Grundlagen der Statistik, Klausurübungen, Erklärungen · Die Abbildung stammt von der...

1 Bettina Kietzmann 1D(neu) Februar 2013

Grundlagen der Statistik, Klausurübungen, Erklärungen

1. Aussagenlogik

2. Modalwert, Median, Mittelwert, Spannweite, Erwartungswert

3. Varianz, Standardabweichung

4. Absolute/relative Häufigkeit + Randverteilung/bedingte Wahrscheinlichkeit

5. Venn-Diagramme

6. Verteilungs-und Wahrscheinlichkeitsfunktion

7. Merkmalsklassifikation

8. Datenerhebung, Experiment und Stichprobenverfahren

9. Schätzen von Modellparametern (Punkt- und Intervallschätzung)

10. Kombinatorik- diskrete Verteilung (Binomialverteilung/-koeffizient, Bernoulli)

11. Konzentrationsmessung (Lorenzkurve, Gini-Koeffizient, Herfindahl-Index)

12. Zusammenhangsmessung/ Regressions- und Varianzanalyse

13. Testen, Gauß-Test; Fehler beim Testen, Gütefunktion

Klausurhinweise 2012/2013 https://moodle.fernuni-

hagen.de/file.php/30448/Klausurhinweise/Klausurhinweise-03-2013-BWiss.pdf

Merksatz: ALLE bisherigen Klausuren RECHNEN RECHNEN RECHNEN!!!!Verstehen

kommt dann…ich habe lange, zu lange den Fehler gemacht und erst verstehen wollen VOR

dem Rechnen, das kann mir das „Bestehen“ jetzt kosten!!!!WEIL ich zu spät mit der

Rechnerei begonnen habe ….

1. Aussagenlogik

Hier ist es für die Lösung der Aufgaben notwendig, die Tabelle auszufüllen.

Achtgeben muss man auf die Bedeutung der Zeichen ᴧ (UND) ν (ODER) und „nicht

a“.

Eine Konklusion ist korrekt, wenn mindestens eine der beiden Aussagen P1 oder P2

wahr sind, denn dann ist K (Ableitung der Prämissen, logischer Schluss) auch wahr.

Gut verständlich- Übungssache.

2. Modalwert, Median, Mittelwert, Spannweite, Erwartungswert

Beispiel eines Datensatzes aus POL/SOZ September 2011:

4,8 6,4 4,2 4,6 4,8 3,9 4,2 7,6 6,5

- Ich ordne prinzipiell erst einmal die Daten, also:

3,9 4,2 4,2 4,6 4,8 4,8 6,4 6,5 7,6

https://moodle.fernuni-hagen.de/file.php/30448/Klausurhinweise/Klausurhinweise-03-2013-BWiss.pdf

https://moodle.fernuni-hagen.de/file.php/30448/Klausurhinweise/Klausurhinweise-03-2013-BWiss.pdf


Mittelwert (muss nicht geordnet sein!): dieser berechnet sich, wie ein

Notendurchschnitt. Ich summiere alle Daten und teile dann durch die Anzahl der

Daten. In diesem Falle 3,9+4,2+4,2+…Xn, dann Ergebnis geteilt durch 9. Lösung

Mittelwert= 47 ÷9= 5, 22222

Modalwert (muss nicht geordnet sein!): Fragen: „Welcher Wert tritt am häufigsten

auf?“ „Gibt es einen eindeutigen Modalwert?“ Antwort: In diesem Falle hat der

Datensatz keinen eindeutigen Modalwert sondern 2 Modalwerte, nämlich 4,2 und 4,8.

Median (Datensatz muss geordnet sein!): Nun gibt es 2 verschiedene Möglichkeiten:

1. Der Datensatz hat eine ungerade Zahl an Daten- hier zutreffend (9 Daten). Der

mittlere Wert des Datensatzes ist hier der Median, also der 5. Wert: 4,8

2. Der Datensatz hat eine gerade Zahl an Daten man berechnet in diesem Falle

alle Elemente n und dividiert durch 2. Dieser Wert und der darauffolgende werden

summiert und abermals dividiert durch 2. Das ist der Modalwert.

Beispiel: 3 5 7 1 5 9 2 8 = gerade ; 8÷2=4 die 4. Zahl im Datensatz ist 1, die

darauffolgende ist 5. Beide zusammen ergeben 6, dann 6÷2= 3 . Der Median

beträgt 3.

