Handelsregeln und Diversi�kation: Theoretis heÜberlegungen und empiris he Anwendung an AktienindizesDISSERTATIONzur Erlangung des Grades eines Doktors derWirts hafts- und Sozialwissens haften (Dr. rer. pol.) der Fakultät für Wirts hafts- undSozialwissens haften der Helmut-S hmidt-Universität / Universität der BundeswehrHamburg

vorgelegt vonDipl. Volkswirt Arndt Wilhelm Georg Mus heaus Köln

Hamburg 2013

Erstguta hter: Univ.-Prof. Dr. G. FrahmZweitguta hter: Univ.-Prof. Dr. K. Mosler

Für meinen GroÿvaterWilhelm Strüder (1925�2008)

�Börsenerfolg ist eine Kunst und keine Wissens haft.�André Kostolany (1906�1999)

VorwortKostolanys Zitat kann als Einstieg in eine wissens haftli hen Arbeit dur haus irritierendauf den Leser wirken. Umso mehr mag es daher Anlass zur Auseinandersetzung bieten.Sieht man davon ab, dass Kostolany diesen Satz mögli herweise in polemisierender Absi htbewusst so spitz formulierte, sollte denno h klar sein, dass si h das Thema des Anlageer-folgs einer wissens haftli hen Betra htung generell ni ht entziehen darf, im Gegenteil: Siehtman systematis he Vor- und Na hbereitung als Grundvoraussetzungen jeden Erfolgs an,so bietet die Wissens haft die dafür nötige Methodik. Mag man die Fähigkeit, Börsenkursezu prognostizieren, no h eher als Kunst denn als Wissens haft sehen, so ist spätestens inder Verarbeitung und Bewertung dieser Prognosen eine na hvollziehbare Vorgehensweisenötig. Erst wenn man die Anwendung einer Prognose formalisieren kann, kann man ihrenNutzen objektiv beurteilen und vers hiedene Prognosemethoden verglei hbar ma hen. DieInstrumente der Performan emessung können dann ebenfalls wi htige Ergebnisse liefern.Do h zunä hst einmal gibt die Formalisierung der Prognose unweigerli h eine konkreteForm und nimmt dem Investor die Mögli hkeit, sie etwa je na h Stimmungslage umzudeu-ten. Prognosehorizont und Prognoseeintritt müssen dazu klar de�niert sein. Die Anwen-dung wissens haftli her Methoden zwingt hier zu Präzision und s ha�t die Voraussetzungenfür eine Replizierbarkeit der Vorgehensweise.Eine Prognose ist also immer einerseits nur so viel wert wie die Handelsregel, die sie her-vorbringen kann. S hwammige Aussagen mit groÿem Interpretationsspielraum eignen si hni ht, um eine klare Handelsregeln zu formulieren. Andererseits ist der Erfolg einer Han-delsregel wiederum von der Güte bzw. der Eintrittswahrs heinli hkeit der verwendeten Pro-gnose abhängig. Die Handelsregel muss also der zentrale Untersu hungsgegenstand sein,da ihre Anwendung über den Börsenerfolg ents heidet. Diese Einsi ht ist umso wi htiger,wenn man bedenkt, dass nahezu alle erfolgrei hen Finanzmarktakteure die Rolle der Diszi-plin betonen. Der Erfolg stellt si h also ni ht nur dur h die Entwi klung formalisierbarer,gehaltvoller Prognosen und die Ableitung geeigneter Handelsregeln ein, sondern au h dur hvii

Vorwortderen fortwährende Einhaltung. In diesem s hwer zu meisternden Dreiklang mag nun dieKunst des Börsenerfolgs liegen.Bei der Auseinandersetzung mit diesem Thema gilt mein Dank vor allem meinem Doktor-vater, Herrn Prof. Dr. Frahm. In vielen Einzelgesprä hen entstand ein äuÿerst fru htbarerGedankenaustaus h, der zu vielen theoretis hen und praktis hen Einsi hten führte, die bis-weilen weit über die Thematik dieser Dissertation hinausgingen. Ebenso mö hte i h mi hbei Herrn Prof. Dr. Mosler für die Übernahme des Zweitguta htens bedanken. Ferner dankei h meiner Familie und meinen Freunden, die mir während der Entstehungsphase dieserArbeit mit viel Geduld zur Seite gestanden und stets groÿen Rü khalt geboten haben.Köln, im Juni 2013

viii

Inhaltsverzei hnisVorwort viiAbbildungsverzei hnis xiiiTabellenverzei hnis xvAbkürzungsverzei hnis xviSymbolverzei hnis xviiiI. Theoretis her Teil 11. Motivation 21.1. Problemstellung und Relevanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Literaturkontext . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Ansatzpunkte und Ziele dieser Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112. Renditen von Finanzinstrumenten 142.1. Klassis he Renditede�nitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2. Alternative zu klassis hen Renditede�nitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.1. Cash�ow na h dem Mark-to-Market-Prinzip . . . . . . . . . . . . . . 152.2.2. Standardisierter Cash�ow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3. Stilisierte Fakten von Finanzzeitreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193. Handel von Finanzinstrumenten 213.1. Die Theorie e�zienter Märkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.1.1. Klassis her Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.1.2. Modernere Ansätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2. Handelsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34ix

Inhaltsverzei hnis3.2.1. Vorüberlegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2.2. Di hotome Handelsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2.3. Tri hotome Handelsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.2.4. Gepoolte Handelsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3. Prognosemodelle und Handelsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.3.1. Vom Modell zur Handelsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.3.2. Verwendete Handelsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524. Portfolio-Optimierung 624.1. Klassis he Portfoliotheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.2. Portfolio-Optimierung und Handelsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66II. Empiris her Teil 755. Vorüberlegungen 765.1. Verbindung zur Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.2. Statistiken und Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.2.1. Statistiken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.2.2. Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816. Simulationsstudie 866.1. Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.2. Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897. Empiris he Untersu hung 967.1. Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 967.2. Datengrundlage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997.3. Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047.3.1. Einzelstrategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047.3.2. Strategieportfolios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129S hlussbetra htung 136Appendix 139Literaturverzei hnis 200x

Abbildungsverzei hnis4.1. GVMP, Tangentialportfolio und optimales Portfolio im µ-σ-Raum . . . . . . 654.2. Portfolio von Buy-and-Hold- und Handelsstrategien im µ-σ-Raum . . . . . . 697.1. Ablauf des Ba ktest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987.2. Buy-and-Hold-Strategieportfolios im Verglei h . . . . . . . . . . . . . . . . . 1347.3. Gepoolte Strategieportfolios im Verglei h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1347.4. Gepoolte Strategieportfolios (γ-optimiert) im Verglei h . . . . . . . . . . . . 135A.1. Kumulierter dur hs hnittli her standardisierter Pro�t (Simulation 1) . . . . 140A.2. Buy-and-Hold-Strategie mit ni ht-optimierten Volumina (Simulation 1) . . . 141A.3. Buy-and-Hold-Strategie mit optimierten Volumina (Simulation 1) . . . . . . 142A.4. Gepoolte Handelssignale mit ni ht-optimierten Volumina (Simulation 1) . . 143A.5. Gepoolte Handelssignale mit optimierten Volumina (Simulation 1) . . . . . 144A.6. Autokorrelationen (Simulation 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145A.7. Kumulierter dur hs hnittli her standardisierter Pro�t (Simulation 2) . . . . 146A.8. Buy-and-Hold-Strategie mit ni ht-optimierten Volumina (Simulation 2) . . . 147A.9. Buy-and-Hold-Strategie mit optimierten Volumina (Simulation 2) . . . . . . 148A.10.Gepoolte Handelssignale mit ni ht-optimierten Volumina (Simulation 2) . . 149A.11.Gepoolte Handelssignale mit optimierten Volumina (Simulation 2) . . . . . 150A.12.Autokorrelationen (Simulation 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151A.13.Kumulierter dur hs hnittli her standardisierter Pro�t (Simulation 3) . . . . 152A.14.Buy-and-Hold-Strategie mit ni ht-optimierten Volumina (Simulation 3) . . . 153A.15.Buy-and-Hold-Strategie mit optimierten Volumina (Simulation 3) . . . . . . 154A.16.Gepoolte Handelssignale mit ni ht-optimierten Volumina (Simulation 3) . . 155A.17.Gepoolte Handelssignale mit optimierten Volumina (Simulation 3) . . . . . 156A.18.Autokorrelationen (Simulation 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157A.19.MSCI Fran e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158A.20.Autokorrelationen MSCI Fran e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159xi

Abbildungsverzei hnisA.21.MSCI Germany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160A.22.Autokorrelationen MSCI Germany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161A.23.MSCI Italy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162A.24.Autokorrelationen MSCI Italy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163A.25.MSCI Japan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164A.26.Autokorrelationen MSCI Japan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165A.27.MSCI UK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166A.28.Autokorrelationen MSCI UK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167A.29.MSCI USA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168A.30.Autokorrelationen MSCI USA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169A.31.MSCI Canada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170A.32.Autokorrelationen MSCI Canada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171A.33.MSCI Fran e (Einzelstrategien) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172A.34.MSCI Germany (Einzelstrategien) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173A.35.MSCI Italy (Einzelstrategien) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174A.36.MSCI Japan (Einzelstrategien) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175A.37.MSCI UK (Einzelstrategien) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176A.38.MSCI USA (Einzelstrategien) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177A.39.MSCI Canada (Einzelstrategien) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178A.40.Kumulierte standardisierte Pro�te (Einzelstrategien) . . . . . . . . . . . . . 179A.41.Standardisierte Pro�te (Einzelstrategien) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180A.42.QQ-Plots der standardisierten Pro�te (Einzelstrategien) . . . . . . . . . . . 181A.43.Empiris he Verteilung der standardisierten Pro�te (Einzelstrategien) . . . . 182A.44.Autokorrelationen (Einzelstrategien) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183A.45.Strategieportfolios im Verglei h (W = 252) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184A.46.Strategieportfolios im Verglei h (W = 126) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184A.47.Strategieportfolios im Verglei h (W = 63) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185A.48.Standardisierte Pro�te (Strategieportfolios) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186A.49.Empiris he Verteilung der standardisierten Pro�te (Strategieportfolios) . . . 187A.50.QQ-Plots der standardisierten Pro�te (Strategieportfolios) . . . . . . . . . . 188A.51.Autokorrelationen (Strategieportfolios) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189A.52.Optimale Volumina Buy-and-Hold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190A.53.Optimale Volumina Gepoolt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191xii

Abbildungsverzei hnisA.54.Optimale Volumina Gepoolt (γ-optimiert) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

xiii

Tabellenverzei hnis2.1. Eigens haften von Renditen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186.1. Dur hs hnittli he standardisierte Ergebnisse (Simulation 1) . . . . . . . . . 906.2. Dur hs hnittli he standardisierte Ergebnisse (Simulation 2) . . . . . . . . . 926.3. Dur hs hnittli he standardisierte Ergebnisse (Simulation 3) . . . . . . . . . 957.1. Kennzahlen der unstandardisierten Cash�ows (Gesamter Datensatz) . . . . 1027.2. Kennzahlen der standardisierten Cash�ows (Gesamter Datensatz) . . . . . . 1037.3. Invariante Kennzahlen und Tests (Gesamter Datensatz) . . . . . . . . . . . 1037.4. Korrelationen der Cash�ows (Gesamter Datensatz) . . . . . . . . . . . . . . 1037.5. Kennzahlen der standardisierten Pro�te (MSCI Fran e) . . . . . . . . . . . 1057.6. Kennzahlen und Tests (MSCI Fran e) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057.7. Strategieweise Korrelationen der Pro�te (MSCI Fran e) . . . . . . . . . . . 1067.8. Strategieweise Rangkorrelation der Handelssignale (MSCI Fran e) . . . . . . 1077.9. Kennzahlen der standardisierten Pro�te (MSCI Germany) . . . . . . . . . . 1077.10. Invariante Kennzahlen und Tests (MSCI Germany) . . . . . . . . . . . . . . 1087.11. Strategieweise Korrelationen der Pro�te (MSCI Germany) . . . . . . . . . . 1097.12. Strategieweise Rangkorrelation der Handelssignale (MSCI Germany) . . . . 1097.13. Kennzahlen der standardisierten Pro�te (MSCI Italy) . . . . . . . . . . . . . 1107.14. Invariante Kennzahlen und Tests (MSCI Italy) . . . . . . . . . . . . . . . . 1117.15. Strategieweise Korrelationen der Pro�te (MSCI Italy) . . . . . . . . . . . . . 1117.16. Strategieweise Rangkorrelation der Handelssignale (MSCI Italy) . . . . . . . 1127.17. Kennzahlen der standardisierten Pro�te (MSCI Japan) . . . . . . . . . . . . 1137.18. Invariante Kennzahlen und Tests (MSCI Japan) . . . . . . . . . . . . . . . . 1137.19. Strategieweise Korrelationen der Pro�te (MSCI Japan) . . . . . . . . . . . . 1147.20. Strategieweise Rangkorrelation der Handelssignale (MSCI Japan) . . . . . . 1157.21. Kennzahlen der standardisierten Pro�te (MSCI UK) . . . . . . . . . . . . . 115xiv

Tabellenverzei hnis7.22. Invariante Kennzahlen und Tests (MSCI UK) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167.23. Strategieweise Korrelationen der Pro�te (MSCI UK) . . . . . . . . . . . . . 1177.24. Strategieweise Rangkorrelation der Handelssignale (MSCI UK) . . . . . . . 1177.25. Kennzahlen der standardisierten Pro�te (MSCI USA) . . . . . . . . . . . . . 1187.26. Invariante Kennzahlen und Tests (MSCI USA) . . . . . . . . . . . . . . . . 1197.27. Strategieweise Korrelationen der Pro�te (MSCI USA) . . . . . . . . . . . . . 1207.28. Strategieweise Rangkorrelation der Handelssignale (MSCI USA) . . . . . . . 1207.29. Kennzahlen der standardisierten Pro�te (MSCI Canada) . . . . . . . . . . . 1217.30. Invariante Kennzahlen und Tests (MSCI Canada) . . . . . . . . . . . . . . . 1227.31. Strategieweise Korrelationen der Pro�te (MSCI Canada) . . . . . . . . . . . 1227.32. Strategieweise Rangkorrelation der Handelssignale (MSCI Canada) . . . . . 1237.33. Marktweise Korrelationen der Pro�te (Buy-and-Hold-Strategie) . . . . . . . 1247.34. Marktweise Korrelationen der Pro�te (AR-GARCH-Strategie) . . . . . . . . 1257.35. Marktweise Korrelationen der Pro�te (Momentum-Strategie) . . . . . . . . . 1257.36. Marktweise Korrelationen der Pro�te (Counting-Strategie) . . . . . . . . . . 1257.37. Marktweise Korrelationen der Pro�te (Gepoolte Strategie) . . . . . . . . . . 1267.38. Marktweise Rangkorrelationen der Signale (AR-GARCH-Strategie) . . . . . 1267.39. Marktweise Rangkorrelationen der Signale (Momentum-Strategie) . . . . . . 1267.40. Marktweise Rangkorrelationen der Signale (Counting-Strategie) . . . . . . . 1277.41. Marktweise Rangkorrelationen der Signale (Gepoolte Strategie) . . . . . . . 1277.42. Ges hätzte Signal-Markt-Kovarianz (γ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1277.43. Ges hätzte Prognosefähigkeit (ψ) mit p-Werten (in Klammern) . . . . . . . 1287.44. Kennzahlen der standardisierten Pro�te (Strategieportfolios) . . . . . . . . . 133

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Abkürzungsverzei hnisAbb. Abbildungbzgl. bezügli h a. ir a .p. eteris paribus (unter sonst glei hen Bedingungen)d.h. das heiÿterw. erwartetet al. et alii (und andere)et . et etera (und anderes)ETF Ex hange-traded fundgep. gepooltGewinnwahrs h. Gewinnwahrs heinli hkeitGew. GewinnGew.-Verl.-Verh. Gewinn-Verlust-VerhältnisGVMP Globales Varianzminimales Portfolioi.V.m. in Verbindung mitLVMP Lokales Varianzminimales PortfolioMax. MaximumMin. MinimumNYSE New York Sto k Ex hangeo.g. oben genanntOLS Ordinary Least Squaresopt. optimierts.o. siehe obenp.a. per annum (pro Jahr)sog. sogenanntStabw. Standardabwei hung xvi

Abkürzungsverzei hnisTab. TabelleTP Tangentialportfoliousw. und so weiterv.a. vor allemVerl. Verlustz.B. zum Beispiel

xvii

Symbolverzei hnisN Anzahl aller Beoba htungenT Anzahl aller Zeitpunkted Anzahl aller Anlageobjektes Anzahl aller HandelssignalePt Preis eines Finanzinstruments in trf Risikofreier ZinssatzRt Diskrete Rendite in trt Stetige Rendite in tDt Dividende in tXt Mark-to-Market Cash�ow eines Finanzinstruments in tXs

t Standardisierter Cash�ow in tSt−1 Handelssignal für den Zeitpunkt t, das bereits in t− 1 vorliegtYt Pro�t eines Handelssignals zum Zeitpunkt tY st Standardisierter Pro�t eines Handelssignals zum Zeitpunkt tVt Kumulierter Pro�t zum Zeitpunkt tµ Erwarteter Cash�ow oder Risikoprämieσ2 Varianz des Mark-to-Market Cash�owsΣ Kovarianzmatrix des Cash�owsη Erwarteter Pro�t eines Handelssignalsθ2 Varianz des Pro�ts eines HandelssignalsΘ Kovarianzmatrix des Pro�ts der Handelssignaleδ Erwartungswert des Handelssignals Sσ2S Varianz des Handelssignals Sγ Kovarianz von Handelssignal und Cash�owψ Prognosefähigkeitp Short Ratio xviii

Symbolverzei hnisv Volumenw Portfoliogewi htungenIP Wahrs heinli hkeitΦ Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilungχ2 Verteilungsfunktion der χ2-VerteilungF Verteilungsfunktion der F -Verteilungu Residuenǫ White-Noise-Innovationenπ Gewinnwahrs heinli hkeitGL Gewinn-Verlust-VerhältnisOm Omega-MaÿSh Sharpe RatioSo Sortino RatioCa Calmar RatioU Nutzenfunktioncr Risikoaversionsparameterc Counting-Periodenm Momentum-Periodenρ (Auto-)Korrelationskoe�zientτ TeststatistikτK Kendalls Tauα Signi�kanzniveauλ Lagrange-Multiplikator1 Vektor aus Einsen

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Teil I.Theoretis her Teil

1

Kapitel 1.Motivation

1.1. Problemstellung und RelevanzHeutige Aktieninvestoren sehen si h zahlrei hen neuen Herausforderungen gegenüber. An-gesi hts hoher Volatilität bei glei hzeitig geringen Erträgen in Form von Kursgewinnens heint eine reine Buy-and-Hold-Strategie an den internationalen Aktienmärkten selbstunter Berü ksi htigung steigender Dividenden in der letzten Dekade keine optimale Stra-tegie gewesen zu sein. Private wie institutionelle Anleger, die diese Strategie verfolgenbzw. verfolgt haben, mussten dur h diverse Krisen starke Wertverluste hinnehmen. Diesist ni ht nur psy hologis h s hwierig, sondern au h beispielsweise gegenüber Kunden vonFondsprodukten s hwer vermittelbar. Als Ausweg steht diesen Anlegern zwar das Täti-gen von Absi herungsges häften dur h Finanzinstrumente wie Futures und Optionen zurVerfügung, jedo h stellt si h dabei immer die Frage na h dem korrekten Timing.Darüber hinaus ist in den letzten Jahren verstärkt das Auftreten von Hedgefonds als Markt-teilnehmer mit zunehmender Marktma ht zu beoba hten. Dur h die institutionellen Rah-menbedingungen meist weniger stark in ihren Anlageents heidungen bes hränkt, ist ihrAnlagehorizont oft kürzer und auf den pro�tablen Handel diverser Finanzinstrumente aus-geri htet.Beide Gruppen von Marktteilnehmern stehen jedo h grundsätzli h vor dem Problem, zumri htigen Zeitpunkt pro�table Anlageents heidungen zu tre�en.1 Sie benötigen also geeig-nete Prognoseinstrumente, die in eine passende Handelsstrategie umgewandelt werden kön-nen. Der Handel mit Finanzinstrumenten lohnt si h aus Si ht eines na h Pro�t strebenden1Ein Fondsmanager will zwar dur h ein Si herungsges häft ni ht in erster Linie Pro�t erzielen, jedo hmö hte er dadur h an anderer Stelle seine Verluste begrenzen.2

Kapitel 1. MotivationInvestors jedo h nur, wenn dem dafür einzugehenden Risiko ein angemessener erwarteterPro�t gegenübersteht. Betra htet man den Handelsgewinn als Di�erenz von Kauf- und Ver-kaufspreis, stellt si h für den Investor unmittelbar die Frage na h der zukünftigen Preis-entwi klung2 und damit na h der Prognostizierbarkeit von Marktpreisen. Das Konzeptder Handelsregel fungiert hier nun als Bindeglied zwis hen Prognose und Ents heidung.Sowohl die Ausgestaltung dieses Transformationsme hanismus als au h die angewendetePrognosemethode haben einen Ein�uss auf den Pro�t des Investors. Ohne eine fundierteVorstellung, wel he Wirkungsweise der Aufbau und die Anwendung einer Handelsregel aufdie erzielte Rendite ausüben, fehlt dem Anleger eine rationale Grundlage seiner Investi-tionsents heidung. Dabei kann das Fehlen eines regelbasierten Ents heidungsprozesses zuden typis hen Fehleins hätzungen der behavioral �nan e führen und eine Na hvollziehbar-keit der Anlageents heidung nahezu unmögli h ma hen. S hlimmstenfalls �ndet si h derAnleger dauerhaft auf der Seite derjenigen Marktteilnehmer wieder, die ni ht in der Lagesind, relevante von irrelevanten Informationen zu trennen und in entspre hende Anlageent-s heidungen umzusetzen. Damit wäre er ni ht mehr in der Lage, eine seinem eingegangenenRisiko angemessene Rendite zu erzielen.Die Methoden der Informationsaufbereitung, z.B. der Zeitreihen- oder der te hnis henAnalyse, erlauben es nun dem Investor, eine Vielzahl von Handelsansätzen zu formulierenund auszuwählen. Eine ähnli h groÿe Auswahl steht ihn hinsi htli h der zu handelndenFinanzinstrumente zur Verfügung. Übli herweise steht der Investor also ni ht nur vor demProblem, vers hiedene Handelsansätze kombinieren zu können, sondern er hat au h einePortfolioents heidung zu tre�en, d.h., er muss sein Handelsvolumen auf mehrere Märk-te aufteilen. Beide Herausforderungen verlangen na h einer integrierten Betra htung vonHandelsregel und Handelsvolumen.Daher ist der Begri� der Handelsregel als Untersu hungsgegenstand in theoretis her wieempiris her Hinsi ht von zentraler Bedeutung und wird in der Literatur in vielfältigerHinsi ht aufgegri�en. Im Sinne eines e�zienten Marktes und im Kontext bisheriger the-menverwandter Arbeiten wird bei den formulierten Handelsregeln auss hlieÿli h auf Preis-informationen und ni ht auf Fundamentaldaten wie z.B. Dividendenzahlungen oder Bilanz-kennzahlen zurü kgegri�en. Vor diesem Hintergrund sind also Beiträge zum Begri� undzu den Eigens haften der Handelsregel und ihrer Kombination, der Analysemethoden, der2Dies gilt, wenn man annimmt, dass der Investor stets Preisnehmer ist.3

Kapitel 1. MotivationPrognose von Finanzzeitreihen, der Markte�zienzhypothese und der Portfoliotheorie vonBedeutung. 1.2. LiteraturkontextHandelsregeln in bisherigen ArbeitenDer Begri� der Handelsregel ist in der Literatur je na h verwendetem Kontext oft ungenauums hrieben. Es wird häu�g von trading strategy, (me hani al) trading rule oder au hdynami strategy gespro hen. Vor allem der letztgenannte Begri� spielt auf die Veränderungdes Handelssignals und ni ht etwa auf eine Veränderung der Handelsregel selbst an. Zuden dynami strategies gehören jedo h Ansätze wie stop-loss-Strategien oder die onstantproportion portfolio insuran e (CPPI), auf die in dieser Arbeit ni ht näher eingegangenwerden soll.Der Begri� der trading strategy wird je na h Kontext für eine Reihe unters hiedli herKonzepte verwendet. Einerseits �ndet er si h in Bezug auf die Bestimmung und Anwendungvon Portfoliogewi htungen, andererseits im Rahmen von Untersu hungen der te hnis henAnalyse wieder. Im Zusammenhang mit der te hnis hen Analyse kommt der Begri� dertrading rule den in dieser Arbeit verfolgten Überlegungen am nä hsten. Dieser Begri� istenger gefasst und bezieht si h zunä hst auf den Handel nur eines Finanzinstruments undni ht auf ein Portfolio von Finanzinstrumenten.Die Literatur kennt dabei wiederum die �lter rule als spezielle Form einer trading rule.Alexander (1961) und Alexander (1964) de�nieren eine Handelsregel, die besagt: �Steigtder Preis eines Finanzinstruments um x %, kaufe es und halte so lange die Kaufposition,bis der Preis x % fällt. Dann verkaufe (leer) und halte die Verkaufposition so lange, bisder Preis wieder x % steigt.� Preisbewegungen unter x % werden ignoriert bzw. ge�ltert.Dur h diese Filterregel soll ein trendfolgendes Verhalten eines Investors modelliert undunter vers hiedenen Filter-Parametern mit einer reinen Buy-and-Hold-Strategie vergli henwerden. Dies ges hieht insbesondere im Hinbli k auf die Markte�zienzhypothese und aufdie Eignung des Random-Walk zur Modellierung der Marktpreise. Fama und Blume (1966)erweitern diese Arbeiten dur h Untersu hungen der seriellen Abhängigkeit anhand von Da-ten des amerikanis hen Aktienmarktes. Dabei zeigt si h, dass für die betra hteten Datendie Marktpreise längerfristig einem Random-Walk zu folgen s heinen. Hat si h jedo h ein4

Kapitel 1. MotivationPreistrend einmal herausgebildet, tendiert er dazu, für einen gewissen Zeitraum stabil zubleiben. Dieses Phänomen führt dazu, dass enger gefasste Filterregeln gegenüber der Buy-and-Hold-Strategie zu mehr Pro�t führen, sofern keine Transaktionskosten berü ksi htigtwerden. Diese Ergebnisse spre hen also empiris h eher gegen die Annahme eines Random-Walk-Modells ohne Drift. Darüber hinaus zeigt si h, dass die Pro�te der Filterregeln starkmit den Testergebnissen kurzfristiger serieller Abhängigkeiten in den Daten korrespondie-ren. Allerdings kann au h bei Vorliegen starker serieller Abhängigkeit kaum ein Rü ks hlussauf die Ergebnisse der Filterregel gezogen werden. Sweeney (1986) entwi kelt einen Signi-�kanztest im Kontext eines Kapitalmarktmodells für die Renditen der Filterregel auf demWährungsmarkt. Dabei stellt er fest, dass unter Annahme zeitli h konstanter Risikoprä-mien die Renditen der Filterregel weder dur h Zinsdi�erentiale no h dur h das Risiko imSinne des Kapitalmarktmodells erklärt werden können.Praetz (1976) leitet erstmals Erwartungswerte und Varianzen der Pro�te von Filterregelnunter Annahme eines Random-Walk theoretis h her. Er zeigt, dass der erwartete Pro�tder Filterregel vom Drift des Random-Walk und von der Häu�gkeit einer Leerverkaufpo-sition abhängig ist. Aufgrund dieser Verzerrung hält er einen Verglei h von Filterregelnmit einer Buy-and-Hold-Strategie ohne eine entspre hende Korrektur der Ergebnisse fürungeeignet, um Rü ks hlüsse auf die Markte�zienz zu ziehen. Auf seine theoretis henGrundlagen wird in Kapitel 3 aufgebaut. Das Konzept der Ents heidungsregel mit zweiEnts heidungsmögli hkeiten (�Kauf� oder �Verkauf�) erfährt in Kapitel 3 ebenfalls einegrundlegende Untersu hung und Erweiterung. Dies ges hieht allerdings ohne die Annahmeeines speziellen Verteilungsmodells der Renditen.Neuere Publikationen wie A ar und Sat hell (2002) bauen u.a. auf den Erkenntnissen vonPraetz (1976) und Sweeney (1986) auf und untersu hen die Handelsregel bezügli h ihrerPro�tabilität unter gängigen Modellen preisgenerierender Prozesse � sowohl in qualita-tiver als au h in quantitativer Hinsi ht. Je na h Preisprozess und Handelsregel werdenunters hiedli he Aussagen über Erwartungswert und Varianz der Renditen von Handelsre-geln abgeleitet: In einem Random-Walk-Modell mit Drift ist die Rendite der Handelsregeleine positive Funktion des Drifts und eine negative Funktion der Volatilität. Ist die Han-delsregel eine lineare Funktion der beoba hteten Preise und folgen diese wiederum einemRandom-Walk ohne Drift, so ist der erwartete Pro�t der Handelsregel null. Weist derPreisprozess eine positive Autokorrelation und keinen Drift auf, so ist der erwartete Pro�teiner trendfolgenden Handelsstrategie eine positive Funktion der Volatilität. Damit leisten5

Kapitel 1. MotivationA ar und Sat hell (2002) einen wi htigen Beitrag zum theoretis hen Verständnis des Zu-sammenhangs vers hiedener Prognosemodelle bzw. Handelsregeln und der Annahmen überden jeweiligen zugrunde liegenden Preisprozess. Darüber hinaus stellen sie fest, dass si hviele in der Literatur zu �ndende Handelsregeln der te hnis hen Analyse dur h autore-gressive Modelle der Zeitreihenanalyse darstellen lassen. Dabei bezieht er si h u.a. auf dieErgebnisse von Neft i (1991). In dieser Arbeit wird gezeigt, dass eine Reihe von gängigente hnis hen Analysemethoden im Sinne eines minimalen mittleren quadratis hen Fehlerswohlde�nierte Prognoseinstrumente darstellen, die jedo h keine signi�kanten Vorhersagenliefern, wenn die zugrunde liegenden Preise einen Gauÿ-Prozess bilden. Neft i (1991) weistjedo h ausdrü kli h darauf hin, dass bei Ni htlinearitäten im Preisprozess die te hnis heAnalyse dur haus Prognosekraft haben kann.Te hnis he Analyse und Handelsregeln sind ni ht nur in diesen Arbeiten miteinander ver-bunden. Die �lter rule kann als ein frühes Beispiel einer Handelsregel gelten, die einerübergeordneten Kategorie von Operationalisierungen der te hnis hen Analyse bzw. derChartanalyse zuzure hnen ist. Oftmals werden nun weitere Ansätze der te hnis hen Ana-lyse einer Handelsregel zugrunde gelegt, um eine Aussage über ihre Prognosekraft zu tre�enoder um eine Form der Markte�zienz zu testen. Dies ges hieht meist dur h eine empiris heStudie. Beispiele für ein sol hes Vorgehen sind Luka et al. (1988), Bro k et al. (1992) undReady (2002). Der Zusammenhang von Prognosefähigkeit und Markte�zienz, auf den si hdiese Arbeiten ebenfalls stützen, wird eingehend in Kapitel 3.1 thematisiert. Hervorzu-heben sind dabei u.a. die Arbeiten von Fama (1965), Fama (1970), Fama (1991), Malkiel(1992), Lo und Ma Kinlay (1999) sowie Jarrow (2012), Frahm (2013a) und Frahm (2013b).Na hdem die te hnis he Analyse in der wissens haftli hen Diskussion lange ein Nis hen-dasein fristete, hat die Publikationstätigkeit zu diesem Thema in den letzten Jahren starkzugenommen und ist sehr vielfältig geworden. Eine Einführung in die te hnis he Analyseselbst bietet z.B. Pring (2002). In der Literatur besteht jedo h keinesfalls Konsens darüber,ob die te hnis he Analyse geeignet ist, dauerhaft risikoadjustierte Überrenditen zu erzielen.Vor allem hinsi htli h der empiris hen Überprüfung werden immer wieder Probleme desData Mining, der Signi�kanztests, der geeigneten Messung des eingegangenen Risikos undder Transaktionskosten thematisiert. Bis in die 1990er-Jahre hinein kann jedo h für eineReihe von Aktien- und Futuresmärkte ein pro�tables Abs hneiden der te hni al tradingrules mit einiger empiris her Fundierung festgestellt werden. In einer Metastudie kommenPark und Irwin (2004) zu dem Ergebnis, dass a. 62% der modernen Studien zu te hni-6

Kapitel 1. Motivations hen Handelsregeln zu positiven, 26% zu negativen und 11% zu ambivalenten Resultatengelangen.Mehr und mehr setzt si h zudem die Erkenntnis dur h, dass für die in der wissens haft-li hen Diskussion oft ungewohnten Begri�e und Heuristiken der te hnis hen Analyse eineEntspre hung in den Methoden der Ökonometrie und Zeitreihenanalyse existiert. So zei-gen Neft i (1991) und Lo et al. (2000) aber au h A ar und Sat hell (2002), dass si hte hnis he Analyseverfahren z.B. dur h Modelle der Zeitreihenanalyse na hbilden lassen.Ebenso können subjektive Methoden wie Chartanalysen dur h ökonometris he Methodenformalisiert, objektiviert und na hvollziehbar empiris h überprüft werden. Au h Arbeitenzum Thema time series momentum von Moskowitz et al. (2012) und Baltas und Kosowski(2012) erfahren in zunehmendem Maÿe das Interesse der wissens haftli hen Ö�entli hkeit.Diese Ansätze sind dabei eng mit einer moving average trading rule der te hnis he Analyseverbunden, da beiden das Ziel einer kurzfristigen Trenderfassung gemeinsam ist. Es zeigtsi h, dass si h für eine Reihe vers hiedener Futuresmärkte eine Trendpersistenz in kurz-er Frist ( a. 1 bis 12 Monate) empiris h belegen lässt. Diese Arbeiten liefern aus einemanderen wissens haftli hen Bli kwinkel ein weiteres Indiz für die Gültigkeit einer der Grun-dannahmen der te hnis hen Analyse. Eine ausführli here Diskussion der entspre hendenHandelsregel erfolgt in Kapitel 3.3.2.Kombinierte AnsätzeModerne Prognoseverfahren der Zeitreihenanalyse stellen eine weitere Basis für die For-mulierung von Handelsregeln dar. Dur h autoregressive, Moving-Average- und GARCH-Prozesse werden Finanzzeitreihen unter Berü ksi htigung ihrer stilisierten Fakten model-liert, so z.B. in Ferenstein und Gasowski (2004). Auf diesen Modellprognosen können wie-derum Handelsregeln aufgebaut werden. Ein sol hes Vorgehen kann beispielsweise für einARMA(1, 1)-Modell angewendet werden (Taylor (2005), S. 162f.). Dabei wird der standar-disierte einperiodige Prognosewert herangezogen. Je na hdem, ob dieser einen bestimmtenParameterwert unter- oder übers hreitet, wird ein Verkauf- bzw. Kaufsignal generiert. Fürdiese Handelsregel können vor allem für Daten von Währungsfutures der 1980er-JahrePro�te empiris h na hgewiesen werden.Während die Kombination vers hiedener Prognosemodelle in anderen Wissens haftsgebie-ten weiter verbreitet ers heint, erweitern neuere Beiträge dieses Vorgehen au h auf Fi-nanzmarktdaten. Dabei werden zunä hst Ansätze der te hnis hen Analyse miteinander7

Kapitel 1. Motivationkombiniert, aber au h mit den oben umrissenen Modellen der Zeitreihenanalyse zu ge-meinsamen Handelsregeln vers hmolzen. Mit te hnis hen Analysemethoden angerei herteni htlineare Prognoseinstrumente wie künstli he neuronale Netze werden dabei ebenso her-angezogen wie genetis he Algorithmen und Verfahren der Mustererkennung. Als Beispielefür ein sol hes Vorgehen lassen si h Gen ay (1999) und Zhou und Dong (2004) anführen.Im Zusammenhang mit einem Kombinationsansatz, wie er in dieser Arbeit verfolgt wird,sind aber zunä hst folgende Beiträge erwähnenswert:Lento und Gradojevi (2007) verglei ht empiris h die Pro�tabilität mehrerer te hnis herHandelsregeln mit der Buy-and-Hold-Strategie na h Abzug von Transaktionskosten anhandvon Daten vers hiedener amerikanis her Aktienindizes und des US-Dollar/Kanadis herDollar-We hselkurses. Betra htet werden Moving-Average-, Bollinger-Band-, Trading-Range-Breakout und Filterregeln in vers hiedenen Parameterspezi�kationen, ebenso wie eine kom-binierte Handelsregel, die immer dann ein Handelssignal generiert, wenn mehr als die Hälfteder einzelnen Regeln übereinstimmend dasselbe Signal anzeigt. Die Signi�kanz der Er-gebnisse wird mit Hilfe eines Bootstrapping-Tests überprüft und deren Robustheit dur hEinteilung des Datensatzes in vers hiedene Sub-Perioden getestet. Übereinstimmende Vor-zei hen von Handelssignal und kommender Marktrendite sollen die Prognosefähigkeit derHandelsregeln harakterisieren. Je na h Zeitraum und Handelsregel fallen die Ergebnissedabei re ht unters hiedli h aus. Nur ein Bru hteil der betra hteten Handelsregeln kannüber alle Märkte und Marktphasen höhere Renditen als die Buy-and-Hold-Strategie ge-nerieren. Au h die Fähigkeit, kommende Marktpreisbewegungen korrekt zu antizipieren,ist bei keiner Handelsregel dur hweg ho h ausgeprägt. Von den einzelnen Regeln weisendie Moving-Average- und die Trading-Range-Breakout-Regeln3 die günstigsten Ergebnisseim Verglei h zu einer Buy-and-Hold-Strategie auf. Bemerkenswert ist dabei jedo h, dasssi h für keine Einzelstrategie eine Überrendite zum Dow Jones Industrial Average Indexfeststellen lässt. Diese Überrenditen sind allerdings für das kombinierte Handelssignal aufallen berü ksi htigten Märkten zu beoba hten, wenn au h ni ht auf einem dur hgängigsigni�kanten Niveau. Lento (2009) bietet eine zusammenfassende Übersi ht über weitereempiris he Anwendungen eines kombinierten Handelssignals. Au h für Daten des ameri-kanis hen S&P 500 Index und einiger asiatis her Aktienindizes lässt si h demna h dur hkombinierte te hnis he Handelsregeln eine höhere Rendite als mit einer Buy-and-Hold-3Die Trading-Range-Breakout-Regel generiert immer dann ein Kauf-(Verkauf-)Signal, wenn der Markt-preis ein lokales Maximum (Minimum) übersteigt (unters hreitet).8

Kapitel 1. MotivationStrategie erzielen. Bemerkenswert ist dabei, dass das kombinierte Handelssignal zu pro�-tablen Anlageents heidungen führt, während die einzelnen darin enthaltenen Signale fürsi h betra htet kaum pro�tabel sind.Fang und Xu (2003) untersu hen empiris h die Prognosegüte einer Moving-Average-Handels-regel der te hnis hen Analyse und eines AR(1,1)-GARCH(1,1)- bzw. AR(1,1)-EGARCH(1,1)-Modells in vers hiedenen Parameterspezi�kationen und unter Berü ksi htigung von Trans-aktionskosten anhand von Daten amerikanis her Aktienindizes. Dabei stellen die Autorenfest, dass die te hnis he Handelsregel vor allem Phasen positiver Renditen der Aktienindi-zes gut erfasst, während das Zeitreihenmodell tendenziell in der Lage ist, Phasen negativerRenditen anzuzeigen. Sie führen die Prognosefähigkeit gröÿtenteils auf serielle Autokorre-lationen der Renditen für kleine Lag-Längen zurü k. Eine aus beiden Ansätzen kombinierteHandelsregel, die immer dann ein Handelssignal hervorbringt, wenn beide Sub-Strategienein glei hgeri htetes Signal erzeugen, führt zu einer Verbesserung der Rendite gegenüberden Einzelergebnissen der beiden Sub-Strategien. Dies ergibt si h aus dem bereits ange-spro henen komplementären Charakter der beiden betra hteten Handelsansätze und kannsowohl für die Kauf- als au h für die Verkaufsignale gezeigt werden. Analog dazu fallen dieBreak-Even-Transaktionskosten der kombinierten Handelsregel ebenfalls gröÿer aus, da si hdur h die Kombination sowohl die Häu�gkeit des Signalwe hsels verringert als au h die er-rei hte Rendite erhöht. Allerdings lässt si h au h ein Rü kgang der dur h Handelsregelnerzielten Renditen a. ab den 1970er-Jahren feststellen. Vor allem in diesem Zeitraum aberkann der kombinierte Ansatz höhere Renditen als die te hnis he Handelsregel generieren.Andere Ansätze versu hen den ökonomis hen Nutzen von Handelsregeln mit Hilfe eineroptimalen Gewi htung eines risikofreien Anlageobjektes und einer Handelsregel zu bestim-men. In diesem Sinne werden damit Portfoliotheorie und Handelsregeln in ihrer Kombina-tion und We hselwirkung zum Untersu hungsgegenstand.Bereits Dewa hter und Lyrio (2002) leiten die optimale Allokationsents heidung eines risi-koaversen Investors her, der si h einer Moving-Average-Handelsregel bedient. Die Autorenberü ksi htigen dabei allerdings nur eine Handelsregel und ein risikobehaftetes Anlageob-jekt, das für den Handel zur Verfügung steht. Mit Hilfe der Momentenmethode wird aufBasis der Nutzenfunktion des Investors eine optimale Positionierung im riskanten Anlage-objekt abgeleitet, die dur h das Handelssignal bzw. die Prognose der Moving-Average-Regelbestimmt ist. Im Rahmen einer empiris hen Untersu hung für den Deuts he Mark/US-Dollar-We hselkurs von 1973-2001 �nden si h deutli he Hinweise auf einen ni htlinearen9

Kapitel 1. MotivationZusammenhang von Handelssignal und Rendite. Dies s hlieÿt ebenfalls eine signi�kanteBeziehung von Handelssignal und Volatilität der folgenden Marktrendite ein. Ein höhererAbsolutbetrag des Signals lässt dabei auf einen zukünftigen Anstieg der Volatilität s hlie-ÿen. Die optimalen Portfoliogewi hte basierend auf vers hiedenen Parametrisierungen derHandelsregel sind fast dur hweg signi�kant von null vers hieden. Mit gröÿerem Absolut-betrag des Signals und steigender Risikoaversion geht eine Reduzierung der Gewi htungim risikobehafteten Anlageobjekt einher. Diese Befunde lassen darauf s hlieÿen, dass dieBerü ksi htigung von Handelsregeln zu einer signi�kanten Nutzensteigerung für einen risi-koaversen Investor führen kann.Ross (2007) untersu ht nun zum einen analytis h die Momente einer stetigen Verteilungder Renditen von Handelsregeln, zum anderen versu ht er den ökonomis hen Nutzen einerHandelsregel dur h ihren Anteil in einem optimalen Portfolio zu messen. Im Gegensatzzu Praetz (1976) wird dabei keine spezi�s he Verteilung der Marktrenditen angenommen,dafür aber die Auswirkung der Prognosefähigkeit einer Handelsregel berü ksi htigt. Dieerwartete Rendite einer Handelsregel hängt dabei von ihrer Prognosefähigkeit und derDi htefunktion der Renditen des gehandelten Anlageobjektes ab. Die Varianz der Renditeeiner Handelsregel wird wiederum dur h die Varianz der Renditen des gehandelten Anlage-objektes und ebenfalls dur h die Prognosefähigkeit bestimmt. Je gröÿer dabei die Progno-sefähigkeit ist, umso gröÿer ist die erwartete Rendite bzw. umso kleiner fällt die Varianzder Renditen der Handelsregel aus. Darüber hinaus wird die Renditeverteilung mit zuneh-mender Prognosefähigkeit linkss hief, da si h der Anteil negativer Renditen verringert. Ineiner Simulation werden für vers hiedene Handelsregeln optimale Portfoliogewi htungenbestimmt. Diese fallen ohne Berü ksi htigung von Transaktionskosten dur hgehend signi-�kant aus, unter Hinzunahme von Transaktionskosten enthalten die Handelsregeln abereinen geringeren Anteil im optimalen Portfolio. Diese theoretis hen und empiris hen Be-funde lassen si h in einigen Teilen au h in dieser Arbeit bestätigen.Die Literatur kennt also eine Reihe von Beiträgen, die als Anknüpfungspunkte dieser Arbeitzu sehen sind. Vor diesem Hintergrund soll der folgende Abs hnitt die Zielsetzung und dendaraus folgenden Aufbau der vorliegenden Arbeit erläutern.10

Kapitel 1. Motivation1.3. Ansatzpunkte und Ziele dieser ArbeitBetra hten die klassis hen Renditebere hnungen Änderungsraten vonWertpapierkursen, sosteht dabei immer die Vorstellung eines vorhandenen, voll zu investierenden Anfangskapi-tals im Hintergrund. In diesem Zusammenhang ers heint eine klassis he Renditebere hnungvon komplexeren Finanzinstrumenten wie beispielsweise Options- oder Futureskontrakten,die mehr Vertrags- als Investitions harakter besitzen, problematis h. Aus praktis her Si htund aus Gründen der Verglei hbarkeit ers heint eine Betra htung der generierten Zahlungs-ströme des jeweiligen Finanzinstruments zwe kmäÿiger. Der Begri� der Rendite erfährtdazu zunä hst eine Neude�nition. Dieser Thematik widmet si h das Kapitel 2.Aufbauend darauf erfolgt die Modellierung des Handelssignals als Variable di hotomer odertri hotomer Ausprägung. Wie weiter oben bereits angedeutet, ist diese Herangehensweisedabei ni ht grundsätzli h neu. Dieses Konzept gelangt oftmals zum Einsatz bei der em-piris hen Überprüfung von Prognoseinstrumenten wie der te hnis hen Analyse. Hier sollzunä hst ein Beitrag geleistet werden, die grundlegenden theoretis hen Eigens haften vonHandelsregeln zu verstehen. In Kapitel 3 wird dazu zunä hst der Begri� der Markte�zienzanhand von klassis hen und modernen Ansätzen diskutiert. Es zeigt si h, dass vor allemin der moderneren Literatur ein Wandel in der Rezeption der Markte�zienz stattgefundenhat, die dur h eine stärkte Formalisierung dieses Begri�s mögli h geworden ist. Diese Ent-wi klung versu ht dem Vorwurf der mangelnden begri�i hen Klarheit und Überprüfbarkeitder Markte�zienz in seiner klassis hen Ausprägung gere ht zu werden. Vor allem diesenUnzulängli hkeiten ist es ges huldet, dass oftmals die Markte�zienz mit einem Random-Walk-Modell glei hgesetzt wird. Diese Diskussion darf daher ni ht mit einer Stellungnahmefür oder gegen die Markte�zienzhypothese missverstanden werden, sondern soll der Viel-s hi htigkeit eines oft bemühten Begri�s der modernen Finanztheorie Re hnung tragen.Vor dem Hintergrund dieser Arbeit wird daher erörtert, dass si h die Prognostizierbar-keit von Wertpapierkursen, die Umsetzung dieser Prognosefähigkeit dur h Handelsregelnund die Annahme der Markte�zienz ni ht auss hlieÿen müssen. Das Konstrukt der Han-delsregel wird vielmehr in seiner Eigens haft als Verbindung zwis hen Information undAnlageents heidung eines Marktteilnehmers erläutert.Im Ans hluss werden dann Erwartungswert und Varianz der Pro�te von Handelsregelnohne Annahme eines bestimmten Verteilungsmodells der Marktpreise untersu ht. Dabeisoll gezeigt werden, dass eine Verbesserung der Prognosegüte zu einem höheren Pro�t bei11

Kapitel 1. Motivationglei hzeitiger Reduktion der Varianz führt. Varianzreduktion und Pro�tsteigerung sind indiesem Zusammenhang glei hbedeutend. Eine höhere Prognosefähigkeit führt also stets zueinem Mehrwert für den Investor. Insofern können hier Teile der Ergebnisse weiter obenerläuterter Arbeiten aufgegri�en und bestätigt werden.Zwei weitere Aspekte dieser Arbeit sind die Auswirkungen der Kombination von Han-delssignalen und der Optimierung des Handelsvolumens. Verfolgt man das Konzept derHandelsregel konsequent weiter, so ergibt si h die Mögli hkeit für den Investor, mehrereRegeln im Handel von mehreren Finanzinstrumenten einzusetzen. Der Investor ist damitalso in der Lage, ni ht nur über Märkte, sondern au h über Strategien zu diversi�zieren4.Die Idee des Pooling, also der Kombination vers hiedener Handelsregeln für das glei heFinanzinstrument, wird hier eingeführt, um zu zeigen, wie ein dur h Handelsregeln vergrö-ÿerter Mögli hkeitsraum für einen Investor in der Praxis nutzbar gema ht werden kann.Glei hzeitig stellt si h dabei heraus, dass � eine gewisse Prognosefähigkeit vorausgesetzt� eine Kombination mehrerer Handelssignale die Pro�tabilität weiter steigern bzw. dieVarianz verringern kann. In früheren Arbeiten werden zwar immer wieder empiris h dieseVerbesserungsmögli hkeiten dur h Kombination mehrerer Handelsregeln gezeigt, allerdingsbleiben in diesen Arbeiten die theoretis hen Hintergründe dieser Eigens haft unberü ksi h-tigt. Die vorliegende Arbeit versu ht daher nun, diese Lü ke zu s hlieÿen. Diesen Umstandbemängelt bereits au h Lento und Gradojevi (2007):�One of the major on erns with utilizing only one trading rule is that thereis no theory to guide an investor when making a de ision amongst the manydi�erent types of trading rules.�Lento und Gradojevi (2007)Handelt der Investor mit nur einer Regel auf mehreren Märkten glei hzeitig, so wird indieser Arbeit gezeigt, wie das Handelsvolumen theoretis h optimal auf unters hiedli heMärkte verteilt werden kann. Umgekehrt kann beim Handel auf nur einem Markt na hmehreren Regeln dadur h ebenfalls die Frage beantwortet werden, wel her Handelsregelwel hes Handelsvolumen zugewiesen werden sollte. Um diese Ents heidung zu tre�en, kön-nen die Erkenntnisse der klassis he Portfoliotheorie na h Markowitz auf Handelsregelnübertragen werden. Diese Aspekte behandelt Kapitel 4. Insofern wird hier der Begri� dertrading rule zu einem Strategieportfolio erweitert und sodann anhand von exemplaris hgewählten Handelsregeln an Aktienmarktdaten empiris h untersu ht.4Bei s Handelsregeln und d Märkten ergeben si h somit s · d Mögli hkeiten12

Kapitel 1. MotivationDer empiris he Teil dieser Arbeit steht also im Zei hen der Anwendung und Überprüfungder theoretis hen Ergebnisse. Dazu werden in Kapitel 3.3.2 drei exemplaris he Handels-regeln unters hiedli her Prognosekonzepte vorgestellt. Gewissermaÿen als Platzhalter fürkomplexere Prognoseintrumente erda ht, bilden sie die Grundlage für eine gepoolte Stra-tegie. In der Simulationsstudie in Kapitel 6 werden zunä hst die theoretis h gezeigten Ver-besserungspotentiale dieser gepoolten Strategie anhand künstli h generierter Kurszeitrei-hen untersu ht. Dies ges hieht dur h die Annahme einer gewissen Prognosefähigkeit, diees dem Investor mit einer exogen vorgegebenen Wahrs heinli hkeit ermögli ht, das demHandelssignal folgende Vorzei hen der Rendite korrekt zu antizipieren.Ans hlieÿend werden in Kapitel 7 die vorgestellten Handelsstrategien an Daten von Aktien-indizes der G7-Staaten angewendet. In einem Rolling-Window-Ba ktest erfolgt dann dieOptimierung der Handelsvolumina für unters hiedli he Window-Längen. Die optimiertenStrategieportfolios werden mit ihren glei hgewi hteten Referenzportfolios gra�s h darge-stellt und anhand statistis her Kennzahlen vergli hen. Diese Ba ktests bilden den Kerndes empiris hen Teils und sollen die theoretis hen Konzepte an realen Daten verdeutli- hen. Au h hierbei ist festzuhalten, dass damit ni ht die Prognostizierbarkeit von Finanz-zeitreihen bewiesen werden kann bzw. werden soll. Diese Arbeit beabsi htigt au h ni ht,eine bestimmte Form der Markte�zienzhypothese zu testen, wie es bereits in der Litera-tur häu�g zu �nden ist. Vielmehr dient der empiris he Teil dazu, ein allgemein gehaltenestheoretis hes Konstrukt exemplaris h anzuwenden. Die gewonnenen Ergebnisse sollen Wis-sens haft und Praxis glei hermaÿen Anlass geben, die angespro henen Probleme im Sinneeiner ganzheitli hen Konzeption zu betra hten, und dazu ermutigen, das vielverspre hen-de Thema der Handelsregeln vertieft zu untersu hen. Vor diesem Hintergrund fasst dieS hlussbetra htung die Ergebnisse dieser Arbeit zusammen.

