Hasenpopulation Berechenbares Chaos - unvorhersehbare Wirklichkeit.

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Hasenpopulation Berechenbares Chaos - unvorhersehbare Wirklichkeit

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Hasenpopulation

Berechenbares Chaos-

unvorhersehbare Wirklichkeit

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Einführung

Es wird versucht mit einer mathematischen Formel die Bevölkerungsentwicklung einer abgeschlossenen Hasenpopulation zu beschreiben.

Anhand einer Ausgangspopulation und einer Parabel wird die Größe der Folgegenerationen statistisch berechnet, wobei man später zu erstaunlichen Ergebnissen gelangt.

Die erste Folgegeneration wird wiederum in die Parabelgleichung eingesetzt, man erhält das Ergebnis für die 2. Folgegeneration. Die mathematische Operation, bei der das Ergebnis immer wieder als Ausgangsgröße eingesetzt wird, bezeichnet man als ITERATION.

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Auf die x-Achse wird dieAusgangspopulation (AP)in % aufgetragen

Die Parabel wird durch -a*x²+a*x dargestellt.

Der schwarze Strich istdie 1.Winkelhalbierende.

Trägt man nun einen Wertfür die AP ein und verfolgtden Schnittpunkt mit der Parabel zurück auf diey-Achse, so erhält man den Wert für die Folgepopulation.

x(n)

x(n+1) = f(x(n)) mit f(x) = -a*x 2̂+a*x ; Parameter a = 2,0000

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Ein Beispiel

Setzt man für den Wert derAusgangspopulation 20 ein, so erhält man an demSchnittpunkt mit der Parabeleinen Wert von ca. 32. DieBevölkerung würde also wachsen.

Bei einem Wert von 50 erhältman wiederum den gleichenWert.

Man spricht bei diesem Fall vonder „Goldenen Kurve“, diePopulation erreicht IMMER(ausgenommen bei 0 und 100)den Wert 50.

Zu beachten: die Werte sindProzentangaben; der Wert100% kann z.B. für eine Population von 10.000 Hasen stehen.

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Je nachdem wie viele Iterationenman vornimmt, desto mehr nähert sichdie Populationsgröße an 50 an.

--> Jede Population, außer eine Nullpopulation (0) und eine Vollpopulation (100), strebt dem

goldenen Wert von 50, also das Kurvenmaximum an.

Man kann die Stabilität einer Populationso mathematisch Begründen.

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Zum genaueren Nachvollziehen

Es wird mit dem Startwert10 die Entwicklung betrachtet.

Die Population wächst zunächstauf den Wert ca. 18.

Dieser Wert erreicht nach dernächsten Iteration den Wertca. 29.

Dieser Vorgang wiederholt sich,bis der Wert 50 erreicht wird.

Würde man mit einem Wertüber 50 starten, so wird sichdie Population zunächst starkvermindern, da nicht genug

Nahrung für alle Hasen da ist.--> Der Wert wird unter 50fallen und von da an wiedersteigen.

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Jedoch gibt kann man nicht davon ausgehen, dass die Situation der Hasen immer gleich bleibt und die Bevölkerung nun immer bei 50% bleiben wird.

Vielmehr können sich die Umwelteinflüsse ändern: Entweder sie ändern sich zum Positiven, z.B. durch

saftiges, nahrhaftes Nahrungsangebot nach einer Regenzeit.

Oder sie ändern sich zum Negativen, z.B. durch eine Dürre. Dies hat natürlich Auswirkungen auf die Population, die in

der Mathematik ebenfalls dargestellt werden können. Allerdings werden wir sehen, dass wir später in eine

Erklärungsnot kommen werden.

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Verschlechterte Lebensbedingungen

Die Parabel ist abgeflacht,der Schnittpunkt vonParabel und Winkel-

halbierender liegt nicht mehrauf dem Wert von 50%,

sondern bei ca. 34%. Die Population wird

logischerweise unterverschlechterten Lebens-Bedingungen nicht mehrseine Größe aus den„Goldenen Zeiten“ erreichen.

x(n)

x(n+1) = f(x(n)) mit f(x) = -a*x 2̂+a*x ; Parameter a = 1,5000

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Stark verschlechtere Lebensbedingungen

Die Lebensbedingungender Hasen haben sichdrastisch verschlechtert.

Durch eine Verkleinerungder Variable a erreichtman eine andere Parabel.

Die Größe der Populationkonvergiert wiederum anden Schnittpunkt vonWinkelhalbierender und Parabel.

Dieser liegt jedoch bei 0! --> Unter diesen Lebens-

bedingungen würde diegesamte HasenpopulationStück für Stück aussterben!

x(n)

x(n+1) = f(x(n)) mit f(x) = -a*x 2̂+a*x ; Parameter a = 1,0000

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Verbesserte Lebensbedingungen

Der Maximalwert der Parabelliegt jetzt bei über 0,6, die Populationsgrößekonvergiert jedoch nicht mehrauf den Maximalwert.

Die Größe der Populationpendelt sich bei ca. 0,6 erneutan dem Schnittpunkt derWinkelhalbierenden und derParabel ein.

Verbessert man die Lebens-bedingungen jedoch nochweiter, also vergrößert manden Parameter a, so tretenchaotische Systeme auf.

x(n)

x(n+1) = f(x(n)) mit f(x) = -a*x 2̂+a*x ; Parameter a = 2,5000

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Stark verbesserte Lebensbedingungen

Bei dem größten Parameter4 erhalten wir ein solchesErgebnis. Es liegen dieoptimalsten Bedingungenfür die Entwicklung derPopulationsgröße vor.

Bei genügend Iterationenalso Wiederholungenscheint kein bestimmtesSystem erkennbar zu sein.

Man spricht vondeterministischem Chaos,die Werte sind bei jederEingabe der Formelgleich groß und nichtzufällig.

x(n)

x(n+1) = f(x(n)) mit f(x) = -a*x 2̂+a*x ; Parameter a = 4,0000

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Verlauf der Iterationen

Zum besseren Verständnisist ein Werteverlauf derIterationen gegeben.

Auf der y-Achse ist die Populationsgröße gegeben,auf der x-Achse die Zahl derIterationen, also diefortlaufenden Generationen.

Es ist zu sehen, wie sich2 stabile Endwerte derPopulation herauskristallisieren.

n

x(n+1) = f(x(n)) mit f(x) = -a*x 2̂+a*x ; Parameter a = 3,0000

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Erklärungsversuche

Ab dem Lebenswert 3 entwickeln sich chaotische Zustände. Es gibt nicht mehr nur einen stabilen Wert für die Population, sondern es kommt, je höher der Parameter, zu mehreren stabilen Endwerten.

Dieses lässt sich anhand des Feigenbaumes und seinen Bifurkationen (Aufspaltungen) nachvollziehen.

Eine einfache, klar scheinende Formel und das Beispiel einer Hasenbevölkerung scheinen im ersten Moment ein eindeutiges und für jeden nachvollziehbares Ergebnis zu haben.

Doch ist es faszinierend wie sich eine winzige Änderung in der Umwelt unserer Hasen so niederschlagen kann. Die Population kann ganz aussterben oder zwischen verschiedenen Größen schwanken, was aus mathematischer Sicht ein Beispiel für deterministisches Chaos ist.