Spannweite (geordneter Datensatz!): Der letzte Wert wird mit dem ersten Wert

subtrahiert. Also hier: 7,6 -3,9 = 3,7 Die Gesamtlänge eines Boxplots ist die

Spannweite

Erwartungswert- Beispiel Würfel POL/SOZ März 2010. Ich werfe 10 mal und

bekomme die Werte 3 6 4 3 5 1 2 3 4 2 Der Erwartungswert berechnet sich

mit der Eintrittswahrscheinlichkeit

und der Summe aller k 1 2 3 4 5 6 also

(1+2+3+4+5+6)*

=

= 3,5 (=diskrete Verteilung)

Merke: Erwartungswerte werden verschieden berechnet je nachdem was gegeben ist.

Schaut in die Formelsammlung. Ganz wichtig ist der Umgang mit dieser!!!!

3. Varianz, Standardabweichung

Varianz= die durchschnittliche quadrierte Abweichung der Werte vom Mittelwert

- Halbiere ich alle Werte des Datensatzes geht die Varianz auf ein Viertel des

Ausgangswertes zurück.

S²=


Standardabweichung- Halbiere ich alle Werte des Datensatzes geht die

Standardabweichung auf die Hälfte des Ausgangswertes zurück. Wenn alle

Werte verdoppelt werden, vervierfacht sich s² und s verdoppelt sich.

Kleiner Zusatz: = 1 ; 0!=1 Formelsammlung S.10

4. Absolute/relative Häufigkeit + Randverteilung/bedingte Wahrscheinlichkeit

Je Aufgabe schreibe ich mir alle gegebenen Werte auf und skizziere mein Vorhaben.

Absolute Häufigkeit ist die Anzahl und die relative Häufigkeit zeigt genauer auf, in

welchen Verhältnissen die Anzahl vorliegt. Z.B. 500 Schüler 200 sind 18 Jahre alt.

Wie viel Prozent sind das? 200 ÷500 = 0,4 also 40%.

In den Aufgaben zur Randverteilung macht es Sinn ein Baumdiagramm ODER/UND

eine 4-Felder-Tafel zu erstellen. Zahlen trägt man ein und berechnet schrittweise die

relative Häufigkeit. Wichtig ist hier darauf zu achten, welche Grundgesamtheiten in

der Aufgabenstellung erfragt sind (es gibt auch oft Teilgesamtheiten (unabhängig von

der Grundgesamtheit), die eine relative Häufigkeit verlangen. Die kleinere Zahl wird

durch die Größere dividiert und man erhält die jeweiligen Prozente.

z.B. POL/SOZ März 2011 Aufgabe 7.

Gegeben: Gesamtbevölkerung 36 Mio.; Männer (auch Jungen) 49,5%; erwerbstätige

Männer 58 %; erwerbstätige Frauen 44,5%

Männer

Gesamtbevölkerung

36 Mio.

Frauen

nicht erwerbstätig 42%=7,4844Mio

Erwerbstätig 44,5%, also

18,18Mio*0,445=8,0901Mio

Erwerbstätig 58% also

17,82Mio*0,58 =10,3356Mio

Nicht erwerbstätig

55,5%=10,0899Mio 36Mio*0,505=18,18Mio

50,5%

36Mio *0,495=17,82Mio

49,5%


Bei der Berechnung muss darauf geachtet werden, dass die Anzahl der Männer und die

Anzahl der Frauen aus der Grundgesamt des Gesamtbevölkerung zu berechnen ist.

Möchten man allerdings die Anzahl der erwerbslosen Männer und Frauen berechnen,

muss man als Grundgesamtheit die Anzahl der Männer bzw. Frauen benutzen (nicht

die Gesamtbevölkerung!!!!).

5. Venn-Diagramme

Quelle: http://fos-mathe-trainer.de/tag/venn-diagramm/ 9.2.2013 11:32 Uhr

„Venn-Diagramme helfen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung dabei, Zusammenhänge

zwischen zwei Ereignissen grafisch zu veranschaulichen. Die folgende Grafik zeigt alle

möglichen Ereignisse, die Ihr aus zwei Ereignissen A und B durch Vereinigen, Schneiden und

Bilden des Gegenereignisses bilden könnt. Rot markiert sind dabei die sich jeweils ergebenden

Teilmengen, also z. B. im zweiten Bild in der ersten Zeile . Unter jedem Bild steht,

wie man das Ereignis aus A und B erhält.“

„Das Formelsymbol steht für das “ausschließende Oder” (auch: “exklusives Oder”,

“XOR”) und bedeutet “entweder A oder B” — das dürft Ihr nicht mit “A oder B”

( ) verwechseln: Beim ausschließenden Oder gilt wenn x entweder

Element von A oder von B ist, nicht aber von beiden!

