Grundlagen der Informatik 2 Grundlagen der Digitaltechnik ... · Technische Informatik I 3 Von der...
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Grundlagen der Digitaltechnik
Grundlagen der Informatik 2Grundlagen der Informatik 2Grundlagen der DigitaltechnikGrundlagen der Digitaltechnik
2. Digitale Schaltfunktionen 2. Digitale Schaltfunktionen und Normalformtheorieund Normalformtheorie
Prof. Dr.Prof. Dr.--Ing. Jürgen TeichIng. Jürgen TeichDr.Dr.--Ing. Christian Ing. Christian HaubeltHaubelt
Lehrstuhl für HardwareLehrstuhl für Hardware--SoftwareSoftware--CoCo--DesignDesign
Technische Informatik I 2
Von der Funktion zur SchaltungVon der Funktion zur Schaltung
FunktionellerZusammenhang
f
. . . y
x1x2
xn
Wichtige Fragen: Wie beschreibt man logische Schaltungen?Wie analysiert man logische Schaltungen?Wie realisiert und optimiert man logische Schaltungen?
Technische Informatik I 3
Von der Funktion zur SchaltungVon der Funktion zur Schaltung
FunktionellerZusammenhang
f. . . y
x1x2
xn
? DigitaleSchaltung. .
. y
x1x2
xn
• Antwort: – Beschreibung der Schaltung durch eine Schaltfunktion
f: (x1,x2,…,xn) −> y– Implementierung der Schaltfunktion durch logische Gatter
Technische Informatik I 4
Von der Funktion zur SchaltungVon der Funktion zur Schaltung
• Beispiel: Addierer für zwei Binärzahlen S=A+Bmit S=(s4, s3, s2, s1, s0), A=(a3, a2, a1, a0) und B=(b3, b2, b1, b0)
s0s1s2s3s4
0c0c1c2c3+b0b1b2b3
a0a1a2a3
B
FunktionalerZusammenhang
f
AS
VAa0b0
0
c0
s0c0
VAa1b1
s1c1
s0
0
b0
a0
VAa2b2
s2c2
s1
c1+b1
a1
VAa3b3
s3c3 s4
Technische Informatik I 5
Von der Funktion zur SchaltungVon der Funktion zur Schaltung
• Beispiel: Addition zweier Binärzahlen S = A+BAufbau einer Volladdiererzelle (VA)
VAaibi
ci-1 si
ci
1 11 1 1
0 11 1 0
0 11 0 1
1 01 0 0
0 10 1 1
1 00 1 0
1 00 0 1
0 00 0 0si cici-1 ai bi
Beschreibung des funktionalen Zusammenhangs der Voll-addiererzelle durch eine Funktionstabelle
Technische Informatik I 7
Von der Funktion zur SchaltungVon der Funktion zur Schaltung
• Beispiel: Addition zweier Binärzahlen S = A+BAufbau einer Volladdiererzelle
1 11 1 1
0 11 1 0
0 11 0 1
1 01 0 0
0 10 1 1
1 00 1 0
1 00 0 1
0 00 0 0si cici-1 ai bi
ai
bi
ci-1si
ci
Technische Informatik I 8
FragenFragen
• Gibt es eine Systematik zur Abbildung von Funktionstabellen auf logische Schaltungen (kanonische Formen)?
• Wieviele Gatter besitzt die kleinste Schaltung, die diese Funktion realisiert (Logikminimierung)?
• Welche elementaren Gatter(funktionen) gibt es?• Ist es immer möglich, die kleinste Schaltung zu finden?
