hanik tenmec Quan - physik.tu-cottbus.de · wski-Metrik o Mink. 203 16.1.2 Eigenzeit. 204 16.1.3...

Quantenme hanik

Mi hael Bestehorn

1. Version SS 1999, 2. Version, mit Abbildungen SS 2000

i

Literatur

Bei der folgenden Liste handelt es si h um eine subjektive Auswahl, da es QM-B

u her

wie Sand am Meer gibt. Zum Teil haben die genannten Werke jedo h bei der Abfassung

des Skriptes geholfen.

1. W.Nolting, Grundkurs Theoretis he Physik, Band 5.1, 5.2

Ziemli h umfassend und sehr ausf

uhrli h, klare Darstellung. Nolting s hweift oft

etwas weit vom Thema ab.

2. F.S hwabl, Quantenme hanik, Quantenme hanik f

ur Fortges hrittene

Der zweite Band behandelt ausf

uhrli h relativistis he QM, aber au h weiterf

uhren-

de Themen, die in der Vorlesung ni ht behandelt werden, wie z.B. 2. Quantisie-

rung und Quantenelektrodynamik.

3. D.I.Blo hinzew

Alt, aber immer no h gut und lesenswert.

4. R. Feynmann, Feynmann Le tures III

Genial,

uberhaupt dann, wenn man QM s hon kennt

5. C. Cohen-Tannoudi, Quantenme hanik 1 und 2

Umfassendes modern gs hriebenes Werk, mit vielen Aufgaben und Standardre-

hungen. Sehr zu empfehlen.

6. S.Gromann Funktionalanalysis

Lei ht veralteter Stil, aber gut f

ur den mathematis hen Hintegrund. Man muss

es ja ni ht ganz lesen.

Die meisten Abbildungen dieser Version stammen von Frau Mihaela En ules u. Ihr sei

an dieser Stelle herzli h gedankt.

Inhaltsverzei hnis

I Grundz

uge der Quantenme hanik 1

1 Das Versagen der klassis hen Physik 3

1.1 Der s hwarze Strahler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Hohlraumstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2 Rayleigh-Jeans-Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.3 Plan ks hes Strahlungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.4 Einsteins Herleitung (1916) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Li htquanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.1 Der Photoeekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.2 Der Compton-Eekt (1922) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Teil hen und Interferenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Quantisierung atomarer Energiezust

ande, \alte" QM . . . . . . . . . . 17

1.4.1 Die Bohrs hen Postulate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.2 Die Bohrs he Quantenhypothese . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4.3 Das Bohrs he Korrespondenzprinzip . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4.5 Kritikpunkte an alter QM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Wellenfunktionen 23

iii

iv INHALTSVERZEICHNIS

2.1 Mathematis he Hilfsmittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.1 Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.2 Fourier-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.3 Die Dira s he Delta-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2 Materiewellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3 Interpretation der Wellenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4 Wellenpakete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5 Erwartungswerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.6 Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3 Die S hr

odingerglei hung 35

3.1 Das freie Teil hen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2 Teil hen im

aueren Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3 Die zeitunabh

angige S hr

odingerglei hung . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.4 Die Kontinuit

atsglei hung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.5 Andere Wellenglei hungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.5.1 Wellenglei hung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.5.2 Klein-Gordon-Glei hung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.5.3 Quasi-klassis he N

aherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.6 Die Postulate der Quantenme hanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.7 Feynmans he Pfadintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.7.1 Propagatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.7.2 Kurzzeitpropagator und Pfadintegral . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.7.3 Pfadintegral im Kongurationsraum . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.7.4 Beispiel: das freie Teil hen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

INHALTSVERZEICHNIS v

II Quantenme hanik im Hilbert-Raum 49

4 R

aume 51

4.1 Der lineare Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.2 Der metris he Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.3 Der normierte Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.4 Der unit

are Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.5 Denitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5 Vektoren im Hilbertraum 55

5.1 Orthonormalsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.2 Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.3 Uneigentli he Hilbert-Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.4 Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6 Operatoren im Hilbert-Raum 61

6.1 Lineare Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.1.1 Eigens haften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.1.2 Operatoren als dyadis hes Produkt zweier Zust

ande . . . . . . . 62

6.1.3 Darstellung von Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6.2 Spezielle lineare Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.2.1 Zueinander inverse Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.2.2 Zueinander adjungierte Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.2.3 Unit

are Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.2.4 Projektionsoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.3 Das Eigenwertproblem hermitis her Operatoren . . . . . . . . . . . . . 66

6.4 Der Messprozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

vi INHALTSVERZEICHNIS

6.4.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.4.2 Konsequenzen des Messprozesses . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.4.3 Kombinierte Messung zweier vertr

agli her Observablen A und B 70

6.4.4 Kombinierte Messung zweier ni htvertr

agli her Observablen . . 72

6.5 Die Di htematrix, der statistis he Operator . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7 Dynamik der Quantensysteme 77

7.1 Darstellungen der S hr

odingerglei hung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

7.2 Das S hr

odinger-Bild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

7.3 Das Heisenberg-Bild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

7.4 Das Dira -Bild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

7.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

III Exakt l

osbare Probleme 83

8 Der harmonis he Oszillator 85

8.1 Hamiltonfunktion und Hamiltonoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

8.2 Ortsdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

8.3 Fo kdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

8.3.1 Semidenites Spektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

8.3.2 Verni htungsoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

8.3.3 Grundzustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

8.3.4 Erzeugungsoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

8.3.5 Eigenzust

ande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

8.3.6 Spektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

8.4 Eigenfunktionen in der Ortsdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

INHALTSVERZEICHNIS vii

9 Das Wasserstoproblem 93

9.1 Impulsoperator und Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

9.2 Drehimpuls und Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

9.3 Symmetrien und Erhaltungsgr

oen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

9.4 Drehimpulseigenzust

ande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

9.4.1 Eigenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

9.4.2 Leiteroperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

9.4.3 Eigenzust

ande in der Ortsdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . 102

9.5 Der Hamiltonoperator des Wasserstoatoms . . . . . . . . . . . . . . . 103

9.6 Radialproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

9.6.1 Hauptquantenzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

9.6.2 Bahndrehimpulsquantenzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

9.6.3 Magnetis he Quantenzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

9.7 Wellenfunktionen des Wasserstoatoms . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

9.7.1 Radiale Aufenthaltswahrs heinli hkeit . . . . . . . . . . . . . . . 110

9.7.2 Winkelverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

9.7.3 Polardiagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

9.7.4 Terms hema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

IV N

aherungsmethoden 113

10 Zeitunabh

angige St

orungstheorie 115

10.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

10.2 Der ni htentartete Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

10.3 Beispiel: Der quadratis he Stark-Eekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

10.4 Entartung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

viii INHALTSVERZEICHNIS

10.5 Beispiel: der lineare Stark-Eekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

10.6 Beispiel: das H

+

2

- Ion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

10.7 Das B

andermodell des Festk

orpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

10.7.1 Ein eindimensionales Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

10.7.2 Bere hnung der Bandstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

10.7.3 Das Blo hs he Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

10.7.4 Anwendung des Blo hs hen Theorems . . . . . . . . . . . . . . 135

10.7.5 Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

11 Zeitabh

angige St

orungstheorie 139


11.2 Iterative L

osung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

11.3 Beispiel: St

orung eines Atoms ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

11.4 Ein - und Auss halten einer sonst konstanten St

orung . . . . . . . . . . 144

11.5 Periodis he St

orungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

11.6 Absorption und stimulierte Emission von Li ht . . . . . . . . . . . . . . 148

11.6.1 Auswahlregeln f

ur die Strahlung, harmonis her Oszillator . . . . 150


ur die Strahlung, Leu htelektron . . . . . . . . . 151

12 Galerkin- und Variationsmethoden 153

12.1 Galerkinmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

12.2 Variationsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

12.2.1 Extremalprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

12.2.2 Ritzs hes Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

13 Elemente der Streutheorie 159


INHALTSVERZEICHNIS ix

13.2 Streuquers hnitt, dierentieller Wirkungsquers hnitt . . . . . . . . . . 160

13.3 Station

are Streuzust

ande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

13.4 Asymptotis he Form von '(r), Streuamplitude . . . . . . . . . . . . . . 161

13.5 Streuamplitude und dierentieller Wirkungsquers hnitt . . . . . . . . . 162

13.6 Integralglei hung f

ur die station

aren Streuzust

ande . . . . . . . . . . . 162

13.7 Die Borns he N

aherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

13.8 Dierentieller Wirkungsquers hnitt und Potential . . . . . . . . . . . . 166

13.9 Besipiel: di. Wirkungsquers hnitt beim Yukawa-Potential . . . . . . . 168

V Magnetfeld und Spin 171

14 Geladenes Teil hen im elektromagnetis hen Feld 173

14.1 Elektromagnetis he We hselwirkung, klassis h . . . . . . . . . . . . . . 173

14.2 Elektromagnetis he We hselwirkung, quantenme hanis h . . . . . . . . 174

14.3 Ei hinvarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

14.4 Beispiel: Teil hen im homogenen, zeitl. konstanten Magnetfeld . . . . . 177

14.5 Am Atomkern gebundenes Elektron im

aueren Magnetfeld . . . . . . . 179

15 Teil hen mit Spin 1/2 181

15.1 Experimentelle Gr

unde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

15.2 Spinoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

15.3 Die Pauli-Glei hung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

15.4 Die Spin-Bahn-Kopplung (LS-Kopplung) . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

15.5 Zur Addition von Drehimpulsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

15.6 Spin-Bahn-Kopplung und

aueres Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . 193

15.6.1 Wasserstoproblem ohne Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

x INHALTSVERZEICHNIS

15.6.2 Wasserstoproblem mit Spin-Bahn-Kopplung . . . . . . . . . . 193

15.6.3 Wasserstoproblem mit

auerem Magnetfeld . . . . . . . . . . 195

15.6.4 Wasserstoproblem mit Magnetfeld und LS-Kopplung . . . . . . 196

VI Grundlagen der relativistis hen Quantenme hanik 201

16 Herleitung der Dira -Glei hung 203

16.1 Erinnerung an die relativistis he Me hanik . . . . . . . . . . . . . . . . 203

16.1.1 Vierervektoren und Minkowski-Metrik . . . . . . . . . . . . . . 203

16.1.2 Eigenzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

16.1.3 Viererges hwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

16.1.4 Viererimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

16.1.5 Energie-Impuls-Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

16.2 Quantisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

16.3 Die Dira -Glei hung des freien Elektrons . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

16.4 Dira -Glei hung und elektromagnetis hes Feld . . . . . . . . . . . . . . 209

16.5 Die Dira -Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

16.6 L

osung f

ur freie Teil hen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

16.7 Kontinuit

atsglei hung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

16.8 Die Potentials hwelle, das Kleins he Paradoxon . . . . . . . . . . . . . 214

17 Elektronenspin 217

17.1 Freies Teil hen im

aueren Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

17.2 Spinoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

17.3 Spin-Bahn-Kopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

Teil I

Grundz

uge der Quantenme hanik

1

Kapitel 1

Das Versagen der klassis hen

Physik

historis he Entwi klung der Quantenme hanik

Die Disziplinen der klassis he Physik sind die Me hanik, Elektrodynamik, Relativit

ats-

theorie, Thermodynamik, Hydrodynamik, Kontinuumsme hanik

Eigens haften der klassis hen Physik:

1. Axiome sind im Makroskopis hen (der realen Welt) direkt na hpr

ufbar

2. Weitgehend ans hauli h, weil Begrie aus der makroskopis hen Welt verwendet

werden, z.B. Teil heneigens haften wie Masse, Lage und Ges hwindigkeit, aber

au h Felder, Wellen, et .

3. Deterministis h. Aus Zustand A(t

0

) ergibt si h eindeutig A(t

1

) mit t

1

> t

0

. Be-

s hreibung dur h Bewegungsglei hungen, gew

ohnli he Dierentialglei hungen

4. Wahrs heinli hkeitsbegri nur notwendig, wenn ni ht alle Informationen vorhan-

den sind, bzw. ni ht interessieren (Beispiel Gas mit 10

23

Teil hen)

Eigens haften der Quantenme hanik, Mikrophysik:

1. Axiome der Mikrophysik ergeben makroskopis hes Verhalten. Nur dieses ist ex-

perimentell zug

angli h und mu ans hauli h sein

Mikroskopis h

Theorie

ni ht dur hgehend

verans hauli hbar

widerspru hsfrei

!

Makroskopis h

Gesamtheit der expe-

rimentellen Daten

3

4 KAPITEL 1. DAS VERSAGEN DER KLASSISCHEN PHYSIK

2. Mikrophysik ist ni ht dur h klassis he Me hanik bes hreibbar, daher au h ni ht

unbedingt ans hauli h. Daraus resultierte das Dilemma der Physik um 1900

3. Teil hen-Welle-Dualismus. Mikroskopis he Objekte sind man hmal Teil hen und

man hmal Wellen. Ni ht ans hauli h, aber es funktioniert im Sinne von 1.

Beispiele: (1) Li ht: Photonen, Li htwellen

(2) Materie: Teil hen, Materiewellen

(3) aber au h Quasi-Teil hen wie Phononen, Gitters hwingungen

4. QM ist ni ht mehr deterministis h im klassis hen Sinn. D.h. aus Lage und Ge-

s hwindigeiten aller Teil hen zur Zeit t

0

folgen ni ht eindeutig Lage und Ge-

s hwindigkeiten zur Zeit t

1

.

5. Wahrs heinli hkeitsdi hte (r; t) als unterste Ebene der Bes hreibung. Determi-

nistis h, insofern da aus (r; t

0

) eindeutig (r; t

1

) folgt. Bes hreibung dur h

S hr

odingerglei hung, partielle Dierentialglei hung

6. Es gilt immer die Heisenbergs he Uns h

arferelation zwis hen kanonis h konju-

gierten Variablen, z.B. Ort-Impuls:

xp

x

h=2

Das bedeutet, da im Gegensatz zur klassis hen Me hanik nur ein Satz von Va-

riablen zur eindeutigen Festlegung des Systems notwendig ist.

1.1 Der s hwarze Strahler

1.1.1 Hohlraumstrahlung

Kir hho 1859

S hwarzer K

orper, Hohlraum mit Lo h

W

ande emittieren und absorbieren elektromagnetis he W

armestrahlung

Energiedi hte U(T) ist temperaturabh

angig:

U(T ) =

Z

1

0

u(!; T )d!

u(!; T ) ist die spektrale Energiedi hte.

Experimentell: Wien 1896

schwarzeStrahlung

L

L

L

u(!; T ) / !

3

e

b!=T

; ! !1

1.1. DER SCHWARZE STRAHLER 5

maximales u

max

= u(!

max

; T ); !

max

/ T

(Wiens hes Vers hiebungsgesetz)

Fragestellung: Wie l

at si h u(!; T ) aus klassis her Physik (Elektrodynamik, Thermo-

dynamik) bere hnen?

Antwort: ri htig gar ni ht.

1.1.2 Rayleigh-Jeans-Gesetz

Versu h einer theoretis he Herleitung von Rayleigh, 1900:

Idee: elektromagnetis hes Feld im Innern l

asst si h in eine abz

ahlbar unenedli he An-

zahl von Moden zerlegen, die alle den glei hen Energieanteil tragen.

Glei hverteilungssatz: Energie pro Freiheitsgrad (Mode)

1

2

kT

Feldenergie: Anzahl der Moden im Hohlraum x 2 x

1

2

kT

Ermittlung der Anzahl der Moden in Abh

angigkeit der Frequenz:

Wellenglei hung (aus Maxwell-Glei hungen)

E

1

2

2

E

t

2

= 0

Moden

n=1

n=2L

L

osung: E(x; y; z; t) = E

0

sin(k

x

x) sin(k

y

y) sin(k

z

z) sin(!t)

k

x

= n

x

=L; n = 1; 2; 3:::, et .

damit:

!

2

2

= k

2

x

+ k

2

y

+ k

2

z

=

2

L

2

n

2

; n

2

= n

2

x

+ n

2

y

+ n

2

z

also

n =

L!

Anzahl der Moden in Kugels hale

dN =

4n

2

8

dn 2 =

!

2

L

3

2

3

d!

(Faktor 2 wegen E und B Feld)

und damit

Kugelschale

dn

n n+dn

n

n

nz

y

x

u(!; T )d! =

!

2

2

3

kTd!


RayleighJeans Formel

Problem: U(T ) =

R

1

0

ud! !1, divergiert, (Ultraviolettkatastrophe)

dagegen aus Experiment U(T ) / T

4

(Stefan Boltzmann)

w

u(w,T)

u

w ~ T

~w , Rayleigh-Jeans

~w exp(-bw/T)

Wien

m

m

2

3

gesu ht: Formel f

ur alle !, inklusive Vers hiebungsgesetz

1.1.3 Plan ks hes Strahlungsgesetz

Plan ks her Geniestrei h (1900): Wandatome sind harmonis he Oszillatoren mit quan-

tisierten Energieniveaus:

n

= n

mit

aquidistantem Abstand .

Mittlere Energie:

=

P

n

e

n

=kT

n

P

n

e

n

=kT

=

e

=kT

1

Wandoszillatoren in Resonanz mit el-magn. Wellen. Ersetze kT ! :

u(!; T )d! =

!

2

2

3

e

=kT

1

d!

Um das Wiens he Gesetz zu erf

ullen, mu / ! sein:

= h!

wobei h Proportionalit

atskonstante, Dimension einer Wirkung.

1.1. DER SCHWARZE STRAHLER 7

zusammen:

u(!; T )d! =

h!

3

2

3

(e

h!=kT

1)

d! Plan ks hes Gesetz

Stefan-Boltzmann:

R

1

0

ud! =

2

k

4

15h

3

3

T

4

Grenzf

alle:

h!

3

e

h!=kT

1

(

!

2

kT h! kT Rayleigh-Jeans

h!

3

e

h!=kT

h! kT Wien

Problem: Das Ergebnis ist zwar ri htig, aber die Re hnung von Plan k basierte auf

zwei fals hen Annahmen:

n

= nh!, d.h. Verna hl

assigung der Nullpunktsenergie,

eigentli h

n

= (n+ 1=2)h!

Annahme der Boltzmann-Statistik f

ur Oszillatoren (eigentli h Bose-Einstein)

Die ri htige Erkl

arung kam dann a 16 Jahre sp

ater dur h Einstein.

1.1.4 Einsteins Herleitung (1916)

betra hte 2-Niveau-Systeme (Atome). Die gesu hte Energiedi hte des Strahlungsfeldes

ist

u(!; T ) = nh!

wobei n die Anzahl der Photonen mit der Energie E

p

= h! ist. F

ur

Uberg

ange gilt

Energieerhaltung, also

E

1

E

0

= E

p

= h!

1.) Absorption

n Photonen

EB u

N , E

N , EP

01

1 1

0 0


der EinsteinkoeÆzient B

01

folgt aus der quantenm. Re hnung. B

01

u(!; T ) ist die

Uber-

gangswahrs heinli hkeit pro Zeit.

2.) Emission

B u10 + A10

die EinsteinkoeÆzienten B

10

und A

10

bes hreiben induzierte, bzw. spontane Emission.

3.)

Ubergangsraten

die

Ubergangsraten bes hreiben die Anzahl der

Uberg

ange pro Zeit und sind propor-

tional zu den jeweiligen Besetzungszahlen:

Absorption W

01

= B

01

u(!; T )N

0

Emission W

10

= (B

10

u(!; T ) + A

10

)N

1

Im Glei hgewi ht m

ussen die Raten glei h sein:

W

01

=W

10

F

ur die Besetzung der Niveaus nimmt man eine Boltzmann-Verteilung an:

N

i

/ e

E

i

=kT

;

N

1

N

0

= e

h!=kT

und damit

u(!; T ) =

A

10

B

01

e

h!=kT

B

10

die quantenm. Re hnung ergibt A

10

und B

01

= B

10

, also

u(!; T ) =

A

10

B

10

1

e

h!=kT

1

Der Verglei h mit der Planks hen Formel ergibt

A

10

B

10

=

h!

3

2

3

1.2. LICHTQUANTEN 9

1.2 Li htquanten

bis 1900: Li ht besteht aus elektromagnetis hen Wellen.

1.2.1 Der Photoeekt

(H. Hertz 1887)

Metall

e-UV

Abl

osung des Elektrons erst wenn ! > !

g

, wobei !

g

materialabh

angig

kin. Energie des Elektrons E

kin

/ !, unabh. von Intensit

at

Anzahl der Elektronen/Zeit / Intensit

at

Klassis h w

urde man folgendes erwarten:

E

kin

/ Intensit

at

I > I

g

, materialabh.

Erkl

arung Einstein 1905, Li htquantenhypothese:

Strahlung = Ansammlung von Li htquanten (Teil hen) mit E = h = h!

E

kin

= h! W

A

; W

A

= Austrittsarbeit, !

g

=W

A

=h

exp:

E

wwg

kin


1.2.2 Der Compton-Eekt (1922)

Streuung von R

ontgenstrahlen mit Frequenz !

0

an Elektronen

klassis he Interpretation: Elektron s hwingt dur h Welle, Abstrahlung mit !

1

= !

0

.

experimentell:

I(e)

λ λ∆λλ= 2πc

w0 1

=

(1 os ),

= Streuwinkel

= Compton-Wellenl

ange (konstant)

nur erkl

arbar dur h Photonen-Vorstellung

Streuproze: elastis her Sto

PP

P

θ0

1

1

ph

ph

el

Energiebilanz

rel. Energie allgemein: E =

p

2

p

2

+m

2

4

1.2. LICHTQUANTEN 11

des Photons (m=0): E

ph

= p =

(

h!

0

vorher

h!

1

na hher

des Elektrons: E

el

=

(

m

0

2

vorher

q

2

(P

el

1

)

2

+m

2

0

4

na hher

; m

0

= Ruhemasse El.

rel. Impuls:

des Photons: P

ph

=

(

P

ph

0

=

h!

0

vorher

P

ph

1

=

h!

1

na hher

des Elektrons: P

el

=

8

<

:

0 vorher

P

el

1

=

m

0

v

p

1(v= )

2

na hher

(P

el

1

)

2

=

h

2

2

(!

2

0

+ !

2

1

2!

0

!

1

os )

m

0

2

+ h!

0

=

q

2

(P

el

1

)

2

+m

2

0

4

+ h!

1

daraus

!

1

!

0

(1 os ) =

m

2

h

(!

0

!

1

)

mit

!

0

!

1

!

0

!

1

=

1

2

(

1

0

) =

2

folgt:

=

h

m

0

(1 os )

Compton-Wellenl

ange

=

h

m

0

0:024

A


1.3 Teil hen und Interferenz

Doppelspalt

Lo h 2 zu ! I

1

Lo h 1 zu ! I

2

beide auf: I

12

6= I

1

+ I

2

Q

d/2

-d/2

y

I

I

I

1

2

12X

φ

φ

2

1

S

Erkl

arung im Wellenbild:

Felder

'

i

(r) /

e

ikjrr

i

j

jr r

i

j

Intensit

at

I

i

(r

s

) / j'

i

(r

s

j

2

/

1

jr r

i

j

2

I

12

/ j'

1

+ '

2

j

2

x=x

s

x

s

d

/ I

1

+ I

2

+ 2

q

I

1

I

2

os k

0

y

| z

Interferenzterm

1.3. TEILCHEN UND INTERFERENZ 13

mit k

0

= kd=x

s

Erkl

arung im Teil henbild (einzelne Photonen na heinander):

Teil hen:

Kugeln

Lo h 2 zu ! P

1

Lo h 1 zu ! P

2

beide auf: P

12

= P

1

+ P

2

1

2P

P

2

1

Kanone

MunitionExperimenteller Befund, au h bei einzelnen Photonen:

wenn beide L

o her oen sind, gibt es Interferenz. Dagagen vers hwindet die Interferenz,

wenn die Bahn bekannt ist. Also:

Interferenz ist Eigens haft eines Photons

Keine Trajektorie (Bahnkurve) m

ogli h

Interpretation: jAmplitudej

2

/Wahrs heinli hkeit

Erster Versu h einer Algebraisierung (Dira s he S hreibweise):

j < r

1

jr

2

> j

2

= Wahrs heinli hkeit f

ur Weg von r

2

na h r

1

Zwei wi htige Regeln:

1. Die Wahrs heinli hkeit f

ur ein Resultat ist das Betragsquadrat der Summe der

Wahrs heinli hkeitsamplituden f

ur die einzelnenWege, die zu dem Resultat f

uhren

(parallel).

2. Die Wahrs heinli hkeitsamplitude f

ur einen Weg ist das Produkt der Wahrs hein-

li hkeitsamplituden f

ur die einzelnen S hritte, aus denen der Weg besteht (se-

quentiell).

1.3. TEILCHEN UND INTERFERENZ 15

Doppelspalt mit Elektronen

Weg 1

j < yj1 >< 1jQ > j

2

| z

'

1

/ P

1

Weg 2

j < yj2 >< 2jQ > j

2

| z

'

2

/ P

2

beide L

o her oen:

P

12

/ j'

1

+ '

2

j

2

1

2Quelle

Licht

D

D

y

2

1

jetzt: Messung der Bahn, z.B. dur h zwei Detektoren D

1

und D

2

.

Amplitude f

ur Weg 1 + Photon in D

1

: < yj1 > a < 1jQ >= a'

1

aber au h ein gewisser (kleiner) Anteil dur h Streuung (groe Li htwellenl

ange), d.h.

Amplitude f

ur Weg 2 + Photon in D

1

: < yj2 > b < 2jQ >= b'

2

Je besser der Weg bekannt ist, desto gr

oer wird a=b.

Damit ist die gesamte Wahrs heinli hkeit ein Elektron in jy > und glei hzeitig ein

Photon in D

1

zu nden, die Summe aus beiden Prozessen:

P / ja'

1

+ b'

2

j

2

Die Grenzf

alle

Bahn bekannt (kurze Wellenl

ange) a b ! P = P

1

Bahn unbekannt (groe Wellenl

ange) a b ! P = P

12

sind enthalten. Daraus kann man hier s hon den wi htigen S hlu ziehen:

Jede Messung

andert die Wellenfunktion

genauso wie oben l

at si h \bere hnen":

Weg 1 + Photon in D

2

= b'

1

Weg 2 + Photon in D

2

= a'

2

Daraus Wahrs heinli hkeit daf

ur, da Elektron in jy >, auf wel hem Weg au h immer:

P / ja'

1

+ b'

2

j

2

+ ja'

2

+ b'

1

j

2

Die beiden Grenzf

alle ergeben jetzt:

Bahn bekannt (kurze Wellenl

ange) a b ! P = P

1

+ P

2

Bahn unbekannt (groe Wellenl

ange) a b ! P = P

12

Daraus l

at si h eine weitere Regel ableiten:

bei ununters heidbaren Prozessen werden Amplituden addiert (Wellen harakter)

bei vers hiedenen Prozessen werden Amplitudenquadrate addiert (Teil hen ha-

rakter)

1.4. QUANTISIERUNG ATOMARER ENERGIEZUST

ANDE, \ALTE" QM 17

1.4 Die Quantisierung atomarer Energiezust

ande,

die \alte" QM

Der Erkenntnisstand um 1900: Rutherfords hes Atommodell, Kern mit Kernladungs-

zahl z, z Elektronen umkreisen den Kern wie klassis he Teil hen, Zusammenhalt dur h

Coulomb-Kraft (analog Planetensystem). Vers hiedene Elemente werden nur dur h ver-

s hiedenes z harakterisiert.

1.4.1 Die Bohrs hen Postulate

Drei klassis h unl

osbare Probleme:

1. Bahnformen sind beliebige Ellipsen, nur abh

angig von gewissen Anfangsbedin-

gungen, daraus sollte unters hiedli hes hemis hes Verhalten bei glei hem z re-

sultieren.

2. Aus der Elektrodynamik ist bekannt, da bes hleunigte Ladungen strahlen. Also

m

uten alle Elektronenbahnen instabil sein, Zerfallszeit 10

10

s

3. Eine kontinuierli he Abstrahlung von Energie ist m

ogli h und kann ni ht das

experimentell beoba htete Linienspektrum erkl

aren.

experimentell: Rydberg-Serien:

1

= R

H

1

n

2

1

m

2

; m n+ 1


h!

mn

= E

n

E

m

; E

n

=

R

H

h

n

2

Es sieht so aus, als ob nur diskrete Energieniveaus im Atom existieren.

\Erkl

arung" mit Gewalt, dur h Niels Bohr, f

uhrt zur \alten" Quantenme hanik. Man

erh

alt sie dur h konsequentes Anwenden der klassis hen Me hanik unter Hinzunahme

der sogenannten Bohrs hen Postulate:

Die Bohrs hen Postulate (1913)

I Es existieren bestimmte Bahnen zu festen Energien E

n

. Auf diesen Bahnen be-

wegen si h die Elektronen ohne Abstrahlung. Die Bahnen sind deshalb station

ar.

II

Uberg

ange zwis hen station

aren Bahnen f

uhren zur Abstrahlung mit der Fre-

quenz

!

mn

= E

n

E

m

1.4.2 Die Bohrs he Quantenhypothese

Mathematis he Fragestellung der alten QM: Wie ndet man Energieniveaus?

Antwort: Bohrs he Quantenhypothese

Bei periodis her Bewegung kann das Phasenintegral J nur bestimmte, diskrete (ge-

quantelte) Werte annehmen:

J =

1

2

I

p dq = nh; n = 1; 2; 3:::

1. Besipiel: Der harmonis he Oszillator

Hamiltonfunktion: H(p; q)

E = H(p; q) =

p

2

2m

+

1

2

m!

2

q

2

(setze m = 1) daraus

p(q) =

p

2E !

2

q

2

und

H

p dq =

2

!

E

aus der Quantenhypothese folgt s hlieli h:

J-q q

q

p

0 0


ANDE, \ALTE" QM 19

E

n

= h!n

D.h., es existieren diskrete Bahnen im Phasenraum, diese geh

oren zu diskreten Ener-

gieniveaus. Damit l

at si h der s hwarze Strahler \erkl

aren", d.h. auf die Bohrs he

Quantenhypothese zur

u kf

uhren.

2. Beispiel: Das Wasserstoatom (analog zum Kepler-Problem der klassis hen Me ha-

nik)

Bes hreibung dur h Kugelkoordinaten r; ';

kanonis h konjugierte Impulse: P

r

= m _r; P

'

= mr

2

_'; P

= mr

2

_

Hamiltonfunktion:

H(r; ; P

r

; P

; P

'

) =

1

2m

P

2

r

+

1

r

2

P

2

+

1

r

2

sin

2

P

2

'

r

= E

wobei =

e

2

4"

0

.

' ist zyklis h, also

_

P

'

=

H

'

= 0,

daraus folgt ein 1. Integral: P

'

= onst = a

'

(Drehimpulskomp L

z

), d.h. Bewegung

ndet in einer Ebene senkre ht zu L

z

statt.

Hamilton-Ja obi-Formalismus: Su he kanonis he Transformation so, da alle neuen La-

gekoordinaten q

0

1

; q

0

2

; q

0

3

zyklis h sind.

Sei S(q

i

; P

0

i

) die Erzeugende, dann gilt

P

i

= S=q

i

; q

0

i

= S=P

0

i

;

Einsetzen in H ergibt die zeitunabh. Hamilton-Ja obi-Glei hung:

1

2m

2

6

6

6

6

4

S

r

!

2

+

1

r

2

S

!

2

+

1

r

2

sin

2

S

'

!

2

| z

a

'

3

7

7

7

7

5

r

= E

Ein Separationsansatz funktioniert man hmal ....:

S(r; ; '; P

0

i

) = S

r

(r; P

0

i

) + S

(; P

0

i

) + S

'

('; P

0

i

)

und damit

r

2

2m

S

r

r

!

2

r Er

2

| z

f(r)a

2

=

1

2m

2

4

S

!

2

+

a

2

'

sin

2

3

5

| z

g()a

2

a

2

= Drehimpulsquadrat


Die einzelnen S folgen aus Integration der Ausdr

u ke, die Impulse direkt:

S

r

r

=

q

2m(E + =r) a

2

=r

2

= P

r

S

=

q

a

2

a

2

'

= sin

2

= P

S

'

'

= a

'

= P

'

Na hdem man die Impulse bestimmt hat, lassen si h die drei Phasenintegrale bere h-

nen:

J

r

=

1

2

I

P

r

dr = a

+

2

s

2m

E

J

=

1

2

I

P

d = a

a

'

J

'

=

1

2

I

P

'

d' = a

'

au

osen na h der Energie:

E =

h

2

E

R

(J

r

+ J

+ J

'

)

2

mit der Abk

urzung (Rydberg-Energie)

E

R

=

me

4

8"

2

0

h

2

13:6eV

Quantenhypothese: f

ur die drei Phasenintegrale gilt unabh

angig:

J

r

= n

r

h; J

= n

h; J

'

= n

'

h

und endli h

E

n

=

E

R

n

2

; n = n

r

+ n

+ n

'

mit n als Hauptquantenzahl. Als Grundzustandsenergie ergibt si h dann E

1

= E

R

,

was mit den experimentellen Daten

ubereinstimmt.