Die Abbildung stammt von der Wikipedia-Seite zu Venn-Diagrammen (Autor: Tilman

Piesk), ich habe die dort zu findenden Bildunterschriften auf Mengen/Ereignisse

angepasst.“

( Blau unterstrichene Mengen sind von mir eingefügt.--> für uns relevant)

http://fos-mathe-trainer.de/tag/venn-diagramm/

http://de.wikipedia.org/wiki/Mengendiagramm


Disjunkt sind beide Mengen, wenn sie kein gemeinsames Element haben!!

6. Verteilungs-und Wahrscheinlichkeitsfunktion

Beispiel POL/SOZ September 2010 Aufgabe 9:

Gegeben:

x-Achse: x

y-Achse: f(x)-Eintrittswahrscheinlichkeit


Nun muss man eine Verteilungsfunktion erstellen.

Wichtig ist, dass die Verteilungsfunktion nicht nur bis 5 definiert ist, sondern darüber hinaus

geht!!!

Beachtet werden muss, ob die 0 eine Eintrittswahrscheinlichkeit besitzt oder nicht. Im obigen

Beispiel besitzt sie KEINE, bei Roulette ja (beginnt dort also bei 1/37- der Erwartungswert

beim Roulette beträgt immer 20,027027 ;) ). Ebenfalls muss beachtet werden, dass die

Eintrittswahrscheinlichkeiten in der Verteilungsfunktion AUFSUMMIERT werden!

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0,5

1 2 3 4 5


Den Erwartungswert berechnet man durch Ablesen der Wahrscheinlichkeitsfunktion 1.

Abbildung und Aufsummierung, also 1*0,1+2*0,3+3*0,1+4*0,3+5*0,2= 3,2.

Die Verteilungsfunktion enthält die aufsummierten Eintrittswahrscheinlichkeiten, im Falle

x=3 nimmt die Verteilungsfunktion den Wert 0,5 an. Für alle Werte x von 2 ≤ x < 3 ergibt

sich der Wert 0,4.

Wird X transformiert wird zu Y= X+1, dann ist die Varianz von Y mit der von X identisch.

Der Erwartungswert E(x)= μ nimmt bei Transformation Y= X² = μ² an.

Beispiel Roulette: insgesamt 37 mögliche Ergebnisse.

Wie ist die Wahrscheinlichkeit bei einmaligen Spiel eine zweistellige Zahl zu erlangen?

Laplace

Uns interessieren die Zahlen, von 10-36, also 27 sind zweistellig.

Laplace=

=

= 0,7297

Wie ist die Wahrscheinlichkeit, in jedem der 2 Spiele eine 10 zu erhalten UND die Frage, ob

dies das Doppelte ist, von einem Spiel?

Habe 1/37 Wahrscheinlichkeit die 10 zu bekommen bei einmal Spielen

2. Spiel: wieder 1/37 Chance

1/37*1/37= 1/37²=

Ist das identisch mit der doppelten Wahrscheinlichkeit einmal eine 10 zu

werfen? 1/37=0,027027 dann: 0,027027*2= 0,054054 ist das gleiche, wie

2/37

die Wahrscheinlichkeit 2mal hintereinander die 10 zu werfen=

und das

vergleiche ich mit der doppelten Wahrscheinlichkeit einmal eine zu werfen,

also mit 2/37 0,00073 verglichen mit 0,054


7. Merkmalsklassifikation

- Die metrische Skala ist zu spezifizieren in Intervallskala und Verhältnisskala.

Letztere kann einen Sonderfall aufweisen: Absolutskala

- Nominal: Merkmalsausprägungen müssen nicht in eine Reihenfolge gebracht

werden

- Metrische Operationen sind NICHT für Ordinalskalen zulässig und

odinalskalierte Operationen (Rangfolge) sind NICHT zulässig für

nominalskalierte Operationen (keine Rangfolge) . Dagegen sind

ordinale Operationen auch für metrische zulässig. Metrische

Operationen können Differenzen in den Merkmalsausprägungen

aufweisen, wohingegen ordinalskalierte Operationen keine

Differenzen inne haben.

