Grundbegriffe der Schulgeometrie

SS 2008 9

(M. Hartmann)

Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik

Netz einer regulären n-Eckspyramide

• Definition des regulären n-Ecks:Ein n-Eck mit – n gleichlangen Seiten und

– ausschließlich gleichgroßen Innenwinkeln (alt. Umkreis)

heißt regelmäßiges bzw. reguläres n-Eck• Konstruktion eines regulären n-Ecks:

– Konstruktionsmöglichkeiten über • Bestimmungsdreieck

• „schrittweise Abbiegen“

• Kreis um Mittelpunktsstrahlen

• Es gibt nicht nur Netze von Polyedern, sondern auch von anderen abwickelbaren Körpern, wie z.B. Zylinder und Kegel– Kreise bzw. Kreisteile müssen mit anderen Teilflächen nur einen

Berührpunkt gemeinsam haben

Zylindernetze

• Gerader Kreiszylinder:

• Beliebiger gerader Zylinder:

• Schräges Abschneiden eines geraden Kreiszylinders erzeugt schiefen elliptischen Zylinder– Anwendung Rohrknie

als Blechabwicklung

Kegelnetze

• Gerader Kreiskegel:– Zusammenhang zwischen r und :

Netz des schiefen Prismas

• Abwicklung

Netz der Kugel?

• Die Kugel ist nicht abwickelbar; Sie hat kein Netz!• Nur näherungsweise kann z.B. die Abwicklung einer

Orange durch Schälen– unsystematisch oder

– systematisch versucht werden

Bedeutung der Nichtabwickelbarkeit

• Die Kugel kann nicht aus einem Netz aufgebaut werden

• Die Oberflächenberechnung kann nicht direkt über die Berechnung ebener Flächen erfolgen

• Landkartenproblem

Möglichkeiten zur Oberflächenberechnung bzw. Ableitung der Oberflächenformel der Kugel

– Weg 1:• Grobabschätzung der Halbkugelfläche durch Großkreis und

3fachen Großkreis (Vermutung etwa 2facher Großkreis)• Oberfläche von Näherungspolyeder bestimmen (bestätigt

Vermutung)

– Weg 2: Es lässt sich zeigen, dass die Oberfläche der Kugel gleich der Mantelfläche des entsprechenden Umzylinders ist

• Handversuch mit Schnur

– Weg 3: Beziehung zwischen Oberfläche und Volumen Analog zur Tortenstückmethode herstellen (s. Analogisieren)

Landkartenproblem

• Aufgrund der Nichtabwickelbarkeit der Kugel ist es unmöglich korrekte Landkarten herzustellen– Problem besonders bei großem Maßstab also insbesondere bei

Weltkarten virulent!

• Karten werden häufig durch sogenannte Projektionen erzeugt, die je nach Art verschiedene Fehler aufweisen

• Man unterscheidet z.B. in– Partiell längentreue Projektionen – Flächentreue Projektionen – Winkeltreue Projektionen – Vermittelnde Projektionen

Projektionen direkt auf eine Ebene

parallel gnomonisch stereographisch

Projektionen auf eine abwickelbare Oberfläche

Zylinderprojektion Kegelprojektion

Die Mercatorprojektion

Die Mercatorprojektion ist eigentlich keine reine Projektion

Die Formtreue der Mercatorprojektionverursacht aber, dass die Länder in Äquatornäheerheblich zu klein dargestellt werden

Die Formen bleiben lokal erhalten

Kritik: Eurozentrisches Weltbild

Petersprojektion als „politisch korrekterWeltkartenentwurf“

Flächentreuer Entwurf, der aber z.B. Zur Navigation wegen der fehlenden Winkeltreue ungeeignet ist und auch Formen verzerrt darstellt.

Hat sich nicht wirklich durchgesetzt,wird aber z.B. im Petersatlanten undbei ARTE verwendet.

Projektionen – Erzeugung von Bildern dreidimensionaler Körper

Zentralprojektion– Prinzip:

• Den Schattenwurf dreidimensionaler Körper mittels einer punktförmigen Lichtquelle (Projektionszentrum) auf eine Ebene nennt man Zentralprojektion

• Positioniert umgekehrt ein Betrachter sein Auge an die Position der Lichtquelle (Augpunkt), so erzeugt das zentralperspektivische Bild denselben Sinneseindruck wie der Körper selbst

• Von allen anderen Punkten aus betrachtet wirkt das Bild verzerrt– Eigenschaften:

• Figuren, die parallel zur Bildeben liegen, werden auf ähnliche abgebildet• Geraden (die nicht durch das Projektionszentrum verlaufen) werden auf

Geraden abgebildet• Kreise werden auf Kegelschnitte (Kreise, Ellipsen, Parabeln, Hyperbeln)

oder Strecken abgebildet• Bilder paralleler Geraden, die

– parallel zur Bildebene liegen, sind parallele Geraden– nicht parallel zur Bildebene liegen, schneiden sich in einem Punkt, dem

Fluchtpunkt• Die Fluchtpunkte von Parallelenscharen, die parallel zu einer Ebene

verlaufen, liegen auf einer Geraden (Sonderfall: Horizontlinie)

Parallelprojektion

• Prinzip:– Den Schattenwurf dreidimensionaler Körper mittels paralleler

Strahlen auf eine Ebene nennt man Parallelprojektion– Eine Zentralprojektion nähert sich bei zunehmender Entfernung

des Projektionszentrums einer Parallelprojektion an (z.B. Sonne)– Blickt ein Betrachter aus größerer Distanz in Richtung dieser

Strahlen auf ein parallelperspektivisches Bild, so erzeugt auch dieses Bild einen ähnlichen Sinneseindruck wie der Körper selbst

• Eigenschaften:– Figuren, die parallel zur Bildebene liegen, werden auf

kongruente abgebildet– Geraden (die nicht durch das Projektionszentrum verlaufen)

werden auf Geraden abgebildet– Strecken, die senkrecht zur Bildebene verlaufen, werden um

einen festen Wert (Abbildungsfaktor) verändert abgebildet– Kreise werden auf Kreise, Ellipsen oder Strecken abgebildet– Bilder paralleler Geraden sind stets Parallele

Projektionen

Zentralprojektion Parallelprojektion

Normalprojektion Schrägbild

Zwei- bzw. Dreitafelbild

Kavalierprojektion

Militärprojektion

• Konstruktion zentralperspektivischer Bilder