Best

atigung dur h Frank-Hertz-Versu h (1914)

k

Hg-Dampf

+-u

-

G

A

I

+ 4.9 eV 9.8 eV

I

U


ANDE, \ALTE" QM 21

1.4.3 Das Bohrs he Korrespondenzprinzip

Die Ergebnisse der Quantentheorie gehen f

ur groe Quantenzahlen in die der klass.

Theorie

uber.

Beispiel Wasserstoatom: Aus der klass. Me hanik (Kepler-Problem) kennt man die

Umlaurequenz !

kl

des Elektrons:

!

kl

=

8"

0

e

2

s

2

m

(E)

3=2

Laut Bohr mu gelten:

!

B

= !

n;n+1

=

1

h

(E

n+1

E

n

)

n1

1

h

dE

n

dn

=

2

h

1

p

E

R

(E

n

)

3=2

Einsetzen ergibt !

B

= !

kl

.

1.4.4 Zusammenfassung

Diskretisierung dur h Wirkungsquantum. Wirkung J mu Vielfa hes von h sein.

Neue (ni ht-klassis he) Ph

anomene, wenn J in die N

ahe von h kommt. F

ur J h

erh

alt man die Ergebnisse der klass. Me hanik

1.4.5 Kritikpunkte an alter QM

ad-ho Ans

atze im Rahmen klass. Vorstellungen, nur dur h das ri htige Ergebnis

begr

undbar.

Nur deterministis he Dynamik m

ogli h. Spontane Emission?

Nur anwendbar auf periodis he Bewegungen

Versagt s hon bei etwas komplizierteren Problemen (He, H

+

2

,...)

Deshalb: Auf zu neuen Ufern!

Kapitel 2

Wellenfunktionen

Bohr: klassis he Bes hreibung dur h Teil hen (q(t); p(t)) + Quantisierungsvors hriften

Quantenme hanik: Bes hreibung dur h Wellenfunktion (q; t)

Teil hen (klassis h) ! gew

ohnli he DGL f

ur q(t); p(t)

Wellenfunktion! partielle DGL! Randbedingungen ! Quantisierungsvors hrift

2.1 Mathematis he Hilfsmittel

2.1.1 Fourier-Reihen

Sei (x) im Intervall

L

2

x

L

2

mit Diri hlet-Bedingungen (st

u kweise stetig, an

Unstetigkeitstellen Mittelwert)

Satz: Die Funktionen

1

p

L

e

ik

n

x

; k

n

=

2

L

n; n = 0; 1; 2:: (2.1)

bilden ein VONS (vollst

andiges, orthonormiertes Funktionensystem) zur Klasse der

st

u kweise stetigen Funktionen (x) mit Periode L.

Entwi klungssatz:

(x) =

1

X

n=1

n

e

ik

n

x

(2.2)

wobei die KoeÆzienten

n

gegeben sind dur h die

Umkehrrelation:

n

=

1

L

Z

L=2

L=2

dx

0

(x

0

)e

ik

n

x

0

(2.3)

23

24 KAPITEL 2. WELLENFUNKTIONEN

Vollst

andigkeitssrelation:

Einsetzen von (2.3) in (2.2) ergibt:

(x) =

Z

L=2

L=2

dx

0

(x

0

)Æ(x x

0

)

mit der Abk

urzung

Æ(x x

0

) =

1

L

1

X

n=1

e

ik

n

(xx

0

)

(2.4)

Der Ausdru k (2.4) ist gerade eine Denition der Dira s hen Delta-Funktion (siehe

weiter unten). Er dr

u kt au h die Vollst

andigkeit des Systems (2.1) aus und wird daher

als Vollst

andigkeitsrelation bezei hnet.

Orthonormierungsbedingung:

Andererseits erhalten wir dur h einsetzen von (2.2) in (2.3)

n

=

1

X

n

0

=1

Æ

nn

0

n

0

mit der Abk

urzung

Æ

nn

0

=

1

L

Z

L=2

n=L=2

e

ix(k

n

0

k

n

)

dx (2.5)

Der Ausdru k (2.5) stellt das Krone ker-Symbol dar und wird als Orthonormierungs-

bedingung des Systems (2.1) bezei hnet.

Parsevals he Glei hung:

Seien die Entwi klungskoeÆzienten von (x) gegeben als

n

, die von (x) als b

n

, dann

gilt die Parsevals he Glei hung

Z

L=2

n=L=2

dx

(x)(x) = L

1

X

n=1

b

n

n

2.1.2 Fourier-Integral

Ans hauli h: Grenz

ubergang L ! 1, damit wird k

n

kontinuierli h, k

n

! k, und die

FourierkoeÆzienten gehen in die Fouriertransformierte

uber. Im weiteren sollen die

Funktionen (x) L

2

-normierbar (quadratintegrabel) sein, d.h. es gilt

Z

1

1

dx j(x)j

2

<1

wegen

n

/ 1=L verwenden wir als Fouriertransformierte

a(k) = a(k

n

) =

L

p

2

n

2.1. MATHEMATISCHE HILFSMITTEL 25

Ausgehend von (2.2) formulieren wir den Entwi klungssatz f

ur kontinuierli hes k:

(x) =

1

X

n=1

n

e

ik

n

x

=

p

2

L

1

X

n=1

a(k

n

)e

ik

n

x

n

mit

n

= 1 =

L

2

k. Damit

(x) =

1

p

2

1

X

n=1

a(k

n

)e

ik

n

x

k

ergibt na h dem Grenz

ubergang k ! 0 den

Entwi klungssatz:

(x) =

1

p

2

Z

1

1

dk a(k)e

ikx

(2.6)

Aus (2.3) folgt sofort die

Umkehrrelation:

a(k) =

1

p

2

Z

1

1

dx

0

(x

0

)e

ikx

0

(2.7)

Einsetzen von (2.7) in (2.6) ergibt wieder

(x) =

Z

1

1

dx

0

(x

0

)Æ(x x

0

)

mit der

Vollst

andigkeitssrelation:

Æ(x x

0

) =

1

2

Z

1

1

dk e

ik(xx

0

)

Einsetzen von (2.6) in (2.7) liefert

a(k) =

Z

1

1

dk

0

a(k

0

)Æ(k k

0

)

mit der

Orthonormierungsbedingung:

Æ(k k

0

) =

1

2

Z

1

1

dx e

ix(kk

0

)

Aus der Parsevals hen Glei hung wird

Z

1

1

dx

(x)(x) =

Z

1

1

dk a

(k)b(k)

Der Spezialfall

Z

1

1

dx j(x)j

2

=

Z

1

1

dk ja(k)j

2

bedeutet die Erhaltung der Normierung unter Fouriertransformationen.

2.1.3 Die Dira s he Delta-Funktion

Æ(x) ist eine uneigentli he Funktion, die nur unter dem Integral deniert ist:

Æ(x) = 0 wenn x 6= 0; und

Z

b

a

dx Æ(x) = 1 ; a < 0; b > 0

und auerdem

Z

b

a

dx Æ(x )f(x) = f( ) ; a < < b

Die Æ-Funktion als Grenzwert stetig dierenzierbarer Funktionen:

Vorbemerkung: es gilt immer

lim

!0

Z

1

1

dx Æ

(x a)f(x) = f(a)

wobei erst das Integral, dann der Limes ausgewertet werden mu.

1. Æ

(x) =

1

2

R

1=

1=

e

ikx

dk =

1

sin

(

x

)

x

2. Æ

(x) =

1

x

2

+

2

; Lorentz-Kurve

3. Æ

(x) =

1

e

x

2

2

; Gau-Kurve

4. Æ

(x) =

1

sin(x=)

x=

2

Einige wi htige Eigens haften der Æ-Funktion:

2.2. MATERIEWELLEN 27

Æ(x) = Æ(x)

Æ(x) =

d

dx

(x); (x) = Stufenfunktion

xÆ(x) = 0

Æ(ax) =

1

jaj

Æ(x)

Æ(f(x)) =

X

i

1

df

dx

x

i

Æ(x x

i

); f(x

i

) = 0

2jxjÆ(x

2

) = Æ(x)

x

dÆ(x)

dx

= Æ(x)

Æ

3

(r) = Æ(x)Æ(y)Æ(z)

2.2 Materiewellen

Der Welle/Teil hen-Dualismus wurde zuerst f

ur Photonen vorges hlagen. Welleneigen-

s haften sind ! und k, Teil heneigens haften E und p. Einstein fand die Relationen

E = h!

p = hk (2.8)

aus dem Photoeekt 1905. Wegen E = jpj ergibt si h die Dispersionsrelation

!(k) = jkj

in

Ubereinstimmung mit den Wellenglei hungen der Elektrodynamik (aus Maxwell-

Gl.).

de Broglie (1924): Die Relationen (2.8) gelten au h f

ur Materieteil hen mit Ruhemasse!

Die Dispersionsrelation (ni ht-relativistis h) lautet jetzt

!(k) =

hk

2

2m

Wie sieht die Wellenglei hung dazu aus?

Dur h die de Broglies hen Beziehungen (2.8) l

at si h die Bohrs he Quantenhypothese

motivieren. Betra hte Elektron auf Kreisbahn mit Radius R:

J

'

=

1

2

Z

2

0

d' p

'

= Rp = nh


de Broglie: p = hk = 2h= ergibt

2R = n

also nur stehende Wellen auf Umfang. Alle anderen Wellenl

angen l

os hen si h dur h

Interferenz aus und kommen somit ni ht vor.

Ananlog zur E-Dynamik k

onnen wir jetzt eine Wellenfunktion f

ur Materieteil hen de-

nieren (ebene Wellen):

EW

(r; t) = A(k)e

i(kr!(k)t)

; !(k) =

hk

2

2m

(2.9)

Phase

x

Fl chen konstanter

k

y

..a

2.3 Interpretation der Wellenfunktion

Teil hen = Welle ?

Gibt wenig Sinn, da ein Teil hen irgendwie lokalisiert sein sollte. Man wei aber aus

Interferenzexperimenten das gilt

I / P / jj

2

Das legt nahe, die positiv denite Gr

oe

j(r; t)j

2

d

3

r = (r; t)d

3

r

2.4. WELLENPAKETE 29

als Wahrs heinli hkeit aufzufassen, ein Teil hen zur Zeit t bei r im Volumenelement

d

3

r zu nden.

Normierung (Wahrs h., das Teil hen irgendwo in V zu nden =1):

Z

V

d

3

rj(r; t)j

2

= 1

d.h. f

ur Teil hen, die dur h ebene Wellen (2.9) bes hrieben werden, gilt

EW

=

1

V

d.h. es handelt si h um einen vollst

andig delokalisierten Zustand (gr

otm

ogli he Orts-

uns h

arfe).

2.4 Wellenpakete

Die Normierbarkeit bedeutet, da die QM eine lineare Theorie sein mu. D.h. es gilt

au h das Superpositionsprinzip. Aus (2.9) lassen si h Wellenpakete mit beliebigen A(k)

s hn

uren (hier nur in einer Dimension):

(x; t) =

1

p

2

Z

1

1

dk A(k)e

i(kx!(k)t)

(2.10)

und (Normierung)

Z

1

1

dk jA(k)j

2

= 1

z.B. Gau-Kurve:

A(k)

k0 k

Lokalisierte Zust

ande

Sei A(k) haupts

a hli h um k

0

lokalisiert, dann l

at si h entwi keln:

!(k) !(k

0

) +

d!

dk

k

0

| z

v

g

(k k

0

) +

1

2

d

2

!

dk

2

k

0

(k k

0

)

2

+ ::::


Sei zun

a hst

d

2

!

dk

2

= 0, dann gilt f

ur die Wahrs heinli hkeitsdi hte

(x; t) = jj

2

=

1

2

Z Z

dk dk

0

A(k)A

(k

0

)e

i(kk

0

)(xv

g

t)

=

0

(x v

g

t)

wobei

0

(x) = (x; t = 0) die Anfangsverteilung bezei hnet. Das Wellenpaket bewegt

si h also mit der Gruppenges hwindigkeit

v

g

=

d!

dk

k

0

ohne dabei seine Form zu

andern.

d

2

!

dk

2

= 0 ! ! / k; z.B. bei Li htwellen

Materiewellen:

d

2

!

dk

2

=

h

m

6= 0:

Wellenpakete aus Materiewellen zer ieen

ρ

x

t=t0

ρ

x

t>t0

Teil hen = Wellenpaket ?

Au h ni ht, da Wellenpaket zer iet. Wieder jj

2

Wahrs heinli hkeitsdi hte, das Teil-

hen zu nden. Dann bedeutet \zer ieen", da die Unsi herheit

uber den Ort zu-

nimmt.

Beispiel: Gau-Kurve:

(x; t) =

s

b(0)

2

3=2

Z

1

1

dk e

b(0)

2

2

(kk

0

)

2

| z

/A(k)

e

i(kx!(k)t)

und daraus

(x; t) = jj

2

=

1

p

b(t)

e

(x

hk

0

m

t)

2

=b(t)

2

2.4. WELLENPAKETE 31

wobei

b(t) =

v

u

u

t

b(0)

2

+

1

b(0)

2

h

m

t

!

2

die Breite des Pakets bes hreibt. Wegen db=dt > 0 iet das Paket auseinander.

A(k)

k

k0

∆k

1

1/e

Uns h

arfe im k-Raum:

k =

2

b(0)

Es gilt

xk 4 t 0

ρ(t)

∆x x

1

1/e

Uns h

arfe im Ortsraum:

x = 2b(t)

Ans hauli h: Teil hen besteht aus Wellen mit vers hiedenen (uns harf) Phasenges hwin-

digkeiten. Dadur h l

auft es auseinander. Dur h de Broglie kommt die Physik ins Spiel.

Mit k = p=h erh

alt man die Uns h

arferelation:

xp 4h t 0

Uns h

arferelation ist eine Konsequenz der Welle-Teil hen-Bes hreibung.

Bohrs hes Komplementarit

atsprinzip

Komplement

are Variable (klassis h: kanonis h konjugiert), z.B.:

(p; q); (E; t)

sind prinzipiell glei hzeitig nur so genau bestimmbar, wie in Einklang mit der Uns h

arfe-

relation

2.5 Erwartungswerte

statistis he Deutung der Wellenfunktion

Beispiel W

urfel: (N) = 1=6, N = 1::6

Erwartungswert = Mittlere Augenzahl (bei unendli h vielen W

urfen):

< N >=

6

X

N=1

N (N)

| z

Gewi htung

= 3:5

Im Kontinuierli hen: z.B. Gr

oenverteilung (h):

Erwartungswert = mittlere Gr

oe

< h >=

Z

h

max

0

dh h(h);

Z

h

max

0

dh (h) = 1

Aus der Wellenfunktion (Ortsdarstellung) l

at si h lei ht der mittlere Ort (eines Teil-

hens) ausre hnen:

< r(t) >=

Z

1

1

d

3

r r(r; t) =

Z

1

1

d

3

r

(r; t)r(r; t)

2.6 Operatoren

Wie l

at si h der Erwartungswert von bere hnen?

< p(t) >=

Z

1

1

d

3

p p~(p; t)

2.6. OPERATOREN 33

F

ur ebene Wellen haben wir p = hk. Versu h: Identiziere den Impulsraum mit dem

k-Raum (Fourier-Raum). Also:

~

(p; t) h

3=2

A(p=h) =

1

(2h)

3=2

Z

1

1

d

3

r e

i

h

pr

(r; t)

(r; t) =

1

(2h)

3=2

Z

1

1

d

3

p e

i

h

pr

~

(q; t)

Einsetzen:

< p(t) >=

1

(2h)

3

Z

1

1

d

3

r (r; t)

Z

1

1

d

3

r

0

(r

0

; t)

Z

1

1

d

3

p p e

i

h

(rr

0

)p

| z

=J

Das letzte Integral ergibt:

J = ihr

r

Z

1

1

d

3

p e

i

h

(rr

0

)p

= (2h)

3

ihr

r

Æ(r r

0

)

Damit

< p(t) > = ih

Z

1

1

d

3

r

0

(r

0

; t)

Z

1

1

d

3

r (r; t)r

r

Æ(r r

0

)

= ih

Z

1

1

d

3

r

0

(r

0

; t)

8

>

>

>

<

>

>

>

:

(r; t)Æ(r r

0

)

1

1

| z

=0

Z

1

1

d

3

r Æ(r r

0

)r(r; t)

9

>

>

>

=

>

>

>

;

wobei das letzte Integral partiell integriert wurde.

Zusammengefat ergibt si h f

ur die Erwartungswerte des Ortes und des Impulses im

Ortsraum (in der Ortsdarstellung):

< p(t) > =

Z

1

1

d

3

r

(r; t)(ihr)(r; t)

< r(t) > =

Z

1

1

d

3

r

(r; t) r(r; t)

Das gilt au h f

ur beliebige Funktionen:

< g(p) > =

Z

1

1

d

3

r

g(ihr)

< f(r) > =

Z

1

1

d

3

r

f(r)

z.B. f

ur die kinetis he Energie:

< E

kin

>=



2m

=

Z

1

1

d

3

r

h

2

2m

!

Andererseits lassen si h die Erwartungswerte au h im Impulsraum (in der Impulsdar-

stellung) ausdr

u ken:

< p(t) > =

Z

1

1

d

3

p

~

(p; t)p

~

(p; t)

< r(t) > =

Z

1

1

d

3

p

~

(p; t)(ihr

p

)

~

(p; t)

Folgende vorl

auge Aussagen lassen si h ma hen:

Erwartungswerte lassen si h in vers hiedenen Darstellungen (R

aumen) formulie-

ren.

Den klassis hen Observablen (messbare Gr

oen) werden (lineare) Operatoren zu-

geordnet:

< X >=

Z

d

()

^

X ()

Speziell f

ur die Ortsdarstellung gelten die Jordans hen Regeln:

^r = r

^p = ihr

Beispiele (Ortsdarstellung):

Drehimpuls L = r p

^

L = ihrr

kinetis he Energie T =

p

2

2m

^

T =

h

2

2m

potentielle Energie V (r)

^

V (r) = V (r)

Kapitel 3

Die S hr

odingerglei hung

Fragestellung: Wie entwi keln si h Zust

ande in der Zeit?

(0) ! (t) ?

Forderungen (empiris h):

1. (r; t) soll eindeutig bestimmt sein aus (r; 0), es mu si h um eine partielle

DGL 1.Ordnung in t handeln.

2. Surerpositionsprinzip (Interferenz) und Normierbarkeit f

uhren auf eine lineare

PDGL.

3. Ebene Wellen sollen L

osung sein (freies Teil hen) mit der Dispersionsrelation

!(k) =

hk

2

2m

4. Im Raum darf es keine Vorzugsri htung geben (Isotropie des Raumes)

Damit zun

a hst:

0

_

= + +

wegen (t) = 0 wenn (0) = 0 folgt sofort = 0.

3.1 Das freie Teil hen

L

osung ebene Wellen:

= Ae

ikri!(k)t

35

36 KAPITEL 3. DIE SCHR

ODINGERGLEICHUNG

damit

0

ihk

2

2m

= k

2

Freies Teil hen: = 0

Eine M

ogli hkeit:

0

= ih, =

h

2

2m

, also

ih

t

(r; t) =

h

2

2m

(r; t)

hat als L

osung ebene Wellen und Wellenpakete. Es handelt si h um eine PDGL, d.h.

man ben

otigt Randbedingungen. Diese f

uhren zwanglos zu einer Quantisierungsvor-

s hrift

Beispiel: Teil hen im 1D-Potentialtopf (oder: das fast freie Teil hen)

x=Lx=0

Ψ2

Ψ3

E1

E2

E3

V= V=V=08

Ψ1

8

Randbedingungen: (0) = (L) = 0

L

osung:

n

(x; t) = A sin k

n

xe

i!(k

n

)t

; k

n

=

L

n

daraus:

E

n

= h!(k

n

) =

h

2

k

2

2m

=

2

h

2

2mL

2

n

2

3.2. TEILCHEN IM

AUSSEREN POTENTIAL 37

3.2 Teil hen im

aueren Potential

Klassis h: K(r) = rU(r)

H(r;p) = T (p) + U(r) =

p

2

2m

+ U(r)

freies Teil hen: ih

t

=

^

T

Idee: ersetze

^

T !

^

T +

^

U(r)

^

H = Hamilton-Operator, Hamiltonian

Einteil hen-S hr

odingerglei hung (Ortsraum, Ortsdarstellung) damit:

ih

t

(r; t) =

"

h

2

2m

+ U(r)

#

(r; t)

F

ur N we hselwirkende Teil hen ergibt si h ganz analog:

ih

t

(r

1

:::r

N

; t) =

"

N

X

n

h

2

2m

n

r

n

+ U(r

1

::r

N

)

#

(r

1

::r

N

; t)

3.3 Die zeitunabh

angige S hr

odingerglei hung

erh

alt man dur h den Separationsansatz:

(r; t) = (r)e

i

E

h

t

Sie lautet

E(r) =

^

H(r)

und ist zuglei h die Eigenwertglei hung zum Hamiltonoperator

^

H mit dem Eigenwert-

spektrum E. Die Werte E sind reell, weil

^

H selbstadjungiert ist.

3.4 Die Kontinuit

atsglei hung

Betra hte Di hte (r; t) (z.B. Wahrs heinli hkeit, Masse, Ladung)


ODINGERGLEICHUNG

globale Bilanzglei hung:

d

dt

Z

V

d

3

r (r; t)

| z

Anderung der Gesamtmasse

+

Z

F (V )

d

2

f j(r; t)

| z

Strom dur h Ober

a he

= 0

mit j als Stromdi hte. Anwendung des Gaus hen Satzes:

Z

F (V )

d

2

f j(r; t) =

Z

V

d

3

r div j(r; t)

ergibt die Kontinuit

atsglei hung (lokale Bilanzglei hung):

_(r; t) + div j(r; t) = 0 (3.1)

Wir bringen jetzt die S hr

odingerglei hung in die Form:

_

=

h

2mi

+

U

ih

Dann erhalten wir aus (3.1)

_ =

_

+

_

=

h

2mi

(

)

oder

_+

h

2mi

div (

r r

) = 0

und damit

j =

h

2mi

(

rr

)

als Stromdi hte. Das liefert glei hzeitig die Erhaltung der Normierung der Wahrs hein-

li hkeit:

d

dt

Z

v

dV

| z

=1

=

Z

v

_dV =

Z

V

div j dV

Gau

=

Z

F (V )

j d

2

f = 0

wenn j an der Obe

a he vers hwindet, was der Fall ist wenn vers hwindet.

3.5. ANDERE WELLENGLEICHUNGEN 39

3.5 Andere Wellenglei hungen

Bisheriges Erfolgsrezept: Die Jordans hen Regeln:

p !^p = ihr

E !

^

E = ih

t

ergeben, angewandt auf E = H(p; r), die S hr

odingerglei hung.

3.5.1 Wellenglei hung

F

ur Photonen (m

0

= 0) gilt E = jpj , oder E

2

= p

2

2

.

Jordans he Regeln hierauf:

"

1

2

2

t

2

#

= 0

Wellenglei hung aus Maxell-Gl.

3.5.2 Klein-Gordon-Glei hung

F

ur relativistis he Teil hen mit Ruhemasse m

0

gilt die Energie-Impuls-Beziehung

E =

q

m

2

0

4

+ p

2

2

Quadrieren und Anwendung der Jordans hen Regeln ergibt die Klein-Gordon-Glei hung

"

1

2

2

t

2

#

=

m

2

0

2

h

2

Sie bes hreibt z.B. Mesonen (Teil hen mit Ruhemasse, aber ohne Spin).

Andere M

ogli hkeit: Dira -Glei hung zur rel. Bes hreibung von Spin-1/2 Teil hen (z.B.

des Elektrons), siehe sp

ater.


ODINGERGLEICHUNG

3.5.3 Quasi-klassis he N

aherung

Formaler

Ubergang zwis hen Me hanik und Quantenme hanik.

Einf

uhrung einer Wirkung S(r; t).

(r; t) = e

i

h

S(r;t)

Einsetzten in S hr

odingergl.:

S

t

=

1

2m

(rS)

2

+ U(r)

ih

2m

S

Entwi kle S na h h (semi-klassis h):

S(r; t) =

X

n

(ih)

n

S

n

(r; t)

in niedrigster Ordnung h

0

:

S

0

t

=

1

2m

(rS

0

)

2

+ U(r)

Hamilton-Ja obi-Glei hung, Eikonalglei hung.

wegen p = rS

0

verlaufen die Teil henbahnen senkre ht zu den Fl

a hen S

0

= onst.

(Beispiel: freies Teil hen, p = p

0

= onst. S

0

= p

0

r Et)

Bewegung der Fronten der

Wirkwellen:

S

0

= onst, dS

0

= 0:

dS

0

= rS

0

| z

=p

0

dr+

S

t

|z

=E

dt = 0

p

0

u = E

juj =

E

jp

0

j

u = dr=dt, Phasenges hw. der

Wirkwellen.

u

p0

S0 = const

3.6. DIE POSTULATE DER QUANTENMECHANIK 41

3.6 Die Postulate der Quantenme hanik

1. Posatulat

(I) Ein physikalis hes System wird dur h eine Zustandsfunktion

(q; t) bes hrieben. Der Ausdru k j(q; t)j

2

d

N

q gibt die Wahr-

s heinli hkeit an, das System zur Zeit t im Volumenelement d

N

q

um q zu nden.

2. Postulat

(II) Den Megr

oen (Observablen) der klassis hen Physik entspre-

hen in der Quantenme hanik Operatoren (

^

A).

3. Postulat

Die Mittelwerte der Operatoren im Zustand (r; t) sind gegeben dur h

< A(t) >=

Z

V

d

3

r

(r; t)

^

A(r; t)

die mittlere quadratis he Abwei hung (Varianz) ist deniert dur h:

(A)

2

< (< A > A)

2

>=< (< A >

2

2A < A > +A

2

) >=< A

2

> < A >

2

Der Ausdru k A ist proportional zur prinzipiellen (d.h. ni ht dur h die Me-

te hnik bedingten) Uns h

arfe einer Messung der zu

^

A geh

orenden Observablen.

(III) Das Ergebnis einer pr

azisen Messung (A = 0) von A ist ein

Eigenwert von

^

A.

Erg

anzung:

Eigenwertglei hung von

^

A:

^

A'

;

= a

'

;

mit '

;

= Eigenfunktion, a

= Eigenwert, = Entartungsindex.

Sei '

;

ein VONS in der Ortsdarstellung.

Entwi klungssatz:

(r; t) =

X

;

;

(t)'

;

(r)

ODINGERGLEICHUNG

Dann ist

< A(t) >=

X

;;

0

;

0

;

(t)

0

;

0

(t)

Z

V

d

3

r '

;

(r)

^

A'

0

;

0

(r)

| z

=a

0

'

0

;

0

=

X

;;

0

;

0

;

(t)

0

;

0

(t)a

0

Æ

;

0

Æ

;

0

=

X

;

j

;

(t)j

2

a

X

(t)a

Wobei

(t) =

X

j

;

(t)j

2

die Wahrs heinli hkeit angibt, bei Messung von A den Mewert a

zu nden.

4. Postulat

(IV) Die zeitli he Entwi klung eines Zustandes wird dur h die

S hr

odingerglei hung bes hrieben:

ih

t

(t) =

^

H(t) (3.2)

Formal l

at si h ein Zeitentwi klungsoperator

^

U(t) einf

uhren, so da:

(t

1

) =

^

U(t

1

t

0

)(t

0

)

gilt. Die formale Integration von (3.2) liefert andererseits (wenn

t

^

H = 0 gilt):

(t

1

) = e

i

h

^

H(t

1

t

0

)

| z

=

^

U(t

1

t

0

)

(t

0

)

auerdem gilt:

^

U(t

1

+ t

2

) =

^

U(t

1

)

^

U(t

2

)

3.7. FEYNMANSCHE PFADINTEGRALE 43

3.7 Feynmans he Pfadintegrale

mehr intuitiver Zugang zur QM

Pfadintegrale, Wegintegrale, Propagator

3.7.1 Propagatoren

Betra hte Teil hen im Zustand jx

a

> zur Zeit t

a

, z.B. in der Ortsdarstellung

< xjx

a

>= Æ(x x

a

)

mit wel her Wahrs heinli hkeit ist es zur Zeit t

e

bei jx

e

> ?

Feynmann: Summierung

uber alle Wege, die von x

a

na h x

e

f

uhren.

e

a

t e

x

ta

x

x

t

Ubergangswahrs heinli hkeit f

ur Ausbreitung = Propagator:

P (x

e

; t

e

; x

a

; t

a

) =< x

e

j

^

U(t

e

t

a

)jx

a

>

Zur n

aherungsweisen Bere hnung: f

uhre Zwis henpunkte x

2

:::x

N1

ein, an denen das

Teil hen zur Zeit t

n

ist (Zeitgitterung):

ODINGERGLEICHUNG

t et

e

3

N-1x

x

N-1

∆ t

t a tt 2 3

x

xa

x2

x

...........

t

3.7.2 Kurzzeitpropagator und Pfadintegral

Der Kurzzeitpropagator bes hreibt die

Ubergangswahrs heinli hkeit von einem Punkt

auf den bena hbarten:

P (x

n+1

; t

n+1

; x

n

; t

n

) =< x

n+1

j

^

U(t)jx

n

>=< x

n+1

je

i

h

^

Ht

jx

n

>

damit ergibt si h das Wegintegral

P (x

e

; t

e

; x

a

; t

a

) =

Z

dx

N1

dx

N2

:::dx

2

P (x

N

; t

N

; x

N1

; t

N1

)P (x

N1

; t

N1

; x

N2

; t

N2

)::::P (x

2

; t

2

; x

1

; t

1

)

Bere hnung der einzelnen Kurzzeitpropagatoren:

< x

n+1

je

i

h

^

Ht

jx

n

> =

Z

dx Æ(x x

n+1

) e

i

h

t(T (p)+V (x

n

))

Æ(x x

n

)

Z

dx Æ(x x

n+1

) e

i

h

tT (p)

Æ(x x

n

)

| z

=

1

2h

R

dp

n

e

i

h

p

n

(xx

n

)

e

i

h

tV (x

n

)

=

1

2h

Z

dx

Z

dp

n

Æ(x x

n+1

) e

i

h

[p

n

(xx

n

)H(p

m

;x

n

)t

=

1

2h

Z

dp

n

e

i

h

h

p

n

x

n+1

x

n

t

H(p

m

;x

n

)

i

t

(3.3)

Der Limes t! 0 f

uhrt in der e kigen Klammer im Exponent auf

[::: = p

n

_x

n

H(p

n

; x

n

) = L(P

n

; x

n

)


also auf die klassis he Lagrange-Funktion. Damit ergibt si h f

ur den Kurzzeitpropaga-

tor also endg

ultig der einfa he Ausdru k:

P (x

n+1

; t

n+1

; x

n

; t

n

)

t!0

=

1

2h

Z

dp

n

e

i

h

L(p

n

;x

n

)t

F

ur den gesammten Prozess von x

a

na h x

e

erhalten wir damit das Pfadintegral

P (x

e

; t

e

; x

a

; t

a

) = lim

N!1

Z

dx

2

dx

3

:::dx

N1

Z

dp

1

dp

2

dp

3

:::dp

N1

e

i

h

R

t

e

t

a

L(p;x)dt

wobei das Integral im Exponenten ein Funktional des Weges von x

a

na h x

b

(klassis h

also x(t); p(t)) ist.

F

ur die Vielfa h- (eigentli h Unendli hfa h-) Integrale verwendet man oft die abgek

urz-

te Notation

lim

N!1

Z

dx

2

dx

3

:::dx

N1

Z

Dx

und

lim

N!1

1

(2h)

N1

Z

dp

1

dp

2

dp

3

:::dp

N1

Z

Dp

2h

oder

P (x

e

; t

e

; x

a

; t

a

) =

Z

Dx

Z

Dp

2h

exp

i

h

Z

t

e

t

a

L(p; x)dt

(3.4)

Die ans hauli he Erkl

arung des Pfadintegrales ist die, da man

uber alle Wege im

Phasenraum (x; p), die von x

a

na h x

b

f

uhren, aufsummiert und die einzelnen Wege

mit dem Ausdru k

exp

i

h

Z

t

e

t

a

L(p; x)dt

gewi htet. Dabei ist ents heidend, da der Weg am st

arksten zur Summe beitr

agt, bei

dem der Exponent extremal wird, also

Z

Ldt = Extr.

Das ist aber gerade der Weg, den ein Teil hen gehen w

urde, da der klassis hen Me-

hanik folgt. Die Wege, bei denen der Exponent bez

ugli h bena hbarter Wege stark

variiert, mitteln si h zum groen Teil dur h Interferenzen heraus.

ODINGERGLEICHUNG

tat

xa

e

Variation

Variationschwache

starke

klassischer Weg

t

xe

x

3.7.3 Pfadintegral im Kongurationsraum

In der Form (3.4) ist das Pfadintegral im Phasenraum dargestellt. Die urspr

ungli hen

Arbeiten von Feynman verwendeten das Pfadintegral im Kongurationsraum. Man

gelangt zu dieser Darstellung dur h ausintegrieren der Impulse. Sei

^

H =

p

2

2m

+ U(x)

dann l

asst si h (3.3) s hreiben als:

< x

n+1

je

i

h

^

Ht

jx

n

>= e

i

h

U(x

n

)t

1

2h

Z

dp

n

e

i

h

h

p

n

x

n+1

x

n

t

p

n

2m

i

t

| z

=J

Der Ausdru k J l

asst si h quadratis h erg

anzen zu

J =

1

2h

e

i

h

m

2

x

n+1

x

n

t

2

t

Z

dp

n

e

i

h

1

2m

p

n

x

n+1

x

n

t

m

2

t

Das letzte Integral (komplexes Gau-Integral, Fresnel-Integral) l

asst si h ausre hnen.

