GRUNDWISSEN MATHEMATIK

7 Grundwissenskatalog

G8-Lehrplanstandard

Basierend auf den Grundwissenskatalogen des Rhngymnasiums

Bad Neustadt und des Kurt-Huber-Gymnasiums Grfelfing

J O H A N N E S - N E P O M U K - G Y M N A S I U M

Grundwissen Mathematik 7G8

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1 Symmetrische Figuren

Achsensymmetrie

Abbildungsvorschrift der Achsenspiegelung:

Bei gegebener Achse a wird jedem Punkt P

der Ebene ein Bildpunkt P auf folgende

Weise zugeordnet:

Falls P a, liegt P so, dass [PP] von der Achse a senkrecht halbiert wird.

Falls P a ist, gilt P = P (Fixpunkt)

Die Spiegelachse und alle senkrecht zu ihr verlaufenden Geraden

sind Fixgeraden. Eine Figur, die bei einer Achsenspiegelung

wieder auf sich abgebildet wird, heit achsensymmetrisch.

Punktsymmetrie

Abbildungsvorschrift der Punktspiegelung:

Bei gegebenem Zentrum Z wird jedem

Punkt P der Ebene ein Bildpunkt P so

zugeordnet:

Fr P Z liegt P so, dass P PZ

und PZ = P'Z ( so auch Konstruktion)

Fr P = Z ist P = Z (Fixpunkt).

Alle Geraden durch Z sind Fixgeraden. Eine Figur, die bei einer

Punktspiegelung (180-Drehung um ein Symmetriezentrum)

wieder auf sich abgebildet wird, heit punktsymmetrisch.

a

A

C

A B=B

C

Z A

B

C

C

A B

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2 Besondere Vierecke

Parallelogramm

Ein Viereck, bei dem je zwei Gegenseiten

parallel sind, heit Parallelogramm.

Jede der folgenden Aussagen ist gleichwertig:

Das Parallelogramm ist punktsymmetrisch.

Im Parallelogramm halbieren sich die Diagonalen gegenseitig.

Sonderflle:

Die Raute ist ein Parallelogramm mit 4 gleich langen Seiten

(zweifach diagonalsymmetrisch).

Das Rechteck ist ein Parallelogramm mit 4 gleich groen

Winkeln (zweifach mittensymmetrisch).

Das Quadrat ist ein Parallelogramm mit 4 gleich langen Seiten

und 4 gleich groen Winkeln

(jeweils zweifach diagonal- und mittensymmetrisch).

Trapez

Ein Viereck, bei dem zwei Seiten parallel

sind, heit Trapez.

Ein einfach mittensymmetrisches Trapez heit auch

gleichschenkliges Trapez.

Drachenviereck

Ein Viereck heit Drachenviereck, wenn es

eine Symmetrieachse durch zwei Gegenecken

hat (einfach diagonalsymmetrisch).

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2

2

2

2 h

g

1

1 1

1

3 Stze ber Winkel

Geradenkreuzung:

Zwei Geraden, die sich in einem Punkt

schneiden, nennt man eine Geraden-

kreuzung. Nebeneinander liegende

Winkel heien Nebenwinkel, sie

ergeben zusammen stets 1800. Gegenberliegende Winkel heien

Scheitelwinkel. Sie sind gleich gro.

Doppelkreuzung:

Die Winkelpaare 1 und 2, 1 und 2,

1 und 2 sowie 1 und 2 heien

Stufenwinkel (F-Winkel).

1 und 2, 1 und 2, 1 und 2 sowie 1

und 2 heien Wechselwinkel (Z-

Winkel).

1 und 2, sowie 1 und 2 heien Nachbarwinkel

Stufen- und Wechselwinkel sind genau dann gleich gro, wenn

die Geraden g und h parallel sind; dann ergnzen sich auch

Nachbarwinkel zu 180

Innenwinkel bei Dreiecken und Vierecken:

Die Summe der Innenwinkel ergibt im Dreieck 180, in jedem

Viereck 360. Die Winkelsumme im n-Eck betrgt (n - 2) 180

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4 Besondere Dreiecke

Das gleichschenklige Dreieck

Ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten

(Schenkel) heit gleichschenklig. Die dritte Seite

heit Basis.