13

Kapitel 2.Renditen von Finanzinstrumenten

2.1. Klassis he Renditede�nitionenIn der Wirts haftsmathematik und -statistik haben si h zwei Renditede�nitionen etabliert.1Die bekannteste ist die (einperiodige) Rendite als Veränderungsrate der Preise eines Wert-papiers vom Zeitpunkt t− 1 auf t:Rt =

Pt − Pt−1

Pt−1=

Pt

Pt−1− 1.Diese Rendite wird au h diskrete Rendite genannt, da hier die Vorstellung einer diskretenVerzinsung zugrunde liegt. Folgt man der Idee einer stetigen Verzinsung, gelangt man zurDe�nition der stetigen Rendite (oder au h Log-Rendite):

rt = ln

(Pt

Pt−1

)

= lnPt − lnPt−1.S hmid und Trede (2006) zeigen, dass über die Taylor-Approximation folgender Zusam-menhang zwis hen beiden Renditede�nitionen gilt:rt = ln (Rt − 1)undRt = ert − 1.Für kleine Renditen ist der Unters hied zwis hen diskreter und stetiger Rendite verna hläs-sigbar. Arbeitet man also mit Tagesrenditen oder Renditen von Ho hfrequenzdaten (z.B.Intraday-Daten), liefern beide Renditede�nitionen nahezu identis he Werte. Bezogen auf1Eine Übersi ht über diese Thematik �ndet si h in S hmid und Trede (2006).14

Kapitel 2. Renditen von Finanzinstrumentengröÿere Zeiträume, wie z.B. bei Monatsrenditen, können diese Unters hiede jedo h teilserhebli h sein. Tabelle 2.1 gibt eine Übersi ht über die weiteren Eigens haften der Ren-ditede�nitionen � insbesondere hinsi htli h zeitli her und räumli her Aggregation. Dabeifällt auf, dass die stetige Rendite über mehrere Perioden als Summe der stetigen Einperi-odenrendite gebildet werden kann:rT =

T∑

t=1

rt.Für die diskrete Rendite ergibt si h kein sol her linearer zeitli her Zusammenhang, vielmehrgilt:RT =

T∏

t=1

(Rt + 1)− 1.Ähnli h verhält es si h folgli h für die Dur hs hnittsrenditen. Betra htet man die Portfo-liorendite als Aggregation der Renditen zu einem Zeitpunkt, d.h. im Quers hnitt über dObjekte, so gilt jedo h:rpt = ln

(d∑

i=1

wieri,t

)

.Für die diskrete Rendite ergibt si h hier im Gegensatz dazu ein linearer Zusammenhang,nämli h:Rp

t =

d∑

i=1

wiRi,t.Je na hdem, ob der Zeitreihen- oder Quers hnittsaspekt im Vordergrund steht, bietet al-so jede Renditede�nition unters hiedli he Vorteile im praktis hen Einsatz. Keine dieserklassis hen Renditede�nitionen weist jedo h sowohl in der zeitli hen als au h in der Quer-s hnittbetra htung lineare Eigens haften auf.2.2. Alternative zu klassis hen Renditede�nitionen2.2.1. Cash�ow na h dem Mark-to-Market-PrinzipEine Alternative zu den oben gezeigten Renditede�nitionen lässt si h über den Mark-to-Market-Ansatz darstellen. In jeder Periode erfolgt dabei eine Bere hnung des Cash�oweiner Wertpapierposition.Erwirbt ein Investor zum Zeitpunkt t − 1 ein Wertpapier zum Preis Pt−1 und verkauftes wieder in t, entstehen ihm bis zum Zeitpunkt t zunä hst Finanzierungskosten in Höhevon Pt−1rf . Dabei bezei hnet rf den risikofreien Zinssatz, zu dem der Investor beliebig15

Kapitel 2. Renditen von Finanzinstrumentenviel Kredit aufnehmen oder vergeben kann. Er �nanziert den Wertpapierkauf in t− 1 alsodur h Aufnahme eines Kredits, den er in t wieder zurü kzahlt. Glei hzeitig �ieÿen ihm biszum Zeitpunkt t Wertpapiererträge (z.B. aus Dividendenzahlungen) von Pt−1Dt zu. Dereinperiodige Zahlungsstrom lässt si h also s hreiben als:Xt = −Pt−1 − Pt−1rf + Pt−1Dt + Pt = Pt − (1 + rf −Dt)Pt−1.Dur h Xt wird der Cash�ow des Investors für das Halten des Wertpapiers von t− 1 auf tbezei hnet. Ist dabei die Summe aus −rf und Dt negativ, so entstehen dem Investor Fi-nanzierungskosten, die die Wertpapiererträge übersteigen. Daher wird diese Summe au hals Haltekosten oder Cost-of-Carry bezei hnet.2 Damit wird die Position des Investors zugegebenen neuen Marktpreisen in äquidistanten diskreten Zeitabständen Mark-to-Marketneu bewertet. Dieses Verfahren wird ebenfalls bei der Bere hnung eines Terminpreises fürein Wertpapier oder eine Warenlieferung angewendet. Zudem können etwaige Transaktions-kosten auf die diese Weise ebenfalls sehr lei ht in die Bere hnung des Cash�ows einbezogenwerden.Es muss hierbei ni ht angenommen werden, dass der Investor in t seine Position au h tat-sä hli h au�öst. Vielmehr soll dur h den Cash�ow Xt nur die einperiodige Wertveränderungkorrekt wiedergegeben werden. Daher kann der mehrperiodige Cash�ow von t = 1, . . . , T(oder Endwert in T ) einfa h als Summe der einperiodigen Cash�ows dargestellt werden:

VT =

T∑

t=1

Xt.Der Cash�ow ist dabei ni ht nur zeitli h linear, sondern au h im Quers hnitt. Denn au hdie Cash�ows vers hiedener Wertpapiere i = 1, . . . , d zum selben Zeitpunkt t summierensi h einfa h zu einem Gesamtpro�t oder kumulierten Cash�ow:V pt =

d∑

i=1

Xi,t.Beim Mark-to-Market-Ansatz wird kein Anfangskapital benötigt.3 Vielmehr handelt es si hhierbei um den einperiodigen Cash�ow einer vollständig kredit�nanzierten Investition. Der2In der Regel ist die Cost-of-Carry negativ, d.h. der Investor hat höhere Finanzierungskosten als Wertpa-piererträge. Im Zusammenhang von Warenterminkontrakten entstehen beispielsweise au h Versi herungs-und Lagerungskosten, die die Cost-of-Carry ebenfalls negativ beein�ussen.3Der Investor muss nur über eine Bonität verfügen, um si h Kapital zum risikofreien Zinssatz leihen zukönnen 16

Kapitel 2. Renditen von Finanzinstrumentenmehrperiodige Cash�ow ergibt si h einfa h aus der zeitli hen Addition der einperiodigenCash�ows. In diesem Zusammenhang lässt si h die Verwendung des Cash�ows au h austheoretis her Si ht motivieren: In der modernen Portfoliotheorie wird die Allokationsent-s heidung dur h eine Nutzenfunktion U bewertet. Dabei wird davon ausgegangen, dass derInvestor über eine onstant absolute risk aversion (CARA)-Nutzenfunktion verfügt. DanngiltU(x0 +X) ∝ U(X),wobei x0 ∈ R ein anfängli hes Nutzenniveau bezei hnet und X eine Zufallsvariable ist, diedie Di�erenz zwis hen anfängli hem und abs hlieÿendem Nutzenniveau darstellt. Der Nut-zen des Investors hängt also proportional von dieser absoluten Di�erenz ab.4 Der Cash�owstellt dabei genau diesen absoluten Wertzuwa hs dur h die Mark-to-Market-Bewertung dar.Er ist also im strengeren theoretis hen Sinn das korrekte Maÿ, um den Nutzenzuwa hs desInvestors im Rahmen der Portfoliotheorie zu erfassen.Dur h die o.g. Eigens haften des Mark-to-Market-Ansatzes können zusätzli h komplexereFinanzinstrumente wie Options- oder Terminkontrakte mit klassis hen Wertpapieren wieAktien verglei hbar gema ht werden. Dazu müssen einfa h nur die Cash�ows der jeweiligenInstrumente bere hnet und gegenübergestellt werden. Der Cash�ow ist dabei allerdingsimmer eine absolute Gröÿe, während die klassis hen Renditede�nitionen jeweils zu einerrelativen Gröÿe führen. Findet man nun eine geeignete Bezugsgröÿe, erhält man ebenfallseine relative Renditede�niton.2.2.2. Standardisierter Cash�owSei µ = E(Xt) der erwartete Cash�ow und σ2 = V ar(Xt) die Varianz des Cash�ows. Dannbietet si h beispielsweise die Standardabwei hung des Cash�ows als sinnvolle Bezugsgröÿean. Man erhält dadur h

Xst =

Xt√σ2

4Im Gegensatz dazu wird eine Nutzenfunktion als onstant relative risk aversion (CRRA)-Nutzenfunktionbezei hnet, wenn si h der Nutzen des Investors proportional zur relativen Erhöhung seines Rei htums ver-gröÿert. Dann gilt U(x0X) ∝ U(X). In diesem Falle wäre die Anwendung einer der klassis hen Renditede-�nitionen geeignet. 17

Kapitel 2. Renditen von Finanzinstrumentenals standardisierten Cash�ow. Für den Erwartungswert des standardisierten Cash�ows giltdannE(Xs

t ) =E(Xt)

√

V ar(Xt)=

µ√σ2und für seine Varianz

Var(Xst ) = Var

(Xt√σ2

)

=1

σ2Var(Xt) = 1.Der erwartete standardisierte Cash�ow entspri ht also hinsi htli h seiner Konstruktion derSharpe Ratio,5 da der Cash�ow Xt eine bereits um Finanzierungskosten bereinigte Gröÿe,also eine Art der Überrendite, darstellt. Dur h diese Standardisierung können nun wie-derum die Cash�ows vers hiedener Finanzinstrumente in einer risikobereinigten Si htweisemiteinander vergli hen werden. Die na hfolgende Tabelle soll einen ergänzenden Überbli kzu S hmid und Trede (2006) S. 7 über die Eigens haften der vers hiedenen Renditede�ni-tionen geben.

Rt rt Xt XstWerteberei h −1 ≤ Rt ≤ ∞ −∞ < rt < ∞ −∞ < Xt < ∞ −∞ < Xst < ∞Rendite in [0, T ]

∏T

t=1(Rt + 1) − 1∑T

t=1 rt∑T

t=1 Xt1√σ2

∑T

t=1 XtDur hs hnittsrendite T

√

∏T

t=1(Rt + 1)− 1 1T

∑T

t=1 rt1T

∑T

t=1Xt1

T√

σ2

∑T

t=1 XtPortfoliorendite ∑d

i=1 wiRi,t ln(

∑d

i=1 wieri,t

)

∑d

i=1 wiXi,t

∑d

i=1 wiXi,t√

σ2

iTabelle 2.1.: Eigens haften von RenditenSowohl die oben bes hriebenen praktis hen Vorteile des (standardisierten) Cash�ows hin-si htli h der Aggregation in zeitli her Ebene und auf der Ebene eines Portfolios als au hseine theoretis hen Vorteile bei Zugrundeliegen einer CARA-Nutzenfunktion lassen denCash�ow als geeignete Alternative zu den klassis hen Renditede�nitionen ers heinen. DieseVorteile werden jedo h leider zum Preis des Verlustes der Stationaritätseigens haft erkauft.Au h wenn die hier eingeführte Renditede�nition ni ht der gängigsten Herangehensweiseder wissens haftli hen Literatur entspri ht, so soll in dieser Arbeit der hier gezeigte Cash-Flow-Ansatz weiterverfolgt werden. Damit lassen si h die theoretis hen Überlegungen zuHandelsregeln und Portfoliogewi htungen und die empiris hen Ergebnisse in geeigneterWeise praxisnah, vereinfa hend und verglei hbar darstellen.5Die Sharpe Ratio ist als Quotient aus erwarteter Überrendite und deren Standardabwei hung de�niert:E(Rt−rf )√V ar(Rt−rf )

. 18

Kapitel 2. Renditen von Finanzinstrumenten2.3. Stilisierte Fakten von FinanzzeitreihenUntersu ht man Zeitreihen von Preisen und Renditen bzw. Cash�ows von Aktien oder Ak-tienindizes, so sind zunä hst einige gemeinsame wiederkehrende statistis he Eigens haftenfestzustellen. Au h wenn diese ni ht naturgesetzmäÿig auftreten und dur h spezi�s he Um-stände je na h betra hteter Zeitreihe vers hieden stark ausgeprägt sind, so haben sie si hdo h als bekannte Muster Eingang in die wissens haftli he Literatur vers ha�t. Auf ihrAuftreten wird daher in vers hiedenen Publikationen hingewiesen, so z.B. in Cont (2001)und S hmid und Trede (2006). Diese Phänomene sollten bei der Modellbildung keinesfallsunberü ksi htigt bleiben. Diese stilisierten Fakten (stylized fa ts) sollen nun im Folgendenam Beispiel des MSCI Germany Aktienindex aufgezeigt werden. Abbildung A.21 zeigt dentägli hen kumulierten standardisierten Cash�ow dieses Index, seinen standardisierten Cas-h�ow, sowie dessen Darstellung als QQ-Plot und als Histogramm. Au�ällig ist zunä hsteine starke Wertveränderung im Zeitablauf, die von starken Einbrü hen und Erholungs-phasen gekennzei hnet ist.Wie das Histogramm und der QQ-Plot zeigen, weist die Verteilung der Renditen stär-ker besetzte Flanken im Verglei h zur Normalverteilung auf (heavy tails). Zudem ist dieVerteilung um ihren Mittelwert spitzer (peakedness). Die S hiefe ist dagegen nur s hwa hausgeprägt, die Masse der Verteilung konzentriert si h um den Mittelwert, der oftmalsni ht signi�kant von null vers hieden ist. Sehr kleine Wertveränderungen treten also selte-ner, extreme positive wie negative Wertveränderungen dagegen häu�ger auf, als die Nor-malverteilung suggerieren würde. Die Normalverteilungsannahme ist damit zumindest fürTagesdaten kaum vereinbar, kann aber für längere Betra htungszeiträume wie Monatedur haus vertretbar ers heinen.Die Cash�ows weisen die typis hen Volatilitäts luster, d.h. abwe hselnde Phasen höhe-rer und geringer Volatilitätsniveaus auf. Dabei sind die Phasen höherer Volatilität meistkürzer. Diese bedingte Heteroskedastizität steht im Gegensatz zur Annahme unabhängigidentis h verteilter Tagesrenditen bzw. Cash�ows und soll von Modellen der ARCH- undGARCH-Familie berü ksi htigt werden. Erweiterungen dieser Modelle berü ksi htigen zu-dem den Leverage-E�ekt, der die negative Korrelation der Renditen mit ihrer Volatilität be-s hreibt. Wie au h auf Abbildung A.21 bei genauem Hinsehen erkennbar ist, gehen Phasengroÿer Kursverluste mit stark ansteigenden Volatilitäten einher. Auf diesen Abbildungenni ht erkennbar, aber hin und wieder in der Literatur erwähnt ist die positive Korrelati-on von Handelsvolumen und Volatilität. Die (partiellen) Autokorrelationen der Renditen19

Kapitel 2. Renditen von Finanzinstrumentenbzw. Cash�ows (s. Abb. A.22) sind allerdings in der Regel s hwa h ausgeprägt und we h-seln je na h Lag-Länge das Vorzei hen, wohingegen die Autokorrelation der quadriertenRenditen dur hweg signi�kant positiv ausfällt. Oftmals ist für mehrere Finanzzeitreihenglei her Bran he oder Anlageklasse eine tail dependen e zu beoba hten, d.h. das glei hzei-tige Auftreten extremer Ereignisse, so wie glei hzeitige starke Kurseinbrü he in mehrerenMärkten. Dies ist umso bemerkenswerter, da ein sol hes Phänomen dur haus au h bei Fi-nanzzeitreihen au�ällig ist, die sonst keine starke Korrelation zueinander aufweisen. DieEigens haften dieser kontemporären Korrelation in Auf- und Abs hwungphasen sind For-s hungsfelder, die mögli herweise zur Vervollständigung der stilisierten Fakten beitragenkönnen.

20

Kapitel 3.Handel von Finanzinstrumenten

3.1. Die Theorie e�zienter Märkte3.1.1. Klassis her AnsatzDie Markte�zienzhypothese ist ein zentraler Bestandteil der modernen Kapitalmarkttheo-rie. Sie geht auf die Arbeiten von Fama (1965), Fama (1970) sowie Fama und Miller (1972)zurü k. In ihrer ursprüngli hen Ausgestaltung besagt sie, dass die Marktpreise zu jedemZeitpunkt alle verfügbaren Informationen widerspiegeln.�A market in whi h pri es always `fully re�e t' available information is alled`e� ient'.� Fama (1970)Der Begri� der E�zienz ist ni ht auf Verteilungse�zienz im Sinne eines Pareto-Kriteriums,sondern auf Informationse�zienz ausgeri htet. Dabei werden drei unters hiedli he Gradevon Informationse�zienz unters hieden (S hmid und Trede (2006), S. 151):� S hwa he Informationse�zienz liegt vor, wenn die Marktpreise jederzeit alle histori-s hen Preisinformationen vollständig berü ksi htigen.� Mittelstarke Informationse�zienz liegt vor, wenn die Marktpreise jederzeit alle öf-fentli h zugängli hen Informationen vollständig berü ksi htigen.� Starke Informationse�zienz liegt vor, wenn die Marktpreise jederzeit alle verfügbarenInformationen berü ksi htigen.Trotz � oder gerade aufgrund � ihrer simplen Ausgestaltung ist die Operationalisierungder Markte�zienzhypothese ni ht trivial. Über die Erwartungsbildung der Marktteilneh-mer ma ht die Markte�zienzhypothese zunä hst keine Aussage. Sie ist daher mehr als eine21

Kapitel 3. Handel von FinanzinstrumentenZustandseigens haft eines Marktglei hgewi hts zu verstehen, auf dessen Entstehung ni htnäher eingegangen wird; dies ges hieht vielmehr im zugrundegelegten Kapitalmarktmodell.Genauer zu klären ist nun, was die Begri�e Information und vollständige Berü ksi htigungbedeuten bzw. wie sie modelliert werden. Ebenso von Interesse ist in diesem Zusammen-hang die Mögli hkeit der Vorhersage kommender Preisänderungen. Fama (1970) s hlägtdaher zunä hst eine mathematis he Formulierung der erwarteten Preise bzw. Renditenvor. Sei Rexi,t die Rendite eines Finanzinstruments i = 1, . . . d zum Zeitpunkt t, die über dieerwartete Glei hgewi htsrendite hinausgeht:

Rexi,t = Ri,t − E(Ri,t|It−1),dann gilt

E(Rexi,t |It−1) = 0.

It−1 bezei hnet hier die Informationsmenge, die per Annahme vollständig in den Preisenberü ksi htigt sein soll. Diese Berü ksi htigung wird dur h den bedingten Erwartungswertausgedrü kt. Der bedingte Erwartungswert E(Rt|It−1) selbst wird dabei vom zugrundegelegten Kapitalmarktmodell bestimmt. LeRoy (1976) weist jedo h darauf hin, dass dieobigen Glei hungen für jeden sto hastis hen Prozess gültig sind und somit eine Tautologievorliegt. Es wird argumentiert, dass ohne konkrete Annahmen über den datengenerieren-den Prozess keine beweis- oder widerlegbaren S hlussfolgerungen gezogen werden können.Daher s hlägt er als korrekte De�nition vor, dassE(Pi,t|It−1) = Pi,t(1 + gi(t))bzw. für die Renditen

E(Ri,t|It−1) = gi(t)gilt. Die Funktion gi(t) harakterisiert also den Erwartungswert der Renditen unter derBedingung der Information It−1. Der Erwartungswert von Ri,t bedingt auf Ri,t−1, . . . Ri,1stellt wiederum hinsi htli h eines minimalen quadratis hen Prognosefehler die beste Vor-hersage für Ri,t dar. Bilden die Renditen ein Martingal, so ist Ri,t−1 die beste Vorhersagefür Ri,t. Alle Informationen, um den bedingten Erwartungswert von Ri,t zu prognostizie-ren, sind damit bereits in Ri,t−1 enthalten. Das Martingal-Modell der Renditen lässt si hna h LeRoy (1973) au h darstellen dur hE(Ri,t|Ri,t−1, Ri,t−2, . . .) = E(Ri,t).22

Kapitel 3. Handel von FinanzinstrumentenDer bedingte und der unbedingte Erwartungswert der Renditen sind demna h glei h, d.h.,sämtli he preisrelevanten Informationen sind bereits im unbedingten Erwartungswert ent-halten. Charakteristis h für das Martingal-Modell ist darüber hinaus die Unkorreliertheitder Renditen zwis hen den Zeitpunkten t und t− i für i = 1, . . . t− 1. LeRoy (1976) gehtauf den Zusammenhang von Korrelation und Stationarität der Renditen ein. Insbesonderekritisiert er die mangelnde Klarheit der De�nition von Fama (1970), vor allem hinsi htli hder si h daraus ergebenden S hwierigkeiten der empiris hen Überprüfung. Ni htstationa-rität ist insbesondere dann problematis h, wenn Tests auf Korrelation von einem zeitli hkonstanten Mittelwert ausgehen. Wird keine Korrektur bedingt dur h Ni htstationaritätvorgenommen, können die Testergebnisse hin zur Ablehnung der Korrelation verzerrt sein.Im Martingal-Modell sind die Renditen zunä hst unkorreliert, egal ob Stationarität giltoder ni ht. Weiter argumentiert LeRoy (1976), dass die De�nition von Fama (1970) dur h-aus eine einperiodige Korrelation der Renditen zulässt, au h wenn diese stationär sind:�(. . . ) Fama's de�nition of the e� ient market model implies nothing at allabout {rt}. (. . . ) Fama's statement that rates of return may be orrelated is orre t even if rates of return are stationary, so the orrelatedness or un or-relatedness of {rt} has nothing to do with its stationarity or nonstationarity.�LeRoy (1976)Hauptkritikpunkt von LeRoy (1976) bleiben die Tautologieproblematik und die daraus fol-gende mangelnde Überprüfbarkeit der De�nition der Markte�zienz von Fama (1970). ImKontext eines Random-Walk tritt dieser Aspekt allerdings in den Hintergrund.Das Random-Walk-Modell lässt si h gemäÿ Fama (1970) formal darstellen dur hf(Rt|It−1) = f(Rt).Die Verteilung ist zeitli h konstant unabhängig von der Informationsmenge und dadur h harakterisiert, dass die Rand- und die bedingte Verteilung glei h sind. Dies impliziertE(Rt|It−1) = E(Rt),sofern die ersten Momente existieren und endli h sind. Der Erwartungswert der Renditenmuss dabei ni ht glei h null sein. Aufeinanderfolgende Preisänderungen sind na h Fama(1970) zudem unabhängig und identis h verteilt. Seine Darstellung lässt si h jedo h ni htohne weiteres mit einer klassis hen De�nition eines Random-Walk (wie z.B. in S hmid23

Kapitel 3. Handel von Finanzinstrumentenund Trede (2006), S. 122f) glei hsetzen. Hinsi htli h der Stationaritätseigens haft und derUnters heidung von Preisänderungen und Renditen bestehen Unters hiede:�The terminology is lose. Pri es will only follow a random walk if pri e hangesare independent, identi ally distributed; and even then we should say `randomwalk with drift' sin e expe ted pri e hanges an be non-zero. If one-periodreturns are independent, identi ally distributed, pri es will not follow a randomwalk sin e the distribution of pri e hanges will depend on the pri e level.� Fama(1970)Denno h erweitert zunä hst diese Betra htung die oben gezeigte Darstellung um eine sto- hastis he Modellierung der Marktpreise. Notwendig sind diese Bedingungen für einen e�-zienten Markt hingegen ni ht � ganz abgesehen von der Tatsa he, dass in der Praxis weitereFriktionen existieren, die einem vollkommenen Markt entgegenstehen:�But though transa tion osts, information that is not freely available to allinvestors, and disagreement among investors about the impli ations of giveninformation are not ne essarily sour es of market ine� ien y, they are potentialsour es. And all three exist to some extent in real world markets.� Fama (1970)Au h die Preise eines e�zienten Marktes müssen ni ht zwingend einem Random-Walkfolgen. Zwar zeigt Samuelson (1965) mit seiner Version eines s hwa h informationse�zi-enten Marktes, dass die zeitli he Korrelation der Marktpreisänderungen null sind.1 DieseEigens haft würde jede Prognose zukünftiger Marktpreise auf der Grundlage vergangenerMarktpreisbeoba htungen unmögli h ma hen. Denno h folgt aus seinen Ergebnissen ni htnotwendigerweise die Annahme eines Random-Walk für die Marktpreisbewegungen.�Perhaps it is true that pri es depend on a summation of so many small andsomewhat independent sour es of variation that the result is like a randomwalk. But there is no ne essity for this.� Samuelson (1965)Die Annahme e�zienter Märkte darf also in diesem Sinne ni ht mit der Annahme einesRandom-Walk-Modells verwe hselt werden. Au h steht die Annahme e�zienter Märkteni ht im Widerspru h zur Vorhersagbarkeit der Marktpreise.�(. . . ) the Random Walk Hypothesis is neither a ne essary nor a su� ient on-dition for rationally determined se urity pri es. In other words, unfore astable1Die sto hastis he Unabhängigkeit der Preisänderungen wird hingegen ni ht gezeigt.24

Kapitel 3. Handel von Finanzinstrumentenpri es need not imply a well-fun tioning �nan ial market with rational inve-stors, and fore astable pri es need not imply the opposite.� Lo und Ma Kinlay(1999), S. 5Dazu verweisen Lo und Ma Kinlay (1999) auf die Arbeiten von LeRoy (1973) und Lu as(1978). Diese Autoren zeigen in ihren Modellen, dass unter der Annahme risikoaverserInvestoren ein e�zientes Marktglei hgewi ht ni ht zwangsläu�g mit der Random-Walk-Eigens haft der Marktpreise einhergehen muss. Sie weisen darauf hin, dass Samuelson(1965) vielmehr einen Spezialfall risikoneutraler Investoren mit exogen gegebenen Ren-diteerwartungen betra htet. In diesem Zusammenhang werden die S hwierigkeiten einesempiris hen Tests der Markte�zienzhypothese im klassis hen Sinne deutli h: Testet mandie Random-Walk-Eigens haft beoba hteter Marktpreise, so kann ein Rü ks hluss auf dieMarkte�zienz nur im Kontext des zugrunde liegenden Kapitalmarktmodells gezogen wer-den. Eben dieses Kapitalmarktmodell bestimmt dur h seine Ausgestaltung au h die erwar-tete Marktrendite. Abwei hungen von dieser fairen Marktrendite sind dann nur im Kontextdieses speziellen Kapitalmarktmodells zu bes hreiben. Diese enge Verbindung von Kapi-talmarktmodell und Markte�zienz führt insbesondere dann zu Problemen, wenn Marktef-�zienz getestet werden soll. Dur h einen sol hen Test kann ni ht abs hlieÿend ents hiedenwerden, ob eine Marktine�zienz vorliegt oder das verwendete Kapitalmarktmodell s hle htspezi�ziert ist. Diesem joint-hypothesis problem war si h Fama (1991) jedo h bereits be-wusst:�Thus, market e� ien y per se is not testable. It must be tested jointly withsome model of equilibrium, an asset-pri ing model. This point, the theme of the1970 review (. . . ), says that we an only test whether information is properlyre�e ted in pri es in the ontext of a pri ing model that de�nes the meaningof `properly'. As a result, when we �nd anomalous eviden e on the behavior ofreturns, the way it should be split between market ine� ien y or a bad modelof market equilibrium is ambiguous. � Fama (1991)Ein anderer Aspekt der Markte�zienz bezieht si h auf die Existenz von super-pro�tablenHandelsstrategien. Folgt man den Überlegungen von Fama (1970), bedeutet das für einenInvestor:�The assumptions that the onditions of market equilibrium an be stated interms of expe ted returns (. . . ) rule out the possibility of trading systems based25

Kapitel 3. Handel von Finanzinstrumentenonly on information in Φt that have expe ted pro�ts or returns in ex ess ofequilibrium expe ted pro�ts or returns.� Fama (1970)Diese Formulierungen ma hen deutli h, dass keine Handelsstrategie basierend auf demInformations�uss {It−1} existiert, deren erwartete Rendite gröÿer als die erwartete Glei h-gewi htsrendite ist. Dabei bemerkt Fama (1970) jedo h au h, dass die erwartete Glei h-gewi htsrendite ni ht notwendigerweise positiv sein muss. Dies bedeutet jedo h au h, dasseine Handelsstrategie, die ni ht immer voll investiert ist, gegenüber einer Buy-and-Hold-Strategie dur haus pro�tabel sein kann:�Note that the expe ted pro�tability of `one se urity and ash' trading systemvis-à-vis buy-and-hold is not ruled out by the general expe ted return or `fairgame' e� ient market model. The latter rules out systems with expe ted pro-�ts in ex ess of equilibrium expe ted returns, but sin e in prin iple it allowsequilibrium expe ted returns to be negative, holding ash (whi h always haszero a tual and thus expe ted return) may have higher expe ted return thanholding some se urity.� Fama (1970)Kann also die Bedingung für ein Marktglei hgewi ht, wie oben dargestellt, dur h die Er-wartungswerte ausgedrü kt werden, bei deren Bildung die gesamte Informationsmenge It−1jederzeit berü ksi htigt wird, so kann der Kapitalmarkt als fair game ums hrieben werden,wenn die erwartete Überrendite glei h null ist. Fama (1970) ma ht jedo h s hon deutli h,dass die Bes hreibung der Markte�zienz dur h den Erwartungswert der Renditevertei-lung nur eine Mögli hkeit unter vielen darstellt. Dur h Einbeziehen der Risikoneigung derMarktteilnehmer lässt si h der Begri� der Markte�zienz erweitern. Malkiel (2003) kommtzur folgenden De�nition:�I will use as a de�nition of e� ient �nan ial markets that su h markets do notallow investors to earn above-average returns without a epting above-averagerisks.� Malkiel (2003)Diese De�nition erweitert den Begri� der Markte�zienz insofern, als si h die Marktrenditentrotz kurzfristiger Abwei hungen langfristig auf ihrem dur hs hnittli hen risikoadjustiertenfairen Niveau bewegen. Demna h müssen ni ht nur die Erwartungswerte, sondern au h dieVarianzen und Kovarianzen der Renditen im Sinne eines fair game zustande kommen. Be-denkt man, dass die Absolutbeträge und die Quadrate der Renditen empiris h eine relativhohe Korrelation aufweisen,2 s heint eine Prognose der Volatilität lei hter mögli h zu sein2Siehe dazu Kapitel 2.3. 26

Kapitel 3. Handel von Finanzinstrumentenals eine Prognose der Kurse selbst. Mögli herweise erlaubt eine Betra htung des Risikos,das Investoren in Kauf nehmen müssen, einen Rü ks hluss auf die Höhe der entspre hendenRisikoprämie. Wel he Rendite-Risiko-Kombination dabei als fair betra htet werden kann,wird wiederum dur h das Kapitalmarktmodell bestimmt. Au h der Begri�e der Überren-dite (�returns in ex ess of equilibrium expe ted pro�ts�) ma ht hier deutli h, dass es si hum eine Betra htung innerhalb eines spezi�s hen Marktmodells handelt. Malkiel (1992)betont daher die Rolle der Information:�A apital market is said to be e� ient if it fully and orre tly re�e ts allrelevant information in determining se urity pri es. Formally, the market issaid to be e� ient with respe t to some information set (. . . ) if se urity pri eswould be una�e ted by revealing that information to all parti ipants. Moreover,e� ien y with respe t to an information set (. . . ) implies that it is impossibleto make e onomi pro�ts by trading on the basis of [that information set℄.�Malkiel (1992)Diese De�nition bezieht si h auf die Zugängli hkeit und Verwertbarkeit der Informationenfür alle Marktteilnehmer. Sie stellt auf Merkmale der Marktvollständigkeit ab. Letztli himpliziert sie, dass auf einem e�zienten Markt ö�entli h zugängli he Informationen nutzlossind, um Pro�te zu erzielen. Alle relevanten Informationen kommen bereits in den Preiseneines e�zienten Marktes zum Ausdru k. Ob auf einem ine�zienten Markt systematis hÜberrenditen erzielt werden können, lässt sie jedo h o�en. Dabei wäre dur haus denkbar,dass ein Investor den fairen Preis eines Finanzinstruments korrekt bestimmt, si h auf einemine�zienten Markt jedo h ein anderer Preis einstellt. Ob der Investor von einer sol henKonstellation pro�tieren kann, ist unter dieser De�nition ebenfalls unklar, da keine Aussageüber den Anpassungsme hanismus hin zu einem e�zienten Marktglei hgewi ht getro�enwird.Au h kurzfristige Abwei hungen vom langfristigen Glei hgewi ht stehen der Annahme einese�zienten Marktes ni ht zwingend im Wege:�Markets an be e� ient in this sense even if they sometimes make errors invaluation (. . . ). Markets an be e� ient even if many market parti ipants arequite irrational. Markets an be e� ient even if sto k pri es exhibit greatervolatility than an apparently be explained by fundamentals (. . . ).� Malkiel(2003) 27

Kapitel 3. Handel von FinanzinstrumentenDieser Si htweise liegt also die Annahme zugrunde, dass si h die Marktrenditen und -vola-tilitäten trotz kurzfristiger Abwei hungen langfristig auf ihrem dur hs hnittli hen Niveaubewegen. Insofern erweitert Malkiel (2003) die vorherigen De�nitionen nur um die Berü k-si htigung der Volatilität. Sie bezieht si h dabei auf Bewertungsfehler und Irrationalitäteneiniger Marktteilnehmer. Es liegt daher nahe anzunehmen, dass si h informierte Markt-teilnehmer diesen Umstand pro�tabel zunutze ma hen können. Bla k (1986) ging bereitsdavon aus, dass es Akteure gibt, die bei ihren Handelsents heidungen Informationen mitnoise verwe hseln und die im obigen Zitat angedeuteten Phänomene hervorrufen.�Noise trading provides the essential missing ingredient. Noise trading is tradingon noise as if it were information. People who trade on noise are willing totrade even though from an obje tive point of view they would be better o� nottrading. Perhaps they think the noise they are trading on is information. Orperhaps they just like to trade.� Bla k (1986)Diese noise traders sind also die Pro�tquelle der information traders. Eben diese Pro�tge-legenheiten würde es für Marktteilnehmer wiederum interessant ma hen, die Kosten vonInformationsbes ha�ung und -auswertung auf si h zu nehmen und so ihren Beitrag zurlangfristigen Aufre hterhaltung eines e�zienten Markets zu leisten. Darüber hinaus kämenals weitere Anbieter sol her Pro�tgelegenheiten Investoren in Betra ht, die hinrei hend ri-sikoavers sind, sodass sie sogar eine Prämie zahlen, um ein bestimmtes Anlageobjekt ni hthalten zu müssen.3 Andere Marktteilnehmer sehen si h mögli herweise unerwarteten Li-quiditätsbedürfnissen gegenüber und sind ebenfalls bereit, eine Prämie zu zahlen um dieAu�ösung ihrer Wertpapierpositionen zu bes hleunigen. Alle diese Aspekte zeigen, dassvielfältige Gründe für eine Handelsents heidung vorliegen können, die ni ht alleine aufökonomis hen Faktoren beruhen mögen. Zusätzli h argumentiert Bla k (1986), dass noisetrader erst für die nötige Liquidität im Sinne eines häu�gen Austaus hes von Wertpapierenauf einem Markt sorgen. Dies ges hieht dabei zu Lasten der Markte�zienz und zu Gunstender Pro�tgelegenheiten von informierten Marktteilnehmern. Ohne diese Gelegenheiten sindjedo h die Kosten der Informationsbes ha�ung zu ho h. Sind mit Kosten verbundene In-formationen im Sinne der Markte�zienzhypothese bereits in den Marktpreisen enthalten,so zeigen Grossman und Stigitz (1980), dass die weitere Informationsbes ha�ung aus Si htpro�torientierter Marktteilnehmer keinen Sinn mehr ergbit, da ihren Kosten keine aus-3Während des Jahres 2012 waren Anleger sogar bereit, eine Prämie für z.B. deuts he Staatsanleihen zuzahlen, statt eine Rendite zu erhalten. 28

Kapitel 3. Handel von Finanzinstrumentenrei henden Pro�tmögli hkeiten mehr gegenüberstehen. Dies würde in letzter Konsequenzzum Zusammenbru h der Marktaktivität führen. Damit wäre ein e�zienter Markt sogarunmögli h. Lo und Ma Kinlay (1999) formulieren ihre Interpretation so:�(. . . ) the degree of market ine� ien y determines the e�ort investors are wil-ling to expend to gather and trade on information, hen e a non-degeneratemarket equilibrium will arise only when there are su� ient pro�t opportuni-ties, i.e., ine� ien ies, to ompensate investors for the osts of trading andinformation-gathering.� Lo und Ma Kinlay (1999), S.5Wäre also der Markt von vorneherein und immer e�zient (wie Fama (1970) unterstellt),so nähme kein Investor die Kosten der Informationsbes ha�ung auf si h, da keine entspre- henden Kompensationen erwartet werden könnten. In der Folge �ele die Informationsbe-s ha�ung aus und der Markt würde ine�zient. Um zu einem e�zienten Glei hgewi ht zukommen, sollten also Kosten und Nutzen der Informationsbes ha�ung in einem �fairen�Verhältnis zueinander stehen.3.1.2. Modernere AnsätzeNeuere Ansätze versu hen vor allem das Problem der Verbindung von Markte�zienz undKapitalmarktmodell anzugehen. Dazu können moderne Methoden der Arbitrage-Theoriedienen, wie sie z.B. von Jarrow (2012) und Jarrow und Larsson (2012) verwendet wer-den. Es wird gezeigt, wie Markte�zienz, Arbitragefreiheit und risikoneutrale Erwartungenzueinander in Beziehung stehen. Ein Markt ist demna h e�zient, wenn die Preise einenProzess von Marktglei hgewi htspreisen bilden, d.h. die Investitions- und Konsuments hei-dungen der Wirts haftssubjekte optimal sind und der Markt zu jedem Zeitpunkt geräumtist. Arbitragefreiheit bildet das zentrale Merkmal eines e�zienten Marktes. Aus den Aus-führungen von Jarrow (2012) folgt nun, dass si h e�ziente Marktglei hgewi hte dur hein Martingal darstellen lassen. Umgekehrt folgt aus der Martingaleigens haft der Markt-preise au h die E�zienz des Marktes. Diese Formalisierungen ermögli hen einen Test vonMarkte�zienz ohne Annahme eines speziellen Kapitalmarktmodells. Frahm (2013a) di�e-renziert nun in der Betra htung von Arbitragefreiheit und Marke�zienz weiter. Basierenddarauf ums hreibt Frahm (2013b) dann die Bedingungen und Folgen der Absorbtion einesInformations�usses. Diese Situation ist dadur h harakterisiert, dass sämtli he preisrele-vanten Informationen bereits in den historis hen Marktpreisen zum Ausdru k kommen.29

Kapitel 3. Handel von FinanzinstrumentenDamit ist ausges hlossen, dass eine andere Informationsmenge weitere preisrelevante In-formationen gegenüber der Marktpreishistorie enthält, die Arbitragemögli hkeiten zulieÿe.Ents heidend ist also der Grad, zu dem alle relevanten Informationen in der gesamtenPreishistorie umfasst sind. Anders ausgedrü kt: Kann man mit einer erweiterten Informa-tionsmenge die zukünftige Renditeverteilung besser harakterisieren als mit der gesamtenhistoris hen Preisinformation? Ein Markt, der den gesamten Informations�uss absorbiert,ist vollständig hinsi htli h der Preishistorie und arbitragefrei und damit au h e�zient imSinne von Jarrow (2012).Erfüllt ein Markt die BedingungenIP(Ri,T ≤ ri | Gt) = IP(Ri,T ≤ ri | Ht)undIP(Rj,t ≤ rj | HT ) = IP(Rj,t ≤ rj | Ht),wobei Gt die Menge der ö�entli hen zugängli hen Informationen eins hlieÿli h der Preis-historie und Ht die gesamte Preishistorie bezei hnen, so absorbiert er den gesamten Flussaller Informationen (eins hlieÿli h privater Informationen) {Ft}.4 Diese Bedingungen ha-ben nun zwei Implikationen.Zum Ersten wird die Verteilung der Renditen unter diesen Bedingungen bereits dur h Gt,bzw. dur h Ht ausgedrü kt. Um die Renditeverteilung eines Portfolios zu bes hreiben, ge-nügt es dann also, die Preishistorie zu berü ksi htigen. Die Investitionsents heidung kanndur h Berü ksi htigung von Informationen, die über die Preishistorie hinausgehen, aberno h in Ft liegen, ni ht mehr verbessert werden. Gelten o.g. Bedingungen, so ist es eben-falls unmögli h, dur h z.B. te hnis he oder fundamentale Analyse Arbitragemögli hkeitenzu �nden. Brä hte man die Informationsmenge Ft allen Marktteilnehmer zur Kenntnis,würden si h die Marktpreise ni ht verändern. In diesem Fall spiegelt der Markt bereits alleInformationen im Sinne von Fama (1970) wider. Seine re ht vage De�nition der Markte�-zienz bekommt also in diesem Kontext eine konkrete wahrs heinli hkeitstheoretis he Form.Dieses Absorbtionsprinzip tritt neben die Arbitragefreiheit als Merkmal eines e�zientenMarktes.Zum Zweiten reagieren auf einem absorbierenden Markt die Preise ohne Verzögerung aufein Ereignis. Dies wird dur h die zweite Glei hung zum Ausdru k gebra ht. Demna h sind4Formal gilt für die Informationsmengen Ht ⊆ Gt ⊆ Ft.30

Kapitel 3. Handel von Finanzinstrumentenalle relevanten Informationen zur Bewertung latenter Risiken bereits in den heutigen Prei-sen enthalten. Die Kenntnis zukünftiger Marktpreise brä hte also für die Marktbewertungdur h einen Investor heute keinen Vorteil. Au h in diesem intertemporalen Sinne sind alleInformationen vollständig in den Preisen berü ksi htigt. Diese Bedingung könnte analogals Formalisierung der Forderung von Fama et al. (1969) na h sofortiger Preisanpassungeines e�zienten Marktes an neue Informationen gelten.Darüber hinaus lässt si h sagen, dass ein e�zienter Markt zwar arbitragefrei ist, ein ar-bitragefreier Markt jedo h ni ht vollständig sein muss. Ist nämli h der Markt hinsi htli hder Marktpreishistorie e�zient, so ers heint es dur haus denkbar, dass diese E�zienz be-zügli h einer gröÿeren Informationsmenge ni ht gegeben sein muss. Diesen Zustand kannman dann als eine s hwa he Form der Markte�zienz au�assen.Das Random-Walk-Modell kann nun in diesem Muster als Spezialfall angesehen werden.Frahm (2013a) zeigt, dass unter der Markow-Eigens haft, der Skaleninvarianz und derStationarität der MarktpreiseIP(Rt ≤ r | Ft) = IP(Rt ≤ r)gilt. Damit wird deutli h, dass unter o.g. Eigens haften und bei Markte�zienz die Markt-renditen unabhängig von der Information Ft sind und die Random-Walk-Eigens haft er-füllen. Insofern ist das Random-Walk-Modell ein Modell maximaler Annahmen und stellteher einen Grenzfall dar, der in der Praxis kaum anzutre�en sein dürfte.Ein weiterer Aspekt bezieht si h auf den Zusammenhang von Markte�zienz und Prognos-tizierbarkeit der Preise. Frahm (2013a) argumentiert auf Basis sto hastis her Diskont-faktoren, dass im Falle risikoaverser Marktteilnehmer die erwartete Marktrendite von derKovarianz zwis hen den Marktrenditen und der Risikoprämie unter der Bedingung vollstän-diger Information abhängt. Existiert ein sol her Zusammenhang zwis hen (vollständiger)Information und erwarteter Rendite, kann von einer grundsätzli hen Prognostizierbarkeitausgegangen werden. Betra htet man Marktpreise als Ergebnis eines Informations�usses,so ers heint dieser Zusammenhang au h intuitiv einzuleu hten. Au h auf vollständigenMärkten lassen si h damit Preise prognostizieren, allerdings ohne Mögli hkeiten zur Arbi-trage. Daher sind z.B. Methoden der Zeitreihenanalyse sinnvolle Prognoseinstrumente, dadie Preishistorie alle relevanten Informationen eines e�zienten Marktes enthält.