F

ur den Kurzzeitpropagator erhalten wir insgesamt

< x

n+1

je

i

h

^

Ht

jx

n

>=

r

m

2hit

e

i

h

m

2

x

n+1

x

n

t

2

U(x

n

)

t


und s hlieli h f

ur das Wegintegral in der Ortsdarstellung wie in 3.7.2

P (x

e

; t

e

; x

a

; t

a

) = lim

N!1

Z

dx

2

dx

3

:::dx

N1

m

2hit

N1

2

e

i

h

R

t

e

t

a

L( _x;x)dt

(3.5)

wobei jetzt also nur no h

uber Wege im Ortsraum integriert wird.

3.7.4 Beispiel: das freie Teil hen

Als Anwendung wollen wir den Propagator f

ur das freie Teil hen bere hnen:

U(x) = 0; L( _x) =

m

2

_x

2

Ausgehend von (3.5) erhalten wir

P (x

e

; t

e

; x

a

; t

a

) = lim

N!1

m

2hit

N1

2

Z

dx

2

dx

3

:::dx

N1

e

im

2ht

P

N1

n=1

(x

n+1

x

n

)

2

(3.6)

wobei x

1

= x

a

und x

N

= x

e

festgehalten werden. Im folgenden verwenden wir die

Hilfsformel (Faltung zweier Gau-Funktionen):

Z

1

1

e

(xa)

2

e

(xb)

2

=

s

+

e

+

(ab)

2

Zun

a hst werten wir das erste Integral, zusammen mit einem Vorfaktor

m

2hit

in (3.6)

aus. Mit der Hilfsformel ergibt si h

m

2hit

Z

dx

2

e

im

2ht

(x

2

x

1

)

2

e

im

2ht

(x

3

x

2

)

2

=

s

m

2hi(2t)

e

im

2h(2t)

(x

1

x

3

)

2

D.h. eine Integration liefert die Vors hrift, im Vorfaktor und im Exponenten t dur h

2t zu ersetzen und im Exponenten

(x

2

x

1

)

2

+ (x

3

x

2

)

2

! (x

1

x

3

)

2

zu ersetzen. Wenn wir alle x

n

ausintegrieren, m

ussen wir deshalb die Substitutionen

t ! (N 1)t = t

a

t

e


ODINGERGLEICHUNG

und

N1

X

n=1

(x

n+1

x

n

)

2

! (x

a

x

e

)

2

dur hf

uhren. Damit lautet das Wegintegral f

ur das freie Teil hen endli h:

P (x

e

; t

e

; x

a

; t

a

) =

s

m

2hi(t

e

t

a

)

exp

"

i

h

m

2

(x

e

x

a

)

2

t

e

t

a

#

Bemerkenswert ist dabei, dass die Phase genau der Wirkung entspri ht, die der klas-

sis he Weg des freien Teil hens ergibt:

S

KL

=

Z

t

e

t

a

Ldt =

m

2

Z

t

e

t

a

_x

2

dt =

m

2

Z

t

e

t

a

x

e

x

a

t

e

t

a

2

dt =

m

2

(x

e

x

a

)

2

t

e

t

a

Die Wahrs heinli hkeitsdi hte, das Teil hen na h der Zeit t = t

e

t

a

zu nden ergibt

si h dann zu

= jP j

2

/

1

t

analog zu dem Ergebnis f

ur Wellenpakete.

Teil II

Quantenme hanik im Hilbert-Raum

49

Kapitel 4

R

aume

Literatur: z.B. S.Gromann, Funktionalanalysis

Raum: Eine Menge von Elementen, M = fa; b; :::g

a = Element,Vektor, Punkt aus M

4.1 Der lineare Raum

Addition

sei a; b M , dann gilt

a+ b = b+ a M

assoziativ: a+ (b + ) = (a+ b) +

Nullelement: a+ 0 = a

Multiplikation

; K und a; b M , dann gilt a M

Distributivgesetz: (a+ b) = a+ b

Assoziativgesetz: (a) = ()a

Einselement: 1a = a

51

52 KAPITEL 4. R

AUME

4.2 Der metris he Raum

Ans hauli h: Metrik = Abstand zwis hen zwei Elementen:

d(a; b) = d(b; a) R; a; b M

d(a; b) 0;

d=0

! a = b

Dreie ksunglei hung: d(a; b) d(a; ) + d(b; )

4.3 Der normierte Raum

Norm: Abstand zum Nullelement, ans hauli h: L

ange

kak = d(0; a)

kak 0, (positiv semidenit)

ka+ bk kak+ kbk, (aus Dreie ksunglei hung)

kak = jjkak, Homogenit

at

Beispiele f

ur den R

n

(n-dimensionaler Vektorraum):

kak max

n

i=1

ja

i

j; Maximumnorm

kak (

P

n

i

ja

i

j

p

)

1=p

, p-Norm (speziell p=2)

4.4 Der unit

are Raum

Inneres Produkt, ans hauli h Winkel

z = z(a; b) =< ajb >; z C

Eigens haften:

< ajb > = < bja >

< ajb > = < ajb >; < ajb >=

< ajb >

< ajb + > = < ajb > + < aj >

4.4. DER UNIT

ARE RAUM 53

< aja > 0; R

< ajb > = 0 ! entweder a = 0; oder b = 0; oder a orthogonal zu b

auerdem:

(< aja >)

1=2

= kak, erf

ullt die Normaxiome

Es gilt die S hwarzs he Unglei hung:

j < ajb > j kakkbk

oder j < ajb > j

2

< aja >< bjb >

Beweis:

jb >= jb

p

> +jb

s

>

jb

p

> sei parallel zu ja >: jb

p

>=

<ajb>

<aja>

ja >

jb

s

> sei senkre ht zu ja >: = 0

< bjb >= + +

| z

=0

+

| z

=0

< aja >< bjb > = < aja > + < aja >

< aja >

=

j < ajb > j

2

< aja >

2

< aja >

2

= j < ajb > j

2

q.e.d

Es gilt:

Jeder unit

are Raum ist normiert (Inneres Produkt impliziert Norm)

Jeder normierte Raum ist metris h (Norm impliziert Metrik)

Beispiele:

1. R

n

< ajb >=

P

n

i

a

i

b

i

, Skalarprodukt

2. Raum der stetigen Funktionen C(

1

;

2

)

< ajb >=

R

2

1

dx a

(x)b(x)

54 KAPITEL 4. R

AUME

kak =

q

< aja > =

h

R

2

1

dx ja(x)j

2

i

1=2

; `

2

-Norm

4.5 Denitionen

Vollst

andigkeit

a

n

sei Folge von Elementen.

Limes a

! a existiert, also d(a

; a)! 0

Speziell Cau hy-Folge: d(a

; a

) < "

Denitionen:

Bana h-Raum : linear, normiert, vollst

andig

Hilbert-Raum: linear, unit

ar, vollst

andig

Dimension

Unter der Dimension eines Raumes versteht man die max. Anzahl der linear unabh

angi-

gen Elemente. Die Dimension kann

a) endli h

b) abz

ahlbar unendli h

)

uberabz

ahlbar unendli h

sein.

Kapitel 5

Vektoren im Hilbertraum

Vorbemerkungen

Die Begrie Vektoren, Funktionen, Zust

ande werden synonym verwendet.

reeller Raum ! unit

arer Raum

a ! ja >, Dira -Notation

geom. Objekte, Funktionen, Hilbert-Vektoren

Vektoren

Inneres Produkt:

(a b) ! < ajb >

z.B.

=

R

a

b

bra- -ket

5.1 Orthonormalsysteme

Wenn

n

X

=1

j'

>= 0

nur m

ogli h dur h

= 0, dann existieren n linear unabh. Elemente, der Raum hat

die Dimension n.

Entwi klungssatz:

jb >=

n

X

=1

b

j'

>; b

C

j'

> sei vollst

andiges Orthonormalsystem (VONS)

< '

j'

>= Æ

55

56 KAPITEL 5. VEKTOREN IM HILBERTRAUM

dann ist

< '

jb >=

n

X

=1

b

< '

j'

>= b

Umkehrrelation:

b

=< '

jb >

[Anmerkung: In der QM gibt jb

j

2

die Wahrs heinli hkeit an, mit der j'

> in jb >

gefunden wird (

Uberlapp).

Einsetzen:

jb >=

X

j'

>< '

j

| z

Operator

jb >

liefert die Vollst

andigkeitsrelation

n

X

=1

j'

>< '

j = 1

5.2 Darstellungen

Spre hweise: b

ist die Darstellung von jb > in der Basis j'

>

Skalarprodukt:

< ajb >

\Eins eins hieben"

=

n

X

=1

< aj'

>< '

jb >=

X

a

b

Basistransformationen

j

>=

X

j'

> < '

j

>

| z

U

=

X

U

j'

>

Sind beide Systeme VONS,dann ist U eine orthogonale Matrix (analog zum unit

aren

Operator), d.h. es gilt

5.3. UNEIGENTLICHE HILBERT-VEKTOREN 57

U

+

U = 1; U

+

= U

Beweis:

(U

+

U)

=

X

U

+

U

=

X

<

j'

>< '

j

>=< '

j'

>= Æ

d.h. bei einer Basistransformation handelt es si h um eine unit

are Transformation im

Hilbert-Raum.

5.3 Uneigentli he Hilbert-Vektoren

bisher waren die Basisvektoren abz

ahlbar, j'

n

>

jetzt:

Ubergang zum Kontinuum, Notation: jx >; jr >; jp >, et .

zun

a hst war

a

=< '

ja >=

a

x;x

p

x

; x = ; x = 1

.....

xx

na

1

x

0∆x

n1 ∆

a

νa a(x)

Limes x! 0:

a

=

a

x;x

p

x

x!0

! a(x)

und genauso

j'

>=

j'

x;x

>

p

x

x!0

! jx >

jx >: Uneigentli her Hilbert-Vektor, Dira -Vektor

Entwi klungssatz:

ja > = lim

x!0

X

x

j'

x;x

>< '

x;x

ja >

= lim

x!0

X

x

jx >< xja > x

=

Z

dx jx > < xja >

| z

=a(x)

also

ja >=

Z

dx a(x)jx >

[Anmerkung: In der QM gibt ja(x)j

2

die Wahrs heinli hkeit an, den Zustand ja > bei

x zu nden.

Umkehrrelation:

a(x) =< xja >

Aus Entwi klungssatz folgt:

< x

0

ja >

| z

=a(x

0

)

=

Z

dx < x

0

jx >

| z

=Æ(xx

0

)

< xja >

| z

=a(x)

Orthonormierungsrelation

< xjx

0

>= Æ(x x

0

)

Vollst

andigkeitsrelation

Z

dx jx >< xj = 1

5.4. DARSTELLUNGEN 59

5.4 Darstellungen

(x) ist die Darstellung von j > in der Basis jx > (Ortsdarstellung)

(x) =< xj >;

(x) =< jx >

Skalarprodukt (inneres Produkt):

< j >

Eins eins hieben

=

Z

dx < jx >< xj >=

Z

dx

(x)(x)

Basistransformationen:

z.B. von der Ortsdarstellung in die Impulsdarstellung, also

jx >! jp >

jp >=

Z

dx jx > < xjp >

| z

='

p

(x)

w

ahle

'

p

(x) =

1

p

2h

e

i

h

px

(das sind gerade die Eigenfunktionen zum Impulsoperator in der Ortsdarstellung) dann

gilt (Orthogonalit

at):

< pjp

0

>=

Z

dx < pjx >< xjp

0

>=

1

2h

Z

dx e

i

h

(p

0

p)x

= Æ(p p

0

)

genauso Vollst

andigkeit

Z

dp jp >< pj = 1

Beweis:

Z

dp < xjp >

| z

=p(x)

< pjx

0

>

| z

=p

(x

0

)

=< xjx

0

>= Æ(x x

0

)

andererseits (einsetzen von p(x))

1

2h

Z

dp e

i

h

(xx

0

)p

= Æ(x x

0

)

Wie bere hnet si h (x) aus

~

(p)?

(x) =< xj >=

Z

dp < xjp >

| z

='

p

(x)

< pj >

| z

=

~

(p)

Einsetzen ergibt

(x) =

1

p

2h

Z

dp e

i

h

px

~

(p)

gerade die Vors hrift f

ur die Fourier-Transformation. Die FT ist also eine unit

are Ba-

sistransformation im Hilbertraum und bes hreibt den We hsel von der Impuls- in die

Ortsdarstellung (und umgekehrt).

In der QM werden wir den Erweiterten Hilbert-Raum verwenden m

ussen, um kontinu-

ierli he Zust

ande zu bes hreiben, z.B. f

ur freie Teil hen oder f

ur Streuzust

ande. Der

erweiterte Hilbert-Raum umfat die Hilbert-Vektoren und die Dira -Vektoren.

Kapitel 6

Operatoren im Hilbert-Raum

Ein Operator bildet einen Zustand jb > auf ja > ab:

ja >=

^

Ojb >

F

ur beliebiges ja > gilt

1ja > = ja >; Eins-Operator

0ja > = 0; Null-Operator

6.1 Lineare Operatoren

6.1.1 Eigens haften

^

Aja+ b > =

^

Aja > +

^

Ajb >

^

Aja > =

^

Aja >

(

^

A+

^

B)ja > =

^

Aja > +

^

Bja >

^

A

^

Bja > =

^

Aj

^

Ba >

aber

^

A

^

Bja > 6=

^

B

^

Aja >

Kommutator

h

^

A;

^

B

i

^

A

^

B

^

B

^

A

Anitkommutator

61

62 KAPITEL 6. OPERATOREN IM HILBERT-RAUM

h

^

A;

^

B

i

+

^

A

^

B +

^

B

^

A

Entwi klung:

^

f(

^

A) =

X

n

n

^

A

n

Taylor-Reihe

z.B.:

e

^

A

= 1 +

^

A+

1

2

^

A

^

A+

1

6

^

A

^

A

^

A+ :::

6.1.2 Operatoren als dyadis hes Produkt zweier Zust

ande

Im R

3

gilt:

P

3

i

a

i

b

i

= Zahl (Skalarprodukt), a

i

b

j

= 3x3-Matrix (dyadis hes Produkt

zweier Vektoren)

Genauso im Hilbertraum: < ajb > = Zahl, ja >< bj = Operator

Satz: jeder lineare Operator kann als (unendli he oder endli he) Summe dyadis her

Produkte ges hrieben werden:

^

A =

^

A1 =

X

^

Aj'

>

| z

=j

>

< '

j =

X

j

>< '

j

6.1.3 Darstellung von Operatoren

jb >=

^

Aja >

Multiplizieren und Eins eins hieben (diskrete Basis):

< '

jb >=

X

< '

^

Aj'

>< '

ja >

oder

b

=

N

X

A

a

; N lineare Glei hungen

Matrixelemente

A

=< '

j

^

Aj'

>

Analog Ortsdarstellung (kontinuierli he Basis):

jb >=

^

Aja >

6.2. SPEZIELLE LINEARE OPERATOREN 63

< xjb >=

Z

dx

0

< x

^

Ajx

0

>< x

0

ja >

oder

b(x) =

Z

dx

0

A(x; x

0

)a(x

0

)

Matrixelemente

A(x; x

0

) =< xj

^

Ajx

0

>

6.2 Spezielle lineare Operatoren

6.2.1 Zueinander inverse Operatoren

jb >=

^

Aja >; ja >=

^

A

1

jb >

aber:

^

A

1

mu ni ht existieren (singul

are Matrix)

^

A

^

A

1

=

^

A

1

^

A = 1

6.2.2 Zueinander adjungierte Operatoren

Denition:

< bj

^

Aja >=<

^

A

+

bja >

Darstellung:

< '

j

^

Aj'

>=<

^

A

+

'

j'

>=< '

^

A

+

j'

>

also

A

= A

+

oder

A

+

= A

Daraus

^

A

+

+

=

^

A; (

^

A

^

B)

+

=

^

B

+

^

A

+

Spezialfall: selbstadjungierte, hermitis he Operatoren:

^

A

+

=

^

A

A

= A

(Bei reellen Matrix-Elementen handelt es si h also um symmetris he Matrizen.)

Satz: Erwartungswerte hermitis her Operatoren sind reell.

< A >=< j

^

Aj >=<

^

Aj >=< j

^

Aj >

=< A >

Beispiele: Impuls, Energie (Observable)

6.2.3 Unit

are Operatoren

Denition:

^

U

1

=

^

U

+

!

^

U

+

^

U = 1

Unit

are Transformation:

ja

0

> =

^

U ja >

jb

0

> =

^

U jb >

damit

=<

^

Ubj

^

Ua >=< bj

^

U

+

^

U

| z

=1

ja >=< bja >

d.h. das innere Produkt (damit die Norm) sind invariant unter unit

aren Transforma-

tionen. Das entspri ht einer orthogonalen Transformation im R

3

.

Beispiel Zeitentwi klungsoperator (siehe Kapitel 3.5):

j(t) > =

^

U(t)j(0) >

^

U(t) = e

i

h

^

Ht

^

U

+

(t) = e

i

h

^

H

+

t

= e

i

h

^

Ht

6.2. SPEZIELLE LINEARE OPERATOREN 65

also

< (t)j(t) >=< (0)j

^

U

+

^

U j(0) >=< (0)j(0) >

Erhaltung der Norm.

Allgemein: Operatoren der Form

^

T = e

i

^

A

; mit

^

A =

^

A

+

sind unit

ar.

Wie transformiert si h ein Operator

^

A unter unit

arer Transformation?

sei

jb > =

^

Aja >

jb

0

> =

^

A

0

ja

0

>

ja

0

> =

^

U ja >

jb

0

> =

^

U jb >

dann (Eins eins hieben)

^

U jb >

| z

=jb

0

>

=

^

U

^

A

^

U

+

^

U ja >

| z

=ja

0

>

also

^

A

0

=

^

U

^

A

^

U

+

was au h s hon aus der Matrizenre hnung bekannt ist.

6.2.4 Projektionsoperatoren

Betra hte die Aufspaltung

1 =

N

X

n

j'

n

>< '

n

j =

^

P +

^

Q

sei

^

P =

L

X

n

j'

n

>< '

n

j;

^

Q = 1

^

P =

N

X

L+1

j'

n

>< '

n

j;


dann bes hreibt

^

P die Projektion eines beliebigen Zustandes auf einen Teilraum von

H. Ferner gilt

^

P

n

=

^

P ;

^

Q

m

=

^

Q; n;m > 0

6.3 Das Eigenwertproblem hermitis her Operato-

ren

^

H =

^

H

+

; ja >=

^

Hjb >; f

ur beliebiges jb >

f

ur bestimmte Zust

ande gilt:

n

ju

n

>=

^

Hju

n

> n = 1::N

mit ju

n

> als Eigenzust

ande, Eigenvektoren

und

n

R als Eigenwerte zu

^

H.

Beispiel N = 2:

ju

1

>; ju

2

>

sei

1

>

2

1

1

|a >

|b >

|u >

|u >

|a> = H|b>

2

1

2

1

12

|ϕ >λ

λ

|ϕ >

6.3. DAS EIGENWERTPROBLEM HERMITISCHER OPERATOREN 67

Die L

osung des Eigenwertproblems besteht also im AuÆnden von ju

n

> und

n

.

S

atze:

^

Hju

n

>=

n

ju

n

>; = Entartungsindex

1. Orthogonalit

at

= Æ

nn

0

Æ

0

Entartete Eigenzust

ande lassen si h

uber S hmidts hes Verfahren orthogonalisie-

ren.

2. Vollst

andigkeit

X

n

ju

n

>! ju

n

>, weglassen)

^

Hju

n

>=

n

ju

n

>

Wahl einer Darstellung, Basis j'

n

>; n = 1:::N :

N

X

m

0

< '

m

j

^

Hj'

m

0

>

| z

=H

mm

0

< '

m

0

ju

n

>

| z

=u

n

m

0

=

n

< '

m

ju

n

>

| z

=u

n

m

oder

N

X

m

0

[H

mm

0

n

Æ

mm

0

u

n

m

0

= 0

Aus der linearen Algebra: es gibt nur ni httriviale L

osungen, wenn die L

osbar-

keitsbedingung

Det[::: = 0

erf

ullt ist. Das liefert ein Polynom in vom Grade N der Form

0

+

1

+

2

2

+ :::

N

N

= 0

das heit es gibt N , im allgemeinen vers hiedene, L

osungen

1

;

2

; ::::

N

wel he man au h als Spektrum von

^

H bezei hnet. F

ur hermitis he Operatoren

gilt speziell: Alle

n

sind reell und haben, bei Entartung glei he algebrais he und

geometris he Vielfa hheit. D.h. wenn zwei oder mehrere

n

glei h sind (mehrfa he

Nullstellen) dann lassen si h die dazugeh

orenden Zust

ande immer diagonalisieren

(S hmidt). Damit ist die Anzahl der orthogonalen Eigenzust

ande immer glei h

der Dimension des Hilbert-Raumes.

4. Spektraldarstellung

Der Projektor auf den n-ten Eigenzustand lautet:

^

P

n

= ju

n

> =

n

j'

n

>; j'

n

>= VONS

^

Bj'

n

> =

n

j'

n

>

Betra hte beliebigen Zustand j >:

j >=

N

X

n

j'

n

>< '

n

j >

Dann

^

A

^

Bj > =

N

X

n

^

A

n

j'

n

>< '

n

j >=

N

X

n

n

n

j'

n

>< '

n

j >

^

B

^

Aj > =

N

X

n

^

B

n

j'

n

>< '

n

j >=

N

X

n

n

n

j'

n

>< '

n

j >

6.4. DER MESSPROZESS 69

Daraus

(

^

A

^

B

^

B

^

A)j >= 0

Und

h

^

A;

^

B

i

= 0

Satz:

^

A und

^

B haben gemeinsame Basis, wenn sie vertaus hen und umgekehrt.

6.4 Der Messprozess

6.4.1 Vorbemerkungen

Am Messprozess sind drei Komponenten beteiligt:

1. System (Quantenme hanis h)

2. Messapparatur (Quantenme hanis h, klassis h)

3. Beoba hter (klassis h)

Messung bedeutet We hselwirkung zwis hen den Komponenten. Klassis h kann diese

WW beliebig klein gema ht werden und beein usst dabei die Messung ni ht mehr.

In der QM kann man jedo h die WW zwis hen 1. und 2. ni ht verna hl

assigen. Eine

Messung

andert im allgemeinen den Zustand des Systems.

Der Observablen A wird der (hermitis he) Operator

^

A zugeordnet. sei

^

Aj'

>= a

j'

>

und ein beliebiger Zustand j >:

j >=

X

j'

>< '

j >=

X

j'

>

F

ur den Erwartungswert von A ergibt si h damit:

< A >=< j

^

Aj >=

X

a

< jj'

>< '

j >=

X

a

j

j

2

wobei j

j

2

als Wahrs heinli hkeit aufzufassen ist, bei einer Messung den Wert a

zu

nden.


6.4.2 Konsequenzen des Messprozesses

Messung von A:

Aa

a

a

a

Messungz.B. von a1

WF im Zustand zu a1

1

2

3

4

|Ψ> |Ψ (a1)>

Vor der Messung sind alle Werte a

i

m

oegli h, d.h. die WF besteht aus (unbekannten)

Uberlagerungen der Eigenfunktionen j'

>.

Na h der Messung ist ein bestimmtes a

i

(das gemessene) realisiert und die WF geht in

den Zustand j'

i

>

uber. Eine no hmalige Messung w

urde wieder zum selben Ergebnis

(a

i

) f

uhren.

M.a.W.: Die Messung pr

apariert j > im Zustand j(a

i

) >= j'

i

>.

Reduktion der Wellenfunktion

Anderung, St

orung des Zustandes dur h Messung

Projektion auf j'

i

>

Fernwirkung wird m

ogli h, EPR-Paradoxon

S hr

odingers Katze

6.4.3 Kombinierte Messung zweier vertr

agli her Observablen

A und B

Klassis h: Reihenfolge darf si h ni ht auf das Ergebnis auswirken

QM: Wenn Reihenfolge keine Rolle spielt, sind die Observablen A und B vertr

agli h.

Dann gilt:

h

^

A;

^

B

i

= 0

6.4. DER MESSPROZESS 71

d.h. das Experiment zur Messung von A st

ort die Messung von B ni ht und umgekehrt.

^

A und

^

B haben gemeinsame Basis.

Liegt eine pr

azise Messung von A vor (d.h. man kann beliebig oft den selben Wert a

messen), dann ist j > ein Eigenzustand von

^

A zum Eigenwert a

.

Beweis:

Pr

azise Messung A = 0.

(A)

2

=< A

2

> < A >

2

= < j

^

A

2

j > < j

^

Aj >

2

= < '

ja

2

'

> < '

ja

'

>

2

= a

2

< '

j'

>

| z

=1

a

2

< '

j'

>

2

| z

=1

= 0

Betra hte zuerst die Messung von A, dann die von B:

|Ψ(a ,b )>i i

|Ψ(a ,b )>i i

|Ψ> |Ψ(a )>i

praepariert bez. A praepariert bez. A,B

AMessung von a

BMessung von bi i A liefert wieder

das selbeErgebnis ai

Def.: Die Observablen A;B;C:::M bilden einen vollst

andigen Satz von kommutierenden

Observablen, wenn es genau ein gemeinsames System von Eigenzust

anden gibt.

Def.: Ein reiner Zustand wird dur h Messung eines vollst

andigen Satzes von kommu-

tierenden Observablen A;B;C:::M pr

apariert:

j >= j(a

i

; b

i

;

i

:::m

i

) > ja

i

; b

i

;

i

:::m

i

>

Die Zahlen a

i

; b

i

;

i

:::m

i

sind die Quantenzahlen, die den Zustand j > eindeutig fest-

legen.

6.4.4 Kombinierte Messung zweier ni htvertr

agli her Obser-

vablen

Messung von A beiein usst Messung von B und umgekehrt. Es ma ht keinen Sinn

mehr, einen Zustand dur h die Quantenzahlen a

i

und b

i

simultan zu harakterisieren.

Behauptung:

(A)

2

(B)

2

1

4

j < C > j

2

0; mit < C >=< j

h

^

A;

^

B

i

j >

Beweis:

a

^

A < A >

^

b

^

B 

h

^

A;

^

B

i

=

h

a;

^

b

i

(A)

2

= < ja

2

j >

(B)

2

= < j

^

b

2

j >

Daraus folgt:

(A)

2

(B)

2

=< ajaj ><

^

bj

^

bj > j < aj

^

bj > j

2

wobei f

ur die letzte Umformung die S hwartzs he Unglei hung verwendet wurde. F

ur

die weitere Re hnung benutzen wir

a

^

b =

1

2

(a

^

b +

^

ba)

| z

=

+

1

2

h

a;

^

b

i

| z

=

d.h., jeder Operator l

at si h in einen hermitis hen und einen antihermitis hen Anteil

zerlegen. F

ur antihermitis he Operatoren gilt

+

=

6.5. DIE DICHTEMATRIX, DER STATISTISCHE OPERATOR 73

und deshalb

< >=< jj >= < j >= < jj >

= < >

d.h. ihre Erwartungswerte m

ussen rein imagin

ar sein.

Weitere Umformungen:

j < aj

^

bj > j

2

= j < ja

^

bj > j

2

=

1

4

< j j >

| z

reell

+< jj >

| z

imagin

ar

2

=

1

4

j < j j > j

2

| z

0

+

1

4

j < jj > j

2

und damit endli h

(A)

2

(B)

2

1

4

j < j

h

^

A;

^

B

i

j > j

2

Verallgemeinerte Heisenbergs he Uns h

arferelation.

Speziell f

ur Impuls-Ort gilt also:

^

A = x;

^

B = ih

d

dx

und

h

^

A;

^

B

i

= ih:

(x)(p)

1

2

h

6.5 Die Di htematrix, der statistis he Operator

Ein reiner Zustand wird na h 6.4.3 dur h einen Satz von Quantenzahlen a

i

; b

i

; :::m

i

festgelegt:

j >= j(a

i

; b

i

; :::m

i

) >

Dies ist f

ur kompliziertere Stysteme ni ht mehr m

ogli h, f

ur ein Gas w

urde man z.B.

a. 10

23

vers hiedene Quantenzahlen ben

otigen. Wie s hon in der klassis hen Me hanik

muss man statistis he Methoden verwenden. Sind ni ht alle Quantenzahlen bekannt,

so liegt kein reiner Zustand (als Hilbert-Vektor) vor, sondern ein gemis hter Zustand.

Zur Abk

urzung f

uhren wir den Index m stellvertretend f

ur alle Quantenzahlen ein, d.h.

der Satz m bes hreibt den Zustand

j(a

i

; b

i

; :::m

i

) >= j

m

>

als reinen Zustand eindeutig. Sind ni ht alle Quantenzahlen von m bekannt, f

uhrt man

die Wahrs heinli hkeit

P

m

; 0 P

m

1;

X

m

P

m

= 1

ein, mit der si h das System im Zustand j

m

> bendet. Die Wahrs heinli hkeit P

m

muss also ni ht aus quantenme hanis hen Gr

unden eingef

uhrt werden, sondern allei-

ne wegen fehlender Information (unvollst

andiger Preparation) des Systems. F

ur den

Erwartungswert eines Operators

^

A erh

alt man jetzt:

< A >=

X

m

P

m

<

m

j

^

Aj

m

>

also einmal die

ubli he quantenme hanis he Mittelung, bei der die Phasen der Wellen-

funktionen eine Rolle spielen (Interferenzen), und zus

atzli h no h eine Mittelung

uber

die Amplituden.

Man deniert die Di htematrix (eigentli h Di hteoperator)

=

X

m

P

m

j

m

><

m

j

Damit l

asst si h der Erwartungswert umformulieren:

< A > =

X

m

P

m

<

m

j

^

Aj

m

>

=

X

m

P

m

X

ij

<

m

j'

i

> < '

i

j

^

Aj'

j

>

| z

A

ij

< '

j

j

m

>

=

X

ij

A

ij

X

m

P

m

< '

j

j

m

><

m

j'

i

>

| z

ji

=

X

ij

A

ij

ji

=

X

i

(A)

ii

= Spur(A)

6.5. DIE DICHTEMATRIX, DER STATISTISCHE OPERATOR 75

Wir erhalten also

< A >= Spur(A) = Spur(A)

D.h. die Kenntnis von erlaubt die Bere hnung s

amtli her Erwartungswerte, der ge-

mis hte Zustand wird dur h soweit wie dur h die unvollst

andige Pr

aparation m

ogli h

ist, bes hrieben. Entwi kelt si h das System in der Zeit, so gilt

= (t)

und man ben

otigt eine Bewegungsglei hung f

ur (t), die die quantenme hanis he Ver-

allgemeinerung der Liouville-Glei hung darstellt (siehe Abs hn. 7.3

uber die Heisen-

bergs he Bewegungsglei hung f

ur Operatoren).

Kapitel 7

Dynamik der Quantensysteme

7.1 Darstellungen der S hr

odingerglei hung

Zun

a hst darstellungsfreie Formulierung:

ihj

_

(t) >=

^

H(t)j(t) >

Formale L

osung:

j(t) >= e

i

h

R

t

t

0

^

H(t

0

)dt

0

j(t

0

) >

Ortsdarstellung:

ih< xj

_

>

| z

=

_

(x)

=

Z

dx

0

< xj

^

Hjx

0

>

| z

=H(x;x

0

)

< x

0

j >

| z

=(x

0

)

oder

ih

_

(x) =

Z

dx

0

H(x; x

0

)(x

0

); Darstellung in kontinuierli her Basis

genauso w

are eine Darstellung in einer diskreten Basis m

ogli h (\Matrizenme hanik"):

ih _a

n

=

X

m

H

nm

a

m

Wie l

at si h < xj

^

Hjx

0

> ausdr

u ken?

77

78 KAPITEL 7. DYNAMIK DER QUANTENSYSTEME

Betra hte

^

H =

^

P

2

2m

+

^

V

Wir bere hnen zun

a hst

< xjp

2

jx

0

>=

Z Z

dp

0

dp

00

< xjp

0

>

mit

= p

002

= p

002

Æ(p

0

p

00

)

ergibt si h

< xjp

2

jx

0

>=

Z

dp

0

< xjp

0

> p

02



und mit

< xjp >= p(x) =

1

p

2h

e

i

h

px

weiter

=

h

2

Z

dp

d

2

dx

2

e

i

h

p(xx

0

)

= h

2

d

2

dx

2

Æ(x x

0

)

also

< xj

^

Hjx

0

>=

"

h

2

2m

d

2

dx

2

+ V (x)

#

Æ(x x

0

)

und endli h

ih

_

(x) =

h

2

2m

d

2

(x)

dx

2

+ V (x)(x)

7.2. DAS SCHR

ODINGER-BILD 79

7.2 Das S hr

odinger-Bild

wurde bisher verwendet

A !

