereck); in

diesem Fall muss eine definierende Eigenschaft von Typ B stets auch Typ A zueigen sein

zurück

Begriffe werden beim Ordnen erarbeitet!

1) Wähle einen Satz ordnender Eigenschaften (z.B. Achsensymmetrie, Punktsymmetrie)

2) Prüfe, welche Vierecksformen dabei entstehen:– Achsensymmetrie

– bzgl. Diagonalen (Drachen)– bzgl. Mittelsenkrechte (Trapez)

– Punktsymmetrie (Parallelogramm)3) Kombiniere die ordnenden Eigenschaften

– Z.B. Achsensymmetrie bzgl.• zweier Diagonalen• dreier Mittelsenkrechter• einer Diagonalen und Punktsymmetrie…

4) Prüfe insbesondere Existenz und Abhängigkeiten– Nichtexistenz sowie (andere) Abhängigkeiten verringern die Zahl der zu

ordnenden Vierecke• Z.B. ist ein Viereck, welches zwei verschiedene Symmetrieachsen besitzt bereits

auch punktsymmetrisch oder aus der Symmetrie bzgl. einer Diagonalen und einer Mittelsenkrechten folgt die Symmetrie bzgl. der anderen Diagonalen und Mittelsenkrechten

• In einem Viereck können sich Symmetrieachsen nur in den Winkeln 45° oder 90° schneiden

5) Ordnung ergibt sich aus Kombination der geforderten Eigenschaften

zurück

Kreatives Ordnen

Was macht einen Begriff mathematisch wertvoll

• Prinzipiell können jederzeit beliebige (neue) mathematische Begriffe gebildet werden

• Entscheidend für das „Überleben“ eines Begriffs ist aber dessen mathematische Beziehungshaltigkeit!

1. Bsp.: Ein Viereck mit drei gleichlangen Seiten heißt „Dreiseitgleich“.– Solange man keine anderen Eigenschaften des Begriffs findet, die

in Beziehung zueinander stehen, ist das Dreiseitgleich mathematisch langweilig und damit zum Aussterben verurteilt...

2. Bsp.: Ein Viereck, dessen Gegenseiten summengleich sind, heißt „Gegenseitensummerich“.– Beim „Gegenseitensummerich“ findet man eine zusätzliche

interessante Eigenschaft: Dieses Viereck besitzt stets einen Inkreis

– Der „Gegenseitensummerich“ wird also weiterleben (Wenn er dies auch entsprechend seiner Inkreiseigenschaft normalerweise unter dem Decknamen Tangentenviereck tut)

Eigenschaften im Unterricht entdecken

• Das Wahrnehmen von Besonderheiten muss trainiert werden

• Fordern Sie explizit zum Beobachten auf. Hierzu haben Sie verschiedene Möglichkeiten– Geben Sie konkrete Hinweise auf welche

Eigenschaften geachtet werden kann– Fordern Sie dazu auf,

• systematisch alle möglichen Eigenschaften auf Besonderheiten hin zu untersuchen

• Operationen auszuführen und auf Invarianten zu achten

Lebensweltlicher AspektGeometrische Begriffe finden sich oft in unserer Umwelt (Alltag, Beruf). Hier ist es fruchtbar zu fragen:

• Wo kommt ein geometrischer „Begriff“ (Objekt, Eigenschaft, Relation, Abbildung…) vor?– Z.B.: „Wo findest du hier im Klassenzimmer (Schulhaus, Straße…) Trapeze

(Parallelität, Drehungen…)?Ziel: Blick schärfen für mathematische Begriffe in der Umwelt und fachsprachliche Bezeichnungen einüben

• Warum kommt ein „Begriff“ gerade hier vor?– Warum findet man so viele Trapeze an einer Fachwerkfassade?– Warum sind

• Schimmelkulturen, Hexenringe, Baumscheiben,… kreisförmig?• Himmelskörper, Seifenblasen,… kugelförmig?• Teller, Tassen,… „rund“?

Ziel: Entstehung geometrischer Eigenschaften verstehen; Förderung der Allgemeinbildung; Vertraut machen mit Fachbezeichnungen aus Handwerk; Beziehung von Herstellungsprozess (bzw. natürlichem Entstehungsprozess) und Eigenschaften verdeutlichen

– Warum entstehen Rauten wenn man zwei Parallelgitter gleichen Gitterabstandes kreuzt?Ziel: Als Ausgangspunkt für innermathematische Problemstellungen nutzen

Die umfassende Auseinandersetzung mit möglichst vielen mathematischen und lebensweltlichen Aspekten eines Begriffs sowie deren Zusammenhängen ermöglicht erst die Bildung sinnvoller unterrichtlicher Lernziele und ist damit die Grundlage jeglichen interessanten Mathematikunterrichts!