31

Kapitel 3. Handel von FinanzinstrumentenInsgesamt betra htet ist also in der wissens haftli hen Diskussion bislang keineswegs un-strittig, ob und bis zu wel hem Grad reale Finanzmärkte als Stereotyp informationse�zien-ter Märkte angesehen werden können. Sowohl Befürworter als au h Kritiker der Marktef-�zienzhypothese führen dazu logis he und sti hhaltige Argumente an � in theoretis herwie empiris her Hinsi ht. Dabei sollte jedo h bea htet werden, dass die Markte�zienzhy-pothese in ihrer klassis hen Ausgestaltung vielmehr einen theoretis hen Idealzustand alseine direkt beweis- oder widerlegbare Hypothese bes hreibt. Wie bereits eingangs ange-deutet, bedarf es einer weiteren Spezi�zierung z.B. von Risikopräferenzen oder Informati-onsmengen im Rahmen eines Kapitalmarktmodells, um eine empiris he Überprüfung erstzu ermögli hen. Eine sol he Überprüfung wird dann allerdings immer die S hwä hen ei-nes gemeinsamen Hypothesentests aufweisen � die Gültigkeit des Kapitalmarktmodells hatimmer eine unmittelbare Auswirkung auf den Test der Markte�zienz. Dies wiederum er-ö�net Interpretationsspielräume, birgt die Gefahr des Data Minings und ers hwert so dasZiehen eindeutiger Rü ks hlüsse. Neuere Ansätze s heinen hier jedo h die Verqui kung vonMarkte�zienz und Kapitalmarktmodell zunehmend aufzulösen und si h auf die Untersu- hung der Bedingungen von Marktvollständigkeit und Arbitragefreiheit zu konzentrieren.Diese Entwi klung könnte einen unverstellteren und vertieften Einbli k in die Mögli hkei-ten und Konsequenzen e�zienter Märkte zur Folge haben � wennglei h au h damit dieFrage der Markte�zienz ni ht abs hlieÿend abgearbeitet sein dürfte.Denno h mag die Annahme eines e�zienten Marktes oder sogar eines Random-Walk derKurse in einem übergeordneten Modell aus Vereinfa hungsgründen dur haus gere htfertigters heinen. Von einem praxisbezogenen Bli kwinkel aus könnten daher Finanzmärkte alslangfristig informationse�zient betra htet werden, obwohl Abwei hungen von diesem Ideal-zustand kurzfristig mögli h sind. Nur ein idealtypis her, friktionsloser Markt kennt keineAnpassungszeit und wäre damit au h kurzfristig informationse�zient. Um jedo h kurzfris-tige Pro�tgelegenheiten, wie z.B. Arbitragemögli hkeiten, immer wieder nutzen zu können,wären allerdings fortwährende Investitionen in Finanzinnovationen, verbesserte Te hnolo-gie der Informationsverarbeitung et . nötig. Den erwarteten Nutzen sol her Investitionenkönnte man dann als Rente aus einem Wettbewerbsvorteil interpretieren. In dieser Hinsi htwürden si h also Finanzmärkte von anderen Märkten ni ht unters heiden. Ist jedo h eineMögli hkeit zur pro�tablen Ausbeutung einer Marktanomalie erst einmal bekannt, wird siebald nutzlos werden, denn diese Information wird dann dur h Na hahmungse�ekte zuneh-32

Kapitel 3. Handel von Finanzinstrumentenmend in den Preisen enthalten sein. Die Marktteilnehmer werden daher alles daran setzen,ihre Te hnologien zur Informationsverarbeitung geeignet zu s hützen � ähnli h Betriebs-geheimnissen in anderen Bran hen, wie z.B. hemis he Formeln oder Medikamentenzu-sammensetzungen. Dur h die stärkere Vernetzung, die gröÿere Zahl der Marktteilnehmer,die immer geringer werdenden Kosten der Informationsbes ha�ung und den intensiverenWettbewerb ist zu erwarten, dass die Verfallsdauer kompetitiver Vorteile insgesamt gerin-ger ausfällt und s hneller abnimmt als auf anderen Märkten. Folgli h kämen Finanzmärktes hneller zu einem e�zienten Glei hgewi ht zurü k. In diesem Gedankengang würde alsoein andauerndes Pro�tstreben gerade den erstrebten Pro�t in zunehmenden Maÿe verklei-nern und auf lange Si ht vers hwinden lassen. Der Anpassungsprozess an ein e�zientesGlei hgewi ht bes hleunigt si h, je gröÿer die Anzahl der rationalen Marktteilnehmer ist,die versu hen, Informationsine�zienzen pro�tabel zu nutzen. Andererseits käme mögli her-weise ohne die Pro�tgelegenheiten dur h Ine�zienzen ein Austaus h nur unter rationalenMarktteilnehmern gar ni ht mehr zustande. Die Diskussion der Markte�zienz bewegt si halso im Spannungsfeld dieser unklaren und je na h Bli kwinkel unters hiedli h modellier-ten Interdependenzen. Die Diskussion um den elektronis hen Ho hfrequenzhandel lässt diepraktis he Dimension dieser theoretis hen Überlegungen erahnen.Vor diesem Hintergrund sollen die im Folgenden gezeigten theoretis hen und empiris henResultate jedo h ni ht als Plädoyer für oder gegen die Annahme informationse�zienterFinanzmärkte missverstanden werden. Im Zusammenhang mit der De�nition der Marktef-�zienz von Fama (1970) ergeben si h für einen Investor selbst im Rahmen der Annahmeeines e�zienten Marktes zwei Mögli hkeiten: Entweder kann er unter Berü ksi htigung al-ler vorhandenen Informationen, hinsi htli h derer der Markt e�zient ist, die marktübli heRendite erzielen oder unter Berü ksi htigung einer erweiterten Menge relevanter Infor-mationen mehr als die marktübli he Rendite errei hen. Aber au h im Rahmen der erstenMögli hkeit kann der Investor einen höheren Nutzen erzielen, wenn er die gesamte Informa-tionsmenge auswertet � im Gegensatz zu einem Investor, der dies ni ht tut. Die Kenntnisaller ihm zur Verfügung stehenden Instrumente und Handlungsoptionen ist dem Investoralso in jedem Fall von Nutzen. Das im kommenden Kapitel einzuführende Konzept derHandelsregel soll nun diese Instrumente und Optionen miteinander verbinden und mög-li he Resultate und Implikationen für den Investor analysieren. Ziel ist es zunä hst, eineFormalisierung des Umgangs mit einer gegebenen Informationsmenge zu errei hen.33

Kapitel 3. Handel von Finanzinstrumenten3.2. Handelsregeln3.2.1. VorüberlegungenDer Begri� der Handelsregel ist in der Literatur ni ht formal einheitli h de�niert. Je na hKontext und Autor werden unters hiedli he Terminologien verwendet, die jedo h meisteinen gemeinsamen Kern enthalten. Allgemein könnte man die Handelsregel als eine stati-s he Handlungsvors hrift de�nieren, die ein Handelssignal, bzw. eine Anlageents heidungfür ein vorgegebenes Finanzinstrument zu einem bestimmten Zeitpunkt na h si h zieht,sobald vorher festgelegte Kriterien vorliegen. Die Regel als sol he ändert si h dabei alsoni ht, jedo h passt si h das Handelssignal im Zeitablauf dynamis h an eine Veränderung derKriterien an. Die Kriterien, die zu einer Anlageents heidung führen, können beispielsweisedur h eine Preisprognose des zu handelnden Finanzinstruments gegeben sein. Insofern istdie Handelsents heidung immer von einem Fluss von Informationen abhängig, der dur h einPrognosemodell verarbeitet und ans hlieÿend dur h die Handelsregel in ein Handelssignalumgewandelt wird. In dieser Arbeit wird der Informations�uss dur h Zeitreiheninformati-on des jeweiligen Finanzinstruments abgebildet.Sei It−1 nun die Information, die dem Investor zum Zeitpunkt t− 1 zur Verfügung steht.Die Verteilung von Xt kann dur h die bedingte Wahrs heinli hkeit IP(Xt ≤ x|It−1) ha-rakterisiert werden. Der Investor kann also die Information It−1 nutzen, um Xt dur hden bedingten Erwartungswert E(Xt|It−1) zu prognostizieren. Dabei kann It−1 dur hausso bes ha�en sein, dass E(Xt|It−1) < 0, aber denno h E(Xt) > 0 gilt. Diese Situationentsteht typis herweise in einem Baisse-Markt. Die Information It−1 zeigt dem Investorzum Zeitpunkt t− 1 eine negative bedingte Erwartung an, obwohl der unbedingte Erwar-tungswert positiv ist und damit eine langfristig positive Risikoprämie zu erwarten ist. Derunbedingte Erwartungswert von Xt ist dannE(Xt) = IP(It−1) E(Xt | It−1)

︸ ︷︷ ︸

< 0

+ IP(It−1) E(Xt | It−1)︸ ︷︷ ︸

> 0

. (3.1)Hat der Investor eine so bes ha�ene Information gefunden, kann er si h ents heiden, dasFinanzinstrument zu verkaufen bzw. leerzuverkaufen, immer wenn It−1 auftritt. Wenn erjedo h die gegenteilige Information It−1 beoba htet, sollte der Investor eine Kaufpositionhalten. Daraus lassen si h vers hiedene Formen von Handelsregeln ableiten.34

Kapitel 3. Handel von Finanzinstrumenten3.2.2. Di hotome HandelsregelSei {St} ein sto hastis her Prozess, sodassSt−1 =

−1 , Verkauf mit Wahrs heinli hkeit IP(It−1),1 , Kauf mit Wahrs heinli hkeit 1− IP(It−1).dann heiÿt {St} di hotome Handelsregel und St (Handels-)Signal. Das Handelssignal zeigtdie Positionierung des Investors an: −1 für eine Verkauf- (Short), 1 für eine Kaufpositi-on (Long). In jeder Periode t ents heidet der Investor also erneut, das zugrunde liegendeFinanzinstrument (Underlying) zu kaufen bzw. weiter zu halten, zu verkaufen oder einebereits bestehende Leerverkaufsposition beizubehalten. Dabei liegt die Information in t−1vor und führt am Ende der Periode zu einem Signal, das dann in t umgesetzt wird. Manbea hte, dass das Handelssignal dur h die Handelsregel vollständig de�niert ist.5 Im Falleeiner Buy-and-Hold-Strategie ist das Signal ni ht sto hastis h, und es gilt St−1 = 1 für alle

t.Jede Information It−1, die zu einem Signal St−1 führt, für das E(Xt|St−1 = −1) < 0 gilt,ist für den Investor nützli h. In diesem Falle kann er vermeiden, ein Finanzinstrument zuhalten, für das er kurzfristig einen negativen Cash�ow erwartet.6 Allerdings kann die Rea-lisation von Xt denno h positiv sein, obwohl der Erwartungswert von Xt bedingt auf dieInformation It−1 negativ ist. In diesem Fall erhält der Investor ein fals hes Verkaufssignal.Die Wahrs heinli hkeit für ein sol hes fals hes Verkaufssignal ist jedo h umso geringer, jeweiter E(Xt|St−1 = −1) < 0 von null entfernt ist. Ist E(Xt|St−1 = −1) ausrei hend weitvon null entfernt, so ist die entspre hende Information verlässli h. Daher sollte eine ver-lässli he Information so oft wie mögli h zu beoba hten sein, mithin regelmäÿig auftreten.Nützli he Informationen sind selten, d.h. IP(It−1) kann sehr klein sein. Der Investor mussalso na h Informationen su hen, die nützli h und verlässli h sind und darüber hinaus re-gelmäÿig auftreten.Wendet man die di hotome Handelsregel nun auf einem Markt mit E(Xt) = µ und σ2 =

Var(Xt) > 0 an, so gilt für den Pro�t Yt:Yt = St−1Xt,5Die Begri�e Handelsregel, Handelsstrategie und Handelssignal werden im Folgenden aus Vereinfa hungs-gründen synonym verwendet.6Dur h den Leerverkauf dieses Finanzinstruments kann er sogar von einer sol hen Information pro�tieren.35

Kapitel 3. Handel von Finanzinstrumentenwobei Xt hier den Cash�ows des gehandelten Wertpapiers bezei hnet. Für die Buy-and-Hold-Strategie mit St−1 = 1 für alle t gilt dann:Yt = St−1

︸︷︷︸

1

Xt = XtsowieE(Yt) = E(St−1Xt) = E(Xt) = µund

Var(Yt) = Var(St−1Xt) = Var(Xt) = σ2.Im di hotomen Fall wird mit Wahrs heinli hkeit p = IP(It−1) = IP(St−1 = −1) eineVerkaufposition in t gehalten. Damit ergeben si h für den Erwartungswert und die Varianzdes Handelssignals:E(St−1) = IP(St−1 = 1)− IP(St−1 = −1) = 1− 2p = δundVar(St−1) = E(S2

t−1)− E(St−1)2

= 1− (1− 4p + 4p2) = 4p(1− p) = σ2S .Für p wird im Folgenden der Begri� Short Ratio verwendet. Die Short Ratio einer Buy-and-Hold-Strategie ist p = 0, da δ = E(St−1) = 1 für jeden Zeitpunkt t gilt. Sei nun η =

E(Yt) der erwartete Pro�t eines Handelssignals, θ2 = Var(Yt) die Varianz des Pro�ts undγ = Cov(St−1,Xt) die Kovarianz zwis hen Handelssignal und Cash�ow des gehandeltenFinanzinstruments. Da S2

t−1 = 1, gilt allgemein für den Erwartungswert des Pro�ts desHandelssignals:E(Yt) = E(St−1Xt)

= E(St−1) E(Xt) + Cov(St−1,Xt)

= δµ + γ.Ausgedrü kt dur h den totalen Erwartungswert ergibt si h:E(Yt) = E(St−1Xt)

= IP(It−1) E(−Xt | It−1) + IP(It−1) E(Xt | It−1)

= IP(St−1 = −1)E(−Xt|St−1 = −1) + IP(St−1 = 1)E(Xt |St−1 = 1)

= (1− p)E(Xt |St−1 = 1)− pE(Xt|St−1 = −1).36

Kapitel 3. Handel von FinanzinstrumentenFür die Varianz gilt dann:Var(Yt) = E(S2

t−1X2t )− E(Yt)

2

= E(X2t )− E(Yt)

2

= σ2 + µ2 − (γ + δµ)2.Die Funktionxt 7−→ E(St−1 |Xt = xt) ∈ [−1, 1] , xt ∈ ]−∞,∞[soll im Folgenden als Prognosefähigkeit des Investors bezei hnet werden. Eine positiveKovarianz γ weist dabei auf eine Prognosefähigkeit des Handelssignals hin. Die Prognose-fähigkeit lässt si h au h als Korrelation zwis hen Handelssignal und Cash�ow des Marktesausdrü ken:

ψ =Cov(St−1,Xt)

√

Var(St−1)Var(Xt)=

γ√

σ2S σ2.Sind St−1 und Xt sto hastis h unabhängig, liegt keinerlei Prognosefähigkeit vor, und damitgilt γ = ψ = 0. Die Funktion

xt 7−→ Var(St−1 |Xt = xt) ∈ [0,∞[ , xt ∈ ]−∞,∞[soll im Folgenden als Prognoseunsi herheit des Investors bezei hnet werden.Pro�t der di hotomen HandelsregelIn diesem Abs hnitt soll genauer auf den erwarteten Pro�t einer di hotomen Handelsregeleingegangen werden. Dieser ist de�niert alsη = E(Yt) = E(St−1Xt).Betra htet man diesen Pro�t mit den zugehörigen Wahrs heinli hkeiten, so lässt si h dererwartete Pro�t au h darstellen als

E(St−1Xt) = IP(Xt > 0, St−1 = 1 ∨Xt ≤ 0, St−1 = −1)

E(|Xt||Xt > 0, St−1 = 1 ∨Xt ≤ 0, St−1 = −1)−

IP(Xt ≤ 0, St−1 = 1 ∨Xt > 0, St−1 = −1)

E(|Xt||Xt ≤ 0, St−1 = 1 ∨Xt > 0, St−1 = −1).

37

Kapitel 3. Handel von FinanzinstrumentenDe�niert man dabei π als Gewinnwahrs heinli hkeit oder Tre�erquoteπ = IP(Xt > 0, St−1 = 1 ∨Xt ≤ 0, St−1 = −1)

= IP(Xt > 0, St−1 = 1) + IP(Xt ≤ 0, St−1 = −1)undηpos = E(|Xt||Xt > 0, St−1 = 1 ∨Xt ≤ 0, St−1 = −1)

ηneg = E(|Xt||Xt ≤ 0, St−1 = 1 ∨Xt > 0, St−1 = −1)als dur hs hnittli hem Gewinn, bzw. dur hs hnittli hem Verlust, so ergibt si hη = πηpos − (1− π)ηneg.Nimmt man vereinfa hend an, dass dur hs hnittli her Gewinn und Verlust betragsmäÿigglei h sind, vereinfa ht si h der erwartete Pro�t zu

η = (2π − 1)η∗mitη∗ = ηpos = ηneg.An dieser Formel kann man lei ht erkennen, dass erst ab einer Gewinnwahrs heinli hkeitvon mehr als 50% die di hotome Handelsregel pro�tabel sein kann � sofern dur hs hnitt-li her Gewinn und dur hs hnittli her Verlust betragsmäÿig glei h groÿ sind. Bringt mandieses Resultat nun in Zusammenhang mit der Prognosefähigkeit des Investors, erhält man

γ = (2π − 1)η∗ − δµ.Um eine positive Kovarianz zwis hen Signal und Cash�ow zu erzielen, mithin über einePrognosefähigkeit zu verfügen, rei ht also eine Gewinnwahrs heinli hkeit von 50% no hni ht aus: Vielmehr muss je na h Höhe der Risikoprämie und der Häu�gkeit eines Ver-kaufssignals ein fals hes Verkaufssignal dur h eine höhere Gewinnwahrs heinli hkeit wiederausgegli hen werden. Der Investor steht also vor dem Problem, eine Gewinnwahrs hein-li hkeit von mehr als 50% zu realisieren und dabei fals he Verkaufsignale zu vermeiden. ImFalle eines fals hen Verkaufsignals verliert der Investor glei h doppelt: Zum einen realisierter einen Verlust, falls er verkauft und der Cash�ow positiv ist, und zum anderen verliert er38

Kapitel 3. Handel von Finanzinstrumentendur h seinen Verkauf einen Teil der Risikoprämie, die er für das Halten des Finanzinstru-ments erhalten hätte. Hier erkennt man wiederum die Bedeutung verlässli her Information,die mögli hst zuverlässig einen bevorstehenden negativen Cash�ow antizipieren soll.Markt ohne RisikoprämieNimmt man weiter an, dass µ = E(Xt) = 0 , also der Markt keine Risikoprämie für dasHalten des Finanzinstruments zahlt, gilt für den Erwartungswert der di hotomen Handels-regel:E(Yt) = E(St−1Xt)

= Cov(St−1,Xt)

= γ.Der erwartete Pro�t der Handelsregel ist also glei h der Kovarianz des Handelssignalsund des Cash�ows des gehandelten Marktes. Für die Varianz des Pro�ts der di hotomenHandelsregel gilt dann:Var(Yt) = E(S2

t−1X2t )− E(St−1Xt)

2

= E(X2t )− E(St−1Xt)

2

= Var(Xt)− Cov(St−1,Xt)2

= σ2 − γ2.Hier kann man bereits ein interessantes Resultat ablesen: Dur h die Anwendung der di- hotomen Handelsregel kann der Investor die Varianz verringern, indem er implizit denerwarteten Pro�t erhöht. Je besser also die Prognosefähigkeit ist, umso höher fällt dererwartete Pro�t der Handelsregel aus und umso geringer wird damit die Varianz. EineVergröÿerung des erwarteten Pro�ts (bzw. der Prognosefähigkeit) und eine Varianzreduk-tion sind also im Kontext di hotomer Handelssignale glei hbedeutend. Dieses Resultat istau h intuitiv sinnvoll: Nimmt man einen Investor mit perfekter Voraussi ht an, so könnteer den hö hstmögli hen Pro�t bei geringster Varianz erzielen, da er kommende Marktpreis-bewegungen immer korrekt antizipieren würde.7 Bei Abwesenheit der Risikoprämie ist derPro�t der Handelsregel gröÿer als der Pro�t der Buy-and-Hold-Strategie, falls:E(Yt) > E(Xt) = 0.7Allerdings muss man au h hier γ2 < σ2 unterstellen, damit Var(Yt) > 0 bleibt.39

Kapitel 3. Handel von FinanzinstrumentenMitE(Yt) = η = π · ηpos − (1− π) · ηnegfolgt daraus

π

1− π>ηnegηpos

.Das bedeutet, dass das Chan e-Risiko-Verhältnis einer Handelsregel gröÿer als der Quotientaus dur hs hnittli hem Verlust und dur hs hnittli hem Gewinn sein muss, damit der Pro�tder Handelsregel gröÿer ist als der der Buy-and-Hold-Strategie. Bei betragsmäÿig glei hgroÿem dur hs hnittli hen Verlust und dur hs hnittli hen Gewinn ist eine Handelsregelalso erst ab einem π > 0, 5 pro�tabel. Im Übrigen reduziert si h der Zusammenhang vonPrognosefähigkeit und Gewinnwahrs heinli hkeit aufγ = (2π − 1)η∗.Der Investor muss hier also keine etwaige Risikoprämie dur h eine höhere Gewinnwahr-s heinli hkeit wieder ausglei hen.Markt mit RisikoprämieIm vorausgehenden Abs hnitt wurde unterstellt, dass ein Investor für das Halten einerMarktposition keinerlei Risikoprämie erhält. Obwohl si h diese Annahme mögli herweisefür tägli he Marktpreisveränderungen empiris h sogar re htfertigen lieÿe, ist sie theoretis hunplausibel. Typis herweise erhalten Investoren auf fairen Märkten eine Prämie um fürdas Halterisiko einer Marktposition kompensiert zu werden. Es gilt dann E(Xt) = µ > 0gegeben V ar(Xt) = σ2 > 0. Daraus folgt au h unmittelbar eine positive Sharpe Ratio derBuy-and-Hold-Strategie. Für den Erwartungswert des Pro�ts der Handelsregel gilt dannwieder:E(Yt) = δµ + γ (3.2)und für die Varianz:

Var(Yt) = σ2 + µ2 − (γ + δµ)2. (3.3)Besitzt die Handelsregel keine Prognosefähigkeit, d.h. ist γ = 0, gilt für den erwartetenPro�t der Handelsregel:E(Yt) = δµ.

40

Kapitel 3. Handel von FinanzinstrumentenDa −1 ≤ δ ≤ 1, ist der erwartete Pro�t der Handelsregel immer geringer als die Risi-koprämie, solange der Investor keine Buy-and-Hold-Strategie wählt. Für die Varianz giltdann:Var(Yt) = σ2 + µ2(1− δ2).Hier ist die Varianz der Pro�te der Handelsregel immer gröÿer als die Varianz der Markt-pro�te, solange der Investor keine Buy-and-Hold-Strategie verfolgt. Ein Investor ohne Pro-gnosefähigkeit stellt si h in einem Markt mit Risikoprämie daher dur h eine Buy-and-Hold-Strategie immer besser als dur h die Anwendung einer anderen Handelsregel.Liegt allerdings eine Prognosefähigkeit vor, d.h. ist γ > 0, gelten für Erwartungswert undVarianz die Glei hungen (3.2) und (3.3). Die Varianz der Pro�te der Handelsregel ist alsogeringer als die Varianz der Cash�ows falls

E(Yt) > E(Xt)bzw.δµ+ γ > µ. (3.4)Die Sharpe Ratio der Buy-and-Hold-Strategie istSh =

µ

σ.Die Sharpe Ratio der Handelsregel ist dann

E(Yt)√

Var(Yt)=

δµ + γ√

σ2 −{(δµ + γ)2 − µ2

} .Letztere ist gröÿer als die Sharpe Ratio der Buy-and-Hold-Strategie dann und nur dann,wenn E(Yt) > µ. Aus Glei hung (3.4) folgt ebenfalls, dassδ > 1− γ

µoder anders ausgedrü kt:1− 2p > 1− γ

µ.Damit ergibt si h wiederum, dass

p <γ

2µ=√

σ2S · ψ

2Sh .Mit (3.2) folgt daraus:p <

ψ2Sh2 + ψ2. (3.5)41

Kapitel 3. Handel von FinanzinstrumentenIst also die Prognosefähigkeit relativ zur Sharpe Ratio der Buy-and-Hold-Strategie klein,ist die Short Ratio einer e�ektiven Handelsregel ebenfalls gering. Umgekehrt heiÿt das,dass es für einen Investor, der Handelsregeln mit geringer Prognosefähigkeit relativ zurSharpe Ratio der Buy-and-Hold-Strategie verwendet, meist besser ist, die Buy-and-Hold-Strategie direkt anzuwenden, um in jedem Fall die Risikoprämie zu erhalten. Verfügt derInvestor jedo h über eine gewisse Prognosefähigkeit, kann er si h dur h die Anwendung derHandelsregel trotzdem no h s hle hter stellen als dur h die Buy-and-Hold-Strategie, wennseine Short Ratio zu ho h ist. Die folgenden Überlegungen sollen diesen Zusammenhangweiter beleu hten:Verglei ht man den Cash�ow des Finanzinstruments bzw. der Buy-and-Hold-Strategie mitdem Pro�t des di hotomen Handelssignals, so ergibt si hE(Yt)− E(Xt) = −2IP(St−1 = −1)E(Xt|St−1) (3.6)

= δµ + γ − µ (3.7)= −2pµ+ γ > 0. (3.8)Hier zeigt si h wiederum, dass der Investor seinen erwarteten Pro�t dadur h steigern kann,dass er Informationen su ht, die negative bedingte Erwartungen anzeigen. Dur h Anwen-dung einer geeigneten Handelsregel kann er diese Informationen entspre hend nutzen undin Pro�t umwandeln. Glei hung (3.5) kann umgeformt werden zuψ

√1− p

p> Sh.Problematis h dabei ist die Interdependenz zwis hen p und ψ. Der Investor kann also ni hteinfa h eine Handelsregel mit einer geringen Short Ratio wählen. Vielmehr folgt aus (3.6),dass

γ = −2pµ− 2pE(Xt|St−1 = −1)

= −2pE(Xt − µ|St−1 = −1).Teilt man nun dur h σ und dur h σS = 2√

p(1− p) um einen Ausdru k für ψ zu erhalten,so ergibt si hψ = −

√p

1− p· E(Xt − µ

σ|St−1 = −1

)

.Eine pro�table Handelsregel zei hnet si h also dadur h aus, dass sie ein (Leer-)Verkaufssignalgeneriert, für das E(Xt|St−1 = −1) < 0 gilt. In diesem Fall ist dann ψ > 0 gegeben µ > 0.88Man bea hte, dass der umgekehrte Zusammenhang jedo h ni ht gilt.42

Kapitel 3. Handel von FinanzinstrumentenÄquivalent dazu lässt si h au h s hreiben:−E

(Xt − µ

σ|St−1 = −1

)

> Sh,d.h., die Sharpe Ratio bei Vorliegen eines Short-Signals sollte gröÿer sein als die unbedingteSharpe Ratio der Buy-and-Hold-Strategie. Ein gutes Handelssignal zei hnet si h also dur heine mögli hst hohe bedingte Sharpe Ratio bezügli h eines (Leer-)Verkaufssignals aus. Mitanderen Worten: Je besser die berü ksi htigte Information in der Lage ist, negative bedingteErwartungen herauszu�ltern, desto höher wird die Prognosegüte und desto gröÿer derPro�t der darauf basierenden Handelsregel sein.3.2.3. Tri hotome HandelsregelEine Erweiterung der di hotomen Handelsregel stellt die tri hotome Handelsregel dar. Hier-bei erhält der Investor zusätzli h die Mögli hkeit, keine Position im Underlying zu halten.Weil in den meisten praktis hen Fällen eine nützli he und verlässli he Information It−1nur mit geringer Regelmäÿigkeit zu beoba hten sein wird, ist IP(It−1) und damit die ShortRatio einer di hotomen Handelsregel klein. Mit (3.1) folgt dann, dassE(Xt|It−1) =

µ− pE(Xt|It−1)

1− p> µnahe an der Risikoprämie µ liegt. Zahlt der Markt keine Risikoprämie für das Halten desUnderlying (µ = 0), ist E(Xt|It−1) ebenfalls nahe null. In diesem Falle ist es wahrs hein-li her, dass Xt < 0 obwohl E(Xt|It−1) > 0 ist. Dadur h kann ein fals hes Kaufsignalauftreten. Eine tri hotome Handelsregel erlaubt es nun dem Investor, in sol hen Fällenkeine Position im Underlying halten zu müssen, falls er unsi her ist, ob Xt ≥ 0 oder Xt < 0.Nimmt man an, der Investor kennt die Teilmengen {Ht−1,It−1,Jt−1}, sodass

E(Xt |Ht−1) > 0 , E(Xt | It−1) < 0 , und E(Xt | Jt−1) = 0kann eine tri hotome Handelsregel gebildet werden:Sei {S∗t } ein sto hastis her Prozess, sodass

S∗t−1 =

−1 , Verkauf mit Wahrs heinli hkeit IP(It−1),1 , Kauf mit Wahrs heinli hkeit IP(Ht−1),0 Au�ösen mit Wahrs heinli hkeit IP(Jt−1),43

Kapitel 3. Handel von Finanzinstrumentendann heiÿt {S∗t } tri hotome Handelsregel und S∗

t tri hotomes (Handels-)Signal. Für denPro�t gilt dann:Y ∗t = S∗

t−1Xt.Darüber hinaus sei p∗ = IP(It−1) = IP(S∗t−1 = −1) die Short Ratio und q∗ = IP(Ht−1) =

IP(S∗t−1 = 1) die Long Ratio der tri hotomen Handelsregel. Die korrespondierende di ho-tome Handelsregel ist dann

St−1 =

−1 , S∗t−1 = −1 ,

1 , S∗t−1 = 0 ∨ S∗

t = 1 .Für den erwarteten Pro�t der tri hotomen Handelsregel ergibt si h:E(Y ∗

t ) = p∗ E(−Xt |S∗t−1 = −1) + q∗ E(Xt |S∗

t−1 = 1)

= p∗ E(−Xt |S∗t−1 = −1) + (1− p∗) E(Xt |S∗

t−1 = 0 ∨ S∗t−1 = 1)

︸ ︷︷ ︸

= q∗/(1−p∗)·E(Xt |S∗t−1=1)

= E(Yt)

= δµ + γund für die Varianz des Pro�ts:Var(Y ∗

t ) = E(S∗2t−1X

2t )− E(S∗

t−1Xt)2

= E(X2t )− E(Y ∗

t )︸ ︷︷ ︸

=E(Yt)

2 − E{(1− S∗2

t−1)X2t

}

= Var(Yt)− E{(1− S∗2

t−1)X2t

}.Für den zweiten Term gilt

E{(1− S∗2

t−1)X2t

}= E

[E{(1− S∗2

t−1)X2t |S∗

t−1

}]= IP(S∗

t−1 = 0)E(X2t |S∗

t−1 = 0).Unter der vereinfa henden Annahme µ = E(Xt) = 0 erhält manVar(Y ∗

t ) = Var(Xt)− IP(S∗t−1 = 0)E(X2

t |S∗t−1 = 0)− E(Y ∗

t )2.Ferner ist E(Xt |S∗

t−1 = 0) = 0 eine plausible Annahme. Daraus ergibt si h s hlieÿli hVar(Y ∗

t ) = Var(Xt)− IP(S∗t−1 = 0)Var(Xt |S∗

t−1 = 0)− E(Y ∗t )

2.D.h., die Varianz des Pro�ts kann dur h eine Verringerung der Handelshäu�gkeit IP(S∗t−1 =

±1) reduziert werden. Je seltener der Investor handelt, desto geringer wird die Varianz44

Kapitel 3. Handel von Finanzinstrumentenvon Xt sein, wenn er ni ht handelt. Darum kann es dur haus Sinn ergeben, relativ oftzu handeln, vorausgesetzt, die Varianz von Xt ist gerade dann groÿ, wenn der Handelausgesetzt wird. Falls der Pro�t allerdings eine glei h bleibende Volatilität aufweist, errei htder Investor dur h eine Verringerung der Handelshäu�gkeit praktis h immer au h eineVerringerung der Varianz. Für den Erwartungswert gilt auÿerdem:E(Y ∗

t ) = E(S∗t−1Xt) = E

{E(S∗

t−1Xt |S∗t )}

= IP(S∗t−1 = −1)E(−Xt |S∗

t−1 = −1) + IP(S∗t−1 = 1)E(Xt |S∗

t−1 = 1).Zum glei hen Ergebnis bezügli h der Varianz gelangt man au h, falls IP(S∗t−1 = 0, Xt 6=

0) > 0. Damit ist E{(1− S∗2t−1)X

2t

}> 0 und dann gilt für die Varianz

Var(Y ∗t ) < Var(Yt).Unter der Symmetrieannahme E(Xt |S∗

t−1 = 1) = E(−Xt |S∗t−1 = −1) ergibt si h s hlieÿ-li h

E(Y ∗t ) = IP(S∗

t−1 = ±1)E(Xt |S∗t−1 = 1).Je häu�ger der Investor handelt, desto geringer wird die erwartete Rendite sein, wenn erhandelt. Darum liegt es nahe, die Handelshäu�gkeit zu reduzieren und nur dann zu handeln,wenn es si h wirkli h lohnt. Der Investor kann also dur h Anwendung einer tri hotomenHandelsregel den glei hen Pro�t bei einer geringeren Varianz gegenüber einer di hotomenHandelsregel erzielen. Diese verfügt also über eine Filterwirkung gegenüber Informationen,die mögli herweise zu fals hen Handelssignalen führen. Wenn eine Risikoprämie existiert,kann man allerdings gegen eine sol he Handelsregel einwenden, dass der Investor einenTeil dieser Risikoprämie aufgibt, falls Jt−1 auftritt. Enthält Jt−1 keine Information, ist

E(Xt|Jt−1) = E(Xt) = µ. Der Investor hält dann keine Position (und erhält damit au hkeine Risikoprämie) und geht das Risiko eines fals hen negativen oder positiven Signalsein. 3.2.4. Gepoolte HandelsregelIn diesem Abs hnitt soll nun das Pooling, d.h. die Kombination di hotomer Handelsre-geln für ein und dasselbe Underlying, untersu ht werden. Gegeben sei dazu wieder einedi hotome Handelsregel gemäÿ Kapitel (3.2.2):St−1 =

−1 , Verkauf,1 , Kauf.45

Kapitel 3. Handel von FinanzinstrumentenDer Erwartungswert des Pro�ts der Handelsregel ist gegeben dur hE(Yt) = E(St−1Xt)

= E {E(St−1Xt |Xt)}

= E {E(St−1 |Xt)Xt} .Selbst wenn der Markt keine Risikoprämie für das Halten des Underlyings zahlt, d.h. manvon E(Xt) = 0 ausgeht, gilt E(Yt) > 0 , sofern St−1 und Xt positiv korreliert sind. Dennwie weiter oben bereits gezeigt, gilt dann γ = Cov(St−1,Xt) = E(St−1Xt) = E(Yt) > 0.Bezügli h der Varianz des Pro�ts der Handelsregel giltVar(Yt) = Var(St−1Xt)

= E{Var(St−1Xt |Xt)}+Var{E(St−1Xt |Xt)}

= E{Var(St−1 |Xt)X

2t

}

︸ ︷︷ ︸innere Varianz +Var {E(St−1 |Xt)Xt}︸ ︷︷ ︸äuÿere Varianz .Man nehme nun an, dass ein Investor über s vers hiedene Handelsregeln verfüge.9 Dabei sei

Si,t−1 das Handelssignal der Handelsregel i = 1, . . . , s und Yi,t = Si,t−1Xt der dazugehörigePro�t. Als triviale Mögli hkeit des Poolings wird also aus den einzelnen Handelssignalendas arithmetis he Mittel bere hnet. Die ZufallsvariableSt−1 =

1

s

s∑

i=1

Si,t−1 (3.9)kann hierbei als gepooltes Handelssignal aufgefasst werden. Damit erhält man für den Pro�tder gepoolten HandelsregelY t = St−1Xt.Der Pro�t der gepoolten Handelregel lässt si h daher au h darstellen als

Y t =

(

1

s

s∑

i=1

Si,t−1

)

Xt =1

s

s∑

i=1

Si,t−1Xt.Damit lässt si h der Pro�t au h über den Mittelwert der Pro�te der einzelnen di hotomenHandelsregeln darstellen:Y t =

s∑

i=1

1

sYi,t =

1

s

s∑

i=1

Yi,t.109Äquivalent dazu wäre die Annahme s vers hiedener Investoren, die dasselbe Underlying gemäÿ ihrerjeweiligen Handelsregel handeln.10Hier bei wird die Eigens haft des Pro�ts bzw. des Cash�ows genutzt, dass si h dieser sowohl im Quer-s hnitt als au h in der Zeit linear aggregieren lässt.46

Kapitel 3. Handel von FinanzinstrumentenGeht man nun der Einfa hheit halber davon aus, dass jeder Investor die glei he Prognose-fähigkeit besitzt,11 erhält man für den erwarteten Pro�t der gepoolten HandelsregelE(Y t) =

1

s

s∑

i=1

E(Yi,t) =1

s

s∑

i=1

E(Si,t−1Xt) =1

s

s∑

i=1

E {E(Si,t−1 |Xt)Xt}

=1

s

s∑

i=1

E {E(St−1 |Xt)Xt} =1

s

s∑

i=1

E(Yt) = E(Yt).Damit entspri ht der erwartete Pro�t der gepoolten Handelsregel dem erwarteten Pro�teiner jeden einzelnen di hotomen Handelsregel.Die Varianz des Pro�ts der gepoolten Handelsstrategie kann ähnli h zerlegt werden gemäÿVar(Y t) = Var(St−1Xt)

= E{Var(St−1 |Xt)X

2t

}+Var

{E(St−1 |Xt)Xt

}.Weil

E(St−1 |Xt) = E

(

1

s

s∑

i=1

Si,t−1 |Xt

)

=1

s

s∑

i=1

E(Si,t−1 |Xt)

=1

s

s∑

i=1

E(St−1 |Xt) = E(St−1 |Xt),hat die Mis hung also keinerlei Ein�uss auf die äuÿere Varianz der Rendite. Hingegen giltVar(St−1 |Xt) = Var

(

1

s

s∑

i=1

Si,t−1 |Xt

)

=1

s2

s∑

i, j=1

Cov(Si,t−1, Sj,t−1 |Xt)und aus der Cau hy-S hwarz-Unglei hung folgtCov(Si,t−1, Sj,t−1 |Xt)

2 ≤ Var(Si,t−1 |Xt)Var(Sj,t−1 |Xt).Geht man nun wieder der Einfa hheit halber davon aus, dass alle Investoren die glei hePrognoseunsi herheit aufweisen,12 erhält man das Resultat|Cov(Si,t−1, Sj,t−1 |Xt)| ≤ Var(St−1 |Xt).Damit gilt also

Var(St−1 |Xt) =1

s2

∣∣∣∣∣∣

s∑

i, j=1

Cov(Si,t−1, Sj,t−1 |Xt)

∣∣∣∣∣∣

≤ 1

s2

s∑

i, j=1

|Cov(Si,t−1, Sj,t−1 |Xt)|

≤ 1

s2

s∑

i, j=1

Var(St−1 |Xt) = Var(St−1 |Xt).11Formal: E(S1,t−1 |Xt = xt) = . . . = E(Ss,t−1 |Xt = xt) = E(St−1 |Xt = xt) .12Formal bedeutet das Var(S1,t−1 |Xt) = . . . = Var(Ss,t−1 |Xt) = Var(St−1 |Xt) .47

Kapitel 3. Handel von FinanzinstrumentenDie innere Varianz des Pro�ts der Handelsstrategie kann also dur h die Mis hung vonHandelssignalen verringert werden, und damit gilt wiederVar(Y t) ≤ Var(Yt).Dieses Ergebnis lässt si h au h auf anderem Wege zeigen. Für die Varianz des Pro�ts dergepoolten Handelsstrategie gilt wieder analog zur tri hotomen Handelsregel:

Var(Y t) = E(S2t−1X

2t )− E(St−1Xt)

2

= E(X2t )− E(Y t)

︸ ︷︷ ︸

=E(Yt)

2 − E{

(1− S2t−1)X

2t

}

= Var(Yt)− E{

(1− S2t−1)X

2t

}mit0 ≤ S

2t−1 =

(

1

s

s∑

i=1

Si,t−1

)2

=1

s2

s∑

i, j=1

Si,t−1Sj,t−1 ≤ 1.Der Wert 1 wird ledigli h errei ht, wenn alle Handelssignale glei hgeri htet sind. Der Wert0 ergibt si h hingegen, wenn die Hälfte aller Signale für �Kaufen� und die andere Hälfte für�Verkaufen� plädieren.13 In aller Regel wird S2t−1 also einen Wert kleiner als 1 annehmen.Damit erhält man letztendli h das Resultat

E{

(1− S2t−1)X

2t

}

≥ 0und damit wiederVar(Y t) ≤ Var(Yt).Trotz glei her Prognosefähigkeit und -unsi herheit der Investoren kann man dur h eineKombination von Handelssignalen die Renditevarianz reduzieren. Die Prognoseunsi her-heit wird insbesondere in sol hen Phasen ho h sein, in denen die bedingte Sharpe-Ratio �also das Verhältnis zwis hen E(Xt | It−1) und√Var(Xt | It−1) , betragsmäÿig klein ist. Daspassiert z.B., wenn der Markt seitwärts tendiert oder wenn man si h gerade in einem Clus-ter groÿer Volatilität be�ndet.14 In sol hen Situationen liefern die Marktteilnehmer in allerRegel unters hiedli he Prognosen ab, womit au h das Exposure |St−1| klein wird. Dur hdie Kombination von Handelssignalen errei ht man im Verglei h zu den Einzelstrategieneine Verringerung des Exposures, insbesondere in Phasen groÿer Unsi herheit. Das führt13Bei einer ungeraden Anzahl s vers hiedener di hotomer Handelssignale kann diese Situation gar ni hterst eintreten.14Formal: |E(Xt | It−1)| ist klein oder Var(Xt | It−1) ist groÿ.48

Kapitel 3. Handel von Finanzinstrumentenwiederum zu einer geringeren Varianz der Rendite, aber ni ht auf Kosten der Pro�tabilität.Die hier gezeigten Resultate entspre hen in weiten Teilen denen bzgl. der einzelnen tri ho-tomen Handelsregeln. Das ist insofern ni ht überras hend, als dur h die Kombination einergeraden Anzahl s di hotomer Handelsregeln in oben dargestellter Form lei ht ein tri ho-tomes Handelssignal entsteht. Zeigt die Hälfte der Signale �Kaufen� und die andere Hälfte�Verkaufen� an, so heben si h die Signale dur h das Pooling gegeneinander auf, und derInvestor hält keine Position. Erfolgt das Pooling wie in diesem Abs hnitt gezeigt dur h denMittelwert der einzelnen di hotomen Signale, so liegt das Exposure |St−1| zwis hen 0 und1. Im Gegensatz dazu kann das Exposure einer di hotomen oder tri hotomen Handelsregelnur 1 bzw. 0 oder 1 betragen. Neben den Prognosee�ekt tritt also im Falle des gemitteltenSignals no h ein E�ekt der Positionsgröÿe. Eine andere Mögli hkeit des Poolings ist

S∗t−1 =

−1 , falls St−1 < 0

1 , falls St−1 > 0,0 , sonst, (3.10)mit

St−1 =1

s

s∑

i=1

Si,t−1für i = 1, . . . , s. Hier werden die einzelnen Handelssignale je gehandeltem Markt zu einemtri hotomen Signal gemäÿ einer Mehrheitsents heidung gepoolt. Au h hier können si h inPhasen groÿer Prognoseunsi herheit bei einer geraden Anzahl s die einzelnen di hotomenHandelssignale gegeneinander aufheben. Da es si h jedo h insgesamt um ein tri hotomesHandelssignal handelt, dessen Exposure immer 0 oder 1 ist, entfällt der Positionsgröÿenef-fekt. Dur h die Umwandlung des gepoolten in ein tri hotomes Signal wird das Handelssignalzunä hst um diesen E�ekt bereinigt. Um den positiven Ein�uss des Positionsgröÿene�ek-tes auf die Pro�tabilität denno h nutzen zu können, kann diesem tri hotomen Signal nunwiederum ein optimales Volumen zugeordnet werden. Dieses optimale Handelsvolumenkann dabei in Abhängigkeit von der Prognosefähigkeit und der Korrelation der gehandel-ten Finanzinstrumente bestimmt werden. Diese Thematik wird in Kapitel 4.2 eingehenderbehandelt.49

Kapitel 3. Handel von Finanzinstrumenten3.3. Prognosemodelle und Handelsregeln3.3.1. Vom Modell zur HandelsregelPrognosemodelle für Finanzzeitreihen existieren in groÿer Anzahl und Vielfalt. Angefangenbei ökonometris hen Modellen über ni htlineare Modelle bis hin zu Ansätzen der BehavioralFinan e und der te hnis hen Analyse ist die Palette über die letzten Jahrzehnte stetiggewa hsen. Relevant in diesen Zusammenhang sind u.a. die Arbeiten von Fama und Blume(1966), Hini h und Patterson (1985), Campbell et al. (1997), Barberis et al. (1998), Danielet al. (1998), Hirshleifer (2001), Mills (2002), Patro und Wu (2004), He kmann (2009). EineÜbersi ht über die vers hiedenen Ansätze der te hnis hen Analyse geben beispielsweisePark und Irwin (2004). Bro k et al. (1992), Conrad und Kaul (1998), Lo et al. (2000)und Kwon und Kish (2002) führen vers hiedene empiris he Studien zu dieser Thematikdur h. Diese Liste soll jedo h keinen Anspru h auf abs hlieÿende Vollständigkeit erheben.Einen detaillierten Überbli k über all diese Ansätze zu geben, würde den Rahmen dieserArbeit sprengen. Folgli h soll si h in den kommenden Abs hnitten ledigli h auf zweierleikonzentriert werden:1. Die Erläuterung des grundlegenden Transformationsme hanismus eines Prognosemo-dells zu einer daraus abgeleiteten Handelsregel.2. Die Bes hreibung und den Hintergrund der in dieser Arbeit empiris h betra htetenHandelsstrategien.Die im Folgenden gezeigten Handelsstrategien sind dabei jedo h ni ht als abs hlieÿendeAufzählung zu begreifen. Sie sollen ledigli h als exemplaris he Operationalisierungen fürdie Si htweisen von Marktteilnehmern vers hiedener Prägungen dienen. Diese Dummy-Strategien sollen es ermögli hen, die theoretis hen E�ekte des Poolings vers hiedener Stra-tegien und der Optimierung des Handelsvolumens empiris h überprüfbar zu ma hen.Vor dem Hintergrund der theoretis hen Ergebnisse werden zunä hst di hotome Handelssi-gnale vorgestellt. Die di hotomen Signale werden dann dur h Pooling zu einem tri hotomenSignal zusammengefasst. Dur h dieses di�erenzierte Vorgehen sollen die theoretis h gezeig-ten E�ekte des Poolings von Handelssignalen im empiris hen Teil na hvollzogen werdenkönnen.Grundsätzli h basiert zunä hst der Transformationsme hanismus einer Modellprognose zueinem Handelssignal auf der Zuordnung eines reellen Zahlenwerts (dem Prognosewert) zu50

Kapitel 3. Handel von Finanzinstrumenteneiner Variable binärer Ausprägung (dem di hotomen Handelssignal). Dadur h wird derPrognosewert in seiner Aussage nur no h auf die Bedeutung für die Positionierung des In-vestors hin reduziert.15 Dazu müssen nun jedo h Grenzwerte bestimmt werden, ab denender Prognosewert zu einer Veränderung der di hotomen Ausprägung des Handelssignalsund damit zu einer Positionsveränderung des Investors führt. Diese Grenzwerte könnendabei im Vorfeld als exogene Parameter vorgegeben oder dynamis h angepasst werden.Ein Beispiel soll diesen Me hanismus deutli h ma hen: Angenommen, ein Investor gelangtdur h seine Modellprognose zu der Eins hätzung, dass ein bestimmtes Wertpapier in derkommenden Periode einen Wertverlust von 2% erleiden wird, so kann er aus diesem Pro-gnosewert auf unters hiedli he Art und Weise ein di hotomes Handelssignal erhalten: Hater beispielsweise a priori seinen tolerierten prognostizierten Wertverlust auf 1, 5% �xiert, sowürde diese Regel dur h seine Prognose ein Verkaufsignal generieren. Andererseits könn-te seine Handelsregel lauten: Verkaufe erst, wenn der tatsä hli he den prognostiziertenWertverlust übersteigt. In diesem Fall wäre seine Verkaufss hwelle dynamis h an die tat-sä hli he Wertentwi klung angepasst, und die absolute Gröÿe des Prognosewertes träte fürdie Handelsents heidung in den Hintergrund. Beide Male muss jedo h dur h eine Art derGrenzwertbestimmung der Prognosewert zu einer Handelsregel verarbeitet werden. Diesbildet die Grundlage der Entwi klung eines jeden Handelsalgorithmus. An diesem Beispiellässt si h ebenfalls erkennen, dass zwei Investoren, die über das glei he Prognosemodell ver-fügen und den glei hen Prognosewert erre hnen, aufgrund der Ausgestaltung ihrer jeweili-gen Handelsregel zu unters hiedli hen Kauf- bzw. Verkaufents heidungen gelangen können.Vereinfa hend kann man au h die Portfoliogewi htungen eines Markowitz-Ansatzes in die-sem Muster interpretieren. Hier würde die Handelsregel lauten: Kaufe die Wertpapieremit positiven Portfoliogewi htungen. Der Grenzwert für eine Kaufents heidung liegt dannimplizit bei null. Dabei ist allerdings zu bea hten, dass eine Handelsregel ledigli h dieKauf- bzw. Verkaufents heidung betri�t und ni hts über die Positionsgröÿe bzw. die Auf-teilung des Portfolios aussagt. Übertragen auf den Markowitz-Ansatz wiederum zeigt si hdie Handelsregel nur im Vorzei hen der Portfoliogewi htungen. Auf diesen Zusammenhangwird no h näher in Kapitel 4.2 eingegangen.15Insofern könnte man hier au h von einer Art des Shrinkage spre hen.51

Kapitel 3. Handel von Finanzinstrumenten3.3.2. Verwendete HandelsregelnBuy-and-Hold-StrategieDie Buy-and-Hold-Strategie ist � wie bereits weiter oben gezeigt � ein Sonderfall einerHandelsregel. Sie ist die stärkste Vereinfa hung der di hotomen Handelsregel,16 glei hzeitigjedo h die in Theorie und Praxis wohl geläu�gste. Der Investor kauft am Anfang der Be-tra htungsperiode das Finanzinstrument und nimmt dana h keinerlei Änderung an seinerMarktpositionierung vor. Daher ist das Handelssignal dieser Strategie ni ht sto hastis h,sondern deterministis h. Für das Signal gilt damitSt−1 = 1für jeden Zeitpunkt t. Eine weitere Besonderheit dieser Strategie besteht also darin, dassder Investor kein Verkaufsignal aus der Handelsregel erhält. Da er das Finanzinstrumentbeständig hält, kann er au h eine etwaige Risikoprämie in voller Höhe vereinnahmen. Injeder Periode entspri ht damit der Pro�t der Handelsregel dem Cash�ow des zugrundeliegenden Finanzinstruments. Es gilt daherYt = Xtund

E(Yt) = E(Xt) = µ.Der Buy-and-Hold-Strategie kommen in dieser Arbeit aufgrund dieser Besonderheiten zweiBedeutungen zu:1. Als einzige Strategie gewährleistet sie, dass dem Investor die Risikoprämie des ge-haltenen Finanzinstruments in voller Höhe zu�ieÿt und ni ht etwa dur h Umsetzungfals her Verkaufsignale ein Teil dieser Prämie verloren gehen kann.2. Dur h ihre einfa he Mögli hkeit der Umsetzung ist diese Strategie in der Praxis weitverbreitet. Vor allem langfristig oder passiv ausgeri htete Investoren favorisieren dieseStrategie,17 da sie keinerlei Prognosefähigkeit erfordert und wenig transaktionskos-tenintensiv ist.16Zusammen mit der Short-and-Hold-Strategie.17Dies tun beispielsweise ETF, die übli herweise einen Index na hbilden.52