^

A

S

, wobei

^

A

S

h

o hstens explizit von der Zeit abh

angt. Die Zeitabh

angigkeit

einer Obbservablen ste kt in der Wellenfunktion:

< A(t) >=<

S

(t)j

^

A

S

j

S

(t) >

mit j

S

(t) > als L

osung der zeitabh. S hr

odingerglei hung, formal:

j

S

(t) >=

^

U(t)j(0) >

oder

< A(t) >=< (0)j

^

U

+

(t)

^

A

S

^

U(t)j(0) >

7.3 Das Heisenberg-Bild

man deniert

^

A

H

(t)

^

U

+

(t)

^

A

S

^

U(t); unit

are Transformation

als den Operator

^

A

s

im Heisenberg-Bild. Die Zeitabh

angigkeit ste kt jetzt ganz im

Operator, die Wellenfunktionen sind zeitunabh

angig:

j

H

>= j(0) >

na h wie vor gilt

< A(t) >=<

H

j

^

A

H

(t)j

H

>

Anstatt der S hr

odingerglei hung brau hen wir jetzt eine Bewegungsglei hung f

ur

^

A

H

(t).

d

dt

^

A

H

=

_

^

U

+

^

A

S

^

U +

^

U

+

^

A

S

_

^

U +

^

U

+

_

^

A

S

^

U

mit

_

^

U =

t

e

i

h

^

Ht

=

i

h

^

H

^

U;

_

^

U

+

=

i

h

^

H

^

U

+


erhalten wir

d

dt

^

A

H

=

i

h

(

^

H

^

U

+

^

A

S

^

U

^

U

+

^

A

S

^

U

^

H) +

^

U

+

_

^

A

S

^

U

oder

d

dt

^

A

H

=

i

h

h

^

H;

^

A

H

i

+

^

A

H

t

was als Heisenbergs he Bewegungsglei hung bezei hnet wird.

Man sieht, da Observablen, deren Operatoren mit

^

H vertaus hen, Erhaltungsgr

oen

sind.

Erinnerung an die klassis he Me hanik:

Observable F (p

k

; q

k

; t)

Bewegungsglei hung:

d

dt

F =

F

t

+

X

k

F

q

k

dq

k

dt

+

X

k

F

p

k

dp

k

dt

=

F

t

+

X

k

F

q

k

H

p

k

X

k

F

p

k

H

q

k

=

F

t

+ fH;Fg

mit der Poisson-Klammer fH;Fg. Vers hwinden der Poissonklammer bedeutet hier,

da F eine Konstante der Bewegung (Erhaltungsgr

oe) ist.

Es zei hnet si h die formale Zuordnung ab:

Klassis he Me hanik Quantenme hanik

Poisson-Klammer ! Kommutator

fH;Fg !

i

h

h

^

H;

^

F

i

p(t); q(t) ! p

H

(t); q

H

(t)

7.4. DAS DIRAC-BILD 81

7.4 Das Dira -Bild

We hselwirkungsbild, wi htig f

ur St

orungstheorie (siehe v.w.u.).

Verteilung der Zeitabh. auf j > und

^

A.

^

H =

^

H

0

+

^

H

1

(t)

H

0

zeitunabh., L

osung bekannt (ungest

ortes Problem)

H

1

(kleine) St

orung

Zeitentwi klungsoperator:

^

U

0

(t) = e

i

h

^

H

0

t

und

S

(t) >=

^

U

0

(t)j

D

(t) >

^

A

D

(t) =

^

U

+

0

(t)

^

A

S

^

U

0

(t)

Bewegungsglei hung (Re hnung wie oben)

d

dt

^

A

D

=

i

h

h

^

H

0

;

^

A

D

i

+

^

A

D

t

F

ur die Wellenfunktion:

^

U

+

0

j ih

_

^

U

0

j

D

> +ih

^

U

0

j

_

D

>=

^

H

0

^

U

0

j

D

> +

^

H

1

^

U

0

j

D

>

die jeweils ersten Terme auf beiden Seiten heben si h heraus und man erh

alt:

ihj

_

D

>=

^

U

+

0

^

H

1

^

U

0

j

D

>=

^

H

1D

j

D

>

ihj

_

D

>=

^

H

1D

j

D

>


7.5 Zusammenfassung

^

H =

^

H

0

+

^

H

1

(t)

S hr

odinger Heisenberg Dira

Wellenf. ihj

_

S

=

^

Hj

S

> j

_

H

>= 0 ihj

_

D

>=

^

H

1D

j

D

>

Operator

d

^

A

S

dt

=

^

A

S

t

d

dt

^

A

H

=

i

h

h

^

H;

^

A

H

i

+

^

A

H

t

d

dt

^

A

D

=

i

h

h

^

H

0

;

^

A

D

i

+

^

A

D

t

Teil III

Exakt l

osbare Probleme

83

Kapitel 8

Der harmonis he Oszillator

S hwingungen in einer Dimension

8.1 Hamiltonfunktion und Hamiltonoperator

Potentielle Energie: V (x) =

1

2

Dx

2

, oder mit !

0

=

q

D=m:

V (x) =

m!

2

0

2

x

2

Damit Hamiltonfunktion:

H(x; p) =

p

2

2m

+

m!

2

0

2

x

2

In der klassis hen Me hanik folgt aus den Hamiltons hen Glei hungen

_x =

H

p

=

p

m

_p =

H

x

= m!

2

0

x

die Bewegungsglei hung f

ur x(t):

x + !

2

0

x = 0

die die allgemeine L

osung

85

86 KAPITEL 8. DER HARMONISCHE OSZILLATOR

x(t) = a

1

e

i!

0

t

+ a

2

e

i!

0

t

besitzt (harmonis he S hwingungen mit der Frequenz !

0

).

Die quantenme hanis he Behandlung geht so:

1. Hamiltonoperator:

^

H =

p

2

2m

+

m!

2

0

2

x

2

2. Zeitabh. S hr

odingerglei hung:

^

Hj(t) >= ihj

_

(t) >

3. Daraus Bere hnung von j(t) >, insbesondere station

are L

osungen und die dazu-

geh

orenden Energieniveaus. Formale L

osung:

j(t) >=

X

n

n

e

i

^

Ht

h

jn >

w

ahle

^

Hjn >= E

n

jn >

d.h. die jn > sind Eigenfunktionen von

^

H zu den Eigenwerten E

n

und bilden damit

ein VONS (

^

H ist hermitis h). Dann

j(t) >=

X

n

n

e

i

E

n

t

h

jn >=

X

n

n

e

i

!

n

t

h

jn >

wobei

!

n

E

n

h

(A htung: !

0

= E

0

=h ni ht mit dem !

0

aus

^

H verwe hseln!)

8.2. ORTSDARSTELLUNG 87

8.2 Ortsdarstellung

^

Hjn >= E

n

jn >

Eins hieben der Eins und Projektion auf < xj:

Z

dx

0

< xj

^

Hjx

0

>< x

0

jn >= E

n

< xjn >

| z

n

(x)

und damit

h

2

2m

d

2

dx

2

+

m!

2

0

2

x

2

!

n

(x) = E

n

n

(x)

+ Randbedingungen, normalerweise fordert man

n

(x)! 0 f

ur x! 1

Lineares Eigenwertproblem, aus dem eindeutig die Funktionen

n

(x) sowie das Spek-

trum E

n

folgt. L

osung z.B. dur h die Sommerfelds he Polynommethode, siehe Nolting

V.1, S 288 . Hier folgt der elegantere Weg:

8.3 Fo kdarstellung

Man deniert zun

a hst zwei Operatoren:

a =

1

p

2h

p

m!

0

x+ i

p

p

m!

0

!

a

+

=

1

p

2h

p

m!

0

x i

p

p

m!

0

!

dann ist

[a; a

+

=

i

2h

0

B

[x; p

| z

ih

[p; x

| z

ih

1

C

A

= 1

Der Hamiltonoperator l

at si h ausdr

u ken als (einsetzen)

^

H =

1

2

h!

0

(aa

+

+ a

+

a) = h!

0

a

+

a +

1

2

= h!

0

^

N +

1

2

mit dem hermitis hen Besetzungszahloperator

^

N a

+

a

Damit zeitunabh. S hr

odingergl.:

h!

0

^

N +

1

2

jn >= E

n

jn >

oder

^

N jn >= N

n

jn >

wobei

N

n

E

n

h!

0

1

2

(8.1)

Das Funtionensystem jn > hat vers hiedene wi htige Eigens haften, die im folgenden

bewiesen werden.

8.3.1 Semidenites Spektrum

Es gilt N

n

0, Beweis:

< j

^

N j >=< ja

+

aj >=< ajaj >= jjajj

2

8.3.2 Verni htungsoperator

Es gilt

^

Najn >= (N

n

1)ajn >

8.3. FOCKDARSTELLUNG 89

Beweis:

^

Na = a

+

aa = (aa

+

1)a = a

^

N a

^

Najn >= a

^

N jn > ajn >= a(N

n

1)jn >= (N

n

1)ajn >

also ist der Zustand m >= ajn > au h Eigenzustand zu

^

N mit dem Eigenwert N

m

=

N

n

1. Deshalb wird a als Verni htungsoperator bezei hnet, weil er ein \Energiequant"

verni htet.

8.3.3 Grundzustand

Wegen 8.3.1 muss ein Grundzustand existieren, er sei bezei hnet als j0 > und deniert

dur h 0 N

0

1. Was ergibt die Anwendung von a auf den Grundzustand? Zun

a hst

^

Naj0 >= (N

0

1)aj0 >= N

1

aj0 >

Das kann ni ht sein, weil N

1

< 0, in Widerspru h zu (8.3.1). Also muss gelten

aj0 >= 0

Damit ist der Grundzustand deniert, d.h. er l

at si h bere hnen. Der Eigenwert N

0

folgt sofort aus

N

0

=< 0j

^

N j0 >=< 0ja

+

aj0 >=< a0ja0 >= 0

oder

N

0

= 0

8.3.4 Erzeugungsoperator

Es gilt

^

Na

+

jn >= (N

n

+ 1)a

+

jn >

Beweis:

^

Na

+

= a

+

aa

+

= a

+

(a

+

a+ 1) = a

+

^

N + a

+

^

Na

+

jn >= a

+

^

N jn > +a

+

jn >= a

+

(N

n

+ 1)jn >= (N

n

+ 1)a

+

jn >

also ist der Zustand m >= a

+

jn > au h Eigenzustand zu

^

N mit dem Eigenwert N

m

=

N

n

+ 1. Deshalb wird a

+

als Erzeugungsoperator bezei hnet, weil er ein Energiequant

erzeugt.

Damit lassen si h, ausgehend vom Grundzustand, alle h

oheren Zust

ande bis auf eine

Konstante

n

konstruieren:

j1 >=

1

a

+

j0 >; j2 >=

2

a

+

j1 >=

2

1

a

+

2

j0 >; et :

oder

jn >=

n

n1

:::

1

a

+

n

j0 >

die

n

k

onnen o.B.d.A. reell gew

ahlt werden und werden dur h die Normierung fest-

gelegt. Sei der Zustand jn 1 > s hon normiert,

< n 1jn 1 >= 1

dann soll gelten:

1 =< njn > =

2

n

< a

+

(n 1)ja

+

jn 1 >

=

2

n

< n 1jaa

+

jn 1 >

=

2

n

< n 1ja

+

a + 1jn 1 >

=

2

n

< n 1jn 1 + 1jn 1 >

=

2

n

n < n 1jn 1 >=

2

n

n

also

n

=

1

p

n

Damit haben wir die

8.4. EIGENFUNKTIONEN IN DER ORTSDARSTELLUNG 91

8.3.5 Eigenzust

ande

jn >=

1

p

n!

a

+

n

j0 >

8.3.6 Spektrum

aus 8.3.4 folgt sofort N

n

= N

0

+ n und mit N

0

= 0 aus 8.3.3:

N

n

= n

oder aus (8.1)

E

n

= h!

0

n+

1

2

in

Ubereinstimmung mit der intuitiven Bohrs hen Erkl

arung des s hwarzen Strahlers.

8.4 Eigenfunktionen in der Ortsdarstellung

Konstruktion des Grundzustandes aus 8.3.3:

aj0 >= 0;

Z

dx

0

< xjajx

0

> < x

0

j0 >

| z

0

(x

0

)

= 0

Ortsdarstellung von a:

< xjajx

0

>=

1

p

2h

p

m!

0

x +

h

p

m!

0

d

dx

!

Æ(x x

0

)

Umskalierung: y = x

q

m!

0

=h

y +

d

dy

!

0

(y) = 0

Integration (Trennung der Variablen) und Normierung:

0

(y) =

m!

0

h

1=4

e

1

2

y

2


F

ur die angeregten Zust

ande erh

alt man na h 8.3.5:

n

(y) =

1

p

n!

1

2

n=2

y

d

dy

!

n

0

(y)

was si h au h s hreiben l

at als:

n

(y) =

m!

0

h

1=4

1

p

n!

1

2

n=2

e

1

2

y

2

H

n

(y)

wobei H

n

(y) die Hermits hen Polynome bezei hnet:

H

n

(y) = e

1

2

y

2

y

d

dy

!

n

e

1

2

y

2

Anmerkung: Das hermits he Polynom H

n

ist reell und vom Grade n. Auerdem gilt

die Symmetrie

H

n

(y) = (1)

n

H

n

(y)

was dann entspre hend au h f

ur die Wellenfunktionen gilt.

Ψ(x),V(x)

Ψ1(x)

Ψ2(x)

V(x) ~ x2

x

E1=3/2hν

E0=1/2hν

0

Kapitel 9

Das Wasserstoproblem

analog zum Kepler-Problem aus klassis her Me hanik

9.1 Impulsoperator und Translation

betra hte den Translationsoperator

^

T (a)(x) = (x+ a); (x) sei beliebiger Zust.

^

T (a) bes hreibt oensi htli h eine Translation in x-Ri htung um den Wert a.

Andererseits gilt (Taylor-Reihe):

(x+ a) = (x) +

d

dx

a+

1

2

d

2

dx

2

a

2

+ :::

=

1

X

n=0

1

n!

a

d

dx

!

n

(x) = e

a

d

dx

(x)

und damit

^

T (a) = e

iap

h

als unit

arer Translationsoperator. Der sogenannte Generator der Translation bes hreibt

innitesimale Translationen und lautet (Taylor):

^

T

"

(") = 1 +

i"p

h

93

94 KAPITEL 9. DAS WASSERSTOFFPROBLEM

Translationsinvariante Probleme:

sei

^

H'(x) = E'(x);

dann gilt

^

H'(x + a) = E'(x+ a);

wenn

h

^

H;

^

T (a)

i

= 0

d.h. '(x) ist glei hzeitig Eigenfunktion von

^

H und

^

T . Andererseits gilt dann aber au h

^

H(x + a) =

^

T (a)

^

H(x)

^

T (a)

+

=

^

T (a)

^

T (a)

+

^

H(x) =

^

H(x)

d.h. Translationsinvarianz von

^

H.

Zwis henbemerkung:

sei '(x) Eigenfunktion zu

^

T mit Eigenwert . Wegen

^

T (a)'(x) = '(x+ a) = '(x)

gilt au h

'(x + na) =

n

'(x)

und deshalb

'(x) = e

ikx

u

k

(x); mit u

k

(x) = u

k

(x+ a)

Fuer periodis he Hamiltonoperatoren ist das dann au h Eigenfunktion zu

^

H, was als

Blo hs hes Theorem bezei hnet wird.

9.1. IMPULSOPERATOR UND TRANSLATION 95

9.2 Drehimpuls und Rotation

Betra hte innitesimale Drehung um Winkel Æ' in xyEbene:

x

0

= x+ yÆ'

y

0

= y xÆ'

z

0

= z

^

R

z

(Æ')(r) = (r

0

)

^

R

z

ist der Generator

der Rotationen um z-A hse

y’y

δϕ0

x’

x

(x

0

; y

0

; z

0

) = (x + yÆ'; y xÆ'; z)

= (r) +

"

x

y

y

x

#

Æ'

=

1

i

h

^

L

z

(r);

mit

^

L

z

= (^r

^p)

z

also

^

R

z

(Æ') = 1

i

h

^

L

z

Daraus folgt s hlieli h der Operator f

ur Drehungen um endli he Winkel:

D(') = lim

n!1

^

R

n

('=n) = e

i

h

'

^

L

Drehimpulsoperator (hermitis h) in Ortsdarstellung:

^

L =^r

^p = ih

2

6

4

z

y

y

z

x

z

z

x

y

x

x

y

3

7

5

und in Kugelkoordinaten

^

L = ih

2

6

6

4

sin'

+ ot os'

'

os'

+ ot sin'

'

'

3

7

7

5

Vertaus hungsrelationen:

h

^

L

x

;

^

L

y

i

= ih

^

L

z

; und zyklis h

h

^

L;

^

L

2

i

= 0

d.h. die Observablen <

^

L

2

> und eines der drei <

^

L

i

> sind glei hzeitig s harf messbar.

9.3 Symmetrien und Erhaltungsgr

oen

Erinnerung an klass. Me hanik: zyklis he Variable

Beispiel Freies Teil hen: H(p; q) = H(p) =

p

2

2m

q ist zyklis h, folgli h ist H invariant unter der Trafo q ! q + a (Translation um

beliebiges a). Weiter gilt

_p =

H

q

= 0

also ist p = onst., der Impuls ist eine konstante der Bewegung, Impulserhaltung

Noether-Theorem: Das Vorhandensein einer Symmetrietransformation, unter der H

invariant ist (hier: zyklis he Variable) bedingt einen Erhaltungssatz.

In der Quantenme hanik:

Translationsinvarianz: Wegen (freies Teil hen)

[

^

H;

^

T (a) = 0 f

ur alle a

gilt au h

9.3. SYMMETRIEN UND ERHALTUNGSGR

OSSEN 97

[

^

H; p = 0

und daraus (Heisenbergbild):

d

dt

p =

i

h

[

^

H; p = 0

also

d

dt

= 0

Genauso gilt bei Rotationsinvarianz

[

^

H;

^

L

i

= 0; i = x; y; z

das ist nur m

ogli h, wenn

^

H nur von p und von r abh

angt, was bei einer Zentralkraft

der Fall ist. Dann gilt aber au h

[

^

H;

^

L

2

= 0

und damit sind die einzelnen Drehimpulskomponenten sowie der Betrag von L Erhal-

tungsgr

oen:

d

dt

<

^

L >= 0;

d

dt

<

^

L

2

>= 0

Wegen der Vertaus hbarkeit lassen si h simultane Eigenzust

ande zu

^

H,

^

L

2

und zu

einem

^

L

i

, z.B.

^

L

z

nden:

^

H' = E'

^

L

2

' = h

2

'

^

L

z

' = h'

9.4 Drehimpulseigenzust

ande

Konstruktion von jj;m >

Operatorenmethode

x

y

z

L

L z

L

2

und L

z

sind simultan bestimmbar.

9.4.1 Eigenwerte

sei

^

J

2

jj;m > =

j

jj;m >

^

J

z

jj;m > =

m

jj;m >

mit

^

J

^

L=h. Auerdem gilt (Hermitizit

at)

j

;

m

R;

j

0

und

< j;mjj

0

; m

0

>= Æ

jj

0

Æ

mm

0

Wir bilden

9.4. DREHIMPULSEIGENZUST

ANDE 99

< j;mj

^

J

2

x

jj;m > + < j;mj

^

J

2

y

jj;m >=< j;mj

^

J

2

^

J

2

z

jj;m >=

j

2

m

0

daraus

q

j

m

q

j

(9.1)

9.4.2 Leiteroperatoren

Wir f

uhren die Operatoren

^

J

+

=

^

J

x

+ i

^

J

y

;

^

J

=

^

J

x

i

^

J

y

ein. Dann gilt:

^

J

+

+

=

^

J

;

^

J

2

=

^

J

+

^

J

+

^

J

2

z

^

J

z

Weiter gelten die Kommutatorrelationen:

h

^

J

;

^

J

z

i

=

^

J

h

^

J

+

;

^

J

i

= 2

^

J

z

h

^

J

2

;

^

J

i

= 0

Behauptung:

^

J

jj;m > ist

1. immer no h Eigenzustand von

^

J

2

zu

j

2. aber au h Eigenzustand von

^

J

z

zu

m

1

Beweise:

zu 1.)

^

J

2

^

J

jj;m >=

^

J

^

J

2

jj;m >=

j

^

J

jj;m >

zu 2.)

^

J

z

^

J

jj;m > =

^

J

^

J

z

^

J

jj;m >

=

^

J

(

m

1)jj;m >

= (

m

1)

^

J

jj;m >

also gilt au h:

^

J

jj;m >=

jj;m 1 >;

C

Damit haben wir die Leiteroperatoren gefunden:

^

J

+

: Aufsteigeoperator

^

J

: Absteigeoperator

Die Konstanten

folgen wie

ubli h aus der Normierung

zun

a hst seien die jj;m 1 > normiert:

<

^

J

j;mj

^

J

jj;m >= j

j

2

< j;m 1jj;m 1 >= j

j

2

daraus

< j;mj

^

J

^

J

jj;m > = < j;mj

^

J

2

^

J

2

z

^

J

z

jj;m >

= (

j

2

m

m

) < j;mjj;m >

wenn jj;m > ebenfalls normiert sein soll, muss gelten

j

j =

q

j

2

m

m

(9.2)

Die Eigenwerte

m

sind aber wegen (9.1) na h oben und unten bes hr

ankt. Deshalb

muss es wegen

^

J

+

jj;m >=

+

jj;m+ 1 >

ein bestimmtes m

max

geben, f

ur wel hes gilt:

9.4. DREHIMPULSEIGENZUST

ANDE 101

^

J

+

jj;m

max

>= 0

was nur mit

+

= 0 gehen kann. Aus (9.2) folgt dann

j

=

max

(

max

+ 1)

genauso ergibt die Bes hr

ankung na h unten:

^

J

jj;m

min

>= 0

daraus

= 0 und

j

=

min

(

min

1)

Glei hsetzen der beiden Ausdr

u ke f

ur

max

und

min

ergibt s hlieli h

(

max

+

min

) (

max

min

+ 1)

| z

>0 weil

max

min

= 0

Also muss

max

=

min

j 0

und damit au h

j

= j(j + 1)

sein. Die

m

werden aber in ganzen Zahlen dur hlaufen:

f

m

g = fj;j + 1;j + 2; ::::j 2; j 1; jg

das ist nur m

ogli h wenn j ganz oder halbzahlig ist. Von halbzahligem j werden wir

beim Spin Gebrau h ma hen. Hier gen

ugt es zun

a hst, j ganzzahlig anzunehmen.

Damit haben wir zusammenfassend gefunden:

^

J

2

jj;m > = j(j + 1)jj;m > (9.3)

^

J

z

jj;m > = mjj;m > (9.4)

wobei j und m ganze Zahlen sind,

j 0 und j m j

gilt.

9.4.3 Eigenzust

ande in der Ortsdarstellung

Die angepassten Koordinaten f

ur zentralsymmetris he Probleme sind Kugelkoordinaten

r; '; . Wir su hen also

< ; 'jj;m > Y

j;m

(; ')

Aus (9.4) erhalten wir

i

'

Y

jm

= mY

jm

und na h Integration

Y

jm

(; ') = f

jm

()e

im'

Die Bestimmung der f

jm

folgt am besten aus

^

J

+

jj; j >= 0

In der Ortsdarstellung

e

i'

+ i ot

'

!

f

jj

()e

ij'

= 0

9.5. DER HAMILTONOPERATOR DES WASSERSTOFFATOMS 103

j ot

!

f

jj

() = 0

na h Integration

f

jj

() = (sin )

j

und

Y

jj

(; ') = (sin )

j

e

ij'

Die Konstante aus Normierung:

Z

2

0

d'

Z

1

1

d( os ) jY

jj

j

2

= 1

Alle anderen Y

jm

folgen na h Anwendung des Absteigeoperators:

^

J

Y

jj

=

Y

j;j1

et . Die Y

lm

(; ') sind dabei gerade die Kugel

a henfunktionen, siehe z.B. Bronstein.

9.5 Der Hamiltonoperator des Wasserstoatoms

Elektron um iegt Kern mit Z Protonen.

Formulierung in Kugelkoordinaten

V (r) =

Ze

2

4

0

r

zeitunabh. S hr

odingerglei hung:

r;;'

=

2

rr

+

2

r

r

+

1

r

2

sin

2

2

''

+

1

r

2

2

+

ot

r

2

| z

=

^

L

2

h

2

r

2


"

h

2

2m

2

rr

+

2

r

r

^

L

2

h

2

r

2

!

+ V (r)

#

(r; ; ') = E(r; ; ')

Produktansatz mit Kugel

a henfunktionen

(r; ; ') = (r)Y

`m

(; ')

dann gilt au h

^

L

2

= (r)

^

L

2

Y

`m

= h

2

`(`+ 1)

ist Eigenzustand zu

^

L

2

und

^

H, weil [

^

L;

^

H = 0

Dur h Produktansatz ergibt si h die eindimensionale Glei hung:

"

h

2

2m

2

rr

+

2

r

r

`(`+ 1)

r

2

!

+ V (r)

#

(r) = E(r)

Damit das eektive Potential:

V

eff

(r) =

h

2

`(`+ 1)

2mr

2

+ V (r)

V

r

~-1/r

~1/r2

eff (r)

Wobei der erste Term auf der re hten Seite das sogenannte Zentrifugalpotential be-

s hreibt. Die Substitution u(r) = r(r) f

uhrt auf das

9.6. RADIALPROBLEM 105

9.6 Radialproblem

"

h

2

2m

2

rr

+ V

eff

(r)

#

u(r) = Eu(r)

Radialglei hung, ein-dimensionale S hr

odingerglei hung

Allgemeine Forderung an Potential: Sei

lim

r!1

V (r) = 0; lim

r!0

r

2

V (r) = 0;

Verhalten am Ursprung (r ! 0):

u

00

`(`+ 1)

r

2

u = 0

hat die L

osung

u(r) = r

k

; k = `+ 1; `

r

`

s heidet aus, wegen Pol am Ursprung (ni ht normierbar), also

u(r) = r

`+1

; (r ! 0)

Asymptotis hes Verhalten (r !1), V

eff

! 0:

h

2

2m

2

rr

+ E

!

u(r) = 0

Gebundene Zust

ande: E < 0. L

osung:

u(r) = e

r

mit

=

p

2mE

h

> 0


Wegen Normierbarkeit ist nur die L

osung

u(r) = e

r

; (r !1)

sinnvoll. Es folgt die Konstruktion der L

osung im gesamten Berei h mit Hilfe der

Sommerfelds hen Polynommethode.

Ansatz:

u(r) = e

r

r

`+1

P (r)

mit

P (r) =

X

k

k

r

k

Substitutionen (Einf

uhrung dimensionsloser Variablen):

=

Zr

a

B

; a

B

=

4

0

h

2

m

e

e

2

0:53

A

=

1

Z

s

E

E

R

; E

R

=

h

2

2m

e

a

2

B

13:6eV

Dimensionslose Radialglei hung:

d

2

d

2

+

2

`(`+ 1)

2

2

!

u() = 0

Der Ansatz lautet jetzt

u() = e

`+1

P ()

F

ur das Polynom P ergibt si h die Dierentialglei hung

P

00

() + 2

`+ 1

!

P

0

() +

2

[1 (`+ 1)P () = 0

Mit

9.6. RADIALPROBLEM 107

P () =

k

0

X

k=0

k

k

erhalten wir s hlieli h

k

0

X

k=0

k1

f

k+1

(k + 1)[k + 2(`+ 1) + 2

k

[1 (k + ` + 1)g = 0

was f

ur alle gelten mu. Also mu jede ges hweifte Klammer f

ur si h vers hwinden

und man erh

alt die Rekursionsformel:

k+1

= 2

(`+ k + 1) 1

(k + 1)(k + 2`+ 2)

k

(9.5)

Fragestellung: Kann k

0

unendli h sein? F

ur k !1 gilt

k+1

k

=

2

k

Betra htet man dagegen die Reihe f

ur e

2

:

e

2

=

X

k

(2)

k

k!

=

X

k

k

k

;

k

=

(2)

k

k!

so erh

alt man daraus

k+1

k

=

2

k + 1

2

k

also w

urde si h die Potenzreihe f

ur groes wie

P () / e

2

verhalten. Damit w

are aber

u() / e

und ni ht mehr normierbar. Also mu die Potenzreihe abbre hen und k

0

endli h sein.

Die Rekursion (9.5) bri ht genau dann bei k

0

ab, wenn gilt

(`+ k

0

+ 1) 1 = 0

oder

=

1

`+ k

0

+ 1

9.6.1 Hauptquantenzahl

Weil k

0

und ` ganzzahlig sind, entspri ht das aber einer Quantisierungsvors hrift f

ur

und damit au h f

ur E. Man erh

alt wegen

n = `+ k

0

+ 1;

mit der ganzen Zahl n = 1=n, oder

E

n

=

Z

2

E

R

n

2

; n = 1; 2::1

mit der Hauptquantenzahl n.

9.6.2 Bahndrehimpulsquantenzahl

Wegen k

0

0 und ` 0 mu gelten

0 ` < n

aber E

n

ist unabh

angig von `, d.h. es liegt eine n-fa he Entartung vor. Das ist ein

Spezialfall des 1=r-Potentials und wird au h als \zuf

allige Entartung" bezei hnet.

Die Quantenzahl ` = 0:::n 1 bezei hnet man als Bahndrehimpulsquantenzahl

9.6.3 Magnetis he Quantenzahl

F

ur die Quantenzahl m gilt

9.7. WELLENFUNKTIONEN DES WASSERSTOFFATOMS 109

m = `; :::0::::; `

Die Energieeigenwerte E

n

sind unabh

angig von m, es liegt also eine weiter 2`+1-fa he

Entartung vor. Dies ist f

ur alle kugelsymmetris hen Probleme der Fall.

Die Quantenzahl m bezei hnet man als Magnetis he Quantenzahl

Damit ergibt s h der Entartungsgrad

g

n

=

n1

X

`=0

(2`+ 1) = n

2

f

ur das n-te Niveau. Mit Spin kommt no hmal ein Faktor 2 dazu.

9.7 Wellenfunktionen des Wasserstoatoms

n`m

(r; ; ') = N

n`

e

Zr

na

B

2Zr

na

B

`

L

2`+1

n+`

(2Zr=na

B

)

| z

=R

n`

(r)

Y

`m

(; ')

Hier bezei hnet L die zugeordneten Laguerre-Polynome:

L

k

p

(x) = (1)

k

pk

X

=0

(1)

(p!)

2

(p k )!(k + )!!

x

=

d

k

dx

k

L

p

(x)

mit den gew

ohnli hen Laguerre-Polynomen

L

p

(x) = e

x

d

p

dx

p

x

p

e

x

; p = 0; 1:::

wel he L

osungen der Laguerres hen Dierentialglei hung sind:

"

x

d

2

dx

2

+ (1 x)

d

dx

+ p

#

L

p

(x) = 0

F

ur die Normierungskonstanten erh

alt man

N

n`

=

Z

a

B

3=2

2

n

2

(n+ `)!

v

u

u

t

(n ` 1)!

(n+ `)!


9.7.1 Radiale Aufenthaltswahrs heinli hkeit

e

in Intervall r; r + dr

w

n`

(r)dr = r

2

dr

Z

0

sin d

Z

2

0

d' j

n`m

j

2

= r

2

drjR

n`

(r)j

2

wnl(r)

r

10

21

20

n ` 1 Knoten

9.7.2 Winkelverteilung

w

`m

(; ')d = d

Z

1

0

r

2

dr j

n`m

j

2

= djY

`m

(; ')j

2

mit dem Raumwinkel d = sin dd'.

Wegen

Y

`m

(; ') / P

m

`

( os )e

im'

; P

m

`

(x) : Legendre Polynome

gilt

w

`m

(; ') = w

`m

();

d.h. die Winkelverteilung ist rotationssymmetris h bez

ugl. der z-A hse.

9.7. WELLENFUNKTIONEN DES WASSERSTOFFATOMS 111

9.7.3 Polardiagramme

r = w

`m

()

z

x

l=0

m=0

z

x

l=1

m=0

z

x

l=1

m=±1

s-Zustand p-Zust

ande

z

x

l=2

m=0

z

x

l=2

m=±1

z

x

l=2

m=±1

d-Zust

ande

9.7.4 Terms hema

n = 1 K-S hale ` = 0; m = 0

n = 2 L-S hale ` = 0; 1 m = 0; m = 0;1

n = 3 M-S hale ` = 0; 1; 2 m = 0; m = 0;1; m = 0;1;2

n = 4 O-S hale :::::

E1

E3 3s2s1s

2p3p 3d

E2

Uberg

ange dur h St

orung von auen (Kopplung an Li htfeld), Spektralserien.