Fachwerk

Schimmelkultur, Hexenring, Baumscheibe…

Schimmelkulturen, Hexenringe und Baumscheiben etc. sind deshalb nahezu kreisförmig, da sie von einem Zentrum aus mit etwa gleicher Geschwindigkeit nach außen wachsen!

Schimmelkulturen, Hexenringe und Baumscheiben etc. sind deshalb nahezu kreisförmig, da sie von einem Zentrum aus mit etwa gleicher Geschwindigkeit nach außen wachsen!

Pinguine im Kreis

Teller als Rotationskörper erzeugt

Im Gegensatz zum Zirkel wird hier nicht das formgebende Element, sondern die Unterlage bewegt.Daraus lässt sich ein Zeichenverfahren für Kreise ohne Zirkel entwickeln:Fingernagel und Bleistift bilden eine feste Einheit. Der Fingernagel fixiert das Blatt an einer Stelle, um die dieses mit der anderen Hand gedreht wird.

Müssen Räder kreisförmig sein?

Gibt es andere Figuren gleichen Durchmessers (Gleichdicke) als den Kreis?

Ja, z.B. das Reuleaux-Dreieck!

Aber bei nicht kreisförmigen Gleichdicks gibt es kein Zentrum für eine Achse, das bei ebener Strecke auf gleicher Höhe bleibt.

Räder müssen also Kreise, Rollen hingegen nur Gleichdicke sein.

Wie stellt man einen Turm gerade?

Schiefer Turm aus Kölsch

Schiefer Turm aus Kölsch

Wie stellt man einen Turm gerade?

Schiefer Turm aus Köln

Schiefer Turm aus Köln

Welches der Dreiecke ist rechtwinklig?

BA

E F

H G

CD

Grunderfahrung zum Lot zu einer Ebene mit dem Faltwinkel

Ein rechter Faltwinkel entsteht durch geeignetes zweimaliges Falten eines Papiers

Def.: Eine Gerade g heißt senkrecht zur Ebene E, wenn g auf zwei Geraden der Ebene senkrecht steht, die durch ihren Schnittpunkt mit E (Spurpunkt) gehen

Mit ihm können Grunderfahren gemacht werden, die auf folgende Definition bzw. Satz vorbereitet

Satz: Ist eine Gerade g senkrecht zur Ebene E, so steht sie auch senkrecht auf allen Geraden aus E, die durch ihren Spurpunkt gehen

Aspekt der Ungenauigkeit

Die Schüler sollen erkennen, dass mathematische Konstruktionen unabhängig vom Konstruktions-verfahren theoretisch zu exakten Ergebnissen führen, in der praktischen Anwendung aber aufgrund von Ungenauigkeiten für ein präzises Arbeiten zusätzliche Aspekte berücksichtigt werden müssen.

Bsp.:

• Wie lassen sich Eigenschaften geometrischer Begriffe für die Funktion von Bauteilen oder ein handwerkliche Vorgehensweisen nutzen?– Müssen Räder kreisförmig sein?– Was hat das Parallelogramm mit einer Briefwaage zu tun?– Wie stellt man einen Turm gerade (bohrt man ein senkrechtes Loch)?– Wie repariert man eine klemmende Schranktür?Ziel: Geometrische Zusammenhänge bewusst nutzen können, Übliche

Formen und Vorgehensweisen kritisch hinterfragen oder auch optimieren können

Wie findet man solche Beziehungen?1. Man geht von einem geometrischen Begriff aus und sucht diesen in

der Umwelt. Hier helfen z.B. Lexika oder Suchmaschinen im Internet2. Man beobachtet wachen Auges Umwelt und sucht in dieser

geometrische Aspekte 3. Man sieht Löwenzahn oder die Sendung mit der Maus

VariierenAnalogisieren

Definitionen

Eigenschaften

Naive Vorstellung

FachmathematischerAspekt

Vorkommen

KreativesArbeiten

UnterrichtlicheRepräsentation

GeometrischerBegriff

Fachsprache

Fachsprache

Funktion

Anwendung

Lebensweltlicher AspektAlltag/Beruf

Begriffsumfeld

Beziehungen

Eigenschaften entdeckenMentaler Begriff

Mentales Modell/Proposition

AnalysierenVernetzen

Handeln/Werken

Verbalisieren

Zeichnen

Schüleraktivität

Modell

Text

Bild

Ordnen

Operativ vorgehen

Ungenauigkeit

Umweltaspekt

Fachmathematischer Aspekt

Lehrer leitet ab

konkreteLernziele

Lehrer entwickelt

adäquateLernumgebung

Schüler baut auf

mentale Begriffe

AllgemeineBildungsziele

Repräsentation der Inhaltedurch Handlungen,Aufgaben, Texte, Bilder, …

Repräsentation der Inhaltedurch Handlungen,Aufgaben, Texte, Bilder, …

Sa

chst

rukt

ur

Repräsentationsformen:• Man unterscheidet in enaktive (Handlung), ikonische (Bild)

