Arch. Math., Vol, 46, 118 - 124 (l 986) 0003-889 X/86/4602-0118 $ 2.90/0 �9 1986 Birkh/iuser Verlag, Basel

Gruppen mit modularem Untergruppenverband

Von

ROLAND SCHMIDT

In einer Reihe yon Arbeiten wurden Gruppen mit modularem Untergruppenverband (kurz: M-Gruppen) untersucht, doch konnte bis heute die Struktur dieser Gruppen nicht vollst~indig bestimmt werden. Zwar sind die endlichen M-Gruppen seit langem bekannt (Iwasawa [2], Napolitani [4]), desgleichen diejenigen, die Elemente unendlicher Ordnung enthalten (Iwasawa [3]); das Problem liegt bei den unendlichen Torsionsgruppen und da bei einem ganz speziellen Typ von Gruppen, den sogenannten ,,Tarskigruppen".

D e f i n i t i o n 1. Eine unendliche Gruppe, deren s/imtliche echten, nichttrivialen Untergruppen Primzahlordnung haben, heiBt Tarskigruppe.

Es war lange Zeit unbekannt, ob solche Gruppen/iberhaupt existieren, bevor 1979 von Ol'shanskij [5] erste Beispiele konstruiert wurden. Die Menge der echten, nichttrivialen Untergruppen einer Tarskigruppe G bildet eine unendliche Antikette, und damit ist der Untergruppenverband ~ (G) von G modular. H/ingt man an das Nullelement dieses Verbandes noch eine Kette, so erhglt man wieder einen modularen Verband. Deshalb h/itten Gruppen des folgenden Typs, die wir, da sie aus Tarskigruppen durch Anfiigen eines zyklischen Zentrums entstehen, erweiterte Tarskigruppen nennen wollen, ebenfalls modularen Untergruppenverband.

D e f i n i t i o n 2. Die Gruppe Gist eine erweiterte Tarskigruppe, wenn G einen Nor- malteiler N besitzt, so dal3 gilt:

(a) N ist zyklisch von Primzahlpotenzordnung pr ~ 1. (b) GIN ist eine Tarskigruppe. (c) Fiir alle U < Gist U < N oder N < U.

Ob es solche erweiterten Tarskigruppen gibt, ist unbekannt. Die Bedingung (c) hat zur Folge, dab ffir jede minimale Untergruppe U/N von G/N der Untergruppenverband ~3 (U) eine Kette ist, so dab also U zyklisch der Ordnung p' + ~ sein muB, Damit haben alle minimalen Untergruppen von G/N dieselbe Ordnung p. Ffir geniigend groBes p wurden auch Gruppen dieses Typs yon Ol'shanskij [6] konstruiert. Ob sich fiir eine derartige Gruppe aber die Bedingungen (a) und (c) der Definition 2 erfiillen lassen, ist unklar.

Ziel dieser Note ist es zu zeigen, dab die oben beschriebenen Gruppen alle ,,b6sen" M-Gruppen sin&

Vol. 46, 1986 Gruppen mit modularem Untergruppenverband 119

Satz. Sei G eine Torsionsgruppe. Genau dann hat G modularen Untergruppenverband, wenn G das direkte Produkt yon Tarskigruppen, erweiterten Tarskigruppen und einer lokal endliehen M-Gruppe ist, so daft Elemente aus verschiedenen direkten Faktoren jeweils teilerfremde Ordnungen haben.

Da die lokal endlichen M-Gruppen (und diejenigen mit Elementen unendlicher Ord- nung) von Iwasawa [3] best immt wurden, sind mit dem vorstehenden Satz die Gruppen mit modularem Untergruppenverband vollst/indig charakterisiert bis auf die Frage, ob und welche Tarskigruppen und erweiterte Tarskigruppen existieren.

Zum Beweis des Satzes ben6tigen wir einige Vorbereitungen. Unsere Bezeichnungen sind die allgemein fiblichen, aul3er dab wir U w V ffir das Erzeugnis zweier Untergruppen U und V der Gruppe X schreiben. Ferner bezeichnet ~ (X) den Untergruppenverband, ~2 (X) das Erzeugnis der minimalen Untergruppen sowie n (X) die Menge aller Primteiler der Ordnungen der Elemente von X, und fiir H < K < X ist [K/H] der Verband aller U ~ ~ (X) mit H < U < K. SchlieBlich sei F die Menge aller Primzahlen und n' = IP\n f~r n ~ P.