Jede der folgenden Aussagen ist gleichwertig:

Das Dreieck ist gleichschenklig.

Das Dreieck ist achsensymmetrisch.

Das Dreieck besitzt zwei gleich groe Winkel. Basis

Das gleichseitige Dreieck

Ein Dreieck mit drei gleich langen Seiten

heit gleichseitig. Seine Innenwinkel

betragen jeweils 600.

Das rechtwinklige Dreieck

Ein Dreieck ABC hat genau dann bei C

einen rechten Winkel, wenn C auf dem

Halbkreis ber [AB] liegt. (Thaleskreis)

Die Schenkel des rechten Winkels sind die

Katheten, die Gegenseite des rechten

Winkels ist die Hypotenuse (lngste Seite).

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A

B

C

AB

C

5 Besondere Linien im Dreieck

Jedes Dreieck besitzt einen Umkreis. Sein

Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der

Mittelsenkrechten zu den Dreiecksseiten

(kann innerhalb, auerhalb des Dreiecks

oder auf einer Seite liegen).

In jedem Dreieck schneiden sich die

Winkelhalbierenden in genau einem

Punkt, dem Inkreismittelpunkt.

Im Dreieck schneiden sich die Hhen in

genau einem Punkt.

Im Dreieck schneiden sich die

Seitenhalbierenden im sogenannten

Schwerpunkt.

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6 Kongruenz

Figuren, die sich beim Aufeinanderlegen decken, heien

deckungsgleich oder kongruent.

Sind zwei Figuren F und G kongruent, so schreibt man kurz:

F G.

In kongruenten Figuren sind einander entsprechende Winkel

gleich gro und einander entsprechende Seiten gleich lang.

Kongruenzstze fr Dreiecke

SSS: Dreiecke sind kongruent, wenn sie in allen Seiten

bereinstimmen.

SWS: Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und

dem Zwischenwinkel bereinstimmen.

WSW Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seite und

SWW: zwei gleichliegenden Winkeln bereinstimmen.

SsW: Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und

dem Gegenwinkel der greren Seite bereinstimmen.

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AB

Mittelsenkrechte

G

H

a

waw

S

Beziehungen zwischen Seiten und Winkeln:

In jedem Dreieck liegt der lngsten Seite der grte Winkel

gegenber. Jede Seite ist kleiner als die Summe der anderen

Dreiecksseiten.

7 Konstruktionen

Symmetriepunkt

1. Kreise um A und B (beliebig auf a) mit Radien AP und BP

2. P ist zweiter Schnittpunkt der beiden Kreise

Mittelsenkrechte

(Symmetrieachse bzw. damit Symmetriezentrum zu A,B)

1. Kreis um A und B mit gleichem Radius r

2. Gerade durch die Schnittpunkte ist die Mittelsenkrechte von [AB]

Winkelhalbierende

1. Kreis um S mit beliebigem Radius r schneidet die beiden Schenkel des Winkels

in G und H

2. Mittelsenkrechte zu [GH] ist die Winkelhalbierende

w

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Pg

AB

Lot errichten (Pg)

1. Kreis um P schneidet die Gerade g in A und B. 2. Mittelsenkrechte der Strecke [AB] ist das

gesuchte Lot

Lot fllen (Pg)

1. Spiegle P an der Achse g. 2. Gerade PP ist das gesuchte Lot.

8 Terme Terme mit Variablen

Treten in einem Term (Rechenausdruck) verschiedene Variablen

auf, dann drfen diese mit verschiedenen oder mit gleichen

Zahlen belegt werden.

Tritt aber dieselbe Variable mehrmals in einem Term auf, so

muss sie jeweils mit derselben Zahl belegt werden.

Erst wenn man die Variablen in einem Term mit Zahlen belegt,

erhlt man den Wert des Terms.

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Beispiele:

T(x) = x2 - 3x T(-4) = (-4)2 - 3(-4) = 16 + 12 = 28

T(a;b) = 2b a T(3;2) = 22 3 = 4 9 = 5

Beachte:

3 x = 3x

x = x x x

Termumformungen

Umformungen sind nach den gltigen Rechengesetzen

(Kommutativ- und Assoziativgesetze, Klammerregeln) mglich.

quivalente Terme liefern beim Einsetzen gleicher Zahlen fr die

Variable gleiche Termwerte.