- Bsp nominal: „Bei einer Wahl gewählte Partei.“ Partei = Kategorie ohne

Rangordnung oder „Art der Heizung- Gas, Kohle etc.“ keine Rangordnung

Bildungsstand zum Beispiel ist mit Rangordnung (ohne Abschluss, HS, RS,

Gymnasium etc.), daher ORDINAL

- Stetiges Merkmal: z.B. Gewicht einer Person

- Diskretes Merkmal: Art der Heizung, Zählvariable, z.B. Anzahl der gemeldeten

EHEC-Fälle März 2011, Bildungsstand

- Metrisch= Entfernung zwischen Firma und zu Hause; Gewicht einer Person

- Nominal= Transportmittel von zu Hause bis zur Arbeit(PKW, Fahrrad)

- Quantitative Merkmale= metrisch

- Qualitative Merkmale= sowohl ordinal als auch nominal möglich

- Sowohl bei ordinal als auch bei nominal ist die Bildung von Differenzen NICHT

möglich

- Realdefinition: behaltet Aussage über Eigenschaften eines Gegenstandes oder

Sachverhaltes, also umfasst NICHT ALLE Eigenschaften des Definiendums). Die

Realdefinition kann falsch oder unvollständig sein.

- Nominaldefinition: der Gegenstand (Definiendum) wird durch anderen

Gegenstand (Definiens) erklärt, also ist eine Worterklärung mit gleicher

Begriffsbedeutung. Die Nominaldefinition kann NICHT falsch sein.

- Beide Definitionen sind NICHT NUR entweder richtig oder falsch


Tabelle:

NOMINAL (Kategorie)

Spezialfall: dichotome Skala

ORDINAL (Rang) METRISCH

Intervall Ratio/Verhältnis

(Sonderfall:

Absolutskala)

diskret- beliebe Werte aber keine unendlichen

Zwischenwerte

stetig- unendliche Werte und

beliebige Zwischenwerte

Objekte =gleich oder

ungleich

Verhältnis zwischen

Objekten ist größer-kleiner;

besser-schlechter ,

Likertskala: gut-mittel-

schlecht

Verhältnis zwischen

Objekten ist größer oder

kleiner, also Abstände sind

größer-kleiner

Bsp: Geschlecht, Partei,

Muttersprache, Farbe, PLZ,,

derzeitiger soz. Status,

Berufsbezeichnung, Glück

durch allein leben oder

Familie?

Beispiel: Temperatur in

Grad, Datum, Zieleinlauf von

Läufern, Zeitdruck-ja/nein,

Likertskala=

Wettkampfplatzierung

Temperatur Kelvin, Zeit,

Anzahl, länge, Gewicht,

Einkommen, Schuljahre,

Stundenanzahl für

Mathe/Woche

- Bsp. für beide: Schulnoten

Zunahme an Informationsgehalt

8. Datenerhebung, Experiment und Stichprobenverfahren

Befragung: Filterfragen bilden Untergruppen mit speziellen Fragen

Fragebögen: es kann passieren, dass eine Frage die Antwort der nächsten

Frage beeinflusst (=Halo-Effekt)

Messen theoretischer Konstrukte (Erfolg, Zufriedenheit) werden mit

beobachtbaren Konstrukten VERKNÜPFT, das heißt Handlungsanweisungen

für Datengewinnung werden spezifiziert (=Operationalisierung)

Random Route es werden KEINE Namens- und Adressdaten verwendet; es

werden Haushalte durch einen Interviewer befragt, dabei ist der Startpunkt im

Interview zufällig gewählt und alle weiteren Schritte sind dem Interviewer

vorgegeben

Personenexperiment- 2 Gruppen: 1. Versuchsgruppe (Einflussgrößen werden

planmäßig verändert (=Treatment) 2. Kontrollgruppe (bei dieser werden die

Einflussgrößen NICHT planmäßig verändert = Treatment) Quasi-

Experiment= wenn die Zuordnung in beide Gruppen NICHT zufällig erfolgt!

Nicht-reaktive Datengewinnung= verdeckte Erfassung und Auswertung (z.B.

