Heißluftballon

Der aufsteigende Heißluftballon nutzt Wärme, um Hubarbeit zu verrichten Das Volumen des Ballons beträgt etwa 4000m3. Ein Teil der erwärmten Luft entweicht, wobei die Auftriebskraft gleich der Gewichtskraft der verdrängten Luft ist.

Aggregatzustände AggregatzuständeBeschreibung durch mikroskopisches Modell

Wärme spielt auch bei den Aggregatzuständen eine wichtige Rolle

Gase, Festkörper und Flüssigkeit

Fest Flüssig

Gas

Die Aggregatzustände zeigen unterschiedliche Formveränderung unter Kraftwirkung, z. B. bei Druck

Aggregatzustandsübergänge

Aggregatzustände

Wärme spielt auch bei den Aggregatzuständen eine Rolle. Wasser existiert als Eis, in flüssiger Form und als Wasserdampf. Für Übergänge zwischen zwei Aggregatzuständen gibt es Fachbegriffe wie ‘schmelzen’ und ‘erstarren’Kohlendioxid zeigt einen direkten Übergang von gasförmig nach fest (Trockeneis: -650C aus Druckflasche)

Spezifische Übergangswärme

Normaler Weise ändert sich bei Zuführung oder Entzug von Wärme die Temperatur des Materials.Beim Übergang von Aggregatzuständen wird Energie zugeführt aber die Temperatur bleibt konstant.

Erst wenn alles Eis geschmolzen ist, steigt die Temperatur wieder.

qs=spezifische Schmelzwärme

Phasendiagramm

Stoffe können in festem, flüssigem und gasförmigem Zustand (Phasen) vorliegen Bei Änderung von Druck p Volumen V und Temperatur T können Phasenübergänge stattfinden. Ein Stoff kann auch gleichzeitig in mehreren Phasen vorkommen. Am Tripelpunkt (0,010C, 6,1hPa) liegen alle drei Phasen im Gleichgewicht vor.

p-V und p-T Diagramm

Spezifische Wärmekapazität

Einzelner Aggregatzustand Zufuhr von Wärme bewirkt eine proportionale Temperaturerhöhung.

Die Materialkonstante c wird spezifische Wärmekapazität genannt.Beispiel: Nachtspeicheröfen mit Magnesitsteinen

Wärmemenge

Da Wasser eine sehr hohe spezifische Wärmekapazität hat, eignet es sich gut als Wärmespeicher.

Stoff c in [J K-1 kg-1]

Aluminium 897

Eisen 452

Beton 922

Wasser 4180

Eis 2100

Wasserdampf 1390

Luft 716

Wasserstoff 10100

Beispiel: Welche Menge an Wärmeenergie ist nötig, um 220 Liter Badewasser von T1=180C auf eine Temperatur von T2=320C zu erwärmen?

][14][220.4180 KkgKkg

JQ

][109,12 6 JQ

Bestimmung der spezifischen Wärmekapazität

Man erwärmt zunächst den Körper der Masse mK z.B. in einem Wasserbad auf eine genau definierte Ausgangstemperatur TK. Anschließend bringt man den warmen (trockenen!) Körper in ein mit Wasser (Masse mW) gefülltes Kalorimeter mit der Ausgangstemperatur TW. Nach dem Temperaturausgleich mißt man die Endtemperatur TE des Wassers, die mit dem Körper identisch ist.Man vernachlässigt evtl. auftretende Wärmezugänge bzw. –abgänge.

WK QQ

EWWWEKKK TTmcTTmc

EK

WE

K

WWK TT

TT

m

mcc

1. Hauptsatz der Wärmelehre

Wärme erhöht die Temperatur des Kesselwassers (innere Energie) und verrichtet Arbeit.Die mittlere Geschwindigkeit der Gasmoleküle ist ein Maß für die Temperatur des Gases. Die zugehörige Energie heißt innere Energie U. Wird das Gas erhitzt, dann verschiebt sich der Kolben nach außen und es wird Arbeit verrichtet.