Kapitel 3. Handel von FinanzinstrumentenAu h die Einführung von Leerverkaufsbes hränkungen in der Portfoliooptimierung trägtdiesen Überlegungen Re hnung. Aus diesen Gründen soll die Buy-and-Hold-Strategie hierals eine Referenz- oder als eine Art natürli her Ben hmarkstrategie dienen. Sollten wieau h immer geartete, komplexere Handelsregeln zu keinerlei messbaren Verbesserung desInvestorennutzens gegenüber dieser Ben hmarkstrategie führen, so stellt si h die bere h-tigte Frage na h dem Sinn eines erhöhten Aufwands zur Formulierung und Anwendungkomplexerer Handelsregeln. Das zu beoba htende Auftreten von Vermögensblasen und an-s hlieÿenden Baisse-Phasen hat jedo h in der letzten Dekade vor allem an den internatio-nalen Aktienmärkten zu erhebli hen Preis- und Rendites hwankungen geführt, die vieleInvestoren in ihren Portfolios ni ht mehr hinnehmen mö hten. Diese stehen also vor allemaufgrund der Volatilität der letzten Jahre vor der Herausforderung, mögli he Alternativenzu dieser naiven Strategie zu �nden.AR-GARCH-StrategieDie AR-GARCH-Strategie basiert auf den Methoden der Zeitreihenanaylse. Die Modellie-rung der Cash�ows erfolgt zunä hst dur h Kombination eines autoregressiven und einesGARCH-Prozesses. Ähnli h vorgegangen wird in Fang und Xu (2003) und Ferenstein undGasowski (2004). Demna h lässt si h der Cash�ow allgemein s hreiben alsXt = α1 + α2Xt−1 + α3Xt−2 + . . .+ αpXt−h + ut,wobei αh 6= 0. Für die Innovationen des AR-Prozesses gilt

ut = σtǫtmit der bedingten Varianzσ2t = β0 + β1u

2t−1 + . . .+ βpu

2t−p + γ1σ

2t−1 + . . . + γqσ

2t−q,wobei βi ≥ 0 für i = 0, 1, . . . , p − 1, βp > 0 und γi ≥ 0 für i = 1, . . . , q − 1, γq > 0sowie ǫt ∼ N(0, 1). Dur h ∑p

i=1 βi −∑q

j=1 γj < 1 wird die s hwa he Stationarität ge-währleistet. Der AR-Prozess modelliert dabei den Erwartungswert oder die Risikoprämiedes Marktes,18 während der GARCH-Prozess die Abwei hung vom Erwartungswert erfasst.Dur h dieses AR-GARCH-Modell können die stilisierten Fakten von Finanzzeitreihen wie18Existiert keine Risikoprämie (E(Xt) = 0), ist au h α1 = 0.53

Kapitel 3. Handel von Finanzinstrumentenz.B. Volatilitäts luster berü ksi htigt werden. Diese Modellierung bedingt also ni ht nurdie letzten Werte von Xt, sondern die gesamte Historie. Dadur h �ieÿen mögli hst vieleZeitreiheninformationen in die Bildung des Handelssignals. Zuglei h kann dieses Zeitrei-henmodell natürli h nur die linearen Eigens haften der Cash�ows berü ksi htigen. Umeinem Over�tting entgegenzuwirken und die Anzahl der zu s hätzenden Parameter ni htzu groÿ werden zu lassen, bes hränkt si h die hier angewendete Strategie auf einen AR(1)-und einen GARCH(1,1)-Prozess. Bildet der Investor nun auf Grundlage dieses ModellsWahrs heinli hkeiten von negativen bzw. positiven Cash�ows gemäÿIP(Xt < 0) ≥ pneg,so zeigt si h na h einigen einfa hen Umformungen, dass dann für die Modellprognose fürden Zeitpunkt t

Xt ≥ σtΦ−1 (1− pneg)gilt, wobei

σt =√

β0 + β1u2t−1 + γ1σ2t−1und Φ−1(1 − pneg) das (1 − pneg)-Quantil der Standardnormalverteilung bezei hnet. Auf-bauend darauf kann nun ein di hotomes Handelssignal konstruiert werden:St−1 =

−1 , falls Xt ≤ σtΦ−1 (1− pneg),

1 , sonst.Ledigli h für die Wahrs heinli hkeit pneg muss im Vorhinein ein Wert festgelegt werden.Will der Investor nun vermeiden, in Phasen negativer bedingter Erwartungen der Cash�owseine Kaufposition zu halten, ohne glei hzeitig jedo h die Häu�gkeit der Verkaufsignale zugering werden zu lassen, sollte für pneg ein Wert von nahe, aber über 50% gewählt wer-den. In diesem Fall wäre ein Wahrs heinli hkeitsüberhang zu Gunsten negativer Cash�owsgegeben. In der empiris hen Anwendung wird daher pneg = 0, 505 verwendet.Momentum-StrategieMomentum-Strategien sind in vers hiedener Ausgestaltung Gegenstand zahlrei her theo-retis her und empiris her Studien, so z.B. in Jegadeesh und Titman (1993), Chan et al.(1996), Conrad und Kaul (1998), Chan et al. (2000), Jegadeesh und Titman (2001), Le-wellen (2002), Patro und Wu (2004) und Moskowitz et al. (2012).54

Kapitel 3. Handel von FinanzinstrumentenÜbli herweise wird das Momentum als Renditedi�erenz eines einzelnen Wertpapiers zueinem Referenzportfolio modelliert. In den empiris hen Studien wird auf Basis eines sol- hen Momentums eine Rangfolge bzw. Quantile gebildet und die Wertpapiere mit derbesten Wertentwi klung gegenüber dem Referenzportfolio entspre hend positiv gewi h-tet, während die Wertpapiere mit der s hle htesten Wertentwi klung leerverkauft werden.Auf ähnli he Weise kann au h eine Contrarian-Strategie getestet werden, indem jeweilsdie Wertpapiere mit der relativ s hle htesten Wertentwi klung positive Gewi htungen er-halten. Dieser Vorgehensweise widmen si h u.a. DeBondt und Thaler (1985) und Chopraet al. (1992). Momentum- oder Trendfolge-Strategien s heinen in einigen Studien bei einemZeithorizont von 1 bis 12 Monaten zu positive Überrenditen zu führen, während auf sehrkurze (über Wo hen) und auf längere Si ht (3 bis 5 Jahre oder länger) Mean-Reversion-,Contrarian- bzw. Trendumkehr-Strategien hier besser abs hneiden. Die Annahme einerTrendfortsetzung und der Rü kkehr des Marktpreises zu seinem langfristigen Dur hs hnittmüssen si h also ni ht unbedingt unvereinbar gegenüberstehen. Vielmehr zeigt si h, dasssowohl Trendfolge- als au h Trendumkehr-Strategien glei hzeitig pro�tabel sein können.Ents heidend ist hier die Wahl der Zeithorizonte. Diese Studien betra hten das Momen-tum meist in einem relativen Kontext � als Rendite im Verglei h zu einem Referenzportfolio� und testen es anhand eines Portfolios der renditestärksten bzw. -s hwä hsten Wertpa-piere. Die Herangehensweise und die Operationalisierung des Momentums gestalten si hdagegen in dieser Arbeit anders. Hier wird ni ht auf ein Quers hnitts-, sondern auf einzeitabhängiges Momentum ähnli h zur Arbeit von Moskowitz et al. (2012) aufgebaut.Aus Si ht der te hnis hen Analyse spielt der Begri� des Trends und des Momentums einezentrale Rolle. Pring (2002) liefert dazu als De�nition:�The te hni al approa h to investment is essentially a re�e tion of the ideathat pri es move in trends that are determined by the hanging attitudes ofinvestors toward a variety of e onomi , monetary, politi al, and psy hologi alfor es. The art of te hni al analysis, for it is an art, is to identify a trendreversal at a relatively early stage and ride on that trend until the weight ofthe eviden e shows or proves that the trend has reversed.� Pring (2002), S. 2Hier werden also fundamentale wie psy hologis he Motive angeführt, die einen Trend ent-stehen und anhalten lassen. Obwohl Phasen ausgedehnter Preistrends in vielen Finanz-zeitreihen zu beoba hten sind, ist die Prognosefähigkeit der te hnis hen Analyse in derWissens haft stark umstritten. Die empiris hen Resultate sind sehr ambivalent und s hei-55

Kapitel 3. Handel von Finanzinstrumentennen teils stark vom jeweiligen Fors hungsdesign abhängig zu sein.19 Die Tatsa he jedo h,dass si h in der Wissens haft mit diesem Thema auseinandergesetzt wird, kann bereitseine Art der Anerkennung der zumindest praktis hen Relevanz der te hnis hen Analysedarstellen. Selbst wenn ihr Instrumentarium zunä hst objektiv keinerlei Mehrwert in derPrognose von Preiszeitreihen bieten sollte, so muss ihre weite Verbreitung in der Praxisdenno h bea htet werden. In diesem Fall haben nämli h die dur h sie motivierten Anla-geents heidungen der Investoren wiederum eine Rü kwirkung auf die zu beoba htendenMarktpreisdynamiken. Anwender der te hnis hen Analyse wären so als eine Art noise tra-der zu betra hten, die si h bei ihren Anlageents heidungen auf subjektiv relevante Infor-mationen stützen, die jedo h objektiv keine Prognosekraft besitzen.20 Zumindest könntedie te hnis he Analyse einen Beitrag zum Verständnis der Ents heidungen ihrer Anwenderbieten. Es stellt si h also zunä hst ni ht die Frage na h einem geeigneten Analyseinstru-mentarium, sondern vielmehr na h der Gröÿe und Wi htigkeit bzw. Marktma ht des An-wenderkreises. In diesem Kontext wird au h von einer si h selbst erfüllenden Prophezeiunggespro hen.Sowohl in der Zeitreihe- als au h in der te hnis hen Analyse wird der Trend harakter einerFinanzzeitreihe dur h gleitende Dur hs hnitte erfasst. In Anlehnung an diese Methodenwird das Momentum in dieser Arbeit als absolute Preisveränderung bzw. als kumulierterCash�ow zwis hen zwei Zeitpunkten modelliert. Dabei soll auf den kurzfristigen Trend-fortsetzungs harakter der Marktpreise abgezielt werden, der etwa bereits dur h Moskowitzet al. (2012) empiris h gezeigt wird. Zeigt das Momentum also steigende Preisnotierungenan, wird also eine Kaufposition eingegangen. Umgekehrt wird entspre hend eine Verkauf-position erö�net. Analytis h betra htet kann eine Momentumstrategie ausgedrü kt werdendur hSt−1 =

−1 , falls Pt−1 < Pt−m−1,1 , sonst,mit dem Parameter m > 1 als Momentumlänge. Ein Verkaufsignal für Periode t liegtalso vor, wenn der Preis in Periode t − 1 kleiner dem Preis m Perioden zuvor ist. DieseHandelsregel gehört zu den linearen Signalen und kann au h dur h die Preisänderung Xt

19Wie eingangs erwähnt, �ndet si h eine gute Übersi ht dazu in Pring (2002) und Park und Irwin (2004).20S. dazu au h Kapitel 3.1. 56

Kapitel 3. Handel von Finanzinstrumentenausgedrü kt werden:21St−1 =

−1 , falls ∑mj=1Xt−j < 0,

1 , sonst.In diesem Sinne sind also Preis- und Cash-Flow-Signale für die Momentumstrategie iden-tis h. Hier wird ebenfalls deutli h, dass die Momentumstrategie dur h einen linearen kau-salen Filter der Länge m bes hrieben werden kann.22 Bezogen auf die Ergebnisse der o.g.Studien ers heint ein kleiner Wert für m sinnvoller zu sein. Daher wird in der empiris henAnwendung dieser Strategie m = 20 Perioden gewählt. Damit soll also das Momentumüber einen Zeitraum von a. einem Monat ermittelt werden.Counting-StrategieDie Counting-Strategie kann als eine Sentiment-Strategie harakterisiert werden, die si hdur h psy hologis he Verhaltensmuster von Anlegern motivieren lässt. Tversky und Kahne-man (1974) bes hreiben eine Repräsentativitäts-Heuristik, bei der die Eintrittswahrs hein-li hkeit eines Ereignisses eher übers hätzt wird, je öfter dieses Ereignis in einer s heinbarrepräsentativen Sti hprobe eingetreten ist. Dabei kann es si h um eine zufällige Häufungdes Ereignisses in der Sti hprobe handeln, die zu einer gravierenden Fehleins hätzung derwahren Eintrittswahrs heinli hkeit führt. Die Eigens haften eines betra hteten Auss hnittsder Grundgesamtheit werden also für repräsentativ für die Eigens haften der Grundge-samtheit selbst gehalten. Barberis et al. (1998) bringen dieses Phänomen nun mit denAnlageents heidungen eines Investors in Verbindung:�An important manifestation of the representativeness heuristi , dis ussed indetail by Tversky and Kahneman, is that people think they see patterns intruly random sequen es. This aspe t of the representativeness heuristi is sug-gestive of the overrea tion eviden e des ribed above. When a ompany has a onsistent history of earnings growth over several years, a ompanied as it maybe by salient and enthusiasti des riptions of its produ ts and management, in-vestors might on lude that the past history is representative of an underlyingearnings growth potential. While a onsistent pattern of high growth may benothing more than a random draw for a few lu ky �rms, investors see `order21Diesen Zusammenhang für die Summe von Log-Renditen zeigt bereits A ar und Sat hell (2002), S. 133.22Eine Division von∑m

j=1 Xt−j dur hm würde ni hts am Vorzei hen und damit am Handelssignal ändern.57

Kapitel 3. Handel von Finanzinstrumentenamong haos' and infer from the in-sample growth path that the �rm belongsto a small and distin t population of �rm whose earnings just keep growing.As a onsequen e, investors using the representativeness heuristi might dis-regard the reality that a history of high earnings growth is unlikely to repeatitself; they will overvalue the ompany, and be disappointed in the future whenthe fore asted earnings growth fails to materialize. This, of ourse, is whatoverrea tion is all about.� Barberis et al. (1998)Übertragen auf die Counting-Strategie würde das nun bedeuten, dass ein Investor, derin einer Sti hprobe der vergangenen c Handelstage mehr Tage steigender als Tage fal-lender Kurse beoba htet, davon ausgeht, dass es si h hierbei um ein für diesen Marktrepräsentatives Phänomen handelt. Folgli h übers hätzt er die Wahrs heinli hkeit, dass anden kommenden Tagen weitere Kurssteigerungen zu beoba hten sein werden. Zu dieserEins hätzung gelangt, ents hlieÿt er si h, eine Kaufposition zu erö�nen.23 Die Si htweisedes Investors ist also bedingt dur h die Beoba htungen seiner Sti hprobe, d.h. der letz-ten c Handelstage. Dadur h, dass nun mögli herweise viele Investoren glei hzeitig dieserRepräsentativitäts-Heuristik unterliegen und zu ähnli hen Anlageents heidungen gelangen,kann eine sol he bedingte Si htweise kurzfristig zu pro�tablen Positionierungen führen.Umgekehrt kann ein negatives Sentiment eine negative bedingte Erwartung des Cash�owsanzeigen. Dadur h ist weniger der aktuell vorherrs hende Markttrend von Bedeutung alsvielmehr das Verhältnis der Anzahl positiver zu negativer Cash�ows. In diesem Verhältnissoll si h die in jüngster Vergangenheit herausgebildete Stimmung der Marktteilnehmer wi-derspiegeln. Da positive Cash�ows an Tagen zu beoba hten sind, an denen mehr Käuferals Verkäufer am Markt aktiv sind, kann ein positiver Cash�ow als Zei hen kau�reudigerStimmung der Marktteilnehmer interpretiert werden. Infolge dieser guten Stimmungslagesind steigende Preisnotierungen zu beoba hten. Für negative Cash�ows gilt entspre hendUmgekehrtes. Setzt man nun die Anzahl der Tage positiver zur Anzahl der Tage negativerCash�ows ins Verhältnis, so kann man einen Sentimentindikator bilden, der als Grundlageeiner Handelsstrategie dienen kann.Ein ähnli hes Prinzip liegt au h dem sog. Ti k-Index der NYSE zugrunde. Dieser bere h-net si h aus der Anzahl der Aktien, die auf einem höheren Kurs (Ti k) notieren, abzügli hder Anzahl der Aktien, die auf einem niedrigeren Kurs gehandelt werden. Da dieser In-23Umgekehrtes gilt natürli h entspre hend, falls mehr fallende als steigende Kurse in der Sti hprobe zubeoba hten sind. 58

Kapitel 3. Handel von Finanzinstrumentendikator jedo h mit jeder Kursänderung im Laufe eines Handelstages neu bere hnet wird,ist er auf die Erfassung kurzfristiger Stimmungslagen und -änderungen ausgeri htet unddaher immer nur als Momentaufnahme zu betra hten. Er berü ksi htigt die Kursänderun-gen aller an der NYSE gehandelten Aktien zu einem Zeitpunkt und bezieht si h damitauf Quers hnittsdaten. Der Counting-Strategie dagegen liegen Zeitreihendaten zugrunde,um die Stimmungsänderung im Zeitablauf erfassen zu können. Ein Überhang positiverCash�ows soll dann zur Erö�nung einer Kaufposition, ein Überhang negativer Cash�owszur Erö�nung einer Verkaufsposition Anlass geben. Ents heidend ist also ni ht die Gröÿedes Cash�ows, sondern sein Vorzei hen. Diesen Unters hied zur Momentum-Strategie sollfolgendes Beispiel no h einmal verdeutli hen: Die Aktie A verö�entli ht gute Unterneh-menszahlen in einem s hle hten Marktumfeld. Zuvor ist der Kurs vom negativen Trend(Momentum) mit na h unten gezogen worden. Die Investoren kaufen nun aber im Tages-verlauf die Aktie aufgrund der positiven Na hri hten, worauf si h der Kurs entgegen demGesamtmarkttrend von seinen Tiefständen erholt. Am S hluss des Handelstages weist dieAktie eine lei ht positive Tagesrendite auf. Absolut mag si h der Kurs der Aktie kaum ver-bessert haben, d.h., betragsmäÿig ist die Rendite klein, ihr Vorzei hen ist jedo h positiv.Auf das Momentum hat eine betragsmäÿig geringe Rendite kaum Ein�uss, wohingegen einpositives Vorzei hen der Rendite aus der Perspektive des Sentiments günstig zu beurteilenist.Analytis h lässt si h diese Strategie damit wie folgt bes hreiben:St−1 =

−1 , falls ∑cj=1 (signXt−j) < 0,

1 , sonst,mit dem Parameter c > 1 als Countinglänge. Es wird also eine gleitende Summe der Längec über die Vorzei hen des Cash�ows gebildet. Ist diese Summe negativ, entsteht ein Ver-kaufsignal, ist sie positiv oder glei h null, entsteht ein Kaufsignal. Die optis he Analyseder Daten (s. z.B. Abb. A.19) suggeriert dur haus eine gewisse Persistenz von Marktpreis-zyklen. Führt man diese Zyklen aus Si ht einer Sentiment-Analyse auf si h abwe hselndepositive wie negative Grundstimmung an den Märkten zurü k, so ers heint die Wahl einesni ht zu kurzen Betra htungszeitraumes geboten. Da die Counting-Strategie als kurz- bismittelfristige Sentiment-Strategie auf die Erfassung dieser Stimmungen abzielt, wird indieser Arbeit eine Periodenanzahl von c = 252 verwendet.

59

Kapitel 3. Handel von FinanzinstrumentenGepoolte StrategieDie gepoolte Strategie entsteht dur h die Kombination der oben bes hriebenen Strategien.Gemäÿ Glei hung (3.9) werden diesen di hotomen Signale gemittelt, sodass ein tri hotomesSignal gemäÿS∗t−1 =

−1 , falls St−1 < 0

1 , falls St−1 > 0,0 , sonst, (3.11)mit

St−1 =1

s

s∑

i=1

Si,t−1für i = 1, . . . , s entsteht. Während die o.g. Strategien di hotome Strategien sind, ist diegepoolte Strategie eine Metastrategie, die alle Signale zu einem tri hotomen Signal zusam-menfasst. Eine ungerade Anzahl zu kombinierender Strategien resultiert in einem di ho-tomen gepoolten Signal. In diesem Falle kann z.B. dur h Einziehen einer Grenze wiederein tri hotomes Signal entstehen. Dur h das Pooling von drei dynamis hen Strategien24mit der Buy-and-Hold-Strategie kommt es verhältnismäÿig selten zu einem Verkaufsignal.Da die Buy-and-Hold-Strategie ein zeitpunktunabhängiges Kaufsignal anzeigt, müssen alledrei dynamis hen Strategien glei hzeitig ein Verkaufsignal anzeigen, um einen Überhang anVerkaufssignalen zu generieren. Erst dann zeigt das gepoolte Signal insgesamt einen Ver-kauf an. Zeigen ledigli h zwei Strategien glei hzeitig ein Verkaufsignal an, ist die gepoolteStrategie ni ht investiert. Dur h das Pooling mit der statis hen Buy-and-Hold-Strategiewird also die gepoolte Strategie zu einem Kaufsignal hin verzerrt. Vor dem Hintergrundder o.g. theoretis hen Aspekte � insbesondere etwaige Risikoprämie des zu handelndenMarktes � sind seltene, aber dafür mögli hst aussagekräftige Verkaufsignale wüns hens-wert. Dieses Vorgehen bietet also eine einfa he Mögli hkeit, ein Konsensus-Signal unterBerü ksi htigung der Buy-and-Hold-Strategie zu generieren.Eine ähnli he Methodik, mehrere dynamis he Handelsstrategien miteinander zu kombi-nieren, verwenden beispielsweise au h Fang und Xu (2003) und Lento und Gradojevi (2007). Dur h die Kombination vers hiedener Handelsstrategien unters hiedli her theore-tis her Hintergründe soll versu ht werden, die viels hi htige Charakteristik von Finanz-marktdaten ganzheitli h zu erfassen. Dazu bemerkt Lento (2009) hinsi htli h einer Kom-bination vers hiedener Handelsregeln der te hnis hen Analyse:24Dynamis h ist hier im Sinne eines si h im Zeitablauf ändernden Handelssignals gemeint.60

Kapitel 3. Handel von Finanzinstrumenten�The C[ombined℄S[ignal℄A[approa h℄ is based on the notion that informationrelated to future pri e movements is somewhat dispersed among many tradingrules. Therefore, ombining trading signals should generate a more informativesignal than the trading rules alone. It is possible that the ombination of indi-vidual te hni al trading rules provides a synthesis whereby the whole is greaterthen the sum of the parts and ex ess pro�ts an be generated. Furthermore, ombining multiple signals also redu es the risk of sele ting and relying on asingle rule at any given time.� Lento (2009)Im Sinne dieser Überlegung lässt si h sagen, dass die gepoolte Strategie in dieser ArbeitAnsätze der Ökonometrie, te hnis hen Analyse und der Behavioral Finan e in si h zu einerMetastrategie vereint. Ob si h die Vermutung des o.g. Zitats bestätigen lassen, ist einerder zentralen Aspekte der empiris hen Überprüfung.

61

Kapitel 4.Portfolio-Optimierung

4.1. Klassis he PortfoliotheorieMarkowitz (1952) gilt als Begründer der klassis hen Portfoliotheorie. Er entwi kelt dasErwartungswert-Varianz-Prinzip für einen einperiodigen Anlagehorizont. Als Ents heidungs-grundlage dienen dabei die erwartete Portfoliorendite µp und ihre Standardabwei hung σp.Implizit unterstellt Markowitz (1952) risikoaverse Investoren, die mehr Rendite gegenüberweniger Rendite und bei glei her erwarteter Rendite das Portfolio mit dem geringeren Ri-siko bevorzugen. Daraus ergibt si h die Menge aller e�zienten Portfolios, die bei gegebenerRendite das geringste Risiko oder bei gegebenem Risiko die maximale Rendite erwartenlassen. Diese Menge wird au h E�zienzkurve (e� ient frontier) genannt.Sei R = (R1, . . . , Rd)′ ein d-dimensionaler Spaltenvektor der diskreten Überrenditen1 von

d Anlageobjekten. Die Überrenditen ergeben si h aus den diskreten einperiodigen Ren-diten der Anlageobjekte abzügli h des risikofreien Periodenzinssatzes. Im Folgenden wirdder Begri� Renditen synonym mit Überrenditen verwendet. R sei unabhängig identis hmultivariat normalverteilt:R ∼ N (µ,Σ) (4.1)mit Erwartungswertvektor µ ∈ R

N und Kovarianzmatrix Σ ∈ RN×N . Bezei hne w =

(w1, . . . , wd)′ den d-dimensionalen Spaltenvektor der Portfolioanteile, die auf das i-te i =1Die diskrete Rendite wird hier verwendet, da si h die Portfoliorendite im Gegensatz zur stetigen Renditeals gewi htetes Mittel der Einzelrenditen der Anlageobjekte bere hnen lässt. Diese Eigens haft besitzt au hder in dieser Arbeit eingeführte Cash�ow, allerdings arbeitet die Portfoliotheorie übli herweise mit einemder klassis hen Renditebegri�e. 62

Kapitel 4. Portfolio-Optimierung1, . . . , d Anlageobjekt entfallen, ergibt si h für die Portfoliorendite:

Rp = w′Rund es folgt aus (4.1):Rp ∼ N

(µp, σ

2p

)mit µp = w′µ und σ2p = w′Σw. Um die E�zienzkurve re hneris h zu bestimmen, ist dasOptimierungsproblemminwσ2p = w′Σw (4.2)unter der Nebenbedingungw′µ = µ∗p (4.3)mit µ∗p als geforderter, fest vorgegebener Portfoliorendite und der Budgetrestriktion1′w = 1zu lösen, wobei 1 ein Spaltenvektor ist, dessen Elemente alle 1 sind. Für jede vorgegebenePortfoliorendite µ∗p kann das varianzminimale Portfolio bestimmt werden. Löst man dasobige Optimierungsproblem (4.2) für variierende µ∗p, so kann man die Menge aller vari-anzminimalen Portfolios bilden. Wird (4.2) ohne die Nebenbedingung (4.3) gelöst, ergibtsi h das global varianzminimale Portfolio (GVMP). Es weist die geringste Varianz allermögli hen Portfolios auf und lautet:

wGVMP =Σ−11

1′Σ−11.Gemäÿ dem Zwei-Fonds-Theorem na h Merton (1972) wird der varianzminimale Rand vonzwei Portfolios aufgespannt, die selber auf diesem Rand liegen müssen. Analytis h kannder varianzminimale Rand als Funktion von µp in Abhängigkeit von σp ges hrieben werden(Memmel, 2004, S.13):

µp (σp) = µMV ±

√

a2a3 − a21a3

(σ2p − σ2p

) (4.4)mit a1 = 1′Σ−1µ, a2 = µ′Σ−1µ, a3 = 1′Σ−11 und µGVMP = a1a3

als erwarteter Rendite undσ2GVMP = 1

a3als Renditevarianz des global varianzminimalen Portfolios. Der obere Teilder Hyperbel, die dur h Glei hung (4.4) bes hrieben wird, mit dem Ursprung im GlobalenMinimum-Varianz-Portfolio (Punkt A in Abb. 4.1) bildet die E�zienzkurve.

63

Kapitel 4. Portfolio-OptimierungDiese E�zienzkurve ist im µp-σp-Raum der Rand aller mögli hen Portfolios, da bei glei- hem Risiko bzw. erwarteter Rendite kein anderes Portfolio existiert, das ein e�zientesPortfolio dominiert. Maximiert der Investor nun seine quadratis he Nutzenfunktion, wählter im µp-σp-Raum genau das Portfolio aus, wel hes auf der E�zienzkurve liegt und die amweitesten vom Ursprung entfernte Nutzen-Indi�erenz-Kurve gerade no h tangiert. UnterAnwendung der Tobin-Separation (Tobin, 1958) kann die Bestimmung der e�zienten Port-folios jedo h stark vereinfa ht werden. Erweitert man die Menge aller Anlageobjekte umeine risikofreie Anlage mit dem Zins rf , muss nur no h ein e�zientes Portfolio bestimmtwerden. Der Investor kann nun Mis hportfolios aus der risikolosen Anlage und einem belie-bigen e�zienten Portfolio bilden. Das beste Mis hportfolio für einen risikoaversen Investorlässt si h dur h folgendes Optimierungsproblem harakterisieren:maxw

Sh =µ′w√w′Σw

(4.5)unter der Nebenbedingung1′w = 1. (4.6)Das Problem (4.5) ist äquivalent mit der Maximierung der Steigung der Tangente an derE�zienzkurve ausgehend vom Punkt rf . Das resultierende Tangentialportfolio

wTP =Σ−1µ

1′Σ−1µ(4.7)ist das Portfolio mit der maximalen Sharpe Ratio, dem Verhältnis aus Erwartungswert derRenditen zu deren Standardabwei hung (Punkt B in Abb. 4.1). Die neue E�zienzkurvewird dur h alle Kombinationen aus dem Tangentialportfolio und der risikolosen Anlagegebildet. Dur h die Einführung einer risikolosen Anlage sind alle anderen Portfolios mitAusnahme des Tangentialportfolios auf der Hyperbel in Abbildung 4.1 also ni ht längere�zient bzw. werden von den Portfolios entlang der Tangente dominiert (Punkt C). DieseTangente heiÿt au h Kapitalmarktlinie. Kann der Investor beliebig viel Geld zum risikofrei-en Zinssatz anlegen bzw. aufnehmen, fällt die Budgetbedingung (4.6) weg. Dadur h wirdfür ihn jedes Portfolio auf der Kapitalmarktlinie errei hbar. Alle Portfolios dort unters hei-den si h ledigli h hinsi htli h ihres Mis hungsverhältnisses zwis hen risikoloser Anlage undTangentialportfolio.2 Dieses Mis hungsverhältnis ergibt si h aus der individuellen Risiko-neigung bzw. -aversion jedes einzelnen Investors. Die Zusammensetzung des risikobehafte-ten Tangentialportfolios bleibt davon unberührt. Zur s hlussendli hen Bestimmung eines2Das Tangentialportfolio besteht dabei auss hlieÿli h aus risikobehafteten Anlageobjekten.64

Kapitel 4. Portfolio-Optimierungindividuellen optimalen Portfolios bedarf es einer konkreten Nutzenfunktion. Im Standard-fall eines risikoaversen Investors,3 der si h bei glei her erwarteter Rendite für die Anlagemit dem geringsten Risiko ents heidet, kann dazu die Maximierung einer typis hen µ-σ-Zielfunktion der Form ZF = µp −cr2

· σ2p = w′µ− cr2w′Σw (4.8)mit cr als Risikoaversionsparameter dienen. Als optimales Portfolio ergibt si h dann

w∗ =1

crΣ−1µ.Unter Geltung der Budgetbedingung (4.6) liegt dieses Portfolio auf dem oberen Hyperbel-ast, auf der Kapitalmarktlinie (siehe Abb. 4.1), falls (4.6) ni ht gilt.

Abbildung 4.1.: GVMP, Tangentialportfolio und optimales Portfolio im µ-σ-RaumFestzuhalten bleibt, dass e�ziente reine Aktienportfolios im µ-σ-Raum auf dem oberen Hy-perbelast aller varianzminimalen Portfolios liegen und si h als Linearkombination e�zienterPortfolios darstellen lassen. Unter Hinzunahme einer risikofreien Anlage wird die E�zienz-kurve zu einer Halbgeraden mit Ursprung am risikolosen Zins. Diese Kapitalmarktlinie3Dieser wird � wie oben bereits erwähnt � von Markowitz implizit unterstellt.65

Kapitel 4. Portfolio-Optimierungist eine Mis hung aus Tangentialportfolio und risikofreier Anlage. Je na h Risikopräferenzdes Investors kann aus den e�zienten Portfolios ein individuelles optimales Portfolio be-stimmt werden. Die klassis he Portfoliotheorie geht dabei von einem friktionslosen Marktohne Steuern und Transaktionskosten aus. Insbesondere aber setzt sie die Kenntnis derMarktteilnehmer über die ersten beiden Momente der Renditeverteilung voraus. In derPraxis jedo h müssen diese Verteilungsmomente ges hätzt werden. Dabei besteht ebensoein Quantitäts- wie au h ein Qualitätsproblem: Bei einem Anlageuniversum von d Anla-geobjekten sind d erwartete Renditen und Varianzen sowie 0, 5 · d · (d− 1) Kovarianzen zus hätzen. Bei d = 500 Anlageobjekten sind dementspre hend 124.750 Parameter zu s hät-zen. Des weit s hwerwiegenderen Qualitätsproblems war si h Markowitz wohl bewusst:�To use the E-V rule in the sele tion of se urities we must have pro edures for�nding reasonable µi and σij .� (Markowitz, 1952)Insofern kann der von ihm vorges hlagene Mean-Varian e-Ansatz als se ond stage ange-wandt werden, na hdem die Verteilungsmomente zuverlässig und ausrei hend genau ge-s hätzt worden sind. In der Praxis der Portfoliooptimierung tritt also neben das Markt-risiko au h ein S hätzrisiko. Besonders bei der S hätzung der erwarteten Renditen kom-men S hätzfehler negativ zum Tragen (Merton, 1980, Jorion, 1985), während die zweitenMomente aus historis hen Daten no h relativ gut bestimmt werden können.4 Auf die Pro-blematik der S hätzrisken soll hier jedo h ni ht näher eingegangen werden, obwohl si him Zusammenhang mit Handelregeln ähnli he Herausforderungen ergeben dürften. Es seidaher auf die eins hlägige Literatur, wie z.B. die Arbeiten von Stein (1956), Jorion (1985,1986), Chopra und Ziemba (1993), Ledoit undWolf (2001), Memmel (2004), DeMiguel et al.(2007) und Frahm und Memmel (2008) verwiesen. Die Portfoliotheorie bietet allerdings eins hlüssiges Konzept, die Anlageents heidungen von Investoren theoretis h zu motivieren.Ihre grundlegenden Überlegungen sollen daher im folgenden Abs hnitt aufgegri�en undzum Konstrukt der Handelsregel in Beziehung gebra ht werden.4.2. Portfolio-Optimierung und HandelsregelnWel he Bedeutung kommt nun der Portfolio-Optimierung in Bezug auf den Begri� derHandelsregel zu? Der Antwort ist zunä hst Folgendes vorauszus hi ken: In der klassis hen4Das S hätzrisiko ist au h hier ni ht unerhebli h. 66

Kapitel 4. Portfolio-OptimierungPortfoliotheorie wird eine einperiodige Si htweise angenommen. Um jedo h der dynami-s hen mehrperiodigen Problemstellung eines Investors in der empiris hen Anwendung ge-re ht zu werden, wird meist ein myopis hes Vorgehen gewählt. Das dynamis he Vorgehenwird so dur h mehrere aufeinander folgende einperiodige Vorgänge repliziert. In diesemZusammenhang sei die Rolling-Window-Methode erwähnt, die na h dem o.g. Prinzip funk-tioniert und au h im folgenden empiris hen Teil dieser Arbeit Anwendung �ndet.Im Gegensatz zur klassis hen Portfoliotheorie sind die hier vorgestellten Handelsregeln perde�nitionem dynamis he Konstrukte. Die Signale, die von diesen Regeln generiert werden,werden erst in der Folgeperiode vom Investor umgesetzt und können si h je na h Zeitpunktverändern. Obwohl in dieser Arbeit synonym gebrau ht, sei an dieser Stelle no hmal aufden Unters hied zwis hen Handelsregel und Handelssignal hingewiesen: Die Handelsregelals sol he ist im Zeitablauf konstant, der Investor wendet also zeitpunktunabhängig immerwieder dieselbe Regel an. Dagegen kann si h das Handelssignal zeitpunktabhängig verän-dern, sobald si h dem Investor im Zeitablauf neue Informationen zur Verarbeitung bieten.Bisher standen die di hotomen und tri hotomen Handelsregeln im Fokus der Betra htung.Dabei zeigen die resultierenden Signale nur die Positionierung des Investors an, ni ht aberdas Volumen.5 Aus Si ht der Handelsregel wird immer nur eine Einheit des Finanzin-struments gehandelt. Letztli h beantwortet das Signal die Frage na h dem Wie (Kaufen,Verkaufen oder Au�ösen) und das Volumen die Frage na h dem Wieviel oder der Po-sitionsgröÿe des Investors. Dabei konzentriert si h dieser Abs hnitt ni ht auf die Fragena h der besten Zielfunktion oder der verbesserten S hätzung der Input-Parameter derPortfolio-Optimierung. Die Portfoliotheorie soll hier das theoretis he Gerüst liefern, umdas Konzept der Handelsregel im übergeordneten Rahmen eines Portfolios sol her Han-delsregeln anzubringen. Die Bestimmung des optimalen Volumens soll also als Teilaspekteines ganzheitli hen Investment-Prozesses im Mittelpunkt der Betra htung stehen.Angenommen, es existieren i = 1 . . . d Finanzinstrumente, auf denen jeweils ein Handelssi-gnal Si,t−1 angewendet wird, dann lässt si h ein generalisiertes Handelssignal der FormSgi,t−1 = viSi,t−15Diese Problematik wurde in Kapitel 3.2.4 bereits angespro hen.67

Kapitel 4. Portfolio-Optimierungaufstellen. vi bezei hnet hierbei das Volumen, das dem Handelssignal Si,t−1 zugeordnetwird. Das generalisierte Handelssignal Sgi,t−1 kann daher au h als Linearkombination vonSignal und Volumen und damit als gewi htetes Handelssignal aufgefasst werden. Das Volu-men stellt dabei die Gewi htung dar. Si,t−1 kann dabei au h ein tri hotomes Handelssignalsein. Das generalisierte Signal Sg

i,t−1 ist eine Zufallsvariable, die Werte zwis hen −∞ und∞ annehmen kann. Das Vorzei hen bildet ein tri hotomes Handelssignal, da Sg

t−1 au h denWert null annehmen kann. Dur h das Mark-to-Market Prinzip ist keine Budgetrestriktionerforderli h, und das Volumen kann theoretis h beliebig groÿ ausfallen.6 Jede Handelsak-tivität eines Investors kann so in eine generalisierte Handelsregel überführt werden. Dieintegrierte Darstellung von Signal und Volumen erlaubt nun dur h die Bestimmung einesoptimalen Volumens die Kombination vers hiedener Handelsregeln zu einem Portfolio vonHandelsregeln oder Strategieportfolio. Dieses Strategieportfolio stellt auf die Verknüpfungvon Handelsregeln und Portfoliotheorie ab. Eine Handelsregel kann in diesem Kontext alssynthetis hes Anlageobjekt interpretiert werden. Dahinter steht die Vorstellung, dass eineHandelsregel in verbriefter Form selbst wieder als Wertpapier handelbar gema ht werdenkann. Ein sol hes Derivat � in diesem Fall ein dur h Anwendung einer Handelsregel abge-leitetes Finanzinstrument � steht einem Investor dann wiederum zum Kauf zur Verfügung.Das investierte Kapital wird dann gemäÿ den zugrunde liegenden Handelsregeln angelegt.7Au h klassis he Investmentfonds stellen bereits ein von ihrem eigenen Anlageuniversumabgeleitetes Finanzinstrument dar. Die Verteilung ihrer Pro�te ist ni ht nur von den in ih-nen enthaltenen Wertpapieren, sondern au h von der verwendeten Handelsregel bzw. demFondsmanagement abhängig.Theoretis h kann also der Investor auf diese Weise die Menge mögli her Anlageobjektebeliebig erweitern8 und je na h Konstruktion und Eigens haft der Handelsregel sogar dieVerteilung der Portfoliopro�te beein�ussen. Ebenso können dadur h Restriktionen wie eineLeerverkaufsbes hränkung umgangen werden, indem ein Wertpapier gekauft wird, das eineverbriefte Sell-and-Hold-Strategie darstellt.9 Der Vorteil von Handelsregeln ergibt si h also6Dem Investor genügt eine Bonität, um theoretis h beliebig viel Kapital zum risikofreien Zinssatz aufzu-nehmen. In der Praxis würde si h jedo h z.B. abhängig von seinem bereits errei hten Vers huldungsgradeine Obergrenze einstellen.7Sol he Konstruktionen sind bereits z.B. unter dem Begri� der Strategiezerti�kate zu �nden.8Man könnte si h vorstellen, dass ein synthetis hes Anlageobjekt wiederum gemäÿ einer Handelsregel ge-und verkauft wird usw.9Die ist in der Praxis heute bereits z.B. dur h Short-ETF mögli h.68

Kapitel 4. Portfolio-Optimierunginbesondere dur h die Mögli hkeit, (Leer-)Verkaufspositionen einzugehen. Zum ri htigenZeitpunkt eingesetzt, erlauben sie eine Absi herung gegen eventuelle Kursverluste oderermögli hen es sogar, davon zu pro�tieren. Der Mögli hkeitsraum ist so gegenüber einemInvestor, der nur ni htsynthetis he Anlageobjekte in sein Optimierungskalkül einbezieht,bzw. nur eine reine Buy-and-Hold-Strategie anwendet, stark erweitert.

Abbildung 4.2.: Portfolio von Buy-and-Hold- und Handelsstrategien im µ-σ-RaumWie Abbildung 4.2 zeigt, verringert si h dadur h bei glei her erwarteter Portfoliorenditedie kleinste theoretis h errei hbare Varianz (das GVMP vers hiebt si h von Punkt A na hPunkt B). Man bea hte, dass diese Abbildung eine Erweiterung des Anlageuniversums un-ter Geltung der Budgetrestriktion exemplaris h darstellt. Wie eingangs bereits erwähnt,fällt diese Restriktion jedo h dur h das Mark-to-Market-Prinzip weg. Daher stellt si h nundie Frage, wie ein optimales Volumen für jede Handelsregel im Portfolio gefunden werdenkann.69

Kapitel 4. Portfolio-OptimierungIm Folgenden sollen nun die VektorenSt−1 =

S1,t−1

S2,t−1...Sd,t−1

, und η =

η1

η2...ηd

= E(St−1Xt) = E(Yt)die Handelssignale für die i = 1 . . . d Finanzinstrumente und die unbedingten Erwartungs-werte der Pro�te dieser Handelssignale enthalten. Man bea hte dabei, dass für die Buy-and-Hold-Strategie η = µ mitµ =

µ1

µ2...µd

gilt. Der Pro�t des Strategieportfolios ist gegeben dur h

Y pt =

d∑

i=1

Sgi,t−1Xi,t =

d∑

i=1

viSi,t−1Xi,t =

d∑

i=1

viYi,t.Der erwartete Pro�t des Strategieportfolios setzt si h zusammen ausE(Y p

t ) =

d∑

i=1

viE(Yi,t) =

d∑

i=1

viE(Si,t−1Xi,t) =

d∑

i=1

viηi.Kompakt ausgedrü kt in Matrixs hreibweise erhält manE(Y p

t ) = v′ηund für die Varianz des StrategieportfoliosVar(Y p

t ) = v′Θvmit Θ als Kovarianzmatrix der Pro�te der HandelssignaleΘ =

θ211 . . . θ21d... . . . ...θ2d1 . . . θ2dd

,wobei θ2ij = Cov(Yi,t, Yj,t) und θ2ii = Var(Yi,t) gilt. Zu bea hten ist wieder, dass für dieBuy-and-Hold-Strategie Θ = Σ mit

Σ =

σ211 . . . σ21d... . . . ...σ2d1 . . . σ2dd

70

Kapitel 4. Portfolio-Optimierungund σ2ij = Cov(Xi,t,Xj,t) und σ2ii = Var(Xi,t) = σ2. Das optimale Volumen ergibt si h alsMarkowitz-Portfolio dur h die Maximierung des erwarteten Pro�ts des Strategieportfolios.Da der Investor keine Budgetrestriktion zu bea hten brau ht, muss eine andere Restriktioneingeführt werden um dur h die Maximierung eine sinnvolle Lösung zu erhalten. Dur h dieRestriktionv′Θv = 1wird die Varianz des Strategieportfolios auf eins normiert. Dur h die Normierung wird derInvestor also in der Höhe seines Hebels bes hränkt. Er kann aber dur h Veränderung derNormierungskonstante die Varianz, die er bereit ist, in Kauf zu nehmen, beliebig skalieren.Dadur h ist das Risiko des Portfolios vorgegeben und der erwartete Pro�t kann unter dieserBedingung maximiert werden gemäÿ

v∗ = argmaxv∈Rd

v′η u.d.N. v′Θv = 1.Die Lösung kann dur h den Lagrange-Ansatz ermittelt werden. Die zu maximierende Funk-tion ist gegeben dur hL(v, λ) = v′η + λ(v′Θv − 1).Die Ableitungen der Lagrange-Funktion sind

∂L

∂v= η + 2λΘv

!= 0und

∂L

∂λ= v′Θv − 1

!= 0.Damit ergibt si h

v =1

2λΘ−1ηmit

λ =

√v′Θ−1v

2.Für den Vektor der optimalen Volumina erhält man s hlieÿli h

v∗ =Θ−1η

√

η′Θ−1η. (4.9)Die Sharpe Ratio des optimalen Strategieportfolios istSh∗ = v∗

′η√

v∗′Θv∗= v∗

′η

71

Kapitel 4. Portfolio-Optimierungund entspri ht damit dem erwarteten (standardisierten) Pro�t des optimalen Portfolios, dadie Varianz dur h die Nebenbedingung auf eins normiert ist. Dadur h sind au h Handels-strategien mit stark negativer Sharpe Ratio wüns henswert, da sie dur h eine Veränderungdes Vorzei hens im jeweiligen Volumen in eine e�ektive Strategie verwandelt werden kön-nen. Ein Investor sollte also Handelsstrategien mit hoher absoluter Sharpe Ratio bevorzu-gen. Ist der Investor auf Grund seiner Risikopräferenz bereit, eine gewisse Volatilität σp > 0in Kauf zu nehmen, dann muss er das optimale Volumen mit diesem Faktor multiplizieren,d.h., er wählt das optimale Volumenv∗σp

= σp ·Θ−1η

√

η′Θ−1η.Für jede Normierung der Varianz, d.h. für jede gegebene Risikoneigung, ergibt si h so derhö hste errei hbare erwartete Pro�t des Strategieportfolios. Alle diese Kombinationen lie-gen dann auf einer Geraden, die den Zusammenhang zwis hen Pro�t und Risiko bes hreibtund deren Steigung der Sharpe Ratio entspri ht � analog zur Kapitalmarktlinie in Abbil-dung 4.1. Allerdings besitzt die E�zienzkurve dur h den Wegfall der Budgetrestriktionkeine Parabelform mehr, sondern fällt vielmehr mit der bes hriebenen Geraden zusam-men. Je na h Risikopräferenz bewegt man si h nun dur h die Anpassung des optimalenVolumens entlang dieser Geraden.Nimmt man an, es existiert nur eine Strategie mit dem erwarteten Pro�t η1 und der Varianz

θ1. Dann wird der Investor das optimale Volumenv∗σp

= sign (η1) ·σpθ1wählen. Je höher die nun Prognosefähigkeit der Handelsregel ist, desto kleiner ist θ1. Beiglei her akzeptierter Volatilität kann der Investor dieser Strategie also ein höheres Volu-men zuweisen. Je besser die Prognosefähigkeit ist, desto gröÿer wird au h das Volumender entspre henden Strategie im Portfolio sein. Das bedeutet au h, dass dur h höhere Pro-gnosefähigkeit ein höheres Nutzenniveau für den Investor errei hbar ist. Umgekehrt kanndie Prognosefähigkeit au h als Input-Parameter der Optimierung des Handelsvolumens die-nen. Wie in Kapitel 3.2.2 erläutert, glei ht in Abwesenheit einer Risikoprämie der erwartetePro�t einer Handelsregel der Kovarianz zwis hen Handelssignal und gehandeltem Markt:

η = E(Yt) = Cov(St−1,Xt) = γIn diesem Fall lässt si h also der erwartete Pro�t direkt aus der Prognosefähigkeit derHandelsregel ableiten. Berü ksi htigt man nun den Umstand, dass Kovarianzen empiris h72

Kapitel 4. Portfolio-Optimierungbesser zu s hätzen sind als erwartete Renditen, könnte si h hierdur h ein Vorteil bei derBestimmung des optimalen Volumens ergeben, sofern die Handelssignale über eine Progno-sefähigkeit verfügen. Au h dieser Gedanke wird im empiris hen Teil dieser Arbeit wiederaufgegri�en.