und symbolische (Text mit mathematischen Symbolen, Gleichungen…) Repräsentationsformen– Diese Formen treten unter Vermittlung durch Sprache im Laufe

eines Begriffsbildungsprozesses häufig in dieser Reihenfolge auf

• Auch wenn die Klassifikation einen sinnvollen Anhaltspunkt für Repräsentationen im Unterricht liefern, so– sind sie nicht trennscharf– sollte diese Abfolge auf keinen Fall als Schema für einzelne

Unterrichtseinheiten verstanden werden– kann z.B. die Nötigung zum handelnden Vorgehen bei Schülern, die

bereits geeignete mentale Vorstellungen aufgebaut haben, die angestrebte kognitive Verarbeitung sogar behindern

– sind Abweichungen von der Reihenfolge manchmal sinnvoll (insbesondere hat Text eine vermittelnde Funktion für alle Ebenen!)

– sichern sie nicht die Qualität der Repräsentationen– müssen sie stets in Beziehung zueinander gebracht werden

Enaktive Repräsentation

• Hauptziele: – Erfahrungen sammeln– entdeckend lernen – Entdecken lernen (Sensibilität für Phänomene

entwickeln, operative Vorgehensweise anwenden)

• Wird zu Aktivitäten aufgefordert, so – müssen diese zielführend für das Erreichen konkreter

Lernziele sein (Handlungen nicht als Selbstzweck!) – muss ihre Bedeutung intensiv verbalisiert werden!

(Handlungen führen über die Sprache zu mentalen Einsichten)

Ikonische Repräsentation

• Hauptziele: – Festhalten der Erfahrungen– Auswahl eines prägnanten Prototypen für mentales

Modell

• Bei der ikonischen Darstellung ist darauf zu achten, dass– Wesentliches hervorgehoben wird (z.B. Farbe,

Strichdicke…)– der Prototyp keinen Spezialfall darstellt– der Zusammenhang mit der vorangegangenen

Handlung deutlich gemacht wird

Symbolische bzw. textliche Repräsentation• Hauptziele:

– Während der Handlungen (vor allem sprachlich):• Klärung der noch undeutlichen Ideen• Kommunikation der Entdeckungen• Kommunikationstraining

– zwar noch unscharfes aber dennoch verständliches Beschreiben– Verwenden eigener Bezeichnungen

– Abschließend:• Ergänzen der ikonischen durch propositionale Fassung

– um Sachverhalte» allgemeingültig sowie » leicht kommunizierbar zu repräsentieren

– zur Unterstützung des Memorierens (Vernetzung mit mentalem Modell)

• Training exakten Formulierens

– Weiterführend (vor allem symbolisch):• Möglichkeit einer abstrakten Weiterverarbeitung (z.B. als

Formeln)

• Bei der abschließenden textlichen Darstellung ist darauf zu achten, dass– knapp aber unmissverständlich formuliert wird

(Literaturhinweis: Schulz v. Thun und Götz, Mathematik verständlich erklären, München 1976)

– der Text in engem Bezug zu der ikonischen Darstellung steht (Aufgreifen von Bezeichnungen und Farben, räumliche Nähe…)Bsp.: Außenwinkelsatz

Bsp.: Repräsentationen des geraden Drachens

• Enaktiv– Das Ausschneiden eines Drachen ist eine Handlung, deren

Ergebnis zwar den geometrischen Begriff repräsentiert, die selbst aber in keinem Bezug zu den Eigenschaften desselben steht! (Inadäquate Repräsentation!)

– Das Ausschneiden durch zwei Schnitte aus einem gefalteten Papier hingegen steht in direktem Bezug zu seiner Symmetrie

– Das Zusammenlegen zweier Paare jeweils gleichlanger Stifte steht ebenfalls in direktem Bezug zu seinen Eigenschaften. Beim Variieren der Winkel können zusätzliche Zusammenhänge bzw. Invarianten erkannt werden (Operatives Prinzip)

– …• Ikonisch

– Inadäquate Repräsentation:…– Adäquate Repräsentationen:…

• Symbolisch– Text 1: „Bei einem Drachen gilt a=b und c=d.“ (ungünstig, da

Bezeichnungen ohne beschriftetes Bild nicht zwingend)– Text 2: „Ein Drache setzt sich aus zwei Paaren jeweils

gleichlanger Nachbarseiten zusammen.“ (günstig, da unabhängig von speziellen Bezeichnungen)

Repräsentation von Körpern

• Die ikonische Repräsentation von Körpern ist gegenüber der ebener Figuren besonders problematisch, da Längen und Winkel verzerrt dargestellt werden

• Deshalb ist bei Körpern die unmittelbare enaktive Repräsentation unerlässlich!