Teil IV

N

aherungsmethoden

113

Kapitel 10

Zeitunabh

angige St

orungstheorie

10.1 Problemstellung

sei die L

osung des ungest

orten Problems (z.B. H-Atom) bekannt:

^

H

0

jn >= E

(0)

n

jn >; jn > VONS

Gesu ht ist die gen

aherte L

osung des gest

orten Problems

^

Hj >= Ej >

mit dem Hamiltonoperator

^

H =

^

H

0

+

^

V

Die N

aherungsl

osung ist gut, wenn

^

V klein

Beispiel: H-Atom in

auerem E-Feld, Stark-Eekt

V = eEr

Wir parametrisieren die S

orung

V = eEr

! 0: kleine St

orung

= 1: volle St

orung

115

116 KAPITEL 10. ZEITUNABH

ANGIGE ST

ORUNGSTHEORIE

10.2 Der ni htentartete Fall

zu jedem Eigenwert E

(0)

n

geh

ort genau ein jn >

(

^

H

0

+

^

V )j

n

() >= E

n

()j

n

() > (10.1)

= 0 : j

n

(0) >= jn >; E

n

(0) = E

(0)

n

Entwi klung aller Gr

oen, die si h bei St

orung

andern, na h :

E

n

() = E

(0)

n

+ E

(1)

n

+

2

E

(2)

n

+ ::: =

1

X

`=0

=

`

E

(`)

n

j

n

() > = jn > +j

(1)

n

> +

2

j

(2)

n

> +::: =

1

X

`=0

=

`

j

(`)

n

F

ur = 1 erh

alt man daraus die L

osung f

ur die volle St

orung.

Einsetzen der Entwi klungen in (10.1) ergibt:

h

^

H

0

+

^

V E

n

E

(1)

n

2

E

(2)

n

:::

i h

jn > +j

(1)

n

+ :::

i

= 0

Sortieren na h Termen mit

`

0

(

^

H

0

E

(0)

n

)jn > = 0 trivial erf

ullt (10.2)

1

^

H

0

j

(1)

n

+

^

V jn > = E

(0)

n

)j

(1)

n

> +E

(1)

n

jn > (10.3)

2

^

H

0

j

(2)

n

+

^

V j

(1)

n

> = E

(0)

n

)j

(2)

n

> +E

(1)

n

j

(1)

n

> +E

(2)

n

jn > (10.4)

et .

Hierar hie, sukzessive L

osung ergibt s hlieli h j

(`)

n

>; E

(`)

n

In der 1. Ordnung:

Zun

a hst entwi kelt man j

(1)

n

> na h der ungest

orten Basis jn >:

j

(1)

n

>=

X

m

a

nm

jm > (10.5)

10.2. DER NICHTENTARTETE FALL 117

und erh

alt bis zur 1.Ordnung in :

j

n

() >= jn > +j

(1)

n

>= jn > +

X

m

a

nm

jm > (10.6)

Weil aber au h j

n

() > normiert sein soll, folgt

1 =<

n

()j

n

() >= < njn >

| z

=1

+(a

nn

+ a

nn

)

wobei h

ohere Ordnungen in in selbstkonsistenter Weise weggelassen werden. Das

ergibt aber die Bedingung

a

nn

+ a

nn

= 0

oder

a

nn

= i; R

Damit l

at si h (10.6) s hreiben als

j

n

() >= (1 + i)jn > +

X

m6=n

a

nm

jm >= e

i

jn > +

X

:::

Da jn > jedo h mit beliebigem Phasenfaktor, z.B. e

i

multipliziert werden kann,

ohne die Physik zu ver

andern, kann man die e-Funktion wieder wegtransformieren und

erh

alt

j

n

() >= jn > +

X

m6=n

a

nm

jm >

oder aber man setzt einfa h a

nn

= 0.

Einsetzen von (10.5) in (10.3) ergibt:

X

m

E

(0)

n

E

(0)

m

a

nm

jm > +E

(1)

n

jn >=

^

V jn >

und na h Multiplikation mit < kj:

ANGIGE ST

ORUNGSTHEORIE

E

(0)

n

E

(0)

k

a

nk

+ E

(1)

n

Æ

nk

=< kj

^

V jn >

Auswertung f

ur k = n ergibt die Energiekorrektur zu E

n

in 1. Ordnung St

orungstheorie:

E

(1)

n

=< nj

^

V jn >

F

ur k 6= n lassen si h die KoeÆzienten

a

nk

=

< kj

^

V jn >

E

(0)

n

E

(0)

k

bere hnen und damit die Korrektur der Wellenfunktionen in 1. Ordnung St

orungstheo-

rie:

j

(1)

n

>=

X

m

a

nm

jm >=

X

m6=n

jm >

< mj

^

V jn >

E

(0)

n

E

(0)

m

was bei Entartung, d.h. E

(0)

n

= E

(0)

m

bei m 6= n s hief ginge. Den Fall der Entartung

vers hieben wir deshalb auf sp

ater.

In 2.Ordnung St

orungstheorie verfahren wir genauso:

j

(2)

n

>=

X

m

b

nm

jm > (10.7)

ergibt, eingesetzt in (10.4):

X

m

E

(0)

n

E

(0)

m

b

nm

jm > +E

(1)

n

X

m

a

nm

jm > +E

(2)

n

jn >=

X

m

a

nm

^

V jm >

Multiplikation mit < kj ergibt f

ur k = n die Energiekorrektur zu E

n

in 2. Ordnung

St

orungstheorie:

E

(2)

n

=

X

m6=n

a

nm

< nj

^

V jm >=

X

m6=n

j < nj

^

V jm > j

2

E

(0)

n

E

(0)

m

Zusammenfassung:

10.3. BEISPIEL: DER QUADRATISCHE STARK-EFFEKT 119

E

n

= E

(0)

n

+ < nj

^

V jn > +

X

m6=n

j < nj

^

V jm > j

2

E

(0)

n

E

(0)

m

+O(V

3

)

j

n

> = jn > +

X

m6=n

jm >

< mj

^

V jn >

E

(0)

n

E

(0)

m

+O(V

2

)

10.3 Beispiel: Der quadratis he Stark-Eekt

Betra hte H-Atom im Grundzustand:

< rj100 >=

100

(r) =

2

q

4a

3

B

e

r=a

B

+ St

orung dur h konstantes elektris hes Feld

E = (0; 0; E

z

);

^

V = eE^r = eE

z

z

1.Ordnung:

E

(1)

100

=< 100j

^

V j100 >/

Z

d

3

r ze

2r=a

B

= 0

2.Ordnung:

Man verwendet z = r os / rY

10

(; '):

< n`mjzj100 > /

Z

d

3

rR

n`

(r)Y

`m

(; ')e

r=a

B

rY

10

(; ')

/ Æ

m0

Æ

`1

Z

dr r

3

R

n`

(r)e

r=a

B

und damit

E

(2)

100

= e

2

E

2

z

1

X

n=2

j < n10jzj100 > j

2

E

(0)

1

E

(0)

n

=

9

4

a

3

B

E

2

z

quadratis her Stark-Eekt

induziertes Dipolmoment

V = PE, wobei P / E, und damit V / jEj

2

ANGIGE ST

ORUNGSTHEORIE

+ +

e-

e-E

mit Feldohne Feld

Dipolmoment P~E wird induziert

10.4 Entartung

Die St

orungstheorie konvergiert gut, wenn

< mj

^

V jn >

E

(0

n

E

(0)

m

<< 1

F

ur zwei entartete Zust

ande m und n gilt aber gerade

< mj

^

V jn >6= 0; E

(0)

n

= E

(0)

m

d.h., die St

orungstheorie ist in der bisherigen Form ni ht mehr anwendbar.

Betra hte gest

orten Zustand:

j

n

>= jn > +

X

m6=n

jm >

< mj

^

V jn >

E

(0

n

E

(0)

m

Wenn E

(0)

n

! E

(0)

m

, dann steigt Beimis hung von jm >. Die grundlegende Idee besteht

nun darin, diesen Anteil bereits in die ungest

orte Funktion jn > hineinzupa ken. Sei

^

H

0

jn; >= E

(0)

n

jn; >; = 1:::N

n

mit dem Entartungsindex und dem Entartungsgrad N

n

, d.h. das n-te Niveau ist N

n

fa h entartet.

F

ur den ungest

orten Zustand kann man jetzt eine Linearkombination aus den entarte-

ten Zust

anden w

ahlen:

j

(0)

n

>=

N

n

X

n

jn; >

10.4. ENTARTUNG 121

In 1.Ordnung ergibt si h jetzt

j

n

() >=

N

n

X

n

jn; > +j

(1)

n

> +O(

2

)

und wie vorher

E

n

() = E

(0)

n

+ E

(1)

n

+O(

2

)

Einsetzen in volle S hr

odingerglei hung und sortieren na h Potenzen von ergibt wie-

der die Glei hungen (10.2-10.4), diesmal mit j

(0)

n

> anstatt jn >. Multiplikation von

(10.3) mit dem Zustand < n

0

;

0

j liefert (bis zur Ordnung

1

):

< n

0

;

0

j

^

H

0

j

(1)

n

>

| z

=E

(0)

n

0

<n

0

;

0

j

(1)

n

>

E

(0)

n

< n

0

;

0

j

(1)

n

> + < n

0

;

0

j

^

V j

(0)

n

> E

(1)

n

< n

0

;

0

j

(0)

n

>= 0

oder

E

(0)

n

0

E

(0)

n

< n

0

;

0

j

(1)

n

> +

X

< n

0

;

0

j

^

V jn; >

n

E

(1)

n

X

< n

0

;

0

jn; >

| z

=Æ

nn

0

Æ

0

n

Auswertung f

ur n = n

0

ergibt das Glei hungssystem

N

n

X

h

< n;

0

j

^

V jn; > E

(1)

n

Æ

0

i

n

= 0 (10.8)

mit der St

ormatrix

V

0

=< n;

0

j

^

V jn; > (10.9)

Bei (10.8) handelt es si h um ein lineares Eigenwertproblem, wel hes die N

n

Eigenvek-

toren

n

; = 1:::N

n

zu den N

n

Eigenwerten

ANGIGE ST

ORUNGSTHEORIE

E

(1)

n

besitzt. Die Entartung kann jetzt dur h die St

orung

1. ganz augfgehoben sein, d.h. alle E

(1)

n

sind vers hieden

2. teilweise aufgehoben sein, d.h. (10.8) hat entartete L

osungen

Wir diskutieren den 1. Fall. Aus (10.8) lassen si h die

n

bestimmen und damit die

\ri htigen" ungest

orten Zust

ande, in wel hen die St

ormatrix (10.9) diagonal wird:

j

(0)

n

>=

N

n

X

n

jn; >

und f

ur die Niveaus in 1. Ordnung:

E

n

= E

(0)

n

+ E

(1)

n

E

3-fachentartet

E

E

E

λ

n

n1

n2

n3

die Korrektur in 1. Ordnung f

ur die WF bekommt man dur h Multiplikation von (10.3)

mit <

(0)

n

0

0

j

E

(0)

n

0

E

(0)

n

<

(0)

n

0

0

j

(1)

n

> + <

(0)

n

0

0

j

^

V j

(0)

n

> E

(1)

n

<

(0)

n

0

0

j

(0)

n

>

| z

=Æ

nn

0

Æ

0

= 0 (10.10)

F

ur die WF-Korrektur ma hen wir diesmal die Zerlegung

j

(1)

n

>=

X

m6=n

N

m

X

a

nm

j

(0)

m

> +

X

6=

b

j

(0)

n

>

10.4. ENTARTUNG 123

wobei die letzte Summe die Terme aus n enth

alt, die si h ni ht dur h eine Phasendre-

hung der Gesamtwellenfunktion wegtransformieren lassen. Wir werden aber sehen, da

die KoeÆzienten b in der 2.Ordnung no h ni ht auftreten.

Wir erhalten f

ur das Matrixelement in (10.10) (n 6= n

0

):

<

(0)

n

0

0

j

(1)

n

>= a

nn

0

0

und damit aus (10.10)

E

(0)

n

0

E

(0)

n

a

nn

0

0

= <

(0)

n

0

0

j

^

V j

(0)

n

>

und daraus s hlieli h:

j

(1)

n

>=

X

m6=n

X

0

<

(0)

m

0

j

^

V j

(0)

n

>

E

(0)

n

E

(0)

m

j

(0)

m

0

> +

X

6=

0

b

0

j

(0)

n

0

> (10.11)

Damit l

at si h jetzt die Energiekorrektur in 2.Ordnung bere hnen. Mit (10.4) erhalten

wir na h Multiplikation mit <

(0)

n

0

0

j:

E

(0)

n

0

E

(0)

n

<

(0)

n

0

0

j

(2)

n

> + <

(0)

n

0

0

j

^

V j

(1)

n

>= E

(1)

n

<

(0)

n

0

0

j

(1)

n

> +E

(2)

n

Æ

nn

0

Æ

0

F

ur n = n

0

und =

0

bleibt wenig

ubrig:

E

(2)

n

=<

(0)

n

j

^

V j

(1)

n

>

Einsetzen von (10.11) liefert

E

(2)

n

=

X

m6=n

X

0

<

(0)

m

0

j

^

V j

(0)

n

>

E

0

n

E

0

m

<

(0)

n

j

^

V j

(0)

m

0

> +

X

0

6=

b

0

<

(0)

n

j

^

V j

(0)

n

0

>

| z

=V

Æ

0

| z

=0

Das Matrixelement in der letzten Summe ist diagonal in ,

0

, denn genau so wurde

ja der Grundzustand j

(0)

n

> konstruiert. Damit entg

ultig:

E

(2)

n

=

X

m6=n

X

0

j <

(0)

m

0

j

^

V j

(0)

n

> j

2

E

0

n

E

0

m


ANGIGE ST

ORUNGSTHEORIE

10.5 Beispiel: der lineare Stark-Eekt

Betra hte jetzt das Elektron im 2. Niveau, n = 2. Der Zustand ist vierfa h entartet,

die Wellenfunktionen lauten

'

1

=

200

=

1r=2a

B

2a

3=2

B

e

r=2a

B

Y

00

(2s)

'

2

=

210

=

r=2a

B

6a

3=2

B

e

r=2a

B

Y

10

(2p) m = 0

'

3;4

=

211

=

r=2a

B

6a

3=2

B

e

r=2a

B

Y

11

(2p) m = 1

F

ur den St

oroperator gilt wieder (E-Feld in z-Ri htung):

^

V = erE = ezE

z

= eE

z

r

s

4

3

Y

10

Die St

ormatrixelemente bere hnen si h zu

V

=

Z

1

1

d

3

r'

^

V '

Man erh

alt na h l

angerer Re hnung

V

12

= V

21

= 3eE

z

a

B

; alle anderen V

ij

= 0:

Bere hnung von E

(1)

2

;

2

aus

4

X

=1

h

V

E

(1)

2

Æ

i

2

= 0

damit

det

2

6

6

6

6

6

4

E

(1)

2

V

12

0 0

V

12

E

(1)

2

0 0

0 0 E

(1)

2

0

0 0 0 E

(1)

2

3

7

7

7

7

7

5

= 0

und daraus

E

(1)

2

2

E

(1)

2

2

V

2

12

= 0

10.6. BEISPIEL: DAS H

+

2

- ION 125

Man erh

alt die Eigenwerte

E

(1)

21

= E

(1)

22

= 0; E

(1)

23

= E

(1)

24

= V

12

d.h. die Entartung ist nur teilweise aufgehoben. Das liegt daran, dass das E-Feld zwar

die sph

aris he Symmetrie des Wassersto-Hamiltonians bri ht, aber immer no h Ro-

tationssymmetrie bez

ugli h der z-A hse besteht.

12

12V

E

2

z

z

B

B

2

(0)E

=3eE a

=3eE a

V

Die dazugeh

orenden Eigenfunktionen lauten

(0)

21

= a

1

'

1

+ b

1

'

2

(0)

22

= a

2

'

1

+ b

2

'

2

)

a

2

1

+ b

2

1

= 0

a

2

2

+ b

2

2

= 0

z:B:

=

(

'

3

'

4

| z

orthogonalisieren

und die ni ht mehr entarteten:

(0)

23

=

1

p

2

('

1

+ '

2

)

(0)

24

=

1

p

2

('

1

'

2

)

10.6 Beispiel: das H

+

2

- Ion

Beispiel f

ur das Zustandekommen einer hemis hen Bindung zweier positiv geladener

Kerne (hom

oopolare Bindung).

Elektron wirkt als \Klebsto"

3-Teil hen-Problem: = (R

1

;R

2

; r)


ANGIGE ST

ORUNGSTHEORIE

^

H = E

H

M

2R

+

em

+H

M

1R

r

-

^

H =

2

X

k=1

h

2

2M

Rk

+

e

2

R

h

2

2m

r

e

2

jrR

1

j

| z

V

1

e

2

jrR

2

j

| z

V

2

| z

^

H

el

Es ist M >> m, also k

onnen die R

k

im Elektronenproblem als konstant vorgegeben

betra htet werden. Sie gehen als Parameter in das Elektronenproblem ein. F

ur das

Elektron entsteht also das folgende Einteil hen-Problem:

^

H

el

el

R

k

(r) = E

el

(R)

el

R

k

(r); R = jR

1

R

2

j (10.12)

E

el

(R) deswegen, weil der Raum homogen und isotrop ist, m.a.W. das Problem ist

translations- und drehinvariant. Ein Produktansatz der Form

(R

1

;R

2

; r) =

K

(R

1

;R

2

)

el

(r)

wird als Born-Oppenheimer-N

aherung bezei hnet und liefert, na h einsetzen von (10.12)

und K

urzen mit

el

(r), die S hr

odingerglei hung f

ur die Kerne (2-Teil hen-Problem):

"

2

X

k=1

h

2

2M

R

k

+

e

2

R

+ E

el

(R)

#

| z

^

H

K

K

= E

K

Die Kerne sp

uren das Potential

V

K

(R) =

e

2

R

+ E

el

(R)

Wir f

uhren neue Koordinaten ein:


+

2

- ION 127

R = R

1

R

2

; Relativkoordinaten

R

S

=

1

2

(R

1

+R

2

) ; S hwerpunktkoordinaten

und erhalten:

^

H

K

=

h

2

4M

R

s

h

2

M

R

+ V

K

(R)

Die S hwerpunktbewegung entkoppelt, der S hwerpunkt bewegt si h als freies Teil hen.

Ein Produktansatz

K

(R;R

S

) = e

iKR

S

(R)

f

uhrt auf das 2. \Einteil henprobem"

"

h

2

M

R

+ V

K

(R)

#

(R) =

~

E(R)

mit der um die Translationsenergie des S hwerpunktes verminderten Energie

~

E = E

h

2

K

2

4M

Wir betra hten jezt das Elektronenproblem (10.12). F

ur den Grenzfall R!1 (unge-

bundenes Ion) gibt es zwei M

ogli hkeiten:

e

e+

-

-(2) |b>

(1) |a>

H

H

+H

+H+

ANGIGE ST

ORUNGSTHEORIE

wobei das H-Atom jeweils im (1s) Grundzustand sein soll. Man erh

alt in der Ortsdar-

stellung:

< rja > / e

(rR

1

)=a

B

< rjb > / e

(rR

2

)=a

B

Die beiden Zust

ande sind f

ur R!1 entartet:

^

H

el

ja >= E

0

ja >;

^

H

el

jb >= E

0

jb >

wobei E

0

die Grundzustandsenergie des H-Atoms bezei hnet. F

ur endli hes R wird

die Entartung dur h den Ein u des jeweils anderen Kernes aufgehoben. Wir ma hen

St

orungstheorie mit Entartung und setzen f

ur die Wellenfunktion in 0-ter N

aherung

die Linearkombination

j

el

>=

a

ja > +

b

jb >

an. Einsetzen in (10.12)

^

H

el

(

a

ja > +

b

jb >) = E

el

(

a

ja > +

b

jb >)

liefert, na h Multiplikation mit < aj, bzw. < bj das Glei hungssystem

H

aa

H

ab

H

ba

H

bb

!

a

b

!

= E

el

1 S(R)

S(R) 1

!

a

b

!

f

ur die Matrixelemente erhalten wir

H

aa

= E

0

< ajV

2

ja >; Coulomb-WW

H

bb

= E

0

< bjV

1

jb >= H

aa

H

ab

= E

0

< ajb > < ajV

1

jb >= E

0

S(R)D(R); Austaus h-WW

H

ba

= E

0

< bja > < bjV

2

ja >= E

0

S(R)D(R)

Wir f

uhren die Abk

urzungen

+

2

- ION 129

V

i

=

e

2

jrR

i

j

S(R) = < ajb >=< bja >;

Uberlappintegral

C(R) = < ajV

2

ja >=< bjV

1

jb >; Coulombintegral

D(R) = < ajV

1

jb >=< bjV

2

ja >; Austaus hintegral

ein. Die L

osbarkeitsbedingung l

at si h s hreiben als

det

E

0

E

el

C D + E

0

S E

el

S

D + E

0

S E

el

S E

0

E

el

C

!

= 0

na h E

el

aufgel

ost erh

alt man in 1.Ordnung St

orungstheorie die beiden L

osungen:

E

el

= E

0

C D

1 S

wobei C;D; S > 0 gilt. Wenden wir uns zun

a hst den dazugeh

orenden Wellenfunktio-

nen (0-ter Ordnung) zu. F

ur E

+

el

ist

a

b

!

=

1

1

!

1

p

2

was einer symmetris hen Funktion

el

bez

ugli h Austaus h der Kerne entspri ht. F

ur

E

el

erhalten wir die asymmetris he Funktion

a

b

!

=

1

1

!

1

p

2

Auerdem ist

E

el

> E

0

> E

+

el

d.h. wir haben einen bindenden und einen antibindenden Zustand.

ANGIGE ST

ORUNGSTHEORIE

Ψ+

Ψ−

R2

R1

R

Ψ

Gesamtes Kernpotential: V

K

(R) = E

+

el

+

e

2

R

~ e2/R

E+(R)

R

gebundenes Zustand

VK(R)

S hwa he Bindung (hom

oopolar)

Ursa he: Austaus hwe hselwirkung

Explizite Bere hnung der Matrixelemente:

S(R) = < ajb > =

1 +

R

a

B

+

R

2

3a

2

B

e

R=a

B

C(R) = e

2

< ajV

1

ja > = 2E

0

a

B

R

1

1 +

R

a

B

e

2R=a

B

D(R) = e

2

< ajV

1

jb > = 2E

0

1 +

R

a

B

e

R=a

B

10.7. DAS B

ANDERMODELL DES FESTK

ORPERS 131

10.7 Das B

andermodell des Festk

orpers

10.7.1 Ein eindimensionales Model

Ein einfa hes Festk

orpermodel ergibt si h aus der Annahme, dass N Gitteratome ein-

dimensional mit Abstand R angeordnet sind (N >> 1):

x = (n-1) Rn

n=2 n=N

xx x x x

Ψ Ψ Ψ Ψ

1 2 3 N

N1 2 3

n=1 n=3

In dieser Anordnung wird ein Elektron betra htet, das si h f

ur R ! 1 an irgend

einem Atom n aufhalten soll. Wir bezei hnen diese N -fa h entarteten Zust

ande mit

j >= j

n

>; n = 1; 2::N

Werden die Atome zusammengebra ht (R endli h), so wird die Entartung aufgehoben

und es entstehen i.A. N Zust

ande mit vers hiedenen Energien, wel he f

ur N >> 1 in

ein quasi-kontinuierli hes Energieband

ubergehen.

Das selbe l

at si h au h f

ur p,d, et . Zust

ande ma hen. Man erh

alt also mehrere

B

ander, die si h

uberlappen k

onnen, oder dur h Bandl

u ken getrennt sind.

Band (s)

Band (p)

Bandluecke

1

N

1

NN-fach

N-fachE

E

1/R

1

2

ANGIGE ST

ORUNGSTHEORIE

10.7.2 Bere hnung der Bandstruktur

Wir bere hnen die Energieeigenwerte in 1.Ordnung St

orungstheorie. Wir nehmen jetzt

an, dass si h die vers hiedenen j

n

> ni ht

uberlappen:

<

m

j

n

>= Æ

mn

d.h. die j

n

> sollen orthonormal sein. Der gesamte Hamilton-Operator lautet

^

H =

h

2

2m

+

N

X

i=1

V

i

(x) (10.13)

mit

V

i

(x) =

e

2

jx x

i

j

Die ungest

orte Funktion

i

(x) =< xj

i

> ist L

osung von

h

2

2m

+ V

i

(x)

!

i

(x) = E

(0)

i

(x)

wobei E

(0)

z.B. die Energie des ungest

orten Grundzustandes (s) w

are. Wie vorher

bilden wir die Linearkombination aus allen N entarteten ungest

orten L

osungen:

j >=

N

X

`

`

j

`

> (10.14)

einsetzen in

^

H = E mit (10.13) ergibt na h Multiplikation von <

~

`

j

<

~

`

j

X

`

`

h

h

2m

+ V

~

`

| z

=E

(0)

; wenn `=

~

`

+

X

i 6=

~

`

V

i

i

j

`

>= <

~

`

jE

X

`

`

j

`

>

| z

E

~

`

und damit

~

`

E

(0)

+

X

`;i 6=

~

`

`

<

~

`

jV

i

j

`

> +

X

` 6=

~

`

`

<

~

`

jV

~

`

j

`

>= E

~

`

10.7. DAS B


ORPERS 133

Die N

aherung, dass nur Matrixelemente in denen die glei hen oder bena hbarte Wel-

lenfunktionen vorkommen, von null vers hieden sind:

<

~

`

jV

i

j

`

>=

(

6= 0 wenn ` =

~

`;

~

` 1

= 0 sonst

ergibt s hlieli h das lineare, N-dimensionale Glei hungssystem

A

`

+B(

`+1

+

`1

) = E

`

(10.15)

mit

A = E

(0)

+

X

i 6=

~

`

<

~

`

jV

i

j

~

`

>; Coulomb-WW.

B =

X

i

<

~

`

jV

i

j

~

`+1

>; Austaus h-WW.

Um Glei hungen (10.15) zu l

osen, verwendet man das Blo hs he Theorem.

10.7.3 Das Blo hs he Theorem

In Kapitel 9.1 wurde der Zusammenhang zwis hen Impulsoperator und Translationen

im Raum erkl

art. Der Operator f

ur eine endli he TranslationR heit in einer Dimension

^

T

R

= e

i

h

Rp

und wirkt auf (x):

^

T

R

(x) = (x+R) (10.16)

Wenn

^

H periodis h in R ist, d.h.

^

H(x; p) =

^

H(x+ R; p)

dann ist

[

^

H;

^

T

R

= 0

d.h. muss simultan Eigenfunktion von

^

H und

^

T

R

sein:


ANGIGE ST

ORUNGSTHEORIE

^

T

R

j >= (R)j >

F

ur Translationen gilt

(

^

T

R

)

n

=

^

T

nR

und deshalb

^

T

nR

j >= (nR)j >= (R)

n

j >

also

(R)

n

= (nR)

was nur mit

(R) = e

ikR

mit beliebigem, reellem k erf

ullbar ist. Komplexes k s heidet wegen der Unitarit

at von

^

T aus (wieso?).

S hlieli h erhalten wir aus (10.16)

(x+R) =

^

T

R

(x) = e

ikR

(x)

oder

(x +R) = e

ikR

(x)

Um die letzte Relation zu erf

ullen, muss folgende Form haben:

Blo hs hes Theorem: Ist

^

H periodis h in xmit der Periode R, so haben die L

osungen

von

^

Hj >= Ej >

die Form einer Blo h-Welle:

k

(x) = e

ikx

u

k

(x); u

k

(x+R) = u

k

(x)

wobei k eine beliebige, reelle Konstante (Wellenvektor) und u

k

(x) eine von k abh

angen-

de, periodis he Funktion in x ist.

10.7. DAS B


ORPERS 135

10.7.4 Anwendung des Blo hs hen Theorems

Der Ansatz (10.14) l

asst si h in der Ortsdarstellung s hreiben als

(x) =< xj >=

N

X

`

`

< xj

`

>=

N

X

`

`

v(x `R)

wobei v(x) die ungest

orte WF

v(x) =< xj

1

>

bezei hnet. Vers hieben von (x) um R ergibt

(x+R) =

N

X

`

`

v(x (` 1)R) =

N1

X

`=0

`+1

v(x `R)

Anwendung des Blo hs hen Theorems ergibt andererseits

(x+R) = e

ikR

(x) = e

ikR

N

X

`

`

v(x `R)

KoeÆzientenverglei h mit dem vorigen Ausdru k ergibt die Rekursionsvors hrift

`+1

= e

ikR

`

was mit

`

= 1 (Freiheit der Normierung) auf

`

= e

ikR`

(10.17)

f

uhrt.

10.7.5 Randbedingungen

Um die Randbedingungen ins Spiel zu bringen, unters heiden wir zwei F

alle:

a) Der unendli h lange Festk

orper, d.h. N !1 und damit in allen Summen `; i;

et . = 1::1

ANGIGE ST

ORUNGSTHEORIE

Mit (10.17) ergibt si h f

ur (10.15):

Ae

ikR`

+Be

ikR`

(e

ikR

+ e

ikR

) = Ee

ikR`

oder

E(k) = A+ 2B os kR

wobei k als kontinuierli her Index die Energieniveaus und Wellenfunktionen unters hei-

det. Vers hiedene ungest

orte Zust

ande f

uhren auf unters hiedli he KoeÆzienten A und

B. Somit ergeben si h Energieb

ander mit Bandl

u ken:

A(p)-2B(p)A(s)-2B(s)

B(s)<0B(p)>0

E(k)

A(s)

A(p)

−π π/R /R

Bandluecke

b) Der endli he, periodis h ges hlossene Festk

orper

Wir w

ahlen N endli h, der Festk

orper hat die L

ange

L = NR

Er soll periodis h fortgesetzt werden, d.h. f

ur jede L

osung muss gelten

(x) = (x+ L)

und daraus (wieso?)

n

=

n+N

Insbesondere folgt f

ur

1

:

10.7. DAS B


ORPERS 137

1

=

N+1

; e

ikR

= e

ik(N+1)R

und daraus

e

ikNR

= 1

was nur f

ur

kNR = kL = 2n

mit ganzzahligem n gilt. Wir erhalten also eine Quantisierungsvors hrift f

ur den vorher

kontinuierli hen Index k, der jetzt nur no h diskrete, allerdings sehr di ht beieinander-

liegende (N >> 1) Werte dur hlaufen kann:

k

n

=

2n

L

Es gen

ugt, k-Werte von =R bis =R zu betra hten (1. Brioullin-Zone). Gr

oere

(kleinere) k-Werte k

onnen dur h kWerte in dieser Zone ausgedr

u kt werden und f

uhren

auf die selben Wellenfunktionen. Das ergibt f

ur n die Grenzen

N

2

n

N

2

was, weil n =

N

2

den selben Zustand bezei hnet, auf N Zust

ande f

uhrt, die jeweils

(bis auf den Zustand n = 0) zweifa h entartet sind.

E(k)

−π π/R /R


ANGIGE ST

ORUNGSTHEORIE

Kapitel 11

Zeitabh

angige St

orungstheorie

Betra hte jetzt:

^

H(t) =

^

H

0

+

^

V (t)

wobei

^

H

0

= onst,

^

V (t) klein. Die Frage na h der

Anderung der Energieniveaus stellt

si h jetzt ni ht mehr, weil es keine station

aren Zust

ande mehr geben kann. Vielmehr

m

ussen wir jetzt na h der zeitli hen Entwi klung eines bestimmten Anfangszustandes

fragen. Die St

orung wird dabei

Uberg

ange zwis hen den station

aren Zust

anden jn >

des ungest

orten Systems hervorrufen, wobei wieder

^

H

0

jn >= E

(0)

n

jn >

gilt.


gesu ht ist die (gen

aherte) L

osung von

ih

t

j(t) >=

^

H

0

+

^

V (t)

j(t) > (11.1)

Wir entwi keln na h jn >, diesmal mit zeitabh. KoeÆzienten:

j(t) >=

X

n

n

(t)e

iE

(0)

n

t

h

jn >= e

i

^

H

0

t

h

| z

=

^

U

+

0

X

n

n

(t)jn > (11.2)

139

140 KAPITEL 11. ZEITABH

ANGIGE ST

ORUNGSTHEORIE

die letzte Summe ist dabei genau die Wellenfunktion im Dira -Bild (vgl. Kapitel 7.4).

Die Wahrs heinli hkeit, das System im Zustand jn > zu nden, ist gegeben dur h

P

n

= j < nj > j

2

= j

n

(t)j

2

F

ur das ungest

orte Problem ( = 0) ergibt si h f

ur (11.1) die L

osung

n

= onst; P

n

= onst

d.h. station

are Zust

ande.

Einstezen von (11.2) in (11.1) ergibt

X

n

ihd

t

n

(t) + E

(0)

n

n

(t)

e

iE

(0)

n

t

h

jn >=

X

n

n

(t)e

iE

(0)

n

t

h

E

(0)

n

+

^

V (t)

jn >

und na h Multiplikation mit < mj ein linearees Glei hungssystem mit zeitabh. KoeÆ-

zienten f

ur die Funktionen

m

(t):

ihd

t

m

(t) =

X

n

n

(t)e

i!

mn

t

< mj

^

V (t)jn >

| z

V

mn

(t)

(11.3)

mit den

Ubergangsfrequenzen

!

mn

=

E

(0)

m

E

(0)

n

h

11.2 Iterative L

osung

Das System bende si h zur Zeit t = 0 im Anfangszustand jn >:

j(t = 0) >= jn >;

k

(0) = Æ

nk

Entwi klung na h liefert

k

(t) =

(0)

k

(t) +

(1)

k

(t) +

2

(2)

k

+ ::::

11.2. ITERATIVE L

OSUNG 141

Aus der Anfangsbedingung wird jetzt

(0)

k

= Æ

kn

;

(`)

k

= 0; ` > 0

Einsetzen in (11.3) ergibt

ihd

t

(0)

m

+ ihd

t

(1)

m

+

2

:::: =

X

k

(0)

k

e

i!

mk

t

V

mk

(t) +

2

:::

Man sortiert wieder na h Ordnungen von . In 0. Ordnung:

ihd

t

(0)

m

= 0; !