73

Teil II.Empiris her Teil

75

Kapitel 5.Vorüberlegungen

5.1. Verbindung zur TheorieIn diesem Teil der Arbeit sollen die im theoretis hen Teil hergeleiteten Eigens haften vonHandelsregeln empiris h fundiert werden. Dazu wird zu einen auf eine Simulation zurü k-gegri�en, die das Verhältnis von Prognosefähigkeit bzw. Gewinnwahrs heinli hkeit underwartetem Pro�t untersu hen soll. Zum anderen wird die Pro�tabilität der vorgestell-ten Handelsregeln bzw. eines Portfolios dieser Handelsregeln anhand mehrerer Ba ktestsüberprüft. Mittels der Rolling-Window-Methode und unter Verwendung realer Daten vonvers hiedenen Aktienindizes kommen hier die Resultate bzgl. des Poolings von Handelssi-gnalen und der Bildung eines Strategieportfolios (s. Kapitel 3.2.4 und 4.2) zur Überprüfung.Dabei wird in dieser Arbeit auf die Einbeziehung von Transaktionskosten bewusst verzi h-tet. Zum einen soll der empiris he Teil direkt an die theoretis h hergeleiteten Ergebnisseanknüpfen, in denen ebenfalls keine Transaktionskosten berü ksi htigt werden. Zum ande-ren entstünde dur h Berü ksi htigung von Transaktionskosten ein weiterer Freiheitsgradin der empiris hen Untersu hung, der die Ergebnisse zwar realitätsnäher ausfallen lassen,sie aber denno h verzerren würde. Bei der Wahl der geeigneten Höhe der Transaktionsko-sten können S hwierigkeiten auftreten, die sowohl Veränderungen im Zeitablauf als au hdie betra hteten Märkte betre�en. In der letzten Dekade hat si h das Transaktionskosten-niveau dur h die zunehmende Verbreitung elektronis her Ordersysteme stark verringertund fällt heute weit weniger stark ins Gewi ht als zu Beginn der betra hteten Zeitreihe.Au h kann man davon ausgehen, dass die Transaktionskosten für den Handel von Aktienbzw. Aktienindizes (evtl. als ETF), Derivaten, Anleihen oder Devisen ni ht glei h groÿausfallen. Die hier gezeigten Konzepte des Cash�ows und der Handelsregel sind jedo h in76

Kapitel 5. Vorüberlegungenihren Anwendungsberei hen vielseitig und allgemein gehalten. Daher soll die empiris heStudie au h �nur� untersu hen, inwiefern si h die theoretis hen S hlussfolgerungen unmit-telbar am Beispiel von Aktienindizes na hvollziehen lassen. Die Transaktionskostenfragestellt si h dann erst in einem nä hsten S hritt hin zu einer etwaigen praktis hen Um-setzung. Bei der Betra htung von Tagesdaten fällt auÿerdem vor dem Hintergrund stetigfallender Leitzinssätze der Ein�uss des risikofreien Zinses auf die Cash�ows extrem geringaus.1 Umgekehrt dagegen ist der Ein�uss reinvestierter Dividenden auf den Gesamtpro-�t eines Investors ni ht zu unters hätzen. Daher werden in dieser Arbeit die Cash�owsals absolute Di�erenzen von Performan eindizes dargestellt. Die na hfolgenden Abs hnittekonzentrieren si h nun auf die Bes hreibung der angewendeten Methodik, des verwendetenDatensatzes und auf die Darstellung der Ergebnisse der Simulationsstudie und des Ba k-tests. Zunä hst sollen jedo h die zur Auswertung der empiris hen Ergebnisse bere hnetenStatistiken und Tests bes hrieben und erläutert werden.5.2. Statistiken und TestsDieser Abs hnitt zeigt zum einen Statistiken, die die beoba hteten Verteilungen von Cash-�ows bzw. Pro�ten harakterisieren, zum anderen statistis he Tests. Die unten aufgeführtenStatistiken und Tests �nden � mit einigen wenigen Ausnahmen � sowohl bei der Bes hrei-bung der zugrunde liegenden Daten als au h bei den empiris hen Ergebnissen Anwendung.Wie oben bereits erläutert, ist der Cash�ow der zugrunde liegenden Daten glei hbedeutendmit dem Pro�t der Buy-and-Hold-Strategie, da in diesem Falle St−1 = 1 und damit Yt = Xtgilt. Dann gilt ebenfalls E(Yt) = E(Xt) = η = µ und Var(Yt) = Var(Xt) = θ2 = σ2. Da dieempiris he Untersu hung jedo h in der Hauptsa he auf die Analyse der Pro�te der Handels-strategien abzielt, werden in der folgenden Erläuterung immer die Pro�te Yt verwendet,um eine konsistente Notation zu wahren. Glei hwohl werden die aufgeführten Analysenau h auf die Ausgangsdaten angewendet. Zudem erfolgt eine Darstellung der Kennzahlenin standardisierter Form � analog zum Cash�ow in Kapitel 2.2.2. Damit soll eine risikoad-justierte Verglei hbarkeit gewährleistet werden. Es werden im Folgenden die theoretis henGröÿen aufgeführt, die korrespondierenden S hätzer werden ni ht explizit erwähnt. In denfolgenden Kapiteln sind die entspre henden S hätzwerte ausgewiesen.1Angesi hts der jüngsten Finanz- und S huldenkrisen stellt si h die Frage, wel her Zins überhaupt no hals �risikofrei� bezei hnet werden kann. 77

Kapitel 5. Vorüberlegungen5.2.1. StatistikenPro�t� Standardisierter Pro�tY st =

Yt√θ2mit θ2 = Var(Yt).� Gesamtpro�t � Kumulierter Pro�t über den betra hteten Zeitraum in Indexpunk-ten

VY s =

T∑

t=1

Y st =

1√θ2

T∑

t=1

YtVerteilung des standardisierten Pro�ts� Erwarteter Pro�tηs = E(Y s

t ) =η√θ2� Maximum

Y smax = max{Y s

1 , . . . , YsT }� Minimum

Y smin = min{Y s

1 , . . . , YsT }� Erwarteter Gewinn

ηs+ = E(Y st |Y s

t > 0)� Erwarteter Verlustηs− = E(Y s

t |Y st ≤ 0)� Erwarteter Long Pro�t

ηslong = E(Y st |St−1 = 1)� Erwarteter Short Pro�t

ηsshort = E(Y st |St−1 = −1)

78

Kapitel 5. Vorüberlegungen� Maximaler DrawdownMaxDDs = sup

t∈[1,T ]{ sups∈[1,T ]

{Y ss − Y s

t }}� S hiefeγ1 = E

((Yt − η

θ

)3)� Kurtosis

γ2 = E

((Yt − η

θ

)4)

Zusammenhangsmaÿe� Korrelation � Linearer Zusammenhang zwis hen Pro�tenρij =

E((Yi,t − ηi)(Yj,t − ηj))√

θ2i

√

θ2j� Kendalls Tau � Rangkorrelation zwis hen zwei HandelssignalenτK =

K −D√

(K +D +BSi) · (K +D +BSj

),wobei K die Anzahl der konkordanten, D die Anzahl der diskonkordaten Signalpaa-re, BSi

die Anzahl der Bindungen in Si und BSjdie Anzahl der Bindungen in Sjbezei hnet.� Gamma � Kovarianz zwis hen Handelssignal und Cash�ow des gehandelten Marktes

γ = E((St−1 − δ)(Xt − µ))� Prognosefähigkeit � Standardisierte Kovarianz zwis hen Handelssignal und Cash-�ow des gehandelten Marktesψ =

Cov(St−1,Xt)√

Var(St−1)Var(Xt)=

γ√

σ2S σ2

79

Kapitel 5. VorüberlegungenPerforman emaÿeDiese Maÿe sind invariant bzgl. einer Standardisierung des Pro�ts. Die Sharpe Ratio, dieSortino Ratio und die Calmar Ratio werden im empiris hen Teil jeweils als annualisierteKennzahlen angegeben.� Gewinnwahrs heinli hkeitπ = IP(Y s

t > 0)� Gewinn-Verlust-Verhältnis � Verhältnis von erwartetem Gewinn zu erwartetemVerlustGL =

∣∣∣∣

ηs+

ηs−

∣∣∣∣� Sharpe Ratio � Verhältnis von Pro�t zu seiner Standardabwei hung2

Sh =η√θ2

= ηs� Omega-Maÿ � Verhältnis aller Gewinne und Verluste3Om =

E(max{Y st , 0})

E(max{−Y st , 0})� Sortino Ratio � Verhältnis von Pro�t zu seiner Semivarianz

So =ηs

E (max{−Y st , 0}2)� Calmar Ratio � Verhältnis von Pro�t zu maximalem Drawdown

Ca =ηs

MaxDDs

2Wie bereits in Kapitel 2.2.2 erläutert, entspri ht der erwartete standardisierte Pro�t der Sharpe Ratio.Diese und die folgenden Kennzahlen werden im empiris hen Teil jedo h mit ihren annualisierten S hätz-werten angegeben.3Zu einer ausführli hen Bes hreibung des Omega-Maÿes siehe Keating und Shadwi k (2002).80

Kapitel 5. Vorüberlegungen5.2.2. TestsErwartungswert-TestDer zweiseitige4 Einsti hproben t-Test für den Erwartungswert einer normalverteilten Zu-fallsvariable testet die Hypothesen:H0 : η = 0,

H1 : η 6= 0.Unter H0 gilt für die Teststatistikτ =

η√T − 1√

θ2∼ tT−1,wobei hier tT−1 die Verteilungsfunktion der t-Verteilung mit T − 1 Freiheitsgraden be-zei hnet. Die Nullhypothese wird abgelehnt, falls |τ | gröÿer als das (1 − α

2 )-Quantil dert-Verteilung mit T − 1 Freiheitsgraden ist. Wie bereits im Kapitel 2.3 erläutert, weisenVerteilungen von Tagesrenditen übli herweise heavy tails gegenüber der Normalverteilungauf. Darüber hinaus ist das Auftreten von Volatilitäts lustern und eine Autokorrelation derBeoba htungen5 mit der Annahme zeitli h unabhängig und identis h verteilter Beoba h-tungen ni ht vereinbar. Die Normalverteilungsannahme und die Annahme einer einfa henSti hprobe unabhängig identis h verteilter Beoba htungen sind jedo h zentrale Aspektedes t-Tests. Daher kann seine Aussagekraft zumindest bei Tagesdaten stark bezweifelt wer-den. Ni htsdestotrotz soll er hier als ein Standardtest aufgeführt werden. Als Alternativekönnten Methoden des Bootstrapping mögli herweise zu belastbareren Testresultaten füh-ren, wie sie beispielsweise von Politis und Romano (1992) oder Politis (2003) bes hriebenwerden. Normalverteilungs-TestsEine Darstellung dieser Tests �ndet si h in S hmid und Trede (2006), S.47-49. Beide fol-gende Tests beziehen si h auf die Hypothesen:H0 : Y ∼ N(η, θ2),

H1 : ni ht H0.4Hier wird die zweiseitige Version des Tests angewendet, da au h eine negative Risikoprämie denkbarwäre.5Eine serielle Abhängigkeit der Pro�te kann dur h die Überlappung der S hätzzeiträume bei Anwenden-dung der Rolling-Window-Methode auftreten. 81

Kapitel 5. VorüberlegungenFür die Lilliefors-Teststatistik (Lilliefors, 1967) gilt:τ =

√T max{D+,D−}mit

D+ = maxt

{t

T−Φ

(y(t) − y

s

)}undD− = max

t

{

Φ

(y(t) − y

s

)

− t− 1

T

}

,wobei y und s die Realisationen von η bzw.√θ2 und y(1), . . . , y(T ) die Ordnungsstatistikenbezei hnen. H0 wird abgelehnt, wenn τ gröÿer als das (1 − α)-Quantil der Verteilung vonτ unter H0 ist.Für die Jarque-Bera-Teststatistik (Jarque und Bera, 1980) gilt unter H0 asymptotis h:

γ1 ∼ N

(

0,

√

6

T

)sowieγ2 ∼ N

(

3,

√

24

T

)

.Da γ1 und γ2 asymptotis h unabhängig sind, gilt dann für groÿe T approximativ:τ = T

((γ1√6

)2

+

(γ2 − 3√

24

)2)

∼ χ22.

H0 wird abgelehnt, wenn τ gröÿer als das (1 − α)-Quantil der χ2-Verteilung mit 2 Frei-heitsgraden ist. Random-Walk-TestUnter Annahme eines Random-Walk-Modells bilden die Cash-Flow- bzw. Pro�t-Di�erenzeneinen White-Noise-Prozess. Die Zuwä hse ǫt = Yt − Yt−1 sind in diesem Falle unabhängigund identis h verteilt mit E(ǫt) = 0 und Var(ǫt) = θ2 für alle t ∈ N. Weiter nimmt manan, dass Y0 ≡ 0. Die Hypothesen sind dann:H0 : {Yt}t∈N ist ein Random-Walk vom o.g. Typ,H1 : ni ht H0.Eine Mögli hkeit, diese Hypothesen zu überprüfen, bezieht si h auf die ges hätzten Auto-korrelationen. Diese sind unter H0 asymptotis h unabhängig normalverteilt gemäÿ

√T ρ(j)

appr∼ N(0, 1) für j = 1, 2 . . .82

Kapitel 5. VorüberlegungenEbenfalls unter H0 gilt dann approximativ für die Ljung-Box-Teststatistik (Ljung und Box,1978):τ = T (T + 2)

k∑

j=1

ρ2(j)

T − j

appr∼ χ2k,wobei k die Anzahl der berü ksi htigen Lags der Autokorrelation bezei hnet. H0 wirdabgelehnt, wenn τ gröÿer als das (1− α)-Quantil der χ2-Verteilung mit k Freiheitsgradenist. Heteroskedastizitäts-TestDieser Test basiert auf Engle (1982). Eine kompakte Darstellung �ndet si h au h in Lums-daine und Ng (1999). Folgt {Yt} demna h einem ARCH(q)-Prozess, so gilt für die erstenbeiden bedingten Momente:

E(Yt|Yt−1, . . . , Yt−q) = 0undVar(Yt|Yt−1, . . . , Yt−q) = θ2t

= α0 + α1Y2t−1 + . . .+ αqY

2t−q

= α0 +

q∑

k=1

αkY2t−kmit αk ≥ 0 für k = 0, 1, . . . , k− 1 und α0 > 0. Verhält si h die bedingte Varianz homoske-dastis h, so besteht sie nur aus einer zeitli h invarianten Konstante. Weist der zugrunde lie-gende Prozess jedo h ARCH-Merkmale auf, so muss mindestens einer der αq-Koe�zientensigni�kant von null vers hieden sein. Daraus ergeben si h die Hypothesen:

H0 : α1 = α2 = . . . = αq = 0,

H1 : ni ht H0.Die Nullhypothese kann dur h eine OLS-Regression getestet werden. Dazu wird folgendesModell ges hätzt:u2t = α0 + α1u

2t−1 + . . .+ αqu

2t−q + vt,wobei u2t die ges hätzten quadrierten Residuen eines AR(q)-Modells darstellen. Ist derzugrunde liegende Prozess dur h einen geeigneten S hätzer um den bedingten Mittelwertbereinigt, so entspri ht ein Signi�kanztest obiger Regressionskoe�zienten dem Testen derNullhypothese. Folgen die wahren Residuen einer bedingten Normalverteilung, so zeigt83

Kapitel 5. VorüberlegungenEngle (1982), dass die Teststatistik asymptotis h aus einem Lagrange-Mutliplier-Test ab-geleitet werden kann. Unter H0 gilt dann für die Teststatistik:τ = T

f ′Z(Z ′Z)−1Z ′f

f ′f∼ χ2

qmit f ′ = (f1, . . . , fT ), ft = ( u2t

θ2− 1) und θ2 = 1

T

∑Tt=1 u

2t als S hätzer für die unbedingteVarianz sowie Z ′ = (z1, . . . , zT ) mit zt = (1, u2t−1, . . . , u2t−q)

′. H0 wird abgelehnt, wenn τgröÿer als das (1− α)-Quantil der χ2-Verteilung mit q Freiheitsgraden ist.Diversi�kations-TestVor dem Hintergrund der theoretis hen Überlegungen des Kapitels 4.2 stellt si h die Frage,ob die einbezogenen Handelsstrategien empiris h einen signi�kanten Beitrag zur Verbesse-rung der Portfoliodiversi�kation, der Senkung der Portfoliovarianz und der Steigerung derPortfoliorendite leisten können. Um dieser Frage na hzugehen, wird ein Test basierend aufFrahm (2008) angewendet.Um den Beitrag der Handelsregeln zur Verbesserung der Portfoliodiversi�kation gegen-über der reinen Buy-and-Hold-Strategie zu testen, wird auf einen Verglei h zwis hen demglobalen varianzminimalen Portfolio (GVMP) und einem lokalen varianzminimalen Port-folio (LVMP) zurü kgegri�en. Dur h die implizite Berü ksi htigung der Budgetrestiktionkann dadur h also nur der E�ekt einer Erweiterung des Mögli hkeitsraums dur h Hinzufü-gen von synthetis hen Anlageobjekten getestet werden (s. dazu Kapitel 4.2). Das GVMPweist dabei allen Handelsregeln inklusive der Buy-and-Hold-Strategie eine Gewi htung zu,das LVMP hingegen nur der Buy-and-Hold-Strategie. Damit stellt das LVMP ein um dieHandelsregeln restringiertes varianzminimales Portfolio dar. Ist nun die S hätzung der Va-rianz des GVMP signi�kant kleiner als die des LVMP, so kann die Nullhypothese verworfenwerden. Die Handelsregeln leisten dann einen Beitrag zur Varianzreduktion des Portfoli-os. Andernfalls kann keine Aussage getro�en werden bzw. für das praktis he Vorgehenzunä hst davon ausgegangen werden, dass die Buy-and-Hold-Strategien eine ausrei hendeDiversi�kation darstellen. Bewirken die Handelsregeln jedo h eine Verstärkung des Diver-si�kationse�ektes, ist für ein LVMP, das nur die Buy-and-Hold-Strategien umfasst, einehöhere Portfoliovarianz gegenüber dem GVMP zu erwarten.84

Kapitel 5. VorüberlegungenSei w nun der Vektor der ges hätzten Gewi htungen des GVMP, wr der Vektor der ge-s hätzten Gewi htungen des LVMP, d die Anzahl aller Handelsstrategien, T die Anzahlder beoba hteten Zeitpunkte und q die Anzahl der Restriktionen. Nimmt man weiter an,dass si h die Restriktionen auf die letzten q Elemente des Vektors w beziehen, so ergebensi h die HypothesenH0 : wd−q+1 = . . . = wd = 0,

H1 : ni ht H0.Unter H0 gilt für die Teststatistik:τ =

T − d

q· (w − wr)

′ Θ (w − wr)

θ2MV

∼ Fq,T−d,wobei Θ die ges hätzte Kovarianzmatrix der Pro�te aller Handelsstrategien und θ2MV =

w′Θw die ges hätzte Varianz des GVMP bezei hnen. Die Testgröÿe setzt si h also im We-sentli hen aus dem Quotienten der restringierten und der unrestringierten Portfoliovarianzzusammen. Die Nullhypothese wird abgelehnt, falls die Testgröÿe das (1− α)-Quantil derF-Verteilung mit q und T − d Freiheitsgraden übersteigt.

85

Kapitel 6.Simulationsstudie

6.1. AufbauDer Aufbau der Simulationsstudie soll das Vorgehen der empiris hen Studie im na hfol-genden Kapitel na hahmen. Dazu wird ein Ba ktest simuliert, indem die Tre�erquotender Handelssignale als Parameter exogen vorgegeben werden.1 Es werden dazu i = 1, . . . ssto hastis h unabhängige Prognosemodelle für j = 1, . . . d Märkte simuliert, die in t − 1eine Vorhersage für die Ri htung der Marktpreisbewegung in der kommenden Periode tabgeben. Es soll also in t − 1 eine Vorhersage simuliert werden, ob Xt < 0 oder Xt > 0gilt. Diese Vorhersage wird in ein di hotomes Handelssignal St−1 umgewandelt, sodassπ = IP(Xt > 0, St−1 = 1) + IP(Xt ≤ 0, St−1 = −1) (6.1)gilt. Der Parameter π ist dabei die Wahrs heinli hkeit, mit der die Prognose des Modellsin t tatsä hli h eintritt.2 Sie kann au h als Erfolgswahrs heinli hkeit eines binomialverteil-ten Zufallsexperiments aufgefasst werden. In diesem Zusammenhang ist das Erfolgsereignisdas Eintreten der Modellprognose bzw. ein pro�tables Handelssignal. Dabei wird angenom-men, dass für jede Periode t − 1 eine Vorhersage für die kommende Marktpreisbewegungerstellt wird. Die Datengrundlage bilden simulierte Preise von i = 1, . . . d Märkten gemäÿeiner mehrdimensionalen geometris hen Brown's hen Bewegung mit konstantem Drift µ,konstanter Varianz σ2 und einer konstanten Äquikorrelation ρ. Formal heiÿt das:dPi,t = µPi,tdt+ σPi,tdWi,t,1Im Ba ktest ergibt si h die Tre�erquote dur h die Handelsstrategie und ist ex ante unbekannt.2Aus Vereinfa hungsgründen soll π für alle Modelle und alle Märkte glei h groÿ sein.86

Kapitel 6. Simulationsstudiewobei die Wiener Prozesse Wi,t korreliert sind, sodass E(dWi,tdWj,t) = ρdt für i 6= jund j = 1, . . . d gilt. Die Werte für µ, σ und ρ werden exogen in die Simulation als Pa-rameter eingegeben und orientieren si h an den empiris h ermittelten S hätzwerten. Aufeine Modellierung von ARCH- bzw. GARCH-E�ekten wird verzi htet. Die di hotomenHandelssignale können na h Glei hung (6.1) generiert werden. Die simulierten di hotomenHandelssignale werden ans hlieÿend marktweise mit der Buy-and-Hold-Strategie zu einemtri hotomen Handelssignal für jeden Markt gemäÿ (3.10) zusammengefasst. Dadur h erhältman für jeden Zeitpunkt t insgesamt d tri hotome Handelssignale, für die ein optimalesVolumen gemäÿ (4.9) bestimmt werden kann. Diese optimalen Volumina werden in einemRolling Window ges hätzt.Insgesamt werden vier Strategieportfolios bere hnet:� Ein Portfolio bestehend aus d Buy-and-Hold-Strategien ohne optimierte Volumina,� Ein Portfolio bestehend aus d Buy-and-Hold-Strategien mit optimierten Volumina,� Ein Portfolio bestehend aus d tri hotomen Strategien ohne optimierte Volumina,� Ein Portfolio bestehend aus d tri hotomen Strategien mit optimierten Volumina.Die Vorgehensweise kann für die letzten beiden Strategieportfolios zusammenfassend infolgendem Ablauf gegliedert werden:� Simulation von s di hotomen Handelssignalen für jeden der d Märkte gegeben dieErfolgswahrs heinli hkeit π,� Pooling der di hotomen Handelssignale und der Buy-and-Hold-Strategie zu einemtri hotomen Handelssignal für jeden der d simulierten Märkte,� Bere hnung der optimalen Volumina für die d resultierenden tri hotomen Handelssi-gnale mit Hilfe der Rolling-Window-Methode,� Bere hnung des Pro�ts dieser Strategie,� Wiederholung der o.g. S hritte für N Simulationsdur hgänge.Für die Buy-and-Hold-Strategie entfällt ledigli h die Optimierung der Volumina na h derRolling-Window-Methode. Der Pro�t der Strategieportfolios der tri hotomen Handelssi-gnale ist in der Simulationsstudie � wie au h in der empiris hen Überprüfung � der zentraleUntersu hungsgegenstand. Insgesamt wird dur h die Simulation das Vorgehen der empi-ris hen Studie na hgeahmt, der Ablauf kann daher gra�s h in Anlehnung an Abbildung7.1 dargestellt werden. Ledigli h die beoba htbaren Indexpreise bzw. die Cash�ows werden87

Kapitel 6. Simulationsstudiealso dur h eine geometris he Brown's he Bewegung, die Handelssignale dur h ein Binomi-almodell ersetzt und das Vorgehen insgesamt N -mal wiederholt. Die Ergebnisse werdendann über alle N Simulationsläufe gemittelt. Die jeweiligen Parameter sollen so weit wiemögli h die Eigens haften der realen Daten berü ksi htigen.Gegen das bes hriebene Vorgehen kann man nun den Einwand erheben, dass die Simula-tion einer gewissen Prognosefähigkeit und die glei hzeitige Annahme einer geometris henBrown's hen Bewegung der zugrunde liegenden Marktpreise im Widerspru h zueinanderstehen. Man muss hier bea hten, dass der ents heidende Punkt in der Modellierung derMarkte�zienz zu su hen ist: Sind alle Informationen über das vergangene Marktges he-hen eingepreist, kann man von einer s hwa hen Informationse�zienz spre hen. In diesemZusammenhang werden oft weitere eins hränkende Annahmen über die Funktionsweisedes Marktes getro�en wie z.B. die kostenlose Verfügbarkeit aller Informationen für alleMarktteilnehmer oder die homogenen Erwartungen der Anleger über die Auswirkungenneuer Informationen auf die aktuellen Marktpreise. Wie bereits in Kapitel 3.1 erläutert, istein Random-Walk-Modell hinrei hend zur Operationalisierung dieser Annahmen geeignet.Nimmt man nun die Prognosefähigkeit eines Anlegers an, so ist dies glei hbedeutend mitder Lo kerung der oben genannten Annahmen für diesen einzelnen Investor bei glei hzei-tigem Beibehalten dieser Annahmen für alle anderen Marktteilnehmer. Prognosefähigkeitkönnte hier als eine erweiterte Informationsmenge eines Investors über die (zukünftige)Verteilung der Preisdi�erenzen aufgefasst werden. In diesem Sinne soll die Simulation alsoein �Was-wäre-wenn-Szenario� bes hreiben, in dem die Auswirkungen einer nur s hwa hausgeprägten Prognosefähigkeit auf Gewinnwahrs heinli hkeiten und Pro�te untersu htwerden können. Die dazu benötigte erweiterte Informationsmenge kann si h dabei ni htnur dur h die Anrei herung mit privaten Informationen ergeben, sondern beispielsweiseau h dur h eine erhöhte Informationsverarbeitungskapazität oder dur h ein verbessertesAnalyseinstrumentarium des betre�enden Investors. Es wäre denkbar, dass allen Investorendieselben Informationen bekannt sind, jedo h ni ht alle in der Lage sind, diese sa hgere htzu verarbeiten. Diese Insider-, Te hnologie- oder Know-how-Vorteile können dur h Inves-tition erworben und in erhöhte Prognosefähigkeit umgesetzt werden. Dur h Na hahmungund Verbreitung bzw. erhöhten Konkurrenzdru k werden ihre Grenzerlöse jedo h mit derZeit sinken, was wiederum neue Investitionen in Innovation nötig ma ht. Insofern ist Pro-gnosefähigkeit mehr eine Momentaufnahme und kann phasenweise unters hiedli h stark88

Kapitel 6. Simulationsstudieausgeprägt sein.3 Mithin wird sie bei den Investoren am stärksten sein, die über entspre- hende Ressour en verfügen, si h dauerhaft an der Spitze der Innovation zu halten.Bei dieser Simulation wird also implizit eine erweiterte Informationsmenge des Investorsmit Prognosefähigkeit gegenüber dem Marktpreismodell unterstellt. Eben diese E�ekteeiner gröÿeren Informationsmenge sollen hier untersu ht und quanti�ziert werden.6.2. ErgebnisseNa h der oben erläuterten Vorgehensweise wurden drei Simulationen für je vier vers hie-dene Portfoliostrategien dur hgeführt:� Eine Buy-and-Hold-Strategie für alle d Underlyings mit ni ht-optimierten Volumina(Buy-and-Hold),� Eine Buy-and-Hold-Strategie für alle d Underlyings mit optimierten Volumina (Opt.BH),� Eine gepoolte Strategie aus s simulierten Handelssignalen für d Underlyings mitni ht-optimierten Volumina (Gepoolt),� Eine gepoolte Strategie aus s simulierten Handelssignalen für d Underlyings mitoptimierten Volumina (Opt. gepoolt).Die Simulationsparameter wurden dabei zunä hst so gewählt, dass sie mögli hst nah an diefür das Datensample der empiris hen Überprüfung ermittelten S hätzwerte heranrei hen.Tabelle 6.1 zeigt die dur hs hnittli hen standardisierten Ergebnisse für N = 1000 Simula-tionsdur hgänge von d = 7 Märkten über T = 2500 simulierte Perioden mit µ = 0, 0003,σ = 0, 0157, ρ = 0, 60, einer Rolling-Window-Länge von 252 Perioden, s = 3 simuliertenHandelssignalen und einer Erfolgswahrs heinli hkeit von π = 0, 5050. Diese Parametrisie-rung entspri ht einem Drift von 5% p.a. und einer Volatilität von 25% p.a. Für die einzelnenTest werden in den folgenden Tabellen die jeweiligen p-Werte gezeigt.3In dieser Simulation wird sie jedo h als zeitkonstant angenommen.89

Kapitel 6. SimulationsstudieKennzahl Buy-and-Hold Opt. BH Gepoolt Opt. gepooltGesamtpro�t 37, 8969 20, 5556 74, 5890 21, 1852Erw. Pro�t 0, 0169 0, 0091 0, 0332 0, 0094Stabw. Pro�t 0, 0324 0, 0322 0, 0329 0, 0317Erw. Gew. 0, 0327 0, 0294 0, 0419 0, 0288Erw. Verl. −0, 0201 −0, 0233 −0, 0184 −0, 0223Maximum 0, 1332 0, 1279 0, 1539 0, 1162Minimum −0, 1010 −0, 1292 −0, 1006 −0, 0903Max. Drawdown 0, 2300 0, 3751 0, 1006 0, 3230S hiefe 0, 0913 −0, 0353 0, 0340 −0, 0259Kurtosis 3, 2038 2, 9548 3, 5031 3, 0895Gewinnwahrs h. 0, 6997 0, 6148 0, 8550 0, 6201Gew.-Verl.-Verh. 1, 6297 1, 2663 2, 2733 1, 2950Sharpe Ratio 8, 2605 4, 5098 15, 9909 4, 7206Omega 3, 7979 2, 0208 13, 4027 2, 1138Sortino Ratio 18, 7347 8, 0209 56, 3181 8, 4990Calmar Ratio 18, 4744 6, 1429 83, 1399 7, 3514t-Test 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000Lilliefors-Test 0, 2859 0,1032 0, 0727 0, 5000Jarque-Bera-Test 0,0309 0, 5000 0,0010 0, 5000Ljung-Box-Test 0, 3730 0, 0759 0, 3265 0, 3237Engle ARCH-Test 0,0033 0, 8391 0, 1088 0, 1793Tabelle 6.1.: Dur hs hnittli he standardisierte Ergebnisse (Simulation 1)Abbildung A.1 zeigt die kumulierten standardisierten Pro�te im Dur hs hnitt über N =

1000 Simulationen. Dur h den Drift ist erwartungsgemäÿ der Pro�t der Buy-and-Hold-Strategien positiv. Er wird allerdings no h vom Pro�t der gepoolten Strategie ohne opti-mierte Volumina übertro�en. Alle p-Werte des t-Tests sind auf dem 5%-Niveau signi�kant.Die Normalverteilungsannahme kann nur für die gepoolte und die Buy-and-Hold-Strategiedur h den Jarque-Bera-Test abgelehnt werden. Der Lilliefors-Test lehnt für keine Strategieeine Normalverteilung der standardisierten Pro�te ab. Der Ljung-Box-Test weist ebenfallsauf keine signi�kante Autokorrelation erster Ordnung hin. Die Autokorrelationen (s. Abb.A.6) der standardisierten Pro�te der gepoolten Strategie sind nahezu dur hgängig positivund für einige Lag-Längen gröÿer als 0, 05. Der Drift in den simulierten Daten und diedur h das Pooling erhöhte Gewinnwahrs heinli hkeit s hlagen si h au h hier nieder. Diestandardisierten Pro�te der Buy-and-Hold-Strategie weisen zwar au h eine eher positiveAutokorrelation auf, allerdings ist dieser E�ekt gegenüber der gepoolten Strategie deutli h90

Kapitel 6. Simulationsstudiegedämpft und nur auf den Drift zurü kzuführen. Sonst lässt si h für die Autokorrelationenkein regelmäÿiges Muster feststellen. Abbildungen A.2 bis A.6 zeigen die Simulationser-gebnisse für jede Portfoliostrategie im Einzelnen. Man erkennt hier bereits, dass dur h dieOptimierung des Volumens o�enbar keine Verbesserung errei hbar ist. Die S hätzung deroptimalen Volumina dur h ein Rolling Window enthält keinerlei Information, da die simu-lierten Cash�ows und die Handelssignale dur h ein Zufallsexperiment zustande kommen.Der S hätzfehler wird dadur h maximal. Hier lässt si h ebenfalls erkennen, wel he nega-tiven Auswirkungen die Anwendung einer stark mit S hätzfehlern behafteten � s heinbaroptimalen � Lösung hat.Die zweite Simulation enthält einen verringerten Drift der simulierten Marktpreise, je-do h wieder eine lei ht über 50%ige Erfolgswahrs heinli hkeit der simulierten Handelssi-gnale. Die Parametrisierung wurde so gewählt, dass die erwarteten Log-Preisdi�erenzennull sind. Damit soll der im theoretis hen Teil gezeigte Fall eines Marktes ohne Risiko-prämie aber mit einer gewissen Prognosefähigkeit des Handelssignals modelliert werden.Tabelle 6.2 zeigt die dur hs hnittli hen standardisierten Ergebnisse für N = 1000 Simula-tionsdur hgänge von d = 7 Märkten über T = 2500 simulierte Perioden mit µ = 0, 0001,σ = 0, 0157, ρ = 0, 60, einer Rolling-Window-Länge von 252 Perioden, s = 3 simuliertenHandelssignalen und einer Erfolgswahrs heinli hkeit von π = 0, 5050.In Abbildung A.7 zeigt si h die Überlegenheit der gepoolten Strategie ohne optimierteVolumina deutli h. Abbildungen A.8 bis A.12 zeigen die Simulationsergebnisse für je-de Portfoliostrategie im Einzelnen. In Abwesenheit einer Risikoprämie bzw. einer klarenMarkttendenz ma ht si h also eine � wenn au h nur lei ht erhöhte � Prognosefähigkeitsofort bemerkbar. Au h die Autokorrelationen in Abbildung A.12 zeigen kein erkennbaresMuster. Der Investor, der über Prognosefähigkeit verfügt (γ > 0) und eine wie in dieserSimulation modellierte Handelsregel verwendet, ist weniger stark vom Vorhandensein einerRisikoprämie abhängig. Wie bereits in Kapitel 3.2.2 gilt für den Pro�t der di hotomenHandelsregel

E(Yt) = δµ + γmit einer Risikoprämie µ und der Prognosefähigkeit γ. Der Buy-and-Hold-Investor realisiertdagegenE(Xt) = µ.

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Kapitel 6. SimulationsstudieKennzahl Buy-and-Hold Opt. BH Gepoolt Opt. gepooltGesamtpro�t 6, 2176 5, 0134 53, 2848 12, 3376Erw. Pro�t 0, 0028 0, 0022 0, 0237 0, 0055Stabw. Pro�t 0, 0313 0, 0313 0, 0317 0, 0318Erw. Gew. 0, 0265 0, 0261 0, 0361 0, 0279Erw. Verl. −0, 0232 −0, 0240 −0, 0189 −0, 0235Maximum 0, 1211 0, 1023 0, 1312 0, 1208Minimum −0, 1042 −0, 1168 −0, 1012 −0, 0956Max. Drawdown 1, 7720 0, 7071 0, 1327 1, 4039S hiefe 0, 0855 0, 0082 0, 0108 0, 0104Kurtosis 3, 0093 3, 0163 2, 9661 2, 8707Gewinnwahrs h. 0, 5227 0, 5240 0, 7749 0, 5645Gew.-Verl.-Verh. 1, 1408 1, 0855 1, 9129 1, 1850Sharpe Ratio 1, 4018 1, 1313 11, 8516 2, 7375Omega 1, 2493 1, 1951 6, 5855 1, 5361Sortino Ratio 2, 1645 1, 6999 33, 1106 4, 4775Calmar Ratio 0, 3933 0, 7948 45, 0277 3, 4240t-Test 0,0000 0,0007 0,0000 0,0000Lilliefors-Test 0, 2069 0, 5000 0, 5000 0, 0669Jarque-Bera-Test 0, 2457 0, 5000 0, 5000 0, 4327Ljung-Box-Test 0, 8516 0, 5158 0, 7417 0, 1447Engle ARCH-Test 0, 9386 0, 8810 0, 2191 0, 0602Tabelle 6.2.: Dur hs hnittli he standardisierte Ergebnisse (Simulation 2)Sinkt nun die Risikoprämie, so ist der Buy-and-Hold-Investor davon in glei hem Ausmaÿbetro�en. Der Anwender der Handelsregel verliert dagegen δµ mit δ = 1 − 2p. Da in derSimulation eine Glei hverteilung von Kauf- und Verkaufsignalen angenommen wird, gilthier p = 0, 5. Damit ist der Anwender der Handelsregel in der Lage, unabhängig vonder Risikoprämie des Marktes Pro�te zu ma hen. Seine Pro�tabilität ist nur dur h sei-ne Prognosefähigkeit begrenzt. Mit steigendem π würde si h damit .p. die Steigung deskumulierten Pro�ts der gepoolten Strategie in Abbildung A.7 erhöhen. Geht man davonaus, dass in der Realität ein Investor eine Strategie mit kleiner Short Ratio p bevorzugt,sodass δµ < µ gilt, so ist dieser E�ekt weniger ausgeprägt vorhanden.4 Bemerkenswertist dabei, dass si h dur h das Pooling der Signale die Gewinnwahrs heinli hkeit insgesamterhöht: In der Simulationen wurde jedes Handelssignal ledigli h mit einer Gewinnwahr-4Wie weiter unten no h gezeigt wird, weisen die in dieser Arbeit exemplaris h verwendeten Handelsregelneine empiris he Short Ratio von 10%-30% auf. 92

Kapitel 6. Simulationsstudies heinli hkeit von π = 0, 5050 simuliert. Die gepoolte Portfoliostrategie weist dagegen eineGewinnwahrs heinli hkeit von a. 0, 77 auf. Au h das Verhältnis von dur hs hnittli hemGewinn und dur hs hnittli hem Verlust ist hier am hö hsten. Eine Optimierung der Vo-lumina ist dagegen kontraproduktiv. Diese Tendenzen lassen si h in der ersten Simulationbereits feststellen.Die Ergebnisse der dritten Simulation sind als Referenzwerte für Märkte ohne Risiko-prämie, jedo h mit einer Äquikorrelation zu betra hten. Die Handelsmodelle wurden daherohne Prognosefähigkeit simuliert. Tabelle 6.3 zeigt die dur hs hnittli hen standardisiertenErgebnisse für N = 1000 Simulationsdur hgänge von d = 7 Märkten über T = 2500 simu-lierte Perioden mit µ = 0, 0001, σ = 0, 0157, ρ = 0, 60, einer Rolling-Window-Länge von252 Perioden, s = 3 simulierten Handelssignalen und einer Erfolgswahrs heinli hkeit vonπ = 0, 5.Ohne starken Drift und ohne erhöhte Prognosefähigkeit s hneiden erwartungsgemäÿ allePortfoliostrategien glei h gut bzw. glei h s hle ht ab. Die entspre henden Kennzahlen allerStrategien liegen dabei etwa auf dem glei hen Niveau. Au h die Abbildungen A.13 bis A.18lassen ni ht auf die Überlegenheit einer Strategie s hlieÿen. Die p-Werte deuten auf kaumein signi�kantes Ergebnis hin.Aus diesen Simulationen ergeben si h daher zunä hst zwei S hlussfolgerungen:1. Will ein Investor mit einem Prognosemodell langfristig signi�kante Pro�te erzielen,sollten mehr als 50% seiner Vorhersagen eintreten.5 Dieses Resultat ist wenig über-ras hend, da ansonsten bereits z.B. das Werfen einer fairen Münze geeignet wäre,signi�kant positive Pro�te zu erzielen!2. Allerdings ist bereits eine Tre�erquote von 50% + ǫ mit ǫ > 0 bereits vollkommenausrei hend, um langfristig signi�kante positive Pro�te zu erzielen. Der Investor mussdemzufolge na h Prognosemodellen oder Kombinationen von PrognoseinstrumentenAuss hau halten, die ihm diesen kleinen Prognosevorteil ǫ gewährleisten können.6 DasSignalpooling hat dann eine weitere Steigerung der Tre�erquote zur Folge. Denn beider Anwendung eines tri hotomen Handelssignals wird mögli herweise für eine unge-5Die gilt, falls dur hs hnittli he Gewinne und Verluste betragsmäÿig glei h groÿ sind.6Dieser Vorteil muss umso höher ausfallen, je ungünstiger das Verhältnis von dur hs hnittli hen Gewinnenund Verlusten ist. 93

Kapitel 6. Simulationsstudienaue oder mit geringer Wahrs heinli hkeit eintretende Prognose keine Marktpositioneingegangen. Generell wird dur h ein tri hotomes Handelssignal so eine Filterwirkungerzielt, die die Gewinnwahrs heinli hkeit erhöhen kann.Wie in Kapitel 3.2.2 gezeigt, erzielt der Investor gemäÿπ

1− π>ηposηnegpositive Pro�te, wenn das Verhältnis aus Tre�erquote und Verlustquote gröÿer ist als dasVerhältnis der dur hs hnittli hen Gewinne und dur hs hnittli hen Verluste. Ebenfalls vonBedeutung ist nun das Volumen. Berü ksi htigt man die Charakteristika des simuliertenDatensatzes, so kann man annehmen, dass der re hte Teil der obigen Unglei hung nähe-rungsweise glei h 1 ist. In diesem Falle muss der Investor � wie au h die Simulation zeigt� eine höhere Prognosegüte als 50% errei hen, um dauerhaft positive Pro�te zu erzielen.Anders ausgedrü kt: Dur h eine dynamis he Anpassung des Volumens kann au h bei einerPrognosegüte unter 50% ein positiver Pro�t entstehen, da dur h Anpassung des Volumensein anderes Verhältnis von dur hs hnittli hem Gewinn und dur hs hnittli hem Verlust er-zeugt werden kann.

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Kapitel 6. Simulationsstudie

Kennzahl Buy-and-Hold Opt. BH Gepoolt Opt. gepooltGesamtpro�t 6, 2044 5, 1469 4, 2658 2, 7150Erw. Pro�t 0, 0028 0, 0023 0, 0019 0, 0012Stabw. Pro�t 0, 0318 0, 0307 0, 0318 0, 0319Erw. Gew. 0, 0266 0, 0251 0, 0263 0, 0259Erw. Verl. −0, 0242 −0, 0238 −0, 0242 −0, 0248Maximum 0, 1027 0, 1281 0, 1256 0, 1320Minimum −0, 1213 −0, 0937 −0, 0988 −0, 1098Max. Drawdown 1, 3316 0, 8052 2, 1524 0, 9394S hiefe 0, 0207 0, 0644 0, 1232 −0, 0234Kurtosis 2, 9957 3, 0961 3, 0280 3, 0953Gewinnwahrs h. 0, 5307 0, 5338 0, 5165 0, 5129Gew.-Verl.-Verh. 1, 0995 1, 0535 1, 0883 1, 0445Sharpe Ratio 1, 3784 1, 1835 0, 9487 0, 6008Omega 1, 2433 1, 2064 1, 1624 1, 0998Sortino Ratio 2, 0992 1, 7917 1, 4355 0, 8721Calmar Ratio 0, 5223 0, 7166 0, 2222 0, 3240t-Test 0,0000 0,0004 0,0046 0, 0729Lilliefors-Test 0, 5000 0, 5000 0, 2652 0, 3978Jarque-Bera-Test 0, 5000 0, 2930 0, 0550 0, 5000Ljung-Box-Test 0, 7475 0, 9004 0, 1837 0, 6781Engle ARCH-Test 0, 9351 0, 1466 0, 0937 0, 1997Tabelle 6.3.: Dur hs hnittli he standardisierte Ergebnisse (Simulation 3)

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Kapitel 7.Empiris he Untersu hung

7.1. AufbauDie empiris hen Ergebnisse werden dur h einen Ba ktest mit Hilfe der Rolling-Window-Methode gewonnen. Dabei wird grundsätzli h in der glei hen Art und Weise wie au hin der Simulationsstudie verfahren. Da aber die Handelssignale hier nun ni ht simuliert,sondern aus den in Kapitel 3.3.2 vorgestellten Ansätzen abgeleitet werden müssen, erge-ben si h zwangsläu�g einige Veränderungen im Vorgehen. Der gesamte Datensatz wirdzunä hst in eine Kalibrierungsmenge und in eine Validierungsmenge unterteilt. Die fürdie Generierung von Handelssignalen erforderli hen AR-GARCH-Modelle werden auf derKalibrierungsmenge bere hnet. Diese Kalibierungsmenge wird na h Bere hnung des Han-delssignals um eine Periode ausgeweitet, sodass neue Zeitreiheninformationen beständigfür die Modellkalibierung berü ksi htigt werden können. Dur h Vergröÿerung der Kali-bierungsmenge soll eine mögli hst genaue S hätzung der Modellparameter gewährleistetwerden. Darüber hinaus sind diese Art von Modellen dur h ihren rekursiven Charakter inder Lage, die gesamte Zeitreiheninformation zu verarbeiten. Zur Bere hnung der anderenverwendeten Handelssignale werden die angegebenen Parameter verwendet. Im nä hstenS hritt erfolgt das marktweise Pooling der s = 4 einzelnen di hotomen Handelssignale(AR-GARCH-, Momentum-, Counting- und Buy-and-Hold-Strategie) zu einem tri hoto-men Handelssignal. So entsteht ein gemeinsames bzw. tri hotomes Handelssignal dur hPooling der einzelnen Handelssignale für jeden der d untersu hten Märkte. Das Poolingges hieht in diesem Zusammenhang aus zwei Gründen. Erstens wurde in Kapitel 3.2.3bereits theoretis h gezeigt, dass dur h ein tri hotomes Handelssignal eine weitere Vari-anzreduktion gegenüber einem di hotomen Handelssignal errei ht werden kann. Zweitens96

Kapitel 7. Empiris he Untersu hungwird dur h das Zusammenfassen der einzelnen Handelssignale eine Dimensionsreduktionerrei ht. Würden die Handelssignale einzeln als synthetis he Assets im Sinne des Kapitels4.2 betra htet, wäre für jedes einzelne au h ein optimales Volumen zu bestimmen. Ebensokönnten dur h Phasen, in denen mehrere Handelsregeln das glei he Signal anzeigen, Identi-�kationsprobleme auftreten. Eine lineare Abhängigkeit der Pro�te hätte zur Folge, dass dieInvertierung der Kovarianzmatrix der Pro�te unmögli h wäre. Au h vor den Hintergrundmögli her S hätzrisiken � hervorgerufen dur h eine verkleinerte e�ektive Sti hprobenan-zahl � ers heint also ein zusammengefasstes Handelssignal wüns henswert.Aus den tri hotomen Handelssignalen werden die Strategieportfolios erstellt. Hier kommtdie Rolling-Window-Methode zum Einsatz: Auf Grundlage einer vorde�nierte Fensterlängewerden die optimalen Volumina ges hätzt, für die kommende Periode angewendet und dasFenster sodann um eine Periode vers hoben. Auf eine stetigen Vergröÿerung der Fensterlän-ge wurde hier bewusst verzi htet, da die Portfoliobildung nur unter Berü ksi htigung derneusten Informationen erfolgen soll. Dur h das tri hotome Signal entsteht dann i.V.m. denVolumina ein generalisiertes Signal, das wiederum den Out-of-sample-Pro�t des Strategie-portfolios bestimmt. Diese Portfoliopro�te sind dann die Grundlage für die Bere hnung derStatistiken und Testgröÿen. Die Abbildung 7.1 soll das Vorgehen im Ba ktest no h einmalverdeutli hen. Sie enthält eine Übersi ht über die einzelnen oben bes hriebenen S hrit-te. In Klammern ist dabei immer die jeweilige Dimension der Daten angegeben. Aus denT Beoba htungszeitpunkten der Cash�ows der d Indizes entsteht so für jeden Zeitpunktein entspre hender Pro�t des Strategieportfolios. Die grau gestri helte Verbindung zwi-s hen den Cash�ows der Indizes und der Rolling-Window-Optimierung soll auf die bisherin ähnli hen Studien verwendete Methodik hinweisen: Dort werden meist die Ausgangsda-ten direkt als Bere hnungsgrundlage der optimalen Volumina bzw. Portfoliogewi htungenverwendet. Dies entspri ht im Kontext dieser Arbeit der dur hgängigen Anwendung einerBuy-and-Hold-Strategie. Au h diese Portfoliostrategie wird hier berü ksi htigt und dientals Referenzpunkt für den Verglei h zum neu entwi kelten Vorgehen.In der empiris hen Untersu hung werden also analog zur Simulationsstudie folgende fünfPortfolios berü ksi htigt:� Ein Portfolio bestehend aus d Buy-and-Hold-Strategien ohne optimierte Volumina,� Ein Portfolio bestehend aus d Buy-and-Hold-Strategien mit optimierten Volumina,� Ein Portfolio bestehend aus d tri hotomen Strategien ohne optimierte Volumina,97

Kapitel 7. Empiris he Untersu hung

Abbildung 7.1.: Ablauf des Ba ktest� Ein Portfolio bestehend aus d tri hotomen Strategien mit optimierten Volumina,� Ein Portfolio bestehend aus d tri hotomen Strategien mit optimierten Volumina,wobei die erwarteten Pro�te dur h die Kovarianz von Signal und Cash�ow ges hätztwerden.Gemäÿ den Überlegungen der Kapitel 3.2.2, 3.2.3 und 4.2 wird beim letzten Strategie-portfolio η also dur h γ ges hätzt. Die Optimierung wird in diesem Falle also auf derPrognosefähigkeit aufgebaut. Wird dagegen von ni htoptimierten Volumina gespro hen, sobedeutet dies eine Glei hgewi htung, d.h. vi = 1d für alle i = 1, . . . , d. Zur risikoadjustierten98

Kapitel 7. Empiris he Untersu hungVerglei hbarkeit werden die standardisierten Pro�te dieser Portfolios untersu ht.7.2. DatengrundlageDie Datenbasis der empiris hen Überprüfung bilden die tägli hen S hlusskurse der MSCI-Aktienindizes der G7-Nationen aus der Datenbank von Thomson Reuters Datastream.Dabei handelt es si h um Performan eindizes ohne Berü ksi htigung von Quellensteuern.1Einnahmen wie beispielsweise Bardividenden oder Erlöse aus Bezugsre hten werden in denIndex reinvestiert. Alle Indizes werden auf Basis des US-Dollars bere hnet. Es wird derZeitraum vom 1. Januar 2001 bis 15. September 2010 zugrunde gelegt. Daraus ergebensi h pro Aktienindex T = 2532 tägli he bzw. 506 wö hentli he Marktpreisbeoba htungen.Die MSCI Indizes sind marktkapitalisierungsgewi htete Indizes, die a. 80% der Börsenka-pitalisierung der gröÿten Unternehmen des jeweiligen Landes abde ken.2 Damit stellen siefür si h bereits eine Buy-and-Hold-Strategie eines marktkapitalisierungsgewi hteten Ak-tienportfolios dar. Sol he Indizes bilden in jüngster Zeit damit häu�g die Basis für einpassives Indexinvestment in Form eines ETF. Im Gegensatz zu einem aktiven Fondsmana-gement steht dabei die Genauigkeit der Indexabbildung � oder anders ausgedrü kt � dieMinimierung des Tra king-Errors im Vordergrund. Dur h den Kauf eines ETF kann si h derInvestor einfa h und relativ kostengünstig an der Wertentwi klung eines (Strategie-)Indexbzw. eines vordiversi�zierten Wertpapierportfolios beteiligen. Da ein Index als sol her ni htdirekt handelbar ist, diese Indizes jedo h im Folgenden das Underlying der jeweiligen Han-delsregel darstellen, kann man annehmen, dass der Investor in der Lage wäre, die Handels-signale dur h Kauf und Verkauf des entspre henden ETF umzusetzen. Ebenfalls denkbarwäre die Umsetzung dur h den Handel von Futures-Kontrakten, wie sie z.B. für den DAX-Index existieren. Für die hier betra hteten MSCI Indizes existieren jedo h keine sol henstandardisierten börsengehandelten Futures-Kontrakte.Die na hfolgenden Tabellen geben einen Überbli k über die Eigens haften des Datensatzes.Die Performan e-Kennzahlen wie z.B. Sharpe Ratio, Calmar Ratio, Sortino Ratio et . wer-den als annualisierte Werte angegeben, als Testergebnisse werden die p-Werte ausgewiesen.1Weitere Informationen zur Indexbere hnung und -zusammensetzung �nden si h auf der MSCI-Homepage (http://www.ms i. om/produ ts/indi es/ ountry_and_regional/dm/) oder unter http://www.ms ibarra. om/eqb/methodology/meth_do s/MSCI_Mar12_IndexCal Methodology.pdf (Links über-prüft am 4. März 2013).2Daher werden die Begri�e (Aktien-)Markt und Index im Folgenden synonym verwendet.99

Kapitel 7. Empiris he Untersu hungIn Tabelle 7.1 erkennt man, dass von den einzelnen Märkten der MSCI Japan-Index mit−41, 4100 Indexpunkten im gesamten Beoba htungszeitraum den geringsten, der MSCICanada-Index mit 3286, 5260 Indexpunkten den hö hsten Cash�ow aufweist. Glei hzeitigzeigt si h beim MSCI Italy die geringste und beim MSCI Fran e-Index die gröÿte Standard-abwei hung der Cash�ows. Die Standardabwei hung des MSCI Italy stellt einen Ausreiÿerdar: Sie beträgt weniger als die Hälfte der zweitniedrigsten Standardabwei hung. Ein ähn-li hes Bild ergibt si h bei der Betra htung der maximalen Drawdowns. In Indexpunktenweist der MSCI UK den hö hsten und der MSCI Italy wiederum den geringsten Drawdownauf.Eine bessere Verglei hbarkeit ergibt si h dur h Tabelle 7.2.Insgesamt ändert si h die Rangfolge der Indizes mit den hö hsten Cash�ows nur lei ht.Der MSCI Canada bleibt jedo h der pro�tabelste, der MSCI Japan der s hwä hste Indexim Beoba htungszeitraum. Im Falle der standardisierten maximalen Drawdowns dreht si hdas Bild: Der MSCI Italy hat den hö hsten, während der MSCI Japan den geringstenDrawdown zeigt. Hier sieht man bereits, dass die Standardisierung eine sinnvolle Maÿ-nahme zur Verglei hbarkeit der Indizes und zur korrekten Interpretation der Pro�t- undRisikomaÿe darstellt. Einen Überbli k über die invarianten Kennzahlen und p-Werte derSigni�kanztests zeigt Tabelle 7.3.Die dur hweg negative S hiefe und die relativ hohe Kurtosis3 weisen zunä hst auf keineNormalverteilung der tägli hen Cash�ows hin. Dieser Befund wird dur h die p-Werte desLilliefors- und des Jarque-Bera-Tests bestätigt. Au h die Gestalt der QQ-Plots und derHistogramme des Cash�ows spre hen stark gegen eine Normalverteilungsannahme(s. Abb. A.19 bis A.32). Die empiris he Verteilung weist dabei die typis hen Charakteristikavon Tagesrenditen von Wertpapieren auf: vorhandene, aber s hwa h ausgeprägte Asymme-trie, gröÿere Wölbung, stärker besetzte Flanken und gröÿere Spitzigkeit der empiris henVerteilung relativ zur Normalverteilung. Neben dieser peakedness und den heavy tails sindebenfalls die bekannten Volatilitäts luster zu �nden. Vor allem während und na h demPlatzen der US-Immobilienblase in den Jahren 2007-2009 ist eine Phase ausgeprägt hoherVolatilität deutli h zu erkennen. Rü ksetzer in der Entwi klung des kumulierten Cash-�ows gehen dabei meist mit mehr oder weniger starken Anstiegen in der Volatilität einher.Dieser Leverage-E�ekt gehört ebenfalls zu den o.g. stilisierten Fakten von Wertpapierren-diten. Ersi htli h ist darüber hinaus, dass in allen Indizes die Volatilität seit Mitte 20073Zum Verglei h: Die Normalverteilung besitzt eine S hiefe von null und eine Kurtosis von 3.100

Kapitel 7. Empiris he Untersu hungim Verglei h zum Niveau der Vorjahre erhöht ist. Ein etwas di�erenzierteres Bild ergibtdie Analyse der Autokorrelationen: Sowohl Autokorrelation als au h partielle Autokorre-lation weisen das glei he Vorzei hen auf, sind meist betragsmäÿig nahezu identis h undwe hseln für vers hiedene Lag-Längen häu�g das Vorzei hen. Die Autokorrelation ersterOrdnung ist für alle Indizes bis auf den MSCI Canada negativ. Dabei ist sie vor allem beimMSCI USA besonders stark negativ ausgeprägt. Der Ljung-Box-Test liefert auf dem 5%-Niveau ledigli h für den MSCI Germany und den MSCI Italy kein signi�kantes Ergebnis.Die Autokorrelation der quadrierten Cash�ows ist im Verglei h dazu für alle Lag-Längenbetragsmäÿig meist gröÿer ( a. 0, 2) und dur hweg positiv. Der ARCH-Test bestätigt dazuebenfalls die optis h bereits zu vermutende bedingte Heteroskedastizität: Für ein Lag von1 kann die Nullhypothese einer zeitli h konstanten Volatilität dur hweg abgelehnt werden.Die Korrelationstabelle (s. Tab. 7.4) der Cash�ows zeigt einen meist stark ausgeprägten po-sitiven linearen Zusammenhang der sieben Indizes an. Ledigli h a ht von 21 Korrelationensind im betra hteten Zeitraum kleiner als 0, 5. Besonders ho h ausgeprägt ist die Korrela-tion der europäis hen Indizes untereinander, weniger zwis hen den europäis hen und ame-rikanis hen Indizes und am geringsten zwis hen den europäis hen bzw. den amerikanis henIndizes und dem japanis hen Index. Als Ursa he dafür kommen die Zeitvers hiebungen zwi-s hen den einzelnen Wirts haftsräumen in Frage: Während die Haupthandelszeit allgemeinzwis hen 8:00 Uhr und 20:00 Uhr Ortszeit liegt, entspri ht beispielsweise die amerikani-s he Haupthandelszeit 14:00 Uhr bis 2:00 Uhr mitteleuropäis her Zeit. Die Handelszeitengröÿter Liquidität sind also zeitli h ni ht de kungsglei h. Daher werden kursbeein�ussen-de Na hri hten, Stimmungen et . ni ht an jedem Ort zur glei hen Uhrzeit eingepreist. Derfestgestellte S hlusskurs entspri ht also nur einer Momentaufnahme, die zeitzonenabhängigfür jeden Markt einzeln festgehalten wird. Dieses Phänomen ist au h als non-syn hronoustrading bekannt. Hinsi htli h der kumulierten Wertentwi klungen, empiris hen Verteilun-gen der Cash�ow, der Volatiliätseigens haften und der (Auto-)Korrelationen zeigen allesieben MSCI Indizes jedo h insgesamt starke Gemeinsamkeiten, die wiederum gut zu denstilisierten Fakten von Renditen passen.