• Bei Körpern unterscheidet man grob zwischen Kanten-, Flächen- und Voll- bzw. Füllkörpermodellen, die passend zu den jeweiligen Lernzielen eingesetzt werden müssen– Kantenmodell: Kanten-, Diagonaleneigenschaften,…

Teilfiguren, wie Stützdreiecke müssen selbst wieder z.B. als Pappfigur repräsentiert werden

– Flächenmodell: Formen der Begrenzungsflächen, Netze, Oberflächenmaß, …

– Voll- bzw. Füllkörpermodell: Volumen, Gewicht, Dichte…

• Zum Aufbau eines mentalen Modells von Körpern müssen – die unterschiedlichen Modelltypen von den Schülern selbst

hergestellt werden• Achten Sie dabei auf sauberes Arbeiten!

– die Körper als Kanten- oder Flächenmodell strukturiert werden durch

• Repräsentation relevanter Aspekte z.B. mittels Farbe• Prozess des Aufbaus

– diese strukturierenden Repräsentationen verbal erläutert werden– entsprechende Vorstellungsübungen gemacht werden (z.B.

Wechselspiel zwischen Betrachtung des realen Modells mit offenen und des mentalen Modells bei geschlossenen Augen)

– die Körper von den Schülern als Schrägbild gezeichnet werden– Strukturierungen durch Einfärben dort sichtbar gemacht werden – der Wechsel vom Modell zum Schrägbild mit entsprechenden

Übungen gestaltet werden, damit das Schrägbild richtig interpretiert wird (z.B. Einzeichnen von Diagonalen, Schnittfiguren,…)

– reale, zeichnerische oder mentale Operationen an Körpern vorgenommen werden (z.B. Schnitte, Verlängerung von Seiten, …)

Netze von Körpern

• Körper, die von ebenen Flächen begrenzt werden heißen Polyeder (Vielflächner)

• Diese Begrenzungsflächen sind Vielecke• Das Netz eines Körpers erzeugt man, indem man diesen

entlang von Kanten aufschneidet und in der Ebene ausbreitet. Diesen Prozess nennt man Abwicklung

Beispiele:

Gegenbeispiel:Nicht an einer gemeinsamen Kante zusammenhängend!

Nicht zusammenhängend!

Wie entscheidet man, ob etwas ein Würfel- bzw. ein Quadernetz ist?

– mental-visuelles Zusammenfalten• Vorstellungshilfe: Schweren Körper auf

Grundfläche stellen

– Anwenden von Ausschlusskriterien• Kein „U“

• kein „5er-Band“

• kein „großer Winkel“

– Speziell für Quadernetze• 3 Paare kongruenter Rechtecke

• Über Eck keine ungleichlangen Rechtecksseiten

großes Ukleines U U

5er-Bandgroßer Winkel

Wie viele verschiedene Würfelnetze gibt es?

gleich oder verschieden?

Drehen

Umklappen

Lernziele zu Körpernetzen

• Umweltaspekt: – Vermeidung von Leimkanten– Verpackungsprobleme

• Einprägen von Körpereigenschaften• Training des räumlichen Vorstellungsvermögens

– speziell des mental-visuellen Operierens und– der Nutzung propositional beschreibbarer

Relativlagen

Standardnetze der geraden quadratischen Pyramide

„sternförmig“ „mantelförmig“

Repräsentiert Symmetrie Repräsentiert Aufteilung inMantel- und Grundfläche

• Konstruktionsmöglichkeit 1: „Kreise um Eckpunkte“

• Konstruktionsmöglichkeit 2: „Kreis um Mittelpunkt und Mittelsenkrechten der Grundkanten“

• Konstruktionsmöglichkeit 3: „Grundkanten als Sehnen am Umkreis des Mantelnetzes antragen“

Konstruktionsaufgabe

• Geg: Grundkantenlänge a= 3cm und Pyramidenhöhe hpyr= 4cm

• Ges: Netz der Pyramide

Standardnetze der geraden Rechteckspyramide

• Vorgehensweisen analog zur quadratischen Pyramide

Netz eine beliebigen Dreieckspyramide

Netz eine beliebigen Vieleckspyramide

Bedingungen für Pyramidennetze:(1) aufeinandertreffende Dreiecksseiten jeweils gleichlang

(2) Dreiecksseiten nicht zu kurz

(3) Spurgeraden der Dreiecksspitzen schneiden sich in einem Punkt, dem Höhenfußpunkt der Pyramide

(Ist bei Dreieckspyramiden bereits mit (1) erfüllt)

Bei konkaven Körpern kann es bei der „Abwicklung“ zu Überlappungen kommen!