Technische Informatik I 9
AntwortenAntworten
• Schaltalgebra:– Spezielle Interpretation der Booleschen Algebra– Basis für die formale Entwicklung binärer Digitalschaltungen
• Schaltfunktion:– 2n Zuordnungen xj → fj (xj Belegung, fj zugeordneter
Funktionswert)– Begriffe:
Nullstellenmenge N, Einsstellenmenge E, Redundanzmenge R
Technische Informatik I 14
FunktionsbegriffFunktionsbegriff
– Definition einer Schaltfunktion (s ist das Argument, t der Funktionswert):
Angabe aller Paare (s, t) mit s ∈ { 0, 1 }n (= Belegung) und t ∈ { 0, 1 }
FunktionellerZusammenhang
f
. . . y
x1x2
xn
X = (xn, ... , x2, x1 )
xi ∈ { 0, 1 }
y ∈ { 0, 1 }
Technische Informatik I 16
FunktionsdefinitionFunktionsdefinition
Abbildungsvorschrift: Funktionsdarstellung:
(a3 a2 a1) f
→ y
(0, 0, 0) → 0 (0, 0, 1) → 1 (0, 1, 0) → 1 (0, 1, 1) → 0 (1, 0, 0) → 1 (1, 0, 1) → 0 (1, 1, 0) → 0 (1, 1, 1) → 1
j0 a3 a2 a1 y 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 2 0 1 0 1 3 0 1 1 0 4 1 0 0 1 5 1 0 1 0 6 1 1 0 0 7 1 1 1 1
Technische Informatik I 17
Klassen von SchaltfunktionenKlassen von Schaltfunktionen
• häufig gilt: nicht allen Belegungen kann/muss ein Funktionswert zugeordnet werden– solche Zuordnungen: -> Redundanz- oder Freistellen der
Funktion-> Kennzeichnung: xj → - (sogenanntes don´t care)-> Stelle kann wahlweise mit 1 oder 0 belegt werden
• Also: 3 Teilmengen von Belegungen:- Nullstellenmenge N = { xj | xj → 0 }- Einsstellenmenge E = { xj | xj → 1 }- Redundanzmenge R = { xj | xj → - }
• Beispiel: Funktion mit Freistellen-> Funktion für BCD Zahlen, wobei Eingangskombinationen,
die Pseudotetraden entsprechen, mit Freistellen belegt werden
Technische Informatik I 18
Klassen von SchaltfunktionenKlassen von Schaltfunktionen
-111117
-011116
-101115
-001114
-110113
-010112
Pseudotetraden
11001119
00001108
0111077
1011066
0101055
0001044
1110033
0010022
0100011
0000000
ya0a1a2a3j0Ziffer
Technische Informatik I 19
Klassen von SchaltfunktionenKlassen von Schaltfunktionen
• Reale technische Anwendungen
- Freistellen überwiegen häufig gegenüber 0- / 1-Stellen- Man definiert daher zwei Hauptklassen von Funktionen:
- eine vollständig definierte Schaltfunktionordnet allen Belegungen xj einen Funktionswertaus fj ∈ { 0, 1 } zu
- eine unvollständig definierte Schaltfunktionordnet mindestens einer Belegung xj keinenFunktionswert aus fj ∈ { 0, 1 } zu
- Wegen |{0, 1}n| = 2n gilt:Bei unvollständigen Schaltfunktionen lässt sich aus jeweils zwei Teilmengen die fehlende dritte Teilmenge bestimmen
Technische Informatik I 20
Graphische Darstellung von FunktionenGraphische Darstellung von Funktionen
• Neben tabellarischer Darstellung: es existieren graphisch orientierte Darstellungen
– Tafelmethoden (sogenannte KV-Diagramme)vor über 100 Jahren von Karnaugh und Veitch vorgeschlagen
– Nachteile von KV-Diagrammen bei Werten n > 4 (unübersichtliche Darstellung!)
Technische Informatik I 21
Graphische Darstellung von FunktionenGraphische Darstellung von Funktionen
• Beispiel: Darstellung der Schaltfunktion y = f(a3,a2,a1,a0) (durch 3 teilbare BCD-Zahl) mittels Symmetriediagramm
--10
----
1010
0000
14151110
16171312
6732
4510
a3
a2
a1
a0
y
Technische Informatik I 22
SymmetriediagrammeSymmetriediagrammeEntwicklung einesSymmetriediagramms•0
V1
n=0 n=1
n=2 n=3
n=4 n=5
n=6
122 −+= altneu jj
•3•2
•1•0
H1
x1
H1x2
•1•0
x1
V1
112 −+= altneu jj
•6•7•3•2
•4•5•1•0
V2
x1
x2
x3
V2
132 −+= altneu jj
•14•15•11•10
•16•17•13•12
•6•7•3•2
•4•5•1•0
H2
x1
x2
x3
H2x4142 −+= altneu jj •30•31•35•34•14•15•11•10
•32•33•37•36•16•17•13•12
•22•23•27•26•6•7•3•2
•20•21•25•24•4•5•1•0
V3
x2
