Grundwissen Mathematik 9 . Welfen-Gymnasium Schongau 1 Grundwissen Mathematik 9 . Klasse Wissen...

Grundwissen Mathematik 9 . Welfen-Gymnasium Schongau 1 Grundwissen Mathematik 9 . Klasse Wissen Aufgaben/Beispiele
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  • Welfen-Gymnasium Schongau 1

    Grundwissen Mathematik 9 . Klasse Wissen Aufgaben/Beispiele LΓΆsungen Quadratwurzeln:

    βˆšπ’‚ , 𝒂 β‰₯ 𝟎 ist diejenige nichtnegative Zahl, deren Quadrat a ergibt.

    D.h.: βˆšπ‘Ž ist die nichtnegative LΓΆsung der Gleichung xΒ² = a . Irrationale Zahlen:

    Es gibt Zahlen a > 0, fΓΌr die βˆšπ‘Ž keine rationale Zahl ist. Irrationale Zahlen lassen sich als unendliche, nichtperiodische DezimalbrΓΌche schreiben. Reelle Zahlen ℝ: Rationale und irrationale Zahlen ergeben zusammen die Menge der Reellen Zahlen ℝ.

    1. Berechne:

    a) √1,44 b) √ 49

    64

    c) √(βˆ’0,6)Β² d) √1 9

    16

    2. ErgΓ€nze den Satzbeginn durch β€žJedeβ€œ, β€žMancheβ€œ oder β€žKeineβ€œ. Gib jeweils ein Beispiel an: a) … irrationale Zahl ist eine reelle Zahl. b) … reelle Zahl(en) ist eine (sind) irrationale Zahl(en).

    1.a) 1,2

    b) 7

    8

    c) √0,6² =0,6

    d) √ 25

    16 =

    5

    4

    2.a) β€žJedeβ€œ z.B. √3 b) β€žMancheβ€œ

    z.B. √3πœ–β„ und √3 ist irrational, aber -4 πœ–β„ aber -4 ist nicht

    irrational.

    Rechnen mit Quadratwurzeln:

    β†’ FΓΌr alle 𝒂𝝐ℝ gilt: βˆšπ’‚Β² = |𝒂|

    β†’ βˆšπ’‚ βˆ™ βˆšπ’ƒ = βˆšπ’‚ βˆ™ 𝒃 β€žMultiplikationsregelβ€œ

    β†’ βˆšπ’‚: βˆšπ’ƒ = βˆšπ’‚: 𝒃 β€žDivisionsregelβ€œ

    Aber: βˆšπ’‚ + βˆšπ’ƒ β‰  βˆšπ’‚ + 𝒃

    1. Ziehe teilweise die Wurzel:

    a) √147

    b) √25𝑑³ 2. Vereinfache (ohne TR):

    a) 6√5 βˆ’ √5 + 2√5

    b) √9π‘Ž5 βˆ’ βˆšπ‘ŽΒ³

    1.a) = √49 βˆ™ 3 = √49 βˆ™ √3 = 7√3

    b) = √25𝑑² βˆ™ 𝑑 = 5 βˆ™ |𝑑|βˆšπ‘‘

    2.a) = √5 βˆ™ (6 βˆ’ 1 + 2) = 7√5

    b) = √9π‘Ž4 βˆ™ π‘Ž βˆ’ βˆšπ‘Ž2 βˆ™ π‘Ž =

    = 3π‘ŽΒ²βˆšπ‘Ž βˆ’ |π‘Ž|βˆšπ‘Ž

    Binomische Formeln:

    β†’ (a + b)Β² = aΒ² + 2ab + bΒ² 1.binomische Formel

    β†’ (a – b)Β² = aΒ² - 2ab + bΒ² 2.binomische Formel

    β†’ (a + b)(a – b) = aΒ² - bΒ² 3.binomische Formel

    1. Schreibe als Produkt: a) 100xΒ² - 140x + 49 b) 3aΒ² - 30a + 75 2. ErgΓ€nze zu einer binomischen Formel: a) 0,16𝑏² βˆ’ βˆ† + βˆ‡ = (0,4b – 6c)Β²

    b) 1

    16 π‘Ÿ4 + βˆ† + 2 = (βˆ† β‹„ βˆ‡)Β²

    3. Mache den Nenner rational:

    π‘¦βˆ’6

    βˆšπ‘¦+√6 , (𝑦 β‰₯ 0)

    1.a) = (10π‘₯)Β² βˆ’ 2 βˆ™ 10π‘₯ βˆ™ 7 + 7Β²= = (10π‘₯ βˆ’ 7)Β² b) = 3(π‘ŽΒ² βˆ’ 10π‘Ž + 25) = 3(π‘Ž βˆ’ 5)Β² 2.a) = 0,16𝑏² βˆ’ 4,8𝑏𝑐 + 36𝑐² = (0,4𝑏 βˆ’ 6𝑐)Β²

    b) = 1

    16 π‘Ÿ4 +

    1

    2 √2π‘ŸΒ² + 2

    = ( 1

    4 π‘ŸΒ² + √2) Β²

    3. = (π‘¦βˆ’6)(βˆšπ‘¦βˆ’βˆš6)