1. Elemente von Primzahlpotenzordnung. Wichtigstes Hilfsmittel bei unserem Beweis ist der Isomorphiesatz ffir modulare Verbfinde (s. etwa [1], Theorem IV.1.2, S. 162). Ffir Untergruppen U und V der M-Gruppe G gilt danach

(1) [v u v /v] _~ [ v / v ~ v]. Eine erste Folgerung ist:

(2) Sind x, y Elemente der M-Gruppe G mit o (x) = p~, o (y) = qm (p, q ~ ~; n, m E N) und ist

(a) n > m

oder

(b) n = m und (x, y ) eine endliche p-Gruppe,

so ist f2( (x) ) ein Normalteiler yon (x , y) .

B e w e i s. Sei X = ( x ) , Y = ( y ) und y r X, da sonst die Behauptung klar ist. Dann ist [X w Y/X] ~- [Y /X n Y] eine Kette der L/inge < m. Gilt (b), ist also X • Y eine endliche p-Gruppe, so ist die X enthaltende maximale Untergruppe von X u Y normal in X u Y, enth/ilt also X w X y, und folglich ist [X u XY/X] eine Kette der Lfinge < n. Das gilt wegen n > m auch im Fall (a). Somit ist in beiden F/iUen [XY/X c~ X y] ~ [X u XY/X] eine Kette der L/inge < n und daher X ~ X y 4: 1. Es folgt s (X) = s (X y) = s (X) y, also

(x )_ (x, y). Welter ben6tigen wir den einfacheren Teil des Iwasawaschen Struktursatzes ffir endli-

che M-Gruppen (s. [8], Theorem 13, S. 13). (3) Eine endliche M-Gruppe ist direktes Produkt yon Gruppen P1 . . . . . P~ mit paarweise

teilerfremden Ordnungen, so dafljedes Pi entweder eine p-Gruppe mit modularem Untergrup- penverband oder eine P*-Gruppe ist. Dabei ist eine P~-Gruppe ein semidirektes Produkt eines elementarabelschen p-Normalteilers A mit einer zyklischen Gruppe ( t ) der Ordnung qm (p, q ~ ~, mit q [p - 1), so daft t einen Potenzautomorphismus der Ordnung q auf A bewirkt, also f i r ein r ~ Z mit r @ I (rood p) und r q = 1 (rood p) gilt t - 1 a t = a" f i r alle a ~ A .

120 R. SCHMIDT ARCH. MATH.

Aus diesem Satz folgen einige einfache Eigenschaften des Erzeugnisses zweier Elemente x und y von Primzahlpotenzordnung in einer endlichen M-Gruppe G = P1 x -.. x P~.

(4) Ist o(x) = p" und o(y) = q" mit p > q, so ist ( x ) y --- ( x ) . Das ist klar, wenn x und y in verschiedenen Komponenten der direkten Zerlegung von

G liegen. Sind abet x, y e P~, so ist dies eine P~-Gruppe und somit ( x ) <1 p~, da p der gr6gere Primteiler yon I P~I ist.

(5) Sind x, y p-Elemente mit o (x) @ o (y), so ist (x, y ) eine p-Gruppe. Denn diesmal miissen x und y wegen der Teilerfremdheit der Ordnungen der Kompo-

nenten in einem Pi liegen. Ist das eine p-Gruppe oder eine P*-Gruppe und p der gr613ere Primteiler ihrer Ordnung, so ist (x, y ) offenbar eine p-Gruppe. Ist aber Pi eine P*-Gruppe und p der kleinere Primteiler von ] PiI, so liegen die maximalen Untergruppen der p-Sylowgruppen im Zentrum yon P~. Wegen o(x) Je o(y) ist also x oder y in Z(PI) enthalten und dann (x, y ) eine p-Gruppe.

(6) Sind x, y p-Elemente mit o(x) > o(y) und o(x) > p2, SO ist f 2 ( ( X ) ) ~ (X, y) . Denn wieder liegen x und y in einer Komponente P~. Ist diese eine P~-Gruppe, so ist

p wegen o(x) > p2 der kleinere Primteiler yon ]Pi] und dann (x p) > f2((x)) in Z(PI) enthalten. Ist P,. eine p-Gruppe, so folgt die Behauptung aus (2).

Wir untersuchen nun, wann zwei Elemente yon Primzahlpotenzordnung eine unendli- che Untergruppe einer M-Gruppe erzeugen.

