GRUNDWISSEN MATHEMATIK · Im Parallelogramm halbieren sich die Diagonalen gegenseitig. ... gleichen...

GRUNDWISSEN MATHEMATIK

7 Grundwissenskatalog

G8-Lehrplanstandard

Basierend auf den Grundwissenskatalogen des Rhöngymnasiums

Bad Neustadt und des Kurt-Huber-Gymnasiums Gräfelfing

J O H A N N E S - N E P O M U K - G Y M N A S I U M

Grundwissen Mathematik 7G8

Seite 2 von 14 JNG Rohr

1 Symmetrische Figuren

Achsensymmetrie

Abbildungsvorschrift der Achsenspiegelung:

Bei gegebener Achse a wird jedem Punkt P

der Ebene ein Bildpunkt P’ auf folgende

Weise zugeordnet:

Falls P a, liegt P’ so, dass [PP’] von

der Achse a senkrecht halbiert wird.

Falls P a ist, gilt P = P’ (Fixpunkt)

Die Spiegelachse und alle senkrecht zu ihr verlaufenden Geraden

sind Fixgeraden. Eine Figur, die bei einer Achsenspiegelung

wieder auf sich abgebildet wird, heißt achsensymmetrisch.

Punktsymmetrie

Abbildungsvorschrift der Punktspiegelung:

Bei gegebenem Zentrum Z wird jedem

Punkt P der Ebene ein Bildpunkt P’ so

zugeordnet:

Für P ≠ Z liegt P’ so, dass P’ PZ

und PZ = P'Z (→ so auch Konstruktion)

Für P = Z ist P’ = Z (Fixpunkt).

Alle Geraden durch Z sind Fixgeraden. Eine Figur, die bei einer

Punktspiegelung (180°-Drehung um ein Symmetriezentrum)

wieder auf sich abgebildet wird, heißt punktsymmetrisch.

a

A

C

A’ B=B’

C’

Z A

B

C

C’

A’ B’



2 Besondere Vierecke

Parallelogramm

Ein Viereck, bei dem je zwei Gegenseiten

parallel sind, heißt Parallelogramm.

Jede der folgenden Aussagen ist gleichwertig:

Das Parallelogramm ist punktsymmetrisch.

Im Parallelogramm halbieren sich die Diagonalen gegenseitig.

Sonderfälle:

Die Raute ist ein Parallelogramm mit 4 gleich langen Seiten

(zweifach diagonalsymmetrisch).

Das Rechteck ist ein Parallelogramm mit 4 gleich großen

Winkeln (zweifach mittensymmetrisch).

Das Quadrat ist ein Parallelogramm mit 4 gleich langen Seiten

und 4 gleich großen Winkeln

(jeweils zweifach diagonal- und mittensymmetrisch).

Trapez

Ein Viereck, bei dem zwei Seiten parallel

sind, heißt Trapez.

Ein einfach mittensymmetrisches Trapez heißt auch

gleichschenkliges Trapez.

Drachenviereck

Ein Viereck heißt Drachenviereck, wenn es

eine Symmetrieachse durch zwei Gegenecken

hat (einfach diagonalsymmetrisch).



2

2

2

2

h

g

1

1 1

1

3 Sätze über Winkel

Geradenkreuzung:

Zwei Geraden, die sich in einem Punkt

schneiden, nennt man eine Geraden-

kreuzung. Nebeneinander liegende

Winkel heißen Nebenwinkel, sie

ergeben zusammen stets 1800. Gegenüberliegende Winkel heißen

Scheitelwinkel. Sie sind gleich groß.

Doppelkreuzung:

Die Winkelpaare 1 und 2, 1 und 2,

1 und 2 sowie 1 und 2 heißen

Stufenwinkel (F-Winkel).

1 und 2, 1 und 2, 1 und 2 sowie 1

und 2 heißen Wechselwinkel (Z-

Winkel).

1 und 2, sowie 1 und 2 heißen Nachbarwinkel

Stufen- und Wechselwinkel sind genau dann gleich groß, wenn

die Geraden g und h parallel sind; dann ergänzen sich auch

Nachbarwinkel zu 180°

Innenwinkel bei Dreiecken und Vierecken:

Die Summe der Innenwinkel ergibt im Dreieck 180°, in jedem

Viereck 360°. Die Winkelsumme im n-Eck beträgt (n - 2) ∙ 180°



4 Besondere Dreiecke

Das gleichschenklige Dreieck

Ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten

(Schenkel) heißt gleichschenklig. Die dritte Seite

heißt Basis.