(0)

m

= onst = Æ

mn

wobei die letzte Relation dur h die Anfangsbedingung festgelegt wird. In 1. Ordnung

bekommt man

ihd

t

(1)

m

= e

i!

mn

t

V

mn

(t)

was si h integrieren l

at:

(1)

m

=

i

h

Z

t

0

dt

0

e

i!

mn

t

0

V

mn

(t

0

)

Somit erhalten wir f

ur die Wellenfunktion (S hr

odingerbild) bis zur 1. Ordnung:

j(t) >= e

iE

(0)

n

t

h

jn >

| z

Anfangszustand

+

1

X

k=1

(1)

k

(t)e

iE

(0)

k

t

h

jk >

| z

Beimis hung

Damit l

at si h nun die

Ubergangswahrs heinli hkeit von einem Zustand jn > na h

jm > angeben

P

n!m

(t) = j < mj(t) > j

2

= j

(1)

m

j

2

= P

m

(t)

F

ur die zweite Ordnung ist die Vorgehensweise analog. Wir geben nur das Resultat an

(2)

`

=

1

h

2

Z

t

0

dt

0

Z

t

0

0

dt

00

X

m

e

i!

mn

t

00

e

i!

`m

t

0

< `j

^

V (t

0

)jm >< mj

^

V (t

00

)jn >

d.h. die

Uberg

ange in 2.Ordnung erfolgen

uber sogenannte virtuelle Zwis henzust

ande

jm >,

uber die alle aufsummiert werden muss.

ANGIGE ST

ORUNGSTHEORIE

11.3 Beispiel: St

orung eines Atoms dur h ein vor-

bei iegendes, s hweres, geladenes Teil hen

y

x

Ze

Atom

R(t)=(vt,0,0)D

D = Stoparameter, Ze = Ladung

Mit der Annahme, dass jrj << jRj, d.h. das Teil hen iegt relativ zum Atomradius

weit am Atom vorbei, k

onnen wir entwi keln:

^

V (t) =

Ze

2

jR^rj

Ze

2

R

Ze

2

R

3

(xvt+Dy) + :::

Wir erhalten die Matrixelemente

V

mn

=< mj

^

V jn >=

Ze

2

R

3

(x

mn

vt+Dy

mn

)

mit

x

mn

=< mjxjn >; y

mn

=< mjyjn >

F

ur die

Ubergangswahrs heinli hkeit von jn > na h jm > ergibt si h:

P

n!m

=

Z

2

e

4

h

2

Z

1

1

x

mn

vt+Dy

mn

[(vt)

2

+D

2

3=2

e

i!

mn

t

dt

2

11.3. BEISPIEL: ST

ORUNG EINES ATOMS ... 143

Das Integral wird jetzt n

aherungsweise ausgewertet. Wir ma hen zuerst die Annahme,

dass die We hselwirkung nur dann eine Rolle spielt, wenn das Teil hen bei x 0, also

dem Atom am n

a hsten ist. F

ur die Zeit, in der das Teil hen we hselwirkt, l

at si h

die Abs h

atzung

=

D

v

ma hen. wird dabei als eektive Kollisionszeit bezei hnet.

Wir untersu hen die beiden F

alle

a) >> 1=!

mn

, d.h.das Teil hen iegt langsam am Atom vorbei.

Adiabatis he Kollision

Integrand oszilliert s hnell, mittelt si h weg, daraus P

n!m

0

keine Anregung, also eektiv keine We hselwirkung

b) 1=!

mn

oder D v=!

mn

e

i!

mn

t

1

F

ur das Integral ergibt si h mit dieser N

aherung:

Z

1

1

x

mn

vt+Dy

mn

[(vt)

2

+D

2

3=2

dt = Dy

mn

Z

1

1

1

[(vt)

2

+D

2

3=2

dt =

2y

mn

vD

und damit entg

ultig f

ur diesen Fall:

P

n!m

=

4Z

2

e

4

jy

mn

j

2

h

2

D

2

v

2

Abs hlieend untersu hen wir den Fall, bei dem ein Teil henstrahl aus N Teil hen am

Atom vorbei iegt. Der Stoparameter soll dabei von a

B

bis zu dem f

ur diesen Fall

maximalen Wert v=!

mn

glei hverteilt sein. Es ergibt si h die mittlere

Ubergangswahr-

s heinli hkeit

P

n!m

= N

Z

v=!

mn

a

B

2DP

n!m

(D) dD /

1

v

2

ln

v

a

B

!

mn

ANGIGE ST

ORUNGSTHEORIE

v

P

adiabatische

Kollision

n m

11.4 Ein - und Auss halten einer sonst konstanten

St

orung

V

mn

(t) =< mj

^

V

0

jn > (t

s

t)

=

~

V

mn

(t t

s

)

st t

V(t)

0

F

ur die

Ubergangswahrs heinli hkeit erhalten wir damit

P

n!m

=

1

h

2

Z

t

0

dt

0

e

i!

mn

t

0

V

mn

(t

0

)

2

=

8

>

<

>

:

j

~

V

mn

j

2

h

2

e

i!

mn

t

1

!

mn

2

t < t

s

j

~

V

mn

j

2

h

2

e

i!

mn

t

s

1

!

mn

2

t > t

s

Wir untersu hen die Funktion

e

i!

mn

t

1

!

mn

2

=

4 sin

2!

mn

2

t

!

2

mn

oder

11.4. EIN - UND AUSSCHALTEN EINER SONST KONSTANTEN ST

ORUNG 145

F

t

(!) =

4 sin

2 !

2

t

!

2

Ft(ω)

t2

2

t1

2

t2 > t

1

t1

0 ω2π/t1−2π/t1

Die

Ubergangswahrs heinli hkeit ist im Wesentli hen nur zwis hen den beiden Null-

stellen 2=t und 2=t von Null vers hieden. D.h. es existieren

Uberg

ange im Fre-

quenzintervall

!

2

t

=

E

h

wobei f

ur die letzte Umformung eine der de Broglies hen Beziehungen verwendet wurde.

Das ist aber ni hts anderes als eine Form der Uns h

arferelation, diesmal zwis hen

Energie und Zeit:

Et 2h

F

ur kurze Zeiten der St

orung sind also

Uberg

ange erlaubt, die den Energiesatz verlet-

zen. F

ur groe Zeiten gilt dagegen

F

t

(!) ! 2tÆ(!)

d.h. P

n!m

6= 0 nur m

ogli h, wenn !

mn

= 0

ANGIGE ST

ORUNGSTHEORIE

Energieerhaltung, E

n

= E

m

Uberg

ange h

o hstens zwis hen entarteten Zust

anden m

ogli h

F

ur die

Ubergangswahrs heinli hkeit erhalten wir s hlieli h

P

n!m

= 2

j

~

V

mn

j

2

h

2

tÆ(!

n

!

m

) = 2

j

~

V

mn

j

2

h

tÆ(E

n

E

m

)

Wir denieren die

Ubergangsrate als

Ubergangswahrs heinli hkeit pro Zeiteinheit:

n!m

=

P

n!m

t

= 2

j

~

V

mn

j

2

h

Æ(E

n

E

m

)

d.h. wir erhalten eine Æ-f

ormige

Ubergangsrate.

Als n

a hstesbetra hten wir

Uberg

ange von einem bestimmten Anfangszustand in ein

Kontinuum von Endzust

anden. Es mu si h dabei ni ht um ein e htes Kontinuum

handeln, die Zust

ande m

ussen nur gen

ugend di ht liegen, so da der Begri einer

Zustandsdi hte einen Sinn ma ht.

Wir betra hten also die

Ubergangsrate in ein Energieintervall E:

|n>|m>

E

E = E

e

E

a

; E

a

< E

m

< E

e

und erhalten

n!m

=

m

e

X

m=m

a

n!m

Z

E

e

E

a

dE (E)

n!m

wobei (E) die besagte Zustandsdi hte ist und der Ausdru k

(E)dE

11.5. PERIODISCHE ST

ORUNGEN 147

die Anzahl der Zust

ande im Intervall [E;E+dE angibt. Das l

at si h weiter umformen

zu

n!m

=

Z

dE (E)

2jV

mn

j

2

h

Æ(E

n

E) =

2

h

(E

n

)jV

mn

j

2

Damit haben wir Fermis Goldene Regel hergeleitet:

n!m

=

2

h

(E

n

)jV

mn

j

2

11.5 Periodis he St

orungen

Wir untersu hen zun

a hst den Fall einer rein harmonis hen S hwingung mit der Fre-

quenz !:

^

V =

^

V

0

e

i!t

Mit der Abk

urzung

mn

= !

mn

!

erhalten wir f

ur die

Ubergangswahrs heinli hkeit

P

n!m

=

1

h

2

Z

t

0

dt

0

e

i

mn

t

0

V

mn

2

= 4

jV

mn

j

2

h

2

sin

2

mn

2

t

!

2

mn

mit V

mn

=< mj

^

V

0

jn >. Werten wir den Ausdru k wieder f

ur t ! 1 aus, so erhalten

wir

n!m

= 2

jV

mn

j

2

h

2

Æ(E

n

E

m

h!)

d.h., die Energiedierenz der

Uberg

ange entspri ht gerade der Energie des emittierten,

bzw. absorbierten Li htquantes.

E

EEmission

h ωn

m

h ω

E

E

n

m

-

Absorption


ANGIGE ST

ORUNGSTHEORIE

F

ur eine allgemein beliebig zeitabh

angige St

orung der Form

^

V (t) =

1

p

2

Z

1

1

^

V (!)e

i!t

d!

l

at si h die Re hnung genauso dur hf

uhren. Man erh

alt

n!m

=

Z

1

1

jV

mn

(!)j

2

h

Æ(E

n

E

m

+ h!) d!

und na h Auswertung des Integrals

n!m

=

jV

mn

(!

mn

)j

2

h

2

d.h. dur h die St

orung werden nur sol he

Uberg

ange hervorgerufen, deren

Ubergangs-

frequenz im St

orspektrum enthalten ist.

11.6 Absorption und stimulierte Emission von Li ht

F

ur das Li htfeld setzen wir an

E(r; t) / e

ikr

e

i!t

Mit der Annahme, dass die Wellenl

ange des Li htes viel gr

oer ist, als der Atomradius,

was bis zur UV-Strahlung gilt,

=

2

jkj

>> a

B

l

at si h das Li htfeld als r

aumli h konstant n

ahern.

Damit

E(t) = E

0

os!t

Aus

E = r'

11.6. ABSORPTION UND STIMULIERTE EMISSION VON LICHT 149

l

at si h sofort das elektrostatis he Potential

' = E(t)r

angeben. Die potentielle Energie eines mit e geladenen Teil hens im Feld ist dann

V = e' = eE(t)r

d.h. der St

oroperator hat die Form

^

V (t) = eE(t)^r

und die

Ubergangsrate lautet wieder

n!m

=

jV

mn

(!

mn

)j

2

h

2

Das Matrixelement lautet diesmal

V

mn

(t) = eE(t) < mjrjn >= E(t)nD

mn

wobei n den Einheitsvektor in Ri htung des E-Feldes und

D

mn

= e < mjrjn >

das Dipolmatrixelement bezei hnet. Zerlegung des E-Feldes in seine Fourierkomponen-

ten

E(t) =

1

p

2

Z

1

1

E(!)e

i!t

d!; E(!) = E

(!)

ergibt s hlieli h f

ur den allgemein zeitabh

angigen Fall

V

mn

(!) = E(!)nD

mn

und

ANGIGE ST

ORUNGSTHEORIE

n!m

=

1

h

2

jE(!

mn

)j

2

jnD

mn

j

2

Aus der Elektrodynamik kennt man die spektrale Energiedi hte

u(!) =

4

jE(!)j

2

damit l

at si h die

Ubergangswahrs heinli hkeit s hlieli h s hreiben als

n!m

=

4

h

2

u(!

mn

)jnD

mn

j

2


ur die Strahlung, harmonis her Oszil-

lator

Wir bere hnen das Dipolmatrixelement

D

mn

= e < mjxjn >

= e

s

h

2m!

< mj(a

+

+ a)jn >

= e

s

h

2m!

p

n + 1Æ

m;n+1

+

p

nÆ

m;n1

d.h. es sind zumindest in 1.Ordnung St

orungstheorie nur

Uberg

ange von einem Zustand

in die jeweils bena hbarten Zust

ande m

ogli h:

m = n 1

m=1

m=2

m=3

m=4

erlaubt

erlaubt

verboten

11.6. ABSORPTION UND STIMULIERTE EMISSION VON LICHT 151


ur die Strahlung, Leu htelektron

Als n

a hstes untersu hen wir den Ein u der Strahlung auf ein an den Kern gebundenes

Elektron. Das Dipolmatrixelement lautet

D

n`mn

0

`

0

m

0

= e < n`mj^rjn

0

`

0

m

0

>

wobei wir f

ur die Zust

ande wieder die Wassersto-Wellenfunktionen verwenden k

onnen.

Die Re hnung wird in Kugelkoordinaten dur hgef

uhrt. Mit

r = r

0

B

os' sin

sin' sin

os

1

C

A

erhalten wir sofort die m-Auswahlregeln. F

ur die einzelnen Komponenten von D ergibt

si h

D

(x)

/

Z

d' e

i(mm

0

)'

os' =

i

2

Z

d'

e

i(mm

0

+1)'

e

i(mm

0

1)'

was auf

D

(x)

/ Æ

m;m

0

+1

Æ

m;m

0

1

f

uhrt. Die Re hnung f

ur D

(y)

geht genauso. das ergibt die m-Auswahlregel f

ur ni ht

vers hwindendes D

(x;y)

:

m = m

0

1

Die Re hnung f

ur D

(z)

ergibt die Auswahlregel

m = m

0

Die `-Auswahlregeln ergeben si h aus dem Integral

uber . Wir wollen hier nur den

Fall m = m

0

, d.h. D

(z)

6= 0 betra hten. Es ergibt si h das Integral

D

(z)

/

Z

0

P

m

`

( os )P

m

`

0

( os ) os sin d


ANGIGE ST

ORUNGSTHEORIE

wobei P

m

`

die Legendres hen Polynome bezei hnet. Die Substitution x = os ergibt

D

(z)

/

Z

1

1

P

m

`

(x)P

m

`

0

(x)x dx

Mit der Umformung (a

`m

; b

`m

sind bestimmte, hier ni ht weiter wi htige KoeÆzienten,

siehe z.B. Bronstein)

xP

m

`

(x) = a

`m

P

m

`+1

(x) + b

`m

P

m

`1

(x)

folgt aus der Orthogonalit

at der Legendre-Polynome die Auswahlregel

` = `

0

1

f

ur D

(z)

6= 0. D.h. strahlende

Uberg

ange mit m = m

0

f

ur m = m

0

1 ergeben si h

ubrigens die selben `-Auswahlregeln) sind nur erlaubt zwis hen bena hbarten Drehim-

pulsquantenzahlen, also z.B.

s ! p

p ! d

d ! f

et :

Die Intgration

uber r ergibt, da keine Auswahlregel f

ur die Hauptquantenzahl n exi-

stiert, d.h. hier sind alle

Uberg

ange erlaubt. (F

ur die detailierte Re hnung siehe z.B.

Blo hinzew, Grundlagen der QM)

Kapitel 12

Galerkin- und Variationsmethoden

L

osen station

arer Probleme

sei

^

Hj >= Ej > (12.1)

ein analytis h unl

osbares Problem. Im folgenden betra hten wir einen i.a. ni ht vollst

andi-

gen Funktionensatz jn >, der z.B. die geforderten Randbedingungen oder Symmetrien

erf

ullt. Der Satz kann orthonormal sein, muss aber ni ht. D.h. die jn > spannen einen

Unterraum des Hilbertraums auf. Das Ziel ist nun, eine N

aherungsl

osung j

~

> von

(12.1) zu bestimmen, die in diesem Unterraum liegt.

12.1 Galerkinmethode

Wir ma hen den Ansatz (Testfunktion)

j

~

>=

N

X

n=1

n

jn >

und erhalten aus (12.1)

X

n

n

(

^

Hjn > Ejn >) = jR > (12.2)

Auf der re hten Seite steht jetzt ni ht null sondern eine Funktion jR >, wel he als

Residuum (deuts h: Rest) bezei hnet wird und wel he m

ogli hst klein sein soll . F

ur

153

154 KAPITEL 12. GALERKIN- UND VARIATIONSMETHODEN

jR > kann man vers hiedene Vorderungen stellen die auf vers hiedene Verfahren f

uhren.

Beim hier betra hteten Galerkinverfahren fordert man, da jR > senkre ht auf allen

jn > steht, d.h. da jR > ni ht im von den jn > aufgespannten Unterraum liegt.

L

at man dann N gegen unendli h gehen, d.h. jn > wird vollst

andig und der Unter-

raum geht in den gesamten Hilbertraum

uber, so muss jR > vers hwinden und die

N

aherungsl

osung geht in die exakte L

osung

uber. Mit

< mjR >= 0

erhalten wir aus (12.2) na h Multiplikationmit< m das lineareNxN -Glei hungssystem:

N

X

n

n

(H

mn

EÆ

mn

) = 0

wel hes man i.a., zumindest f

ur grosses N numeris h (iterativ) l

osen muss. Als L

osung

erh

alt man die Eigenwerte

E

k

; k = 1::N

wel he N

aherungsweise den Energieniveaus von (12.1) entspre hen, sowie die Eigen-

vektoren

k

n

aus denen si h dann die j

~

> ergeben.

12.2 Variationsmethoden

Wir fassen den Erwartungswert von

^

H bez

ugl. eines beliebigen Zustandes j > als

Energiefunktional auf

E[ =

< j

^

Hj >

< j >

12.2.1 Extremalprinzip

Wir formulieren ein Extremalprinzip:

Satz (Ritzs hes Theorem): Wenn > ein Eigenzustand von

^

H ist, dann ist E extremal.

12.2. VARIATIONSMETHODEN 155

D.h. wenn dur h Addition einer innitesimal kleinen Funktion Æ variiert wird, darf

si h E ni ht

andern, also ÆE = 0.

Beweis: wir bilden die Variation von ÆE:

ÆE[ =

1

< j >

Æ <

^

Hj >

1

< j >

2

< j

^

Hj >

| z

1

<j>

E[

Æ < j >

=

1

< j >

h

< Æj(

^

H E)j > + < j(

^

H E)jÆ >

i

= 0

die vers hwinden muss, damit E extremal ist. Mit der Abbk

urzung

j' >= (

^

H E)j >

erh

alt man

< Æj' > + < 'jÆ >= 0

was f

ur beliebiges Æ gelten muss. Wir w

ahlen jetzt die spezielle Variation

jÆ >= j' >; < Æj = < 'j

wobei eine innitesimale, reelle Zahl sei. Damit erhalten wir

2 < 'j' >= 0

d.h. die Norm von j' > muss vers winden, was nur dur h j' >= 0, oder

(

^

H E)j >= 0

m

ogli h ist. D.h. heisst aber, dass j > ein Eigenzustand von

^

H ist, wenn ÆE = 0.

q.e.d.

12.2.2 Ritzs hes Verfahren

Wir betra hten Systeme mit diskreten Niveaus. Den (exakt bestimmten) Grundzustand

bezei hnen wir mit E

0

. Die optimal anzupassende Testfunktion wird wieder mit j

~

>

bezei hnet, die jetzt ni ht notwendigerweise normiert sein muss. F

ur den Energieer-

wartungswert erhalten wir

E =

<

~

j

^

Hj

~

>

<

~

j

~

>

E

0

E = E

0

wenn j

~

> der exakten L

osung j > entspri ht. Auerdem naehert man si h

der exakten L

osung f

ur E

0

von oben.

Beweis:

sei dur h

^

Hjn >= E

n

jn >

ein VONS gegeben (die exakte L

osung des Problems), wobei E

n

E

0

ist. wir zerlegen

j

~

>=

X

n

n

jn >

und erhalten

E =

P

nm

n

m

< nj

^

Hjm >

P

nm

n

m

< njm >

=

P

n

j

n

j

2

E

n

P

n

j

n

j

2

E

0

P

n

j

n

j

2

P

n

j

n

j

2

= E

0

q.e.d.

D.h. der n

aherungsweise bere hnete Wert E gibt eine obere S hranke f

ur E

0

an.

Allgemeine Vorgehensweise:

1.) Setze Testfunktion mit freien Parametern

i

an:

j

~

>= j

~

(

1

:::

N

) >

Die Testfunktion sollte dabei Symmetrien und Randbedingungen erf

ullen. Je ges hi k-

ter man si h bei der Wahl der Testfunktion anstellt, desto s hneller konvergiert das

Verfahren. Man erh

alt f

ur die gen

aherte Energie:

E(f

i

g) =

<

~

(f

i

g)j

^

Hj

~

(f

i

g) >

<

~

(f

i

g)j

~

(f

i

g) >

12.2. VARIATIONSMETHODEN 157

2.) Minimiere E:

i

E(f

i

g) = 0

Das sind N , i.a. ni htlineare gekoppelte algebrais he Glei hungen, die den optimalen

Parametersatz

f

op

i

g

festlegen (Die L

osung erfolgt i.a. numeris h, d.h. dur h Iteration, z.B. Newton-Verfahren,

et .).

3) Einsetzen von f

op

i

g ergibt den N

aherungswert

E = E(f

op

i

g)

Wir re hnen einige Beispiele. Wir betra hten den Grundzustand des Wasserstoatoms.

die exakte L

osung lautet

E

0

=

e

2

2a

B

1) Wir w

ahlen als Testfunktion (Ortsdarstellung)

< rj

~

>= e

; = r=a

B

und erhalten

E() = E

0

1

3

2

dessen Minimum bei

op

= 3=2 liegt. Damit

E(

op

) =

3

4

E

0

2.) Eine bessere N

aherung liefert die Tesfunktion

< rj

~

>=

1

2

+

2

Man erh

alt

E() =

8

2

2

E

0

und daraus

op

= =4

was auf

E(

op

) 0:81E

0

f

uhrt.

3) S hlieli h testen wir no h die exakte Funktion

< rj

~

>= e

was mit

E() = (2

2

)E

0

auf

op

= 1 und

E(op) = E

0

f

uhrt.

Kapitel 13

Elemente der Streutheorie


Einfallender Strahl

k

Target

Streuwinkel

Detekto

r

Auslau

fende

r Stra

hl

k

θein

a

Keine WW der einfallenden Teil hen miteinander

Im Target kommt es zu Reaktionen mit den einfallenden Teil hen. Wir betra hten hier

auss hlieli h Prozesse, bei denen die Teil hen ni ht umgewandelt werden. Teil hen-

art und Zahl vor der Streuung sind die selben wie hinterher. Die Reaktion mit dem

Target wird dann als Streureaktion bezei hnet. Speziell spri ht man von elastis her

Streuung, wenn die Teil hen keine innere Anregung erfahren.

Wir w

ahlen k

ein

k e

z

, d.h. k

ein

= ke

z

und

ein

/ e

ikz

159

160 KAPITEL 13. ELEMENTE DER STREUTHEORIE

als ebene Welle.

13.2 Streuquers hnitt, dierentieller Wirkungsquer-

s hnitt

Einfallender Strahl

θz

x

y

Streupotential V(r)

d Ω

dn bezei hnet die Teil henzahl im Detektor je Zeiteinheit =

Teil hen

Zeit

F

ein

den Fluss der einfallenden Teil hen =

Teil hen

Zeit x Fl

a he

Dann gilt mit dem Raumwinkel d, den der Detektor abde kt:

dn / F

ein

d

oder

dn = F

ein

(#; ')d

mit dem dierentiellen Wirkungsquers hnitt (#; '), der die Einheit einer Fl

a he

hat. Die Aufgabe der Streutheorie ist es, von dem gemessenen Wirkungsquers hnitt

R

u ks hl

usse auf das Streupotential V (r) zu ziehen.

13.3. STATION

ARE STREUZUST

ANDE 161

13.3 Station

are Streuzust

ande

Wir su hen na h L

osungen der S hr

odingerglei hung in der

ubli hen Form

(r; t) = '(r)e

i

E

h

t

wobei '(r) die station

aren Streuzust

ande bezei hnet. F

ur das Streupotential soll

die Voraussetzung

lim

r!1

rV (r) = 0

gelten, d.h. die folgende Re hnung gilt ni ht f

ur das Coulomb-Potential. Weit weg vom

Target werden ebene Wellen mit der Energie

E =

hk

2

2m

den einfallenden Strahl bes hreiben. Mit der Substitution

U(r) =

2m

h

2

V (r)

hat die zeitunabh. S hr

odingerglei hung die Form

+ k

2

U(r)

'(r) = 0

13.4 Asymptotis he Form von '(r), Streuamplitude

Die einfallenden Teil hen werden als ebene Wellen angesetzt:

'

ein

/ e

ikz

Die Wellenfunktion, die die auslaufenden Teil hen bes hreibt, muss vom Streupotential

abh

angen. Weit weg vom Target (r !1) kann man den Ansatz einer Kugelwelle

'

aus

/

e

ikr

r

f

k

(#; ') + '

ein

(13.1)


ma hen, wobei f

k

(#; ') als Streuamplitude bezei hnet wird. Dies ist L

osung der

S hr

odingerglei hung f

ur groes r (Kugelkoordinaten):

rr

+

2

r

r

+ k

2

e

ikr

r

+O(1=r

3

) = 0

Anmerkung: hier geht die Bedingung ein, dass f

ur r gegen unendli h U(r) / 1=r

n

mit

n 2 sein muss, weil sonst der Potentialterm in der Ordnung 1=r

2

beitragen w

urde

und damit der Kugelwellenansatz keine asymptotis he L

osung mehr w

are.

13.5 Streuamplitude und dierentieller Wirkungs-

quers hnitt

F

ur den dierentiellen Wirkungsquers hnitt erhielten wir oben den Ausdru k:

(#; ') =

jj(gestr. Teil hen)/Raumwinkelj

jj(einf. Teil hen)/Fl

a hej

wobei j jeweils die zugeh

orende Stromdi hte

j =

1

2m

h

i

('

r' 'r'

)

ist. Einsetzen der asymptotis hen L

osungen f

ur ' ergibt:

jj(einf. Teil hen)j =

hk

m

jj(gestr. Teil hen)j =

hk

m

jf

k

(#; ')j

2

d

und damit entg

ultig den wi htigen Zusammenhang

(#; ') = jf

k

(#; ')j

2

13.6 Integralglei hung f

ur die station

aren Streuzust

ande

Die station

are S hr

odingerglei hung l

asst si h in eine Integralglei hung umwandeln.

Ausgehend von

13.6. INTEGRALGLEICHUNG F

UR DIE STATION

AREN STREUZUST

ANDE163

( + k

2

)'(r) = U(r)'(r) (13.2)

f

uhrt man die Greens he Funktion ein:

'(r) = '

hom

(r) +

Z

d

3

r

0

G(r r

0

)U(r

0

)'(r

0

) (13.3)

wobei '

hom

(r) das homogene Problem von (13.2)

( + k

2

)'

hom

(r) = 0

l

ost. Einsetzen von (13.3) in (13.2) ergibt die Dierentialglei hung f

ur die Greens he

Funktion:

( + k

2

)G(r) = Æ(r)

Deren L

osungen lauten (bere henbar mit dem Residuensatz, Vorgehensweise siehe Me-

hanik, harmonis her Oszillator):

G

(r) =

1

4

e

ikr

r

G

haben die Form von Kugelwellen und werden deshalb als auslaufende (G

+

) bzw.

einlaufende (G

) Greens he Funktion bezei hnet.

Um das asymptotis he Verhalten von ' zu errei hen, muss man f

ur

'

hom

= '

ein

= e

ikz

setzen. Wir zeigen jetzt, dass G

+

das asymptotis he Verhalten einer auslaufenden Ku-

gelwelle besitzt. F

ur ' erhalten wir also

'(r) = e

ikz

1

4

Z

d

3

r

0

e

ikjrr

0

j

jr r

0

j

U(r

0

)'(r

0

)


r‘

r r-r‘

U(r‘)er

F

ur groes r >> r

0

(weit auerhalb vom Target) kann man die Entwi klung ma hen

jr r

0

j =

p

r

2

+ r

02

2rr

0

p

r

2

2rr

0

r e

r

r

0

wobei e

r

der Einheitsvektor in Ri htung von r ist. F

ur das Integral erh

alt man damit

Z

d

3

r

0

e

ikjrr

0

j

jr r

0

j

U(r

0

)'(r

0

)

r!1

=

e

ikr

r

Z

d

3

r

0

e

ike

r

r

0

U(r

0

)'(r

0

)

und damit f

ur groes r:

'(r)

r!1

= e

ikz

1

4

e

ikr

r

Z

d

3

r

0

e

ike

r

r

0

U(r

0

)'(r

0

)

Ein Verglei h mit der asymptotis hen Form (13.1) zeigt den Zusammenhang von Po-

tential und Streuamplitude:

f

k

(#; ') =

1

4

Z

d

3

r

0

e

ike

r

r

0

U(r

0

)'(r

0

) (13.4)

13.7 Die Borns he N

aherung

Der Ausdru k (13.4) enth

alt als Unbekannte immer no h die Wellenfunktion der stati-

on

aren Streuzust

ande. Diese kann dur h iteratives L

osen der Integralglei hung (13.3)

13.7. DIE BORNSCHE N

AHERUNG 165

mitG = G

+

bestimmt werden. Man setzt dazu f

ur '(r

0

) auf der re hten Seite von (13.3)

den Zusammenhang (13.3) erneut ein, und so fort. Dadur h erh

alt man eine unendli he

Reihe, die Borns he Reihe, wobei die auftretenden Terme wa hsende Potenzen des

St

orpotentiales enthalten:

'(r) = e

ikz

+

Z

d

3

r

0

G(r r

0

)U(r

0

)'(r

0

)

'(r) = e

ikz

|z

1

+

Z

d

3

r

0

G(r r

0

)U(r

0

)e

ikz

0

| z

2

(13.5)

+

Z Z

d

3

r

0

d

3

r

00

G(r r

0

)G(r

0

r

00

)U(r

0

)U(r

00

)e

ikz

00

| z

3

+

Z Z Z

d

3

r

0

d

3

r

00

d

3

r

000

G(r r

0

)G(r

0

r

00

)G(r

00

r

000

)U(r

0

)U(r

00

)U(r

000

)e

ikz

000

| z

4

+O(U

4

)

Die Annahme eines kleinen St

orpotentials erlaubt das Abbre hen der Reihe na h we-

nigen Termen. Die einzelnen Terme in (13.5) haben ans hauli he Bedeutung:

1. entspri ht der einfallenden ebenen Welle, die ohne WW. am Target vorbei l

auft.

re

k

ikz

ein


2. Steuung der einfallenden Welle am Ort r

0

mit ans hlieender auslaufender Green-

s her Funktion G

+

(r r

0

). Einmalige WW. mit dem Streupotential.

r

r’

U(r’)

G(r-r’)

e

kein

ikz’

3. Die an r

00

gestreute Welle wird an r

0

no h einmal gestreut und regt eine weitere

Welle an. Doppelte WW. mit dem Streupotential.

G(r-r’)

r

r’

U(r’)

r’’ U(r’’)

G(r’-r’’)

e

kein

ikz’’

13.8 Dierentieller Wirkungsquers hnitt und Po-

tential

Einsetzen der Borns hen Reihe in den Ausdru k (13.4) liefert die Borns he Reihe f

ur

die Streuamplitude. In niederster N

aherung (linear in U) erh

alt man den Ausdru k

(Borns he N

aherung):

13.8. DIFFERENTIELLER WIRKUNGSQUERSCHNITT UND POTENTIAL 167

f

k

(#; ') =

1

4

Z

d

3

r

0

e

ike

r

r

0

U(r

0

)e

ikz

0

Der Exponent l

asst si h umformen:

ke

r

r

0

kz

0

= k

a

r

0

k

ein

r

0

= k

s

r

0

wobei wir den Streuwellenvektor

k

s

= k

a

k

ein

als Dierenz zwis hen auslaufender und einlaufender Welle einf

uhren.

k a= k e r

kein

= k e

k

einl. Welle

z

s

r

gestr. W

elle

θ

Streuwellenvektor

F

ur den diernetiellen Wirkungsquers hnitt ergibt si h demna h

(#; ') = jf

k

(#; ')j

2

=

1

16

2

Z

d

3

r

0

U(r

0

)e

ik

s

r

0

2

Es besteht also ein einfa her Zusammenhang zwis hen der Fouriertransformierten des

Streupotentials und des messbaren dierentiellen Wirkungsquers hnitts, zumindest in

1. Ordnung im Potential.


13.9 Besipiel: di. Wirkungsquers hnitt beim Yukawa-

Potential

Wir bere hnen den Wirkungsquers hnitt des Yukawa-Potentials:

V (r) = V

0

e

r

r

wobei

r

0

= 1=

als Rei hweite bezei hnet wird. Bei r r

0

ist das Potential praktis h vers hwunden.