Lemma 1. Seien x und y Elemente yon Primzahlpotenzordnung der M-Gruppe G ung sei H = (x, y ) unendlich.

(a) (Rudolph [7]) Ist ( x ) n ( y ) = 1, so ist H e i n e Tarskigruppe. (b) Ist ( x ) n ( y ) @- 1, so ist H e i n e erweiterte Tarskigruppe.

B e w e i s. (a) Diese Aussage folgt sofort aus Satz 2 der Arbeit [7] yon Rudolph. Wir geben zur Bequemlichkeit des Lesers einen kurzen direkten Beweis an, der auch das Baer-Zitat der Rudolphschen Arbeit vermeidet. Wir nehmen an, die Behauptung w/ire falsch, und betrachten ein Gegenbeispiel, in dem o (x) + o (y) m6glichst klein ist. Sei X = ( x ) und r = ( y ) . Nach (1) ist [H/X] _~ [Y/l] und [H/Y] ~ [X/l]. W/iren o(x) und o (y) Primzahlen, so w/iren X und Y also minimale und maximale Untergruppen yon H. Ffir eine echte, nichttriviale Untergruppe U yon H mit o.B.d.A. X $ U w/ire dann U n X = I und U u X = H und somit [U/l] ~ [H/X], d.h. IUI eine Primzahl. Nach Definition I w/ire He ine Tarskigruppe im Widerspruch zur Wahl yon G als Gegenbei- spiel.

Es ist also etwa o(x) keine Primzahl; sei A =~2(X), B =~2(Y). Nach (1) ist [X u B/B] eine Kette und jede minimale Untergruppe yon X u B in dem Atom A w B dieser Kette enthalten. Somit ist A u B = O (X u B)___ X ~ B. Genauso ist A u B = O ( A u Y)___Aw Y u n d damit A u B ~ X u Y = H . N a c h ( 2 ) , ( a ) i s t ferner A___ X u B und folglich insbesondere A u B endlich. Mit Y1 = Y n N~ (A) gilt auf Grund des modularen Gesetzes NH (A) = (X w Y) n NH (A) = X u Y1 und (A u Y1) n X = A u (Y1 n X) = A, so dab die Gruppe NH(A)/A yon den zyklischen Untergruppen X / A und A Y1/A von Primzahlpotenzordnung mit trivialem Schnitt erzeugt wird. Da N H (A)/A den Normalteiler A u B/A von Primzahlordnung enth/ilt, ist es keine Tarski- gruppe, wegen der Minimalit/it yon o (x) + o (y) also endlich. Da ferner alle Konjugierten

Vol. 46, 1986 Gruppen mit modularem Untergruppenverband 121

von A unter H in dem endlichen Normal te i ler A w B von H liegen, ist ihre Anzahl [H:Nn (A)[ ebenfalls endlich; damit ist auch H endlich. Mi t diesem Widerspruch ist (a) bewiesen.

(b) folgt leicht aus (a). Denn H / ( x ) n ( y ) ist unendlich und somit nach (a) eine Tarskigruppe. Ferner ist N = ( x ) n ( y ) < Z (H) zyklisch der Ordnung pr fi.ir ein p �9 ]P, r �9 N, d.h. es sind (a) und (b) aus Definit ion 2 erftillt. G/ibe es eine Untergruppe U von H mit U 5; N und N 5; U, so w/ire D = U c~ N eine echte Untergruppe yon U und N. Mit X = ( x ) g/iRe X n U = D, da ~B (X) eine Kette ist, und somit U 5; X. Da X eine maximale Untergruppe von H ist, folgte U w X = H, und dann w/ire U/D wegen [U/D] ~- [H/X] eine Gruppe von Pr imzahlordnung. D a H/D keine Tarskigruppe ist, w/ire H/D = X /D w U/D nach (a) endlich. Dami t wfire H endlich, ein Widerspruch. Es gilt also auch (c) yon Definit ion 2, und H ist eine erweiterte Tarskigruppe.

2. Tarskinntergruppen. Auf G r u n d yon Lemma I erscheint es sinnvoll, Tarskiunter- gruppen von M - G r u p p e n zu betrachten.

Lemma 2. Sei G eine Torsionsgruppe mit modularem Untergruppenverband und sei T <_ G eine Tarskigruppe.

(a) Ist x e G yon Primzahlpotenzordnung q" (q e ~, n e IN), so gilt x e T ffir q e re(T) und

x e C~ (T) fi~r q • 7~ (T). (b) Es ist T die Menge aller ~z(T)-Elemente yon G und G = T• C c ( T ).