x1 x1
x4
x5
x3
V3
152 −+= altneu jj
•60•40
•77
•70•50
•30•31•35•34•14•15•11•10
•32•33•37•36•16•17•13•12
•22•23•27•26•6•7•3•2
•20•21•25•24•4•5•1•0
H3
x1 x1
x5
x2
x2x6
x3
H3x4
162 −+= altneu jj
Technische Informatik I 23
Graphische Darstellung von FunktionenGraphische Darstellung von Funktionen
• Spezifikation / Schaltfunktionen: Funktionstabelle stellt bei großen Werten von n keine besonders effizienteDarstellungstechnik dar, da die Spaltenzahl mit n, die Zeilenzahl jedoch mit 2n wächst
-> Es existieren weitere Möglichkeiten zur Darstellung von Schaltfunktionen in Form spezieller Graphen
z.B. Binary Decision Diagrams (BDDs)
Technische Informatik I 24
Graphische Darstellung von FunktionenGraphische Darstellung von Funktionen
• Beispiel für die Darstellung mittels BDD:
0
b
1
b
a
c
1
1
11
0
0
00
⇔
beide Darstellungen repräsentieren die gleiche Funktion
a
0 0
a
0 1
b
a
0 1
a
1 1
b
c
j0= 0 1 2 3 4 5 6 7
0 1 0 1 0 1 0 1
0 0
0
1 1
1
Technische Informatik I 25
Graphische Darstellung von FunktionenGraphische Darstellung von Funktionen
• Binary Decision Diagrams (BDDs)
- Funktionen lassen sich kanonisch (eindeutig) darstellen
Diese Eigenschaft von BDDs lässt für Äquivalenzprüfungen von Funktionen ausnutzen -> Isomorpie-Test
- darüber hinaus: es existieren eine Reihe von Verfahren, welche die rechnergestützte Verarbeitungvon in BDD-Form dargestellten Funktioneneffizient ermöglichen
Technische Informatik I 26
SchaltfunktionenSchaltfunktionen
– Eigenschaft: Mit der Anzahl n von binären Variablen wächst dieAnzahl möglicher Schaltfunktionen (MF) explosionsartig!
– Gesucht: Grundsätzliche Konstruktionsvorschrift für Schaltfunktionen (unabhängig von n)?
– Ziel: Hardware-Realisierung von Schaltfunktionen
n = 0 MF = 2
n = 1 MF = 4
n = 2 MF = 16
n = 3 MF = 256.
n = 10 MF = 21024 ≈ 10308
Beispiele:
Technische Informatik I 27
MMöglicheögliche Schaltfunktionen bei n=2Schaltfunktionen bei n=2
n = 2: MF = 16 y = f(x2, x1)
111111110000000011111100001111000001110011001100110010101010101010101000
y17y16y15y14y13y12y11y10y7y6y5y4y3y2y1y0x1x2
neg .
Dis
junk
tion
(neg
. Im
plik
atio
n)
neg
. Im
plik
atio
n
Ant
ival
enz
neg.
Kon
junk
tion
Äqu
ival
enz
Impl
ikat
ion
(Impl
ikat
ion)
Dis
junk
tion
Kon
junk
tion
Technische Informatik I 28
MMögliche Schaltfunktionen bei n=2ögliche Schaltfunktionen bei n=2
Eigene Symbole und Namen:
y10 : &, ∧ Konjunktion, UND-Verknüpfung, AND
y16 : +, V Disjunktion, ODER-Verknüpfung, OR
y7 : ,~& neg. Konjunktion, neg. UND-Verknüpfung, NAND (NOT AND)
y1 : V ,~V neg. Disjunktion, neg. ODER-Verknüpfung, NOR (NOT OR)
y6 : ≡ ,~≡ Antivalenz XOR
y11 : ≡ Äquivalenz
y13 : → Implikation, x2 impliziert x1, x2 → x1
(analog: y15 : x1 impliziert x2, x1 → x2)
&
Technische Informatik I 29
HerleitungHerleitung derder NormalformtheoremeNormalformtheoreme
• Besondere Funktionen: Konjunktion und Disjunktion
– Null- und Einsstellenmenge teilen sich extrem auf, jeweils in: 1 zu 2n-1 Belegungen
Konjunktion: (1, 1) → 1 , sonst → 0 Disjunktion: (0, 0) → 0 , sonst → 1
– entsprechen den Operatoren der sog. Schaltalgebra, einer speziellen Variante der Booleschen Algebra
Technische Informatik I 30
HerleitungHerleitung derder NormalformtheoremeNormalformtheoreme
Symmetriediagramme:
6732
4510
0100
0000
x3
x2
x1y
n = 3 y = x 3 & x 2 & x 1
6732
4510
1111
1110
x3
x2
x1y
y = x 3 V x 2 V x 1
n = 2
32
10
10
00
x2
x1y
y = x 2 & x 1
32
10
11
10x2
x1y
y = x 2 V x 1
Technische Informatik I 31
HerleitungHerleitung derder NormalformtheoremeNormalformtheoreme
• Gesucht: Grundsätzliche Konstruktionsvorschrift für Schaltfunktionen (unabhängig von n)?
