Grundlagen, Begriffe, Schreibweisen - Uni Bremen · In der Euklidischen Geometrie hatten wir eine...
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Reimund Albers Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen
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Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen
Grundlagen, Begriffe, Schreibweisen
Achsenkreuz Die Achsen heißen in dieser Darstellung x1 und x2-Achse.
Punkte Punkte werden weiterhin mit großen, lateinischen Buchstaben bezeichnet und im Koordinatensystem mit zwei Koordinaten festgelegt. Sie werden konsequenterweise mit „erster“ und „zweiter“ Koordinate bezeichnet. Sehr oft werden die Koordinaten mit dem kleinen Buchstaben bezeichnet, der zum Punktnamen gehört. Zum Beispiel: P(p1;p2)
Vektoren Jedem Punkt wird ein Ortsvektor zugeordnet, der im Ursprung beginnt und in dem Punkt endet. Punkte und Ortsvektoren sind in diesem Skript äquivalent. Die Rechnungen, die zu Abbildungen ausgeführt werden, werden in der Matrix-Vektor-Notation durchgeführt.
Schreibweise: Punkt P(p1;p2) , Ortsvektor
!p =
p1
p2
!
"##
$
%&&
Rechnen mit Vektoren a) Skalar-Multiplikation
Wenn k eine reelle Zahl ist und
!v =
v1
v2
!
"#
$
%& ein Vektor, dann ist die Multiplikation eines
Vektors mit einer Zahl erklärt durch
k·!v =
kv1
kv2
!
"#
$
%&
b) Addition
Sind
!a =
a1
a2
!
"#
$
%& und
!b =
b1
b2
!
"#
$
%& zwei Vektoren, so
ist die Addition von zwei Vektoren erklärt
durch
!a +
!b =
a1+ b
1
a2+ b
2
!
"#
$
%&
c) Subtraktion
Sind
!a =
a1
a2
!
"#
$
%& und
!b =
b1
b2
!
"#
$
%& zwei Vektoren, so ist die
Subtraktion von zwei Vektoren erklärt durch
!a !!b =!a + (!1)
!b =
a1! b
1
a2! b
2
"
#$
%
&'
x2
x1
Reimund Albers Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen
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Abbildungen
Wir betrachten hier nur Abbildungen, die eine Gerade in eine Gerade abbilden und die Parallelität erhalten. Solche Abbildungen heißen affine Abbildungen. Eine affine Abbildung, die dem Ausgangspunkt X(x1;x2) den Bildpunkt X’(x’1;x’2) zuordnet, hat die Form Koordinatenschreibweise: x1' = a
11! x
1+ a
12! x
2+ d
1
x2' = a
21! x
1+ a
22! x
2+ d
2 mit
a
11,a
12,a
21,a
22,d
1,d
2! !
Matrix-Vektor-Schreibweise x1'
x2'
!"#
$%&=
a11
a12
a21
a22
!"#
$%&x1
x2
!"#
$%&+
d1
d2
!"#
$%&
die man symbolisch verkürzen kann zu x '!"= A ! x
"+ d
".
Dabei ist A die Abbildungsmatrix und d!
der Verschiebungsvektor. Beispiele für Abbildungen
1. Identische Abbildung Die identische Abbildung bildet jeden Punkt auf sich selbst ab. Für jeden Punkt X(x1;x2) gilt also: X’(x’1;x’2) = X(x1;x2). Damit lauten die Abbildungsgleichungen:
x '1= x
1
x '2= x
2
oder ausführlich
x '1= 1x
1+ 0·x
2+ 0
x '2= 0·x
1+1x
2+ 0
. Die Abbildungsmatrix ist dann
E =1 0
0 1
!
"#
$
%& ,
Einheitsmatrix genannt.
2. Spiegelung an der x1-Achse Da der Ursprung O auf der Spiegelachse liegt, wird er auf sich selbst abgebildet. Folglich ist d
!=!0 . Für die
Koordinaten gilt offensichtlich
x1' = x
1
x2
' = !x2
oder in der ausführlichen Koordinaten-
schreibweise
x1' =1x
1+ 0x
2
x2
' = 0x1!1x
2
, was sofort zur Matrix-
Vektor-Schreibweise x1'
x2'
!
"#
$
%& =
1 0
0 '1
!
"#
$
%&x1
x2
!
"#
$
%& führt.