B e w e i s. (b) folgt unmit te lbar aus (a); denn jedes g e G ist P roduk t seiner Prim/ir- komponenten, und daher liegt jedes ~ (T)-Element von G nach (a) in T, ferner jedes g e G i n (T, Cv(T) ) , und wegen T c~ Cv(T) = Z ( T ) = I ist G = T• C~(T).

Zum Beweis von (a) machen wir vollstiindige Indukt ion nach n und behandeln zuerst den Fal l n = 1. Sei also x �9 G mit o(x) = q und sei x ~ ~ wir haben dann x e CG(T ) und q ~ z ( T ) zuzeigen. S e i d a z u X = ( x ) , H = T w X u n d a � 9 1 4 9 T = ( a , b ) und sei S = (b, x) . D a ( b ) und ( x ) verschiedene minimale Untergruppen von H sind und ~8 (H) die Dimension 3 hat, ist S e i n e maximale Untergruppe yon H. W/ire S = S ~, so w/ire S n T = ( b ) unter a invariant, was nicht der Fal l ist. Somit ist S @ S a und S n S ~ eine minimale Untergruppe yon H, die natiirlich von ( a ) verschieden ist, so dab U = ( a ) w (S n S a) wieder eine maximale Untergruppe von H wird. Wegen a ~ S und a ~ S " i s t U n S = S n S a = U n S ~ u n d d a h e r

(S (--i sa)a ~_ ( U v'..i s)a = U ('~ sa = a ("h S a,

d.h. S c~ S" unter a invariant. Insbesondere ist U endlich. Wegen x e S ist X n U = X n S n U = X n (S n sa). W/ire also X 4= S n S a, so w/ire X n U = 1 und folglich X u U = H, so dab mit (1) sich ~B (U) ~ [H/X] ~ fB (T) ergeben wfirde. Das w/ire ein Widerspruch, da U endlich und T unendlich ist. Es ist also X = S c~ S ~ invariant unter ( a ) . D a a �9 T beliebig gew/ihlt war, ist X invariant unter T, und da die einfache Gruppe Tnur trivial auf der zyklischen Gruppe X operieren kann, folgt x �9 Co (T). W/ire schlieg- lich q e ~ (T), so existierte ein a �9 T m i t o (a) = q. Dann w/ire (a, x ) elementar abelsch der Ordnung q2 und a x ein weiteres nicht in T enthaltenes Element der Ordnung q von G. Nach dem bereits Gezeigten w/ire a x e CG(T) und damit dann auch a �9 C~(T), ein Widerspruch. Es ist also q ~ 7z (T) und der Fal l n = 1 erledigt.

122 R. SCHMIDT ARCH. MATH.

Sei nun n > 2 und die Aussage ffir n - 1 richtig; sei wieder X = ( x ) u n d H = T w X sowie Z = f2 (X). W/ire T c~ X 4= 1, so w/ire X nach (1) eine maximale Untergruppe yon H und H = X w Y mit einer echten Untergruppe Y yon T. Nach Lemma 1 w/ire H endlich, ein Widerspruch. Es ist also T c~ X = 1 und nach dem bereits erledigten Fal l n = 1 dann Z<= C a ( T ) und qOgrc(T). Damit ist Z<=Z(H), und nach Indukt ions- annahme wird T Z / Z yon X / Z zentralisiert. Insbesondere ist X ~ H, und da T erneut nur trivial auf der zyklischen Gruppe X operieren kann, folgt x ~ CG(T ). Das war zu zeigen.

Wir beweisen das entsprechende Resultat fiir die erweiterten Tarskigruppen.

Lemma 3. Sei G eine Torsionsgruppe mit modularem Untergruppenverband und T <= G eine erweiterte Tarskigruppe; sei n (T) = {p}.

(a) Ist x ~ G yon Primzahlpotenzordnung q" (q ~ IP, n ~ N), so gilt x ~ T fiir q = p und x ~ C G (T) fi;tr q + p.

(b) Es ist T die Menge aller p-Elemente yon G.

B e w e i s. D a T nur p-Elemente enthglt, folgt (b) offenbar aus (a). Zum Beweis yon (a) zeigen wir zun/ichst, dab Z ( T ) ~ G gilt.