Jede der folgenden Aussagen ist gleichwertig:

Das Dreieck ist gleichschenklig.

Das Dreieck ist achsensymmetrisch.

Das Dreieck besitzt zwei gleich große

Winkel. Basis

Das gleichseitige Dreieck

Ein Dreieck mit drei gleich langen Seiten

heißt gleichseitig. Seine Innenwinkel

betragen jeweils 600.

Das rechtwinklige Dreieck

Ein Dreieck ABC hat genau dann bei C

einen rechten Winkel, wenn C auf dem

Halbkreis über [AB] liegt. (Thaleskreis)

Die Schenkel des rechten Winkels sind die

Katheten, die Gegenseite des rechten

Winkels ist die Hypotenuse (längste Seite).



A

B

C

AB

C

5 Besondere Linien im Dreieck

Jedes Dreieck besitzt einen Umkreis. Sein

Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der

Mittelsenkrechten zu den Dreiecksseiten

(kann innerhalb, außerhalb des Dreiecks

oder auf einer Seite liegen).

In jedem Dreieck schneiden sich die

Winkelhalbierenden in genau einem

Punkt, dem Inkreismittelpunkt.

Im Dreieck schneiden sich die Höhen in

genau einem Punkt.

Im Dreieck schneiden sich die

Seitenhalbierenden im sogenannten

Schwerpunkt.



6 Kongruenz

Figuren, die sich beim Aufeinanderlegen decken, heißen

deckungsgleich oder kongruent.

Sind zwei Figuren F und G kongruent, so schreibt man kurz:

F G.

In kongruenten Figuren sind einander entsprechende Winkel

gleich groß und einander entsprechende Seiten gleich lang.

Kongruenzsätze für Dreiecke

SSS: Dreiecke sind kongruent, wenn sie in allen Seiten

übereinstimmen.

SWS: Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und

dem Zwischenwinkel übereinstimmen.

WSW Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seite und

SWW: zwei gleichliegenden Winkeln übereinstimmen.

SsW: Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und

dem Gegenwinkel der größeren Seite übereinstimmen.



AB

Mittelsenkrechte

G

H

a

waw

S

Beziehungen zwischen Seiten und Winkeln:

In jedem Dreieck liegt der längsten Seite der größte Winkel

gegenüber. Jede Seite ist kleiner als die Summe der anderen

Dreiecksseiten.

7 Konstruktionen

Symmetriepunkt

1. Kreise um A und B (beliebig auf a) mit

Radien AP und BP

2. P‘ ist „zweiter“ Schnittpunkt der

beiden Kreise

Mittelsenkrechte

(Symmetrieachse bzw. damit Symmetriezentrum zu A,B)

1. Kreis um A und B mit gleichem Radius

r

2. Gerade durch die Schnittpunkte ist die

Mittelsenkrechte von [AB]

Winkelhalbierende

1. Kreis um S mit beliebigem Radius r

schneidet die beiden Schenkel des Winkels

in G und H

2. Mittelsenkrechte zu [GH] ist die

Winkelhalbierende

w



Pg

AB

Lot errichten (Pg)

1. Kreis um P schneidet die Gerade g in A und B.

2. Mittelsenkrechte der Strecke [AB] ist das

gesuchte Lot

Lot fällen (Pg)

1. Spiegle P an der Achse g.

2. Gerade PP’ ist das gesuchte Lot.

8 Terme Terme mit Variablen

Treten in einem Term (Rechenausdruck) verschiedene Variablen

auf, dann dürfen diese mit verschiedenen oder mit gleichen

Zahlen belegt werden.

Tritt aber dieselbe Variable mehrmals in einem Term auf, so

muss sie jeweils mit derselben Zahl belegt werden.

Erst wenn man die Variablen in einem Term mit Zahlen belegt,

erhält man den Wert des Terms.



Beispiele:

T(x) = x2 - 3x T(-4) = (-4)2 - 3∙(-4) = 16 + 12 = 28

T(a;b) = 2b – a² T(3;2) = 2∙2 – 3² = 4 – 9 = –5

Beachte:

3 x = 3x

x³ = x ∙ x ∙ x

Termumformungen

Umformungen sind nach den gültigen Rechengesetzen

(Kommutativ- und Assoziativgesetze, Klammerregeln) möglich.