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Kapitel7.Empiris heUntersu hung

Kennzahl Fran e Germany Italy Japan UK USA CanadaGesamtpro�t 1082, 1410 1285, 0900 53, 2520 −41, 4100 1393, 2580 104, 7750 3286, 5620Erw. Cash�ow 0, 4274 0, 5075 0, 0210 −0, 0164 0, 5503 0, 0414 1, 2980Stabw. Cash�ow 80, 9541 65, 3015 17, 1340 60, 2096 72, 6311 45, 8080 61, 5099Erw. Gew. 54, 0347 43, 3038 11, 2006 43, 7499 48, 1699 30, 2645 37, 4754Erw. Verl. −57, 6239 −47, 6498 −12, 4906 −44, 9077 −50, 9782 −34, 2770 −41, 4352Maximum 538, 1090 446, 2310 116, 9180 408, 7610 523, 0460 346, 7720 463, 9570Minimum −632, 1060 −524, 4920 −129, 1040 −345, 1620 −534, 5120 −351, 2420 −419, 1880Max. Drawdown 5012, 0150 4599, 9450 1379, 7940 3191, 6650 5228, 2200 2778, 6890 4107, 6770Tabelle 7.1.: Kennzahlen der unstandardisierten Cash�ows (Gesamter Datensatz)

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Kapitel 7. Empiris he Untersu hungKennzahl Fran e Germany Italy Japan UK USA CanadaGesamtpro�t 13, 3673 19, 6793 3, 1080 −0, 68776 19, 1827 2, 2873 53, 4315Erw. Cash�ow 0, 0053 0, 0078 0, 0012 −0, 0003 0, 0076 0, 0009 0, 0211Stabw. Cash�ow 1 1 1 1 1 1 1Erw. Gew. 0, 6675 0, 6631 0, 6537 0, 7266 0, 6632 0, 6607 0, 6093Erw. Verl. −0, 7118 −0, 7297 −0, 7290 −0, 7459 −0, 7019 −0, 7483 −0, 6736Maximum 6, 6471 6, 8334 6, 8238 6, 7890 7, 2014 7, 5701 7, 5428Minimum −7, 8082 −8, 0319 −7, 5350 −5, 7327 −7, 3593 −7, 6677 −6, 8150Max. Drawdown 61, 9612 70, 4416 80, 5297 53, 0093 71, 9833 60, 6595 66, 7808Tabelle 7.2.: Kennzahlen der standardisierten Cash�ows (Gesamter Datensatz)Kennzahl Fran e Germany Italy Japan UK USA CanadaS hiefe −0, 1440 −0, 2787 −0, 16401 −0, 1855 −0, 2203 −0, 2885 −0, 7294Kurtosis 10, 5963 10, 1317 10, 2732 6, 0491 10, 5237 9, 5681 11, 5024Gewinnwahrs h. 0, 5199 0, 5295 0, 5281 0, 5063 0, 5198 0, 5318 0, 5417Gew.-Verl.-Verh. 0, 9377 0, 9088 0, 8967 0, 9742 0, 9449 0, 8829 0, 9044Sharpe Ratio 0, 0838 0, 1234 0, 0195 −0, 0043 0, 1203 0, 0143 0, 3350Omega 1, 0156 1, 0229 1, 0036 0, 9997 1, 0227 1, 0027 1, 0691Sortino Ratio 0, 1161 0, 1699 0, 0268 −0, 0060 0, 1662 0, 0197 0, 4496Calmar Ratio 0, 0920 0, 1493 0, 0219 −0, 0055 0, 1311 0, 0162 0, 3704t-Test 0, 7905 0, 6958 0, 9508 0, 9891 0, 7031 0, 9638 0, 2884Lilliefors-Test 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000Jarque-Bera-Test 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000Ljung-Box-Test 0,0295 0, 4799 0, 6571 0,0001 0,0015 0,0000 0,0373Engle ARCH-Test 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000Tabelle 7.3.: Invariante Kennzahlen und Tests (Gesamter Datensatz)Fran e Germany Italy Japan UK USA CanadaFran e 1Germany 0, 9363 1Italy 0, 9366 0, 8994 1Japan 0, 2146 0, 2017 0, 2098 1UK 0, 9121 0, 8644 0, 8671 0, 2029 1USA 0, 5043 0, 5406 0, 4698 0, 0214 0, 4859 1Canada 0, 6407 0, 6325 0, 6229 0, 1586 0, 6415 0, 6434 1Tabelle 7.4.: Korrelationen der Cash�ows (Gesamter Datensatz)103

Kapitel 7. Empiris he Untersu hung7.3. Ergebnisse7.3.1. EinzelstrategienIn den folgenden Abs hnitten werden die Ergebnisse der� Buy-and-Hold-Strategie,� AR-GARCH-Strategie,� Momentum-Strategie,� Counting-Strategie,� Gepoolten Strategiena h zugrunde liegendem Markt für T = 2000 Out-of-sample-Perioden dargestellt. JedeStrategie wird auf jeden der sieben MSCI Indizes na h dem glei hen Muster angewendet.Die AR-GARCH-Strategie wird auf einer Kalibrierungsmenge von anfängli h 533 Periodenbere hnet. Diese Kalibrierungsmenge wird wie oben bes hrieben na h Bere hnung des Han-delssignals um eine Periode ausgeweitet. Die Handelssignale der Momentum-Strategie wer-den über m = 20 Perioden bere hnet, die Signale der Counting-Strategie über c = 252Perioden. Das tri hotome Signal kommt dabei dur h Pooling aller vorgenannten Signalegemäÿ (3.10) zustande. MSCI Fran eTabelle 7.5 zeigt die standardisierten Pro�te der einzelnen Handelssignale in Indexpunktendes MSCI Fran e. Alle Strategien weisen positive Pro�te auf. Der kumulierte Pro�t dergepoolten Strategie ist am hö hsten, der der AR-GARCH-Strategie am geringsten. Diegepoolte Strategie ist am pro�tablesten, ihr dur hs hnittli her Short-Pro�t ist dabei mit0, 1853 verglei hsweise ho h. Die Momentum-Strategie weist den geringsten standardisier-ten Drawdown auf, die Buy-and-Hold-Strategie den hö hsten. Tabelle 7.6 zeigt weitereKennzahlen und die p-Werte der Tests (p-Werte unterhalb des 5%-Niveaus sind fettge-dru kt).Von den di hotomen Strategien hat die AR-GARCH-Strategie den hö hsten Anteil anKaufsignalen und ist insgesamt am wenigsten pro�tabel im Out-of-sample-Zeitraum. Zu-sammen mit dem negativen dur hs hnittli hen Pro�t ihrer Verkaufsignale lässt si h sagen,dass die AR-GARCH-Strategie zwar insgesamt relativ wenige Verkaufssignale generiert,104

Kapitel 7. Empiris he Untersu hungKennzahl Buy-and-Hold AR-GARCH Momentum Counting GepooltGesamtpro�t 32, 2148 17, 4147 62, 5931 61, 0734 86, 8957Erw. Pro�t 0, 0161 0, 0087 0, 0313 0, 0305 0, 0435Stabw. Pro�t 1 1 1 1 1Erw. Gew. 0, 6567 0, 6674 0, 6811 0, 6903 0, 7539Erw. Verl. −0, 7067 −0, 6938 −0, 6797 −0, 6699 −0, 7661Erw. Long Pro�t 0, 0161 0, 01404 0, 0378 0, 0297 0, 0470Erw. Short Pro�t - −0, 0318 0, 0204 0, 0338 0, 1853Maximum 6, 2453 6, 2447 7, 3389 7, 3387 7, 5148Minimum −7, 3362 −7, 3355 −6, 2475 −6, 4582 −7, 9358Max. Drawdown 58, 2158 48, 9652 23, 5401 24, 1108 27, 2104Tabelle 7.5.: Kennzahlen der standardisierten Pro�te (MSCI Fran e)Kennzahl Buy-and-Hold AR-GARCH Momentum Counting GepooltAnteil Kaufsignale 1 0, 8835 0, 6280 0, 7865 0, 8420Anteil Verkaufsignale 0 0, 1165 0, 3720 0, 2135 0, 0210Anteil kein Signal 0 0 0 0 0, 1370S hiefe −0, 1628 −0, 1124 −0, 0263 −0, 0689 −0, 1679Kurtosis 10, 2814 10, 2722 10, 2847 10, 2891 9, 8111Gewinnwahrs h. 0, 5303 0, 5162 0, 5227 0, 5151 0, 5375Gew.-Verl.-Verh. 0, 9293 0, 9620 1, 0020 1, 0305 0, 9841Sharpe Ratio 0, 2557 0, 1382 0, 4968 0, 4848 0, 6897Omega 1, 0490 1, 0262 1, 0973 1, 0949 1, 1436Sortino Raio 0, 3555 0, 1929 0, 7176 0, 6952 0, 9828Calmar Raio 0, 2989 0, 1616 0, 5862 0, 5787 0, 8979t-Test 0, 4714 0, 6970 0, 1618 0, 1722 0, 0522Lilliefors-Test 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000Jarque-Bera-Test 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000Ljung-Box-Test 0,0171 0,0079 0, 0523 0,0155 0,0302Engle ARCH-Test 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000Tabelle 7.6.: Kennzahlen und Tests (MSCI Fran e)diese beim MSCI Fran e jedo h kaum dazu geeignet sind, eine negative bedingte Erwar-tung des Cash�ows anzuzeigen. Au�ällig ist dabei, dass die gepoolte Strategie einen ähn-li h hohen Anteil an Kaufsignalen, jedo h nur den geringsten Anteil an Verkaufsignalenaufweist (s. au h Abb. A.33). Hier zeigt si h der positive E�ekt des Pooling: Die unpro�ta-blen Verkaufsignale werden o�ensi htli h herausge�ltert. Es resultieren ein Anteil von a.14% aller Out-of-sample-Perioden ohne Signal und ein deutli h erhöhter dur hs hnittli her105

Kapitel 7. Empiris he Untersu hungPro�t eines Verkaufsignals. Dur h das Pooling können so Phasen negativer bedingter Er-wartung der Cash�ows besser identi�ziert und pro�tabel umgesetzt werden. Dies s hlägtsi h au h in der hohen Sharpe Ratio der gepoolten Strategie deutli h nieder. Der t-Testdeutet jedo h auf ni ht signi�kant von null vers hiedene Pro�te aller Strategien hin. Der p-Wert der gepoolten Strategie ist allerdings nahe am 5%-Niveau. Dieser ist dur h die bereitsfür die Cash�ows harakteristis hen Eigens haften wie gröÿerer Flankenmasse, spitzer undni htnormaler Verteilung allerdings nur bedingt aussagekräftig. Die Abbildungen A.40 bisA.43 zeigen dazu eine Übersi ht über alle Underlying-Strategie-Kombinationen. Die Testsauf Normalverteilung lehnen erwartungsgemäÿ die Nullhypothese normalverteilter Pro�teab. Au h der Ljung-Box-Test deutet nahezu einheitli h ni ht auf einen Random-Walk derPro�te hin. Abbildung A.44 bietet eine Übersi ht über die Autokorrelationen der Pro�tebis zu einem Lag von 20 na h Markt und Strategie. Sie weisen das bereits von den Cash-�ows bekannte Muster unsteter und abwe hselnd signi�kanter Niveaus auf. Ebenso kanndie Nullhypothese einer zeitli h konstanten Varianz der Pro�te für alle Strategien abge-lehnt werden. Diese Befunde deuten bereits darauf hin, dass die dur h die Anwendung einerHandelsregel generierten Pro�te ähnli he Charakteristika der Cash�ows des gehandeltenMarktes aufweisen. Buy-and-Hold AR-GARCH Momentum Counting GepooltBuy-and-Hold 1AR-GARCH 0, 8616 1Momentum −0, 3054 −0, 2863 1Counting 0, 2182 0, 1771 0, 2028 1Gepoolt 0, 7743 0, 7607 0, 0590 0, 6656 1Tabelle 7.7.: Strategieweise Korrelationen der Pro�te (MSCI Fran e)Die Korrelation der Einzelstrategien für den MSCI Fran e in Tabelle 7.7 bewegen si h ineiner Gröÿenordnung von a. −0, 3 bis a. 0, 9. Der lineare Zusammenhang zwis hen derBuy-and-Hold- und der AR-GARCH-Strategie ist dabei mit 0, 8616 am stärksten ausge-prägt, während die Korrelation zwis hen der Buy-and-Hold- und der Momentum- bzw.zwis hen der AR-GARCH- und der Momentum-Strategie s hwa h negativ ist. Die gepool-te Strategie, die au h die pro�tabelste Strategie im betra hteten Zeitraum ist, weist mitAusnahme der Momentum-Strategie zu allen anderen Strategien einen starken positivenlinearen Zusammenhang auf. Dur h Betra htung der Rangkorrelation kann man einen wei-teren Eindru k vom Zusammenhang der zugrunde liegenden Handelssignale gewinnen.106

Kapitel 7. Empiris he Untersu hungAR-GARCH Momentum Counting GepooltAR-GARCH 1Momentum 0, 0462 1Counting 0, 0846 0, 1721 1Gepoolt 0, 4146 0, 4744 0, 6314 1Tabelle 7.8.: Strategieweise Rangkorrelation der Handelssignale (MSCI Fran e)Wie Tabelle 7.8 zeigt, weisen alle Strategien eine positive Rangkorrelation auf. Am deutli h-sten ist diese zwis hen der gepoolten und der Counting-Strategie mit a. 0, 63 ausgeprägt.Insgesamt bestätigt si h hier gröÿtenteils das bereits für die Korrelationen der Pro�te be-s hriebene Muster. MSCI GermanyTabelle 7.9 zeigt die standardisierten Pro�te der einzelnen Handelssignale des MSCI Ger-many. Au h hier weisen alle Strategien positive Pro�te auf. Der Pro�t der Momentum-Kennzahl Buy-and-Hold AR-GARCH Momentum Counting GepooltGesamtpro�t 41, 1798 5, 7853 81, 1200 61, 1700 75, 9560Erw. Pro�t 0, 0206 0, 0029 0, 0406 0, 0306 0, 0380Stabw. Pro�t 1 1 1 1 1Erw. Gew. 0, 6501 0, 6498 0, 6950 0, 6747 0, 7267Erw. Verl. −0, 7237 −0, 7215 −0, 6725 −0, 6945 −0, 7710Erw. Long Pro�t 0, 0206 0, 0122 0, 0487 0, 0308 0, 0464Erw. Short Pro�t - −0, 2184 0, 0268 0, 0294 −0, 2968Maximum 6, 4543 6, 4530 7, 5909 6, 4953 7, 1200Minimum −7, 5863 −7, 5847 −6, 4582 −7, 5882 −9, 1568Max. Drawdown 66, 5338 76, 6425 22, 7430 30, 0680 36, 1054Tabelle 7.9.: Kennzahlen der standardisierten Pro�te (MSCI Germany)Strategie ist am hö hsten, der der AR-GARCH-Strategie am geringsten. Letztgenannteweist den hö hsten, erstgenannte den kleinsten Drawdown auf. Der Pro�t der AR-GARCH-Strategie ist als einziger geringer als der der Buy-and-Hold-Strategie. Der dur hs hnittli heShort-Pro�t der gepoolten Strategie ist jedo h am geringsten und sogar negativ. Denno hweist sie den zweitkleinsten Drawdown auf.Eine Übersi ht der kumulierten Pro�te der einzelnen Handelsstrategien und des Signalsder gepoolten Strategie zeigt Abbildung A.34. Tabelle 7.10 zeigt weitere Kennzahlen und107

Kapitel 7. Empiris he Untersu hungdie p-Werte der Tests (p-Werte unterhalb des 5%-Niveaus sind fettgedru kt). Die AR-Kennzahl Buy-and-Hold AR-GARCH Momentum Counting GepooltAnteil Kaufsignale 1 0, 9595 0, 6280 0, 8300 0, 8865Anteil Verkaufsignale 0 0, 0405 0, 3720 0, 1700 0, 0105Anteil kein Signal 0 0 0 0 0, 1030S hiefe −0, 3081 −0, 2829 0, 0474 −0, 2112 −0, 4325Kurtosis 9, 9968 9, 9689 9, 9808 10, 0044 10, 3597Gewinnwahrs h. 0, 5419 0, 5283 0, 5217 0, 5298 0, 5434Gew.-Verl.-Verh. 0, 8983 0, 9006 1, 0335 0, 9715 0, 9424Sharpe Ratio 0, 3269 0, 0459 0, 6439 0, 4855 0, 6029Omega 1, 0627 1, 0086 1, 1274 1, 0946 1, 1216Sortino Raio 0, 4515 0, 0629 0, 9372 0, 6895 0, 8428Calmar Raio 0, 4187 0, 0588 0, 7275 0, 5951 0, 7562t-Test 0, 3573 0, 8971 0, 0698 0, 1715 0, 0896Lilliefors-Test 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000Jarque-Bera-Test 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000Ljung-Box-Test 0, 3555 0, 0638 0, 5758 0, 3029 0, 1194Engle ARCH-Test 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000Tabelle 7.10.: Invariante Kennzahlen und Tests (MSCI Germany)GARCH-Strategie kommt mit einem Anteil von a. 96% Kaufsignalen sehr nah an diereine Buy-and-Hold-Strategie heran. Glei hzeitig generiert sie den geringsten Pro�t, da ihrdur hs hnittli her Short-Pro�t stark negativ ausfällt. Diese Strategie s heint also eine ho-he Anzahl fals her Short-Signale hervorzubringen. Ähnli h zu den Ergebnissen des MSCIFran e, generiert die gepoolte Strategie nur wenige Verkaufsignale bei glei hzeitig hohemAnteil an Kaufsignalen. Im Gegensatz zum MSCI Fran e s heint jedo h diese Strategiehier nun weniger erfolgrei h darin zu sein, eine bedingte negative Erwartung der Cash�owszu identi�zieren: Der dur hs hnittli he Pro�t eines Verkaufsignals ist negativ. Diese Ei-gens haft teilt sie mit der AR-GARCH-Strategie. Denno h ist die gepoolte Strategie unterPro�t-Risiko-Gesi htspunkten die zweitbeste Strategie. O�enbar zeigt das Pooling au hhier einen positiven E�ekt dergestalt, dass si h die starken negativen Eigens haften derAR-GARCH-Strategie dur h die anderen Strategien abfedern lassen. Die gepoolte Strate-gie hat darüber hinaus den gröÿten Anteil pro�tabler Handelssignale, die hö hste CalmarRatio und die zweithö hste Sharpe Ratio bzw. Sortino Ratio. Wie au h beim MSCI Fran edeutet der t-Test ni ht auf signi�kante Pro�te hin. Die Ergebnisse der Normalverteilungs-tests zeigen ein ebenfalls eindeutiges Bild: Die Nullhypothese normalverteilter Pro�te der108

Kapitel 7. Empiris he Untersu hungHandelsregeln kann dur hgängig für beide verwendeten Tests abgelehnt werden. Der aufden Autokorrelationen der Pro�te basierende Random-Walk-Test führt dagegen in kei-nem Fall zu einer Ablehnung der Nullhypothese. Umgekehrt kann die Nullhypothese einerzeitli h konstanten Varianz der Pro�te für alle Handelsstrategien abgelehnt werden. Diesdeutet wie bereits beim MSCI Fran e darauf hin, dass die Pro�te der Handelsstrategienähnli he Charakteristika aufweisen wie die Cash�ows des Underlyings selbst.Buy-and-Hold AR-GARCH Momentum Counting GepooltBuy-and-Hold 1AR-GARCH 0, 9584 1Momentum −0, 2216 −0, 2096 1Counting 0, 2248 0, 2043 0, 2434 1Gepoolt 0, 8165 0, 8111 0, 1224 0, 6417 1Tabelle 7.11.: Strategieweise Korrelationen der Pro�te (MSCI Germany)Die Tabellen 7.11 und 7.12 geben eine Übersi ht über die Korrelationen der Pro�te bzw.über die Rangkorrelationen der Handelssignale der einzelnen Handelsstrategien für denMSCI Germany. Dabei tritt ein ähnli hes Muster wie beim MSCI Fran e (s. Tab. 7.7)auf: Buy-and-Hold- und AR-GARCH-Strategie sind stark positiv korreliert, ebenso wiedie gepoolte Strategie mit der Buy-and-Hold- bzw. mit der AR-GARCH-Strategie. DieKorrelationen der Momentum- mit der Buy-and-Hold- bzw. mit der AR-GARCH-Strategiesind dagegen lei ht negativ. Der starke lineare Zusammenhang zwis hen der Buy-and-Hold- und der AR-GARCH-Strategie ist dabei auf den hohen Anteil an Kaufsignalen derletztgenannten Strategie zurü kzuführen.AR-GARCH Momentum Counting GepooltAR-GARCH 1Momentum 0, 0413 1Counting 0, 0691 0, 2217 1Gepoolt 0, 2685 0, 4528 0, 7162 1Tabelle 7.12.: Strategieweise Rangkorrelation der Handelssignale (MSCI Germany)Wie zuvor beim MSCI Fran e �ndet si h au h hier eine dur hweg positive Rangkorrelationder einzelnen Handelssignale. Dabei ist wieder der Zusammenhang zwis hen der Counting-und der gepoolten Strategie am stärksten ausgeprägt.109

Kapitel 7. Empiris he Untersu hungMSCI ItalyTabelle 7.13 zeigt die standardisierten Pro�te der einzelnen Handelssignale des MSCI Italy.Kennzahl Buy-and-Hold AR-GARCH Momentum Counting GepooltGesamtpro�t 18, 3123 17, 9269 102, 2336 42, 4150 61, 1546Erw. Pro�t 0, 0092 0, 0090 0, 0511 0, 0212 0, 0306Stabw. Pro�t 1 1 1 1 1Erw. Gew. 0, 6506 0, 6649 0, 7043 0, 6768 0, 7402Erw. Verl. −0, 7290 −0, 7114 −0, 6698 −0, 6986 −0, 7890Erw. Long Pro�t 0, 0092 0, 0105 0, 0511 0, 0179 0, 0327Erw. Short Pro�t - −0, 0007 0, 0512 0, 0402 0, 1950Maximum 6, 3507 6, 3507 7, 0215 7, 0139 7, 5460Minimum −7, 0126 −7, 0126 −6, 3587 −6, 3519 −7, 1748Max. Drawdown 74, 9472 66, 0406 20, 8640 38, 4569 41, 4860Tabelle 7.13.: Kennzahlen der standardisierten Pro�te (MSCI Italy)Für alle Strategien lassen si h positive Pro�te feststellen. Die Momentum-Strategie s hnei-det hier am besten, die AR-GARCH-Strategie am s hle htesten ab. Die gepoolte Strategiegeneriert den zweithö hsten Pro�t. Der Drawdown der Momentum-Strategie ist am ge-ringsten, der Drawdown der Buy-and-Hold-Strategie am gröÿten. Der dur hs hnittli heShort-Pro�t ist wiederum bei der AR-GARCH-Strategie negativ, bei der gepoolten Strate-gie dagegen am hö hsten, wobei diese Strategie den geringsten Anteil an Verkaufsignalenaufweist. Tabelle 7.14 zeigt weitere Kennzahlen und die p-Werte der Tests (p-Werte unter-halb des 5%-Niveaus sind fettgedru kt).Die AR-GARCH-Strategie generiert wieder den hö hsten Anteil an Kaufsignalen unter dendi hotomen Strategien. Dieser liegt jedo h mit a. 86% ni ht so ho h wie beim MSCIFran e oder MSCI Germany (s. Tabllen 7.6 und 7.10). Die gepoolte und die Counting-Strategie weisen mit a. 85% bzw. 86% ebenfalls einen ähnli h hohen Anteil an Kaufsi-gnalen auf. Dabei ist der Anteil der Verkaufsignale der gepoolten Strategie mit a. 1, 3%sehr gering, jedo h der dur hs hnittli he Pro�t der Verkaufsignale dieser Strategie wiedersehr ho h. Hier zeigt si h diesbezügli h also wieder eine ähnli h Charakteristik, die s honfür den MSCI Fran e festzustellen war. Eine Übersi ht der kumulierten Pro�te der ein-zelnen Handelsstrategien und des Signals der gepoolten Strategie zeigt Abbildung A.35.Die Pro�t-Risiko-Kennzahlen der Momentum-Strategie fallen am günstigsten, die der AR-GARCH- bzw. der Buy-and-Hold-Strategie dagegen am ungünstigsten aus. Die gepoolte110

Kapitel 7. Empiris he Untersu hungKennzahl Buy-and-Hold AR-GARCH Momentum Counting GepooltAnteil Kaufsignale 1 0, 8630 0, 5900 0, 8500 0, 8580Anteil Verkaufsignale 0 0, 1370 0, 4100 0, 1500 0, 0130Anteil kein Signal 0 0 0 0 0, 1290S hiefe −0, 1708 −0, 1202 −0, 0711 −0, 1483 −0, 2569Kurtosis 9, 6184 9, 61644 9, 66023 9, 6296 8, 7780Gewinnwahrs h. 0, 5351 0, 5235 0, 5250 0, 5235 0, 5392Gew.-Verl.-Verh. 0, 8926 0, 9346 1, 0516 0, 9689 0, 9381Sharpe Ratio 0, 1454 0, 1423 0, 8115 0, 3367 0, 4854Omega 1, 0273 1, 0267 1, 1622 1, 0643 1, 0976Sortino Raio 0, 2000 0, 1975 1, 1906 0, 4751 0, 6779Calmar Raio 0, 1752 0, 1715 0, 9627 0, 3999 0, 6609t-Test 0, 6822 0, 6886 0, 0224 0, 3430 0, 1716Lilliefors-Test 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000Jarque-Bera-Test 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000Ljung-Box-Test 0, 5542 0,0001 0, 3268 0, 7184 0,0291Engle ARCH-Test 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000Tabelle 7.14.: Invariante Kennzahlen und Tests (MSCI Italy)Strategie rei ht dabei ni ht ganz an die guten Kennzahlen der Momentum-Strategie her-an, s hneidet jedo h weit besser als die AR-GARCH- und die Buy-and-Hold-Strategie ab.Ledigli h der p-Wert des t-Test der Momentum-Strategie liegt unter dem 5%-Niveau. DieNormalverteilungsannahme der Pro�te kann sowohl dur h den Lilliefors- als au h dur hden Jarque-Bera-Test für alle Handelsstrategien dur hgängig verworfen werden. Der Ljung-Box-Test kann dagegen eine signi�kante Autokorrelation erster Ordnung nur für die Pro�teder AR-GARCH- und der gepoolten Strategie feststellen. Die Nullhypothese einer zeitli hkonstanten Varianz der Pro�te wird wiederum für alle Strategien verworfen.Buy-and-Hold AR-GARCH Momentum Counting GepooltBuy-and-Hold 1AR-GARCH 0, 7978 1Momentum −0, 3424 −0, 3141 1Counting 0, 2190 0, 1289 0, 1749 1Gepoolt 0, 7548 0, 7168 0, 0431 0, 6613 1Tabelle 7.15.: Strategieweise Korrelationen der Pro�te (MSCI Italy)Die Tabellen 7.15 und 7.16 geben eine Übersi ht über die Korrelationen der Pro�te bzw.111

Kapitel 7. Empiris he Untersu hungüber die Rangkorrelationen der Handelssignale der einzelnen Handelsstrategien für denMSCI Italy. Hier setzt si h das bereits vom MSCI Fran e und MSCI Germany bekann-te Korrelationsmuster fort: Die Buy-and-Hold-Strategie ist mit der AR-GARCH- sowiemit der gepoolten Strategie stark positiv korreliert, die Momentum-Strategie weist zurBuy-and-Hold- und zur AR-GARCH-Strategie eine lei ht negative Korrelation auf. DieCounting-Strategie ist mit allen anderen Strategien � mit Ausnahme der gepoolten Stra-tegie � nur s hwa h positiv korreliert. Der linearen Zusammenhang zwis hen den beidenpro�tabelsten Strategien (der Momentum- und der gepoolten Strategie) ist wiederum ams hwä hsten ausgeprägt. AR-GARCH Momentum Counting GepooltAR-GARCH 1Momentum −0, 0276 1Counting 0, 0200 0, 1822 1Gepoolt 0, 3566 0, 4276 0, 6590 1Tabelle 7.16.: Strategieweise Rangkorrelation der Handelssignale (MSCI Italy)Betra htet man die Rangkorrelationen der Handelssignale, so fällt hier ein lei ht negativerZusammenhang zwis hen der AR-GARCH- und der Momentum-Strategie auf. Die übri-gen Rangkorrelationen folgen einem ähnli hen Muster, das au h beim MSCI Fran e undMSCI Germany zu beoba hten ist. Im Verglei h zur Korrelation der Pro�te ist jedo h ihrAbsolutwert meist geringer. MSCI JapanTabelle 7.17 zeigt die standardisierten Pro�te der einzelnen Strategien des MSCI Japan.Au�ällig ist hier zunä hst, dass � im Gegensatz zu den bisher betra hteten Indizes � dieAR-GARCH-Strategie den hö hsten Pro�t, die Momentum-Strategie dagegen den gerings-ten Pro�t aufweist. Insofern kann hier von einem Rollentaus h gespro hen werden. Diezweitpro�tabelste Strategie bleibt jedo h na h wie vor die gepoolte Strategie, währendau h die Buy-and-Hold-Strategie auf dem vorletzten Platz bleibt. Der dur hs hnittli heShort-Pro�t der gepoolten Strategie ist wiederum sehr stark ausgeprägt, wogegen er hierbei der Momentum-Strategie sogar negativ ausfällt. Der Drawdown fällt für die Counting-Strategie am kleinsten und für die AR-GARCH-Strategie am zweitkleinsten aus. Bei derMomentum-Strategie ist er dagegen am hö hsten. Tabelle 7.18 zeigt die gegenüber der112

Kapitel 7. Empiris he Untersu hungKennzahl Buy-and-Hold AR-GARCH Momentum Counting GepooltGesamtpro�t 22, 7897 62, 6970 5, 8740 38, 0229 60, 5962Dur hs hn. Pro�t 0, 0114 0, 0314 0, 0029 0, 0190 0, 0303Stabw. Pro�t 1 1 1 1 1Erw. Gew. 0, 7204 0, 7473 0, 7227 0, 7642 0, 9229Erw. Verl. −0, 7484 −0, 7205 −0, 7455 −0, 7047 −0, 8823Erw. Long Pro�t 0, 0114 0, 0271 0, 0131 0, 0268 0, 0380Erw. Short Pro�t - −0, 0472 −0, 0094 0, 0088 0, 1306Maximum 6, 5487 6, 5515 5, 5294 5, 5304 4, 6527Minimum −5, 5298 −5, 5321 −6, 5483 −6, 5494 −6, 3487Max. Drawdown 51, 1329 42, 6106 59, 3102 21, 6661 44, 2991Tabelle 7.17.: Kennzahlen der standardisierten Pro�te (MSCI Japan)Standardisierung invarianten Kennzahlen und die p-Werte der Tests (p-Werte unterhalbdes 5%-Niveaus sind fettgedru kt).Kennzahl Buy-and-Hold AR-GARCH Momentum Counting GepooltAnteil Kaufsignale 1 0, 7885 0, 5480 0, 5675 0, 6530Anteil Verkaufsignale 0 0, 2115 0, 4520 0, 4325 0, 0420Anteil kein Signal 0 0 0 0 0, 3050S hiefe −0, 2218 −0, 1415 0, 0038 0, 0389 −0, 1516Kurtosis 6, 0792 6, 0921 6, 0683 6, 0675 6, 6811Gewinnwahrs h. 0, 5173 0, 51223 0, 5098 0, 4927 0, 5130Gew.-Verl.-Verh. 0, 9626 1, 0372 0, 9694 1, 0845 1, 0460Sharpe Ratio 0, 1809 0, 4976 0, 0466 0, 3018 0, 4810Omega 1, 0317 1, 0895 1, 0081 1, 0534 1, 1019Sortino Raio 0, 2514 0, 7138 0, 0659 0, 4362 0, 6915Calmar Raio 0, 2377 0, 6538 0, 0626 0, 4054 0, 6940t-Test 0, 6104 0, 1611 0, 8955 0, 3953 0, 1756Lilliefors-Test 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000Jarque-Bera-Test 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000Ljung-Box-Test 0,0001 0,0234 0,0255 0,0003 0, 1391Engle ARCH-Test 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000Tabelle 7.18.: Invariante Kennzahlen und Tests (MSCI Japan)Au h hier generiert die AR-GARCH-Strategie wieder den hö hsten Anteil an Kaufsigna-len. Dieser ist jedo h mit a. 79% ni ht so ho h wie bei den drei vorhergehenden Indizes.Sowohl die Momentum- als au h die Counting-Strategie weisen ähnli he Anteile von Kauf-113

Kapitel 7. Empiris he Untersu hungbzw. Verkaufsignalen auf, sind jedo h stark unters hiedli h pro�tabel. Der Anteil der Ver-kaufsignale der gepoolten Strategie ist dagegen wieder auÿerordentli h gering, der Anteilan Perioden ohne Positionierung re ht ho h. Dem gegenüber steht aber au h hier wiederein verglei hsweise hoher dur hs hnittli her Short-Pro�t. Dieser bewegt si h dabei auf ähn-li hem Niveau wie beim MSCI Fran e oder beim MSCI Italy. Während der Anteil positiverPro�te der gepoolten und der der Buy-and-Hold-Strategie in etwa glei h sind, zeigt si hdas Verhältnis von positiven und negativen Pro�ten der gepoolten Strategie lei ht erhöht.Die Performan ekennzahlen sind dabei für die AR-GARCH- sowie für die gepoolte Strate-gie am günstigsten. Hinsi htli h der Omega- und der Calmar-Ratio s hneidet die gepoolteStrategie dabei sogar am besten ab. Der t-Test ist wiederum für keine Strategie signi-�kant. Die Tests auf Normalverteilung der Pro�te wie au h der Heteroskedastizitätstestkönnen ihre jeweiligen Nullhypothesen jedo h dur hgängig ablehnen. Ledigli h der Ljung-Box-Test kann seine Nullhypothese für die gepoolte Strategie ni ht ablehnen. Bei allenanderen Strategie s heinen demna h signi�kante Autokorrelationen erster Ordnung derPro�te vorzuliegen, die einer Random-Walk-Annahme entgegenstehen. Die AbbildungenA.36 sowie A.44 verdeutli hen no h einmal diese Befunde.Buy-and-Hold AR-GARCH Momentum Counting GepooltBuy-and-Hold 1AR-GARCH 0, 5690 1Momentum −0, 1865 −0, 1333 1Counting −0, 1573 −0, 1074 0, 2498 1Gepoolt 0, 5695 0, 6376 0, 3748 0, 4112 1Tabelle 7.19.: Strategieweise Korrelationen der Pro�te (MSCI Japan)Die Tabellen 7.19 und 7.20 geben eine Übersi ht über die Korrelationen der Pro�te bzw.über die Rangkorrelationen der Handelssignale der einzelnen Handelsstrategien für denMSCI Japan. Hier s heint das bisher vorzu�ndende Korrelationsmuster ni ht mehr ganzzuzutre�en. Die Korrelationen zwis hen der Buy-and-Hold-Strategie und der AR-GARCH-bzw. der gepoolten Strategie sind hier na h wie vor positiv und mit a. 0, 57 am hö h-sten, aber keineswegs so stark ausgeprägt wie beispielsweise beim MSCI Germany. DieMomentum-Strategie ist zwar immer no h lei ht negativ mit der Buy-and-Hold- bzw. AR-GARCH-Strategie korreliert, jedo h gilt dies nun au h für die Counting-Strategie, derenKorrelationen bei den oben bespro henen Indizes immer lei ht positiv sind. Der lineareZusammenhang zwis hen der AR-GARCH- und der gepoolten Strategie ist dagegen am114

Kapitel 7. Empiris he Untersu hungstärksten. Insgesamt ist das Niveau der positiven Korrelationen eher geringer und wenigereinseitig ausgeprägt. AR-GARCH Momentum Counting GepooltAR-GARCH 1Momentum −0, 0202 1Counting −0, 0122 0, 2231 1Gepoolt 0, 3697 0, 5960 0, 6167 1Tabelle 7.20.: Strategieweise Rangkorrelation der Handelssignale (MSCI Japan)Die Vorzei hen der Rangkorrelationen entspre hen denen der Korrelationen der Pro�te. ImGegensatz zu den Korrelationen der Pro�te ist die Rangkorrelation mit a. 0, 62 zwis hender Counting- und der gepoolten Strategie am gröÿten.MSCI UKTabelle 7.21 zeigt die standardisierten Pro�te der einzelnen Strategien des MSCI UK.Kennzahl Buy-and-Hold AR-GARCH Momentum Counting GepooltGesamtpro�t 33, 7224 117, 0713 59, 9107 50, 9248 105, 5627Erw. Pro�t 0, 0169 0, 0585 0, 0300 0, 0255 0, 0528Stabw. Pro�t 1 1 1 1 1Erw. Gew. 0, 6551 0, 6912 0, 6742 0, 6843 0, 7704Erw. Verl. −0, 7042 −0, 6590 −0, 6829 −0, 6719 −0, 7629Erw. Long Pro�t 0, 0169 0, 0608 0, 0379 0, 0263 0, 0613Erw. Short Pro�t - 0, 0548 0, 0172 0, 0219 0, 1868Maximum 6, 7441 6, 9028 6, 8941 6, 8932 8, 3009Minimum −6, 8920 −6, 7547 −6, 7462 −6, 7453 −8, 1228Max. Drawdown 67, 4123 30, 0782 28, 7641 26, 4709 22, 1586Tabelle 7.21.: Kennzahlen der standardisierten Pro�te (MSCI UK)Wie bereits für den MSCI Japan konstatiert, zeigt die AR-GARCH-Strategie au h hierden mit Abstand gröÿten kumulierten Pro�t, gefolgt von der gepoolten Strategie. DieWertentwi klung verläuft bei Letzterer im Zeitablauf sehr glei hmäÿig und mit verglei hs-weise kleinen Rü ks hlägen (s. Abb. A.37). Dies zeigt si h insbesondere am sehr niedrigenDrawdown der gepoolten Strategie. Au h der dur hs hnittli he Short-Pro�t ist bei die-ser Strategie wieder am hö hsten. Der Drawdown der gepoolten Strategie ist mit a. 22der niedrigste aller gepoolten Strategien. Der standardisierte dur hs hnittli he Short-Pro�t115

Kapitel 7. Empiris he Untersu hungdieser Strategie bewegt si h wieder in etwa auf dem Niveau der vorher bespro henen In-dizes (mit Ausnahme des MSCI Germany). Tabelle 7.22 zeigt weitere Kennzahlen und diep-Werte der Tests (p-Werte unterhalb des 5%-Niveaus sind fettgedru kt).Kennzahl Buy-and-Hold AR-GARCH Momentum Counting GepooltAnteil Kaufsignale 1 0, 6200 0, 6185 0, 8040 0, 7685Anteil Verkaufsignale 0 0, 3800 0, 3815 0, 1960 0, 0305Anteil kein Signal 0 0 0 0 0, 2010S hiefe −0, 2298 −0, 1978 −0, 0530 −0, 0188 −0, 1992Kurtosis 10, 0682 10, 1435 10, 0678 10, 0598 13, 8545Gewinnwahrs h. 0, 5306 0, 5296 0, 5255 0, 5144 0, 5411Gew.-Verl.-Verh. 0, 9303 1, 0579 0, 9872 1, 0185 1, 0098Sharpe Ratio 0, 2677 0, 9292 0, 4755 0, 4042 0, 8379Omega 1, 0516 1, 1910 1, 0935 1, 0790 1, 1909Sortino Raio 0, 3713 1, 3508 0, 6822 0, 5801 1, 2100Calmar Raio 0, 3116 1, 1191 0, 5734 0, 4875 0, 8391t-Test 0, 4509 0,0089 0, 1805 0, 2550 0,0184Lilliefors-Test 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000Jarque-Bera-Test 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000Ljung-Box-Test 0,0017 0,0002 0,0005 0,0009 0,0039Engle ARCH-Test 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0003Tabelle 7.22.: Invariante Kennzahlen und Tests (MSCI UK)Die Counting-Strategie generiert unter den di hotomen Strategien den hö hsten AnteilKaufsignale. Mit a. 80% ist dieser Anteil wesentli h höher als bei der etwas pro�table-ren Momentum-Strategie. Der Anteil an Kaufsignalen ist bei der AR-GARCH-Strategieim Verglei h zu den oben bespro henen Indizes stark gesunken und beträgt hier nur a.62%. Er bewegt si h damit auf dem glei hen Niveau wie bei der Momentum-Strategie.Die Signale der gepoolte Strategie teilen si h jedo h wieder ähnli h wie bei den bereitsgezeigten Indizes auf: Der Anteil der Short-Signale ist mit a. 3, 1% sehr gering. Glei h-zeitig ist die empiris he Gewinnwahrs heinli hkeit der gepoolten Strategie am gröÿten unddas Verhältnis von dur hs hnittli hem Gewinn zu dur hs hnittli hem Verlust gröÿer alseins. Die Pro�t-Risiko-Kennzahlen fallen für die AR-GARCH-Strategie dur hweg am bes-ten aus � di ht gefolgt von der gepoolten Strategie. Die Buy-and-Hold-Strategie s hneidetin diesem Verglei h am s hle htesten ab. Der t-Test deutet sowohl für die AR-GARCH- alsau h für die gepoolte Strategie signi�kante Pro�te an. Darüber hinaus können alle weiterenTests ihre jeweiligen Nullhypothesen ablehnen. Dies deutet darauf hin, dass für die Pro�te116

Kapitel 7. Empiris he Untersu hungkeiner Strategie die Normalverteilungs-, Random-Walk- bzw. Homoskedastizitätsannahmeaufre ht erhalten werden kann.Buy-and-Hold AR-GARCH Momentum Counting GepooltBuy-and-Hold 1AR-GARCH 0, 3393 1Momentum −0, 3204 −0, 1826 1Counting 0, 2390 0, 1207 0, 2289 1Gepoolt 0, 5472 0, 5591 0, 2274 0, 7466 1Tabelle 7.23.: Strategieweise Korrelationen der Pro�te (MSCI UK)Tabelle 7.23 gibt eine Übersi ht über die Korrelationen der Pro�te der einzelnen Handels-strategien für den MSCI UK. Au h hier tritt das vom MSCI Fran e, MSCI Fran e undMSCI Italy bekannte Korrelationsmuster nur einges hränkt auf. Zwar ist die Momentum-Strategie mit der Buy-and-Hold- bzw. der AR-GARCH-Strategie negativ korreliert, aller-dings fällt die Korrelation zwis hen der AR-GARCH- und der Buy-and-Hold-Strategie mit a. 0, 34 wesentli h geringer aus. Die Counting-Strategie ist dabei wieder s hwa h positivmit den übrigen di hotomen Strategien korreliert. Darüber hinaus besteht ein dur hgängigpositiver linearer Zusammenhang zwis hen der gepoolten und allen anderen Strategien, dermit a. 0, 75 zur Counting-Strategie am stärksten ausgeprägt ist. Dies ist hier glei hzeitigdie betragsmäÿig gröÿte zu beoba htende Korrelation.AR-GARCH Momentum Counting GepooltAR-GARCH 1Momentum −0, 1165 1Counting −0, 0414 0, 1749 1Gepoolt 0, 3261 0, 5169 0, 5977 1Tabelle 7.24.: Strategieweise Rangkorrelation der Handelssignale (MSCI UK)Die Rangkorrelationen der Handelssignale (s. Tab. 7.24) zeigen sowohl bzgl. Gröÿe undStruktur groÿe Ähnli hkeiten mit den Korrelationen der Pro�te. Ein starker positiver Zu-sammenhang ist zwis hen den Signalen der Counting- und der gepoolten Strategie mit a.0, 60 zu erkennen. MSCI USATabelle 7.25 zeigt die standardisierten Pro�te der einzelnen Strategien des MSCI USA.117