Angenommen, Z ( T ) w/ire nicht normal in G. Dann existierte ein g ~ G mit z ( r ) ~ 4= Z ( T ) und ein c e Z ( T ) ~ mit (c p) = Z ( T ) c~ Z(T)g; sei H = T ~ ( c ) . Fi ir eine maximale Untergruppe ( a ) yon T ist (a , c) nach Lemma I eine endliche Untergruppe yon G, da a und c p-Elemente verschiedener Ordnung sind. Nach (5) ist (a , c) dann eine endliche p -Gruppe , und wegen c p e ( a ) und (1) ist ( a ) eine maximale Untergruppe yon (a, c), also normal in (a, c). Dami t ist Z ( T ) ~ H und c Z ( T ) ein Element der Ordnung p in H / Z ( T ) \ T / Z (T), welches nach Lemma 2 nicht existieren kann.

Es ist also Z ( T ) ~ G. Nach Lemma 2 ist x Z ( T ) ~ T /Z(T) , d.h. x ~ T f / i rp = q, und fiir p ~ q wird T / Z ( T ) von x Z ( T ) zentralisiert. Ist dann wieder ( a ) eine maximale Untergruppe yon T, so folgt [a, x] e Z ( T ) = ( a p) und somit a x -- a wegen der Teiler- fremdheit der Ordnungen yon a und x. Dami t ist x e Ca (T), was zu zeigen war.

Um zu sehen, dab das P roduk t der Tarskigruppen und erweiterten Tarskigruppen in der M - G r u p p e G ein lokal endliches Komplement besitzt, ben6tigen wir den folgenden Hilfssatz.

Lemma 4. Sei G eine M-Gruppe und seien x 1 . . . . . x, ~ G. Ist (xl , x j ) endlich ffir alle i und j, so ist auch ( x l , . . . , x~) endlich.

B e w e i s. Wir k6nnen annehmen, dab alle xl Pr imzahlpotenzordnung haben; denn die Pr im/ i rkomponenten der xl erfiillen dieselben Voraussetzungen wie die x, und erzeu- gen zusammen ( x 1 . . . . . xr). Wir beweisen also die Aussage des Lemmas unter dieser zus/itzlichen Voraussetzung und machen Indukt ion nach o ( x l ) + . . . + o(xr). Sei H = ( x 1 . . . . , xr) und p die grSBte Primzahl, die unter den Teilern der o (xi) auftritt.

Existiert noch ein weiterer Primteiler eines der o (x~), so seien x 1 . . . . , x s die p-Elemente unter den xl. F/ir i < s und j > s ist (xl , x j ) eine endliche M-Gruppe , nach (4) also ( x i ) xj = (x i ) . Dami t ist ( x 1 . . . . . xs)___ H und H = ( x l , . . . , x~) (x~+l . . . . . x~) endlich, da nach Indukt ionsannahme ( x 1 . . . . . x~) und (x~+ 1 . . . . . x , ) endlich sind.

Vol. 46, 1986 Gruppen mit modularem Untergruppenverband 123

Sind alle xl p-Elemente, so sei x 1 ein Element maximaler Ordnung unter den xg. Ist dann o(x 0 > pa, so ist g2 ( (x l ) ) nach (6) normal in allen ( x 1 , xi), also normal in H. Nach Induktionsannahme ist H / Q ( ( x l ) ) und dann auch H endlich.

Sei schliel31ich o(x~) = p ffir alle i. Sind s/imtliche (xg, x j ) p-Gruppen, so sind alle xl miteinander vertauschbar, also H abelsch und dann endlich. Ist abet etwa (x 1, x z) keine p-Gruppe, so gilt ] (x l , x2)] = p q mit einer Primzahl q > p nach (3). Sei Q die Unter- gruppe der Ordnung q yon (x l , x2). Fiir i > 3 ist dann (Q, xg) endlich. Denn andernfalls w/ire (Xl, x2, xl) nach (1) eine Torsionsgruppe und (Q, xl) nach Lemma I eine Tarskiun- tergruppe von (x 1 , x 2, xi), die nach Lemma 2 auch xl und x2 enthalten mfil3te, was nicht sein kann, da ] (x 1, Xa)] = p q ist. Aus (4) folgt Q_~ (Q, x~) ffir alle i > 3, d. h. Q _~ H, und nach Induktionsannahme ist H/Q = (x2 (2 . . . . . xr Q) endlich. Damit ist H endlich, was zu zeigen war.