Äquivalente Terme liefern beim Einsetzen gleicher Zahlen für die

Variable gleiche Termwerte.

Distributivgesetz:

a(b±c) = ab ± ac

Klammern auflösen:

Steht ein Plus vor der Klammer, kann man die Klammer ohne

weiteres weglassen. Steht ein Minus vor der Klammer, lässt man

die Klammer weg und kehrt gleichzeitig alle Rechenzeichen in

der Klammer um.



Beispiele:

y + [3x + (5x – 2y)] = y + [3x + 5x – 2y] = y + 3x + 5x – 2y

x - (y2 - 2x) + y2 = x - y2 + 2x + y2

Termglieder zusammenfassen:

Summen werden vereinfacht, indem man gleichartige

Summanden zusammenfasst.

Beispiel: x - y2 + 2x + y

2 = x + 2x - y

2 + y

2 = 3x

Bei einer Summe ungleichartiger Terme, etwa 3a + 4a2, ist kein

Zusammenfassen möglich.

Bei einer Summe von Produkten werden zunächst die einzelnen

Produkte vereinfacht. Dann werden die Summanden, in denen die

gleichen Variablen mit jeweils derselben Potenz vorkommen,

zusammengefasst.

Beispiele:

3x² + (5x)² + 3x = 3x² + 25x² + 3x = 28x² + 3x

3x ∙ 4x + 2 x 5x = 12x² + 10x² = 22x²

Multiplizieren von Summen:

Zwei Summen werden multipliziert, indem man jeden

Summanden der ersten Klammer mit allen Summanden der

zweiten Klammer multipliziert (unter Berücksichtigung der

Vorzeichen) und die Produkte addiert:



(a+b)·(c+d) = ac + ad + bc + bd

Beispiele:

(2x + 3y)(3 - 4x) = 6x - 8x2 + 9y - 12xy

(3x – 2y)(4x – 10)=12x² - 30x – 8xy + 20y

Faktorisieren:

Durch Ausklammern gemeinsamer Faktoren oder mit Hilfe der

binomischen Formeln kann man bestimmte Summen

faktorisieren.

Beispiele:

-4a + 4b = -4(a – b)

ac + bc – ad – bd = c(a + b) – d (a + b) = (a + b) (c – d)

9 Lineare Gleichungen

Die Lösungsmenge einer Gleichung ändert sich nicht, wenn man

auf beiden Seiten dieselbe Zahl oder denselben Term addiert

(subtrahiert) oder auf beiden Seiten mit derselben von Null

verschiedenen Zahl multipliziert (dividiert). Solche

Umformungen sind Äquivalenzumformungen.



Eine lineare Gleichung hat entweder genau eine Zahl

5 – 0,5x = 3 + 0,75x | + 0,5x

5 = 3 +1,25x | - 3

2 = 1,25x | : 1,25

1,6 = x

L = {1,6} falls G =

L = { } falls G =

oder keine Zahl (unerfüllbare Gleichung)

5 – 0,5x = 3 – 0,5x | + 0,5x

5 = 3

L = {}

oder alle Zahlen der Grundmenge (allgemeingültige Gleichung)

als Lösung. 3 – 0,5x = 3 – 0,5x | + 0,5x

3 = 3

L = G



10 Daten und Diagramme

Das arithmetische Mittel (=Mittelwert) einer Datenreihe erhält

man, wenn man alle Werte addiert und den Summenwert dann

durch die Anzahl der Werte dividiert.

Beispiel: Notenverteilung bei einer Mathematikschulaufgabe

Note 1 2 3 4 5 6

Anzahl 2 7 8 7 5 1

(1· 2 + 2· 7 + 3· 8 + 4 · 7 + 5· 5 + 6 · 1) : 30 = 3,3

Verschiedene Diagrammtypen zu obigem Beispiel:

Säulendiagramm Balkendiagramm

Liniendiagramm Kreisdiagramm

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 2 3 4 5 6

An

zah

l

Note0 2 4 6 8 10

1

2

3

4

5

6

Anzahl

No

te

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 2 3 4 5 6

An

za

hl

Note

Note 17%

Note 223%

Note 327%

Note 423%

Note 517%

Note 63%

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