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Fachhochschule Augsburg Studiengang Bauingenieurwesen Name:.......................................................

Holzbau SS 2010 Arbeitszeit: 90 Minuten Hilfsmittel: Buch/Skript Teil 1, Formelsammlung, Bemessungstabellen 1. Aufgabe (ca. 90 min)

Gegeben:

Statisches System und Abmessungen einer Halle mit einer Breite von etwa 18 m und einer Länge von etwa 45 m. Auf den Hauptträgern (gekrümmte Träger) liegen Durchlaufpfetten. H ü NN = 750 m, NKL 1.

Belastungen:

Eigengewicht der Dachkonstruktion (inkl. Pfetten): gk = 0,9 kN/m²

Schnee auf dem Dach (Beiwert = 0,8 bereits eingerechnet): sk = 1,1 kN/m²

Hinweis: Bei den nachfolgenden Berechnungen darf vereinfachend der Einfluss der Dachneigung vernachlässigt werden alle Einwirkungen dürfen auf die Grundfläche bezogen werden.

4,5°

17,5 m

75 cm

8°

ri = 20 m

a = 4,5 m

b = 14 cm

A = ?

Anschluss

1,1 m

Angaben zu den Pfetten:

Material: GL 24c. Die Pfetten werden als 5-Feldpfetten ausgeführt.

Angaben zum gekrümmten Träger:

Der „Sattel“ (First) ist nur lose aufgesetzt und daher statisch nicht wirksam. Material: GL 28c. In den Viertelspunkten gegen seitliches Ausweichen gehalten. Lamellendicke t = 30 mm. Eigengewicht des Trägers: gk,SaDa = 0,71 kN/m

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Angaben zum Anschluss:

Stabdübel d = 20 mm (S 235)

Angaben zur Stütze:

Zweiteilige Stütze b/h = 2x12/24 cm

Material: GL 24h.

Knicklänge ef = 5,60 m

100 mm

275

275

100

1

2

3

7070100

4

56

GL 28cb = 14 cm

GL 24hb/h = 2x12/24

150

Gesucht: 1) Pfetten (ca. 35 min)

a) Dimensionierung unter Annahme einer einachsigen Biegung (mit q).

b) Nachweis(e) der Biegespannung für zweiachsige Biegung.

2) Gekrümmter Träger (ca. 30 min)

a) Erforderliche Auflagerlänge über dem Mauerwerk (A = ?)

b) Nachweise an der Stelle der größten Biegespannung (ohne Kippnachweis)

Hinweise: Die Berechnung der Trägerbelastung kann vereinfachend über die Einflussbreite eines Trägers erfolgen (d.h. nicht über die Auflagerkräfte der Pfetten)

3) Anschluss (ca. 20 min)

Überprüfen Sie den dargestellten Anschluss

a) Hinsichtlich der Tragfähigkeit

Hinweise: Es darf mit einer anzuschließenden Kraft von Nd = 121 kN gerechnet werden.

Der Beiwert kh,ef,0 kann nach folgender Gleichung bestimmt werden:

||0,9 4h

, ,0h

10 1

h ef

an

dkn

b) Hinsichtlich Anschlussbild (Mindestabstände): Ordnen Sie dabei den Abständen bis die richtigen Bezeichnungen zu.

4) Stütze (ca. 5 min)

Knicknachweis

q

qq

3

q

qq

Lösung Aufgabe 1

Schnee mit H.ü.NN < 1000 m KLED = kurz

1 Dimensionierung der Pfetten

Linienlasten auf Pfette:

Vereinfachend ohne Berücksichtigung der Dachneigung, d.h. alle Lasten auf die Grundfläche bezogen:

gk,Pf = 0,9 kN/m² · 1,1 m = 0,99 kN/m

sk,Pf = 1,1 kN/m² · 1,1 m = 1,21 kN/m

Korrekt wäre folgende Berechnung: (gk ist immer auf Dachfläche bezogen!):

gk,Gfl = 0,9/cos8° = 0,909 kN/m²

gk,Pf = 0,909 · 1,1 = 1,00 kN/m

g,k = gk,Pf · cos 8° = 0,98 kN/m g||,k = gk,Pf · sin8° = 0,138 kN/m

s,k = sk,Pf · cos 8° = 1,20 kN/m s||,k = sk,Pf · sin8° = 0,168 kN/m

a) Dimensionierung näherungsweise für einachsige Biegung mit q :

Schnee und Eigengewicht konstant über alle Felder.

q,d = 1,35·0,98 + 1,5·1,20 = 3,12 kN/m

Benötigte Schnittgrößen:

Pfette aus Brettschichtholz keine Erhöhung der Schubfestigkeit bei > 1,50 m vom Hirnholzende Nachweis mit max/min Vd (= an der Stelle Bli ).