Das Coulomb-Potential kann als Spezialfall des Yukawa-Potentials mit unendli her

Rei hweite betra htet werden.

Mit U

0

=

2m

h

2

V

0

ergibt si h

f

k

(#; ') =

1

4

U

0

Z

d

3

rU(r)e

ik

s

r

= U

0

Z

1

0

rdr sin(jk

s

jr)

e

r

r

=

U

0

2

+ jk

s

j

2

Die L

ange von k

s

l

asst si h aus der Abbildung in 13.8 ablesen:

jk

s

j = 2k sin

#

2

D.h. der Streuquers hnitt h

angt nur vom Streuwinkel # und ni ht vom Winkel ' ab,

was s hon aus der Symmetrie des Yuakawa-Potentials bezg. Drehungen in der xy-Ebene

folgt. Man erh

alt s hlieli h:

Y u

(#) =

U

2

0

2

+ 4k

2

sin

2 #

2

13.9. BESIPIEL: DIFF.WIRKUNGSQUERSCHNITT BEIM YUKAWA-POTENTIAL169

σ

θπ0

Obwohl die Re hnung f

ur das Coulomb-Potential ni ht gilt (das in 13.3 geforderte

asymptotis he Verhalten gilt hier ni ht) liefert die Auswertung f

ur = 0 die ri htige

Formel (die Rutherfords he Streuformel):

C

(#) =

U

2

0

16k

4

sin

4 #

2

Teil V

Magnetfeld und Spin

171

Kapitel 14

Geladenes Teil hen im

elektromagnetis hen Feld

wir untersu hen zun

a hst Teil hen ohne Spin, d.h. im Rahmen der bisherigen Be-

s hreibungsweise

14.1 Elektromagnetis heWe hselwirkung, klassis h

Problemstellung der Elektrodynamik: Str

ome und Ladungen sind gegeben. Aus den

Maxwell-Glei hungen folgen dann die Felder

E(r; t); B(r; t)

Oft verwendet man die elektrodynamis hen Potentiale

'(r; t); A(r; t)

aus denen die Felder eindeutig folgen:

E = r'

1

_

A

B = rA

Hier interessieren wir uns speziell f

ur den Ein u des elektromagnetis hen Feldes auf

die Bewegung eines Massepunktes. Es wirkt die Lorentzkraft

173

174KAPITEL 14. GELADENES TEILCHEN IM ELEKTROMAGNETISCHEN FELD

K(r;_r) = e

E(r; t) +

_r

B(r; t)

wobei e die Ladung und_r die Ges hwindigkeit des Teil hens bezei hnet, ist die Li ht-

ges hwindigkeit.

Die Newtons he Bewegungsglei hung f

ur ein sonst freies Teil hen im elektromagneti-

s hen Feld lautet dann

mr = K(r;

_r)

In der QM lehnt si h die mathematis he Bes hreibung an den Hamiltonformalismus

an. Aus der klassis hen Hamiltonfunktion

H = H(r;p)

folgen die Hamiltons hen Bewegungsglei hungen

_r

i

=

H

p

i

; _p

i

=

H

r

i

Dur h ineinander einsetzen der beiden Glei hungen muss die Newtons he Bewegungs-

glei hung herauskommen. D.h. E und B, bzw. ' und A m

ussen in die Hamiltonfunk-

tion eingebaut werden. Dies ges hieht dur h die sogenannte Minimalsubstitution. Das

Rezept lautet: ersetze den Teil henimpuls p dur h den neuen Impuls

p ! p

e

A

Das Potential ' l

at si h genau wie das me hanis he Potential behandeln. Man erh

alt

also in unserem Fall

H(r;p) =

1

2m

p

e

A

2

+ e'

14.2 Elektromagnetis heWe hselwirkung, quanten-

me hanis h

Die selbe Vorgehensweise wie in der kl. Me hanik f

uhrt auf

14.3. EICHINVARIANZ 175

^p !

^p

e

^

A

in der Ortsdarstellung

^

H =

1

2m

h

i

r

e

A

!

2

+ e'

=

h

2

2m

eh

2m i

(r A+A r) +

e

2

2m

2

A

2

+ e'

In der Coulomb-Ei hung l

at si h no h zus

atzli h der Term r A wegei hen, d.h. man

bestimmt das Ei hfeld (siehe n

a hster Abs hn.) so, da

r A = 0

gilt.

14.3 Ei hinvarianz

EIndeutig messbare Gr

oen sind nur E und B, ni ht aber A und '. Das heit, man hat

hier eine zus

atzli he Freiheit, was dur h die Ei htransformation zum Ausdru k kommt:

A

0

= A+rf

'

0

= '

1

_

f

Hier bedeutet f(r; t) das skalare Ei hfeld. Die Ei htransformation l

at die Felder E

und B unver

andert, und damit au h die Maxwell-Glei hungen. D.h. es besteht Ei hin-

varianz.

Dagegen ist die S hr

odingerglei hung ni ht ei hinvariant, da hier A und ' explizit

auftreten:

^

H

0

=

1

2m

h

i

r

e

A

e

rf

!

2

+ e'

e

_

f 6=

^

H


Abhilfe: Man muss die Wellenfunktion mit transformieren. Hier l

at si h ausnutzen,

da die Phase der WF keine mebare Gr

oe darstellt. Die globale Ei htransformation

0

(r; t) = (r; t)e

i

l

at alles unver

andert und bringt ni hts Neues. Dagegen f

uhrt die lokale Ei htransfor-

mation

0

(r; t) = (r; t)e

i(r;t)

zu zus

atzli hen Termen in der S hr

odingerglei hung, die diejenigen Terme, die dur h

Umei hung der elektromagnetis hen Potentiale auftreten, wieder kompensieren k

onnen.

D.h. die Physik ist ei hinvariant, wenn die L

osung von

^

H

0

0

= ih

_

0

zu den selben messbaren Ergebnissen f

uhrt, wie

^

H = ih

_

Dur h einsetzen der geei hten Funktion

0

erh

alt man

2

4

1

2m

h

i

r + hr

e

A

e

rf

!

2

+ e'

e

_

f

3

5

= ih

_

h _

Also muss gelten

hr =

e

rf

h _ =

e

_

f

was si h dur h

=

e

h

f

erf

ullen l

at. D.h. es besteht ein unmittelbarer Zusammenhang zwis hen dem elektro-

dynamis hen Ei hfeld und der lokalen Phase der Wellenfunktion.

14.4. BEISPIEL: TEILCHEN IM HOMOGENEN, ZEITL. KONSTANTEN MAGNETFELD177

- Die Ei hung von A und ' verursa ht eine lokale Ei hung von .

Messbar sind nur E, B, sowie Erwartungswerte der Form < O(^p; r) >, die si h jedo h

dur h die lokale Phasentransformation

andern w

urden. Rezept: Ersetze

uberall

^p !

^p

e

^

A

dann sind alle Erwartungswerte ei hinvariant.

14.4 Beispiel: Teil hen im homogenen, zeitl. kon-

stanten Magnetfeld

klassis h:

Spiralbahn durch Lorentzkraft

QM: Quantisierung des zirkularen Anteils an der Bewegung, Landau-Niveaus.

W

ahle

A =

0

B

By

0

0

1

C

A

; ' = 0

damit ist

rA = B; r A = 0

d.h. es gilt die Coulomb-Ei hung. F

ur die S hr

odingerglei hung erh

alt man


h

2

2m

ihe

m

By

x

+

e

2

2m

2

B

2

y

2

= E

Wegen

[H; p

x

= [H; p

z

= 0

muss si h als gemeinsame Eigenfunktion zu H, p

x

und p

z

(ebene Wellen) ansetzen

lassen. Man ma ht den Produktansatz

(r) = C(y)e

i(k

x

x+k

z

z)

Eingesetzt ergibt si h f

ur C(y) die Glei hung eines vers hobenen harmonis hen Oszil-

lators:

h

2

2m

d

2

C(y)

dy

2

+

ehk

x

m

ByC(y) +

e

2

B

2

2m

2

y

2

C(y) =

"

E

h

2

2m

(k

2

x

+ k

2

z

)

#

C(y)

Mit den Substitutionen

y = y

0

hk

x

eB

~

E = E

h

2

k

2

z

2m

!

0

=

eB

m

; Zyklotronfrequenz

erh

alt man

h

2

2m

d

2

C(y

0

)

dy

02

+

m!

2

0

2

y

02

C(y

0

) =

~

EC(y)

die Glei hung eines harmonis hen Oszillators. Damit erhalten wir f

ur die Energienive-

aus:

E

n

=

eh

m

B

n+

1

2

| z

in xy-Ebene quantisiert

+

h

2

2m

k

2

z

| z

freies Teil hen in z

14.5. AM ATOMKERNGEBUNDENES ELEKTRON IM

AUSSERENMAGNETFELD179

14.5 Am Atomkern gebundenes Elektron im

aue-

ren Magnetfeld

B sei homogen und konstant. Mit

A =

1

2

B r

gilt wieder

rA = 0; r A = 0

Wir betra hten die S hr

odingerglei hung

2

6

6

6

4

h

2

2m

eh

2m i

0

r A

| z

=0

+A r

| z

=V

1

1

A

+

e

2

2m

2

A

2

| z

=V

2

+e'

3

7

7

7

5

= E

mit dem Kernpotential ' = e=r. Zun

a hst bere hnen wir V

1

. Mit

A r =

1

2

(B r) r =

i

2h

B

r

h

i

r

!

= B

^

L

erhalten wir

^

V

1

=

e

2m

B

^

L B

oder

=

e

2m

^

L Operator des magnetis hen Moments

F

ur V

2

ergibt si h

^

V

2

=

e

2

8m

2

(B r)

2

= B

ind

mit dem induzierten magnetis hen Moment, wel hes proportional zum

aueren Feld

ist.

ind

=

e

2

8m

2

(r (rB))

^

V

1

bes hreibt also die paramagnetis hen Eigens haften,

^

V

2

die diamagnetis hen eines Stoes.

Zuletzt werten wir den Beitrag von

^

V

1

in 1.Ordnung St

orungstheorie aus. Wir w

ahlen

B in z-Ri htung:

B = Be

z

Man erkennt, da die m-Entartung aufgehoben wird:

E

(1)

n`m

=< n`mj

^

V

1

jn`m >=

eh

2m

e

B < n`mj

^

L

z

jn`m >=

eh

2m

e

mB

B=0

1s

2p

B=0

m=+1

m=0

m=-1

m=0

Die Auswahlregeln f

ur die Dipolstrahlung (vgl. 11.6.2) erlauben

Uberg

ange mit m =

0;1, d.h. alle 3 Linien sind im Spektrum enthalten. Das Magnetfeld bewirkt eine

Frequenzvers hiebung um die Lamorfrequenz

!

L

=

eB

2m

e

Es handelt si h hierbei um den normalen Zeemann-Eekt

Kapitel 15

Teil hen mit Spin 1/2

Bisher betra hteten wir Teil hen, die dur h die inneren Freiheitsgrade Masse und La-

dung harakterisiert wurden. Als weitere Gr

oe fordern experimentelle Gr

unde das

Vorhandensein eines Spins, der bei geladenen Teil hen an ein magnetis hes Moment

gekn

upft ist und ans hauli h die Rolle eines Drehimpulses hat. Wir unters heiden ver-

s hiedene Teil hensorten:

Fermionen, das sind Teil hen mit halbzahligem Spin. Hierzu geh

oren alle Teil hen,

die die Atome aufbauen und Masse haben, also Elektronen, Protonen und Neutro-

nen. Sie gehor hen dem Paulis hen Auss hlieungsprinzip, d.h. zwei Teil hen mit

halbzahligem Spin m

ussen si h in mindestens einer Quantenzahl unters heiden.

Bosonen, Teil hen mit ganzzahligem oder vers hwindendem Spin, z.B Photonen,

Vektorbosonen, et .. Bosonen sind oft virtuelle Teil hen und werden in Ei htheo-

rien zum Austaus h von We hselwirkungskr

aften zwis hen Fermionen verwendet.

Beispiel elektromagn. WW. zwis hen zwei Elektronen. Die beiden Elektronen tau-

s hen virtuelle Photonen aus und

ubertragen somit Impuls und Energie. Bosonen

gehor hen ni ht dem Pauli-Prinzip, d.h. beliebig viele Bosonen k

onnen in einem

einzigen Grundzustand sein (Bose-Einstein-Kondensation).

15.1 Experimentelle Gr

unde

Stern-Gerla h-Versu h: Teil hen haben magnetis hes Moment. Die Analogie zu einer

rotierenden Kugel legt

/ L

181

182 KAPITEL 15. TEILCHEN MIT SPIN 1/2

nahe, wobei L der Eigendrehimpuls der Kugel ist. Im Magnetfeld ist die Energie der

rotierenden Kugel gegeben als

V = B

die Kraft, die dur h das Magnetfeld verursa ht wird, ist

K = rV = ( r)B

Um eine ni htvers hwindende Kraft zu erhalten, muss das Magnetfeld also inhomogen

sein.

geladene

inhomogenes B

Teilchen

zwei Arten von Teilchen

zµ = +

1/2mit Spin

eh/2m

Idee: wegen / L sollte L nur zwei (Spin-1/2 Teil hen) Einstellm

ogli hkeiten im Feld

haben. Wegen

m = `:::`

muss also hier ` = 1=2 gelten. Man erh

alt dann die beiden M

ogli hkeiten

m = 1=2; Spin na h oben; m = 1=2; Spin na h unten

Wir legen also ` = S = 1=2 fest f

ur alle Spin-1/2-Teil hen. Wir su hen jetzt den dem

Spin zugeordneten Operator. Beim Bahndrehimpuls gilt f

ur die We hselwirkung mit

einem Magnetfeld

B =

e

2m

^

L

^

B

Wir lassen uns davon leiten und fragen na h dem dem magnrtis hen Moment des

Elektrons zugeordneten Operator

15.2. SPINOPERATOREN 183

15.2 Spinoperatoren

Die Spinzust

ande lassen si h dur h die Quantenzahlen S und S

z

eindeutig bes hreiben.

Vers hiedene S hreibweisen sind gebr

au hli h:

jS; S

z

>=

(

j

1

2

;

1

2

> = j

1

2

> = j ">

j

1

2

;

1

2

> = j

1

2

> = j #>

wobei die jeweils letzten beiden Notationen eindeutige Abk

urzungen sind, wenn man

S = 1=2 annimmt und S

z

die Rolle der magnetis hen Quantenzahl m

ubernimmt.

z z

1/2

-1/2

Zwei Zust

ande

Eweiterung des Hilbertraums um zwei Dimensionen

H

G

= H

B

H

S

wobei H

B

den bisherigen, unendli h dimensionalen Hilbertraum der Elektronenbahnen

be hreibt. Die Wellenfunktionen lassen si h dann als Produkte der Form

j

G

>= j

B

> jS

z

>

Wir w

ahlen eine Basis in H

S

so, dass

j ">=

1

0

!

; j #>=

0

1

!

gilt. F

ur den Erwartungswert der z-Komponente des magnetis hen Momentes kennt

man aus dem Experiment

<" j

z

j ">=

eh

2m

Wir denieren den Spinoperator S

z

gem

a

z

= g

s

e

2m

^

S

z

= g

s

q

2m

^

S

z

mit dem gyromagnetis hen Faktor g

s

, der im folgenden bestimmt wird. Es gilt also

g

s

<" j

^

S

z

j ">= h; g

s

<# j

^

S

z

j #>= h (15.1)

sowie

g

s

<" j

^

S

z

j #>= g

s

<# j

^

S

z

j ">= 0

Daraus folgt eindeutig die Spinoperatorkomponente

^

S

z

=

h

g

s

1 0

0 1

!

Dass es si h hierbei um eine 2x2-Matrix handeln muss, ist klar. Alle Spinoperatoren

wirken ja nur auf den zweidimensionalen Unterraum H

S

, der dur h obige Basis aufge-

spannt wird. Weiterhin gilt

^

S

z

jS

z

>= S

z

hjS

z

>

und daraus

< S

z

j

^

S

z

jS

z

>= S

z

h

was zusammen mit (15.1) auf

S

z

g

s

= 1; g

s

= 2

f

uhrt. Wir bere hnen jetzt die Operatoren der beiden anderen Spinkomponenten. Da

es si h um Drehimpulskomponenten handelt, m

ussen wir fordern

[

^

S

x

;

^

S

y

= ih

^

S

z

und zyklis h. Auerdem haben wir no h die Glei hung

15.2. SPINOPERATOREN 185

^

S

2

jS

z

>= h

2

S(S + 1)jS

z

>=

3

4

h

2

jS

z

>

Mit der Umformung

^

S

2

=

^

S

2

x

+

^

S

2

y

+

^

S

2

z

=

^

S

2

x

+

^

S

2

y

+

h

2

4

ergibt si h daraus

(

^

S

2

x

+

^

S

2

y

)jS

z

>=

h

2

2

jS

z

>

Dies gilt si her, wenn

^

S

2

x

=

^

S

2

y

=

h

2

4

^

1 =

^

S

z

Zusammen mit den Vertaus hungsrelationen l

at si h das nur erf

ullen, wenn

^

S

x

=

h

2

0 1

1 0

!

;

^

S

y

=

h

2

0 i

i 0

!

Zum S hlu f

uhren wir no h die Pauli-Matrizen ein

^

S =

h

2

die dann die Form

x

=

0 1

1 0

!

;

y

=

0 i

i 0

!

;

z

=

1 0

0 1

!

haben. f

ur Sie gelten wieder Drehimpulsvertaus hungsrelationen

[

x

;

y

= 2i

z

; et .


15.3 Die Pauli-Glei hung

Bes hreibung von Teil hen mit Spin 1/2 im

aueren Magnetfeld. Es gilt

^

H

s

=

S

B = g

s

e

2m

B

^

S =

eh

2m

| z

=

B

B

Die Gesamtwellenfunktion muss jetzt ein zweikomponentiger Vektor sein, z.B. in Orts-

darstellung:

G

(r; t) =

"

(r; t)

#

(r; t)

!

D.h. j

"

(r; t)j

2

gibt die Wahrs heinli hkeit an, zur Zeit t am Ort r ein Teil hen mit

Spin na h oben zu nden. Wir formulieren die Pauli-Glei hung analog zur S hr

odin-

gerglei hung:

^

H

P

j >= ihj >

Mit dem Pauli-Hamiltonoperator

^

H

P

=

1

2m

^

P

e

^

A

2

e'+

B

B

=

1

2m

^

P

2

e'B

ind

+

e

2m

B

^

L+ g

s

^

S

Und damit f

ur die Pauliglei hung in der Ortsdarstellung:

ih

_

"

_

#

!

=

1

2m

ihr

e

A

2

e'

!

_

"

_

#

!

+

B

B

_

"

_

#

!

d.h. man erh

alt zwei dur h das Magnetfeld, bzw. das magnetis he Moment des Elek-

trons gekoppelte, partielle Dgls.

15.4 Die Spin-Bahn-Kopplung (LS-Kopplung)

Das um den Kern bewegte Elektron sieht ein Magnetfeld, verursa ht dur h das statis he

Kernfeld. Dadur h entsteht die Feinstrukturaufspaltung der Spektralinien, au h ohne

aueres Magnetfeld.

15.5. ZUR ADDITION VON DREHIMPULSEN 187

Im Laborsystem (Kern in Ruhe) gilt:

E =

er

r3

= r'; ' = e=r

B = 0

In einem mit v bewegten System gilt (Lorentz-Transformation der Felder) bis zur

Ordnung v= :

E

0

E

B

0

1

v E

und damit f

ur den Hamiltonoperator, den das Elektron sieht:

^

H

`s

=

e

m

B

0

S

e

m

2

S (v E) =

e

2

m

2

2

r

3

L S

Die Herleitung war klassis h, auerdem bezieht sie si h auf den Fall, bei dem v konstant

ist. Die exakte Herleitung folgt aus der Dira -Glei hung (siehe Teil VI). Sie liefert den

um einen Faktor 2 vers hiedenen Ausdru k:

^

H

`s

=

Ze

2

2m

2

2

L S

r

3

15.5 Zur Addition von Drehimpulsen

Betra hte ein System, dass dur h zwei Drehimpulse harakterisiert wird, z.B. L und S

oder allgemeiner J

1

und J

2

. Klassis h l

at si h der Gesamtdrehimpuls

J = J

1

+ J

2

denieren. In der QM gibt es prinzipiell zwei M

ogli hkeiten, Zust

ande dur h zwei Dre-

himpulse zu bes hreiben.

Beispiel Wassersto-Elektron mit Spin:

j`;m; S; S

z

>= j`;m > jS; S

z

>


Dies sind simultane Eigenzust

ande zu

^

L

2

;

^

S

2

;

^

L

z

;

^

S

z

. Ber

u ksi htigt man im Hamilton-

operator die LS-Kopplung, dann gilt

^

H =

^

H(

^

L

2

;

^

S

2

;

^

L

^

S)

d.h.,

^

L und

^

S vertaus hen ni ht mehr mit

^

H und die zugeh

origen Quantenzahlen

k

onnen ni ht mehr zur Charakterisierung der Eigenzust

ande von

^

H verwendet wer-

den. Stattdessen gilt aber wegen

^

J

2

=

^

L

2

+

^

S

2

+ 2 (

^

L

^

S)

au h

(

^

L

^

S) =

1

2

(

^

J

2

^

L

2

^

S

2

)

und deshalb

^

H =

^

H(

^

L

2

;

^

S

2

;

^

J

2

)

Es vertaus ht also

^

H sowohl mit

^

L

2

;

^

S

2

, als au h mit

^

J

2

, d.h. es lassen si h simulta-

ne Eigenzust

ande zu

^

H und den drei Drehimpulsquadrat-Operatoren nden. Dies ist

Ausdru k f

ur die trotz LS-Kopplung immer no h erhaltene Drehinvarianz des ganzen

Systems.

Wir betra hten den allgemeinen Fall f

ur zwei beliebige Drehimpulse J

1

und J

2

, wobei

es si h also ni ht unbedingt um Spins handeln muss. Es sei

^

J =

^

J

1

+

^

J

2

; [

^

J

1

;

^

J

2

= 0

Wir untersu hen das VONS

jj; j

1

; j

2

; m >

wobei j; j

1

; j

2

die Betr

age der Drehimpulse undm die z-Komponente von

^

J quantisieren

sollen. Es gilt also wie f

ur alle Drehimpulse

^

J

2

jj; j

1

; j

2

; m > = j(j + 1)h

2

jj; j

1

; j

2

; m >

^

J

2

1

jj; j

1

; j

2

; m > = j

1

(j

1

+ 1)h

2

jj; j

1

; j

2

; m >

^

J

2

2

jj; j

1

; j

2

; m > = j

2

(j

2

+ 1)h

2

jj; j

1

; j

2

; m >

^

J

z

jj; j

1

; j

2

; m > = mhjj; j

1

; j

2

; m >

Die Transformation von den Produktzust

anden auf die neuen Zust

ande ist unit

ar und

lautet allgemein

jj; j

1

; j

2

; m >=

X

m

1

;m

2

C(j

1

; j

2

; j;m

1

; m

2

; m)jj

1

; m

1

; j

2

; m

2

>

mit den Clebs h-Gordon-KoeÆzienten (man hmal au h Wigner-KoeÆzienten genannt)

C(j

1

; j

2

; j;m

1

; m

2

; m) =< j

1

; m

1

; j

2

; m

2

jj; j

1

; j

2

; m >

Wir fragen na h dem Werteberei h von j und m. Wegen

^

j

z

=

^

j

1z

+

^

j

2z

folgt sofort

m = m

1

+m

2

d.h die Doppelsumme

uber m

1

; m

2

geht in eine Einfa hsumme

uber. F

ur festes j; j

1

; j

2

gilt

m = j;j + 1;j + 2::::j 1; j

und

j

max

= j

1

+ j

2

; m

max

= j

1

+ j

2

und entspre hend

j

min

= jj

1

j

2

j


d.h. es gilt die Dreie ksunglei hung

jj

1

j

2

j j j

1

+ j

2

ganz analog zur klassis hen Vektorrelation

jJ

1

J

2

j jJj jJ

1

+ J

2

j

F

ur eine ausf

uhrli he Diskussion siehe z.B. Nolting V,2, S. 75-85.

Wir untersu hen das Beispiel H-Atom mit Spin 1/2, also

j

1

= `; j

2

= 1=2; m

2

= 1=2

Auerdem gilt dann

`

1

2

j `+

1

2

Mit m

1

= mm

2

ergibt si h die Transformation auf die Basis des Gesamtdrehimpuls

zu

jj = ` 1=2; `; 1=2; m > = C(`; 1=2; j;m 1=2; 1=2; m)j`;m 1=2; 1=2; 1=2 >

+C(`; 1=2; j;m+ 1=2;1=2; m)j`;m+ 1=2; 1=2;1=2 >

F

ur die beiden Clebs h-Gordon-KoeÆzienten erh

alt man (siehe z.B. Abramowitz, Hand-

book of Mathemati al Fun tions):

C(`; 1=2; j;m 1=2; 1=2; m) =

s

`m + 1=2

2`+ 1

C(`; 1=2; j;m+ 1=2;1=2; m) =

s

`m+ 1=2

2`+ 1

In Ortsdarstellung erhalten wir den 2-dimensionalen Spinor

Y

`1=2;m

`;1=2

(; ') =

1

p

2`+ 1

0

q

`m+ 1=2 Y

`;m1=2

(; ')

q

`m+ 1=2 Y

`;m+1=2

(; ')

1

A


Abs hlieend geben wir no h die allgemeine Form der Clebs h-Gordon-KoeÆzienten

f

ur beliebige halb- oder ganzzahlige Indizes an:

C(j

1

; j

2

; j;m

1

; m

2

; m) = Æ

m;m

1

+m

2

v

u

u

t

(j

1

+ j

2

j)!(j + j

1

j

2

)!(j + j

2

j

1

)!(2j + 1)

(j + j

1

+ j

2

+ 1)!

X

k

(1)

k

q

(j

1

+m

1

)!(j

1

m

1

)!(j

2

+m

2

)!(j

2

m

2

)!(j +m)!(j m)!

k!(j

1

+ j

2

j k)!(j

1

m

1

k)!(j

2

+m

2

k)!(j j

2

+m

1

+ k)!(j j

1

m

2

+ k)!


Ein paar Clebs h-Gordon-KoeÆxienten, aus Abramowitz:

15.6. SPIN-BAHN-KOPPLUNG UND

AUSSERES MAGNETFELD 193

15.6 Spin-Bahn-Kopplung und

aueres Magnetfeld

gute Quantenzahlen: Eigenwerte von Operatoren, die mit

^

H vertaus hen. Die Ob-

servablen sind glei hzeitig mit E s harf mebar und daher Erhaltungsgr

oen.

s hle hte Quantenzahlen: Eigenwerte von Operatoren, die mit

^

H ni ht vertaus hen.

Die Observablen sind keine Erhaltungsgr

oen.

15.6.1 Wasserstoproblem ohne Spin

kein

aueres Feld, kein Spin

^

H =

^

H

0

=

p

2

2m

e'(r)

a.)

^

L

2

;

^

L

z

;

^

S

2

;

^

S

z

vertaus hen mit

^

H

0

, daher sind `;m; s; s

z

gute QZ.

b.)

^

J

2

;

^

J

z

;

^

S

2

;

^

L

2

vertaus hen mit

^

H

0

, daher sind j;m

j

; s; ` gute QZ.

Die Eigenwerte E

n

zu einem bestimmten Bahndrehimpuls mit QZ ` sind

g = (2`+ 1)(2s+ 1)

fa h entartet. In der Wahl

a.)

jm

`

; s

z

> m

`

= `:::`; (2`+ 1)

s

z

= s:::s; (2s+ 1)

g = (2`+ 1)(2s+ 1)

b.)

jj;m

j

> j = `+ s:::j` sj; (2s+ 1)

m

j

= j:::j; (2j + 1)

g =

P

`+s

j=`s

(2j + 1) = 2

P

j + 2s+ 1 = 2`(s+ 1) + 2s+ 1 = (2`+ 1)(2s+ 1)

15.6.2 Wasserstoproblem mit Spin-Bahn-Kopplung

kein

aueres Feld

^

H =

^

H

0

+H

`s

Es war

^

H

`s

=

e

2

2m

2

2

r

3

^

L

^

S = W (r)

^

L

^

S =

1

2

W (r)

^

J

2

^

L

2

^

S

2

a.) Wegen

[

^

L

z

;

^

H 6= 0; [

^

S

z

;

^

H 6= 0

sind m

`

und s

z

keine guten QZ mehr.

b.) jj; `; s;m

j

> ist dagegen die ri htige Wahl, da alle dazugeh

orenden Operatoren mit

^

H vertaus hen.

Die Korrektur der LS-Kopplung liefert in 1.Ordnung St

orungstheorie:

E

(1)

= < j; `; s;m

j

j

^

H

`s

jj; `; s;m

j

>=

1

2

< j; `; s;m

j

jW (r)

^

J

2

^

L

2

^

S

2

jj; `; s;m

j

>

=

1

2

Z

1

0

R

2

n`

W (r)r

2

dr

| z

=W

n`

h

2

[j(j + 1) `(`+ 1) s(s+ 1)

Weil j = j` sj:::` + s, spalten die vorher g-fa h entarteten Niveaus jetzt in 2s + 1

vers hiedene Niveaus auf, von denen jedes nur no h 2j + 1-fa h entartet ist. Dies ist

Ausdru k der immer no h vorhandenen Rotationsinvarianz des Gesamtproblems, d.h.

die Einstellm

ogli hkeiten des Gesamtdrehimpulses J f

uhren zu den selben Energiewer-

ten.

Die Aufspaltung wird als Feinstruktur bezei hnet und mit

n

(2s+1)

L

j

; L = S; P;D; F; :::; entspre hend ` = 0; 1; 2; 3; :::

klassiziert. Wie immer ist n die Hauptquantenzahl.

Beispiel s = 1=2, (H,Na, et )



2

2

2

22 p

g=21 s

2 p

1 s

2 p3/2

(1)E 2,1/2,1

Na-D-Linien

(1)

1/2

1/2

2

E 2,3/2,1

g=2

H0

H + H0 ls

g=2

g=6

g=4

ÆE

(1)

nj`

=

h

2

2

W

n`

(

`; j = `+ 1=2

` 1; j = ` 1=2

15.6.3 Wasserstoproblem mit

auerem Magnetfeld

mit Spin, zun

a hst aber ohne LS-Kopplung

^

H =

^

H

0

+

^

H

M

^

H

M

=

e

2m

e

B (

^

L+ g

s

^

S) =

e

2m

e

B

| z

=!

L

(

^

L

z

+ 2

^

S

z

)

Wobei B wieder inz-Ri htung angenommen wurde. Wegen

[

^

J

2

;

^

H 6= 0

ist j keine gute QZ mehr. Die ri htige Wahl ist also

a.) j`;m; s; s

z

>

und man erh

alt in 1.Ordnung St

orungstheorie den Beitrag

E

(1)

= h!

L

(m+ 2S

z

)

wie bei Zeeman-Eekt, nur mit zus

atzli hem Spin.

15.6.4 Wasserstoproblem mit Magnetfeld und LS-Kopplung

^

H =

^

H

0

+

^

H

M

+

^

H

`s

Jetzt gilt

[

^

L

z

;

^

H 6= 0; [

^

S

z

;

^

H 6= 0; [

^

J

2

;

^

H 6= 0

d.h. m; `; j sind keine guten QZ mehr und weder Wahl a) no h Wahl b) funktioniert.

Wir bes hr

anken die Diskussion daher auf die beiden Extremf

alle:

1. S hwa hes Magnetfeld, f

uhrt zum anormalen Zeeman-Eekt

2. Starkes Magnetfeld f

uhrt zum Pas hen-Ba k-Eekt

Wobei stark und s hwa h si h realtiv zum Beitrag dur h die LS-Kopplung bezieht.

1. Hier wird der dominierende Eekt die Feinstrukturaufspaltung wie in Abs hn. 15.6.2

sein, plus einer zus

atzli hen s hwa hen St

orung dur h das Magnetfeld. Wir verwenden

daher die Wahl b.) und erhalten f

ur die zus

atzli he Aufspaltung

E

(1)

M

= !

L

< j; `; s;m

j

j

^

L

z

+ 2

^

S

z

| z

^

J

z

+

^

S

z

jj; `; s;m

j

>

= !