    (βˆšπ‘¦+√6)(βˆšπ‘¦βˆ’βˆš6) =

    (π‘¦βˆ’6)(βˆšπ‘¦βˆ’βˆš6)

    (π‘¦βˆ’6) =

    βˆšπ‘¦ βˆ’ √6

  • Welfen-Gymnasium Schongau 2

    n-te Wurzeln: FΓΌr π‘Ž β‰₯ 0 versteht man unter βˆšπ’‚ 𝒏

    die nichtnegative LΓΆsung der Gleichung 𝒙𝒏 = 𝒂; (𝒏 ∈ β„•)

    Schreibweise: βˆšπ’‚ 𝒏

    = 𝒂 𝟏

    𝒏 Potenzen mit rationalen Exponenten: FΓΌr 𝒂 β‰₯ 𝟎 gilt:

    𝒂 𝒑

    𝒒 = βˆšπ’‚π’‘ 𝒒

    = (βˆšπ’‚ 𝒒

    ) 𝒑

    ; (𝒑 ∈ β„€, 𝒒 ∈ β„•)

    Rechengesetze: Gleiche Basis Gleiche Exponenten 𝒂𝒓 βˆ™ 𝒂𝒔 = 𝒂𝒓+𝒔 𝒂𝒓 βˆ™ 𝒃𝒓 = (𝒂 βˆ™ 𝒃)𝒓 𝒂𝒓: 𝒂𝒔 = π’‚π’“βˆ’π’” 𝒂𝒓: 𝒃𝒓 = (𝒂: 𝒃)𝒓 (𝒂𝒓)𝒔 = π’‚π’“βˆ™π’” (𝒂, 𝒃 ∈ β„š+, 𝒓, 𝒔 ∈ β„š)

    1. Vereinfache und gib das Ergebnis als Wurzel an:

    a) √3 4

    βˆ™ √3 5

    b) √29 4

    : √27

    c) √√5 36

    2. Vereinfache:

    2 βˆ™ √16 3

    + 5 βˆ™ √250 3

    1.a) = 3 1

    4 βˆ™ 3 1

    5 = 3 1

    4 +

    1

    5 = 3 9

    20 =

    √39 20

    b) = 2 9

    4: 2 7

    2 = 2 9

    4 βˆ’

    7

    2 = 2βˆ’ 5

    4 = 1

    √25 4

    c) = (5 1

    3)

    1

    6 = 5

    1

    18 = √5 18

    2. = 2 βˆ™ √2 βˆ™ 8 3

    + 5 βˆ™ √2 βˆ™ 125 3

    =

    = 2 βˆ™ 2 βˆ™ √2 3

    + 5 βˆ™ 5 βˆ™ √2 3

    =

    = √2 3

    βˆ™ (4 + 25) = √2 3

    βˆ™ 29

    Kathetensatz: 𝒂² = 𝒄 βˆ™ 𝒑 Satz des Pythagoras: 𝒂² + 𝒃² = 𝒄² 𝒃² = 𝒄 βˆ™ 𝒒

    1. Ein rechtwinkliges Dreieck ABC hat die Hypotenusenabschnitte p = 3cm und q = 7cm. Berechne alle SeitenlΓ€ngen sowie den FlΓ€cheninhalt des Dreiecks.

    2. Elfmeter: Thomas knallt den Ball in einer HΓΆhe von 1,50m an den Pfosten. Welche Strecke legt der Ball dabei (geradlinige Flugbahn voraus- gesetzt) zurΓΌck ? Das Tor ist 7,32m breit und 2,44m hoch.

    1. c = p + q = 10 cm π‘Ž2 = 𝑐 βˆ™ 𝑝

    β‡’ π‘Ž = √10π‘π‘š βˆ™ 3π‘π‘š = 5,5π‘π‘š

    𝑏 = βˆšπ‘ βˆ™ π‘ž = 8,4π‘π‘š

    A = 1

    2 βˆ™ π‘Ž βˆ™ 𝑏 = 23,1π‘π‘šΒ²

    2. 𝑐 = √(11π‘š)Β² + (0,5 βˆ™ 7,32π‘š)Β² = 11,59m

    𝑠 = βˆšπ‘Β² + β„ŽΒ²= 11,69m

    HΓΆhensatz: 𝒉² = 𝒑 βˆ™ 𝒒

    Im unten abgebildeten Dreieck (nicht maßstabs-getreu) ist h = 6,0cm und q = 18,0cm. Berechne die SeitenlÀngen a, b und c.

    β„ŽΒ² = 𝑝 βˆ™ π‘ž β‡’ 𝑝 = β„Ž2

    π‘ž = 2,0π‘π‘š

    𝑐 = 𝑝 + π‘ž = 20,0π‘π‘š π‘Ž2 = 𝑐 βˆ™ 𝑝 = 40,0π‘π‘š2 β‡’ π‘Ž = 6,3π‘π‘š 𝑏² = 𝑐 βˆ™ π‘ž = 360π‘π‘šΒ² β‡’ 𝑏 = 19,0π‘π‘š

  • Welfen-Gymnasium Schongau 3

    Quadratische Funktionen: Eine Funktion der Form 𝒇: 𝒙 β†’ 𝒂𝒙² + 𝒃𝒙 + 𝒄 ; (𝒂 β‰  𝟎) heißt quadratische Funktion.