DeStatis, Logfile-Analysen) DeStatis (statistisches Bundesamt) erfasst

automatisiert die Nutzungshäufigkeit von DeStatis-Datenangeboten zu

verschiedenen Themen, um Verhalten des Nutzer zu verfolgen/auszuwerten

Undercoverage= Fehler in Stichprobenbasierten Datenerhebungen; wenn nicht

alle Elemente der Population, die aus einer Stichprobe gezogen wird,


berücksichtigt werden, also Objekte gehören zur Grundgesamtheit, aber nicht

zur Auswahlgesamtheit

Overcoverage- Objekte gehören zur Auswahlgesamtheit, aber nicht zur

Grundgesamtheit; - Es werden Elemente ausgewählt, die nicht die

gewünschten Eigenschaften aufweisen

Wenn allgemeine Bevölkerungsumfrage durch freiwillige Befragung oder

offene Online-Befragung, können systematisch verzerrte Ergebnisse

aufkommen

Beispiel: Befragung von Schülern in Hauptschulen Deutschlands

Auswahleinheit= Hauptschulen in Dtl.; Erhebungseinheit= Schüler, die

befragt werden (stichprobenartig)

Gütekriterien für Messungen: OBJEKTIVITÄT, INTERSUBJEKTIVITÄT,

VALIDITÄT, RELIABILITÄT

Validität: „Wird wirklich DAS gemessen, was gemessen werden SOLL?“

Reliabilität: „Inwieweit liefert Messinstrument bei wiederholter Messung

gleiche Ergebnisse (Messwerte)?“

Aus der Reliabilität einer Messung folgt NICHT gleich deren Validität

Aus der Validität folgt stets auch die Reliabilität

Klumpenauswahl: 2 stufiger Auswahlprozess 1. Zufällig gewählte

Teilmenge der Grundgesamtheit 2. ALLE Elemente eines Klumpens

(Teilmenge)- nicht Untersuchungseinheiten!!!

Geschichtete Stichprobenauswahl - allgemein: Prozentsatz kann

grundsätzlich variieren

Geschichtete Stichprobenauswahl- proportional: hat festen Prozentsatz

(muss gleich sein) von Stichprobenelementen

Stichprobenauswahl mit proportionaler Schichtung 1. Grundgesamtheit

wird in Teilpopulationen zerlegt 2. Zufallsstichprobe aus dieser Teilpopulation

Quotenauswahlverfahren: 2stufiges Stichprobenverfahren zur Gewinnung

einer Stichprobe = zufallsgesteuert, d.h. 2. Stufe: systematische (kein Zufall)

Auswahl der Stichprobenelemente

Zusatz: dichotomisiert= 1. Aus vielen Variablen 2 machen (ordinal

nominal) 2. Z-Werte, Normierung

Binnendifferenzierung= z.B. methodische Maßnahmen für Verbesserung und

Gestaltung Unterricht; zusammengesetzt aus logischen Operatoren;

Operationalisierung samt innerer und äußerer Differenzierungen


9. Schätzen von Modellparametern (Punkt- und Intervallschätzung)

Die Stichprobenfunktion (bzw. Varianz s²) liefert eine VERZERRTE (nicht

übereinstimmende) Schätzung für die Varianz σ² man kann auch sagen,

dass man die Summe der quadratischen Abweichung bildet und mit n dividiert

= verzerrte Schätzung der Varianz

Stichprobenfunktion: X = 1. Stichprobenmittelwert 2. Stichprobenvarianz s²

Wenn der Erwartungswert anhand des Mittelwertes der

Stichprobenfunktion geschätzt wird ist dies UNVERZERRT (E( ) = μ FS

S.20) übereinstimmend)dann stimmt auch MSE (mittlere quadratische

Abweichung) mit Varianz überein (MSE=V(X)). Man kann auch sagen,

wenn man die Summe der MSE bildet und dann mit n dividiert, erhält man

eine verzerrte Schätzung für die Varianz.(unverzerrt= korrigierte Varianz

FS S.3)

Der Erwartungswert kann durch ein Konfidenzintervall geschätzt werden; die

Grenzen der Intervallschätzung sind ZUFALLSABÄNGIG

Bsp. Würfel: Mittelwert und Erwartungswert stimmen überein= unverzerrt,

ebenso stimmt auch der MSE mit Varianz überein.

Normalverteilung= Gaußglocke (Grafik Quelle: http://www.roulette-

portal.org/showwiki.php?title=Normalverteilung 10.2.2013 12:37 Uhr)

Korrigierte Varianz: Wenn man quadrierten Abweichungen aufsummiert und durch n-1 teilt,

ist dies eine unverzerrte Schätzung für die Varianz von X. Formelsammlung S.21

http://www.roulette-portal.org/showwiki.php?title=Normalverteilung

http://www.roulette-portal.org/showwiki.php?title=Normalverteilung


Konfidenzintervall (Grafik Quelle: http://eswf.uni-koeln.de/lehre/stathome/statcalc/v2202.htm

10.2.2013 12:40Uhr)

Je größer α, desto kleiner wird das Konfindenzintervall und umgekehrt.