– Bauprinzip in Anlehnung an die Reihenentwicklung in der Mathematik
– geeignete (z.B. orthogonale) Basisfunktionen bk(x) und Koeffizienten Ak
• Frage: Gibt es Basisfunktionen und geeignete Koeffizienten für beliebige Schaltfunktionen?
∑−
=−−
⋅=⋅++⋅+⋅==1N
0kkk1N1N1100 )x(bA)x(bA)x(bA)x(bA)x(fy K
Technische Informatik I 32
HerleitungHerleitung derder NormalformtheoremeNormalformtheoreme
• Notwendig: Konjunktion / Disjunktion -> Funktionswert1(0) beliebiger Belegung zuordnen können
• Beispiel: n=3
Konjunktion: y = x3 & x2 & x1
x1
6732
4510
0100
0000
x3
x2
y
Beliebige Einsstelle: y = ?
x1
6732
4510
0000
1000
x3
x2
yModifikation der Konjunktion
123 x&x&xy =
Abbildung der
Belegung
Technische Informatik I 33
HerleitungHerleitung derder NormalformtheoremeNormalformtheoreme
• Beispiel: n=3
Disjunktion:Beliebige Nullstelle: y = ?
x1
6732
4510
1111
0111
x3
x2
yModifikation der Konjunktion
123 xxxy ++=
Abbildung der
Belegung
x1
6732
4510
1011
1111
x3
x2
y
123 xxxy ++=
Technische Informatik I 34
HerleitungHerleitung derder NormalformtheoremeNormalformtheoreme
• Ergebnis: Belegungsabbildung -> beliebige Eins- / Nullstelle für jede Belegung -> Minterm- und MaxtermfunktionenAllgemein gilt für n = beliebig:
1Mm0M&mmMMm
12k,j0,kj1MM0m&m
xxMx&&xm
0fürx1fürx
xxxxxy
0fürx1fürx
xx&x&&x&xy
jjjj
jjjj
n
kjkj
1nj
1nj
121nn
121nn
=∨=
==
−≤≤≠=∨=
∨∨=
=
⎩⎨⎧
=∨∨∨∨=
⎩⎨⎧
==
−
−
&&K&&
&&K&&
&&&&&&K&&&&
&&&&&&K&&&&
0x&x&x&xm&m
x&xm,x&xm,x&xm,x&xm
2n:Beispiel
121221
123122
121120
==
==
===
Minterm(funktion)Maxterm(funktion)
Technische Informatik I 35
HerleitungHerleitung derder NormalformtheoremeNormalformtheoreme• Gesucht: Grundsätzliche Konstruktionsvorschrift für
Schaltfunktionen (unabhängig von n):Verwendung orthogonaler Minterm- und Maxtermbasisfunktionen möglich?