L

hm

j

+ < j; `; s;m

j

j

^

S

z

jj; `; s;m

j

>

Wir bere hnen < j; `; s;m

j

j

^

S

z

jj; `; s;m

j

>. Dazu verwenden wir die Hilfsformel

1

Ih

[

^

S

^

J;

^

L

^

S =

^

S

^

J

2

^

J(

^

S

^

J)

Wir bilden den Erwartungswert (Abk

urzung > f

ur jj; `; s;m

j

>)

< [

^

S

^

J;

^

L

^

S > =

1

2

< (

^

S

^

J)(

^

J

2

^

L

2

^

S

2

) >

1

2

< (

^

J

2

^

L

2

^

S

2

)(

^

S

^

J) >

=

1

2

h

2

[j(j + 1) `(`+ 1) s(s+ 1) [< (

^

S

^

J) > < (

^

S

^

J) >

| z

=0

= 0

Damit muss aber au h der Erwartungsert der re hten Seite der Hilfsformel vers hwin-

den:

<

^

S

^

J

2

>=<

^

J(

^

S

^

J > (15.2)

Wir verwenden

^

S

^

J =

1

2

(

^

J

2

^

L

2

+

^

S

2

)

Betra hten wir die z-Komponente von (15.2):

<

^

S

z

^

J

2

>=

1

2

<

^

J

z

(

^

J

2

^

L

2

+

^

S

2

) >

so haben wir jetzt auer

^

S

z

nur no h Operatoren, zu denen unsere Zust

ande Eigen-

funktionen sind, d.h. wir k

onnen weiter umformen

h

2

j(j + 1) <

^

S

z

>=

1

2

h

3

m

j

[j(j + 1) `(`+ 1) + s(s+ 1)

und aufgel

ost endli h

<

^

S

z

>=

1

2

hm

j

j(j + 1) `(`+ 1) + s(s+ 1)

j(j + 1)

Damit l

at si h die zus

azli he Energieaufspaltung im Magnetfeld s hreiben als

E

(1)

M

= h!

L

m

j

wobei

1 +

j(j + 1) `(`+ 1) + s(s+ 1)

2j(j + 1)

als Landes her g-Faktor der LS-Kopplung bezei hnet wird.

Es ergibt si h folgendes Niveaus hema:

m =j -3/2

m =j -1/2

m =

1/2

m =j -1/2

m =

jm =

-1/2j

j

g=6

g=2

g=4

g=2

γ=2

γ=2/3

γ=4/3

g=2s

1/2

m =j 3/2

p

1/2

0 lsH + H + H

ls

jm =

M0 H + H 0 H

2. Der Fall starkes Magnetfeld wird die LS-Kopplung aufbre hen, so dass si h Spin

und Bahndrehimpuls mehr oder weniger unabh

angig zumMagnetfeld einstellen k

onnen.

Die LS-Kopplung wird also als St

orung des Zeeman-Eekts mit Spin (Abs hn. 15.6.3)

in Ers heinung treten.

Wir w

ahlen die Darstellung a.), d.h. wir verwenden wieder die QZm;S

z

; `; s. Die dur h

das Magnetfeld hervorgerufene Niveauaufspaltung ist wie vorher

E

(1)

M

= h!

L

(m+ 2S

z

)

Zus

atzli h kommt die LS-Kopplung dazu:

E

(1)

`s

= W

n`

< `;m; s; s

z

j

^

L

^

Sj`;m; s; s

z

> W

n`

h

2

mS

z

Die letzte N

aherung bestand darin, anzunehmen, dass die x,y- Komponenten der

Drehimpulse weitgehend unkorreliert sind, was streng genommen nur bei kompletter

Zerst

orung der LS-Kopplung und daher bei unendli h groem Magnetfeld gilt. D.h. wir

n

ahern:

^

L

^

S =

^

L

x

^

S

x

+

^

L

y

^

S

y

| z

0

+

^

L

z

^

S

z

^

L

z

^

S

z

Wir erhalten also folgende

Uberg

ange:



0 -1/2

-1 -1/2

0

1/2

1-1 1/2

-1/2

0

-1

-2

1

-1

s

p 0

-1/2

1/2

2-fachentartet

2

1

1/2

2 h ωL

m +2Szl ml Sz

1

0

Dipolauswahlregel: l = 1, m

l

= 0;1, S

z

= 0. Man sieht also drei Linien, wie

beim normalen Zeeman-Eekt.

200

KAPITEL15.TEILCHENMITSPIN1/2

m =j 1/2

m =j -1/2

m =j -1/2

m =j 1/2

m =j -3/2

m =j -1/2

m =j 1/2

m =j 3/2

∆ m = 0, +1, -1 ∆ m = 0, +1, -1 ∆ m = 0, +1, -1

∆ Sz = 0 ∆ Sz = 0

H0 H + H 0 ls H + H + H

ls0 M

p

s

g=6

g=2

g=4

g=2

g=2

m Sz

1 1/2

0 1/2

-1 1/2 1 -1/2

0 -1/2

-1 -1/2

0 1/2

0 -1/2

Feinstruktur Anomaler Zeeman-Effekt Paschen-Back-Effekt

j

ohne LS-Kopp. B=0 B-Feld nimmt zu

(jede doppelt)

g=2

g=1

g=1

g=1

g=1

g=1

g=1

1 Linie 2 Linien 10 Linien 3 Linien

Teil VI

Grundlagen der relativistis hen

Quantenme hanik

201

Kapitel 16

Herleitung der Dira -Glei hung

16.1 Erinnerung an die relativistis he Me hanik

16.1.1 Vierervektoren und Minkowski-Metrik

Man formuliert die klassis he Me hanik kovariant, d.h. invariant unter Lorentztrans-

formationen. Dies gelingt dur h das Einf

uhren von Vierervektoren, d.h. jeweils eine

Zeitkomponente wird mit drei Raumkomponenten so in Verbindung gebra ht, da si h

das Resultat als Vektor unter Lorentztransformationen transformiert. Beispiel:

r; t ! x

; fx

g

wobei

fx

g =

t

r

!

bezei hnet. Zur Notation: r sind die

ubli hen, dreikomponentigen Vektoren im Orts-

raum, x

bedeutet die -te Komponente des (kontravarianten) Vierervektors fx

g. Die

erste (nullte) Komponente x

0

wird als \Zeitkomponente" bezei hnet, die anderen drei

als \Raumkomponenten". Wenn fx

g einen Vierervektor bildet, so ist das Skalarpro-

dukt S:

S = g

x

x

= t

2

r

2

invariant unter Lorentztransformationen und damit denitionsgem

a ein Lorentz-Skalar.

Hier und im folgenden verwenden wir die Einsteins he Summenkonvention, d.h.

uber

auf einer Seite doppelt auftretende (grie his he) Indizes wird von 0 bis 3 summiert.

203

204 KAPITEL 16. HERLEITUNG DER DIRAC-GLEICHUNG

Der Tensor g

wird Minkowskis her Metriktensor genannt und hat die Form

fg

g =

0

B

B

B

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1

C

C

C

A

S = 0 bes hreibt die Ober

a he einer Kugel, deren Radius mit Li htges hwindig-

keit w

a hst. Das entspri ht der Ausbreitung eines Li htblitzes, der zur Zeit t = 0 am

Ort r = 0 war. Die Invarianz unter Lorentz-Transformationen bedeutet nun, da die-

ser Li htblitz in allen Inertialsystemen die glei he Form einer Kugel hat. Das ist das

grundlegende Axiom der speziellen Relativit

atstheorie.

16.1.2 Eigenzeit

Die Zeit, die in einem Inertialsystem verstrei ht, das si h mit v bewegt, ist gegeben als

=

t

;

1

q

1

v

2

2

H

angt v von t ab, so gilt no h der dierentielle Zusammenhang

d =

dt

Hierbei ist d ein Lorentz-Skalar,

16.1.3 Viererges hwindigkeit

Wir denieren den Vierervektor

v

=

dx

d

und erhalten

fv

g =

v

!

als relativistis he Verallgemeinerung der Ges hwindigkeit. Es gilt die wi htige Relation

g

v

v

=

2

(

2

v

2

) =

2

= onst

16.1. ERINNERUNG AN DIE RELATIVISTISCHE MECHANIK 205

16.1.4 Viererimpuls

Wir denieren

p

= m

0

v

als Viererimpuls eines Teil hens, wobeim

0

dessen Ruhemasse darstellt und ein Lorentz-

Skalar ist. Die Newtons hen Glei hungen lassen si h kovariant formulieren:

d

d

p

= K

(16.1)

wobei fK

g die verallgemeinerte Viererkraft darstellt. In

Ubereinstimmung mit New-

ton muss gelten

K

i

= K

N

i

; i = 1; 2; 3

wobei K

N

der Newtons he Kraftvektor ist. Wir bere hnen K

0

. Multiplikation von

(16.1) mit p

ergibt

g

p

d

d

p

=

1

2

d

d

g

p

p

=

1

2

d

d

m

2

0

2

= 0

Dann gilt au h

g

p

K

= v

0

K

0

2

v K = 0

und damit

K

0

=

v K

Aus der 0-ten Komponente von (16.1) wird

d

d

p

0

=

d

d

m

0

= K

0

=

v K

oder

d

dt

m

0

2

q

1

v

2

2

= v K


Auf der re hten Seite steht die dur h das Kraftfeld am Teil hen geleistete Arbeit/Zeit,

was der Energie

anderung des Teil hens entspri ht. Folgli h mu der Ausdru k

E =

m

0

2

q

1

v

2

2

= m

2

der gesamten (Ruheenergie + kinetis her Energie) Energie des Teil hens entspre hen.

In

aueren Kraftfeldern k

ame no h die potentielle Energie dazu. Damit k

onnen wir

aber au h p

0

dur h E ausdr

u ken und erhalten s hlieli h den Viererimpuls

fp

g =

E

p

!

wobei jetzt also die Energie die Zeitkomponente zu den drei Raumkomponenten des

Newtons hen Impulses bildet.

16.1.5 Energie-Impuls-Relation

Aus dem Viererimpuls bere hnet man

g

p

p

=

E

2

2

p

2

= m

2

0

g

v

v

= m

2

0

2

Na h E aufgel

ost:

E =

q

m

2

0

4

+ p

2

2

(16.2)

Eine Entwi klung na h v= liefert den ni htrelativistis hen Ausdru k plus Ruheenergie

in erster N

aherung:

E m

0

2

+

p

2

2m

0

+O(p

4

=

2

)

16.2 Quantisierung

Die de Jordans hen Regeln erweisen si h als kovariant, da dadur h der Impulsvierer-

vektor in den Vierer-Nablaoperator

ubergeht:

16.3. DIE DIRAC-GLEICHUNG DES FREIEN ELEKTRONS 207

E

p

!

! ih

(

x

)

Die S hr

odingerglei hung f

ur das freie Teil hen erhielten wir formal aus der Anwendung

der Jordans hen Regeln auf die ni htrelativistis he Energie-Impulsbeziehung

E =

p

2

2m

Genauso versu hen wir jetzt (16.2) zu quantisieren. Das Problem ist die Wurzel. Ein

Dierentialoperator unter einer Wurzel f

uhrt auf einen ni htlokalen Zusammenhang,

oder, was das selbe ist, auf unendli h hohe Ableitungen (dur h Taylor-Entwi klung

der Wurzel). Beides ist in der QM ni ht brau hbar. Klein, Gordon und S hr

odinger

versu hten daher zun

a hst, das Quadrat von (16.2) zu quantisieren:

E

2

= m

2

0

4

+ p

2

2

!

1

2

2

t

2

=

"

m

2

0

2

h

2

#

was auf eine Wellenglei hung mit zus

atzli hem Masseterm f

uhrt. Diese Glei hung wird

Klein-Gorden-Glei hung genannt. F

ur Teil hen mit Ruhemasse m

0

= 0 geht sie in die

Wellenglei hung aus der Elektrodynamik

uber. Eine andere S hreibweise ist

2 =

m

2

0

2

h

2

mit dem \Quabla-Operator" (oder oÆziell dem d'Alembert-Oberator)

2

1

2

2

t

2

16.3 Die Dira -Glei hung des freien Elektrons

Kritikpunkte an KG-Glei hung:

KG ist von 2.Ordnung in

t

, d.h. neben j(t = 0) > ist no h j

_

(t = 0) > zur

Bestimmung der eindeutigen L

osung notwendig. Dies ist ein qualitativ anderer

Sa hverhalt als bisher, denn man ben

otigt jetzt doppelt soviel Information. Es

ist unwahrs heinli h, da der Grund hierf

ur die relativistis he Verallgemeinerung

sein soll.


Es handelt si h immer no h um eine skalare Glei hung, d.h. der Spin m

ute, genau

wie in der S hr

odingerglei hung, dur h heuristis he Argumente ber

u ksi htigt

werden.

Dira verfolgte einen anderen Weg. Er versu hte die Wurzel (16.2) zu linearisieren. Das

f

uhrte in s hlieli h auf ein Glei hungssystem von vier Glei hungen f

ur einen vierkom-

ponentigen Vektor, die Dira -Glei hung.

Sei

^

L

2

=

2

2

m

2

0

4

h

2

der Klein-Gordon-Operator. Die KG-Glei hung l

at si h dann s hreiben als

^

L

2

= 0

Dira su hte die \Wurzel" so, da

^

L

1

^

L

2

=

^

L

2

wobei

^

L

1

und

^

L

2

linear in

x

sein sollen. Die KG-Glei hung l

at si h s hreiben als

"

ih

t

3

X

i=1

i

p

i

m

0

2

#

| z

=

^

L

1

"

ih

t

+

3

X

i=1

i

p

i

+ m

0

2

#

| z

=

^

L

2

j >= 0

Damit [:::[::: =

^

L

2

gilt, mu f

ur die Antikommutatoren gelten:

[

i

;

j

+

= 2Æ

ij

; [

i

;

+

= 0

sowie

2

= 1

Mit reellen oder komplexen Zahlen ist das ni ht zu ma hen. Wir werden sp

ater se-

hen, da man die

i

und als mindestens 4x4-Matrizen darstellen mu. Sie werden

Dira -Matrizen genannt.

16.4. DIRAC-GLEICHUNG UND ELEKTROMAGNETISCHES FELD 209

Die Dira -Glei hung ergibt si h als

^

L

1

j >= 0 (16.3)

Genau so gut h

atte man

^

L

2

verwenden k

onnen, die Ergebnisse w

aren identis h. Auf

jeden Fall gilt mit (16.3) au h

^

L

1

^

L

2

j >=

^

L

2

j >= 0

d.h. die L

osung von (16.3) ist au h L

osung der KG-Glei hung.

Damit lautet also die Dira -Glei hung des freien Elektrons:

ih

t

3

X

i=1

i

p

i

+ m

0

2

!

j >= 0

Sie ist, wie gefordert, in 1.Ordnung in

t

und

x

und auerdem no h kovariant.

Eine andere Formulierung ist formal

aquivalent zur S hr

odingerglei hung:

ih

t

j >=

^

H

D

j >

mit dem Dira -Operator

^

H

D

=

3

X

i=1

i

p

i

+ m

0

2

16.4 Dira -Glei hung und elektromagnetis hes Feld

Wir

ubernehmen die Vorgehensweise bei der S hr

odingerglei hung und erweitern sie

auf Vierervektoren. Anstatt der Minimalsubstitution

^p!

^p

e

A

s hreiben wir jetzt

p

! p

e

A


speziell die 0-te Komponente heit also

p

0

! p

0

e

A

0

und mit p

0

eingestetzt

E

!

E

e

A

0

w

ahle A

0

= ' als elektrostatis hes Potential, dann ergibt si h der Vierervektor

fA

g =

'

A

!

Damit ergibt si h zus

atzli h die Substitution

E ! E e'

was wir aber in der S hr

odingerglei hung s hon vorwegnahmen. Damit lautet die Dira -

Glei hung f

ur ein Teil hen im elektromagnetis hen Feld:

ih

t

3

X

i=1

i

(ih

x

i

eA

i

) m

0

2

e'

!

j >= 0 (16.4)

16.5 Die Dira -Matrizen

i

erf

ullen die selben Relationen wie die Pauli-Matrizen

i

. Die Existenz von erfor-

dert jedo h eine h

ohere Dimension als einen 2-dimensionalen Hilbertraum. Es l

at si h

zeigen, da man mit 4x4 Matrizen auskommt. Speziell w

ahlt man

i

=

0

i

i

0

!

; =

1 0

0 1

!

Damit lautet der Dira -Operator

^

H =

0

B

B

B

m

0

2

0 p

z

(p

x

ip

y

)

0 m

0

2

(p

x

+ ip

y

) p

z

p

z

(p

x

ip

y

) m

0

2

0

(p

x

+ ip

y

) p

z

0 m

0

2

1

C

C

C

A

Infolge dessen muss au h j > ein vierkomponentiger Vektor sein!

16.6. L

OSUNG F

UR FREIE TEILCHEN 211

16.6 L

osung f

ur freie Teil hen

Bei der Dira -Glei hung handelt es si h um vier gekoppelte, lineare, homogene DGL

mit konstanten KoeÆzienten. Wir ma hen daher den ebene-Wellen-Ansatz (Ortsdar-

stellung)

(r; t) = ae

i

h

(prEt)

oder, was das selbe ist, aber sofort kovariant aussieht

(r; t) = ae

i

h

g

p

x

Der Vektor a hat die vier r

aumli h und zeitli h konstanten Komponenten

a =

0

B

B

B

a

1

a

2

a

3

a

4

1

C

C

C

A

und wird, wie j > au h als Dira -Spinor bezei hnet. Einsetzen des Ansatzes in die

Dira -Glei hung liefert ein homogenes 4x4 Glei hungssystem f

ur die Komponenten a

i

:

0

B

B

B

m

0

2

E 0 p

z

(p

x

ip

y

)

0 m

0

2

E p

x

+ ip

y

) p

z

p

z

p

x

ip

y

) m

0

2

E 0

(p

x

+ ip

y

) p

z

0 m

0

2

E

1

C

C

C

A

0

B

B

B

a

1

a

2

a

3

a

4

1

C

C

C

A

= 0

Die L

osbarkeitsbedingung fordert

det(:::) = 0

und ergibt

m

2

0

4

E

2

+

2

p

2

2

= 0

und daraus die L

osungen

E

= E

p

=

q

2

p

2

+m

2

0

4


Jede der beiden L

osungen E

ist dabei zweifa h entartet.

Problem: es gibt negative Energien, d.h. die Energie nimmt ab mit wa hsendem Im-

puls.

D.h. auf dem negativen Zweig w

urde ein Teil hen unendli hen Impuls erlangen und

dabei st

andig Energie abgeben.

Ausweg (Dira ): Alle Zust

ande auf dem E

-Zweig sind besetzt. Da es si h um Fermio-

nen handelt, k

onnen au h keine Teil hen na hr

u ken und Zust

ande doppelt besetzen.

Das ist nur m

ogli h, wenn ein Teil hen aus dem Dira -See dur h Anregung in die

\Oberwelt" gehoben wird und dort als Elektron in Ers heinung tritt.

Es hinterl

at dann ein Lo h (freier Zustand) im Dira -See. Dieses Lo h kann dur h

na hr

u kende Teil hen aufgef

ullt werden und wandert dadur h zu niedrigeren Impulsen,

zeigt also wieder normale Dispersion, in dem es Impuls abgibt, wobei der negative Zweig

als ganzes Energie abgibt. Das von Dira vorhergesagte \Lo h" wurde experimentell

1933 als Positron, das Anti-Teil hen zum Elektron, gefunden. Bei der Anhebung aus der

Fermi-See in die Oberwelt handelt es si h um ni hts anderes als die Elektron-Positron-

Paarerzeugung

E0

E

−E0

cp

p

−cp

∆E

Loch

Abs hlieend geben wir no h die Eigenvektoren zum positiven Elektronenzweig E

+

an:

a

1

= N

0

B

B

B

B

1

0

p

z

E+m

0

2

(p

x

+ip

y

)

E+m

0

2

1

C

C

C

C

A

; a

2

= N

0

B

B

B

B

0

1

(p

x

ip

y

)

E+m

0

2

p

z

E+m

0

2

1

C

C

C

C

A

16.7. KONTINUIT

ATSGLEICHUNG 213

mit der Normierungskonstanten

N =

1

r

1 +

2

p

2

(E+m

0

2

)

2

v<<

! 1

16.7 Kontinuit

atsglei hung

Wie im ni htrelativistis hen Fall aus der S hr

odinger-Glei hung l

asst si h au h aus

der Dira -Glei hung eine Kontinuit

atsglei hung herleiten. Wir f

uhren den adjungierten

Spinor

+

= (

1

;

2

;

3

;

4

)

ein, wobei

i

die komplex-konjugierte von bezei hnet. Multiplikation der Dira -

Glei hung mit

+

, bzw. der komplex-konjugierten Dira -Gl. mit ergibt die beiden

skalaren Glei hungen

ih

+

_

= ih

+

k

(

k

) +m

2

+

ih

_

+

= ih (

k

+

)

+

k

+m

2

+

+

Deren Dierenz lautet

t

(

+

) =

h

(

k

+

)

+

k

+

+

k

(

k

)

i

+

im

2

h

h

+

+

+

i

was si h, weil die Dira -Matrizen selbstadjungiert sind als

t

(

+

) =

X

k

k

+

k

s hreiben l

asst. Wir f

uhren die Wahrs heinli hkeitsdi hte (Teil hendi hte)

(

+

)

und die Wahrs heinli hkeitsstromdi hte

j

k

+

k


ein und erhalten die bekannte Kontinuit

atsglei hung

_+ div j = 0

16.8 Die Potentials hwelle, das Kleins he Parado-

xon

V(x)

I II

VΨ

0x

0ein

Eindimensionales Problem. Potential der S hwelle:

V (x) = V

0

(x)

L

osung links (einfallender + re ektierender Anteil):

I

=

ein

+

ref

Aus der L

osung f

ur freie Teil hen:

I

= e

ikx

0

B

B

B

1

0

0

hk

E+m

2

1

C

C

C

A

| z

ein

+ a

I

e

ikx

0

B

B

B

1

0

0

hk

E+m

2

1

C

C

C

A

+ b

I

e

ikx

0

B

B

B

0

1

hk

E+m

2

0

1

C

C

C

A

| z

ref

mit

k =

1

h

q

E

2

=

2

m

2

2

Sp

ater wird si h zeigen, dass Spinoren mit (1; 0; :::) Zust

ande mit Spin na h oben, mit

(0; 1; :::) die mit Spin na h unten bes hreiben. Wir nehmen also an, dass nur Teil-

hen mit Spin na h oben einfallen, wobei im re ektierten Strahl au h Spin na h unten

Zust

ande vorkommen k

onnten (Spinnumklappprozesse an der S hwelle).

16.8. DIE POTENTIALSCHWELLE, DAS KLEINSCHE PARADOXON 215

Re hts der S hwelle gibt es nur na h re hts laufende (dur hgehende) ebene Wellen:

II

= a

II

e

iqx

0

B

B

B

B

1

0

0

hq

EV

0

+m

2

1

C

C

C

C

A

+ b

II

e

iqx

0

B

B

B

B

0

1

hq

EV

0

+m

2

0

1

C

C

C

C

A

und

q =

1

h

q

(E V

0

)

2

=

2

m

2

2

Da der Potentialsprung endli h ist, muss die Wellenfunktion an der S hwelle stetig sein

(wieso?), also

I

(0) =

II

(0)

Damit erhalten wir die vier Glei hungen

1 + a

I

= a

II

b

I

= b

II

b

I

k

E +m

2

=

b

II

q

E V

0

+m

2

1 a

I

= a

II

q

k

r

mit der Abk

urzung

r =

E +m

2

E V

0

+m

2

Die beiden mittleren Glei hungen lassen si h nur widerspru hsfrei dur h

b

I

= b

II

= 0

l

osen, d.h. es nden do h keine Spinnumklappprozesse bei der Streuung statt. Aus den

Wellenfunktionen lassen si h jetzt die Stromdi hten und daraus der Re exions- und

TransmissionskoeÆzient bestimmen. Mann erh

alt:

R

j

ref

j

ein

=

1 r

1 + r

2

und

T

j

trans

j

ein

=

4jrj

(1 + r)

2

zun

a hst erh

alt man das beruhigende Resultat

T + R = 1

und f

ur r > 0 ergibt si h au h dur haus sinnvoll

0 < R < 1; 0 < T < 1

Ma ht man jedo h die S hwelle immer gr

oer, so ergibt si h ab

V

0

> E +m

2

r < 0 und damit R > 1, d.h., es werden mehr Teil hen re ektiert als einfallen. Dies

kann ni ht sein und wird als Kleins hes Paradoxon bezei hnet. Die Erkl

arung: Dur h

V

0

werden die Kurven E

(q) angehoben:

E

(q) =

q

2

h

2

q

2

+m

2

4

+ V

0

was s hlieli h dazu f

uhrt, das der negative Zweig au h positive Energien bekommt.

D.h. man re hnet mit Zust

anden, die eigentli h zu Antiteil hen geh

oren, was zu den

paradoxen Ergebnissen f

uhrt.

Kapitel 17

Elektronenspin

17.1 Freies Teil hen im

aueren Magnetfeld

Wir f

uhren die beiden zweikomponentigen Spinoren j > und j > ein:

j >=

0

B

B

B

j

1

>

j

2

>

j

3

>

j

4

>

1

C

C

C

A

=

j >

j >

!

wobei

j >=

j

1

>

j

2

>

!

; j >=

j

3

>

j

4

>

!

Einsetzen in die Dira -Glei hung mit dem Dira -Operator na h (16.4) ergibt

^

H

D

j >

j >

!

=

^p

e

A

j >

j >

!

+m

0

2

j >

j >

!

+e'

j >

j >

!

= E

j >

j >

!

oder

(E m

0

2

+ e')j > =

^p

e

A

j > (17.1)

(E +m

0

2

+ e')j > =

^p

e

A

j > (17.2)

(17.2) l

at si h au

osen

217

218 KAPITEL 17. ELEKTRONENSPIN

j > =

1

E +m

0

2

+ e'

^p

e

A

j >

1

2m

0

^p

e

A

j > +O(v

2

=

2

) (17.3)

Daran sieht man, da

j >= O(v= )j >

ni htrel.

! 0

daher nennt man j > au h die kleine Komponente, j > die groe Komponente von

j >.

Die weitere Vorgehensweise: Identiziere j > mit dem Pauli-Spinor des ni htrelativi-

stis hen Grenzfalles. Dann sollte es m

ogli h sein, eine ges hlossene Glei hung f

ur j >

herzuleiten, die im ni htrel. Grenzfall in die Pauli-Glei hung

ubergeht.

(17.3) in (17.1) eingesetzt ergibt

^

H

P

j >= (E m

0

2

)j >

mit

^

H

P

=

1

2m

0

^p

e

A

^p

e

A

+ e'

Wir verwenden die Hilfsformel

( a)( b) = 1 a b + i (a b)

Damit

[:::[::: = (^p

e

A)

2

+ i (^p

e

A) (^p

e

A)

und weiter

(:::) (:::) =

e

(^pA+A

^p) =

eh

i

(rA

| z

=B

Ar+Ar) =

eh

i

B

was den Pauli-Hamiltonoperator

17.2. SPINOPERATOR 219

^

H

P

=

1

2m

0

(^p

e

A)

2

+ e'

eh

2m

0

B

ergibt. Folgende funtamentale Unters hiede zei hnen si h zur ni htrel. Herleitung ab:

Es sind keine ad ho Annahmen zum magnetis hen Moment des Elektrons mehr

n

otig, wie vorher der Verglei h mit einer rotierenden Kugel.

der ri htige g

s

-Faktor kommt automatis h heraus, vorher war er nur experimentell

bestimmt.

Der Spin erweist si h als relativistis he Eigens haft des Elektrons

17.2 Spinoperator

Analog zum Pauli-Spinoperator, der aus den 2x2-Pauli-Matrizen aufgebaut war:

^

S

P

=

h

2

P

deniert man den Dira -Spinoperator

^

S

D

=

h

2

D

mit den 4x4 Matrizen

D

i

=

P

i

0

0

P

i

!

17.3 Spin-Bahn-Kopplung

Der Einfa hheit halber f

uhren wir die Re hnung diesmal ohne

aueres Magnetfeld

dur h, d.h. wir setzen

A = 0

Die Dira -Glei hung l

at si h dann also wie oben (17.1,17.2) s hreiben als

(E m

0

2

+ e')j > = ^p j > (17.4)

(E +m

0

2

+ e')j > = ^p j > (17.5)

Wir treiben die Entwi klung na h v= jetzt eine Ordnung h

oher und erhalten anstatt

(17.3)

j > =

1

E +m

0

2

+ e'

^p j >

1

2m

0

"

1

E m

0

2

e'

2m

0

2

#

^p j > (17.6)

d.h. wir entwi keln jetzt na h E m

0

2

e' bis zur ersten Ordnung. Einsetzen in

(17.4) ergibt diesmal die Glei hung

(E m

0

2

e')j >=

^p

2m

0

"

1

E m

0

2

e'

2m

0

2

#

^p j >

dies l

at si h wieder auf die Form

^

H

0

j >= (E m

0

2

)j > (17.7)

bringen, wobei na h l

angeren Umformungen (wir verzi hten gerne auf die Details)

^

H

0

=

"

1

E m

0

2

e'

2m

0

2

#

p

2

2m

0

+ e'+ ::: (r'^p) :::r'

^p

Jetzt kommt allerdings ein weiterer Punkt ins Spiel, bei dem man aufpassen muss.

Bisher gingen wir stills hweigend davon aus, da

< j >= 1

normiert ist, was in der vorigen Ordnung au h ri htig war. In dieser Ordnung kommt

allerdings ein Term hinzu. Man geht von der Dira -Glei hung aus, wo man fordert, da

j > normiert ist, also

< j >=< j > + < j >= 1

17.3. SPIN-BAHN-KOPPLUNG 221

Hier gen

ugt jetzt der Zusammenhang

j >=

^p

2m

0

j >

was

< j > = < j > + <

"

^p

2m

0

#

2

>

= < j > + 

= <

1 +

p

2

4m

2

0

2

>= 1

ergibt. Wir f

uhren die neue Funktion

j~ >= gj >

ein, mit

g =

"

1 +

p

2

4m

2

0

2

#

1=2

1 +

p

2

8m

2

0

2

wobei dann j~ > normiert ist:

< ~j~ >= 1

Die Glei hung f

ur j~ > erhalten wir aus (17.7) na h eins eins hieben und Multiplikation

mit g:

g

^

H

0

g

1

| z

=

^

H

gj >

| z

=j~>

= (E m

0

2

) gj >

| z

=j~>

Na h weiteren Umformungen erh

alt man f

ur

^

H:

^

H =

p

2

2m

0

+ e'

| z

=

^

H

0

p

4

8m

3

0

2

| z

=

^

H

R

+

he

4m

2

0

2

(r'^p)

| z

=

^

H

`s

eh

2

8m

2

0

2

'

| z

=

^

H

D

Diskussion der relativistis hen Erweiterungen von

^

H

0

:


^

H

R

: N

a hster Korrekturterm in der Energie-Impulsrelation

E =

q

m

2

0

4

+ p

2

2

m

0

2

+

p

2

2m

0

p

4

8m

3

0

2

+ ::::

^

H

`s

: Spin-Bahn Kopplung,

f

uhrt mit

r' = r

e

r

=

e

r

3

r

auf

^

H

`s

=

he

2

4m

2

0

2

r

3

(^r

^p)

| z

=

^

L

=

he

2

4m

2

0

2

r

3

^

L =

e

2

2m

2

0

2

r

3

^

S

^

L

^

H

D

: Darwin-Term, rel. Korrektur der potentiellen Energie, Zitterbewegung des Elek-

trons.

Grund: We hselwirkung des Elektrons mit dem Kernfeld wird ni htlokal dur h

die Elimination der kleinen Komponente. Der Beitrag von ' m

ute also eigentli h

heien

Z

d

3

r

0

f(r r

0

)'(r

0

)

wobei die Funktion f(r) nur eine kleine Rei hweite hat und nur f

ur r in der N

ahe

der Compton-Wellenl

ange

C

=

h

m

0

von null vers hieden ist. Daher l

at si h unterm Integral ' um r

0

= r entwi keln

(Gradientenentwi klung), man erh

alt

'(r)M

(0)

+r'j

r

M

(1)

+

1

2

3

X

ij

i

j

'j

r

M

(2)

ij

+ :::

mit den Momenten

M

(0)

=

Z

d

3

r f(r) = 1

M

(1)

=

Z

d

3

r f(r)r = 0

M

(2)

ij

=

Z

d

3

r f(r)r

i

r

j

= Æ

ij

Z

d

3

r f(r)r

2

i

=

1

3

Z

d

3

r f(r)r

2

1

3

2

C

17.3. SPIN-BAHN-KOPPLUNG 223

Die letzte Beziehung ist eine Abs h

atzung. Damit erhalten wir f

ur die Entwi k-

lung insgesamt

'(r) +

h

2

6m

2

0

2

'(r) + :::

wobei die Korrektur also gerade gr

oenordnungsm

aig dem Darwin-Term ent-

spri ht. Der Darwin-Term wirkt si h nur auf s-Zust

ande aus, was man an folgen-

der Umformung sieht

^

H

D

=

eh

2

8m

2

0

2

'

'=e=r

=

e

2

h

2

8m

2

0

2

1

r

| z

=4Æ(r)

=

e

2

h

2

2m

2

0

2

Æ(r)

Auswertung in 1.Ordnung St

orungstheorie ergibt aber

<

^

H

D

>=< n; `;mj

^

H

D

jn; `;m >/< n; `;mjÆ(r)jn; `;m >= j

n`m

(r = 0)j

2

was nur f

ur s-Zust

ande von null vers hieden ist, weil alle anderen Wellenfunktio-

nen bei r = 0 einen Knoten haben.

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