Die Varianz vom Mittelwert geht, bei Verdopplung n, auf die Hälfte zurück.

(Nicht auf ein Viertel!) FS S.20 unten V( =

Bei Verdopplung n, nimmt Varianz um Faktor

und die Standardabweichung

um

=

ab.

10. Kombinatorik- diskrete Verteilung (Binomialverteilung/-koeffizient, Bernoulli)

Bernoulli-Experiment (-prozess): zufällig, 2 Versuchsausgänge

-der Erwartungswert berechnet sich durch n*p (p= Eintrittswahrscheinlichkeit)

Binomialverteilt= diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung; beschreibt die Anzahl/Folge

von gleichen, unabhängigen Versuchen (z.B. einer Münze), die je genau 2 mögliche

Ausgänge haben.

Bei einem Münzwurf ist X binomialverteilt mit n und p.

Varianz (X)- σ²= n*p(1-p)=

(NICHT

) ; q berechnet sich durch 1-p ; q und p sind

Eintrittswahrscheinlichkeiten.

Die Eintrittswahrscheinlichkeit p für z.B. Kopf kann man anhand Mittelwert X schätzen.

Varianz der Wahrscheinlichkeit (p und q)=

– bei fairen Münze:

; n= Anzahl der

Würfe.

Konfidenzintervall Erwartungswert μ

liegt „irgendwo im

Konfidenzitervall

ODER in α

α (auch:Fehler)

Symmetrisch-

Spiegel

http://eswf.uni-koeln.de/lehre/stathome/statcalc/v2202.htm


Erwartungswert n*p für Binomialverteilung z.B. wenn man wissen möchte wie die

Wahrscheinlichkeit bei 9 mal werfen mit zwei Würfeln ist, dass ich eine 1 oder eine 2

habeman hat das Komplementärereignis A-Strich und A (2 mögliche Ausgänge)-davon

interessieren uns nur die ersten beiden Augenzahlen, also

=

=p und die Anzahl der Würfe

n=9E(X) =n*p wäre in diesem Falle 3.

Weiteres Beispiel September 2011 POL/SOZ Aufgabe 11 A:

Gegeben: faire Münze (Eintrittswahrscheinlichkeit p= 0,5) wird n= 8mal geworfen

X ist das Ereignis Zahl zu werfen.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit mindestens 4 mal eine Zahl zu werfen.

Vorgehen: P (X ) – das heißt, ich berechne die Wahrscheinlichkeit für 4,5,6,7,8 dies

impliziert zu viele Rechenschritte, daher arbeitet man mit der

Komplementärwahrscheinlichkeit

P (X , also 1,2,3.

1. Schritt: Komplementärwahrscheinlichkeit berechnen über die Verteilungsfunktion

F(X)= binomialverteilt mit n=8; p=0,5 und k=3 (also über die Trägermenge k =0,1,2,3

mal eine Zahl zu werfen).

2. F(X)=

) * *

3. F(3)=

) * * = 0,3633 = die

Komplementärwahrscheinlichkeit

4. Nun ziehen wir die Komplementärwahrscheinlichkeit von 1 ab, also 1- 0,3633=

0,6367

= P (X

Kleiner Zusatz: Der Taschenrechner berechnet uns den Binomialkoeffizient

) - hier

die Formel:

) =

in den Taschenrechner gibt man

) folgendermaßen

ein: n Shift ÷ k


11. Konzentrationsmessung (Lorenzkurve, Gini-Koeffizient)

Beispiel September 2011 POL/SOZ Aufgabe 7

Aktien Gesamtwert 20 Mio – verteilt auf 4 Aktionäre

Verteilung muss geordnet werden, also Aktionär1: 10%=2Mio; Aktionär2

25%=5Mio; Aktionär3 25%=5Mio; Aktionär4 40%=8Mio

Muss aufsummiert werden: y-Achse:0,1+0,25+0,25+0,4=1;

x-Achse: 100÷4+100÷4+100÷4+100÷4 (da 4 Aktionäre muss die x-Achse in 4 Teile

Berechnung der Punkte auf der blauen Linie: 1. 2/20; 2. 2+5/20 (das ist der Anteil, den

der erste und zweite Aktionär am Gesamtwert von 20 Mio. besitzen); 3. 2+5+5/20; 4.