Innere Energie = Arbeit + Wärme

Vorzeichen Arbeit Wärmemenge

Positiv

Die Arbeit wird von außen an einer Flüssigkeit bzw. einem Gas geleistet, z. B. Kompression über einen Kolben

Die Wärme wird von außen dem Gas

zugeführt

Negativ

Die Arbeit wird von der Flüssigkeit bzw. dem Gas nach außen geleistet, z. B. die Expansion hebt über einen Kolben ein Gewicht an

Die Wärme wird vom Gas nach außen

abgegeben

Konvention zu den Vorzeichen der Arbeit

W Q

Mechanische Arbeit erhöht die Geschwindigkeit der Teilchen zunächst in eine Richtung, aber bald darauf verteilt sich die Energie auf alle Richtungen

Wärmezufuhr durch Kontakt der Teilchen mit der heissen Wand erhöht auch die Geschwindigkeit der Teilchen, aber in alle Richtungen

Möglichkeiten der Energiezufuhr am Beispiel eines Gases

,

1. Hauptsatz der Wärmelehre

Die innere Energie dU steckt bei idealen Gasen in der Bewegungsenergie der Moleküle, was zum Ansteigen der Temperatur führt. In Festkörpern oder Flüssigkeiten kann sie auch zum Umbau oder Aufbrechen von Strukturen dienen (Schmelz-, Verdampfungs- oder Lösungsenergie)

Innere Energie = Wärmemenge + Arbeit

dWdQdU

Bei der Wärmezufuhr dQ bei Gasen muß man unterscheiden, ob dies bei konstantem Druck cp oder konstantem Volumen cV stattfindet.

Für Gase gilt: dW=-p*dV

dVpdQdU

Isochore Zustandsänderung

p(V)-Diagramm:Isochore parallel zur p-Achse

dTmcdQdU V

Da sich das Volumen nicht ändert (dV=0), lautet der 1. Hauptsatz:

Die zugeführte Wärme wird vollständig in die Erhöhung der inneren Energie gesteckt (Temperaturerhöhung!). Damit erhält man bei konstantem Volumen:

VV dT

dQC

mcC VV mit

Zusätzlich zur Erwärmung wird bei der zur Erhaltung des konstanten Drucks erforderlichen Volumenvergrößerung auch noch Arbeit gegen den Druck verrichtet

Isobare Zustandsänderung,

Isobare Zustandsänderung

p(V)-Diagramm:Isobare parallel zur V-Achse

dTmcdVpdUdQ p

Da sich der Druck nicht ändert (dp=0), lautet der 1. Hauptsatz:

Die Wärmekapazität Cp bei konstantem Druck ist gegeben durch Cp=cp*m

Zusammenhang zwischen Cp und CV

dTCdVpdUdQ pp

dTCdQdU VV

dTT

dVVp

T

Vp

T

dTVpdVpdW Druckarbeit wegen

dTRnT

dTTRndVpdW

dTCdTRndTCdQ pV RnCC Vp

cp

[J K-1 kg-1]

cV

[J K-1 kg-1]

Cp

[J K-1 mol-1]

CV

[J K-1 mol-1]

Cp-CV

[J K-1 mol-1]

40Ar 0,523 0,318 20,898 12,703 8,195

20Ne 1,021 0,624 20,614 12,586 8,028

4He 5,232 3,210 20,944 12,849 8,095

Isotherme Zustandsänderung

p(V)-Diagramm:Isotherme dT=0 Hyperbel p=konst/V

dVpdQ

Da die innere Energie bei idealen Gasen proportional zur Temperatur ist, folgt auch dU=0.

