Grundkurs Physik 2

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Grundkurs Physik 2Schwingungen und Wellen, Thermodynamik, Elektrodynamik

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Termine

Vorlesung- Dienstags (alle 14 Tage), 9:15 Uhr

Seminarraum 1, Institutsgebäude- Mittwochs 13:30 Uhr,

Hörsaal Schutow, Schutower Straße 5

KontaktPD Dr. Josef TiggesbäumkerUniversitätsplatz 3Zimmer [email protected]

Übung (alle 14 Tage)/ Seminar (spezielle Termine)Dienstags 9:15 Uhr (alle 14 Tage)

Übungsgruppe, Seminarraum Didaktik, Schwaansche Strasse 3a Abgabe der Lösungen jeweils am Montag vor der Übung,

KontaktDipl. Phys. Johannes PassigUniversitätsplatz 3Zimmer [email protected]

3

Scheine, Scheine, Scheine

Lösungen der Übungsaufgaben werden bewertet !!!

Kriterien

Erfolgreiche Teilnahme an den Übungen50% der maximal erreichbaren Punkte

SeminarbeitragVortrag über ein gegebenes Thema (20 Minuten plus Diskussion)

Klausur am Ende des SemestersTeilnehmerschein/ Leistungsschein

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15a Schwingungen

5

Bestimmung der geographische Längeberechnet aus Differenz von höchster Sonnenstand und 12 Uhr Zeitangabe

Fehler von einer Minute am Äquator entsprechen 28 km!

1714 Englisches Parlament Preisgeld von 20 000 Pfund(zum Vergleich Jahresverdienst eines Arbeiters 10 Pfund)

für eine Uhr mit einer Genauigkeit von 1 bis 2 Minuten nach mehreren Monaten Schiffsreise

Lösung des Problems erst 1761 durch Harrison

Seefahrt. Genau!

John Harrison(1693-1776)

H1

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Harmonische Schwingungen

DefinitionSich wiederholende zeitliche Änderung einer physikalischen Größe (Länge, Temperatur, Spannung, )

Stabiles GleichgewichtKraftwirkung in Richtung Ruhelage

Labiles GleichgewichtKraftwirkung in Richtung Ruhelage

Indifferentes GleichgewichtKeine Kraftwirkung bei Auslenkung

Alle System, die dem Hookschen Gesetz genügen, führen harmonische Schwingungen aus.

Harmonische Schwingungen sind die am häufigsten beobachteten Oszillationen im Alltag

Jedes System, das nur geringfügig aus seiner Ruhelage verschoben wird, schwingt harmonisch um den Ruhepunkt.

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SchwingungenKlassische Mechanik

Fadenpendel

Hydrometer

TorsionspendelCavendish Experiment

Masse an Feder

Helmholtzresonantor

Elektrischer Schwingkreis

Flüssigkeit in U-Rohr

Masse durch Zugkräfte gehalten

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SchwingungenRelevanz in der modernen Physik

Quantenmechanischer harmonischer Oszillator

PhononenSchwingungen eines Festkörpers

Schwingungen eines Moleküls Riesenresonanz in AtomkernenSchwingungen Neutronen und Protonen

Nb

Al

Mie Lichtstreuungan kleinen Teilchen

Schwingungen der Sonne

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Gekoppelte SystemeOszillationen im Tierreich

Alaska

Schneehase

Luchs

10

Hase und Jägerim ganz normalen Leben sind die Zusammenhänge oft kompliziert

Schneehasen

S(t) Beutepopulation

dS(t)/dt zeitliche Änderung der Beutepopulation

S1S(t) natürliche Entwicklung der BeutepopulationVermehrung/ Sterben

S2S(t)L(t) Entwicklung der Beutepopulation in Abhängigkeit von der Anzahl der Räuber(Luchse)

Zeitliche Entwicklung der Population A hängt von der Entwicklung der Population B ab (und umgekehrt) und kann nicht unabhängig voneinander betrachtet werden

LuchseL(t) Räuberpopulation

dL(t)/dt zeitliche Änderung der Räuberpopulation

L1L(t) natürliche Entwicklung der RäuberpopulationVermehrung/ Sterben

L2S(t)L(t) Entwicklung der Räuberpopulation in Abhängigkeit von der Anzahl der Beutetiere(Schneehasen)

Gegenseitige Abhängigkeiten zwischen Hasen und Jäger

11

Hase und Jägerim ganz normalen Leben sind die Zusammenhänge oft kompliziert

)()()()(

)()()()(

21

21

tLLtLtSLdt

tdL

tLtSStSSdt

tdS

−=

−=

Gekoppelte Differentialgleichung

Schneehasen unter sich

gegenseitige Abhängigkeit

- Oszillation in der Population- Populationen gleichen sich an- Maxima und Minima

zu unterschiedlichen Zeitpunkten (Phase)

Ähnliche BeobachtungenLöwe-AntilopePanda-Bambus

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Hooksches GesetzKraftwirkung ist umgekehrt proportional der Auslenkung

Auslenkung aus der Ruhelage nach rechtsx positiv

Auslenkung aus der Ruhelage nach linksx negativ

Kraftwirkung der Auslenkung entgegengesetztF negativ (F~-x)