Netz einer regulären n-Eckspyramide

• Definition des regulären n-Ecks:Ein n-Eck mit – n gleichlangen Seiten und

– ausschließlich gleichgroßen Innenwinkeln (alt. Umkreis)

heißt regelmäßiges bzw. reguläres n-Eck• Konstruktion eines regulären n-Ecks:

– Konstruktionsmöglichkeiten über • Bestimmungsdreieck

• „schrittweise Abbiegen“

• Kreis um Mittelpunktsstrahlen

• Es gibt nicht nur Netze von Polyedern, sondern auch von anderen abwickelbaren Körpern, wie z.B. Zylinder und Kegel– Kreise bzw. Kreisteile müssen mit anderen Teilflächen nur einen

Berührpunkt gemeinsam haben

Zylindernetze

• Gerader Kreiszylinder:

• Beliebiger gerader Zylinder:

• Schräges Abschneiden eines geraden Kreiszylinders erzeugt schiefen elliptischen Zylinder– Anwendung Rohrknie

Mantelfläche:

Kegelnetze

• Gerader Kreiskegel:

– Zusammenhang zwischen r und :

Netz des schiefen Prismas

• Abwicklung

Netz der Kugel?

• Die Kugel ist nicht abwickelbar; Sie hat kein Netz!• Nur näherungsweise kann z.B. die Abwicklung einer

Orange durch Schälen– unsystematisch oder

– systematisch versucht werden

II. Inhaltslehre

Fachmathematische Grundbegriffe der Flächeninhaltslehre:

• Ein Vieleck V heißt elementargeometrisch in V1,…,Vn zerlegt, wenn

1. V = V1U…U Vn

2. Je zwei Vielecke der Menge {V1,…, Vn} haben höchstens Randpunkte gemeinsam

• Zwei Vielecke V und W heißen zerlegungsgleich, wenn sie in endlich viele Vielecke V1,…,Vn bzw. W1,…,Wn so zerlegt werden können, dass für i= 1,…,n gilt: Vi ist kongruent zu Wi

– Zerlegungsgleichheit ist eine Äquivalenzrelation

• Zwei Vielecke V und W heißen ergänzungsgleich, wenn sie sich durch endlich viele paarweise kongruente Vielecke zu zerlegungsgleichen Vielecken ergänzen lassen

• Satz: Zwei Vielecke sind genau dann ergänzungsgleich, wenn sie zerlegungsgleich sind

Flächeninhaltsfunktion

• Eine Funktion, die jedem Vieleck V eine reelle Zahl |V| zuordnet, heißt Flächeninhaltsfunktion, wenn gilt:

1. |V|>0 stets

2. |V1|=|V2|, falls V1 kongruent zu V2 ist

3. |V|=|V1|+|V2|, falls V in V1 und V2 zerlegbar ist

4. |V|=1, falls V das Einheitsquadrat ist

• Satz: Es gibt nur eine einzige Flächeninhaltsfunktion

Zusammenhang zwischen Flächeninhalt und Zerlegungsgleichheit

• Satz: Zerlegungsgleiche Vielecke haben denselben Flächeninhalt

Aufbau des Flächeninhaltsbegriffs in der Schule

1. Direkter Flächenvergleich:– ohne Zerlegung

– mit Zerlegung

2. Indirekter Flächenvergleich mittels eines– ungenormten Repräsentanten (geeignetes weiteres Vieleck)

• Beispiele: – Bankflächen mittels Heft vergleichen

• Motivation: Quantifizierung des Größenunterschieds

– genormten Repräsentanten (Einheitsquadrat)• Motivation: Vergleich auch bei größeren Distanzen möglich durch

Rückführung des Problems auf Längeneinheit

• Warum Einheitsquadrate und nicht z.B. gleichseitige Einheitsdreiecke?– Parkettieren insbesondere der häufig auftretenden Rechtecksflächen und– Abzählen besonders leicht möglich

3. Ableitung von Flächeninhaltsformeln

• Rechteck– 1. Schritt: Auslegen mit Einheitsquadraten und Abzählen– 2. Schritt: Erarbeitung eines verkürzten Abzählverfahrens– 3. Schritt: Formel (Spätestens hier Festlegung von m•m = m² als