VBli,d = - 0,605 · 3,12 · 4,50 = - 8,49 kN

min MB = - 0,105 · 3,12 · 4,5² = - 6,63 kNm

Über Schubspannung:

GL 24c: fv,d = 0,692·2,5 = 1,73 N/mm²

8,49erf A 15

1,73 = 73,6 cm²

Über Biegespannung:

GL 24c: fm,d = 0,692·24 = 16,61 N/mm²

H < 300 mm fm,d = 1,1 · 16,61 = 18,27 N/mm²

6,63erf W 1000

18,27 = 362,9 cm³

4

Über Durchbiegungen:

gd = g,k = 0,98 kN/m sd = s,k = 1,20 kN/m

Belastung qd qqs

= 2 · qd kDLT q*

d = kDLT · qd

q*qs

= kDLT · qqs 0 2

g 0,98 0,98 0,496 0,486 0,486 1,0

s 1,20 0 0,496 0,595 0 0

Q1+0·Q2 0,595 0,486 NKL = 1

kdef = 0,6

NW 1a: Elastische Durchbiegungen: kdim,1 = 33,68

0

* 3dim,1 Q,derf I k q

erf I = 33,68·0,595·4,5³ = 1826 cm4

NW 1b: Enddurchbiegung: kdim,2 = 22,45 kdef = 0,6

0

* * 3dim,2 Q,d def qserf I k q k q

erf I = 22,45·(0,595 + 0,6·0,486)·4, 5³ = 1814 cm4

NW 2: Optik

* 3dim,2 qs deferf I k q 1 k

erf I = 22,45·0,486·(1,0 + 0,6)·4,5³ = 1591 cm4

NW 3: Schwingung entfällt, da keine Deckenträger.

gewählt: b/h = 8/18 cm mit A = 144 cm² > 73,6 cm²

W = 432 cm³ > 362,9 cm³

I = 3888 cm4 > 1826 cm4

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b) Nachweise der Biegespannung für Doppelbiegung :

Größtes Biegemoment an der Stelle B:

Infolge Belastung q : My,d = - 6,63 kNm (siehe oben)

Infolge Belastung q|| : q||,d = 1,35 · 0,138 + 1,5 · 0,168 = 0,438 kN/m

Mz,d = - 0,105 · 0,438 · 4,5² = - 0,93 kNm

Nachweise:

m,y,d m,z,d

m,y,d m,z,d

0,7 1f f

und m,y,d m,z,d

m,y,d m,z,d

0,7 1f f

y,dm,y,d

y

M 6,631000 1000

W 432 = 15,35 N/mm²

mit Wy = 432 cm³ (siehe oben)

fm,y,d = 1,1·0,692·24 = 18,27 N/mm² (siehe oben)

z,dm,z,d

z

M 0,931000 1000

W 192 = 4,84 N/mm²

mit Wz = 192 cm³

fm,y,d = 0,692·24 = 16,61 N/mm²

Nachweise:

15,35 4,840,7

18,27 16,61 = 0,84 + 0,7·0,29 = 1,04 > 1 (geringfügig überschritten)

15,35 4,840,7

18,27 16,61 = 0,7·0,84 + 0,29 = 0,88 < 1

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2 Gekrümmter Träger

Belastung qd : Einflussbreite eines Trägers = 4,5 m

Linienlasten: gk = 0,9 kN/m² · 4,5 m = 4,05 kN/m (zzgl. EG Träger!)

sk = 1,1 kN/m² · 4,5 m = 4,95 kN/m

qd = 1,35·(4,05 + 0,71) + 1,5·4,95 = 13,85 kN/m

Die Berechnung der Trägerbelastung über die Auflagerkräfte der Pfetten ist in der Praxis unüblich und wegen der Nachgiebigkeit der Pfettenauflager auch nicht erforderlich.

a) Erforderliche Auflagerlänge über dem Mauerwerk (A = ?)