Gleichgewichtsposition (x=0)Kraftwirkung verschwindet

Kraftwirkung der Auslenkung entgegengesetztF positiv (F~x)

kxFS −=Gesetz Hooksches

Robert Hooke(1635-1703)

stets entgegengesetzt der Auslenkung linear der

Auslenkung

Proportionalitätskonstante

[ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

mN

xFk S

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Einfach harmonische Bewegungvertikale Auslenkung

Grundlage der BeschreibungNewtonsche Bewegungsgleichung

∑ = amF rr

Beschleunigung proportional der AuslenkungBeschleunigungsvektor entgegengesetzt zur Auslenkung

wechseltVorzeichen da ,0 Auslenkungminimaler bei maximalgkeit Geschwindi

Auslenkungmaximaler bei maximal gchleunigunAnfangsbes

ax

AmkAx

=

−⇒=→

betrachtevertikale Auslenkung reibungsfrei

Das Hooksche Gesetz beschreibt solche Bewegungsformen

wir werden sehen, dass in der Natur viele Systeme in so einer Weise auf äußere Störungen reagieren

xmka

kxma

x

x

−=

−=Komponenten

Direkte Konsequenzen aus dem Hookschen Gesetz

Schwingung heißt Energietausch zwischen Energieformen gekoppelte Systeme

kinetische Energie – potentielle Energieelektrische Energie – magnetische Energie

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Mathematische Beschreibungwelche Funktionen könnten solche physikalischen Phänomene beschreiben

xx

mk

xmkx

dtd

²dt²d²

:enzKreisfrequ Definiere

²²

2

ω

ω

−=

=

−=

gesucht eine Funktion, deren zweite Ableitung wieder sich selbst ergibt (mal einer Konstante)

( )

( )

( )

)(²)(²²

cos²)(²²

sin)(

cos)(

txtxdtd

tAtxdtd

tAtxdtd

tAtx

ω

φωω

φωω

φω

−=

+−=

+=

+=Ratesansatz Kosinusfunktion

Newtonsche Bewegungsgleichung

Amplitude A

φω +tPhase

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

sradEinheit

Vermutung Sinus und Kosinus

erfüllen die Anforderungen

Phasenwinkel[ ]radEinheit

0≠φ

0=φ

Ansatz sin Funktion liefert auch eine Lösung

Erinnerung

Radian[rad]

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Harmonische Bewegung eines Oszillators

Oszillierender Körper schreibt Sinus- bzwKosinusfunktion auf gleichmäßig bewegtem Papier

x-t Schreiber

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Jupitermonde

Aus Sicht der Erde führen die Jupitermonde eine harmonische Schwingung aus

Hinweis auf heliozentrisches Weltbild

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Definitionen

Amplitude

Die Amplitude definiert die maximale Auslenkung aus der Gleichgewichtslage

Auslenkung = Längenänderung (m)

Auslenkung = Winkeländerung (rad)

Der Wert der Auslenkung kann unterschiedlich bestimmt werden

( )φω += tAtx cos)(

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Definitionen

Phase

Violin Phase (1967)Musikstück für vier Violinen

oder für eine Violine und Tonband

Durch die Phase φ wird das Schwingungsverhalten unterschiedlicher Oszillatoren (gleicher Frequenz) verglichen

Position der größten Auslenkung ist gegenüber dem anderen

System um einen gewissen Betrag verschoben

gilt aber für jeden Wert der Auslenkung

Maximaler Unterschied (Phasenwinkel) ist 2π

π2


gleiche Amplitudegleiche Frequenz

aber unterschiedliche Phase

Steve Reich (1936-)

19

Definitionen

Periode und Frequenz

Ein vollständiger Zyklus der Bewegung

Position des Körpers identisch bei t und t+T

Kosinus f(α)=f(α+2π)π2

( )( ) ( )

ωππω

πφωφω

22

2

=

=⇓

=+−++

T

T

tTt

πω2

1==

Tf

PeriodeSI Einheit [s]

FrequenzSI Einheit [1/s=1 Hz]

Tf ππω 22 == Kreisfrequenz

SI Einheit [1 rad/s]

mk

Tf

kmT

π

πωπ

211

22

==

==Frequenz der Oszillation hängt nur von der Masse m des Körpers und der Federkonstante k ab und nicht

von den Parametern der Schwingung wie Amplitude A und Phase φ


betrachte eine vollständige Schwingung

20

Harmonische Schwingung


Diese Funktion beschreibt das Verhalten der Ortskoordinate

GESUCHTdas zeitliches Verhalten

von Geschwindigkeit und Beschleunigung

21

Geschwindigkeit

( )( )

( )φωω

φω

+−=

+==

tA

tAdtdx

dtd

sinv

cosv

Geschwindigkeit des Körpers bei der Oszillation

mkA

A

±=

±=

max

max

v

v ω

x(t)

v(t)

für eine willkürlich gewählte Phase

Geschwindigkeit maximalwenn Beschleunigung minimal


erste Ableitung

maximaler Wert

mk

=ω

Erinnerung

22

Geschwindigkeit und Beschleunigung

( )( )