2+5+5+8/20 (das ist immer eins, (denn das ist der Gesamtwert von 20 Mio.)

Je weiter die Lorenzkurve „ausstrahlt“, desto ungleicher sind die Daten

verteilt.

Die Lorenzkurve gibt an, wie viel % Aktionär1 v1 (0,25; 0,1) an gesamten

Aktien besitzt

v 3 (0,75;0,6) zeigt an, inwieweit die ersten 3 Aktionäre am Gesamtwert

beteiligt sind

Gini-Koeffizient= unnormiert es existiert eine obere Schranke mit 0,75 ,

also 0 ≤ G ≤

=0,75 für n=4 (ist IMMER so definiert) also, wenn alle blauen

Punkte auf der roten Geraden liegen ist G= 0, da es keine Abweichung gibt. Für n= 3 wäre der

G= 0,66.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,25 0,5 0,75 1

D… D…


Unterschied zwischen normiertem und unnormiertem Gini-Koeffizient:

Unnormiert G q =59 (1*2+2*5+3*5+4*8)

p =20 (2+5+5+8)

G=

G= 0,225

Normierter G* : G*=

* G (dafür benötigt man auch den unnormierten Gini-

Koeffizienten!)

G*=

* 0,225

G*= 0,3

Herfindahl- Index (Alternative zum Gini-Koeffizienten):

H es gilt:

H:=

) ² =

*

i= Laufvariable, nicht Multiplizieren!

(der Taschenrechner erkennt allerdings nicht, was X ist. Daher PER HAND aufsummieren!)

Beispiel für gegebene Werte:

H:=

* (2²+ 5²+ 5²+ 8²)= 0,295

Verdoppelt man xi, also in unserem Beispiel 2, 5, 5, 8, so verändern sich

beide Gini-Koeffizienten NICHT!

In der Klausur März 2011 POL/SOZ Aufgabe 11 Nummer C ist der SINN des

Gini-Koeffizienten erläutert: „Der Gini-Koeffizient liefert Aussagen des Typs

„x% der Merkmalsträger teilen sich y% der Merkmalssumme.“


12. Zusammenhangsmessung/ Regressions- und Varianzanalyse

Empirische Zusammenhänge sind durch Beobachtungen errechenbar; theoretische

Zusammenhangsmaße gelten für Zufallsvariablen.

Der Korrelationskoeffizient r (Brevais Pearson) misst die Stärke eines linearen

Zusammenhangs zwischen 2 Merkmalen X und Y und ist auf metrisch skalierte Daten

anwendbar.

Anforderungen an die Zusammenhangsmessung („Wie ist der Zusammenhang einer Zahl?

Beispiel: Je größer Einkommen, desto größer Konsum.“) die empirische Verteilung wird

durch den Korrelationskoeffizienten Bravais Pearsons beschrieben)

1. Lineare /nicht lineare Korrelation

Linear

Nicht linear:


2. Positive (je größer X desto größer Y) und negative (je größer X desto kleiner Y)

Korrelation

r<0 je größer desto kleiner

r>0 je größer desto größer

3. Stärke einer Korrelation- je größer r desto größer Zusammenhang:

c)hohe Korrelation

a) niedrige Korrelation

- C) = hohe/starke Korrelation, also gen Wert 1 das heißt allerdings nicht, dass

zwingend eine sachlogische Verbindung besteht, z.B. „Die

Sonnenfleckenintensität hat Einfluss auf das wirtschaftliche Wachstum.“

korreliert stark, heißt ABER nicht, dass Verbindung besteht…

-

4. Der Wertebereich liegt bei -1≤r≤1

ra=1

steigende Gerade

ra ~0 (in dem Falle ist NICHT ausgeschlossen (kann, aber muss nicht), dass

zwischen beiden Merkmalen ein nicht linearer Zusammenhang besteht; ist r = 0 ist

von einem linearen Zusammenhang auszugehen.


ra=-1

fallende Gerade

Die Kovarianz ist NICHT das Zusammenhangsmaß, welches NUR Werte zwischen -1

und 1 annimmt denn das ist die NORMIERUNG der Kovarianz- diese liegt

zwischen -1 und 1.