• Mögliche Funktion: Disjunktion aller Minterme
71111000000016011010000001510100100000140010001000013110000010001201000000100111000000001010000000000011j0x1x2x3y = m0 v m1 v m2 v m3 v m4 v m5 v m6 v m7
Technische Informatik I 36
HerleitungHerleitung derder NormalformtheoremeNormalformtheoreme• Erweiterung: Einführung von Koeffizienten Aj für
Minterm- und Maxtermbasisfunktionen.– Dadurch: Darstellung beliebiger Funktionen möglich– Reihenentwicklung: Gewichtung der Basisfunktionen mj mit Aj
∈ {0, 1}
7111A70000000A7
60110A6000000A6
510100A500000A5
4001000A40000A4
31100000A3000A3
201000000A200A2
1100000000A10A1
00000000000A0A0
j0x1x2x3y = A0&m0 v A1&m1 v A2&m2 v A3&m3 v A4&m4 v A5&m5 v A6&m6 v A7&m7
Technische Informatik I 37
Beispiel: VolladdiererBeispiel: Volladdierer
1 11 1 10 11 1 00 11 0 11 01 0 00 10 1 11 00 1 01 00 0 10 00 0 0si cici-1 ai bi
)b&a&c()b&a&c()b&a&c()b&a&c(s ii1iii1iii1iii1ii −−−− ∨∨∨=
VAaibi
ci-1 si
ci
)b&a&c()b&a&c()b&a&c()b&a&c(c ii1iii1iii1iii1ii −−−− ∨∨∨=
DNF:
Technische Informatik I 38
Beispiel: VolladdiererBeispiel: Volladdierer
1 11 1 10 11 1 00 11 0 11 01 0 00 10 1 11 00 1 01 00 0 10 00 0 0si cici-1 ai bi
)bac(&)bac(&)bac(&)bac(s ii1iii1iii1iii1ii ∨∨∨∨∨∨∨∨= −−−−
VAaibi
ci-1 si
ci
KNF:
)bac(&)bac(&)bac(&)bac(c ii1iii1iii1iii1ii ∨∨∨∨∨∨∨∨= −−−−
Technische Informatik I 39
NormalformtheoremeNormalformtheoreme• Normalformen einer Schaltfunktion
-> kanonische Formen
)Mf(y
)Mf(&)Mf(&&)Mf(&)Mf(y
)m&f(y
)m&f()m&f()m&f()m&f(y
jj
1n2
0j
00112n22n21n21n2
jj
1n2
0j
00112n22n21n21n2
&
V
∨=
∨∨∨∨=
=
∨∨∨∨=
−
=
−−−−
−
=
−−−−
K
K
Konjunktive Normalform (KNF):
DisjunktiveNormalform (DNF):
oder kürzer
oder kürzer
Ergebnis: Allein mit den 3 Grundverknüpfungen (Operatoren) Konjunktion, Disjunktion und Negation ist es möglich, jede beliebige Schaltfunktiondarzustellen. Man sagt: [&, V,
_] ist ein Basissystem der Schaltalgebra
Technische Informatik I 40
NormalformtheoremeNormalformtheoreme
• Hauptsatz der Schaltalgebra:
– Jede beliebige vollständig definierte Schaltfunktiony = f (xn, ... , x1) lässt sich als Disjunktion von Mintermen<Konjunktion von Maxtermen> eindeutig darstellen.
– In der Disjunktion <Konjunktion> treten genau diejenigen Minterme <Maxterme> auf, die zu den Einsstellen <Nullstellen> der Schaltfunktion gehören.
Technische Informatik I 41
DerDer HauptsatzHauptsatz derder SchaltalgebraSchaltalgebra
Beispiel: y = f(x4, x3, x2, x1) = 1, wenn die entsprechende Oktalzahldurch 3 teilbar ist
)(&)(&)(&)(&)(&)(&)(&)(&)(&)(&)(:
12341234
123412341234
123412341234
123412341234
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxy
∨∨∨∨∨∨
∨∨∨∨∨∨∨∨∨
∨∨∨∨∨∨∨∨∨
∨∨∨∨∨∨∨∨∨=KNF
)&&&()&&&()&&&()&&&()&&&(:
12341234
123412341234
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxy
∨
∨∨∨=DNFx3
114015111010
016117013012
16071302
04050100
x4
x2
x1y
Technische Informatik I 42
Beziehungen zwischen den BegriffenBeziehungen zwischen den Begriffen
)11,,,0(:Bsp.
xxx
2xj
j1j2nj
n
1i
1iij
K
K=
⋅= ∑=
−
Index
12n
j1j2nj
ijn
1ij
x&x&&x:Bsp.
x&x&&x
xm &
K
&&&&K&&
&&
=
==
Minterm
12n
j1j2nj
ijn
1ij
xxx:Bsp.
xxx
xM V
∨∨∨
∨∨∨=
==
K
&&&&K&&
&&
Maxterm
1jfjjj
1n2
0jmV)m&f(f V =
−
===
DNF
0jfjjj
1n2
0jM&)Mf(&f
=
−
==∨=
KNF
( )( )1,1,0,:Bsp.
x,x,,xX j1j2njj
K
K=
Belegung
( ) ( ){ }jjjj Xfff,X:f =
Funktionstabelle
⎩⎨⎧
=
==
0xwenn,x1xwenn,x
xijij
ijij
ij&&
jj Mm = jj mM =
Technische Informatik I 43
NormalformtheoremeNormalformtheoreme: : PraktischePraktische AnwendungAnwendung
• Notwendig: für jeden Operatortyp eine passende technische Realisierung
• Mindestens Schaltglieder (Gatter) für Konjunktion, Disjunktion und Negation notwendig.