3. Verschiebung
Bei der Verschiebung um 1
3
!"#
$%&
wird jeder Punkt in x1-Richtung um eine Einheit nach
rechts und in x2-Richtung um 3 Einheiten nach oben verschoben. Es gilt also:
Reimund Albers Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen
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x1' = x
1+1 = 1 ! x
1+ 0 ! x
2+1
x2' = x
2+ 3 = 0 ! x
1+1 ! x
2+ 3
oder in Matrix-Vektor-Schreibweise
x1'
x2'
!"#
$%&=1 0
0 1
!"#
$%&x1
x2
!"#
$%&+1
3
!"#
$%&
Wir wollen letztlich zu den Kongruenzabbildungen die Abbildungsgleichungen bestimmen. Für das Aufstellen von Abbildungsgleichungen sind die nachfolgenden beiden Sätze hilfreich. Satz über die Verschiebung des Ursprungs Gegeben ist die Abbildung x '
!"= A ! x
"+ d
".
d
!=!0 ⇔ Der Ursprung O(0;0) wird auf sich selbst abgebildet, also O = O’.
Beweis:
Setzt man den Vektor für den Ursprung
!x =
x1
x2
!
"#
$
%& =
0
0
!
"#$
%& in die Abbildungsgleichung ein, so ergibt
sich für den Bildvektor x1' = a
11! 0 + a
12! 0 + d
1= d
1!und!x
2' = a
21! 0 + a
22! 0 + d
2= d
2, also
!x ' =
!d . Dann ist
!x ' =!0! d
"!
=!0
Das Auffinden der Abbildungsmatrix zu einer geometrisch gegebenen Abbildung wird durch folgende prinzipielle Überlegung ganz erheblich vereinfacht: Satz über das Aufstellen der Abbildungsmatrix Ist der Verschiebungsvektor d
!=!0 , so gilt:
Die Abbildungsmatrix ist a c
b d
!"#
$%&
! Der Basisvektor
e1
!"=1
0
!
"#$
%& wird auf
e1
!"' =
a
b
!
"#$
%& und
e2
!"!=0
1
!
"#$
%&
auf
e2
!"!' =
c
d
!
"#
$
%& abgebildet.
Beweis: „⇒“
Die Abbildung lautet also
!x ' =
a c
b d
!
"#
$
%&!x . Setzt man
e1
!"=1
0
!
"#$
%& ein, so ergibt sich sofort
e1
!"' =
a
b
!
"#$
%& .
Ebenso er gibt das Einsetzen von
e1
!"' =
a
b
!
"#$
%& sofort
e1
!"' =
a
b
!
"#$
%& .
„⇐“ Wegen d
!=!0 und da die Abbildungsmatrix unbekannt ist, lautet die Abbildung
!x ' =
a11
a12
a21
a22
!
"##
$
%&&!x . Setzt man
e1
!"
und e1
!"
' ein, so erhält man
a
b
!
"#
$
%& =
a11
a12
a21
a22
!
"##
$
%&&
1
0
!
"#$
%& =
a11
a21
!
"##
$
%&& , also
a
11= a und a
21= b . Setzt man entsprechend
e
2
!"!
und e
2
!"!
' ein, so erhält man
Reimund Albers Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen
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c
d
!
"#
$
%& =
a11
a12
a21
a22
!
"##
$
%&&
0
1
!
"#$
%& =
a12
a22
!
"##
$
%&& , also
a
12= c und a
22= d .
Damit ist die Abbildungsmatrix bestimmt.
Die Abbildungsgleichungen der Kongruenzabbildungen Mit dem Satz über das Aufstellen der Abbildungsmatrix stellen wir nun die Abbildungsmatrizen für Drehungen und Spiegelungen auf. Drehung um den Ursprung O um den Winkel α (siehe nachfolgende Zeichnung, links)
Die Drehung um den Ursprung O um den Winkel α ist gegeben durch x '!"= A ! x
",
wobei die Abbildungsmatrix A =cos! " sin!sin! cos!
#$%
&'(
ist.
Spiegelung an einer Geraden, die mit der x1-Achse den Winkel α einschließt
Die Spiegelung an einer Geraden, die durch den Ursprung O verläuft und mit der x1-Achse den Winkel α einschließt, ist gegeben durch x '
!"= A ! x
", wobei die Abbildungsmatrix
A =cos2! sin2!sin2! " cos2!
#$%
&'(
ist.
In der Euklidischen Geometrie hatten wir eine Verschiebung durch einen Verschiebungsvektor beschrieben, der wiederum durch einen Anfangs- und Endpunkt gegeben war. In der Koordinatenebene wird bei einer Verschiebung der Ursprung O nicht auf sich selbst abgebildet, sondern in einen Bildpunkt O’≠ O verschoben. Nach dem Satz über die Verschiebung des Ursprungs ist der Verschiebungsvektor
!d . Da eine Verschiebung um den Nullvektor die
Identität ergibt, muss die Abbildungsmatrix die Einheitsmatrix sein.