Flächeninhalt des Einheitsquadrats)– 4. Schritt: Umrechnungen von einer Maßeinheit in eine andere

• Andere Vier- bzw. Vieleckstypen– Die Formeln für andere Vieleckstypen werden (letztlich) auf das

Rechteck zurückgeführt durch • Umbauen (insbesondere Idee der Mittenlinie),• Zerlegen (insbesondere Idee der Triangulation) bzw. • Ergänzen • Scheren (auch Cavalieri)

• Beliebige „krummlinige“ Formen– Vor allem für Grobabschätzung: Ersetzen durch geeignete

Vielecke– Auf Karopapier: Einbeschriebenes und umbeschriebenes

„Karoeck“– Trapezstreifenmethode

• Kreis – 1. Schritt: Grobabschätzung

führt bereits zu Ansatz: AKreis= • r²– 2. Schritt: Genauere Bestimmung des Faktors an Beispielen.

Dazu z.B.:• Bestimmung der Flächeninhalte von Kreis und Quadrat wie oben

oder• Ausschneiden und Wiegen (Hebelgesetz)

– Weitere bzw. ergänzende Möglichkeit: „Tortenstückmethode“• Voraussetzung: Umfang des Kreises bereits erarbeitet• Stellt Zusammenhang zwischen Umfang und Flächeninhalt her

– Fachmathematische Bestimmung z.B. mittels Folge ein- bzw. umbeschriebener n-Ecke die immer bessere Näherungswerte für das Verhältnis aus Kreisumfang und Durchmesser liefern

• In einem rechtwinkligen Dreieck– sind die Quadrate über den Katheten zusammen flächengleich

dem Quadrat über der Hypotenuse (Satz des Pythagoras)– ist das Quadrat über der Höhe flächengleich dem Rechteck aus

den beiden Hypotenusenabschnitten (Höhensatz)– ist das Quadrat über einer Kathete flächengleich dem Rechteck

aus der Hypotenuse und dem anliegenden Hypotenusenabschnitt (Kathetensatz)

• Einfache Beweise (fürs Examen):• Weitere Beweise:

– Perigal

• Zu jedem Satz existiert eine Umkehrung

Die Satzgruppe des Pythagoras

Aufbau des Volumenbegriffs

Analog Flächeninhalt!!• direkter Volumenvergleich

– ohne Verformung– mit Verformung

• Flüssigkeiten umschütten • Knetmasse verformen

• indirekter Vergleich mittels– ungenormten Repräsentanten– genormten Repräsentanten (Einheitswürfel)

Aktivitäten

• Volumenvergleiche bzw. -messungen durch– Wiegen

• Vollkörper gleichen Materials verwenden

– mit Wasser befüllen• Direktvergleich• Umschütten in drittes Gefäß (z.B. Messbecher)

– Wasser verdrängen• Überlaufen lassen• Wasserspiegel ansteigen lassen

– Zerlegungen• Bei gerade Säulen analog zu Vielecken

Ableitung der Volumenformeln

• Übersicht

Umgang mit Formeln

• Intensive formenkundliche Analysen voranstellen• Formeln nicht zu früh einführen• Analogien herausarbeiten• Keine überflüssigen Einzelformeln (Modulares Arbeiten)• Notwendige Schülerkompetenzen:

– Anwendungsbereich kennen– Formel interpretieren– nicht auf andere Bezeichnungen übertragen können– Größen einsetzen und mit diesen rechnen– Formeln umstellen– Formel in Formel einsetzen– Zusammengesetzte Körpern bzw. Figuren vielseitig additiv bzw.

subtraktiv analysieren

IV. Geometrische Abbildungen

Kongruenzabbildungen• Propädeutisch: Abbildungen, die Figuren auf

deckungsgleiche abbilden, heißen Kongruenzabbildungen– Frage: Wie bildet man eine Figur F1 auf eine deckungsgleiche Figur

F2 ab?• Bildfigur parallel

• Bildfigur zusätzlich gedreht

• Bildfigur liegt spiegelbildlich

• Bildfigur hat entgegengesetzten Drehsinn, liegt aber nicht spiegelbildlich

– Antwort: Die Abbildung auf eine deckungsgleiche Figur gelingt stets allein durch

• Verschiebung,

• Drehung (mit Sonderfall Punktspiegelung),

• Achsenspiegelung oder

• Schubspiegelung!

• Fachmathematisch:- Def 1.: Eine längentreue Abbildung der Ebene auf sich heißt

Kongruenzabbildung- Satz: Eine längentreue Abbildung der Ebene auf sich ist immer auch

geradentreu und winkelmaßtreu.