• Definition: Schaltnetz (angelehnt an DIN IEC 748)Ein Schaltnetz ist eine Digitalschaltung, in der es für jede mögliche Kombination von digitalen Signalen an den Eingängen eine - und nur eine - Kombination von digitalen Signalen an den Ausgängen gibt.
SNF YX
Technische Informatik I 44
NormalformtheoremeNormalformtheoreme: : PraktischePraktische AnwendungAnwendung
• Gattersymbole nach DIN-Norm (DIN 40900):
&
UND-Glied :abcd
y = a & b & c & d
≥1
ODER-Glied :abcd
y = a v b v c v d
1a y = a
Negationsglied:
1a y = a
(Zum Vergleich alte Norm)abcd
y
abcd
y
a y
a y
Technische Informatik I 45
NormalformtheoremeNormalformtheoreme: : PraktischePraktische AnwendungAnwendung
• Gattersymbole (internationale Norm):
„0“
„1“
AND
OR
XOR
NAND
NOR
XNOR
Treiber
Negation
Funktion Symbol
1
≥1
=1
&
1
&
≥1
=1
Symbol (DIN)
0
1
Technische Informatik I 46
Normalformtheoreme: Praktische AnwendungNormalformtheoreme: Praktische Anwendung
• Ableitung einer Schaltung aus der DNF am Beispiel Volladdierer:
)b&a&c()b&a&c()b&a&c()b&a&c(s ii1iii1iii1iii1ii −−−− ∨∨∨=
VAaibi
ci-1 si
ci
Technische Informatik I 47
Normalformtheoreme: Praktische AnwendungNormalformtheoreme: Praktische Anwendung
• Ableitung einer Schaltung aus der KNF am Beispiel Volladdierer:
VAaibi
ci-1 si
ci
)bac(&)bac(&)bac(&)bac(s ii1iii1iii1iii1ii ∨∨∨∨∨∨∨∨= −−−−
Technische Informatik I 48
NormalformtheoremeNormalformtheoreme: : PraktischePraktische AnwendungAnwendung
• Normalformorientierte Strukturen:– DNF als Beispiel– 2n UND-Glieder in der 1. Stufe und ein bzw. mehrere
ODER-Glieder in der 2 StufeBeispiel 1: ULA (Universal Logic Array)
ODER-Matrix
(fest)
x1
2n Mintermfunktionen
DNFm1
UND-Matrix
(fest) m2n
x2
xn
m2
Y = f(X)
Technische Informatik I 49
NormalformtheoremeNormalformtheoreme: : PraktischePraktische AnwendungAnwendungBeispiel: y = m1 v m4 v m5 v m6 v m7
Personalisierung (Programmierung):Möglich beim Bilden der Minterme in der 1. Stufe und/oder Auswählen der Minterme in der 2. Stufe.
& & & && & &&
1
1
1
V
1
x1x2x2x3x3
10
y = f(X)
X
0 m1 0 0 m4 m5 m6 m7
0x1
(Einsstellenmenge)(Nullstellenmenge)
Technische Informatik I 50
NormalformtheoremeNormalformtheoreme: : PraktischePraktische AnwendungAnwendung
• Normalformorientierte Strukturen:
Beispiel 2: ROM (Read Only Memory)
ODER-Matrix
(progr.)
x1
2n Mintermfunktionen
DNFm1
UND-Matrix
(fest) m2n
x2
xn
m2
Y = f(X)
Technische Informatik I 51
NormalformtheoremeNormalformtheoreme: : PraktischePraktische AnwendungAnwendung
Beispiel: y = m1 v m4 v m5 v m6 v m7
& & & && & &&
1
1
1
V
x1
x2x2x3x3
y = f(X)
X
m1 m4 m5 m6 m7
x1
Personalisierung erfolgt hier in der 2. Stufe
Technische Informatik I 52
LogikoptimierungLogikoptimierung
• Beispiel Volladdierer:Direkte DNF-Realisierung
• Gesamtkomplexität: 10 Gatter mit bis zu 4 Eingängen (Inverter noch nicht einmal mitberücksichtigt!)
VAaibi
ci-1 si
ci
si ci
Technische Informatik I 53
LogikoptimierungLogikoptimierung
• Beispiel Volladdierer:Optimierte Schaltung
• Gesamtkomplexität: 5 Gatter mit maximal 2 Eingängen
VAaibi
ci-1 si
ci
ai
bi
ci-1si
ci
ci