Die zugeführte Wärme wird vollständig in mechanische Arbeit umgewandelt. Mit p*V=n*R*T folgt

2

1

2

1

V

V

V

V V

dVTRndVpW

2

1lnV

VTRnW

Zustandsänderungen

108

64

22

4

6

8

10

0

20

40

60

80

100

dQ=Cp*dTdU=dQ

Isochor:Isobar:

dU=dQ-p*dVdQ=Cv*dT

Isobar

Isotherm

Isochor

Tem

pera

tur

Volum

en

Druck

dQ=p*dV

dU=0Isotherm:VpQU

Adiabatische Zustandsänderung

p(V)-Diagramm:Adiabate dQ=0 Hyperbel p=konst/Vk

dTCdVpdU V

Bei Adiabaten kommt es zu keinem Austausch von Wärmeenergie mit der Umgebung (dQ=0), zB bei schnellen Änderungen vonV,p,etc.

Mit p*V=R*T (n=1) folgtV

dVR

T

dTCdV

V

TRdTC VV

.lnln konstVRTCV Die Integration beider Seiten liefert

Adiabatische Zustandsänderung

p(V)-Diagramm:Adiabate dQ=0 Hyperbel p=konst/Vk

dTCdVpdU V

Bei Adiabaten kommt es zu keinem Austausch von Wärmeenergie mit der Umgebung (dQ=0), zB bei schnellen Änderungen vonV,p,etc.

Mit R=Cp-CV und k=Cp/CV folgt .ln1ln konstVkT

.1 konstVT k

Adiabaten verlaufen steiler als Isotherme, da k>1 ist. Beispiele: Fahrradpumpe, Wetter, Erdatmosphäre

Beispiel adiabatischer Zustandsänderung

Bei diesem Vorgang wird dem Gas weder Wärme zugeführt noch entzogen (dQ=0)Beispiel: schnelle Komprimierung der Luft.

.1 konstVT k Es gilt mit wobei f die Freiheitsgrade eines Gases sind. f

f

C

Ck

V

p 2

2-atomige Moleküle N2 und O2 (2 Rotationsfreiheitsgrade): f=5, dh. k=7/5

Volumenkompression bei Zimmertemperatur um Faktor 10:

)460(7355,210

1 00

4,0

0 CKTTT

2. Hauptsatz der Thermodynamik

Der 2. Hauptsatz beschäftigt sich mit der Umwandlung von Wärme in Arbeit. Er beantwortet die Fragen:

• In welcher Richtung laufen Umwandlungsprozesse von mechanischer Energie und Wärmeenergie ab?

• Kann Wärmeenergie vollständig in mechanische Arbeit umgewandelt werden?

• Kann mechanische Arbeit vollständig in Wärmeenergie umgewandelt werden?

Aus Beobachtungen ist bekannt, daß Umwandlungsprozesse nicht-umkehrbar (irreversibel) ablaufen:

• Wärme fließt immer vom wärmeren zum kälteren Körper• Reibung wandelt kinetische Energie in Wärmeenergie um

2. Hauptsatz der Thermodynamik

Der 2. Hauptsatz beschreibt wie der erste eine Erfahrungstatsache und läßt sich wie folgt zusammenfassen:

• Wärme fließt von selbst stets vom wärmeren zum kälteren Körper, nie umgekehrt.• Es gibt keine periodisch arbeitende Maschine, die einem Reservoir Wärme entzieht und diese ohne Energiezufuhr von außen vollständig in mechanische Arbeit umwandelt.• Es gibt kein perpetuum mobile zweiter Art.

Der Carnotsche Kreisprozeß

Man kann einen Teil der Wärmemenge in mechanische Energie umwandeln (Wärmekraftmaschinen). Zwei Wärmereservoire mit den Temperaturen T1>T2 und ein ideales Gas werden benutzt, um Wärme Q1 vom höheren Niveau aufs niedrigere zu überführen und dabei auch mechanische (Volumen-)Arbeit zu leisten und zwar mit dem größten möglichen Wirkungsgrad

21 QQW

11

21

1

21

T

TT

Q

QQ

Einen hohen Wirkungsgrad bekommt man nur bei hohen Temperaturdifferenzen.

Entropie

Die Entropie S ist eine thermodynamische Zustandsgröße, die wie die Temperatur T, Volumen V und Druck p den Zustand eines Systems beschreibt. Sie ist auch ein Maß für die Ordnung bzw. Unordnung eines Systems.