    Der Graph einer quadratischen Fkt. heißt Parabel. Der hâchste bzw. tiefste Punkt des Graphen heißt Scheitel.

    Scheitelpunktsform: 𝒇(𝒙) = 𝒂(𝒙 βˆ’ 𝒅)𝟐 + 𝒆 Der Graph von f ist eine Parabel mit dem Scheitel S(d/e) und dem Formfaktor a. 𝒂 > 𝟎 β‡’ 𝑷𝒂𝒓𝒂𝒃𝒆𝒍 𝒏𝒂𝒄𝒉 𝒐𝒃𝒆𝒏 π’ˆπ’†ΓΆπ’‡π’‡π’π’†π’• 𝒂 < 𝟎 β‡’ 𝑷𝒂𝒓𝒂𝒃𝒆𝒍 𝒏𝒂𝒄𝒉 𝒖𝒏𝒕𝒆𝒏 π’ˆπ’†ΓΆπ’‡π’‡π’π’†π’• |𝒂| > 𝟏 β‡’ 𝑷𝒂𝒓𝒂𝒃𝒆𝒍 π’Šπ’”π’• π’†π’π’ˆπ’†π’“ 𝒂𝒍𝒔 π’…π’Šπ’† π‘΅π’π’“π’Žπ’‚π’π’‘π’‚π’“π’‚π’ƒπ’†π’ |𝒂| < 𝟏 β‡’ 𝑷𝒂𝒓𝒂𝒃𝒆𝒍 π’Šπ’”π’• π’˜π’†π’Šπ’•π’†π’“ 𝒂𝒍𝒔 π’…π’Šπ’† π‘΅π’π’“π’Žπ’‚π’π’‘π’‚π’“π’‚π’ƒπ’†π’

    1. Gib zu den abgebildeten Parabeln jeweils die Scheitelpunktsform an:

    2. Beschreibe den Graphen der Funktion

    𝑓: π‘₯ β†’ βˆ’3π‘₯2 βˆ’ 24π‘₯ βˆ’ 50 mΓΆglichst genau, indem du den Funktions- term auf die Scheitelpunktsform bringst.

    1. 𝑓: 𝑦 = βˆ’(π‘₯ + 1)2 + 3

    𝑔: 𝑦 = 1

    2 (π‘₯ βˆ’ 2)Β² βˆ’ 1

    2. 𝑓(π‘₯) = βˆ’3(π‘₯2 + 8π‘₯)2 βˆ’ 50 = =

    βˆ’3(π‘₯2 + 2 βˆ™ 4π‘₯ + 42 βˆ’ 42) βˆ’ 50= = βˆ’3(π‘₯ + 4)2 + 3 βˆ™ 16 βˆ’ 50=

    = βˆ’3(π‘₯ + 4)2 βˆ’ 2

    Gf ist eine nach unten geΓΆffnete Parabel, die enger als die Normalparabel ist. Ihr Scheitel liegt bei S(-4 / -2).

    Quadratische Gleichungen: Eine quadratische Gleichung der Form axΒ² + bx + c = 0 , 𝒂 β‰  𝟎 hat die LΓΆsungen

    π’™πŸ,𝟐 = βˆ’π’ƒΒ±βˆšπ’ƒπŸβˆ’πŸ’π’‚π’„

    πŸπ’‚ .

    Der Term 𝐷 = 𝑏2 βˆ’ 4π‘Žπ‘ heißt Diskriminante. Es gilt: 𝐷 = 0 β‡’ πΊπ‘’π‘›π‘Žπ‘’ 𝑒𝑖𝑛𝑒 𝐿â𝑠𝑒𝑛𝑔; 𝐷 > 0 β‡’ 𝑍𝑀𝑒𝑖 𝐿â𝑠𝑒𝑛𝑔𝑒𝑛

    𝐷 < 0 β‡’ 𝐾𝑒𝑖𝑛𝑒 𝐿â𝑠𝑒𝑛𝑔

    Bestimme die Anzahl der LΓΆsungen sowie, soweit vorhanden die LΓΆsungszahlen:

    a) 2xΒ² + 8x – 42 = 0; b) -xΒ² + 6x – 9 = 0; c) 3xΒ² - 9x + 24 = 0;

    a) D = 20 β‡’ 2 LΓΆsungen x1 = -7 ; x2 = 3

    b) D = √6Β² βˆ’ 4 βˆ™ (βˆ’1) βˆ™ (βˆ’9) = 0 β‡’ Eine LΓΆsung x = 3

    c) D = βˆšβˆ’207 β‡’ Keine LΓΆsung -

  • Welfen-Gymnasium Schongau 4

    Anwendungsaufgaben zu den Quadratfunktionen: - WΓ€hle ein, fΓΌr die Situation mΓΆglichst geschickt gewΓ€hltes

    Koordinatensystem - Stelle darin