- Def 2.: Eine Verkettung von Achsenspiegelungen heißt Kongruenzabbildung

- Eine Figur F2 heißt kongruent zur Figur F1, wenn F1 durch eine Kongruenzabbildung auf F2 abgebildet werden kann.

- Dreispiegelungssatz: Die Verkettung von Achsenspiegelungen kann stets auf eine Verkettung von höchstens drei Achsenspiegelungen ersetzt werden. Dabei bleibt die Anzahl der Achsenspiegelungen gerade bzw. ungerade.

Verkettung von Kongruenzabbildungen

• Verschiebung mit Verschiebung• Verschiebung mit Drehung• Drehung mit Drehung• Achsenspiegelung mit Achsenspiegelung• …

V. Symmetrie

• Symmetrie nennt man die Eigenschaft einer Figur bzw. eines Körpers, durch eine (von der Identität verschiedenen) Kongruenzabbildung auf sich selbst abgebildet zu werden.

• Zu jeder Kongruenzabbildung existiert eine eigene Form der Symmetrie. In der Ebene sind dies:– Achsenspiegelung → Achsensymmetrie– Drehsymmetrie

• Drehung um 360°/n → n-strahlige Symmetrie

• Drehung um 180° → Punktsymmetrie (2-strahlige Symmetrie)

• Alle Drehungen mit gemeinsamen Zentrum → Rotationssymmetrie

– Verschiebungs- bzw. Translationssymmetrie– Schubspiegelungssymmetrie

Achsensymmetrie (bzw. Ebenensymmetrie im Raum)

Def.: Eine Figur F heißt achsensymmetrisch, wenn eine Achsenspiegelung existiert, die F auf sich selbst abbildet.

Beispiele:

– Figur F1 und F2 haben jeweils keine Symmetrieeigenschaft

– F1 liegt spiegelbildlich zu F2

– F1 ist Urbild und F2 ist Bild der Spiegelung an a (bzw. umgekehrt)

– Die Vereinigung von F1 mit F2 ergibt eine achsensymmetrische Figur

F1 F2

a

Wo findet man (näherungsweise) achsensymmetrische Objekte und warum haben sie diese Eigenschaft?

• Natur:– Tierwelt: Mensch, Huftiere, Katzen, Schmetterlinge, Vögel, Insekten,…– Pflanzenwelt: Blätter, Blüten, Früchte, Grobumriss von Bäumen, …– Geologie: Kristalle, Vulkane,…– Ursache: Fortbewegung erfolgt in eine Richtung; Orientierung nach links

bzw. rechts gleichberechtigt, Flugfähigkeit, Symmetrisches Wachstum aufgrund symmetrischer Bedingungen….

• Artefakte:– Alltagsgegenstände, Bauwerke, Kunstobjekte:

• Ursache: – Anpassung an vorhandene Symmetrie

(Brille, Stuhl, Toilette, Rathaus von Maastricht, …)– Vermeidung von Drehmomenten, Kräfteverteilung, Statik (Schaufel, Rechen,

Gewölbe…)– Ästhetik (Abbild von Mensch und Tier, Symbol für Ausgewogenheit und Ordnung)

Repräsentation gleicher Machtansprüche

• Vor etwa 300 Jahren wurde Maastricht gleichberechtigt von Fürstbischof von Lüttich und dem Herzog von Brabant regiert

• Das neue Rathaus sollte die Einheit der Stadt und den gleichen Rang beider Fürsten verdeutlichen

Drehsymmetrie

Def.: Man sagt: Eine Figur F hat eine n-zählige Drehsymmetrie, wenn eine Drehung um 360°/n (n>1) existiert, die F auf sich selbst abbildet.

Beispiele:– Punktsymmetrische Figur– Drehsymmetrische Figur mit

• dreizähliger Drehsymmetrie

• vierzähliger Drehsymmetrie

– Reguläres n-Eck– Dreht man eine Figur n-1-mal um 360°/n und vereinigt sie mit

ihren n-1 Bildern, so entsteht eine Figur mit n-zähliger Drehsymmetrie

Verschiebungssymmetrie

• Verschiebungssymmetrische Figuren können nicht begrenzt sein

• Beispiele:– Gerade– Bandornamente– Parkette

Schüleraktivitäten und Veranschaulichungen zu Kongruenzabbildungen und Symmetrien

• Achsenspiegelung - Achsensymmetrie:– Klecksbilder – Umklappen einer Figur auf Folie– Einfach gefaltetes Papier