Distributivgesetz:

a(bc) = ab ac

Klammern auflsen:

Steht ein Plus vor der Klammer, kann man die Klammer ohne

weiteres weglassen. Steht ein Minus vor der Klammer, lsst man

die Klammer weg und kehrt gleichzeitig alle Rechenzeichen in

der Klammer um.

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Beispiele:

y + [3x + (5x 2y)] = y + [3x + 5x 2y] = y + 3x + 5x 2y

x - (y2 - 2x) + y2 = x - y2 + 2x + y2

Termglieder zusammenfassen:

Summen werden vereinfacht, indem man gleichartige

Summanden zusammenfasst.

Beispiel: x - y2 + 2x + y

2 = x + 2x - y

2 + y

2 = 3x

Bei einer Summe ungleichartiger Terme, etwa 3a + 4a2, ist kein

Zusammenfassen mglich.

Bei einer Summe von Produkten werden zunchst die einzelnen

Produkte vereinfacht. Dann werden die Summanden, in denen die

gleichen Variablen mit jeweils derselben Potenz vorkommen,

zusammengefasst.

Beispiele:

3x + (5x) + 3x = 3x + 25x + 3x = 28x + 3x

3x 4x + 2 x 5x = 12x + 10x = 22x

Multiplizieren von Summen:

Zwei Summen werden multipliziert, indem man jeden

Summanden der ersten Klammer mit allen Summanden der

zweiten Klammer multipliziert (unter Bercksichtigung der

Vorzeichen) und die Produkte addiert:

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(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd

Beispiele:

(2x + 3y)(3 - 4x) = 6x - 8x2 + 9y - 12xy

(3x 2y)(4x 10)=12x - 30x 8xy + 20y

Faktorisieren:

Durch Ausklammern gemeinsamer Faktoren oder mit Hilfe der

binomischen Formeln kann man bestimmte Summen

faktorisieren.

Beispiele:

-4a + 4b = -4(a b)

ac + bc ad bd = c(a + b) d (a + b) = (a + b) (c d)

9 Lineare Gleichungen

Die Lsungsmenge einer Gleichung ndert sich nicht, wenn man

auf beiden Seiten dieselbe Zahl oder denselben Term addiert

(subtrahiert) oder auf beiden Seiten mit derselben von Null

verschiedenen Zahl multipliziert (dividiert). Solche

Umformungen sind quivalenzumformungen.

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Eine lineare Gleichung hat entweder genau eine Zahl

5 0,5x = 3 + 0,75x | + 0,5x

5 = 3 +1,25x | - 3

2 = 1,25x | : 1,25

1,6 = x

L = {1,6} falls G =

L = { } falls G =

oder keine Zahl (unerfllbare Gleichung)

5 0,5x = 3 0,5x | + 0,5x

5 = 3

L = {}

oder alle Zahlen der Grundmenge (allgemeingltige Gleichung)

als Lsung. 3 0,5x = 3 0,5x | + 0,5x 3 = 3

L = G

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10 Daten und Diagramme

Das arithmetische Mittel (=Mittelwert) einer Datenreihe erhlt

man, wenn man alle Werte addiert und den Summenwert dann

durch die Anzahl der Werte dividiert.

Beispiel: Notenverteilung bei einer Mathematikschulaufgabe

Note 1 2 3 4 5 6

Anzahl 2 7 8 7 5 1

(1 2 + 2 7 + 3 8 + 4 7 + 5 5 + 6 1) : 30 = 3,3

Verschiedene Diagrammtypen zu obigem Beispiel:

Sulendiagramm Balkendiagramm

Liniendiagramm Kreisdiagramm

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 2 3 4 5 6

An

zah

l

Note0 2 4 6 8 10

1

2

3

4

5

6

Anzahl

No

te

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 2 3 4 5 6

An

za

hl

Note

Note 17%

Note 223%

Note 327%

Note 423%

Note 517%

Note 63%