T

dQS rev

Makroskopische BetrachtungAnalog zur inneren Energie U interessiert man sich vor allem für die Änderung der Entropie bei thermodynamischen Prozessen. Man definiertS

Dabei bezeichnet dQrev die Wärmemenge, die bei einem reversiblen Prozeß mit der Umgebung ausgetauscht wird. Der Quotient

Temperatur

rmeenergieaWhteausgetausc

T

dQrev

wird auch reduzierte Wärmemenge genannt. Die Änderung der Entropie ist unabhängig vom Weg beim Wechsel eines thermodynamischen Zustands und hängt nur von dessen Anfangs- und Endzustand ab.

Wärmekontakt zweier Körper

Beide Körper haben die gleiche Masse m und die gleiche spezifische Wärmekapazität c. Beim Wärmeausgleich wird vom Körper 1 die Wärmemenge abgegeben, die vom Körper 2 aufgenommen wird1Q

MTTmcQ 11 MTTmcQ 22

Mit folgt für die Mischtemperatur Die Entropieänderung des Körpers 1 ist damit 2

21 TTTM

21 QQ

11 ln

11 T

Tmc

T

dTmc

T

dQS M

T

T

T

T

MM

22 ln

22 T

Tmc

T

dTmc

T

dQS M

T

T

T

T

MM Analog für Körper 2Da T2<TM<T1 folgt für die Änderung der Entropie des Gesamtsystems

0lnlnln21

2

2121

TT

Tmc

T

T

T

TmcSSS MMM

0ln121

2

21

2

TT

T

TT

T MMDa nimmt auch die Entropie zu.

Der Begriff der Entropie

Es befinden sich 4 unterscheidbare Teilchen in einem Gefäß (V), das mittels eines Rohrs mit einem anderen Gefäß (L) verbunden ist, in dem sich keine Teilchen befinden. Dann wird das Ventil geöffnet und die Teilchen verteilen sich. Frage: Welche Verteilung der Teilchen auf Gefäß (L) und Gefäß (V) ist die wahrscheinlichste?

Entropie (mikroskopisch)

1024

1

2

110

10

W

Einen anderen Zugang zur Entropie erschließt die Statistik. Dazu betrachtet man zum Beispiel die freie Expansion eines Gases vom Volumen V0 auf 2*V0.Wie groß ist nach der Expansion die Wahrscheinlichkeit W10 daß sich 10 Teilchen wieder in V0 befinden?

Wie groß ist nach der Expansion die Wahrscheinlichkeit W50 daß sich 50 Teilchen wieder in V0 befinden?

1550

50 102

1

W

Nun verallgemeinern wir die Betrachtung und gehen von der freien Expansion eines Gases vom Volumen V1 in ein Volumen V2 aus.

Entropie (mikroskopisch)

N

V

VW

2

11

Die Wahrscheinlichkeit W1, daß sich nach der freien Expansion wieder alle N Moleküle des Gases im Volumen V1 befinden und damit der Ausgangszustand wieder hergestellt ist, beträgt

Im Endzustand müssen sich alle Teilchen im Volumen V2 aufhalten und die Wahrscheinlichkeit ist damit W2=1.

Es gilt nun für das Verhältnis der Ausgangswahrscheinlichkeit W1 und der Wahrscheinlichkeit im Endzustand W2

(thermodynamisches Wahrscheinlichkeitsverhältnis):

N

V

V

W

W

1

2

1

2

Entropie (mikroskopisch)

1

2lnlnV

VNw

Um bei Teilchenzahlen von Zahlen vernünftiger Größenordnung zu erhalten, logarithmiert man die Gleichung und erhält

2010N

Mit Hilfe eines reversiblen Ersatzprozesses, bei dem das ideale Gas in einem Zylinder mit beweglichem Kolben isotherm vom Volumen V1 auf das Endvolumen V2 entspannt wird, kann die Entropieänderung berechnet werden. Dazu verwendet man den 1. Hauptsatz

dVpdWdUdQ 0

TRnVp und die Beziehung

1

2lnV

VRn

V

dVRn

T

dQS rev

Entropie (mikroskopisch)

S

Der Vergleich beider Gleichungen zeigt den von Ludwig Boltzmann gefundenen Zusammenhang zwischen der Änderung der Entropie und dem thermodynamischen Wahrscheinlichkeitsverhältnis:

wkwN

Rw

N

RnS

A

lnlnln

Dabei bezeichnet k den Boltzmann-Faktor.