( )φωω

φω

+−=

+==

tA

tAdtdx

dtd

sinv

cosv

Geschwindigkeit des Körpers bei der Oszillation Beschleunigung des Körpers bei der Oszillation

mkA

A

±=

±=

max

max

v

v ω

mkAa

Aa

±=

±=

max

max ²ω

( )( )

( )φωω

φω

+=

+==

tAa

tAdt²d²x

dt²d²a

cos²

cos

x(t)

v(t)

a(t)

für eine willkürlich gewählte Phase

Geschwindigkeit maximalwenn Beschleunigung minimal


Beschleunigung maximal, wenn Auslenkung maximal

erste Ableitung zweite Ableitung

maximaler Wert

23

Anfangsbedingung IFeder gespannt

0sin)0(vcos0

ungenRandbeding

=−===φωφ

AAA)x(

Als Phase wählen wir φ=0,damit ist die Gleichung oben erfüllt

Ortskoordinate

x(t=0)=Α

tAx ωcos=Lösung


Geschwindigkeit

v(t=0)=0

Beschleunigung

a(t=0)=-a0

Verlauf der Schwingung bei unterschiedlichen Anfangsbedingungen

( )( )φωω

φω+−=

+=tAt

tAx(t)sin)(v

cosPhase?der mit ist Was

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Anfangsbedingung IIDurchgang durch die Gleichgewichtslage

ωφω

πφφ

ii AA

A)x(

vvsin)0(v

20cos0

m=⇒=−=

±=⇒==

2--1sin

positivA und 0vungRandbeding

πφφ =⇒=

↓

>i

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

2cosv πω

ωtx i

Lösung

resultierende Amplitude

Phase um π/4 verschoben

Anfangsbedingung I (Feder gespannt)


Ortskoordinate

x(t=0)=0

Geschwindigkeit

v(t=0)=v0

Beschleunigung

a(t=0)=0

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Schlagloch

Masse des Trabant620 kg

Federkonstante der Einzelfederk=15 000 N/m

Fall BZusätzlich Fahrer und drei Mitfahrer

insgesamt 250 kg

Hz 23.1250kg620kg

mN 000 60

21

21

=

+=

+=

voll

PersonenTrabi

effvoll

fmm

kf

ππHz 75.1

620kgmN 00600

21

21

=

==

leer

Trabi

effleer

fmk

fππ

( )

mN 00600

mN 001504

=

⋅=

−=−=−= ∑∑

eff

eff

effres

k

k

xkxkkxF

Fall AOszillationsfrequenz des leeren Trabant

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EnergiebetrachtungEnergietransfer in schwingendem System

Erinnerung an die Vorlesung MECHANIKViele Probleme lassen sich unter Verwendung des Energiesatzes leichter lösen

Kinetische Energie des harmonischen Oszillators ( )

( )

( ) ( )( )

2

1cossin

222

222

222

21

cossin21

cos21

21

sin21²v

21

22

kAE

ttkAE

PEKEE

tkAkxPE

tAmmKE

=

⇓

+++=

+=

+==

+==

=Θ+Θ

φωφω

φω

φωω

Gesamtenergie des harmonischen Oszillators

Elastische Energie des harmonischen Oszillators

( )( )φωω

φω+=+=tAt

tAtxsin)(v

cos)(Ausgangslage schon berechnet

Die Gesamtenergie eines harmonischen Oszillators ist eine Konstante der Bewegung und ist proportional zum Quadrat der Amplitude

BemerkungSowohl die kinetische Energie als auch die elastische Energie sind stets positiv

Gesamtenergie des harmonischen Oszillators

27

Energie des harmonischen Oszillators

2

222ax

21

21

21v

21

00Position Betrachte

kAE

AmkmAmmE

PEx

m

=

===

==

ω

0=x

Austausch von kinetischer und elastischer Energie im harmonischen Oszillator

Beitrag von kinetischer und elastischer/ potentieller Energie während der Schwingung

ωA=maxvErinnerung

Gesamtenergie

28

Energie des harmonischen Oszillators

0=x

2x

21

41

2

21

21

giltder bei Amplitude Suche

22

Bedingung

2

2

A

kxkA

PEE

kxPE

kAE

=

=

=

⇓

=

=

Bei welcher Auslenkung ist kinetische und potentielle Energie vom Betrag her gleich?

29

Energietransfer

PE max

PE max

PE max

KE max

KE max

Pendel Feder

30

Geschwindigkeit v(x)

( )

( )22

²

22

222

v

mkv

21v

21

21

xA

xA

mxmkA

PEKEE

mk

−±=

⇓

−±=

=+=

⇓

+=

=

ω

ω

A

x

ω±=⇓

=

v

0

( ) 0v 22 =−±=

⇓

=

AAA

Ax

ω

Check für Extremalpositionen

Nutze Energiesatz um Geschwindigkeit des Körpers an beliebiger Position zu berechnen

Geschwindigkeit an Position x

Maximal am Gleichgewichtspunkt Minimal am Umkehrpunkt

Grundkurs Physik 2

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