Auflagerkraft Ad = 13,85·17,5/2 = 121,2 kN

Winkel zwischen Kraft und Faserrichtung: = 90 – 4,5 = 85,5°

Nachweis: c, ,dc, ,d c, c, ,d

ef

F10 k f

A

c, ,def

c, c, ,d

FA 10

k f

Fc,,d = 121,2 kN

kc, = 1,747 (Auflagerdruck BSH) (für = 85° abgelesen)

fc,,d = 0,692·2,72 = 1,88 N/mm² (für = 85° abgelesen)

ef121,2

A 101,747 1,88

= 369 cm²

Aef = b · (A + 3,0·sin) A > 369/14 - 3,0·sin85,5 = 23,4 cm

b) Nachweise der Biegespannung an der Stelle xm

Belastung qd = 13,85 kN/m (siehe oben)

Am

1

hx

2 h

mit hA = 75 cm = 0,75 m

1 Ah h / 2 tan tan = 0,75 + 17,5/2·(tan8° - tan4,5°) = 1,291 m

m17,5 0,75

x2 1,291

= 5,08 m

Überprüfung ob im linearen Bereich:

mc

x2 2

mit c/2 = rin · sin = 20·sin4,5° = 1,569 m

5,08 ≤ 17,5/2 – 1,569 = 7,18 m

2

d m m

xm,d

q x x 13,85 17,5 5,08 5,08²M

2 2

= 436,9 kNm

7

x ' A A 1h h 2 h / h 0,75 (2 0,75 /1, 291) = 1,064 m

hx = h’x · cos(-) = 1,064·cos(8-4,5) = 1,062 m

Wx = b·h²x/6 = 14·106,2²/6 = 26.316 cm³

m,xm,d436,9

100026316

= 16,60 N/mm²

Spannungsspitze am unteren Rand:

2m,0,d m,xm,d1 4 tan mit = - = 8 – 4,5 = 3,5°

m,0,d = (1 + 4·tan²3,5) · 16,60 = 16,85 N/mm²

fm,d = 0,692·28 = 19,38 N/mm²

Nachweis: 16,85 < 19,38 ( = 0,87 < 1)

Spannungskombination am angeschnittenen Rand:

m, ,d m,dk f

mit m,,d = 16,60 N/mm²

Am angeschnitten Rand: Druck k,c für = 3,5°:

k,c · fm,d = 0,692 · 26,57 = 18,39 N/mm²

Nachweis: 16,60 < 18,39 ( = 0,90 < 1)

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3. Anschluss

a) Tragfähigkeit

Anschlusskraft = Auflagerkraft gekrümmter Träger

Nd = 121,2 kN

Mindestholzdicken (nach Tabelle für = 90° abgelesen):

SH: GL 24h: tvorh = 120 mm > treq = 0,97·89 = 86,3 mm

MH: GL 28c: tvorh = 140 mm > treq = 0,97·112 = 108,6 mm

keine Abminderung der Tragfähigkeit erforderlich

Tragfähigkeit

Rd = 1,04·0,818·13,44 = 11,43 kN pro SF (= Wert für GL 24h und GL 28c)

Rd = 2·11,43 = 22,86 kN pro SDü

nef = kh,ef · n (maßgebend wird Stütze, da Kraft || Faser)

h

||

n 3

a / d 275 / 20 13,75

Aus Tabelle A-10.2 nicht mehr abzulesen

||0,9 0,94 4h

, ,0h

2753

10 10 203

h ef

an

dkn

= 0,970

nef = 0,970·2·3 = 5,82 wirksame SDü

Rd,ges = 5,82·22,86 = 133,0 kN < Nd = 121,2 kN ( = 0,91 < 1)

b) Anschlussbild

Mindestabstände für den gekrümmten Träger:

= a,b = 3·d = 60 mm < 100 mm

= a = 3·d = 60 mm << 275 mm

= a,u = 3·d = 60 mm < 100 mm

= a||,b/u = 7·d (mind. 80 mm) = 140 mm < 150 mm

a|| = (3+2cos85,5°)·d = 3,16·d = 63 mm < 100 mm

Mindestabstände für die Stütze:

a|| = (3+2cos0°)·d = 5·d = 100 mm << 275 mm

= a,u = 3·d = 60 mm < 70 mm

= a = 3·d = 60 mm < 100 mm

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4. Stütze

Knicken:

Nd = 121,2 kN = Auflagerkraft gekrümmter Träger

Zweiteilige Stütze Knicken um die schwache Achse maßgebend

Nachweis: dc,0,d c c,0,d

N / 210 k f

A (halbe Auflagerkraft pro Stützenteil)

lef = 5,6 m = 560 cm

560

0,289 12

= 161,5 kc = 0,149 (für = 160, GL 24h)

fc,0,d = 0,692·24,0 = 16,61 N/mm²

Nachweis: 121,2 / 2

1012 24

= 2,10 N/mm² < 0,149·16,61 = 2,47 N/mm² ( = 0,85 < 1)