WkS lnFür die Entropie selbst gilt

wobei W die Wahrscheinlichkeit angibt, mit der ein thermodynamischer Zustand realisiert ist.

Die Entropie ist ein Maß für die die Wahrscheinlichkeit eines Zustands oder den Grad der Unordnung.

Entropie und der 2. Hauptsatz

Jedes isolierte System strebt nach einem Zustand, in dem die Anzahl realisierbarer Zustände größer ist als zu Beginn (Entropiezunahme). Da ein System von selbst nie in einen bedeutend unwahrscheinlicheren Zustand übergeht, wie es der 2. Hauptsatz formuliert, ergeben sich folgende Regeln für die Entropieänderung:

1.Bei beliebigen Prozessen, in denen ein thermisch isoliertes System von einem Makrozustand in einen anderen übergeht, ist die Änderung der Entropie stets größer gleich Null. Damit ist bei Systemen, die sich nicht im Gleichgewicht befinden, die Richtung definiert, in der eine Zustandsänderung abläuft.

0S

0S2.Bei reversiblen Kreisprozessen bleibt die Entropie konstant.

Beispiele

1. Reversibler Kreisprozess (Carnot’scher Kreisprozess)

Die reduzierte Wärmemengen ändern sich nur auf den Isothermen, da es auf den Adiabaten zu keinerlei Wärmeaustausch kommt

2

2

1

1

T

Q

T

QS

Bei der Betrachtung des Carnot’schen Kreisprozesses wurde gezeigt:

1

1

2

2

T

Q

T

Q

Damit ergibt sich sofort: 0S

2. Isotherme freie Expansion eines Gases (Diffusion) Öffnet man den Deckel eines mit Gas gefüllten Behälters in einem Raum

(V2), dann entweicht das gas und diffundiert in der Umgebung. Für die Entropieänderung des Systems gilt bei der Expansion von V1 nach V2

0ln1

2

V

VRnS

Fragen zur Wärmeenergie

1. Welche Wärmemenge Q ist nötig, um einen Kochtopf aus Eisen (m=0,6kg) von 200C auf 1000C zu erhitzen (cFe=452 JK-1kg-1) ?

2. Eine Stahlkugel der Masse m1=2kg fällt aus einer Höhe von 10m auf einen Aluminiumklotz der Masse m2=0,1kg. Wie groß ist die Temperaturzunahme des Aluminiumklotzes (cAl=897 JK-1kg-1) ?

3. Welche Leistung muß ein Tauchsieder haben, um 5 Liter Wasser von 150C in 6 Minuten auf 800C zu erwärmen (cWasser=4180 JK-1kg-1) ?

4. Welche Wärmemenge Q muß 5 Liter Wasser zugeführt werden, um es von -180C auf 600C zu erwärmen (cEis=2100 JK-1kg-1, cWasser=4180 JK-1kg-1 und qs=3,33*105 J/kg) ?

5. Um welchen Betrag steigt die Temperatur eines künstlichen Erdsatelliten im Mittel, wenn er beim Eintauchen in die Atmosphäre von v1=5000m/s auf v2=1000m/s abgebremst wird (spez. Wärmekapazität des Satelliten c=900[J/kgK], 80% der Wärme wird an die umgebende Luft abgegeben)?

6. Welche Wärmemenge entsteht beim Abbremsen eines Pkw’s der Masse m=800kg aus v0=72km/h zum Stillstand?