3. Beweis des Satzes. Hat die Gruppe G die im Satz angegebene Struktur, so ist ~B (G) wegen der Teilerfremdheit der Elementordnungen isomorph zum direkten Produkt der Untergruppenverb/inde der erw/ihnten direkten Faktoren (s. [8], Theorem 4, S. 5), und da diese alle modular sind, ist ~9 (G) modular.

Sei umgekehrt G eine Torsionsgruppe mit modularem Untergruppenverband, sei 93~ die Menge aller Tarskiuntergruppen und erweiterten Tarskiuntergruppen von G und sei n die Vereinigung aller n(T) mit T ~ 9Jr. Nach Lemma 2 und 3 ist jedes T ~ ~ die Menge aller n (T)-Elemente von G, also ein Normalteiler von G, und wegen der Einfachheit der Tarskigruppen und der Tatsache, dab die erweiterten Tarskigruppen nur eine minimale Untergruppe haben, schneiden sich je zwei Gruppen aus 931 trivial und bilden somit die n(T) mit T ~ 9Jr eine Partition von n. Sei K die Menge aller 7z'-Elemente in G. Wir wollen zeigen, dab K eine lokal endliche Untergruppe yon Gis t . Dann ist natfirlich K ein Normalteiler yon G, und wegen der Teilerfremdheit der Ordnungen der Elemente aus K und den T e 9J~ ist Gdas direkte Produkt von K und diesen T ~ ~lJt. Damit wird dann der Satz bewiesen sein. Wir zeigen zuerst:

(7) Fi~r x, y ~ K ist (x , y ) endlich.

Sind n/imlich x = x 1 ... x, und y - - Y l .--Ys die Zerlegungen von x und y in ihre Prim/irkomponenten, so sind alle x~, Yk n'-Elemente und offenbar (x~, xj) < ( x ) sowie (Yi, Yj) < ( Y ) endlich fiir alle i undj. W/ire (,xl, y i ) unendlich, so w/ire ( x i, y j ) ~ 92~ nach Lemma 1 und dann xi ein n-Element, ein Widerspruch. Somit ist auch (xl, yj) endlich fiir alle i und j. Nach Lemma 4 ist (x 1 . . . . . x,, yl . . . . . Ys) = (x, y ) endlich.

Wir zeigen nun, dab K eine Untergruppe von G ist. Seien dazu x, y e K. Nach (7) ist (x, y ) endlich. W/ire x y -1 ~ K, so existierte eine Primzahl p e n, die o (x y-1) teilte. Sei T eO0l mit p e n ( T ) . Nach Lemma 2 oder 3 ist dann T n ( x , y ) die Menge der n (T)-Elemente in (x, y) , also ein Hallscher Normalteiler von (x, y). Nach dem Satz von Schur-Zassenhaus existiert ein Komplement S zu T ~ (x, y ) in (x, y). Dieses zentrali- siert T c~ (x, y), erneut nach Lemma 2 bzw. 3. Somit ist S ~ (x, y ) und enth/ilt folglich die n (T)'-Elemente x und y, also auch x y - 1 ; aber p teilt o(xy-1) . Dieser Widerspruch liefert x y - 1 e K. Nach (7) und Lemma 4 ist K eine lokal endliche Untergruppe von G. Damit ist unser Satz bewiesen.

124 R. SCHMIDT ARCH. MATH.

Literaturverzeichnis

[1] G. GRATZER, General lattice theory. Basel-Stuttgart 1978. [2] K. IWASAWA, Uber die endlichen Gruppen und die Verb~inde ihrer Untergruppen. J. Univ.

Tokyo 4, 171-199 (1941). [3] K. IWASAWA, On the structure of infinite M-groups. Japan J. Math. 18, 709-728 (1943). [4] F. NAPOLITANI, Sui p-gruppi modulari finiti. Rend. Sem. Mat. Univ. Padova 39, 296-303

(1967). [5] A. Yu. OL'SHANSKH, Infinite groups with cyclic subgroups. Soviet Math. Dokl. 20, 343-346

(1979). [6] A. Yu. OL'SHANSKIJ, Groups of bounded period with subgroups of prime order. Algebra and

Logic 21, 369-418 (1982). [7] R. RUDOLPH, Ein Untergruppensatz ffir modulare Gruppen. Monatsh. Math. 94, 149-153

(1982). [8] M. SuzuKI, Structure of a group and the structure of its lattice of subgroups. Berlin-G6ttingen-

Heidelberg 1956.

Anschrift des Autors:

Roland Schmidt Mathematisches Seminar der Universit/it Kiel D-2300 Kiel

Eingegangen am16.2.1985