Kapitel 7. Empiris he Untersu hungKennzahl Buy-and-Hold AR-GARCH Momentum Counting GepooltGesamtpro�t 26, 1282 160, 8589 10, 6914 −2, 3292 92, 6578Erw. Pro�t 0, 0131 0, 0804 0, 0054 −0, 0012 0, 0463Stabw. Pro�t 1 1 1 1 1Erw. Gew. 0, 6295 0, 7043 0, 6517 0, 6261 0, 7172Erw. Verl. −0, 7377 −0, 6522 −0, 7075 −0, 7395 −0, 7943Erw. Long Pro�t 0, 0131 0, 0825 0, 0146 0, 0067 0, 0433Erw. Short Pro�t - 0, 0777 −0, 0105 −0, 0616 0, 6803Maximum 7, 5355 7, 5592 7, 6321 7, 5349 8, 9208Minimum −7, 6326 −7, 6567 −7, 5350 −7, 6320 −9, 0358Max. Drawdown 60, 3821 22, 1161 28, 0048 60, 3575 26, 5352Tabelle 7.25.: Kennzahlen der standardisierten Pro�te (MSCI USA)Die AR-GARCH-Strategie ist wieder die mit Abstand pro�tabelste Strategie, währendder Pro�t der Counting-Strategie hier sogar negativ ausfällt. Der Pro�t der Momentum-Strategie ist zwar ni ht negativ, bleibt aber ebenfalls weit hinter der Buy-and-Hold-Strategiezurü k. Der bereits beim MSCI Japan zu beoba htende Rollentaus h der di hotomen Stra-tegien tritt daher hier am deutli hsten auf. Denno h ist der Pro�t der gepoolten Strategieau h hier am zweitgröÿten. Der dur hs hnittli he Short-Pro�t der gepoolten Strategie istmit Abstand am gröÿten, während si h für die Momentum- und die Counting-Strategienegative dur hs hnittli he Short-Pro�te beoba hten lassen. Der Drawdown ist bei derAR-GACH- und der gepoolten Strategie verglei hsweise klein, für die Counting-Strategieübersteigt er allerdings au h jenen der Buy-and-Hold-Strategie. Abbildung A.38 zeigt diestandardisierten Wertentwi klungen der einzelnen Strategien und verdeutli ht no hmalsdas verglei hsweise gute Abs hneiden der AR-GARCH- und der gepoolten Strategie. Fürkeine andere hier betra htete Strategie-Index-Kombination lässt si h eine derart starkeWertentwi klung wie die der AR-GARCH-Strategie beoba hten. Au h der dur hs hnitt-li he standardisierte Short-Pro�t ist mit a. 0, 68 für die gepoolte Strategie beim MSCIUSA am hö hsten. Umgekehrt ist der Pro�t der Counting-Strategie hier am niedrigsten.Tabelle 7.26 zeigt weitere Kennzahlen und die p-Werte der Tests (p-Werte unterhalb des5%-Niveaus sind fettgedru kt).Wie beim MSCI UK generiert die Counting-Strategie mit a. 88% au h hier den hö hstenAnteil an Kaufsignalen unter den di hotomen Strategien. Dieser Anteil fällt mit a. 57%bei der AR-GARCH-Strategie re ht moderat aus und ist für diese Strategie der kleinstezu beoba htende Wert für alle Indizes. Der Anteil der Short-Signale fällt für die gepoolte118

Kapitel 7. Empiris he Untersu hungKennzahl Buy-and-Hold AR-GARCH Momentum Counting GepooltAnteil Kaufsignale 1 0, 5670 0, 6310 0, 8845 0, 8115Anteil Verkaufsignale 0 0, 4330 0, 3690 0, 1155 0, 0165Anteil kein Signal 0 0 0 0 0, 1720S hiefe −0, 4144 0, 1112 0, 1679 −0, 2593 −0, 1898Kurtosis 10, 9516 10, 9945 10, 9241 10, 9261 14, 5733Gewinnwahrs h. 0, 5495 0, 5422 0, 5246 0, 5407 0, 5639Gew.-Verl.-Verh. 0, 8534 1, 0799 0, 9211 0, 8466 0, 9030Sharpe Ratio 0, 2074 1, 2768 0, 0849 −0, 0185 0, 7355Omega 1, 0407 1, 2790 1, 0165 0, 9965 1, 1676Sortino Raio 0, 2828 1, 9441 0, 1210 −0, 0252 1, 0460Calmar Raio 0, 2347 1, 4407 0, 0888 −0, 0210 0, 8625t-Test 0, 5591 0,0003 0, 8111 0, 9585 0,0384Lilliefors-Test 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000Jarque-Bera-Test 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000Ljung-Box-Test 0,0000 0,0123 0,0000 0,0000 0,0057Engle ARCH-Test 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000Tabelle 7.26.: Invariante Kennzahlen und Tests (MSCI USA)Strategie wieder sehr gering aus, liegt aber in etwa im glei hen Rahmen wie bei den übrigenIndizes. Die empiris he Gewinnwahrs heinli hkeit der gepoolten Strategie ist mit a. 56%allerdings insgesamt betra htet für diese Strategie am hö hsten. Dadur h kann ein deut-li h unter eins liegendes Verhältnis von dur hs hnittli hem Gewinn zu dur hs hnittli hemVerlust wieder ausgegli hen werden. Die Performan ekennzahlen fallen demna h ähnli hdeutli h zu Gunsten der AR-GARCH-Strategie aus. Sie errei hen mit a. 1, 3 für die SharpeRatio und a. 1, 9 für die Sortino Ratio ungewöhnli h hohe Werte, die man s hon fast alsAusreiÿer bezei hnen könnte. Der t-Test deutet sowohl für die AR-GARCH- als au h für diegepoolte Strategie signi�kante Pro�te an. Darüber hinaus können alle weiteren Tests ihrejeweiligen Nullhypothesen ablehnen. Dies deutet au h hier darauf hin, dass für die Pro�tekeiner Strategie die Normalverteilungs-, Random-Walk- bzw. Homoskedastizitätsannahmeaufre hterhalten werden kann.Tabelle 7.27 gibt eine Übersi ht über die Korrelationen der Pro�te der einzelnen Han-delsstrategien für den MSCI USA. Hier polarisiert si h die bereits beim MSCI UK beob-a htete Korrelationsstruktur no hmals: Die AR-GARCH- und die Buy-and-Hold-Strategiesind weniger stark positiv korreliert, während die Korrelation zwis hen der gepoolten undder Buy-and-Hold-Strategie gröÿer ist. Die Korrelation zwis hen der gepoolten und der119

Kapitel 7. Empiris he Untersu hungBuy-and-Hold AR-GARCH Momentum Counting GepooltBuy-and-Hold 1AR-GARCH 0, 2971 1Momentum −0, 3453 −0, 2363 1Counting 0, 5663 0, 1392 −0, 1017 1Gepoolt 0, 7226 0, 5331 0, 0124 0, 7735 1Tabelle 7.27.: Strategieweise Korrelationen der Pro�te (MSCI USA)Momentum-Strategie ist kaum ausgeprägt, wogegen sie zur Counting-Strategie am stärks-ten ist. Der dur hweg positive lineare Zusammenhang zwis hen der gepoolten und denübrigen Strategien ist au h hier festzustellen. Au�ällig ist au h die negative Korrelationder Momentum-Strategie zu allen anderen Strategien mit Ausnahme der gepoolten Stra-tegie. AR-GARCH Momentum Counting GepooltAR-GARCH 1Momentum −0, 1287 1Counting −0, 0443 0, 0446 1Gepoolt 0, 3805 0, 4876 0, 4445 1Tabelle 7.28.: Strategieweise Rangkorrelation der Handelssignale (MSCI USA)Im Gegensatz zu den bisherigen Ergebnissen ist die Rangkorrelation der Handelssignale(s. Tab. 7.28) nun zwis hen der Momentum- und der gepoolten Strategie am deutli hsten.Dies ist umso au�älliger, da der lineare Zusammenhang der Pro�te dieser beiden Strategienmit a. 0, 01 kaum ausgeprägt ist. Die Momentum-Strategie s hneidet im risikoadjustier-ten Verglei h der Pro�te gegenüber der gepoolten Strategie nur mäÿig ab. Während dieSignalkorrelation der gepoolten Strategie zu allen anderen Strategien ein ähnli h hohesNiveau aufweist, ist die Korrelation der Pro�te zu einer weniger pro�tablen Strategie wieder Momentum-Strategie kaum ausgeprägt.MSCI CanadaTabelle 7.29 zeigt die standardisierten Pro�te der einzelnen Strategien des MSCI Canada.Die gepoolte Strategie hat mit a. 122, 3 den hö hsten standardisierten Pro�t der gepool-ten Strategie für alle Indizes. Glei hzeitig weist die AR-GARCH-Strategie mit a. 13, 6120

Kapitel 7. Empiris he Untersu hungKennzahl Buy-and-Hold AR-GARCH Momentum Counting GepooltGesamtpro�t 57, 0684 108, 7716 43, 3369 87, 9352 122, 3383Erw. Pro�t 0, 0285 0, 0544 0, 0217 0, 0440 0, 0612Stabw. Pro�t 1 1 1 1 1Erw. Gew. 0, 6220 0, 6744 0, 6512 0, 6488 0, 7237Erw. Verl. −0, 7119 −0, 6494 −0, 6737 −0, 6786 −0, 7562Erw. Long Pro�t 0, 0285 0, 0635 0, 0394 0, 0418 0, 0591Erw. Short Pro�t - 0, 0373 −0, 0095 0, 0586 0, 5854Maximum 6, 8122 6, 8195 6, 1538 6, 8160 8, 1014Minimum −6, 1548 −6, 1614 −6, 8110 −5, 6860 −4, 9418Max. Drawdown 60, 3119 13, 6428 37, 2132 28, 5498 28, 3270Tabelle 7.29.: Kennzahlen der standardisierten Pro�te (MSCI Canada)den geringsten Drawdown aller Strategie-Index-Kombinationen auf. Der dur hs hnittli- he Short-Pro�t ist bei dieser Strategie wieder am hö hsten, bei der Momentum-Strategiehingegen negativ. Au h der Drawdown der gepoolten Strategie ist im Verglei h zur Buy-and-Hold-Strategie klein, allerdings wird er von dem der AR-GARCH-Strategie no hmalsunterboten. Abbildung A.39 zeigt die zeitli he Entwi klung des kumulierten standardi-sierten Pro�ts. Dabei ist vor allem für die AR-GARCH-Strategie eine sehr glei hmäÿigeWertentwi klung zu sehen. Ebenso wird das gegenüber der Buy-and-Hold-Strategie deut-li h bessere Abs hneiden der gepoolten Strategie deutli h. Tabelle 7.30 zeigt die gegenüberder Standardisierung invarianten Kennzahlen und die p-Werte der Tests (p-Werte unter-halb des 5%-Niveaus sind fettgedru kt).Die Counting-Strategie weist au h hier den hö hsten Anteil an Kaufsignalen unter dendi hotomen Strategien auf. Der Anteil dieser Signale liegt bei der AR-GARCH- und derMomentum-Strategie bei gut 60% und damit in etwa auf dem Niveau, das au h für denMSCI UK zu beoba hten ist. Der Anteil der Short-Signale der gepoolten Strategie ist sehrgering, die Aufteilung der Anteile aber wiederum im glei hen bisher gezeigten Rahmen.Die empiris he Gewinnwahrs heinli hkeit und das Verhältnis von dur hs hnittli hem Ge-winn zu dur hs hnittli hem Verlust dieser Strategie sind mit den Werten des MSCI USAverglei hbar. Die Sharpe Ratio der AR-GARCH-Strategie errei ht hier � wie oben bereitsangedeutet � mit a. 0, 86 einen sehr hohen Wert und wird nur no h von der Sharpe Ratioder gepoolten Strategie übertro�en. Dieser ist mit a. 0, 97 glei hzeitig der hö hste für diegepoolte Strategie zu beoba htende Wert. Der t-Test deutet sowohl für die AR-GARCH-,die Counting- als au h für die gepoolte Strategie im Rahmen der angespro henen Proble-121

Kapitel 7. Empiris he Untersu hungKennzahl Buy-and-Hold AR-GARCH Momentum Counting GepooltAnteil Kaufsignale 1 0, 6535 0, 6375 0, 8685 0, 7970Anteil Verkaufsignale 0 0, 3465 0, 3625 0, 1315 0, 0240Anteil kein Signal 0 0 0 0 0, 1790S hiefe −0, 6972 0, 2760 0, 2464 0, 3281 0, 3493Kurtosis 9, 6790 9, 5676 9, 5734 9, 5564 12, 1541Gewinnwahrs h. 0, 5553 0, 5321 0, 5250 0, 5447 0, 5619Gew.-Verl.-Verh. 0, 8737 1, 0385 0, 9666 0, 9560 0, 9571Sharpe Ratio 0, 4530 0, 8634 0, 3440 0, 6980 0, 9710Omega 1, 0911 1, 1809 1, 0684 1, 1438 1, 2272Sortino Raio 0, 6082 1, 2917 0, 5013 1, 0230 1, 4313Calmar Raio 0, 5545 1, 0558 0, 4614 0, 8863 1, 2089t-Test 0, 2021 0,0151 0, 3326 0,0494 0,0063Lilliefors-Test 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000Jarque-Bera-Test 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000Ljung-Box-Test 0, 0559 0,0000 0, 1368 0, 3007 0, 5620Engle ARCH-Test 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000Tabelle 7.30.: Invariante Kennzahlen und Tests (MSCI Canada)me signi�kante Pro�te an. Darüber hinaus können die Normalverteilungs- und der Hete-roskedastizitätstest ihre jeweiligen Nullhypothesen ablehnen. Der Random-Walk-Test aufAutokorrelation erster Ordnung kann dagegen die Nullhypothese nur für die Pro�te derAR-GARCH-Strategie ablehnen. Weder die Normalverteilungs- no h die Homoskedastizi-tätsannahme der Strategiepro�te können hier also ohne weiteres aufre hterhalten werden.Diese Befunde deuten si h in Abbildung A.41, A.42 und A.43 bereits gra�s h au h für alleanderen Indizes an. Buy-and-Hold AR-GARCH Momentum Counting GepooltBuy-and-Hold 1AR-GARCH 0, 1684 1Momentum −0, 2249 −0, 0050 1Counting 0, 2566 0, 0864 0, 1478 1Gepoolt 0, 5122 0, 5418 0, 3445 0, 6852 1Tabelle 7.31.: Strategieweise Korrelationen der Pro�te (MSCI Canada)Tabelle 7.31 gibt eine Übersi ht über die Korrelationen der Pro�te der einzelnen Han-delsstrategien für den MSCI USA. Das Korrelationsmuster ist dabei ähnli h zum MSCI122

Kapitel 7. Empiris he Untersu hungUSA. Die AR-GARCH- ist mit der Buy-and-Hold-Strategie ebenfalls s hwa h korreliert,die Buy-and-Hold- allerdings stärker mit der gepoolten Strategie korreliert als beim MS-CI USA. Die Momentum-Strategie weist bei insgesamt s hwa h ausgeprägter Korrelationeinen negativen linearen Zusammenhang mit der Buy-and-Hold- und der AR-GARCH-Strategie auf. Die gepoolte Strategie ist wiederum mit allen anderen Strategien deutli hpositiv korreliert, wobei der Zusammenhang mit der Counting-Strategie am stärksten ist.AR-GARCH Momentum Counting GepooltAR-GARCH 1Momentum 0, 1154 1Counting −0, 0377 0, 0728 1Gepoolt 0, 5054 0, 5833 0, 3730 1Tabelle 7.32.: Strategieweise Rangkorrelation der Handelssignale (MSCI Canada)Ein verglei hbares Muster wie beim MSCI USA fällt au h hier wieder bzgl. der Rangkorre-lationen der Handelssignale in Tablle 7.32 auf: Die Signalekorrelation zwis hen der gepool-ten und der (am wenigsten pro�tablen) Momentum-Strategie ist mit a. 0, 58 re ht ho h,während die Momentum-Strategie die geringste Pro�t-Korrelation zur gepoolten Strategieaufweist. Korrelationen und PrognosefähigkeitDie Tabellen 7.33 bis 7.41 zeigen die Korrelationen der Pro�te bzw. die Rangkorrelatio-nen der Handelssignale der einzelnen Strategien na h Indizes. Für fast alle Strategien sinddiese Korrelationen positiv, teils sogar sehr ho h � so z.B. über 0, 9 bei der Buy-and-Hold-Strategie des MSCI Fran e und des MSCI Germany. Ledigli h für den MSCI Japan lassensi h für die Buy-and-Hold-Strategie verglei hsweise geringe oder negative Korrelationenfeststellen. Verglei ht man allerdings nun die Korrelationsmuster der vers hiedenen Stra-tegien miteinander, so fällt auf, dass der marktweise lineare Zusammenhang der Pro�teder di hotomen und gepoolten Strategien immer s hwä her ist4 als bei der Buy-and-Hold-Strategie. Die Anwendung von Handelsregeln führt hier also zu einer Dämpfung der Korre-lationen gegenüber einer reinen Buy-and-Hold-Strategie. Die marktweise Rangkorrelationder Signale der AR-GARCH-Strategie ist dabei weniger ausgeprägt als die Korrelationenihrer Pro�te. Bei allen anderen Strategie tritt eine negative Rangkorrelation der Signale4Die Korrelation liegt näher an null. 123

Kapitel 7. Empiris he Untersu hungni ht auf. Bei diesen Strategien ist vielmehr die Rangkorrelation stark an die Cash�owsder jeweiligen Märkte gebunden. Weist also beispielsweise Markt A eine hohe Korrelati-on der Cash�ows zu Markt B auf, so wird eine Momentum- oder Counting-Strategie fürbeide Märkte tendenziell das glei he Handelssignal anzeigen. Eine e hte Ausnahme bildetdie AR-GARCH-Strategie: Ihre Signalkorrelationen sind gegenüber den Korrelationen derCash�ows stark gedämpft. Erst bei der gemeinsamen Betra htung von Signal und Cash�ow(d.h. des Pro�ts dieser Strategie) nähert si h die Korrelationsstruktur wieder etwas derje-nigen der Cash�ows an. Dies mag seine Ursa he in der anderen Verarbeitung von Zeitrei-heninformation dur h das AR-GARCH-Modell haben. Während sowohl die Counting- alsau h die Momentum-Strategie mit starren Parametern nur auf die neusten Daten zurü k-greifend Handelssignale generieren, werden die Parameter der AR-GARCH-Strategie na hjeder Periode neu bestimmt. Au h die S hätzung dieser Parameter kann ni ht ohne S hätz-fehler gelingen. Die theoretis h bessere Anpassungsfähigkeit an neue Informationen wirddadur h verringert und s hlägt si h nur teilweise in einer höheren Pro�tabilität dieser Stra-tegie nieder. Insbesondere auf Märkte mit ausgeprägter Autokorrelation erster Ordnung istdieses adaptive Modell denno h in der Lage, pro�table Handelssignale zu generieren.Fran e Germany Italy Japan UK USA CanadaFran e 1Germany 0, 9482 1Italy 0, 9436 0, 9114 1Japan 0, 2268 0, 2159 0, 2216 1UK 0, 9201 0, 8792 0, 8785 0, 2168 1USA 0, 5219 0, 5375 0, 4880 −0, 0070 0, 5048 1Canada 0, 6584 0, 6451 0, 6385 0, 1642 0, 6589 0, 6681 1Tabelle 7.33.: Marktweise Korrelationen der Pro�te (Buy-and-Hold-Strategie)Dies zeigt si h au h in der Betra htung der Kovarianz zwis hen Handelssignal und Cash-�ow bzw. der Prognosefähigkeit (s. Tab. 7.42 und 7.43). Erkennbar ist der positive E�ektdes Pooling auf die Prognosefähigkeit. Diese ist für die gepoolte Strategie dur hweg positivund liegt in vier von sieben Fällen sogar höher als die Prognosefähigkeit der besten enthal-tenen Strategie. No h deutli her fällt die Betra htung der p-Werte aus. Obwohl die meistenEinzelstrategien über keine oder eine allenfalls s hwa h ausgeprägte Prognosefähigkeit ver-fügen, ist diejenige der gepoolten Strategie fast dur hweg signi�kant. Für den MSCI Fran eund den MSCI Germany kann für keine der betra hteten Einzelstrategien eine signi�kante124

Kapitel 7. Empiris he Untersu hungFran e Germany Italy Japan UK USA CanadaFran e 1Germany 0, 8339 1Italy 0, 7713 0, 7332 1Japan 0, 0905 0, 0728 0, 0737 1UK 0, 3918 0, 3620 0, 4319 −0, 0067 1USA 0, 1423 0, 1376 0, 1281 −0, 0258 0, 1462 1Canada 0, 0479 0, 1029 0, 0053 0, 0662 −0, 2139 −0, 2334 1Tabelle 7.34.: Marktweise Korrelationen der Pro�te (AR-GARCH-Strategie)Fran e Germany Italy Japan UK USA CanadaFran e 1Germany 0, 8289 1Italy 0, 8317 0, 7687 1Japan 0, 1215 0, 1089 0, 1152 1UK 0, 7722 0, 7363 0, 7080 0, 1246 1USA 0, 3967 0, 4153 0, 3416 −0, 0051 0, 3873 1Canada 0, 4966 0, 4764 0, 4409 0, 1009 0, 4889 0, 4903 1Tabelle 7.35.: Marktweise Korrelationen der Pro�te (Momentum-Strategie)Fran e Germany Italy Japan UK USA CanadaFran e 1Germany 0, 8313 1Italy 0, 8495 0, 8792 1Japan 0, 1478 0, 1373 0, 1528 1UK 0, 8401 0, 8139 0, 8193 0, 1595 1USA 0, 1979 0, 1965 0, 1731 0, 0427 0, 2037 1Canada 0, 5447 0, 5501 0, 5436 0, 1082 0, 5397 0, 3732 1Tabelle 7.36.: Marktweise Korrelationen der Pro�te (Counting-Strategie)Prognosefähigkeit gezeigt werden, wohingegen die gepoolte Strategie eine sol he aufweist.Ledigli h beim MSCI Japan führt das Pooling zu keiner signi�kanten Prognosefähigkeit.Zwis henfazitDieser re ht eindeutige empiris he Befund bzgl. der Prognosefähigkeiten hinterlässt starkeZweifel an der Gültigkeit der Random-Walk-Hypothese für die hier betra hteten Datenund deutet auf die empiris he Gültigkeit der theoretis he gezeigten Vorteile des Poolings125

Kapitel 7. Empiris he Untersu hungFran e Germany Italy Japan UK USA CanadaFran e 1Germany 0, 8987 1Italy 0, 8632 0, 8614 1Japan 0, 1403 0, 1460 0, 1457 1UK 0, 7576 0, 7482 0, 7400 0, 1305 1USA 0, 3681 0, 3711 0, 3546 −0, 0020 0, 2943 1Canada 0, 4518 0, 4632 0, 4063 0, 0819 0, 3469 0, 2670 1Tabelle 7.37.: Marktweise Korrelationen der Pro�te (Gepoolte Strategie)Fran e Germany Italy Japan UK USA CanadaFran e 1Germany 0, 3760 1Italy 0, 3947 0, 2648 1Japan 0, 0791 0, 0054 0, 0322 1UK 0, 1235 0, 1475 0, 3412 −0, 0296 1USA 0, 0444 0, 0611 0, 1742 −0, 0523 0, 2597 1Canada −0, 0581 −0, 0590 −0, 1282 0, 0680 −0, 3449 −0, 3331 1Tabelle 7.38.: Marktweise Rangkorrelationen der Signale (AR-GARCH-Strategie)Fran e Germany Italy Japan UK USA CanadaFran e 1Germany 0, 7881 1Italy 0, 7887 0, 7277 1Japan 0, 4401 0, 4338 0, 4113 1UK 0, 7393 0, 6925 0, 6889 0, 4553 1USA 0, 6506 0, 6484 0, 5550 0, 3985 0, 6303 1Canada 0, 6441 0, 6032 0, 6001 0, 4395 0, 6133 0, 5615 1Tabelle 7.39.: Marktweise Rangkorrelationen der Signale (Momentum-Strategie)von Handelssignalen hin. Diese Ergebnisse können als zentrale Resultate des empiris henTeils gelten.Betra htet man die gezeigten Handelsstrategien nun wie bereits in Kapitel 4.2 angespro- hen als synthetis he Anlageobjekte, so ers heint eine Diversi�kation über Handelsstrate-gien aufgrund der Prognosefähigkeit und der vorteilhafteren Korrelationsstruktur vielver-spre hender als die Diversi�kation über eine reine Buy-and-Hold-Strategie. Die gezeigten126

Kapitel 7. Empiris he Untersu hungFran e Germany Italy Japan UK USA CanadaFran e 1Germany 0, 7062 1Italy 0, 6628 0, 8537 1Japan 0, 4614 0, 4754 0, 4162 1UK 0, 7540 0, 7959 0, 7027 0, 4740 1USA 0, 5447 0, 5236 0, 3433 0, 3476 0, 5664 1Canada 0, 7071 0, 8598 0, 7440 0, 4338 0, 7396 0, 5722 1Tabelle 7.40.: Marktweise Rangkorrelationen der Signale (Counting-Strategie)Fran e Germany Italy Japan UK USA CanadaFran e 1Germany 0, 6908 1Italy 0, 6307 0, 6742 1Japan 0, 3678 0, 3882 0, 3597 1UK 0, 5271 0, 5702 0, 5259 0, 3512 1USA 0, 3321 0, 3646 0, 2886 0, 2524 0, 4110 1Canada 0, 3780 0, 3764 0, 3141 0, 2741 0, 1928 0, 1121 1Tabelle 7.41.: Marktweise Rangkorrelationen der Signale (Gepoolte Strategie)Fran e Germany Italy Japan UK USA CanadaAR-GARCH −0, 3143 −1, 1087 0, 0427 1, 5463 4, 2209 3, 6109 3, 1050Momentum 2, 3415 2, 4393 0, 9100 0, 1151 2, 0136 0, 0886 0, 9421Counting 1, 8359 1, 1751 0, 2725 1, 0911 1, 1799 −0, 5162 1, 5613Gepoolt 1, 9070 0, 9288 0, 3151 0, 9988 2, 4349 1, 3236 2, 0018Tabelle 7.42.: Ges hätzte Signal-Markt-Kovarianz (γ)empiris hen Befunde legen daher nahe, dass im Einbeziehen synthetis her Anlageobjekteein weiteres Diversi�kationspotential liegt. Dies gilt dabei ni ht etwa nur für eine Strate-gie, sondern ist für alle Strategien zu beoba hten. Berü ksi htigt man, dass die gepoolteStrategie für jeden einzelnen Index die geringste Standardabwei hung besitzt, so wird einMinimum-Varianz-Portfolio gepoolter Strategien bei glei her erwarteter Rendite eine ge-ringere Varianz als ein Minimum-Varianz-Portfolio der Buy-and-Hold-Strategien besitzen.Diese Vermutung wird au h dur h den Diversi�kationstest bestätigt. Er kann seine Nullhy-pothese auf dem 5%-Niveau lei ht ablehnen. Der Wert der Teststatistik beträgt τ = 4, 0225.Au h dieses Ergebnis korrespondiert mit den theoretis hen Überlegungen zur Erweiterung127

Kapitel 7. Empiris he Untersu hungFran e Germany Italy Japan UK USA CanadaAR-GARCH −0, 0057 −0, 0407 0, 0034 0, 0303 0, 0560 0, 0792 0, 0479

(0, 6003) (0, 9655) (0, 4402) (0, 0876) (0,0061) (0,0002) (0,0161)Momentum 0, 0281 0, 0365 0, 0502 0, 0019 0, 0267 0, 0020 0, 0144

(0, 1045) (0, 0514) (0,0123) (0, 4670) (0, 1162) (0, 4645) (0, 2602)Counting 0, 0260 0, 0226 0, 0207 0, 0176 0, 0192 −0, 0175 0, 0339

(0, 1226) (0, 1560) (0, 1772) (0, 2153) (0, 1959) (0, 7835) (0, 0648)Gepoolt 0, 0509 0, 0373 0, 0432 0, 0282 0, 0622 0, 0650 0, 0622

(0,0114) (0,0477) (0,0267) (0, 1037) (0,0027) (0,0018) (0,0027)Tabelle 7.43.: Ges hätzte Prognosefähigkeit (ψ) mit p-Werten (in Klammern)des Mögli hkeitsraumes dur h Verwendung synthetis her Anlageobjekte. Hierbei handeltes si h um ein weiteres zentrales Resultat der empiris hen Untersu hung.In Bezug auf die Einzelstrategien lässt si h feststellen, dass die Momentum-Strategie beimMSCI Fran e, MSCI Germany und MSCI Italy hohe Pro�te erzielt, während sie bei denübrigens Indizes eher s hle ht abs hneidet. Fast spiegelbildli h dazu verhält si h die AR-GARCH-Strategie. Diese erzielt beim MSCI Japan, MSCI UK, MSCI USA und MSCICanada die besten Ergebnisse. Wie bereits die p-Werte des Ljung-Box-Tests in Tabelle 7.3und die Abbildungen A.28, A.30 und A.32 zeigen, lässt si h für diese Indizes eine signi�-kante Autokorrelation erster Ordnung feststellen.5 Diese ist dabei für den MSCI Fran e,MSCI Japan, MSCI UK und MSCI USA signi�kant negativ. Da die AR-GARCH-Strategiegerade auf die pro�table Ausnutzung dieser Autokorrelation abzielt, sind ihre starken Er-gebnisse für diese Indizes wohl dadur h erklärbar. In ähnli her Weise lassen si h au h dieErgebnisse des Ljung-Box-Tests für die Pro�te der AR-GARCH-Strategie deuten. DieseStrategie ist also dur haus geeignet, eine signi�kante Autokorrelation der Cash�ows inpro�table Handelssignale umzusetzen. Ähnli h verhält es si h mit der Momentum- und derCounting-Strategie. Diese Strategien sind für Indizes ohne signi�kante Autokorrelation ers-ter Ordnung pro�tabler. Der MSCI Fran e bildet hier allerdings eine Ausnahme. Trotzdems heinen auf den kontinentaleuropäis hen Indizes eher Momentum- bzw. Continuation-Strategien erfolgverspre hender zu sein, während auf dem britis hen, amerikanis hen undjapanis hen Index teils starke Mean-Reversion-E�ekte zu beoba hten sind, die dur h dieAR-GARCH-Strategie gut erfasst werden können. Eine reine Buy-and-Hold-Strategie kann5Dies gilt au h für den MSCI Fran e. Dort s hneidet die AR-GARCH-Strategie allerdings s hle ht ab.128

Kapitel 7. Empiris he Untersu hungunter Pro�t-Risiko-Gesi htspunkten dagegen insgesamt wenig überzeugen. Die sehr hohenDrawdowns v.a. während der Jahre 2008 und 2009 lassen zumindest für den hier betra h-teten Zeitraum den Eindru k entstehen, dass groÿer Volatilität nur ein kleiner Pro�t ent-gegensteht. Dies zeigt si h demna h in der Calmar und Sortino Ratio. Gerade im Hinbli kauf diese Extremsituationen emp�ehlt es si h also, ein aktives gegenüber einem passivenPortfoliomanagement zu bevorzugen.Im Gegensatz zur Buy-and-Hold-Strategie kann die gepoolte Strategie dur hweg gute Er-gebnisse liefern: Ihre Pro�te weisen bei jedem Index die kleinste Varianz auf. Bei der Be-tra htung des standardisierten Pro�ts bzw. der Sharpe Ratio ma ht si h diese Eigens haftim Verglei h mit den anderen Strategien positiv bemerkbar. Au h dadur h s hneidet diegepoolte Strategie bei der risikoadjustierten Bewertung konstant gut ab. Die empiris henErgebnisse deuten also darauf hin, dass eine dur h Pooling von Handelssignalen zusam-mengesetzte Strategie konstant hohe risikoadjustierte Pro�te erzielen kann, obwohl die ein-zelnen Handelsstrategien teils sehr ambivalente Resultate beisteuern. Allerdings soll au hno hmals erwähnt werden, dass die gepoolte Strategie dur h ihre Konstruktion zu einemKaufsignal hin verzerrt ist: Unter ihren vier Bestandteilen zeigt die Buy-and-Hold-Strategiestets ein Kaufsignal an. Damit also ein Verkaufsignal entsteht, müssen alle anderen Stra-tegien glei hzeitig ein Verkaufsignal generieren. Andernfalls wird weder eine Kauf- no heine Verkaufposition eingegangen. Dadur h erklärt si h au h ihr dur hweg geringer Anteilan Verkaufsignalen. Ni htsdestotrotz weist die gepoolte Strategie einen verglei hsweise ho-hen dur hs hnittli hen Short-Pro�t auf. Dies mag aber wiederum darauf hindeuten, dassdur h Pooling mehrerer Handelssignale zuverlässiger eine bedingte negative Erwartungder Cash�ows angezeigt werden kann. Dies s hlägt si h au h in der hohen empiris henGewinnwahrs heinli hkeit der gepoolten Strategie nieder. Betra htet man das gepoolte Si-gnal im Zeitablauf in den Abbildungen A.33 bis A.39, so zeigt si h deutli h ein vermehrtesAuftreten von Verkaufsignalen, wenn die Buy-and-Hold-Strategie starke Wertverluste zuverzei hnen hat. 7.3.2. StrategieportfoliosIn diesem Abs hnitt werden nun die empiris hen Ergebnisse der vier Strategieportfolios ge-mäÿ Kapitel 7.1 erläutert. Es wurden drei Ba ktests mit der Rolling-Window-Länge von 63,126 und 252 Perioden dur hgeführt. Tabelle 7.44 liefert eine risikoadjustierte Darstellung129

Kapitel 7. Empiris he Untersu hungder Ba ktestergebnisse der jeweiligen Rolling-Window-Längen.Die gepoolte Portfoliostrategie ohne optimierte Volumina erzielt den zweithö hsten Pro�t.Mit herkömmli h optimierten Volumina s hneidet das Portfolio der gepoolten Strategi-en bei glei her Window-Länge besser ab als die Buy-and-Hold-Portfolios mit optimiertenVolumina. Dies gilt zwar hinsi htli h des dur hs hnittli hen Pro�ts, für den maximalenDrawdown jedo h nur einges hränkt: Hier wird dur h den Einsatz des γ-S hätzers bei derOptimierung der Volumina keine Verbesserung errei ht. Das glei hgewi htete Buy-and-Hold-Portfolio s hneidet im Verglei h mit seinen optimierten Varianten mittelmäÿig ab.Mit abnehmender Fensterlänge steigt dabei der Gesamtpro�t zunä hst an und fällt fürW = 63 wieder ab. Der Ba ktest der kürzesten Fensterlänge liefert sowohl für das Buy-and-Hold- als au h für das gepoolte Strategieportfolio den kleinsten kumulierten Pro�t. Beidieser Fensterlänge liegt der kumulierte Pro�t des γ-Portfolios sogar unter dem des nai-ven Buy-and-Hold-Portfolios. Ledigli h bezügli h des Drawdown ist eine Verbesserung zuverzei hnen. Den hö hsten Gesamtpro�t erzielen alle optimierten Portfolios für W = 126.Die Abbildungen 7.2, 7.3 und 7.4 zeigen einen Verglei h der kumulierten standardisiertenPro�te für die unters hiedli hen Window-Längen jeweils für die Buy-and-Hold- und für diegepoolten Strategieportfolios.Bereits hier ist optis h au�ällig, dass die gepoolten und herkömmli h optimierten Strate-gieportfolios einen höheren Gesamtpro�t bei geringerer Volatiliät liefern. Diesen Befundverdeutli hen no hmals die Abbildungen A.45, A.46 und A.47. Sie zeigen einen Verglei hder kumulierten standardisierten Pro�te der optimierten Portfolios mit den glei hgewi h-teten Referenzportfolios für die jeweiligen Window-Längen. Hieran ist lei ht zu erkennen,dass die gepoolten Strategieportfolios für alle getesteten Fensterlängen besser abs hneidenals die Buy-and-Hold-Portfolios. Die Optimierung dur h γ führt jedo h augens heinli hzu keiner Verbesserung. Die S hiefe der Pro�te ist dur hweg lei ht negativ, die Wölbungder empiris hen Pro�tverteilung ist gegenüber der Normalverteilung deutli h erhöht. Anden QQ-Plots und den Histogrammen der standardisierten Portfoliopro�te lässt si h diesoptis h gut erkennen (s. Abb. A.49 und A.50). Au h das Auftreten von Volatilitäts lu-stern ist zu beoba hten (s. Abb. A.48). In Verbindung mit den p-Werten des Lilliefors-und des Jarque-Bera-Tests spri ht dies stark gegen eine Normalverteilung der Portfolio-pro�te. Diese weisen also ebenfalls die harakteristis hen Merkmal von Finanzmarktdatenauf, wie sie in Kapitel 2.3 bes hrieben sind. Aus diesen Gründen sind die Ergebnisse dest-Tests skeptis h zu betra hten. Der t-Test kann ledigli h für die herkömmli h optimierten130

Kapitel 7. Empiris he Untersu hungbzw. naiven gepoolten Strategieportfolios die Nullhypothese auf dem 5%-Niveau ablehnen.Diese Portfolios weisen dabei stets eine höhere empiris he Gewinnwahrs heinli hkeit aufals die Buy-and-Hold-Portfolios. Die hö hste Gewinnwarhs heinli hkeit hat das glei hge-wi htete Portfolio der gepoolten Strategien. Dieser Wert liegt dabei niedriger als in derzweiten Simulation (s. Tab. 6.2). Au h das Verhältnis von Gewinnen zu Verlusten errei htim Gegensatz zur Simulation nur einmal Werte von über eins. Eine mögli he Erklärungdafür könnte im Leverage-E�ekt der Ausgangsdaten liegen, der in der Simulation ni htmodelliert wird. Dafür spri ht au h, dass bereits im Ausgangsdatensatz das Verhältnis vonGewinnen und Verlusten ni ht gröÿer als eins ist (s. Tab. 7.3). Die Pro�t-Risiko-Kennzahlenfallen für die glei hgewi hteten Portfolios meist besser aus für die Strategieportfolios mitoptimierten Volumina. Dabei weist das glei hgewi htete Portfolio der gepoolten Strategiendie zweitbesten Kennzahlen auf. Vor allem die Sharpe und Sortino Ratio errei hen hiermit a. 1 bzw. 1, 4 sehr hohe Werte. Übertro�en wird dies nur no h vom herkömmli hoptimierten gepoolten Strategieportfolio für W = 126. Hier errei hen alle Pro�t-Risiko-Kennzahlen Werte von deutli h über eins. Das glei hgewi htete Buy-and-Hold-Portfolioliegt mit einer Sharpe Ratio von a. 0, 35 im Berei h dessen, was au h von anderen em-piris hen Studien ermittelt wird. Aufgrund der starken Kurseinbrü he der Aktienindizesin den Jahren 2008 und 2009 fällt die Calmar Ratio dieses Portfolios ebenfalls sehr geringaus. Der Ljung-Box-Test kann seine Nullhypothese nur für die mit W = 126 und W = 63herkömmli h optimierten gepoolten Strategieportfolios ni ht ablehnen. Der ARCH-Testdagegen liefert nur für das mit W = 63 optimierte gepoolte Strategieportfolio und für dasmit W = 252 optimierte γ-Portfolio keine signi�kanten Ergebnisse. Au�ällig ist dabei, dassv.a. die Buy-and-Hold-Portfolios eine signi�kante Autokorrelation erster Ordnung aufwei-sen (s. Abb. A.51). Mit abnehmender Fensterlänge ist die Autkorrelation für die ersten fünfLags bei den herkömmli h optimierten gepoolten Strategieportfolios zunehmend gedämpft.Festzuhalten bleibt, dass unter Pro�t-Risiko-Gesi htspunkten die Portfolios der gepool-ten Strategien meist besser abs hneiden als die Portfolios der Buy-and-Hold-Strategien �glei h wel her Fensterlänge. Das S hätzen des erwarteten Pro�ts dur h die Kovarianz vonSignale und Cash�ow führt jedo h als Input-Parameter bei der Optimierung der Voluminazu keiner weiteren Verbesserung. Dies s heint umso erstaunli her, weil für die gepooltenSignale in Kapitel 7.3 fast dur hgängig eine signi�kante Prognosefähigkeit festgestellt wer-den konnte. Die Buy-and-Hold-Strategie kann von einer herkömmli hen Optimierung der131

Kapitel 7. Empiris he Untersu hungVolumina eher pro�tieren als die gepoolte Strategie. Diese Optimierung führt dagegen fürdie gepoolten Strategien nur für W = 126 zu einer Verbesserung. Mit einer Fensterlängevon W = 63 ist die Optimierung dann glei hermaÿen zunehmend kontraproduktiv. Dur heine zunehmend geringere e�ektive Sti hprobenanzahl s heint dann au h hier der S hätz-fehler die theoretis hen Verbesserungsmögli hkeiten gegenüber einer Glei hgewi htung zuübersteigen. Dies s heint au h für die γ-Portfolios zuzutre�en. Wie die Abbildungen A.52,A.53 und A.54 zeigen, sind die ges hätzten optimalen Volumina im Zeitablauf sehr volatil.Dieser E�ekt ist für kleinere Window-Längen verstärkt zu beoba hten.In diesem Zusammenhang kann man beispielsweise den Vorwurf der willkürli hen und theo-retis h s hwer zu motivierenden Wahl der Window-Länge zur Bere hnung der optimalenVolumina erheben. Dies könnte eher als Erfahrungssa he denn als exakte Wissens haft ab-getan werden, die den Raum für Curve Fitting und Data Mining erö�nen. Eine Verzerrungder Ergebnisse wäre die Folge. Die Wahl der Parameter der Momentum- und Counting-Strategie könnte ähnli he Fragen aufwerfen. Zunä hst geht es in dieser Arbeit jedo h umPrognosen, die auf den jüngsten Informationen beruhen � also um bedingte S hätzun-gen. Insbesondere für den Momentum-E�ekt stellt eine Vielzahl von empiris hen Studiendie Existenz dieses Phänomens in der kurzen Frist fest. Daher wurden hier verhältnismä-ÿig moderate bis kleine Window-Längen gewählt. Die Grundaussage der Verglei he derStrategieportfolios bleibt jedo h au h bei Veränderung der Window-Länge erhalten: EinPooling von Handelssignalen kann zu einer einer signi�kanten Verbesserung gegenüber ei-ner reinen Buy-and-Hold-Strategie führen. Von einem eher untergeordneten E�ekt der hiergetro�enen Parameterwahl ist daher auszugehen. Die Optimierung der Volumnia ist jedo hsowohl für eine gepoolte wie für die Buy-and-Hold-Strategie kritis h zu sehen. DeMiguelet al. (2007) sind bereits in einer umfangrei hen empiris he Studie zu dem S hluss gelangt,dass S hätzfehler bei der praktis hen Bestimmung der optimalen Portfoliogewi htungenden theoretis hen Vorteil einer optimalen Allokation mehr als aufwiegen. Alle betra htetenPortfoliostrategien sind ihrer Studie zufolge ni ht in der Lage, eine naive Allokation in derrisikoadjustierten Betra htung der Out-of-sample-Renditen zu überbieten. In diesen Punk-ten lassen si h also die Resultate von DeMiguel et al. (2007) au h für Handelsstrategiengröÿtenteils bestätigen. Weitere Faktoren wie z.B. ein erhöhter Aufwand der Modellbildungoder gröÿere Transaktionskosten dürften ebenfalls für eine naive Diversi�kation gepoolterStrategien spre hen. 132

Kapitel7.Empiris heUntersu hung

Kennzahl Buy-and-Hold Gepoolt Opt. BH Opt. gep. Opt. gep. γ Opt. BH Opt. gep. Opt. gep. γ Opt. BH Opt. gep. Opt. gep. γWindow-Länge − − 252 252 252 126 126 126 63 63 63Gesamtpro�t 44, 1325 125, 3230 55, 9452 99, 6592 70, 5509 62, 5388 154, 7483 94, 4327 29, 9973 88, 0676 33, 5117Erw. Pro�t 0, 0221 0, 0627 0, 0280 0, 0498 0, 0353 0, 0313 0, 0774 0, 0472 0, 0150 0, 0440 0, 0168Stabw. Pro�t 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1Erw. Gew. 0, 6413 0, 6989 0, 7390 0, 7268 0, 7512 0, 7447 0, 7578 0, 7679 0, 7575 0, 7315 0, 7359Erw. Ver. −0, 7297 −0, 7199 −0, 7683 −0, 7631 −0, 7465 −0, 7773 −0, 7226 −0, 7069 −0, 7648 −0, 7455 −0, 7332Maximum 6, 5417 6, 0505 4, 5169 4, 9660 5, 5862 4, 1088 4, 7319 5, 4282 3, 5709 4, 4017 6, 2707Minimum −6, 4725 −7, 3923 −5, 4190 −6, 4239 −8, 3082 −5, 7979 −6, 1429 −6, 3635 −7, 5883 −6, 7750 −6, 8667Max. Drawdown 75, 0699 26, 3637 33, 9573 31, 8385 37, 3902 32, 0104 16, 1201 33, 3517 40, 5422 29, 3679 51, 0110S hiefe −0, 4030 −0, 3652 −0, 3633 −0, 2524 −0, 3205 −0, 3681 −0, 1473 −0, 0014 −0, 4603 −0, 4441 −0, 2958Kurtosis 9, 5469 7, 5201 4, 9556 5, 5787 7, 0884 4, 7819 5, 5762 6, 0676 5, 7847 6, 5853 7, 5945Gewinnwahrs h. 0, 5484 0, 5520 0, 5283 0, 5459 0, 5222 0, 5313 0, 5409 0, 5116 0, 5123 0, 5348 0, 5106Gew.-Verl.-Verh. 0, 8789 0, 9708 0, 9619 0, 9525 1, 0063 0, 9580 1, 0487 1, 0864 0, 9904 0, 9813 1, 0037Sharpe Ratio 0, 3503 0, 9947 0, 4441 0, 7910 0, 5600 0, 4964 1, 2283 0, 7495 0, 2381 0, 6990 0, 2660Omega 1, 0671 1, 1960 1, 0774 1, 1451 1, 0998 1, 0860 1, 2353 1, 1380 1, 0403 1, 1281 1, 0471Sortino Ratio 0, 4790 1, 4155 0, 6178 1, 1342 0, 7977 0, 6917 1, 8195 1, 1076 0, 3290 0, 9889 0, 3745Calmar Ratio 0, 0741 0, 5990 0, 2076 0, 3944 0, 2377 0, 2462 1, 2096 0, 3568 0, 0932 0, 3779 0, 0828t-Test 0, 3238 0,0051 0, 2111 0,0260 0, 1148 0, 1622 0,0006 0,0348 0, 5025 0,0491 0, 4537Lilliefors-Test 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000Jarque-Bera-Test 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000Ljung-Box-Test 0,0000 0,0214 0,0000 0,0017 0, 4012 0,0000 0, 2824 0, 0974 0,0001 0, 9969 0,0049Engle ARCH-Test 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0, 1632 0,0000 0,0111 0,0103 0,0189 0, 9720 0, 3088Tabelle 7.44.: Kennzahlen der standardisierten Pro�te (Strategieportfolios)

133

Kapitel 7. Empiris he Untersu hung

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000−10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Perioden

Sta

ndar

disi

erte

r P

rofit

Kumulierter standardisierter Profit Buy−and−Hold−Strategie−Portfolios

nicht−opt.W = 252W = 126W = 63

Abbildung 7.2.: Buy-and-Hold-Strategieportfolios im Verglei h

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000−50

0

50

100

150

200

Perioden

Sta

ndar

disi

erte

r P

rofit

Kumulierter standardisierter Profit gepoolte Strategie−Portfolios

nicht−opt.W = 252W = 126W = 63

Abbildung 7.3.: Gepoolte Strategieportfolios im Verglei h134

Kapitel 7. Empiris he Untersu hung

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000−60

−40

−20

0

20

40

60

80

100

120

140

Perioden

Sta

ndar

disi

erte

r P

rofit

Kumulierter standardisierter Profit gepoolte Strategie−Portfolios (Gamma−Schätzer)

nicht−opt.W = 252W = 126W = 63

Abbildung 7.4.: Gepoolte Strategieportfolios (γ-optimiert) im Verglei h

135

S hlussbetra htungAls Haupterkenntnisse der vorliegenden Arbeit sollen vor allen Dingen zwei Aspekte her-vorgehoben werden. Das Heraus�ltern negativer bedingter Erwartungen der Cash�ows so-wie die Kombination vers hiedener Prognosemodelle können zu einem verbesserten Pro�t-Risiko-Verhältnis eines regelbasierten Anlageverhaltens führen. Das Pooling bzw. die Kom-bination von Handelssignalen erhöht dabei die Prognosefähigkeit und den Pro�t des Inves-tors bei glei hzeitiger Reduktion der Varianz. Eine Optimierung der Handelsvolumina kannim Hinbli k auf die empiris hen Ergebnisse dagegen ni ht als unbedingt vorteilhaft gesehenwerden.Wie in Kapitel 3.1 erläutert, steht eine Prognosefähigkeit dabei grundsätzli h ni ht imWiderspru h zur Annahme eines informationse�zienten Marktes. Die Ergebnisse dieserArbeit sollen weder als Beweis für no h gegen die Existenz informationse�zienter Märkteverstanden werden. Hier stehen vielmehr die Problematiken der praktis hen Anwendungim Fokus und die Frage, wel he theoretis hen Voraussetzungen für einen Anlageerfolg zu-nä hst erfüllt sein müssen. Die gezeigten empiris hen Ergebnisse der Handelsregeln lassenjedo h auf Prognostizierbarkeit s hlieÿen und die Random-Walk-Eigens haft der Kurse kri-tis h sehen. Die Simulationen zeigen zudem, dass ein sehr kleiner Prognosevorteil bereitsausrei hend sein kann, um dur h das Pooling eine Verstärkung der Prognosefähigkeit zu er-zielen. Die ermittelten Gewinnwahrs heinli hkeiten in der Simulation und in den Ba ktestsbelegen diesen E�ekt. Dabei liegt der Vorteil in der Vers hiedenartigkeit der verwendetenHandelsstrategien. Jede Strategie versu ht einen anderen Teilaspekt von Marktpreisbe-wegungen abzubilden. Dur h die ans hlieÿende Kombination der resultierenden Signaledur h das Pooling können die vorherrs henden Aspekte ge�ltert und gezielt genutzt wer-den. In diesem Sinne kann man die Einzelstrategien au h als in Handelssignale ausge-fertigte Markteins hätzungen eines spezialisierten Analysten au�assen. Das Pooling kanndann zum Aggregieren von Meinungen zur zukünftigen Marktentwi klung verwendet wer-136

S hlussbetra htungden. Die Ergebnisse des empiris hen Teils lassen darauf s hlieÿen, dass eine so kombinierteFülle von Signalen dur haus zu einer signi�kanten Prognosefähigkeit führen, die isoliertbetra htet ni ht errei hbar wäre. Die Vermutung von Lento (2009), dass die Kombinationvon Handelsregeln gröÿer als die Summe ihrer Teile sei, lässt si h insofern bestätigen. Dasgezeigte analytis he Konzept ist darüber hinaus vielseitig einsetzbar und erweiterbar. Dieempiris he Analyse zeigt in diesem Falle also nur einen Auss hnitt der Mögli hkeiten, diesesKonzept zu füllen. Die angewendeten Strategien sollen dabei diese Anwendungsmögli hkei-ten ledigli h beispielhaft verdeutli hen, um die theoretis hen E�ekte des Pooling empiris huntersu hen zu können.Bereits mit einfa hen, wenig ausgefeilten Strategien lässt si h empiris h eine Verbesse-rung gegenüber einer simplen Buy-and-Hold-Strategie zeigen. Die gegenüber der Buy-and-Hold-Strategie verringerte Korrelation der Pro�te der Einzelstrategien lässt zudem daraufs hlieÿen, dass ein höheres Diversi�kationspotential in der Kombination von Handelsstra-tegien liegt. Der Mögli hkeitsraum eines Investors lässt si h dur h die Berü ksi htigungvon Handelsstrategien als synthetis he Assets vorteilhaft erweitern. Dies wird au h dur hden Diversi�kationstest empiris h untermauert. Eine Optimierung des Handelsvolumenss heint jedo h aufgrund von S hätzfehlern wenig ratsam. Wie au h in anderen empiris henStudien bereits gezeigt, können die theoretis hen Verbesserungen dur h die Optimierungder Allokation ni ht ohne weiteres in die Praxis umgesetzt werden. Den theoretis hen Ver-besserungspotentialen dur h Pooling und Optimierung der Volumina stehen also praktis heNa hteile wie S hätzrisiken gegenüber. Letztli h kann jedo h die klassis he Portfoliotheorieals geeignete Basis betra htet werden, die Frage na h optimalen Handelsvolumina zumin-dest theoretis h zu beantworten. Vor dem Hintergrund der Aktienkursbewegungen derletzten Jahre ers heint ein aktives Portfoliomanagement jedo h angebra ht. Im Kontextder Resultate dieser Arbeit sollte si h die Aktivität des Portfoliomanagements dabei aberauf die Formulierung geeigneter Handelsstrategien dur h Einbeziehen von Zeitreiheninfor-mationen zum Heraus�ltern negativer bedingter Erwartungen der Cash�ows und ni ht aufeinen Optimierungsversu h der Handelsvolumina konzentrieren.Die Na hteile gegenüber der Anwendung einer passiven bzw. einer Buy-and-Hold-Strategiesind ein erhöhter Aufwand für die Modellbildung, die Entwi klung von Handelsstrate-gien und der Aggregation der Handelssignale. Dur h häu�gen We hsel von Kauf- und137

S hlussbetra htungVerkaufspositionen entstehen Transanktionskosten, die mögli hweise einen Groÿteil der er-zielbaren Vorteile wieder zuni htema hen könnten. In der Praxis ist es zudem je na hAusgestaltung von Anlageri htlinien meist ni ht oder nur einges hränkt erlaubt, Verkaufs-bzw. Leerverkaufspositionen zu halten, oder es können höhere Anforderungen an die Ka-pitalhinterlegung oder Positionsgröÿenbes hränkungen existieren. Alle diese in der Praxisvorzu�ndenden Gegebenheiten ma hen eine Individualisierung der verwendbaren theore-tis hen Konzepte und Strategien unabdingbar und verursa hen damit weitere Kosten, diesi h per se kaum korrekt bezi�ern lassen. Ni ht allen Investoren ist es demna h mögli h,die hier gezeigten Konzepte au h in der Realität einzusetzen. Ausgefeiltere Prognosemo-delle, die z.B. au h ni htlineare Eigens haften von Finanzzeitreihen erfassen oder derenModellparameter endogen bestimmt werden, könnten weitere Verbesserungs- und Erweite-rungspotentiale bieten. Insgesamt wird hier jedo h bereits ein variabler Ansatz vorgestellt,der problemlos auf vers hiedene Prognose- und Finanzinstrumente erweitert werden kann.Die Resultate sind dabei ermutigend, weitere Handelssignale bzw. Prognosemodelle einerähnli hen empiris hen Untersu hung zu unterziehen.