Den Korrelationskoeffizienten berechnet man durch:

r:=

Kovarianz-cov:

sxy= Cov =

*

Beispiel Klausur September 2011 Aufgabe 14

Nummer A: Werte sind vorgegeben außer die Standardabweichung, allerdings muss

man nur noch die Wurzel aus der Varianz ziehen. Der Korrelationskoeffizient beträgt

demnach 0, 835. Nun kann man eine Aussage über diesen treffen: stark positive

Korrelation.

B: lineares Regressionsmodell

y i= β*x + αi + u i siehe Formelsammlung Seite 27

= eine Funktion für eine Gerade (Linearfunktion)

Manche kennen vielleicht aus der Schule: y=m*x+n

m= Anstieg = β

n= Schnittpunkt mit der Y-Achse= α

Und x ist x ;)


ui= Residuum*

* (ui= Stör-Term/-variable= Residuum)

Berechnung des Residuums: ui Dach = yi - yi Dach=yi - αDach – ßDach*xi

Nr. 14: Beispiel : u1 Dach = y1 – y1 Dach = y1 - αDach – ßDach*x1

=2,5 -0,15- 0,80 * 2,7 = 0,19

Wenn die Kovarianz negativ ist und die Varianz positiv ist (ist sie

IMMER) die Gerade FALLEND, da ßDach negativ ist. Wenn die

Kovarianz und demzufolge ßDach positiv sind, ist die Gerade

steigend. Wenn die Cov negativ ist, dann ist ß negativ,- die Varianz

als quadrierte Zahl ist immer positiv.

Regressionskoeffizient: = sxy ÷ sx² wenn (bzw. Dach) >0 dann steigende

Regressionsgerade und wenn <0 dann fallend.

αDach= y - * x

Achtung: die Werte sind alle gegeben! Keine Panik ;)


Für die Methode der kleinsten Quadrate braucht man αDach und ßDach Seite 27

Formelsammlung. Das sind alles nur geschätzte Werte, keine wahren Werte!

R²= Bestimmtheits- bzw. Gütemaß hat Definitionsbereich 0≤R²≤1 beurteilt, ob die

Regressionsgerade, die ich berechnet habe eine „gute“ oder „schlechte“ Anpassung an

den gegebenen Datensatz haben.

Fakt ist, dass versucht wird, die Abweichung der Regressionsgerade möglichst gering

zu halten- die Summe der quadrierten Residuen wird versucht gering zu halten. Bei

Null würden alle Daten des Datensatzes auf der Regressionsgeraden liegen und das ist

sehr selten der Fall.

Wenn R²=0 schließt nicht aus, dass zwischen X und Y ein nicht-linearer

Zusammenhang besteht.

R² (=Gütemaß)=r² (Korrelationskoeffizient ins Quadrat) Unterschied= dass r auch

negative Werte annehmen kann. 0≤R²≤1 und -1≤r≤1.

R²=

= s²yDach ÷ s²y = 1 – s²uDach ÷ s²y=

= r²

(Formelsammlung Seite 29)

Das Bestimmtheitsmaß bzw Gütemaß, z.B. 0,45 gibt an, dass 45% der

Gesamtvariation des Datensatzes durch das Regressionsmodell erklärt ist. Würde R²

beispielsweise 0,9 sein, dann bedeutet dies, dass 90% der Gesamtvariation des

Datensatzes durch das Regressionsmodell erklärt ist. Würde in einer Aufgabe stehen,

dass R² = 0,9 und dieser 65% der Gesamtvariation des Datensatzes durch das

Regressionsmodell erklärt, wäre dies FALSCH.

Beispiel März 2011 POL/SOZ Aufgabe 15 Nummer B.

R²=

= 0,1075

Lernsache bzw. Formelsammlung Seite 30: Die unabhängige Variable ist diskret und die

abhängige (Responsevariable) ist stetig.

13. Testen, Gauß-Test; Fehler beim Testen, Gütefunktion

Formelsammlung Seite 22.

Dazu findet ihr eine Grunderklärung meinerseits in einer weiteren Datei in diesem Artikel namens

Gauß-Test, mit sehr guter und vornehmlicher Hilfe dieses Linkes:

http://www.fernstudi.net/blogs/null-und-alternativhypothese-gauss-test

Numerische Aufgaben folgen in einer seperaten Datei.

http://www.fernstudi.net/blogs/null-und-alternativhypothese-gauss-test

Grundlagen der Statistik, Klausurübungen, Erklärungen · Die Abbildung stammt von der...

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