• schneiden• durchstechen

– Kohlepapier– Spiegel– Pantomime– Miraspiegel– Bauen z.B. mit Lego– Karopapier (Achslage parallel oder diagonal)– „Konstruktion“ mit

• Zirkel• Geodreieck

– Finden (z.B. mit Spiegel) und Einzeichnen von Symmetrieachsen, – Ergänzen zu symmetrischer Figur

• Drehung - Dreh- bzw. Punktsymmetrie:– Drehung einer Figur auf Folie– „Konstruktion“ mit

• Zirkel• Geodreieck

– Doppelt gefaltetes Papier schneiden– Doppelspiegel– Erzeugung einer drehsymmetrischen Figur durch mehrfaches Abbilden– Finden und Einzeichnen des Drehpunkts bzw. des Symmetriezentrums– Problematisieren: Riesenrad (Gondeln parallel) vs. Mond (Mondgesicht)

• Verschiebung - Verschiebungssymmetrie:– Verschiebung einer Figur auf Folie– Parallelverschiebung mit Geodreieck und Lineal– Erzeugung von Bandornamenten– Doppelt (mehrfach) parallel gefaltetes Papier schneiden– Finden und Markieren einer Elementarzelle eines Bandornaments

ProjektionenZentralprojektion

– Prinzip:• Den Schattenwurf dreidimensionaler Körper mittels einer

punktförmigen Lichtquelle (Projektionszentrum) auf eine Ebene nennt man Zentralprojektion

• Positioniert umgekehrt ein Betrachter sein Auge an die Position der Lichtquelle (Augpunkt), so erzeugt das zentralperspektivische Bild denselben Sinneseindruck wie der Körper selbst

– Eigenschaften:• Figuren, die parallel zur Bildeben liegen, werden auf ähnliche

abgebildet• Geraden (die nicht durch das Projektionszentrum verlaufen) werden

auf Geraden abgebildet• Kreise werden auf Kegelschnitte (Kreise, Ellipsen, Parabeln,

Hyperbeln) oder Strecken abgebildet• Bilder paralleler Geraden, die nicht parallel zur Bildebene liegen,

schneiden sich in einem Punkt, dem Fluchtpunkt• Die Fluchtpunkte von Parallelenscharen, die parallel zu einer Ebene

verlaufen, liegen auf einer Geraden (Horizontlinie)

Parallelprojektion

• Prinzip:– Den Schattenwurf dreidimensionaler Körper mittels paralleler Strahlen

auf eine Ebene nennt man Parallelprojektion– Eine Zentralprojektion nähert sich bei zunehmender Entfernung des

Projektionszentrums einer Parallelprojektion an (z.B. Sonne)– Blickt ein Betrachter aus größerer Distanz in Richtung dieser Strahlen

auf ein parallelperspektivisches Bild, so erzeugt auch dieses Bild einen ähnlichen Sinneseindruck wie der Körper selbst

• Eigenschaften:– Figuren, die parallel zur Bildebene liegen, werden auf kongruente

abgebildet– Geraden (die nicht durch das Projektionszentrum verlaufen) werden auf

Geraden abgebildet– Strecken, die senkrecht zur Bildebene verlaufen, werden um einen

festen Wert (Abbildungsfaktor) verändert abgebildet– Kreise werden auf Kegelschnitte (Kreise, Ellipsen, Parabeln, Hyperbeln)

oder Strecken abgebildet– Bilder paralleler Geraden sind stets Parallele

• Schrägbild vs. Normalbild– Beim Normalbild stehen im Gegensatz zum Schrägbild die

abbildenden Strahlen senkrecht auf der Bildebene

• Dreitafelbild• Konstruktion eines Schrägbildes

– Heuristische Ideen: • Hilfslinien → punktweise Abbildung

• Rückführung auf bekanntes Problem → Einbettung in Quader

– Bsp: Sechseckspyramide, Kegel..

Kurze Übung

• Lernziel: Kreis ist die Menge aller Punkte, die …– Das Zeichnen eines Kreises mittels

• Untertasse• Schnur• Zirkel• Bleistift durch Drehung des Blattes

– Das Ausschneiden eines vorgezeichneten Kreises– Das Bild eines Kreises mit verschiedenen eingezeichneten Radien– Die symbolische Darstellung

• k(Z,B)• k(Z,r)• {P| Abstand P von Z ist 2 cm}

– Die Betrachtung eines Fahrradvorderrades– Das Zeichnen 3cm langer Strecken ausgehend von einem Punkt

• Lernziel: Kreis ist eine Figur konstanter Krümmung– Das Zeichnen eine Kreises mittels Zirkel– Das schrittweise Biegen eines Drahtes– Das Fahren eines Modellautos mit fester Lenkerstellung