138

Appendix

139

Appendix

0 500 1000 1500 2000−10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

Perioden

Sta

ndar

disi

erte

r P

rofit

Simulierter kumulierter standardisierter Profit

Buy−and−HoldOpt. B&HGepooltOpt. gepoolt

Abbildung A.1.: Kumulierter dur hs hnittli her standardisierter Pro�t (Simulation 1)

140

Appendix

0 500 1000 1500 20000

5

10

15

20

25

30

35

40

Perioden

Sta

ndar

disi

erte

r P

rofit

Buy−and−Hold

0 500 1000 1500 2000−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

Perioden

Sta

ndar

disi

erte

r P

rofit

−4 −2 0 2 4−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

Standard Normale Quantile

Sim

ulie

rte

Qua

ntile

QQ Plot

−0.2 −0.1 0 0.1 0.20

50

100

Standardisierter Profit

Anz

. Beo

b.

Verteilung Standardisierter Profit

Abbildung A.2.: Buy-and-Hold-Strategie mit ni ht-optimierten Volumina (Simulation 1)141

Appendix

0 500 1000 1500 20000

5

10

15

20

25

Perioden

Sta

ndar

disi

erte

r P

rofit

Opt. B&H

0 500 1000 1500 2000−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

Perioden

Sta

ndar

disi

erte

r P

rofit

−4 −2 0 2 4−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

Standard Normale Quantile

Sim

ulie

rte

Qua

ntile

QQ Plot

−0.2 −0.1 0 0.1 0.20

20

40

60

80

Standardisierter Profit

Anz

. Beo

b.

Verteilung Standardisierter Profit

Abbildung A.3.: Buy-and-Hold-Strategie mit optimierten Volumina (Simulation 1)142

Appendix

0 500 1000 1500 20000

10

20

30

40

50

60

70

80

Perioden

Sta

ndar

disi

erte

r P

rofit

Gepoolt

0 500 1000 1500 2000−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

Perioden

Sta

ndar

disi

erte

r P

rofit

−4 −2 0 2 4−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

Standard Normale Quantile

Sim

ulie

rte

Qua

ntile

QQ Plot

−0.2 −0.1 0 0.1 0.20

50

100

Standardisierter Profit

Anz

. Beo

b.

Verteilung Standardisierter Profit

Abbildung A.4.: Gepoolte Handelssignale mit ni ht-optimierten Volumina (Simulation 1)143

Appendix

0 500 1000 1500 2000−5

0

5

10

15

20

25

Perioden

Sta

ndar

disi

erte

r P

rofit

Opt. gepoolt

0 500 1000 1500 2000−0.1

0

0.1

0.2

0.3

Perioden

Sta

ndar

disi

erte

r P

rofit

−4 −2 0 2 4−0.1

0

0.1

0.2

0.3

Standard Normale Quantile

Sim

ulie

rte

Qua

ntile

QQ Plot

−0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.150

20

40

60

80

Standardisierter Profit

Anz

. Beo

b.

Verteilung Standardisierter Profit

Abbildung A.5.: Gepoolte Handelssignale mit optimierten Volumina (Simulation 1)144

Appendix

0 5 10 15 20

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

Lag

Aut

okor

rela

tion

Buy−and−Hold

0 5 10 15 20

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

Lag

Aut

okor

rela

tion

Opt. B&H

0 5 10 15 20

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

Lag

Aut

okor

rela

tion

Gepoolt

0 5 10 15 20

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

Lag

Aut

okor

rela

tion

Opt. gepoolt

Abbildung A.6.: Autokorrelationen (Simulation 1)145

Appendix

0 500 1000 1500 2000−10

0

10

20

30

40

50

60

Perioden

Sta

ndar

disi

erte

r P

rofit

Simulierter kumulierter standardisierter Profit

Buy−and−HoldOpt. B&HGepooltOpt. gepoolt

Abbildung A.7.: Kumulierter dur hs hnittli her standardisierter Pro�t (Simulation 2)

146

Appendix

0 500 1000 1500 2000−2

−1

0

1

2

3

4

5

6

7

Perioden

Sta

ndar

disi

erte

r P

rofit

Buy−and−Hold

0 500 1000 1500 2000−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

Perioden

Sta

ndar

disi

erte

r P

rofit

−4 −2 0 2 4−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

Standard Normale Quantile

Sim

ulie

rte

Qua

ntile

QQ Plot

−0.2 −0.1 0 0.1 0.20

20

40

60

80

Standardisierter Profit

Anz

. Beo

b.

Verteilung Standardisierter Profit

Abbildung A.8.: Buy-and-Hold-Strategie mit ni ht-optimierten Volumina (Simulation 2)147

Appendix

0 500 1000 1500 2000−1

0

1

2

3

4

5

6

Perioden

Sta

ndar

disi

erte

r P

rofit

Opt. B&H

0 500 1000 1500 2000−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

Perioden

Sta

ndar

disi

erte

r P

rofit

−4 −2 0 2 4−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

Standard Normale Quantile

Sim

ulie

rte

Qua

ntile

QQ Plot

−0.2 −0.1 0 0.1 0.20

20

40

60

80

Standardisierter Profit

Anz

. Beo

b.

Verteilung Standardisierter Profit

Abbildung A.9.: Buy-and-Hold-Strategie mit optimierten Volumina (Simulation 2)148

Appendix

0 500 1000 1500 20000

10

20

30

40

50

60

Perioden

Sta

ndar

disi

erte

r P

rofit

Gepoolt

0 500 1000 1500 2000−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

Perioden

Sta

ndar

disi

erte

r P

rofit

−4 −2 0 2 4−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

Standard Normale Quantile

Sim

ulie

rte

Qua

ntile

QQ Plot

−0.2 −0.1 0 0.1 0.20

20

40

60

80

Standardisierter Profit

Anz

. Beo

b.

Verteilung Standardisierter Profit

Abbildung A.10.: Gepoolte Handelssignale mit ni ht-optimierten Volumina (Simulation 2)149

Appendix

0 500 1000 1500 2000−2

0

2

4

6

8

10

12

14

Perioden

Sta

ndar

disi

erte

r P

rofit

Opt. gepoolt

0 500 1000 1500 2000−0.1

0

0.1

0.2

0.3

Perioden

Sta

ndar

disi

erte

r P

rofit

−4 −2 0 2 4−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

Standard Normale Quantile

Sim

ulie

rte

Qua

ntile

QQ Plot

−0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.150

20

40

60

80

Standardisierter Profit

Anz

. Beo

b.

Verteilung Standardisierter Profit

Abbildung A.11.: Gepoolte Handelssignale mit optimierten Volumina (Simulation 2)150

Appendix

0 5 10 15 20

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

Lag

Aut

okor

rela

tion

Buy−and−Hold

0 5 10 15 20

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

Lag

Aut

okor

rela

tion

Opt. B&H

0 5 10 15 20

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

Lag

Aut

okor

rela

tion

Gepoolt

0 5 10 15 20

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

Lag

Aut

okor

rela

tion

Opt. gepoolt

Abbildung A.12.: Autokorrelationen (Simulation 2)151

Appendix

0 500 1000 1500 2000−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

6

7

Perioden

Sta

ndar

disi

erte

r P

rofit

Simulierter kumulierter standardisierter Profit

Buy−and−HoldOpt. B&HGepooltOpt. gepoolt

Abbildung A.13.: Kumulierter dur hs hnittli her standardisierter Pro�t (Simulation 3)

152

Appendix

0 500 1000 1500 2000−2

−1

0

1

2

3

4

5

6

7

Perioden

Sta

ndar

disi

erte

r P

rofit

Buy−and−Hold

0 500 1000 1500 2000−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

Perioden

Sta

ndar

disi

erte

r P

rofit

−4 −2 0 2 4−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

Standard Normale Quantile

Sim

ulie

rte

Qua

ntile

QQ Plot

−0.2 −0.1 0 0.1 0.20

20

40

60

80

Standardisierter Profit

Anz

. Beo

b.

Verteilung Standardisierter Profit

Abbildung A.14.: Buy-and-Hold-Strategie mit ni ht-optimierten Volumina (Simulation 3)153

Appendix

0 500 1000 1500 2000−1

0

1

2

3

4

5

6

Perioden

Sta

ndar

disi

erte

r P

rofit

Opt. B&H

0 500 1000 1500 2000−0.1

0

0.1

0.2

0.3

Perioden

Sta

ndar

disi

erte

r P

rofit

−4 −2 0 2 4−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

Standard Normale Quantile

Sim

ulie

rte

Qua

ntile

QQ Plot

−0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.150

50

100

Standardisierter Profit

Anz

. Beo

b.

Verteilung Standardisierter Profit

Abbildung A.15.: Buy-and-Hold-Strategie mit optimierten Volumina (Simulation 3)154

Appendix

0 500 1000 1500 2000−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

Perioden

Sta

ndar

disi

erte

r P

rofit

Gepoolt

0 500 1000 1500 2000−0.1

0

0.1

0.2

0.3

Perioden

Sta

ndar

disi

erte

r P

rofit

−4 −2 0 2 4−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

Standard Normale Quantile

Sim

ulie

rte

Qua

ntile

QQ Plot

−0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.150

20

40

60

80

Standardisierter Profit

Anz

. Beo

b.

Verteilung Standardisierter Profit

Abbildung A.16.: Gepoolte Handelssignale mit ni ht-optimierten Volumina (Simulation 3)155

Appendix

0 500 1000 1500 2000−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Perioden

Sta

ndar

disi

erte

r P

rofit

Opt. gepoolt

0 500 1000 1500 2000−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

Perioden

Sta

ndar

disi

erte

r P

rofit

−4 −2 0 2 4−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

Standard Normale Quantile

Sim

ulie

rte

Qua

ntile

QQ Plot

−0.2 −0.1 0 0.1 0.20

20

40

60

80

Standardisierter Profit

Anz

. Beo

b.

Verteilung Standardisierter Profit

Abbildung A.17.: Gepoolte Handelssignale mit optimierten Volumina (Simulation 3)156

Appendix

0 5 10 15 20

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

Lag

Aut

okor

rela

tion

Buy−and−Hold

0 5 10 15 20

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

Lag

Aut

okor

rela

tion

Opt. B&H

0 5 10 15 20

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

Lag

Aut

okor

rela

tion

Gepoolt

0 5 10 15 20

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

Lag

Aut

okor

rela

tion

Opt. gepoolt

Abbildung A.18.: Autokorrelationen (Simulation 3)157

Appendix

0 500 1000 1500 2000 2500−30

−20

−10

0

10

20

30

40

50

Perioden

Sta

ndar

disi

erte

r C

ash

Flo

w

MSCI FRANCE

0 500 1000 1500 2000 2500−10

−5

0

5

10

Perioden

Sta

ndar

disi

erte

r C

ash

Flo

w

−4 −2 0 2 4−10

−5

0

5

10

Standard Normale Quantile

Em

piris

che

Qua

ntile

QQ Plot

−10 −5 0 5 100

100

200

300

Standardisierter Cash Flow

Anz

. Beo

b.

Verteilung Standardisierter Cash Flow

Abbildung A.19.: MSCI Fran e158

Appendix

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

Lag

Aut

okor

rela

tion

MSCI FRANCE

Autokorrelation

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

Lag

Par

tielle

Aut

okor

rela

tion

Partielle Autokorrelation

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−0.2

0

0.2

0.4

Lag

Aut

okor

rela

tion

quad

riert

er C

ash

Flo

ws

Autokorrelation quadrierter Cash Flows

Abbildung A.20.: Autokorrelationen MSCI Fran e159

Appendix

0 500 1000 1500 2000 2500−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

50

60

Perioden

Sta

ndar

disi

erte

r C

ash

Flo

w

MSCI GERMANY

0 500 1000 1500 2000 2500−10

−5

0

5

10

Perioden

Sta

ndar

disi

erte

r C

ash

Flo

w

−4 −2 0 2 4−10

−5

0

5

10

Standard Normale Quantile

Em

piris

che

Qua

ntile

QQ Plot

−10 −5 0 5 100

100

200

300

Standardisierter Cash Flow

Anz

. Beo

b.

Verteilung Standardisierter Cash Flow

Abbildung A.21.: MSCI Germany160

Appendix

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

Lag

Aut

okor

rela

tion

MSCI GERMANY

Autokorrelation

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

Lag

Par

tielle

Aut

okor

rela

tion

Partielle Autokorrelation

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−0.2

0

0.2

0.4

Lag

Aut

okor

rela

tion

quad

riert

er C

ash

Flo

ws

Autokorrelation quadrierter Cash Flows

Abbildung A.22.: Autokorrelationen MSCI Germany161

Appendix

0 500 1000 1500 2000 2500−30

−20

−10

0

10

20

30

40

50

60

Perioden

Sta

ndar

disi

erte

r C

ash

Flo

w

MSCI ITALY

0 500 1000 1500 2000 2500−10

−5

0

5

10

Perioden

Sta

ndar

disi

erte

r C

ash

Flo

w

−4 −2 0 2 4−10

−5

0

5

10

Standard Normale Quantile

Em

piris

che

Qua

ntile

QQ Plot

−10 −5 0 5 100

100

200

300

Standardisierter Cash Flow

Anz

. Beo

b.

Verteilung Standardisierter Cash Flow

Abbildung A.23.: MSCI Italy162

Appendix

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

Lag

Aut

okor

rela

tion

MSCI ITALY

Autokorrelation

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

Lag

Par

tielle

Aut

okor

rela

tion

Partielle Autokorrelation

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−0.2

0

0.2

0.4

Lag

Aut

okor

rela

tion

quad

riert

er C

ash

Flo

ws

Autokorrelation quadrierter Cash Flows

Abbildung A.24.: Autokorrelationen MSCI Italy163

Appendix

0 500 1000 1500 2000 2500−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

Perioden

Sta

ndar

disi

erte

r C

ash

Flo

w

MSCI JAPAN

0 500 1000 1500 2000 2500−10

−5

0

5

10

Perioden

Sta

ndar

disi

erte

r C

ash

Flo

w

−4 −2 0 2 4−10

−5

0

5

10

Standard Normale Quantile

Em

piris

che

Qua

ntile

QQ Plot

−10 −5 0 5 100

50

100

150

200

Standardisierter Cash Flow

Anz

. Beo

b.

Verteilung Standardisierter Cash Flow

Abbildung A.25.: MSCI Japan164

Appendix

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

Lag

Aut

okor

rela

tion

MSCI JAPAN

Autokorrelation

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

Lag

Par

tielle

Aut

okor

rela

tion

Partielle Autokorrelation

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−0.2

0

0.2

0.4

Lag

Aut

okor

rela

tion

quad

riert

er C

ash

Flo

ws

Autokorrelation quadrierter Cash Flows

Abbildung A.26.: Autokorrelationen MSCI Japan165

Appendix

0 500 1000 1500 2000 2500−30

−20

−10

0

10

20

30

40

50

60

Perioden

Sta

ndar

disi

erte

r C

ash

Flo

w

MSCI UK

0 500 1000 1500 2000 2500−10

−5

0

5

10

Perioden

Sta

ndar

disi

erte

r C

ash

Flo

w

−4 −2 0 2 4−10

−5

0

5

10

Standard Normale Quantile

Em

piris

che

Qua

ntile

QQ Plot

−10 −5 0 5 100

100

200

300

Standardisierter Cash Flow

Anz

. Beo

b.

Verteilung Standardisierter Cash Flow

Abbildung A.27.: MSCI UK166

Appendix

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

Lag

Aut

okor

rela

tion

MSCI UK

Autokorrelation

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

Lag

Par

tielle

Aut

okor

rela

tion

Partielle Autokorrelation

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−0.2

0

0.2

0.4

Lag

Aut

okor

rela

tion

quad

riert

er C

ash

Flo

ws

Autokorrelation quadrierter Cash Flows

Abbildung A.28.: Autokorrelationen MSCI UK167

Appendix

0 500 1000 1500 2000 2500−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

Perioden

Sta

ndar

disi

erte

r C

ash

Flo

w

MSCI USA

0 500 1000 1500 2000 2500−10

−5

0

5

10

Perioden

Sta

ndar

disi

erte

r C

ash

Flo

w

−4 −2 0 2 4−10

−5

0

5

10

Standard Normale Quantile

Em

piris

che

Qua

ntile

QQ Plot

−10 −5 0 5 100

100

200

300

400

Standardisierter Cash Flow

Anz

. Beo

b.

Verteilung Standardisierter Cash Flow

Abbildung A.29.: MSCI USA168

Appendix

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

Lag

Aut

okor

rela

tion

MSCI USA

Autokorrelation

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

Lag

Par

tielle

Aut

okor

rela

tion

Partielle Autokorrelation

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−0.2

0

0.2

0.4

Lag

Aut

okor

rela

tion

quad

riert

er C

ash

Flo

ws

Autokorrelation quadrierter Cash Flows

Abbildung A.30.: Autokorrelationen MSCI USA169

Appendix

0 500 1000 1500 2000 2500−20

−10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

Perioden

Sta

ndar

disi

erte

r C

ash

Flo

w

MSCI CANADA

0 500 1000 1500 2000 2500−10

−5

0

5

10

Perioden

Sta

ndar

disi

erte

r C

ash

Flo

w

−4 −2 0 2 4−10

−5

0

5

10

Standard Normale Quantile

Em

piris

che

Qua

ntile

QQ Plot

−10 −5 0 5 100

100

200

300

Standardisierter Cash Flow

Anz

. Beo

b.

Verteilung Standardisierter Cash Flow

Abbildung A.31.: MSCI Canada170

Appendix

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

Lag

Aut

okor

rela

tion

MSCI CANADA

Autokorrelation

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

Lag

Par

tielle

Aut

okor

rela

tion

Partielle Autokorrelation

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−0.2

0

0.2

0.4

Lag

Aut

okor

rela

tion

quad

riert

er C

ash

Flo

ws

Autokorrelation quadrierter Cash Flows

Abbildung A.32.: Autokorrelationen MSCI Canada171

Appendix

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000−20

0

20

40

60

80

100

120

Perioden

Sta

ndar

disi

erte

r P

rofit

MSCI FRANCE

Buy−And−HoldAR−GARCHMomentumCountingGepoolt

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Perioden

Tric

hoto

mes

Sig

nal

Abbildung A.33.: MSCI Fran e (Einzelstrategien)172

Appendix

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000−20

0

20

40

60

80

100

Perioden

Sta

ndar

disi

erte

r P

rofit

MSCI GERMANY

Buy−And−HoldAR−GARCHMomentumCountingGepoolt

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Perioden

Tric

hoto

mes

Sig

nal

Abbildung A.34.: MSCI Germany (Einzelstrategien)173

Appendix

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000−20

0

20

40

60

80

100

120

Perioden

Sta

ndar

disi

erte

r P

rofit

MSCI ITALY

Buy−And−HoldAR−GARCHMomentumCountingGepoolt

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Perioden

Tric

hoto

mes

Sig

nal

Abbildung A.35.: MSCI Italy (Einzelstrategien)174

Appendix

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000−30

−20

−10

0

10

20

30

40

50

60

70

Perioden

Sta

ndar

disi

erte

r P

rofit

MSCI JAPAN

Buy−And−HoldAR−GARCHMomentumCountingGepoolt

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Perioden

Tric

hoto

mes

Sig

nal

Abbildung A.36.: MSCI Japan (Einzelstrategien)175

Appendix

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000−20

0

20

40

60

80

100

120

Perioden

Sta

ndar

disi

erte

r P

rofit

MSCI UK

Buy−And−HoldAR−GARCHMomentumCountingGepoolt

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Perioden

Tric

hoto

mes

Sig

nal

Abbildung A.37.: MSCI UK (Einzelstrategien)176

Appendix

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000−50

0

50

100

150

200

Perioden

Sta

ndar

disi

erte

r P

rofit

MSCI USA

Buy−And−HoldAR−GARCHMomentumCountingGepoolt

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Perioden

Tric

hoto

mes

Sig

nal

Abbildung A.38.: MSCI USA (Einzelstrategien)177

Appendix

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000−20

0

20

40

60

80

100

120

140

Perioden

Sta

ndar

disi

erte

r P

rofit

MSCI CANADA

Buy−And−HoldAR−GARCHMomentumCountingGepoolt

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Perioden

Tric

hoto

mes

Sig

nal

Abbildung A.39.: MSCI Canada (Einzelstrategien)178

Appendix

Abbildung A.40.: Kumulierte standardisierte Pro�te (Einzelstrategien)179

Appendix

Abbildung A.41.: Standardisierte Pro�te (Einzelstrategien)180

Appendix

Abbildung A.42.: QQ-Plots der standardisierten Pro�te (Einzelstrategien)181

Appendix

Abbildung A.43.: Empiris he Verteilung der standardisierten Pro�te (Einzelstrategien)182

Appendix

Abbildung A.44.: Autokorrelationen (Einzelstrategien)183

Appendix

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000−40

−20

0

20

40

60

80

100

120

140

Perioden

Sta

ndar

disi

erte

r P

rofit

Kumulierter standardisierter Portfolio−Profit

Naive B&HOpt. B&HNaive PooledOpt. PooledOpt. Pooled Gamma

Abbildung A.45.: Strategieportfolios im Verglei h (W = 252)

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000−50

0

50

100

150

200

Perioden

Sta

ndar

disi

erte

r P

rofit

Kumulierter standardisierter Portfolio−Profit

Naive B&HOpt. B&HNaive PooledOpt. PooledOpt. Pooled Gamma

Abbildung A.46.: Strategieportfolios im Verglei h (W = 126)184

Appendix

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000−60

−40

−20

0

20

40

60

80

100

120

140

Perioden

Sta

ndar

disi

erte

r P

rofit

Kumulierter standardisierter Portfolio−Profit

Naive B&HOpt. B&HNaive PooledOpt. PooledOpt. Pooled Gamma

Abbildung A.47.: Strategieportfolios im Verglei h (W = 63)

185

Appendix

0 500 1000 1500 2000

−5

0

5

Buy

−an

d−H

old

Sta

ndar

disi

erte

r P

rofit

nicht−opt.

0 500 1000 1500 2000

−5

0

5

W = 252

0 500 1000 1500 2000

−5

0

5

W = 126

0 500 1000 1500 2000

−5

0

5

W = 63

0 500 1000 1500 2000

−5

0

5

Perioden

Gep

oolt

Sta

ndar

disi

erte

r P

rofit

0 500 1000 1500 2000

−5

0

5

0 500 1000 1500 2000

−5

0

5

0 500 1000 1500 2000

−5

0

5

0 500 1000 1500 2000

−5

0

5

Perioden

Gep

oolt

Gam

ma

opt.

Sta

ndar

disi

erte

r P

rofit

0 500 1000 1500 2000

−5

0

5

Perioden0 500 1000 1500 2000

−5

0

5

Perioden

AbbildungA.48.:StandardisiertePro�te(Strategieportfolios)186

Appendix

−10 −5 0 5 100

50

100

150

200B

uy−

and−

Hol

dA

nz. B

eob.

nicht−opt.

−10 −5 0 5 100

50

100

150

200W = 252

−10 −5 0 5 100

50

100

150

200W = 126

−10 −5 0 5 100

50

100

150

200W = 63

−10 −5 0 5 100

50

100

150

200

Standardisierter Profit

Gep

oolt

Anz

. Beo

b.

−10 −5 0 5 100

50

100

150

200

−10 −5 0 5 100

50

100

150

200

−10 −5 0 5 100

50

100

150

200

−10 −5 0 5 100

50

100

150

200

Standardisierter Profit

Gep

oolt

Gam

ma

opt.

Anz

. Beo

b.

−10 −5 0 5 100

50

100

150

200

Standardisierter Profit−10 −5 0 5 100

50

100

150

200

Standardisierter Profit

AbbildungA.49.:Empiris heVerteilungderstandardisiertenPro�te(Strategieportfolios)187

Appendix

−4 −2 0 2 4−10

−5

0

5

10B

uy−

and−

Hol

dE

mpi

risch

e Q

uant

ile

nicht−opt.

−4 −2 0 2 4−6

−4

−2

0

2

4

6W = 252

−4 −2 0 2 4−6

−4

−2

0

2

4

6W = 126

−4 −2 0 2 4−8

−6

−4

−2

0

2

4W = 63

−4 −2 0 2 4−10

−5

0

5

10

Standard Normale Quantile

Gep

oolt

Em

piris

che

Qua

ntile

−4 −2 0 2 4−10

−5

0

5

−4 −2 0 2 4−10

−5

0

5

−4 −2 0 2 4−10

−5

0

5

−4 −2 0 2 4−10

−5

0

5

10

Standard Normale Quantile

Gep

oolt

Gam

ma

opt.

Em

piris

che

Qua

ntile

−4 −2 0 2 4−10

−5

0

5

10

Standard Normale Quantile−4 −2 0 2 4

−10

−5

0

5

10

Standard Normale Quantile

AbbildungA.50.:QQ-PlotsderstandardisiertenPro�te(Strategieportfolios)188

Appendix

0 5 10 15 20

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15B

uy−

and−

Hol

dA

utok

orre

latio

nnicht−opt.

0 5 10 15 20

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15W = 252

0 5 10 15 20

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15W = 126

0 5 10 15 20

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15W = 63

0 5 10 15 20

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

Lag

Gep

oolt

Aut

okor

rela

tion

0 5 10 15 20

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0 5 10 15 20

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0 5 10 15 20

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0 5 10 15 20

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

Lag

Gep

oolt

Gam

ma

opt.

Aut

okor

rela

tion

0 5 10 15 20

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

Lag0 5 10 15 20

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

Lag

AbbildungA.51.:Autokorrelationen(Strategieportfolios)189

Appendix0 1000 2000

−50

0

50

100

MSCI FRANCE

B&

H, G

epoo

ltS

tand

ardi

sier

ter

Pro

fit

0 1000 2000−50

0

50

100

MSCI GERMANY

0 1000 2000−50

0

50

100

MSCI ITALY

0 1000 2000−50

0

50

100

MSCI JAPAN

0 1000 2000−50

0

50

100

MSCI UK

0 1000 2000−50

0

50

100

MSCI USA

0 1000 2000−50

0

50

100

MSCI CANADA

0 1000 2000−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

W =

252

Vol

umen

0 1000 2000−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0 1000 2000−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0 1000 2000−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0 1000 2000−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0 1000 2000−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0 1000 2000−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0 1000 2000−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

W =

126

Vol

umen

0 1000 2000−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0 1000 2000−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0 1000 2000−0.03

−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0 1000 2000−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0 1000 2000−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0 1000 2000−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0 1000 2000−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

W =

63

Vol

umen

Perioden0 1000 2000

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

Perioden0 1000 2000

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

Perioden0 1000 2000

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

Perioden0 1000 2000

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

Perioden0 1000 2000

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

Perioden0 1000 2000

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

Perioden

AbbildungA.52.:OptimaleVoluminaBuy-and-Hold190

Appendix0 1000 2000

−50

0

50

100

MSCI FRANCE

B&

H, G

epoo

ltS

tand

ardi

sier

ter

Pro

fit

0 1000 2000−50

0

50

100

MSCI GERMANY

0 1000 2000−50

0

50

100

MSCI ITALY

0 1000 2000−50

0

50

100

MSCI JAPAN

0 1000 2000−50

0

50

100

MSCI UK

0 1000 2000−50

0

50

100

MSCI USA

0 1000 2000−50

0

50

100

MSCI CANADA

0 1000 2000−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

W =

252

Vol

umen

0 1000 2000−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0 1000 2000−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0 1000 2000−0.05

0

0.05

0 1000 2000−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0 1000 2000−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0 1000 2000−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0 1000 2000−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

W =

126

Vol

umen

0 1000 2000−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0 1000 2000−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0 1000 2000−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0 1000 2000−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0 1000 2000−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0 1000 2000−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0 1000 2000−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

W =

63

Vol

umen

Perioden0 1000 2000

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

Perioden0 1000 2000

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

Perioden0 1000 2000

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

Perioden0 1000 2000

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

Perioden0 1000 2000

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

Perioden0 1000 2000

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

Perioden

AbbildungA.53.:OptimaleVoluminaGepoolt191

Appendix0 1000 2000

−50

0

50

100

MSCI FRANCE

B&

H, G

epoo

ltS

tand

ardi

sier

ter

Pro

fit

0 1000 2000−50

0

50

100

MSCI GERMANY

0 1000 2000−50

0

50

100

MSCI ITALY

0 1000 2000−50

0

50

100

MSCI JAPAN

0 1000 2000−50

0

50

100

MSCI UK

0 1000 2000−50

0

50

100

MSCI USA

0 1000 2000−50

0

50

100

MSCI CANADA

0 1000 2000−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

W =

252

Vol

umen

0 1000 2000−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0 1000 2000−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0 1000 2000−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0 1000 2000−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0 1000 2000−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0 1000 2000−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0 1000 2000−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

W =

126

Vol

umen

0 1000 2000−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0 1000 2000−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0 1000 2000−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0 1000 2000−0.05

0

0.05

0 1000 2000−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0 1000 2000−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0 1000 2000−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

W =

63

Vol

umen

Perioden0 1000 2000

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

Perioden0 1000 2000

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

Perioden0 1000 2000

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

Perioden0 1000 2000

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

Perioden0 1000 2000

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

Perioden0 1000 2000

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

Perioden

AbbildungA.54.:OptimaleVoluminaGepoolt(γ-optimiert)192

Literaturverzei hnisA ar, E. und Sat hell, S. (2002): Advan ed Trading Rules. Butterworth Heinemann.Aldridge, I. (2010): High Frequen y Trading: A Pra ti al Guide to Algorithmi Strategiesand Trading Systems. Wiley.Alexander, S. (1961): Pri e Movements in Spe ulative Markets: Trends oder RandomWalks. Industrial Management Review II, S. 7�26.Alexander, S. (1964): Pri e Movements in Spe ulative Markets: Trends oder RandomWalks, No. 2. Industrial Management Review V, S. 25�46.Amstrong, J. (2002): Prin iples of Fore asting: A Handbook for Resear hers and Pra ti-tioners. Springer.Baltas, A.-N. und Kosowski, R. (2012): Improving Time-Series Momentum Strategies:The Role of Trading Signals and Volatility Estimators. SSRN URL http://ssrn. om/abstra t=2140091orhttp://dx.doi.org/10.2139/ssrn.2140091.Barberis, N., Shleifer, A. und Vishny, R. (1998): A Model of Investor Sentiment. Journalof Fian ial E onomi s 49, S. 307�343.Bla k, F. (1986): Noise. Journal of Finan e 41, S. 529�543.Bro k, W., Lakonishok, J. und LeBaron, B. (1992): Simple Te hni al Trading Rules andthe Sto hasti Properties of Sto k Returns. Journal of Finan e 47, S. 1731�1764.Campbell, J., Lo, A. und Ma Kinlay, C. (1997): The E onometri s of Finan ial Markets.Prin eton University Press.Chan, E. (2008): Quantitative Trading. Wiley Trading Series.

193

Literaturverzei hnisChan, K., Hameed, A. und Tong, W. (2000): Pro�tability of Momentum Strategies inthe International Equity Markets. Journal of Finan ial and Qantitative Analysis 35, S.153�172.Chan, L., Jegadeesh, N. und Lakonishok, J. (1996): Momentum Strategies. Journal ofFinan e 51, S. 1681�1713.Chopra, N., Lakonishok, J. und Ritter, J. (1992): Measuring Abnormal Performan e: DoSto ks Overrea t? Journal of Finan ial E onomi s 31, S. 235�268.Chopra, V. und Ziemba, W. (1993): The E�e t of Errors in Means, Varian es, and Cova-rian es on Optimal Portfolio Choi e. Journal of Portfolio Management 19, S. 6�11.Conrad, J. und Kaul, G. (1998): An Anatomy of Trading Strategies. The Review of Finan- ial Studies 11, S. 489�519.Cont, R. (2001): Empiri al Properties of Asset Returns: Stylized Fa ts and Statisti alIssues. Quantitative Finan e 1(2), S. 223�236.Daniel, K., Hirshleifer, D. und Subrahmanyam, A. (1998): Investor Psy hology and Se urityMarket Under- and Overrea tions. Journal of Finan e 53, S. 1839�1885.DeBondt, W. und Thaler, R. (1985): Does the Sto k Market Overrea t? Journal of Finan e40, S. 793�805.DeMiguel, V., Garlappi, L. und Uppal, R. (2007): Optimal versus Naive Diversi� ation:How Ine� ient is the 1/N Portfolio Strategy? Review of Finan ial Studies 22, S. 1915�1953, URL http://rfs.oxfordjournals.org/ gi/ ontent/abstra t/hhm075v1.Dewa hter, H. und Lyrio, M. (2002): The E onomi Value of Te hni al Trading Rules:A Nonparametri Utility-based Approa h. SSRN URL http://ssrn. om/abstra t=307759.Elton, E., Gruber, M., Brown, S. und Goetzmann, W. (2006): Modern Portfolio Theoryand Investment Analysis. Wiley.Engle, R. (1982): Autoregressive Conditional Heteroskedasti ity with Estimates of theVarian e of United Kingdom In�ation. E onometri a 50, S. 987�1007.Fabozzi, F., Fo ardi, S. und Kolm, P. (2006): Finan ial Modeling of the Equity Market.Wiley. 194

Literaturverzei hnisFama, E. (1965): The Behavior of Sto k Market Pri es. Journal of Business 38, S. 34�105.Fama, E. (1970): E� ient Capital Markets: A Review of Theory and Empiri al Work.Journal of Finan e 25, S. 383�417.Fama, E. (1991): E� ient Capital Markets: II. Journal of Finan 46, 5, S. 1575�1617.Fama, E. und Blume, M. (1966): Filter Rules and Sto k Market Trading. Journal of Busi-ness 39, S. 226�241.Fama, E., Fisher, L., Jensen, M. und Roll, R. (1969): The Adjustment of Sto k Pri es tonew Information. International E onomi Review 10, 1, S. 1�21.Fama, E. und Miller, M. (1972): The Theory of Finan e. Holt, Rinehart and Winston.Fang, Y. und Xu, D. (2003): The Predi ability of Asset Returns: An Approa h ombiningTe hni al Analysis and Time Series Fore asts. International Journal of Fore asting 19,S. 369�385.Ferenstein, E. und Gasowski, M. (2004): Modelling Sto k Returns with AR-GARCH Pro- esses. Statisti s and Operations Resear h Transa tions (SORT) 28, S. 55�68.Frahm, G. (2008): Linear Statisti al Inferen e for Global and Lo al Minimum Varian ePortfolios. Statisti al Papers , S. DOI: 10.1007/s00362�008�0170�z.Frahm, G. (2013a): A Modern Approa h to the E� ient-Market Hypothesis. ArXiv e-printsURL http://adsabs.harvard.edu/abs/2013arXiv1302.3001F.Frahm, G. (2013b): Predi ability on Complete Finan ial Markets. ArXiv e-prints URLhttp://arxiv.org/abs/1304.3824.Frahm, G. und Memmel, C. (2008): Dominating Estimators for the Global Minimum Va-rian e Portfolio. Dis ussion paper, Universität zu Köln, Lehrstuhl für Wirts hafts- undSozialstatistik.Gen ay, R. (1999): Linear, non-linear and essential Foreign Ex hange Rate Predi tion withsimple Te hni al Trading Rules. Journal of International E onomi s 47, S. 91�107.Gohout, W. und Spe ht, K. (2009): Grundlagen der Kapitalmarkttheorie und des Portfo-liomanagements. Oldenbourg.195

Literaturverzei hnisGrossman, S. und Stigitz, J. (1980): On the Impossibility of Informationally E� ient Mar-kets. The Ameri an E onomi Review 70, S. 393�408.Haugen, R. (2002): The Ine� ient Sto k Market: What Pays o� and Why. Prenti e Hall.He kmann, T. (2009): Marktte hnis he Handelssysteme, quantitative Kursmuster und sai-sonale Kursanomalien: Eine empiris he Untersu hung am deuts hen Aktienmarkt. JosefEul Verlag.Hini h, M. J. und Patterson, D. M. (1985): Eviden e of Nonlinearity in Daily Sto k Returns.Journal of Business & E onomi Statisti s 3, S. 69�77.Hirshleifer, D. (2001): Investor Psy hology and Asset Pri ing. Journal of Finan e 56, S.1533�1597.Jarque, C. und Bera, A. (1980): E� ient Tests for Normality, Homoskedasti ity and SerialIndependen e of Regression Residuals. E onomi s Letters 6, S. 255�259.Jarrow, R. (2012): The Third Fundamental Theorem of Asset Pri ing. Annals of Finan ialE onomi s 7.Jarrow, R. und Larsson, M. (2012): The Meaning of Market E� ien y. Mathemati al Fi-nan e 22, S. 1�30.Jegadeesh, N. und Titman, S. (1993): Returns to Buying Winners and Selling Losers:Impli ations for Sto k Market E� ien y. Journal of Finan e 48, S. 65�91.Jegadeesh, N. und Titman, S. (2001): Pro�tability of Momentum Strategies: An Evaluationof Alternative Explanations. Journal of Finan e 56, S. 699�720.Jorion, P. (1985): International Portfolio Diversi� ation with Estimation Risk. Journal ofBusiness 58, S. 259�278.Jorion, P. (1986): Bayes-Stein estimation for portfolio analysis. Journal of Finan ial andQuantitative Analysis 21, S. 279�292.Katz, J. und M Cormi k, D. (2000): The En y lopedia of Trading Strategies. M Graw-Hill.Keating, C. und Shadwi k, W. (2002): A Universal Performan e Measure. Journal of Per-forman e Measurement 6, S. 59�84.196

Literaturverzei hnisKestner, L. (2003): Quantitative Trading Strategies: Harnessing the Power of QuantitativeTe hniques to Create a Winning Trading Program. M Graw-Hill.Kwon, K. und Kish, R. (2002): Te hni al Trading Strategies and Return Predi ability:NYSE. Applied Finan ial E onometri s 12, S. 639�653.Ledoit, O. und Wolf, M. (2001): A well- onditioned estimator for large-dimensional ova-rian e matri es. Journal of Multivariate Analysis 88, S. 365�411.Lento, C. (2009): The Combined Signal Approa h to Te hni al Analysis: A Review & Com-mentary. SSRN URL http://ssrn. om/abstra t=1410899orhttp://dx.doi.org/10.2139/ssrn.1410899.Lento, C. und Gradojevi , N. (2007): The Pro�tability Of Te hni al Trading Rules: ACombined Signal Approa h. Journal of Applied Business Resear h 23, S. 13�28.LeRoy, S. (1973): Risk Aversion and the Martingale Property of Sto k Pri es. InternationalE onomi Review 14, S. 436�446.LeRoy, S. (1976): E� ient Capital Markets: Comment. Journal of Finan e 31, S. 139�141.Lewellen, J. (2002): Momentum and Auto orrelation in Sto k Returns. Review of Finan ialStudies 15, S. 533�564.Lilliefors, H. (1967): On the Kolmogorov-Smirnov test for normality with mean and va-rian e unknown. Journal of the Ameri an Statisti al Asso iation 62, S. 399�402.Ljung, G. und Box, G. (1978): On a Measure of a La k of Fit in Time Series Models.Biometrika 65, S. 297�303.Lo, A. und Ma Kinlay, A. (1999): A Non-Random-Walk Down Wall Street. Prin etonUniversity Press.Lo, A., Mamaysky, H. und Wang, J. (2000): Foundations of Te hni al Analysis: Com-putational Algorithms, Statisti al Inferen e, and Empiri al Implemetation. Journal ofFinan e 55, S. 1705�1765.Lu as, R. (1978): Asset Pri es in an Ex hange E onomy. E onometri a 46, S. 1429�1445.Luka , L., Brorsen, W. und Irwin, S. (1988): A Test of Futures Market DisequilibriumUsing Twelve Di�erent Te hni al Trading Systems. Applied E onomi s 20, S. 623�639.197

Literaturverzei hnisLuka , L., Brorsen, W. und Irwin, S. (1990): Comparison of Twelve Te hni al TradingSystems. Traders Press.Lumsdaine, R. und Ng, S. (1999): Testing for ARCH in the Presen e of a Possibly Misspe- i�ed Conditional Mean. Journal of E onometri s 93, S. 257�279.Malkiel, B. (1992): E� ient Market Hypothesis. In: New Palgrave Di tionary of Moneyand Finan e, Ma millan, London.Malkiel, B. (2003): The E� ient Market Hypothesis and its Criti s. Journal of E onomi Perspe tives 17, S. 59�82.Markowitz, H. (1952): Portfolio Sele tion. Journal of Finan e 7, S. 77�91.M Neil, A., Frey, R. und Embre hts, P. (2005): Quantitative Risk Management. Prin etonUniversity Press.Memmel, C. (2004): S hätzrisiken in der Portfoliotheorie. Ph.D. thesis, University of Co-logne, Department of E onomi and So ial Statisti s, Germany.Merton, R. (1972): An Analyti Derivation of the E� ient Portfolio Frontier. Journal ofFinan ial and Qantitative Analysis 7, S. 1851�1872.Merton, R. (1980): On Estimating the Expe ted Return on the Market: An ExploratoryInvestigation. Journal of Finan ial E onomi s 8, S. 323�361.Mills, T. (2002): Fore asting Finan ial Markets. Edward Elgar Publishing.Moskowitz, T., Hua Ooi, Y. und Pedersen, L. (2012): Time Series Momentum. Journal ofFinan ial E onomi s 104, S. 228�250.Neft i, S. (1991): Naive Trading Rules in Finan ial Markets and Wiener-Kolmogorov Pre-di tion Theory: A Study of Te hni al Analysis. Journal of Business 64, S. 549�571.Northington, K. (2009): Volatility-Based Te hni al Analysis. Wiley.Park, C. und Irwin, S. (2004): The Pro�tability of Te hni al Analysis: A Review. AgMASProje t Resear h Reports 37487, University of Illinois at Urbana-Champaign, Depart-ment of Agri ultural and Consumer E onomi s, URL http://ideas.repe .org/p/ags/uiu rr/37487.html.198

Literaturverzei hnisPatro, D. und Wu, Y. (2004): Predi ability of Short-Horizon Returns in InternationalEquity Markets. Journal of Empiri al Finan e 11, S. 553�584.Politis, D. (2003): The impa t of bootstrap methods on time series analysis. Statisti alS ien e 18, S. 219�230.Politis, D. und Romano, J. (1992): Exploring the Limits of Bootstrap. Wiley.Praetz, D. (1976): Rates of Return on Filter Rules. Journal of Finan e 31, S. 71�75.Pring, M. (2002): Te hni al Analysis Explained. M Graw-Hill.Ready, M. (2002): Pro�ts from Te hni al Trading Rules. Finan ial Management 31, S.43�61.Ross, D. (2007): The E onomi Value of Trading Rules, URL http://wwwdo s.f e.unsw.edu.au/banking/seminar/2007/E onomi ValueofTradingRules_DarylRoss.pdf.Samuelson, P. (1965): Proof that Properly Anti ipated Pri es Flu tuate Randomly. Indu-strial Management Review 6, S. 41�49.Sat hell, S. und S ow roft, A. (2003): Advan es in Portfolio Constru tion and Implemeta-tion. Butterworth Heinemann.S hmid, F. und Trede, M. (2006): Finanzmarktstatistik. Springer.S hulmeister, S. (2002): Te hni al Trading Systems and Sto k Pri e Dynami s. WIFOWien.Sharpe, W., Bailey, J. und Alexander, G. (1998): Investments. Prenti e Hall.Stein, C. (1956): Inadmissability of the Usual Estimator for the Mean of a MultivariateNormal Distribution. In: Pro eedings of the 3rd Berkeley Symposium on Probability andStatisti s, Bd. 1, S. 197�206.Steiner, M. und Bruns, C. (2007): Wertpapiermanagement. S hä�el-Poes hel Verlag.Sweeney, R. (1986): Beating the Foreign Ex hange Market. Journal of Finan e 41, S.163�182.Taylor, S. J. (2005): Asset Pri e Dynami s, Volatility, and Predi tion. Prin eton UniversityPress. 199

Literaturverzei hnisTobin, J. (1958): Liquidity Preferen es as Behavior towards Risk. Review of E onomi Studies 25, S. 325�333.Tversky, A. und Kahneman, D. (1974): Judgement under Un ertainty: Heuristi s and Bia-ses. S ien e 185, S. 1124�1131.Ye, G. (2011): High Frequen y Trading Models. Wiley.Zhou, X. und Dong, M. (2004): Can Fuzzy Logi make Te hni al Analysis 20/20. Finan ialAnalysts Journal 60, S. 54�75.

200